广东省深圳高级中学2020-2021学年高三10月月考数学试题(含答案)

绝密★启用前 试卷类型：A深圳市2018届高三年级四校联考文科数学本试卷共6页，22小题，满分150分. 考试用时120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上. 用2B 铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上. 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案. 答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题组号的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效. 5．考生必须保持答题卡的整洁.第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求． 1．已知全集{}1,2,3,4,5,6U =, 集合{}1,3,5A =, {}1,2B =, 则()U AB =ð（A ）∅ （B ）{}5 （C ）{}3 （D ）{}3,5 2．函数()()121log 21f x x =+的定义域为（A ）1(,0)2- （B ）1(,)2-+∞ （C ） ()1(,0)0,2-+∞ （D ）1(,2)2-3．设,,x y ∈R 则“222x y +≥”是“1x ≥且1y ≥”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 4．已知 0.30.3a =， 1.30.3b =，0.31.3c =，则它们的大小关系是（A ）c a b >> （B ）c b a >> （C ）b c a >> （D ）a b c >> 5．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(1,4)，则2cos sin2θθ-的值为（A ）35 （B ）53-（C ）717 （D ）717- 6．将余弦曲线cos y x =上所有点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变），再把所得各点向左平移π6个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为 （A ）πcos(3)6y x =+（B ）sin 3y x =- （C ）sin 3y x = （D ）1πcos()318y x =+7．函数()sin (π0)f x x x x =-≤≤的单调递增区间是（A ） π[,0]6-（B ）π[,0]3- （C ） 5ππ[,]66-- （D ）5π[π,]6--8．定义符号函数1,0,sgn()0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩则对任意πππ,2x x x x ⎧⎫∈-<<≠±⎨⎬⎩⎭且，恒有（A ）tan sgn()tan x x x ⋅= （B ）tan sgn()tan x x x ⋅= （C ）tan sgn()tan x x x ⋅= （D ）tan sgn()tan x x x ⋅=9． 函数23ln(44)()(2)x x f x x -+=-的图象可能是（A ） （B ） （C ） （D ）10．若函数()f x 的定义域为R ，且函数()sin f x x +是偶函数, 函数()cos f x x +是奇函数,则π()3f =（A）12+-（B）12 （C）12-+ （D）12+11．设函数()e xf x x =-,其中e 为自然对数的底数，则 （A ）,R x ∀∈ 1(,),()ea f x a∃∈+∞> （B ）,R x ∀∈ 1(,),()ea f x a ∃∈-∞>（C ）1(,),e a ∀∈+∞ ,()R x f x a ∃∈> （D ）1(,),ea ∀∈-∞ ,()R x f x a ∃∈> 12．已知函数22()21f x m x mx m =--在区间[]0,1上有且只有一个零点，则正实数m 的取值范围是（A ）(])0,123,⎡+∞⎣（B ）(][)0,13,+∞（C）()23,⎡+∞⎣（D ）([)3,+∞第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，13()f x x =，则(27)f -=______.14．函数22,1()2,1x x x a x f x x ⎧-+<⎪=⎨≥⎪⎩，，的最小值为2，则实数a 的取值范围是_____．15．在ABC ∆中，222sin sin sin sin sin B C A B C +=-，则cos C 的取值范围为 .16．函数()2sin f x x x =-，对任意12,[0,π]x x ∈，恒有12()()f x f x M -≤，则M 的最小值为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）已知三个集合：{}22log (58)1A x x x =∈-+=R ，{}22821R xx B x +-=∈=，{}22190R C x x ax a =∈-+->.（I ）求AB ；（II ）已知,AC B C ≠∅=∅，求实数a 的取值范围.18．（本小题满分12分）已知函数()()sin f x a x b ωθ=+-()x ∈R 的部分图象如图所示,其中,a b 分别是ABC∆的内角,A B 的对边, ππ0,[,]22ωθ>∈-.（I ）求,,,a b ωθ的值；（II ）若cos ()+12CC f =，求ABC ∆的面积S 19．（本小题满分12分）（I ）写出“套餐”中方案1的月话费y （元）与月通话量t （分钟）（月通话量是指一个月内每次通话用时之和）的函数关系式；（II ）学生甲选用方案1，学生乙选用方案2，某月甲乙两人的电话资费相同,通话量也相同，求该月学生甲的电话资费；（III ）某用户的月通话量平均为320分钟，则在表中所列出的七种方案中，选择哪种方案更合算，说明理由.20．（本小题满分12分）已知,αβ均为锐角，且1cos ,tan .53αβ== （I ）比较,αβ的大小；（II ）设,θϕ均为锐角，且sin()sin()1,αθβϕ++=求θϕ+的值. 21．（本小题满分12分）已知函数32()f x ax x b =++的图象在点1x =处的切线方程为13y =,其中实数,a b 为常数.（I ）求,a b 的值; （II ）设命题p 为“对任意1(2,)x ∈+∞,都存在2(1,)x ∈+∞,使得12()()1f x f x =”，问命题p 是否为真命题？证明你的结论.22．(本小题满分12分)已知函数1()ln ,1xf x a x x-=++其中实数a 为常数且0a >. （I ）求函数()f x 的单调区间；（II ）若函数()f x 既有极大值，又有极小值，求实数a 的取值范围及所有极值之和； （III ）在（II ）的条件下，记12,x x 分别为函数()f x 的极大值点和极小值点， 求证：1212()()()22x x f x f x f ++<.深圳市直属学校四校联考文科数学参考答案第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13．3; 14. [3,)+∞; 15．1(,1)2; 16.2π3+ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）已知三个集合：{}22log (58)1A x x x =∈-+=R ，{}22821R xx B x +-=∈=，{}22190R C x x ax a =∈-+->.（I ）求AB ；（II ）已知,A C B C ≠∅=∅，求实数a 的取值范围.解：(1){}{}25822,3R A x x x =∈-+==, ………………………2分{}{}22802,4R B x x x =∈+-==-, ………………………4分{}2,3,4.A B ∴=- ………………………5分(2),A C B C ≠∅=∅,2,4,3.C C C ∴∉-∉∈ ………………………6分{}22190,R C x x ax a =∈-+->22222222190,(4)4190,33190.a a a a a a ⎧-+-≤⎪∴-++-≤⎨⎪-+->⎩………………………8分即35,222 5.a a a a -≤≤⎧⎪-≤≤-+⎨⎪<->⎩或解得3 2.a -≤<-………………………10分 所以实数a 的取值范围是[3,2).-- 18. （本小题满分12分）已知函数()()sin f x a x b ωθ=+-()x ∈R 的部分图象如图所示,其中,a b 分别是ABC∆的角,A B 所对的边,ππ0,[,]22ωθ>∈-.（I ）求,,,a b ωθ的值；（II ）若cos ()+12CC f =，求ABC ∆的面积S . 解：（1）0,0a ω>>及图象特征知：①()f x 的最小正周期2π3ππ2[()]π,88ω=--=得 2.ω=………………………2分 ②当()sin 1x ωθ+=-时,min ()1f x a b =--=； 当()sin 1x ωθ+=时，max ()1f x a b =-=.解得 1.a b ==………………………4分③ππ()))1188f θ-=-+-=，得ππ2π,42k θ-+=-π2π,4k θ=-.k ∈Z由ππ[,]22θ∈-得π.4θ=-所以π2,, 1.4a b ωθ==-==………………………6分（II）由π()214f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭及cos ()+12C C f =得，πsin c s os o 4c C C C C ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭=，即1cos 2sin .C C = …………………8分又22sin cos 1C C +=，得24sin ,sin 5C C ==……………………………10分由0πC <<得，sin C =1sin 2S ab C ==…………………………12分 19．（本小题满分12分）中国移动通信公司早前推出“全球通”移动电话资费“个性化套餐”,具体方案如下：（I ）写出“套餐”中方案1的月话费y （元）与月通话量t （分钟）（月通话量是指一个月内每次通话用时之和）的函数关系式；（II ）学生甲选用方案1，学生乙选用方案2，某月甲乙两人的电话资费相同,通话量也相同，求该月学生甲的电话资费；（III ）某用户的月通话量平均为320分钟，则在表中所列出的七种方案中，选择哪种方案更合算，说明理由.解： (1) 30, 048,300.6(48) , 48.t y t t ≤≤⎧=⎨+⨯->⎩， …………………………3分即：30, 048,0.6 1.2 , 48.t y t t ≤≤⎧=⎨->⎩…………………………4分（2）设该月甲乙两人的电话资费均为a 元,通话量均为b 分钟.当048b ≤≤时, 甲乙两人的电话资费分别为30元, 98元,不相等；……5分 当170b >时, 甲乙两人的电话资费分别为1300.6(48)y b =+-（元）,2980.6(170)y b =+-元, 21 5.20y y -=-<,21y y <； ………………6分当48170b <≤时, 甲乙两人的电话资费分别为300.6(48)a b =+-（元）,98a =（元）, 解得484.3b =所以该月学生甲的电话资费98元. ………………8分（3）月通话量平均为320分钟，方案1的月话费为：30+0.6×（320-48）=193.2（元）； ………………9分方案2的月话费为：98+0.6×（320-170）=188（元）； ………………10分 方案3的月话费为168元. 其它方案的月话费至少为268元. ………………11分 经比较, 选择方案3更合算. ………………12分 20.（本小题满分12分）已知,αβ均为锐角，且1cos tan .3αβ== （I ）比较,αβ的大小；（II ）设,θϕ均为锐角，且sin()sin()1,αθβϕ++=求θϕ+的值.解：（1）πcos (0,)52αα=∈,1sin ,tan .52αα∴=== ………………………3分11πtan tan ,(0,),322βαβ=<=∈函数tan y x =在π(0,)2单调递增,.αβ∴> ………………………6分(2)tan tan tan()1,1tan tan αβαβαβ++==-且(0,π)αβ+∈,π.4αβ∴+= ………………………8分π,,,(0,)2αβθϕ∈，,(0,π),αθβϕ∴++∈0sin(),sin() 1.αθβϕ<++≤sin()sin()1,αθβϕ++=πsin()sin()1,.2αθβϕαθβϕ∴+=+=+=+=………………………10分π,4αβ+=3ππ().4θϕαβ∴+=-+=………………………12分 21.（本小题满分12分）已知函数32()f x ax x b =++的图象在点1x =处的切线方程为13y =,其中实数,a b 为常数.（I ）求,a b 的值; （II ）设命题p 为“对任意1(2,)x ∈+∞,都存在2(1,)x ∈+∞,使得12()()1f x f x =”，问命题p 是否为真命题？证明你的结论.解: （I ）32(),f x ax x b =++ 2()32.f x ax x '∴=+………………1分(1)1,(1)32,f a b f a '=++=+∴函数()f x 的图象在点1x =处的切线方程为(1)(32)(1)y a b a x -++=+-,即(32)21y a x b a =++-- ………………4分该切线方程为13y =, ∴1320,21,3a b a +=--=………………5分 即2,0.3a b =-= ………………6分（II ）命题p 为真命题. ………………7分证明如下: 322(),3f x x x =-+ 2()222(1).f x x x x x '=-+=-- 当1x >时, ()0f x '<,()f x 在区间(1,)+∞单调递减,集合{}1()1,(,(1))(,).3R A f x x x f =>∈=-∞=-∞ ………………9分当2x >时, ()f x 的取值范围是4(,(2))(,).3f -∞=-∞-集合132,(,0).()4R B x x f x ⎧⎫=>∈=-⎨⎬⎩⎭………………11分从而.B A ⊆所以对任意1(2,)x ∈+∞,都存在2(1,)x ∈+∞,使得211(),()f x f x = 即12()() 1.f x f x = ………………12分22．(本小题满分12分) 已知函数1()ln ,1x f x a x x-=++其中实数a 为常数且0a >. （I ）求函数()f x 的单调区间；（II ）若函数()f x 既有极大值，又有极小值，求实数a 的取值范围及所有极值之和； （III ）在（II ）的条件下，记12,x x 分别为函数()f x 的极大值点和极小值点， 求证：1212()()()22x x f x f x f ++<. 解:(1) 函数2()ln 11f x a x x =+-+的定义域为∞(0,+)， 22222(1)()(1)(1)a ax a x a f x x x x x +-+'=-=++， ………………1分 设222()2(1)4(1)44(12).g x ax a x a a a a =+-+∆=--=-，1. 当12a ≥时, 0∆≤，()0,g x ≥()0f x '≥，函数()f x 在∞(0,+)内单调递增； ………………2分② 当102a <<时, 0∆>，方程()0g x =有两个不等实根：12x x ==1201.x x <<< 1()0()00,f x g x x x '>⇔>⇔<<或2.x x >12()0()0.f x g x x x x '<⇔<⇔<< ………………3分 综上所述，当12a ≥时, ()f x 的单调递增区间为∞(0,+),无单调递减区间；当102a <<时，()f x 的单调递增区间为1a a -(0,)， 1a a -+∞(,+),单调递减区间11a a a a ---+(,………………4分 （II ）由（I ）的解答过程可知，当12a ≥时,函数()f x 没有极值. ………………5分 当102a <<时，函数()f x 有极大值1()f x 与极小值2()f x ， 12121 2(1), 1.x x x x a+=-=12()()f x f x ∴+=121211*********(1)(ln )(ln )ln()0.11(1)(1)x x x x a x a x a x x x x x x ---+++=+=++++ ………………7分故实数a 的取值范围为1(0,)2,所有极值之和为0. ……………8分 （III ）由（II ）知102a <<,且1211()(1)ln(1)212x x f f a a a a+=-=-+-, 12()()02f x f x +=.…………9分 原不等式等价于证明当102a <<时,1ln(1)210a a a-+-<， 即11ln(1)2a a-<-. ………………10分 设函数()ln 1h x x x =-+,则(1)0,h =当1x >时，1()10h x x'=-<. 函数()h x 在区间[1,)+∞单调递减, 由102a <<知111a ->,1(1)(1)0h h a-<= ………………11分 . 即11ln(1)2a a -<-. 从而原不等式得证. ………………12分。

广东省2021年数学高三上学期理数10月月考试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·广州模拟) 已知集合A={1，3}，，则A∩B=（）A . {1}B . {1，3}C . {1，2，3}D . {1，3，4}2. （2分）(2017·黑龙江模拟) 如果复数（a∈R）为纯虚数，则a=（）A . ﹣2B . 0C . 1D . 23. （2分）若，设函数的零点为m，函数的零点为n，则的最小值为（）A . 1B . 2C . 4D . 84. （2分）已知均为锐角，若，则p是q的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分又不必要条件5. （2分） (2020高一下·易县期中) 已知函数，若方程有四个不同的实数根，，，，则的取值范围是（）A .B .C .D .6. （2分）已知集合M={(x，y)|y=f(x)}，若对于任意(x1 ，y1)∈M，存在(x2 ，y2)∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“垂直对点集”.给出下列四个集合：①M={(x，y)|y=}；②M={(x，y)|y=sinx+1}；③M={(x，y)|y=log2x}；④.M={(x，y)|y=ex－2}其中是“垂直对点集”的序号是（）A . ①②B . ②③C . ①④D . ②④7. （2分） (2019高三上·乐山月考) 已知，为图象的顶点，O，B，C，D为与x轴的交点，线段上有五个不同的点．记，则的值为（）A .B . 45C .D .8. （2分）(2018·河北模拟) 已知函数则（）A .B .C .D .9. （2分） (2019高一上·绍兴期末) 函数的图象大致为A .B .C .D .10. （2分） (2020·宜春模拟) 已知定义在上的函数（）的最大值为，则正实数的取值个数最多为（）A . 4B . 3C . 2D . 111. （2分） (2018高二下·甘肃期末) 函数的部分图像可能是（）A .B .C .D .12. （2分）已知函数是R上的可导函数，当时，有,则函数的零点个数是（）A . 0B . 1C . 2D . 3二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一下·广州期中) 若平行四边形ABCD满足，，则该四边形一定是________．14. （1分） (2018高一下·集宁期末) 关于f(x)＝4sin (x∈R)，有下列命题①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2是π的整数倍；②y＝f(x)的表达式可改写成y＝4cos ；③y＝f(x)图象关于对称；④y＝f(x)图象关于x＝－对称．其中正确命题的序号为________(将你认为正确的都填上)。

