甘肃省兰州市2021-2022学年度高三一诊数学(理)试题及答案解析

甘肃省兰州市2021届高考数学诊断试卷(理科)(3月份)(一模)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合U={1,2,3,4,5,6,7}，A={1,3,5,7}，B={1,3,5,6,7}，则集合∁U(A∩B)是()A. {2,4,6}B. {1,3,5,7}C. {2,4}D. {2,5,6}2.已知复数z=2−3i2+i(i是虚数单位)，则z的实部和虚部的比值为()A. −18B. 18C. −8D. 83.已知向量a⃗，b⃗ 满足a⃗⋅b⃗ =10，|a⃗+b⃗ |=5√2，且a⃗=(2,1)，则|b⃗ |=()A. 3√2B. 5C. 2D. √24.等轴双曲线x2−y2=1上一点P与两焦点F1，F2连线互相垂直，则△PF1F2的面积()A. 12B. 2C. 1D. 45.2个人分别从3部电影中选择一部电影购买电影票，不同的购买方式共有()A. 6B. 9C. 8D. 276.已知函数y=f(x)的大致图象如图所示，则函数y=f(x)的解析式可能为()A. f(x)=cosx⋅ln x−11+xB. f(x)=cosx⋅ln x+1x−1C. f(x)=sinx⋅ln x−11+xD. f(x)=sinx⋅ln x+1x−17.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的外接球的表面积为27π，△A1DB与A1DC1的重心分别为E，F，球O与该正方体的各条棱都相切，则球O被EF所在直线截的弦长为()A. √172B. 2√3C. 3√2D. √178.机器人是一种能够半自主或全自主工作的智能机器.它可以辅助甚至替代人类完成某些工作，提高工作效率，服务人类生活，扩大或延伸人的活动及能力范畴.某公司为了研究M、N两个机器人的销售情况，统计了2020年2月至7月M、N两店每月的营业额(单位：万元)，得到如图折线图，则下列说法中错误的是()A. N店营业额的平均值是29B. M店营业额的平均值在[34,35]内C. N店营业额总体呈上升趋势D. M店营业额的极差比N店营业额的极差大9.设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是()．A. x∈R，f(x)≤f(x0)B. −x0是f(−x)的极小值点C. −x0是−f(x)的极小值点D. −x0是−f(−x)的极小值点10.已知命题p：若θ=150°，则sinθ=12，则在命题p的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 311.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为12，点P为椭圆上一点，且△PF1F2的周长为12，那么C的方程为()A. x225+y2=1 B. x216+y24=1 C. x225+y224=1 D. x216+y212=112.方程2x+x=0的根为a，方程log3x+x=0的根为b，那么()A. a>bB. a<bC. a=bD. 不确定二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 某市高三数学抽样考试中，对90分以上(含90分)的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示，若130～140分数段的人数为90人，则90～100分数段的人数为______．14. 已知，实数满足约束条件，若的最小值为，则的值为 ．15. 已知正方体的棱长为a ，该正方体的外接球的半径为√3，则a = ______ ．16. 在平行四边形ABCD 中，AB =2，BC =1，∠ABC =120°，P 是AC 上一点，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗ )最小值是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 7=7，S 15=75，(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n =S n n ，求证数列{b n }是等差数列，并求其前n 项和T n ．18. 如图，在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，D 为AB 的中点．(Ⅰ) 求证：CD ⊥平面ABB 1A 1；(Ⅱ) 求证：BC 1//平面A 1CD ．19. 某校高三年级组为了缓解学生的学习压力，举办元宵猜灯谜活动。

2021届甘肃省兰州市高三一诊模拟数学（理）试题Word版含答案2021届甘肃省兰州市高三一诊模拟数学（理）试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集U R =，集合{|0}M x x =≥，集合2{|1}N x x =<，则()U M C N =（）A ．(0,1)B ．[0,1]C ．[1,)+∞D ．(1,)+∞2.已知复数512z i =-+（i 是虚数单位），则下列说法正确的是（）A ．复数z 的实部为5B ．复数z 的虚部为12iC ．复数z 的共轭复数为512i +D ．复数z 的模为133.已知数列{}n a 为等比数列，且22642a a a π+=，则35tan()aa =（）A ． C ．-． 4.双曲线22221x y a b-=的一条渐近线与抛物线21y x =+只有一个公共点，则双曲线的离心率为（）A ．54B ．5CD 5.在ABC ?中，M 是BC 的中点，1AM =，点P 在AM 上且满足2AP PM =，则()PA PB PC ?+等于（）A ．49-B ．43-C ．43D ．496.数列{}n a 中，11a =，对任意*n N ∈，有11n n a n a +=++，令1i i b a =，*()i N ∈，则122018b b b +++=（）A ．20171009 B ．20172018 C ．20182019 D ．403620197.若1(1)n x x ++的展开式中各项的系数之和为81，则分别在区间[0,]π和[0,]4n 内任取两个实数x ，y ，满足sin y x >的概率为（）A ．11π- B ．21π- C ．31π- D ．128.刘徽《九章算术注》记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”.意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫做堑堵，沿堑堵的一顶点与其相对的面的对角线剖开成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积之比为定值2:1，这一结论今称刘徽原理.如图是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（）A ．3π B ．32π C ．3π D ．4π 9.某程序框图如图所示，则程序运行后输出的S 的值是（）A ．1008B ．2017C ．2018D ．302510.设p ：实数x ，y 满足22(1)[(22)]x y -+-322≤-；q ：实数x ，y 满足111x y x y y -≤??+≥??≤?，则p 是q的（）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件11.已知圆C ：22(1)(4)10x y -+-=和点(5,)M t ，若圆C 上存在两点A ，B 使得MA MB ⊥，则实数t 的取值范围是（）A ．[2,6]-B ．[3,5]-C ．[2,6]D ．[3,5]12.定义在(0,)2π上的函数()f x ，已知'()f x 是它的导函数，且恒有cos '()sin ()0x f x x f x ?+?<成立，则有（）A ．()2()64f f ππ> B ．3()()63f f ππ> C ．()3()63f f ππ> D ．()3()64f f ππ> 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若2sin()45πα-=-，则cos()4πα+= ． 14.已知样本数据1a ，2a ，……2018a 的方差是4，如果有2i i b a =-(1,2,,2018)i =，那么数据1b ，2b ，……2018b 的均方差为．15.设函数()sin(2)f x x ?=+()2π<向左平移3π个单位长度后得到的函数是一个奇函数，则?= ．16.