指数函数与对数函数总结复习课件

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问题导学 预习教材 P148－P154，并思考以下问题： 1．一次、二次函数的表达形式分别是什么？ 2．指数函数模型、对数函数模型的表达形式是什么？
栏目 导引
第四章 指数函数与对数函数
几类常见的函数模型
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(1)设每年砍伐面积的百分比为 x(0<x<1)，则 a(1－x)10＝12
a，即(1－x)10＝12，解得 x＝1－12110.
(2)设经过 m 年后森林剩余面积为原来的 22，则 a(1－x)m＝ 22a，
即121m0＝1212，则1m0＝12，解得 m＝5. 故到今年为止，该森林已砍伐了 5 年．
是 10 年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，
已知到今年为止，森林剩余面积为原来的
2 2.
(1)求每年砍伐面积的百分比；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
(3)今后最多还能砍伐多少年？
栏目 导引
第四章 指数函数与对数函数
【解】
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(1)当一条鲑鱼的耗氧量是 900 个单位时，它的游速是多少？ (2)某条鲑鱼想把游速提高 1 m/s，那么它的耗氧量的单位数是原 来的多少倍．
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【解】 (1)由 v＝12log31θ00可知， 当 θ＝900 时，

3.两个函数图象的对称 (1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于 y轴 对称； (2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于 x轴 对称； (3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于 原点 对称.
函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(a－x)＝f(a＋x)； a＋b
函数.
3.函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝f1x 的单调性 相反.
4.复合函数的单调性：同增异减.
确定函数单调性的四种方法 (1)定义法.(2)导数法.(3)图象法.(4)性质法.
求函数的值域(最值)的常用方法 (1)配方法：主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题. (2)单调性法：利用函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域. (3)数形结合法. (4)换元法：引进一个(几个)新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”. (5)分离常数法：分子、分母同次的分式形式采用配凑分子的方法，把函 数分离成一个常数和一个分式和的形式.
么函数f(x)就叫做奇函数
2.函数的周期性 (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数 T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且 f(x＋T)＝f(x) ，那么函数y＝ f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 最小 的正数， 那么这个 最小正数 就叫做f(x)的最小正周期.
⑥余弦函数
f(x)＝cos
x，对应
f(x)＋f(y)＝2f
x＋y
2
f
x－y，来源于 2
cos
α＋
α＋β α－β cos β＝2cos 2 ·cos 2 ；

过一个虚拟的人进行洗钱，当然，这一切只有他一个人知道。在监狱中，他因为冒死替狱友争取到了啤酒，从而赢得了狱友们的尊重
和友谊，从那些无所不能的狱友们弄到一把铁捶和一张明星的海报。一年又一年的监狱生活，带走了
对他来说，简直就是希望和救星，他找到监狱长，救他，说这是他可以翻案的机会，只要找到那名犯人，再加上他的学生做证，他就
讨论:
1
1
(1)如果 a<0,如 y=(-4)x,这时对于 x=4,x=2等,在实数范围内函数值
不存在;
(2)如果 a=0,
当 > 0 时, 恒等于 0,
当 ≤ 0 时, 无意义;
(3)如果a=1,y=1x=1,是个常数函数,没有研究的必要;
(4)如果0<a<1或a>1,即a>0且a≠1,x可以是任意实数.
指数函数与对数函数
4.2 指数函数
-1-
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课标阐释
思维脉络
1.理解指数函数的概念和意义,
能画出具体指数函数的图象.
2.初步掌握指数函数的性质,并
能解决与指数函数有关的定义
域、值域、定点问题.
3.逐步体会指数函数在实际问
题中的应用.
课前篇
自主预习
整部片子比较压抑，可能因为是讲述在监狱里发生的事情吧，但看完后心情却久久不能平静，那样的荡气回肠，那样的震憾人心！一
一
二
个年轻有为的银行家安迪，因为与妻子发生口角气跑了妻子，而当天妻子与她的情人双双被枪杀在床上，他成为最有杀人动机的嫌疑
犯，加上口吐莲花的律师，就这样，一个年轻有为的银行家被送了肖申克监狱。在监狱里发生了许多的事情，先是被老犯人们打赌，
第一晚谁会扛不住最先哭泣，最有权威的老犯人阿瑞看他白白净净，瘦瘦弱弱的样子，押了他两盒烟的赌注，第一次就让阿瑞输了赌

