高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.2演绎推理课时达标训练新人教A版选修2_2

高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.2演绎推理课后课时精练新人教A 版选修221230022A 级：基础巩固练一、选择题1．下面几种推理中是演绎推理的是( )A ．因为y ＝2x 是指数函数，所以函数y ＝2x经过定点(0,1) B ．猜想数列11×2，12×3，13×4，…的通项公式为a n ＝1nn ＋1(n ∈N *) C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积为πr 2猜想出椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的面积为πabD ．由平面直角坐标系中圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，推测空间直角坐标系中球的方程为(x －a )2＋(y －b )2＋(z －c )2＝r 2答案 A解析 选项B 为归纳推理，C ，D 为类比推理，只有A 为演绎推理．故选A. 2．看下面的演绎推理过程：大前提：棱柱的体积公式为：底面积×高，小前提：如图直三棱柱ABC －DEF .H 是棱AB 的中点，ABED 为底面，CH ⊥平面ABED ，即CH 为高，结论：直三棱柱ABC －DEF 的体积为S 四边形ABED ·CH . 这个推理过程( ) A ．正确B ．错误，大前提出错C ．错误，小前提出错D ．错误，结论出错答案 C解析 在小前提中，把棱柱的侧面，错当成了底面．3．推理：“①矩形是平行四边形，②三角形不是平行四边形，③所以三角形不是矩形．”中的小前提是( )A ．①B ．②C ．③D ．①② 答案 B解析 “三段论”推理中小前提是指研究的特殊情况． 4．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是( ) ①y ＝cos x (x ∈R )是三角函数； ②三角函数是周期函数； ③y ＝cos x (x ∈R )是周期函数．A ．①②③B ．②①③C ．②③①D ．③②① 答案 B解析 根据“三段论”：“大前提”⇒“小前提”⇒“结论”可知：①y ＝cos x (x ∈R )是三角函数是“小前提”；②三角函数是周期函数是“大前提”；③y ＝cos x (x ∈R )是周期函数是“结论”；故“三段论”模式排列顺序为②①③.5．圆2x 2＋2y 2＝1与直线x sin θ＋y －1＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫θ∈R ，θ≠π2＋k π，k ∈Z 的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定 答案 C解析 ∵圆心到直线的距离d ＝|－1|si n 2θ＋1>22＝ r ⎝⎛⎭⎪⎫θ∈R ，θ≠π2＋k π，k ∈Z ，∴直线与圆相离．故选C. 6．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧si n πx 2，－1<x <0，e x －1，x ≥0，若f (1)＋f (a )＝2，则a 的所有可能值为( )A ．1B ．－22 C ．1或－22D ．1或22答案 C解析 ∵f (1)＋f (a )＝2，f (1)＝e 0＝1，∴f (a )＝1. 当a ≥0时，f (a )＝ea －1＝1⇒a ＝1；当－1<a <0时，f (a )＝sin(πa 2)＝1⇒a 2＝12，∴a ＝－22或a ＝22(舍去)． 二、填空题7．在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说：“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”．四个人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是________．答案 甲解析 若负主要责任的人是甲，则甲、乙、丙说的都是假话，只有丁说的是真话，符合题意；若负主要责任的人是乙，则甲、丙、丁说的都是真话，不符合题意；若负主要责任的人是丙，则乙、丁说的都是真话，不符合题意；若负主要责任的人是丁，则甲、乙、丙、丁说的都是假话，不符合题意．故该事故中需要负主要责任的人是甲．8．若f (a ＋b )＝f (a )f (b )(a ，b ∈N *)，且f (1)＝2，则f 2f 1＋f 4f 3＋…＋f 2020f 2019＝________.答案 2020解析 利用三段论．∵f (a ＋b )＝f (a )f (b )(a ，b ∈N *)(大前提)． 令b ＝1，则f a ＋1f a＝f (1)＝2(小前提)．∴f 2f 1＝f 4f 3＝…＝f 2020f 2019＝2(结论)，9．设f (x )＝(x －a )(x －b )(x －c )(a ，b ，c 是两两不等的常数)，则af ′a＋bf ′b＋c f ′c的值是________．答案 0解析 f ′(x )＝(x －b )(x －c )＋(x －a )(x －c )＋(x －a )·(x －b )， ∴f ′(a )＝(a －b )(a －c )，f ′(b )＝(b －a )(b －c )，f ′(c )＝(c －a )(c －b )．∴a f ′a ＋b f ′b＋c f ′c＝a a －ba －c＋b b －ab －c＋c c －ac －b＝a b －c －b a －c ＋c a －ba －b a －c b －c＝0.三、解答题10．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数． ①sin 213°＋cos 217°－sin13°cos17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin18°cos12°；④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解 (1)选择sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos15°＝1－12·sin 30°＝34(答案不唯一)．(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝sin 2α＋⎝⎛⎭⎪⎫32cos α＋12sin α2－sin α⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α＋12 sin α＝34 sin 2α＋34cos 2α＝34.B 级：能力提升练11．已知函数f (x )＝2x－12x ＋1(x ∈R )．(1)判定函数f (x )的奇偶性；(2)判定函数f (x )在R 上的单调性，并证明．12．数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2nS n (n ∈N ＋)． 证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .证明 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2nS n ， ∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . ∴S n ＋1n ＋1＝2·S nn，小前提 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以2为公比，1为首项的等比数列．结论 (大前提是等比数列的定义，这里省略了) (2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)． ∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)，小前提 又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，小前提 ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .结论(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)。

