2019版数学江苏(理科)大二轮复习优选习题：板块一 六大核心素养引领二轮复习

第1讲集合与常用逻辑用语[考情考向分析] 1.集合是高考必考知识点，经常以不等式解集、函数的定义域、值域为背景考查集合的运算.2.高考中考查命题的真假判断或命题的否定，考查充要条件的判断．其中充要条件是B级考点，考查较多．1．(2018·江苏)已知集合A＝{0,1,2,8}，B＝{－1,1,6,8}，那么A∩B＝________.答案{1,8}解析A∩B＝{0,1,2,8}∩{－1,1,6,8}＝{1,8}．0.5x ，x∈R}，则A∪B 2．(2018·江苏省海安高级中学模拟)设集合A＝[－1,0]，B＝{y|y＝21＝________.答案[－1,2]解析∵x2－1≥－1，∴B＝{y|0<y≤2}，∴A∪B＝[－1,2]．3．A，B，C三个学生参加了一次考试，A，B的得分均为70分，C的得分为65分．已知命题p：若及格分低于70分，则A，B，C都没有及格．则命题p的逆否命题是________________________．答案若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分解析根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题p：若及格分低于70分，则A，B，C都没有及格，p的逆否命题是：若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分．4．设命题p：∀x∈(0，＋∞)，ln x≤x－1，则綈p是________________．答案∃x∈(0，＋∞)，ln x>x－1解析 因为全称命题的否定是存在性命题，所以命题p ：∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≤x －1的否定綈p 为∃x ∈(0，＋∞)，ln x >x －1.5．已知命题p ：∃x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，x ≥sin x ，则命题p 的否定为________________． 答案 ∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，x <sin x 解析 命题p ：∃x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，x ≥sin x 的否定为 ∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，x <sin x . 6．(2018·天津)设x ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪x －12<12”是“x 3<1”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)答案 充分不必要解析 由⎪⎪⎪⎪x －12<12，得0<x <1，则0<x 3<1，即 “⎪⎪⎪⎪x －12<12”⇒“x 3<1”； 由x 3<1，得x <1，当x ≤0时，⎪⎪⎪⎪x －12≥12，即“x 3<1”⇏“⎪⎪⎪⎪x －12<12”．所以“⎪⎪⎪⎪x －12<12”是“x 3<1”的充分不必要条件． 7．若f (x )＝sin(2x ＋θ)，则“f (x )的图象关于x ＝π3对称”是“θ＝－π6”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)答案 必要不充分解析 若f (x )的图象关于x ＝π3对称，则2×π3＋θ＝π2＋k π，k ∈Z ，解得θ＝－π6＋k π，k ∈Z ，此时θ＝－π6不一定成立，反之成立，即“f (x )的图象关于x ＝π3对称”是“θ＝－π6”的必要不充分条件．8．给出下列两个命题：p 1：∃x ∈R,3sin x ＋4cos x ＝3x 2＋4；p 2：若lg a 2＋2lg b ＝0，则a＋b ≥2，那么给出下列命题：①p 1∧p 2；②p 1∨(綈p 2)；③p 1∨p 2；④(綈p 1)∧p 2.其中的真命题是________．(填序号)答案 ②解析 因为3sin x ＋4cos x ＝5sin(x ＋φ)∈[]－5，5，而3 x 2＋4≥6，所以p 1为假命题；对于p 2，由题设有a 2b 2＝1，b >0，所以ab ＝1或ab ＝－1，取a ＝－3，b ＝13，则a ＋b ＝－83<2， 所以p 2为假命题，所以p 1∨()綈p 2为真命题．9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，现有如下四个命题：①若sin2A ＝sin2B ，则△ABC 为等腰三角形；②若sin B ＝cos A ，则△ABC 不一定是直角三角形；③若sin 2A ＋sin 2B >sin 2C ，则△ABC 是钝角三角形；④若a cos A 2＝b cos B 2＝c cos C 2，则△ABC 是等边三角形． 其中正确的命题是________．(写出所有正确命题的序号)答案 ②④解析 对于命题①，若A ＋B ＝π2，则2A ＋2B ＝π， 所以2A ＝π－2B ，所以sin2A ＝sin(π－2B )＝sin2B ，故△ABC 也可能是直角三角形，所以命题①错误；对于命题②，取A ＝π6，B ＝2π3，则sin B ＝32＝cos A ， 此时△ABC 为钝角三角形，故△ABC 不一定是直角三角形，所以命题②正确；对于命题③，由于sin 2A ＋sin 2B >sin 2C ，所以a 2＋b 2>c 2，故有cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab >0， 故角C 为锐角，但并不能说明A ，B 其中一个为钝角，即△ABC 不一定是钝角三角形，所以命题③错误；对于命题④，由于a cos A 2＝b cos B 2＝c cos C 2，所以sin A cos A 2＝sin B cos B 2＝sin C cos C 2， 于是得到sin A 2＝sin B 2＝sin C 2， 由于0<A <π，所以0<A 2<π2， 同理可得0<B 2<π2，0<C 2<π2， 又函数y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上是单调递增的， 故A 2＝B 2＝C 2， 于是A ＝B ＝C ，所以△ABC 为等边三角形，所以命题④正确．故正确的命题为②④.10．已知集合A ＝{x |x >2}，集合B ＝{x |x >3}，以下命题正确的个数是________． ①∃x ∈A ，x ∉B ；②∃x ∈B ，x ∉A ；③∀x ∈A 都有x ∈B ；④∀x ∈B 都有x ∈A .答案 2解析 因为A ＝{x |x >2}，B ＝{x |x >3}，所以B ⊆A ，即B 是A 的子集，①④正确，②③错误．11．设全集U ＝R ，函数f (x )＝lg(|x ＋1|＋a －1)(a <1)的定义域为A ，集合B ＝{x |cosπx ＝1}，若(∁U A )∩B 恰好有两个元素，则a 的取值集合为__________．答案 {a |－2<a ≤0}解析 方法一 由|x ＋1|＋a －1>0，可得x >－a 或x <a －2，故∁U A ＝[a －2，－a ]．而B ＝{x |x ＝2k ，k ∈Z }，注意到[a －2，－a ]关于x ＝－1对称，所以由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧－a ≥0，－a <2，即－2<a ≤0. 方法二 由方法一得，∁U A ＝[a －2，－a ]，区间长度为－a －(a －2)＝2－2a ，B ＝{x |x ＝2k ，k ∈Z }，因为(∁U A )∩B 恰好有两个元素，所以2≤2－2a <6，所以－2<a ≤0.12．(2018·北京)能说明“若f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，则f (x )在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是________．答案 f (x )＝sin x (答案不唯一)解析 设f (x )＝sin x ，则f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数，在⎣⎡⎦⎤π2，2上是减函数．由正弦函数图象的对称性知，当x ∈(0,2]时，f (x )>f (0)＝sin0＝0，故f (x )＝sin x 满足条件f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，但f (x )在[0,2]上不一直都是增函数．13．设命题p ：|4x －3|≤1；命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是______________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪0≤a ≤12 解析 p ：|4x －3|≤1，∴p ：12≤x ≤1； q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，∴q ：a ≤x ≤a ＋1.∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴q 是p 的必要不充分条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤12，a ＋1≥1(等号不能同时成立)，∴0≤a ≤12. 14．设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a ，b ∈P ，都有a ＋b ，a －b ，ab ，a b∈P (除数b ≠0)，则称P 是一个数域，例如有理数集Q 是数域，有下列命题：①数域必含有0,1两个数；②整数集是数域；③若有理数集Q ⊆M ，则数集M 必为数域；④数域必为无限集．其中正确的命题的序号是________．答案 ①④解析 当a ＝b 时，a －b ＝0，a b ＝1∈P ，故可知①正确；当a ＝1，b ＝2，12∉Z ，不满足条件，故可知②不正确；对③，当M 中多一个元素i(i 为虚数单位)，则会出现1＋i ∉M ，所以它也不是一个数域，故可知③不正确；根据数域的性质易得数域有无限多个元素，必为无限集，故可知④正确．。

一、数学抽象、直观想象素养1 数学抽象例1 (1)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a ，b ，c 是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为________分钟．答案154解析 根据图表，把(t ，p )的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式， 联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧0.7＝9a ＋3b ＋c ，0.8＝16a ＋4b ＋c ，0.5＝25a ＋5b ＋c ，消去c 化简得⎩⎪⎨⎪⎧7a ＋b ＝0.1，9a ＋b ＝－0.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2.0.所以p ＝－0.2t 2＋1.5t －2.0＝－15⎝⎛⎭⎫t 2－152t ＋22516＋4516－2＝－15⎝⎛⎭⎫t －1542＋1316，所以当t ＝154时， p 取得最大值，即最佳加工时间为154分钟．(2)某楼梯共有11级，每步可走一级或二级，走完这11级楼梯共有多少种不同的走法？ 解 楼梯共有11级，数值比较大，可以先考虑简单情形．楼梯共有：1级、2级、3级、4级、5级、…，从特殊的情境里发现规律.从上面的走法种数1,2,3,5,8，…可以发现： 前两个走法种数之和是下一个走法种数．于是，容易推算出：走完这11级楼梯，共有144种不同的走法．1．甲、乙两船，甲船在海岛B 的正南方向A 处，AB ＝10海里，向正北方向以4海里/时的速度航行，同时乙船以6 海里/时的速度从岛B 出发，向北偏西60°的方向驶去，则________分钟后两船之间的距离最近．(精确到1分钟) 答案 21解析 设t 小时后两船之间的距离为s 海里，如图所示．则BC ＝6t ，AD ＝4t ，BD ＝10－4t ， 在△BCD 中，由余弦定理得s 2＝CD 2＝(6t )2＋(10－4t )2－2×6t ×(10－4t )×cos120°＝28t 2－20t ＋100， 所以当t ＝514时，s 最小，即两船最近．所以514×60＝1507≈21(分钟)后两船之间的距离最近．2．某公司一年需购买某种货物200吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为2万元，一年的总存储费用数值(单位：万元)恰好为每次的购买吨数数值，要使一年的总费用与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物________吨． 答案 20解析 设每次购买该种货物x 吨，则需要购买200x 次，则一年的总运费为200x ×2＝400x 万元，一年的总存储费用为x 万元，所以一年的总运费与总存储费用之和为400x＋x ≥2400x·x ＝40，当且仅当400x ＝x ，即x ＝20时等号成立，故要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每次应购买该种货物20吨．素养2 直观想象例2 (1)如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100m ，则山高MN ＝________m.答案 150解析 根据题干图示，AC ＝1002m. 在△MAC 中，∠CMA ＝180°－75°－60°＝45°. 由正弦定理得AC sin45°＝AM sin60°，解得AM ＝1003m.在Rt △AMN 中，MNAM ＝sin60°，∴MN ＝1003×32＝150(m)． (2)(2018·全国Ⅰ改编)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为________． 答案334解析 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，平面AB 1D 1与棱A 1A ，A 1B 1，A 1D 1所成的角都相等，又正方体的其余棱都分别与A 1A ，A 1B 1，A 1D 1平行，故正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的每条棱所在直线与平面AB 1D 1所成的角都相等．取棱AB ，BB 1，B 1C 1，C 1D 1，DD 1，AD 的中点E ，F ，G ，H ，M ，N ，则正六边形EFGHMN 所在平面与平面AB 1D 1平行且面积最大，此截面面积为S 正六边形EFGHMN ＝6×12×22×22sin60°＝334.3.如图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为4，点H 在棱AA 1上，且HA 1＝1.点E ，F 分别为棱B 1C 1，C 1C 的中点，P 是侧面BCC 1B 1内一动点，且满足PE ⊥PF .则当点P 运动时，HP 2的最小值是________．答案 27－6 2 解析 连结EF ，因为PE ⊥PF ，所以点P 在以EF 为直径的圆上． 如图，以EF 为直径在平面BCC 1B 1内作圆． 该圆的圆心为EF 的中点M ， 半径r ＝ 2.过点H 引BB 1的垂线，垂足为G ，连结GP ，则HG ＝4. 在Rt △HGP 中，HP 2＝HG 2＋GP 2＝16＋GP 2， 因此当GP 最小时，HP 取得最小值． 因为点G 到圆心M 的距离为3， 所以GP 的最小值为3－ 2.所以HP 2的最小值为(3－2)2＋16＝27－6 2.4．定长为4的线段MN 的两端点在抛物线y 2＝x 上移动，设点P 为线段MN 的中点，则点P 到y 轴距离的最小值为________． 答案 74解析 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，抛物线y 2＝x 的焦点为F ⎝⎛⎭⎫14，0，抛物线的准线方程为x ＝－14，所求的距离d ＝⎪⎪⎪⎪x 1＋x 22＝x 1＋14＋x 2＋142－14＝MF ＋NF 2－14，所以MF ＋NF 2－14≥MN 2－14＝74(M ，N ，F 三点共线时取等号)． 经验证，M ，N ，F 三点可共线，等号可取到．二、逻辑推理、数学运算素养3 逻辑推理例3 (1)(2018·南京师大附中模拟)“a ＝1”是“函数f (x )＝x ＋1x＋sin x －a 2为奇函数”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”) 答案 充分不必要解析 当a ＝1时，f (x )＝1x ＋sin x ，此时f (x )为奇函数；又当a ＝－1时，f (x )＝1x＋sin x ，f (x )仍为奇函数．故a ＝1是函数f (x )＝x ＋1x＋sin x －a 2为奇函数的充分不必要条件．(2)已知命题：平面上一矩形ABCD 的对角线AC 与边AB 和AD 所成的角分别为α，β，则cos 2α＋cos 2β＝1.若把它推广到空间长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，对角线A 1C 与平面A 1B 1BA ，平面A 1B 1C 1D 1，平面A 1D 1DA 所成的角分别为α，β，γ，试写出相应的正确结论：________________________________________________________________________.答案 cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝2解析 cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝A 1B 2A 1C 2＋A 1C 21A 1C 2＋A 1D 2A 1C 2＝A 1C 21＋A 1D 2＋A 1B 2A 1C 2＝(A 1D 21＋D 1C 21)＋(A 1D 21＋DD 21)＋(A 1B 21＋BB 21)A 1C 2＝2(A 1D 21＋A 1B 21＋A 1A 2)A 1C 2＝2A 1C 2A 1C 2＝2.5.如图，一个类似杨辉三角的数阵，则第n (n ≥2)行的第2个数为________．答案 n 2－2n ＋3解析 观察首尾两数都是1,3,5,7，…，可知第n 行的首尾两数均为2n －1. 设第n (n ≥2)行的第2个数构成数列{a n }，则有a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝5，a 5－a 4＝7，…，a n －a n －1＝2n －3，∴上式相加，得a n －a 2＝3＋5＋7＋…＋(2n －3)＝3＋2n －32×(n －2)＝n (n －2)，∴a n ＝3＋(n －2)n ＝n 2－2n ＋3.6．刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去北京参加自主招生考试，考试结束后刘老师向四名学生了解考试情况．四名学生回答如下： 甲说：“我们四人都没考好．” 乙说：“我们四人中有人考得好．” 丙说：“乙和丁至少有一人没考好．” 丁说：“我没考好．”结果，四名学生中有两人说对了，则这四名学生中的________两人说对了． 答案 乙，丙解析 甲与乙的关系是对立事件，二人说话矛盾，必有一对一错．如果丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时乙正确，故答案为乙，丙．素养4 数学运算例4 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≤2，2＋log ax ，x >2(a >0且a ≠1)的最大值为1，则a 的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎭⎫12，1解析 当x ≤2时，f (x )＝x －1， 所以f (x )max ＝f (2)＝1.因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≤2，2＋log a x ，x >2(a >0且a ≠1)的最大值为1，所以当x >2时，2＋log a x ≤1，所以⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，log a 2≤－1，解得a ∈⎣⎡⎭⎫12，1. (2)(2018·江苏泰州中学调研)已知函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，且f (x )在区间(－∞，0)上单调递增，f (－1)＝0.设g (x )＝cos 2x ＋m sin x －2m ，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，g (x )<0，集合N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f (g (x ))<0，则M ∩N ＝________. 答案 {m |m >4－22} 解析 易得f (1)＝f (－1)＝0， 所以由f (x )<0，得x <－1或0<x <1，由此N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，g (x )<－1或0<g (x )<1， 所以M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，g (x )<－1， 即∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，g (x )＝cos 2x ＋m sin x －2m <－1恒成立， 即1－sin 2x ＋m sin x －2m ＋1<0， 所以sin 2x －m sin x ＋2m －2>0. 令t ＝sin x ∈[0,1]，则t 2－mt ＋2m －2>0对t ∈[0,1]恒成立，所以m >⎝ ⎛⎭⎪⎫2－t 22－t max . 令2－t ＝s ∈[1,2]，所以2－t 22－t ＝2－(2－s )2s ＝－s 2＋4s －2s＝4－⎝⎛⎭⎫s ＋2s ≤4－22， 所以M ∩N ＝{m |m >4－22}．7．设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，若cos β＝－13，sin(α＋β)＝79，则sin α＝________. 答案 13解析 由cos β＝－13，sin(α＋β)＝79，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，可知α＋β∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 可得sin β＝223，cos(α＋β)＝－429，所以sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)·sin β＝79×⎝⎛⎭⎫－13－⎝⎛⎭⎫－429×223＝13. 8．