特殊类型方程解法

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微分方程特解类型

微分方程特解类型
微分方程特解类型是指微分方程中特殊的解法，这些解法可以通过特定的方法求解，使得我们可以更快地求出微分方程的通解。

在微分方程的解法中，特解类型是非常重要的一部分。

下面是一些常见的微分方程特解类型：
1. 常数解：对于一些特殊的微分方程，它们的通解就是一个常数。

这种解法适用于一些简单的微分方程，如y'=0。

2. 分离变量法：这是一种常见的微分方程求解方法，通常适用于形如dy/dx=f(x)g(y)的微分方程。

这种方法是将变量分离，然后进行积分。

3. 变量代换法：这种方法适用于形如dy/dx=f(ax+by+c)的微分方程，其中a、b、c为常数。

这种方法是将变量代换成u=ax+by+c，然后再进行求解。

4. 常数变易法：对于形如y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)的二阶齐次微分方程，可以利用常数变易法求得其特解。

具体方法是假设特解为y=A(x)e^(mx)，代入原方程中解出A(x)和m的值。

5. 拉普拉斯变换法：这种方法主要适用于解决常系数线性微分方程，将微分方程转化为代数方程进行求解。

6. 傅立叶变换法：这种方法适用于求解周期性微分方程，在傅立叶变换的基础上求解微分方程的特解。

以上是常见的微分方程特解类型，掌握这些方法可以更好地解决微分方程问题。

特殊形式的一元一次方程及解法

特殊形式的⼀元⼀次⽅程及解法特殊形式的⼀元⼀次⽅程及解法⽅程是初中代数的主线之⼀，现在所学⼀元⼀次⽅程是以后所学⽅程的基础，我们在学习中会遇到⼀些特殊形式的⼀元⼀次⽅程，利⽤转化思想化成⼀般形式，再解⼀元⼀次⽅程。

特殊的形式有以下⼋种，列出以供同学们参考。

形式⼀：两个⾮负数的和为0或两个⾮负数互为相反数。

两个⾮负数互为相反数可以转化为其和为0，有仅有均为0时才成⽴。

例1 已知（a+3）2与1-b 互为相反数，且关于x 的⽅程4x a +-3y=21x+b 的解为x=-1,求2y 2-3的值。

解析：由已知有（a+3）2+1-b =0 ∴（a+3）2=0，1-b =0，则a=-3,b=1；把a=-3,b=1，x=-1代⼊到⽅程中有413---3y=21×（-1）+1，解得y=-21 2y 2-3=2×（-21）2-3=21-3= -221 形式⼆：连等转化成⼏个⽅程，再分别解⽅程例2 已知a+2=b-2=2c =2008，且a+b+c=2008k,求k 的值。

解析：已知条件可转化为三个⽅程①a+2=2008；②b-2=2008；③2c =2008；分别解得a=2006；b=2010；c=4016。

代⼊到后⼀个等式中，2006+2010+4016=2008k 解得：k=4形式三：分母是⼩数利⽤分数的基本性质，分别把每个式⼦分⼦、分母扩⼤适当的倍数。

例3 解⽅程2.188.1x --03.002.003.0x +=25-x 解析：第⼀个式⼦分⼦、分母同时乘以10，第⼆个式⼦分⼦、分母同时乘以100，原⽅程可变形为：128018x --323x +=2 5-x 两边同乘以12，得：18-80x-4（3+2x ）=6（x-5）去括号、移项合并得：-94x=-36 解得：x=4718 形式四：两个⽅程同解同解即解相同，其中⼀个⽅程可以解出来，再代⼊到另⼀个⽅程中。