开 是输入秘密★启用前2021年高三10月月考试题 数学文 含答案一、选择题：（每小题5分，共计50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1.已知，则的值为 A.B.C.D.2.“”是“”的( )条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要 3.函数的定义域是A ．B ．C ．D ．4.已知是夹角为的两个单位向量，若向量，则A ．2B ．4C ．5D ．7 5．已知等差数列中，是方程的两根，则A ．B ．C ．1007D ．xx 6. 函数的零点所在的一个区间是 A ． B ． C ． D ．7.在中，角的对边分别为，已知命题若，则；命题若，则为等腰三角形或直角三角形，则下列的判断正确的是为真 B.为假 C.为真 D.为假8.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A ． B ． C ．16 D ．329.设对任意实数，不等式总成立．则实数的取值范围是 A ． B ． C ． D ．10.过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交抛物线于点．若，则双曲线的离心率为 A ． B ． C ． D ． 二、填空题：（每小题5分，共计25分，把答案填在答题卡的相应位置．）11.复数（是虚数单位），则 .12.设为定义在上的奇函数，当时，（为实常数），则 .13.不等式组所表示的平面区域面积为 .14．如图是某算法的程序框图，若任意输入中的实数， 则输出的大于的概率为 .设与是定义在同一区间上的两个函数，若函数在上有两个不同的零点，则称和在上 是“关联函数”，区间称为“关联区间”．若与在[0,3]A B MC D P上是“关联函数”，则的取值范围是 . 三、解答题：（本大题共6小题，共计75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16.某公司近年来科研费用支出万元与公司所获得利润万元之间有如下的统计数据：（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；（2）试根据（1）求出的线性回归方程，预测该公司科研费用支出为10万元时公司所获得的利润．参考公式：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式：参考数据：2×18+3×27+4×32+5×35=42017.已知．（1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若 求函数的单调区间.18.先将函数的图象上所有的点都向右平移个单位，再把所有的点的横坐标都伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象. （1）求函数的解析式和单调递减区间； （2）若为锐角三角形的内角，且，求的值.19.已知三棱锥中，⊥，,为的中点，为的中点，且△为正三角形． （1）求证：⊥平面； （2）若，，求三棱锥的体积．20.已知数列中，点在直线上，其中. （1）求证：为等比数列并求出的通项公式； （2）设数列的前且，令的前项和。

2021年高三上学期10月月考数学试卷（文科）含解析）一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x（x﹣1）＜0，x∈R}，B={x|﹣2＜x＜2，x∈R}，那么集合A∩B 是（）A．∅B．{x|0＜x＜1，x∈R} C．{x|﹣2＜x＜2，x∈R} D．{x|﹣2＜x＜1，x ∈R}2．i是虚数单位，计算=（）A．﹣1 B．1 C．i D．﹣i3．设向量=（1，x﹣1），=（x+1，3），则“x=2”是“∥”的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）5．已知数列{a n}中，a n=﹣4n+5，等比数列{b n}的公比q满足q=a n﹣a n（n≥2），且b1=a2，﹣1则|b1|+|b2|+…+|b n|=（）A．1﹣4n B．4n﹣1 C． D．6．设a=log0.80.9，b=log1.10.9，c=1.10.9，则a，b，c的大小关系是C（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜a＜b7．已知函数y=log b（x﹣a）（b＞0且b≠1）的图象如图所示，那么函数y=a+sinbx的图象可能是（）A． B． C．D．8．若存在负实数使得方程2x﹣a=成立，则实数a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（0，+∞）C．（0，2）D．（0，1）二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．）9．向量=（1，1），=（2，t），若⊥，则实数t的值为．10．在△ABC中，若cos2B+3cos（A+C）+2=0，则sinB的值为．11．已知tan（+α）=，α∈（，π），则tanα的值是；cosα的值是．12．已知角α的终边经过点（3a，4a）（a＜0），则cosα=．13．通项公式为a n=an2+n的数列{a n}，若满足a1＜a2＜a3＜a4＜a5，且a n＞a n对n≥8恒成立，+1则实数a的取值范围是．14．已知函数f（x）=对∀x1，x2∈R，x1≠x2有＜0，则实数a的取值范围是．三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，且a3=S3=9（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若等比数列{b n}满足b1=a2，b4=S4，求{b n}的前n项和公式．16．已知函数f（x）=sinωx﹣sin2+（ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）当时，求函数f（x）的取值范围．17．在△ABC中，A=，cosB=，BC=6．（Ⅰ）求AC的长；（Ⅱ）求△ABC的面积．=1+S n（n∈N*）．18．设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，a n+1（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；与1+b1+b2+…+b n的（Ⅱ）若数列{b n}为等差数列，且b1=a1，公差为．当n≥3时，比较b n+1大小．19．已知f（x）=lg（﹣＜x，1）．（I）判断f（x）的奇偶性，并予以证明；（Ⅱ）设f（）+f（）=f（x0），求x0的值．（Ⅲ）求证：对于f（x）的定义域内的任意两个实数a，b，都有f（a）+f（b）=f（）．20．设函数y=f（x）的定义域为R，满足下列性质：（1）f（0）≠0；（2）当x＜0时，f（x）＞1；（3）对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）成立．（I）求f（0）及f（x）*f（﹣x）的值；（Ⅱ）判断函数g（x）=是否具有奇偶性，并证明你的结论；（Ⅲ）求证：y=f（x）是R上的减函数；（Ⅳ）若数列{a n}满足a1=f（0），且f（a n）=（n∈N*），求证：{a n}是等差数列，并求{a n}+1的通项公式．xx学年北京交大附中高三（上）10月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x（x﹣1）＜0，x∈R}，B={x|﹣2＜x＜2，x∈R}，那么集合A∩B是（）A．∅B．{x|0＜x＜1，x∈R}C．{x|﹣2＜x＜2，x∈R}D．{x|﹣2＜x＜1，x∈R}【考点】交集及其运算．【分析】先求解一元二次不等式化简集合A，然后直接利用交集的运算求解．【解答】解：由x（x﹣1）＜0，得0＜x＜1．所以A={x|x（x﹣1）＜0，x∈R}={x|0＜x＜1}，又B={x|﹣2＜x＜2，x∈R}，所以A∩B={x|0＜x＜1，x∈R}∩{x|﹣2＜x＜2，x∈R}={x|0＜x＜1，x∈R}．故选B．2．i是虚数单位，计算=（）A．﹣1 B．1 C．i D．﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】通过复数的分母实数化，即可得到结果．【解答】解：===i．故选：C．3．设向量=（1，x﹣1），=（x+1，3），则“x=2”是“∥”的（）A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平行向量与共线向量．【分析】利用向量共线的充要条件求出的充要条件，利用充要条件的定义判断出“x=2”是的充分但不必要条件．【解答】解：依题意，∥⇔3﹣（x﹣1）（x+1）=0⇔x=±2，所以“x=2”是“∥”的充分但不必要条件；故选A4．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）【考点】函数奇偶性的判断．【分析】根据奇函数的定义判断函数的奇偶性，化简函数解析式，画出函数的图象，结合图象求出函数的递减区间．【解答】解：由函数f（x）=x|x|﹣2x 可得，函数的定义域为R，且f（﹣x）=﹣x|﹣x|﹣2（﹣x ）=﹣x|x|+2x=﹣f（x），故函数为奇函数．函数f（x）=x|x|﹣2x=，如图所示：故函数的递减区间为（﹣1，1），故选C．5．已知数列{a n}中，a n=﹣4n+5，等比数列{b n}的公比q满足q=a n﹣a n（n≥2），且b1=a2，﹣1则|b1|+|b2|+…+|b n|=（）A．1﹣4n B．4n﹣1 C． D．【考点】数列的求和．【分析】先由a n=﹣4n+5及q=a n﹣a n求出q，再由b1=a2，求出b1，从而得到b n，进而得到﹣1|b n|，根据等比数列前n项和公式即可求得|b1|+|b2|+…+|b n|．=（﹣4n+5）﹣[﹣4（n﹣1）+5]=﹣4，b1=a2=﹣4×2+5=﹣3，【解答】解：q=a n﹣a n﹣1所以=﹣3•（﹣4）n﹣1，|b n|=|﹣3•（﹣4）n﹣1|=3•4n﹣1，所以|b1|+|b2|+…+|b n|=3+3•4+3•42+…+3•4n﹣1=3•=4n﹣1，故选B．6．设a=log0.80.9，b=log1.10.9，c=1.10.9，则a，b，c的大小关系是C（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜a＜b【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵0＜a=log0.80.9＜1，b=log1.10.9＜0，c=1.10.9＞1，∴b＜a＜c．故选：C．7．已知函数y=log b（x﹣a）（b＞0且b≠1）的图象如图所示，那么函数y=a+sinbx的图象可能是（）A． B． C．D．【考点】函数的图象．【分析】先根据对数函数的图象和性质象得到a，b的取值范围，再根据正弦函数的图得到答案．【解答】解∵由对数函数图象可知，函数为增函数，∴b＞1，y=log b（x﹣a）函数的图象过定点（a+1，0），∴a+1=2，∴a=1∴函数y=a+sinbx（b＞0且b≠1）的图象，是有y=sinbx的图象向上平移1的单位得到的，由图象可知函数的最小正周期T=＜2π，故选：B8．若存在负实数使得方程2x﹣a=成立，则实数a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（0，+∞）C．（0，2）D．（0，1）【考点】特称命题．【分析】由已知，将a分离得出a=．令f（x）=，（x＜0）．a的取值范围为f（x）在（﹣∞，0）的值域．【解答】解：由已知，将a分离得出a=．令f（x）=，（x＜0）．已知在（﹣∞，0）上均为增函数，所以f（x）在（﹣∞，0）上为增函数．所以0＜f（x）＜f（0）=2，a的取值范围是（0，2）．故选C．二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．）9．向量=（1，1），=（2，t），若⊥，则实数t的值为﹣2．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】利用两个向量垂直的性质，两个向量数量积公式，可得=2+t=0，由此求得t的值．【解答】解：∵向量=（1，1），=（2，t），若⊥，则=2+t=0，t=﹣2，故答案为：﹣2．10．在△ABC中，若cos2B+3cos（A+C）+2=0，则sinB的值为．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】利用三角形内角和定理化简即可得到答案！【解答】解：∵B+A+C=π，∴A+C=π﹣B那么cos（A+C）=cos（π﹣B）=﹣cosB．则：cos2B+3cos（A+C）+2=0⇔cos2B﹣3cosB+2=0⇔2cos2B﹣1﹣3cosB+2=0⇔2cos2B﹣3cosB+1=0⇔（2cosB﹣1）（cosB﹣1）=0解得：cosB=1，此时B=0°，不符合题意．或cosB=，此时B=60°，符合题意．那么：sinB=sin60°=．故答案为：．11．已知tan（+α）=，α∈（，π），则tanα的值是﹣；cosα的值是﹣．【考点】两角和与差的正切函数；任意角的三角函数的定义．【分析】利用两角和与差的正切函数及任意角的三角函数的定义，即可求得tanα与cosα的值．【解答】解：tan（+α）=，∴tanα=tan[（+α）﹣]===﹣；又α∈（，π），∴cosα=﹣=﹣．故答案为：；．12．已知角α的终边经过点（3a，4a）（a＜0），则cosα=﹣．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】利用任意角的三角函数的定义，求得cosα的值．【解答】解：∵角α的终边经过点（3a，4a）（a＜0），∴x=3a，y=4a，r==5|a|=﹣5a，则cosα===﹣，故答案为：﹣．13．通项公式为a n=an2+n的数列{a n}，若满足a1＜a2＜a3＜a4＜a5，且a n＞a n对n≥8恒成立，+1则实数a的取值范围是．【考点】数列递推式；数列的应用．【分析】由a n=an2+n是二次函数型，结合已知条件得，由此可知答案．【解答】解：∵a n=an2+n是二次函数型，且a1＜a2＜a3＜a4＜a5，a n＞a n对n≥8恒成立，+1∴，解得﹣．故答案为：﹣．14．已知函数f（x）=对∀x1，x2∈R，x1≠x2有＜0，则实数a的取值范围是0≤a＜1或a＞3．【考点】分段函数的应用．【分析】由任意x1≠x2，都有＜0成立，得函数为减函数，根据分段函数单调性的性质建立不等式关系即可．【解答】解：∵f（x）满足对任意x1≠x2，都有＜0成立∴函数f（x）在定义域上为减函数，则满足，得0≤a＜1或a＞3，故答案为：0≤a＜1或a＞3．三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，且a3=S3=9（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若等比数列{b n}满足b1=a2，b4=S4，求{b n}的前n项和公式．【考点】等比数列的前n项和；等差数列的通项公式．【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，由a3=S3=9，得，解出a1，d，由等差数列通项公式即可求得答案；（Ⅱ）设等比数列{b n}的公比为q，由b1=a2可得b1，由b4=S4可得q，由等比数列前n项和公式可得答案；【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d．因为a3=S3=9，所以，解得a1=﹣3，d=6，所以a n=﹣3+（n﹣1）•6=6n﹣9；（II）设等比数列{b n}的公比为q，因为b1=a2=﹣3+6=3，b4=S4=4×（﹣3）+=24，所以3q3=24，解得q=2，所以{b n}的前n项和公式为=3（2n﹣1）．16．已知函数f（x）=sinωx﹣sin2+（ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）当时，求函数f（x）的取值范围．【考点】二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；正弦函数的单调性．【分析】（Ⅰ）利用两角和的正弦公式，二倍角公式化简函数f（x）的解析式为，由此求得它的最小正周期．令，求得x的范围，即可得到函数f（x）的单调递增区间．（Ⅱ）因为，根据正弦函数的定义域和值域求得函数f（x）的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）==．…因为f（x）最小正周期为π，所以ω=2．…所以．由，k∈Z，得．所以函数f（x）的单调递增区间为[]，k∈Z．…（Ⅱ）因为，所以，…所以．…所以函数f（x）在上的取值范围是[]．…17．在△ABC中，A=，cosB=，BC=6．（Ⅰ）求AC的长；（Ⅱ）求△ABC的面积．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知结合平方关系求得sinB=，再由正弦定理求得AC的长；（Ⅱ）由sinC=sin（B+60°）展开两角和的正弦求得sinC，代入三角形的面积公式求得△ABC 的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵cosB=，B∈（0，π），又sin2B+cos2B=1，解得sinB=．由正弦定理得：，即，∴AC=4；（Ⅱ）在△ABC中，sinC=sin（B+60°）=sinBcos60°+cosBsin60°==．∴=．18．设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，a n+1=1+S n（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}为等差数列，且b1=a1，公差为．当n≥3时，比较b n+1与1+b1+b2+…+b n的大小．