(2018·江苏省盐城中学模拟)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为2，F 1，F 2分别为其左、右焦点，过F 2的直线与椭圆交于A ，B 两点，直线AB 的斜率为－1.(1)若直线AB 与椭圆的右准线交于点C 且CF 1→·CF 2→＝24，求椭圆的标准方程； (2)若OA 2＋OB 2<AB 2，求a 2的取值范围． 解 (1)由题意可知，F 1(－1,0)，F 2(1,0)，由直线AB ：y ＝－(x －1)，即x ＋y －1＝0，抛物线右准线方程为x ＝a 2， 得C (a 2,1－a 2)，又CF 1→＝(－1－a 2，a 2－1)，CF 2→＝(1－a 2，a 2－1)， CF 1→·CF 2→＝24，得(a 2)2－1＋(a 2－1)2＝24，∴a 2＝4，椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∵OA 2＋OB 2<AB 2，∴cos ∠AOB ＝OA 2＋OB 2－AB 22OA ·OB <0，∴∠AOB 为钝角， ∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2<0.联立直线与椭圆方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－(x －1)，b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2，得b 2x 2＋a 2(x －1)2＝a 2b 2，其中c ＝1， 整理可得(a 2＋b 2)x 2－2a 2x ＋(a 2－a 2b 2)＝0， ∴x 1＋x 2＝2a 2a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2－a 2b 2a 2＋b 2，∴y 1y 2＝(x 1－1)(x 2－1)＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1， ∴x 1x 2＋y 1y 2＝2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1 ＝2×a 2－a 2b 2a 2＋b 2－2a 2a 2＋b 2＋1，代入c ＝1，∴x 1x 2＋y 1y 2＝4a 2－2a 4－2a 22a 2－1＋1<0，∴2a 4－4a 2＋1>0，解得a 2>2＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2<2－22<1舍去.三、数学建模、数据分析素养5 数学建模例5 (1)(2018·江苏省启东中学模拟)某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x 件(x ∈N *)与单价p 元/件之间的关系为p ＝160－2x ，生产x 件所需成本为C ＝500＋30x 元．要使日获利不少于1300元，则该厂日产量的最小值为________件． 答案 20解析 由题意，得(160－2x )·x －(500＋30x )≥1300， 解得20≤x ≤45，故该厂日产量的最小值为20件．(2)某音乐喷泉喷射的水柱呈抛物线形，它在每分钟内随时间t (s)的变化规律大致可用y ＝－⎝⎛⎭⎫1＋4sin 2t π60x 2＋20⎝⎛⎭⎫sin t π60x (t 为时间参数，x 的单位为m)来描述．其中地面可作为x 轴所在平面，泉眼为坐标原点，垂直于地面的直线为y 轴． ①试求此喷泉喷射的水在地面上形成圆形的半径的最大值；②若计划在一建筑物前维修一个矩形花坛，并在花坛内装两个这样的喷水器(如图所示)，如何设计花坛的尺寸和两个喷水器的位置，才能使花坛的面积最大且能全部喷到水？解 ①当y ＝0时，x ＝20sint π601＋4sin 2t π60＝20sin －1t π60＋4sint π60(x ＝0舍去)，因为当t ∈(0,60)时，sin t π60∈(0,1]，故sin－1t π60＋4sin t π60≥4， 从而当sin t π60＝12，即t ＝10或t ＝50时，x 取得最大值5. 所以此喷泉喷射的圆形的半径的最大值为5m. ②设花坛的长、宽分别为a m ，b m ，根据要求，可知矩形花坛应在喷水区域内，顶点应恰好位于喷水区域的边界． 由题意得⎝⎛⎭⎫a 42＋⎝⎛⎭⎫b 22＝25(a >0，b >0)，则问题转化为在a >0，b >0，a 24＋b 2＝100的条件下，求S ＝ab 的最大值．因为S ＝ab ＝2·a 2·b ≤a 24＋b 2＝100，当且仅当⎩⎨⎧ a 2＝b ，a 24＋b 2＝100及a >0，b >0，即⎩⎨⎧a ＝102，b ＝52时， S 取得最大值100.故当花坛的长为102m ，宽为52m 时，两喷水器位于矩形分成的两个正方形的中心时符合要求．9．(2018·江苏省泰州中学调研)将甲、乙两个球随机放入编号为1,2,3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在1,2号盒子中各有1个球的概率为________．答案 29解析 将两球随机放进3个盒子共有9种可能性，1,2号盒子各有1个球共2种可能性，故所求概率P ＝29. 10．(2018·南京师大附中模拟)如图，A ，B ，C 三个警亭有直道相通，已知A 在B 的正北方向6千米处，C 在B 的正东方向63千米处．(1)警员甲从C 出发，沿CA 行至点P 处，此时∠CBP ＝45°，求PB 的距离；(2)警员甲从C 出发沿CA 前往A ，警员乙从A 出发沿AB 前往B ，两人同时出发，甲的速度为3千米/时，乙的速度为6千米/时．两人通过专用对讲机保持联系，乙到达B 后原地等待，直到甲到达A 时任务结束．若对讲机的有效通话距离不超过9千米，求两人通过对讲机能保持联系的总时长．解 (1)在△ABC 中，AB ＝6，A ＝60°，∠APB ＝75°，由正弦定理知，AB sin ∠APB ＝BP sin A， 即BP ＝AB sin A sin ∠APB ＝6sin60°sin75°＝6×322＋64＝1236＋2＝123(6－2)4＝33(6－2)， 故PB 的距离是92－36千米．(2)甲从C 到A ，需要4小时，乙从A 到B 需要1小时．设甲、乙之间的距离为f (t )，要保持通话则需要f (t )≤9.①当0≤t ≤1时，f (t )＝(6t )2＋(12－3t )2－2·6t ·(12－3t )cos60°＝37t 2－16t ＋16≤9，即7t 2－16t ＋7≤0，解得8－157≤t ≤8＋157， 又t ∈[0,1]，所以8－157≤t ≤1， 时长为15－17小时． ②当1<t ≤4时，f (t )＝36＋(12－3t )2－2·6(12－3t )cos60°＝3t 2－6t ＋12≤9，即t 2－6t ＋3≤0，解得3－6≤t ≤3＋6，又t ∈(1,4]，所以1<t ≤4，时长为3小时．故两人通过对讲机能保持联系的总时长为3＋15－17＝15＋207(小时)． 答 两人通过对讲机能保持联系的总时长是15＋207小时． 素养6 数据分析例6 (1)(2018·江苏省扬州中学模拟)对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，样本容量为400，下图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25,30)的为一等品，在区间[20,25)和[30,35)的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为________．答案 100解析 根据频率分布直方图可知，三等品的件数n ＝[1－(0.05＋0.062 5＋0.037 5)×5]×400＝100.(2)某工厂生产A ，B 两种元件，其质量按测试指标划分为：大于或等于7.5为正品，小于7.5为次品．现从一批产品中随机抽取这两种元件各5件进行检测，检测结果记录如下：现知道A ，B 两种元件的检测数据的平均值相等，方差也相等，则xy ＝________. 答案 72解析 x A ＝15(7＋7＋7.5＋9＋9.5)＝8， x B ＝15(6＋x ＋8.5＋8.5＋y )， 由x A ＝x B ，得x ＋y ＝17，①s 2A ＝15(1＋1＋0.25＋1＋2.25)＝1.1， s 2B ＝15[4＋(x －8)2＋0.25＋0.25＋(y －8)2]， 由s 2A ＝s 2B ，得(x －8)2＋(y －8)2＝1，② 由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝8，y ＝9或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝8，所以xy ＝72.11．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语口语测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的平均数为17，乙组数据的中位数为17，则甲、乙两组数据的方差较小的是________．答案 乙解析 由题意可知，甲组数据的平均数为9＋12＋(10＋x )＋24＋275＝17， 解得x ＝3；而乙组数据的中位数为10＋y ＝17，解得y ＝7，所以乙组数据的平均数为9＋15＋17＋18＋265＝17. 所以甲组数据的方差为15[(9－17)2＋(12－17)2＋(13－17)2＋(24－17)2＋(27－17)2]＝50.8，乙组数据的方差为15[(9－17)2＋(15－17)2＋(17－17)2＋(18－17)2＋(26－17)2]＝30. 因为50.8>30，所以乙组数据的方差较小．12．将52名志愿者分成A ，B 两组参加义务植树活动，A 组种植150捆白杨树苗，B 组种植200捆沙棘树苗．假定A ，B 两组同时开始种植．根据历年统计，每名志愿者种植一捆白杨树苗用25h ，种植一捆沙棘树苗用12h ．应如何分配A ，B 两组的人数，使植树活动持续时间最短．解 设A 组人数为x ，则B 组人数为52－x ，且0<x <52，x ∈N *，所以A 组活动所需时间f (x )＝150×25x ＝60x； B 组活动所需时间g (x )＝200×1252－x ＝10052－x. 令f (x )＝g (x )，即60x ＝10052－x ，解得x ＝392. 所以两组同时开始的植树活动所需时间F (x )＝⎩⎨⎧ 60x ，x ≤19，x ∈N *，10052－x ，x ≥20，x ∈N *，而F (19)＝6019，F (20)＝258，故F (19)>F (20)． 所以当A ，B 两组人数分别为20,32时，植树活动持续时间最短．。

第3讲复数与算法初步[考情考向分析] 1.考查复数的基本概念(复数的实部、虚部、共轭复数、复数的模等)，复数相等的充要条件，考查复数的代数形式的四则运算，重点考查复数的除法运算，与向量结合考查复数及其加法、减法的几何意义，突出考查运算能力与数形结合思想．一般以填空题形式出现，难度为低档.2.主要考查算法的含义、流程图和基本算法语句，题型为填空题，考查求算法的执行结果和确定控制条件，难度为中低档．1．(2018·江苏)若复数z满足i·z＝1＋2i，其中i是虚数单位，则z的实部为________．答案 2解析由i·z＝1＋2i，得z＝1＋2ii＝2－i，∴z的实部为2.2．设复数z满足z(1＋i)＝2，其中i为虚数单位，则z的虚部为________．答案－1解析z(1＋i)＝2⇒z＝1－i，所以虚部为－1.3．(2018·江苏)一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为________．答案8解析I←1，S←1，此时I<6，进入下一次循环；I←3，S←2，此时I<6，进入下一次循环；I←5，S←4，此时I<6，进入下一次循环；I←7，S←8，此时I>6，不满足I<6，退出循环，输出S＝8.4．复数z＝a2－1＋(a＋1)i为纯虚数(i为虚数单位)，其中a∈R，则a－i2＋a i的实部为________．答案 15解析 根据z ＝a 2－1＋(a ＋1)i 为纯虚数，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a ＋1≠0，解得a ＝1， 则a －i2＋a i ＝1－i 2＋i ＝(1－i )(2－i )5＝2－3i ＋i 25＝15－35i ， 所以其实部是15. 5．复数z ＝1－2i 2＋i ＋21＋i(i 为虚数单位)的共轭复数是________． 答案 1＋2i解析 z ＝(1－2i )(2－i )(2＋i )(2－i )＋(1＋i )(1－i )1＋i＝－5i 5＋1－i ＝－i ＋1－i ＝1－2i ， ∴z ＝1＋2i.6．(2018·全国Ⅱ改编)为计算S ＝1－12＋13－14＋…＋199－1100，设计了如图所示的流程图，则在空白框中应填入________．答案 i ←i ＋2解析 把各循环变量在各次循环中的值用表格列举如下：。

填空题满分练(2)1.若复数z 满足1＋iz －i ＝i(i 是虚数单位)，则z ＝________.答案 1解析 由题设有z ＝1＋ii＋i ＝－i ＋1＋i ＝1.2.已知集合A ＝{2,0，－2}，B ＝{x |x 2－2x －3>0}，集合P ＝A ∩B ，则集合P 的子集个数是________. 答案 2解析 由题设有B ＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)， 故P ＝A ∩B ＝{－2}， 所以P 的子集的个数为2.3.已知cos α＝17，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝________. 答案1314解析 ∵cos α＝17，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫172＝437，∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝cos αcos π3＋sin αsin π3＝17×12＋437×32＝1314. 4.(2018·江苏省高考冲刺预测卷)已知某高级中学高一、高二、高三学生人数分别为880,860,820，现用分层抽样的方法从该校抽调128人，则在高二年级中抽调的人数为________. 答案 43解析 由题意可知，在高二年级中抽调的人数为128×860880＋860＋820＝43.5.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1,1,2,3,5,8,13，….该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”，则(a 1a 3－a 22)(a 2a 4－a 23)(a 3a 5－a 24)…(a 2015a 2017－a 22016)＝________.答案 －1解析 根据斐波那契数列可知，a 1a 3－a 22＝1，a 2a 4－a 23＝－1，a 3a 5－a 24＝1，a 4a 6－a 25＝－1，…，所以根据计算的规律可得，当n 为偶数时，a n a n ＋2－a 2n ＋1＝－1，当n 为奇数时，a n a n ＋2－a 2n ＋1＝1，所以(a 1a 3－a 22)(a 2a 4－a 23)(a 3a 5－a 24)…(a 2 015a 2 017－a 22 016)＝－1.6.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是________.(填序号)①函数f (x )的最小正周期为π2；②直线x ＝－π12是函数f (x )图象的一条对称轴；③函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－5π12，π6上单调递增； ④将函数f (x )的图象向左平移π3个单位长度，得到函数g (x )的图象，则g (x )＝2sin2x .答案 ④解析 A ＝2, T 2＝2π3－π6＝π2，即πω＝π2，即ω＝2, π2＋2π32＝7π12，当x ＝7π12时， 2×7π12＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，又|φ|<π，解得φ＝－2π3，所以函数是f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3，函数的最小正周期为π；当x ＝－π12时， 2×⎝⎛⎭⎫－π12－2π3＝－5π6，不是函数的对称轴；当x ∈⎣⎡⎦⎤－5π12，π6时，2x －2π3∈⎣⎡⎦⎤－3π2，－π3，f (x )先单调递减后单调递增；函数向左平移π3个单位长度后得到函数g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π3－2π3＝2sin 2x ，所以④正确. 7.如图是一个输出一列数的算法流程图，则这列数的第三项是________.答案 30解析 第一次输出a ＝3，n ＝2；第二次输出a ＝3×2＝6，n ＝3；第三次输出a ＝6×5＝30，n＝4.故这列数的第三项为30. 8.已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥4，x ＋2y ≤4，y ≤0，则z ＝3x －2y 的最小值是________.答案 6解析 不等式组对应的可行域如图阴影部分所示(含边界).当动直线y ＝32x －z2过点(2,0)时，z 取最小值6.9.大约2000多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并获得了大量的成果，古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面再渐渐倾斜得到椭圆.若用周长为24的矩形ABCD 截某圆锥得到椭圆Γ，且Γ与矩形ABCD 的四边相切.设椭圆Γ在平面直角坐标系中的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，测得Γ的离心率为32，则椭圆Γ的方程为________. 答案 x 216＋y 24＝1解析 由题意得4a ＋4b ＝24，即a ＋b ＝6①，由c a ＝32得a ＝2b ②，由①②解得a ＝4，b ＝2.所以椭圆Γ的方程为x 216＋y 24＝1.10.若曲线y ＝ln x ＋1的一条切线是y ＝ax ＋b ，则4a ＋e b 的最小值是________. 答案 4解析 设切点为(m ，ln m ＋1)(m >0)，f ′(x )＝1x ，f ′(m )＝1m ，故切线方程为y －(ln m ＋1)＝1m (x －m )，即y ＝1m x ＋ln m ，所以a ＝1m ，b ＝ln m,4a ＋e b ＝4m ＋m ≥24m ·m ＝4，当且仅当4m＝m ，即m ＝2时取等号. 11.过点M ⎝⎛⎭⎫22，－22作圆x 2＋y 2＝1的切线l ，l 与x 轴的交点为抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，l 与抛物线E 交于A ，B 两点，则AB 的中点到抛物线E 的准线的距离为________. 答案 4 2解析 由题意得，过点M ⎝⎛⎭⎫22，－22作圆x 2＋y 2＝1的切线l ， 可得直线l 的方程为x －y －2＝0， 此时直线l 与x 轴的交点坐标为(2，0)，又点(2，0)与抛物线的焦点重合，即p2＝2，解得p ＝22，即y 2＝42x ，且准线方程为x ＝－2，联立方程组⎩⎨⎧y 2＝42x ，x －y －2＝0，整理得x 2－62x ＋2＝0，Δ＝(62)2－8>0， x 1,2＝62±82＝32±4，则x 1＋x 2＝62，所以x 1＋x 22＝32，所以AB 的中点到抛物线的准线的距离为 x 1＋x 22＋2＝4 2. 12.已知圆心角为120°的扇形AOB 的圆心为O ，在其弧AB 上任取一点P ，则使∠AOP 和∠BOP 同时大于50°的概率为________. 答案 16解析 由几何概型的定义和几何概型的公式可知，使∠AOP 和∠BOP 能同时大于50°的概率为120°－50°－50°120°＝20°120°＝16.13.在四边形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝CD ＝DA ＝1，设△ABD ，△BCD 的面积分别为S 1，S 2，则当S 21＋S 22取最大值时，BD ＝________.答案102解析 设BD ＝b ，S 21＋S 22＝⎝⎛⎭⎫12×1×2×sin A 2＋⎝⎛⎭⎫12×1×1×sin C 2＝34－⎝⎛⎭⎫12cos 2A ＋14cos 2C ＝34－2b 4－10b 2＋1316＝34－2⎝⎛⎭⎫b 2－522＋1216，所以当b 2＝52，即b ＝102时，S 21＋S 22取得最大值. 14.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12018log x ，0<x <1，log 2018x ，x ≥1，若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则4a 2＋b 2＋2a ＋b 的取值范围是________. 答案 [4＋22，＋∞)解析 先作出f (x )的图象如图所示，通过图象可知，0<a <1<b ，设f (a )＝f (b )＝t ，则⎩⎪⎨⎪⎧12018log a ＝t ，log 2 018b ＝t(t >0)， 故⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2 018－t，b ＝2 018t ，所以ab ＝1,2a ＋b ＝22 018t ＋2 018t ， 而2 018t >0，所以2a ＋b ＝22 018t ＋2 018t ≥22，当且仅当2 018t ＝2时等号成立. 令m ＝2a ＋b ，则m ≥22，故4a 2＋b 2＋2a ＋b ＝(2a ＋b )2＋(2a ＋b )－4＝m 2＋m －4＝⎝⎛⎭⎫m ＋122－174， 因为y ＝⎝⎛⎭⎫m ＋122－174在[22，＋∞)上单调递增， 所以4a 2`＋b 2＋2a ＋b ＝⎝⎛⎭⎫m ＋122－174≥4＋2 2.。

应用题［江苏卷5年考情分析]“在考查基础知识的同时，侧重考查能力"是高考的重要意向，而应用能力的考查又是近几年能力考查的重点．江苏卷一直在坚持以建模为主．所以如何由实际问题转化为数学问题的建模过程的探索应是复习的关键．应用题的载体很多，前几年主要考函数建模，以三角、导数、不等式知识解决问题.2014年应用考题(2）可以理解为一次函数模型,也可以理解为条件不等式模型，这样在建模上增添新意,还是有趣的；2015、2016年应用考题(2)都先构造函数,再利用导数求解;2016、2017年应用考题是立体几何模型，2017年应用考题需利用空间中的垂直关系和解三角形的知识求解；2018年应用考题是三角模型，需利用三角函数和导数知识求解．题型（一）函数模型的构建及求解主要考查以构建函数模型为背景的应用题，一般常见于经济问题或立体几何表面积和体积最值问题中。

［典例感悟］[例1] (2016·江苏高考)现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P。

A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD.A1B1C1D1（如图所示），并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．（1)若AB＝6 m，PO1＝2 m，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大?［解］（1)由PO1＝2知O1O＝4PO1＝8.因为A1B1＝AB＝6,所以正四棱锥P。

