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平行线分线段成比例定理根底练习第二课时：《平行线分线段成比例》练习1．判断题〔1〕三条平行线截两条直线，所得的线段成比例〔〕〔2〕一条直线交△ABC的边AB于点D，交AC边于点E，如果 AB＝9，BD＝5，AC＝3.5，AE＝2，那么DE∥BC．〔〕〔3〕如图1，l//lAC图1 1//l23，那么BD CEDF AEBF〔〕〔4〕如图2，在△ABC中，DE∥BC，那么ADDB AEEC DEBC〔〕 2．选择题〔1〕如图3，在△ABC中，DE∥BC交AB于D，交AC于E，以下图2不能成立的比例式一定是〔〕 A．ADDB AEEC B．ABAD ACACAE C．AB ECDB D．ADDB DEBC〔2〕如图4，E是□ABCD的边CD上一点，CE 13CD，AD＝12，那么CF的长为〔〕A．4 B．6 C．3 D．12〔3〕如图5，□ABCD，E在CD延长线上，AB＝10，DE＝5，EF＝6，那么BF的长为〔〕A．3 B．6 C．12 D．16〔4〕如图6，在ABC中，AB=3AD, DE//BC, EF//AB, 假设AB=9, DE=2, 那么线段FC的长度是〔〕 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3图3 图4 图5 B C F 图6 〔5〕如图3，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB、AC相交于点D、E，假设AD=4，DB=2，那么AE︰EC的值为〔〕〔A〕0.5 〔B〕2 〔C〕23E3 〔D〕23．填空题C〔1〕如图8，图7l // 那么 AD＝________， AB ＝ ________； 1l2〔2〕如图9，lDEAC 1//l2//l3，AM＝2，MB＝3，CD＝4.5，那么ND＝________，CN＝________；〔3〕如图10，D、E分别为AB 的三等分点，DF∥EG∥BC，假设BC＝12，那么DF＝___ ___，EG＝________；〔4〕如图11，△ABC中，DE∥BC，假设AE∶EC＝2∶3，DB-AD＝3，那么AD ＝________，DB＝________；图 8图9 图10 图11 4．如图，△ABC中AB=AC，AD⊥BC，M是AD的中点，CM交AB于P， DN∥CP交AB于N，假设AB=6cm，求AP的值.5、如图：P是四边形OACB对角线的任意一点，且PM∥CB，PN∥CA，求证：OA：AN=OB：MB6、如图，△ABC中，AF∶FD＝1∶5，BD＝DC，求：AE∶EC．1。
平行线分线段成比例经典例题与变式练习(精选题目)平行线分线段成比例平行线分线段成比例定理及其推论1. 平行线分线段成比例定理如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB ACDE DF=. l 3l 2l 1FE D CB A2. 平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则AD AE DEAB AC BC==ABCDEEDC B A3. 平行的判定定理：如上图，如果有BCDEAC AE AB AD ==，那么DE ∥ BC 。
专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用【例1】 如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长。
EDCBA【例2】 如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：111c a b=+.FE DCBA【巩固】如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F .证明：111AB CD EF+=. FEDCBA【巩固】如图，找出ABD S ∆、BED S ∆、BCD S ∆之间的关系，并证明你的结论.FE DCBA【例3】 如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥， 129AB CD ==，，过对角线交点O 作EF CD ∥交AD BC ，于E F ，，求EF 的长。
OFED CBA【巩固】（上海市数学竞赛题）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD a BC b E F ==，，，分别是AD BC ，的中点，AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，求PQ 的长。