函数23()123x x f x x =+-+，23()123x x g x x =-+-，若函数()(3)(4)F x f x g x =+-，且函数()F x 的零点均在[,](,,)a b a b a b Z <∈内，则b a -的最小值为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知向量(cos 2,sin 2)a x x =，(3,1)b =，函数()f x a b m =?+.（1）求()f x 的最小正周期；（2）当[0,]2x π∈时，()f x 的最小值为5，求m 的值.18.如图所示，矩形ABCD 中，ACBD G =，AD ⊥平面ABE ，2AE EB BC ===，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE .（1）求证：AE ⊥平面BCE ；（2）求平面BCE 与平面CDE 所成角的余弦值.19.某地一商场记录了12月份某5天当中某商品的销售量y （单位：kg ）与该地当日最高气温x （单位：C ）的相关数据，如下表：（1）试求y 与x 的回归方程y bx a =+；（2）判断y 与x 之间是正相关还是负相关；若该地12月某日的最高气温是6C ，试用所求回归方程预测这天该商品的销售量；（3）假定该地12月份的日最高气温2(,)XN μσ，其中μ近似取样本平均数x ，2σ近似取样本方差2s ，试求(3.813.4)P X <<.附：参考公式和有关数据1122211()()()n n i i i i i i n n i i i i x y nx y x x y y b x nx x x a y bx ====?---??==??--??=-??∑∑∑∑3.2≈ 1.8≈，若2(,)X N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，且(22)0.9544P X μσμσ-<<+=.20.已知圆C ：22(1)8x y ++=，过(1,0)D 且与圆C 相切的动圆圆心为P . （1）求点P 的轨迹E 的方程；（2）设过点C 的直线1l 交曲线E 于Q ，S 两点，过点D 的直线2l 交曲线E 于R，T 两点，且12ll ⊥，垂足为W （Q ，R ，S ，T 为不同的四个点）.①设00(,)W x y ，证明：220012x y +<；②求四边形QRST 的面积的最小值.21.已知函数1()1x x t f x e x -+=-，其中e 为自然对数的底数. （1）证明：当1x >时，①ln1<，②1x e x ->；（2）证明：对任意1x >，1t >-，有1()ln )2f x x >+. （二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的参数方程是22x y ?==+??（t 是参数），圆 C 的极坐标方程为2cos()4πρθ=+. （1）求圆心C 的直角坐标；（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，并切线长的最小值.23.[选修4-5：不等式选讲] 设函数()2f x x a x =-+，其中0a >.（1）当2a =时，求不等式()21f x x ≥+的解集；（2）若(2,)x ∈-+∞时，恒有()0f x >，求a 的取值范围.2021届甘肃省兰州市高三一诊模拟数学（理）试题参考答案一、选择题1-5: CDADA 6-10: DBBAB 11、12：CC二、填空题 13. 25- 14. 2 15. 3π 16. 10 三、解答题 17.（1）由题意知：()cos(2,sin 2)f x x x =(3,1)m ?+3cos 2sin 2x x m =++2sin(2)3x m π=++，所以()f x 的最小正周期为T π=.（2）由（1）知：()2sin(2)3f x x m π=++，当[0,]2x π∈时，42[,]333x πππ+∈. 所以当4233x ππ+=时，()f x 的最小值为3m -+. 又∵()f x 的最小值为5，∴35m -+=，即53m =+.18.（1）因为AD ⊥面ABE ，所以AD AE ⊥，又//BC AD ，所以BC AE ⊥.因为BF ⊥面ACE ，所以BF AE ⊥.又BC BF B =，所以AE ⊥面BCF ，即AE ⊥平面BCE .（2）方法1：因为BF ⊥面ACE ，CE ?面ACE ，所以BF CE ⊥，又BC BE =，所以F 为CE 中点，在DEC ?中，22DE CE CD ===DF CE ⊥，BFD ∠为二面角B CE D --的平面角，222cos 2BF DF BD BFD BF DF +-∠=??3226==??.∴平面BCE 与平面CDE所成角的余弦值为3. 方法2：以E 为原点，EB 所在直线为x 轴，EA 所在直线为y 轴，过E 且垂直于平面ABE 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，则相关点的坐标为(0,0,0)E ，(2,0,0)B ，(2,0,2)C ，(0,2,2)D ，设平面BCE 的法向量1n ，平面CDE 的法向量为2n ，易知1(0,1,0)n =，令2(,,)n x y z =，则2200n EC n ED ??==??，故220220x z y z +=??+=?，令1x =，得111x y z =??=??=-?，2(1,1,1)n =-，于是，12cos ,n n <>12121n n n n ?==?3=. 此即平面BCE 与平面CDE 所成角的余弦值.19.（1）由题意，7x =，9y =，1ni ii x y nx y =-∑28757928=-??=-，221n i i x nx =-∑22955750=-?=，280.5650b =-=-，a y bx =-9(0.56)712.92=--?=. 所以所求回归直线方程为0.5612.92y x =-+.（2）由0.560b =-<知，y 与x 负相关.将6x =代入回归方程可得，0.56612.929.56y =-?+=，即可预测当日销售量为9.56kg. （3）由（1）知7x μ≈=，3.2σ≈=，所以(3.813.4)P X <<(2)P X μσμσ=-<<+1()2P X μσμσ=-<<+1(22)2P X μσμσ+-<<+0.8185=. 20.解：（1）设动圆半径为r ，由于D 在圆内，圆P 与圆C 内切，则PC r =，PD r =， PC PD +=2CD >=，由椭圆定义可知，点P 的轨迹E是椭圆，a =1c =，1b ==，E 的方程为2212x y +=. （2）①证明：由已知条件可知，垂足W 在以CD 为直径的圆周上，则有22001x y +=，又因Q ，R ，S ，T 为不同的四个点，220012x y +<. ②解：若1l 或2l 的斜率不存在，四边形QRST 的面积为2.若两条直线的斜率存在，设1l 的斜率为1k ，则1l 的方程为1(1)y k x =+，解方程组122(1)12y k x x y =++=??，得222(21)4k x k x ++2220k +-=，则QS =同理得RT =，∴12QSRT S QS RT =?2222(1)4(21)(2)k k k +=++2222(1)49(1)4k k +≥+169=，当且仅当22212k k +=+，即1k =±时等号成立.综上所述，当1k =±时，四边形QRST 的面积取得最小值为169. 21.解：（1）令()1)m x =-，则1'()2m x x =1)0=<，()m x 为(1,)+∞上的减函数，而(1)0m =，所以()ln1)0m x =<，1<成立；令1()x n x e x -=-，则1'()10x n x e -=->，()n x 为(1,)+∞上的增函数，而(1)0n =，所以1()0x n x e x -=->，1x e x ->成立.（2）1()ln )2f x x >+，即11x x t e x -+-1ln )2x >+=+，由（1）1，所以1ln +<，+x <=，所以，只需证11x x t x e x -+<-，即12()x x t e x x -+>-，由（1）1x e x ->，所以只需证2()x x t x x +>-，只需证1x t x +>-，即1t >-，上式已知成立，故原式成立，得证.22.解：（1）∵ρθθ=，∴2cos sinρθθ=，∴圆C的直角坐标方程为220x y +-=，即22((1x y -+=，∴圆心直角坐标为. （2）方法1：直线l 上的点向圆C 引切线长是==≥，∴直线l 上的点向圆C引的切线长的最小值是方法2：直线l的普通方程为0x y -+=，∴圆心C 到直线l|5++=，∴直线l 上的点向圆C=.23.解：（1）当2a =时，2221x x x -+≥+，所以21x -≥，所以3x ≥或1x ≤，解集为(,1][3,)-∞+∞.（2）3,(),x a x a f x x a x a -≥?=?+，因为0a >，∴x a ≥时，320x a a -≥>恒成立，又x a <时，当2x >-时，2x a a +>-+，∴只需20a -+≥即可，所以2a ≥.。