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）由a n+1=1+S n（n∈N*），当n≥2时可得a n+1=2a n，当n=1时，=2，利用等比数列即可得出；（II）利用等差数列的通项公式可得：b n=2n﹣1．当n≥3时，b n+1=2n+1.1+b1+b2+…+b n=n2+1．通过作差即可比较出大小．【解答】解：（I）∵a n+1=1+S n（n∈N*），∴当n≥2时，a n=1+S n﹣1，∴a n+1﹣a n=a n，即a n+1=2a n，当n=1时，a2=1+a1=2，∴=2，综上可得：a n+1=2a n（n∈N*），∴数列{a n}是等比数列，公比为2，∴．（II）数列{b n}为等差数列，且b1=a1=1，公差为=2．∴b n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．当n≥3时，b n+1=2n+1．1+b1+b2+…+b n=1+=n2+1．∴n2+1﹣（2n+1）=n（n﹣2）＞0，∴b n+1＜1+b1+b2+…+b n．19．已知f（x）=lg（﹣＜x，1）．（I）判断f（x）的奇偶性，并予以证明；（Ⅱ）设f（）+f（）=f（x0），求x0的值．（Ⅲ）求证：对于f（x）的定义域内的任意两个实数a，b，都有f（a）+f（b）=f（）．【考点】函数奇偶性的判断；抽象函数及其应用．【分析】（I）利用奇偶性的定义，看f（﹣x）和f（x）的关系，注意到和互为倒数，其对数值互为相反数；也可计算f（﹣x）+f（x）=0得到结论．（Ⅱ）根据题意得到关于x0的方程，解方程可得x0的值；（Ⅲ）将a与b代入函数f（x）=lg（﹣＜x，1）．求出f（a）+f（b）的值，然后计算出f（）的值，从而证得结论．【解答】解：（I）f（x）是奇函数，理由如下：f（x）的定义域为（﹣1，1）关于原点对称；又∵f（﹣x）=lg=﹣lg=﹣f（x），所以f（x）为奇函数；（Ⅱ）∵f（x）=lg（﹣1＜x＜1）．∴由f（）+f（）=f（x0）得到：lg+lg=lg，整理，得lg3×2=lg，∴=6，解得x0=；（Ⅲ）证明：∵f（x）=lg（﹣＜x，1）．∴f（a）+f（b）=lg+lg=lg•=lg，f（）=lg=lg，∴对于f（x）的定义域内的任意两个实数a，b，都有f（a）+f（b）=f（）．得证．20．设函数y=f（x）的定义域为R，满足下列性质：（1）f（0）≠0；（2）当x＜0时，f（x）＞1；（3）对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）成立．（I）求f（0）及f（x）*f（﹣x）的值；（Ⅱ）判断函数g（x）=是否具有奇偶性，并证明你的结论；（Ⅲ）求证：y=f（x）是R上的减函数；（Ⅳ）若数列{a n}满足a1=f（0），且f（a n+1）=（n∈N*），求证：{a n}是等差数列，并求{a n}的通项公式．【考点】抽象函数及其应用．【分析】（I）令x=y=0得出f（0），令y=﹣x得出f（x）f（﹣x）=f（0）；（II）求出g（x）的定义域，计算g（﹣x）并化简得出结论；（III）设x1＜x2，根据f（x1）=f（x1﹣x2+x2）=f（x1﹣x2）f（x2）得出=f（x1﹣x2）＞1，得出结论；（IV）根据f（﹣x）f（x）=1得出a n+1﹣a n﹣2=0得出结论．【解答】解：（I）令x=y=0得f（0）=f2（0），又f（0）≠0，∴f（0）=1．令y=﹣x得f（x）f（﹣x）=f（0）=1．（II）∵f（x）f（﹣x）=1，∴f（﹣x）=，∵x＜0时，f（x）＞1，∴x＞0时，0＜f（x）＜1，由g（x）有意义得f（x）≠1，∴x≠0，即g（x）的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称．∴g（﹣x）====﹣g（x），∴g（x）是奇函数．证明：（III）设x1＜x2，则x1﹣x2＜0，∴f（x1﹣x2）＞1，∵f（x1）=f（x1﹣x2+x2）=f（x1﹣x2）f（x2），∴=f（x1﹣x2）＞1，∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）是R上的减函数．（IV）∵f（a n+1）=，∴f（a n+1）f（﹣2﹣a n）=1，∵f（x）f（﹣x）=1，∴a n+1﹣a n﹣2=0，即a n+1﹣a n=2，又a1=f（0）=1，∴{a n}是以1为首项，以2为公差的等差数列，∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．精品文档xx年11月30日39234 9942 饂cCK23691 5C8B 岋39065 9899 颙g29049 7179 煹34685 877D 蝽31197 79DD 秝&25755 649B 撛28880 70D0 烐实用文档。

2020-2021学年省市某校高三（上）10月月考考试数学（文）试卷一、选择题1. 已知集合A ={x|log 2x <1}，B ={x|x <1}，则A ∩B =( ) A.{x|x <1} B.{x|x <2} C.{x|0<x <1} D.{x|0<x <2}2. 已知a ，b 是实数，复数z =a +bi ．若a +i =bi1+i ，则z ¯在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第二象限 D.第四象限3. 已知双曲线x 2a2−y 25=1(a >0)的一个焦点为(−3,0)，则其渐近线方程为( )A.y =±54xB.y =±45x C.y =±2√55x D.y =±√52x4. 设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是( ) A.若α⊥β，m ⊥n ，m ⊥α，则n ⊥β B.若α⊥β，m ⊥n ，m//α，则n//β C.若α⊥β，m ⊥α，n ⊥β，则m ⊥n D.若α⊥β，m//α，n//β，则m ⊥n5. 为了抗击新型冠状病毒肺炎，保障师生安全，学校决定每天对教室进行消毒工作．已知药物释放过程中，室内空气中的含药量y (mg/m 3)与时间t(ℎ)成正比(0<t <14)；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为y =(14)t−a（a 为常数，t ≥14），据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.5(mg/m 3)以下时，学生方可进教室，则学校应安排工作人员至少提前( )分钟进行消毒工作 .A.25B.30C.45D.606. 已知实数a >1，b >1，则“a +b ≤4”是“log 2a ⋅log 2b ≤1”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7. 孙子定理是中国古代求解一次同余式组的方法，是数论中一个重要定理．最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，1852年英国来华传教士伟烈亚力将其问题的解法传至欧洲，1874年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．这个定理讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2021这2020个整数中能被3除余2且被4除余1的数按由小到大的顺序排成一列构成一数列，则此数列的项数是( ) A.168 B.169 C.170 D.1718. 已知函数f (x )=ln (x 2+2x +2)，设a =f (log 216)，b =f (log 1215)，c =f (20.3)，则( ) A.a <b <c B.a <c <b C.b <a <c D.c <a <b二、多选题已知向量a →，b →满足|a →|=1，|b →|=2，|a →+b →|=√3，则下列结论中正确的是( ) A.a →⋅b →=−2 B.a →⊥(a →+b →) C.|a →−b →|=√7 D.a →与b →的夹角为π3若样本a +x 1，a +x 2，⋯，a +x n 的平均值是5，方差是4，样本1+2x 1，1+2x 2，⋯，1+2x n 的平均值是9，标准差是s ，则下列结论中正确的是( ) A.a =1 B.a =2 C.s =2 D.s =4已知函数f (x )=A sin (ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图像如图所示，将函数y =f (x )的图像上所有点的横坐标缩短为原来的14倍，纵坐标不变，再将所得图像上所有点向右平移θ(θ>0)个单位长度，得到函数g (x )的图像，且y =g (x )的图像关于直线x =π2对称，则下列结论中正确的是( )A.ω=1B.φ=−π3 C.g (x )=3sin (4x −4θ−π3) D.θ的最小值为π12设m ∈R ．过定点M 的直线l 1:mx −y −3m +1=0与过定点N 的直线l 2:x +my −3m −1=0相交于点P ，线段AB 是圆C:(x +1)2+(y +1)2=4的一条动弦，且|AB|=2√2，则下列结论中正确的是( ) A.l 1一定垂直l 2B.|PM|+|PN|的最大值为4√2C.点P 的轨迹方程为(x −2)2+(y −2)2=2D.|PA →+PB →|的最小值为2√2 三、填空题 (√xx 2)5的展开式中x 5的系数是________ .若函数f(x)=ln x x与g(x)=e x−a −b 的图像在x =1处有相同的切线，则a +b =________.已知抛物线y 2=8x 的焦点为F ，准线与x 轴交于点E ，A 是抛物线上一点，AE ⊥AF ，则|AF|=________.边长为2√3的正方形ABCD 的顶点均在表面积为 28π的球O 的球面上，O 1为正方形ABCD 的中心，△O 1AB 绕AB 旋转，其顶点O 1接触到球面时设为E ，则二面角E −AB −D 的大小为________. 四、解答题在①(a +c )(sin A −sin C )=b (sin A −sin B )；②2b−a c−cos Acos C =0；③向量m →=(c,√3b)与n →=(cos C ，sin B ）平行，这三个条件中任选一个，补充在下面题干中，然后解答问题．已知△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足________. (1)求角C ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且a =4，求△ABC 面积的取值范围．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）已知数列{a n }满足1a 1+2a 2+⋯+n a n=2−n+22n.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n =1log 4a n+1⋅log 4a n求数列{b n }的前n 项和S n .如图，等腰直角△ABE 与正方形ABCD 所在平面互相垂直，AE ⊥BE ，AB =2，FC ⊥平面ABCD ，EF//平面ABCD ．(1)求FC 的长；(2)求直线EF 与平面BDF 所成角的正弦值．甲、乙、丙三人进行乒乓球挑战赛（其中两人比赛，另一人当裁判，每局结束时，负方在下一局当裁判），设在情况对等中各局比赛双方获胜的概率均为12，但每局比赛结束时，胜的一方在下一局比赛时受体力影响，胜的概率均降为25，第一局甲当裁判． (1)求第三局甲当裁判的概率；(2)设X 表示前4局乙当裁判次数，求X 的分布列和数学期望．已知椭圆Γ：x2a2+y2b2=1过点C(−2,0)，D(2,0)，且离心率为12．(1)求椭圆Γ的方程；(2)设E，F，P是椭圆Γ上的三点，O为坐标原点，OE//PC，OF//PD，证明：△OEF 的面积为定值．已知函数f(x)=ae x−ln(x+1)+ln a−1.(1)若a=1，求函数f(x)的极值；(2)若函数f(x)有且仅有两个零点，求a的取值范围．参考答案与试题解析2020-2021学年省市某校高三（上）10月月考考试数学（文）试卷一、选择题1.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】解：A={x|log2x<1}={x|0<x<2}，∴A∩B={x|0<x<1} .故选C .2.【答案】D【考点】复数的代数表示法及其几何意义复数代数形式的乘除运算共轭复数【解析】【解答】解：∵a+i=bi1+i，∴(a−1)+(a+1)i=bi，∴{a−1=0,a+1=b,∴a=1，b=2，∴z¯=a−bi=1−2i，在复平面内对应的点为(1,−2)，位于第四象限．故选D.3.【答案】D【考点】双曲线的渐近线【解析】【解答】解：a2+5=9，a=2，∴渐近线方程为y=±√52x .故选D.4.【答案】C【考点】空间中直线与直线之间的位置关系空间中直线与平面之间的位置关系【解析】根据线面间的位置关系可知选C．【解答】解：选项A，B，n可以⊂β，故AB错误；选项D，两直线可以平行，故D错误；根据线面间的位置关系可知C正确．故选C.5.【答案】C【考点】分段函数的应用函数模型的选择与应用【解析】【解答】解：∵函数图像过点(14,1)，∴y=f(t)={4x,0<t<14,(14)t−14,t≥14,当t≥14时，取f(t)=(14)t−14=12，解得t=34小时=45分钟，所以学校应安排工作人员至少提前45分钟进行消毒工作．故选C .6.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断对数的运算性质基本不等式在最值问题中的应用【解析】无【解答】解：∵a>1，b>1，∴log2a>0，log2b>0．∵a+b≥2√ab，a+b≤4，∴ab≤4，log2a⋅log2b≤(log2a+log2b2)2=[log2(ab)2]2≤(log242)2=1．取a=16，b=21 5，则log2a⋅log2b=log216⋅log2215=45<1，但是a+b>4，∴ “a+b≤4”是“log2a⋅log2b≤1”的充分不必要条件．故选A．7.【答案】B【考点】等差数列的通项公式数列的应用【解析】无【解答】解：设所求数列为{a n}，由题意可得该数列为5，17，29，41，⋯，所以数列{a n}为等差数列，且首项为a1=5，公差为d=12，所以a n=a1+(n−1)d=12n−7，令2≤a n≤2021，即2≤12n−7≤2021，解得34≤n≤169，所以满足34≤n≤169的正整数n的个数为169，所以该数列共有169项．故选B．8.【答案】B【考点】指数式、对数式的综合比较函数的单调性及单调区间【解析】由已知可得f(x)关于x=−1对称，且在(−1,+∞)上单调递增，−3<log116<−2<log1215<3，1<20.3<2，∴a<c<b .【解答】解：由已知可得f(x)关于x=−1对称，且在(−1,+∞)上单调递增，−3<log216<−2，2<log1215<3，1<20.3<2，∴a<c<b .故选B . 二、多选题【答案】 B,C【考点】平面向量数量积的运算 向量的模数量积表示两个向量的夹角 【解析】 无【解答】解：|a →+b →|2=a →2+2a →⋅b →+b →2=1+2a →⋅b →+4=3， ∴ a →⋅b →=−1，∴ a →⋅(a →+b →)=0，∴ a →⊥(a →+b →)，|a →−b →|=√a →2−2a →⋅b →+b →2=√7，cos ⟨a →,b →⟩=a →⋅b→|a →||b →|=−12，∴ a →与b →的夹角为2π3，故BC 正确． 故选BC ． 【答案】 A,D【考点】极差、方差与标准差 众数、中位数、平均数【解析】 无【解答】解： 1+2x i =2(a +x i )−2a +1，则样本1+2x 1，1+2x 2，⋯， 1+2x n 的平均值为： 2×5−2a +1=9，则a =1， s 2=22×4=16，则s =4． 故选AD ． 【答案】 A,B,C 【考点】正弦函数的对称性函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 【解析】【解答】解：由图可得A =3，12⋅2πω=4π3−π3，∴ ω=1．根据五点法作图可得1×π3+φ=0，∴ φ=−π3，∴ f(x)=3sin (x −π3)．将函y =f(x)的图像上所有点的横坐标缩短为原来14倍，纵坐标不变，可得y =3sin (4x −π3)的图像，再将所得图像上所有点向右平移θ(θ>0)个长度， 可得g (x )=3sin (4x −4θ−π3)的图像． ∵ y =g (x )的图像关于直线x =π2对称， ∴ 4×π2−4θ−π3=kπ+π2， 即θ=−kπ4+7π24， k ∈Z ，令k =1，可得θ的最小值为π24.故选ABC . 【答案】 A,D【考点】直线与圆的位置关系 轨迹方程【解析】 无【解答】解：直线l 1：mx −y −3m +1=0与l 2：x +my −3m −1=0垂直， l 1过定点M (3,1)，l 2过定点N (1,3)， 在△MNP 中，设∠PMN =θ，则|PM|+|PN|=2√2cos θ+2√2sin θ=4sin (θ+π4)≤4， 由PM →⋅PN →=0，可得点P 轨迹方程为(x −2)2+(y −2)2=2（x ≠3）． 作CD ⊥AB ，则CD =√2，∴ 点D 轨迹方程为(x +1)2+(y +1)2=2． ∵ |PA →+PB →|=2|PD →|，|PD →|的最小值为√2， ∴ |PA →+PB →|的最小值为2√2． 故选AD ． 三、填空题 【答案】 −40【考点】二项展开式的特定项与特定系数 【解析】 无【解答】 解： (√x−x 2)5的展开式的通项公式为T r+1=(−1)r 25−r C 5rx5r−52，令5r−52=5，则r =3，∴ 展开式中含x 5的项为T 3+1=(−1)325−3C 53x 5=−40x 5， 故x 5的系数是−40． 故答案为：−40． 【答案】 2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：f ′(x)=1−ln x x 2，当x =1时，f(1)=0，f ′(1)=1，则在x =1处的切线方程为：y =x −1； g ′(x)=e x−a ，当x =1时，g ′(1)=e 1−a =1，g(1)=e 1−a −b =0， 解得a =1，b =1， 则a +b =2. 故答案为：2. 【答案】2√5−2 【考点】 抛物线的性质 【解析】 无【解答】解：由已知得点A 在以原点为圆心，2为半径的圆上， 由{y 2=8x ，x 2+y 2=4，解得x A =2√5−4，∴ |AF|=x A +2=2√5−2． 故答案为：2√5−2. 【答案】 120∘或60∘ 【考点】二面角的平面角及求法 【解析】【解答】解：如图，取AB 中点H ，连接O 1H ，EH ，OH ，则∠O 1HE 即为二面角E −AB −D 的平面角．由已知得R =√7，BD =2√6，O 1B =√6，OO 1=1， O 1H =√3，OH =2，∠O 1HO =30∘， ∵ O 1H =EH =√3，OE =√7， ∴ OH ⊥EH ，∠O 1HE =120∘， 同理当E 在下方时∠O 1HE =60∘ . 故答案为：120∘或60∘. 四、解答题【答案】解：(1)若选择①：由①及正弦定理可得(a +c )(a −c )=b (a −b )， 即a 2+b 2−c 2=ab ， 由余弦定理得cos C =a 2+b 2−c 22ab=12，∴ C =π3．