2018年甘肃省兰州市高考数学一诊试卷(理科)

2018年甘肃省第一次高考诊断考试理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集U R =，集合{}2A x x =≥，{}06B x x =≤<，则集合()U （ ） A ．{}02x x << B ．{}02x x <≤ C ．{}02x x ≤< D ．{}02x x ≤≤ 2. 在复平面内复数34iz i+=、 (i 是虚数单位)对应的点在（ ） A ． 第一象限 B ．第二象限 C ． 第三象限 D ．第四象限 3. 向量(,1)a m =，(1,)b m =，则“1m =”是“//a b ”的（ ）A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充要条件D ． 既不充分也不必要条件4. 若实数x ，y 满足10,10,0,x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则2z x y =+的最大值是（ ）A ．-1B ． 1 C. 2 D ．35. 某几何体挖去两个半球体后的三视图如图所示，若剩余几何体的体积为23π，则a 的值为（ ）A ．1B ．2 C.6. 已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，n S 为其前n 项和，若11a =，3564a a ⋅=，则6S =（ ）A ． 65B ．64 C. 63 D ．627. 中国古代三国时期的数学家赵爽,创作了一幅“勾股弦方图”，通过数形结合，给出了勾股定理的详细证明.如图所示,在“勾股弦方图”中，以弦为边长得到的正方形ABCD 是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成，这一图形被称作“赵爽弦图”.若7cos 225BAE ∠=，则在正方形ABCD 内随机取一点，该点恰好在正方形EFGH 内的概率为（ ）A ．2425 B ． 45 C. 35 D ．1258. 过直线23y x =+上的点作圆2246120x y x y +-++=的切线，则切线长的最小值为（ ）A ．．59. 如图所示，若程序框图输出的所有实数对(,)x y 所对应的点都在函数2()f x ax bx c =++的图象上，则1()0f x dx =⎰（ ）A ．1011 B ． 1112 C. 1312 D ．121110.过双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的右焦点F 作两条渐近线的垂线，垂足分别为,A B ，点O 为坐标原点，若四边形OAFB 的面积为4，则双曲线的离心率为（ ）A ．11. 如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的正方形，PA ⊥平面ABCD ，且4PA =，M 是PB 上的一个动点，过点M 作平面//α平面PAD ，截棱锥所得图形面积为y ，若平面α与平面PAD 之间的距离为x ，则函数()y f x =的图象是（ ）A ．B ． C.D ．12.对于任意0b >，a R ∈，不等式[][]222(2)ln (1)b a b a m m --+--≥-恒成立，则实数m的最大值为（ ）A ．．2 C. e D ．3第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本题共4小题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. 二项式62()x x-的展开式中的常数项是 ．(用数字作答) 14. 已知数列{}n a 满足115a =，12()n n a a n N n *+-=∈，则n an的最小值为 ． 15. 在某班举行的成人典礼上，甲、乙、丙三名同学中的一人获得了礼物. 甲说：“礼物不在我这”； 乙说：“礼物在我这”； 丙说：“礼物不在乙处”.如果三人中只有一人说的是真的，请问 (填“甲”、“乙”或“丙”)获得了礼物. 16.抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过准线上一点N 作NF 的垂线交y 轴于点M ，若抛物线C 上存在点E ，满足2NE NM NF =+，则MNF ∆的面积为 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.ABC ∆中，三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若(cos ,cos )m B C =，(2,)n a c b =+，且m n ⊥.（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若6b =，求ABC ∆周长的取值范围.18. 四棱台被过点11,,A C D 的平面截去一部分后得到如图所示的几何体，其下底面四边形ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，1BB ⊥平面ABCD ，12BB =.（Ⅰ）求证：平面1ABC ⊥平面1BB D ； （Ⅱ）若1AA 与底面ABCD 所成角的正切值为2，求二面角11A BD C --的余弦值.19.2017年12月，针对国内天然气供应紧张的问题，某市政府及时安排部署，加气站采取了紧急限气措施，全市居民打响了节约能源的攻坚战.某研究人员为了了解天然气的需求状况，对该地区某些年份天然气需求量进行了统计，并绘制了相应的折线图.（Ⅰ）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合年度天然气需示量y (单位：千万立方米)与年份x (单位：年)之间的关系.并且已知y 关于x 的线性回归方程是ˆˆ6.5y x a =+，试确定ˆa的值，并预测2018年该地区的天然气需求量；（Ⅱ）政府部门为节约能源出台了《购置新能源汽车补贴方案》，该方案对新能源汽车的续航里程做出了严格规定，根据续航里程的不同，将补贴金额划分为三类，A 类：每车补贴1万元，B 类：每车补贴2.5万元，C 类：每车补贴3.4万元.某出租车公司对该公司60辆新能源汽车的补贴情况进行了统计，结果如下表：为了制定更合理的补贴方案，政府部门决定利用分层抽样的方式了解出租车公司新能源汽车的补贴情况，在该出租车公司的60辆车中抽取6辆车作为样本，再从6辆车中抽取2辆车进一步跟踪调查.若抽取的2辆车享受的补贴金额之和记为“ξ”，求ξ的分布列及期望.20.椭圆2222:1x y E a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 作垂直于x 轴的直线l 与椭圆E 在第一象限交于点P ，若15PF =，且23a b =. （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）A ，B 是椭圆C 上位于直线l 两侧的两点.若直线AB 过点(1,1)-，且22APF BPF ∠=∠，求直线AB 的方程.21. 已知函数()ln f x a x =，a R ∈.（Ⅰ）若曲线()y f x =与曲线()g x =a 的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，试问函数1()()12xxe F x xf x -=-+是否有零点？如果有，求出该零点；若没有，请说明理由.(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑.按所涂题号进行评分不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线221:((1)4C x y +-=，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，将曲线1C 绕极点逆时针旋转6π后得到的曲线记为2C . （Ⅰ）求曲线1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）射线3πθ=（0p >）与曲线1C ，2C 分别交于异于极点O 的A ，B 两点，求AB .23.选修4-5：不等式选讲已知函数()2f x m x =--，m R ∈，且(1)0f x +≥的解集为[]0,2.（Ⅰ）求m 的值； （Ⅱ）若a ，b ，c R ∈，且11123m a b c++=，求证：239a b c ++≥.参考答案一、选择题1-5: CDACB 6-10: CDABD 11、12：DB 二、填空题13. -160 14. 274 15. 甲 16.2三、解答题17.解:（Ⅰ）∵m n ⊥，则有cos (2)cos 0B a c C b ⋅++⋅=， ∴cos (2sin sin )cos sin 0B A C C B ⋅++⋅=∴2cos sin (sin cos cos sin )sin()sin B A C B C B B C A =-⋅+⋅=-+=-， ∴1cos 2B =-，∴23B π=. （Ⅱ）根据余弦定理可知2222cos b a c ac B =+-，∴2236a c ac =++，又∵236()a c ac =+-，∴22()36()2a c a c ac ++-=≤，∴6a c <+≤则ABC ∆周长的取值范围是(12,6+.18.解：（Ⅰ）∵1BB ⊥平面ABCD ，∴1BB AC ⊥. 在菱形ABCD 中，BD AC ⊥，又1BD BB B ⋂=，∴AC ⊥平面1BB D ， ∵AC ⊂平面1ABC ，∴平面1AB C ⊥平面1BB D . （Ⅱ）∵1BB ⊥平面ABCD∴1AA 与底面ABCD 所成角为1A AB ∠，∴1tan 2A AB ∠=，∴111A B = 设BD ,AC 交于点O ，以O 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系.则(0,1,0)B -，(0,1,0)D ，1(0,1,2)B -,A .11111,2)22B A BA A =⇒-，同理11(,2)2C -， 131(,2)22BA =，(0,2,0)BD =，11(,2)22BC =-. 设平面1A BD 的法向量(,,)n x y z =，∴10,0,BA n BD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩则(n =-，设平面1C BD 的法向量(,,)m x y z '''=，10,0,BD m BC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩则m =， 设二面角11A BD C --为θ，13cos 19m n m nθ⋅==.19. 解：（Ⅰ）如折线图数据可知2008201020122014201620125x ++++==236246257276286260.25y ++++==代入线性回归方程ˆˆ6.5yx a =+可得ˆ12817.8a =-. 将2018x =代入方程可得ˆ299.2y=千万立方米. （Ⅱ）根据分层抽样可知A 类，B 类，C 类抽取人数分别为1辆， 2辆，3辆则当A 类抽1辆，B 类抽1辆时，=3.5ξ，此时1112262( 3.5)15C C P C ξ===； 当A 类抽1辆，C 类抽1辆时， 4.4ξ=，此时1113263( 4.4)15C C P C ξ===； 当B 类抽1辆，C 类抽1辆时， 5.9ξ=，此时11232662( 5.9)155C C P C ξ====； 当B 类抽2辆时，=5ξ，此时22261(5)15C P C ξ===；当C 类抽2辆时， 6.8ξ=，此时232631( 6.8)155C P C ξ====.所以ξ的分布列为：∴ 3.5 4.4 5.95 6.8151551555E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（万元） 20.解：（Ⅰ）由题可得223b PF a ==，因为15PF =，由椭圆的定义得4a =，所以212b =，所以椭圆E 方程为2211612x y +=. （Ⅱ）易知点P 的坐标为(2,3).因为22APF BPF ∠=∠，所以直线PA ，PB 的斜率之和为0.设直线PA 的斜率为k ，则直线PB 的斜率为k -，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则直线PA 的方程为3(2)y k x -=-，由223(2)11612y k x x y -=-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得222(3+4)8(32)4(32)480k x k k x k +-+--=，∴128(23)234k k x k ++=+同理直线PB 的方程为3(2)y k x -=--，可得2228(23)8(23)23434k k k k x k k ---++==++，∴2122161234k x x k -+=+，1224834k x x k --=+， 121212121212(2)3(2)3()412AB y y k x kx k x x k k x x x x x x --++--+-====---，∴满足条件的直线AB 的方程为11(1)2y x +=-，即为230x y --=. 21.解：（Ⅰ）函数()ln f x a x =的定义域为(0)+∞,，()a f x x '=，()g x '= 设曲线()y f x =与曲线()g x =00(,)x y由于在公共点处有共同的切线，所以0a x =，解得204x a =，0a >. 由00()()f x g x =可得0ln a x =联立2004,ln x a a x ⎧=⎪⎨=⎪⎩解得2e a =. （Ⅱ）函数1()()12xxe F x xf x -=-+是否有零点，转化为函数()()ln 2e H x xf x x x == 与函数1()12xxe G x -=-在区间(0,)x ∈+∞是否有交点， ()()ln 2e H x xf x x x ==，可得()ln (1ln )222e e e H x x x '=+=+， 令()0H x '>，解得1(,)x e∈+∞，此时函数()H x 单调递增； 令()0H x '<，解得1(0,)x e∈，此时函数()H x 单调递减. ∴当1x e =-时，函数()H x 取得极小值即最小值，11()2H e =-. 1()12xxe G x -=-可得11()(1)2x G x x e -'=-， 令()0G x '>，解得01x <<，此时函数()G x 单调递增； 令()0G x '<，解得1x >，此时函数()G x 单调递减.∴当1x =时，函数()G x 取得极大值即最大值，1(1)2G =-. 因此两个函数无交点.即函数1()()12xxe F x xf x -=-+无零点. 22.解：曲线221:((1)4C x y +-=化为极坐标方程是2sin ρθθ=+ 设曲线2C 上的点(,)Q ρθ绕极点顺时针旋转6π后得到(,)6P πρθ-在1C 上，代入可得2C 的极坐标方程是2cos ρθθ=+. （Ⅱ）将3πθ=（0ρ>）分别代入1C ，2C的极坐标方程，得到1ρ=，24ρ=124AB ρρ=-=-23.（Ⅰ）()01011f x m x m x m ≥⇒--≥⇒-≤≤+ 由(+1)0f x ≥的解集为[]02，可知1m =. （Ⅱ）111123a b c ++=则111233223(22)()111232233b c a c a ba b c a b c a b c a a b b c c ++=++++=++++++++233233692323b a c a c ba b a c b c =++++++≥+=当且仅当23a b c ==时等号成立，即3a =，32b =，1c =时等号成立.。

