2.3.1 等比数列(二)[学习目标] 1.灵活应用等比数列的定义及通项公式.2.熟悉等比数列的有关性质.3.系统了解判断成等比数列的方法．[知识链接]在等差数列{a n }中，通项公式可推广为a m ＝a n ＋(m －n )d ，并且若m ＋n ＝p ＋q ，则a n ＋a m ＝a p ＋a q (n ，m ，p ，q ∈N ＋)，特别地，若m ＋n ＝2p ，则a n ＋a m ＝2a p .那么，在等比数列中又有哪些类似的性质？ [预习导引]1．等比数列的第二通项公式 等比数列的通项公式为：a n ＝a 1q n －1，推广形式为：a n ＝a m ·qn －m(n ，m ∈N ＋)．2．等比数列的性质(1)如果m ＋n ＝k ＋l ，则有a m ·a n ＝a k ·a l . (2)如果 m ＋n ＝2k 时，a m ·a n ＝a 2k .(3)若m ，n ，p 成等差数列，a m ，a n ，a p 成等比数列．(4)在等比数列{a n }中，每隔k 项(k ∈N ＋)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列．(5)如果{a n }，{b n }均为等比数列，且公比分别为q 1，q 2，那么数列{1a n }，{a n ·b n }，{b na n}，{|a n |}仍是等比数列，且公比分别为1q 1，q 1q 2，q 2q 1，|q 1|.(6)等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a 1·a n ＝a 2·a n －1＝a k ·a n －k ＋1＝….要点一 等比数列性质的应用 例1 已知数列{a n }为等比数列．(1)若a n >0，且a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝36，求a 3＋a 5的值； (2)若a 1＋a 2＋a 3＝7，a 1a 2a 3＝8，求数列{a n }的通项公式． 解 (1)∵a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝36，∴a 23＋2a 3a 5＋a 25＝36，∴(a 3＋a 5)2＝36，又∵a n >0，∴a 3＋a 5＝6. (2)∵a 22＝a 1a 3代入已知，得a 32＝8，∴a 2＝2. 设前三项为2q ，2,2q ，则有2q＋2＋2q ＝7.整理，得2q 2－5q ＋2＝0，∴q ＝2或q ＝12.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，q ＝12.∴a n ＝2n －1或a n ＝23－n.规律方法 在等比数列的有关运算中，常常涉及到次数较高的指数运算．若按常规解法，往往是建立a 1，q 的方程组，这样解起来很麻烦，通过本例可以看出：结合等比数列的性质进行整体变换，会起到化繁为简的效果．跟踪演练1 (1)在递增等比数列{a n }中，a 1a 9＝64，a 3＋a 7＝20，求a 11的值． (2)已知数列{a n }成等比数列．若a 3a 4a 5＝8，求a 2a 3a 4a 5a 6的值．解 (1)在等比数列{a n }中，∵a 1·a 9＝a 3·a 7，∴由已知可得a 3·a 7＝64且a 3＋a 7＝20. 联立得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝4，a 7＝16或⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝16，a 7＝4.∵{a n }是递增等比数列，∴a 7>a 3. ∴取a 3＝4，a 7＝16，∴16＝4q 4，∴q 4＝4. ∴a 11＝a 7·q 4＝16×4＝64.(2)由a 3a 5＝a 24，得a 3a 4a 5＝a 34＝8.解得a 4＝2. 又∵a 2a 6＝a 3a 5＝a 24，∴a 2a 3a 4a 5a 6＝a 54＝25＝32. 要点二 灵活设项求解等比数列例2 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．解 方法一 设四个数依次为a －d ，a ，a ＋d ，a ＋d2a ，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＋a ＋d 2a ＝16，a ＋a ＋d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝9，d ＝－6.所以，当a ＝4，d ＝4时，所求四个数为0,4,8,16； 当a ＝9，d ＝－6时，所求四个数为15,9,3,1. 故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.方法二 设四个数依次为2a q －a ，aq，a ，aq (a ≠0)，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧2a q －a ＋aq ＝16，aq ＋a ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，q ＝13.