2022年甘肃省兰州市诊断考试（一诊）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．-3的倒数是（）A．-3B．3C．13-D．132．将正方体的表面沿某些棱剪开，展开得到下列平面图形，其中不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．将一副三角板如图摆放，顶点A在边DF上，顶点F在边BC上，EF AC∥，则BAF∠=（）A．10°B．15°C．20°D．25°4．下列二次根式中为最简二次根式的是（）AB．C D5．如图，在平面直角坐标系xOy中，OAB∆为等边三角形，顶点A的坐标为()4,0A，则顶点B的坐标为（）A ．(2,B ．(C ．()2,4D ．)26．已知关于x ，y 的方程组32y x b y x =-+⎧⎨=-+⎩的解是1x y m =-⎧⎨=⎩，则直线y x b =-+与32y x =-+的交点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．如图，AB 是O 的直径，点C ，D 在O 上，连接CD ，若72BAD ∠=︒，则C ∠=（ ）A ．36°B ．28°C ．15°D ．18°8．2022年北京冬奥会的比赛场馆分布在3个赛区，分别是北京赛区、延庆赛区、张家口赛区，3个赛区之间均有高速铁路和高速公路相通，北京赛区清河高铁站与张家口赛区太子城高铁站之间的高速铁路里程为166km ，高速公路里程为178km ．已知从清河高铁站到太子城高铁站乘“复兴号”列车比乘汽车少用53h ，“复兴号”列车的平均速度是汽车平均速度的3倍，求“复兴号”列车和汽车的平均速度．设汽车的平均速度为x km/h ，则可列方程为（ ） A ．166178533x x -= B ．166517833x x+= C ．178166533x x -= D ．178516633x x+= 9．反比例函数3k y x+=的图象在每一象限内，y 的值随x 值的增大而减小，那么k 的取值范围是（ ） A ．3k ≥-B ．3k ≤-C ．3k >-D ．3k <-10．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AE BD ⊥于点E ，2DAE BAE ∠=∠，4=AD ，则OE =（ ）AB C ．2 D ．11．一个盒子中有2个红球、1个白球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后放回摇匀，再从中随机摸出一个球，则两次摸到不同颜色的球的概率是（ ） A ．13B ．23C ．59D ．4912．如图，在菱形ABCD 中，AE BC ⊥于点E ，交BD 于点F ，AG AB ⊥交BD 于点G ，5AB =，4sin 5ABC ∠=，则AG =（ ）A ．12B ．32C ．52D ．3二、填空题13．因式分解：269x x -+= ．14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以点O 为位似中心作OAB 的位似图形得到OCD ，相似比为3:4，若点A 坐标为()1,3，则点C 的坐标为______．15．已知圆上一段弧长为4πcm ，它所对的圆心角为100°，则该圆的半径为______cm ．16．如图，已知ABC 中，AB AC =，小明用直尺和圆规按下列步骤完成作图： ①在AB 和AC 上分别截取AD ，AE ，使AD AE =，再分别以点D ，E 为圆心，以大于12DE 的长为半径作弧，两弧在BAC ∠内交于点F ，作射线AF 交BC 于点G ； ①以点B 为圆心，以BC 的长为半径作弧，交AC 于点H ，再分别以点C ，H 为圆心，以大于12CH 的长为半径作弧，两弧相交于点M ，作射线BM 交AC 于点N ；若AB =4BC =，则BN =______．三、解答题 17．解不等式：2513x x -<+． 18．先化简，再求值：()()()222334x y x x y +-+--，其中5x =，34y =-．19．用配方法解方程：21081x x +=-．20．如图，BD 平分①ABC ，点E 在BD 上．从下面①①①中选取两个作为已知条件，另一个作为结论，构成一个命题，判断该命题真假并说明理由． ①A D ∠=∠；①BA BD =；①AE DC =．你选择的已知条件是______，结论是______（填写序号）；该命题为______（填“真”或“假”）命题．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．21．某学校要印制招生宣传材料，如图，1l ，2l 分别表示甲、乙印刷厂的收费y （元）与印制数量x （份）之间的关系，根据图象回答下列问题：(1)印制800份宜传材料时，选择哪家印刷厂比较合算？(2)该学校拟拿出5000元用于印制宣传材料，选择哪家印刷厂印制的份数较多，并说明能多印制多少份？22．已知二次函数23y x bx =+-的图象经过点()2,5． (1)求这个二次函数图象的对称轴；(2)当此二次函数的图象沿y 轴方向平移一次后与x 轴只有一个交点时，求平移的方向和距离．23．如图，小斌家与某大厦的水平距离50m AB =，小斌从自家的窗口C 点眺望大厦BD ，测得58DCE ∠=︒，37BCE ∠=︒（CE BD ⊥于点E ），求大厦BD 的高度，（参考数据：sin580.85︒≈，cos580.53︒≈，tan58 1.60︒≈，sin370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan370.75︒≈）24．如图，一次函数y ax b =+的图象与反比例函数ky x=的图象交于()2,A m ，()1,2B --两点，与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ．(1)求反比例函数与一次函数的表达式；(2)若点P是y轴正半轴上一点，连接P A，PB，PAB△的面积是OAC的面积的5倍，求点P的坐标．25．某数学研究小组为了解各类危险天气对航空飞行安全的影响，从国际航空飞行安全网提供的近百年飞行事故报告中，选取了650起与危险天气相关的个例，研究小组将危险天气细分为9类：火山灰云（A），强降水（B），飞机积冰（C），闪电（D），低能见度（E），沙尘暴（F），雷暴（G），湍流（H），风切变（I），然后对数据进行了收集、整理、描述和分析，相关信息如下：信息一：各类危险天气导致飞行事故的数量统计图；信息二：C类与E类危险天气导致飞行事故的月频数统计图；（以上数据来源于国际航空飞行安全网） 根据以上信息，解决下列问题：(1)导致重大飞行事故发生数量最多的危险天气类别是______类；（填写字母） (2)从C 类与E 类危险天气导致飞行事故的月频数统计图来看，______类危险天气导致飞行事故发生次数的波动性小；（填“C ”或“E ”）(3)根据以上信息，下列结论正确的是______．（只填序号） ①C 类危险天气导致飞行事故的概率最高；①每年1—4月份C 类危险天气比E 类危险天气导致飞行事故发生的次数要多； ①每年的12月至次年的1月是C 类危险天气导致飞行事故发生的多发时期． 26．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，8AC =cm ，6BC =cm ，点D 为AB 上的一定点，2AD =cm ．AC 上有一动点E ，点F 为AE 的中点，连接FD ，过点E 作EG FD ∥，交AB 于点G ，设C ，E 两点间的距离为x cm （08x ≤<），E ，G 两点间的距离为y cm ．小军尝试结合学习函数的经验，对因变量y 随自变量x 的变化而变化的规律进行探究，下面是小军的探究过程，请补充完整．(1)列表：下表的已知数据是根据C ，E 两点间的距离x 进行取点、画图、测量，分别得到了x与y的几组对应值：请你通过计算．．补全表格：=a______；(2)描点、连线：在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点(),x y，并画出函数y关于x的图象；(3)探究性质：结合函数图象，下列关于函数性质的描述正确的是______；（填写序号）①随着自变量x的不断增大，函数值y先不断减小，然后不断增大；①该函数的图象是轴对称图形；①当0x=时，y的值最小．(4)解决问题：当DF CE=时，EG的长度大约是______cm．（结果保留两位小数）27．如图，ABC内接于O，AB是O的直径，AD平分CAB∠交O于点D，在OD 的延长线上存在一点E，使得CED B∠=∠，连接CD．(1)求证：CE是O的切线；(2)当CE CB=时，判断四边形ACDO的形状并说明理由．28．对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：如果点P为图形M上任意一点，点Q 为图形N 上任意一点，那么称线段PQ 长度的最小值为图形M ，N 的“最短距离”，记作(),d M N ．