例4 关于x 的⽅程3x-（2a-1）=5x-a+1与⽅程212+x +34-x =8有相同的解，求（8a ）2009+a 2-21的值。

二元一次方程的特殊解法

二元一次方程的特殊解法
二元一次方程是指形式为ax+by=c的方程，其中a、b、c为已知常数，x、y为未知数，且a和b不同时为0。

在解二元一次方程时，我们通常使用消元法或代入法来求解。

但是，对于一些特殊的二元一次方程，我们可以使用一些特殊的解法来求解。

第一种特殊解法是通过因式分解来求解方程。

当二元一次方程形式为ax+ay=b时，我们可以将方程进行因式分解，得到a(x+y)=b，
然后将方程两边同时除以a，得到x+y=b/a，即可求出方程的解。

第二种特殊解法是通过图像法来求解方程。

当二元一次方程形式为ax+by=c时，我们可以将其表示为一条直线的形式：y=(-a/b)x+c/b。

然后，我们可以将方程转化为y=mx+n的形式，其中m=-a/b，n=c/b。

此时，我们可以根据直线的斜率和截距来绘制出方程的图像，然后通过图像交点的坐标来求解方程的解。

第三种特殊解法是通过矩阵法来求解方程。

当二元一次方程形式为ax+by=c时，我们可以将其表示为矩阵的形式：[a b][x]=[c]，然后使用矩阵的逆矩阵求解方法来求解方程的解。

具体方法为，将系数矩阵[a b]求逆矩阵[a^-1 b^-1]，然后将方程转化为[x]=[a^-1
b^-1][c]的形式，即可求解方程的解。

以上三种特殊解法可以帮助我们更快速、更准确地求解一些特殊的二元一次方程。

但是，在实际应用中，我们仍然需要选择最适合问题的解法，并注意判断方程是否有唯一解、无解或无穷解的情况。

- 1 -。

初中数学竞赛特殊代数方程的几种解法

特殊代数方程的几种解法一. 换元法例1. 解方程解析：这是一个一元高次方程，观察方程各项系数的特点，可发现方程中各项系数关于中间项是对称的，且，因此，给方程两边同除以，得：令，则，即得解得：代入令式得：本题所给方程称之为倒数方程，一般要通过观察找到各项之间的关系，然后利用换元法求解，解这类较为复杂的方程换元法通常是一种常用的技巧。

