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高次方程的解法有很多中学生一谈起高次方程，就好比见天书一样。
其实高次方程没什么难的，学数学应该学会举一反三。
我们知道初中学了一元二次方程，有些学生只把二次方程的求根公式记住了，但这个求根公式怎么推导的呢，他没有理解。
其实学数学应该学会理解，注重理解，而不在于死记公式。
比如说我们学了一元二次方程，重要的不是这个求根公式，而是一元二次方程有几种解法。
一元二次方程有以下几种解法：1、配方法（二次方程是配平方法）：这一方法虽然是很好理解的，但我通过在网上了解有很多学生对一方法根本就不懂。
因为我问到他们时，他们绝大多数都是只会这个求根公式，一问起是怎么推导的，他们根本就不知道。
其实二次方程的求根公式就是用配方法导出来的，配方法是解方程的里面的，尤其是解高次方程里面的最重要的一个方法。
如果能够彻底理解这一方法，不仅是二次方程这块好掌握，对以后解高次方程也有很大帮助。
比如说对于二次方程ax2+bx+c=0，我们知道可用配平方（完全平方公式）法配成缺少一次项系数的二次方程，即配成关于x的一次代数式的完全平方的行式，这样就可以通过直接开平方法解出此方程。
那么二次方程我们能用配方法求解，我们是不是就考虑举一反三，三次方程ax3+bx2+cx+d=0是不是也可以采取配方来解，当然对于三次方程就应该是配立方法了。
通过研究对于某些特殊的三次方程是可以通过配立方法来求解的，为什么说是要特殊的三次方程呢，因为三次方程和二次方程不一样，它有三个带未知数x的项，这样用配立方法化把二次项系数去掉的同时，不一定一次项系数也同时去掉。
所以对于某特殊的三次方程也适用于配方法的。
比如说x3+6x2+12x+9=0，通过配立方法，可以化成完全立方的形式（x+2）3+1=0，这样就可以解得该方程有一实根X=-3，所以我们学了二次方程的配方法后，可以把这种方法推广到三次方程，甚至更高次数的方程上（例如某些四次方程可以通过配四次方法来解……）。
所以如果能够举一反三，学了二次方程以后。
高次方程及解法 江苏省通州高级中学 徐嘉伟 一般地，我们把次数大于2的整式方程，叫做高次方程。
由两个或两个以上高次方程组成的方程组，叫做高次方程组。
对于一元五次以上的高次方程，是不能用简单的算术方法来求解的。
对于一元五次以下的高次方程，也只能对其中的一些特殊形式的方程，采用“±1判根法”、“常数项约数法”、“倒数方程求根法”、“双二次方程及推广形式求解法”等方法，将一元五次以下的高次方程消元、换元、降次，转化成一次或二次方程求解。
一、±1判根法在一个一元高次方程中，如果各项系数之和等于零，则1是方程的根；如果偶次项系数之和等于奇次项系数之和，则-1是方程的根。
求出方程的±1的根后，将原高次方程用长除法或因式分解法分别除以（x-1）或者（x+1）,降低方程次数后依次求根。
“±1判根法”是解一元高次方程最简捷、最快速的重要方法，一定要熟练掌握运用。
例1解方程x4+2x3-9x2-2x+8=0解：观察方程,因为各项系数之和为:1+2-9-2+8=0(注意:一定把常数项算在偶数项系数当中),根据歌诀“系和零,+1根”,即原方程中可分解出因式(x-1),(x4+2x3-9x2-2x+8)÷(x-1)= x3+3x2-6x-8观察方程x3+3x2-6x-8=0，偶次项系数之和为：3-8=-5；奇次项系数之和为：1-6=-5，根据歌诀“偶等奇，根-1”，即方程中含有因式（x+1），∴（x3+3x2-6x-8）÷(x+1)=x2+2x-8，对一元二次方程x2+2x-8=0有（x+4）（x-2）=0, ∴原高次方程x4+2x3-9x2-2x+8=0可分解因式为：(x-1) (x+1)(x-2)(x+4)=0,即:当(x-1)=0时,有x1=1;当(x+1)＝０时，有x2= -1;当(x-2) =0时，有x3=2; 当(x+4)=0时，有x4=-4点拨提醒：在运用“±1判根法”解高次方程时，一定注意把“常数项”作为“偶次项”系数计算。
数学解方程的快速方法数学是一门需要逻辑思维和推理能力的学科，而解方程是数学中的一项重要技能。
解方程不仅能够帮助我们理解数学问题，还能应用到生活中的实际情境中。
然而，对许多学生来说，解方程是一项具有挑战性的任务。
在本文中，我们将探讨数学解方程的一些快速方法，以帮助学生更好地掌握这一技能。
首先，提出的问题一般是由一个或多个未知数组成的方程。
为了解方程，我们需要找到使方程成立的未知数的值。
最常见的一类方程是一元一次方程，即只包含一个未知数和一个次数为一的项。
我们可以利用一些规律和技巧来快速解决这些方程。
第一种方法是移项法。
当方程中的未知数包含在多项式中时，我们可以通过移动项的位置来化简方程。
例如，对于方程3x + 5 = 8，我们可以通过将5移到等号的另一侧来简化方程，得到3x = 8 - 5 = 3。
