年高中数学第二章数列2.1数列的概念与简单表示法第1.ppt

2.1数列的概念与简单表示法
如图表示堆放的钢管，共堆放了6层。自上而下各 层的钢管数排列成一列数：
5，6，7，8，9，10
自然数 1，2，3，4，5， …的倒数排列成一列数：
1
1
1
1
1 ，2 ， 3 ，4， 5， …
-1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…排列成一 列数：
-1 ，1，-1，1，-1，1，…
一、定义
像前面的例子中，按一定次序排列的一列数 叫做数列。数列中的每一个数叫做这个数列的项， 各项依次叫做这个数列的第一项（或首项），第 二项，…，第n项， …。 问：下面二列数是否为同一数列？
1，2，3，4，5 5，4，3，2，1
结论：因其排列次序不同，故不是同一数列。
项数有限的数列叫做有穷数列。 项数无限的数列叫做无穷数列。
(2) 在通项公式中依次 n = 1, 2, 3, 4, 5,得到数 列{an} 的前5项为
-1,
2,
-3,
4,
-5.
例题2 写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别 是下列各数： （1 ） 1 ， 3 ， 5 ， 7 ； （2 ）
1 1 1 1 1 2 ， 2 3， 3 4， 4 5。
解：（1） an=2n-1; (2)
这告诉我们：无穷(有穷)数列可以看作一个定义 域为自然数集N（N的有限子集）的函数当自变量从 小到大依次取值时对应的一列函数值。
二、数列的三种表示方法 ⑴一般表示法 a1 , a2 , a3 , … an , …
其中 an 表示数列的第n项。有时我们把上 面的数列简记为{an}. 例如：把数列
2，4，6，8，10， … ① 4，5，6，7， 8 ， … ② 分别简记为 {2n} {n+3}

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[研一题] [例 1] 项公式： 4 1 4 2 (1)5，2，11，7，…； 1 9 25 (2)2，2，2，8， 2 ，…； (3)7,77,777，…； 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通
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(4)0,3,8,15,24，…； 1 3 7 15 31 (5)2，4，8，16，32，…； 2 10 17 26 37 (6)3，－1， 7 ，－ 9 ， 11，－13，….
＋
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[悟一法] 1．根据数列的前几项写通项公式，体现了由特殊到一 般的认识事物的规律．解决这类问题一定要注意观察项与序 号的关系和相邻项间的关系．具体地可参考以下几个思路
(1)统一项的结构，如都化成分数、根式等．
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(2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分，探索变 化部分的变化规律与对应序号间的函数关系式，如例1.(1) 中可把分子、分母分别处理． (3)对于符号交替出现的情况，可观察其绝对值，再以 (－1)n(n∈N*)处理符号，如例1.(6)．
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[巧思] 求出数列{an}的通项公式是解决本题的关键．由
a1·2·3·…·an＝n2可得a1·2·3·…·an－1＝(n－1)2，故可求an. a a a a
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[妙解]
∵a1·2·3· an＝n2(n∈N*)，① a a …·
∴当 n≥2 时，a1·2·3· an－1＝(n－1)2.② a a …· ① n2 由 ，得 an＝ 2(n≥2) ② n－1 n2 9 25 61 (1)∵an＝ (n≥2)，∴a3＋a5＝4＋16＝16. n－12
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(4)数列 2,4,6,8，…的通项公式是 an＝2n； (5)数列 1,2,4,8，…的通项公式是 an＝2n 1； (6)数列 1,4,9,16，…的通项公式是 an＝n2； 1 1 1 1 1 (7)数列1，2，3，4，…的通项公式是 an＝n.