二. 配方法例2. 解方程解析：由于此方程给出的项中含有两个未知数，通过配方，再利用非负实数的性质，将其转化为关于x、y的方程组来解。

原方程可化为：即有因为解得配方法是一种常见的解方程的有效方法，要做到灵活应用，需要举一反三的训练。

同学们不妨试做下列一题加以巩固：解方程［］三. 变更主元法例3. 已知，解关于x的方程解析：若直接按x解这个方程，次数较高，无从下手。

若注意到参数a的最高次幂仅为二次，所以可采用变更主元的方法，视a为主变量，x为“常量”即可方便求解。

原方程变形为：解得或即或解得：或变更主元法主要运用于转化变量与参数或常数的位置关系，以达到化繁为简的目的。

此种解法可以说是一种逆向思维法，再看下列一例：例4. 解方程解析：观察这个方程系数11多次出现，即可通过“常值代换”，进行逆向转换，然后转化成二次方程求解。

令，原方程变形为：解得或即或解得，四. 综合法例5. 解方程解析：由于与互为倒数，本题可有如下综合解法。

令，，则有所以a、b是方程的解解这个关于t的方程，得所以或解得或.。

常微分方程特殊类型及解法的应用拓展

常微分方程特殊类型及解法的应用拓展常微分方程是数学中一种重要的方程类型，广泛应用于物理、工程、经济、生物等领域。

在解常微分方程的过程中，我们常常遇到一些特殊类型的方程，需要采用相应的解法来求解。

本文将介绍几种常见的特殊类型常微分方程及其解法，并探讨这些解法在实际问题中的应用拓展。

一、线性微分方程线性微分方程是最基本的一类常微分方程。

形如dy/dx + P(x)y =Q(x)的一阶线性微分方程，可以通过积分因子法来求解。

具体步骤如下：1. 将方程化为dy/dx + Py = Q的形式，其中P(x)和Q(x)为已知函数。

2. 根据积分因子的定义，积分因子μ(x)满足μ(x) = e^(∫P(x)dx)。

3. 两边同时乘以μ(x)，得到μ(x)dy/dx + Pμ(x)y = Qμ(x)。

4. 将左边化为(μ(x)y)'的形式，并对方程两边同时积分。

5. 最后解出y(x)即可。

线性微分方程的解法能够涉及到求解常数变易法、常数变异法、待定系数法等多种方法，具体根据问题的特点选择合适的方法。

二、二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程是常微分方程中的典型问题。

形如d^2y/dx^2 + ay' + by = 0的二阶常系数齐次线性微分方程，可以通过特征方程法来求解。

具体步骤如下：1. 将方程化为特征方程r^2 + ar + b = 0的形式。

2. 求解特征方程的根r1和r2。

3. 根据特征值的不同情况，得到方程的通解。

- 当特征根为实数且不相等时，通解为y(x) = C1e^(r1x) +C2e^(r2x)。

- 当特征根为实数且相等时，通解为y(x) = (C1 + C2x)e^(r1x)。

- 当特征根为复数时，通解为y(x) = e^(αx)(C1cosβx + C2sinβx)，其中α为特征根的实部，β为特征根的虚部。

三、一阶可分离变量微分方程一阶可分离变量微分方程是常微分方程中的另一类特殊类型方程。

苏科版(2024新版)七年级数学上册第四章专题课件：特殊一元一次方程的解法技巧

合并同类项，得－ x ＝－，
系数化为1，得 x ＝1.

(3)

−

−

＝ x；

解：去括号，得 x －－6＝ x ，
去分母，得2 x －1－24＝6 x ，
移项、合并同类项，得－4 x ＝25，

系数化为1， x 得＝－ .

(4)
(

+ ) + + ＝1.

解：去括号，得 ( x ＋1)＋3＝4，

继续去括号，得 x ＋＋3＝4，

去分母，得 x ＋1＋6＝8，
移项、合并同类项，得 x ＝1.
类型3
3.
拆分型

解方程：＋＋＋＋…＋
＝1.

解：原方程化为

×
(1)

−

＋

＝5 x ；

解：去括号，得3 x －＋1＝5 x ，

移项、合并同类项，得－2 x ＝，

系数化为1，得 x ＝－ .

(2)4

−

(

− )

＝ (5＋ x )；

解：去括号，得2 x －3 x ＋3＝＋ x ，

移项，得2 x －3 x － x ＝－3，

小学特殊方程的解法

小学特殊方程的解法我们平常遇到的方程大多数是形如ax=b或者是ax+b=c这样的方程，这样的方程大多数同学都能够顺利的解出。

但是这样的的方程随着我们年级的增高，遇到的也越来越少。

所谓特殊方程，我指的就是未知数的前面是减号或者是除号的方程，或者说形如a－bx=或a÷bx=c这样的方程。

这类方程的解法稍微复杂一些，只要我们稍加注意，其实也非常简单。

下面我们通过两个例题来介绍一下这了方程的解法：例1、65-5X=10解法1：65-5x+5x=10+5x 利用等式的基本性质，变方程为ax=b的形式65-10=5x5x=555x÷5=55÷5 利用等式的基本性质，把未知数前面的系数变成1x=11解法2：5x=65-10 根据减数=被减数-差，变方程为ax=b的形式5x=555x÷5=55÷5 利用等式的基本性质，把未知数前面的系数变成1X=11例2、240÷8x=6解法1、240÷8x×8x=6×8x 利用等式的基本性质，变方程为ax=b的形式240=48x48x=24048x÷48=240÷48利用等式的基本性质，把未知数前面的系数变成1X=5解法2、8x=240÷6 根据除数=被除数÷商，变方程为ax=b的形式8x=408x÷8=40÷8 利用等式的基本性质，把未知数前面的系数变成1 X=5除了这类方程外，还有一些比较复杂的方程，比如多项有未知数而且不在等号的同侧，带有括号等。

