2017年春季学期苏教版高中数学必修4教案：3.2.1 二倍角的正弦、余弦、正切(1)

《二倍角的正弦、余弦、正切公式》教学设计高一A 组 韩慧芳年级：高一 科目：数学 内容：二倍角的正弦、余弦、正切公式 课型：新课一、教学目标1、知识目标：（1）在理解两角和的正弦、余弦和正切公式的基础上，能够推导二倍角的正弦、余弦和正切公式，并能运用这些公式解决简单的三角函数问题.(2）通过公式的应用（正用、逆用、变形用）,使学生掌握有关化简技巧，提高分析、解决问题的能力。

2、能力目标:通过二倍角公式的推导，了解知识之间的内在联系，完善知识结构，培养逻辑推理能力。

3、情感目标：通过二倍角公式的推导，感受二倍角公式是和角公式的特例，进一步体会从一般化归为特殊的基本数学思想。

在运用二倍角公式的过程中体会换元的数学思想。

二、教学重难点、关键1、教学重点:以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角的正弦、余弦和正切公式2、教学难点：二倍角的理解及其正用、逆用、变形用.3、关键：二倍角的理解三、学法指导学法：研讨式教学四、教学设想：1、问题情境复习回顾两角和的正弦、余弦、正切公式()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-;()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-. 思考：在这些和角公式中，如果令βα=，会有怎样的结果呢？2、建构数学公式推导：()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=;()22cos2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-；思考：把上述关于cos2α的式子能否变成只含有sin α或cos α的式子呢？22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-;22222cos 2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-．以上这些公式都叫做倍角公式，从形式上看,倍角公式给出了αα与2的三角函数之间的关系。

3.2.4 二倍角的正弦、余弦、正切（4）一、课题：二倍角的正弦、余弦、正切（4）二、教学目标：1.继续研究二倍角公式的应用；2.利用三角函数的性质建立目标函数解题。

三、教学重、难点：综合运用二倍角公式。

四、教学过程：（一）复习：1．二倍角公式sin 22sin cos ααα=22cos2cos sin ααα=-222cos 112sin αα=-=-22tan tan 21tan ααα=- 2．降幂公式：2221cos 21cos 21cos 2sin ,cos ,tan 221cos 2ααααααα-+-===+ ． （二）新课讲解：例1：已知223sin 2sin 1αβ+=，3sin 22sin 20αβ-=，且α，β为锐角，试求2αβ+的值。

解：∵223sin 2sin 1αβ+=， ∴23sin cos2αβ= ① 又∵3sin 22sin 20αβ-=， ∴3sin cos sin 2ααβ= ②①÷②，得：tan cot 2αβ=tan(2)2πβ=-， 又∵02πα<<，02πβ<< ∴02πα<<，2222πππβ-<-<， ∴22παβ=-， 从而22παβ+=．例2：已知sin θ，sin 2x ，cos θ成等差数列，sin θ，sin x ，cos θ成等比数列，求cos 2x 的值。

解：由已知条件得：2sin 2sin cos x θθ=+，2sin sin cos x θθ=，∴224sin 212sin cos 12sin x x θθ=+=+，224(1cos 2)(12sin )2cos22x x x -=--+=-+，24cos 2cos 220x x --=，解得：cos 2x =． ∵221cos212sin 12sin cos (sin cos )0x x θθθθ≥=-=-=-≥，所以，cos 2x =． 例3：求证：333sin 3cos cos3sin sin 44ααααα⋅+⋅=． 证明：左边22sin3cos cos cos3sin sin αααααα=+1cos 21cos 2sin 3cos cos3sin 22αααααα+-=+ 11(sin 3cos cos3sin )cos 2(sin 3cos cos3sin )22ααααααααα++-=11sin 4cos 2sin 222ααα=+ 3sin 44α==右边． 所以，原式成立。