2018届甘肃省高三第一次诊断性考试数学（理科）试题一、单选题1．设全集，集合，，则集合（）A. B. C. D.【答案】C【解析】全集，集合，，.故选C.2．在复平面内复数、 (是虚数单位)对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】复数，对应的点为(4,-3)位于第四象限.故选D.3．向量，，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】向量，，若，则，解得.所以“”是“”的充分不必要条件.故选A.4．若实数，满足则的最大值是（）A. -1B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】作出不等式的可行域，如图所示.即为，平移该直线至点A时最大.，解得，即A(0,1)，此时.故选C.5．某几何体挖去两个半球体后的三视图如图所示，若剩余几何体的体积为，则的值为（）A. 1B. 2C.D.【答案】B【解析】有三视图可知，该几何体为高为，底面半径为的圆柱，上下个挖去一个半径为的球而得的几何体.剩余几何体的体积为，解得：.故选B.6．已知是各项均为正数的等比数列，为其前项和，若，，则（）A. 65B. 64C. 63D. 62【答案】C【解析】是各项均为正数的等比数列，设公比为.,，解得..故选C.7．中国古代三国时期的数学家赵爽,创作了一幅“勾股弦方图”，通过数形结合，给出了勾股定理的详细证明.如图所示,在“勾股弦方图”中，以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成，这一图形被称作“赵爽弦图”.若，则在正方形内随机取一点，该点恰好在正方形内的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如图所示，正方形的边长为：，正方形的边长为：.由题意知，解得，即.该点恰好在正方形内的概率为.故选D.点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．8．过直线上的点作圆的切线，则切线长的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】直线上上任取一点. 作圆的切线，设切点为A.圆，即，圆心为，半径为.切线长为..所以切线长的最小值为.故选A.9．如图所示，若程序框图输出的所有实数对所对应的点都在函数的图象上，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】执行程序框图：，是，输出(1,1)；，是，输出(2,2)；，是，输出(3,4)；，否，结束循环.根据题意函数经过点(1,1)，(2,2)，(3,4).所以：,解得：..故选B.10．过双曲线（，）的右焦点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，点为坐标原点，若四边形的面积为4，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】双曲线（，）的渐近线为：.焦点到的距离为：，则.四边形的面积为，所以，又.解得：，所以双曲线的离心率为.故选D.点睛：本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程，得到的关系式是解得的关键，对于双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)．11．如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，平面，且，是上的一个动点，过点作平面平面，截棱锥所得图形面积为，若平面与平面之间的距离为，则函数的图象是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】过点作交AB于点N，点作交PC于点F,过点作交CD于点E，连接EF.则面平面，.由平面，可得平面，平面与平面之间的距离为，且为直角梯形.由，得，所以..故选D.12．对于任意，，不等式恒成立，则实数的最大值为（）A. B. 2 C. D. 3【答案】B【解析】不等式左侧的最小值的几何意义是函数上的点与函数上的点之间距离的最小值的平方，与直线平行且与函数相切的直线为，两直线之间距离的最下值为，所以，解得，所以的最大值为2.故选B.点睛：不等式的恒成立问题，往往是转化为研究最值问题，本题中涉及的变量较多，但是从代数式的结构不难发现，类似于两点的距离公式，从而可利用数形结合的思想求最值，即为曲线上的点与直线上的点的距离最小，平移直线与曲线相切时即为最小值.二、填空题13．二项式的展开式中的常数项是__________．(用数字作答)【答案】-160【解析】二项式的展开式通项为：令，得，.故答案为：-160.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.14．已知数列满足，，则的最小值为__________．【答案】【解析】由,得，∵，∴.∴，令,得，∴当n取1,2,3时,减小,当n取大于等于4的自然数时的值增大。

兰州市2018年高三诊断考试数学（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集U R =，集合{|0}M x x =≥，集合2{|1}N x x =<，则()U M C N =I （ ）A ．(0,1)B ．[0,1]C ．[1,)+∞D ．(1,)+∞2.已知复数512z i =-+（i 是虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A ．复数z 的实部为5B ．复数z 的虚部为12i C ．复数z 的共轭复数为512i + D ．复数z 的模为133.已知数列{}n a 为等比数列，且22642a a a π+=，则35tan()a a =（ ）A 3．3-．3．34.双曲线22221x y a b-=的一条渐近线与抛物线21y x =+只有一个公共点，则双曲线的离心率为（ ）A ．54B ．5C ．54D 55.在ABC ∆中，M 是BC 的中点，1AM =，点P 在AM 上且满足2AP PM =u u u r u u u u r，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r 等于（ ） A ．49-B ．43-C ．43D ．496.数列{}n a 中，11a =，对任意*n N ∈，有11n n a n a +=++，令1i ib a =，*()i N ∈，则122018b b b ++⋅⋅⋅+=（ ） A ．20171009B ．20172018C ．20182019 D ．403620197.若1(1)n x x ++的展开式中各项的系数之和为81，则分别在区间[0,]π和[0,]4n内任取两个实数x ，y ，满足sin y x >的概率为（ ） A ．11π-B ．21π-C ．31π-D ．128.刘徽《九章算术注》记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”.意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫做堑堵，沿堑堵的一顶点与其相对的面的对角线剖开成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积之比为定值2:1，这一结论今称刘徽原理.如图是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（ ）A ．3π B ．3π C ．3π D ．4π 9.某程序框图如图所示，则程序运行后输出的S 的值是（ ）A ．1008B ．2017C ．2018D ．302510.设p ：实数x ，y 满足22(1)[(22)]x y -+-322≤-；q ：实数x ，y 满足111x y x y y -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则p 是q的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件11.已知圆C ：22(1)(4)10x y -+-=和点(5,)M t ，若圆C 上存在两点A ，B 使得MA MB ⊥，则实数t 的取值范围是（ ）A ．[2,6]-B ．[3,5]-C ．[2,6]D ．[3,5] 12.定义在(0,)2π上的函数()f x ，已知'()f x 是它的导函数，且恒有cos '()sin ()0x f x x f x ⋅+⋅<成立，则有（ ） A ．()2()64f ππ>B 3()()63f ππ>C ．()3()63f ππ>D ．()3()64f ππ>二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.若2sin()45πα-=-，则cos()4πα+=． 14.已知样本数据1a ，2a ，……2018a 的方差是4，如果有2i i b a =-(1,2,,2018)i =⋅⋅⋅，那么数据1b ，2b ，……2018b 的均方差为．15.设函数()sin(2)f x x ϕ=+()2πϕ<向左平移3π个单位长度后得到的函数是一个奇函数，则ϕ=． 16.函数23()123x x f x x =+-+，23()123x x g x x =-+-，若函数()(3)(4)F x f x g x =+-，且函数()F x 的零点均在[,](,,)a b a b a b Z <∈内，则b a -的最小值为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知向量(cos 2,sin 2)a x x =r ，(3,1)b =r ，函数()f x a b m =⋅+r r.（1）求()f x 的最小正周期； （2）当[0,]2x π∈时，()f x 的最小值为5，求m 的值.18.如图所示，矩形ABCD 中，AC BD G =I ，AD ⊥平面ABE ，2AE EB BC ===，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE .（1）求证：AE ⊥平面BCE ；（2）求平面BCE 与平面CDE 所成角的余弦值.19.某地一商场记录了12月份某5天当中某商品的销售量y （单位：kg ）与该地当日最高气温x （单位：C o）的相关数据，如下表：x119 8 5 2y7881012（1）试求y 与x 的回归方程y bxa =+； （2）判断y 与x 之间是正相关还是负相关；若该地12月某日的最高气温是6C o，试用所求回归方程预测这天该商品的销售量；（3）假定该地12月份的日最高气温2(,)X N μσ:，其中μ近似取样本平均数x ，2σ近似取样本方差2s ，试求(3.813.4)P X <<.附：参考公式和有关数据$1122211()()()nni i iii i nni ii i x y nx y x x y y b x nx x x a y bx====⎧---⎪⎪==⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑$$3.2≈1.8≈，若2(,)X N μσ:，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，且(22)0.9544P X μσμσ-<<+=.20.已知圆C ：22(1)8x y ++=，过(1,0)D 且与圆C 相切的动圆圆心为P . （1）求点P 的轨迹E 的方程；（2）设过点C 的直线1l 交曲线E 于Q ，S 两点，过点D 的直线2l 交曲线E 于R ，T 两点，且12l l ⊥，垂足为W （Q ，R ，S ，T 为不同的四个点）.①设00(,)W x y ，证明：220012x y +<； ②求四边形QRST 的面积的最小值. 21.已知函数1()1x x t f x e x -+=-，其中e 为自然对数的底数. （1）证明：当1x >时，①1，②1x e x ->；（2）证明：对任意1x >，1t >-，有1()ln )2f x x >+.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的参数方程是2x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 是参数），圆C 的极坐标方程为2cos()4πρθ=+. （1）求圆心C 的直角坐标；（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，并切线长的最小值. 23.[选修4-5：不等式选讲]设函数()2f x x a x =-+，其中0a >.（1）当2a =时，求不等式()21f x x ≥+的解集； （2）若(2,)x ∈-+∞时，恒有()0f x >，求a 的取值范围.兰州市2018年高三诊断考试 数学（理科）试题参考答案及评分参考一、选择题1-5: CDADA 6-10: DBBAB 11、12：CC 二、填空题 13. 25-14. 2 15. 3π16. 10 三、解答题17.（1）由题意知：()cos(2,sin 2)f x x x =m ⋅+2sin 2x x m =++2sin(2)3x m π=++，所以()f x 的最小正周期为T π=. （2）由（1）知：()2sin(2)3f x x m π=++，当[0,]2x π∈时，42[,]333x πππ+∈.所以当4233x ππ+=时，()f x 的最小值为m .又∵()f x 的最小值为5，∴5m =，即5m =18.（1）因为AD ⊥面ABE ，所以AD AE ⊥， 又//BC AD ，所以BC AE ⊥. 因为BF ⊥面ACE ，所以BF AE ⊥.又BC BF B =I ，所以AE ⊥面BCF ，即AE ⊥平面BCE .（2）方法1：因为BF ⊥面ACE ，CE ⊂面ACE ，所以BF CE ⊥， 又BC BE =，所以F 为CE 中点，在DEC ∆中，22DE CE CD ===DF CE ⊥，BFD ∠为二面角B CE D --的平面角，222cos 2BF DF BD BFD BF DF +-∠=⋅⋅33226==-⋅⋅. ∴平面BCE 与平面CDE 3. 方法2：以E 为原点，EB 所在直线为x 轴，EA 所在直线为y 轴，过E 且垂直于平面ABE 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，则相关点的坐标为(0,0,0)E ，(2,0,0)B ，(2,0,2)C ，(0,2,2)D ，设平面BCE 的法向量1n u r ，平面CDE 的法向量为2n u u r ，易知1(0,1,0)n =u r，令2(,,)n x y z =u u r ，则2200n EC n ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r u u u r u u r u u u r，故220220x z y z +=⎧⎨+=⎩，令1x =，得111x y z =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，2(1,1,1)n =-u u r ， 于是，12cos ,n n <>u r u u r 121213n n n n ⋅==⋅u r u u ru r u u r 33=此即平面BCE 与平面CDE 所成角的余弦值. 19.（1）由题意，7x =，9y =，1ni ii x y nx y =-∑28757928=-⋅⋅=-，221nii x nx =-∑22955750=-⋅=，280.5650b =-=-$，$a y bx =-$9(0.56)712.92=--⋅=. 所以所求回归直线方程为$0.5612.92y x =-+.（2）由0.560b=-<$知，y 与x 负相关.将6x =代入回归方程可得， $0.56612.929.56y =-⋅+=，即可预测当日销售量为9.56kg .（3）由（1）知7x μ≈=，23.2S σ≈=，所以(3.813.4)P X <<(2)P X μσμσ=-<<+1()2P X μσμσ=-<<+1(22)2P X μσμσ+-<<+0.8185=.20.解：（1）设动圆半径为r ，由于D 在圆内，圆P 与圆C 内切，则PC r =，PD r =，PC PD +=2CD >=， 由椭圆定义可知，点P 的轨迹E是椭圆，a =1c =，1b ==，E 的方程为2212x y +=.（2）①证明：由已知条件可知，垂足W 在以CD 为直径的圆周上，则有22001x y +=，又因Q ，R ，S ，T 为不同的四个点，220012x y +<. ②解：若1l 或2l 的斜率不存在，四边形QRST 的面积为2. 若两条直线的斜率存在，设1l 的斜率为1k ， 则1l 的方程为1(1)y k x =+，解方程组122(1)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(21)4k x k x ++2220k +-=，则QS =，同理得RT =∴12QSRTS QS RT =⋅2222(1)4(21)(2)k k k +=++2222(1)49(1)4k k +≥+169=， 当且仅当22212k k +=+，即1k =±时等号成立.综上所述，当1k =±时，四边形QRST 的面积取得最小值为169. 21.解：（1）令()ln 1)m x =，则1'()2m x x =-1)0=<，()m x 为(1,)+∞上的减函数，而(1)0m =，所以()ln 1)0m x =<，1<成立；令1()x n x ex -=-，则1'()10x n x e -=->，()n x 为(1,)+∞上的增函数，而(1)0n =，所以1()0x n x e x -=->，1x e x ->成立.（2）1()ln )2f x x >+，即11x x t e x -+-1ln )2x >+ln =+，由（1）1<，所以1+<，ln+x <=，所以，只需证11x x t x e x -+<-，即12()x x t e x x -+>-， 由（1）1x e x ->，所以只需证2()x x t x x +>-，只需证1x t x +>-，即1t >-， 上式已知成立，故原式成立，得证. 22.解：（1）∵ρθθ=，∴2cos sin ρθθ=，∴圆C的直角坐标方程为220x y +-=，即22((1x y -++=，∴圆心直角坐标为. （2）方法1：直线l 上的点向圆C 引切线长是==≥， ∴直线l 上的点向圆C引的切线长的最小值是方法2：直线l的普通方程为0x y -+=，∴圆心C 到直线l|5=，∴直线l 上的点向圆C=23.解：（1）当2a =时，2221x x x -+≥+， 所以21x -≥，所以3x ≥或1x ≤， 解集为(,1][3,)-∞+∞U . （2）3,(),x a x af x x a x a-≥⎧=⎨+<⎩，因为0a >，∴x a ≥时，320x a a -≥>恒成立，又x a <时，当2x >-时，2x a a +>-+，∴只需20a -+≥即可，所以2a ≥.。