总之，不管什么样的方程，也不管用什么方法去解，思路都是先化简，最后转化成形如ax=b的形式，再求解。

在解方程的过程中，要注意以下几点：1、乘、除法可以优先计算以便化简方程，数和未知数的乘除法可以计算，加减法不能计算。

如5×2x 可以计算等于10x，但是5＋2x就不能计算，5＋2x 不等于7x。

解两类特殊方程的独门法

解两类特殊方程的独门法摘要：数学里有两类方程：一类是多项式未知数指数是正分数的方程称根式方程或无理方程，解法复杂。

个人对这类方程进行了特别处理，解法简洁。

另一类是超越方程，采用泰勒级数整合来求解，这种方法，能够解决许多类型的超越方程，下文对这两类方程进行讨论。

关键词：根式方程；分指数；超越方程；终定义域一、根式方程根式方程是多项式未知数含有根号的方程，称分指数方程或无理方程，种类比较多。

为解这类方程，先从简单的根式方程入手，以下面方程未知数的最高次数是1，系数都是1，常数项是1。

用常规的方法去解，首先要去掉根号，把有根号的移到一边两边平方去根号方程变为这就是一元二次方程，解这个方程得再来看第二个方程这个方程多比上一方程多了一项含根号的未知数，且两项根号的开方次数不同。

对两项以上的根号开方次数不同的方程，如果用常规的方法把有根号的移项去一边去根号比较繁琐。

为了讨论方便把它写成分指数的形式用常规的解法试试首先移项，把有根号和没有根号的各方在一边去根号展开两项整理得来到这一步，右边的根号项是5项比前一式多了3项，虽然是用去根号的方法。

接着再使用这个方法越来越复杂，开始用二项式定理展开，现在要用到多项式展开，根号项越去越多，无法去掉根号，解不了方程。

于是另劈路径，通过观察发现，可以用换元法。

令方程式变成这个方程是六次多项式方程，大于三次的多项式方程能用因式分解法分解成一次和二次不可约因式乘积，分解过程略。

并解各因式而得到解。

把解出的代入,得到就是原方程的解。

对于这种形式的方程只有一项大于2的3次开放根，可以用常规方法去根号移项，得等式两边立方，得就去掉了根号。

总之，在根式方程中只有一个项根号的或数项同次开方根的，都能用常规去根号的方法去解。

对于大于等于两项的不同次开方根的要使用换元法去根号去解。

使用换元法来去根号，有两种类型。

一类是方程的各项未知数指数分母相同的用替换元的指数和方程未知数分母相等化成整指数方程来求解，第一个方程如果用这种方法的话就属于这种情况，解法略。

分式方程的特殊解法举例

分式方程的特殊解法举例解分式方程的基本思想，是通过去分母，化分式方程为整式方程。

其常规解法有“去分母法”和“换元法”两种。

但对一些结构较特殊的分式方程，若仍用这两种常规方法求解，往往会使未知数的次数增高，或使运算变繁，增大解题难度，甚至无法解出。

因此，我们应针对题目的结构特征，研究一些非常规解法。

1. 分组通分例1 解方程65327621--+--=--+--x x x x x x x x 分析：通过移项，将方程两边变形为两分式的差，通分后的分子中含未知数的项可相互抵消，从而降低了解题难度。

解：移项，得21653276-----=-----x x x x x x x x 两边分别通分，得)2)(6(4)3)(7(4--=--x x x x 所以)2)(6()3)(7(--=--x x x x 解得29=x 经检验，知29=x 是原方程的根。

2. 用“带余除法”将分子降次例2 解方程x x x x x x x 211112323=+--++++ 分析：方程左边是两个假分式的和的形式，所以可将它们分别化成整式与真分式之和的形式，从而降低未知数的次数，简化运算。