高中数学学习材料唐玲出品§3.2 二倍角的三角函数 课时目标1．会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式．2．能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运用．1．倍角公式(1)S 2α：sin 2α＝________________，sin α2cos α2＝____________； (2)C 2α：cos 2α＝________________＝______________＝________________；(3)T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 2．倍角公式常用变形(1)sin 2α2sin α＝________________，sin 2α2cos α＝________________； (2)1＋sin α＝________________________________________， 1－sin α＝_________________________________________；(3)sin 2α＝________，cos 2α＝____________.(4)1－cos α＝________，1＋cos α＝________.一、填空题1.3－sin 70°2－cos 210°的值是________． 2．求值：cos 20°cos 40°cos 80°＝________.3．函数f (x )＝cos x －sin 2x －cos 2x ＋74的最大值是________． 4．已知等腰三角形底角的余弦值为23，则顶角的正弦值是________． 5．若sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)的值为________． 6．函数f (x )＝sin(2x －π4)－22sin 2x 的最小正周期是______． 7．已知tan θ2＝3，则1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝______. 8．已知sin 22α＋sin 2αcos α－cos 2α＝1，α∈(0，π2)，则α＝________. 9.在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos 2θ的值等于____．10．已知角α在第一象限且cos α＝35，则1＋2cos (2α－π4)sin (α＋π2)＝________. 二、解答题11．求证：3－4cos 2A ＋cos 4A3＋4cos 2A ＋cos 4A ＝tan 4A .12．若cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝－45，5π4<x <7π4，求sin 2x －2sin 2x1＋tan x 的值．能力提升13．求值：tan 70°·cos 10°·(3tan 20°－1)．14．已知函数y ＝3sin ωx ·cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的周期为π2. (1)求ω的值；(2)当0≤x ≤π4时，求函数的最大值、最小值及相应x 的值．1．对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是32α的二倍；α2是α4的二倍；α3是α6的二倍；α2n ＝2·α2n ＋1 (n ∈N *)． 2．二倍角余弦公式的运用 在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛，二倍角的常用形式：①1＋cos 2α＝2cos 2α，②cos 2α＝1＋cos 2α2，③1－cos 2α＝2sin 2α，④sin 2α＝1－cos 2α2. §3.2 二倍角的三角函数知识梳理1．(1)2sin αcos α 12sin α (2)cos 2α－sin 2α 2cos 2α－1 1－2sin 2α 2．(1)cos α sin α (2)⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22 ⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22 (3)1－cos 2α2 1＋cos 2α2(4)2sin 2α2 2cos 2α2作业设计1．2解析 3－sin 70°2－cos 210°＝3－sin 70°2－1＋cos 20°2＝2(3－cos 20°)3－cos 20°＝2. 2.18解析 原式＝2sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°2sin 20°＝2sin 40°·cos 40°·cos 80°4sin 20°＝2sin 80°·cos 80°8sin 20°＝sin 160°8sin 20°＝18. 3．2解析 f (x )＝cos x －(1－cos 2x )－(2cos 2x －1)＋74＝－cos 2x ＋cos x ＋74＝－⎝⎛⎭⎫cos x －122＋2. ∴当cos x ＝12时，f (x )max ＝2. 4.459解析 设α为该等腰三角形的一底角， 则cos α＝23，顶角为180°－2α. ∴sin(180°－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝21－⎝⎛⎭⎫232·23＝459. 5．－79解析 cos(2π3＋2α)＝－cos(π3－2α) ＝－cos[2(π6－α)] ＝－[1－2sin 2(π6－α)]＝2sin 2(π6－α)－1＝－79. 6．π解析 f (x )＝22sin 2x －22cos 2x －2(1－cos 2x ) ＝22sin 2x ＋22cos 2x －2＝sin(2x ＋π4)－2， ∴T ＝2π2＝π. 7．3 解析 1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝2sin 2θ2＋2sin θ2cos θ22cos 2θ2＋2sin θ2cos θ2＝2sin θ2⎝⎛⎭⎫sin θ2＋cos θ22cos θ2⎝⎛⎭⎫cos θ2＋sin θ2＝tan θ2＝3. 8.π6解析 ∵sin 22α＋sin 2αcos α－(cos 2α＋1)＝0. ∴4sin 2αcos 2α＋2sin αcos 2α－2cos 2α＝0.∵α∈(0，π2)．∴2cos 2α>0. ∴2sin 2α＋sin α－1＝0.∴sin α＝12(sin α＝－1舍)． ∴α＝π6. 9.725解析 由题意，5cos θ－5sin θ＝1，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4. ∴cos θ－sin θ＝15. 由(cos θ＋sin θ)2＋(cos θ－sin θ)2＝2.∴cos θ＋sin θ＝75. ∴cos 2θ＝cos 2 θ－sin 2 θ＝(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ)＝725. 10.145解析 ∵cos α＝35且α在第一象限，∴sin α＝45. ∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝－725， sin 2α＝2sin αcos α＝2425， 原式＝1＋2(cos 2αcos π4＋sin 2αsin π4)cos α＝1＋cos 2α＋sin 2αcos α＝145. 11．证明 ∵左边＝3－4cos 2A ＋2cos 2 2A －13＋4cos 2A ＋2cos 2 2A －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－cos 2A 1＋cos 2A 2＝⎝⎛⎭⎫2sin 2 A 2cos 2 A 2＝(tan 2 A )2 ＝tan 4 A ＝右边．∴3－4cos 2A ＋cos 4A 3＋4cos 2A ＋cos 4A＝tan 4 A . 12．解 sin 2x －2sin 2x 1＋tan x ＝2sin x (cos x －sin x )cos x cos x ＋sin x＝sin 2x (cos x －sin x )cos x ＋sin x＝sin 2x 1－tan x 1＋tan x＝sin 2x tan ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x tan ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝⎣⎡⎦⎤2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x －1tan ⎝⎛⎭⎫π4－x ， ∵5π4<x <7π4，∴－3π2<π4－x <－π. 又∵cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝－45，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，tan ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝－34. ∴原式＝⎝⎛⎭⎫2×1625－1×⎝⎛⎭⎫－34＝－21100. 13．解 原式＝sin 70°cos 70°·cos 10°⎝⎛⎭⎫3sin 20°cos 20°－1 ＝sin 70°cos 70°·cos 10°·⎝⎛⎭⎫3sin 20°－cos 20°cos 20° ＝cos 20°sin 20°·cos 10°·2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32sin 20°－12cos 20°cos 20° ＝2cos 10°·sin (－10°)sin 20°＝－sin 20°sin 20°＝－1. 14．解 (1)y ＝32sin 2ωx ＋12(1＋cos 2ωx ) ＝sin (2ωx ＋π6)＋12. ∵T ＝π2，∴ω＝2. (2)由(1)得y ＝sin(4x ＋π6)＋12. ∵0≤x ≤π4， ∴π6≤4x ＋π6≤76π. ∴－12≤sin(4x ＋π6)≤1，∴0≤y ≤32. 当sin(4x ＋π6)＝1时，y max ＝32， 此时4x ＋π6＝π2，∴x ＝π12. 当sin(4x ＋π6)＝－12时，y min ＝0， 此时4x ＋π6＝7π6，∴x ＝π4.。