兰州市2018年高三诊断考试数学（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集U R =，集合{|0}M x x =≥，集合2{|1}N x x =<，则()U MC N =（ ）A ．(0,1)B ．[0,1]C ．[1,)+∞D ．(1,)+∞ 2.已知复数512z i =-+（i 是虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A ．复数z 的实部为5 B ．复数z 的虚部为12i C ．复数z 的共轭复数为512i + D ．复数z 的模为133.已知数列{}n a 为等比数列，且22642a a a π+=，则35tan()a a =（ ）A ．．3-D ．4.双曲线22221x y a b-=的一条渐近线与抛物线21y x =+只有一个公共点，则双曲线的离心率为（ ）A ．54 B ．5 C 5.在ABC ∆中，M 是BC 的中点，1AM =，点P 在AM 上且满足2AP PM =，则()PA PB PC ⋅+等于（ ）A ．49-B ．43-C ．43D ．496.数列{}n a 中，11a =，对任意*n N ∈，有11n n a n a +=++，令1i ib a =，*()i N ∈，则122018b b b ++⋅⋅⋅+=（ ）A ．20171009 B ．20172018 C ．20182019 D ．403620197.若1(1)nx x ++的展开式中各项的系数之和为81，则分别在区间[0,]π和[0,]4n 内任取两个实数x ，y ，满足sin y x >的概率为（ ）A ．11π-B ．21π-C ．31π-D ．128.刘徽《九章算术注》记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”.意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫做堑堵，沿堑堵的一顶点与其相对的面的对角线剖开成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积之比为定值2:1，这一结论今称刘徽原理.如图是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（ ）ABC ．3πD ．4π 9.某程序框图如图所示，则程序运行后输出的S 的值是（ ）A ．1008B ．2017C ．2018D ．302510.设p ：实数x ，y满足22(1)[(2x y -+-3≤-q ：实数x ，y 满足111x y x y y -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则p 是q 的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件11.已知圆C ：22(1)(4)10x y -+-=和点(5,)M t ，若圆C 上存在两点A ，B 使得MA MB ⊥，则实数t 的取值范围是（ ）A ．[2,6]-B ．[3,5]-C ．[2,6]D ．[3,5] 12.定义在(0,)2π上的函数()f x ，已知'()f x 是它的导函数，且恒有cos '()sin ()0x f x x f x ⋅+⋅<成立，则有（ ）A ．()()64f ππ>B ()()63f ππ>C ．()()63f ππ>D ．()()64f ππ>二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.若2sin()45πα-=-，则cos()4πα+= ． 14.已知样本数据1a ，2a ，……2018a 的方差是4，如果有2i i b a =-(1,2,,2018)i =⋅⋅⋅，那么数据1b ，2b ，……2018b 的均方差为 ． 15.设函数()sin(2)f x x ϕ=+()2πϕ<向左平移3π个单位长度后得到的函数是一个奇函数，则ϕ= ．16.函数23()123x x f x x =+-+，23()123x x g x x =-+-，若函数()(3)(4)F x f x g x =+-，且函数()F x 的零点均在[,](,,)a b a b a b Z <∈内，则b a -的最小值为 ． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知向量(cos2,sin 2)a x x =，(3,1)b =，函数()f x a b m =⋅+. （1）求()f x 的最小正周期； （2）当[0,]2x π∈时，()f x 的最小值为5，求m 的值.18.如图所示，矩形ABCD 中，AC BD G =，AD ⊥平面ABE ，2AE EB BC ===，F为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE .（1）求证：AE ⊥平面BCE ；（2）求平面BCE 与平面CDE 所成角的余弦值.19.某地一商场记录了12月份某5天当中某商品的销售量y （单位：kg ）与该地当日最高气温x （单位：C ）的相关数据，如下表：（1）试求y 与x 的回归方程y bx a =+；（2）判断y 与x 之间是正相关还是负相关；若该地12月某日的最高气温是6C ，试用所求回归方程预测这天该商品的销售量； （3）假定该地12月份的日最高气温2(,)XN μσ，其中μ近似取样本平均数x ，2σ近似取样本方差2s ，试求(3.813.4)P X <<.附：参考公式和有关数据1122211()()()n ni i i i i i nn ii i i x y nx y x x y y b x nx x x a y bx====⎧---⎪⎪==⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑ 3.2≈ 1.8≈，若2(,)XN μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，且(22)0.9544P X μσμσ-<<+=.20.已知圆C ：22(1)8x y ++=，过(1,0)D 且与圆C 相切的动圆圆心为P . （1）求点P 的轨迹E 的方程；（2）设过点C 的直线1l 交曲线E 于Q ，S 两点，过点D 的直线2l 交曲线E 于R ，T 两点，且12l l ⊥，垂足为W （Q ，R ，S ，T 为不同的四个点）.①设00(,)W x y ，证明：220012x y +<； ②求四边形QRST 的面积的最小值. 21.已知函数1()1x x t f x e x -+=-，其中e 为自然对数的底数. （1）证明：当1x >时，①1<，②1x e x ->；（2）证明：对任意1x >，1t >-，有1()ln )2f x x >+.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l 的参数方程是22x ty ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 是参数），圆C 的极坐标方程为2cos()4πρθ=+. （1）求圆心C 的直角坐标；（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，并切线长的最小值. 23.[选修4-5：不等式选讲]设函数()2f x x a x =-+，其中0a >.（1）当2a =时，求不等式()21f x x ≥+的解集； （2）若(2,)x ∈-+∞时，恒有()0f x >，求a 的取值范围.兰州市2018年高三诊断考试 数学（理科）试题参考答案及评分参考一、选择题1-5: CDADA 6-10: DBBAB 11、12：CC 二、填空题 13. 25-14. 2 15. 3π16. 10 三、解答题17.（1）由题意知：()cos(2,sin 2)f x x x =m ⋅+sin 2x x m ++2sin(2)3x m π=++，所以()f x 的最小正周期为T π=. （2）由（1）知：()2sin(2)3f x x m π=++，当[0,]2x π∈时，42[,]333x πππ+∈.所以当4233x ππ+=时，()f x 的最小值为m .又∵()f x 的最小值为5，∴5m =，即5m =18.（1）因为AD ⊥面ABE ，所以AD AE ⊥， 又//BC AD ，所以BC AE ⊥. 因为BF ⊥面ACE ，所以BF AE ⊥. 又BCBF B =，所以AE ⊥面BCF ，即AE ⊥平面BCE .（2）方法1：因为BF ⊥面ACE ，CE ⊂面ACE ，所以BF CE ⊥， 又BC BE =，所以F 为CE 中点，在DEC ∆中，DE CE CD ===DF CE ⊥，BFD ∠为二面角B CE D --的平面角，222cos 2BF DF BD BFD BF DF +-∠=⋅⋅==. ∴平面BCE 与平面CDE所成角的余弦值为3. 方法2：以E 为原点，EB 所在直线为x 轴，EA 所在直线为y 轴，过E 且垂直于平面ABE 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，则相关点的坐标为(0,0,0)E ，(2,0,0)B ，(2,0,2)C ，(0,2,2)D ， 设平面BCE 的法向量1n ，平面CDE 的法向量为2n ，易知1(0,1,0)n =，令2(,,)n x y z =，则220n EC n ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，故220220x z y z +=⎧⎨+=⎩，令1x =，得111x y z =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，2(1,1,1)n =-，于是，12cos ,n n <>12121nn n n ⋅==⋅=此即平面BCE 与平面CDE 所成角的余弦值. 19.（1）由题意，7x =，9y =，1ni ii x y nx y =-∑28757928=-⋅⋅=-，221ni i x nx =-∑22955750=-⋅=，280.5650b =-=-，a y bx =-9(0.56)712.92=--⋅=. 所以所求回归直线方程为0.5612.92y x =-+.（2）由0.560b =-<知，y 与x 负相关.将6x =代入回归方程可得，0.56612.929.56y =-⋅+=，即可预测当日销售量为9.56kg . （3）由（1）知7x μ≈=， 3.2σ≈=，所以(3.813.4)P X <<(2)P X μσμσ=-<<+1()2P X μσμσ=-<<+1(22)2P X μσμσ+-<<+0.8185=. 20.解：（1）设动圆半径为r ，由于D 在圆内，圆P 与圆C 内切，则PC r =，PD r =，PC PD +=2CD >=， 由椭圆定义可知，点P 的轨迹E是椭圆，a =1c =，1b =，E 的方程为2212x y +=.（2）①证明：由已知条件可知，垂足W 在以CD 为直径的圆周上， 则有22001x y +=，又因Q ，R ，S ，T 为不同的四个点，220012x y +<. ②解：若1l 或2l 的斜率不存在，四边形QRST 的面积为2. 若两条直线的斜率存在，设1l 的斜率为1k ， 则1l 的方程为1(1)y k x =+，解方程组122(1)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(21)4k x k x ++2220k +-=，则QS =，同理得RT =∴12QSRTS QS RT =⋅2222(1)4(21)(2)k k k +=++2222(1)49(1)4k k +≥+169=， 当且仅当22212k k +=+，即1k =±时等号成立.综上所述，当1k =±时，四边形QRST 的面积取得最小值为169. 21.解：（1）令()1)m x =，则1'()2m x x =1)0=<，()m x 为(1,)+∞上的减函数，而(1)0m =，所以()1)0m x =<，1<成立；令1()x n x e x -=-，则1'()10x n x e -=->，()n x 为(1,)+∞上的增函数， 而(1)0n =，所以1()0x n x e x -=->，1x e x ->成立.（2）1()ln )2f x x >+，即11x x t e x -+-1ln )2x >+=+，由（1）1，所以1+<+x <=，所以，只需证11x x t x e x -+<-，即12()x x t e x x -+>-， 由（1）1x ex ->，所以只需证2()x x t x x +>-，只需证1x t x +>-，即1t >-，上式已知成立，故原式成立，得证. 22.解：（1）∵ρθθ=，∴2cos sin ρθθ=，∴圆C的直角坐标方程为220x y +=，即22((122x y -++=，∴圆心直角坐标为(22-. （2）方法1：直线l 上的点向圆C 引切线长是=≥ ∴直线l 上的点向圆C引的切线长的最小值是.方法2：直线l的普通方程为0x y -+=，∴圆心C 到直线l|5++=，∴直线l 上的点向圆C=23.解：（1）当2a =时，2221x x x -+≥+， 所以21x -≥，所以3x ≥或1x ≤， 解集为(,1][3,)-∞+∞.（2）3,(),x a x af x x a x a-≥⎧=⎨+<⎩，因为0a >，∴x a ≥时，320x a a -≥>恒成立，又x a <时，当2x >-时，2x a a +>-+，∴只需20a -+≥即可，所以2a ≥.。