接下来，我们可以继续化简方程，最终得到x = 1。
第二种方法是因式分解法。
当方程中的多项式可以因式分解时，我们可以通过找出公因式来简化方程。
例如，对于方程x^2 - 6x + 8 = 0，我们可以通过观察到(x - 4)(x - 2) = 0来因式分解方程。
由此可得到两个解x = 4和x = 2。
第三种方法是配方法。
当方程中存在平方项时，我们可以通过配方法将其转化为平方完全展开的形式。
例如，对于方程x^2 + 6x + 8 = 0，我们可以通过将x^2 + 6x中的6用2的平方来补全，得到(x + 3)^2 - 1 =0。
接下来，我们可以通过开方等方法得到两个解x = -3 + 1和x = -3 - 1。
除了一元一次方程外，还存在其他类型的方程，如二元方程、多元方程和高次方程。
对于这些方程，解法可能更加复杂，但我们仍然可以应用一些技巧来快速解决。
在解决二元方程时，我们可以利用消元法来降低方程的次数。
通过将两个方程相减或相加，我们可以消去一个未知数，从而得到一个只含有一个未知数的方程。
继续运用前面提到的一元一次方程的快速方法，我们可以解出这个未知数的值，再带入原来的方程中找到另一个未知数的值。
方程的解的判断和求解方程是数学中常见的问题求解形式之一，它描述了一种等式关系，其中包含未知数和已知数。
解方程的过程包括判断方程是否有解，并且在有解的情况下求解未知数的取值。
在本文中，我们将介绍判断方程解的条件以及求解方程的方法。
一、一元一元方程是指只含有一个未知数的方程，例如：ax + b = 0。
对于一元方程而言，我们需要判断方程是否有解，即是否存在满足方程的未知数取值。
具体的解决方法如下：1. 判断方程是否有解：- 当系数a等于0时，我们需要判断方程中的常数b是否等于0。
若b也为0，则方程有无数解；若b不为0，则方程无解。
- 当系数a不等于0时，方程有且仅有一个解。
2. 求解方程的根：若方程有解，则可以通过移项和除法等运算，将未知数表示出来。
以一元一次方程(ax + b = 0)为例，求解过程如下：- 移项：将方程中的常数项b移至等式另一边，得到ax = -b。
- 除以系数a：对方程两边同时除以系数a，得到x = -b/a。
二、二元二元方程是指含有两个未知数的方程，例如：ax + by = c。
对于二元方程而言，我们同样需要判断方程是否有解，并且求解出两个未知数的取值。
具体的解决方法如下：1. 判断方程是否有解：为了判断方程是否有解，我们可以对方程进行消元的操作。
若得到一个恒等式（如0 = 0）或者矛盾的等式（如1 = 0），则方程无解；若未出现矛盾则方程有解。
2. 求解方程的根：若方程有解，则可以通过消元的方法求解两个未知数的取值。
以二元一次方程(ax + by = c)为例，求解过程如下：- 将方程转化为斜率截距形式：y = (-a/b)x + (c/b)。
- 可以选择一个特定的x值，计算对应的y值，得到一组解。
三、高次高次方程是指次数超过一次的方程，例如：ax^n + bx^(n-1) + ... + c = 0。
对于高次方程而言，判断方程是否有解以及求解根的方法较为复杂，常用的方法有以下几种：1. 因式分解法：通过因式分解将方程转化为一次或二次方程的形式，再进行求解。
一元三次方程通用解法一元三次方程是高中数学中的重要内容之一，也是解析几何和微积分等学科中的基础知识。
解一元三次方程需要掌握一些基本的解法和技巧，本文将从生动、全面和有指导意义的角度来介绍一元三次方程的通用解法。
首先，我们来介绍一下一元三次方程的一般形式：ax³ + bx² +cx + d = 0，其中a、b、c和d都是已知的实数，而x是未知数。
解一元三次方程的关键在于找到方程的根，即方程成立时x的值。
下面我们将介绍一种通用的解法。
1. 将一元三次方程化为齐次方程：首先，我们需要通过一些变换将一元三次方程化为齐次方程。
齐次方程的特点是方程中除了常数项之外，其他各项的次数都相同。
我们可以通过代换将一般形式的一元三次方程转化为齐次方程。
2. 求出齐次方程的一个根：接下来，我们需要找到齐次方程的一个根。
通常情况下，我们可以先尝试一些简单的整数作为根进行求解，例如1、-1、2、-2等。
如果我们找到了一个根，可以将方程除以x减去这个根得到一个二次方程。
3. 求解二次方程：将齐次方程除以x减去一个根后得到的二次方程是一个已知形式的方程，我们可以使用求解二次方程的方法来求解。
通过求解二次方程可以得到齐次方程的另一个根。
4. 求解非齐次方程：通过已知的两个根，我们可以将齐次方程因式分解为(x - 根1)(x - 根2)(ax - 根3)的形式。
然后，我们可以运用因式分解的方法求解非齐次方程。
5. 检验解的有效性：求解完一元三次方程后，我们需要将求得的解代入原方程进行检验，确保方程两边都成立。