A1B1C1D1的体积V锥＝错误!·A1B错误!·PO1＝错误!×62×2＝24(m3);正四棱柱ABCD。

A1B1C1D1的体积V柱＝AB2·O1O＝62×8＝288（m3）．所以仓库的容积V＝V锥＋V柱＝24＋288＝312（m3）．(2)设A1B1＝a m,PO1＝h m,则0＜h＜6，O1O＝4h.连结O1B1。

因为在Rt△PO1B1中，O1B2，1＋PO2，1＝PB错误!，所以错误!2＋h2＝36,即a2＝2(36－h2)．于是仓库的容积V＝V柱＋V锥＝a2·4h＋错误!a2·h＝错误!a2h＝错误!（36h－h3），0＜h＜6，从而V′＝错误!(36－3h2）＝26（12－h2）．令V′＝0，得h＝2错误!或h＝－2错误!（舍去）．当0＜h＜23时,V′＞0,V是单调增函数;当2错误!＜h＜6时，V′＜0，V是单调减函数．故当h＝2错误!时，V取得极大值，也是最大值．因此,当PO1＝2错误! m时，仓库的容积最大．［方法技巧]解函数应用题的四步骤［演练冲关］1．(2018·苏锡常镇二模)某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量w（单位:百千克）与肥料费用x （单位：百元)满足如下关系：w＝4－错误!，且投入的肥料费用不超过5百元．此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等）2x百元．已知这种水蜜桃的市场售价为16元/千克(即16 百元/百千克)，且市场需求始终供不应求．记该棵水蜜桃树获得的利润为L（x)（单位:百元)．(1）求利润函数L（x）的函数关系式，并写出定义域；（2)当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大?最大利润是多少?解：(1）由题意可得，L(x）＝16错误!－x－2x＝64－错误!－3x(0≤x≤5)．(2）法一:L(x）＝64－错误!－3x＝67－错误!≤67－2错误!＝43.当且仅当错误!＝3(x＋1），即x＝3时取等号．故L(x)max＝43.答:当投入的肥料费用为300元时，种植水蜜桃树获得的利润最大，最大利润是4 300元.法二：由（1)可得L′(x）＝错误!－3（0≤x≤5),由L′（x）＝0,得x＝3.故当x∈(0,3)时，L′（x)>0，L（x)在(0，3）上单调递增;当x∈（3,5)时，L′（x)<0，L（x）在（3，5)上单调递减．所以当x＝3时，L（x）取得极大值,也是最大值，故L（x)max＝L（3)＝43。

【23份】江苏省2019年高考理科数学二轮复习精准提分目录附加题满分练 (2)附加题满分练1 (2)附加题满分练2 (5)附加题满分练3 (8)解答题满分练 (13)解答题满分练1 (13)解答题满分练2 (20)解答题满分练3 (26)解答题专项练 (33)1.立体几何 (33)2.三角函数与解三角形 (40)3.应用题 (45)4.解+析几何 (53)5.函数与导数 (60)6.数列 (67)填空题满分练 (76)填空题满分练(1) (76)填空题满分练(2) (81)填空题满分练(3) (86)填空题满分练(4) (92)填空题满分练(5) (98)填空题满分练(6) (105)填空题满分练(7) (111)填空题满分练(8) (118)压轴小题组合练 (124)压轴小题组合练(A) (124)压轴小题组合练(B) (130)压轴小题组合练(C) (138)附加题满分练附加题满分练11.如图，过点P 作圆O 的切线PC ，切点为C ，过点P 的直线与圆O 交于点A ，B (P A <PB )，且AB 的中点为D .若圆O 的半径为2，PC ＝4，圆心O 到直线PB 的距离为2，求线段P A 的长.解 连结OC ，OD ，因为O 为圆心，AB 中点为D ， ∴OD ⊥AB ，又PC 为圆O 的切线，∴OC ⊥PC ， 由条件可知OD ＝2，∴AB ＝2OA 2－OD 2＝22，由切割线定理可得PC 2＝P A ·PB ， 即16＝P A ·(P A ＋22)， 解得P A ＝2 2.2.(2018·江苏省盐城中学调研)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 a b0满足：Ma i ＝λi a i ，其中λi (i ＝1,2)是互不相等的实常数，a i (i ＝1,2)是非零的平面列向量，λ1＝1，a 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，求矩阵M . 解 由题意，λ1，λ2是方程f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ －a －b λ＝λ2－ab ＝0的两根. 因为λ1＝1，所以ab ＝1.又因为Ma 2＝λ2a 2，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 a b 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝λ2⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，从而⎩⎪⎨⎪⎧a ＝λ2，b ＝λ2， 所以λ22＝ab ＝1.因为λ1≠λ2，所以λ2＝－1，从而a ＝b ＝－1，故矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 0 －1－1 0.3.(2018·苏州、南通等六市模拟)在极坐标系中，求以点P ⎝⎛⎭⎫2，π3为圆心且与直线l: ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝2相切的圆的极坐标方程.解 以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy . 则点P 的直角坐标为()1，3.将直线l: ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝2的方程变形为： ρsin θcos π3－ρcos θsin π3＝2，化为普通方程得3x －y ＋4＝0.∴P ()1，3到直线l: 3x －y ＋4＝0的距离为4()32＋()－12＝2.∴所求圆的普通方程为()x －12＋()y －32＝4，化为极坐标方程得ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6. 4.已知实数x >0，y >0，z >0，证明：⎝⎛⎭⎫1x ＋2y ＋3z ⎝⎛⎭⎫x 2＋y 4＋z 6≥92. 证明 因为x >0，y >0，z >0， 所以1x ＋2y ＋3z 3≥36xyz ，x 2＋y 4＋z 63≥ 3xyz48， 所以⎝⎛⎭⎫1x ＋2y ＋3z ⎝⎛⎭⎫x 2＋y 4＋z 6≥92.当且仅当x ∶y ∶z ＝1∶2∶3时，等号成立. 5.已知点A (1,2)在抛物线F ：y 2＝2px 上.(1)若△ABC 的三个顶点都在抛物线F 上，记三边AB ，BC ，CA 所在直线的斜率分别为k 1，k 2，k 3, 求1k 1－1k 2＋1k 3的值；(2)若四边形ABCD 的四个顶点都在抛物线F 上，记四边AB ，BC ，CD ，DA 所在直线的斜率分别为k 1，k 2，k 3，k 4，求1k 1－1k 2＋1k 3－1k 4的值.解 (1)由点A (1,2)在抛物线F 上，得p ＝2， ∴抛物线F ：y 2＝4x ，设B ⎝⎛⎭⎫y 214，y 1，C ⎝⎛⎭⎫y 224，y 2， ∴1k 1－1k 2＋1k 3＝y 214－1y 1－2－y 224－y 214y 2－y 1＋1－y 2242－y 2＝y 1＋24－y 2＋y 14＋2＋y 24＝1.(2)另设D ⎝⎛⎭⎫y 234，y 3，则1k 1－1k 2＋1k 3－1k 4＝y 1＋24－y 2＋y 14＋y 3＋y 24－2＋y 34＝0.6.已知f n (x )＝C 0n x n －C 1n (x －1)n ＋…＋(－1)k C k n (x －k )n ＋…＋(－1)n C n n (x －n )n，其中x ∈R ，n ∈N *，k ∈N ，k ≤n .(1)试求f 1(x )，f 2(x )，f 3(x )的值；(2)试猜测f n (x )关于n 的表达式，并证明你的结论.解 (1)f 1(x )＝C 01x －C 11(x －1)＝1，f 2(x )＝C 02x 2－C 12(x －1)2＋C 22(x －2)2＝x 2－2(x －1)2＋(x －2)2＝2，f 3(x )＝C 03x 3－C 13(x －1)3＋C 23(x －2)3－C 33(x －3)3＝x 3－3(x －1)3＋3(x －2)3－(x －3)3＝6.(2)猜测f n (x )＝n ！，n ∈N *. 以下用数学归纳法证明.①当n ＝1时，f 1(x )＝1，等式成立.②假设当n ＝m (m ≥1，m ∈N *)时，等式成立，即f m (x )＝∑k ＝0m(－1)k C k m (x －k )m ＝m ！.当n ＝m ＋1时，则f m ＋1(x )＝∑k ＝0m ＋1(－1)k C k m ＋1·(x －k )m ＋1. 因为C k m ＋1＝C k m ＋C k －1m ，k C k m ＋1＝(m ＋1)·C k －1m ，其中k ＝1,2，…，m ， 且C 0m ＋1＝C 0m ，C m ＋1m ＋1＝C m m ，所以f m ＋1(x )＝∑k ＝0m ＋1(－1)k C k m ＋1(x －k )m ＋1 ＝x ∑k ＝0m ＋1(－1)kC k m ＋1(x －k )m－∑k ＝0m ＋1 (－1)k k C k m ＋1(x －k )m＝x ∑k ＝0m(－1)kC k m (x －k )m ＋x ∑k ＝1m ＋1 (－1)k C k －1m (x －k )m －(m ＋1)∑k ＝1m ＋1(－1)k C k －1m (x －k )m＝x ·m ！＋(－x ＋m ＋1)∑k ＝0m(－1)k C k m ·[(x －1)－k ]m＝x ·m ！＋(－x ＋m ＋1)·m! ＝(m ＋1)·m ！＝(m ＋1)！. 即当n ＝m ＋1时，等式也成立.由①②可知，对n ∈N *，均有f n (x )＝n ！.附加题满分练21.(2018·江苏省盐城中学质检)已知AB 是圆O 的直径，P 是上半圆上的任意一点，PC 是∠APB 的平分线，E 是下半圆的中点.求证：直线PC 经过点E .证明 连结AE ，EB ，OE ，则∠AOE ＝∠BOE ＝90°. 因为∠APE 是圆周角，∠AOE 同弧上的圆心角， 所以∠APE ＝12∠AOE ＝45°.同理可得∠BPE ＝45°，所以PE 是∠APB 的平分线.又PC 也是∠APB 的平分线，∠APB 的平分线有且只有一条，所以PC 与PE 重合. 所以直线PC 经过点E .2.(2018·苏州、南通等六市模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知A ()0，0，B ()3，0，C ()2，2.设变换T 1, T 2对应的矩阵分别为M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2， N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1，求对△ABC 依次实施变换T 1, T 2后所得图形的面积.解 依题意，依次实施变换T 1, T 2所对应的矩阵NM ＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 2. 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤30＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤60， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤44.∴A ()0，0，B ()3，0，C ()2，2分别变为点A ′()0，0，B ′()6，0，C ′()4，4.∴所得图形的面积为12×6×4＝12.3.已知两个动点P ，Q 分别在两条直线l 1：y ＝x 和l 2：y ＝－x 上运动，且它们的横坐标分别为角θ的正弦，余弦，θ∈[0，π]，记OM →＝OP →＋OQ →，求动点M 的轨迹的普通方程.解 设M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ＋cos θ，y ＝sin θ－cos θ，两式平方相加得x 2＋y 2＝2.又x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4， θ∈[0，π]， 所以x ∈[－1，2]，y ∈[－1，2].所以动点M 轨迹的普通方程为x 2＋y 2＝2(x ，y ∈[－1，2]).4.(2018·江苏省盐城中学质检)已知a >0，b >0，证明：(a 2＋b 2＋ab )(ab 2＋a 2b ＋1)≥9a 2b 2. 证明 因为a >0，b >0，所以a 2＋b 2＋ab ≥33a 2·b 2·ab ＝3ab >0， ab 2＋a 2b ＋1≥33ab 2·a 2b ·1＝3ab >0， 所以(a 2＋b 2＋ab )(ab 2＋a 2b ＋1)≥9a 2b 2.5.甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一次篮，先投中者获胜，投篮进行到有人获胜或每人都已投球3次时结束.设甲每次投篮命中的概率为25，乙每次投篮命中的概率为23，且各次投篮互不影响.现由甲先投. (1)求甲获胜的概率；(2)求投篮结束时甲的投篮次数X 的概率分布与数学期望.解 (1)设甲第i 次投中获胜的事件为A 1(i ＝1,2,3)，则A 1，A 2，A 3彼此互斥. 甲获胜的事件为A 1＋A 2＋A 3. P (A 1)＝25，P (A 2)＝35×13×25＝225，P (A 3)＝⎝⎛⎭⎫352×⎝⎛⎭⎫132×25＝2125.所以P (A 1＋A 2＋A 3)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝25＋225＋2125＝62125.(2)X 的所有可能取值为1,2,3. 则P (X ＝1)＝25＋35×23＝45，P (X ＝2)＝225＋35×13×35×23＝425，P (X ＝3)＝⎝⎛⎭⎫352×⎝⎛⎭⎫132×1＝125. 即X 的概率分布为所以数学期望E (X )＝1×45＋2×425＋3×125＝3125.6.设n 个正数a 1，a 2，…，a n 满足a 1≤a 2≤…≤a n (n ∈N *且n ≥3). (1)当n ＝3时，证明：a 1a 2a 3＋a 2a 3a 1＋a 3a 1a 2≥a 1＋a 2＋a 3；(2)当n ＝4时，不等式a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋a 3a 4a 1＋a 4a 1a 2≥a 1＋a 2＋a 3＋a 4也成立，请你将其推广到n (n ∈N *且n ≥3)个正数a 1，a 2，…，a n 的情形，归纳出一般性的结论并用数学归纳法证明. 证明 (1)因为a n (n ∈N *且n ≥3)均为正实数，左—右＝12⎝⎛⎭⎫a 1a 3a 2＋a 1a 2a 3－2a 1＋12⎝⎛⎭⎫a 2a 3a 1＋a 1a 2a 3－2a 2＋12⎝⎛⎭⎫a 2a 3a 1＋a 1a 3a 2－2a 3≥12⎝⎛⎭⎫2a 1a 3a 2×a 1a 2a 3－2a 1＋12⎝⎛⎭⎫2a 2a 3a 1×a 1a 2a 3－2a 2＋12⎝⎛⎭⎫2a 2a 3a 1×a 1a 3a 2－2a 3＝0，所以原不等式a 2a 3a 1＋a 1a 3a 2＋a 1a 2a 3≥a 1＋a 2＋a 3成立.(2)归纳的不等式为：a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋…＋a n －2a n －1a n ＋a n －1a n a 1＋a n a 1a 2≥a 1＋a 2＋…＋a n (n ∈N *且n ≥3). 记F n ＝a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋…＋a n －2a n －1a n ＋a n －1a n a 1＋a n a 1a 2－(a 1＋a 2＋…＋a n )，当n ＝3(n ∈N *)时，由(1)知，不等式成立； 假设当n ＝k (k ∈N *且k ≥3)时，不等式成立，即F k ＝a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋…＋a k －2a k －1a k ＋a k －1a k a 1＋a k a 1a 2－(a 1＋a 2＋…＋a k )≥0.则当n ＝k ＋1时，F k ＋1＝a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋…＋a k －2a k －1a k ＋a k －1a k a k ＋1＋a k a k ＋1a 1＋a k ＋1a 1a 2－(a 1＋a 2＋…＋a k ＋a k ＋1)＝F k ＋a k －1a k a k ＋1＋a k a k ＋1a 1＋a k ＋1a 1a 2－a k －1a k a 1－a k a 1a 2－a k ＋1＝F k ＋a k －1a k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a k ＋1－1a 1＋a k ＋1⎝⎛⎭⎫a k a 1－1＋a 1a 2(a k ＋1－a k )≥0＋a 2k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a k ＋1－1a 1＋a k ＋1⎝⎛⎭⎫a k a 1－1＋a 1a k (a k ＋1－a k )＝(a k ＋1－a k )⎝ ⎛⎭⎪⎫a k a 1＋a 1a k －a k ＋1＋a k a k ＋1， 因为a k ＋1≥a k ，a k a 1＋a 1a k ≥2，a k ＋1＋a k a k ＋1≤a k ＋1＋a k ＋1a k ＋1＝2，所以F k ＋1≥0，所以当n ＝k ＋1时，不等式成立.综上所述，不等式a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋…＋a n －2a n －1a n ＋a n －1a n a 1＋a n a 1a 2≥a 1＋a 2＋…＋a n (n ∈N *且n ≥3)成立.附加题满分练31.如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，BF 是⊙O 的切线，连结CF 交⊙O 于D ，交AB 于E .若BC ＝BF ＝4，CE ∶ED ＝6∶5，求⊙O 的半径.解 如图，连结BD ，因为BF 是⊙O 的切线，所以∠DBF ＝∠BCF ，因为BC ＝BF ，所以∠BCF ＝∠BFC ， 所以∠DBF ＝∠BFC ，所以BD ＝DF ，又∠BEF ＋∠BFC ＝90°，∠EBD ＋∠DBF ＝90°， 所以∠BEF ＝∠EBD ，所以BD ＝ED ，所以ED ＝DF . 设CE ＝6x ，ED ＝5x (x >0)，则DF ＝5x ， 因为BF ＝4，根据切割线定理知BF 2＝DF ·CF ， 所以16＝5x ×16x ，解得x ＝55， 所以EF ＝ED ＋DF ＝25，因为BF 为⊙O 的切线，所以AB ⊥BF ， 所以BE 2＋BF 2＝EF 2，所以BE ＝2，根据相交弦定理知AE ·BE ＝CE ·ED ，得AE ＝3， 所以AB ＝5，因为AB 为⊙O 的直径，所以⊙O 的半径为52.2.若二阶矩阵M 满足⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－212 2－1M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 0 4 －1，求曲线4x 2＋4xy ＋y 2－12x ＋12y ＝0在矩阵M 所对应的变换作用下得到的曲线的方程.解 记矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 12 2 －1，det(A )＝(－2)×(－1)－2×12＝1≠0， 故A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 －12－2 －2，所以M ＝A －1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－3 0 4 －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 －12－2 －2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－3 0 4 －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 112－2 2，即矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 12－2 2. 设曲线4x 2＋4xy ＋y 2－12x ＋12y ＝0上任意一点P (x ，y )在矩阵M 对应的变换作用下得到点P ′(x ′，y ′).所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎤ 1 12－2 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ x ＋12y －2x ＋2y ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋12y ，y ′＝－2x ＋2y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4x ′－y ′6，y ＝2x ′＋y ′3，又点P (x ，y )在曲线4x 2＋4xy ＋y 2－12x ＋12y ＝0上，代入整理得2x ′2＋3y ′＝0， 由点P (x ，y )的任意性可知，所求曲线的方程为2x 2＋3y ＝0.3.已知直线的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22，圆M 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝－2＋2sin θ(其中θ为参数).(1)将直线的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求圆M 上的点到直线的距离的最小值. 解 (1)极点为直角坐标原点O ， ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝ρ⎝⎛⎭⎫22sin θ＋22cos θ＝22， ∴ρsin θ＋ρcos θ＝1，其直角坐标方程为x ＋y －1＝0.(2)将圆的参数方程化为普通方程为x 2＋(y ＋2)2＝4，圆心为M (0，－2)， ∴点M 到直线的距离为d ＝|0－2－1|2＝32＝322，∴圆上的点到直线距离的最小值为32－42.4.已知函数f (x )＝|x ＋m |＋|x －2|(m >0)的最小值为4，正实数a ，b 满足1a ＋1b ＝ 3.求证：1a 2＋2b2≥m .