2018年甘肃省第一次高考诊断考试理科数学试卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.1.设全集U R =，集合{}2A x x =≥，{}06B x x =≤<，则集合()U （）A．{}02x x <<B．{}02x x <≤C．{}02x x ≤<D．{}02x x ≤≤2.在复平面内复数34iz i+=、(i 是虚数单位)对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.向量(,1)a m =，(1,)b m =，则“1m =”是“//a b ”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4.若实数x ，y 满足10,10,0,x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则2z x y =+的最大值是（）A．-1B．1C.2D．35.某几何体挖去两个半球体后的三视图如图所示，若剩余几何体的体积为23π，则a 的值为（）A．1B．2 C.22D．326.已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，n S 为其前n 项和，若11a =，3564a a ⋅=，则6S =（）A．65B．64C.63D．627.中国古代三国时期的数学家赵爽,创作了一幅“勾股弦方图”，通过数形结合，给出了勾股定理的详细证明.如图所示,在“勾股弦方图”中，以弦为边长得到的正方形ABCD 是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成，这一图形被称作“赵爽弦图”.若7cos 225BAE ∠=，则在正方形ABCD 内随机取一点，该点恰好在正方形EFGH 内的概率为（）A．2425B．45C.35D．1258.过直线23y x =+上的点作圆2246120x y x y +-++=的切线，则切线长的最小值为（）A．19B．25C.21D．5559.如图所示，若程序框图输出的所有实数对(,)x y 所对应的点都在函数2()f x ax bx c =++的图象上，则1()0f x dx =⎰（）A．1011B．1112C.1312D．121110.过双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的右焦点(22,0)F 作两条渐近线的垂线，垂足分别为,A B ，点O 为坐标原点，若四边形OAFB 的面积为4，则双曲线的离心率为（）A．22B．2+1C.3D．211.如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的正方形，PA ⊥平面ABCD ，且4PA =，M 是PB 上的一个动点，过点M 作平面//α平面PAD ，截棱锥所得图形面积为y ，若平面α与平面PAD 之间的距离为x ，则函数()y f x =的图象是（）A．B． C.D．12.对于任意0b >，a R ∈，不等式[][]222(2)ln (1)b a b a m m --+--≥-恒成立，则实数m 的最大值为（）A．eB．2 C.eD．3第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本题共4小题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.二项式62()x x-的展开式中的常数项是．(用数字作答)14.已知数列{}n a 满足115a =，12()n n a a n N n *+-=∈，则n an的最小值为．15.在某班举行的成人典礼上，甲、乙、丙三名同学中的一人获得了礼物.甲说：“礼物不在我这”；乙说：“礼物在我这”；丙说：“礼物不在乙处”.如果三人中只有一人说的是真的，请问(填“甲”、“乙”或“丙”)获得了礼物.16.抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过准线上一点N 作NF 的垂线交y 轴于点M ，若抛物线C 上存在点E ，满足2NE NM NF =+，则MNF ∆的面积为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.ABC ∆中，三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若(cos ,cos )m B C =，(2,)n a c b =+，且m n ⊥.（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若6b =，求ABC ∆周长的取值范围.18.四棱台被过点11,,A C D 的平面截去一部分后得到如图所示的几何体，其下底面四边形ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，1BB ⊥平面ABCD ，12BB =.（Ⅰ）求证：平面1AB C ⊥平面1BB D ；（Ⅱ）若1AA 与底面ABCD 所成角的正切值为2，求二面角11A BD C --的余弦值.19.2017年12月，针对国内天然气供应紧张的问题，某市政府及时安排部署，加气站采取了紧急限气措施，全市居民打响了节约能源的攻坚战.某研究人员为了了解天然气的需求状况，对该地区某些年份天然气需求量进行了统计，并绘制了相应的折线图.（Ⅰ）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合年度天然气需示量y (单位：千万立方米)与年份x (单位：年)之间的关系.并且已知y 关于x 的线性回归方程是ˆˆ6.5yx a =+，试确定ˆa 的值，并预测2018年该地区的天然气需求量；（Ⅱ）政府部门为节约能源出台了《购置新能源汽车补贴方案》，该方案对新能源汽车的续航里程做出了严格规定，根据续航里程的不同，将补贴金额划分为三类，A 类：每车补贴1万元，B 类：每车补贴2.5万元，C 类：每车补贴3.4万元.某出租车公司对该公司60辆新能源汽车的补贴情况进行了统计，结果如下表：类型A 类B 类C 类车辆数目102030为了制定更合理的补贴方案，政府部门决定利用分层抽样的方式了解出租车公司新能源汽车的补贴情况，在该出租车公司的60辆车中抽取6辆车作为样本，再从6辆车中抽取2辆车进一步跟踪调查.若抽取的2辆车享受的补贴金额之和记为“ξ”，求ξ的分布列及期望.20.椭圆2222:1x y E a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 作垂直于x 轴的直线l 与椭圆E在第一象限交于点P ，若15PF =，且23a b =.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）A ，B 是椭圆C 上位于直线l 两侧的两点.若直线AB 过点(1,1)-，且22APF BPF ∠=∠，求直线AB 的方程.21.已知函数()ln f x a x =，a R ∈.（Ⅰ）若曲线()y f x =与曲线()g x x =在公共点处有共同的切线，求实数a 的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，试问函数1()()12x xe F x xf x -=-+是否有零点？如果有，求出该零点；若没有，请说明理由.(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑.按所涂题号进行评分不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线221:(3)(1)4C x y -+-=，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，将曲线1C 绕极点逆时针旋转6π后得到的曲线记为2C .（Ⅰ）求曲线1C ，2C 的极坐标方程；（Ⅱ）射线3πθ=（0p >）与曲线1C ，2C 分别交于异于极点O 的A ，B 两点，求AB .23.选修4-5：不等式选讲已知函数()2f x m x =--，m R ∈，且(1)0f x +≥的解集为[]0,2.（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）若a ，b ，c R ∈，且11123m a b c++=，求证：239a b c ++≥.2018年甘肃省第一次高考诊断理科数学考试参考答案及评分标准一、选择题1-5:CDACB 6-10:CDABD11、12：DB二、填空题13.-16014.27415.甲16.322三、解答题17.解:（Ⅰ）∵m n ⊥，则有cos (2)cos 0B a c C b ⋅++⋅=，∴cos (2sin sin )cos sin 0B AC C B ⋅++⋅=∴2cos sin (sin cos cos sin )sin()sin B A C B C B B C A =-⋅+⋅=-+=-，∴1cos 2B =-，∴23B π=.（Ⅱ）根据余弦定理可知2222cos b a c ac B =+-，∴2236a c ac =++，又∵236()a c ac =+-，∴22()36()2a c a c ac ++-=≤，∴643a c <+≤，则ABC ∆周长的取值范围是(12,643⎤+⎦.18.解：（Ⅰ）∵1BB ⊥平面ABCD ，∴1BB AC ⊥.在菱形ABCD 中，BD AC ⊥，又1BD BB B ⋂=，∴AC ⊥平面1BB D ，∵AC ⊂平面1AB C ，∴平面1AB C ⊥平面1BB D .（Ⅱ）∵1BB ⊥平面ABCD∴1AA 与底面ABCD 所成角为1A AB ∠，∴1tan 2A AB ∠=，∴111A B =设BD ,AC 交于点O ，以O 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系.则(0,1,0)B -，(0,1,0)D ，1(0,1,2)B -,(3,0,0)A .111131(,,2)222B A BA A =⇒- ，同理131(,,2)22C --，131(,,2)22BA = ，(0,2,0)BD = ，131(,,2)22BC =- .设平面1A BD 的法向量(,,)n x y z =，∴10,0,BA n BD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 则(4,0,3)n =-，设平面1C BD 的法向量(,,)m x y z '''=，10,0,BD m BC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩则(4,0,3)m =，设二面角11A BD C --为θ，13cos 19m n m n θ⋅==.19.解：（Ⅰ）如折线图数据可知2008201020122014201620125x ++++==236246257276286260.25y ++++==代入线性回归方程ˆˆ6.5yx a =+可得ˆ12817.8a =-.将2018x =代入方程可得ˆ299.2y=千万立方米.（Ⅱ）根据分层抽样可知A 类，B 类，C 类抽取人数分别为1辆，2辆，3辆则当A 类抽1辆，B 类抽1辆时，=3.5ξ，此时1112262( 3.5)15C C P C ξ===；当A 类抽1辆，C 类抽1辆时， 4.4ξ=，此时1113263( 4.4)15C C P C ξ===；当B 类抽1辆，C 类抽1辆时， 5.9ξ=，此时11232662( 5.9)155C C P C ξ====；当B 类抽2辆时，=5ξ，此时22261(5)15C P C ξ===；当C 类抽2辆时， 6.8ξ=，此时232631( 6.8)155C P C ξ====.所以ξ的分布列为：ξ3.54.45.956.8p2153152511515∴23211273.5 4.4 5.95 6.8151551555E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（万元）20.解：（Ⅰ）由题可得223b PF a==，因为15PF =，由椭圆的定义得4a =，所以212b =，所以椭圆E 方程为2211612x y +=.（Ⅱ）易知点P 的坐标为(2,3).因为22APF BPF ∠=∠，所以直线PA ，PB 的斜率之和为0.设直线PA 的斜率为k ，则直线PB 的斜率为k -，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则直线PA 的方程为3(2)y k x -=-，由223(2)11612y k x x y -=-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得222(3+4)8(32)4(32)480k x k k x k +-+--=，∴128(23)234k k x k ++=+同理直线PB 的方程为3(2)y k x -=--，可得2228(23)8(23)23434k k k k x k k---++==++，∴2122161234k x x k -+=+，1224834k x x k--=+，121212121212(2)3(2)3()412AB yy k x k x k x x k k x x x x x x --++--+-====---，∴满足条件的直线AB 的方程为11(1)2y x +=-，即为230x y --=.21.解：（Ⅰ）函数()ln f x a x =的定义域为(0)+∞,，()af x x '=，1()2g x x'=设曲线()y f x =与曲线()g x x =公共点为00(,)x y 由于在公共点处有共同的切线，所以0012a x x =，解得204x a =，0a >.由00()()f x g x =可得00ln a x x =.联立20004,ln ,x a a x x ⎧=⎪⎨=⎪⎩解得2ea =.（Ⅱ）函数1()()12xxe F x xf x -=-+是否有零点，转化为函数()()ln 2eH x xf x x x==与函数1()12xxe G x -=-在区间(0,)x ∈+∞是否有交点，()()ln 2eH x xf x x x ==，可得()ln (1ln )222eeeH x x x '=+=+，令()0H x '>，解得1(,)x e ∈+∞，此时函数()H x 单调递增；令()0H x '<，解得1(0,)x e ∈，此时函数()H x 单调递减.∴当1x e =-时，函数()H x 取得极小值即最小值，11()2H e =-.1()12xxe G x -=-可得11()(1)2xG x x e -'=-，令()0G x '>，解得01x <<，此时函数()G x 单调递增；令()0G x '<，解得1x >，此时函数()G x 单调递减.∴当1x =时，函数()G x 取得极大值即最大值，1(1)2G =-.因此两个函数无交点.即函数1()()12xxe F x xf x -=-+无零点.22.解：曲线221:(3)(1)4C x y -+-=化为极坐标方程是23cos 2sin ρθθ=+设曲线2C 上的点(,)Q ρθ绕极点顺时针旋转6π后得到(,)6P πρθ-在1C 上，代入可得2C 的极坐标方程是2cos 23sin ρθθ=+.（Ⅱ）将3πθ=（0ρ>）分别代入1C ，2C 的极坐标方程，得到123ρ=，24ρ=12423AB ρρ=-=-.23.（Ⅰ）()01011f x m x m x m≥⇒--≥⇒-≤≤+由(+1)0f x ≥的解集为[]02，可知1m =.（Ⅱ）111123a b c++=则111233223(22)()111232233b c a c a b a b c a b c a b c a a b b c c++=++++=++++++++233233692323b a c a c b a b a c b c=++++++≥+=当且仅当23a b c ==时等号成立，即3a =，32b =，1c =时等号成立.。

2018年甘肃省兰州市高考数学一诊试卷(理科)一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集。

=R,集合M=(x\x>0},集合N={%|%2<1},则M n(CuN)=()A.(0,1)B.[0,1]C.[l,+oo)D.(l,+oo)2.已知复数z=-5+121Q是虚数单位)，则下列说法正确的是()A.复数z的实部为5B.复数z的虚部为12iC.复数z的共轴复数为5+12iD.复数z的模为133.已知数列{%}为等比数列，且a-2a6+2«42=则tan(a3a5)=()A.V3B.-V3 c.一匝 D.+V3274.双曲线*一云=1的一条渐近线与抛物线y=x2+l只有一个公共点，则双曲线的离心率为()A.-B.5c Vf D.V54'45.在△ABC中，M是BC的中点，AM=1,点P在上且满足学AP=2PM*贝U PA•(PB+PC)等于()6.数列｛知｝中，=1,对任意n E.N*,有a n+1=1+n+a n,令,(i e N*),a i则S+b2+...+b2018=()A2017-2017_2018卜4036A---R---C---D---*1009'2018*2019*20197.若(%+i+iy的展开式中各项的系数之和为81,贝。