如果方程两边都相等，那么我们得到的解就是正确的。
在解一元三次方程的过程中，我们需要运用到代数运算、因式分解和求解二次方程等知识和技巧。
这些方法和技巧不仅在解一元三次方程中有用，还可以应用到其他数学问题的求解中。
除了以上的通用解法，解一元三次方程还有其他方法，例如牛顿切线法和卡尔达诺公式等，这些方法在特定情况下可以更加高效地求解一元三次方程。
高中一元三次方程快速解法高中一元三次方程是高中数学中的重要内容之一，解法也是需要掌握的基本技能。
本文将介绍一种快速解法，帮助读者更好地理解和解决高中一元三次方程。
一元三次方程是指形如ax^3+bx^2+cx+d=0的方程，其中a、b、c、d为已知系数，x为待求的未知数。
解一元三次方程的常用方法有因式分解、配方法、待定系数法等，但这些方法在解决复杂的一元三次方程时可能会比较繁琐，需要耗费大量的时间和精力。
因此，我们需要一种更快速的解法。
在介绍快速解法之前，我们先来回顾一下一元三次方程的基本性质。
一元三次方程一般有三个根，这些根可以是实数或复数。
如果方程的系数都是实数，但方程没有实数根，那么它一定有两个共轭复数根。
快速解法的关键在于观察方程的特点，通过变量的替换和简化，将一元三次方程转化为二次方程或二次方程组，从而更容易求解。
具体步骤如下：步骤1：观察方程是否有特殊形式。
有些一元三次方程可以通过观察特殊形式来简化。
例如，如果方程中含有因式(x-a)(x-b)(x-c)，那么方程的根就是a、b、c。
步骤2：变量替换。
通过变量的替换，将一元三次方程转化为二次方程或二次方程组。
常用的变量替换方法有令x=y+m，其中m为常数，通过这种替换可以将方程转化为二次方程。
另外，还可以通过令x=y+z，将方程转化为二次方程组。
步骤3：解二次方程或二次方程组。
将转化后的二次方程或二次方程组进行求解，得到解的表达式。
步骤4：反变换。
将步骤2中的变量替换反过来，得到原方程的解。
通过以上步骤，我们可以快速解决一元三次方程的问题。
下面通过一个例子来说明具体的解题方法。
例题：解方程x^3-5x^2+8x-4=0解法：观察方程，发现方程的系数都是实数，但方程没有实数根。
因此，方程一定有两个共轭复数根。
步骤1：由于方程没有特殊形式，我们需要进行变量替换。
令x=y+1，将方程转化为(y+1)^3-5(y+1)^2+8(y+1)-4=0展开并化简得y^3-4y^2+3y=0步骤2：解二次方程。
一元高次方程解法
一元高次方程的解法有多种方法，最常用的方法是配方法、因式分解法、求根公式法和牛顿迭代法等。
配方法：将一元高次方程转化为一个多项式乘积等于零的形式，再分别解出每一个因式，即可得到方程的解。
因式分解法：将一元高次方程进行因式分解，再分别解出每个因式，即可得到方程的解。
求根公式法：对于二次以上的高次方程，可以使用求根公式求出方程的根。
例如，对于一元二次方程ax²+bx+c=0，可以使用求根公式x=[-b±√(b²-4ac)]/2a求出方程的根。
牛顿迭代法：通过对方程进行迭代计算，不断逼近方程的解，最终得到方程的解。
这种方法通常需要预先估计方程的解，在这个基础上进行迭代计算。
解一元三次方程的方法一元三次方程是高中数学中的重要内容，解一元三次方程的方法有多种，下面将介绍一些常用的方法。
1. 代数方法。
解一元三次方程的最基本方法是代数方法。
对于一元三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0，可以通过代数方法将其化简为一元二次方程，然后利用求根公式或配方法求解。
这种方法适用范围广，但对于复杂的三次方程可能需要较长的计算过程。
2. 图像法。
对于一元三次方程，可以利用图像法来解。
通过绘制函数y=ax^3+bx^2+cx+d 的图像，可以通过观察图像的特点来求解方程的根。
这种方法直观、易于理解，但需要对函数的图像特点有一定的了解。
3. 牛顿法。
牛顿法是一种数值计算方法，也可以用来解一元三次方程。
通过不断迭代逼近方程的根，可以利用牛顿法求解一元三次方程。
这种方法计算速度较快，但需要一定的数值计算基础。
4. 特殊代数方法。
对于特殊形式的一元三次方程，可以利用特殊的代数方法来求解。
例如，对于形如x^3+px+q=0的方程，可以利用某些特殊的代数技巧来求解。
这种方法需要对代数技巧有一定的了解，但可以简化计算过程。
5. 综合运用。
在实际问题中，解一元三次方程的方法可能需要综合运用多种方法。
例如，可以先利用代数方法化简方程，然后再利用图像法观察方程的特点，最后再利用数值计算方法来精确求解。
这种方法需要对多种方法有一定的了解和灵活运用。
总之，解一元三次方程的方法有多种，可以根据具体的方程形式和求解要求选择合适的方法。
在学习和应用中，可以灵活运用各种方法，以便高效地求解一元三次方程。
