[精]高三第一轮复习全套课件2函数第8课时 指数、对数函数

第8课时对数与对数函数[考试要求]1．理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.2．通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.3．了解指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)互为反函数．1．对数的概念一般地，如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x ＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．以10为底的对数叫做常用对数，log10N记为lg_N．以e为底的对数叫做自然对数，log e N记为ln_N．2．对数的性质与运算性质(1)对数的性质：log a1＝0，log a a＝1(a＞0，且a≠1)．(2)对数的运算性质：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么①log a(MN)＝log a M＋log a N；②log a＝log a M－log a N；③log a M n＝n log a M(n∈R)．(3)对数恒等式：a log a N＝N(a>0，且a≠1，N>0)．(4)换底公式：log a b＝log log>0，且≠1；>0；>0，且≠1.3．对数函数(1)一般地，函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞)．(2)对数函数的图象与性质项目a>10<a<1图象定义域(0，＋∞)值域R性质过定点(1，0)，即x ＝1时，y ＝0当x >1时，y >0；当0<x <1时，y <0当x >1时，y <0；当0<x <1时，y >0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数4．反函数指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．[常用结论]1．换底公式的三个重要结论(1)log a b ＝1log；(2)log am b n ＝log a b ；(3)log a b ·log b c ·log c d ＝log a d ．(a ＞0，且a ≠1；b ＞0，且b ≠1；c ＞0，且c ≠1；d ＞0)2．对数函数的图象与底数大小的关系如图，作直线y ＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c ＜d ＜1＜a ＜b .由此我们可得到规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)log 2x 2＝2log 2x ．()(2)函数y ＝log 2(x ＋1)是对数函数．()(3)函数y ＝ln1+1−与y ＝ln (1＋x )－ln(1－x )的定义域相同．()(4)函数y ＝log 2x 与y ＝log 121的图象重合．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√二、教材经典衍生1．(人教A 版必修第一册P 140习题4.4T 1改编)函数y ________．[由log 23(2x －1)≥0，得0＜2x －1≤1，12＜x ≤1.所以函数y 1.]2．(人教A 版必修第一册P 135练习T 2改编)比较下列两个值的大小：(1)log 0.56________log 0.54；(2)log 213________log 123.[答案](1)<(2)＝3．(人教A 版必修第一册P 126练习T 3(2)改编)(log 43＋log 83)·log 32＝________．[(log 43＋log 83)×log 32+×lg 2lg 3＝56.]4．(人教A 版必修第一册P 141习题4.4T 12改编)若log a 23＜1，则实数a 的取值范围是________．(1，＋∞)[当a >1时，满足条件；当0<a <1时，由0<<1，23<log ，得0<a <23.综上，a ∈0(1，＋∞)．]考点一对数的运算[典例1](1)(2023·山东济宁嘉祥一中三模)若2m ＝3n ＝k 且1+1＝2，则k ＝()A．5B．6C．5D．6(2)化简：(log62)2＋log62×log63＋2log63－6log62＝________．(1)B(2)－log62[(1)因为2m＝3n＝k且1+1＝2，所以m≠0且n≠0，所以k＞0且k≠1，且有m＝log2k，n＝log3k，所以1＝log k2，1＝log k3，1+1＝log k2＋log k3＝log k6＝2，则k2＝6.又因为k＞0且k≠1，解得k＝6.故选B.(2)(log62)2＋log62×log63＋2log63－6log62＝log62×(log62＋log63)＋2log63－2＝log62＋2log63－2＝2(log62＋log63)－log62－2＝2－log62－2＝－log62．]解决对数运算问题的常用方法(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．(2)将同底对数的和、差、倍合并．(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．[跟进训练]1．(1)(2023·山东威海二模)已知2a＝9，log83＝b＝() A．23B．2C．6D．9(2)计算：lg25＋lg50＋lg2×lg500＋(lg2)2＝________．(1)C(2)4[(1)因为2a＝9，所以a＝log29＝log232＝2log23，又b＝log83＝log233＝13log23，所以＝2log2313log23＝6.故选C.(2)原式＝2lg5＋lg(5×10)＋lg2×lg(5×102)＋(lg2)2＝2lg5＋lg5＋1＋lg2×(lg5＋2)＋(lg2)2＝3lg5＋1＋lg2×lg5＋2lg2＋(lg2)2＝3lg5＋2lg2＋1＋lg2(lg5＋lg2)＝3lg5＋2lg2＋1＋lg2＝3(lg5＋lg2)＋1＝4．]考点二对数函数的图象及应用[典例2](1)已知函数f(x)＝log a(2x＋b－1)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是()A．0<a-1<b<1B．0<b<a-1<1C．0<b-1<a<1D．0<a-1<b-1<1(2)当0＜x≤1时，4x＜log a x，则a的取值范围是()A．