QPFED CBA专题二、定理及推论与中点有关的问题 【例4】 （2012年北师大附中期末试题）（1）如图（1），在ABC ∆中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且14AE AB =，连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则BCCD=_______. （2）如图（2），已知ABC ∆中，:1:3AE EB =，:2:1BD DC =，AD 与CE 相交于F ，则EF AFFC FD+ 的值为（ ） A.52 B.1 C.32D.2 (1)MEDC BA(2)F ED CBA【例5】 （2011年河北省中考试题）如图，在ABC ∆中，D 为BC 边的中点，E 为 AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O .（1）当1A 2AE C =时，求AOAD的值；（2）当11A 34AE C =、时，求AOAD 的值； （3）试猜想1A 1AE C n =+时AOAD 的值，并证明你的猜想.E D CAO【例6】 （2013年湖北恩施中考题）如图，AD 是ABC ∆的中线，点E 在AD 上，F 是BE 延长线与AC 的交点.（1）如果E 是AD 的中点，求证：12AF FC =； （2）由（1）知，当E 是AD 中点时，12AF AEFC ED=⋅成立，若E 是AD 上任意一点（E 与A 、D 不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由.F E DCBA【巩固】（天津市竞赛题）如图，已知ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上的一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F 。
平行线分线段成比率知识梳理平行线分线段成比率定理及其推论1.平行线分线段成比率定理以以下列图，若是 l 1∥ l2∥ l3，则BCEF，AB DE，AB AC .AC DF AC DFDE DFA Dl 1B El 2C Fl 32.平行线分线段成比率定理的推论：如图，在三角形中，若是DE∥ BC ，则ADAE DE AB AC BCAE DD E AB C B C3. 平行的判判断理：如上图，若是有ADAEDE，那么 DE∥ BC。
AB AC BC专题解说专题一、平行线分线段成比率定理及其推论基本应用【例 1】如图，DE∥BC，且DB AE ,若AB5，AC 10 ，求AE的长。
ADEBC【例 2】如图，已知AB / / EF / /CD，若AB a ， CD b ， EF c ，求证：11 1.CAE BFD【坚固】 如图， AB BD ，CDBD ，垂足分别为 B 、D ，AC 和BD 订交于点 E ， EFBD ，垂足为 F .证明：11 1 .ABCDEFCAEBFD【坚固】 如图，找出 S ABD 、 S BED 、 S BCD 之间的关系，并证明你的结论 .CAE BFD【例 3】如图，在梯形 ABCD 中， AB ∥ CD ， AB12 ，CD 9 ，过对角线交点 O 作EF ∥CD 交 AD ，BC 于E ，F ，求 EF 的长。
D CEFOA B【坚固】（上海市数学竞赛题）如图，在梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ， AD a ，BC b ，E ，F 分别是 AD ，BC 的中点， AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，求 PQ 的长。
EADPQBCF专题二、定理及推论与中点相关的问题【例 4】（ 2012 年北师大附中期末试题）（1）如图（ 1），在 ABC 中， M 是 AC 的中点， E 是 AB 上一点，且 AE 1AB ，4连结 EM 并延伸，交 BC 的延伸线于 D ，则BC_______.CD2:1 ，AD 与CE 订交于 F ，则EFAF （2）如图（ 2），已知 ABC 中， AE : EB 1:3 ， BD : DCFCFD的值为（）5C.3A.22AAEEMFBCD BD C(2)(1)【例 5】（ 2011 年河北省中考试题）如图，在 ABC 中， D 为 BC 边的中点， E 为AC 边上的随意一点， BE 交 AD 于点 O .A（1）当AE1时，求AO的值；A C 2ADE（2）当AE 1 1AO时，求的值；OA C、AD3 4（3）试猜想AE1 时AO的值，并证明你的猜想 .A C n 1ADB D C【例 6】（ 2013 年湖北恩施中考题）如图， AD 是 ABC 的中线，点 E 在 AD 上， F 是 BE 延伸线与 AC 的交点 .（1）若是 E 是 AD 的中点，求证：AF1 ；FC2（2）由（1）知，当 E 是 AD 中点时，AF1AE建立，若 E 是 AD 上随意一点（ E 与 A 、D精选文库不重合），上述结论可否仍旧建立，若建立请写出证明，若不建立，请说明原因.AFEB D C【坚固】（天津市竞赛题）如图，已知ABC 中，AD是BC边上的中线，E是AD上的一点，且BE AC，延伸BE交AC于F。