2．数列的一般形式可以写成 a1,a2,…,an,…,简记为 {an} ． 3．项数有限的数列叫做有穷 数列，项数无限的数列叫做
_无__穷__数列． 4．如果数列{an}的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式
子来表示，那么这个公式叫做这个数列的 通项 公式．
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探究点一 数列的概念 问题 先看下面的几组例子：
(1)全体自然数按从小到大排成一列数： 0,1,2,3,4，…； (2)正整数 1,2,3,4,5 的倒数排成一列数： 1，12，13，14，15； (3)π 精确到 1,0.1,0.01,0.001，…的不足近似值排成一列数： 3,3.1,3.14,3.141，…；
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(4)无穷多个 1 排成一列数： 1,1,1,1,1，…； (5)当 n 分别取 1,2,3,4,5，…时，(－1)n 的值排成一列数： －1,1，－1,1，－1，…. 请你根据上面的例子尝试给数列下个定义． 答案 按照一定顺序排列的一列数叫做数列．数列中的每一 个数叫做这个数列的项，依次称为数列的第 1 项(也叫首项)， 第 2 项，….
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探究点二 数列的几种表示方法 问题 数列的一般形式是什么？回忆一下函数的表示方法，
想一想除了列举法外，数列还有哪些表示方法？ 答 数列的一般形式可以写成：a1，a2，a3，…，an，…. 除了列举法外，数列还可以用公式法、列表法、图象法来 表示．
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学年高中数学第二章一数列的概念与简单表示法一课件新 人教A必修
【学习目标】 1．理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学
模型． 2．探索并掌握数列的几种简单表示法． 3．能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式． 【学法指导】 1．在理解数列概念时，应区分数列与集合两个不同的概念． 2．类比函数的表示方法来理解数列的几种表示方法． 3．由数列的前几项，写出数列的一个通项公式是本节的难点

解析：(1)根据数列的相关概念，数列 4,7,3,4 的第 1 项就是首 项，即 4，故 A 正确；同一个数在数列中可以重复出现，故 B 错误； 根据数列的相关概念可知 C 正确；数列中的项必须是数，不能是其 他形式，故 D 正确．
答案：(1)B
(2)已知数列 ①0,1,2,3，…； ②1，12，13，14，…； ③－1,1，－1,1，－1,1，…； ④5,5,5,5,5…. 其中，________是递增数列，________是递减数列，________ 是摆动数列，________是常数列(填序号)．
解析： (2)根据数列的定义，观察数列中的项随序号变化的情 况求解．①是递增数列，②是递减数列，③是摆动数列，④是常数 列．
答案： (2)① ② ③ ④
类型二 用观察法求数列的通项公式 例 2 写出下面各数列的一 个通项公式： (1)9,99,999,9 999，…； (2)1，－3,5，－7,9，…； (3)12，2，92，8，225，…； (4)3,5,9,17,33，….
【解析】 (1)数列不是集合，A 错；顺序不同是不同的数列， B 错；数列看成函数时，有穷数列的定义域是 N*的子集，D 错．
【答案】 (1)C
(2)下列数列 ①1,2,22,23，…，263； ②1,0.5,0.52,0.53，…； ③0,10,20,30，…，1 000； ④2,4,6,8,10，…； ⑤－1,1，－1,1，－1，…； ⑥7,7,7,7，…；
类型三 数列中项的求解与判断 例 3 已知数列{an}的通项公式为 an＝3n2－28n. (1)写出数列的第 4 项和第 6 项； (2)－49 是否为该数列的一项？如果是，是哪一项？68 是否为 该数列的一项呢？
(3)数列{an}中有多少个负数项？