02B21C．(1，2)D．(2，2)(1)A(2)B[(1)由函数图象可知，f(x)为增函数，故a>1.函数图象与y轴的交点坐标为(0，log a b)，由函数图象可知－1<log a b<0，解得1<b<1.综上，0<a-1<b<1.(2)构造函数f(x)＝4x和g(x)＝log a x，当a＞1时，不满足条件；当0＜a＜1时，画出两个函数大致的图象，如图所示，由题意可知f2＜log a12，则a a1.]的图象和函数y＝log＜a≤22.]对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．[跟进训练]2．(1)(多选)若函数f(x)＝a x-2，g(x)＝log a|x|，其中a＞0，且a≠1，则函数f(x)，g(x)在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是()A BC D(2)已知函数f(x)＝|ln x|，若0<a<b，且f(a)＝f(b)，则a＋2b的取值范围是________．(1)AD(2)(3，＋∞)[(1)易知g(x)＝log a|x|为偶函数．当0＜a＜1时，f(x)＝a x-2单调递减，g(x)＝log a|x|在(0，＋∞)上单调递减，此时A选项符合题意．当a＞1时，f(x)＝a x-2单调递增，g(x)＝log a|x|在(0，＋∞)上单调递增，此时D选项符合题意．故选AD.(2)f(x)＝|ln x|的图象如图，因为f(a)＝f(b)，所以|ln a|＝|ln b|，因为0<a<b，所以ln a<0，ln b>0，所以0<a<1，b>1，所以－ln a＝ln b，所以ln a＋ln b＝ln(ab)＝0，所以ab＝1，则b1，所以a＋2b＝a＋2，令g(x)＝x＋2(0<x<1)，则g(x)在(0，1)上单调递减，所以g(x)>g(1)＝1＋2＝3，所以a＋2b>3，所以a＋2b的取值范围为(3，＋∞)．]考点三对数函数的性质及应用比较大小[典例3](1)已知a＝log2e，b＝ln2，c＝log1213，则a，b，c的大小关系为()A．a＞b＞c B．b＞a＞cC．c＞b＞a D．c＞a＞b(2)若实数a，b，c满足log a2<log b2<log c2<0，则下列关系中正确的是() A．a<b<c B．b<a<cC．c<b<a D．a<c<b(1)D(2)C[(1)法一(中间量法)：因为a＝log2e＞1，b＝ln2∈(0，1)，c＝log1213＝log23＞log2e＞1，所以c＞a＞b.法二(图象法)：log1213＝log23，在同一平面直角坐标系中作出函数y＝log2x，y＝lnx的图象，如图，由图可知c＞a＞b.(2)根据不等式的性质和对数的换底公式可得1log 2<1log2<1log2<0，即log2c<log2b<log2a<0，可得c<b<a<1.故选C.]解与对数有关的不等式[典例4](1)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增．若正实数a满足f(log2a)＋f(log12a)≤2f(1)，则a的取值范围是()A．[1，2]B．012C122D．(0，2](2)设函数f(x)＝log2，＞0，log12(−p，＜0.若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是() A．(－1，0)∪(0，1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－1，0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0，1)(1)C(2)C[(1)因为log12a＝－log2a，所以f(log2a)＋f(log12a)＝f(log2a)＋f(－log2a)＝2f(log2a)，原不等式变为2f(log2a)≤2f(1)，即f(log2a)≤f(1)．又因为f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，所以|log2a|≤1，即－1≤log2a≤1，解得12≤a≤2，故选C.(2)由题意可得＞0，log2＞−log2或＜0，log12(−p＞log2(−p，解得a>1或－1<a<0.故选C.]对数函数性质的综合应用[典例5](1)若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在(－∞，1]上单调递减，则a的取值范围为()A．[1，2)B．[1，2]C．[1，＋∞)D．[2，＋∞)(2)(多选)已知函数f(x)＝ln2r12K1，下列说法正确的是()A．f(x)为奇函数B．f(x)为偶函数C．f(x)+∞上单调递减D．f(x)的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)(3)已知函数f(x)＝ln e B+1－x是偶函数，则实数a的值为________．(1)A(2)ACD(3)2[(1)令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，则图象的对称轴为x＝a，要使函数f(x)在(－∞，1]上单调递减，则有1＞0，≥1，即2−>0，≥1，解得1≤a<2，即a∈[1，2)．(2)令2r12K1>0，解得x>12或x<－1，∴f(x)的定义域为−∞，−∪+∞，又f(－x)＝ln−2r1−2K1＝ln2K12r1＝ln＝－ln2r12K1＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，故A正确，B错误．又f(x)＝ln2r12K1＝ln1+令t＝1＋22K1，t>0且t≠1，则y＝ln t，又t＝1＋2在+∞上单调递减，且y＝ln t为增函数，∴f(x)+∞上单调递减，故C正确；由C分析可得f(x)的值域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，故D正确．(3)由题意知f(x)的定义域为R，函数f(x)＝ln e B+1－x是偶函数，则f(－x)＝ln e−B+1＋x＝f(x)＝ln e B+1－x，即ln e B+1e−B＝2x，化简得ln e ax＝2x，解得a＝2．]题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成．[跟进训练]3．(1)(多选)(2024·忻州模拟)已知x＞0，y＞0，且x－y＞ln，则() A．x＞y B．x＋1＞y＋1C．ln(x－y)＜0D．