若选择②：由②及正弦定理得2sin B−sin Asin C−cos A cos C=0，即2sin B cos C −sin A cos C −cos A sin C =0， sin B (2cos C −1)=0， ∵ sin B ≠0， ∴ cos C =12，C =π3．若选择③．由③可得c sin B =√3b cos C ， ∴ sin C sin B =√3sin B cos C ， ∴ tan C =√3，C =π3． (2)由已知及余弦定理可得c 2=b 2+16−2b ⋅4⋅cos π3=b 2−4b +16，由△ABC 为锐角三角形可得b 2+b 2−4b +16>16 且16+b 2−4b +16>b 2，解得2<b <8， △ABC 面积S =12ab sin π3=√3b ∈(2√3,8√3)． 【考点】 余弦定理 正弦定理平面向量数量积的运算三角函数的化简求值 两角和与差的正弦公式 【解析】 无 无【解答】解：(1)若选择①：由①及正弦定理可得(a +c )(a −c )=b (a −b )， 即a 2+b 2−c 2=ab ， 由余弦定理得cos C =a 2+b 2−c 22ab=12，∴ C =π3．若选择②：由②及正弦定理得2sin B−sin Asin C−cos Acos C =0，即2sin B cos C −sin A cos C −cos A sin C =0， sin B (2cos C −1)=0， ∵ sin B ≠0， ∴ cos C =12，C =π3．若选择③．由③可得c sin B =√3b cos C ， ∴ sin C sin B =√3sin B cos C ， ∴ tan C =√3，C =π3． (2)由已知及余弦定理可得c 2=b 2+16−2b ⋅4⋅cos π3=b 2−4b +16， 由△ABC 为锐角三角形可得b 2+b 2−4b +16>16 且16+b 2−4b +16>b 2，解得2<b <8， △ABC 面积S =12ab sin π3=√3b ∈(2√3,8√3)． 【答案】解：(1)当n =1时，1a 1=2−32=12，a 1=2，当n ≥2时，1a 1+2a 2+⋯+n−1a n−1=2−n+12n−1，∴na n=(2−n+22n)−(2−n+12n−1)=n2n ，a n =2n ，n =1时符合上式， ∴ a n =2n ． (2)b n =1log42n+1⋅log 42n=4n (n+1)=4(1n −1n+1)， ∴ S n =4(1−12+12−13+⋯+1n −1n+1) =4(1−1n+1)=4nn+1．【考点】 数列递推式 数列的求和 【解析】 无 无 【解答】解：(1)当n =1时，1a 1=2−32=12，a 1=2，当n ≥2时，1a 1+2a 2+⋯+n−1an−1=2−n+12n−1，∴ n a n=(2−n+22n)−(2−n+12n−1)=n2n ，a n =2n ，n =1时符合上式， ∴ a n =2n ． (2)b n =1log 42n+1⋅log 42n =4n (n+1)=4(1n −1n+1)，∴ S n =4(1−12+12−13+⋯+1n −1n+1) =4(1−1n+1)=4nn+1． 【答案】解：(1)设AB 中点为O ，连接EO ，OC ，∵ △ABE 是斜边长为2的等腰直角三角形， ∴ EO ⊥AB ，且EO =1， ∵ 平面ABE ⊥平面ABCD ， 平面ABE ∩平面ABCD =AB ， ∴ EO ⊥平面ABCD ， ∵ FC ⊥平面ABCD ， ∴ EO//FC ，∵ EF//平面ABCD ， ∴ EF//OC ，∴ EOCF 为平行四边形， ∴ FC =OE =1．(2)建立如图所示空间直角坐标系O −xyz ，则E (0,0,1)，B (−1,0,0)，D (1,2,0)，F (−1,2,1)， 设平面FBD 的法向量为n 1→=(x 1,y 1,z 1)， 则{BD →⋅n 1→=0，BF →⋅n 1→=0， 即{2x 1+2y 1=0，2y 1+z 1=0，令x 1=1，则y 1=−1，z 1=2， ∴ n 1→=(1,−1,2)， ∴cos ⟨n 1→,EF →⟩=n 1→⋅EF→|n 1→|⋅|EF →|=−√3010， ∴ 直线EF 与平面BDF 所成角的正弦值为√3010． 【考点】直线与平面平行的判定用空间向量求直线与平面的夹角 【解析】 无 无【解答】解：(1)设AB 中点为O ，连接EO ，OC ，∵ △ABE 是斜边长为2的等腰直角三角形， ∴ EO ⊥AB ，且EO =1， ∵ 平面ABE ⊥平面ABCD ， 平面ABE ∩平面ABCD =AB ， ∴ EO ⊥平面ABCD ， ∵ FC ⊥平面ABCD ， ∴ EO//FC ，∵ EF//平面ABCD ，∴ EF//OC ，∴ EOCF 为平行四边形， ∴ FC =OE =1．(2)建立如图所示空间直角坐标系O −xyz ，则E (0,0,1)，B (−1,0,0)，D (1,2,0)，F (−1,2,1)， 设平面FBD 的法向量为n 1→=(x 1,y 1,z 1)， 则{BD →⋅n 1→=0，BF →⋅n 1→=0， 即{2x 1+2y 1=0，2y 1+z 1=0，令x 1=1，则y 1=−1，z 1=2， ∴ n 1→=(1,−1,2)， ∴cos ⟨n 1→,EF →⟩=n 1→⋅EF→|n 1→|⋅|EF →|=−√3010， ∴ 直线EF 与平面BDF 所成角的正弦值为√3010． 【答案】解：(1)第三局甲当裁判的概率为12×25+12×25=25.(2)X 的可能取值为0，1，2，当X =0时，前三局乙均胜，故P(X =0)=12×(25)2=225，∵ 不能连续两局当裁判，第一届由甲当裁判，故乙只能是第2、4局当裁判，故乙在第一局中输掉， 在第三局中也输掉，故P (X =2)=12×25=15，∴ P(X =1)=1−225−15=1825，其分布列为EX =1825+25=2825 . 【考点】相互独立事件的概率乘法公式 离散型随机变量的期望与方差 离散型随机变量及其分布列 【解析】 【解答】解：(1)第三局甲当裁判的概率为12×25+12×25=25. (2)X 的可能取值为0，1，2，当X =0时，前三局乙均胜，故P(X =0)=12×(25)2=225，∵ 不能连续两局当裁判，第一届由甲当裁判，故乙只能是第2、4局当裁判，故乙在第一局中输掉， 在第三局中也输掉，故P (X =2)=12×25=15，∴ P(X =1)=1−225−15=1825， 其分布列为EX =1825+25=2825 . 【答案】解：(1)由已知可得 {a =2,c a =12,a 2=b 2+c 2, 解得{a 2=4,b 2=3,∴ 椭圆Γ的方程为x 24+y 23=1．(2)设P (x 0,y 0)，则PC ，PD 的斜率之积为 k PC ⋅k PD =y 0x 0+2⋅y 0x−2=y 02x 02−4， ∵ x 024+y 023=1，∴ k PC ⋅k PD =−34, ∵ OF//PD ，OE//PC ， ∴ k OE ⋅k OF =−34，由题意可知直线OF 的斜率存在且不为0， ∴ 设直线OF ：y =kx ，则直线OE ：y =−34k x ，由{x 24+y 23=1,y =kx,解得x F 2=124k 2+3，同理可得x E2=16k 24k 2+3，∴ |OF|=√x F2+y F2=√(1+k 2)x F 2=√12(1+k 2)4k 2+3点E 到直线OF ：y −kx =0的距离 d =E E √1+k 2=|−34kx −kx |√1+k 2=√4k 2+3√1+k 2，∴ S △OEF =12⋅|OF|⋅d =12⋅√12(1+k 2)4k 2+3⋅√4k 2+3√1+k 2=√3，∴ △OEF 的面积为定值√3.【考点】椭圆的标准方程圆锥曲线中的定点与定值问题 【解析】 无 无 【解答】解：(1)由已知可得 {a =2,c a =12,a 2=b 2+c 2,解得{a 2=4,b 2=3,∴ 椭圆Γ的方程为x 24+y 23=1．(2)设P (x 0,y 0)，则PC ，PD 的斜率之积为 k PC ⋅k PD =y 0x 0+2⋅y 0x0−2=y 02x 02−4，∵x 024+y 023=1，∴ k PC ⋅k PD =−34, ∵ OF//PD ，OE//PC ， ∴ k OE ⋅k OF =−34，由题意可知直线OF 的斜率存在且不为0， ∴ 设直线OF ：y =kx ，则直线OE ：y =−34kx ，由{x 24+y 23=1,y =kx,解得x F 2=124k 2+3，同理可得x E2=16k 24k 2+3，∴ |OF|=√x F2+y F2=√(1+k 2)x F 2=√12(1+k 2)4k 2+3点E 到直线OF ：y −kx =0的距离d=E E√1+k2=|−34kx−kx|√1+k2=√4k2+3√1+k2，∴S△OEF=12⋅|OF|⋅d=12⋅√12(1+k2)4k2+3⋅√4k2+3√1+k2=√3，∴△OEF的面积为定值√3.【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=e x−ln(x+1)−1，f′(x)=e x−1x+1，x>−1，显然f′(x)在(−1,+∞)单调递增，且f′(0)=0，∴当−1<x<0时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x>0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，∴f(x)在x=0处取得极小值f(0)=0，无极大值．(2)函数f(x)有两个零点，即f(x)=0有两个解，即ae x+ln(ae x)=ln(x+1)+(x+1)有两个解，设ℎ(t)=t+ln t，则ℎ′(t)=1+1t>0，ℎ(t)单调递增，∴ae x=x+1(x>−1)有两个解，即a=x+1e x(x>−1)有两个解．令s(x)=x+1e x (x≥−1)，则s′(x)=−xe x，当x∈(−1,0)时，s′(x)>0，s(x)单调递增，当x∈(0,+∞)时，s′(x)<0，s(x)单调递减，∵s(−1)=0，当x>0时s(x)>0，∴0<a<1．【考点】利用导数研究函数的极值利用导数研究与函数零点有关的问题【解析】【解答】解：(1)当a=1时，f(x)=e x−ln(x+1)−1，f′(x)=e x−1x+1，x>−1，显然f′(x)在(−1,+∞)单调递增，且f′(0)=0，∴当−1<x<0时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x>0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，∴f(x)在x=0处取得极小值f(0)=0，无极大值．(2)函数f(x)有两个零点，即f(x)=0有两个解，即ae x+ln(ae x)=ln(x+1)+(x+1)有两个解，设ℎ(t)=t+ln t，则ℎ′(t)=1+1t>0，ℎ(t)单调递增，∴ae x=x+1(x>−1)有两个解，即a=x+1e x(x>−1)有两个解．令s(x)=x+1e x (x≥−1)，则s′(x)=−xe x，当x∈(−1,0)时，s′(x)>0，s(x)单调递增，当x∈(0,+∞)时，s′(x)<0，s(x)单调递减，∵s(−1)=0，当x>0时s(x)>0，∴0<a<1．。

2020-2021学年某校高三（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1. 已知集合A＝{0, 1, 2, 3}，B＝{x|x2−x−2≤0}，则A∩B＝（）A.{0, 1}B.{0, 1, 2}C.{x|0≤x<2}D.{x|0≤x≤3}2. 复数z＝（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3. 下列函数是奇函数且在区间(0, 2)递增的函数为（）A. B.f(x)＝ln|x|C.f(x)＝sin xD.f(x)＝4. 若a=0.35，b=log0.30.2，c=log32，则（）A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.c>b>a5. 直线y=kx−1与曲线y=ln x相切，则k=()A.0B.−1C.1D.±16. 若a>0，b>0，则“a>b”是“ln a−b>ln b−a”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7. 设函数f(x)={3x−b,x<12x，x≥1，若f[f(56)]=4，则b=（）A.1B.7C.3D.18. 数列{a n}中，a1＝2，a n+1＝a n2，则下列结论中正确的是（）A.数列{a n}的通项公式为B.数列{a n}为等比数列C.数列{ln a n}为等比数列D.数列{ln a n}为等差数列9. 正方形ABCD的边长为2，点E、F、G满足，则下列各式中值最大的为（）A. B. C. D.10. 在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度（单位mol/L，记作[H+]）和氢氧根离子的物质的量的浓度（单位mol/L，记作[OH−]）的乘积等于常数10−14．已知pH值的定义为pH＝−lg[H+]，健康人体血液的pH值保持在7.35∼7.45之间，那么健康人体血液中的可以为（参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）（）A. B. C. D.二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）命题的否定形式为________>0，（）≥1．已知向量，且，则向量与的夹角大小为________，的值为________．已知x>0，y>0，且log2x+log2y＝2，则的最小值为________．已知函数f(x)=13x3−a2x2+2x+1，且f(x)在区间(−2, −1)内存在单调递减区间，则实数a的取值范围________．已知定义在R 上的函数f(x)满足：①f(x)+f(2−x)＝0；②f(x)−f(−2−x)＝0；③在[−1, 1]上的表达式为f(x)={√1−x 2,x ∈[−1,0]1−x,x ∈(0,1]，则函数f(x)与g(x)={2x ,x ≤0log 12x,x >0 的图象在区间[−3, 3]上的交点的个数为________．三、解答题：已知椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)，经过点P(1, √32)，离心率是√32．（I ）求椭圆C 的方程；（II ）设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆右顶点M ，求证：直线l 恒过定点．已知函数f(x)＝ln x −ax +1，共中a ∈R ． （1）求f(x)的单调区间；（2）是否存在k ∈Z ，使得对任意x >2恒成立？若存在，请求出k 的最大值；若不存在，请说明理由．已知a 为实数，数列{a n }满足a 1＝a ，．(Ⅰ)当a ＝0.2和a ＝7时，分别写出数列{a n }的前5项； (Ⅱ)证明：当a >3时，存在正整数m ，使得0<a m ≤2；(Ⅲ)当0≤a ≤1时，是否存在实数a 及正整数n ，使得数列{a n }的前n 项和S n ＝2019？若存在，求出实数a 及正整数n 的值；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析2020-2021学年某校高三（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.【答案】B【考点】交集及其运算【解析】可求出集合B，然后进行交集的运算即可．【解答】∵A＝{0, 1, 2, 3}，B＝{x|−1≤x≤2}，∴A∩B＝{0, 1, 2}．2.【答案】A【考点】复数的代数表示法及其几何意义【解析】先由复数的运算化简z，再由复数的几何意义得出其对应点的坐标即可得出结论、【解答】z＝＝＝＝+i，故其对应的点的坐标为（，），位于第一象限．3.【答案】A【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】分别判断函数的奇偶性和单调性是否满足条件即可．【解答】A．f(x)是奇函数，在0，2)递增，满足条件．B．f(x)是偶函数，不满足条件．C．f(x)是奇函数，则0，2)上不单调，不满足条件．D．当x≥0时，对称轴x＝2，即当0<x<2函数为减函数，不满足条件．4.【答案】C对数值大小的比较 【解析】利用对数与指数函数的单调性即可得出大小关系． 【解答】∵ a =0.35<0.32=0.09<12，b =log 0.30.2>log 0.30.3=1，1>c =log 32>log 3√3=12， ∴ b >c >a ． 5. 【答案】 C【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】欲k 的值，只须求出切线的斜率的值即可，故先利用导数求出在切处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决． 【解答】解：∵ y =ln x ， ∴ y ′=1x ，设切点为(m, ln m)，得切线的斜率为 1m，所以曲线在点(m, ln m)处的切线方程为： y −ln m =1m ×(x −m)．它过(0, −1)，∴ −1−ln m =−1，∴ m =1， ∴ k =1 故选C ． 6.【答案】 C【考点】充分条件、必要条件、充要条件 【解析】根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【解答】当a >0，b >0时，若a >b ，则ln a >ln b ，此时a +ln a >b +ln b 成立，即充分性成立，设f(x)＝x +ln x ，当x >0时，f(x)为增函数，则由a +ln a >b +ln b 得f(a)>f(b)，即a >b ，即必要性成立， 则“a >b ”是“a +ln a >b +ln b ”的充要条件， 7. 【答案】 D函数的零点 函数的求值 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由题意，f (56)=3×56−b =52−b ．由f [f (56)]=4，得{52−b <1，3(52−b)−b =4或{52−b ≥1，252−b−b =4.解得b =12． 故选D ． 8.【答案】 C【考点】等差数列的性质 【解析】求出数列{a n }的前3项，利用列举法能判断A 和B 均错误；求出＝2，得到数列{ln a n }为等比数列． 【解答】数列{a n }中，a 1＝2，a n+1＝a n 2，∴ ＝4，＝16＝24，故A 和B 均错误；∵ 数列{a n }中，a 1＝2，a n+1＝a n 2，∴ ＝2，∴ 数列{ln a n }为等比数列，故C 正确，D 错误．9. 【答案】 A【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】建立平面直角坐标系，利用坐标法结合向量坐标公式进行计算即可． 