第四章指数函数与对数函数学考复习资料

全国通用2023高中数学必修一第四章指数函数与对数函数基础知识点归纳总结单选题1、定义在R 上的奇函数f(x)在(−∞,0]上单调递增，且f(−2)=−2，则不等式f(lgx)−f (lg 1x )>4的解集为（ ）A ．(0,1100)B ．(1100,+∞)C ．(0,100)D ．(100,+∞) 答案：D分析：利用函数为奇函数，将不等式转化为f(lgx)>f (2)，再利用函数的单调性求解.因为函数f(x)为奇函数，所以f(−x)=−f (x )，又f(−2)=−2，f(2)=2，所以不等式f(lgx)−f (lg 1x )>4，可化为2f(lgx)>4=2f (2)，即f(lgx)>f (2)，又因为f(x)在(−∞,0]上单调递增，所以f(x)在R 上单调递增，所以lgx >2，解得x >100.故选：D.2、已知0<a <1,b <−1，则函数y =a x +b 的图像必定不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：A解析：根据指数函数的图象结合图象的平移可得正确的选项.因为0<a <1，故y =a x 的图象经过第一象限和第二象限，且当x 越来越大时，图象与x 轴无限接近.因为b <−1，故y =a x 的图象向下平移超过一个单位，故y =a x +b 的图象不过第一象限.故选：A ．3、果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知某种水果失去新鲜度h 与其采摘后时间t （天）满足的函数关系式为ℎ=m ⋅a t ．若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%．那么采摘下来的这种水果在多长时间后失去50%新鲜度（已知lg2≈0.3，结果取整数）（ ）A ．23天B ．33天C ．43天D ．50天答案：B分析：根据题设条件先求出m 、a ，从而得到ℎ=120⋅2110t ，据此可求失去50%新鲜度对应的时间. {10%=m ⋅a 1020%=m ⋅a 20⇒{a 10=2,m =120，故a =2110，故ℎ=120⋅2110t ， 令ℎ=12，∴2t 10=10,∴t 10lg2=1，故t =100.3≈33，故选：B.4、已知函数f(x)=9+x 2x ，g(x)=log 2x +a ，若存在x 1∈[3,4]，对任意x 2∈[4,8]，使得f(x 1)≥g(x 2)，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(−∞,134]B ．(134,+∞)C ．(0,134)D ．（1，4）答案：A分析：将问题化为在对应定义域内f(x 1)max ≥g(x 2)max ，结合对勾函数和对数函数性质求它们的最值，即可求参数范围.由题意知：f(x)在[3,4]上的最大值大于或等于g(x)在[4,8]上的最大值即可．当x ∈[3,4]时，f(x)=9x +x ，由对勾函数的性质得：f(x)在[3,4]上单调递增，故f(x)max =f(4)=94+4=254．当x ∈[4,8]时，g(x)=log 2x +a 单调递增，则g(x)max =g(8)=log 28+a =3+a ，所以254≥3+a ，可得a ≤134．故选：A5、已知函f (x )=log 2(√1+4x 2+2x)+3，且f (m )=−5，则f (−m )=（ ）A ．−1B ．−5C ．11D ．13答案：C分析：令g (x )=log 2(√1+4x 2+2x)，则f (x )=g (x )+3，则先判断函数g (−x )+g (x )=0，进而可得f (−x )+f (x )=6，即f (m )+f (−m )=6，结合已知条件即可求f (−m )的值.令g (x )=log 2(√1+4x 2+2x)，则f (x )=g (x )+3，因为g (x )+g (−x )=log 2(√1+4x 2+2x)+log 2(√1+4x 2−2x)=log 2(1+4x 2−4x 2)=0，所以f (−x )+f (x )=g (−x )+3+g (x )+3=6，则f (m )+f (−m )=6，又因为f (m )=−5，则f (−m )=11，故选：C.6、设函数f （x ）＝ln |2x +1|﹣ln |2x ﹣1|，则f （x ）（ ）A ．是偶函数，且在 (12，+∞)单调递增B ．是奇函数，且在 (−12，12)单调递增C ．是偶函数，且在(−∞，−12)单调递增D ．是奇函数，且在 (−∞，−12)单调递增答案：B分析：先求出f (x )的定义域结合奇偶函数的定义判断f (x )的奇偶性，设t ＝|2x+12x−1|，则y ＝ln t ，由复合函数的单调性判断f (x )的单调性，即可求出答案.解：由{2x +1≠02x −1≠0 ，得x ≠±12． 又f （﹣x ）＝ln |﹣2x +1|﹣ln |﹣2x ﹣1|＝﹣（ln |2x +1|﹣ln |2x ﹣1|）＝﹣f （x ），∴f （x ）为奇函数，由f （x ）＝ln |2x +1|﹣ln |2x ﹣1|＝ln |2x+12x−1|， ∵2x+12x−1=1+22x−1=1+1x−12．可得内层函数t ＝|2x+12x−1|的图象如图，在（﹣∞，−12），（12，+∞）上单调递减，在（−12，12）上单调递增， 又对数式y ＝lnt 是定义域内的增函数，由复合函数的单调性可得，f （x ）在（−12，12）上单调递增，在（﹣∞，−12），（12，+∞）上单调递减．故选：B ．7、已知y 1=(13)x，y 2=3x ，y 3=10−x ，y 4=10x ，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．答案：A分析：根据指数函数的单调性及图像特征进行比较，即可判断.y 2=3x 与y 4=10x 是增函数，y 1=(13)x与y 3=10−x =(110)x 是减函数，在第一象限内作直线x =1，该直线与四条曲线交点的纵坐标的大小对应各底数的大小，易知：选A ．故选：A8、化简√a 3b 2√ab 23(a 14b 12)4⋅√b a 3 (a >0，b >0)的结果是（ ）A ．b aB ．a bC ．a 2bD ．b 2a 答案：B分析：直接利用根式与分数指数幕的互化及其化简运算，求解即可.√a 3b 2√ab 23(a 14b 12)4⋅√a 3=a 32b⋅a 16b 13(a 14b 12)4⋅a −13⋅b 13 =a 32+16−1+13b 1+13−2−13=ab −1=a b 故选：B 9、函数f (x )=√3−x +log 13(x +1)的定义域是（ ） A ．[−1,3)B ．(−1,3)C ．(−1,3]D ．[−1,3]答案：C分析：由题可得{3−x ≥0x +1>0，即得. 由题意得{3−x ≥0x +1>0， 解得−1<x ≤3，即函数的定义域是(−1,3].故选：C.10、若函数y =(m 2−m −1)⋅m x 是指数函数，则m 等于（ ）A ．−1或2B ．−1C ．2D ．12答案：C分析：根据题意可得出关于实数m 的等式与不等式，即可解得实数m 的值.由题意可得{m 2−m −1=1m >0m ≠1，解得m =2. 故选：C.填空题11、方程lg (x 2−x −2)=lg (6−x −x 2)的解为 __________ .答案：x =−2分析：由题意知lg (x 2−x −2)=lg (6−x −x 2)，可求出x 的值，再结合真数大于零进行检验，从而可求出最终的解.由lg (x 2−x −2)=lg (6−x −x 2)，得x 2−x −2=6−x −x 2，所以x =±2，又因为x 2−x −2>0且6−x −x 2>0，所以x =−2；所以答案是：x =−2.12、已知函数f (x )的定义域是[-1，1]，则函数f (log 2x )的定义域为____．答案：[12,2]分析：根据给定条件列出使函数f (log 2x )有意义的不等式组，再求出其解集即可.因函数f (x )的定义域是[-1，1]，则在f (log 2x )中，必有−1≤log 2x ≤1，解不等式可得：{12≤x ≤2x >0，即12≤x ≤2， 所以函数f (log 2x )的定义域为[12,2].所以答案是：[12,2]13、函数f(x)=4+log a (x −1)(a >0且a ≠1)的图象恒过定点_________答案：(2,4)分析：令对数的真数为1，即可求出定点的横坐标，再代入求值即可；解：因为函数f(x)=4+log a(x−1)(a>0且a≠1)，令x−1=1，解得x=2，所以f(2)=4+log a1=4，即函数f(x)恒过点(2,4)；所以答案是：(2,4)解答题14、对于函数f(x)，若其定义域内存在实数x满足f(−x)=−f(x)，则称f(x)为“伪奇函数”．（1）已知函数f(x)=x−2x+1，试问f(x)是否为“伪奇函数”？说明理由；（2）若幂函数g(x)=(n−1)x3−n(n∈R)使得f(x)=2g(x)+m为定义在[−1,1]上的“伪奇函数”，试求实数m的取值范围；（3）是否存在实数m，使得f(x)=4x−m⋅2x+1+m2−3是定义在R上的“伪奇函数”，若存在，试求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．答案：（1）不是；（2）[−54,−1]；（3）[1−√3,2√2]．分析：（1）先假设f(x)为“伪奇函数”，然后推出矛盾即可说明；（2）先根据幂函数确定出g(x)的解析式，然后将问题转化为“2m=−(2x+2−x)在[−1,1]上有解”，根据指数函数的值域以及对勾函数的单调性求解出m的取值范围；（3）将问题转化为“2m2−6=−(4x+4−x)+2m(2x+2−x)在R上有解”，通过换元法结合二次函数的零点分布求解出m的取值范围.（1）假设f(x)为“伪奇函数”，∴存在x满足f(−x)=−f(x)，∴−x−2−x+1=−x−2x+1有解，化为x2+2=0，无解，∴f(x)不是“伪奇函数”；（2）∵g(x)=(n−1)x3−n(n∈R)为幂函数，∴n=2，∴g(x)=x，∴f(x)=2x+m，∵f(x)=2x+m为定义在[−1,1]的“伪奇函数”，∴2−x+m=−2x−m在[−1,1]上有解，∴2m=−(2x+2−x)在[−1,1]上有解，令2x=t∈[12,2]，∴2m=−(t+1t)在t∈[12,2]上有解，又对勾函数y=t+1t 在[12,1)上单调递减，在(1,2]上单调递增，且t=12时，y=52，t=2时，y=52，∴y min=1+1=2,y max=52，∴y=t+1t的值域为[2,52]，∴2m∈[−52,−2]，∴m∈[−54,−1]；（3）设存在m满足，即f(−x)=−f(x)在R上有解，∴4−x−m⋅2−x+1+m2−3=−(4x−m⋅2x+1+m2−3)在R上有解，∴2m2−6=−(4x+4−x)+2m(2x+2−x)在R上有解，令2x+2−x=t∈[2,+∞)，取等号时x=0，∴2m2−6=−(t2−2)+2mt在[2,+∞)上有解，∴t2−2mt+2m2−8=0在[2,+∞)上有解（*），∵Δ=4m2−4(2m2−8)≥0，解得m∈[−2√2,2√2]，记ℎ(t)=t2−2mt+2m2−8，且对称轴t=m，当m∈[−2√2,2]时，ℎ(t)在[2,+∞)上递增，若（*）有解，则ℎ(2)=22−2mt+2m2−8≤0，∴m∈[1−√3,2]，当m∈(2,2√2]时，ℎ(t)在[2,m)上递减，在(m,+∞)上递增，若（*）有解，则ℎ(m)=m2−2m2+2m2−8=m2−8≤0，即m2−8≤0，此式恒成立，∴m∈(2,2√2]，综上可知，m∈[1−√3,2√2].小提示：关键点点睛：解答本题（2）（3）问题的关键在于转化思想的运用，通过理解“伪奇函数”的定义，将问题转化为方程有解的问题，利用换元的思想简化运算并完成计算.15、吉祥物“冰墩墩”在北京2022年冬奥会强势出圈，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办．某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元．每生产x万盒，需投入成本ℎ(x)万元，当产量小于或等于50万盒时ℎ(x)=180x+100；当产量大于50万盒时ℎ(x)=x2+60x+3500，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完（利润＝售价－成本，成本＝固定成本＋生产中投入成本）(1)求“冰墩墩”玩具手办销售利润y（万元）关于产量x（万盒）的函数关系式；(2)当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获利润最大？答案：(1)y={20x−300,0≤x≤50−x2+140x−3700,x>50,x∈N(2)70万盒分析：（1）根据题意分0≤x≤50和x>50两种情况求解即可；（2）根据分段函数中一次与二次函数的最值求解即可.（1）当产量小于或等于50万盒时，y=200x−200−180x−100=20x−300，当产量大于50万盒时，y=200x−200−x2−60x−3500=−x2+140x−3700，故销售利润y（万元）关于产量x（万盒）的函数关系式为y={20x−300,0≤x≤50−x2+140x−3700,x>50,x∈N （2）当0≤x≤50时，y≤20×50−300=700；当x>50时，y=−x2+140x−3700，当x=1402=70时，y=−x2+140x−3700取到最大值，为1200．因为700<1200，所以当产量为70万盒时，该企业所获利润最大．。

人教版高中数学第四章指数函数与对数函数必考知识点归纳单选题1、若ln2=a ，ln3=b ，则log 818=（ ）A ．a+3ba 3B ．a+2b 3a C ．a+2ba 3D ．a+3b 3a答案：B分析：先换底，然后由对数运算性质可得.log 818=ln18ln8=ln(32×2)ln23=2ln3+ln23ln2=2b+a 3a .故选：B 2、设函数f(x)=ln|2x +1|−ln|2x −1|，则f (x )（ ）A ．是偶函数，且在(12,+∞)单调递增B ．是奇函数，且在(−12,12)单调递减 C ．是偶函数，且在(−∞,−12)单调递增D ．是奇函数，且在(−∞,−12)单调递减答案：D分析：根据奇偶性的定义可判断出f (x )为奇函数，排除AC ；当x ∈(−12,12)时，利用函数单调性的性质可判断出f (x )单调递增，排除B ；当x ∈(−∞,−12)时，利用复合函数单调性可判断出f (x )单调递减，从而得到结果. 由f (x )=ln |2x +1|−ln |2x −1|得f (x )定义域为{x |x ≠±12}，关于坐标原点对称，又f (−x )=ln |1−2x |−ln |−2x −1|=ln |2x −1|−ln |2x +1|=−f (x )，∴f (x )为定义域上的奇函数，可排除AC ；当x ∈(−12,12)时，f (x )=ln (2x +1)−ln (1−2x )，∵y =ln (2x +1)在(−12,12)上单调递增，y =ln (1−2x )在(−12,12)上单调递减，∴f (x )在(−12,12)上单调递增，排除B ；当x ∈(−∞,−12)时，f (x )=ln (−2x −1)−ln (1−2x )=ln 2x+12x−1=ln (1+22x−1)，∵μ=1+22x−1在(−∞,−12)上单调递减，f (μ)=lnμ在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：f (x )在(−∞,−12)上单调递减，D 正确.故选：D.小提示：本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据f (−x )与f (x )的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.3、已知对数式log (a+1)24−a （a ∈Z ）有意义，则a 的取值范围为（ ）A ．