12＜2－y(2)(多选)(2024·浙江杭州模拟)已知函数f(x)＝ln(x2＋x＋m)(m∈R)，则() A．当m>14时，f(x)的定义域为RB．f(x)一定存在最小值C．f(x)的图象关于直线x12对称D．当m≥1时，f(x)的值域为R(3)已知函数f(x)＝ln(1+2－x)＋2，则f(lg3)＋f________．(4)已知f(x)＝1＋log3x(1≤x≤9)，设函数g(x)＝[f(x)]2＋f(x2)，则g(x)max－g(x)min ＝________．(1)ABD(2)AC(3)4(4)5[(1)因为x－y＞ln，所以x－y＞ln y－ln x，所以ln x＋x＞ln y＋y.对于A，设f(x)＝ln x＋x，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增，因为ln x＋x＞ln y＋y，所以f(x)＞f(y)，所以x＞y，故A正确；对于B，因为x＞0，y＞0，且x＞y，1＜1，所以x＋1＞y＋1，故B正确；对于C，当x－y＝e时，ln(x－y)＝1，故C错误；对于D，因为x＞y，所以－x＜－y，所以2－x＜2－y，即12＜2－y，故D正确．故选ABD.(2)对于A，若m>14，则Δ＝1－4m<0，则x2＋x＋m>0恒成立，所以f(x)的定义域为R，故A正确；对于B，若m＝0，则f(x)＝ln(x2＋x)的定义域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，值域为R，没有最小值，故B错误；对于C，由于函数y＝ln2+−y轴对称，将该函数的图象向左平移12个单位长度即可得到函数f(x)＝ln++−14＝ln(x2＋x＋m)的图象，此时f(x)的图象对称轴为直线x＝－12，故C正确；对于D，若m≥1，则y＝x2＋x＋m＝+＋m－14≥34，故f(x)的值域不是R，故D错误．故选AC.(3)设g(x)＝ln(1+2－x)，则f(x)＝g(x)＋2，显然有g(－x)＝－g(x)，即g(x)为奇函数，则g(－x)＋g(x)＝0，所以f(lg3)＋f lg f(lg3)＋f(－lg3)＝g(lg3)＋2＋g(－lg3)＋2＝4.(4)由题意得1≤≤9，1≤2≤9，∴1≤x≤3，∴g(x)的定义域为[1，3]，g(x)＝[f(x)]2＋f(x2)＝(1＋log3x)2＋1＋log3x2＝(log3x)2＋4log3x＋2，设t＝log3x，则0≤t≤1，则y＝t2＋4t＋2＝(t＋2)2－2在[0，1]上单调递增，∴当t＝0，即x＝1时，g(x)min＝g(1)＝2，当t＝1，即x＝3时，g(x)max＝g(3)＝7，∴g(x)max－g(x)min＝5．]点拨：易忽视g(x)的定义域．课时分层作业(十三)对数与对数函数一、单项选择题1．若x log34＝1，则4x＋4－x的值为()A．103B．3C．4D．13A[∵x log34＝1，∴log34x＝1，∴4x＝3，∴4x＋4－x＝3＋3-1＝103.故选A.]2．已知lg a＋lg b＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，则函数f(x)＝a x与g(x)＝lo g1x 的图象可能是()A BC DB[∵lg a＋lg b＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，∴ab＝1，∴a1，∴g(x)＝lo g1x＝log a x，函数f(x)＝a x与函数g(x)＝lo g1互为反函数，∴函数f(x)＝a x与g(x)＝lo g1x的图象关于直线y＝x对称，且具有相同的单调性．故选B.]3．若非零实数a，b，c满足2a＝3b＝6c＝k，则()A．1+1＝1B．2+2＝1C．1+1＝2D．2+1＝2A[由已知2a＝3b＝6c＝k，得a＝log2k，b＝log3k，c＝log6k，1＝log k2，1＝log k3，1＝log k6，1+1＝1.]4．(2024·陕西师大附中模拟)已知a＝log23，b＝log34，c＝32，则()A．c＜b＜a B．b＜c＜aC．c＜a＜b D．a＜c＜bB[因为32＞23，则3＞232，故log23＞log2232＝32，所以a＞c；因为42＜33，则4＜332，故log34＜log3332＝32，所以b＜c.则有b＜c＜a.故选B.]5．(2024·福建龙岩期中)推动小流域综合治理提质增效，推进生态清洁小流域建设是助力乡村振兴和建设美丽中国的重要途径之一．某乡村落实该举措后因地制宜，发展旅游业，预计2023年平均每户将增加4000元收入，以后每年度平均每户较上一年增长的收入是在前一年每户增长收入的基础上以10%的增速增长的，则该乡村每年度平均每户较上一年增加的收入开始超过12000元的年份大约是()(参考数据：ln3≈1.10，ln10≈2.30，ln11≈2.40)A．2033年B．2034年C．2035年D．2036年C[设经过n年之后，每年度平均每户收入增加y元，由题得y＝4000·(1＋10%)n>12000，即1.1n>3，则n ln1.1>ln3，n>ln3ln1.1＝ln3ln11−ln10≈11，又n∈N*，则n＝12．所以所求年份大约是2035年．故选C.]6．(2024·安徽安庆模拟)已知f(x)＝log1(x2－ax＋a)的值域为R，且f(x)在(－3，2－1)上单调递增，则实数a的取值范围是() A．[－2，0]B．−12，0∪[4，＋∞)C．[－2，0]∪[4，＋∞)D．[0，4]B[因为函数f(x)＝log12x2－ax＋a)的值域为R，所以x2－ax＋a取得一切正数，即方程x2－ax＋a＝0有实数解，得Δ＝a2－4a≥0，解得a≤0或a≥4.又函数f(x)＝log12(x2－ax＋a)在(－3，－1)上单调递增，所以函数y＝x2－ax＋a在(－3，－1)上单调递减，且x2－ax＋a＞0在(－3，－1)上恒成立，−1，++≥0，解得a≥－12，综上，实数a12≤a≤0或a≥4.故选B.]二、多项选择题7．(2023·河北邯郸一模)已知函数f(x)＝log2(x＋6)＋log2(4－x)，则()A．f(x)的定义域是(－6，4)B．f(x)有最大值C．不等式f(x)＜4的解集是(－∞，－4)∪(2，＋∞)D．f(x)在[0，4]上单调递增AB[由题意可得+6＞0，4−＞0，解得－6＜x＜4，即f(x)的定义域是(－6，4)，则A 正确；f(x)＝log2(－x2－2x＋24)，因为y＝－x2－2x＋24在(－6，－1)上单调递增，在(－1，4)上单调递减，y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(－6，－1)上单调递增，在(－1，4)上单调递减，所以f(x)max＝f(－1)＝2log25，则B正确；因为f(x)在(－6，－1)上单调递增，在(－1，4)上单调递减，且f(－4)＝f(2)＝4，所以不等式f(x)＜4的解集是(－6，－4)∪(2，4)，则C错误；因为f(x)在(－1，4)上单调递减，所以D错误．