【解答】建立平面直角坐标系如图： ∵ 点E 、F 、G 满足，∴ 点E 、F 、G 都是中点，则A(0, 0)，B(2, 0)，C(2, 2)，D(0, 2)，E(2, 1)，F(1, 2)，G(0, 1)，则＝(2, 0)，＝(2, 1)，＝(1, 2)，＝(0, 1)，＝(1, 1)，则•＝4，•＝2，•＝0，•＝2，故各式中值最大的为•，10.【答案】C【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】由题意可得lg＝2lg[H+]+14，即可求出−0.9<lg<−0.7，代值计算比较即可【解答】由题意可得pH＝−lg[H+]∈(7.35, 7.45)，且[H+]•[OH−]）＝10−14，∴lg＝lg＝lg[H+]2+14＝2lg[H+]+14，∵7.35<−lg[H+]<7.45，∴−7.45<lg[H+]<−7.35，∴−0.9<2lg[H+]+14<−0.7，即−0.9<lg<−0.7，∵lg＝−lg2≈0.30，故A错误，lg＝−lg3≈0.48，故B错误，lg＝−lg6＝−(lg2+lg3)≈−0.78，故C正确，lg＝−1，故D错误，二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）【答案】命题的否定【解析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．【解答】命题是全称命题，则否定为：∃x>0，（）x≥1，【答案】,2【考点】数量积表示两个向量的夹角平面向量数量积的性质及其运算【解析】根据平面向量数量积的公式进行计算即可．【解答】||＝＝＝2，设向量与的夹角大小为θ，则cosθ＝＝，则θ＝，＝＝＝＝2，【答案】【考点】基本不等式及其应用【解析】利用条件求出xy的值，再利用基本不等式即可求解．【解答】由log2x+log2y＝2可得：xy＝4，则，当且仅当，即x＝2时取等号，此时的最小值为，【答案】(−∞, −2√2)【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】求出函数的导数，问题转化为a<(x+2x)max=−2√2，根据不等式的性质求出a的范围即可．【解答】解：f′(x)=x2−ax+2，由题意得∃x∈(−2, −1)，使得不等式f′(x)=x2−ax+2<0成立，即x∈(−2, −1)时，a<(x+2x)max，令g(x)=x+2x，x∈(−2, −1)，则g′(x)=1−2x2=x2−2x2，令g′(x)>0，解得：−2<x<−√2，令g′(x)<0，解得：−√2<x<−1，故g(x)在(−2, −√2)递增，在(−√2, −1)递减，故g(x)max=g(−√2)=−2√2，故满足条件a的范围是(−∞, −2√2)，故答案为：(−∞, −2√2)．【答案】6【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】先根据①②知函数的对称中心和对称轴，再分别画出f(x)和g(x)的部分图象，由图象观察交点的个数．【解答】∵ ①f(x)+f(2−x)＝0，②f(x)−f(−2−x)＝0，∴f(x)图象的对称中心为(1, 0)，f(x)图象的对称轴为x＝−1，结合③画出f(x)和g(x)的部分图象，如图所示，据此可知f(x)与g(x)的图象在[−3, 3]上有6个交点．三、解答题：【答案】（I）解：由{1a2+34b2=3 ca=√32a2=b2+c2，解得：{a=2b=1，（II ）证明：（方法一）（1）由题意可知，直线l 的斜率为0时，不合题意． （2）不妨设直线l 的方程为 x =ky +m ．由{x =ky +m x 24+y 2=1，消去x 得(k 2+4)y 2+2kmy +m 2−4=0， 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则有y 1+y 2=−2kmk 2+4…①，y 1y 2=m 2−4k 2+4．…②∵ 以AB 为直径的圆过点M ，∴ MA →⋅MB →=0．由MA →=(x 1−2,y 1)，MB →=(x 2−2,y 2)，得(x 1−2)(x 2−2)+y 1y 2=0． 将x 1=ky 1+m ，x 2=ky 2+m 代入上式，得(k 2+1)y 1y 2+k(m −2)(y 1+y 2)+(m −2)2=0．…③ 将①②代入③，得5m 2−16m+12=0k 2+4，解得m =65或m =2（舍）． 综上，直线l 经过定点(65，0)．（方法二）（1）当k 不存在时，易得此直线恒过点(65，0)．（2）当k 存在时．设直线l 的方程为y =kx +m ，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，M(2, 0)． 由{x 24+y 2=1y =kx +m ，可得(4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2−12=0． △=16(4k 2−m 2+1)>0，x 1+x 2=−8km4k 2+1…①，x 1x 2=4m 2−44k 2+1．…②由题意可知MA →⋅MB →=0，MA →=(x 1−2,y 1)，MB →=(x 2−2,y 2)，y 1=kx 1+m ，y 2=kx 2+m ．可得 (x 1−2)•(x 2−2)+y 1y 2=0．整理得 (km −2)(x 1+x 2)+(k 2+1)x 1x 2+4+m 2=0…③ 把①②代入③整理得：12k 2+16km+5m 24k 2+1=0，由题意可知 12k 2+16km +5m 2=0， 解得 m =−2k,m =−65k ．(I) 当m =−2k 时，即y =k(x −2)，直线过定点(2, 0)不符合题意，舍掉． (II) m =−65k 时，即y =k(x −65)，直线过定点(65，0)，经检验符合题意．综上所述，直线l 过定点(65，0)． 【考点】 椭圆的定义 【解析】（II ）通过对直线的斜率进行讨论，不妨设直线l 的方程，利用韦达定理及MA →⋅MB →=0，通过将直线方程代入向量数量积的坐标运算中，计算即得结论．【解答】（I ）解：由{ 1a 2+34b 2=3c a =√32a 2=b 2+c 2，解得：{a =2b =1， 所以椭圆C 的方程是：x 24+y 2=1；（II ）证明：（方法一）（1）由题意可知，直线l 的斜率为0时，不合题意．（2）不妨设直线l 的方程为 x =ky +m ．由{x =ky +m x 24+y 2=1，消去x 得(k 2+4)y 2+2kmy +m 2−4=0， 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则有y 1+y 2=−2km k 2+4…①，y 1y 2=m 2−4k 2+4．…②∵ 以AB 为直径的圆过点M ，∴ MA →⋅MB →=0． 由MA →=(x 1−2,y 1)，MB →=(x 2−2,y 2)，得(x 1−2)(x 2−2)+y 1y 2=0． 将x 1=ky 1+m ，x 2=ky 2+m 代入上式，得(k 2+1)y 1y 2+k(m −2)(y 1+y 2)+(m −2)2=0．…③将①②代入③，得5m 2−16m+12=0k 2+4， 解得m =65或m =2（舍）．综上，直线l 经过定点(65，0)． （方法二）（1）当k 不存在时，易得此直线恒过点(65，0)．（2）当k 存在时．设直线l 的方程为y =kx +m ，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，M(2, 0)．由{x 24+y 2=1y =kx +m，可得(4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2−12=0． △=16(4k 2−m 2+1)>0，x 1+x 2=−8km 4k 2+1…①，x 1x 2=4m 2−44k 2+1．…② 由题意可知MA →⋅MB →=0，MA →=(x 1−2,y 1)，MB →=(x 2−2,y 2)，y 1=kx 1+m ，y 2=kx 2+m ．可得 (x 1−2)•(x 2−2)+y 1y 2=0．整理得 (km −2)(x 1+x 2)+(k 2+1)x 1x 2+4+m 2=0…③把①②代入③整理得：12k 2+16km+5m 24k 2+1=0，由题意可知 12k 2+16km +5m 2=0，解得 m =−2k,m =−65k ．(I)当m=−2k时，即y=k(x−2)，直线过定点(2, 0)不符合题意，舍掉．(II)m=−65k时，即y=k(x−65)，直线过定点(65，0)，经检验符合题意．综上所述，直线l过定点(65，0)．【答案】∵f′(x)＝−a，x>0，∴当a<0时，f′(x)>0，即f(x)在(0, +∞)上是增函数，当a>0时，x∈(0，）时，f′(x)>0，f(x)在(0，）上为增函数；x∈（，+∞)时，f′(x)<0，f(x)在（，+∞)上为减函数．综上所述，当a<0时，f(x)的增区间为(0, +∞)；当a>0时，f(x)的单调增区间为(0，），f(x)的单调减区间为（，+∞)；由已知f(x)+ax−2>k(1−），即为x(ln x−1)>k(x−2)，x>1，即x(ln x−1)−kx+2k>0，x>1，令g(x)＝x(ln x−1)−kx+2k，x>1，则g′(x)＝ln x−k，①当k≤0时，g′(x)>0，故g(x)在(1, +∞)上为增函数，由g(1)＝−1−k+2k＝k−1>0，则k>1，矛盾；②当k>0时，由ln x−k>0，解得x>e k，由ln x−k<0，解得1<x<e k，故g(x)在(1, e k)上是减函数，在(e k, +∞)上是增函数，∴g(x)min＝g(e k)＝2k−e k，即讨论g(x)min＝g(e k)＝2k−e k>0(k>0)恒成立，求k的最小值，令ℎ(t)＝2t−e t，则ℎ′(t)＝2−e t，当2−e t>0，即t<ln2时，ℎ(t)单调递增，当2−e t<0，即t>ln2时，ℎ(t)单调递减，∴当t＝ln2时，ℎ(t)max＝ℎ(ln2)＝2ln2−2，∵0<ln2<1，∴0<2ln2−2<1，又∵ℎ(1)＝2−e<0，ℎ(2)＝4−e2<0，∴不存在整数k使2k−e k>0成立；综上所述，不存在满足条件的整数k．【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的最值【解析】（1）求出原函数的导函数，然后对a分类求得函数的单调区间；（2）由已知f(x)+ax−2>k(1−）即为x(ln x−1)>k(x−2)，x>1，即x(ln x−1)−kx+2k>0，k>1．令g(x)＝x(ln x−1)−kx+2k，x>1，求导后分k≤0和k>0求函数的单调区间，进一步求得函数的最值得答案．【解答】∵f′(x)＝−a，x>0，∴当a<0时，f′(x)>0，即f(x)在(0, +∞)上是增函数，当a>0时，x∈(0，）时，f′(x)>0，f(x)在(0，）上为增函数；x∈（，+∞)时，f′(x)<0，f(x)在（，+∞)上为减函数．综上所述，当a<0时，f(x)的增区间为(0, +∞)；当a>0时，f(x)的单调增区间为(0，），f(x)的单调减区间为（，+∞)；由已知f(x)+ax−2>k(1−），即为x(ln x−1)>k(x−2)，x>1，即x(ln x−1)−kx+2k>0，x>1，令g(x)＝x(ln x−1)−kx+2k，x>1，则g′(x)＝ln x−k，①当k≤0时，g′(x)>0，故g(x)在(1, +∞)上为增函数，由g(1)＝−1−k+2k＝k−1>0，则k>1，矛盾；②当k>0时，由ln x−k>0，解得x>e k，由ln x−k<0，解得1<x<e k，故g(x)在(1, e k)上是减函数，在(e k, +∞)上是增函数，∴g(x)min＝g(e k)＝2k−e k，即讨论g(x)min＝g(e k)＝2k−e k>0(k>0)恒成立，求k的最小值，令ℎ(t)＝2t−e t，则ℎ′(t)＝2−e t，当2−e t>0，即t<ln2时，ℎ(t)单调递增，当2−e t<0，即t>ln2时，ℎ(t)单调递减，∴当t＝ln2时，ℎ(t)max＝ℎ(ln2)＝2ln2−2，∵0<ln2<1，∴0<2ln2−2<1，又∵ℎ(1)＝2−e<0，ℎ(2)＝4−e2<0，∴不存在整数k使2k−e k>0成立；综上所述，不存在满足条件的整数k．【答案】（1）当a＝0.2时，a1＝0.2，a2＝3.8，a3＝0.8，a4＝3.2，a5＝0.2；当a＝7时，a1＝7，a2＝4，a3＝1，a4＝3，a5＝1．（2）证明：当a>3时，a n+1＝a n−3．所以，在数列{a n}中直到第一个小于等于3的项出现之前，数列{a n}是以a为首项，−3为公差的递减的等差数列．即a n＝a+(n−1)(−3)＝a+3−3n．所以，当n足够大时，总可以找到n0，使．（1）若，令m＝n0，则存在正整数m，使得0<a m≤2．（2）若，由，得，令m＝n0+1，则存在正整数m，使得0<a m≤2．综述所述，则存在正整数m，使得0<a m≤2．(Ⅲ)①当a＝0时，a1＝0，a2＝4，a3＝1，a4＝3，a5＝1，……当n＝1时，S1＝0≠2019，当n≥2时，(k∈N)，令2n−1＝2019，n＝1010，而此时n＝2k+1为奇数，所以不成立；又2n＝2019不成立，所以不存在正整数n，使得S n＝2019．②当0<a<1时，a1＝a，a2＝−a+4，a3＝−a+1，a4＝a+3，a5＝a，……所以数列{a n}的周期是4，当n＝4k+1，k∈N时，S n＝8k+a＝2(n−1)+a＝2n+a−2；当n＝4k+2，k∈N时，S n＝2(n−2)+a+(−a+4)＝2n；当n＝4k+3，k∈N时，S n＝2(n−3)+a+(−a+4)+(−a+1)＝2n−a+3；当n＝4(k+1)，k∈N时，S n＝2n．所以(k∈N)．所以S n或者是偶数，或者不是整数，即不存在正整数n，使得S n＝2019．③当a＝1时，a1＝1，a2＝3，a3＝1，a4＝3，a5＝1，……，(k∈N)，不存在正整数n，使得S n＝2019．综述所述，不存在实数a正整数n，使得S n＝2019．【考点】数列的求和数列递推式【解析】(Ⅰ)当a＝0.2和a＝7时，利用数列递推式依次求出数列{a n}的前5项；(Ⅱ)当a>3时，a n+1＝a n−3．可知在数列{a n}中直到第一个小于等于3的项出现之前，数列{a n}是以a为首项，−3为公差的递减的等差数列．写出通项公式，可得当n足够大时，总可以找到n0，使．然后分与两类分析；(Ⅲ)分a＝0，0<a<1及a＝1三类，分别写出S n后分析．【解答】（1）当a＝0.2时，a1＝0.2，a2＝3.8，a3＝0.8，a4＝3.2，a5＝0.2；当a＝7时，a1＝7，a2＝4，a3＝1，a4＝3，a5＝1．（2）证明：当a>3时，a n+1＝a n−3．所以，在数列{a n}中直到第一个小于等于3的项出现之前，数列{a n}是以a为首项，−3为公差的递减的等差数列．即a n＝a+(n−1)(−3)＝a+3−3n．所以，当n足够大时，总可以找到n0，使．（1）若，令m＝n0，则存在正整数m，使得0<a m≤2．（2）若，由，得，令m＝n0+1，则存在正整数m，使得0<a m≤2．综述所述，则存在正整数m，使得0<a m≤2．(Ⅲ)①当a＝0时，a1＝0，a2＝4，a3＝1，a4＝3，a5＝1，……当n＝1时，S1＝0≠2019，当n≥2时，(k∈N)，令2n−1＝2019，n＝1010，而此时n＝2k+1为奇数，所以不成立；又2n＝2019不成立，所以不存在正整数n，使得S n＝2019．②当0<a<1时，a1＝a，a2＝−a+4，a3＝−a+1，a4＝a+3，a5＝a，……所以数列{a n}的周期是4，当n＝4k+1，k∈N时，S n＝8k+a＝2(n−1)+a＝2n+a−2；当n＝4k+2，k∈N时，S n＝2(n−2)+a+(−a+4)＝2n；当n＝4k+3，k∈N时，S n＝2(n−3)+a+(−a+4)+(−a+1)＝2n−a+3；当n＝4(k+1)，k∈N时，S n＝2n．所以(k∈N)．所以S n或者是偶数，或者不是整数，即不存在正整数n，使得S n＝2019．③当a＝1时，a1＝1，a2＝3，a3＝1，a4＝3，a5＝1，……，(k∈N)，不存在正整数n，使得S n＝2019．综述所述，不存在实数a正整数n，使得S n＝2019．。

宝安中学 届高三10月月考数学（文科）注意事项：1、考生务必将自己的姓名、考号、考试科目信息等填涂在答题卷上；2、选择题、综合题均完成在答题卷上；3、考试结束，监考人员将答题卷收回。

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知()323z i +=-，那么复数z 对应的点位于复平面内的（ ）（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限（2）设集合(){}lg 52A x y x ==-，集合{}21B y y x ==-，则AB =（ ） （A ）51,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭（B ）(],1-∞ （C ）5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦（D ）5,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（3）在ABC 中，2,,,AD DC BA a BD b BC c ====，下列等式成立的是（ ） （A ）2c b a =- （B ）2c a b =- （C ）3122c a b =- （D ）3122c b a =- （4）已知正方形ABCD 的边长为2，E 是AD 中点，在正方形ABCD 内部随机取一点P ，则满足PE < ）（A ）8π （B ）28π+ （C ）4π （D ）14π+ （5）等差数列的公差为2，若134,,a a a 成等比数列，则2a =（ ）（A ）2- （B ）6- （C ）8- （D ）10-（6）关于函数()tan 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，下列说法正确的是（ ） （A ）()f x 是奇函数 （B ）()f x 最小正周期是π （C ）5,012π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 图像的一个对称中心 （D ）()f x 图像由tan 2y x =的图像向右平移3π个单位得到 （7）如图程序框图中，若输入4,10m n ==，则输出a ，i 的值分别是（ ）（A ）12,4（B ）16,5 （C ）20,5 （D ）24,6（8）设,,a b c 分别是ABC 中，,,A B C ∠∠∠所对边的边长，则直线sin 0Ax ay c ++=与sin sin 0bx By C -+=的位置关系是（ ）（A ）平行 （B ）重合 （C ）垂直 （D ）相交但不垂直 （9）函数(0,1)xy a a a =>≠与by x =的图象如图，则下列不等式一定成立的是（ ）（A ）0a b > （B ）0a b +> （C ）1b a > （D ）log 2a b >（10）如图三棱锥V ABC -，,,VA VC AB BC ⊥⊥VAC ACB ∠=∠30=，若侧面VAC ⊥底面ABC ，则其主视图与左视图面积之比为（ ）（A ）4:3 （B ）4:7 （C ）3:7 （D ）7:3（11）已知,a b R +∈，直线6ax by +=平分圆22240x y x y m +--+=的周长，则25a b a b +++的最大值为（ ）（A ）6 （B ）4 （C ）3（D ）3（12）已知函数()222x x f x --=，()222x xg x -+=，下列结论错误的是( )（A ）函数()f x 的图象关于原点对称，函数()g x 的图象关于y 轴对称 （B ）在同一坐标系中，函数()f x 的图象在函数()g x 的图象的下方（C ）函数()g x 的值域是[)1,+∞（D ）()()()22g x f x g x =在(),-∞+∞恒成立 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（13）曲线21x y x +=在点()1,2处的切线方程为 ． （14）设变量,x y 满足521802030x y x y x y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪+-≥⎩，若直线20kx y -+=经过该可行域，则k 的最大值为 ．