证明 易知|x ＋m |＋|x －2|≥|(x ＋m )－(x －2)|＝|m ＋2|， 故由f (x )的最小值为4得|m ＋2|＝4，又m >0，所以m ＝2.又⎝⎛⎭⎫1a 2＋2b 2⎣⎡⎦⎤12＋⎝⎛⎭⎫122≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ×1＋2b ×122＝3，当且仅当a ＝32，b ＝3时等号成立， 故1a 2＋2b2≥2＝m ，即结论成立.5.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ＝AC ＝2，AB ⊥AC ，M 是棱BC 的中点，点P 在线段A 1B 上.(1)若P 是线段A 1B 的中点，求直线MP 与直线AC 所成角的大小； (2)若N 是CC 1的中点，直线A 1B 与平面PMN 所成角的正弦值为77，求线段BP 的长度. 解 分别以AB ，AC ，AA 1所在直线为x 轴，y轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，A 1(0,0,2)，M (1,1,0). (1)若P 是线段A 1B 的中点，则P (1,0,1)，MP →＝(0，－1,1)，AC →＝(0,2,0). 所以cos 〈MP →，AC →〉＝MP →·AC →||MP →·||AC→＝－22.又〈MP →，AC →〉∈[0，π]，所以〈MP →，AC →〉＝3π4.所以直线MP 与直线AC 所成的角的大小为π4.(2)由N (0,2,1)，得MN →＝(－1,1,1). 设P (x ，y ，z )，BP →＝λBA 1,0≤λ≤1，则(x －2，y ，z )＝λ(－2,0,2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－2λ，y ＝0，z ＝2λ，所以P (2－2λ，0,2λ)，所以MP →＝(1－2λ，－1,2λ).设平面PMN 的法向量n ＝(x 1，y 1，z 1)， 则n ⊥MN →，n ⊥MP →，所以⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＋y 1＋z 1＝0，(1－2λ)x 1－y 1＋2λz 1＝0，取n ＝⎝⎛⎭⎫1＋12λ，12λ，1. 因为BA 1＝(－2,0,2)，设直线A 1B 与平面PMN 所成的角为θ.由sin θ＝||cos 〈n ，BA 1〉＝|n ·BA 1|||n ·||BA 1＝⎪⎪⎪⎪(－2)×⎝⎛⎭⎫1＋12λ＋2⎝⎛⎭⎫1＋12λ2＋⎝⎛⎭⎫12λ2＋1·22＝77，得λ＝14(舍负). 所以BP →＝14BA 1，所以BP ＝14BA 1＝22.6.已知⎝⎛⎭⎫1＋12x n 展开式的各项依次记为a 1(x )，a 2(x )，a 3(x )，…，a n (x )，a n ＋1(x ).设F (x )＝a 1(x )＋2a 2(x )＋3a 3(x )＋…＋na n (x )＋(n ＋1)·a n ＋1(x ).(1)若a 1(x )，a 2(x )，a 3(x )的系数依次成等差数列，求n 的值； (2)求证：对任意x 1，x 2∈[0,2]，恒有|F (x 1)－F (x 2)|≤2n －1(n ＋2)－1.(1)解 依题意a k (x )＝C k －1n⎝⎛⎭⎫12x k －1，k ＝1,2,3，…，n ＋1， a 1(x )，a 2(x )，a 3(x )的系数依次为C 0n ·⎝⎛⎭⎫120＝1，C 1n ·12＝n 2，C 2n ·⎝⎛⎭⎫122＝n (n －1)8， 所以2×n2＝1＋n (n －1)8，解得n ＝8或n ＝1(舍去).(2)证明 F (x )＝a 1(x )＋2a 2(x )＋3a 3(x )＋…＋na n (x )＋(n ＋1)a n ＋1(x )＝C 0n ＋2C 1n ⎝⎛⎭⎫12x ＋3C 2n ⎝⎛⎭⎫12x 2＋…＋n C n －1n ⎝⎛⎭⎫12x n －1＋(n ＋1)C n n ⎝⎛⎭⎫12x n ， F (2)＝C 0n ＋2C 1n ＋3C 2n ＋…＋n C n －1n ＋(n ＋1)C n n ， 设S n ＝C 0n ＋2C 1n ＋3C 2n ＋…＋n C n －1n ＋(n ＋1)C n n ， 则S n ＝(n ＋1)C n n ＋n C n －1n ＋…＋3C 2n ＋2C 1n ＋C 0n ， 考虑到C k n ＝C n －k n ，将以上两式相加得 2S n ＝(n ＋2)(C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n －1n ＋C n n )，所以S n ＝2n －1(n ＋2)，又当x ∈[0,2]时，F ′(x )>0恒成立，从而F (x )是[0,2]上的单调递增函数，所以对任意x 1，x 2∈[0,2]，|F (x 1)－F (x 2)|≤F (2)－F (0)＝2n －1(n ＋2)－1.解答题满分练解答题满分练11.如图，已知直角梯形ABCD 与等腰直角三角形ABE 所在的平面互相垂直，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝2CD ＝2BC ，EA ⊥EB .(1)求证：AB ⊥DE ；(2)在线段EA 上是否存在点F ，使得EC ∥平面FBD ？若存在，求出EFEA 的值；若不存在，请说明理由.(1)证明 取AB 的中点O ，连结OE ，OD .因为EB ＝EA ，所以OE ⊥AB .因为四边形ABCD 为直角梯形，AB ＝2CD ＝2BC ，AB ⊥BC ， 所以四边形OBCD 为正方形， 所以AB ⊥OD .又OD ∩OE ＝O ，OE ，OD ⊂平面EOD ， 所以AB ⊥平面EOD ， 又DE ⊂平面EOD ， 所以AB ⊥DE .(2)解 连结CA 交BD 于点M ，由AB ∥CD 可得CM AM ＝CD AB ＝12.假设线段EA 上存在点F ，使得EC ∥平面FBD ，又平面ACE ∩平面FBD ＝FM ， 故EC ∥FM ，从而EF F A ＝CM AM ＝12，故EF EA ＝13，所以当EF EA ＝13时，EC ∥平面FBD .2.(2018·江苏省常州市三校联考)已知a ＝()1＋cos ωx ，－1， b ＝()3，sin ωx ( ω>0)，函数f (x )＝a ·b ，函数f (x )的最小正周期为2π. (1)求函数f (x )的表达式；(2)设θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且f ()θ＝3＋65，求cos θ的值. 解 (1)f (x )＝a ·b ＝3()1＋cos ωx －sin ωx ＝ 3－2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3， ∵为函数f (x )的最小正周期为2π， ∴2πω＝2π， 解得ω＝1. ∴f (x )＝3－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3 . (2) 由f (θ)＝3＋65，得sin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－35. ∵θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2 ∴θ－π3∈⎝⎛⎭⎫－π3，π6， ∴cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝45， ∴cos θ＝cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＋π3 ＝cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3cos π3－sin ⎝⎛⎭⎫θ－π3sin π3 ＝45×12－⎝⎛⎭⎫－35×32＝4＋3310.3.某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O 的两条直线段围成.按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米.设小圆弧所在圆的半径为x 米，圆心角为θ(弧度).(1)求θ关于x 的函数关系式；(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为y ，求y 关于x 的函数关系式，并求出x 为何值时， y 取得最大值？解 (1)扇环的圆心角为θ，则30＝θ(10＋x )＋2(10－x )， ∴θ＝10＋2x 10＋x(0<x <10).(2)由(1)可得花坛的面积为12θ(102－x 2)＝(5＋x )(10－x )＝－x 2＋5x ＋50(0<x <10)，装饰总费用为9θ(10＋x )＋8(10－x )＝170＋10x ，∴花坛的面积与装饰总费用的比y ＝－x 2＋5x ＋50170＋10x ＝－x 2－5x －5010(17＋x )，令t ＝17＋x ，则y ＝3910－110⎝⎛⎭⎫t ＋324t ≤3910－110·2·t ·324t ＝310，当且仅当t ＝324t ， 即t ＝18时取等号，此时x ＝1，θ＝1211.答 当x ＝1时，花坛的面积与装饰总费用的比最大.4.(2018·江苏六市模拟)如图，在平面直角坐标系xOy 中，B 1，B 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴端点，P 是椭圆上异于点B 1，B 2的一动点.当直线PB 1的方程为y ＝x ＋3时，线段PB 1的长为4 2.(1)求椭圆的标准方程；(2)设点Q 满足： QB 1⊥PB 1, QB 2⊥PB 2.求证：△PB 1B 2与△QB 1B 2的面积之比为定值.(1)解 设P ()x 0，y 0.在y ＝x ＋3中，令x ＝0，得y ＝3，从而b ＝3.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 29＝1，y ＝x ＋3得x 2a 2＋()x ＋329＝1.∴x 0＝－6a 29＋a 2.∵PB 1＝x 20＋()y 0－32＝2||x 0，∴42＝2·6a 29＋a 2，解得a 2＝18. ∴椭圆的标准方程为x 218＋y 29＝1.(2)证明 设P (x 0，y 0)，Q (x 1，y 1). 方法一 直线PB 1的斜率为1PB k ＝y 0－3x 0，由QB 1⊥PB 1，则直线QB 1的斜率为1QB k ＝－x 0y 0－3.于是直线QB 1的方程为y ＝－x 0y 0－3x ＋3.同理， QB 2的方程为y ＝－x 0y 0＋3x －3. 联立两直线方程，消去y ，得x 1＝y 20－9x 0.∵P ()x 0，y 0在椭圆x 218＋y 29＝1上，∴x 2018＋y 209＝1，从而y 20－9＝－x 202. ∴x 1＝－x 02.∴1212PB B QB B S S＝⎪⎪⎪⎪x 0x 1＝2.方法二 设直线PB 1, PB 2的斜率为k, k ′，则直线PB 1的方程为y ＝kx ＋3. 由QB 1⊥PB 1，直线QB 1的方程为y ＝－1k x ＋3.将y ＝kx ＋3代入x 218＋y 29＝1，得()2k 2＋1x 2＋12kx ＝0，∵P 是椭圆上异于点B 1, B 2的点， ∴x 0≠0，从而x 0＝－12k2k 2＋1.∵P ()x 0，y 0在椭圆x 218＋y 29＝1上，∴x 2018＋y 209＝1，从而y 20－9＝－x 202. ∴k ·k ′＝y 0－3x 0·y 0＋3x 0＝y 20－9x 20＝－12，得k ′＝－12k .由QB 2⊥PB 2，得直线QB 2的方程为y ＝2kx －3. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k x ＋3，y ＝2kx －3，得x ＝6k 2k 2＋1，即x 1＝6k2k 2＋1.∴1212PB B QB B S S＝⎪⎪⎪⎪x 0x 1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12k2k 2＋16k 2k 2＋1＝2. 5.设函数f (x )＝x －a sin x (a >0).(1)若函数y ＝f (x )是R 上的单调增函数，求实数a 的取值范围； (2)设a ＝12，g (x )＝f (x )＋b ln x ＋1()b ∈R ，b ≠0， g ′(x )是g (x )的导函数.①若对任意的x >0，g ′(x )>0，求证：存在x 0，使g (x 0)<0； ②若g (x 1)＝g (x 2) (x 1≠x 2)，求证： x 1x 2<4b 2.(1)解 由题意，得 f ′()x ＝1－a cos x ≥0对x ∈R 恒成立. ∵a >0，∴1a ≥cos x 对x ∈R 恒成立， ∵(cos x )max ＝1， ∴1a≥1，从而0<a ≤1. (2)证明 ①g ()x ＝x －12sin x ＋b ln x ＋1，则g ′(x )＝1－12cos x ＋bx.若b <0，则存在－b2>0，使g ′⎝⎛⎭⎫－b 2＝－1－12cos ⎝⎛⎭⎫－b 2<0，不合题意. ∴b >0. 取x 0＝3eb-，则0<x 0<1.此时g ()x 0＝x 0－12sin x 0＋b ln x 0＋1<1＋12＋b ln 3e b -＋1＝－12<0.∴存在x 0>0，使g ()x 0<0.②依题意，不妨设0<x 1<x 2，令x 2x 1＝t ，则t >1.由(1)知函数y ＝x －sin x 单调递增， 则x 2－sin x 2>x 1－sin x 1， 从而x 2－x 1>sin x 2－sin x 1. ∵g (x 1)＝g (x 2)，∴x 1－12sin x 1＋b ln x 1＋1＝x 2－12sin x 2＋b ln x 2＋1，∴－b (ln x 2－ln x 1)＝x 2－x 1－12(sin x 2－sin x 1)>12()x 2－x 1.∴－2b >x 2－x 1ln x 2－ln x 1>0.下面证明x 2－x 1ln x 2－ln x 1>x 1x 2，即证明t －1ln t >t ，只要证明ln t －t －1t <0. (*)设h ()t ＝ln t －t －1t ()t >1， 则h ′()t ＝－()t －122t t<0在()1，＋∞上恒成立.∴h (t )在()1，＋∞上单调递减，故h (t )<h (1)＝0， 从而(*)式得证.∴－2b >x 1x 2，即x 1x 2<4b 2.6.已知数列{a n }和{b n }满足a 1a 2a 3…a n ＝(2)n b(n ∈N *).若{a n }为等比数列，且a 1＝2，b 3＝6＋b 2.(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)设c n ＝1a n －1b n (n ∈N *)，记数列{c n }的前n 项和为S n .(i)求S n ；(ii)求正整数k ，使得对任意n ∈N *均有S k ≥S n . 解 (1)∵a 1a 2a 3…a n ＝(2)n b(n ∈N *)，① 当n ≥2，n ∈N *时，a 1a 2a 3…a n －1＝(2)1n b -，②由①②知a n ＝(2)1n n b b --，令n ＝3，则有a 3＝(2)32b b -.∵b 3＝6＋b 2，∴a 3＝8.∵{a n }为等比数列，且a 1＝2，设{a n } 的公比为q ， ∴则q 2＝a 3a 1＝4，由题意知a n ＞0，∴q ＞0，∴q ＝2. ∴a n ＝2n (n ∈N *).又由a 1a 2a 3…a n ＝(2)n b(n ∈N *)，得 21×22×23…×2n ＝(2)n b， 即(1)22n n +＝(2)n b，∴b n ＝n (n ＋1)(n ∈N *).(2)(i)∵c n ＝1a n －1b n ＝12n －1n (n ＋1)＝12n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， ∴S n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n＝12－⎝⎛⎭⎫11－12＋122－⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋12n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝12＋122＋…＋12n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1 ＝1－12n －1＋1n ＋1＝1n ＋1－12n .(ii)∵c 1＝0，c 2＞0，c 3＞0，c 4＞0， 当n ≥5时，c n ＝1n (n ＋1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤n (n ＋1)2n －1，而n (n ＋1)2n －(n ＋1)(n ＋2)2n ＋1＝(n ＋1)(n －2)2n ＋1＞0，得n (n ＋1)2n ≤5×(5＋1)25＜1，∴当n ≥5时，c n ＜0.综上，对任意的n ∈N *恒有S 4≥S n ，故k ＝4.解答题满分练21.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，侧面P AD ⊥底面ABCD, P A ⊥PC ； (1)求证：平面P AB ⊥平面PCD ； (2)若过点B 的直线l 垂直于平面PCD ， 求证： l ∥平面P AD .证明 (1)因为ABCD 为矩形，所以CD ⊥AD ，因为侧面P AD ⊥底面ABCD ，侧面P AD ∩底面ABCD ＝AD, CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥平面P AD ，因为AP ⊂平面P AD ，所以P A ⊥CD ，又P A ⊥PC, PC ∩CD ＝C, CD ，PC ⊂平面PCD ， 所以AP ⊥平面PCD ，又AP ⊂平面P AB ，所以平面P AB ⊥平面PCD . (2)由(1)知，AP ⊥平面PCD ，又l ⊥平面PCD ， 所以l ∥P A ，又l ⊄平面P AD, AP ⊂平面P AD ，所以l ∥平面P AD .2.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对的边，且满足cos B cos C ＋b2a ＋c ＝0 .(1)求角B 的值；(2)若c ＝2，AC 边上的中线BD ＝32，求△ABC 的面积. 解 (1)cos B cos C ＋b 2a ＋c ＝0⇔cos B cos C ＋sin B2sin A ＋sin C ＝0,所以cos B (2sin A ＋sin C )＋sin B cos C ＝0， 所以2sin A cos B ＋cos B sin C ＋sin B cos C ＝0， 所以2sin A cos B ＋sin(B ＋C )＝0， 所以sin A (2cos B ＋1)＝0， 因为sin A ≠0，所以cos B ＝－12.所以B ＝2π3.(2)延长BD 到E ，使BD ＝DE ，易知四边形AECB 为平行四边形，在△BEC 中，EC ＝2，BE ＝2BD ＝ 3 ，因为∠ABC ＝2π3，所以∠BCE ＝π3 ，由余弦定理得，BE 2＝EC 2＋BC 2－2EC ·BC ·cos ∠BCE ， 即3＝22＋a 2－2·2a ·cos π3，即a 2－2a ＋1＝0， 解得a ＝1，S △ABC ＝12ac sin B ＝12×1×2×32＝32.3.某隧道设计为双向四车道，车道总宽20米，要求通行车辆限高4.5米，隧道口截面的拱线近似地看成抛物线形状的一部分，如图所示建立平面直角坐标系xOy .(1)若最大拱高h 为6米，则隧道设计的拱宽l 是多少？(2)为了使施工的土方工程量最小，需隧道口截面面积最小.现隧道口的最大拱高h 不小于6米，则应如何设计拱高h 和拱宽l ，使得隧道口截面面积最小？(隧道口截面面积公式为S ＝23lh )解 (1)设抛物线的方程为y ＝－ax 2(a ＞0)，则抛物线过点⎝⎛⎭⎫10，－32， 代入抛物线方程得a ＝3200，令y ＝－6，解得x ＝±20，则隧道设计的拱宽l 是40米.(2)抛物线最大拱高为h 米，h ≥6，抛物线过点⎝⎛⎭⎫10，－⎝⎛⎭⎫h －92， 代入抛物线方程得a ＝h －92100.令y ＝－h ，则－h －92100x 2＝－h ，解得x 2＝100hh －92，则⎝⎛⎭⎫l 22＝100h h －92，h ＝92l 2l 2－400，∵h ≥6，∴92l 2l 2－400≥6，即20＜l ≤40，∴S ＝23lh ＝23l ·92l 2l 2－400＝3l 3l 2－400，20<l ≤40，∴S ′＝9l 2(l 2－400)－3l 3·2l (l 2－400)2＝3l 2(l 2－1 200)(l 2－400)2＝3l 2(l ＋203)(l －203)(l 2－400)2，当20<l <203时，S ′＜0；当203<l ≤40时，S ′＞0， 即S 在(20,203)上单调递减，在(203，40]上单调递增， ∴当l ＝203时，S 取得最小值，此时l ＝203，h ＝274.答 当拱高为274米，拱宽为203米时，使得隧道口截面面积最小.4.已知圆C 与y 轴相切，圆心在直线2x －y ＝0上，且直线x －y ＝0被圆C 截得的弦长为2 2. (1)求圆C 的标准方程；(2)已知两定点A (0,1)，B (0，－1)，P 为圆C 上的动点，求P A 2＋PB 2的取值范围. 解 (1)由已知可设圆心C (a,2a )，则r ＝|a |. 圆心到直线x －y ＝0的距离d ＝|a －2a |2＝|a |2，则⎝⎛⎭⎫|a |22＋(2)2＝|a |2，解得a ＝±2，从而所求圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －4)2＝4 或(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝4. (2)设P (x ，y )，则P A 2＋PB 2＝x 2＋(y －1)2＋x 2＋(y ＋1)2＝2(x 2＋y 2)＋2， 要求P A 2＋PB 2的取值范围，只需求x 2＋y 2的取值范围，而x 2＋y 2的几何意义为圆C 上的点P (x ，y )到原点O (0,0)的距离的平方. 由圆心C 到原点O 的距离OC ＝25，知点P (x ，y )到原点O 的距离的最大值，最小值分别为25＋2,25－2，则x 2＋y 2的取值范围为[24－85，24＋85]，故P A 2＋PB 2的取值范围为[50－165，50＋165].5.已知函数f (x )＝a ln x ＋bx (a ，b ∈R )在x ＝12处取得极值，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线x －y ＋1＝0垂直. (1)求实数a ，b 的值；(2)若关于x 的不等式f (x )≥x 2－3x ＋k 有大于0的实数解，求实数k 的取值范围； (3)若对于任意的x ∈[1，＋∞)，不等式f (x )≤(m －2)x －mx 恒成立，求实数m 的取值范围.解 (1)f ′(x )＝ax＋b ，由题设可知f ′(1)＝－1且f ′⎝⎛⎭⎫12＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝－1，2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2.代回检验可得，满足题意.所以实数a ，b 的值分别为1和－2.