故选AB.]8．已知函数f(x)＝|log a(x＋1)|(a>1)，下列说法正确的是()A．函数f(x)的图象恒过定点(0，0)B．函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减C．函数f(x)在区间−12，1上的最小值为0D．若对任意x∈[1，2]，f(x)≥1恒成立，则实数a的取值范围是(1，2]ACD[当x＋1＝1，即x＝0时，f(x)＝0，即图象恒过定点(0，0)，故A正确；当x∈(0，＋∞)时，x＋1∈(1，＋∞)，又a>1，所以f(x)＝|log a(x＋1)|＝log a(x＋1)，由复合函数单调性可知，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝|log a(x＋1)|＝log a(x＋1)单调递增，故B错误；当x∈−12，1时，x＋12，所以f(x)＝|log a(x＋1)|≥log a1＝0，故C正确；当x∈[1，2]时，f(x)＝|log a(x＋1)|＝log a(x＋1)≥1恒成立，所以由函数f(x)在[1，2]上单调递增知log a2≥1，解得1<a≤2，故D正确．]三、填空题9．若函数y＝f(x)与y＝5x互为反函数，则y＝f(x2－2x)的单调递减区间是________．(－∞，0)[因为y＝f(x)与y＝5x互为反函数，所以f(x)＝log5x，则f(x2－2x)＝log5(x2－2x)．设μ＝x2－2x，则f(μ)＝log5μ，由x2－2x＞0，解得x＜0或x＞2，因为f(μ)＝log5μ在其定义域上单调递增，又μ＝x2－2x在(－∞，0)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以y＝f(x2－2x)的单调递减区间是(－∞，0)．]10．函数f(x)＝log2·lo g2(2x)的最小值为________．[依题意得f(x)＝12log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝log2+－14≥－14，当且仅当log2x＝－12，即x f(x)的最小值为－14.]四、解答题11．设f(x)＝log2(a x－b x)，且f(1)＝1，f(2)＝log212.(1)求a，b的值；(2)当x∈[1，2]时，求f(x)的最大值．[解](1)因为f (x )＝log 2(a x －b x )，且f (1)＝1，f (2)＝log 212，所以log 2−=1，log 22−2=log 212，即−=2，2−2=12，解得a ＝4，b ＝2.(2)由(1)得f (x )＝log 2(4x －2x )，令t ＝4x －2x ，则t ＝4x－2x＝2−－14，因为1≤x ≤2，所以2≤2x ≤4，94≤2−≤494，即2≤t ≤12，因为y ＝log 2t 在[2，12]上单调递增，所以y max ＝log 212＝2＋log 23，即函数f (x )的最大值为2＋log 23.12．已知函数f (x )＝log +.(1)若函数f (x )是R 上的奇函数，求a 的值；(2)若函数f (x )在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a 的取值范围．[解](1)若函数f (x )是R 上的奇函数，则f (0)＝0，所以log 2(1＋a )＝0，所以a＝0.经检验，当a ＝0时，f (x )＝－x 是R 上的奇函数．所以a ＝0.(2)由已知得函数f (x )是减函数，故f (x )在区间[0，1]上的最大值是f (0)＝log 2(1＋a )，最小值是f (1)＝log +.由题意得log 2(1＋a )－log +≥2，则log 2(1＋a )≥log 2(4a ＋2)．所以1+≥4+2，4+2＞0，解得－12＜a ≤－13.故实数a 的取值范围是−12，−13．(2024·湖北宜昌协作体期中)已知函数f(x)＝log2(2x＋1)＋ax是偶函数．(1)求a的值；(2)设g(x)＝f(x)＋x，h(x)＝x2－2x＋m，若对任意的x1∈[0，4]，存在x2∈[0，5]，使得g(x1)≥h(x2)，求m的取值范围．[解](1)因为f(x)＝log2(2x＋1)＋ax是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即log2(2－x＋1)－ax＝log2(2x＋1)＋ax，log2(2x＋1)－log2(2－x＋1)＋2ax＝0，log2(2x＋1)－log1＋2ax＝0，log2(2x＋1)－log2ax＝0，log22+11+22＋2ax＝0，log22x＋2ax＝0，x＋2ax＝0，(1＋2a)x＝0，所以1＋2a＝0，即a12.(2)g(x)＝log2(2x＋1)＋12，因为对任意的x1∈0，4，存在x2∈0，5，使得g(x1)≥h(x2)，所以g(x)在0，4上的最小值不小于h(x)在0，5上的最小值，因为g(x)＝log2(2x＋1)＋12在0，4上单调递增，所以g(x)min＝g(0)＝1，因为h(x)＝x2－2x＋m＝(x－1)2＋m－1，所以h(x)在0，1上单调递减，在1，5上单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝m－1，所以1≥m－1，解得m≤2，所以m的取值范围为(－∞，2]。

高考数学一轮总复习学案：第8讲 对数函数1．对数函数的图象与性质a >1 0<a <1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R过定点(1，0)当x >1时，y >0； 当0<x <1时，y <0 当x >1时，y <0； 当0<x <1时，y >0 在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数2.反函数指数函数y ＝a x与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称． 常用结论对数函数图象的特点1．当a >1时，对数函数的图象呈上升趋势；当0<a <1时，对数函数的图象呈下降趋势．2．对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，⎝⎛⎭⎪⎫1a，－1，函数图象只在第一、四象限．3．