平行线分线段成比例定理【知识要点】本节的主要内容是平行线分线段成比例定理与三角形一边的平行线的性质和判定.1.平行线分线段成比例定理及其推论定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边或（两边的延长线），所得的对应线段成比例。
注意：（1）平行线截得的线段注意三类对应关系：全下全下全上全上下上下上===,, （均为同一直线上两线段之比） （2）根据比例的性质：l 1∥l 2∥l 3DFACEF BC DE AB ==⇒， 此为两直线上对应线段之比，即左比右等左比右。
2．截三角形两边或其延长线的直线平行于第三边的判定如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角 形的第三边。
如图：∵DE ∥BC∴ECACBD AB EC AE DB AD AC AE AB AD ===,,A B CDE F l 1 l 2 l 3ACBDAE3．平行于三角形一边，并且和两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。
4．平行线的判定：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对 应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
∵EC AE DB AD = ∵AC AE AB AD = ∵ECACBD AD =∴DE ∥BC ∴DE ∥BC ∴DE ∥BC典型例题例1、如图，在△ABC 中，AD 是中线，EF∥BC 分别交AB 、AD 于E 、F 、P ，求证：PE ＝PF.C例2.如图，四边形BDFE是菱形，DC＝BD，且DC＝4，求AE.例3.如图，□ABCD中，AE交BC延长线于E交CD于F，BC∶CE＝3∶2，求CF∶FD.例3 如图，已知AD为△ABC中∠BAC的平分线，求证：＝.例4 已知，如图，D 为BC 三等分点，且DC<BD ，EF=DF 时，求AFAB的值.平行线分线段成比例定理练习1．在△ABC 中，DE ∥BC 交AB 于D ，交AC 于E ，DE ：BC=2：3，则AD ：BD=__________。
平行线分线段成比例定理一、主要知识点1．平行线分线段成比例定理,三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.2．三角形一边平行线的性质定理（即平行线分线段成比例定理的推论）:平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.3．三角形一边的平行线的判定定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.4．三角形一边的平行线的性质定理2（即课本例6）:平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线)相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。
二、重点剖析1．平行线分线段成比例定理，是研究相似的最重和最基本的理论，同时，它也是直接证明线段成比EFBC=, 可以说成“上比下等于上比下"DEAB=, 可以说成“上比全等于上比全"又∵43=EC AE ∴ 73=AC AE ∴73=DC EG极 EG=3X , DC=7X （X>0），则∵32=DC BD ∴ DB=x x DC 31473232=⨯= ∴9143314==x xEG BD10例3求证分析 BC//FE 证明:∵则例4 分别连结E ，DB 分析:首先观察证明：∵点评 （1（3 例5 求证分析 例6 分析在△②—①得-AB AD BF BC 例7 如图11,AD BF ⊥AD 的延长线于交BC 的延长线于M 求证：AE=EM分析 要证AE=EM,可延长BF 交AC 证明：延长BF 交AC ∴△ABF ≌△ANF8． 图,GB AF l l 52,//21=,BC=4CD ， 91011AE 1213① 求证ME=NF② 当EF 向上平移 图（2)各个位置其他条件不变时， ①的结论是否成立，请证明你的判断。
［练习与测试参考解答或提示]1．215;2．18cm ； 3．52,35； 4．9:4; 5．9； 6．10,18； 7．9：1； 8．2； 9．6 10．提示,过D 作DH//AC 交BG 于H 点，则DH AEGD AG =，DHEC BD BC =，又AE=EC ，BD=AB,即可得结论。
平行线分线段成比例知识梳理平行线分线段成比例定理及其推论1.平行线分线段成比例定理如下图，如果h // I2 // I3，则BCACABDEACDF2.平行线分线段成比例定理的推论:3.平行的判定定理:AB DEAC12DF，EFDF如图，在三角形中，如果ADDE // BC，贝U --ABAEACDEBC 如上图，如果有ADABAEACDEBC，那么DE // BC专题讲解专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用【例1】如图，DE // BC，且DB AE,若AB 5, AC 10，求AE的长。