(−1,4)B ．(−1,0)∪(0,4)C ．{1,2,3}D ．{0,1,2,3}答案：C分析：由对数的真数大于0，底数大于0且不等于1列出不等式组，然后求解即可.由题意可知:{a +1>0a +1≠124−a>0 ⇔{a >−1a ≠0a <4 ，解之得:−1<a <4且a ≠0. ∵a ∈Z ，∴a 的取值范围为{1,2,3}.故选：C.4、已知a =log 20.2,b =20.2,c =0.20.3，则A ．a <b <cB ．a <c <bC ．c <a <bD ．b <c <a分析：运用中间量0比较a , c ，运用中间量1比较b , ca =log 20.2<log 21=0,b =20.2>20=1, 0<0.20.3<0.20=1,则0<c <1,a <c <b ．故选B ．小提示：本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．5、已知f (x )＝a −x (a >0，且a ≠1)，且f (－2)>f (－3)，则a 的取值范围是（ ）A ．a >0B ．a >1C ．a <1D ．0<a <1答案：D分析：把f (－2)，f (－3)代入解不等式，即可求得．因为f (－2)＝a 2， f (－3)＝a 3，f (－2)>f (－3)，即a 2>a 3，解得：0<a <1．故选：D6、函数f (x )={|2x −1|,x ≤2−x +5,x >2，若函数g (x )=f (x )−t (t ∈R )有3个不同的零点a ，b ，c ，则2a +2b +2c 的取值范围是（ ）A ．[16,32)B ．[16,34)C ．(18,32]D ．(18,34)答案：D分析：作出函数y =f(x)的图象和直线y =t ，它们的交点的横坐标即为g(x)的零点，利用图象得出a,b,c 的性质、范围，从而可求得结论．作出函数y =f(x)的图象和直线y =t ，它们的交点的横坐标即为g(x)的零点，如图，则1−2a =2b −1，4<c <5，2a +2b =2，2c ∈(16,32)，所以18<2a +2b +2c <34．小提示：关键点点睛：本题考查函数零点问题，解题关键是把函数零点转化为函数图象与直线的交点的横坐标，从而可通过作出函数图象与直线，得出零点的性质与范围．7、已知函数y=a x、y=b x、y=c x、y=d x的大致图象如下图所示，则下列不等式一定成立的是（）A．b+d>a+c B．b+d<a+c C．a+d>b+c D．a+d<b+c答案：B分析：如图，作出直线x=1,得到c>d>1>a>b，即得解.如图，作出直线x =1,得到c >d >1>a >b ，所以b +d <a +c .故选：B8、指数函数y =a x 的图象经过点(3,18)，则a 的值是（ ） A ．14B ．12C ．2D ．4答案：B分析：将已知点的坐标代入指数函数的表达式，求得a 的值.因为y =a x 的图象经过点(3,18)，所以a 3=18，解得a =12， 故选：B.9、设alog 34=2，则4−a =（ ）A ．116B ．19C ．18D ．16答案：B分析：根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解由alog34=2可得log34a=2，所以4a=9，所以有4−a=19，故选：B.小提示：本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，属于基础题目.10、如图所示，函数y=|2x−2|的图像是（）A．B．C．D．答案：B分析：将原函数变形为分段函数，根据x=1及x≠1时的函数值即可得解.∵y=|2x−2|={2x−2,x≥12−2x,x<1，∴x=1时，y=0,x≠1时，y>0.故选：B.多选题11、在平面直角坐标系中，我们把横纵坐标相等的点称之为“完美点”，下列函数的图象中存在完美点的是（）A．y=﹣2x B．y=x﹣6C．y=3xD．y=x2﹣3x+4答案：ACD分析：横纵坐标相等的函数即y =x ，与y =x 有交点即存在完美点，依次计算即可.横纵坐标相等的函数即y =x ，与y =x 有交点即存在完美点，对于A,{y =x y =−2x ，解得{x =0y =0，即存在完美点(0,0)， 对于B,{y =x y =x −6，无解，即不存在完美点，对于C,{y =x y =3x，解得{x =√3y =√3或{x =−√3y =−√3，即存在完美点(√3,√3)，(−√3,−√3) 对于D,{y =x y =x 2−3x +4，x 2−3x +4=x ,即x 2−4x +4=0，解得x =2，即存在完美点(2,2). 故选：ACD.12、已知函数f(x)=(log 2x )2−log 2x 2−3，则下列说法正确的是（ ）A ．f(4)=−3B ．函数y =f(x)的图象与x 轴有两个交点C ．函数y =f(x)的最小值为−4D ．函数y =f(x)的最大值为4E ．函数y =f(x)的图象关于直线x =2对称答案：ABC分析：A ，利用函数直接求解；B 令f(x)=0求解即可；C ，转化为二次函数求解；D ，转化为二次函数求解；E ，取特殊值验证即可.A 正确，f(4)=(log 24)2−log 242−3=−3；B 正确，令f(x)=0，得(log 2x +1)(log 2x −3)=0，解得x =12或x =8，即f(x)的图象与x 有两个交点；C正确，因为f(x)=(log2x−1)2−4(x>0)，所以当log2x=1，即x=2时，f(x)取最小值−4；D错误，f(x)没有最大值；E错误，取x=1，则f(1)=−3≠f(3).故选：ABC.小提示：本题主要考查对数型函数的图象和性质，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.13、已知函数f(x)=|lgx|，则（）A．f(x)是偶函数B．f(x)值域为[0,+∞)C．f(x)在(0,+∞)上递增D．f(x)有一个零点答案：BD分析：画出f(x)的函数图象即可判断.画出f(x)=|lgx|的函数图象如下：由图可知，f(x)既不是奇函数也不是偶函数，故A错误；f(x)值域为[0,+∞)，故B正确；f(x)在(0,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增，故C错误；f(x)有一个零点1，故D正确.故选：BD.14、（多选题）下列计算正确的是（ ）A ．√(−3)412=√−33B ．(a 23b 12)(−3a 12b 13)÷(13a 16b 56)=−9a a >0,b >0C ．√√93=√33D ．已知x 2+x −2=2，则x +x −1=2 答案：BC 解析：根据根式运算和指数幂的运算法则求解判断.A. √(−3)412=√3412=√33，故错误；B. (a 23b 12)(−3a 12b 13)÷(13a 16b 56)=−9a 23+12−16b 12+13−56=−9a ，故正确； C. √√93=916=(32)16=313=√33，故正确；D. 因为x 2+x −2=(x +x −1)2−2=2，所以(x +x −1)2=4，则x +x −1=±2，故错误；故选：BC15、已知函数f (x )=lg (x 2+ax −a −1)，下列结论中正确的是（ ）A ．当a =0时，f (x )的定义域为(−∞,−1)∪(1,+∞)B ．f (x )一定有最小值C ．当a =0时，f (x )的值域为RD ．若f (x )在区间[2,+∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是{a |a ≥−4}答案：AC分析：A 项代入参数，根据对数型函数定义域求法进行求解；B 项为最值问题，问一定举出反例即可；C 项代入参数值即可求出函数的值域；D 项为已知单调性求参数范围，根据二次函数单调性结合对数函数定义域求解即可.对于A ，当a =0时，f (x )=lg (x 2−1)，令x 2−1>0，解得x <−1或x >1，则f (x )的定义域为(−∞,−1)∪(1,+∞)，故A 正确；对于B 、C ，当a =0时，f (x )=lg (x 2−1)的值域为R ，无最小值，故B 错误，C 正确； 对于D ，若f (x )在区间[2,+∞)上单调递增，则y =x 2+ax −a −1在[2,+∞)上单调递增，且当x =2时，y >0，则{−a 2≤24+2a −a −1>0，解得a >−3，故D 错误． 故选：AC ．双空题16、已知函数f(x)={x 2+x +1,−1⩽x ⩽0(12)x ,0<x ⩽1 则f(f(0))=_______；f(x)的最小值为____． 答案： 12##0.5 12##0.5分析：根据函数f(x)={x 2+x +1,−1⩽x ⩽0(12)x ,0<x ⩽1 ，先求得f(0)，再求f(f(0))即可；分−1⩽x ⩽0和0<x ⩽1讨论求解最小值.因为函数f(x)={x 2+x +1,−1⩽x ⩽0(12)x ,0<x ⩽1所以f(0)=1，f(f(0))=f(1)=12； 当−1⩽x ⩽0时，f(x)=x 2+x +1=(x +12)2+34∈[34，1]， 当0<x ⩽1时，f(x)=(12)x ∈[12,1)，f(x)的最小值为12， 所以答案是：12，1217、函数y =log 12(x 2−x )的单调递增区间为______，单调递减区间为______. 答案： (−∞,0) (1,+∞)分析：令x 2−x >0，求得函数y =log 12(x 2−x )的定义域，再利用复合函数的单调性求解.令x 2−x >0，得x <0或x >1，所以函数y =log 12(x 2−x )的定义域为(−∞,0)∪(1,+∞). 因为y =x 2−x 在(−∞,0)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，知由复合函数的单调性知：函数y =log 12(x 2−x )的单调递增区间为(−∞,0)，单调递减区间为(1,+∞). 所以答案是：(−∞,0)，(1,+∞)18、已知函数f (x )={−x +3,x ≤21,x >2.． （1）不等式f (3x −1)<f (x 2)的解集为____________；（2）若关于x 的方程f (e x +1e x −a)=2有两个不等实数根，则实数a 的取值范围为________． 答案： (3−√52,√2) (1,+∞)分析：由图像可知函数f(x)为“不增”函数，利用函数的单调性即可解出不等式；根据函数图像可得e x +1e x −a =1，由换元法可得一元二次方程在(0,+∞)上有两个不等实数根，结合二次函数的性质即可得出结果.作出函数图像，该函数为“不增”函数，所以{x 2<3x −1x 2<2，解得3−√52<x <√2，所以解集为(3−√52,√2)；由函数图像可得e x+1e x−a=1，令t=e x，t2−(a+1)t+1=0在区间(0,+∞)上有两个不等实数根，则有{a+1>0,(a+1)2−4>0,解得a>1．所以答案是：(3−√52,√2)；(1,+∞).解答题19、某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元.为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x(x∈N∗)名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10(a−3x500)万元(a>0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%.（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（2）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润条件下，若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？答案：（1）500名；（2）(0,5].解析：（1）求出剩下1000−x名员工创造的利润列不等式求解；（2）求出从事第三产业的员工创造的年总利润为10(a−3x500)x万元，从事原来产业的员工的年总利润为10(1000−x)(1+1500x)万元，列出不等关系，在（1）的条件下求出a的范围．解：（1）由题意，得10(1000−x)(1+0.2x%)≥10×1000，即x2−500x≤0，又x>0，所以0<x≤500.即最多调整500名员工从事第三产业.（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为10(a−3x500)x万元，从事原来产业的员工的年总利润为10(1000−x)(1+1500x)万元，则10(a−3x500)x⩽10(1000−x)(1+1500x)，所以ax−3x 2500⩽1000+2x−x−1500x2.所以ax⩽2x 2500+1000+x，即a⩽2x500+1000x+1在x∈(0,500]时恒成立.因为2x500+1000x⩾2√2=4，当且仅当2x500=1000x，即x=500时等号成立，所以a≤5，又a>0，所以0<a≤5.所以a的取值范围为(0,5].小提示：本题考查函数的应用，已知函数模型，直接根据函数模型列出不等式求解即可，考查了学生的数学应用意识，运算求解能力．20、已知a∈R，函数f(x)=log2(12x+a).(1)若关于x的方程f(x)+2x=0的解集中恰有两个元素，求a的取值范围；(2)设a>0，若对任意t∈[−1, 0]，函数f(x)在区间[t, t+1]上的最大值与最小值的和不大于log26，求a的取值范围.答案：(1)(−14,0)(2)(0,1]分析：（1）化简方程f(x)+2x=0，分离常数a，利用换元法，结合二次函数的性质求得a的取值范围. （2）利用函数的单调性求得f(x)在区间[t, t+1]上的最大值与最小值，根据最大值与最小值的和不大于log26列不等式，利用换元法，结合二次函数的性质来求得a的取值范围.（1）f(x)+2x=0，log2(12x+a)+2x=0，log 2(12x +a)+log 222x =log 21，(12x +a)⋅22x =1，a =1−2x22x =122x −12x ，令t =12x∈(0,+∞)，则a =t 2−t =(t −12)2−14， 02−0=0,t 2−t =0⇒t =0或t =1，(t −12)2−14≥−14（t =12时，等号成立） 要使y =a 与y =(t −12)2−14在区间(0,+∞)有两个交点， 结合二次函数的性质可知a ∈(−14,0). （2）因为函数y =12x +a 在R 上递减，所以函数f (x )=log 2(12x +a)在定义域内递减.所以f (x )在区间[t,t +1]上的最大值为f (t )=log 2(12t +a)，最小值为f (t +1)=log 2(12t+1+a)，f (t )+f (t +1)=log 2(12t +a)+log 2(12t+1+a) =log 2[(12t +a)(12t+1+a)]≤log 26，所以(12t +a)(12t+1+a)≤6对t ∈[−1,0]恒成立，令ℎ=12t+1(12≤ℎ≤1)，(2ℎ+a )(ℎ+a )=2ℎ2+3aℎ+a 2≤6对ℎ∈[12,1]恒成立， y =2ℎ2+3aℎ+a 2在[12,1]上递增，所以y max =2+3a +a 2≤6,a 2+3a −4=(a +4)(a −1)≤0， 解得−4≤a ≤1，由于a>0，所以0<a≤1，所以a的取值范围是(0,1].。