解：原方程可化为x x x x x x x 212112122=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-所以121222+-=++x x x x 即1122+-=++x x x x所以002==x x ，经检验，知x=0是原方程的根。

3. 拆项相消例3 解方程 1011009900199165123112222=+++++++++++x x x x x x x x 分析：表面不易发现题目特点，但将各分母因式分解后，便发现各分式同时都具有AB A B -的形式。

因此，可用BA AB A B 11-=-将每个分式都拆成两个分式差的形式，这样除首末两项外，中间的项从左往右依次抵消。

解：将原方程变形，得101100)100)(99(1)3)(2(1)2)(1(1)1(1=+++++++++++x x x x x x x x 拆项得⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-100199131212111111x x x x x x x x 101100= 化简得10110010011=+-x x 即01011002=-+x x 解得101121-==x x ，经检验，知11=x 和1012-=x 都是原方程的解。

某些特殊分式方程的解法

某些特殊分式方程的解法
特殊分式方程是指含有特殊分式的方程，它们比一般方程更复杂，解决这些方程需要一定的技巧和方法。

一般来说，求解特殊分式方程
的步骤如下：
1. 首先，需要将特殊分式化为普通分式，即消去特殊分式里的分
子和分母中的其他项，只保留分子或分母之间的关系。

2. 然后，将每个特殊分式的分子和分母的系数和常数合并在一起，使分式变得更加简单，便于进行操作。

3. 再把简化后的特殊分式方程化为二次、三次或者多项式的形式，这时就可以使用一般的方法来求解了。

4. 最后根据所给出的条件，对方程的解进行检验，确定求出的解
是否满足条件。

特殊分式方程求解有很多种方法，其中一种常用的方法是用立分
数代换法。

简单来说，就是将分式部分抽出来，单独求值，然后将答
案代入到原方程中求解。

例如：解方程x^2+√x-1/ √x+2=2
步骤：
1.首先将分式部分抽出来，并化简：-1/√x+2 = -(√x+2)^(-1)
2.用立分数代换法，把立分数部分单独求值： -(√x+2)^(-1)=[-(√x+2)]^(-1)=-1/(√x+2)
3.把答案代入原方程求解：x^2+√x+(-1/(√x+2))=2
4.得到新的方程：x^2+√x-1=2(√x+2)
5.然后移项，得到x^2-2(√x+2)+1=0
6.根据二次方程求解法，设ax^2+bx+c=0 则x=(-b±√(b^2-
4ac))/2a
7.根据此公式求出x的值：
x=(-2±√((2)^2-(4)(1)(-1)))/2(1)=1 或 -3
8.最后根据所给条件检验求出的答案，发现x=1满足条件，因此答案为x=1。