【例2】如图，已知AB//EF//CD，若AB a , CD b , EF c ,求证：111. cab 【巩固】如图，AB BD，CD BD，垂足分别为B、D，AC和【巩固】如图，找出S ABD、S BED、S BCD之间的关系，并证明你的结论BD相交于点E，EF BD，垂足为F .证明:1 1AB CD1EFA连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ， 则CC （2）如图（2），已知 ABC 中，AE:EB 1:3，BD :DC 2:1，AD 与CE 相交于F ，则EF FCAF FD的值为（）A.|B.1C.【例5】（2001年河北省中考试题）如图，在 AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O .【例3】如图，在梯形ABCD 中，AB // CD , AB 12 , CD 9，过对角线交点0作EF // CD 交 AD , BC 于 E , F ，求 EF 的长。
【巩固】（上海市数学竞赛题）如图，在梯形 ABCD 中，AD // BC ，AD a ，BC b ，E ，F 分别 是AD ，BC 的中点，AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，求PQ 的长。
专题二、定理及推论与中点有关的问题 【例4】（2007年北师大附中期末试题）1（1）如图（1），在 ABC 中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且AE - AB ，43 2D.2A(1)当AE-时，求AO的值；AC2AD(2)当AE 1 1 口」、—求A0的值；AC 3 4AD(3)试猜想AE 1AC n 1时A0的值，并证明你的猜想AD【例6】（2003年湖北恩施中考题）如图，AD是ABC的中线，点E在AD上，F 是BE延长线与AC的交点.（1）如果E是AD的中点，求证：圧 -；FC 2（2）由（1）知，当E是AD中点时，圧-成立，若E是AD上任意一点（E与A、DFC 2 ED不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由.【巩固】（天津市竞赛题）如图，已知ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD 上的一点，且BE AC，延长BE交AC于F。
27.2.1 相似三角形的判定第1课时 平行线分线段成比例一. 填空题：1. 如图，梯形ABCD ，AD//BC ，延长两腰交于点E ，若AD BC AB ===264，，，则EDECDEDC==，第1题图 第2题图 第3题图 第4题图2. 如图，∆ABC 中，EF//BC ，AD 交EF 于G ，已知EG GF BD ===235，，，则DC =.3. 如图，梯形ABCD 中，DC AB DC AB //.，，==235，且MN//PQ//AB ，DM MP PA ==，则MN ＝________，PQ ＝________4. 如图，菱形ADEF ，AB AC BC ===756，，，则BE ＝________5. 如图，EA FC EB FD ////，，则AB 与CD 的位置关系是________第5题图 第6题图 6. 如图，D 是BC 的中点，M 是AD 的中点，BM 的延长线交AC 于N ，则AN:NC ＝________。
二. 选择题1. 如图，H 为平行四边形ABCD 中AD 边上一点，且AH DH =12，AC 和BH 交于点K ，则AK:KC 等于（ ） A. 1:2 B. 1:1C. 1:3D. 2:3A H DKB CAB C D EANOB MCD E第1题图 第2题图 第3题图2. 如图，∆ABC 中，D 在AB 上，E 在AC 上，下列条件中，能判定DE//BC 的是（ ） A. AD AC AE AB ⋅=⋅ B. AD AE EC DB ⋅=⋅ C. AD AB AE AC ⋅=⋅ D. BD AC AE AB ⋅=⋅3. 如图，∆ABC 中，DE//BC ，BE 与CD 交于点O ，AO 与DE 、BC 交于N 、M ，则下列式子中错误的是（ ） A.DN BM ADAB=B.AD AB DE BC = C. DO OC DEBC=D.AE EC AOOM=4. 如图，l l l l 1234////，与l 5交于点P ，PA aAB b BC c ===，，，PD d =，DE e =，EF f =，则bf =（ ）A. abB. bdC. aeD. ceAD E OB C第4题图 第5题图5. 如图，∆ABC 中，AD DB AE EC ==12，则OE OB :=（ ） A.12B. 13C. 14D. 15三. 计算题：1. 如图，已知菱形BEDF 内接于∆ABC ，点E 、D 、F 分别在AB 、AC 和BC 上，若AB BC ==1512，，求菱形边长。