分别在区间［0,兀］和［0,』内任取两个实数x,y,满足y>sinx的概率为()8.刘徽《九章算术注》记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖孺,阳马居二，鳖孺居一，不易之率也意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫做堑堵，沿堑堵的一顶点与其相对的面的对角线剖开成两块，大的叫阳马，小的叫鳖孺，两者体积之比为定值2:1,这一结论今称刘徽原理.如图是一个阳马的三视图,则其外接球的体积为()V242主视图侧视图4>俯视图A.47TB.37TC.V37T0.—71'29.某程序框图如图所示，则程序运行后输出的S的值是（）A.1008B.2017C.2018D.302510.设p：实数X,y满足（X —I）2+\lbracky—（2—y/2）brack2<3—2V2；q：实数x,x-y<1y满足.x+y>l,贝jp是q的（）.y <1A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要的条件11.己知圆C:（x-I）2+（y-4）2=10和点若圆C上存在两点A,B,使得MA1MB,则实数t的取值范围为（）A.[-2,6]B.[-3,5]C.[2,6]D.[3,5]12.定义在（0,；）上的函数/'（%）,已知/'‘（X）是它的导函数，且恒有cosx•/■'（X）+sinx•/（%）<0成立，则有（）A.偌）>V2/（5B.V3/（5>偌）C代）〉V3/（5 D./（5>二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若sin。

兰州市2018年高三诊断考试理科综合能力测试参考答案及评分参考一、选择题：本大题共13小题，每小题6分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B2.C3.A4.D5.A6.D7.D8.D9.B 10.C 11.A 12.B 13.C二、选择题：本题共8小题，每小题6分。

在每小题给出的四个选项中，第14~17题只有一项符合题目要求，第18~21题有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。

14.D 15.C 16. B 17.D 18. BD 19.AD 20. AC 21. BC三、非选择题：包括必考题和选考题两部分。

第22题～第32题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第33题～第38题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题（共129分）22．（1）B （2分）（2）F ′ （3分） 23. （1）BD （2分） （2）()122121I I R R I I E --=或()122112I I R R E I I -=-（2分）122211I I R I R I r --=或221112I R I R r I I -=- （2分）（3）等于 （2分） 大于 （2分）24.（1）导体棒匀速运动产生的感应电动势为V 6==BLv E ………………（2分）感应电流为A 4=+=rR EI …………………………………….（2分）由导体棒受力平衡可得N 4.3sin sin =+=+=θθmg BIL mg F F 安…………………（2分） （2）撤去外力后，由动能定理2210sin mv W l mg -=--克θ…………………（2分） 得J 8=克W …………………（1分）电阻R 上产生的热J 316832=⨯=Q …………………（1分）电量C 8.0=+∆=rR q φ电…………………（2分）25．（1）设物块达到B 点是的速度为v 1，由牛顿第二定律 2111-m v N m g R= ①……..（1分）从A 到B 有功能关系 2111f 1-2W m gR m v =克 ②………………………………..（2分） 由①②解得 W 克f =36J ………………………………………………………………..（1分） （2）设物块在C 点的速度为v 2，从B 到C 时间为t ， 由动能定理 2211121111-22m gL m v m v μ=- ③……………………………………….（1分） 解得v 2=4m/s …………………………………………………………………………（1分）由牛顿第二定律 11m g m a μ= ④………………………………………………….（1分） 解得2s /m 2=a ……………………………………………………………………...（1分）由③④解得从B 到C 的时间为s 121=-=av v t ………………………………...（1分） （3）当平板车固定时，由动能定理 2122102m v fL -=-……………………...（1分）解得 f =4N ⑤………………………………………………………………...（1分）（用题目中μ=0.2和f =μmg =4N 算出摩擦力的，这一问不得分，但不影响后面的得分）当平板车不固定时，假设物块恰好不能滑离小车，它停在小车最右端时二者共同的速度为v 3，物块相对小车滑行的距离为x ，物块与平板车组成的系统动量守恒 32121)(v m m v m += ⑥ 物块与平板车组成的系统能量守恒 22121231122fx m v m m v =-+（） ⑦ 由⑤⑥⑦解得x =m 34∵x ＞1m ∴物块将滑离小车…………………………………………...（4分）设物块滑离小车时物块的速度为v 4，小车的速度为v 5， 物块与平板车组成的系统动量守恒 524121v m v m v m += ⑧……………（2分） 物块与平板车组成的系统能量守恒 2223121425111222fL m v m v m v =-- ⑨…（2分） 由⑤⑧⑨解得s /m 3104=v ，54/3v m s =….（1分）另一组解不合题意舍去s /m 24=v ，s /m 45=v26.（1）①2Na 2S + Na 2CO 3 + 4SO 2=3Na 2S 2O 3 + CO 2 （2分）②品红、溴水或酸性KMnO 4溶液（1分）溶液颜色很快褪色（其他合理答案即可）（2分）③控制SO 2的流速或增大反应物的浓度 （其他合理答案即可） （2分） （2）蒸发浓缩、降温结晶 （2分）（3）取制得的Na 2S 2O 3·5H 2O 产品少量于试管中，加水溶解再加入稀盐酸调至酸性，静置片刻，再取上层清液于试管中，加入BaCl 2溶液，有白色沉淀产生，则证明含Na 2SO 4杂质 ,否则不含Na 2SO 4。

兰州市数学高三理数一诊理科试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高一上·漳平月考) 设全集为R,函数的定义域为M,则 =（）A .B .C .D .2. （2分） (2019高三上·长治月考) 已知复数满是且，则的值为（）A . 2B . -2或2C . 3.D . -3或33. （2分） (2019高二下·永清月考) “ ”是“函数在内存在零点”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分）根据给出的算法框图，计算f(-1)+f(2)=（）A . 0B . 1C . 2D . 45. （2分） (2017高一上·南昌期末) 已知角θ的终边过点（4，﹣3），则cos（π﹣θ）的值为（）A .B . ﹣C .D . ﹣6. （2分）(2019·湖北模拟) 在平面直角坐标系中，已知点，动点P满足，其中，则点P落在三角形里面的概率为（）A .B .C .D .7. （2分）已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为24，则该几何体的底面积是（）A . 6B . 12C . 18D . 248. （2分）已知O为正三角形ABC内一点，且满足++(1+)=，若△OAB的面积与△OAC的面积比值为3，则λ的值为（）A .B . 1C . 2D . 39. （2分）(2017·长沙模拟) 已知函数f（x）= sin（x+ ）﹣ cos（x+ ），若存在x1 ， x2 ，x3 ，…，xn满足0≤x1＜x2＜x3＜…＜xn≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…，则n的最小值为（）A . 6B . 10C . 8D . 1210. （2分）(2017·唐山模拟) 函数f（x）= （其中e为自然对数的底数）的图象大致为（）A .B .C .D .11. （2分）(2018·凯里模拟) 已知抛物线的焦点是椭圆（）的一个焦点，且该抛物线的准线与椭圆相交于、两点，若是正三角形，则椭圆的离心率为（）A .B .C .D .12. （2分） (2015高一上·柳州期末) 若函数f（x）= 是R上的增函数，则实数a的取值范围为（）A . （1，+∞）B . （1，8）C . （4，8）D . [4，8）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）（1+x）4+（1+x）5+…+（1+x）9展开式中，x3项的系数为________．14. （1分）(2018·吉林模拟) 已知实数满足条件 ,则的最大值是________15. （1分）在棱锥A﹣BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，E为底面BCD上一点，若E到三个侧面的距离分别为3，4，5，则以线段AE为直径的球的表面积为________．16. （1分） (2016高二上·扬州开学考) 设函数y=sinωx（ω＞0）在区间上是增函数，则ω的取值范围为________．三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分）(2018·商丘模拟) 在中，内角所对的边分别为，若，且 .（1）求证：成等比数列；（2）若的面积是2，求边的长.18. （10分） (2016高三上·湖州期中) 已知在递增等差数列{an}中，a1=2，a3是a1和a9的等比中项．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若bn= ，Sn为数列{bn}的前n项和，是否存在实数m，使得Sn＜m对于任意的n∈N+恒成立？若存在，请求实数m的取值范围，若不存在，试说明理由．19. （10分）如图，多面体ABCDPE的底面ABCD是平行四边形，AD=AB=2,=0，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=2EC=2．（1）若棱AP的中点为H，证明：HE∥平面ABCD；（2）求二面角A﹣PB﹣E的大小．20. （10分） (2016高二上·天心期中) 设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0．（1）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（2）若a是从区间[0，3]任取的一个数，b是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．21. （10分）已知函数f（x）=lnx+ ，其中a∈R．（Ⅰ）当a= 时，求f（x）的零点的个数；（Ⅱ）若函数g（x）=xf（x）﹣a+ x2﹣x有两个极值x1 ， x2 ，且x1＜x2 ，求证：lnx1+lnx2＞2．22. （10分）(2017·衡水模拟) [选修4-4：参数方程与极坐标系]已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线C2的直角坐标系方程；（Ⅱ）设M1是曲线C1上的点，M2是曲线C2上的点，求|M1M2|的最小值．23. （10分）(2017·南充模拟) 已知函数f（x）=|x﹣m|﹣2|x﹣1|（m∈R）（1）当m=3时，求函数f（x）的最大值；（2）解关于x的不等式f（x）≥0．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共70分) 17-1、17-2、18-1、19-1、20-1、20-2、22-1、23-1、23-2、。