logab
相关结论:logab= 1 ;logab·logbc·logcd=logad (a,b,c均大于0且不lo等gba于1,d>0)
条件
a>0且a≠1,M>0,N>0
结论
loga(MN)=logaM+logaN
M
loga N =logaM-logaN logaMn=nlogaM(n∈R)
考点二 指数函数与对数函数的图象与性质
x 1
x 1
因为2f(x)-f(-x)=3ln x 1,①
x 1
所以用-x代替x得2f(-x)-f(x)=3ln x 1=3ln x 1,②
x 1
x 1
①×2+②得3f(x)=3ln x 1,
x 1
故f(x)=ln x 1,x∈(-∞,-1)∪(1,+∞).
x 1
(2)由题意可知x+ 1 +6>1,x2+ 1 +
∵0<0.40.3<0.40=1,∴0<c<1,∴a<c<b.故选D.
答案 D
考法二 指数型复合函数的相关问题 1.对于与指数函数的图象有关的问题,一般从最基本的指数函数的图象 入手,通过平移、伸缩、对称变换得到. 2.指数函数的性质主要是单调性,常用单调性来比较大小、解简单的指 数不等式、求函数的值域(最值)等. 3.求解与指数函数有关的复合函数问题,首先,要熟知指数函数的定义 域、值域、单调性等相关性质,其次,要明确复合函数的构成,涉及值域、 单调区间、最值等问题时,一般要借助“同增异减”分析判断,最终将问 题归纳为与内层函数相关的问题加以解决. 注意:当底数a与1的大小关系不确定时,应分类讨论.

-1
2
2
1
化简可得 ≤x2≤2.
2
再由 x>0 可得 2≤x≤
2
2
答案:(1)A (2)
, 2
2
2
2
2
1
,
2,故函数 f(x)的定义域为
2
,
2
2 .
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
思想方法
随堂演练
反思感悟 定义域问题注意事项
(1)要遵循以前已学习过的求定义域的方法,如分式分母不为零,
偶次根式被开方式大于或等于零等.
a>1
0<a<1
图象
性
质
定义域
值域
过定点
单调性
奇偶性
(0,+∞)
R
(1,0),即当 x=1 时,y=0
在(0,+∞)
在(0,+∞)
上是增函数
上是减函数
非奇非偶函数
课前篇
自主预习
一
二
三
3.做一做
(1)若函数y=logax的图象如图所示,则a的值可能是 (
)
A.0.5 B.2
C.e D.π
(2)下列函数中,在区间(0,+∞)内
.
2 -2-8 = 0,
解析:(1)由题意可知 + 1 > 0, 解得 a=4.
+ 1 ≠ 1,
(2)设对数函数为f(x)=logax(a>0,且a≠1).
则由题意可得f(8)=-3,即loga8=-3,
所以
a-3=8,即
1
3
-

9
(2)[解] ①先作出当x≥0时，f(x)＝12x的图象，利用偶函数的图象关 于y轴对称，再作出f(x)在x∈(－∞，0)时的图象．
②函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为[0，＋ ∞)，值域为(0,1]．
10
1．识别函数的图象从以下几个方面入手： (1)单调性：函数图象的变化趋势； (2)奇偶性：函数图象的对称性； (3)特殊点对应的函数值． 2．指数函数与对数函数图象经过定点的实质是a0＝1，loga1＝0.
第四章 指数函数与对数函数
章末复习课
2
3
指数与对数的运算
【例 1】 计算：(1)2log32－log3392＋log38－5log53；
(2)1.5－13×－760＋80.25×4 2＋(3 2× 3)6－
[解] (1)原式＝log3223×2 8－3＝2－3＝－1. 9
－2323.
(2)原式＝2313＋234×214＋22×33－2313＝21＋4×27＝110.
27
[解] 设过滤 n 次能使产品达到市场要求，依题意，得1200×23n≤ 1 0100，即23n≤210.
则 n(lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2)， 故 n≥lg1＋3－lglg22≈7.4， 考虑到 n∈N，故 n≥8，即至少要过滤 8 次才能达到市场要求．
Thank you for watching !
23
函数的应用 【例5】 一种放射性元素，最初的质量为500 g，按每年10%衰减． (1)求t年后，这种放射性元素的质量w的表达式； (2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(结果精确到 0.1)．
24
[解] (1)最初的质量为500 g. 经过1年，w＝500(1－10%)＝500×0.9； 经过2年，w＝500×0.92； 由此推知，t年后，w＝500×0.9t. (2)由题意得500×0.9t＝250，即 0．9t＝0.5，两边同时取以10为底的对数，得 lg 0.9t＝lg 0.5，即tlg 0.9＝lg 0.5，所以t＝llgg 00..59≈6.6. 即这种放射性元素的半衰期约为6.6年．