（15）长方体外接球半径为3，则长方体表面积的最大值为 ．（16）已知过抛物线24x y =的焦点F 的直线交抛物线于A ，B两个不同的点，过A ，B 分别作抛物线的切线，且二者相交于点C ，则ABC 的面积的最小值为 ． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）国家教育部要求高中阶段每都要组织学生进行“国家学生体质健康数据测试”，方案要求以学校为单位组织实施，某校对高一1班同学按照“国家学生体质健康数据测试”项目按百分制进行了测试，并对50分以上的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示，若90～100分数段的人数为2人．（Ⅰ）请求出70～80分数段的人数；（Ⅱ）现根据测试成绩从第一组和第五组（从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第五组）中任意选出两人，形成搭档小组．若选出的两人成绩差大于20，则称这两人为“搭档组”，试求选出的两人为“搭档组”的概率．（18）（本小题满分12分）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 且满足()3sin 3cos sin 2AA A +=. （Ⅰ）求A ∠；（Ⅱ）若22,23ABCa S==，求,b c 的值.（19）（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ,ABDC ，已知228,245BD AD PD AB DC =====.（Ⅰ）设M 是PC 上一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ； （Ⅱ）若M 是PC 的中点，求棱锥P DMB -的体积.（20）（本小题满分12分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>上顶点为A ，右顶点为B ，离心率22e =，O 为坐标原点，圆O ：2223x y +=与直线AB 相切．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）直线()():2,0l y k x k =-≠与椭圆C 相交于E 、F 两不同点，若椭圆C 上一点P 满足OPl ．求EPF 面积的最大值及此时的2k ．（21）（本小题满分12分）设函数()1ln f x x a x x=--. （Ⅰ）若函数()f x 在其定义域上为增函数，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）当2a ≤时，设函数()1ln g x x x e=--，若在[]1,e 上存在12,x x 使()()12f x g x ≥成立，求实数a 的取值范围．请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号. （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲AB 是O 的一条切线，切点为B ，过O 外一点C 作直线CE 交O 于G ，连接AE 交O 于D ，连接CD 交O 于F ，连接,AC FG ，已知AC AB =（Ⅰ）证明：2AD AE AC ⋅=； （Ⅱ）证明：FGAC ．（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，直线l的参数方程是222x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，以轴正半轴x 为极轴，圆C的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（Ⅰ）将圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与圆C 交于,A B 两点，点P 的坐标为()2,0，试求11PA PB+的值． （24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知0,0a b >>，且2292a b +=，若a b m +≤恒成立， （Ⅰ）求m 的最小值；（Ⅱ）若21x x a b -+≥+对任意的,a b 恒成立，求实数x 的取值范围.宝安中学 届高三10月月考数学（文科）参考答案一、 选择题：1-5：CBDBB 6-10:CCCDA 11-12:AD 二、 填空题：13、35y x =-+14、1 15、72 16、4 三、解答题：17、解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知：50～60（分）的频率为0.1，60～70（分）的频率为0.25，80～90（分）的频率为0.15，90～100分的频率为0.05；……………（1分）∴70～80（分）的频率为1﹣0.1﹣0.25﹣0.15﹣0.05=0.45，…………………………（2分） ∵90～100分数段的人数为2人，频率为0.05∴参加测试的总人数为人．（4分）∴70～80（分）数段的人数为40×0.45=18．……………………………………………（5分） （Ⅱ）∵参加测试的总人数为人，∴50～60（分）数段的人数为40×0.1=4人．…………………………………………（6分） 设第一组50～60（分）数段的同学为A 1，A 2，A 3，A 4；第五组90～100分数段的同学为B 1，B 2，……………………………………………………………………………………………（7分） 则从中选出两人的选法有：（A 1，A 2），（A 1，A 3），（A 1，A 4），（A 1，B 1），（A 1，B 2），（A 2，A 3），（A 2，A 4），（A 2，B 1），（A 2，B 2），（A 3，A 4），（A 3，B 1），（A 3，B 2），（A 4，B 1），（A 4，B 2），（B 1，B 2）共15种；………………………………………………………………………………（9分）其中两人成绩差大于20的选法有：（A 1，B 1），（A 1，B 2），（A 2，B 1），（A 2，B 2），（A 3，B 1），（A 3，B 2），（A 4，B 1），（A 4，B 2）共8种；………………………………………………………（11分） 则选出的两人为“搭档组”的概率为P=．…………………………………………（12分）18、解：（Ⅰ）()3sin 3sin 2AA A +=233cos sin 2A A A += 31cos 23312,2cos 2122222A A A A -+=-= 即sin 216A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭………………………………………………………………（4分） 110,2666A A ππππ<<∴-<-<……………………………………………（5分） 2,623A A πππ∴-=∴=…………………………………………………………（6分）（Ⅱ）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得228b c bc =+-①……………（8分）又23ABCS=，即1sin 23,82bc A bc =∴=②…………………………（10分）由①②解得22b c ==…………………………………………………………（12分）19、解：（Ⅰ）在ABD中，4,8,45AD BD AB ===222,AB BD AB AD BD +=∴⊥…………………………（2分）又PD ⊥平面ABCD ，BD ⊆平面,ABCD PD BD ∴⊥………………………………（4分） 又,PDAD D BD =∴⊥平面PAD ……………………………………………………（5分）又BD ⊆平面,MBD ∴平面MBD ⊥平面PAD .………………………………………（6分）（Ⅱ）163…………………………………………………………………………………（12分） 20、解：（Ⅰ）由题意，直线AB 的方程为：，即为bx+ay ﹣ab=0因为圆O 与直线AB 相切，所以，①………………………（2分）设椭圆的半焦距为c ，因为b 2+c 2=a 2，，所以②…………………………………………………………………………（3分）由①②得：a 2=2，b 2=1 所以椭圆C 的标准方程为：…………………………………………………（5分）（Ⅱ）由可得：（1+2k 2）x 2﹣8k 2x+8k 2﹣2=0设E （x 1，y 1），F （x 2，y 2） 则，…………………………………………………（7分）所以又点O 到直线EF 的距离，∵OP ∥l ，∴=……………………（9分）又因为，又k ≠0，∴令t=1+2k 2∈（1，2），则，所以当时，最大值为所以当时，△EPF 的面积的最大值为…………………………………………（12分）21、解：（Ⅰ）因为函数f (x )在其定义域上为增函数，即f ′(x )≥0在(0，＋∞)上恒成立，所以1＋1x 2－a x ≥0恒成立，即a ≤x ＋1x.……………………………………………（2分）又x ＋1x≥2x ×1x＝2(当且仅当x ＝1时取等号)…………………………………（4分）故a 的取值范围为(－∞，2]．………………………………………………………（5分） （Ⅱ）由在[1，e]上存在x 1，x 2使f (x 1)≥g (x 2)成立，可知当x ∈[1，e]时，f (x )max ≥g (x )min .……………………………………………………………………………（6分）又因g ′(x )＝1－1x，所以当x ∈[1，e]时，g ′(x )≥0，即函数g (x )在区间[1，e]上是单调递增的函数，最小值为g (1)＝1－ln 1－1e ＝1－1e.………………………………（8分）由(1)知f ′(x )＝x 2－ax ＋1x 2，因为x 2>0，又函数 y ＝x 2－ax ＋1的判别式Δ＝(－a )2－4×1×1＝a 2－4，(ⅰ)当a ∈[－2,2]时，Δ≤0，则f ′(x )≥0恒成立，即函数f (x )在区间[1，e]上是单调递增的函数，故函数f (x )在区间[1，e]上的最大值为f (e)＝e －1e －a ，故有f (e)≥g (1)，即e －1e －a ≥1－1e，解得a ≤e －1.又a ∈[－2,2]，所以a ∈[－2，e －1]；…………………………………………（10分） (ⅱ)当a <－2时，Δ>0，f ′(x )＝0的两根为x 1＝a －a 2－42，x 2＝a ＋a 2－42，此时x 1<0，x 2<0.故函数f (x )在区间[1，e]上是单调递增的函数．由(ⅰ)知，a ≤e －1，又a <－2，故a <－2.综上所述，a 的取值范围为(－∞，e －1]．………………………………………（12分）22、解答： 证明：（Ⅰ）∵AB 是⊙O 的一条切线，AE 为割线， ∴AB 2=AD •AE ， 又∵AB=AC ，∴AC 2=AD •AE ．……………………………………………………………………………（5分） （Ⅱ）由（Ⅰ）得，∵∠EAC=∠DAC ，∴△ADC ∽△ACE ， ∴∠ADC=∠ACE ， ∵∠ADC=∠EGF ， ∴∠EGF=∠ACE ，∴GF ∥AC ．…………………………………………………（10分）23、解答： 解：（Ⅰ）由，展开化为ρ2=（ρcos θ﹣ρsin θ），化为x 2+y 2=4x ﹣4y ，即（x ﹣2）2+（y+2）2=8．………………………………………（4分）（Ⅱ）把直线l 的参数方程是（t 为参数）代入圆的方程可得：，…………………………………………………………………………（6分）∴t 1+t 2=﹣2，t 1t 2=﹣4＜0．|t 1﹣t 2|===2．………（8分）∴====．…………………………（10分）24、解：（Ⅰ）()()()22222113ab a b a b ++≥+∴+≤………………………………（2分）当且仅当11a b =，即32a b ==时等号成立，…………………………………………（4分） 又a b m +≤恒成立，3m ∴≥，m 的最小值为3……………………………………（5分）（Ⅱ）由上知213x x -+≥即可………………………………………………………（6分）即0223x x x ≤⎧⎨-+-≥⎩或01223x x x <≤⎧⎨-++≥⎩或1223x x x >⎧⎨-+≥⎩……………………………（8分）解得13x ≤-或53x ≥，故x 的取值范围为15,,33⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭…………………（10分）。

广东省深圳市高级中学2020届高三数学上学期10月月考试题 文（含解析）一：选择题。

1.集合{|6}A x N x =∈≤，{}22B x R x =∈-，则A B ⋂=（ ） A. {}0,5,6B. {}5,6C. {}4,6D.{|46}x x <≤【答案】B 【解析】 试题分析：由及，则，故选项为B.考点：（1）绝对值不等式的解法；（2）集合的运算.2.若复数12iz i=-+，则z 的虚部为（ ）A. 15i - B. 15-C. 15iD.15【答案】D 【解析】试题分析：()()()()()22122211212125512i i i i z i i i i i ---====--+-+----，2155z i ∴=+． 所以z 的虚部为15．故D 正确． 考点：复数的运算．3.已知向量()()4,,4,4a x b ==-r r ，若//a b r r，则x 的值为( )．A. 0B. 4C. 4-D. 4±【答案】C 【解析】 【分析】根据两个向量平行的坐标表示列方程，解方程求得x 的值.【详解】由于//a b r r，故()4440x ⨯--=，解得4x =-.故选:C.【点睛】本小题主要考查平面向量平行的坐标表示，考查方程的思想，属于基础题.4.已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点(2)，则tan 6πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（ ）A. -B. 5-C.D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用任意角的三角函数的定义求得tanα的值，再利用两角差的正切公式求得tan （απ6-）的值．【详解】∵角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点（，2），∴tanα==则tan （απ6-）πtan αtan6π1tan αtan6-===-+⋅⎝⎭故选：A ．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角差的正切公式，熟记定义与公式，准确计算是关键，属于基础题．5.下列函数中，在其定义域上为增函数的是（ ） A. 2y x =B. xy e -=C. sin y x x =-D.y =【答案】C【解析】 【分析】对四个选项逐一分析函数的定义域和单调性，由此得出正确结论.【详解】对于A 选项，函数的定义域为R ，在(),0-∞上递减，在()0,∞+上递增，不符合题意.对于B 选项，函数的定义域为R ，在R 上递减，不符合题意.对于C 选项，函数的定义域为R ，由于'1cos 0y x =-≥，故函数在R 上递增，符合题意. 对于D 选项，函数的定义域为[)0,+∞，且在定义域上递减. 综上所述，本小题选C.【点睛】本小题主要考查函数的单调性的判断，考查利用导数判断函数的单调性，属于基础题.6.各项均为正数的等比数列{}n a 的前项和为n S ，若32,14n n S S ==，则4n S =（ ） A. 80 B. 16C. 26D. 30【答案】D 【解析】 由等比数列的性质可得23243,,,n n n n n n nS S S S S S S ---成等比()223•n n n n S S S S ⇒-=⇒32243464221630n n n n n n S S S S S S =⇒-=⇒-=⨯=⇒=，故选D.7.设函数()y f x =，x ∈R ，“()y f x =是偶函数”是“()y f x =图象关于原点对称”（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】“y ＝f （x ）的图象关于原点对称”，x ∈R ，可得y ＝|f （x ）|是偶函数．反之不成立，例如f （x ）＝x 2．【详解】“y ＝f （x ）的图象关于原点对称”，x ∈R ，可得y ＝|f （x ）|是偶函数． 反之不成立，例如f （x ）＝x 2，满足y ＝|f （x ）|是偶函数，x ∈R ．因此，“y ＝|f （x ）|是偶函数”是“y ＝f （x ）的图象关于原点对称”的必要不充分条件． 故选：B ．【点睛】本题考查了函数的奇偶性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入，若该公司2015年全年投入研发奖金130万元，在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是（ ）（参考数据：lg1.120.05=，lg1.30.11=，lg 20.30=） A. 2018年 B. 2019年C. 2020年D. 2021年【答案】B 【解析】试题分析：设从2015年开始第n 年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由已知得()11200130112%200, 1.12130n n --⨯+≥∴≥， 两边取常用对数得200(1)lg1.12lg,130n -≥lg 2lg1.30.30.111 3.8,5lg1.120.05n n --∴-≥==∴≥，故从2019年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，故选B. 【考点】增长率问题，常用对数的应用【名师点睛】本题考查等比数列实际应用．在实际问题中平均增长率问题可以看作等比数列的应用，解题时要注意把哪个数作为数列的首项，然后根据等比数列的通项公式写出通项，列出不等式或方程就可求解．9.