2018年甘肃省第一次高考诊断考试理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集U R =，集合{}2A x x =≥，{}06B x x =≤<，则集合()U （ ）A ．{}02x x << B ．{}02x x <≤ C ．{}02x x ≤< D ．{}02x x ≤≤ 2. 在复平面内复数34iz i+=、 (i 是虚数单位)对应的点在（ ） A ． 第一象限 B ．第二象限 C ． 第三象限 D ．第四象限 3. 向量(,1)a m =，(1,)b m =，则“1m =”是“//a b ”的（ ）A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充要条件D ． 既不充分也不必要条件4. 若实数x ，y 满足10,10,0,x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则2z x y =+的最大值是（ ）A ．-1B ． 1 C. 2 D ．35. 某几何体挖去两个半球体后的三视图如图所示，若剩余几何体的体积为23π，则a 的值为（ ） A ．1 B ．2 C. D6. 已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，n S 为其前n 项和，若11a =，3564a a ⋅=，则6S =（ ） A ． 65 B ．64 C. 63 D ．627. 中国古代三国时期的数学家赵爽,创作了一幅“勾股弦方图”，通过数形结合，给出了勾股定理的详细证明.如图所示,在“勾股弦方图”中，以弦为边长得到的正方形ABCD 是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成，这一图形被称作“赵爽弦图”.若7cos 225BAE ∠=，则在正方形ABCD 内随机取一点，该点恰好在正方形EFGH 内的概率为（ ）A ．2425 B ． 45 C. 35 D ．1258. 过直线23y x =+上的点作圆2246120x y x y +-++=的切线，则切线长的最小值为（ ）A ．19B ．25 C. 21 D ．5559. 如图所示，若程序框图输出的所有实数对(,)x y 所对应的点都在函数2()f x ax bx c =++的图象上，则1()0f x dx =⎰（ ）A ．1011 B ． 1112 C. 1312 D ．121110.过双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的右焦点(22,0)F 作两条渐近线的垂线，垂足分别为,A B ，点O 为坐标原点，若四边形OAFB 的面积为4，则双曲线的离心率为（ ） A ．22 B ．2+1 C. 3 D ．211. 如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的正方形，PA ⊥平面ABCD ，且4PA =，M 是PB 上的一个动点，过点M 作平面//α平面PAD ，截棱锥所得图形面积为y ，若平面α与平面PAD 之间的距离为x ，则函数()y f x =的图象是（ ）A ．B ． C.D ．12.对于任意0b >，a R ∈，不等式[][]222(2)ln (1)b a b a m m --+--≥-恒成立，则实数m 的最大值为（ ）A ．e ．2 C. e D ．3第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本题共4小题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.二项式62()x x-的展开式中的常数项是 ．(用数字作答) 14. 已知数列{}n a 满足115a =，12()n n a a n N n *+-=∈，则n an的最小值为 ． 15. 在某班举行的成人典礼上，甲、乙、丙三名同学中的一人获得了礼物. 甲说：“礼物不在我这”； 乙说：“礼物在我这”； 丙说：“礼物不在乙处”.如果三人中只有一人说的是真的，请问 (填“甲”、“乙”或“丙”)获得了礼物. 16.抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过准线上一点N 作NF 的垂线交y 轴于点M ，若抛物线C 上存在点E ，满足2NE NM NF =+u u u r u u u u r u u u r，则MNF ∆的面积为 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.ABC ∆中，三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若(cos ,cos )m B C =，(2,)n a c b =+，且m n ⊥.（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若6b =，求ABC ∆周长的取值范围.18. 四棱台被过点11,,A C D 的平面截去一部分后得到如图所示的几何体，其下底面四边形ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，1BB ⊥平面ABCD ，12BB =. （Ⅰ）求证：平面1AB C ⊥平面1BB D ；（Ⅱ）若1AA 与底面ABCD 所成角的正切值为2，求二面角11A BD C --的余弦值.19.2017年12月，针对国内天然气供应紧张的问题，某市政府及时安排部署，加气站采取了紧急限气措施，全市居民打响了节约能源的攻坚战.某研究人员为了了解天然气的需求状况，对该地区某些年份天然气需求量进行了统计，并绘制了相应的折线图.（Ⅰ）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合年度天然气需示量y (单位：千万立方米)与年份x (单位：年)之间的关系.并且已知y 关于x 的线性回归方程是ˆˆ6.5yx a =+，试确定ˆa 的值，并预测2018年该地区的天然气需求量；（Ⅱ）政府部门为节约能源出台了《购置新能源汽车补贴方案》，该方案对新能源汽车的续航里程做出了严格规定，根据续航里程的不同，将补贴金额划分为三类，A 类：每车补贴1万元，B 类：每车补贴2.5万元，C 类：每车补贴3.4万元.某出租车公司对该公司60辆新能源汽车的补贴情况进行了统计，结果如下表：类型A 类B 类C 类为了制定更合理的补贴方案，政府部门决定利用分层抽样的方式了解出租车公司新能源汽车的补贴情况，在该出租车公司的60辆车中抽取6辆车作为样本，再从6辆车中抽取2辆车进一步跟踪调查.若抽取的2辆车享受的补贴金额之和记为“ξ”，求ξ的分布列及期望.20.椭圆2222:1x y E a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 作垂直于x 轴的直线l 与椭圆E 在第一象限交于点P ，若15PF =，且23a b =. （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）A ，B 是椭圆C 上位于直线l 两侧的两点.若直线AB 过点(1,1)-，且22APF BPF ∠=∠，求直线AB 的方程.21. 已知函数()ln f x a x =，a R ∈.（Ⅰ）若曲线()y f x =与曲线()g x =a 的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，试问函数1()()12xxe F x xf x -=-+是否有零点？如果有，求出该零点；若没有，请说明理由.(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑.按所涂题号进行评分不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线221:((1)4C x y +-=，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，将曲线1C 绕极点逆时针旋转6π后得到的曲线记为2C . （Ⅰ）求曲线1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）射线3πθ=（0p >）与曲线1C ，2C 分别交于异于极点O 的A ，B 两点，求AB .23.选修4-5：不等式选讲已知函数()2f x m x =--，m R ∈，且(1)0f x +≥的解集为[]0,2. （Ⅰ）求m 的值； （Ⅱ）若a ，b ，c R ∈，且11123m a b c++=，求证：239a b c ++≥.2018年甘肃省第一次高考诊断理科数学考试参考答案及评分标准一、选择题1-5: CDACB 6-10: CDABD 11、12：DB二、填空题13. -160 14.27415. 甲 16.2三、解答题17.解:（Ⅰ）∵m n ⊥，则有cos (2)cos 0B a c C b ⋅++⋅=， ∴cos (2sin sin )cos sin 0B A C C B ⋅++⋅=∴2cos sin (sin cos cos sin )sin()sin B A C B C B B C A =-⋅+⋅=-+=-， ∴1cos 2B =-，∴23B π=. （Ⅱ）根据余弦定理可知2222cos b a c ac B =+-，∴2236a c ac =++，又∵236()a c ac =+-，∴22()36()2a c a c ac ++-=≤，∴6a c <+≤则ABC ∆周长的取值范围是(12,6+.18.解：（Ⅰ）∵1BB ⊥平面ABCD ，∴1BB AC ⊥. 在菱形ABCD 中，BD AC ⊥，又1BD BB B ⋂=，∴AC ⊥平面1BB D ， ∵AC ⊂平面1AB C ，∴平面1AB C ⊥平面1BB D . （Ⅱ）∵1BB ⊥平面ABCD∴1AA 与底面ABCD 所成角为1A AB ∠，∴1tan 2A AB ∠=，∴111A B = 设BD ,AC 交于点O ，以O 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系. 则(0,1,0)B -，(0,1,0)D ，1(0,1,2)B -,(3,0,0)A .111131(,,2)22B A BA A =⇒-u u u u r u u u r ，同理131(,,2)2C --， 131(,,2)2BA =u u u r ，(0,2,0)BD =u u u r ，131(,,2)22BC =-u u u u r .设平面1A BD 的法向量(,,)n x y z =，∴10,0,BA n BD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r 则(4,0,3)n =-， 设平面1C BD 的法向量(,,)m x y z '''=，10,0,BD m BC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u ur 则(4,0,3)m =， 设二面角11A BD C --为θ，13cos 19m n m n θ⋅==. 19. 解：（Ⅰ）如折线图数据可知2008201020122014201620125x ++++==236246257276286260.25y ++++==代入线性回归方程ˆˆ6.5yx a =+可得ˆ12817.8a =-. 将2018x =代入方程可得ˆ299.2y=千万立方米. （Ⅱ）根据分层抽样可知A 类，B 类，C 类抽取人数分别为1辆， 2辆，3辆则当A 类抽1辆，B 类抽1辆时，=3.5ξ，此时1112262( 3.5)15C C P C ξ===； 当A 类抽1辆，C 类抽1辆时， 4.4ξ=，此时1113263( 4.4)15C C P C ξ===； 当B 类抽1辆，C 类抽1辆时， 5.9ξ=，此时11232662( 5.9)155C C P C ξ====； 当B 类抽2辆时，=5ξ，此时22261(5)15C P C ξ===；当C 类抽2辆时， 6.8ξ=，此时232631( 6.8)155C P C ξ====.所以ξ的分布列为：∴ 3.5 4.4 5.95 6.8151551555E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（万元） 20.解：（Ⅰ）由题可得223b PF a ==，因为15PF =，由椭圆的定义得4a =，所以212b =，所以椭圆E 方程为2211612x y +=. （Ⅱ）易知点P 的坐标为(2,3).因为22APF BPF ∠=∠，所以直线PA ，PB 的斜率之和为0.设直线PA 的斜率为k ，则直线PB 的斜率为k -，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则直线PA 的方程为3(2)y k x -=-，由223(2)11612y k x x y -=-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得222(3+4)8(32)4(32)480k x k k x k +-+--=，∴128(23)234k k x k ++=+同理直线PB 的方程为3(2)y k x -=--，可得2228(23)8(23)23434k k k k x k k ---++==++， ∴2122161234k x x k -+=+，1224834kx x k --=+， 121212121212(2)3(2)3()412AB y y k x k x k x x k k x x x x x x --++--+-====---，∴满足条件的直线AB 的方程为11(1)2y x +=-，即为230x y --=. 21.解：（Ⅰ）函数()ln f x a x =的定义域为(0)+∞,，()af x x '=，()g x '= 设曲线()y f x =与曲线()g x =00(,)x y由于在公共点处有共同的切线，所以0a x =，解得204x a =，0a >. 由00()()f x g x =可得0ln a x =.联立2004,ln x a a x ⎧=⎪⎨=⎪⎩解得2e a =.（Ⅱ）函数1()()12x xe F x xf x -=-+是否有零点，转化为函数()()ln 2eH x xf x x x == 与函数1()12xxe G x -=-在区间(0,)x ∈+∞是否有交点， ()()ln 2e H x xf x x x ==，可得()ln (1ln )222e e eH x x x '=+=+， 令()0H x '>，解得1(,)x e ∈+∞，此时函数()H x 单调递增；令()0H x '<，解得1(0,)x e∈，此时函数()H x 单调递减.∴当1x e =-时，函数()H x 取得极小值即最小值，11()2H e =-.1()12x xe G x -=-可得11()(1)2x G x x e -'=-，令()0G x '>，解得01x <<，此时函数()G x 单调递增；令()0G x '<，解得1x >，此时函数()G x 单调递减.∴当1x =时，函数()G x 取得极大值即最大值，1(1)2G =-. 因此两个函数无交点.即函数1()()12xxe F x xf x -=-+无零点.22.解：曲线221:((1)4C x y +-=化为极坐标方程是2sin ρθθ=+设曲线2C 上的点(,)Q ρθ绕极点顺时针旋转6π后得到(,)6P πρθ-在1C 上，代入可得2C 的极坐标方程是2cos ρθθ=+.（Ⅱ）将3πθ=（0ρ>）分别代入1C ，2C 的极坐标方程，得到1ρ=24ρ=124AB ρρ=-=-23.（Ⅰ）()01011f x m x m x m ≥⇒--≥⇒-≤≤+由(+1)0f x ≥的解集为[]02，可知1m =. （Ⅱ）111123a b c++=则 111233223(22)()111232233b c a c a b a b c a b c a b c a a b b c c++=++++=++++++++ 233233692323b a c a c b a b a c b c=++++++≥+= 当且仅当23a b c ==时等号成立，即3a =，32b =，1c =时等号成立.。