在直线x ＝1的右侧：当a >1时，底数越大，图象越靠近x 轴；当0<a <1时，底数越小，图象越靠近x 轴，即“底大图低”．一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝log 2x 及y ＝log 133x 都是对数函数．( )(2)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( ) (3)函数y ＝ln 1＋x1－x与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同．( )(4)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，函数图象只经过第一、四象限．( )答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ 二、易错纠偏常见误区| (1)忽略真数大于零致误； (2)忽视对底数的讨论致误．1．函数f (x )＝log 2x 2的单调递增区间为____________．解析：设t ＝x 2，因为y ＝log 2t 在定义域上是增函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t ＝x 2的单调递增区间，所以所求区间为(0，＋∞)．答案：(0，＋∞)2．函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a ＝________． 解析：分两种情况讨论：①当a >1时，有log a 4－log a 2＝1，解得a ＝2；②当0<a <1时，有log a 2－log a 4＝1，解得a ＝12，所以a ＝2或12.答案：2或12对数函数的图象及应用(典例迁移)(1)若函数y ＝a |x |(a >0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是( )(2)若方程4x＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有解，则实数a 的取值范围为____________．【解析】 (1)由于y ＝a |x |的值域为{y |y ≥1}，所以a >1，则y ＝log a |x |在(0，＋∞)上是增函数，又函数y ＝log a |x |的图象关于y 轴对称．因此y ＝log a |x |的图象应大致为选项B ．(2)构造函数f (x )＝4x和g (x )＝log a x ， 当a >1时不满足条件，当0<a <1时，画出两个函数在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上的图象， 可知，只需两图象在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有交点即可， 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≥g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即2≥log a 12，则a ≤22， 所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22. 【答案】 (1)B (2)⎝⎛⎦⎥⎤0，22 【迁移探究】 (变条件)若本例(2)的条件变为：当0<x ≤12时，4x<log a x ，则a 的取值范围为________．解析：构造函数f (x )＝4x和g (x )＝log a x ，当a >1时不满足条件，当0<a <1时，画出两个函数在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上的图象，可知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即2<log a 12，则a >22，所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1.答案：⎝⎛⎭⎪⎫22，1对于较复杂的不等式恒成立问题，可借助函数图象解决，具体做法如下： (1)对不等式变形，使不等号两边分别对应两函数f (x )，g (x )； (2)在同一平面直角坐标系下作出两个函数f (x )与g (x )的图象； (3)比较当x 在某一范围内取值时图象的上下位置来确定参数的取值．1．函数y ＝2log 4(1－x )的图象大致是( )解析：选C ．函数y ＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除A ，B ；函数y ＝2log 4(1－x )在定义域上单调递减，排除D ．选C ．2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．解析：如图，在同一平面直角坐标系中分别作出y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象，其中a 表示直线在y 轴上的截距．由图可知，当a >1时，直线y ＝－x ＋a 与y ＝log 2x 只有一个交点． 答案：(1，＋∞)对数函数的性质及应用(多维探究) 角度一 解对数方程、不等式(1)方程log 2(x －1)＝2－log 2(x ＋1)的解为________．(2)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12（－x ），x <0，则方程f (a )＝f (－a )的解集为________．【解析】 (1)原方程变形为log 2(x －1)＋log 2(x ＋1)＝log 2(x 2－1)＝2，即x 2－1＝4，解得x ＝±5，又x >1，所以x ＝ 5.(2)当a >0时，由f (a )＝log 2a ＝log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝f (－a )＝log 12a ，得a ＝1；当a <0时，由f (a )＝log 12(－a )＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝f (－a )＝log 2(－a )，得a ＝－1. 所以方程f (a )＝f (－a )的解集为{1，－1}． 【答案】 (1)x ＝ 5 (2){－1，1}【迁移探究】 (变问法)本例(2)中，f (a )>f (－a )的解集为________．