第四章指数函数与对数函数【章节复习专项训练】【考点1】：指数、对数的运算例题1．下列各式正确的是（）A ．248πππ=B ．23e =C ．ln 6ln 2ln 3=D ．lg 4lg 252+=【答案】D 【分析】由指数的运算法则可判断AB ；由换底公式可判断C ；由对数的加法运算法则可判断D.【详解】对于A ，22644ππππ+==，故A 错误；对于B ，23e =，故B 错误；对于C ，3ln 6log 6ln 3=，故C 错误；对于D ，()lg 4lg 25lg 425lg1002+=⨯==，故D 正确.故选：D.【变式1】以下对数式中，与指数式56x =等价的是（）A ．5log 6x =B ．5log 6x =C ．6log 5x =D ．log 65x =【答案】A 【分析】根据指数式和对数式的关系即可得出.【详解】根据指数式和对数式的关系，56x =等价于5log 6x =.故选：A.【变式2】已知log 92a =-，则a 的值为（）A ．3-B ．13-C ．3D ．13【答案】D 【分析】直接将对数式化为指数式求解即可.【详解】∵log 92a =-，0a >，∴29a -=，解得13a =，故选：D.【点睛】本题主要考查了对数的概念，属于基础题.【变式3】若1log 24a =，则a =（）A ．2B ．4C ．12D ．14【答案】C 【分析】利用指数式与对数式的互化以及指数幂的运算即可求解.【详解】2111log 2442aa a =⇒=⇒=.故选：C 【点睛】本题考查了指数式与对数式的互化，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.【变式4】计算122121(2)()248n n n ++-⋅⋅(n ∈N *)的结果为（）A ．416B ．22n＋5C ．2n 2－2n ＋6D ．1(22n －7【答案】D 【分析】结合指数的运算公式化简即可求出结果.【详解】原式272221722626222122222n n n n n n -+-----⋅⎛⎫==== ⎪⋅⎝⎭，故选：D.【考点2】：指数函数、对数函数的概念例题1．下列函数表达式中，是对数函数的有（）①y ＝log x 2；②y ＝log a x (a ∈R )；③y ＝log 8x ；④y ＝ln x ；⑤y ＝log x (x ＋2)；⑥y ＝log 2(x ＋1)．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【分析】根据对数函数的概念确定正确选项.【详解】形如log a y x =（0a >且1a ≠）的函数为对数函数，故③④为对数函数，所以共有2个.故选：B 【点睛】本小题主要考查对数函数的概念，属于基础题.【变式1】已知正整数指数函数()(2)x f x a a =-，则(2)f =（）A ．2B ．3C ．9D ．16【答案】C 【分析】由函数是指数函数可求出3a =，即可求出(2)f .【详解】因为函数()(2)x f x a a =-是指数函数，所以21a -=，则3a =，所以()3x f x =，+∈x N ，所以2(2)39f ==.故选：C.【点睛】本题考查指数函数概念的理解，属于基础题.【变式2】若函数()f x 是指数函数，且()22f =，则()f x =（）A ．xB ．2xC ．12x⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．2x⎫⎪⎪⎝⎭【答案】A 【分析】利用待定系数法求解即可.【详解】解：由题意，设()(0xf x a a =>且)1a ≠，因为()22f =所以22a =，解得a =所以()xf x =.故选：A.【点睛】本题考查待定系数法求指数函数解析式，是基础题.【变式3】已知函数2x y a =⋅和2x b y +=都是指数函数，则a b +=（）A ．不确定B ． 0C ．1D ． 2【答案】C 【分析】根据指数函数的概念，得到1a =，0b =，即可求出结果.【详解】因为函数2x y a =⋅是指数函数，所以1a =，由2x b y +=是指数函数，得0b =，所以1a b +=.故选：C.【点睛】本题主要考查由指数函数概念求参数的问题，属于基础题型.【变式4】已知函数f (x )＝log a (x ＋1)，若f （1）＝1，则a ＝（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C 【分析】根据指数式与对数式互化公式，结合代入法进行求解即可.【详解】∵f （1）＝log a (1＋1)＝1，∴a 1＝2，则a ＝2，故选：C.【考点3】：指数函数、对数函数的图像和性质例题1．如图，若1C ，2C 分别为函数log a y x =和log b y x =的图象，则（）A ．01a b <<<B ．01b a <<<C ．1a b >>D ．b a l>>【答案】B 【分析】根据对数函数的图象特征，即可直接得到,a b 大小关系.【详解】根据1C ，2C 分别为函数log a y x =和log b y x =的图象，可得01b <<，01a <<，且b a <.故选：B 【点睛】本题考查根据对数函数图象求参数范围，注意规律的总结，属简单题.【变式1】函数()()ln 31y x x =-+的定义域是（）A ．()1,3-B ．[]1,3-C ．()(),13,-∞-+∞D ．(][),13,-∞-+∞【答案】A 【分析】由对数函数定义要求其真数大于零构建不等式，求解即可.【详解】在对数函数()()ln 31y x x =-+中，真数()()()()310310x x x x -+>⇒-+<，所以()1,3x ∈-.故选：A 【点睛】本题考查求对数函数的定义域，属于基础题.【变式2】函数12(1)log 1y x =+-的图象一定经过点（）A ．()1,1B ．()1,0C ．()2,1D ．()2,0【答案】C 【分析】根据对数函数的性质，结合图象的平移变换规律进行求解即可.【详解】把12log y x =的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位即可得到12(1)log 1y x =+-的图象，因为12log y x =的图象恒过(1,0)点，所以12(1)log 1y x =+-的图象经过点(2,1).故选：C 【点睛】本题考查了对数型函数恒过定点问题，考查了函数图象的平移变换性质，属于基础题.【变式3】已知函数()2xy a =-，且当0x <时，1y >，则实数a 的取值范围是（）A ．3a >B ．23a <<C ．4a >D ．34a <<【答案】B 【分析】利用指数函数的性质求解即可【详解】当0x <时，1021y a >∴<-<，，解得23a <<，故选：B.【变式4】函数y =2|x |的图象是（）A ．B ．C．D．【答案】B 【分析】将函数写成分段函数，再结合指数函数的图象，即可容易判断.【详解】y =2|x |=2,01,02x x x x ⎧≥⎪⎨⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎩，故当0x ≥时，函数图象同2x y =单调递增；当0x <时，函数图象同1()2xy =单调递减，且0x =时，1y =.满足以上条件的只有B .故选：B .【点睛】本题考查指数型函数的图象，属简单题.【考点4】：函数的零点与方程的解整式的乘法例题1．设1x ,2x 分别是函数()1x f x xa =-和()log 1a g x x x =-的零点（其中1a >）,则122x x +的取值范围是（）A ．[2,)+∞B ．(2,)+∞C ．[3,)+∞D ．(3,)+∞【答案】D 【分析】解法一:（图象法）根据题意可知12,x x 分别为x y a =与1y x =和log a y x =与1y x=交点的横坐标,,再根据同底数的指数对数函数互为反函数,有121x x =.代入1222122x x x x +=+,再根据区间(1,)+∞上单调递增,所以1223x x +>.解法二:（定义法）根据函数零点的定义可知1x 、2x 是方程1x a x=和1log a x x =的根,又1a >,所以函数1()xF x a x=-在(0,)+∞上单调递增,所以121x x =.代入1222122x x x x +=+在区间(1,)+∞上单调递增,所以1223x x +>.【详解】解:解法一:（图象法）根据函数零点的定义可知函数x y a =与1y x =的图象交点为111,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,同理可得函数log a y x =与1y x =的图象交点为221,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭.又因为函数x y a =与log a y x =的图象关于直线y x =对称,函数1y x=的图象也关于直线y x =对称,所以点111,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭与点221,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭关于直线y x =对称,所以121x x =.由1a >可知21>x ,所以1222122x x x x +=+在区间(1,)+∞上单调递增,所以1223x x +>.故选:D解法二:（定义法）根据函数零点的定义可知1x 是方程1xa x=的根,所以1x 也是函数1()xF x a x=-的零点.同理可得2x 是方程1log a x x=的根,即221log a x x =,所以212x ax =,所以21x 也是函数1()xF x a x=-的零点.又1a >,所以函数1()xF x a x=-在(0,)+∞上单调递增,所以121x x =.由1a >可知21>x ,所以1222122x x x x +=+在区间(1,)+∞上单调递增,所以1223x x +>.故选:D 【点睛】本题考查了方程的根的确定、反函数性质的应用以及利用函数的单调性求最值,属于基础题.【变式1】函数()33x f x x =+的零点所在区间为（）A ．()1,0-B ．()0,1C ．()1,2D ．()2,3【答案】A 【分析】判断出所给区间的端点值的乘积小于0可得答案.【详解】()()31213103f --=+-=-<；()()3003010f =+=>；()()3113140f =+=>；()()32232170f =+=>；()()33333540f =+=>；所以()()100f f -<.故选：A.【变式2】已知函数(),0ln ,0x e x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，()()g x f x a =+，若()g x 恰有2个零点，则实数a的取值范围是（）A ．()1,0-B ．[)1,0-C ．()0,1D ．(]0,1【答案】B 【分析】利用数形结合的方法，作出函数()f x 的图象，简单判断即可.【详解】依题意，函数()y f x =的图象与直线y a =-有两个交点，作出函数图象如下图所示，由图可知，要使函数()y f x =的图象与直线y a =-有两个交点，则01a <-≤，即10a -≤<.故选：B .【点睛】本题考查函数零点问题，掌握三种等价形式：函数零点个数等价于方程根的个数等价于两个函数图象交点个数，属基础题.【变式3】函数()232f x x x =-+的零点是（）A ．()1,0B ．()1,0和()2,0C ．1和2D ．以上都不是【答案】C 【分析】当()0f x =时对应的x 的值即为所求的零点.【详解】令()0f x =，即2320x x -+=，解得：1x =或2x =，()f x ∴的零点是1和2.故选：C .【点睛】本题考查函数零点的求解问题，易错点是误认为零点为一个点的坐标，实际零点是函数值为零时，对应的自变量的值.【变式4】已知函数21ln ()xf x x -=，那么方程f （x ）＝0的解是（）A ．1=x eB ．x ＝1C ．x ＝eD ．x ＝1或x ＝e【答案】C 【分析】通过解方程求得()0f x =的解.【详解】依题意()21ln 0xf x x -==，所以1ln 0,ln 1,x x x e -===.故选：C 【点睛】本小题主要考查函数零点的求法，属于基础题.【考点5】：用二分法求方程的近似解例题1．设f (x )＝3x ＋3x －8，用二分法求方程3x ＋3x －8＝0在(1，1.5)内的近似解的过程中，有f （1）<0，f (1.5)>0，f (1.25)<0，则该方程的根所在的区间为（）A ．(1，1.25)B ．(1.25，1.5)C ．(1.5，2)D ．不能确定【答案】B 【分析】根据零点存在性定理即可判断零点所在区间.【详解】∵f (1.25)·f (1.5)<0，且f (x )是单调增函数，∴该方程的根所在的区间为(1.25，1.5)．故选：B.【变式1】下列函数不宜用二分法求零点的是（）A ．f (x )＝x 3－1B ．f (x )＝ln x ＋3C ．f (x )＝x 2＋＋2D ．f (x )＝－x 2＋4x －1【答案】C 【分析】根据二分法的概念可知，只有存在区间[](),a b a b <，使得()()0f a f b <，才能应用二分法求零点，即可判断出各选项对应的函数是否可用二分法求零点．【详解】对于A ，存在区间[]0,2，使得()()020f f <，所以A 宜用；对于B ，存在区间4,1e -⎡⎤⎣⎦，使得()()410f e f -<，所以B 宜用；对于C ，()(20f x x =≥，不存在区间[](),a b a b <，使得()()0f a f b <，所以C 不宜用；对于D ，存在区间[]0,1，使得()()010f f <，所以D 宜用．故选：C ．【点睛】本题主要考查二分法的概念的理解以及应用，属于容易题．【变式2】函数33()log 2f x x x=-在区间[1，3]内有零点，则用二分法判断含有零点的区间为（）A ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．5,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【分析】先求(1),(3)f f ，再求(2)f ，发现(3),(2)f f 异号，再求5(2f 的值，再利用零点存在性定理判断即可【详解】解：因为31(1)0,(3)022f f =-<=>，3433333(2)log 2log 2log 3log log 04f =-=-==<，353333355355log log log 3log log log 022524f ⎛⎫=-=-=>=> ⎪⎝⎭因此，函数f (x )的零点在区间52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内，故选：C.【点睛】此题考查二分法判断零点，考查了零点存在性定理的应用，属于基础题.【变式3】用二分法求函数()f x 在(,)a b 内的唯一零点时，精确度为0.001，则经过一次二分就结束计算的条件是（）A ．||0.2a b -<B ．||0.002a b -<C ．||0.002a b ->D ．||0.002a b -=【答案】B【分析】根据二分法的步骤分析可得.经过一次二分后,零点所在区间长度为||2b a -,结束计算的条件是零点所在区间的长度满足精确度,由此可得.【详解】据二分法的步骤知,经过一次二分后,零点所在区间长度为||2b a -,此时结束计算,所以||2b a -0.001<,所以||0.002b a -<.故选B【点睛】本题考查了二分法的步骤,属于基础题.【变式4】下面关于二分法的叙述，正确的是（）A．用二分法可求所有函数零点的近似值B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位C．二分法无规律可循D．只有在求函数零点时才用二分法【答案】B【分析】A C D进行判断,可以排除,从而选B.根据二分法的概念对,,【详解】只有函数的图象在零点附近是连续不断且在该零点左右两侧函数值异号，オ可以用二分法求函数的零点的近似值，故A错；二分法有规律可循，可以通过计算机来进行，故C错；求方程的近似解也可以用二分法，故D错.故选B.【点睛】本题考查了二分法的概念,属于基础题.。