![高次方程解法[整理版]](https://uimg.taocdn.com/d2e1172442323968011ca300a6c30c225901f07c.webp)
高次方程解法1.高次方程的定义整式方程未知数次数最高项次数高于2次的方程，称为高次方程。
2.高次方程的一般形式高次方程的一般形式为anx^n+an-1x^n-1+-------+a1x+a0=0等式两边同时除以最高项系数，得：anx^n/an+an-1x^n-1/an+--------+a1x/an+a0/an=0所以高次方程一般形式又可写为x^n+bnx^n-1+-------b1x+b0=03.高次方程解法思想通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解4.高次方程根与系数的关系按这个高次方程的形式x^n+bn-1x^n-1+-------b1x+b0=0，那么有所有根相加等于系数bn-1的相反数所有根两两相乘再相加等于系数bn-2所有根三三相乘再相加等于系数bn-3的相反数依次类推，直到所有根相乘，等于(-1)^nb05.阿贝尔定理对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式(即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算无法求解)，这称为阿贝尔定理。
换句话说，只有三次和四次的高次方程可解．下面介绍三次和四次方程的解法。
6.四次方程解法卡尔丹公式诞生后，卡尔丹的学生费拉里便发明了一元四次方程的求根公式。
【费拉里公式】一元四次方程aX＾4＋bX＾3＋cX＾2＋dX＋e=0，（a，b，c，d，e∈R，且a≠0）。
令a=1，则X＾4＋bX＾3＋cX＾2＋dX＋e=0，此方程是以下两个一元二次方程的解。
2X＾2＋(b＋M)X＋2(y＋N/M)=0；2X＾2＋(b—M)X＋2(y—N/M)=0。
其中M=√(8y＋b＾2—4c)；N=by—d，(M≠0)。
y是一元三次方程8y＾3—4cy＾2—(8e—2bd)y—e(b＾2—4c)—d＾2=0的任一实根。
7.三次方程解法一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如aX^3＋bX^2＋cX＋d=0的标准型一元三次方程形式化为X^3＋pX＋q=0的特殊型。
解方程的6个公式一、一次方程求解公式：一次方程是指未知数的最高次数为1的方程。
一次方程的解可以通过使用一次方程求解公式来求得。
一次方程的一般形式为ax + b = 0，其中a不等于0。
一次方程求解公式为x = -b / a。
二、二次方程求解公式：二次方程是指未知数的最高次数为2的方程。
二次方程的解可以通过使用二次方程求解公式来求得。
二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a不等于0。
二次方程求解公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。
三、一元二次方程求解公式：一元二次方程是指未知数的最高次数为2且只有一个未知数的方程。
一元二次方程的求解可以通过使用一元二次方程求解公式来得到。
一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a不等于0。
一元二次方程求解公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。
四、勾股定理：勾股定理是解决直角三角形相关问题的一个基本公式，也可以用来解方程。
勾股定理表示在一个直角三角形中，直角边的平方等于另外两条边的平方和。
勾股定理的表达式为a^2+b^2=c^2，其中a、b表示直角边的长度，c表示斜边（斜边为斜边的长度）。
五、平方差公式：平方差公式是解决平方差问题的一个基本公式，可以用来将一个平方差表达式分解为两个因式的乘积。
平方差公式表示a^2-b^2=(a+b)(a-b)，其中a、b表示任意数。
六、根号的性质：根号的性质可以应用在方程求解中，其中包括根号的分配律、合并等。
当一个等式中含有根号时，我们可以通过使用根号的性质来简化方程，进而求解出方程的解。
以上是解方程过程中常用的六个公式。
在实际应用中，我们根据具体的问题选择适当的公式和方法，通过化简、代入、变形等运算，逐步解决方程，得到未知数的值。
解方程在数学研究和实际应用中具有重要的地位，是培养逻辑思维和解决问题的能力的重要手段之一。
简易高次方程的解法在数学中，高次方程是指次数大于二次的代数方程。
一般来说，高次方程的解法并不是那么容易，需要使用特定的方法才能求出解。
但是对于一些简易的高次方程，我们可以使用较为简单的方法来求解。
首先来看一元四次方程的解法。
对于一元四次方程而言，我们通常使用代换法将其转化为一元二次方程进行求解。