将函数()2cos2f x x x =+的图象向右平移6π，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ）A. 函数()g x 1B. 函数()g x 的最小正周期为πC. 函数()g x 在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 D. 函数()g x 的图像关于直线3x π=对称 【答案】C 【解析】 【分析】利用两角和与差的三角函数化简函数的表达式，然后利用三角函数的变换求解()g x ，再根据正弦函数的性质进行判断即可．【详解】化简得()cos22sin 26f x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，向右平移6π后可得2sin 22sin 2666x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标长度不变）得到函数()g x ， 所以()2sin 6g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 由三角函数性质知：()g x 的最大值为2，故A 错； 最小正周期为2π，故B 错；对称轴为2623x k x k πππππ-=+∴=+，，k Z ∈，给k 赋值，x 取不到3π，故D 错；又-2π262k x πππ+≤-≤2k π+，则-3π223k x ππ+≤≤2k π+，k Z ∈，∴单调增区间为22,233k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，当k=0时，单调增区间为222,,,336333ππππππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，，故C 正确， 故选C.【点睛】本题考查三角函数的图象变换，两角和与差的三角函数，三角函数的性质的应用，属于基础题．10.如图，平面四边形ABCD 中，E 、F 是AD 、BD 中点，AB ＝AD ＝CD ＝2， BD ＝22 ，∠BDC ＝90°，将△ABD 沿对角线BD 折起至△A BD '，使平面A BD '⊥平面BCD ，则四面体A BCD '中，下列结论不正确．．．是 ( )A. EF ∥平面A BC 'B. 异面直线CD 与A B '所成的角为90°C. 异面直线EF 与A C '所成的角为60°D. 直线A C '与平面BCD 所成的角为30° 【答案】C 【解析】 【分析】根据线线平行判定定理、异面直线所成角、直线与平面所成角等知识对选项A 、B 、C 、D 进行逐一判断其正确与否.【详解】解：选项A ：因为E 、F 是AD 、BD 中点， 所以//EF A B '， 因为EF ⊄平面A BC '，A B '⊂平面A BC '，所以EF ∥平面A BC '， 所以选项A 正确；选项B ：因为平面A BD '⊥平面BCD ， 平面A BD 'I 平面BCD BD =， 且∠BDC ＝90°，即CD BD ⊥， 又因为CD ⊂平面BCD ， 故CD ⊥平面A BD '， 故CD ⊥A B '，所以异面直线CD 与A B '所成的角为90°， 选项B 正确；选项C ：由选项B 可知CD ⊥平面A BD '， 所以CD ⊥A D '， 因为AD ＝CD ＝2， 即A D '＝CD ＝2，所以由勾股定理得，A C '=，Rt BDC ∆中，BC =，在BA C '∆中，cos BA C 0'∠==，故BA C 90︒'∠=，即A B A C ''⊥， 因为//EF A B '， 所以EF A C '⊥， 故选项C 错误； 选项D ：连接,A F FC ' 因为AD AB = 所以A D A B ''= 因为F 是中点， 所以A F BD '⊥， 因为平面A BD '⊥平面BCD ， 平面A BD 'I 平面BCD BD =， 又因为A F '⊂平面A BD '， 故A F '⊥平面CBD ，所以A CF '∠即为直线A C '与平面BCD 所成的角，在Rt A CF '∆中，A F '=A C '=所以sin A F 1A CF A C 2''∠==='， 所以A CF 30︒'∠=，故直线A C '与平面BCD 所成的角为30°， 故选项D 正确，本题不正确的选项为C ，故选C.【点睛】本题考查了直线与平面的位置关系，解题的关键是要能准确运用线面平行的判定定理给与证明，能准确分析出线线、线面所成角等.11.已知,(0,)2παβ∈，sin sin 0βααβ->，则下列不等式一定成立的是（ ）A. 2παβ+<B. 2παβ+=C. αβ<D. αβ>【答案】C 【解析】 【分析】 构造函数()sin ,0,2x f x x x π⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，原不等式等价于()(),f f αβ>两次求导可证明()sin x f x x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上递减，从而可得结论. 【详解】由题意，sin sin βααβ>，sin sin αβαβ∴>，设()sin ,0,2x f x x x π⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭， ()2cos sin ',0,2x x x f x x x π-⎛⎫∴=∈ ⎪⎝⎭， 设()cos sin ,0,2g x x x x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭， ()'cos sin cos sin 0g x x x x x x x ∴=--=-<，()g x ∴在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，且()()00g x g <=，()'0f x ∴<,所以()sin x f x x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭递减， ()()sin sin ,f f αβαβαβ>⇔>Qαβ∴<，故选C.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于难题.利用导数判断函数单调性的步骤：（1）求出()'f x ；（2）令 ()'0f x >求出x 的范围，可得增区间；（3）令()'0f x <求出x 的范围， 可得减区间.12.已知函数()(),12,1xe xf x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，若方程()10f x mx --=恰有两个不同实根，则正实数m 的取值范围为（ ） A. 1(,1)(1,1)2e e --U B. (1,1)- C. 1(,1)(1,1)3e e --U D. 1(,1)(1,1]3e e -⋃- 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数()f x 解析式，画出函数()f x 的图像，根据()1f x mx =+，可知()f x 与1y mx =+图像有两个不同的交点，结合图像求得正确选项..【详解】由于m 为正实数，故排除B 选项.当13x <≤时，21x -≤，所以()()22x f x f x e -=-=，由此画出函数图像如下图所示,(1,),(3,)A e B e . 由于x y e =与1y mx =+相切时1m =，不满足题意；所以111(,1)(1,](,1)(1,](,1)(1,1]30103BC AC e e e m k k e ---∈==---U U U . 故选：D.【点睛】本小题主要考查分段函数解析式的求法，考查函数零点问题的求解策略，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.二、填空题． 13.函数()1ln1x f x x +=-的值域为________. 【答案】()()0-∞+∞U ，0， 【解析】 【分析】本题考查对数型的复合函数值域问题，关键是能够求解出真数所处的范围，再结合对数函数求得值域. 【详解】1122lnln ln 1111x x x x x +-+⎛⎫==+ ⎪---⎝⎭2101x +>-Q 且2111x +≠- 2ln 101x ⎛⎫∴+≠ ⎪-⎝⎭()f x ∴值域为：()(),00,-∞⋃+∞本题正确结果：()(),00,-∞⋃+∞【点睛】本题考查对数型的复合函数的值域问题，属于基础题.14.若()()1sin sin 3a βαβ+-=-，则22cos cos a β-=_____ 【答案】13【解析】 【分析】用两角和与差的正弦公式、同角三角函数的基本关系式将已知条件左边展开，化简后求得22cos cos a β-的值.【详解】由()()1sin sin 3αβαβ+-=-得()()sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβ+-13=-，22221sin cos cos sin 3αβαβ-=-，()()222211cos cos cos 1cos 3αβαβ---=-，221cos cos 3a β-=-.所以221cos cos 3αβ-=.故填：13.【点睛】本小题主要考查两角和与差的正弦公式，考查同角三角函数的基本关系式，考查运算求解能力，属于基础题.15.定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列{}n a 是等和数列，且12a =，公和为5，这个数列的前21n -项和21n S -=_______. 【答案】2153n S n -=- 【解析】 【分析】首先根据“等和数列”的定义找到数列{}n a 的规律，找到21n S -的规律，由此求得21n S -的表达式.【详解】根据“等和数列”的定义可知，数列{}n a 的规律为12342,3,2,3,a a a a ====L 即奇数项为2，偶数项为3.()211232221()()25153n n n S a a a a a n n ---=+++++=+⨯-=-L .故填：2153n S n -=-.【点睛】本小题主要考查新定义数列，考查数列求和的方法，考查分析与求解问题的能力，属于基础题.16.已知三棱锥P ABC -的所有棱长都相等，现沿PA PB PC ，，三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为26，则三棱锥P ABC -的内切球的体积为 . 【答案】3π 【解析】试题分析： 三棱锥P ABC -展开后为一等边三角形，设此此三角形的边长为a ．则46sin aA=，得62a =．所以三棱锥的棱长为32，可得棱长的高23h =设内切球的半径为r ，11433ABC ABC r S h S ∆∆⨯⋅=⋅⋅，得32r =，所以343=32V r ππ=内切球. 考点：1.空间几何的性质；2.球的体积公式.三、解答题（解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.等差数列{}n a 中，410a =且3610a a a ，，成等比数列，求数列{}n a 前20项的和．【答案】330 【解析】试题分析：先设数列{}n a 的公差为d ，首项为1a ，根据3610,,a a a 成等比数列可知()()()22310644442a a a a d a d a d =⇒-+=+，可求得4a 与d 的值，进而求得1a ，利用等差数列求和公式可得结果.试题解析：设数列{}n a 的公差为d ，则3410a a d d =-=-，642102a a d d =+=+，1046106a a d d =+=+．由3610a a a ，，成等比数列得23106a a a =，即()()()210106102d d d -+=+，整理得210100d d -=， 解得0d =或1d =．当0d =时，20420200S a ==．当1d =时，14310317a a d =-=-⨯=，于是2012019202S a d ⨯=+207190330=⨯+=．18.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足sin cos a B A =. （1）求角A 的大小；（2）若4a =，求ABC ∆周长的最大值。

2021届高三月考试卷（二）数学第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2{2,},60A x x x Z B x x x =∈=--<，则A B ⋂=（ ）A ．{2,1,0,1,2,3}--B ．{2,1,0,1,2}--C ．{1,0,1,2}-D ．{2,1,0,1}--2．若(1)1z i i +=-，则z =（ ）A ．1i -B ．1i +C ．i -D ．i3．已知2sin 23α=，则2cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．16 B ．13 C ．12 D ．234．刘徽（约公元225—295年），魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一．他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作，割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n 边形等分成n 个等腰三角形（如图所示），当n 变得很大时，这n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，得到sin 2︒的近似值为（ ）A ．90π B ．180π C ．270π D ．360π 5．()522121x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是（ ） A ．3- B ．2- C ．2 D ．36．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹．古代用算筹（一根根同样长短和粗细的小棍子）来进行运算．算筹的摆放有纵式、横式两种（如图所示）．当表示一个多位数时，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位数用横式表示，以此类推，遇零则置空．例如3266用算筹表示就是，则8771用算筹应表示为（ ）A ．B ．C ．D ．7．对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题：①“a b =”是“ac bc =”充要条件；②“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条件；③“a b >”是“22a b >”的充分条件；④“5a <”是“3a <”的必要条件其中真命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，侧面PAD ⊥平面ABCD ，120APD ︒∠=，AB PA ==2PD =，则该四棱锥P ABCD -外接球的体积为（ ）A ．323πB ．3C ．D ．36π二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．甲、乙两所学校高三年级分别有1200人，1000人，为了了解两所学校全体高三年级学生在该地区六校联考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了110名学生的数学成绩，考生成绩都分布在[70,150]内，并作出了如下频数分布统计表，规定考试成绩在[120,150]内为优秀，则下列说法正确的有（ ）A ．计算得10,7x y ==B ．估计甲校优秀率为25%，乙校优秀率为40%C ．估计甲校和乙校众数均为120D ．估计乙校的数学平均成绩比甲校高10．函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕϕπ=+><<的部分图象如图中实线所示，图中圆C 与()f x 的图象交于M ，N 两点，且M 在y 轴上，则下列说法中正确的是（ ）A ．函数()f x 在3,2ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增B ．函数()f x 的图象关于点2,03π⎛⎫-⎪⎝⎭成中心对称 C ．函数()f x 的图象向右平移512π个单位后关于直线56x π=成轴对称 D ．若圆半径为512π，则函数()f x 的解析式为()sin 263f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 11．正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 在侧面11CDD C 上运动，且满足1//B F 平面1A BE ．以下命题正确的有（ ）A ．侧面11CDD C 上存在点F ，使得11B F CD ⊥B ．直线1B F 与直线BC 所成角可能为30︒C ．平面1A BE 与平面11CDD C 所成锐二面角的正切值为D ．设正方体棱长为1，则过点E ，F ，A 的平面截正方体所得的截面面积最大为212．如图，过点(2,0)P 作两条直线2x =和:2(0)l x my m =+>分别交抛物线22y x =于,A B 和,C D（其中,A C 位于x 轴上方），直线,AC BD 交于点Q ．则下列说法正确的是（ ）A ．,C D 两点的纵坐标之积为4-B ．点Q 在定直线2x =-上C ．点P 与抛物线上各点的连线中，PA 最短D ．无论CD 旋转到什么位置，始终有CQP BQP ∠=∠第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．如图所示，在平面直角坐标系中，(2,3)CD =-，则点D 的坐标为_________．14．已知函数2ln ()x f x ax x=-，若曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与直线210x y -+=平行，则a =_____．15．过双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的下焦点1F 作y 轴的垂线，交双曲线于,A B 两点，若以AB 为直径的圆恰好过其上焦点2F ，则双曲线的离心率为__________．16．已知函数(1),1,()ln , 1.x x e x f x x x x⎧-⎪=⎨>⎪⎩其中e 为自然对数的底数．若函数()()g x f x kx =-有3个不同的零点，则实数k 的取值范围是_________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证眀过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）在①22()3a b c ab +=+，②sin cos a A a C =-，③(2)sin (2)sin 2sin a b A b a B c C -+-⋅=，这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，c =_____．