第四章指数函数与对数函数复习总结与检测知识点1：根式1．根式及相关概念（1）a的n次方根定义：如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.（2）a的n次方根的表示n的奇偶性a的n次方根的表示符号a的取值范围n为奇数na Rn为偶数±na[0，＋∞)（3）根式：式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．2．根式的性质(n>1，且n∈N*)（1）n为奇数时，na n＝a.（2）n为偶数时，na n＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a，a≥0，－a，a<0.（3）n0＝0.（4）负数没有偶次方根．知识归纳知识点2：指数幂及运算1．分数指数幂的意义分数指数幂正分数指数幂规定：n ma＝n a m(a>0，m，n∈N*，且n>1)负分数指数幂规定：nma ＝1amn＝1na m(a>0，m，n∈N*，且n>1) 0的分数指数幂0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义2．有理数指数幂的运算性质（1）a r a s＝a r＋s(a>0，r，s∈Q)．（2）(a r)s＝a rs(a>0，r，s∈Q)．（3）(ab)r＝a r b r(a>0，b>0，r∈Q)．3．无理数指数幂一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．知识点3：指数函数的概念、图象与性质1．指数函数的概念一般地，函数y＝a x(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.2．指数函数的图象和性质a的范围a＞10＜a＜1图象性质定义域R值域(0，＋∞)过定点(0,1)，即当x＝0时，y＝1单调性在R上是增函数在R上是减函数奇偶性非奇非偶函数对称性函数y＝a x与y＝a－x的图象关于y轴对称知识点4：对数的概念1．对数（1）指数式与对数式的互化及有关概念：（2）底数a 的范围是a >0，且a ≠1. 2．常用对数与自然对数3．对数的基本性质 （1）负数和零没有对数． （2）log a 1＝0(a >0，且a ≠1)． （3）log a a ＝1(a >0，且a ≠1)． 知识点5：对数的运算1．对数的运算性质如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： （1）log a (MN )＝log a M ＋log a N ； （2）log a MN ＝log a M －log a N ；（3）log a M n ＝n log a M (n ∈R )． 2．对数的换底公式若a >0且a ≠1；c >0且c ≠1；b >0，则有log a b ＝log c blog c a .知识点6：对数函数的概念、图象及性质1．对数函数的概念函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 2．对数函数的图象及性质(0，＋∞)3．反函数指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数．知识点7：三种函数模型的性质知识点8：函数的零点与方程的解1．函数的零点对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．2．方程、函数、函数图象之间的关系方程f(x)＝0有实数根∈函数y＝f(x)的图象与x轴有交点∈函数y＝f(x)有零点．3．函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．知识点9：用二分法求方程的近似解1．二分法的定义对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在的区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．2．二分法求函数零点近似值的步骤（1）确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)＜0.（2）求区间(a，b)的中点c.（3）计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：∈ 若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点；∈ 若f(a)f(c)＜0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c；∈ 若f(c)f(b)＜0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c.（4）判断是否达到精确度ε：若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)．知识点10：函数模型的应用1．常用函数模型常用函数模型（1）一次函数模型y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)（2）二次函数模型y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)（3）指数函数模型y＝ba x＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)（4）对数函数模型y＝m log a x＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1)（5）幂函数模型y＝ax n＋b(a，b为常数，a≠0)（6）分段函数模型y＝⎩⎪⎨⎪⎧ax＋b(x<m)，cx＋d(x≥m)2.建立函数模型解决问题的基本过程题型1：指数与对数的运算【例1】计算：（1）2log32－log3329＋log38－5log53；（2）1.5－⎪⎭⎫⎝⎛-⨯67310＋80.25×42＋(32×3)6－⎝⎛⎭⎫－2323.【解析】(1)原式＝log322×8329－3＝2－3＝－1.(2)原式＝⎝⎛⎭⎫2313＋234×214＋22×33－⎝⎛⎭⎫2313＝21＋4×27＝110.【方法技巧】题型讲解指数、对数的运算应遵循的原则指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的.对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧.【针对训练】1．设3x ＝4y ＝36，则2x ＋1y 的值为( )A ．6B ．3C ．2D ．1【解析】D 由3x ＝4y ＝36得x ＝log 336，y ＝log 436， ∈2x ＋1y ＝2log 363＋log 364＝log 369＋log 364＝log 3636＝1.题型2：指数函数、对数函数的图象及应用【例2】（1）若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数正确的是( )A B C D（2）已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x⎪⎭⎫ ⎝⎛21∈ 如图，画出函数f (x )的图象；∈ 根据图象写出f (x )的单调区间，并写出函数的值域．【解析】(1)B 由已知函数图象可得，log a 3＝1，所以a ＝3.A 项，函数解析式为y ＝3－x，在R 上单调递减，与图象不符；C 项中函数的解析式为y ＝(－x )3＝－x 3，当x >0时，y <0，这与图象不符；D 项中函数解析式为y ＝log 3(－x )，在(－∞，0)上为单调递减函数，与图象不符；B 项中对应函数解析式为y ＝x 3，与图象相符．故选B.](2)[解] ∈先作出当x ≥0时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x的图象，利用偶函数的图象关于y 轴对称，再作出f (x )在x ∈(－∞，0)时的图象．∈函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为[0，＋∞)，值域为(0,1]． 【方法技巧】1．识别函数的图象从以下几个方面入手： （1）单调性：函数图象的变化趋势； （2）奇偶性：函数图象的对称性； （3）特殊点对应的函数值．2．指数函数与对数函数图象经过定点的实质是a 0＝1，log a 1＝0.【针对训练】2．函数y ＝1＋log 12(x －1)的图象一定经过点( )A ．(1,1)B ．(1,0)C ．(2,1)D ．(2,0)【解析】C 把y ＝log 12x 的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位即可得到y ＝1＋log 12(x －1)的图象，故其经过点(2,1)．题型3：比较大小【例3】 若0<x <y <1，则( )A ．3y <3xB ．log x 3<log y 3C ．log 4x <log 4y D.yx ⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛4141【解析】C 因为0<x <y <1，则对于A ，函数y ＝3x 在R 上单调递增，故3x <3y ，A 错误．对于B ，根据底数a 对对数函数y ＝log a x 的影响：当0<a <1时，在x ∈(1，＋∞)上“底小图高”．因为0<x <y <1，所以log x 3>log y 3，B 错误．对于C ，函数y ＝log 4x 在(0，＋∞)上单调递增，故log 4x <log 4y ，C 正确．对于D ，函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x在R 上单调递减，故⎝⎛⎭⎫14x>⎝⎛⎭⎫14y，D 错误．【方法技巧】1．比较两数大小常用的方法有单调性法、图象法、中间值法等．2．当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．3．比较多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点，然后在各部分内再利用函数性质比较大小．4．含参数的问题，要根据参数的取值进行分类讨论． 【针对训练】3．设a ＝log 2π，b ＝log 12π，c ＝π－2，则( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．c >b >a【解析】C ∈a ＝log 2π>log 22＝1，b ＝log 12π<log 121＝0，c ＝π－2＝1π2，即0<c <1，∈a >c >b ，故选C.题型4：指数函数、对数函数的性质【例4】（1）设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( )A ．奇函数，且在(0,1)上是增函数B ．奇函数，且在(0,1)上是减函数C ．偶函数，且在(0,1)上是增函数D ．偶函数，且在(0,1)上是减函数 （2）已知a >0，a ≠1且log a 3>log a 2，若函数f (x )＝log a x 在区间[a,3a ]上的最大值与最小值之差为1.∈ 求a 的值；∈ 若1≤x ≤3，求函数y ＝(log a x )2－log a x ＋2的值域．【解析】(1)A [由题意可得，函数f (x )的定义域为(－1,1)，且f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，故f (x )为奇函数．又f (x )＝ln 1＋x 1－x ＝ln ⎝⎛⎭⎫21－x －1，易知y ＝21－x －1在(0,1)上为增函数，故f (x )在(0,1)上为增函数．](2)[解] ∈因为log a 3>log a 2，所以f (x )＝log a x 在[a,3a ]上为增函数． 又f (x )在[a,3a ]上的最大值与最小值之差为1， 所以log a (3a )－log a a ＝1，即log a 3＝1，所以a ＝3. ∈函数y ＝(log 3x )2－log 3x ＋2＝(log 3x )2－12log 3x ＋2＝⎝⎛⎭⎫log 3x －142＋3116. 令t ＝log 3x ，因为1≤x ≤3， 所以0≤log 3x ≤1，即0≤t ≤1.所以y ＝⎝⎛⎭⎫t －142＋3116∈⎣⎡⎦⎤3116，52， 所以所求函数的值域为⎣⎡⎦⎤3116，52.【方法技巧】1．研究函数的性质要树立定义域优先的原则．2．换元法的作用是利用整体代换，将问题转化为常见问题．该类问题中，常设u ＝log a x 或u ＝a x ，转化为一元二次方程、二次函数等问题．要注意换元后u 的取值范围．题型5：函数的应用【例5】 一种放射性元素，最初的质量为500 g ，按每年10%衰减． （1）求t 年后，这种放射性元素的质量w 的表达式；（2）由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(结果精确到0.1)． 【解析】 (1)最初的质量为500 g. 经过1年，w ＝500(1－10%)＝500×0.9； 经过2年，w ＝500×0.92； 由此推知，t 年后，w ＝500×0.9t . (2)由题意得500×0.9t ＝250，即0．9t ＝0.5，两边同时取以10为底的对数，得 lg 0.9t ＝lg 0.5，即t lg 0.9＝lg 0.5，所以t ＝lg 0.5lg 0.9≈6.6.即这种放射性元素的半衰期约为6.6年． 【方法技巧】指数函数模型的应用在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示.通常可以表示为y ＝N (1＋p )x (其中N 为基础数，p 为增长率，x 为时间)的形式.【针对训练】4．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(已知：lg2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)【解析】 设过滤n 次能使产品达到市场要求，依题意，得2100×⎝⎛⎭⎫23n≤11 000，即⎝⎛⎭⎫23n≤120. 则n (lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2)， 故n ≥1＋lg 2lg 3－lg 2≈7.4，考虑到n ∈N ，故n ≥8，即至少要过滤8次才能达到市场要求．指数函数与对数函数(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a <12，则化简4(2a －1)2的结果是( )A.2a －1 B ．－2a －1 C.1－2aD ．－1－2a【解析】C ∈a <12，∈2a －1<0.于是，原式＝4(1－2a )2＝1－2a . 2．计算：log 225·log 522＝( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6 章节检测【解析】A log 225·log 522＝lg 25lg 2·lg 22lg 5＝2lg 5·lg 232lg 2·lg 5＝2×32＝3.3．函数y ＝x －1·ln(2－x )的定义域为( ) A ．(1,2) B ．[1,2) C ．(1,2]D ．[1,2]【解析】B 要使解析式有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，2－x >0，解得1≤x <2，所以所求函数的定义域为[1,2)．4．下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的偶函数是( ) A ．y ＝x 12 B ．y ＝x 4 C ．y ＝x －2D ．y ＝31x【解析】B 对A ，y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，不是偶函数；C 中，y ＝x －2不过(0,0)点，D 中，y ＝31x 是奇函数，B 中，y ＝x 4满足条件．5．