2.1.2演绎推理精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。

D．黑色的可能性大
解析：由题图知，这串珠子的排列规律是：每 5 个一组(前 3 个是白色珠子，后 2 个
是黑色珠子)呈周期性排列，而 36＝5×7＋1，即第 36 颗珠子正好是第 8 组中的第 1
颗珠子，其颜色与第一颗珠子的颜色相同，故它的颜色一定是白色．
答案：A
3．等差数列{an}中有 2an＝an－1＋an＋1(n≥2 且 n∈N*)，类比以上结论，在等比数列{bn} 中类似的结论是________． 答案：b2n＝bn－1·bn＋1(n≥2，且 n∈N*) 4．对于平面几何中的命题：夹在两平行线之间的平行线段相等，在立体几何中，类 比上述命题，可得命题为__________________________． 答案：夹在两平行平面之间的平行线段相等
当 n＝2 时，S12＝－2－a1＝－43，所以 S2＝－34. 当 n＝3 时，S13＝－2－S2＝－54，所以 S3＝－45. 当 n＝4 时，S14＝－2－S3＝－65，所以 S4＝－56. 猜想：Sn＝－nn＋ ＋12(n∈N*) [答案] (1) (n＋1)·(n＋2)·(n＋3)·…·(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)
240°－sin
2αsin
240°)＝32－21cos
2α－21cos
2α－
3 2 sin
2α－12cos
2α＋
3 2 sin
2α
＝32＝右边．
(2)①当 n＝1 时，a1＝1， 由 an＋1＝1＋an2an(n∈N*)，得 a2＝31， a3＝1＋a22a2＝51. a4＝1＋a32a3＝71. ②由 a1＝1＝11，a2＝13，a3＝15，a4＝17， 可归纳猜想{an}的通项公式为 an＝2n1－1(n∈N*)

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大前提 小前提
结论 大前提 小前提
结论 大前提 小前提
结论
传递性关系推理的应用
求证：当 a>0，b>0，a＋b＝1 时， a＋12＋ 【证明】 因为 1＝a＋b≥2 ab，所以 ab≤14.
b＋12≤2.
所以12(a＋b)＋ab＋14≤1，所以
a＋12b＋12≤1，
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如图，D，E，F 分别是 BC，CA，AB 上的点， ∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：ED＝AF.
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证明：因为同位角相等，两条直线平行， ∠BFD 与∠A 是同位角，且∠BFD＝∠A， 所以 FD∥AE. 因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形， DE∥BA，且 FD∥AE， 所以四边形 AFDE 为平行四边形． 因为平行四边形的对边相等， ED 和 AF 为平行四边形 AFDE 的对边． 所以 ED＝AF.
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(1)数学问题的解决和证明都蕴含着演绎推理，即一连串的三段 论，关键是找到每一步推理的依据——大前提、小前提，注意 前一个推理的结论会作为下一个三段论的前提． (2)在代数证明问题中，尤其是不等关系的证明，首先找到论证 不等关系的一般性原理(如基本不等式等)，这是大前提，然后利 用“三段论”进行推理．此时应注意不等式性质及定理成立的 条件．
A．①
B．②
C．③
D．①②
解析：选 B．由三段论推理的结构形式可知选 B．
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2．“因为对数函数 y＝logax 是增函数(大前提)，而 y＝log1x 是对