(2)由(1)可知f (x )＝ln x －2x ，所以不等式f (x )≥x 2－3x ＋k 即x 2－x －ln x ＋k ≤0.令g (x )＝x 2－x －ln x ＋k (x >0)，则g ′(x )＝2x －1－1x ＝2x 2－x －1x ＝(2x ＋1)(x －1)x，所以g (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，则g (x )min ＝g (1)＝k . 因此，欲使不等式f (x )≥x 2－3x ＋k 有大于0的实数解，则k ≤0. 即实数k 的取值范围是(－∞，0].(3)对于任意的x ∈[1，＋∞)，f (x )≤(m －2)x －mx 恒成立，等价于ln x －m ⎝⎛⎭⎫x －1x ≤0在x ∈[1，＋∞)上恒成立.设h (x )＝ln x －m ⎝⎛⎭⎫x －1x (x ≥1)， 则h ′(x )＝1x －m ⎝⎛⎭⎫1＋1x 2＝－mx 2＋x －m x 2. 若m ≤0，则h ′(x )>0，h (x )在[1，＋∞)上为增函数， h (x )≥h (1)＝0， 这与题设h (x )≤0矛盾.若m >0，方程－mx 2＋x －m ＝0的判别式Δ＝1－4m 2.(i)当Δ≤0，即m ≥12时，h ′(x )≤0，所以h (x )在[1，＋∞)上单调递减，所以h (x )≤h (1)＝0，即不等式成立；(ii)当0<m <12时，设方程－mx 2＋x －m ＝0的两根为x 1，x 2(x 1<x 2)，x 1＝1－1－4m 22m∈(0,1)，x 2＝1＋1－4m 22m∈(1，＋∞)，当x ∈[1，x 2)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增，h (x )≥h (1)＝0，与题设矛盾. 综上所述，m ≥12.即实数m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，＋∞.6.(2018·江苏泰州中学模拟)已知数列{}a n ，{}b n ，S n 为数列{}a n 的前n 项和，向量x ＝(1，b n )，y ＝(a n －1，S n )，x ∥y .(1)若b n ＝2，求数列{}a n 的通项公式； (2)若b n ＝n2，a 2＝0.①证明：数列{}a n 为等差数列；②设数列{}c n 满足c n ＝a n ＋3a n ＋2，问是否存在正整数l ，m (l <m ，且l ≠2，m ≠2)，使得c l ，c 2，c m成等比数列？若存在，求出l ，m 的值；若不存在，请说明理由. (1)解 由x ＝(1，b n )，y ＝(a n －1，S n )，x ∥y ， 得：S n ＝(a n －1)b n ，若b n ＝2，则S n ＝2a n －2.①当n ＝1时，S 1＝2a 1－2，即a 1＝2， 又S n ＋1＝2a n ＋1－2，②②－①得：S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－2a n ， 即a n ＋1＝2a n ，所以a n ＋1a n ＝2，又a 1＝2，所以{}a n 是首项为2，公比为2的等比数列. 所以a n ＝2n .(2)①证明 因为b n ＝n2，则2S n ＝na n －n ，③当n ＝1时，2S 1＝a 1－1，即a 1＝－1， 又2S n ＋1＝(n ＋1)a n ＋1－(n ＋1)，④④－③得：2S n ＋1－2S n ＝(n ＋1)a n ＋1－na n －1， 即(n －1)a n ＋1－na n －1＝0，⑤ 又na n ＋2－(n ＋1)a n ＋1－1＝0，⑥⑥－⑤得：na n ＋2－2na n ＋1＋na n ＝0，即a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1，所以数列{}a n 为等差数列. ②解 因为a 1＝－1，a 2＝0，数列{a n }为等差数列， 所以数列{}a n 是首项为－1，公差为1的等差数列. a n ＝－1＋(n －1)×1＝n －2，所以c n ＝n ＋1n，假设存在正整数l ，m (l <m ，且l ≠2，m ≠2)，使得c l ，c 2，c m 成等比数列， 即c 22＝c l c m ， 可得94＝l ＋1l ·m ＋1m，整理得5lm －4l ＝4m ＋4，即l ＝4m ＋45m －4，由4m ＋45m －4≥1，得1≤m ≤8, 一一代入检验⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，l ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，l ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，l ＝1611或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，l ＝54或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，l ＝87或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝6，l ＝1413或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝7，l ＝3231或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝8，l ＝1.又l ，m 为正整数，l <m ，且l ≠2，m ≠2， 所以存在l ＝1，m ＝8符合题意.解答题满分练31.已知函数f ()x ＝a ·b ，其中a ＝(2cos x ，－3sin 2x )，b ＝(cos x,1)，x ∈R . (1)求函数y ＝f (x )的单调减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f ()A ＝－1，a ＝7且向量m ＝(3，sin B )与向量n ＝(2，sin C )共线，求△ABC 的面积.解 (1)f (x )＝2cos 2x －3sin 2x ＝cos 2x －3sin 2x ＋1＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1， 令2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，∴函数y ＝f (x )的单调减区间为⎣⎡⎦⎤－π6＋k π，π3＋k π(k ∈Z ). (2)∵f (A )＝－1，∴2cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π3＋1＝－1，即cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π3＝－1，∴2A ＋π3＝π＋2k π(k ∈Z )， ∴A ＝π3＋k π(k ∈Z )，又∵0<A <π， ∴A ＝π3，∵a ＝7，∴由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝7.①∵向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线， ∴2sin B ＝3sin C ，由正弦定理得2b ＝3c ，②由①②得b ＝3，c ＝2，∴S △ABC ＝12bc ·sin A ＝12×2×3×32＝332.2.(2018·常州市武进区期中)如图所示，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，且AB ＝2，AD ＝4，AP ＝4，F 是线段BC 的中点. (1)求证：平面P AF ⊥平面PDF ；(2)若E 是线段AB 的中点，在线段AP 上是否存在一点G ，使得EG ∥平面PDF ？若存在，求出线段AG 的长度；若不存在，说明理由.(1)证明 ∵P A ⊥平面ABCD, DF ⊂平面ABCD, ∴P A ⊥DF ，又∵在底面ABCD 中， AF ＝DF ＝22，AD ＝4， ∴AF 2＋DF 2＝AD 2, ∴AF ⊥DF ，∵AP ∩AF ＝A ，AF ⊂平面P AF ，AP ⊂平面P AF ， ∴DF ⊥平面P AF ，∵DF ⊂平面PDF ， ∴平面P AF ⊥平面PDF .(2)解 方法一 假设在线段AP 上存在点G ，使得EG ∥平面PDF .延长AB 交DF 的延长线于点M ，连结PM .∵F 是线段BC 的中点，底面ABCD 是矩形， ∴MB ＝AB,∵EG ∥平面PDM, EG ⊂平面P AM ，平面P AM ∩平面PDM ＝PM ， ∴EG ∥PM ，∵AE ＝14AM, ∴AG ＝14AP ＝1，故在线段AP 上存在点G ，使得EG ∥平面PDF ， 此时AG ＝1.方法二 假设在线段AP 上存在点G ，使得EG ∥平面PDF .取DF 的中点I ，连结EI ，过点G 作AD 的平行线交PD 于点H ，连结GH ，HI . ∵E 是线段AB 的中点，∴EI 是梯形ABFD 的中位线， ∴EI ＝3，EI ∥GH ，∵EG ∥平面PDF , EG ⊂平面GEIH ， 平面GEIH ∩平面PDF ＝IH ， ∴EG ∥IH ，∴四边形GEIH 是平行四边形， ∴EI ＝GH ＝3，∴PG ＝34AP ＝3, ∴AG ＝1，故在线段AP 上存在点G ，使得EG ∥平面PDF ， 此时AG ＝1.3.如图，某生态园将一块三角形地ABC 的一角APQ 开辟为水果园，已知角A 为2π3，AB ，AC 的长度均大于200米，现在边界AP ，AQ 处建围墙，在PQ 处围竹篱笆.(1)若围墙AP ，AQ 总长度为200米，如何操作可使得三角形地块APQ 的面积最大？ (2)已知竹篱笆长为50 3 米， AP 段围墙高1米， AQ 段围墙高2米，造价均为每平方米100元，求围墙总造价的取值范围. 解 (1)设AP ＝x 米，则AQ ＝(200－x )米， 所以S △APQ ＝12x ()200－x sin 2π3＝34x ()200－x ≤34⎝⎛⎭⎫20022＝2 500 3 (平方米)， 当且仅当x ＝200－x 时，取等号.即AP ＝AQ ＝100 米， S max ＝2 500 3 平方米. (2)由正弦定理AP sin ∠AQP ＝AQ sin ∠APQ ＝PQ sin A ，得AP ＝100sin ∠AQP ，AQ ＝100sin ∠APQ ，故围墙总造价y ＝100()AP ＋2AQ ＝10 000(sin ∠AQP ＋2sin ∠APQ )＝10 0003cos ∠AQP ， 因为0<∠AQP <π3， ∴12<cos ∠AQP <1，所以y ∈ ()5 0003，10 0003.答 围墙总造价的取值范围为()5 0003，10 0003(元).4.(2018·盐城模拟)如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，并且椭圆经过点P ⎝⎛⎭⎫1，32，直线l 的方程为x ＝4. (1)求椭圆的方程；(2)已知椭圆内一点E (1,0)，过点E 作一条斜率为k 的直线与椭圆交于A ，B 两点，交直线l于点M ，记P A ，PB ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3.问：是否存在常数λ，使得k 1＋k 2＝λk 3？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.解 (1)因为椭圆的离心率为32， 所以b 2a 2＝1－⎝⎛⎭⎫322＝14，又椭圆过点P ⎝⎛⎭⎫1，32，所以1a 2＋34b 2＝1，所以a 2＝4，b 2＝1，所以椭圆方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，令x ＝4，则y ＝3k ，所以点M (4,3k )，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 所以k 1＋k 2＝y 1－32x 1－1＋y 2－32x 2－1＝k (x 1－1)－32x 1－1＋k (x 2－1)－32x 2－1＝2k －32⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1＋1x 2－1＝2k －32⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1＋x 2－2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 2＋4y 2＝4，可得()1＋4k 2x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0.所以x 1,2＝4k 2±23k 2＋11＋4k2， 所以x 1＋x 2＝8k 21＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－41＋4k 2，所以k 1＋k 2＝2k －32·8k 21＋4k 2－24k 2－41＋4k 2－8k 21＋4k 2＋1 ＝2k －33. 又因为k 3＝3k －323＝k －36，所以k 1＋k 2＝2k 3，所以存在λ＝2，使得k 1＋k 2＝2k 3. 5.已知函数f (x )＝ x －bx，g (x )＝ 2a ln x .(1)若b ＝0，函数f (x )的图象与函数g (x )的图象相切，求a 的值；(2)若a >0, b ＝－1，函数F (x )＝xf (x )＋g (x )满足对任意x 1，x 2∈(]0，1(x 1≠x 2)，都有||F ()x 1－F ()x 2<3⎪⎪⎪⎪1x 1－1x 2恒成立，求a 的取值范围； (3)若b ＝1，函数G (x )＝f (x )＋ g (x )，且G (x )有两个极值点x 1，x 2，其中x 1∈⎝⎛⎦⎤0，13，求G ()x 1－G ()x 2的最小值.解 (1)若b ＝0，函数f (x )＝x 的图象与g (x )＝2a ln x 的图象相切，设切点为(x 0,2a ln x 0)， 则切线方程为y ＝2ax 0x －2a ＋2a ln x 0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2a x 0＝1，－2a ＋2a ln x 0＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝e ，a ＝e 2.所以a ＝e 2. (2)当a >0，b ＝－1时，F (x )＝x 2＋1＋2a ln x ，F ′(x )＝2x ＋2ax >0，所以F (x )在(0,1]上单调递增.不妨设0<x 1<x 2≤1，原不等式⇔F (x 2)－F (x 1)<3⎝⎛⎭⎫1x 1－1x 2，即F (x 2)＋ 3x 2< F (x 1)＋3x 1. 设h (x )＝F (x )＋3x ＝ x 2＋1＋2a ln x ＋3x ，x ∈(0,1]，则原不等式⇔h (x )在(0,1]上单调递减，即h ′(x )＝2x ＋2a x －3x 2≤0在(0,1]上恒成立，所以2a ≤3x－2x 2在(0,1]上恒成立.设y ＝3x －2x 2，它在(0,1]上单调递减，所以y min ＝3－2＝1，所以2a ≤1，又a >0，所以0<a ≤12.(3)若b ＝1，函数G (x )＝f (x )＋g (x )＝x －1x＋2a ln x ，G ′(x )＝ x 2＋2ax ＋1x 2(x >0)，由题意知x 1，x 2是x 2＋2ax ＋1＝0的两根， 所以x 1,2＝－2a ±4a 2－42，x 2＝1x 1，2a ＝－x 1－1x 1，G (x 1)－G (x 2)＝G (x 1)－G ⎝⎛⎭⎫1x 1＝2⎣⎡⎦⎤x 1－1x 1－⎝⎛⎭⎫x 1＋1x 1ln x 1. 令H (x )＝2⎣⎡⎦⎤x －1x －⎝⎛⎭⎫x ＋1x ln x ，x ∈⎝⎛⎦⎤0，13， H ′(x )＝2⎝⎛⎭⎫1x 2－1ln x ＝2()1＋x()1－x ln x x 2，当x ∈⎝⎛⎦⎤0，13时，H ′(x )<0, H (x )在⎝⎛⎦⎤0，13上单调递减，H (x )的最小值为H ⎝⎛⎭⎫13＝20ln 3－163. 即G (x 1)－G (x 2) 的最小值为20ln 3－163. 6.(2018·常州市武进区期中)已知数列{}a n 中， a 1＝3，前n 项和S n 满足a n ＋1＝2S n ＋3(n ∈N *). (1) 求数列{}a n 的通项公式； (2)记b n ＝a n()a n －1()a n ＋1－1，求数列{}b n 的前n 项和T n ；(3)是否存在整数对()m ，n (其中m ∈Z ,n ∈N *)满足a 2n －()m ＋2a n ＋7m ＋5＝0？若存在，求出所有的满足题意的整数对()m ，n ，若不存在，请说明理由. 解 (1)当n ≥2时，a n ＋1＝2S n ＋3与a n ＝2S n －1＋3相减， 得a n ＋1－a n ＝2()S n －S n －1＝2a n ，即a n ＋1＝3a n (n ≥2)， 在a n ＋1＝2S n ＋3中，令n ＝1可得，a 2＝9，即a 2＝3a 1. 故a n ＋1＝3a n (n ∈N *)，故数列{}a n 是首项为3，公比为3的等比数列，其通项公式为a n ＝3n (n ∈N *). (2)由(1) 知，b n ＝a n()a n－1()a n ＋1－1＝3n()3n－1()3n ＋1－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1－13n ＋1－1， 则T n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫12－18＋⎝⎛⎭⎫18－126＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1－13n ＋1－1＝12⎝⎛⎭⎪⎫12－13n ＋1－1(n ∈N *). (3)a 2n －()m ＋2a n ＋7m ＋5＝0，即32n －()m ＋23n ＋7m ＋5＝0，则m ＝32n －2×3n ＋53n －7＝()3n －7()3n ＋5＋403n －7＝()3n＋5＋403n －7，若存在整数对()m ，n ，则403n －7必须是整数，其中3n －7只能是40的因数，可得n ＝1时， m ＝－2; n ＝2时， m ＝34; n ＝3时， m ＝34. 综上所有的满足题意的整数对为()－2，1， ()34，2， ()34，3.解答题专项练1.立体几何1.(2018·江苏省金陵中学月考)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，平面P AD ⊥平面ABCD ，AP ＝AD ，点M 在棱PD 上， AM ⊥PD ，点N 是棱PC 的中点，求证：(1) MN ∥平面P AB ； (2) AM ⊥平面PCD .证明 (1)因为在△P AD 中， AP ＝AD ，AM ⊥PD ， 所以点M 是棱PD 的中点. 又点N 是棱PC 的中点， 所以MN 是△PDC 的中位线， 所以MN ∥DC .因为底面ABCD 是矩形， 所以AB ∥DC ，。

必备一主干知识回扣技法一函数性质1.函数的单调性(1)定义:一般地,设函数f(x)的定义域为A,如果对于属于定义域A内某个区间I上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2)(f(x1)>f(x2)),那么就说f(x)在这个区间I上是增(减)函数.(2)证明方法:定义法、导数法.2.函数的奇偶性(1)定义:对于函数f(x),如果对于定义域内任意一个x都有f(-x)=-f(x),那么f(x)就叫做奇函数;如果对于定义域内任意一个x都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.如果函数f(x)是奇函数或偶函数,那么就说函数f(x)具有奇偶性.(2)图象特征:奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于y轴对称.3.函数零点(1)对于函数y=f(x),x∈D,我们把使函数y=f(x)的值为0的实数x(x∈D)称为函数y=f(x)的零点,实质上函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的根,它是实数而不是点.函数y=f(x)-g(x)的零点可以看成是方程f(x)-g(x)=0的根或函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象的交点的横坐标.(2)零点存在性定理:一般地,若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条不间断的曲线,且f(a)·f(b)<0,则函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点.这一定理一般用来证明函数有零点,其逆命题是假命题.技法二导数1.导数的几何意义:f'(x0)表示曲线f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线斜率.2.常见的导数公式:(x n)'=nx n-1;(a x)'=a x lna(a>0且a≠1);(e x)'=e x;(log a x)'=1(a>0且a≠1);( x)'=1;(sinx)'=cosx;(cosx)'=-sinx.3.导数的运算法则:[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x);[f(x)·g(x)]'=f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x);() ()'='()()-()'()[()](g(x)≠0).4.导数与函数的单调性:f'(x)>0⇒函数f(x)在相应区间上为单调增函数;f'(x)<0⇒函数f(x)在相应区间上为单调减函数.5.导数与函数的极值、最值:(1)函数的极值:设函数f(x)在点x0附近有定义,且对x0附近的所有点都有f(x)<f(x0)(或f(x)>f(x0),则称f(x0)为函数f(x)的一个极大(或小)值,其中x0称为极值点,f(x0)称为极值,所以极值点是实数而不是点.(2)函数在闭区间上的最值在极值点处或区间端点处取得.技法三基本初等函数1.指数的概念及运算性质:(1)()n=a( ∈N*);当n为奇数时,=a;当n为偶数时,=|a|;(2)正数的分数指数幂的意义:=;-=1=(a>0,m、 ∈N*,且n>1).2.对数的概念及运算性质:(1)a b=N⇔log a N=b(a>0且a≠1);(2)对数的运算法则:log a(M·N)= og a M+log a N;log a=log a M-log a N;log a M n=nlog a M(a>0且a≠1);(3)换底公式:log a N= og Nog a(a>0且a≠1,b>0且b≠1).3.指数函数的定义:一般地,函数y=a x(a>0,且a≠1)叫做指数函数;对数函数的定义:一般地,函数y=log a x(a>0,且a≠1)叫做对数函数;幂函数的定义:一般地,形如y=x a的函数叫做幂函数.4.指数函数、对数函数的图象和性质:技法四三角函数1.任意角的三角函数的定义:sinα=,cosα=,tanα=.2.同角三角函数的关系式(同角公式):平方关系:sin2α+cos2α=1,商数关系:tanα=o.3.诱导公式:k·±α(k∈Z)与α的三角函数值之间的等量关系式,记忆口诀是奇变偶不变,符号看象限.4.三角函数的图象和性质:x x∈R,x≠+kπ,k∈Z2kπ-, 2kπ+,k∈Zkπ-, kπ+,k∈Z2kπ+,2kπ+,k∈Z特别关注:(1)三角函数与其他函数构成的复合函数的单调性,要注意函数的定义域.