例：如图1，在平面直角坐标系xOy 中，图形M ：A B C '''，各顶点的坐标分别是()1,1A '，()1,2B '-，()2,3C '；图形N ：x 轴．则图形M ，N 的“最短距离”是顶点()1,1A '到x 轴垂线段A D ''的长度为1，即(),1d M N =．根据以上定义及例题，解决下列问题：如图2；在平面直角坐标系xOy 中，点()4,5A -，()0,3B -，()4,5C ，()4,0D -．(1)图形M ：原点O ；图形N ：线段BD ．求(),d M N ．(2)图形M ：直线y x b =+；图形N ：ABC ．若(),1d M N =．求b 的值．(3)当(),0d M N >时，则称图形M 与图形N “相离”．图形M ：H ，圆心为(),0H t ，半径为1；图形N ：ABC ．直接写出图形M 与图形N “相离”时t 的取值范围．参考答案：1．C【解析】【分析】根据倒数的定义解答．【详解】解：-3的倒数是1 3 -故选：C．【点睛】本题考查倒数，乘积为1的两个数互为倒数，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．2．D【解析】【分析】根据中心对称图形的定义解答．【详解】解：选项A、B、C均是中心对称图形，选项D不是中心对称图形，故选：D．【点睛】本题考查中心对称图形的识别，涉及正方体的平面展开图，是基础考点，如果一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形回完全重合，那么这个答图形叫做中心对称图形．3．B【解析】【分析】根据两直线平行，内错角相等解得EFA CAF∠=∠，再结合三角板角的性质解答即可．【详解】解：EF AC∥，EFA CAF∴∠=∠45,30BAC EFA∠=︒∠=︒453015FAC∴∠=︒-︒=︒答案第1页，共24页故选：B ．【点睛】本题考查平行线的性质、三角板角的性质等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．4．B【解析】【分析】根据以下条件判断：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；二次根式不能在分母的位置．【详解】解：AB ，CD故选B ．【点睛】本题考查最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次根式的判定方法是解题的关键． 5．B【解析】【分析】过点B 作BD OA ⊥轴于点D ，由等边三角形三线合一得，12ODOA ，解直角三角形OBD ∆求出BD ，即可求出顶点B 的坐标．【详解】解：如图，过点B 作BD OA ⊥轴于点D ，顶点A 的坐标为()4,0A ，4∴=OA ，OAB ∆是等边三角形，4OB OA ∴==，60BOA ∠=︒，BD OA ⊥，122OD OA ∴==，sin 4BD OB BOA =⋅∠==∴顶点B 的坐标为(2,，故选B ．【点睛】本题考查等边三角形的性质和利用锐角三角函数解直角三角形，熟练掌握等腰（等边）三角形三线合一的性质是解题的关键．6．B【解析】【分析】将1x =-代入32y x =-+，求出5y =，(1,5)-即为直线y x b =-+与32y x =-+的交点坐标，判断(1,5)-所在象限即可．【详解】解：将1x =-代入32y x =-+可得，3(1)25y =-⨯-+=，∴方程组32y x b y x =-+⎧⎨=-+⎩的解是15x y =-⎧⎨=⎩， ∴直线y x b =-+与32y x =-+的交点坐标为(1,5)-，在第二象限．【点睛】本题考查两直线的交点与二元一次方程的解，将两条直线的函数解析式联立组成二元一次方程组，根据方程组的解写出两直线的交点坐标是解题关键．7．D【解析】【分析】利用直径所对的圆周角是90°得90ADB ∠=︒，再利用三角形内角和定理求出18ABD ∠=︒，利用同弧所对的圆周角相等，可知18C ABD ∠=∠=︒．【详解】解：如图，连接BD ，AB 是O 的直径，90ADB ∴∠=︒，72BAD ∠=︒，18018ABD ADB BAD ∴∠=︒-∠-∠=︒，ABD ∠和C ∠同是弧AD 所对的圆周角，18C ABD ∴∠=∠=︒，故选D ．【点睛】本题主要考查了圆周角定理的推论，解题的关键是熟练掌握：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆（直径）所对的圆周角是直角．8．C【解析】设汽车的平均速度为x km/h，则列车的平均速度3x km/h，求出汽车和列车分别所用的时间，利用等量关系：乘列车比乘汽车少用53h，列方程即可．【详解】解：设汽车的平均速度为x km/h，则列车的平均速度3x km/h，由题意可知：汽车所用的时间为：178x，列车所用时间为：1663x，①乘列车比乘汽车少用53 h，①1785166=33x x-，即1781665=33x x-，故选：C．【点睛】本题考查分式方程的实际应用，解题的关键是求出汽车和列车分别所用的时间，找出等量关系：乘列车比乘汽车少用53 h．9．C【解析】【分析】根据反比例函数图象的性质，在每一象限内，y的值随x值的增大而减小，得到图象分布在一、三象限，据此解得k的取值范围．【详解】解：由题意知，在每一象限内，y的值随x值的增大而减小，图象分布在一、三象限，30k∴+>3k∴>-故选：C．【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．10．A【解析】设=BAE α∠，则2DAE α∠=，利用3=90α︒求出=30BAE ∠︒，进一步得=30ADB ∠︒，设AB x =，则2BD x =，利用勾股定理求出x OB ，BE ，利用=OE OB BE -求解即可．【详解】解：设=BAE α∠，则2DAE α∠=，①3=90α︒，得：=30α︒，即=30BAE ∠︒，①AE BD ⊥，①=60ABD ∠︒，=30ADB ∠︒，①4=AD ，设AB x =，则2BD x =，①22224x x +=，解之得：x①AB BD①1=2BE AB =①1=2BO BD =①=OE OB BE -=， 故选：A ．【点睛】 本题考查矩形的性质，勾股定理，30所对的直角边等于斜边的一半．解题的关键是求出=30BAE ∠︒，=30ADB ∠︒，再利用勾股定理，30所对的直角边等于斜边的一半，求出BE ，BO ．11．D【解析】【分析】根据题意画树状图，列出所有等可能的结果，再计算两次摸到不同颜色的球的概率．【详解】解：由题意，画树状图如下所有等可能的结果共9种，其中两次摸到不同颜色的球有4种， 即两次摸到不同颜色的球的概率为49故选：D ．【点睛】本题考查列表法或画树状图法求概率，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 12．C【解析】【分析】根据菱形的性质可得出AD ∥BC ，AD =BC =AB =CD ，可证明AE AD ⊥，证明①ABF ①①ADG 得AF =AG ，证明∆∆BFEDFA ，运用相似三角形的性质即可求出结论．【详解】解：①AB AG ⊥①①90BAG ︒=①①90BAE EAG ︒+∠=①AE BC ⊥，四边形ABCD 是菱形，①AD ∥BC ，AD =BC =AB =CD①AE AD ⊥①90EAG EAD ︒∠+∠=①①BAE =①GAD在①BAD 中，AB =AD①ABF ADG ∠=∠在①ABF 和①ADG 中， FAB GAD ∠=∠，,,AB AD ABF ADG =∠=∠①①ABF ①①ADG①AF AG =设.AG x =，①AF x =①5AB =，4sin 5ABC ∠=， ①4sin 545AE AB ABC =∠=⨯= ①EF =4-x①①BFE DFA =∠，①90BEF DAF ︒=∠=①∆∆BFEDFA ①BE EE AD AF= 在Rt ABE ∆中，5=4AB AE =，①3BE == ①35EE AF = ①435x x -= ①52x =①52AG = 故选：C【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，锐角三角函数以及相似三角形的判定与性质等知识，证明Δ~ΔBFE DFA 是解答本题的关键．13．2(3)x -．【解析】【详解】解：269x x -+=2(3)x -．故答案为2(3)x -．考点：因式分解-运用公式法．14．（43，4） 【解析】根据位似图形的性质确定答案即可．【详解】解：①OAB ∆和OCD ∆是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为3:4又①()1,3A①点C 的坐标为（43，4） 故答案为：（43，4） 【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k ．15．7.2【解析】【分析】设圆的半径为r cm ，根据弧长公式列式计算即可．