（1）求C ∠；（2）求ABC 周长的最大值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（本小题满分12分）如图1，在ABC中，34AB ABC π==∠=，D 为AC 的中点，将ABD 沿BD 折起，得到如图2所示的三棱锥P BCD -，二面角P BD C --为直二面角．（1）求证：平面PBC ⊥平面PBD ；（2）设E 为PC 的中点，3CF FB =，求二面角C DE F --的余弦值．19．（本小题满分12分）已知各项均为整数的数列{}n a 满足371,4a a =-=，前6项依次成等差数列，从第五项起依次成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求出所有的正整数m ，使得1212m m m m m m a a a a a a ++++++=．20．（本小题满分12分）设函数()cos xf x ae x =+，其中a R ∈．（1）若1a =，证明：当0x >时，()2f x >；（2）若()f x 在区间[0,]π内有两个不同的零点，求a 的取值范围．21．（本小题满分12分）现有4个人去参加某项娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；（3）用,X Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记||X Y ξ=-，求随机变量ξ的分布列与数学期望E ξ．22．（本小题满分12分）已知点P 是圆22:(2)32Q x y ++=上任意一点，定点(2,0)R ，线段PR 的垂直平分线l 与半径PQ 相交于M点，P在圆周上运动时，设点M的运动轨迹为Γ．（1）求点M的轨迹Γ的方程；（2）若点N在双曲线22142x y-=（顶点除外）上运动，过点N，R的直线与曲线Γ相交于,A B，过点,N Q的直线与曲线相Γ交于,C D，试探究||||AB CD+是否为定值，若为定值请求出这个定值，若不为定值，请说明理由．2021届高三月考试卷（二）数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．C2．C 【解析】因为21(1)21(1)(1)2i i i z i i i i ---====-++-，所以选C ． 4．A 【解析】将一个单位圆等分成180个扇形，则每个扇形的圆心角度数均为2︒，因为这180个扇形对应的等腰三角形的面积之和近似等于单位圆的面积，所以118011sin 290sin 22π︒︒⨯⨯⨯⨯=≈，所以sin 290π︒≈，所以选A ．5．D 【解析】第一个因式取2x ，第二个因式取21x 得：1451(1)5C ⨯-=，第一个因式取2，第二个因式取5(1)-得：52(1)2⨯-=-，展开式的常数项是5(2)3+-=．6．C 【解析】由算筹的定义，得，所以8771用算筹应表示，故选C ． 7．B 【解析】①“a b =”是“ac bc =”的充要条件；错误，当0c =时不成立；②“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条件；成立；③“a b >”是“22a b >”的充分条件，错误，当2,3a b =-=-时，不成立；④“5a <”是“3a <”的必要条件，成立，选B ．8．B 【解析】取AD 的中点E ，连接,PE PAD 中，120,2APD PA PD ︒∠===∴1PE =，AD =，设ABCD 的中心为O '，球心为O ，则122O B BD '==，设O 到平面ABCD 的距离为d ，则2222222(2)R d d =+=+-，∴1,d R ==P ABCD -的外接球的体积为343R π=．故选：B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．ABD 【解析】对于A ，甲校抽取1200110602200⨯=人，乙校抽取1000110502200⨯=人，故10x =，7y =；故A 正确；对于B ，估计甲校优秀率为1525%60=，乙校优秀率为2040%50=．故B 正确；对于D ，甲校平均成绩109.5，乙校平均成绩114.6，故D 正确． 10．BD 【解析】由图易得点C 的横坐标为3π，所以()f x 的周期T π=，所以2ω=，又06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以3πϕ=，因此()sin 23f x A x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．函数()f x 的图象关于点2,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭成中心对称，若圆半径为512π，则2A =，∴6A =，函数()f x 的解折式为()sin 263f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故选BD ． 11．AC 【解析】取11C D 中点M ，1CC 中点N ，连接11,,B M B N MN ，则易证得11//B N A E ，1//MN A B ，从而平面1//B MN 面1A BE ，所以点F 的运动轨迹为线段MN ．取F 为MN 的中点，因为1B MN 是等腰三角形，所以1B F MN ⊥，又因为1//MN CD ，所以11B F CD ⊥，故A 正确；设正方体的棱长为a ，当点F 与点M 或点N 重合时，直线1B F 与直线BC 所成角最大，此时11tan C B F ∠=1tan 302︒<=，所以B 错误；平面1//B MN 平面1A BE ，取F 为MN 的中点，则1MN C F ⊥，1MN B F ⊥，∴11B FC ∠即为平面1B MN 与平面11CDD C 所成的锐二面角，11111tan B C B FC C F ∠==C正确；截面面积可以为2D 错误．故选AC ．12．AB 【解析】设点()()1122,,,C x y D x y ，将直线l 的方程2x my =+代入抛物线方程22y x =得：2240y my --=．则124y y =-．故A 正确；由题得(2,2),(2,2)A B -，直线AC 的方程为122(2)2y x y -=-+，直线BD 的方程为222(2)2y x y +=--，消去y 得()12121224y y y y x y y -+=-+，将124y y =-代入上式得2x =-，故点Q 在直线2x =-上，故B 正确；计算可得C 错误；因为PA PB =，但QA QB ≠，所以D 错误．故选AB ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．(4,1) 【解析】设点D 的坐标为(,)x y ，则(2,4)(2,3)CD OD OC x y =-=--=-，即22,43,x y -=⎧⎨-=-⎩解得4,1x y ==． 14．12- 【解析】函数2ln ()x f x ax x =-的导数为21ln ()2x f x ax x '-=-，可得曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线的斜率为12k a =-，由切线与直线210x y -+=平行，可得122a -=，解得12a =-． 15．1+ 【解析】过双出线22221(0,0)y x a b a b -=>>的下焦点1F 作y 轴的垂线，交双曲线于,A B两点，则22||b AB a=，以AB 为直径的圆恰好过其上焦点2F ，可得：22b c a =，∴2220c a ac --=，可得2210e e --=，解得11e e =+=-（舍去）．故答案为：1+．16．10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】令()(1)(1)x g x x e x =-，则()xg x xe '=，所以当(,0)x ∈-∞时，()0g x '<；当(0,1)x ∈时，()0g x '>，于是函数()g x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,1)上单调递增，当x →-∞时，()0,(0)1,(1)0g x g g →=-=．令ln ()(1)x h x x x =>，则21ln ()xh x x'-=，所以当(1,)x e ∈时，()0h x '>；当(,)x e ∈+∞时，()0h x '<，于是函数()h x 在区间(1,)e 上单调递增，在区间(,)e +∞上单调递减，(1)0h =，1()h e e=，当x →+∞时，()0h x →．函数()()g x f x kx =-有3个不同的零点，等价于方程()f x kx =有3个解，即函数()f x 的图象与直线y kx =有3个交点，作出函数()f x 与直线y kx =的大致图象，如下图所示．当直线y kx =与函数()h x 相切时，设切点坐标为000ln ,x x x ⎛⎫⎪⎝⎭，根据导数的几何意义可得：00200ln 01ln 0x x k x x --==-，解得：01,2k x e==()f x 的图象与直线y kx =有3个交点，数形结合可知k 的取值范国为10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故答案为10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【解析】（1）选①，把22()3a b c ab +=+整理得，222a b c ab +-=，由余弦定理有2221cos 222a b c ab C ab ab +-===，∴3C π= 5分选②,∵sin cos a A a C =-,由正弦定理得：sin sin sin cos A C A A C =-,∵sin 0A ≠cos 1C C -=， 即1sin 62C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 又0C π<<， ∴5666C πππ-<-<，故66C ππ-=，即3C π=； 5分 选③，∵(2)sin (2)sin 2sin a b A b a B c C -+-=， 由正弦定理得：2(2)(2)2a b a b a b c -+-=， 即222a b c ab +-=，∴2221cos 22a b c C ab +-==， ∵0C π<<，∴3C π=； 5分（2）由（1）可知，3C π=，在ABC 中，由余弦定理得222cos 3a b ab C +-=， 即223a b ab +-=，∴223()()334a b a b ab ++-=，∴23a b +，当且仅当a b =时取等号，∴33a b c ++，即ABC 周长的最大值为 10分18．【解析】（1）证明：在ABC 中，2222cos 20AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠=，∴AC =，∵D 为AC中点，∴CD =又∵1()2BD BA BC =+，∴()2221214BD BA BA BC BC =+⋅+=，∴1BD =， ∴222,BD BC CD BC BD +=⊥． ∵二面角P BD C --为直二面角，∴平面BCD ⊥平面PBD ，∴BC ⊥平面PBD ．又∵BC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PBD ． 5分（2）以B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，BD 所在直线为y 轴，过点B 且垂直于平面BCD 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．可求得(0,0,0),(2,0,0)B C ，(0,1,0),(0,2,2)D P ，因为E 为PC 的中点，3CF FB =，所以(1,1,1)E ，1,0,02F ⎛⎫⎪⎝⎭， ∴1(2,1,0),(1,0,1),,1,02CD DE DF ⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭，设平面CDE 的法向量为()111,,m x y z =，平面FDE 的法向量为()222,,n x y z =，则0,0,CD m DE m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得(1,2,1)m =-， 0,0,DF n DE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得11,,12n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴cos ,3m n 〈〉==，所以二面角C DE F --12分19．【解析】（1）设前6项的公差为d ，则5363212,313a a d d a a d d =+=-+=+=-+，∵567,,a a a 成等比数列，∴22657(31)4(21)a a a d d =⋅⇒-=-， 解得：51,9d d ==（舍）， ∴6n 时，3(3)4n a a n d n =+-=-， ∴561,2a a ==，则2q =， ∴6n >时，6562n n n a a q--=⋅=，∴54,6,2, 6.n n n n a n --⎧=⎨>⎩（或54,5,2, 5.n n n n a n --⎧=⎨>⎩或54, 5.2, 5.n n n n a n --<⎧=⎨⎩） 6分（2）由（1）可得：{}:3,2,1,0,1,2,4,8,n a ---则当1m =时，1231236a a a a a a ++=-=，当2m =时，2342342342343,0,a a a a a a a a a a a a ++=-=++≠， 当3m =时，3453450a a a a a a ++==，当4m =时，4564564564563,0,a a a a a a a a a a a a ++==++≠， 当5m 时，假设存在m ，使得1212m m m m m m a a a a a a ++++++=， 则有53122(124)2m m --++=即：53122772272m m m ---⋅=⇒=，∵5m ，∴273m -，∴2732287m -=>，从而2772m -=无解，∴5m 时，不存在这样的m ，使得1212m m m m m m a a a a a a ++++++=， 综上所述：1m =或3m =． 12分 20．【解析】（1）()sin xf x e x '=-， 由0x >，得1,sin [1,1]xe x >∈-，则()sin 0xf x e x '=->，即()f x 在(0,)+∞上为增函数． 故()(0)2f x f >=，即()2f x >． 4分（2）由()cos 0xf x ae x =+=，得cos xxa e =-．设函数cos (),[0,]xxh x x e π=-∈， 则sin cos ()xx xh x e'+=． 令()0h x '=，得34x π=． 则30,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，3()0,,4h x x ππ'⎛⎤>∈ ⎥⎝⎦时，()0h x '<， 所以()h x 在30,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调逼增，在3,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调减．又因为343(0)1,(),4h h e h ππππ--⎛⎫=-==⎪⎝⎭，所以当34,2a e e ππ--⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，方程cos xx a e =-在区间[0,]π内有两个不同解，即所求实数a 的取值范围为34,2e e ππ--⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 12分 21．【解析】（1）依题意可得：参加甲游戏的概率为12163P ==， 参加乙游戏的概率为24263P ==， 设事件i A 为“有i 个人参加甲游戏”，∴()441233iii i P A C -⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ∴()222241283327P A C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 4分 （2）设事件B 为“甲游戏人数大于乙游戏人数”， ∴34B A A =⋃，∴()()()34343434441211()3339P B P A A P A P A C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋃=+=⋅+= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 8分（3）ξ可取的值为0，2，4，∴()22224128(0)3327P P A C ξ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()()33131344121240(2)333381P P A P A C C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+=+= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()()440404442117(4)3381P P A P A C C ξ⎛⎫⎛⎫==+=+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∴8401714802427818181E ξ=⨯+⨯+⨯=． 12分 22．【解析】（1）依题意：||||MP MR =，1分且||||||||||4||MR MQ MQ MP PQ RQ +=+==>=， 2分 由椭圆定义知点M 的轨迹为以R ，Q 为焦点，长轴长为，焦距为4的椭圆， 即：2,2a c b ===， 3分故22:184x y Γ+=． 4分 （2）设()00,N x y ，则220001,242x y x -=≠±， ∴直线,NR NQ 的斜率都存在，分别设为12,k k ，则220001222000021222442x y y y k k x x x x -=⋅===+---， 6分 将直线NR 的方程1(2)y k x =-代入22184x y +=得()2222111218880k x k x k +-+-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则221112122211888,2121k k x x x x k k -+==++， 8分∴21211||21k AB k +==+， 9分 同理可得22221||21k CD k +=+，10分()222221121122221211211312111142||||12121212112k k k k k AB CD k k k k k ⎛⎫++⎪⎫+++⎪∴+=+=+==⎪++++⎪⎭+ ⎪⎝⎭． 12分。