(2)三角函数的值域与最值的常见题型:一是可以利用三角公式化为标准型y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0);二是转化为基本函数型,如:y=cos2x-sinx+1,y=sin2x+sinx+cosx均可以通过换元转化为二次函数;三是利用导数法.(3)三角函数的周期:y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)都可以利用周期公式T=求解;y=Atan(ωx+φ)(A>0,ω>0)利用周期公式T=求解.y=|Asin(ωx+φ)|(A>0,ω>0)、y=|Acos(ωx+φ)|(A>0,ω>0)和y=|Atan(ωx+φ)|(A>0,ω>0)的周期都是T=;y=|Asin(ωx+φ)+b|(A>0,ω>0,b≠0)的周期公式是T=.(4)奇偶性:y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)是奇函数⇔φ=kπ,k∈Z,是偶函数⇔φ=kπ+,k∈Z.y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)是奇函数⇔φ=kπ+,k∈Z,是偶函数⇔φ=kπ,k∈Z.(5)对称性:求对称轴、对称中心;已知对称轴或对称中心,求参数的取值(用特值法).5.三角恒等变换:(1)两角和与差的三角函数:sin(α±β)=sinαcosβ± o αsinβ;cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ;;.tan(α±β)= a a1 a a.(2)二倍角公式:sin2α=2sinαcosα;cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;tan2α= a1- a(3)降幂公式:sin2α=1- o ;cos2α=1 o .6.解三角形:(1)正弦定理:===2R;S△ABC=1absinC=1bcsinA=1casinB.(2)余弦定理:cosA=-,cosB=-,cosC=-,a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC.技法五平面向量1.平面向量共线定理:(1)向量b与非零向量a共线⇔存在唯一的实数λ,使得b=λ a.(2)平面向量共线定理的坐标表示:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔x1y2-x2y1=0.2.平面向量基本定理:若e1、e2是同一平面内的两个向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使得a=λ1e1+λ2e2,其中e1、e2称为基底.3.两个向量的数量积:(1)向量的夹角:已知两个非零向量a与b,作=a,=b,则∠AOB叫做向量a与b的夹角.注意:夹角的范围是[0,π];作图时两向量一定要共起点.(2)已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,则a·b=|a||b|· o θ.注意:数量积运算的结果是数量,而线性运算的结果仍然是向量.技法六数列1.等差数列与等比数列:2.已知数列的递推公式,求通项公式的常用方法:累加法、累乘法、构造新数列法、取倒数法.3.常见复杂数列求和的基本数学思想:转化与化归思想,即把复杂数列求和问题等价转化为基本数列求和.常用方法:(1)并项求和法(正负相间的项的求和);(2)裂项相消法;(3)错位相减法;(4)分组求和法.求和时先分析通项,再选择求和方法.技法七不等式1.不等式的重要性质:①若a<b,且ab>0,则1>1,即不等式两边同号时,不等式两边取倒数,不等号方向要改变;②如果不等式两边同时乘(或除以)一个代数式,要注意它的正负号,如果正负号未定,要注意分类讨论.2.基本不等式:(1)两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.即若a,b>0,则≥(当且仅当a=b时,取等号).基本变形:①a+b≥ ;≥ab;②若a,b∈R,则a2+b2≥ ab,≥.(2)基本应用:求函数最值注意:①一正二定三相等;②积定和最小,和定积最大.已知a,b为正数.当ab=p(常数)时,a+b≥ ,当且仅当a=b=时,a+b取得最小值2;当a+b=s(常数)时,ab≤,当且仅当a=b=时,ab取得最大值.技法八直线与圆1.几个距离公式:(1)两点间距离公式:设A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=(1-)(1-);(2)点(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离公式:d=;(3)两条平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间距离公式:d=1.2.(1)圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2;(2)圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),把一般方程配方得+=-(D2+E2-4F>0).(2)判断直线与圆的位置关系的方法:利用圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小,若d>r,则相离;若d=r,则相切;若d<r,则相交.3.圆与圆的位置关系.设☉C1的半径为r1,☉C2的半径为r2,d=|C1C2|,则☉C1与☉C2相外离⇔d>r1+r2;☉C1与☉C2相外切⇔d=r1+r2;☉C1与☉C2相交⇔|r1-r2|<d<r1+r2;☉C1与☉C2相内切⇔d=|r1-r2|;☉C1与☉C2相内含⇔0≤d<|r1-r2|.技法九椭圆1.椭圆的定义(1)第一定义平面内到两定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做焦距.需要注意的是:常数大于|F1F2|.若常数等于|F1F2|,则轨迹是线段F1F2;若常数小于|F1F2|,则无轨迹.表达式:|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|).(2)第二定义:平面内动点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e(0<e<1)的轨迹是椭圆,定点是椭圆的一个焦点,定直线是与焦点同侧的准线,常数e是椭圆的离心率,焦点在x轴上的椭圆,准线方程是x=±;焦点在y轴上的椭圆,准线方程是y=±.2.椭圆的标准方程及其几何性质技法十空间直线与平面的位置关系1.平行公理(公理4):平行于同一条直线的两条直线平行,符号语言:a∥b,b∥ ⇒a∥ .2.直线和平面平行:(1)判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行.符号表示:a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α.(2)性质定理:若一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.符号表示:a∥α,a⊂β,α∩β=b⇒a∥b.3.直线和平面垂直:(1)判定定理:一条直线与一个平面内两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直,符号表示为:a⊥b,a⊥ ,b, ⊂α,b∩ =A⇒a⊥α.(2)性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行.符号表示为:a⊥α,b⊥α⇒a∥b.4.平面与平面平行:(1)判定定理:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行;符号表示:a∥α,b∥α,a∩b=P,a⊂β,b⊂β⇒α∥β.(2)性质:①如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线平行于另一平面;②性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行,符号表示:α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a∥b.5.平面与平面垂直:(1)判定定理:一个平面经过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直,符号表示为:a⊥α,a⊂β⇒α⊥β.(2)性质定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.符号表示为:α⊥β,α∩β= ,a⊥ ,a⊂α⇒a⊥β.。

填空题满分练(1)1.复数z ＝x ＋(x ＋2)i(其中i 为虚数单位，x ∈R )满足2＋iz是纯虚数，则|z |＝________.答案：253解： 根据题意可设2＋iz＝b i(b ∈R 且b ≠0)，∴2＋i ＝[x ＋(x ＋2)i]×b i ＝－b (x ＋2)＋xb i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝－b (x ＋2)，1＝xb ，解：得x ＝－23，∴z ＝－23＋43i ，∴|z |＝253.2.(2018·南通、徐州、扬州等六市模拟)已知集合U ＝{－1,0,1,2,3}，A ＝{－1,0,2}，则∁U A ＝________. 答案： {1,3}解： ∵集合U ＝{－1,0,1,2,3}，A ＝{－1,0,2}， ∴∁U A ＝{1,3}.3.某工厂生产A ，B ，C ，D 四种不同型号的产品，产品数量之比依次为2∶3∶5∶1.现用分层抽样的方法抽出一个容量为n 的样本，若样本中A 种型号有16件，那么此样本的容量n 为________. 答案： 88解： 根据分层抽样的特点，样本中A 种型号产品应是样本容量的22＋3＋5＋1＝211，所以样本的容量n ＝16÷211＝88.4.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是A ，B ，C 的对边，已知2sin A ＝3cos A ，且有a 2－c 2＝b 2－mbc ，则实数m ＝__________.答案： 1解： ∵2sin A ＝3cos A ，∴2sin 2A ＝3cos A ， ∴2cos 2A ＋3cos A －2＝0， ∴cos A ＝12或cos A ＝－2(舍).由a 2－c 2＝b 2－mbc ，得cos A ＝m 2，∴m 2＝12，∴m ＝1.5.已知等差数列{}a n 满足a 3＋a 5＝14, a 2a 6＝33，则a 1a 7＝________. 答案： 13解： 由题意得a 2＋a 6＝a 3＋a 5＝14, a 2a 6＝33，所以a 2＝3，a 6＝11或a 2＝11，a 6＝3. 当a 2＝3，a 6＝11时，d ＝11－36－2＝2，a 1＝1，a 7＝13，∴a 1a 7＝13；当a 2＝11，a 6＝3时，d ＝3－116－2＝－2，a 1＝13，a 7＝1，∴a 1a 7＝13.6.在△ABC 中，点D 满足BC →＝3BD →，则AD →＝________.(用AB →，AC →表示) 答案： 23AB →＋13AC →解： 因为BC →＝3BD →， 所以AC →－AB →＝3(AD →－AB →)， 即AD →＝23AB →＋13AC →.7.给出30个数：1, 2, 4, 7, 11, 16，…，要计算这30个数的和.如图给出了该问题的流程图，那么图中①处和②处分别填入____________.答案： i ≤30和p ＝p ＋i 解： 由于要计算30个数的和，故循环要执行30次，由于循环变量的初值为1，步长为1，故终值应为30， 即①中应填写i ≤30. 又由第1个数是1，第2个数比第1个数大1，即1＋1＝2， 第3个数比第2个数大2，即2＋2＝4， 第4个数比第3个数大3，即4＋3＝7，…， 故②中应填写p ＝p ＋i .8.已知实数x, y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －3≤0，x ＋y －2≥0，－x ＋2y －2≤0，则z ＝(x －1)2＋y 2的最小值为________. 答案： 12解： 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(含边界)，易知z 表示可行域内的点(x ，y )到点(1,0)的距离的平方，所以z min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|1＋0－2|12＋122＝12.9.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为(2,0)，且双曲线C 的离心率为22，则双曲线C 的渐近线方程为________. 答案： y ＝±7x解： 依题意知，双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为(2,0)，∴c ＝2，∵双曲线的离心率为22，∴c a ＝2a ＝22，∴a ＝22， ∵c 2＝a 2＋b 2，∴b ＝142， ∴渐近线方程为y ＝±b ax ＝±7x .10.已知圆柱M 的底面半径为2，高为6，圆锥N 的底面直径和母线长相等.若圆柱M 和圆锥N 的体积相同，则圆锥N 的高为________.答案： 6解： 设圆锥N 的底面半径为r ，则它的母线长为2r ，高为3r ，由圆柱M 与圆锥N 的体积相同，得4π×6＝13πr 2×3r ，解：得r ＝23，因此圆锥N 的高h ＝3r ＝6.11.将圆的一组n 等分点分别涂上红色或蓝色，从任意一点开始，按逆时针方向依次记录k (k ≤n )个点的颜色，称为该圆的一个“k 阶段序”，当且仅当两个k 阶段序对应位置上的颜色至少有一个不相同时，称为不同的k 阶段序.若某圆的任意两个“k 阶段序”均不相同，则称该圆为“k 阶魅力圆”，则“3阶魅力圆”中最多可有的等分点个数为________. 答案： 8解： “3阶段序”中，每个点的颜色有两种选择，故“3阶段序”共有2×2×2＝8(种)，一方面，n 个点可以构成n 个“3阶段序”，故“3阶魅力圆”中的等分点的个数不多于8个；另一方面，若n ＝8，则必须包含全部共8个“3阶段序”，不妨从(红，红，红)开始按逆时针方向确定其它各点颜色，显然“红，红，红，蓝，蓝，蓝，红，蓝”符合条件，故“3阶魅力圆”中最多可有8个等分点.12.已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且与x 轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，直线AF 2与椭圆的另一个交点为C ，若AF 2→＝2F 2C →，则椭圆的离心率为________. 答案：55解： 设C (x ，y )，由AF 2→＝2F 2C →，得 ⎩⎪⎨⎪⎧|y |b 2a ＝12，x ＝2c ，∴C ⎝⎛⎭⎪⎫2c ，±b 22a .又C 为椭圆上一点， ∴(2c )2a2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫±b 22a 2b2＝1，解：得e ＝55. 13.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，f (x )＝(x ＋1)e x，则对任意m ∈R ，函数F (x )＝f (f (x ))－m 的零点个数至多有________个. 答案： 3解： 当x <0时，f ′(x )＝(x ＋2)e x，由此可知f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2,0)上单调递增，f (－2)＝－e －2，f (－1)＝0，且f (x )<1.又f (x )是R 上的奇函数，f (0)＝0，而当x ∈(－∞，－1)时，f (x )<0，所以f (x )的图象如图所示.令t ＝f (x )，则当t ∈(－1,1)时，方程f (x )＝t 至多有3个根，当t ∉(－1,1)时，方程f (x )＝t 没有根，而对任意m ∈R ，方程f (t )＝m 至多有一个根t ∈(－1,1)，从而函数F (x )＝f (f (x ))－m 的零点个数至多有3个.14.已知正四面体P －ABC 的棱长均为a ，O 为正四面体P －ABC 的外接球的球心，过点O 作平行于底面ABC 的平面截正四面体P －ABC ，得到三棱锥P －A 1B 1C 1和三棱台ABC －A 1B 1C 1，那么三棱锥P －A 1B 1C 1的外接球的表面积为________. 答案：27π32a 2解： 设底面△ABC 的外接圆半径为r ， 则asinπ3＝2r ，所以r ＝33a . 所以正四面体的高为a 2－⎝⎛⎭⎪⎫33a 2＝63a ， 设正四面体的外接球半径为R ， 则R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫63a －R 2，∴R ＝64a .因为64∶63＝3∶4， 所以三棱锥P －A 1B 1C 1的外接球的表面积为 4π×⎝⎛⎭⎪⎫64a 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝27π32a 2. 填空题满分练(2)1.若复数z 满足1＋iz －i ＝i(i 是虚数单位)，则z ＝________.答案： 1解： 由题设有z ＝1＋ii＋i ＝－i ＋1＋i ＝1.2.已知集合A ＝{2,0，－2}，B ＝{x |x 2－2x －3>0}，集合P ＝A ∩B ，则集合P 的子集个数是________. 答案： 2解： 由题设有B ＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)， 故P ＝A ∩B ＝{－2}， 所以P 的子集的个数为2.3.已知cos α＝17，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝________.答案：1314解： ∵cos α＝17，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫172＝437， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝cos αcos π3＋sin αsin π3＝17×12＋437×32＝1314.4.(2018·江苏省高考冲刺预测卷)已知某高级中学高一、高二、高三学生人数分别为880,860,820，现用分层抽样的方法从该校抽调128人，则在高二年级中抽调的人数为________. 答案： 43解： 由题意可知，在高二年级中抽调的人数为128×860880＋860＋820＝43.5.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1,1,2,3,5,8,13，….该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”，则(a 1a 3－a 22)(a 2a 4－a 23)(a 3a 5－a 24)…(a 2015a 2017－a 22016)＝________. 答案： －1解： 根据斐波那契数列可知，a 1a 3－a 22＝1，a 2a 4－a 23＝－1，a 3a 5－a 24＝1，a 4a 6－a 25＝－1，…， 所以根据计算的规律可得，当n 为偶数时，a n a n ＋2－a 2n ＋1＝－1， 当n 为奇数时，a n a n ＋2－a 2n ＋1＝1，所以(a 1a 3－a 22)(a 2a 4－a 23)(a 3a 5－a 24)…(a 2 015a 2 017－a 22 016)＝－1.6.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是________.(填序号)①函数f (x )的最小正周期为π2； ②直线x ＝－π12是函数f (x )图象的一条对称轴；③函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π6上单调递增； ④将函数f (x )的图象向左平移π3个单位长度，得到函数g (x )的图象，则g (x )＝2sin2x .答案： ④解： A ＝2, T 2＝2π3－π6＝π2，即πω＝π2，即ω＝2, π2＋2π32＝7π12，当x ＝7π12时， 2×7π12＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，又|φ|<π，解：得φ＝－2π3，所以函数是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3，函数的最小正周期为π；当x ＝－π12时， 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12－2π3＝－5π6，不是函数的对称轴；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π6时，2x －2π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，－π3，f (x )先单调递减后单调递增；函数向左平移π3个单位长度后得到函数g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－2π3＝2sin 2x ，所以④正确.7.如图是一个输出一列数的算法流程图，则这列数的第三项是________.答案： 30解： 第一次输出a ＝3，n ＝2；第二次输出a ＝3×2＝6，n ＝3；第三次输出a ＝6×5＝30，n ＝4.故这列数的第三项为30.8.已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥4，x ＋2y ≤4，y ≤0，则z ＝3x －2y 的最小值是________.答案： 6解： 不等式组对应的可行域如图阴影部分所示(含边界).当动直线y ＝32x －z2过点(2,0)时，z 取最小值6.9.大约2000多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并获得了大量的成果，古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面再渐渐倾斜得到椭圆.若用周长为24的矩形ABCD 截某圆锥得到椭圆Γ，且Γ与矩形ABCD 的四边相切.设椭圆Γ在平面直角坐标系中的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，测得Γ的离心率为32，则椭圆Γ的方程为________. 答案：x 216＋y 24＝1 解： 由题意得4a ＋4b ＝24，即a ＋b ＝6①，由c a ＝32得a ＝2b ②，由①②解：得a ＝4，b ＝2.所以椭圆Γ的方程为x 216＋y 24＝1.10.若曲线y ＝ln x ＋1的一条切线是y ＝ax ＋b ，则4a ＋e b的最小值是________. 答案： 4解： 设切点为(m ，ln m ＋1)(m >0)，f ′(x )＝1x ，f ′(m )＝1m，故切线方程为y －(ln m ＋1)＝1m(x －m )，即y ＝1m x ＋ln m ，所以a ＝1m ，b ＝ln m,4a ＋e b＝4m ＋m ≥24m·m ＝4，当且仅当4m＝m ，即m ＝2时取等号. 11.