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因此，一个重要的新发现就成了一件论争中处于不败之地的有力武器。最后直到其临终前，大约1510年左右，他才将自己的这一“杀手锏” 传给两个人：他的女婿和他的一个学生。他那不学无术的女婿不久就将此抛之脑后了，这样他的学生菲奥尔以这一“杀手锏”唯一传人的角色在我们的故事中作为第二个人物露面了.菲奥尔本人的数学才能并不突出，但他却因独得费罗秘技而以之炫耀于世。只不过他“独此一家，别无分店” 的招牌却没有挂太长的时间，一个厉害的挑战者塔尔塔利亚(Niccolo Tartaglia of Brescia, 14991557) 出现在他的面前。
程 f ( x) 0 的各根的 k 倍. （k为非零常数）推论（负根变换）把n次方程
f ( x) an xn an1xn1
an x n an 1 x n 1
a1x a0 0
n
的各个根都改变符号，对应的方程是
a1 x 1 a0 0 .
3. 倒根变换定理9 如果方程 f ( x) 0的各根都不为零, 则方程
例3 解三次方程解：利用三次方程求根公式可得三个根为： 6 2 , 2 2 , 2 6 .
x3 12x 8 2 0 .
q 8 2 ，详解： p 12 ，
p p 32 64 32 0 2 3
2 3
这种情形适宜用三角方法求解．
1. 差根变换定理7 方程 f ( x h) 0 的各根，分别等于 f ( x) 0 的各根减去h. (差根变换定理）
例1 求一方程，使它的各根比已知方程 4 3 2 f ( x) x 2 x 2x 2 0 的各根少2.
2. 倍根变换
定理8 方程
y f 0 的各根，分别等于方 k
p 应满足 uv 3 4
u1 2 cos i sin 12 12
3 3 u2 2 cos i sin 4 4
17 2 cos 17 i sin 17 17 u3 2 cos i sin 12 12 12 12
1 f 0的各根分别等于 y
f ( x) 0 的各根
之和.(倒根变换定理）推论如果n次方程 g ( x) 0 的各根分别是 n次方程 n n1
f ( x) an x an1x a1x a0 0
的各根的倒数，则
g ( x) a0 xn a1xn1 an1x an 0 .
例2 设 , , . 试求以
f ( x) x3 3x2 6x 2 0 的三个根为
x1 , x2 , x3 2 2 2
为根的三次方程. （注意利用根与系数的关系）解法一：解法二：（注意到三个根的结构相同）答案：54 x3 27 x2 2 0
二、一元三次方程实系数一元三次方程的一般形式 ① ax3 bx2 cx d 0 , (a 0)
即
b 2 c d x x x 0. a a a
3
运用差根变换，各根减去
，可得缺二次项的三次方程（未知元仍用x表示）： 3 ② x px q 0 其中 3ac b 2 2b3 9abc 27a 2 d p ,q . 2 3 3a 27a
b 3a
为此，只要讨论方程②的解法就可以了. ② x3 px q 0
据说，16世纪发现一元三次方程解法的数学家，是将方程②和恒等式
u v
3
3uv u v u v ,
3 3
③
3 3 v u (其中把u-v看成x，把3uv看成p，把看成q)联系在一起悟出了如下解法：令②和③的对应系数相等，即得 p 3 3 uv 且 u v q . 3
满足 uv 4 的对应 v 的值是：
v1 2 cos i sin 12 12
3 3 v2 2 cos i sin 4 4
7 7 v3 2 cos i sin 12 12
原方程的三个根是：
即得方程组
3 3 p3 u v 27 u 3 v3 q
，解这个方程组得： ④ ⑤ ⑥
2 3 q q p u 3 2 2 3 2 3 3 q q p v 2 2 3
uv
p 3
设 u1是④的任意一个解，则 u 的另外两 2 u u u u 解为： 2 1 ，3 1 其中是1的三次单位根，即 1 3i