【详解】解：设圆的半径为r cm ， 则1004180r ππ⨯⨯=， 解得，r =7.2，故答案为：7.2．【点睛】 本题考查的是弧长的计算，掌握弧长公式180n r l π=是解题的关键．16 【解析】【分析】由题意可知，AF 平分BAC ∠，BM 垂直且平分CH ，根据等腰三角形三线合一的性质及勾股定理，解得AG 的长，再利用等积法即可解答．【详解】解：由题意知，AF 平分BAC ∠，1,22AG BC BG GC BC ∴⊥=== Rt ABG ∴中4AG =BM CH ⊥1122BC AG AC BN ∴⋅=⋅44∴⨯=BN ∴=． 【点睛】本题考查基础作图—角平分线、线段垂直平分线的应用，涉及等腰三角形的性质、勾股定理、三角形面积等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．17．8x >-【解析】【分析】先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后化系数为1．【详解】解：去分母，253(1)x x -<+去括号，2533x x -<+移项，2335x x -<+合并同类项，8x -<化系数为1，8x >-．【点睛】本题考查解一元一次不等式，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．18．49xy +，6-【解析】【分析】先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．【详解】解：()()()222334x y x x y +-+-- 2222=44(9)4x xy y x y ++---2222=4494x xy y x y ++-+-=49xy +，将5x =，34y =-代入得， 原式3=4945()964xy +=⨯⨯-+=-． 【点睛】本题考查了整式的混合运算和代数式求值，根据乘法公式正确对代数式进行化简是解题关键．19．14x =24x =【解析】【分析】根据配方法求解即可．【详解】解：将方程化简成一般式：28110x x -+=，配方得：()()222844110x x +---+=-，①()245x -=，①4x -=①14x =24x =【点睛】本题考查解一元二次方程中的配方法，解题的关键是熟练掌握配方法．20．①①，①，真，理由见解析．【解析】【分析】以①①为条件，①为结论，结合全等三角形的判定方法及真假命题的定义解答．【详解】解：条件是：①A D ∠=∠；①BA BD =，结论是：①AE DC =．BD 平分①ABC ，ABE DBC ∴∠=∠ 又A D ∠=∠，BA BD =()ABE DBC ASA ∴≅AE DC ∴=．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、命题的定义等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．21．(1)选择乙印刷厂比较合算(2)选择甲印刷厂印制的份数较多，多1500份．【解析】【分析】（1）根据图象解答；（2）分别求出1l ，2l 的解析式，解得5000元印制宣传材料的份数，再作比较解答．(1)解：由图可知，当印刷1000份时，两家印刷厂的收费一样，都是2500元，当印制的份数少于1000份时，选择乙印刷厂比较合算．(2)设1l 的解析式为：111y k x b =+代入(01500)(10002500)，，，得111150010002500b k b =⎧⎨+=⎩ 1111500k b =⎧∴⎨=⎩ 11500y x ∴=+设2l 的解析式为：22y k x =代入(10002500)，得 2 2.5k =2 2.5y x ∴=当y =5000时，1235002000x x ∴==，，12x x >，3500-2000=1500（份）∴选择甲印刷厂印制的份数较多，多1500份．【点睛】本题考查一次函数的应用，涉及一次函数的图象与性质、待定系数法求解析式等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．22．(1)直线x =-1(2)向上平移4个单位【解析】【分析】（1）将（2,5）代入23y x bx =+-，得b =2，配方2223(1)4y x x x =+-=+-，即可得到二次函数图象的对称轴；（2）二次函数2223(1)4y x x x =+-=+-的图象，向上平移4个单位，得到2(1)y x =+，此时与x 轴只有一个交点．(1)解：将（2,5）代入23y x bx =+-,得25=2+23b -，①b =2，①2223(1)4y x x x =+-=+-，①这个二次函数图象的对称轴是直线x =-1；(2)解：这个二次函数2223(1)4y x x x =+-=+-的图象，向上平移4个单位，得到2(1)y x =+，此时只与x 轴有一个交点．【点睛】本题考查了二次函数的对称轴，二次函数的图象与x 轴的交点，熟练掌握配方法，左加右减，上加下减的平移规则，是解决此类问题的关键．23．117.5m【解析】【分析】由图可知：50m CE AB ==，利用tan 58=50DE DE CE ︒=，求出DE ，利用 tan 37=50BE BE CE ︒=，求出BE ，再求解BD DE BE =+． 【详解】解：由图可知：50m CE AB ==①58DCE ∠=︒，①tan 58=50DE DE CE ︒=，解之得：80m DE ≈， ①37BCE ∠=︒，①tan 37=50BE BE CE ︒=，解之得：37.5m BE ≈， ①8037.5117.5m BD DE BE =+=+≈．【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是利用正切值，求出DE 和BE 的长．24．(1)反比例函数的解析式为2y x=；一次函数的解析式为1y x =- (2)2(0,)3P 【解析】【分析】（1）把(1,2)B --代入(0)k y k x=≠，求得2k =，把(2,)A m 代入2y x =，求得1m =，得(2,1)A ，把(2,1),(1,2)A B --代入y ax b =+，求出,a b 的值即可；（2）求出点,C D 的坐标，得出1,1OC OD ==，根据5PAB OAC S S ∆∆=列出关于a 的方程，求出a 的值即可(1)把(1,2)B --代入(0)k y k x =≠，得，21k -=- ①2k =①反比例函数的解析式为2y x =把(2,)A m 代入2y x=，得，212m == ①(2,1)A把(2,1),(1,2)A B --代入y ax b =+，得， 212a b a b +=⎧⎨-+=-⎩解得，11a b =⎧⎨=-⎩①一次函数的解析式为1y x =-(2)对于1y x =-，令0x =，则1y =-；0y =，则1x =①(1,0),(0,1)C D -①1,1OC OD ==设(0,)(0)P a a >，如图，①5PAB OAC S S ∆∆= ①()()1111112511222a a ⨯+⨯+⨯+⨯=⨯⨯⨯ 解得，23a =①2(0,)3P 【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积等知识点的综合运用，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力，以及数形结合思想的运用．25．(1)I(2)E(3)①①【解析】【分析】（1）根据条形统计图中提供的重大飞行事故发生的数据进行判断即可；（2）由拆线统计图可得出变化波动的大小，故可得到结论；（3）结合信息一和信息二进行判断即可．(1)从各类危险天气导致飞行事故的数量统计图中可以知道导致重大飞行事故发生数量最多的危险天气类别是I类，故答案为：I(2)从C类与E类危险天气导致飞行事故的月频数统计图可以看出：C类危险天气导致飞行事故发生次数的波动性大，E类危险天气导致飞行事故发生次数的波动性小，故答案为E；(3)①C类危险天气导致飞行事故的概率低于T类危险天气导致飞行事故的概率，故①的说法错误；①每年1—4月份C类危险天气比E类危险天气导致飞行事故发生的次数要多，故①说法正确；①每年的12月至次年的1月是C类危险天气导致飞行事故发生的多发时期，故①说法正确．故答案为：①①【点睛】本题主要考查了从统计图获取信息的能力，正确读懂统计图是解答本题的关键26．(1)3(2)见解析(3)①(4)1.85【解析】【分析】（1）由平行线的性质判定AFD AEG，继而解得12AD AFAG AE==，由勾股定理解得AB=10，解出11,22AG AEAC AB==，证明GAE CAB~，得到AGE是直角三角形，最后根据勾股定理解答即可；（2）根据表格，描点，连线即可解答；（3）根据图象解答；（4）分别由GAE CAB ~，AFD AEG ，解得3(8)5y x =-，2y x =，联立两个方程即可解答．