函数f (x )＝21x －x⎪⎭⎫⎝⎛21的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】B 令f (x )＝0，可得x 12＝⎝⎛⎭⎫12x，在同一平面直角坐标系中分别画出幂函数y ＝x 12和指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图象，如图所示，可得交点只有一个，所以函数f (x )的零点只有一个．6．若log a 3＝m ，log a 5＝n ，则a 2m ＋n的值是( ) A ．15 B ．75 C ．45D ．225【解析】C 由log a 3＝m ，得a m ＝3， 由log a 5＝n ，得a n ＝5， ∈a 2m ＋n ＝(a m )2·a n ＝32×5＝45.7．函数f (x )＝4x ＋12x 的图象( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称【解析】D 易知f (x )的定义域为R ，关于原点对称．∈f (－x )＝4－x ＋12－x ＝1＋4x2x ＝f (x )，∈f (x )是偶函数，其图象关于y 轴对称．8．若log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1)B.⎪⎭⎫ ⎝⎛210，C. ⎪⎭⎫⎝⎛1,21 D ．(0,1)∈(1，＋∞)【解析】C 由题意得a >0且a ≠1，故必有a 2＋1>2a . 又log a (a 2＋1)<log a 2a <0，所以0<a <1， 同时2a >1，∈a >12，综上，a ∈⎝⎛⎭⎫12，1. 9．已知a ＝5log 23.4，b ＝5log 43.6，c ＝⎝⎛⎭⎫15log 30.3，则( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．a >c >bD ．c >a >b【解析】C c ＝5log 3103，只需比较log 23.4，log 43.6，log 3103的大小，又0<log 43.6<1，log 23.4>log 33.4>log 3103>1，所以a >c >b .10．函数f (x )＝a |x ＋1|(a >0，且a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的关系是( ) A ．f (－4)＝f (1) B ．f (－4)>f (1) C ．f (－4)<f (1)D ．不能确定【解析】B 因为函数f (x )＝a |x ＋1|(a >0，且a ≠1)的值域为[1，＋∞)，所以a >1，又函数f (x )＝a |x ＋1|(a >0，且a ≠1)的图象关于直线x ＝－1对称，所以f (－4)>f (1)．11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)x ，x ≥2，⎝⎛⎭⎫12x －1，x <2满足对任意的实数x 1≠x 2都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2) B.⎝⎛⎦⎤－∞，138 C ．(－∞，2]D.⎣⎡⎭⎫138，2【解析】B [由题意知函数f (x )是R 上的减函数，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，(a －2)×2≤⎝⎛⎭⎫122－1，由此解得a ≤138，即实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，138，选B. 12．函数f (x )＝ax 5－bx ＋1，若f (lg(log 510))＝5，则f (lg(lg 5))的值为( ) A ．－3 B ．5 C ．－5D ．－9【解析】A lg(log 510)＝lg ⎝⎛⎭⎫1lg 5＝－lg(lg 5)， 设t ＝lg(lg 5)，则f (lg(log 510))＝f (－t )＝5. 因为f (x )＝ax 5－bx ＋1， 所以f (－t )＝－at 5＋bt ＋1＝5， 则f (t )＝at 5－bt ＋1， 两式相加得f (t )＋5＝2，则f (t )＝2－5＝－3，即f (lg(lg 5)的值为－3.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．函数f (x )＝a x －1＋3的图象一定过定点P ，则P 点的坐标是________．【解析】(1,4) 由于函数y ＝a x 恒过(0,1)，而y ＝a x －1＋3的图象可看作由y ＝a x 的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到的，则P 点坐标为(1,4)．14．将进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天可卖出100个．若每个涨价1元，则日销售量减少10个．为获得最大利润，则此商品日销售价应定为每个________元．【解析】14 设每个涨价x 元，则实际销售价为10＋x 元，销售的个数为100－10x ， 则利润为y ＝(10＋x )(100－10x )－8(100－10x )＝－10(x －4)2＋360(0≤x <10，x ∈N )．因此，当x ＝4，即售价定为每个14元时，利润最大．15．若f (x )＝a ·2x ＋2a －12x ＋1为R 上的奇函数，则实数a 的值为________．【解析】13 因为f (x )＝a ·2x ＋2a －12x ＋1为R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即a ·20＋2a －120＋1＝0，所以a ＝13.16．已知125x ＝12.5y ＝1 000，则y －xxy＝________.【解析】13 因为125x ＝12.5y ＝1 000，所以x ＝log 125 1 000，y ＝log 12.5 1 000，y －x xy ＝1x －1y ＝log 1 000 125－log 1 000 12.5＝log 1 00012512.5＝log 1 000 10＝13.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)求值： (1)⎝⎛⎭⎫21412－(－9.6)0－⎝⎛⎭⎫338－23＋(1.5)－2； (2)log 2512·log 45－log 133－log 24＋5log 52.【解析】(1)⎝⎛⎭⎫21412－(－9.6)0－⎝⎛⎭⎫338－23＋(1.5)－2 ＝⎝⎛⎭⎫9412－1－⎝⎛⎭⎫278－23＋⎝⎛⎭⎫32－2＝32－1－⎝⎛⎭⎫32－2＋⎝⎛⎭⎫232＝32－1－49＋49＝12. (2)log 2512·log 45－log 133－log 24＋5log 52＝－14＋1－2＋2＝34.18．(本小题满分12分)已知指数函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)过点(－2,9)． (1)求函数f (x )的解析式；(2)若f (2m －1)－f (m ＋3)<0，求实数m 的取值范围．【解析】(1)将点(－2,9)代入f (x )＝a x (a >0，a ≠1)得a －2＝9，解得a ＝13，∈f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x . (2)∈f (2m －1)－f (m ＋3)<0， ∈f (2m －1)<f (m ＋3)． ∈f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x 为减函数， ∈2m －1>m ＋3，解得m >4， ∈实数m 的取值范围为(4，＋∞)．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，3x ，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，求实数a 的取值范围．【解析】如图，在同一坐标系中分别作出y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象，其中a 表示直线在y 轴上的截距，由图可知，当a ＞1时，直线y ＝－x ＋a 与y ＝log 2x 只有一个交点．所以实数a 的取值范围是(1，＋∞)．20．(本小题满分12分)已知1≤x ≤4，求函数f (x )＝log 2x 4·log 2x2的最大值与最小值．【解析】 ∈f (x )＝log 2x 4·log 2x2＝(log 2x －2)(log 2x －1) ＝⎝⎛⎭⎫log 2x －322－14， 又∈1≤x ≤4，∈0≤log 2x ≤2，∈当log 2x ＝32，即x ＝232＝22时，f (x )有最小值－14.当log 2x ＝0时，f (x )有最大值2，此时x ＝1. 即函数f (x )的最大值是2，最小值是－14.21．(本小题满分12分)某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过15万元时，按销售利润的10%进行奖励；当销售利润超过15万元时，若超过部分为A 万元，则超出部分按2log 5(A ＋1)进行奖励，没超出部分仍按销售利润的10%进行奖励．记奖金总额为y (单位：万元)，销售利润为x (单位：万元)．(1)写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数表达式；(2)如果业务员老张获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？ 【解析】(1)由题意，得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.1x ，0<x ≤15，1.5＋2log 5x －14，x >15.(2)∈当x ∈(0,15]时，0.1x ≤1.5， 又y ＝5.5>1.5，∈x >15， ∈1.5＋2log 5(x －14)＝5.5， 解得x ＝39.答：老张的销售利润是39万元． 22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x .(1)求证：f (x )是奇函数； (2)求证：f (x )＋f (y )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 1＋xy ；(3)若f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 1＋ab ＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 1－ab ＝2，求f (a )，f (b )的值．【解析】(1)证明：由函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ，可得1－x 1＋x >0，即x －11＋x <0，解得－1<x <1，故函数的定义域为(－1,1)，关于原点对称．再根据f (－x )＝lg 1＋x 1－x ＝－lg 1－x1＋x＝－f (x )，可得f (x )是奇函数．(2)证明：f (x )＋f (y )＝lg 1－x 1＋x ＋lg 1－y 1＋y ＝lg (1－x )(1－y )(1＋x )(1＋y )，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 1＋xy ＝lg1－x ＋y 1＋xy 1＋x ＋y 1＋xy ＝lg1＋xy －x －y 1＋xy ＋x ＋y ＝lg (1－x )(1－y )(1＋x )(1＋y )，∈f (x )＋f (y )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 1＋xy 成立．(3)若f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 1＋ab ＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 1－ab ＝2，则由(2)可得f (a )＋f (b )＝1，f (a )－f (b )＝2， 解得f (a )＝32，f (b )＝－12.。

人教版高中数学第四章指数函数与对数函数基础知识点归纳总结单选题1、设log 74=a,log 73=b ，则log 4936=（ ）A ．12a −bB ．12b +aC ．12a +bD ．12b −a 答案：C分析：根据对数的运算性质计算即可.解：log 4936=log 7262=log 76=log 72+log 73=12log 74+log 73=12a +b . 故选：C.2、已知函数f (x )=x 2+e x −12(x <0)与g (x )=x 2+ln (x +a )图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ）A ．√e )B ．(−∞,√e )C ．√eD ．(0,√e ) 答案：B分析：f (x )=x 2+e x −12(x <0)关于y 轴对称的函数为：f(−x)=x 2+e −x −12(x >0)，函数f (x )=x 2+e x −12(x <0)与g (x )=x 2+ln (x +a )图象上存在关于y 轴对称的点， 即f(−x)=g(x)有解，通过数形结合即可得解.f (x )=x 2+e x −12(x <0)关于y 轴对称的函数为：f(−x)=x 2+e −x −12(x >0)，函数f (x )=x 2+e x −12(x <0)与g (x )=x 2+ln (x +a )图象上存在关于y 轴对称的点， 即f(−x)=g(x)有解，即x 2+e −x −12=x 2+ln(x +a)，整理的：e −x −12=ln(x +a)， y =e −x −12和y =ln(x +a)的图像存在交点，如图：临界值在x =0处取到（虚取），此时a =√e ，故当a <√e 时y =e −x −12和y =ln(x +a)的图像存在交点， 故选：B.3、已知对数式log (a+1)24−a （a ∈Z ）有意义，则a 的取值范围为（ ）A ．(−1,4)B ．(−1,0)∪(0,4)C ．{1,2,3}D ．{0,1,2,3}答案：C分析：由对数的真数大于0，底数大于0且不等于1列出不等式组，然后求解即可.由题意可知:{a +1>0a +1≠124−a>0 ⇔{a >−1a ≠0a <4 ，解之得:−1<a <4且a ≠0. ∵a ∈Z ，∴a 的取值范围为{1,2,3}.故选：C.4、如图所示，函数y=|2x−2|的图像是（）A．B．C．D．答案：B分析：将原函数变形为分段函数，根据x=1及x≠1时的函数值即可得解.∵y=|2x−2|={2x−2,x≥12−2x,x<1，∴x=1时，y=0,x≠1时，y>0.故选：B.5、若n<m<0，则√m2+2mn+n2−√m2−2mn+n2等于（）A．2m B．2n C．−2m D．−2n答案：C分析：根据根式的计算公式，结合参数范围，即可求得结果.原式=|m+n|−|m−n|，∵n<m<0，∴m+n<0，m−n>0，∴原式=−(m+n)−(m−n)=−2m．故选：C小提示：本题考查根式的化简求值，属简单题，注意参数范围即可.6、化简(1og62)2+log62⋅log63+2log63−6log62的值为（）A．−log62B．−log63C．log63D．-1答案：A分析：运用对数的运算性质即可求解.解析：(log62)2+log62⋅log63+2log63−6log62=log62(log62+log63)+2log63−2=log62+2log63−2=2(log62+log63)−log62−2=2−log62−2=−log62故选：A.7、已知f(x)＝a−x(a>0，且a≠1)，且f(－2)>f(－3)，则a的取值范围是（）A．a>0B．a>1C．a<1D．0<a<1答案：D分析：把f(－2)，f(－3)代入解不等式，即可求得．因为f(－2)＝a2，f(－3)＝a3，f(－2)>f(－3)，即a2>a3，解得：0<a<1．