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探究 根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察
数列的特征，并进行联想、转化、归纳，同时要熟悉一些
常见数列的通项公式．下表中的一些基本数列，你能准确
快速地写出它们的通项公式吗？
数列 －1,1，－1,1，…
1,2,3,4，… 1,3,5,7，… 2,4,6,8，… 1,2,4,8，… 1,4,9,16，… 1，12，13，14，…
2．数列的一般形式可以写成 a1,a2,…,an,…,简记为 {an} ． 3．项数有限的数列叫做有穷 数列，项数无限的数列叫做
_无__穷__数列． 4．如果数列{an}的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式
子来表示，那么这个公式叫做这个数列的 通项 公式．
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探究点一 数列的概念 问题 先看下面的几组例子：
学年高中数学第二§2.1（一） 章21一数列的概念 与简单表示法一课 件新人教A版必修5
【学习目标】 1．理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学
模型． 2．探索并掌握数列的几种简单表示法． 3．能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式． 【学法指导】 1．在理解数列概念时，应区分数列与集合两个不同的概念． 2．类比函数的表示方法来理解数列的几种表示方法． 3．由数列的前几项，写出数列的一个通项公式是本节的难点
之一，突破难点的方法：把序号标在项的旁边，观察项与 序号的关系，从而写出通项公式．
填一填·知识要点、记下疑难点
1．按照一定顺序排列的一列数称为数列 ，数列中的每一个 数叫做这个数列的 项 ．数列中的每一项都和它的序号有 关，排在第一位的数称为这个数列的第 1 项(通常也叫做 _首__项)，排在第二位的数称为这个数列的第 2 项，……， 排在第 n 位的数称为这个数列的第 n 项．

①数列{an}中有多少项是负数？
②当n为何值时，an有最小值？并求出最小值．
(2)已知数列{an}的通项公式an＝(n＋1)(
10 11
)n(n∈N*)，试问数列{an}有没有最
大项？若有，求出最大项；若没有，说明理由．
[解析] (1)①由n2－5n＋4<0得(n－1)(n－4)<0，解得1<n<4. ∵n∈N*，∴n＝2,3. ∴数列中有两项是负数．
3
课时作业学案
自主预习学案
某剧场有30排座位，第一排有20个座位，从第二
排•起，单后击一排此都比处前一编排辑多2个母座版位，文那么本各排样的座式位
数依次–为第20,2二2,2级4,26,28，…，78.
从1984•年第到三200级8年，我国共参加了7次奥运会，各
次参赛获得的金–牌第总四数级依次为15,5,16,16,28,32,51. 这两个问题有什»么第共五同级特点呢？
新课标导学
数学
必修5 ·人教A版
第二章
数列
“斐波那契数列(Fibonacci)”的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那
契(Leonardo Fibonacci，公元1170～1240)，斐波那契数列指的是这样一个数列：
1,1,2,3,5,8,13,21，….这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和．它的
[解析] ∵3 5＝ 45，∴令2n－1＝45，得n＝23.
(B )
B
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– 第四级 » 第五级
15
• 单击此处编辑母版文本样式 [解析] ∵3－1＝2,6－3＝3,10－6＝4， ∴–x2第－1－•10二x第＝＝56三级，级∴x＝15. – 第四级 » 第五级

第2章 数列
2.1 数列
1，1，2，3，5，8，13，… 数列中的每个数都叫做这个数列的项，各
项依次称为数列的第1项(或称首项)，第2 项，…，第n项… 分别记作：a1，a2，a3，…，an，… 这样的数列可简记为：数列｛an｝．
苏教版高中数学教材必修5 第2章 数列
2.1 数列
数列的分类
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
① 1 ，1 ，1 2 6 12
，(
)，301
，…
② 3 ，8 ，15 ，( )，35 ，48 ，…
234
67
③ 2 －1，1， 2 ＋1，3＋2 2 ，…
④ 1，3，3，5，5，7，7，9，9，…
苏教版高中数学教材必修5 第2章 数列
2.1 数常列用数列：
① 自然数列
an＝n－1
② 正整数列
an＝n
91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。――[兰斯顿·休斯] 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯·奥雷利阿斯] 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰·纳森·爱德瓦兹]