过点M ⎝⎛⎭⎪⎫22，－22作圆x 2＋y 2＝1的切线l ，l 与x 轴的交点为抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，l 与抛物线E 交于A ，B 两点，则AB 的中点到抛物线E 的准线的距离为________. 答案： 4 2解： 由题意得，过点M ⎝⎛⎭⎪⎫22，－22作圆x 2＋y 2＝1的切线l ，可得直线l 的方程为x －y －2＝0， 此时直线l 与x 轴的交点坐标为(2，0)，又点(2，0)与抛物线的焦点重合，即p2＝2，解：得p ＝22，即y 2＝42x ，且准线方程为x ＝－2，联立方程组⎩⎨⎧y 2＝42x ，x －y －2＝0，整理得x 2－62x ＋2＝0，Δ＝(62)2－8>0，x 1,2＝62±82＝32±4，则x 1＋x 2＝62，所以x 1＋x 22＝32，所以AB 的中点到抛物线的准线的距离为x 1＋x 22＋2＝4 2.12.已知圆心角为120°的扇形AOB 的圆心为O ，在其弧AB 上任取一点P ，则使∠AOP 和∠BOP 同时大于50°的概率为________. 答案： 16解： 由几何概型的定义和几何概型的公式可知，使∠AOP 和∠BOP 能同时大于50°的概率为120°－50°－50°120°＝20°120°＝16.13.在四边形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝CD ＝DA ＝1，设△ABD ，△BCD 的面积分别为S 1，S 2，则当S 21＋S 22取最大值时，BD ＝________.答案：102解： 设BD ＝b ，S 21＋S 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×2×sin A 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×1×sin C 2＝34－⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2A ＋14cos 2C ＝34－2b 4－10b 2＋1316＝34－2⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2－522＋1216， 所以当b 2＝52，即b ＝102时，S 21＋S 22取得最大值.14.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12018log x ，0<x <1，log 2018x ，x ≥1，若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则4a 2＋b 2＋2a ＋b 的取值范围是________.答案： [4＋22，＋∞)解： 先作出f (x )的图象如图所示，通过图象可知，0<a <1<b ，设f (a )＝f (b )＝t ，则⎩⎪⎨⎪⎧12018log a ＝t ，log 2 018b ＝t(t >0)，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2 018－t，b ＝2 018t，所以ab ＝1,2a ＋b ＝22 018t ＋2 018t， 而2 018t>0，所以2a ＋b ＝22 018t ＋2 018t ≥22，当且仅当2 018t＝2时等号成立.令m ＝2a ＋b ，则m ≥22，故4a 2＋b 2＋2a ＋b ＝(2a ＋b )2＋(2a ＋b )－4＝m 2＋m －4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋122－174，因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋122－174在[22，＋∞)上单调递增，所以4a 2`＋b 2＋2a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋122－174≥4＋2 2.填空题满分练(3)1.(2018·江苏省高考冲刺预测卷)已知全集为R ，集合A ＝{x |2x ≥4}，B ＝{x |x 2－3x ≥0}，则A ∩(∁R B )＝________. 答案： [2,3)解： A ＝{x |2x ≥4}＝{x |x ≥2}，B ＝{x |x 2－3x ≥0}＝{x |x ≤0或x ≥3}，∁R B ＝(0,3)，则A ∩(∁RB )＝[2,3).2.已知i 为虚数单位，复数1＋a i2－i(a ∈R )为纯虚数，则a 的值为________. 答案： 2解： 因为1＋a i 2－i ＝(1＋a i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝(2－a )＋(2a ＋1)i5为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＝0，2a ＋1≠0，所以a ＝2.3.中国人在很早就开始研究数列，中国古代数学著作《九章算术》、《算法统宗》中都有大量古人研究数列的记载.现有数列题目如下：数列{a n }的前n 项和S n ＝14n 2，n ∈N *，等比数列{b n }满足b 1＝a 1＋a 2，b 2＝a 3＋a 4，则b 3＝________.(用数字表示) 答案： 9解： 由题意可得b 1＝a 1＋a 2＝S 2＝14×22＝1，b 2＝a 3＋a 4＝S 4－S 2＝14×42－14×22＝3，则等比数列的公比q ＝b 2b 1＝31＝3，故b 3＝b 2q ＝3×3＝9.4.设向量a ＝(3，1)，b ＝(x ，－3)，c ＝(1，－3)，若b ∥c ，则a －b 与b 的夹角为________.(用度数表示) 答案： 150°解： ∵b ∥c ，∴－3x ＝(－3)×1，∴x ＝3， ∴b ＝(3，－3)，a －b ＝(0,4).∴a －b 与b 的夹角θ的余弦值cos θ＝－124×23＝－32，又∵0°≤θ≤180°， ∴θ＝150°.5.设变量x ，y 满足线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ＋3≥0，x ＋y －3≥0，则z ＝2x －y 的取值范围是________.答案： [－3，＋∞)解： 不等式组对应的可行域如图阴影部分所示(含边界)，目标函数z ＝2x －y 经过点(0,3)时有最小值，且最小值为－3，由图可得，无最大值，则z ＝2x －y 的取值范围是[)－3，＋∞.6.将矩形ABCD 绕边AB 旋转一周得到一个圆柱，AB ＝3，BC ＝2，圆柱上底面圆心为O ，△EFG 为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥O －EFG 体积的最大值是________. 答案： 4解： 设Rt△EFG 的两条直角边分别为a ，b ，则a 2＋b 2＝16，三棱锥O －EFG 的高为3，从而V O －EFG ＝13S △EFG ·3＝12ab ≤a 2＋b24＝4，当且仅当a ＝b ＝22时等号成立，故三棱锥O －EFG的体积的最大值为4.7.(2018·江苏省高考冲刺预测卷)执行如图所示的流程图，输出的S 为________.答案： 17解： 开始时，S ＝27，i ＝1，第一次循环，S ＝47，i ＝2，第二次循环，S ＝17，i ＝3，第三次循环，S ＝27，i ＝4，第四次循环，S ＝47，i ＝5，第五次循环，S ＝17，5<5不满足条件，输出S ＝17.8.某高中在今年的期末考试历史成绩中随机抽取n 名考生的笔试成绩，作出其频率分布直方图如图所示，已知成绩在[75,80)中的学生有1名，若从成绩在[75,80)和[90,95)两组的所有学生中任取2名进行问卷调查，则2名学生的成绩都在[90,95)中的概率为________.答案： 35解： 因为成绩在[75,80)的频率为5×0.01＝0.05，所以n ＝10.05＝20， 成绩在[90,95)的频率为1－5×(0.01＋0.02＋0.06＋0.07)＝0.2， 所以成绩在[90,95)中的学生人数为20×0.2＝4，所以成绩在[75,80)中有1个人，设为a ，成绩在[90,95)中有4个人，设为A ，B ，C ，D ， 从5个人中任意取2个人有(a ，A )，(a ，B )，(a ，C )，(a ，D )，(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(B ，C )，(B ，D )，(C ，D )，共10个基本事件，2名学生成绩都在[90,95)的事件有(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(B ，C )，(B ，D )，(C ，D )，共6个基本事件， 所以由古典概型的概率公式，得所求概率为610＝35.9.将函数f (x )＝23cos 2x －2sin x cos x －3的图象向左平移t (t >0)个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数，则t 的最小值为________. 答案：π6解： f (x )＝23cos 2x －2sin x cos x －3＝23×1＋cos 2x 2－sin 2x －3＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，平移后函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2t ＋π6为奇函数，所以2t ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，解：得t ＝k π2＋π6，k ∈Z ，所以当k ＝0时，t 有最小值π6.10.如图，已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象关于点M (2,0)对称，且f (x )的图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为4，将f (x )的图象向右平移13个单位长度，得到函数g (x )的图象，则g (x )的单调递增区间为____________.答案： ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k －23，4k ＋43(k ∈Z ) 解： 由图知A ＝3，不妨设两个相邻的最高点和最低点分别为P ，Q ，过P 作PH ⊥x 轴于点H ，如图所示.令HM ＝m (m >0)，则m 2＋(3)2＝4，得m ＝1，所以P (1，3)，Q (3，－3)，设函数f (x )的最小正周期为T ，则T 2＝2，T ＝4＝2πω，ω＝π2，所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋φ， 将(2,0)代入得π＋φ＝π＋2k π(k ∈Z )， 因为|φ|<π2，所以φ＝0，f (x )＝3sin π2x ，所以g (x )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x －π6.由2k π－π2≤π2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，解：得4k －23≤x ≤4k ＋43()k ∈Z .所以g (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k －23，4k ＋43k ∈Z .11.已知抛物线C ：y 2＝4x ，过焦点F 且斜率为3的直线与C 相交于P ，Q 两点，且P ，Q 两点在准线上的投影分别为M ，N 两点，则S △MFN ＝________.答案：833解： 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，所以S △MFN ＝12×p ×|y 1－y 2|＝12×2×|y 1－y 2|＝|y 1－y 2|，直线方程是y ＝3(x －1)，与抛物线方程联立，消去x ， 整理得3y 2－4y －43＝0，所以y 1＋y 2＝43，y 1y 2＝－4，所以|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝163＋16＝833. 12.在△ABC 中，a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边，且2ab sin C ＝3()b 2＋c 2－a 2，若a＝13，c ＝3，则△ABC 的面积为________. 答案： 3 3解： 由题意得2ab sin C 2bc ＝3·b 2＋c 2－a 22bc ，即a sin Cc＝3cos A ，由正弦定理得sin A ＝3cos A, 所以tan A ＝3，A ＝π3.由余弦定理得13＝32＋b 2－2×3b cos π3，解：得b ＝4，故面积为12bc sin A ＝12×4×3×32＝3 3.13.如图，已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F 1，左、右顶点分别为A ，B ，M 在双曲线上且在x 轴的上方，MF 1⊥x 轴，直线MA ，MB 与y 轴分别交于P ，Q 两点，若OP ＝eOQ (e 为双曲线的离心率)，则e ＝________.答案：2＋1解： 由已知得，A (－a,0)，B (a,0)，F 1(－c,0)，M ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a . 由△BOQ ∽△BF 1M 可得，OQ MF 1＝OBBF 1，即OQ b 2a＝a a ＋c ，解：得OQ ＝b 2a ＋c . 由△AOP ∽△AF 1M 可得，OP MF 1＝OA AF 1， 即OP b 2a＝a c －a ，解：得OP ＝b 2c －a . 由已知得OP ＝eOQ ，可得b 2c －a＝e ×b 2a ＋c，所以a ＋c ＝e (c －a )，即1＋e ＝e (e －1)， 整理得e 2－2e ＝1，又e >1，所以e ＝2＋1.14.设函数g (x )＝e x＋3x －a (a ∈R ，e 为自然对数的底数)，定义在R 上的连续函数f (x )满足：f (－x )＋f (x )＝x 2，且当x ＜0时，f ′(x )＜x ，若∃x 0∈{x |f (x )＋2≥f (2－x )＋2x }，使得g ()g ()x 0＝x 0，则实数a 的取值范围为________.答案：(]－∞，e ＋2解： 设F (x )＝f (x )－x 22，则F ′(x )＝f ′(x )－x ，所以当x <0时，F ′(x )<0，故函数F (x )＝f (x )－x 22是()－∞，0上的单调递减函数，又由f (－x )＋f (x )＝x 2可知，F (－x )＋F (x )＝f (－x )＋f (x )－2×x 22＝0，则函数F (x )＝f (x )－x 22是奇函数，所以函数F (x )＝f (x )－x 22是()－∞，＋∞上的单调递减函数.由题设中f (x )＋2≥f ()2－x ＋2x 可得F (x )≥F ()2－x ，解：得x ≤1，由g (g (x 0))＝x 0，得g (x 0)＝x 0，所以问题转化为x ＝e x＋3x －a 在(]－∞，1上有解：，即a ＝e x＋2x 在(]－∞，1上有解：，令h (x )＝e x＋2x ，x ∈(－∞，1]， 则h ′(x )＝e x＋2>0，故h (x )＝e x＋2x 在(]－∞，1上单调递增，则h (x )≤h (1)＝e ＋2，即a ≤e＋2.填空题满分练(4)1.(2018·南通、徐州、扬州等六市模拟)已知复数z 1＝a ＋i ，z 2＝3－4i ，其中i 为虚数单位，若z 1z 2为纯虚数，则实数a 的值为________. 答案： 43解： ∵复数z 1＝a ＋i ，z 2＝3－4i ，∴z 1z 2＝a ＋i 3－4i ＝(a ＋i )(3＋4i )(3－4i )(3＋4i )＝3a －4＋(4a ＋3)i 25， ∵z 1z 2为纯虚数，∴3a －4＝0且4a ＋3≠0，即a ＝43.2.已知全集U ＝R ，集合A ＝{x ||x －1|<1}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2x －5x －1≥1，则A ∩(∁U B )＝________. 答案： {x |1≤x <2}解： 由题意得A ＝{x ||x －1|<1}＝{x |－1<x －1<1}＝{x |0<x <2}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2x －5x －1≥1＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －4x －1≥0＝{x |x <1或x ≥4}， ∴∁U B ＝{x |1≤x <4}， ∴A ∩(∁U B )＝{x |1≤x <2}.3.在等差数列{a n }中，a 4，a 7是函数f (x )＝x 2－3x －18的两个零点，则{a n }的前10项和为________. 答案： 15解： 由题意得a 4，a 7是方程x 2－3x －18＝0的两根， ∴a 4＋a 7＝3，∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝5(a 1＋a 10)＝5(a 4＋a 7)＝5×3＝15.4.在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆x 2＋y 2＝4上两点，点A (1,1)，且AB ⊥AC ，则线段BC 的长度的取值范围为________. 答案： [6－2，6＋2] 解： 设BC 的中点为M (x ，y ). 因为OB 2＝OM 2＋BM 2＝OM 2＋AM 2， 所以4＝x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2，化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝32，所以点M 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12为圆心，62为半径的圆，所以AM 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤6－22，6＋22，所以BC 的取值范围是[6－2，6＋2]. 5.已知直线m ，n ，平面α，β，给出下列命题： ①若m ⊥α，n ⊥β，且m ⊥n ，则α⊥β； ②若m ∥α，n ∥β，且m ∥n ，则α∥β； ③若m ⊥α，n ∥β，且m ⊥n ，则α⊥β. 其中正确的命题是________.(填序号) 答案： ①解： ①若m ⊥α，n ⊥β，且m ⊥n ，则α⊥β，正确.∵n ⊥β，且m ⊥n ，可得出m ∥β或m ⊂β，又m ⊥α，故可得α⊥β. ②若m ∥α，n ∥β，且m ∥n ，则α∥β，不正确. 两平面有可能相交.③若m ⊥α，n ∥β，且m ⊥n ，则α⊥β，不正确.m ⊥α且m ⊥n ，可得出n ∥α或n ⊂α，又n ∥β，故不能得出α⊥β.6.甲、乙、丙、丁四个人到重庆旅游，朝天门、解：放碑、瓷器口三个景点，每个人只去一个景点，每个景点至少有一个人去，则甲不到瓷器口的方案有________种. 答案： 24解： 分两类求解：.①甲单独一人时，则甲只能去另外两个景点中的一个，其余三人分为两组然后分别去剩余的两个景点，故方案有C 12C 23A 22＝12(种)；②甲与另外一人为一组到除瓷器口之外的两个景点中的一个，其余两人各去一个景点，故方案有C 13C 12A 22＝12(种).由分类加法计数原理，可得总的方案数为24.7.函数y ＝f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，函数单调递增，若f (1)＝1，则满足－1≤f (x ＋2)≤1的x 的取值范围是________. 答案： [－3，－1]解： 函数y ＝f (x )为定义在R 上的奇函数，由f (1)＝1，可知f (－1)＝－1.当x ≥0时，函数单调递增，由y ＝f (x )为定义在R 上的奇函数，得y ＝f (x )在R 上单调递增. 则由－1≤f (x ＋2)≤1，可得－1≤x ＋2≤1， 解：得－3≤x ≤－1.8.如图所示的流程图输出的结果为510，则判断框内的条件是________.答案： n ≤8(或n <9)解： 由题意得该程序的功能是计算2＋22＋23＋ (2). ∵2＋22＋23＋ (2)＝2(1－2n)1－2＝2n ＋1－2，∴当n ＝7时，2n ＋1－2＝28－2＝254，不合题意；当n ＝8时，2n ＋1－2＝29－2＝510，符合题意.∴判断框中的条件为n ≤8或n <9.9.已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4≥0，x －2≤0，x ＋y ≥0，x ，y ∈R ，则x 2＋y 2的最大值为________.答案： 8解： 画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示(含边界).x 2＋y 2表示可行域内的点(x ，y )到原点距离的平方.由图形可得，可行域内的点A 或点B 到原点的距离最大，且A (2，－2)，B (2,2)，又OA ＝OB ＝22， ∴(x 2＋y 2)max ＝8.10.设直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有顶点都在同一个球面上，且球的表面积是40π，AB ＝AC＝AA 1，∠BAC ＝120°，则此直三棱柱的高是________. 答案： 2 2解： 设AB ＝AC ＝AA 1＝x ， 在△ABC 中，∠BAC ＝120°， 则由余弦定理可得BC ＝3x .由正弦定理，可得△ABC 外接圆的半径为r ＝x ， ∵球的表面积是40π， ∴球的半径为R ＝10.设△ABC 外接圆的圆心为O ′，球心为O ，在Rt△OBO ′中，有⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋x 2＝10，解：得x ＝22，即AA 1＝2 2.∴直三棱柱的高是2 2.11.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，P 为双曲线左支上一点，△ABP为等腰三角形且外接圆的半径为5a ，则双曲线的离心率为________. 答案：153解： 由题意知在等腰△ABP 中，AB ＝AP ＝2a ，设∠ABP ＝∠APB ＝θ，F 1为双曲线的左焦点，则∠F 1AP ＝2θ，其中θ必为锐角. ∵△ABP 外接圆的半径为5a ， ∴25a ＝2asin θ，∴sin θ＝55，cos θ＝255， ∴sin 2θ＝2×55×255＝45， cos 2θ＝2×⎝⎛⎭⎪⎫2552－1＝35. 设点P 的坐标为(x ，y )， 则x ＝－a －AP cos 2θ＝－11a 5， y ＝AP sin 2θ＝8a5，故点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－11a 5，8a 5.由点P 在双曲线上，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－11a 52a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫8a 52b 2＝1，整理得b 2a 2＝23，∴e ＝c a＝1＋b 2a 2＝153. 