故选：D，则对任意实数x，有（）8、已知函数f(x)=11+2xA．f(−x)+f(x)=0B．f(−x)−f(x)=0C．f(−x)+f(x)=1D．f(−x)−f(x)=13答案：C分析：直接代入计算，注意通分不要计算错误．f(−x)+f(x)=11+2−x +11+2x=2x1+2x+11+2x=1，故A错误，C正确；f(−x)−f(x)=11+2−x −11+2x=2x1+2x−11+2x=2x−12x+1=1−22x+1，不是常数，故BD错误；故选：C．9、声强级L1（单位：dB）与声强I的函数关系式为：L1=10lg(I10−12).若普通列车的声强级是95dB，高速列车的声强级为45dB，则普通列车的声强是高速列车声强的（）A．106倍B．105倍C．104倍D．103倍答案：B分析：设普通列车的声强为I1，高速列车的声强为I2，由声强级得95=10lg(I110−12)，45=10lg(I210−12)，求出I1、I2相除可得答案.设普通列车的声强为I1，高速列车的声强为I2，因为普通列车的声强级是95dB，高速列车的声强级为45dB，所以95=10lg(I110−12)，45=10lg(I210−12)，95=10lg(I110−12)=10(lgI1+12)，解得−2.5=lgI1，所以I1=10−2.5，45=10lg(I210−12)=10(lgI2+12)，解得−7.5=lgI2，所以I2=10−7.5，两式相除得I1I2=10−2.510−7.5=105，则普通列车的声强是高速列车声强的105倍.故选：B.10、在同一平面直角坐标系中，一次函数y=x+a与对数函数y=log a x（a>0且a≠1）的图象关系可能是（）A．B．C．D．答案：C分析：根据对数函数的图象以及直线方程与图象关系分别进行讨论即可．A．由对数图象知0<a<1，此时直线的纵截距a>1，矛盾，B．由对数图象知a>1，此时直线的纵截距0<a<1，矛盾，C．由对数图象知0<a<1，此时直线的纵截距0<a<1，保持一致，D．由对数图象知a>1，此时直线的纵截距a<0，矛盾，故选：C．多选题11、在平面直角坐标系中，我们把横纵坐标相等的点称之为“完美点”，下列函数的图象中存在完美点的是（）D．y=x2﹣3x+4A．y=﹣2x B．y=x﹣6C．y=3x答案：ACD分析：横纵坐标相等的函数即y=x，与y=x有交点即存在完美点，依次计算即可.横纵坐标相等的函数即y=x，与y=x有交点即存在完美点，对于A,{y =x y =−2x ，解得{x =0y =0，即存在完美点(0,0)， 对于B,{y =x y =x −6，无解，即不存在完美点，对于C,{y =x y =3x，解得{x =√3y =√3或{x =−√3y =−√3，即存在完美点(√3,√3)，(−√3,−√3) 对于D,{y =x y =x 2−3x +4，x 2−3x +4=x ,即x 2−4x +4=0，解得x =2，即存在完美点(2,2). 故选：ACD.12、高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[x]表示不超过x 的最大整数，则y =[x]称为高斯函数，例如：[−3.5]=−4，[2.1]=2．已知函数f(x)=e x 1+e x −12，则关于函数g(x)=[f(x)]的叙述中正确的是（ ）A ．g(x)是偶函数B ．f(x)是奇函数C ．f(x)在R 上是增函数D ．g(x)的值域是{−1,0,1}答案：BC解析：计算g(−1),g(1)得出g(1)≠g(−1),g(1)≠−g(−1)判断选项A 不正确；用函数的奇偶性定义，可证f(x)是奇函数，选项B 正确；通过分离常数结合复合函数的单调性，可得出f(x)在R 上是增函数，判断选项C 正确；由y =e x 的范围，利用不等式的关系，可求出−12<f(x)<12，选项D 不正确，即可求得结果.根据题意知，f(x)=e x 1+e x −12=12−11+e x .∵g(1)=[f(1)]=[e 1+e −12]=0，g(−1)=[f(−1)]=[1e+1−12]=−1，∴g(1)≠g(−1),g(1)≠−g(−1)，∴函数g(x)既不是奇函数也不是偶函数，A 错误；∵f(−x)=e−x1+e−x −12=11+e x−12=−f(x)，∴f(x)是奇函数，B正确；∵y=e x在R上是增函数，由复合函数的单调性知f(x)=12−11+e x在R上是增函数，C正确；∵e x>0，∴1+e x>1，0<11+e x <1,−1<−11+e x<0，∴−12<f(x)<12，∴g(x)=[f(x)]={−1,0}，D错误.故选：BC.小提示：关键点睛：本题是一道以数学文化为背景，判断函数性质的习题，属于中档题型，本题的关键是理解函数g(x)=[f(x)]，然后才会对函数f(x)变形，并作出判断.13、已知a>0，b>0且a≠1，b≠1，若log a b>1，则下列不等式可能正确的是（）．A．(b−1)(b−a)>0B．(a−1)(a−b)>0C．(a−1)(b−1)<0D．(a−1)(b−a)>0答案：AD分析：由于log a b>1=log a a，然后分情况利用对数函数的单调性比较大小即可.解：∵log a b>1=log a a，∴若a>1，则b>a，即b>a>1．∴(b−1)(b−a)>0，故A正确．(a−1)(b−a)>0，故D正确．若0<a<1，则0<b<a<1，∴(a−1)(a−b)<0，(a−1)(b−1)>0，故BC错误，故选：AD小提示：此题考查了对数函数的性质，属于基础题.14、已知函数f (x )={(12)x−1,x ≤0x 12,x >0，则下列结论中错误的是（ ） A ．f (x )的值域为(0,+∞)B ．f (x )的图象与直线y =2有两个交点C ．f (x )是单调函数D ．f (x )是偶函数答案：ACD分析：利用指数函数、幂函数的性质画出f (x )的图象，由图象逐一判断即可.函数f (x )的图象如图所示，由图可知f (x )的值域为[0,+∞)，结论A 错误，结论C ，D 显然错误，f (x )的图象与直线y =2有两个交点，结论B 正确．故选：ACD15、已知函数y =f (x )的图象在区间[0,1]上是一条连续不断的曲线，则下列结论正确的是（ ）A ．若f (0)⋅f (1)<0，则y =f (x )在(0,1)内至少有一个零点B ．若f (0)⋅f (1)>0，则y =f (x )在(0,1)内没有零点C ．若y =f (x )在(0,1)内没有零点，则必有f (0)⋅f (1)≥0D ．若y =f (x )在(0,1)内有唯一零点，f (0)⋅f (1)<0，则f (x )在(0,1)上是单调函数答案：AC分析：根据零点存在定理逐一判断即可．因为f(x)在[0，1]上连续，A ．f(0)⋅f （1）<0，由零点存在定理可知，y =f(x)在(0,1)内至少有一个零点，故正确；B．当f(x)=x2−x+14时，满足f(0)⋅f（1）>0，但在(0,1)内有一个零点12，故错误；C．y=f(x)在(0,1)内没有零点，则必有f(0)⋅f（1）⩾0等价于f(0)⋅f（1）<0，则y=f(x)在(0,1)内有零点，由零点存在定理可知此命题是真命题，故正确；D．y=f(x)在(0,1)内有唯一零点，f(0)⋅f（1）<0，但f(x)在(0,1)上不一定是单调函数，比如f(x)=14−(x−14)2，故错误．故选：AC．双空题16、函数y=2x的图象与函数y=2−x的图象关于________对称，它们的交点坐标是_________.答案：y轴(0,1)分析：根据题意画出函数图象，结合图象得出结果.解：函数y=2x的图象与函数y=2−x的图象如下：由指数函数的性质可知，函数y=2x的图象与函数y=2−x的图象关于y轴对称，它们的交点坐标是(0,1).所以答案是：y轴；(0,1).小提示：本题考查指数函数的图象与性质，属于基础题.17、李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．答案： 130. 15.分析：由题意可得顾客需要支付的费用，然后分类讨论，将原问题转化为不等式恒成立的问题可得x的最大值.(1)x=10,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付(60+80)−10=130元.(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为y元,y<120元时,李明得到的金额为y×80%,符合要求.y≥120元时,有(y−x)×80%≥y×70%恒成立,即8(y−x)≥7y,x≤y8,即x≤(y8)min=15元.所以x的最大值为15.小提示：本题主要考查不等式的概念与性质､数学的应用意识､数学式子变形与运算求解能力,以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养.18、已知某种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，现给某病人静脉注射了该药物2500mg，设经过x个小时后，药物在病人血液中的量为ymg．(1)y与x的关系式为______；(2)当该药物在病人血液中的量保持在1500mg以上，才有疗效；而低于500mg，病人就有危险，要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过______小时(精确到0.1)．(参考数据：0.20.3≈0.6，0.82.3≈0.6，0.87.2≈0.2，0.89.9≈0.1)答案：y=2500×0.8x7.2分析：(1)利用指数函数模型求得函数y与x的关系式；(2)根据题意利用指数函数的单调性列不等式求得再次注射该药物的时间不能超过的时间．(1)由题意知，该种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，给某病人注射了该药物2500mg ，经过x 个小时后，药物在病人血液中的量为y =2500×(1−20%)x =2500×0.8x (mg)，即y 与x 的关系式为y =2500×0.8x ；(2)当该药物在病人血液中的量保持在1500mg 以上，才有疗效；而低于500mg ，病人就有危险，令2500×0.8x ≥500，∴0.8x ≥0.2，∵0.87.2≈0.2，y =0.8x 是单调减函数，∴x ≤7.2，所以要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过7.2小时．故答案为(1)y =2500×0.8x ，(2)7.2．小提示：本题考查了指数函数模型的应用问题，是基础题．解答题19、已知函数f (x )＝a x −1a x +1(a ＞0，且a ≠1)．（1）若f (2)＝35，求f (x )解析式； （2）讨论f (x )奇偶性．答案：（1）f (x )=2x −12x +1；（2）奇函数．分析：（1）根据f (2)=35，求函数的解析式；（2）化简f (−x )，再判断函数的奇偶性.解：（1）∵f (x )=a x −1a x +1，f (2)=35． 即a 2−1a 2+1=35，∴a =2．即f (x )=2x −12x +1．（2）因为f (x )的定义域为R ，且f (−x )=a −x −1a −x +1=1−a x 1+a x =−f (x )，所以f (x )是奇函数．20、设x ，y ，z 均为正数，且3x =4y =6z .（1）试求x ，y ，z 之间的关系.（2）求使2x =py 成立，且与p 最近的正整数（即求与p 的差的绝对值最小的整数）.（3）比较3x ，4y ，6z 的大小.答案：（1）1z −1x =12y ；（2）3；（3）3x <4y <6z .分析：设3x =4y =6z =t ，将指数式换成对数式可得x =1log t 3，y =1log t 4，z =1log t 6. （1）通过对数运算可得x ，y ，z 之间的关系；（2）由题意得p =2x y =log 316，证明p −2>3−p ，即可得答案；（3）利用作差法结合对数运算，即可得答案；设3x =4y =6z =t ，由x ，y ，z 均为正数知t >1.故取以t 为底的对数，可得xlog t 3=ylog t 4=zlog t 6=1.∴x =1log t 3，y =1log t 4，z =1log t 6.（1）1z −1x =log t 6−log t 3=log t 2=12log t 4=12y ，∴x ，y ，z 之间的关系为1z −1x =12y .（2）p =2x y =2log t 3⋅log t 4=2⋅log 34=log 316. 由9<16<27，得log 39<log 316<log 327，从而2<p <3.而p −2=log 316−log 39=log 3169，3−p =log 327−log 316=log 32716.由169÷2716=256243>1知169>2716，∴p −2=log 3169>log 32716=3−p .从而所求正整数为3.（3）∵3x −4y =3log 3t −4log 4t =3lgt lg3−4lgt lg4 =(3lg4−4lg3lg3⋅lg4)lgt =lgt lg3⋅lg4(lg43−lg34).而lgt >0，lg3>0，lg4>0，lg43<lg34，∴3x <4y .又∵4y −6z =2(2log 4t −3log 6t )=2(2lgt lg4−3lgt lg6)=2lgt(2lg6−3lg4)lg4⋅lg6=2lgt (lg62−lg43)lg4⋅lg6，而lgt >0，lg4>0，lg6>0，lg62<lg43，∴4y <6z .故有3x <4y <6z .小提示：本题考查指数式与对数式的互化、对数运算，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.。