(1)解：当x =3时，CE =3，AE =8-3=5点F 为AE 的中点， 118422AF AE ∴==⨯= EG FD ∥，且点E ，G 在AF ，AD 的延长线上，AFDAEG ∴ 12AD AF AG AE ∴== 24AG AD ∴==在ABC 中，90ACB ∠=︒10AB ∴= 4151,82102AG AE AC AB ==== GAE BAC ∠=∠GAE CAB ∴~ 90AGE ACB ∴∠=∠=︒AGE ∴是直角三角形3y EG ∴===3a ∴=故答案为：3；(2)函数图象如下：(3)由图象知，随着自变量x 的不断增大，函数值y 先不断减小，然后不断增大，故①正确；该函数的图象不是轴对称图形，故①错误；y 的值最小时，不是0x =，故①错误，故选：①．(4)当DF CE =时,设DF CE x ==AE =8-x ,GAE CAB ~AE EG AB BC ∴= 8106x y -∴= 3(8)5y x ∴=- AFD AEG DF AF GE AE∴= 12x y ∴= 2y x ∴=3(8)25x x ∴-= 解得24 1.8513x =≈．【点睛】本题考查函数的图象与性质，涉及相似三角形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理、解一元一次方程等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．27．(1)证明见解析；(2)四边形ACDO 是菱形，理由见解析．【解析】【分析】（1）连接OC ，利用角平分线，等角所对的圆周角等于圆心角的一半，可知CAB COD ∠=∠，再利用CED B ∠=∠，可得OCE ACB ∠=∠，利用=90ACB ∠︒即可证明90OCE ∠=︒；（2）证明()ABC OEC ASA ≌△△，可得OC AC =，进一步可得OAC ，OCD 为等边三角形，所以CD OD OA CA ===，可以判定四边形ACDO 是菱形．(1)证明：连接OC ，如图：①AD 平分CAB ∠， ①12CAD CAB ∠=∠， ①12CAD COD =∠∠， ①CAB COD ∠=∠，①CED B ∠=∠，①OCE ACB ∠=∠，①ABC 内接于O ，AB 是O 的直径，①=90ACB ∠︒，①90OCE ∠=︒，即OC CE ⊥，①CE 是O 的切线．(2)解：四边形ACDO 是菱形，理由如下：在Rt ABC 和Rt OEC 中，OCE ACB CED BCE CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ①()ABC OEC ASA ≌△△， ①OC AC =，①OC OA =，①OAC 为等边三角形，60CAO ∠=︒，①60COD ∠=︒，即OCD 为等边三角形，①CD OD OA CA ===,①四边形ACDO 是菱形．【点睛】本题考查切线的判定定理，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，菱形的判定定理，（1）的关键是利用角平分线，等角所对的圆周角等于圆心角的一半证明CAB COD ∠=∠；（2）的关键是利用全等三角形的判定定理证明()ABC OEC ASA ≌△△，进一步证明OAC ，OCD 为等边三角形．28．(1)()12,5d M N =；(2)9b或3b ；(3)t或t 【解析】【分析】（1）连接BD ，作OE BD ⊥，图形M ，N 的“最短距离”是OE ，求出OB ，OD 和BD 的长度，利用面积相等求出OE 的长度即可；（2）对直线位置分情况讨论，①当y x b =+在ABC 右侧时；②当y x b =+在ABC 左侧时，利用等面积法求b 的值；（3）对H 的位置分情况讨论，①当H 在ABC 右侧时；②当H 在ABC 左侧时，利用等面积法求d 的值，再根据1d ＞求出t 的范围． (1)解：连接BD ，作OE BD ⊥，如图：①()0,3B -，()4,0D -，①3OB =，4OD =，①5BD =， ①1122OD OD OE BD ⨯⨯=⨯⨯，①125OE =， ①()12,5d M N =． (2)解：由题意可知：①当y x b =+在ABC 右侧时，分别交坐标轴与点E ，F ，图像大致如下：由图可知：3b -＜，(),0E b -，()0,F b ，EF =，3BF b =--，此时(),1d M N =为B 到EF 的距离，()()113122BFC S b b =---=⨯△，解之得：3b ； ②当y x b =+在ABC 左侧时，分别交坐标轴与点E ，F ，延长CA 交EF 于点G ，图像大致如下：由图可知： 5b ＞，(),0E b -，(0,)F b ，()5,5G b -，EF =，9AG b =-，)5FG b -，此时(),1d M N =为A 到EF 的距离，①()())11591522AGF S b b b =--=⨯-△，解之得：9b ；综上所述：9b 或3b ．(3)解：①当H 在ABC 右侧时，假设直线BC 与x 轴交于点K ，H 到直线BC 的距离为d ，图像大致如下：设直线BC 解析式为y ax m =+，将B ，C 两点的坐标代入可得：453a m m +=⎧⎨=-⎩，解之得=23a m ⎧⎨=-⎩， ①直线BC 解析式为23y x =-，则3,02K ⎛⎫ ⎪⎝⎭，①1318222BCH S t d ⎛⎫=⨯-⨯=⨯⨯ ⎪⎝⎭△d =①半径为1，①1d =，解之得t ①当H 在ABC 左侧时，假设直线AC 与x 轴交于点K ，H 到直线AC 的距离为d ，图像大致如下：设直线AC 解析式为y ax m =+，将A ，C 两点的坐标代入可得：453a m m -+=⎧⎨=-⎩，解之得=23a m -⎧⎨=-⎩， ①直线AC 解析式为23y x =--，则3,02K ⎛⎫- ⎪⎝⎭，①1318222ABH S t d ⎛⎫=⨯--⨯=⨯⨯ ⎪⎝⎭△d =①半径为1，①1d =，解之得t综上所述：t 或t 【点睛】 本题考查直角坐标系，一次函数，（1）比较简单；（2）和（3）的关键是分情况讨论，画出大致图象，结合图象利用等面积法进行求解．。

2021年甘肃省兰州市高考数学诊断试卷（理科）（一模）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合M＝{x|0≤x≤1}，N＝{x|y＝lg（1﹣x）}，则M∩N＝（）A．[0，1）B．（0，1]C．（﹣∞，1）D．[0，1]2．（5分）已知复数z满足＝（为虚数单位），则z的虚部为（）A．﹣i B．﹣1C．i D．13．（5分）已知向量，满足＝（4，0），＝（m，1），且|•，则，的夹角大小为（）A．B．C．D．4．（5分）点P为双曲线＝1（a＞0）右支上一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点．若|PF1|＝7，|PF2|＝3，则双曲线的一条渐近线方程是（）A．2x+3y＝0B．4x+9y＝0C．3x﹣2y＝0D．9x﹣4y＝0 5．（5分）2019年9月1日兰州地铁一号线正式开通，两位同学同时去乘坐地铁，一列地铁有6节车厢（）A．15种B．30种C．36种D．64种6．（5分）函数f（x）＝xlnx的图象如图所示，则函数f（1﹣x）（）A．B．C．D．7．（5分）《九章算术》卷五《商功》中有如下问题：“今有委粟平地，下周一十二丈，高四丈．”意思是：今将粟放在平地，高4丈．将该谷堆模型看作一个圆锥，π取近似值3（）A．55平方丈B．75平方丈C．110平方丈D．150平方丈8．（5分）一组数据x1，x2，x3，…，x n的平均数为，现定义这组数据的平均差为D＝．如图是甲、乙两组数据的频率分布折线图．根据折线图，可判断甲、乙两组数据的平均差D1，D2的大小关系是（）A．D1＞D2B．D1＝D2C．D1＜D2D．无法确定9．（5分）已知函数f（x）＝﹣bx（a＞0，b＞0），则ab的最大值为（）A．1B．C．D．10．（5分）下列四个命题：①已知a，b是两条不同的直线，α是一个平面，a⊥b，则a∥α．②命题“∀x＞0，x（x﹣2）＞0”的否定是“∃x0＞0，x0（x0﹣2）≤0”③函数f（x）＝sin（2x+）的对称中心为（kπ+，0）（k∈Z）．④函数f（x）＝为R上的增函数．其中真命题的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个11．（5分）已知P（2，﹣2）是离心率为的椭圆（a＞b＞0）外一点，经过点P的光线被y轴反射后，则此条切线的斜率是（）A．﹣B．﹣C．1D．12．（5分）已知奇函数f（x），当x≥0时，f（x）＝，则f（x﹣1）（﹣4≤x≤6）的图象所有交点的横坐标之和等于（）A．0B．9C．11D．17二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