其中一种代换的方法如下：假设我们要解的一元四次方程为ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0, 首先我们使用代换方法将其转化为y=x^2。
这样我们就得到了ay^2+by+c(dx+e)+d^2=0的一元二次方程。
这个方程可以使用求根公式进行求解。
求出y的值之后，我们再用y代回x^2，就能得到x的值了。
接下来是一元五次方程的解法。
对于一元五次方程而言，我们可以使用差分与代换的方法来进行求解。
具体步骤如下：1. 把一元五次方程的根排序，这样就得到了a，b，c，d，e五个数字。
2. 接着我们计算这五个数字的差值，即b-a，c-b，d-c和e-d。
如果它们之间存在相同的数，那么这个一元五次方程就可以被化简为一元四次方程或者更低次数的方程。
3. 如果差值中不存在相同的数，我们将y=x+t代入原方程中，并将所有的x^5都替换成(y-t)^5。
这样，我们就得到了一个只有一项（y^5）是关于y的五次方的方程。
用五次求根公式求出y的值后，再令x=y-t，就可以得到x的值。
以上就是一元四次方程和一元五次方程的常用求解方法。
对于一元六次及以上的方程，其解法比较复杂，我们需要使用更加专业的方法进行求解。
总之，在解高次方程时，我们需要考虑各种因素，并根据具体方程和情况选择合适的解法。
虽然有些高次方程的解法相对较为复杂，但是在数学学习中，它们也是非常重要的。
掌握了这些方法，可以帮助我们更好地理解和掌握数学知识，从而更好地应对各种数学问题。
（实用版4篇）编写:_______________审核:_______________审批:_______________单位:_______________时间:_______________序言本店铺为大家精心编写了4篇《牛顿迭代法解一元多次方程的方法》，供大家借鉴与参考。
下载后，可根据实际需要进行调整和使用，希望对大家有所帮助。
（4篇）《牛顿迭代法解一元多次方程的方法》篇1牛顿迭代法是一种求解一元多次方程近似根的数值方法。
它基于泰勒公式的近似，通过不断迭代，逐步逼近方程的根。
具体步骤如下：1. 初始化：给定一元多次方程 ax^n+bx^(n-1)+cx^(n-2)+...+zx+d=0，选取一个初始值 x0，并设置一个误差限额 e。
2. 计算函数值：计算函数 f(x) = ax^n+bx^(n-1)+cx^(n-2)+...+zx+d 在x0 处的值，即 f(x0) = a*x0^n+b*x0^(n-1)+c*x0^(n-2)+...+z*x0+d。
3. 计算导数：计算函数 f(x) 在 x0 处的导数，即 f"(x0) =n*a*x0^(n-1)+(n-1)*b*x0^(n-2)+(n-2)*c*x0^(n-3)+...+z。
4. 更新解：利用牛顿迭代公式 x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f"(x_n)，计算出下一次迭代的解 x_{n+1}。
5. 判断收敛：比较 x_{n+1} 与 x_n 之间的误差，如果小于等于 e，则认为已经收敛，输出结果；否则，回到第 4 步，继续迭代，直到误差小于等于 e。
需要注意的是，牛顿迭代法仅适用于一元多次方程，且要求方程的系数是常数。
《牛顿迭代法解一元多次方程的方法》篇2牛顿迭代法是一种求解一元多次方程近似根的方法，它是从泰勒公式中取前两项构成线性近似方程，然后通过迭代逐步逼近精确解。
下面是使用牛顿迭代法解一元多次方程的一般步骤：1. 根据方程的系数和常数项，写出方程的泰勒公式。
一元三次方程的15种解法引言一元三次方程是高中数学中的重要概念之一。
解一元三次方程需要灵活运用代数的各种解法，包括因式分解、配方法、Vieta定理等等。
本文将介绍一元三次方程的15种解法，帮助读者更好地理解和掌握这个概念。
1. 因式分解法对于一元三次方程ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，当方程左边可以因式分解时，可以直接利用因式分解法求解。
具体步骤如下：1.将方程左边进行因式分解，得到a(x-r1)(x-r2)(x-r3) = 0的形式；2.令每个括号内的表达式分别等于零，解方程得到x= r1，x = r2，x = r3。
2. 配方法当一元三次方程不能直接进行因式分解时，可以利用配方法来求解。
具体步骤如下：1.将方程的x^3项与x^2项之间的系数去掉；2.构造一个三次方程y^3 + py + q = 0，使得其方程的二次项和常数项的系数与原方程一致；3.根据配方法的原理，使得y + a为一个因式，进而得到新的方程y^3 + py + q = (y+a)(y^2+by+c)；4.令(y^2+by+c)等于零，解出y，再代入原来的方程，得到x的解。