(名师选题)2023年人教版高中数学第四章指数函数与对数函数必考知识点归纳单选题1、若f(x)={(6−a)x −a,x <1log a x +3,x ≥1是定义在R 上的增函数，实数a 的取值范围是（ ）A ．[1,5]B ．[32,5) C ．(32,5)D ．(1,5) 答案：B分析：由题意得{6−a >1a >1log a 1+3≥(6−a)−a ，解不等式组可求得答案 因为f(x)={(6−a)x −a,x <1log a x +3,x ≥1是定义在R 上的增函数，所以{6−a >1a >1log a 1+3≥(6−a)−a ，解得32≤a <5， 故选：B2、已知函数f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )=2x +x 2，则f (2)+f (−1)=（ ） A ．11B ．5C ．−8D ．−5 答案：B分析：利用奇函数的定义直接计算作答. 奇函数f (x )，当x >0时，f (x )=2x +x 2，所以f (2)+f (−1)=f(2)−f(1)=22+22−(21+12)=5. 故选：B3、将进货价为每个80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，每涨价1元，销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，则售价a（元/个）的取值范围应是（）A．90<a<100B．90<a<110C．100<a<110D．80<a<100答案：A分析：首先设每个涨价x元，涨价后的利润与原利润之差为y元，结合条件列式，根据y>0，求x的取值范围，即可得到a的取值范围.设每个涨价x元，涨价后的利润与原利润之差为y元，则a=x+90,y=(10+x)⋅(400−20x)−10×400=−20x2+200x.要使商家利润有所增加，则必须使y>0，即x2−10x<0，得0<x<10,∴90<x+90<100，所以a的取值为90<a<100.故选：A4、设m，n都是正整数，且n>1，若a>0，则不正确的是（）A．a mn=√a mn B．(a12+a−12)2=a+a−1C．a−mn=√a mn D．a0=1答案：B解析：由指数运算公式直接计算并判断. 由m，n都是正整数，且n>1，a>0，、得(a 12+a−12)2=(a12)2+2a12⋅a−12+(a−12)2=a+a−1+2，故B选项错误，故选：B.5、我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段．已知这种新药在注射停止后的血药含量c（t）（单位：mg/L）随着时间t（单位：h）的变化用指数模型c(t)=c0e−kt描述，假定某药物的消除速率常数k=0.1（单位：h−1），刚注射这种新药后的初始血药含量c0=2000mg/L，且这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg/L 时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，则该新药对病人有疗效的时长大约为（ ）（参考数据：ln2≈0.693,ln3≈1.099） A ．5.32hB ．6.23hC ．6.93hD ．7.52h 答案：C分析：利用已知条件c (t )=c 0e −kt =2000e −0.1t ，该药在机体内的血药浓度变为1000mg/L 时需要的时间为t 1，转化求解即可. 解：由题意得：c (t )=c 0e −kt =2000e −0.1t设该要在机体内的血药浓度变为1000mg/L 需要的时间为t 1c (t 1)=2000e −0.1t 1≥1000e −0.1t 1≥12故−0.1t ≥−ln2，t ≤ln20.1≈6.93故该新药对病人有疗效的时长大约为6.93ℎ 故选：C6、设alog 34=2，则4−a =（ ） A ．116B ．19C ．18D ．16 答案：B分析：根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解 由alog 34=2可得log 34a =2，所以4a =9， 所以有4−a =19， 故选：B.小提示：本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，属于基础题目.7、青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录表的数据V 的满足L =5+lgV ．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（√1010≈1.259） A ．1.5B ．1.2C ．0.8D ．0.6 答案：C分析：根据L,V 关系，当L =4.9时，求出lgV ，再用指数表示V ，即可求解. 由L =5+lgV ，当L =4.9时，lgV =−0.1，则V =10−0.1=10−110=√1010≈11.259≈0.8.故选：C.8、函数y =2x −2−x （ ） A ．是R 上的减函数 B ．是R 上的增函数C ．在(−∞,0)上是减函数，在(0,+∞)上是增函数D ．无法判断其单调性 答案：B分析：利用指数函数的单调性结合单调性的性质可得出结论. 因为指数函数f (x )=2x 为R 上的增函数，指数函数g (x )=2−x=(12)x为R 上的减函数，故函数y =2x −2−x 是R 上的增函数. 故选：B.9、镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为√55，√33，√2．则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为（ ）A ．甲同学和乙同学B ．丙同学和乙同学C ．乙同学和甲同学D ．丙同学和甲同学 答案：C分析：判断出√55，√33，√2的大小关系即可得出答案. (√55)10=52=25，(√2)10=25=32．∵25<32．∴√55<√2．又∵(√33)6=33=9，(√2)6=23=8，∴√33>√2． ∴有√55<√2<√33．又因为镜片折射率越高，镜片越薄，故甲同学创作的镜片最厚，乙同学创作的镜片最薄． 故选：C.10、指数函数y =a x 的图象经过点(3,18)，则a 的值是（ ） A ．14B ．12C ．2D ．4 答案：B分析：将已知点的坐标代入指数函数的表达式，求得a 的值. 因为y =a x 的图象经过点(3,18)，所以a 3=18，解得a =12，故选：B.11、设2a =5b =m ，且1a +1b =2，则m =（ ） A ．√10B ．10C ．20D ．100 答案：A分析：根据指数式与对数的互化和对数的换底公式，求得1a =log m 2，1b =log m 5，进而结合对数的运算公式，即可求解.由2a =5b =m ，可得a =log 2m ，b =log 5m ， 由换底公式得1a =log m 2，1b =log m 5，所以1a+1b=log m 2+log m 5=log m 10=2，又因为m >0，可得m =√10． 故选：A.12、设a =30.7, b =(13)−0.8, c =log 0.70.8，则a,b,c 的大小关系为（ ）A ．a <b <cB ．b <a <cC ．b <c <aD ．c <a <b 答案：D分析：利用指数函数与对数函数的性质，即可得出a,b,c 的大小关系. 因为a =30.7>1， b =(13)−0.8=30.8>30.7=a ，c =log 0.70.8<log 0.70.7=1， 所以c <1<a <b . 故选：D.小提示：本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：y =a x ，当a >1时，函数递增；当0<a <1时，函数递减； （2）利用对数函数的单调性：y =log a x ，当a >1时，函数递增；当0<a <1时，函数递减； （3）借助于中间值，例如：0或1等. 双空题13、若实数a ，b 满足log a 2=blog 23=1,则a =__________，3b =__________． 答案： 2 2解析：根据对数的运算法则和概念求解．因为log a 2=1，所以a =2，因为blog 23=1，所以log 23b =1，所以3b =2．所以答案是：2；2．小提示：本题考查对数的概念与运算法则，属于基础题．14、已知函数y=cosωx−a，x∈[−π,π]（其中a，ω为常数，且ω>0）有且仅有5个零点，则a的值为__________，ω的取值范围是__________．答案： 1 [4,6)解析：由条件可得函数y=cosωx−a必有一个零点为x=0，即可求出a=1，然后令y=cosωx−a=cosωx−1=0可得x=2kπω,k∈Z，然后可建立不等式求解.因为函数y=cosωx−a，x∈[−π,π]为偶函数，有且仅有5个零点所以必有一个零点为x=0，所以cos0−a=0，即a=1令y=cosωx−a=cosωx−1=0，可得cosωx=1，即ωx=2kπ，即x=2kπω,k∈Z因为有且仅有5个零点，所以4πω≤π,6πω>π，解得4≤ω<6所以答案是：1；[4,6)15、已知log b a>1，若log a b+log b a=52，a b=b a，则a=______，b=______．答案： 4 2分析：将对数等式利用换底公式变形，求出log b a，再借助指数函数单调性即可得解. 依题意，a>0且a≠1，b>0且b≠1，因为log a b+log b a=52，则1log b a+log b a=52，即2(log b a)2−5log b a+2=0，解得log b a=2或log b a=12(舍去)，于是得a=b2，因a b=b a，即有(b2)b=b b2，亦即b2b=b b2，而指数函数y=b x是R上单调函数，因此有2b=b2，解得b=2，从而a=b2=4，所以a=4，b=2.所以答案是：4；216、函数f(x)=log12(−2x2+x)的单调增区间是________；f(x)的值域是________．答案： [14,12) [3,+∞)分析：先求出函数的定义域，然后令t =−2x 2+x ，则y =log 12t ，再利用复合函数求单调区间的方法可求得其单调增区间，先求出二次函数在定义域内的值域，再求y =log 12t 的值域即可函数f(x)=log 12(−2x 2+x)的定义域满足−2x 2+x >0，得0<x <12所以函数f(x)=log 12(−2x 2+x)的定义域为(0,12).设t =−2x 2+x ，由y =log 12t 是单调递减函数.由复合函数单调性的性质，即求t =−2x 2+x 的减区间. 由二次函数的性质可得t =−2x 2+x 在[14,12)上单调递减. 又当x ∈(0,12)时，t =−2x 2+x ∈(0,18] 由y =log 12t 是单调递减，所以f(x)≥log 1218=3所以f(x)的值域是[3,+∞) 所以答案是：[14,12)；[3,+∞)小提示：此题考查求对数型复合函数的单调性和值域，解题时要注意函数的定义域，属于基础题17、在一个房间使用某种消毒剂后，该消毒剂中的某种药物含量y (mg/m³)随时间t (h)变化的规律可表示为y ={at,0<t <121at, t ≥12 ， (a >0)如图所示，则a =_____;实验表明，当房间中该药物含量不超过0.75 mg/m³时对人体无害，为了不使人体受到该药物的伤害，则使用该消毒剂对这个房间进行消毒后至少经过________小时方可进入.答案： 2 23解析：根据函数图象当t =12时，y =1，即可求出a =2，从而得到y ={2t,0<t <1212t, t ≥12， (a >0)，再根据题意解不等式即可.由题知：当t =12时，y =1，即2a =1，解得a =2. 所以y ={2t,0<t <1212t, t ≥12 ， (a >0).当0<t <12时，y =2t ，单调递增，当t ≥12时，y =12t，单调递减，令12t <0.75，解得t >23， 所以经过23小时后方可进入房间.所以答案是：2；23小提示：本题主要考查函数的模型应用，考查学生分析问题的能力，属于简单题. 解答题18、已知函数f (x )=1+a2x +1为奇函数.（1）求实数a 的值，并判断f (x )在R 上的单调性（不必证明）；（2）若关于t 的不等式f(t 2−2t)+f(2t 2−k)<0的解集非空，求实数k 的取值范围. 答案：（1）a =−2，f (x )是R 上的增函数；（2）(−13,+∞).分析：（1）根据f(0)=0求出a =−2，再由奇函数的定义验证，根据指数函数的单调性即可求解. （2）由（1）可得t 2−2t <k −2t 2的解集非空，转化为3t 2−2t −k <0在R 上有解，只需Δ=(−2)2−4×3×(−k)>0，解不等式即可求解.（1）因为f (x )定义在R 上的奇函数，可得∀x ∈R ，都有f(−x)=−f(x)， 令x =0，可得f(0)=1+a20+1=1+a2=0，解得a =−2，所以f(x)=1−22x+1=2x−12x+1，此时满足f(−x)=2−x−12−x+1=−2x−12x+1=−f(x)，所以函数f(x)是奇函数，所以a=−2.f(x)是R上的增函数.（2）因为f(x)为奇函数，且f(t2−2t)+f(2t2−k)<0的解集非空，可得f(t2−2t)<f(k−2t2)的解集非空，-又因为f(x)在R上单调递增，所以t2−2t<k−2t2的解集非空，即3t2−2t−k<0在R上有解，则满足Δ=(−2)2−4×3×(−k)>0，解得k>−13，所以实数k的取值范围(−13,+∞).19、数学运算是指在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的素养.因为运算,数的威力无限;没有运算,数就只是一个符号.对数运算与指数幂运算是两类重要的运算.(1)对数的运算性质降低了运算的级别,简化了运算,在数学发展史上是伟大的成就.对数运算性质的推导有很多方法.请同学们根据所学知识推导如下的对数运算性质:如果a>0,且a≠1,M>0,那么log a M n=nlog a M(n∈R);(2)请你运用上述对数运算性质计算lg3lg4(lg8lg9+lg16lg27)的值;(3)因为210=1024∈(103,104),所以210的位数为4(一个自然数数位的个数,叫做位数).请你运用所学过的对数运算的知识,判断20192020的位数.(注lg2019≈3.305)答案：(1)见解析(2)1712(3)20192020的位数为6677解析：(1)根据指数与对数的转换证明即可.(2)根据对数的运算性质将真数均转换成指数幂的形式再化简即可.(3)分析lg20192020的值的范围再判断位数即可.(1)方法一:设x=log a M所以M=a x所以M n=(a x)n=a nx所以log a M n=nx=nlog a M,得证. 方法二:设x=nlog a M所以xn=log a M所以a xn=M所以a x=M n所以x=log a M n所以nlog a M=log a M n方法三:因为a log a M n=M na nlog a M=(a log a M)n=M n 所以a log a M n=a nlog a M所以log a M n=nlog a M得证.(2)方法一:lg3 lg4(lg8lg9+lg16lg27)=lg3lg22(lg23lg32+lg24lg33) =lg32lg2(3lg22lg3+4lg23lg3)=lg32lg2⋅17lg26lg3=1712.方法二:lg3 lg4(lg8lg9+lg16lg27)=log43(log98+log2716) =log223(log3223+log3324)=12log23(32log32+43log32) =12log23⋅176log32=1712.(3)方法一:设10k<20192020<10k+1,k∈N∗所以k<lg20192020<k+1所以k<2020lg2019<k+1所以k<2020×3.305<k+1所以6675.1<k<6676.1因为k∈N∗所以k=6676所以20192020的位数为6677方法二:设20192020=N所以2020lg2019=lgN所以2020×3.305=lgN所以lgN=6676.1所以N=106676.1=100.1×106676因为1<100.1<10,所以N有6677位数,即20192020的位数为6677小提示：本题主要考查了对数的运算以及利用对数的运算求解数字位数的问题,需要取对数分析对数值进行分析,属于中档题.20、已知函数f(x)=2x−12x.（1）判断f(x)在其定义域上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；（2）解关于x的不等式f(log2x)<f(1).答案：（1）f(x)在R上是增函数，证明见解析；（2）(0,2).分析：（1）由题可判断函数为奇函数且为增函数，利用定义法的步骤证明即可；（2）利用函数f(x)的单调性及对数函数的单调性即解.（1）∵f(−x)=2−x−2x=−(2x−12x)=−f(x)，则函数f(x)是奇函数，则当x⩾0时，设0⩽x1<x2，则f(x1)−f(x2)=2x1−12x1−2x2+12x2=2x1−2x2+2x2−2x12x12x2=(2x1−2x2)2x12x2−12x12x2，∵0⩽x1<x2，∴1⩽2x1<2x2，即2x1−2x2<0，2x12x2>1，则f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，则f(x)在[0，+∞)上是增函数，∵f(x)是R上的奇函数，∴f(x)在R上是增函数.（2）∵f(x)在R上是增函数，∴不等式f(log2x)<f(1)等价为不等式log2x<1，即0<x<2.即不等式的解集为(0,2).。