甘肃省2021届高考数学一诊试卷(理科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.已知集合A ={x|x 2≤x}，B ={x|y =ln(1−3x)}，则A ∩B =( )A. (0,13)B. [0,13)C. (13,1]D. (13,+∞)2.复数i(2−i)在复平面内对应的点的坐标为A. (−2,1)B. (2,−1)C. (1,2)D. (−1,2)3.椭圆x 236+y 220=1的两个焦点为F 1、F 2，弦AB 经过F 2，则△ABF 1的周长为( )A. 22B. 23C. 24D. 254.样本中共有五个个体，其值分别为a ，0，1，2，3.若该样本的平均值为1，则样本方差为( )A.B.C.D. 25.函数f(x)=ax 2+(a 2−1)x −3a 是定义在[4a +2,a 2+1]的偶函数，则a 的值为( )A. ±1B. 1C. −1D. −36.已知命题p ：∀x ∈R ，x 4+x <0，则￢p 是( )A. ∀x ∈R ，x 4+x ≥0B. ∀x ∈R ，x 4+x >0C. ∃x 0∈R ，x 04+x 0≥0 D. ∃x 0∈R ，x 04+x 0>0 7. 已知双曲线(a >0，b >0)的离心率为，则双曲线的两渐近线的夹角为( )A.B.C.D.8.已知tanα=2，α为第一象限角，则sin2α的值为( )A. −35B. 4√55C. 45D. 359.在区间(0,1)中随机地取出两个数，则两数之和小于25的概率是( )A. 45B. 225C. 425D. 95010. 已知表面积为24π的球外接于三棱锥S −ABC ，且∠BAC =π3，BC =4，则三棱锥S −ABC 的体积最大值为( )A. 8√23B. 16√23C. 163D. 32311.已知四边形ABCD，∠BAD=120°，∠BCD=60°，AB=AD=2，则AC的最大值为()A. 4√33B. 4 C. 8√33D. 812.将周长为4的矩形ABCD绕AB旋转一周所得圆柱体积最大时，AB长为()A. 43B. 23C. 13D. 1二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y=alog2(x+1)，设这种动物第一年有100只，到第7年它们发展到________只．14.已知单位向量a⃗，b⃗ 满足a⃗⋅b⃗ =√22，则a⃗与b⃗ 夹角的大小为______ ；|a⃗−x b⃗ |(x∈R)的最小值为______ ．15.(12−4x)7的展开式中x3的系数为______．16.给出下列命题：①函数f(x)=x2+1x2+2的最小值是0；②“若x2=4，则x=2”的否命题；③若b2=ac，则a，b，c成等比数列；④在△ABC中，若sinA>sinB，则BC>AC．其中所有真命题的序号是______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等差数列{a n}满足：a3=7，a5+a7=26，{a n}的前n项和为S n．(1)求a n及S n；(2)求数列{1S n}的前n项和T n．18.从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问：(Ⅰ)能组成多少个没有重复数字的七位数？(Ⅱ)在(Ⅰ)中的七位数中三个偶数排在一起的有几个？(Ⅲ)在(Ⅰ)中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？19. 如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，在梯形ABEF中，AF//BE ，AF ⊥AB ，AB =BE =2AF =2，平面ABEF ⊥平面ABCD ．(1)证明：BD ⊥平面AFC ； (2)若多面体ABCDEF 的体积为4√33，∠ADC 为锐角，求∠ADC 的大小．20. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1(2,0)，A 2(2,0)，右准线方程为x =4.过点A 1的直线交椭圆C 于x 轴上方的点P ，交椭圆C 的右准线于点D.直线A 2D 与椭圆C 的另一交点为G ，直线OG 与直线A 1D 交于点H ．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若HG ⊥A 1D ，试求直线A 1D 的方程； (3)如果A 1H ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λA 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，试求λ的取值范围．21. 已知函数在处有极大值7．(Ⅰ)求的解析式；(Ⅱ)求在=1处的切线方程．22. 选修4−4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(φ为参数)，在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2是圆心为(3,)，半径为1的圆．(Ⅰ)求曲线C1，C2的直角坐标方程；(Ⅱ)设M为曲线C1上的点，N为曲线C2上的点，求|MN|的取值范围．23. 已知函数f(x)=a x+b(a>0,a≠1)满足f(x+y)=f(x)⋅f(y)，且f(3)=8．(1)求实数a，b的值；(2)若不等式|x−1|<m的解集为(b,a)，求实数m的值．【答案与解析】1.答案：B解析：解：∵A={x|0≤x≤1},B={x|1−3x>0}={x|x<13}，∴A∩B=[0,13)．故选：B．可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、区间表示集合的定义，一元二次不等式的解法，对数函数的定义域，以及交集的运算．2.答案：C解析：本题考查了复数的几何意义，由复数的四则运算得i(2−i)=1+2i，直接根据复数的几何意义求解即可．解：∵i(2−i)=1+2i，∴z对于的点为(1,2)，故选C.3.答案：C解析：解：∵椭圆x236+y220=1的两个焦点为F1、F2，弦AB经过F2，∴△ABF1的周长=4a=4×6=24．故选：C．利用椭圆定义求解．本题考查三角形周长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．4.答案：D解析：由题意知：1=，∴a=−1．∴方差为[(−1−1)2+(0−1)2+(1−1)2+(2−1)2+(3−1)2]=(4+1+0+1+4)=2．解析：解：∵函数f(x)=ax2+(a2−1)x−3a是定义在[4a+2,a2+1]的偶函数∴4a+2+a2+1=0即a2+4a+3=0∴a=−1或a=−3当a=−1时，f(x)=−x2+3在[−2,2]上是偶函数，满足题意当a=−3时，f(x)=−3x2+8x+9在[−10,10]上不是偶函数，舍去综上可得，a=−1故选C由偶函数的定义域关于原点对称，可求a，然后把a的值代入函数f(x)进行检验即可本题主要考查了偶函数的定义的应用，解题中不要漏掉对函数的定义域关于原点对称的考虑6.答案：C解析：解：特称性命题的否定是先改变量词，然后否定结论，即∃x0∈R，x04+x0≥0．故选：C．根据含有量词的命题的否定即可得到结论．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．7.答案：A解析：本题考查的是双曲线的离心率与渐近线.由离心率求出双曲线的渐近线的斜率，从而求出渐近线的倾斜角，从而求得结论．解：由离心率e=ca=√2，所以双曲线的渐近线的斜率k=ba =√b2a2=√c2−a2a2=√e2−1=1，所以双曲线的渐近线的倾斜角为π4，所经双曲线的两渐近线的夹角为π2．8.答案：C解析：解：由tanα=2=sinαcosα，α为第一象限角，sin 2α+cos 2α=1， ∴sinα=2√5，cosα=1√5，所以sin2α=2⋅2√5⋅1√5=45， 故选：C ．由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinα、cosα的值，再利用二倍角公式，求得sin2α的值． 本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．9.答案：B解析：本题主要考查几何概型的概率计算，属于基础题．设随机取出的两个数分别为x ，y ，建立条件关系，利用几何概型的概率公式即可得到结论． 解：设取出两个数为x ，y ；则{0<x <10<y <1，若这两数之和小于25，则有{0<x <10<y <1x +y <25，根据几何概型，原问题可以转化为求不等式组{0<x <10<y <1x +y <25表示的区域与{0<x <10<y <1表示区域的面积之比问题， 易得其概率为12×25×251×1=225．故选：B ．10.答案：B解析：解：设球的半径为R ，球心为O ，如图所示，∵球O的表面积是24π，∴4πR2=24π，解得R=√6．设△ABC的外心为O1，外接圆的半径为r，则O1B=r=12×4sinπ3=√3，∴OO1=√OB2−O1B2=√63．