12.七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的.如图在一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是________.答案：316解： 由七巧板的构造可知，△BIC ≌△GOH ，故黑色部分的面积与梯形EFOH 的面积相等， 则S EFOH ＝34S △DOF ＝34×14S ABDF ＝316S ABDF ，∴所求的概率为P ＝S EFOH S ABDF ＝316. 13.在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝S n ＋3n(n ∈N *，n ≥1)，则数列{S n }的通项公式为________. 答案： S n ＝3n－2n解： ∵a n ＋1＝S n ＋3n＝S n ＋1－S n ， ∴S n ＋1＝2S n ＋3n，∴S n ＋13n ＋1＝23·S n 3n ＋13， ∴S n ＋13n ＋1－1＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫S n 3n －1， 又S 13－1＝13－1＝－23， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n 3n －1是首项为－23，公比为23的等比数列，∴S n 3n －1＝－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n， ∴S n ＝3n－2n.14.德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet,1805—1859)在数学领域成就显著.19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”：y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ∈Q ，0，x ∈∁R Q ，其中R 为实数集，Q 为有理数集.则关于函数f (x )有如下四个命题：①f (f (x ))＝0；②函数f (x )是偶函数；③任取一个不为零的有理数T ，f (x ＋T )＝f (x )对任意的x ∈R 恒成立；④存在三个点A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))，C (x 3，f (x 3))，使得△ABC 为等边三角形.其中真命题的个数是________. 答案： 3解： 当x 为有理数时，f (x )＝1；当x 为无理数时，f (x )＝0，∴当x 为有理数时，f (f (x ))＝f (1)＝1；当x 为无理数时，f (f (x ))＝f (0)＝1，∴无论x 是有理数还是无理数，均有f (f (x ))＝1，故①不正确；∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，∴对任意x ∈R ，都有f (－x )＝f (x )，故②正确；当T ∈Q 时，若x 是有理数，则x ＋T 也是有理数；若x 是无理数，则x ＋T 也是无理数，∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T ，f (x ＋T )＝f (x )对x ∈R 恒成立，故③正确；取x 1＝33，x 2＝0，x 3＝－33，f (x 1)＝0，f (x 2)＝1，f (x 3)＝0，∴A ⎝⎛⎭⎪⎫33，0，B (0,1)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0，△ABC 恰好为等边三角形，故④正确. 填空题满分练(5)1.i 是虚数单位，(1－i)z ＝2i ，则|z |＝________. 答案：2解： 由题意知z ＝2i 1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋i ，则|z |＝(－1)2＋12＝ 2. 2.已知集合P ＝{x |－1≤x <2}，集合Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0<x ≤52，则P ∩Q ＝________. 答案： (0,2) 解： P ∩Q ＝(0,2).3.已知e 1，e 2是夹角为90°的两个单位向量，且a ＝3e 1－e 2,b ＝2e 1＋e 2，则a ，b 的夹角为________.(用度数表示) 答案： 45°解： ∵e 1，e 2是夹角为90° 的两个单位向量， ∴||e 1||＝e 2＝1，e 1·e 2＝0， ∴||a ＝()3e 1－e 22＝9||e 12－6e 1·e 2＋||e 22＝10，||b ＝()2e 1＋e 22＝4||e 12＋4e 1·e 2＋||e 22＝5，a ·b ＝()3e 1－e 2·()2e 1＋e 2＝6||e 12－||e 22＝5，设a 与b 的夹角为θ， 则cos θ＝a ·b ||a ||b ＝510×5＝22，∵0°≤θ≤180°， ∴θ＝45°.4.已知整数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －7≥0，x ＋2y －5>0，则3x ＋4y 的最小值是________.答案： 16解： 可行域如图所示，令z ＝3x ＋4y ，当动直线3x ＋4y －z ＝0过点A 时，z 有最小值.又由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －7＝0，x ＋2y －5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，故A (3,1)，但点A (3,1)不在可行域内，故当直线过可行域内的整点(4,1)时，z 有最小值16.5.已知一个样本为x,1，y,5，若该样本的平均数为2，则它的方差的最小值为________. 答案： 3解： 样本x ,1，y ,5的平均数为2，故x ＋y ＝2，故s 2＝14[(x －2)2＋(y －2)2＋10]＝52＋14(x2＋y 2)≥52＋14×(x ＋y )22＝52＋14×2＝3，当且仅当x ＝y ＝1时取等号，故方差的最小值是3.6.(2018·江苏省盐城市东台中学模拟)下面求2＋5＋8＋…＋2018的值的伪代码中，正整数m 的最大值为________. I ←2S ←0While I <m S ←S ＋I I ←I ＋3 EndWhile Print S 答案： 2021解： 由伪代码知，这是当型循环结构的算法， 由于累加项的步长为3， 循环变量I 的终值为2018， 故2018<m <2022，由于m 是正整数，所以最大值为2021.7.(2018·江苏省高考冲刺预测卷)已知关于实数x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －19≥0，x －y ＋8≥0，2x ＋y －14≤0构成的平面区域为Ω，若∃(x 0，y 0)∈Ω，使得(x 0－1)2＋(y 0－4)2≤m ，则实数m 的取值范围是________. 答案： [20，＋∞)解： 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －19≥0，x －y ＋8≥0，2x ＋y －14≤0表示的可行域如图阴影部分所示(含边界).(x 0－1)2＋(y 0－4)2表示可行域内一点与点(1,4)之间的距离的平方和， ∵点(1,4)到直线x ＋2y －19＝0的距离为25， 故[(x 0－1)2＋(y 0－4)2]min ＝20， 故实数m 的取值范围是[20，＋∞).8.已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，若将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度得到函数g (x )的图象，则函数g (x )＝________.答案： 2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 解： ∵由图象知，14T ＝π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝π4，∴T ＝π，ω＝2.∵2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＋φ＝2，∴2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z .∵|φ|<π，∴φ＝2π3，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3.f (x )的图象向右平移π6个单位长度后得到的图象解：式为g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋2π3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.9.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)与抛物线y 2＝8x 有相同的焦点F ，过点F 且垂直于x 轴的直线l 与抛物线交于A, B 两点，与双曲线交于C, D 两点，当AB ＝2CD 时，双曲线的离心率为________. 答案：5＋12解： 由题意知F (2,0), c ＝2，∵过点F 且垂直于x 轴的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，与双曲线交于C, D 两点， 在y 2＝8x 中，令x ＝2，则y 2＝16，即y ＝±4. ∴AB ＝8，∴CD ＝4，将x ＝2代入到双曲线的方程，可得y ＝±b 4a 2－1，则2b4a 2－1＝4.∵a 2＋b 2＝c 2＝4，∴a ＝5－1， ∴双曲线的离心率为e ＝c a＝25－1＝5＋12.10.已知△ABC 的顶点A ∈平面α，点B ，C 在平面α的同侧，且AB ＝2，AC ＝3，若AB ，AC 与α所成的角分别为π3，π6，则线段BC 长度的取值范围为________.答案： [1，7]解： 如图，过B ，C 作平面的垂线，垂足分别为M ，N ， 则四边形BMNC 为直角梯形.在平面BMNC 内，过C 作CE ⊥BM 交BM 于点E . 又BM ＝2sin∠BAM ＝2sinπ3＝3，AM ＝2cos π3＝1， CN ＝3sin∠CAN ＝3sinπ6＝32，AN ＝3cos π6＝32， 所以BE ＝BM －CN ＝32，故BC 2＝MN 2＋34. 又AN －AM ≤MN ≤AM ＋AN ， 即12＝AN －AM ≤MN ≤AM ＋AN ＝52， 所以1≤BC 2≤7，即1≤BC ≤7.11.已知数列{a n }是各项均为正整数的等差数列，公差d ∈N *，且{a n }中任意两项之和也是该数列中的一项，若a 1＝6m，其中m 为给定的正整数，则d 的所有可能取值的和为__________. 答案： 12(2m ＋1－1)(3m ＋1－1)解： ∵公差d 是a 1＝6m 的约数， ∴d ＝2i·3j(i ，j ＝0,1,2，…，m )，∴d 的所有可能取值之和为∑i ＝0m2i ·∑j ＝0m3j ＝12(2m ＋1－1)·(3m ＋1－1).12.已知点M 为单位圆x 2＋y 2＝1上的动点，点O 为坐标原点，点A 在直线x ＝2上，则AM →·AO →的最小值为________. 答案： 2解： 设A (2，t )，M (cos θ，sin θ)，则AM →＝(cos θ－2，sin θ－t )，AO →＝(－2，－t )， 所以AM →·AO →＝4＋t 2－2cos θ－t sin θ. 又(2cos θ＋t sin θ)max ＝4＋t 2， 故AM →·AO →≥4＋t 2－4＋t 2.令s ＝4＋t 2，则s ≥2，又4＋t 2－4＋t 2＝s 2－s ≥2， 当s ＝2，即t ＝0时等号成立，故(AM →·AO →)min ＝2.13.已知函数f (x )＝x 2－2mx ＋m ＋2，g (x )＝mx －m ，若存在实数x 0∈R ，使得f (x 0)<0且g (x 0)<0同时成立，则实数m 的取值范围是________. 答案： (3，＋∞)解： 当m >0，x <1时，g (x )<0， 所以f (x )<0在(－∞，1)上有解：，则⎩⎪⎨⎪⎧f (1)<0，m >0或⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，Δ>0，f (1)≥0，m <1，即m >3或⎩⎪⎨⎪⎧m >0，m 2－m －2>0，3－m ≥0，m <1，故m >3.当m <0，x >1时，g (x )<0，所以f (x )<0在(1，＋∞)上有解：， 所以⎩⎪⎨⎪⎧f (1)<0，m <0，此不等式组无解：.综上，m 的取值范围为(3，＋∞).14.已知实数a >0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1＋a2，x ＜0，ex －1＋a 2x 2－()a ＋1x ＋a 2，x ≥0，若关于x 的方程f (－f (x ))＝e －a ＋a2有三个不等的实根，则实数a 的取值范围是________.答案： ⎝⎛⎭⎪⎫2，2＋2e 解： 当x ＜0时，f (x )为增函数， 当x ≥0时，f ′(x )＝ex －1＋ax －a －1, f ′(x )为增函数，令f ′(x )＝0，解：得x ＝1，故函数f (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 最小值为f (1)＝0.由此画出函数f (x )的图象如图所示.令t ＝－f (x )，因为f (x )≥0，所以t ≤0，则有⎩⎪⎨⎪⎧f ()t ＝e－a＋a2，f ()t ＝et －1＋a2，解：得－a ＝t －1，所以t ＝－a ＋1，所以f (x )＝a －1. 所以方程要有三个不同的实数根，则需a 2＜a －1＜1e ＋a 2，解：得2＜a ＜2e＋2.填空题满分练(6)1.已知全集U ＝R ，N ＝{x |x (x ＋3)<0}，M ＝{x |x <－1}，则图中阴影部分表示的集合是________.答案： {x |－1≤x <0}2.(2018·江苏省高考冲刺预测卷)若复数z ＝1－i2－i ，则z 的虚部为________.答案： －15解： z ＝1－i 2－i ＝(1－i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝3－i5，其虚部为－15.3.已知数列{a n }满足：对于∀m ，n ∈N *，都有a n ·a m ＝a n ＋m ，且a 1＝12，那么a 5＝________.答案：132解： 由于a n ·a m ＝a n ＋m (m ，n ∈N *)，且a 1＝12.令m ＝1，得12a n ＝a n ＋1，所以数列{a n }是公比为12，首项为12的等比数列.因此a 5＝a 1q 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝132.4.如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录绘制了日销售量的频率分布直方图.若一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内日销售量不少于150个的天数为________.答案： 9解： 这家面包店一个月内日销售量不少于150个的天数为(0.004＋0.002)×50×30＝9.5.已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，△PF 1F 2是以F 2P为底边的等腰三角形，且60°<∠PF 1F 2<120°，则该椭圆的离心率的取值范围是________. 答案： ⎝⎛⎭⎪⎫3－12，12 解： 由题意可得PF 1＝F 1F 2＝2c ，再由椭圆的定义可得PF 2＝2a －PF 1＝2a －2c . 设∠PF 1F 2＝θ，又60°<∠PF 1F 2<120°， ∴－12<cos θ＜12.在△PF 1F 2中，由余弦定理可得cos θ＝c 2－a 2＋2ac 2c2， 由－12＜cos θ＜12，可得e 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫3－12，12.6.若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，x －2y ＋2≥0，则z ＝yx －3的最小值是________.答案： －2解： 画出满足约束条件的可行域，如图中阴影部分所示(含边界)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2＝0，x －y ＝0，解：得A (2,2)，z ＝y x －3的几何意义为可行域内的点与定点P (3,0)的连线的斜率. ∵k PA ＝2－02－3＝－2，∴z ＝y x －3的最小值是－2.7.已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 依次成等差数列，BC 边上的中线AD ＝7，AB ＝2，则S △ABC ＝________. 答案： 3 3解： ∵A ，B ，C 成等差数列，∴B ＝60°，在△ABD 中，AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos B ，即7＝4＋BD 2－2BD ，∴BD ＝3或－1(舍去)，可得BC ＝6，∴S △ABC ＝12AB ·BC ·sin B ＝12×2×6×32＝3 3.8.已知三棱锥P －ABC 内接于球O ，PA ＝PB ＝PC ＝2，当三棱锥P －ABC 的三个侧面的面积之和最大时，球O 的表面积为________. 答案： 12π解： 由于三条侧棱相等，根据三角形面积公式可知，当PA ，PB ，PC 两两垂直时，侧面积之和最大.此时PA ，PB ，PC 可看成正方体一个顶点的三条侧棱，其外接球直径为正方体的体对角线，即4R 2＝3·22＝12，故球的表面积为4πR 2＝12π.9.给出如图所示的流程图，若输入的x 的值为－5，则输出的y 值是________.答案： 0解： 由流程图知，若输入的x 的值为－5，⎝ ⎛⎭⎪⎫12－5＝25＝32>2，程序继续运行x ＝－3，⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3＝23＝8>2，程序继续运行x ＝－1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2，不满足⎝ ⎛⎭⎪⎫12x>2，∴执行y ＝log 2x 2＝log 21＝0.10.若函数f (x )＝a sin ωx ＋b cos ωx (0<ω<5，ab ≠0)的图象的一条对称轴方程是x ＝π4ω，函数f ′(x )的图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0，则f (x )的最小正周期是________.答案： π解： 由f (x )＝a 2＋b 2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫tan φ＝b a 图象的对称轴方程为x ＝π4ω可知，π4＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，解：得φ＝π4＋k π，k ∈Z ，即ba＝tan φ＝1，所以a ＝b .又f ′(x )＝a ωcos ωx －b ωsin ωx 的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝0，即a ω⎝⎛⎭⎪⎫cosωπ8－sin ωπ8＝0，所以ωπ8＝π4＋k π，k ∈Z ，解：得ω＝2＋8k ，k ∈Z ，又因为0<ω<5，所以ω＝2，所以T ＝2πω＝π.11.在正三角形ABC 内任取一点P ，则点P 到A ，B ，C 的距离都大于该三角形边长一半的概率为________. 答案： 1－3π6解： 满足条件的正三角形ABC 如图所示.设边长为2，其中正三角形ABC 的面积S △ABC ＝34×4＝ 3. 满足到正三角形ABC 的顶点A ，B ，C 的距离至少有一个小于等于1的平面区域如图中阴影部分所示，其加起来是一个半径为1的半圆， 则S 阴影＝12π，则使取到的点到三个顶点A ，B ，C 的距离都大于1的概率P ＝1－3π6. 12.已知△ABC 的三个顶点的坐标为A (0,1)，B (1,0)，C (0，－2)，O 为坐标原点，动点M 满足|CM →|＝1，则|OA →＋OB →＋OM →|的最大值是________. 答案：2＋1解： 设点M 的坐标是(x ，y )，∵C (0，－2)，且|CM →|＝1，∴x 2＋(y ＋2)2＝1，x 2＋(y ＋2)2＝1，则点M 的轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆. ∵A (0,1)，B (1,0)，∴OA →＋OB →＋OM →＝(x ＋1，y ＋1)，则|OA →＋OB →＋OM →|＝(x ＋1)2＋(y ＋1)2，其几何意义表示圆x 2＋(y ＋2)2＝1上的点与点P (－1，－1)间的距离.又点P (－1，－1)在圆C 的外部，∴|OA →＋OB →＋OM →|max ＝|PC →|＋1＝(0＋1)2＋(－2＋1)2＋1＝2＋1.13.已知P 为函数y ＝4x的图象上任一点，过点P 作直线PA ，PB 分别与圆x 2＋y 2＝1相切于A ，B 两点，直线AB 交x 轴于M 点，交y 轴于N 点，则△OMN 的面积为________.答案： 18解： 不妨设点P 在第一象限，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，4x 0，则PO 2＝x 20＋16x 20，PA 2＝PB 2＝PO 2－12＝x 20＋16x 20－1，故以P 为圆心，PA 为半径的圆的方程为()x －x 02＋⎝⎛⎭⎪⎫y －4x2＝x 20＋16x 20－1，联立x 2＋y 2＝1，两圆方程作差可得直线AB 的方程为x 0x ＋4x 0y －1＝0，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 0，0，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，x 04， 所以△OMN 的面积为12·1x 0·x 04＝18.14.函数y ＝f (x )的定义域为D ，若∀x ∈D ，∃a ∈[1,2]，使得f (x )≥ax 恒成立，则称函数y ＝f (x )具有性质P ，现有如下函数：①f (x )＝ex －1；②f (x )＝2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4－1(x ≤0)； ③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln (1－x )，x <0，(x －1)3＋1，x ≥0.则具有性质P 的函数f (x )为________.(填序号) 答案： ①② 解： ①设φ(x )＝ex －1－x (x ∈R )，则φ′(x )＝ex －1－1.当x >1时，φ′(x )>0；当x <1时，φ′(x )<0.。