高中数学必修一第四章指数函数与对数函数重点归纳笔记单选题1、已知2a =5,log 83=b ，则4a−3b =（ ） A ．25B ．5C ．259D ．53答案：C分析：根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出． 因为2a=5，b =log 83=13log 23，即23b=3，所以4a−3b=4a 43b=(2a )2(23b )2=5232=259．故选：C.2、设log 74=a,log 73=b ，则log 4936=（ ） A ．12a −b B ．12b +a C ．12a +b D ．12b −a答案：C分析：根据对数的运算性质计算即可.解：log 4936=log 7262=log 76=log 72+log 73=12log 74+log 73=12a +b . 故选：C.3、已知函数f (x )={−2x,x <0−x 2+2x,x ≥0 若关于x 的方程f (x )=12x +m 恰有三个不相等的实数解，则m 的取值范围是（ ） A ．[0,34]B ．(0,34)C ．[0,916]D ．(0,916) 答案：D分析：根据题意，作出函数f (x )={−2x, x <0,−x 2+2x,x ≥0 与y =12x +m 的图像，然后通过数形结合求出答案.函数f (x )={−2x, x <0,−x 2+2x,x ≥0的图像如下图所示：若关于x 的方程f (x )=12x +m 恰有三个不相等的实数解，则函数f (x )的图像与直线y =12x +m 有三个交点，若直线y =12x +m 经过原点时，m ＝0，若直线y =12x +m 与函数f (x )=12x +m 的图像相切，令−x 2+2x =12x +m ⇒x 2−32x +m =0，令Δ=94−4m =0⇒m =916. 故m ∈(0,916).故选：D ．4、已知函数f(x)={a x ,x <0(a −2)x +3a,x ≥0，满足对任意x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0成立，则a 的取值范围是（ ）A ．a ∈(0,1)B ．a ∈[34,1)C ．a ∈(0,13]D ．a ∈[34,2) 答案：C分析：根据条件知f(x)在R 上单调递减，从而得出{0<a <1a −2<03a ≤1，求a 的范围即可．∵f(x)满足对任意x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0成立，∴f(x)在R 上是减函数，∴{0<a <1a −2<0(a −2)×0+3a ≤a 0，解得0<a ≤13， ∴a 的取值范围是(0,13]．故选：C ．5、已知函数f (x )=x 2+e x −12(x <0)与g (x )=x 2+ln (x +a )图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ）A ．√e )B ．(−∞,√e )C ．√e)D ．(0,√e )答案：B分析：f (x )=x 2+e x −12(x <0)关于y 轴对称的函数为：f(−x)=x 2+e −x −12(x >0)， 函数f (x )=x 2+e x −12(x <0)与g (x )=x 2+ln (x +a )图象上存在关于y 轴对称的点， 即f(−x)=g(x)有解，通过数形结合即可得解. f (x )=x 2+e x −12(x <0)关于y 轴对称的函数为： f(−x)=x 2+e −x −12(x >0)，函数f (x )=x 2+e x −12(x <0)与g (x )=x 2+ln (x +a )图象上存在关于y 轴对称的点，即f(−x)=g(x)有解，即x 2+e −x −12=x 2+ln(x +a)，整理的：e −x −12=ln(x +a)， y =e −x −12和y =ln(x +a)的图像存在交点，如图：临界值在x =0处取到（虚取），此时a =√e ，故当a <√e 时y =e −x −12和y =ln(x +a)的图像存在交点， 故选：B.6、已知函数f(x)={log 12x,x >0,a ⋅(13)x,x ≤0,若关于x 的方程f[f(x)]=0有且只有一个实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(−∞,0)∪(0,1)B ．(−∞,0)∪(1,+∞)C ．(−∞,0)D ．(0,1)∪(1,+∞) 答案：B分析：利用换元法设t =f (x )，则等价为f (t )=0有且只有一个实数根，分a <0,a =0,a >0 三种情况进行讨论，结合函数的图象，求出a 的取值范围. 令f(x)=t ，则方程f[f(x)]=0等价于f(t)=0，当a =0时，此时当x ≤0时，f (x )=a ⋅(13)x=0，此时函数有无数个零点，不符合题意；当a ≠0，则f(x)=a ⋅(13)x≠0，所以由f(t)=log 12t =0，得t =1，则关于x 的方程f[f(x)]=0有且只有一个实数根等价于关于x 的方程f(x)=1有且只有一个实数根，作出f(x)的图象如图：当a <0时，由图象可知直线y =1与y =f(x)的图象只有一个交点，恒满足条件； 当a >0时，要使直线y =1与y =f(x)的图象只有一个交点， 则只需要当x ≤0时，直线y =1与f(x)=a ⋅(13)x的图象没有交点， 因为x ≤0 时，f (x )=a ⋅(13)x∈[a,+∞)，此时f (x ) 最小值为a ， 所以a >1，综上所述，实数a 的取值范围是(−∞,0)∪(1,+∞)， 故选：B.7、已知对数式log (a+1)24−a（a ∈Z ）有意义，则a 的取值范围为（ ）A ．(−1,4)B ．(−1,0)∪(0,4)C ．{1,2,3}D ．{0,1,2,3} 答案：C分析：由对数的真数大于0，底数大于0且不等于1列出不等式组，然后求解即可. 由题意可知:{a +1>0a +1≠124−a >0 ⇔{a >−1a ≠0a <4 ，解之得:−1<a <4且a ≠0.∵a ∈Z ，∴a 的取值范围为{1,2,3}. 故选：C.8、若函数f (x )=ln(ax +√x 2+1)是奇函数，则a 的值为（ ） A ．1B ．－1 C ．±1D ．0 答案：C分析：根据函数奇函数的概念可得ln(−ax +√x 2+1)+ln(ax +√x 2+1)=0，进而结合对数的运算即可求出结果.因为f (x )=ln(ax +√x 2+1)是奇函数，所以f (－x )＋f (x )＝0．即ln(−ax +√x 2+1)+ln(ax +√x 2+1)=0恒成立，所以ln [(1−a 2)x 2+1]=0，即(1−a 2)x 2=0 恒成立，所以1−a 2=0，即a =±1． 当a =1时，f (x )=ln(x +√x 2+1)，定义域为R ，且f (−x )+f (x )=0，故符合题意； 当a =−1时，f (x )=ln(−x +√x 2+1)，定义域为R ，且f (−x )+f (x )=0，故符合题意； 故选：C. 多选题9、如图，某池塘里的浮萍面积y （单位：m 2）与时间t （单位：月）的关系式为y =ka t (k ∈R 且k ≠0，a ≠1)．则下列说法正确的是（ ）A．浮萍每月增加的面积都相等B．第6个月时，浮萍的面积会超过30m2C．浮萍面积从2m2蔓延到64m2只需经过5个月D．若浮萍面积蔓延到4m2，6m2，9m2所经过的时间分别为t1，t2，t3，则t1+t3=2t2答案：BCD分析：由题意结合函数图象可得{ka=1ka3=4，进而可得y=2t−1；由函数图象的类型可判断A；代入x=6可判断B；代入y=2、y=64可判断C；代入y=4、y=6、y=9，结合对数的运算法则即可得判断D；即可得解.由题意可知，函数过点(1,1)和点(3,4)，则{ka=1ka3=4，解得{k=12a=2（负值舍去），∴函数关系式为y=12×2t=2t−1，对于A，由函数是曲线型函数，所以浮萍每月增加的面积不相等，故选项A错误；对于B，当x=6时，y=25=32>30，故选项B正确；对于C，令y=2得t=2；令y=64得t=7，所以浮萍面积从2m2增加到64m2需要5个月，故选项C正确；对于D，令y=4得t1=3；令y=6得t2=log212；令y=9得t3=log218；所以t1+t3=3+log212=log2144=2log212=2t2，故选项D正确.故选：BCD.小提示：本题考查了函数解析式的确定及函数模型的应用，考查了运算求解能力，合理转化条件是解题关键，属于基础题.10、若log2m=log4n，则（）A．n=2m B．log9n=log3mC．lnn=2lnm D．log2m=log8(mn)答案：BCD分析：利用对数运算化简已知条件，然后对选项进行分析，从而确定正确选项. 依题意log2m=log4n，所以m>0,n>0,log2m=log22n=12log2n=log2n12，所以m=n 12,m2=n，A选项错误.log9n=log32m2=22log3m=log3m，B选项正确.lnn=lnm2=2lnm，C选项正确.log8(mn)=log23m3=33log2m=log2m，D选项正确.故选：BCD11、已知函数f(x)=lg(√x2−2x+2−x+1)，g(x)=2x+62x+2则下列说法正确的是（）A．f(x)是奇函数B．g(x)的图象关于点(1，2)对称C．若函数F(x)=f(x)+g(x)在x∈[1−m,1+m]上的最大值、最小值分别为M、N，则M+N=4D．令F(x)=f(x)+g(x)，若F(a)+F(−2a+1)>4，则实数a的取值范围是(−1,+∞)答案：BCD分析：利用函数的奇偶性的定义，可判定A错误；利用图像的平移变换，可判定B正确；利用函数的图象平移和奇偶性，可得判定C正确；利用函数的单调性，可判定D正确.由题意函数f(x)=lg(√x2−2x+2−x+1)=lg(√(x−1)2+1−(x−1))，因为√(x−1)2+1−(x−1)>0恒成立，即函数f(x)的定义域为R，又因为f(0)=lg(√2+1)≠0，所以f(x)不是奇函数，所以A错误；将g (x )=2x +62x +2的图象向下平移两个单位得到y =2x +62x +2−2=2−2x 2+2x，再向左平移一个单位得到ℎ(x )=2−2x+12+2x+1=1−2x 1+2x，此时ℎ(−x )=1−2−x1+2−x =2x −12x +1=−ℎ(x )，所以ℎ(x )图象关于点(0,0)对称， 所以g (x )的图象关于(1,2)对称，所以B 正确；将函数f (x )的图象向左平移一个单位得m (x )=lg(√x 2+1−x)， 因为m (−x )+m (x )=lg(√x 2+1+x)+lg(√x 2+1−x)=lg1=0， 即m(−x)=−m(x)，所以函数m (x )为奇函数， 所以函数f (x )关于(1,0)点对称，所以F (x )若在1+a 处 取得最大值，则F (x )在1−a 处取得最小值，则F(1+a)+F(1−a)=f(1+a)+f(1−a)+g(1+a)+g(1−a)=0+4=4，所以C 正确； 由F(a)+F(−2a +1)>4，可得f(a)+f(1−2a)+g(a)+g(1−2a)>4， 由f (x )=lg(√(x −1)2+1−(x −1))， 设m (x )=lg(√x 2+1−x)，t =√x 2+1−x ， 可得t ′=√x 2+1−1<0，所以t =√x 2+1−x 为减函数，可得函数m (x )=lg(√x 2+1−x)为减函数，所以函数f (x )=lg(√(x −1)2+1−(x −1))为单调递减函数， 又由g (x )=2x +62x +2=1+42x +2为减函数，所以F (x )为减函数，因为F (x )关于点(1,2)对称，所以F (a )+F (−2a +1)>4=F(a)+F(2−a)，即F(−2a +1)>F(2−a)， 即−2a +1<2−a ，解得a >−1，所以D 正确. 故选：BCD.小提示：求解函数有关的不等式的方法及策略： 1 、解函数不等式的依据是函数的单调性的定义， 具体步骤：①将函数不等式转化为f(x 1)>f(x 2)的形式；②根据函数f (x )的单调性去掉对应法则“f ”转化为形如：“x 1>x 2”或“x 1<x 2”的常规不等式，从而得解. 2 、利用函数的图象研究不等式，当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数的图象上、下关系问题，从而利用数形结合求解. 填空题12、若√4a 2−4a +1=√(1−2a )33，则实数a 的取值范围_________ ．答案：(−∞，12]分析：由二次根式的化简求解由题设得√4a 2−4a +1=√(2a −1)2=|2a −1|，√(1−2a )33=1−2a ，所以|2a −1|=1−2a 所以1−2a ≥0，a ≤12．所以答案是：(−∞，12]13、已知10p ＝3，用p 表示log 310＝_____． 答案：1p ##p −1分析：根据指数和对数的关系，以及换底公式，分析即得解. ∵10p ＝3，∴p =lg3，∴log 310＝1g101g3＝11g3＝1p . 所以答案是：1p ．14、对于任意不等于1的正数a ，函数f (x )=log a (2x +3)+4的图像都经过一个定点，这个定点的坐标是_______. 答案：(−1,4)分析：根据log a 1=0求得正确结论.依题意，当2x +3=1，即x =−1时，f (−1)=log a 1+4=4， 所以定点为(−1,4). 所以答案是：(−1,4)解答题15、已知函数f(x)=2x−12x.（1）判断f(x)在其定义域上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；（2）解关于x的不等式f(log2x)<f(1).答案：（1）f(x)在R上是增函数，证明见解析；（2）(0,2).分析：（1）由题可判断函数为奇函数且为增函数，利用定义法的步骤证明即可；（2）利用函数f(x)的单调性及对数函数的单调性即解.（1）∵f(−x)=2−x−2x=−(2x−12x)=−f(x)，则函数f(x)是奇函数，则当x⩾0时，设0⩽x1<x2，则f(x1)−f(x2)=2x1−12x1−2x2+12x2=2x1−2x2+2x2−2x12x12x2=(2x1−2x2)2x12x2−12x12x2，∵0⩽x1<x2，∴1⩽2x1<2x2，即2x1−2x2<0，2x12x2>1，则f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，则f(x)在[0，+∞)上是增函数，∵f(x)是R上的奇函数，∴f(x)在R上是增函数.（2）∵f(x)在R上是增函数，∴不等式f(log2x)<f(1)等价为不等式log2x<1，即0<x<2.即不等式的解集为(0,2).。

一、指数的性质 （一）整数指数幂1．整数指数幂概念：an na a a a 个⋅⋅⋅= )(*∈N n ()010a a =≠ ()10,nnaa n N a-*=≠∈ 2．整数指数幂的运算性质：（1）(),mnm na a am n Z +⋅=∈ （2）()(),nm mn a a m n Z =∈（3）()()n n nab a b n Z =⋅∈其中m n m nm na a a aa--÷=⋅=， ()1nn n n nn a a a b a b b b --⎛⎫=⋅=⋅= ⎪⎝⎭．3．a 的n 次方根的概念 一般地，如果一个数的n 次方等于a ()*∈>Nn n ,1，那么这个数叫做a 的n 次方根，即： 若a xn=，则x 叫做a 的n 次方根， ()*∈>N n n ,1例如：27的3次方根3273=， 27-的3次方根3273-=-，32的5次方根2325=， 32-的5次方根2325-=-．说明：①若n 是奇数，则a 的n 次方根记作n a ； 若0>a 则0>n a ，若o a <则0<n a ；②若n 是偶数，且0>a 则a 的正的n 次方根记作n a ，a 的负的n 次方根，记作：n a -；（例如：8的平方根228±=± 16的4次方根2164±=±）③若n 是偶数，且0a <则n a 没意义，即负数没有偶次方根；④()*∈>=Nn n n,100 0=；⑤式子na 叫根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。

∴na =．．4．a 的n 次方根的性质一般地，若n 是奇数，则a a n n =；若n 是偶数，则⎩⎨⎧<-≥==00a aa aa a nn．5．例题分析：例1．求下列各式的值：（1）()338- （2）()210- （3）()443π- （4）()()b a b a >-2解：略。