解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，log 2a >log 12a 或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，log 12（－a ）>log 2（－a ），解得a >1或－1<a <0. 答案：(－1，0)∪(1，＋∞)解对数方程、不等式的方法(1)形如log a x ≥log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a >1与0<a <1两种情况讨论．(2)形如log a x ≥b 的不等式，需先将b 化为以a 为底的对数式的形式． 角度二 对数型函数的综合问题已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)．(1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )的最小值为0，求a 的值．【解】 (1)因为f (1)＝1，所以log 4(a ＋5)＝1，因此a ＋5＝4，即a ＝－1， 所以f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)．由－x 2＋2x ＋3>0得－1<x <3，即函数f (x )的定义域为(－1，3)． 令g (x )＝－x 2＋2x ＋3.则g (x )在(－1，1)上单调递增，在[1，3)上单调递减． 又y ＝log 4x 在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )的单调递增区间是(－1，1)，单调递减区间是[1，3)． (2)若f (x )的最小值为0，则h (x )＝ax 2＋2x ＋3应有最小值1，因此应有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，3a －1a＝1，解得a ＝12.故实数a 的值为12.解与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )A ．[－1，2]B ．[0，2]C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞)解析：选D ．当x ≤1时，21－x≤2，解得x ≥0，所以0≤x ≤1；当x >1时，1－log 2x ≤2，解得x ≥12，所以x >1.综上可知x ≥0.2．若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上单调递减，则a 的取值范围为( ) A ．[1，2) B ．[1，2] C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：选A ．令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧g （1）>0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a ≥1， 解得1≤a <2，即a ∈[1，2)．比较指数式、对数式的大小(师生共研)(1)(2020·高考全国卷Ⅲ)设a ＝log 32，b ＝log 53，c ＝23，则( )A ．a <c <bB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b(2)已知奇函数f (x )在R 上是增函数．若a ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 215，b ＝f (log 24.1)，c ＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小有关系为( )A ．a <b <cB ．b <a <cC ．c <b <aD ．c <a <b【解析】 (1)因为23<32，所以2<323，所以log 32<log 3323＝23，所以a <c .因为33>52，所以3>523，所以log 53>log 5523＝23，所以b >c ，所以a <c <b ，故选A ．(2)因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以a ＝－f (－log 25)＝f (log 25)， 而log 25>log 24.1>2>20.8，且y ＝f (x )在R 上为增函数， 所以f (log 25)>f (log 24.1)>f (20.8)， 即a >b >c ，故选C ． 【答案】 (1)A (2)C(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法．(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.1．已知a ＝log 20.2，b ＝20.2，c ＝0.20.3，则( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．c <a <bD ．b <c <a解析：选B ．因为y ＝log 2x 和y ＝2x是其定义域上的增函数，而y ＝0.2x是减函数，所以a ＝log 20.2<log 21＝0，b ＝20.2>20＝1，c ＝0.20.3∈(0，0.20)，即c ∈(0，1)．所以a <c <b .故选B ．2．(2021·江西五校联考)若0<a <b <1，则a b，b a，log 1ab ，log b a 的大小关系为( )A ．a b>b a>log b a >log 1abB ．b a >a b>log 1ab >log b aC ．log b a >a b>b a>log 1abD ．log b a >b a>a b>log 1ab解析：选D ．因为0<a <b <1，所以0<a b<b b<b a<1，log b a >log b b ＝1，log 1ab <0，所以log b a >b a>a b>log 1ab ，故选D ．思想方法系列5 分类讨论思想研究指数、对数函数的性质已知函数f (x )＝log a (2x －a )(a >0且a ≠1)在区间[12，23]上恒有f (x )>0，则实数a 的取值范围是( )A ．(13，1)B ．[13，1)C ．(23，1)D ．[23，1)【解析】 当0<a <1时，函数f (x )在区间[12，23]上是减函数，所以log a (43－a )>0，即0<43－a <1，解得13<a <43，故13<a <1；当a >1时，函数f (x )在区间[12，23]上是增函数，所以log a (1－a )>0，即1－a >1，解得a <0，此时无解．综上所述，实数a 的取值范围是(13，1)．【答案】 A本题利用了分类讨论思想，在研究指数、对数函数的性质时，常对底数a 的值进行分类讨论，实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想．已知函数y ＝a 2x＋2a x－1(a >0，且a ≠1)，当x ≥0时，求函数的值域．解：y ＝a 2x＋2a x －1，令t ＝a x， 则y ＝g (t )＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2.当a >1时，因为x ≥0，所以t ≥1，所以当a >1时，y ≥2. 当0<a <1时，因为x ≥0，所以0<t ≤1.因为g (0)＝－1，g (1)＝2，所以当0<a <1时，－1<y ≤2. 综上所述，当a >1时，函数的值域是[2，＋∞)； 当0<a <1时，函数的值域是(－1，2]．。