3. 牛顿迭代法牛顿迭代法是一种数值计算的方法，可以用来求解一元三次方程的近似解。
具体步骤如下：1.假设x0为一个初始值，计算f(x0) = ax0^3 +bx0^2 + cx0 + d和f'(x0) = 3ax0^2 + 2bx0 + c；2.根据牛顿迭代法的迭代公式，计算x1 = x0 -f(x0) / f'(x0)；3.重复步骤2，直到满足收敛准则，即|x(n+1) -x(n)| < ε，其中ε是一个预设的小数值。
4. 二倍角公式二倍角公式可以用来求解三次方程中的根。
具体步骤如下：1.将一元三次方程的三次项系数化为1，即将方程变形为x^3 + bx^2 + cx + d = 0；2.计算p = (3b - a^2) / 3和q = (2a^3 - 9ab+ 27c) / 27；3.根据二倍角公式，得到三个根x1 = 2∛[-q/2 +√(q^2/4 + p^3/27)] - a/3，x2 = 2∛[-q/2 -√(q^2/4 + p^3/27)] - a/3，x3 = -∛[-q/2 +√(q^2/4 + p^3/27)] - a/3。
高中一元三次方程解法一元三次方程有三种解法，包括卡尔丹公式法、盛金公式法和因式分解法。
简单地说就是公式法和因式分解法。
和一元二次方程的解法中的公式法和因式分解法有相似之处，公式法适用于一切方程，而因式分解法一般只适用于存在有理数根的方程。
当然三次方程应用因式分解法的主要目的是为了降次，因此它也有可能在存在无理根或复数根时使用因式分解法。
我们平时用得比较多的还是因式分解法。
比如x^3-1=0或x^3+1=0，都有因式分解的公式可以直接应用。
前者得到(x-1)(x^2+x+1)=0，后者得到(x+1)(x^2-x+1)=0. 由此得到方程的一个有理根和一对共轭虚根。
当然，这里的1可以换成任意实数，因为任意实数都可能写成一个数的三次方。
对于标准型的一元三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0(a，b，c，d∈R，且a≠0)，以上所举的例子属于a=1, b=0, c=0的特殊形式。
当b,c至少有一个不等于0时，一元三次方程就不一定能分解出一个有理根。
所以因式分解法并不一定适用于所有一元三次方程。
这时候如果想要使用因式分解法，就必须满足存在有理根的条件，否则很难因式分解。
比如三次方程：x^3+x^2-x+2=0，通过观察，我们可以用多项式x^3+x^2-x+2除以x+2，就得到x^2-x+1，因此可以用因式分解法得到(x+2)(x^2-x+1)=0，同样可以得到一个实根x=-2，和两个共轭虚根。
但是三次方程x^3+x^2-x+1=0就无法应用因式分解法了。
这时候就要用公式法。
卡尔丹公式法相对比较复杂，而盛金公式法就简单得多。
纯讲知识的内容既干枯燥又难懂，因此接下来就对这个方法，分别运用两个公式，做一个演示，希望能你从演示的过程中得到启发，学会这两种公式法。
三次方程x^3+x^2-x+1=0中，a=1, b=1, c=-1，d=1. 令x=y-b/(3a)=y-1/3代入方程，得到：(y-1/3)^3+(y-1/3)^2-(y-1/3)+1=0，化简得y^3-4y/3+38/27=0. 这是特殊型的一元三次方程y^3+py+q=0(p,q∈R). 其中p=-4/3, q=38/27.接下来求卡尔丹判别式：△=(q/2)^2+(p/3)^3=361/729-64/729=11/27. 当Δ>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根；当Δ=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根；当Δ<0时，方程有三个不相等的实根。
一元高次方程的漫漫求解路若有人问你：“你会解一元二次方程吗？”你会很轻松地告诉他：会的，而且非常熟练！任给一个一元二次方程20,0,ax bx c a ++=≠ ①由韦达定理，①的根可以表示为2b x a-±=。
若进一步问你，会解一元三次方程或更高次数的方程吗？你可能要犹豫一会儿说，只会一些简单的方程。
于是你就会想：一元三次方程或更高次数的方程，是否也像一元二次方程的情形一样，有一个公式，它可以用方程的系数，经过反复使用加减乘除和开方运算，把方程的根表示出来？数学家们当然应当给出完美的理论来解决高次方程的求解问题。
有关理论至少应当包括高次方程是否有解？如果有解，如何求得？n 次方程的一般表达式是101100,0,n n n n a x a x a x a a --++⋅⋅⋅++=≠而1011()n n n n f x a x a x a x a --=++⋅⋅⋅++称为n 次多项式，其中00a ≠。
当系数01,,a a1,,n n a a -⋅⋅⋅都是实数时，称()f x 是n 次实多项式，当系数中至少有一个为复数时，称()f x 为n 次复系数多项式。