❖ 3、在ab=N中，N=__a_b _, a=_b_N__,b=?
-
43
在ab=N中，b叫以a为底N的对数.
2 3 8 中， 3叫以2为底8的对数， 记作3=log28.
3 2 9 中，
记作2=log39.
1
0
1 中，
2
0叫以1/2为底1的对数，记作0=log1/21.
5 -1 1 中， 5
（4）y
＝
x－
3 2
．
解：（1）函数 y ＝ x 3 的定义域为 R ；
-
16
4.3幂函数
二、幂函数应用
例1 写出下列函数的定义域：
（1）y ＝ x 3 ；
1
（2）y ＝ x 2 ；
（3）y ＝ x －2 ；
（4）y
＝
x－
3 2
．
解：（2）函数
y
＝
x
1 2
，即
y
＝
x
，
定义域为 [ 0，＋∞）；
-
17
的函数叫做指数函数，其中 x是自变量．
函数的定义域是 R ．
-
27
变式练习： 请问同学们下面的式子是不是指数函 数？
y 32x
-
28
图象
y 2x
x -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
y 0.25 0.35 0.5 0. 71 1 1.41 2 2.83 4
y
y 2x
-
7
4.2 有理指数幂
❖ 2．有理指数幂的定义
❖ 正数的正分数指数幂的意义是：
❖ amn nam(a 0 ，m ，且 n N ） ❖ 正数的负分数指数幂：
❖

06 总结与展望
复习内容的总结与回顾
定义
a^x (a>0, a≠1)
性质
单调性、奇偶性、周期性等
复习内容的总结与回顾
应用
增长模型、复利计算等
定义
log_a(x) (a>0, a≠1)
复习内容的总结与回顾
性质
单调性、换底公式、对数运算性质等
应用
数据压缩、信号处理等
复习内容的总结与回顾
定义
f(g(x))
对数函数的运算性质
对数的乘法公式
对数的除法公式
对数的指数公式
log_a (mn) = log_a m + log_a n
log_a (m/n) = log_a m - log_a n
log_a m^n = n * log_a m
对数的换底公式
log_b m = log_a m / log_a b
04 指数对数函数的综合应用
对未来学习的展望与建议
01
持续练习
02
通过大量的练习题，巩固和加深 对指数对数函数的理解和掌握。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
竞赛模拟题
已知函数f(x) = log_a(x^2)，求f'(x) 的表达式。
已知函数f(x) = log_a(b^x)，求f'(x) 的表达式。
已知函数f(x) = a^x + b^x + c^x， 求f'(x)的表达式。
已知函数f(x) = x^a + log_a(x)，求 f'(x)的表达式。
性质
单调性、奇偶性等
应用
函数建模、数学分析等
对未来学习的展望与建议

小结：
• 1、了解对数及对数函数的定义。
• 2、掌握对数恒等式和运算法则，并能够灵 活用于计算。
• 3、掌握对数函数的图象和性质，能够熟练 应用图象和性质解题，注意和其它章节知 识的综合。
高考链接
3（2006)、log3 (log2 x ) 0，则x=__2__
4（2008)、设a=20.3,b log0.3 2,c 0.32则a,b,c 从大到小的顺序是 ＿a>＿c>b
②
loga
M N
loga M
loga N
③ loga M P P loga M
(4)两个特殊的对数
常用对数：以10为底的对数叫做常用对数
a的常用对数记作____l_g_a__．
自然对数：以无理数e=2.718 28…为底的对数 叫做自然对数，N的自然对数记作 _____ln_N__
2. 对数函数的图象和性质
loga a 1
b aloga b
logam
bn
n
m
loga b
loga ab b
log c b
loga b logc a
1 loga b logb c logc a
（换底公式）
(3)积、商、幂、方根的的对数运算法则
(M>0,N>0,p∈R，a>0且a ≠ 1，)
① loga MN loga M loga N
5（2012)、若0<a<1,则y=ax与y loga x 在同 一个坐标系中的图像大致是（Ｃ ）
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
y=ax
y
(0<a<1)
(0,1)
y=1
0
y=1 x

指数函数 与对数函数
一、知识网络
概念扩充
指数与
指数 幂的运算
指数函数
图像
指数函数
指数函数
性质
与
对数函数
对数概念
对数与
对数函数
对数
对数运算
应 用
图像 对数函数
性质
二、综合探究
（一）、指数与对数运算
填空
3
1).log4 5 log5 6 log6 7 log7 8 2
两种 运算
1 2).2 lg2 2 lg 2 lg 5 lg2 2 lg 2 1
15 3).若3a 5b A且 1 1 2,则A ab 对于指数与对数运算必须 严格按照运算法则进行.
Байду номын сангаас
（二）、指数函数与对数函数 的图像与性质
1.函 数y ( 1 )34x x2 的 单 调 递 增 2
x 的值域. 4
y


1 4
,2
注意转化为二次函数的值域问题
区间是 2,
2.函 数y log 1 x 2 6x 5的 单 调
2
递 减 区 间 是(1,3)和(5, )
依据：复合函数的单调性的判定方法.
3.若y f ( x 1)得 图 像 恒 过 定 点 A(3,5)， 则y f ( x 2)的 反 函 数
的 图 像 横 过 定 点 (5,0)
log1.1 0.7 log1.2 0.7
方法:①利用函数的单调性.
②用“搭桥法”.
（三）、定义域与值域问题
1.已知f ( x)的定义域是0,1,求 y f log 2 (3 x)的定义域.