专题8 指数函数与对数函数考纲导读：考纲要求: .理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质;掌握指数函数的概念、图像和性质;理解对数的概念，掌握对数的运算性质;掌握对数函数的概念、图像和性质.考纲解读: 指数函数()x f x a =,具有性质：()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.对抽象函数的研究,合理赋值是唯一途径,不能仅依赖于函数模型; 对数函数()log a f x x =,具有性质：()()(),f xy f x f y =+()1(0,1)f a a a =>≠,应注意对数函数的图象性质的解题中的应用.考点精析：考点1、指数函数与不等式此类题目一般为小题，难度不大，分析时主要根据指数函数的单调性进行解题.【考例1】 (西城区抽样)不等式354x-<的解集为____________.解题思路：解指数不等式时,要注意对应的指数函数的单调性. 正确答案：由|35|4x -<,可得4354x-<-<, 即139x<<, 解之得{|02}x x <<.回顾与反思：本题考查了指数不等式、含绝对值不等式的解法.属基础题的拓宽处理. 知识链接：.指数函数的定义: 一般地,函数 (01)x y a a a =>≠且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是R. 指数函数图象的特征及函数性质如下表：【考例2】 (07·海淀区期中)已知函数||)(x a x f -=（a ＞0，1≠a ），且8)3(=f ，则( )A. )2(f ＞)2(-fB.)3(-f ＞)2(-fC.)1(f ＞)2(fD. )1(-f ＞)2(-f 解题思路：本题考查了指数函数图象的变换及函数的单调性的应用.充分利用函数的图象特征解题是一种很好的解题策略.正确答案：由3(3)8f a-==得12a =, ∴||||1()()22x x f x -==, 当0x ≥时,函数()f x 单调递增; 当0x ≤时, 函数()f x 单调递减. ∴(3)(2)f f ->-, 故应选B.回顾与反思：同底数的指数结构或对数结构比较大小，可以直接利用指数函数或对数函数的单调性进行分析.知识链接：函数(0,1)x y a a a =>≠且的图象和性质如下表:考点2、对数函数的性质 此类题目一般为中档题，难度不大，分析时主要根据对数函数的各方面的性质进行分析求解.【考例1】 (湖北八校联考)函数23log (9)y x =-的定义域为A ，值域为B ，则A B =________．解题思路：本题考查了对数函数的定义域及集合的交集运算.求该函数的值域时要注意对内函数29x -的整体值域的判断及对定义域对其的约定性.正确答案：由290x ->可得33x -<<,即定义域为(3,3)A =-,又由2099x <-≤,得233log (9)log 92x -≤=,即值域为(,2]B =-∞,∴(3,3)(,2](3,2]A B =--∞=- .回顾与反思：对于对数函数，在求其定义域和值域时，应由其基本定义域和值域入手分析.知识链接：对于对数的运算性质要注意以下几点：（1）必须注意0,0M N >>，例如log [(3)(4)]a -- 是存在的，但是log (3)a -与log (5)a -均不存在，故不能写成log [(3)(4)]a --=log (3)a -+log (5)a -. （2）防止出现以下错误log ()log log a a a M N M N ±=±， log ()log log a a a M N M N = ，log log log a aa M M N N=， log (log )n na a M M = （3）利用对数的运算法则可以将乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算.反之也可以将对数的加、减、乘、除运算转化为乘、除、乘方、开方的运算.这充分显示了对数运算的优越性.【考例2】 (北京四中) 已知函数2sin1()log (65)f x x x =-+在(a ，+∞)上是减函数，则实数a 的取值范围为 ( )A. (5，+∞)B. [5,)+∞C. (-∞，3)D. (3，+∞)解题思路：本题考查了对数函数函数与二次函数的复合函数的单调性及字母参数的取值范围的求解问题.其中要注意对数底数sin1的大小的判断.正确答案：由0sin11<<,可知sin1log y u =在(0,)+∞上为减函数, ∵2sin1()log (65)f x x x =-+在(a ，+∞)上是减函数， ∴函数265u x x =-+在(a ，+∞)上必为增函数,而265u x x =-+在(5,)+∞上是增函数, ∴5a ≥, 故应选B.回顾与反思：对数函数结构的值域为R 时，必须保证真数能够取到大于0的所有实数才可以.当底数为字母a 时，必须对底数分a >1与0<a <1两种情况讨论求解.知识链接：对数函数的定义: 一般地,函数log (01)a y x a a =>≠且叫做对数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是(0,)+∞.函数log (0,1)a y x a a =>≠且的图像和性质如下表:考点3、指数函数对数函数综合试题此类题目一般为选择题或解答题，重点在于函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等方面，为基础题型.【考例1】(天津理10)已知函数)(x f y =的图象与函数x a y =（0>a 且1≠a ）的图象关于直线x y =对称，记()()[()(2)1]g x f x f x f =+-．