如果存在复数α，使得()0f α=，就称α是n 次方程()0f x =的一 个根，或称为n 次多项式()f x 的一个根。
1799年，年仅22岁的德国数学家高斯在他的博士论文中首先证明了“代数基本定理”：复数域上任一个次数大于零的多项式，至少有一个复数根。
根据代数基本定理可以推出：复数域上n 次多项式恰有n 个复数根，其中k 重根以k 个根计算。
这一结论也可以用多项式的因式分解语言来叙述：“复数域上任何n 次多项式都可以分解成n 个一次式的乘积。
”代数基本定理是一个纯粹的多项式根的存在定理，它没有给出求根的具体方法。
要求得n 次方程的根，一般是希望得到n 次方程1011()0n n n n f x a x a x a x a --=++⋅⋅⋅++= ②的求解公式，如二次方程①的求根公式那样。
众所周知，方程①的解早在古代的巴比伦、埃及、中国、印度、希腊等国的数学著作中，都有不同的表述方式。
一个n 次方程②的求根公式是指，②的根通过其系数经由加、减、乘、除以及乘方、开方的表示式，也称这种情况为方程有根式解。
三次以及高于三次的方程是否有根式解？也就是说，是否有求根公式？经过漫长的研究之路，直到16世纪，意大利数学家卡当（Candano ）及其助手才先后给出了三次和四次方程的根式解。
这里我们向读者介绍卡当关于三次方程解的公式，从中可看出他所作的极富技巧的变换。
另一方面，这个与二次方程仅仅相差一次方的三次方程，是中学时代爱好数学的青少年向往着解决的问题，看看前人是如何解决的，自己又能得到什么启示？不失一般性，可以设三次方程中3x 的系数为1，则三次方程为 320x ax bx c +++= ③ 其中,,a b c 是任意复数。
若令3a x y =-，则三次方程简化为 30y py q ++= ④ 其中33a pb =-，32327ab a q c =-+， 设123,,y y y 表示简化方程④的根，则据根与方程系数的关系，得1230y y y ++=。
若令3242712u p q v ⎧=--⎪⎨=-⎪⎩，2112322123z y v y vy z y vy v y ⎧=++⎪⎨=++⎪⎩。
对于适当确定的立方根，卡当公式是1z =，2z = 求解线性方程组12321231212320y y y y v y vy z y vy v y z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，得到11221212123121()31()31()3y z z y v z v z y v z v z ----⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩，于是，原三次方程的三个根为1y =2y ω=，3y ω=其中23427q p ∆=+，122ω=-+（i =是虚数单位）。
对于四次方程求根，就更加复杂了。
但数学家们还是找到了一个解四次方程的办法。
与三次情形类似，用一个平移，消去方程3x 的这一项，于是可假定四次方程为420x ax bx c +++= ⑤然后构造方程的预解式224()(4)0b u a u c ---= ⑥这是u 的三次方程。
通过这个三次方程解出u ，把得到的u 代入，可以把原方程化为两个二次方程来求根。
因而可以说，对于次数不超过4的方程，都可以找到根的计算公式，使得方程的每个根可以用方程的系数经过加减乘除和开方运算表示出来。
做这件事就叫做根式求解。
由四次方程根式可解的突破，使当时许多著名的数学家几乎都相信任意的五次方程也一定可以根式求解，并以极大的热情和自信寻找五次或更高次数方程的求根公式。
从16世纪中叶到19世纪初，为了获得五次方程解的类似结果，最杰出的数学家，如欧拉、拉格朗日，都曾做过一些尝度，但都没有成功。
1771年，拉格朗日，才开始怀疑这种求根公式的存在性。
他通过分析发现，次数低于5的代数方程求根，都可以经过变量替换，先解一个次数较低的预解式，再代入求原方程的解。
到了五次方程，情况完全变了，预解式的次数不是降低了，而是升高了。
1801年，高斯也意识到这个问题也许是不能解决的。
直到1813年，拉格朗日的学生鲁非尼（Ruffini ）终于证明了，通过找预解式的办法来求解五次方程是行不通的。
鲁非尼的结果只是说用拉格朗日的办法解五次方程是不可能的，并不能说不存在其他的解决办法。
1826年阿贝尔发表了《五次方程代数解法不可能存在》一文，第一个正式从否定的角度来谈求根公式的存在。
他证明了“具有未定系数的、高于4次的方程是不能用根式求解的”。
不过他的思想当时是有很多人（包括高斯在内）表示不理解，而且他的证明也还不很清楚，有一些漏洞。
他也没有给出一个准则来判定一个给定的高次代数方程是否可以根式求解。