1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项的性质具有以下特点： (1)确定性：一个数是或不是某一数列中的项是确定的，集合中的元素也具有 确定性； (2)可重复性：数列中的数可以重复，而集合中的元素不能重复出现(即互异 性)；
(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列顺 序有关，而集合中的元素没有顺序(即无序性)；
[小组合作型] 数列的概念及分类
已知下列数列： ①2 011,2 012,2 013,2 014,2 015,2 016； ②1，12，14，…，2n1－1，…； ③1，－23，35，…，－2n1－n－11·n，…；
④1,0，－1，…，sinn2π，…； ⑤2,4,8,16,32，…； ⑥－1，－1，－1，－1. 其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________， 递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________(填序号)．
【精彩点拨】 紧扣有穷数列，无穷数列，递增数列，递减数列，常数列及 摆动数列的定义求解．
【自主解答】 ①为有穷数列且为递增数列；②为无穷、递减数列；③为无 穷、摆动数列；④是摆动数列，是无穷数列，也是周期为 4 的周期数列；⑤为递 增数列，也是无穷数列；⑥为有穷数列，也是常数列．
【答案】 ①⑥ ②③④⑤ ①⑤ ② ⑥ ③④
(2)×.因为{an}代表一个数列，而 an 只是这个数列中的第 n 项，故{an}与 an 是不一样的．
(3)×.因为各项相等的数列为常数列，而 1,0,1,0,1,0，…为摆动数列，而非常 数列．
2．数列与函数的关系 从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下表：
定义域 解析式 值域
【答案】 B

(2)已知数列{an}中，a1＝－1，an＋1＝2an＋4·3n－1，则 通项公式 an＝________. an＝4·3n－1－5·2n－1
(3)已知数列{an}中，a1＝－1，a2＝2，当 n∈N*， an＋2＝5an＋1－6an，求 an.
27
解析:(1)递推公式 an＋1＝2an＋3 可以转化为 an＋1－t ＝2(an－t)，即 an＋1＝2an－t⇒t＝－3.故递推公式为 an＋1 ＋3＝2(an＋3)，令 bn＝an＋3，则 b1＝a1＋3＝4，且bbn＋n 1 ＝aan＋n＋1＋33＝2.所以{bn}是以 b1＝4 为首项，2 为公比的 等比数列，则 bn＝4×2n－1＝2n＋1，所以 an＝2n＋1－3.
an ＝
1，n是奇数，等． 0，n是偶数
10
写出下列数列的一个通项公式： (1)－1，12，－13，14，－15，…； (2)3，5，9，17，33，…； (3)0.8，0.88，0.888，…； (4)23，－1，170，－197，2116，…. (5)1，0，13，0，15，0，17，0，… (6)32，1，170，197，….
(5) 奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因式(－1)n；各 项绝对值的分母组成数列 1，2，3，4，…；而各项绝对值的分子组 成的数列中，奇数项为 1，偶数项为 3，即奇数项为 2－1，偶数项 为 2＋1，所以 an＝(－1)n·2＋（n－1）n.
－n1，n为正奇数， 也可写为 an＝ 3n，n为正偶数.
7
解：(1)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式正负性可用 (－1)n 调节，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一 项的绝对值大 6，故数列的一个通项公式为 an＝(－1)n(6n－5)．
(2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分 解为 1×3，3×5，5×7，7×9，9×11，…，每一项都是两个 相 邻 奇 数 的 乘 积 ． 故 数 列 的 一 个 通 项 公 式 为 an ＝