若)(x g y =在区间]2,21[上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．),2[+∞B ．)2,1()1,0(C ．)1,21[D ．]21,0( 解题思路：本题考查了复合函数的单调性及字母参数的取值范围的求解问题.题型中涉及指对数函数的综合性质时,要注意它们之间的过渡及相互间关系的转换.正确答案：由已知可得()log a y f x x ==,∴22()log [log log 21](log )log log a a a a aa g x x x x x a=⋅+-=+⋅ 当1a >时, log a y x =在]2,21[上是增函数, 且1log [log ,log 2]2a a a x ∈,若()g x 在]2,21[上是增函数,则必有112log log 22a a a ≥-, 解之得12a ≤(舍去);当1a >时, log a y x =在]2,21[上是减函数, 且1log [log 2,log ]2a a a x ∈,若()g x 在]2,21[上是增函数,则必有112log log 22a a a ≤-, 解之得102a <≤,故应选D.回顾与反思：指数函数、对数函数值的变化特征是解决许多问题的关键,含有参数的指数函数、对数函数有关的问题需要分类讨论.知识链接：要学会正确处理由指数函数与其它函数构成的复合函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等问题，注意分类讨论、换元法、数形结合等数学思想方法的运用．【考例2】(西城区抽样)设,1>a 函数.2)(1-=+x a x f （I ）求)(x f 的反函数)(1x f -；（II ）若)(1x f -在[0，1]上的最大值与最小值互为相反数，求a 的值； （III ）若)(1x f-的图象不经过第二象限，求a 的取值范围.解题思路：本题以指数复合函数的反函数求解为起点,重点研究了该反函数的最值与参变量的关系,通过函数图象的特征,利用数形结合的思想观点,解决了函数不等式的建模与解模的数学应用能力,考查了考生分析问题与解决问题的能力.正确答案：（I ）因为,01>+x a所以)(x f 的值域是}.2|{->y y 设.1)2(log ,21-+=-=+y x a y a x 解得 ∴)(x f 的反函数为1)2(log )(1-+=-x x f a (2x >-).（II ）当1>a 时，1)2(log )(1-+=-x x f a 为（－2，+∞）上的增函数，所以11(0)(1)0ff --+=即0)13(log )12(log =-+-a a , 解得a = （III ）当1>a 时，函数)(1x f -是（－2，+∞）上的增函数，且经过定点（－1，－1）.所以)(1x f-的图象不经过第二象限的充要条件是)(1x f -的图象与x 轴的交点位于x轴的非负半轴上.令01)2(log =-+x a ，解得2-=a x ， 由.2,02≥≥-a a 解得回顾与反思：指数、对数函数的图象是对数解题的关键,离开了图象,对数的解题就会变得非常抽象, 一定要熟练记忆这些图象,并能灵活运用.知识链接：与对数函数复合而得的二次型函数问题是函数最值求解中的常见题型, 求解时要注意两个方面的问题,一是注意所换元的“整体式”的限制条件,即新引入元的定义域, 二是要注意将问题还原, 使结论出现原来的末知数取值,得其相应的最值.创新探究：【探究1】定义在（－∞，＋∞）上的任意函数f （x ）都可以表示成一个奇函数g （x ）和一个偶函数h （x ）之和，如果f （x ）=lg （10x ＋1），x ∈（－∞，＋∞），那么（ ）A.g （x ）=x ，h （x ）=lg （10x＋10－x ＋2）B.g （x ）=21lg ［（10x ＋1）＋x ］，h （x ）＝21lg ［（10x ＋1）－x ］ C.g （x ）＝2x ，h （x ）＝lg （10x ＋1）－2x D.g （x ）＝－2x ，h （x ）＝lg （10x ＋1）＋2x． 创新思路：本题考查了奇偶函数、对数函数的概念和性质，要求有较强的运算能力.本题背景新颖，对分析问题和解决问题的能力有较高要求.解法一：注意观察四个选项中的每两个函数，容易发现C 中g （x ）＝2x为奇函数， 且h （－x ）=lg （10-x＋1）＋2x ＝lg xx 10101+＋2x ＝lg （10x＋1）－2x ＝h （x ）为偶函数，又g （x ）+h （x ）=lg （10x ＋1）＝f （x ），故应选C.解法二：由已知有f （x ）=g （x ）+h （x ），则f （－x ）=g （－x ）+h （－x ）=－g （x ）+h （x ），所以g （x ）=21［f （x ）－f （－x ）］＝21lg 110110++-x x ＝21lg10x ＝2x ，应选C.【探究2】已知函数f （x ）=lo g a x （a >0且a ≠1，x ∈（0，+∞））.若x 1，x 2∈（0，+∞），判断21［f （x 1）+f （x 2）］与f （221x x +）的大小，并加以证明. 创新思路：本题考查了对数的基本性质、平均值不等式等知识.运用了分类讨论的思想，考查了推理论证的能力.解析: f （x 1）+f （x 2）=lo g a x 1+lo g a x 2=lo g a （x 1·x 2），∵x 1，x 2∈（0，+∞），∴x 1·x 2≤（221x x +）2（当且仅当x 1=x 2时取“=”号）, , ,. 当a >1时，有lo g a x 1x 2≤lo g a（221x x +）2.∴21lo g a （x 1x 2）≤lo g a221x x +，21（lo g a x 1+lo g a x 2）≤lo g a221x x +，即21［f （x 1）+f （x 2）］≤f （221x x +）（当且仅当x 1=x 2时，取“=”号）当0<a <1时，有lo g a x 1·x 2≥lo g a （221x x +）2，即21［f （x 1）+f （x 2）］≥f （221x x +）（当且仅当x 1=x 2时，取“=”号）.方法归纳：1.对于根式记号n a ,要深刻理解以下几点：①n ∈N ,且n ＞1．②当n 为大于1的奇数时，n a 对任意a ∈R 都有意义，它表示a 在实数范围内惟一的一个n 次方根，（n a ）n ＝a ．③若一个数x 的n 次方等于a ，那么x 怎么用a 来表示呢？仅x＝n a 这个回答是不完整的．应该是这样的：x ＝,,(,0,(0)n n a n a a ⎪⎨⎪⎪=⎩为奇数)为偶数为正数)不存在为偶数为负数)2.在指数函数的概念中，对底数a ＞0且a ≠1的规定是为了使函数的定义域为实数集且具有单调性．运用指数函数性质解题时要注意对底数a 的分类讨论。