2
p v1 , 由⑥得： 3u1
v2 v1 2 , v3 v1 .
3 x 因此， px q 0
的三个根是
1494年，意大利数学家卢卡.帕西奥利（1445-1409）对三次方程进行过艰辛的探索后作出极其悲观的结论。他认为在当时的数学中，求解三次方程，犹如化圆为方问题一样，是根本不可能的。这种对以前失败的悲叹声，却成为16世纪意大利数学家迎接挑战的号角。以此为序曲引出了我们要讲述的关于三次方程求解的故事。即 16世纪意大利代数学家和它们求解三次方程的故事。
塔尔塔利亚为这次胜利所激励，更加热心于研究一般三次方程的解法。到1541 年，终于完全解决了三次方程的求解问题。或许是出于与费罗同样的考虑，或许是想在进一步酝酿后写一本关于三次方程解法的书的缘故，塔尔塔利亚没有将自己的成果很快发表。于是，风波骤起，本应进入尾声的故事，由于又一个重要人物的出场而被引入了一个完全不同的方向。
3
解，可得
b x1 x2 x3 a c x1 x2 x2 x3 x3 x1 a d x1 x2 x3 a
附录一：一元三次方程求解的历史故事人类很早就掌握了一元二次方程的解法，（在中学数学中初一和初二就会学习到有关内容）但是对一元三次方程的研究，则是进展缓慢。古代中国、希腊和印度等地的数学家，都曾努力研究过一元三次方程，但是他们所发明的几种解法，都仅仅能够解决特殊形式的三次方程，对一般形式的三次方程就不适用了。
q q p u 4 2 4 2i 8 cos i sin 2 4 4 2 3
3 2 3
3 3 v 4 2 4 2i 8 cos i sin 4 4
3
其中 u 和 v
q p 0 , 2 3
u 3 v3 0
2 2 3
(1) 如果
3 3 v u 则和都
是实数，且 . 此时方程②有一个实根和两个共轭虚数根.
(2) 如果
q p 0 , 2 3
3
此时方程②有
三个实根且其中两个相等.
这是我们故事中出场的第三个人物，其原名丰塔纳。1512年，在一次战乱中他被一法国兵用刀砍伤脸部，头部口舌多处受伤，其后虽侥幸活命，却留下了口吃的后遗症。于是就得了“塔尔塔利亚”的绰号，意大利语就是“口吃者”的意思。那时他还只有13岁。
然而这并没有妨碍这位有才能的顽强的少年主要通过自学的方式在数学上达到极高的成 3 2 x mx n 就。1534年他宣称自己得到了形如这类没有一次项的三次方程的解的方法。不久，菲奥尔就听到了挑战者的叫板声，于是我们故事中的两位人物开始碰面了。二人相约在米兰进行公开比赛。双方各出三十个三次方程的问题，约定谁解出的题目多就获胜。塔尔塔利亚在1535年2月13日，在参加比赛前夕经过多日的苦思冥想后终于找到了多种类型三次方程的解法。
§4.2 几种特殊类型的方程的解法
本节将研究方程的几种重要的变换，一元三次方程、倒数方程、二项方程和三项方程、含有参数的方程的解法
一、方程的变换
常用的方程变换有三种：差根变换、倍根变换、和倒根变换. 下面讨论的对象是一般形式的一元 n 次方程
f ( x) an xn an1xn1 a1x a0 0 , (an 0 , n N )
这位半路杀出来的 “程咬金”叫卡尔达诺 (卡当)(Girolamo Cardano, 1501 -1576)，一位或许是数学史中最奇特的人物。他的本行是医生，并且是一个颇受欢迎的医生。但其才能并没有局限于此，他在各种知识领域里显示出自己的天赋。除了是一个极好的医生外，他还是哲学家和数学家，同时是一个占星术家，并在这些知识领域里都获得了重要成果。
3
q q p q q p 3 x1 u1 v1 2 2 3 2 2 3
3
2
2
3
q p 23 q q q p x2 u2 v2 3 2 2 3 2 2 3
于是在比赛中，他只用了两个小时的时间就轻而易举地解出了对方的所有题目，而对方对他的题目却一题都做不出来。这样他以30:0的战绩大获全胜。作为酬报，倒霉的菲奥尔应以丰盛的酒宴款待塔尔塔利亚30次；但是塔尔塔利亚却以一种宽宏的姿态免却了这此约定。与受到的羞辱相比，省下的钱财对于菲奥尔来说是在是微不足道。这次辉煌的胜利为塔尔塔利亚带来了轰动一时的荣誉，同时也意味着菲奥尔可以在我们的故事中以不体面的方式先行退场了。
(3) 如果
q p 0 , 则 2 3
2
3
3 和 v u
3
是共轭虚数.这是可用三角方法求出②的三个相异实根，但在这种情形下，无法用在根号下仅出现实数的根式形式来表示．这一惊异的现象在16世纪就已经发现，并被当时的数学家称为三次方程的不可约形式.