]
－
(1
－
1 n2＋1)
＝
1 n2＋1
－
1 n＋12＋1
＝
n＋12－n2 n2＋1[n＋12＋1]
＝
n2＋12[nn＋＋112＋1]>0，
即 an＋1>an(n∈N*)．故数列{an}是递增数列．
高中数学 （人教A 版）教 材《数 列的概 念》完 美课件 1（公 开课课 件）
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3．一般地，一个数列{an}，如果从第 2 项起，每一项都大于它的前一项，即 an＋1>an， 那么这个数列叫做递增数列．如果从第 2 项起，每一项都小于它的前一项，即 an＋1<an，那么 这个数列叫做递减数列．如果数列{an}的各项都相等，那么这个数列叫做常数列．
• 问题：观察钢管堆放示意图，寻找每层的钢管数与 • 层数之间有何关系？
高中数学 （人教A 版）教 材《数 列的概 念》完 美课件 1（公 开课课 件）
高中数学 （人教A 版）教 材《数 列的概 念》完 美课件 1（公 开课课 件）
(方法三)(构造特殊数列法)同方法一，得aan＋n 1＝n＋n 1， ∴(n＋1)an＋1＝nan，∴数列{nan}是常数列， ∴nan＝1·a1＝1，∴an＝1n. [方法总结] 由递推关系式 an＝f(n)an－1 求数列的通项公式 时一般采用累乘法，也可以用迭代等方法．除累乘、迭代法外， 还应注意原递推公式变形后的数列是否为某个特殊数列．
3. 递推公式法：
递推公式：如 果已知数列 的第 1 项（或前几项），且任一项 与它的前一项 （或前 n 项）间 的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列

(1) a 1＝0, a n 1 ＝ a n ＋(2n－1) (n∈N*)
(2)
a1
＝1，a
n 1＝
2 an
an
2
(n∈N*)
(3) a 1 ＝3, a n 1 ＝ 3a n－2 (n∈N*)
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16
2
;
变式训练，深化提高
解：⑴
a 1 0 ,a 2 1 ,a 3 4 ,a 4 9 ,a 5 1 6 ,
2.1 数列的概念与简单表示法（第2课时）
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1
教学目标
了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的 异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项； 经历数列知识的感受及理解运用的过程，通过本节 课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的 兴趣。
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2
教学重难点
重点：根据数列的递推公式写出数列的前几项，
模型一：自上而下： 第1层钢管数为4； 第2层钢管数为5； 第3层钢管数为6； 第4层钢管数为7； 第5层钢管数为8； 第6层钢管数为9； 第7层钢管数为10；
若用
a
n
表示钢管数，n表完示整版层ppt 数，a
n
的表达式是什么？ 5
设计问题，创设情境
问题2
国际象棋棋盘中的每个格子中依次放入这样的麦粒 数排成一列数：
完整版ppt
11
设计问题，创设情境
4、递推公式法
观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型．
模型一：自上而下： 第1层钢管数为4；第2层钢管数为5； 第3层钢管数为6；第4层钢管数为7； 第5层钢管数为8； 第6层钢管数为9； 第7层钢管数为10；
若用 a n 表示钢管数，n表示层数，

第二章 数列
2.1 数列的概念与简单表示法
第1课时 数列的概念与简单表示法
课程目标
1.理解数列的概念、表示、分类. 2.理解数列的通项公式及其简单应用. 3.能根据数列的前几项写出一个通项公式.
学习脉络
1.数列 (1)定义:按照一定顺序排列的一列数叫做数列. (2)项:数列中的每一个数都叫做这个数列的项.数列中的每一项都和它
探究一
探究二
探究三
探究四
【典型例题 3】
已知数列
9������2-9n+2 9������2-1
,
(1)求这个数列的第 10 项;
(2)19081是不是该数列中的项,为什么?
(3)求证:数列中的各项都在区间(0,1)内.
思路分析:对于(1)(2)将 n 代入或列方程求解;对于(3),将通项化简,根据
.
解析:数列可写为23,-55 , 170,-197 , 2161,-3173,…,奇数项为正,偶数项为负,且分母是奇
数,分子是 n2+1,所以它的一个通项公式可写为(-1)n+12���������2���++11.
答案:an=(-1)n+12���������2���++11
探究一
探究二
探究三
探究四
【典型例题 1】 已知下列数列:
(1)0,0,0,0,0,0;
(2)0,-1,2,-3,4,-5,…;
(3)0,12 , 23,…,���������-���1,…; (4)1,0.2,0.22,0.23,…;
(5)0,-1,0,…,cos���2���π,….
其中,
是有穷数列,
(5)是无穷摆动数列. 答案:(1) (2)(3)(4)(5) (3) (4) (1) (2)(5)