2018年甘肃省兰州市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集U =R ，集合M ={x|x ≥0}，集合N ={x|x 2<1}，则M ∩(∁U N)=（ ） A.(0, 1) B.[0, 1] C.[1, +∞) D.(1, +∞)2. 已知复数z =−5+12i （i 是虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A.复数z 的实部为5 B.复数z 的虚部为12iC.复数z 的共轭复数为5+12iD.复数z 的模为133. 已知数列{a n }为等比数列，且a 2a 6+2a 42=π，则tan(a 3a 5)=( ) A.√3 B.−√3 C.−√33D.±√3 4. 双曲线x 2a2−y 2b 2=1的一条渐近线与抛物线y =x 2+1只有一个公共点，则双曲线的离心率为（ ） A.54B.5C.√54D.√55. 在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM =1，点P 在AM 上且满足学AP →=2PM →，则PA →⋅(PB →+PC →)等于（ ） A.−49 B.−43C.43D.496. 数列{a n }中，a 1=1，对任意n ∈N ∗，有a n+1=1+n +a n ，令b i =1a i，(i ∈N ∗)，则b 1+b 2+...+b 2018=( ) A.20171009 B.20172018C.20182019D.403620197. 若(x +1x +1)n 的展开式中各项的系数之和为81，则分别在区间[0, π]和[0, n4]内任取两个实数x ，y ，满足y >sinx 的概率为（ ） A.1−1πB.1−2πC.1−3πD.128. 刘徽《九章算术注》记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”．意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫做堑堵，沿堑堵的一顶点与其相对的面的对角线剖开成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积之比为定值2:1，这一结论今称刘徽原理．如图是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（ ）A.4πB.3πC.√3πD.√32π9. 某程序框图如图所示，则程序运行后输出的S的值是（）A.1008B.2017C.2018D.302510. 设p：实数x，y满足(x−1)2+\lbracky−(2−√2)brack2≤3−2√2；q：实数x，y满足{x−y≤1x+y≥1y≤1，则p是q的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要的条件11. 已知圆C:(x−1)2+(y−4)2=10和点M(5,t)，若圆C上存在两点A，B，使得MA⊥MB，则实数t的取值范围为（）A.[−2,6]B.[−3,5]C.[2,6]D.[3,5]12. 定义在(0,π2)上的函数f(x)，已知f′(x)是它的导函数，且恒有cosx⋅f′(x)+sinx⋅f(x)<0成立，则有（）A.f(π6)>√2f(π4) B.√3f(π6)>f(π3)C.f(π6)>√3f(π3) D.f(π6)>√3f(π4)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若sin(π4−α)=−25，则cos(π4+α)=________．14. 已知样本数据a1，a2，……a2018的方差是4，如果有b i=a i−2(i=1, 2,…,2018)，那么数据b1，b2，……b2018的均方差为________．15. 设函数f(x)=sin(2x +φ)(|φ|<π2)向左平移π3个单位长度后得到的函数是一个奇函数，则φ=________．16. 函数f(x)=1+x −x 22+x 33，g(x)=1−x +x 22−x 33，若函数F(x)=f(x +3)g(x −4)，且函数F(x)的零点均在[a, b](a <b, a, b ∈Z)内，则b −a 的最小值为________． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17. 已知向量a →=(cos2x,sin2x)，b →=(√3,1)，函数f(x)=a →∗b →+m ．（1）求f(x)的最小正周期；（2）当x ∈[0,π2brack 时，f(x)的最小值为5，求m 的值．18. 如图所示，矩形ABCD 中，AC ∩BD =G ，AD ⊥平面ABE ，AE =EB =BC =2，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE ． （1）求证：AE ⊥平面BCE ；（2）求平面BCE 与平面CDE 所成角的余弦值．19. 某地一商场记录了12月份某5天当中某商品的销售量y （单位：kg ）与该地当日最高气温x （单位：∘C ）的相关数据，如表：（1）试求y 与x 的回归方程y ^=b ^x +a ^；（2）判断y 与x 之间是正相关还是负相关；若该地12月某日的最高气温是6∘C ，试用所求回归方程预测这天该商品的销售量；（3）假定该地12月份的日最高气温X ∼N(μ, σ2)，其中μ近似取样本平均数x ，σ2近似取样本方差s 2，试求P(3.8<X <13.4)．附：参考公式和有关数据{b ^=∑−i=1n xiyi nxy ∑x i 2n i=1−nx 2=∑(n i=1x i −x)(y i −y)∑(x i −x)2n i=1a ^=y −b ^x ，√10≈3.2，√3.2≈1.8，若X ∼N(μ, σ2)，则P(μ−σ<X <μ+σ)=0.6826，且P(μ−2σ<X <μ+2σ)=0.9544．20. 已知圆C ：(x +1)2+y 2=8，过D(1, 0)且与圆C 相切的动圆圆心为P ． （1）求点P 的轨迹E 的方程；（2）设过点C 的直线l 1交曲线E 于Q ，S 两点，过点D 的直线l 2交曲线E 于R ，T 两点，且l 1⊥l 2，垂足为W （Q ，R ，S ，T 为不同的四个点）．①设W(x 0, y 0)，证明：x 022+y 02<1；②求四边形QRST 的面积的最小值21. 已知函数f(x)=x+tx−1e x−1，其中e 为自然对数的底数． （1）证明：当x >1时，①ln √x <√x −1，②e x−1>x ；（2）证明：对任意x >1，t >−1，有f(x)>√x(1+12lnx)．选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的参数方程是{x =√22t y =√22t +4√2 （t 是参数），圆C 的极坐标方程为ρ=2cos(θ+π4)．（1）求圆心C 的直角坐标；（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，并切线长的最小值． [选修4-5：不等式选讲]23. 设函数f(x)=|x −a|+2x ，其中a >0．（1）当a =2时，求不等式f(x)≥2x +1的解集；（2）若x ∈(−2, +∞)时，恒有f(x)>0，求a 的取值范围．参考答案与试题解析2018年甘肃省兰州市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】此题暂无解析【解答】解：∵N={x|−1<x<1}，U=R，∴∁U N={x|x≤−1或x≥1}．∵M={x|x≥0}，∴M∩(∁U N)=[1,+∞)．故选C．2.【答案】D【考点】虚数单位i及其性质复数的运算复数求模复数的基本概念【解析】直接利用复数的基本概念得选项．【解答】∵z=−5+12i，∴z的实部为−5，虚部为12，z的共轭复数为−5−12i，模为√(−5)2+(12)2=13．∴说法正确的是复数z的模为13．3.【答案】A【考点】等比数列的通项公式【解析】由等比数列{a n}的性质可得：a2a6=a3a5=a42，根据a2a6+2a42=π=3a3a5，可得a3a5．利用三角函数求值即可得出．【解答】由等比数列{a n}的性质可得：a2a6=a3a5=a42，∴a2a6+2a42=π=3a3a5，∴a3a5=π．3=√3．则tan(a3a5)=tanπ34.【答案】 D【考点】 圆锥曲线 【解析】先根据双曲线方程表示出渐近线方程与抛物线方程联立，利用判别式等于0求得a 和b 的关系，进而求得a 和c 的关系，则双曲线的离心率可得． 【解答】依题意可知双曲线渐近线方程为y =±ba x ，与抛物线方程联立消去y 得x 2±ba x +1=0∵ 渐近线与抛物线有一个交点 ∴ △=b 2a 2−4=0，求得b 2=4a 2，∴ c =√a 2+b 2=√5a ， ∴ e =ca =√5，5.【答案】 A【考点】平行向量的性质平面向量数量积的性质及其运算律 【解析】由M 是BC 的中点，知AM 是BC 边上的中线，又由点P 在AM 上且满足AP →=2PM →可得：P 是三角形ABC 的重心，根据重心的性质，即可求解． 【解答】∵ M 是BC 的中点，知AM 是BC 边上的中线，又由点P 在AM 上且满足AP →=2PM →∴ P 是三角形ABC 的重心 ∴ PA →∗(PB →+PC →) =PA →∗AP →=−|PA →|2 又∵ AM =1 ∴ |PA →|=23∴ PA →∗(PB →+PC →)=−496.【答案】 D【考点】 数列递推式 【解析】a n+1=1+n +a n ，即a n+1−a n =n +1．n ≥2时，a n =(a n −a n−1)+(a n−1−a n−2)+……+(a 2−a 1)+a 1，可得a n ．b n =1a n=2n(n+1)=2(1n −1n+1)，利用裂项求和方法即可得出． 【解答】a n+1=1+n +a n ，即a n+1−a n =n +1．∴ n ≥2时，a n =(a n −a n−1)+(a n−1−a n−2)+……+(a 2−a 1)+a 1 =n +(n −1)+……+2+1 =n(n+1)2．n =1时也成立．b n =1a n=2n(n+1)=2(1n−1n+1)，则b 1+b 2+...+b 2018=2[(1−12)+(12−13)+……+(12018−12019)brack =2(1−12019) =40362019．7.【答案】 B【考点】二项式定理的用法 【解析】根据几何概型的概率公式，求出对应事件对应的平面区域的面积，进行求解即可 【解答】由题意知，令x =1，得到3n =81，解得 n =4，∴ 0≤x ≤π，0≤y ≤1． 作出对应的图象如图所示：则此时对应的面积S =π×1=π， 满足y ≥sinx 的点构成区域的面积为： S =∫πsinxdx =−cosx|π=−cosπ+cos0=2，则满足y >sinx 的概率为P =1−2π． 故选：B ．8.【答案】D【考点】由三视图求体积球的体积和表面积球内接多面体【解析】根据三视图得出四棱锥的结构特征，根据阳马与长方体的关系计算长方体的棱长，得出外接球的体积．【解答】由题意可知阳马为四棱锥，且四棱锥的底面为长方体的一个侧面，四棱锥的高为长方体的一棱长，且阳马的外接球也是长方体的外接球．由三视图可知四棱锥的底面是边长为1的正方形，四棱锥的高为，1，∴长方体的一个顶点处的三条棱长分别为1，1，1，∴长方体的对角线为√3，∴外接球的半径为√32，∴外接球的体积为V=4π3∗(√32)3=√3π2．9.【答案】A【考点】程序框图【解析】本题主要考查程序框图，同时考查了三角函数的相关知识.【解答】解：执行程序框图可知，输出的S=a1+a2+⋯+a2016+a2017+a2018=(0+1)+(−2+1)+(0+1)+(4+1)+⋯+(0+1)+(−2014+1)+(0+1)+ (2016+1)+(0+1)+(−2018+1)=6×20164+1−2017=3024+1−2017=1008, 故输出的S的值是1008.故选A.10.【答案】B【考点】充分条件【解析】分别作出p，q对应区域，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】(x−1)2+\lbracky−(2−√2)brack2≤3−2√2=(√2−1)2，则p对应的表达式表示以(1, 2−√2)为圆心，半径r=√2−1的圆及其内部，q对应的平面区域为三角形内部，由图象知p对应区域都在三角形内，则p是q的充分不必要条件，方法2：圆心(1, 2−√2)到y=1的距离d=1−(2−√2)=√2−1=R，圆心(1, 2−√2)到x−y=1的距离d=√2)−1|√2=√2√2=√2−1=R，圆心(1, 2−√2)当x+y=1的距离d=√2−1|√2=√2−1=R，即p对应的区域都在q对应三角形区域内部，则p是q的充分不必要条件，11.【答案】C【考点】直线与圆的位置关系【解析】本题考查直线与圆的位置关系．【解答】解：由题意，知满足条件的t的值在直线x=5的两个点的纵坐标之间取值，过此两个点与圆相切的两条直线互相垂直．设过点(5,t)的直线方程为y−t=k(x−5)，由相切条件，得√k2+1=√10，整理，得6k2+8(4−t)k+(t−4)2−10=0，由题意知此方程的两根满足k1k2=−1，所以(t−4)2−106=−1，解得t=2或t=6，所以2≤t≤6．故选C．12.【答案】C【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】根据题意，令g(x)=f(x)cosx ，x∈(0, π2)，对其求导分析可得g′(x)<0，即函数g(x)为减函数，结合选项分析可得答案【解答】根据题意，令g(x)=f(x)cosx ，x∈(0, π2)，则其导数g′(x)=f′(x)cosx+sinxf(x)cos2x，又由x∈(0, π2)，且恒有cosx⋅f′(x)+sinx⋅f(x)<0，则有g′(x)<0，即函数g(x)为减函数，又由π6<π3，则有g(π6)>g(π3)，即f(π6)cosπ6>f(π3)cosπ3，分析可得f(π6)>√3f(π3)，又由π6<π4，则有g(π6)>g(π4)，即f(π6)cosπ6>f(π4)cosπ4，分析可得√2f(π6)>√3f(π4)，二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.【答案】−2 5【考点】两角和与差的三角函数【解析】根据(π4+α)+(π4−α)=π2，利用诱导公式求出对应数值．【解答】sin(π4−α)=−25，∴cos(π4+α)=cos[π2−(π4−α)]=sin(π4−α)=−25．14.【答案】4【考点】极差、方差与标准差【解析】根据一组数据的平均数与方差的定义和计算公式，即可推导出正确的结论．【解答】根据题意，样本数据a1，a2，…，a2018的平均数为a，其方差是4，则有s a2=12018[(a1−a )2+(a2−a )2+(a3−a )2+...+(a2018−a )2]= 4，对于数据b i=a i−2(i=1, 2,…,2018)，其平均数为b=12018(b1+b2+...+b2018)=12018[(a1−2)+(a2−2)+...+(a2018−2)]=a−2，其方差为s b2=12018[(b1−b )2+(b2−b )2+(b3−b )2+...+(b2018−b )2]=12018[(a1−a )2+(a2−a )2+(a3−a )2+...