当a ＝8，q ＝2时，所求四个数为0,4,8,16； 当a ＝3，q ＝13时，所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.规律方法 合理地设出所求数中的三个，根据题意再表示出另一个是解决这类问题的关键，一般地，三个数成等比数列，可设为a q，a ，aq ；三个数成等差数列，可设为a －d ，a ，a ＋d .跟踪演练2 三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则这三个数成等差数列，求这三个数． 解 设三个数依次为a q，a ，aq ， ∵a q·a ·aq ＝512，∴a ＝8. ∵(a q－2)＋(aq －2)＝2a ，∴2q 2－5q ＋2＝0，∴q ＝2或q ＝12，∴这三个数为4,8,16或16,8,4. 要点三 等差数列与等比数列的综合应用例3 设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，数列{b n }满足b n ＝a na n ＋m(m ∈N ＋)．(1)若b 1，b 2，b 8成等比数列，试求m 的值；(2)是否存在m ，使得数列{b n }中存在某项b t 满足b 1，b 4，b t (t ∈N ＋，t ≥5)成等差数列？若存在，请指出符合题意的m 的个数；若不存在，请说明理由．解 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；符合上式． ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1. (1)由b n ＝a na n ＋m(m ∈N ＋)知，b 1＝11＋m ，b 2＝33＋m ，b 8＝1515＋m， ∵b 1，b 2，b 8成等比数列，∴(33＋m )2＝11＋m ×1515＋m ， 解得m ＝9或m ＝0(舍去)．故m ＝9.(2)若存在m ，使b 1，b 4，b t 成等差数列，则2b 4＝b 1＋b t ， ∴77＋m ×2＝11＋m ＋2t －12t －1＋m ，∴t ＝7m ＋1m －5＝7m －5＋36m －5＝7＋36m －5， 由于m 、t ∈N ＋且t ≥5.令m －5＝36,18,9,6,4,3,2,1， 即m ＝41,23,14,11,9,8,7,6时，t 均为大于5的整数． ∴存在符合题意的m 值，且共有8个数．规律方法 (1)在等差数列与等比数列的综合问题中，特别要注意它们的区别，避免用错公式．(2)方程思想的应用往往是破题的关键．跟踪演练3 已知{a n }是首项为19，公差为－2的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和． (1)求通项公式a n 及S n ；(2)设{b n －a n }是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n }的通项公式．解 (1)因为{a n }是首项为19，公差为－2的等差数列，所以a n ＝19－2(n －1)＝－2n ＋21，S n ＝19n ＋n n －12×(－2)＝－n 2＋20n ，即a n ＝－2n ＋21，S n ＝－n 2＋20n .(2)因为{b n －a n }是首项为1，公比为3的等比数列，所以b n －a n ＝3n －1，即b n ＝3n －1＋a n ＝3n－1－2n ＋21.1．在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 5＝64，则公比q 为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．8答案 A解析 由a 5＝a 2 q 3，得q 3＝8，所以q ＝2.2．在等比数列{ a n }中，a n >0，且a 1·a 10＝27，log 3a 2＋log 3a 9等于( ) A ．9 B ．6 C ．3 D. 2答案 C解析 因为a 2a 9＝a 1a 10＝27，log 3a 2＋log 3a 9＝log 327＝3.3．在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为________． 答案 8解析 设这8个数组成的等比数列为{a n }，则a 1＝1，a 8＝2.插入的6个数的积为a 2a 3a 4a 5a 6a 7＝(a 2a 7)·(a 3a 6)·(a 4a 5)＝(a 1a 8)3＝23＝8. 4．已知a n ＝2n ＋3n，判断数列{a n }是否是等比数列？解 不是等比数列．∵a 1＝21＋31＝5，a 2＝22＋32＝13，a 3＝23＋33＝35， ∴a 1a 3≠a 22，∴数列{a n }不是等比数列．1．等比数列的判断或证明 (1)利用定义：a n ＋1a n＝q (与n 无关的常数)． (2)利用等比中项：a 2n ＋1＝a n a n ＋2 (n ∈N ＋)．2．证明数列不是等比数列，可以通过找出三个连续项不成等比数列来证明 3．巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要．。