阿贝尔的结论具有广泛性，但并不排除对一些特殊的5次和5次以上方程具有根式解，例如，50x a -=就有根式解。
于是更深刻的问题被提出了：一个方程有根式解的充要条件是什么？这个在代数方程中至关重要的问题被法国青年数学家伽罗华（Galois ）彻底解决（但伽罗华理论在他死后约15年，1846年才发表）。
伽罗华的天才思想促使了今天我们称之为抽象代数这门学科的蓬勃发展。
要了解伽罗华的理论，需要群、环和域等抽象代数的理论知识。
伽罗华的思想就是把方程()0f x =的求解问题转化为确定对应的伽罗华群是否为所谓的可解群的问题。
当对应的伽罗华群是可解群，则方程就是可以根式求解的，否则就不可以根式求解。
可解群是群的理论中一个重要内容，也有许多方法来确定一个群是否为可解群。
曾经有一个著名的猜测，叫做伯恩赛（Burnside ）猜测，它说有奇数个元素的有限群是可解群。
这个问题在1963年已被数学家费特(Feit)与汤卜松（Thompson ）解决，证明很长，太平洋数学杂志用了整整一期来发表他们的研究结果，不可解群也有很多，例如5n ≥时，n 个文字的对称群就是不可解群。
对5n ≥，我们完全可以构造一个n 次多项式，使得它所对应的伽罗华群不是可解群。
因此对每个5n ≥，都存在一个不是根式可解的n 次多项式。
这样就彻底解决了一般五次以上方程的根式不可解性。
4n ≤，根式可解，5n ≥一般就不可解了，真是“一步之遥，天壤之别”。
下篇 怎样得到高次方程的近似根盛松柏伽罗华找到了一个一元高次方程能否根式求解的判别方法，但是他还是没有给出高次程的具体求解方法。
那么，如何求得高次方程的根呢？在一般情况下，求出精确根是很困难的，而且科学研究、工程技术季实际应用中，也没有必要求出精确根，只要求出根的近似值。
那么，又如何求得高次方程的根的近似值呢？设*x 是()f x 的一个精确根，即*()0f x =，假设问题所要求的精确度为ε，也就是 满足*x x ε-<的x ，或满足**x x x ε-<的x ，称为*x 的一个近似根。
下面我们介绍一下求近似根的几个常用方法：方法一：牛顿切线法取一个初始值0x x =，然后使用下述迭代公式1'()()k k k k f x x x f x +=-，0,1,2,,k =⋅⋅⋅ 其中'()f x 是()f x 的一阶导数。
牛顿切线法有明显的几何意义，如右图，因为()f x 的根*x 满足*()0f x =，在直角 坐标平面中，点*(,0)x 恰是()y f x =的曲线与O x 轴的交点，于是每次迭代所得的点k x 正好是曲线上点(,())k k x f x 的横坐标。
牛顿切线法其实就是过曲线上的一列点所作曲线的切线与O x 轴的交点。
方法二：牛顿割线法在方法一中，只要给定一个初始点0x 。
而方法二中，我们给定两个初始点01,x x 。
然后 在每次迭代时，把1,k k x x -作为下一次迭代的始值。
111(),1,2,3,()()k k k k k k k x x x x f x k f x f x -+--=-=⋅⋅⋅- 这类方法都是从已知的点通过相同的计算公式，求得下一个新点。
数学上称为迭代法。
迭代法很适合于计算。
只要初始值选取得好，以上两种方法产生的无穷数列。
01{,,,,}n x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅均能收敛于()f x 的根*x 。
方法三：二分法先将[,]a b 分成N 等份，得到N 个等长的小区间，显然每个小区间的长度b a h N-=。
记第一个小区间为11[,]a b ，其中1a a =，1b a h =+，第i 个小区间为[,]i i a b ，则i a = (1)a i h +-，1i i b a ih a +=+=，1,2,,.i N =⋅⋅⋅若对其中某些i ，有()()0i i f a f b ⋅<，则在(,)i i a b 中必有()f x 的一个根。
然后对这些 (,)i i a b 再分别用二分法，便能求出()f x 的一个近似根。
二分法很简便，是工程师们喜欢的一种求全部相异近似单实根的方法。
问题在于如何合适地确定N ，因为N 太大，则工作量也会太大，而N 太小时，会出现某个小区间内包含多个根，从而二分法会将这个小区间的根漏掉。
方法四：劈因子法先用求单实根的方法，求出()f x 的一个根1x ，利用因式分解有11()()()f x x x f x =-， 其中1()f x 是（1n -）次多项式。
然后求1()f x 的一个根2x ，依次计算下去就有可能求出()f x 的所有实根。
这里所说的有可能求出()f x 的所有实根，而不是一定，是因为在一般情况下，我们只能求得12,x x 等的近似值，所以有可能会影响到后面所得根的精确性。
方法五：林士谔—赵访熊法林士谔与赵访熊是我国两位著名的数学家，在计算数学方面都有卓越的贡献。