+(a2018−a )2]=4，15.【答案】π3【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】直接利用函数的图象的平移变换求出结果．【解答】函数f(x)=sin(2x+φ)(|φ|<π2)向左平移π3个单位长度后，得到：g(x)=sin(2x+2π3+φ)的函数是一个奇函数，则：φ+2π3=kπ(k∈Z)，解得：φ=kπ−2π3(k∈Z)，当k=1时，φ=π3．16.【答案】10【考点】函数与方程的综合运用【解析】根据函数单调性和零点的存在性定理判断f(x)与g(x)的零点所在区间，从而得出F(x)的零点所在区间．【解答】∵f′(x)=1−x+x2=(x−12)2+34>0，g′(x)=−1+x−x2=−(x−12)2−34<0，∴f(x)在R上单调递增，g(x)在R上单调递减，又f(−1)=−56<0，f(0)=1>0，g(1)=16>0，g(2)=−53<0，∴f(x)的唯一零点在(−1, 0)上，g(x)的唯一零点在(1, 2)上．令F(x)=0可得f(x+3)=0或g(x−4)=0，∴f(x+3)的唯一零点在(−4, −3)上，g(x−4)的唯一零点在(5, 6)上．∵函数F(x)的零点均在[a, b](a<b, a, b∈Z)内，∴a≤−4，b≥6．∴b−a的最小值为10．故答案为：10．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.【答案】由题意知：f(x)=cos(2x, sin2x)⋅(√3, 1)=√3cos2x+sin2x+m=2sin(2x+π3)+ m，所以f(x)的最小正周期为T=π．由（1）知：f(x)=2sin(2x+π3)+m，当x∈[0,π2brack时，2x+π3∈[π3,4π3brack．所以当2x+π3=4π3时，f(x)的最小值为−√3+m．又∵f(x)的最小值为5，∴−√3+m=5，即m=5+√3．【考点】平面向量数量积的性质及其运算律三角函数的周期性及其求法【解析】（1）根据向量的数量积公式和两角和的正弦公式可化简可得f(x)=2sin(2x+π3)+m，再根据周期的定义即可求出，（2）根据正弦函数的性质即可求出m的值．【解答】由题意知：f(x)=cos(2x, sin2x)⋅(√3, 1)=√3cos2x+sin2x+m=2sin(2x+π3)+ m，所以f(x)的最小正周期为T=π．由（1）知：f(x)=2sin(2x+π3)+m，当x∈[0,π2brack时，2x+π3∈[π3,4π3brack．所以当2x+π3=4π3时，f(x)的最小值为−√3+m．又∵f(x)的最小值为5，∴−√3+m=5，即m=5+√3．18.【答案】证明：因为AD⊥面ABE，所以AD⊥AE，又BC // AD，所以BC⊥AE．因为BF⊥面ACE，所以BF⊥AE．又BC∩BF=B，所以AE⊥面BCF，即AE⊥平面BCE．方法1：因为BF ⊥面ACE ，CE ⊂面ACE ，所以BF ⊥CE ， 又BC =BE ，所以F 为CE 中点，在△DEC 中，DE =CE =CD =2√2，所以DF ⊥CE ，∠BFD 为二面角B −CE −D 的平面角，cos∠BFD =BF 2+DF 2−BD 22∗BF∗DF=2∗√2∗√6=−√33． ∴ 平面BCE 与平面CDE 所成角的余弦值为√33．方法2：以E 为原点，EB 所在直线为x 轴，EA 所在直线为y 轴，过E 且垂直于平面ABE 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，则相关点的坐标为E(0, 0, 0)，B(2, 0, 0)，C(2, 0, 2)，D(0, 2, 2)，设平面BCE 的法向量n 1→，平面CDE 的法向量为n 2→，易知n 1→=(0,1,0)，令n 2→=(x,y,z)，则{n 2→∗EC →=0n 2→∗ED →=0 ，故{2x +2z =02y +2z =0，令x =1，得{x =1y =1z =−1，n 2→=(1,1,−1)， 于是，cos <n 1→,n 2→>=n 1→∗n 2→|n 1→||n 2→|=1∗√3=√33． 此即平面BCE 与平面CDE 所成角的余弦值． 【考点】直线与平面垂直二面角的平面角及求法 【解析】（1）证明AD ⊥AE ，BC ⊥AE ．推出AE ⊥面BCF ，得到AE ⊥平面BCE ．（2）方法1：说明∠BFD 为二面角B −CE −D 的平面角，通过求解三角形求解即可． 方法2：以E 为原点，EB 所在直线为x 轴，EA 所在直线为y 轴，过E 且垂直于平面ABE 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，求出平面BCE 的法向量n 1→，平面CDE 的法向量为n 2→，利用空间向量的数量积求解平面BCE 与平面CDE 所成角的余弦值． 【解答】证明：因为AD ⊥面ABE ，所以AD ⊥AE ， 又BC // AD ，所以BC ⊥AE ．因为BF ⊥面ACE ，所以BF ⊥AE ．又BC ∩BF =B ，所以AE ⊥面BCF ，即AE ⊥平面BCE ．方法1：因为BF ⊥面ACE ，CE ⊂面ACE ，所以BF ⊥CE ， 又BC =BE ，所以F 为CE 中点，在△DEC 中，DE =CE =CD =2√2，所以DF ⊥CE ，∠BFD 为二面角B −CE −D 的平面角，cos∠BFD =BF 2+DF 2−BD 22∗BF∗DF=2∗√2∗√6=−√33． ∴ 平面BCE 与平面CDE 所成角的余弦值为√33．方法2：以E 为原点，EB 所在直线为x 轴，EA 所在直线为y 轴，过E 且垂直于平面ABE 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，则相关点的坐标为E(0, 0, 0)，B(2, 0, 0)，C(2, 0, 2)，D(0, 2, 2)，设平面BCE 的法向量n 1→，平面CDE 的法向量为n 2→，易知n 1→=(0,1,0)，令n 2→=(x,y,z)，则{n 2→∗EC →=0n 2→∗ED →=0 ，故{2x +2z =02y +2z =0，令x =1，得{x =1y =1z =−1，n 2→=(1,1,−1)， 于是，cos <n 1→,n 2→>=n 1→∗n 2→|n 1→||n 2→|=1∗√3=√33． 此即平面BCE 与平面CDE 所成角的余弦值． 19.【答案】由题意，x =7，y =9，∑−i=1n xiyi nx y =287−5⋅7⋅9=−28，∑ni=1x i 2−nx 2=295−5⋅72=50，b ^=−2850=−0.56，a ^=y −b ^x =9−(−0.56)⋅7=12.92．所以所求回归直线方程为y ^=−0.56x +12.92．由b ^=−0.56<0知，y 与x 负相关．将x =6代入回归方程可得，y ^=−0.56∗6+12.92=9.56，即可预测当日销售量为9.56kg ． 由（1）知μ≈x =7，σ≈√S 2=3.2，所以P(3.8<X <13.4)=P(μ−σ<X <μ+2σ)=12P(μ−σ<X <μ+σ)+12P(μ−2σ<X <μ+2σ)=0.8185． 【考点】求解线性回归方程 正态分布密度曲线（1）利用公式求出bˆ，a ˆ，即可得出结论． （2）根据bˆ的正负即可判断．将x =6代入回归方程，可得预测这天该商品的销售量； （3）根据X ∼N(μ, σ2)即可计算． 【解答】由题意，x =7，y =9，∑−i=1n xiyi nx y =287−5⋅7⋅9=−28，∑ni=1x i 2−nx 2=295−5⋅72=50，b ^=−2850=−0.56，a ^=y −b ^x =9−(−0.56)⋅7=12.92．所以所求回归直线方程为y ^=−0.56x +12.92．由b ^=−0.56<0知，y 与x 负相关．将x =6代入回归方程可得，y ^=−0.56∗6+12.92=9.56，即可预测当日销售量为9.56kg ． 由（1）知μ≈x =7，σ≈√S 2=3.2，所以P(3.8<X <13.4)=P(μ−σ<X <μ+2σ)=12P(μ−σ<X <μ+σ)+12P(μ−2σ<X <μ+2σ)=0.8185． 20.【答案】设动圆半径为r ，则|PC|=2√2−r,|PD|=r,|PC|+|PD|=2√2>|CD|=2， 由椭圆定义可知，点P 的轨迹E 是椭圆， 其方程为x 22+y 2=1．①证明：由已知条件可知，垂足W 在以CD 为直径的圆周上， 则有x ∘2+y ∘2=1，又因Q ，S ，R ，T 为不同的四个点，x∘22+y∘2<1．②若l 1或l 2的斜率不存在，四边形QRST 的面积为2． 若两条直线的斜率存在，设l 1的斜率为k 1， 则l 1的方程为y =k 1(x +1)， 联立{y =k 1(x +1)x 22+y 2=1，得(2k 2+1)x 2+4k 2x +2k 2−2=0， 则|QS|=2√2k 2+12k 2+1，同理得|RT|=2√2k 2+1k 2+2，∴ S QSRT =12|QS|∗|RT|=4(k 2+1)2(2k 2+1)(k 2+2)≥4(k 2+1)294(k 2+1)2=169，当且仅当2k 2+1=k 2+1，即k =±1时等号成立．综上所述，当k =±1时，四边形QRST 的面积取得最小值为169．轨迹方程直线与椭圆结合的最值问题【解析】（1）设动圆半径为r，则|PC|=2√2−r,|PD|=r,|PC|+|PD|=2√2>|CD|=2，由椭圆定义能求出点P的轨迹E的方程．（2）①由已知条件可知，垂足W在以CD为直径的圆周上，由Q，S，R，T为不同的四个点，能够证明x∘22+y∘2<1．②若l1或l2的斜率不存在，四边形QRST的面积为2．若两条直线的斜率存在，设l1的斜率为k1，则l1的方程为y=k1(x+1){y=k1(x+1)x22+y2=1，得|QS|=2√2k2+12k2+1，同理得|RT|=2√2k2+1k2+2，由此能求出四边形QRST的面积取得最小值．【解答】设动圆半径为r，则|PC|=2√2−r,|PD|=r,|PC|+|PD|=2√2>|CD|=2，由椭圆定义可知，点P的轨迹E是椭圆，其方程为x22+y2=1．①证明：由已知条件可知，垂足W在以CD为直径的圆周上，则有x∘2+y∘2=1，又因Q，S，R，T为不同的四个点，x∘22+y∘2<1．②若l1或l2的斜率不存在，四边形QRST的面积为2．若两条直线的斜率存在，设l1的斜率为k1，则l1的方程为y=k1(x+1)，联立{y=k1(x+1)x22+y2=1，得(2k2+1)x2+4k2x+2k2−2=0，则|QS|=2√2k2+12k2+1，同理得|RT|=2√2k2+1k2+2，∴S QSRT=12|QS|∗|RT|=4(k2+1)2(2k2+1)(k2+2)≥4(k2+1)294(k2+1)2=169，当且仅当2k2+1=k2+1，即k=±1时等号成立．综上所述，当k=±1时，四边形QRST的面积取得最小值为169．21.【答案】f(x)>√x(1+12lnx)，即x+tx−1e x−1>√x(1+12lnx)=√x(1+ln√x)，由(1)ln√x<√x−1，所以1+ln√x<√x，√x(1+ln√x)<√x∗√x=x，所以，只需证x<x+tx−1e x−1，即(x+t)e x−1>x2−x，由（1）e x−1>x，所以只需证(x+t)x>x2−x，只需证x+t>x−1，即t>−1，上式已知成立，故原式成立，得证．【考点】函数恒成立问题不等式的证明【解析】（1）利用函数的导数，判断函数的单调性，然后证明不等式；（2）化简不等式利用（1）的结论，通过分析法转化证明即可．【解答】f(x)>√x(1+12lnx)，即x+tx−1e x−1>√x(1+12lnx)=√x(1+ln√x)，由(1)ln√x<√x−1，所以1+ln√x<√x，√x(1+ln√x)<√x∗√x=x，所以，只需证x<x+tx−1e x−1，即(x+t)e x−1>x2−x，由（1）e x−1>x，所以只需证(x+t)x>x2−x，只需证x+t>x−1，即t>−1，上式已知成立，故原式成立，得证．选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.【答案】∵圆C的极坐标方程为ρ=2cos(θ+π4)．∴ρ=√2cosθ−√2sinθ，∴ρ2=√2ρcosθ−√2ρsinθ，∴圆C的直角坐标方程为x2+y2−√2x+√2y=0，即(x−√22)2+(y+√22)2=1，∴圆心直角坐标为(√22,−√22)．解法一：直线l上的点向圆C引切线长是：√(√22t−√22)2+(√22t+√22+4√2)2−1=√t2+8t+40=√(t+4)2+24≥2√6，∴直线l上的点向圆C引的切线长的最小值是2√6．解法二：直线l的普通方程为x−y+4√2=0，∴圆心C到直线l距离是|√22+√22+4√2|√2=5，∴直线l上的点向圆C引的切线长的最小值是√52−12=2√6．【考点】圆的极坐标方程参数方程与普通方程的互化【解析】（1）圆C的极坐标方程转化为ρ2=√2ρcosθ−√2ρsinθ，由此能求出圆C的直角坐标方程，从而能求出圆心直角坐标．（2）法一：求出直线l 上的点向圆C 引切线长，由此能求出直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值．法二：求出圆心C 到直线l 距离，由此能求出直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值． 【解答】∵ 圆C 的极坐标方程为ρ=2cos(θ+π4)．∴ ρ=√2cosθ−√2sinθ， ∴ ρ2=√2ρcosθ−√2ρsinθ，∴ 圆C 的直角坐标方程为x 2+y 2−√2x +√2y =0， 即(x −√22)2+(y +√22)2=1，∴ 圆心直角坐标为(√22,−√22)．解法一：直线l 上的点向圆C 引切线长是： √(√22t −√22)2+(√22t +√22+4√2)2−1=√t 2+8t +40=√(t +4)2+24≥2√6，∴ 直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是2√6． 解法二：直线l 的普通方程为x −y +4√2=0， ∴ 圆心C 到直线l 距离是|√22+√22+4√2|√2=5，∴ 直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是√52−12=2√6．[选修4-5：不等式选讲] 23.【答案】当a =2时，|x −2|+2x ≥2x +1， 所以|x −2|≥1，所以x ≥3或x ≤1， 解集为(−∞, 1]∪[3, +∞)．f(x)={3x −a,x ≥ax +a,x <a ，因为a >0，∴ x ≥a 时，3x −a ≥2a >0恒成立，又x <a 时，当x >−2时，x +a >−2+a ，∴ 只需−2+a ≥0即可， 所以a ≥2． 【考点】不等式恒成立的问题绝对值不等式的解法与证明 【解析】（1）当a =2时，化简不等式f(x)≥2x +1，通过去掉绝对值符号，求解不等式的解集；（2）化简函数的解析式，通过x 与a 的大小比较，转化不等式求解即可． 【解答】当a =2时，|x −2|+2x ≥2x +1， 所以|x −2|≥1，所以x ≥3或x ≤1， 解集为(−∞, 1]∪[3, +∞)．f(x)={3x −a,x ≥ax +a,x <a ，因为a >0，∴ x ≥a 时，3x −a ≥2a >0恒成立，又x <a 时，当x >−2时，x +a >−2+a ，∴ 只需−2+a ≥0即可，所以a≥2．。