∴O1S=4√63．在△ABC中，由余弦定理可得：16=b2+c2−2bccosπ3，化为b2+c2=bc+16≥2bc，∴bc≤16，当且仅当b=c=4时取等号．∴三棱锥S−ABC的体积V=13×12bcsinπ3×4√63≤2√69×√32×16=16√23，故选：B．设球的半径为R，球心为O，如图所示，由球O的表面积是24π，可得4πR2=24π，解得R.设△ABC的外心为O1，外接圆的半径为r，则O1B=r=12×4sinπ3=√3可得OO1=√OB2−O1B2=√63，O1S=4√63.在△ABC中，由余弦定理可得：16=b2+c2−2bccosπ3，利用基本不等式的性质可得bc≤16，利用三棱锥P−ABC的体积V=13×12bcsinπ3×4√63，即可得出．本题考查了三棱锥外接球的性质、勾股定理、三棱锥的体积计算公式、正弦定理余弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.答案：B解析：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，判断四边形ABCD 为圆内接四边形，是解题的关键，属于中档题．由题意可得，四边形ABCD 为圆内接四边形，AC 的最大值为直径．根据AB =AD =2，可得∠BAC =60°，∠ACB =30°，∠ABC =90°.△ABC 中，由正弦定理求得AC 的值．∵四边形ABCD 中，∠BAD =120°，∠BCD =60°，∴四边形ABCD 为圆内接四边形， 故AC 的最大值为直径．∵AB =AD =2，∴∠BAC =12∠BAD =60°，∠ACB =12∠BCD =30°，∴∠ABC =90°． △ABC 中，由正弦定理可得AC sin90°=AB sin30°=212，∴AC =4，故选B ．12.答案：B解析：解：因为矩形ABCD 的周长为4，设BC =x(0<x <2)，则AB =2−x ， 所以将周长为4的矩形ABCD 绕AB 旋转一周所得圆柱的体积为： V(x)=πx 2(2−x)=π(2x 2−x 3)，(0<x <2)， 则V′(x)=π(4x −3x 2)，令V′(x)=0，解得x =43， 当0<x <43时，V′(x)>0，则V(x)单调递增， 当43<x <2时，V′(x)<0，则V(x)单调递减，所以当x =43，即BC =43，AB =23时，V(x)取得最大值V(43)=32π27，所以将周长为4的矩形ABCD 绕AB 旋转一周所得圆柱体积最大时，AB 长为23． 故选：B ．设BC =x ，则AB =2−x ，利用圆柱的体积公式，表示出圆柱的体积，再利用导数求解最值即可． 本题考查了导数在几何中的应用，解题的关键是列出圆柱体积的表达式，考查了逻辑推理能力与化简计算能力，属于中档题．13.答案：300解析：解：当x =1时，100=alog 22，所a =100，所以y =100log 2(x +1).当x =7时，y =100log 2(7+1)=300． 故答案为：300．根据这种动物第1年有100只，先确定函数解析式，再计算第7年的繁殖数量． 本题考查学生对函数解析式的理解，考查运算能力，属于基础题．14.答案：4 √2 解析：解：∵cos <a ⃗ ,b ⃗ >=a⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ ||b⃗ |=√22，且<a ⃗ ,b ⃗ >∈[0,π]，∴a ⃗ 与b ⃗ 夹角的大小为π4；∵|a ⃗ −x b ⃗ |=√(a ⃗ −x b ⃗ )2=√x 2−√2x +1=√22)12，∴x =√22时，|a ⃗ −x b ⃗ |取最小值√22．故答案为：π4,√22．根据条件可求出cos <a ⃗ ,b ⃗ >的值，进而可得出a ⃗ ,b ⃗ 夹角的大小；可求出|a ⃗ −x b ⃗ |=√x 2−√2x +1然后配方即可求出|a ⃗ −x b ⃗ |的最小值．本题考查了向量夹角的余弦公式，向量长度的求法，向量数量积的运算，配方求二次函数最值的方法，考查了计算能力，属于基础题．15.答案：−140解析：解：由T r+1=C 7r ⋅(12)7−r ⋅(−4x)r =(−4)r ⋅(12)7−r ⋅C 7r⋅x r ． 取r =3，可得(12−4x)7的展开式中x 3的系数为(−4)3×(12)4×C 73=−140． 故答案为：−140．写出二项展开式的通项，由x 得指数为3求得r 值，则答案可求． 本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．16.答案：②④解析：解：对于①，设t =x 2+2≥2，则y =t +1t −2在[2,+∞)上单调递增， 从而y min =2+12−2=12，即f(x)的最小值为12，故①是假命题；对于②，由x 2≠4，得x ≠±2，则“若x 2=4，则x =2”的否命题是真命题，故②是真命题； 对于③，当a =b =0时，b 2=ac =0，此时，a ，b ，c 不能构成等比数列，故③是假命题； 对于④，因为A ，B 是△ABC 的内角，所以0<A +B <π， 又因为sinA >sinB ，所以A >B ，则BC >AC ，故④是真命题． 故答案为：②④．利用换元法以及函数的单调性求解最小值判断①；写出否命题，判断真假，判断②；反例判断③；正弦定理判断④．本题考查命题的真假的判断与应用，考查四种命题的逆否关系，正弦定理以及等比数列的判断，函数的性质的应用，的中档题．17.答案：解：(1)等差数列{a n }满足：a 3=7，a 5+a 7=26，则：{a 3=7a 5+a 7=26，解得a 1=3，d =2．所以a n =3+2(n −1)=2n +1． S n =3n +n(n−1)2⋅2=n 2+2n ．(2)由(1)可知，S n =n 2+2n ， 则1S n=12(1n −1n+2)，所以T n =1S 1+1S 2+⋯+1Sn−1+1S n，=12(1−13+12−14+13−15+⋯+1n−1−1n+1+1n −1n+2)， =12(1+12−1n+1−1n+2)， =34−12(1n+1+1n+2)．解析：(1)直接利用已知条件求出数列的通项公式和数列的和． (2)利用数列的和公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法的应用．18.答案：解：(Ⅰ)由题意知本题是一个分步计数问题，第一步在4个偶数中取3个，有C 43种结果， 第二步在5个奇数中取4个，有C 54种结果，第三步得到的7个数字进行排列有A 77种结果，∴符合题意的七位数有C 43C 54A 77=100800．(Ⅱ)上述七位数中，三个偶数排在一起可以把三个偶数看成一个元素进行排列，三个元素之间还有一个排列，有C 43C 54A 55A 33=14400．(Ⅲ)上述七位数中，3个偶数排在一起有A 33种情况，4个奇数也排在一起有A 44种情况， 共有C 43C 54A 33A 44A 22=5760个．解析：(Ⅰ)本题是一个分步计数问题，第一步在4个偶数中取3个，有C43种结果，第二步在5个奇数中取4个，有C54种结果，第三步得到的7个数字进行排列有A77种结果，根据分步计数原理得到结果．(Ⅱ)上述七位数中三个偶数排在一起可以把三个偶数看成一个元素进行排列，三个元素之间还有一个排列，得到结果．(Ⅲ)由(1)第一、二步，将3个偶数排在一起，有A33种情况，4个奇数也排在一起有A44种情况，将奇数与偶数进行全排列计算可得答案．本题考查排列组合及简单计数问题，本题解题的关键是对于要求相邻的元素要采用捆绑法，对于不相邻的元素要采用插空法，本题是一个比较典型的排列组合问题19.答案：证明：(1)∵平面ABEF⊥平面ABCD，AF⊥AB，AF⊂平面ABEF，平面ABEF∩平面ABCD= AB，∴AF⊥平面ABCD，又BD⊂平面ABCD，∴AF⊥BD，∵四边形ABCD为菱形，∴BD⊥AC，又AF∩AC=A，∴BD⊥平面AFC；解：(2)该几何体是由三棱锥F−ADC与四棱锥C−ABEF组合而成，由AF//BE，AF⊥AB，得BE⊥AB，又平面ABEF⊥平面ABCD，∴C到AB的距离等于C到平面ABEF的距离．设A到CD的距离为d，则C到AB的距离也是d，又AB=BE=2AF=2，多面体ABCDEF的体积为4√33，∴V F−ADC+V C−ABEF=13×12×d×2×1+13×12×(1+2)×2×d=4√33，解得d=√3，则sin∠ADC=dAD =√32，又∠ADC为锐角，可得∠ADC=π3．解析：(1)由已知结合面面垂直的性质可得AF⊥平面ABCD，则AF⊥BD，再由四边形ABCD为菱形，得BD⊥AC，由直线与平面垂直的判定可得BD⊥平面AFC；(2)由多面体的体积求出A到线段CD的距离，求解直角三角形可得∠ADC的大小．本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．20.答案：解：(1)由椭圆的左、右顶点分别为A 1(2,0)，A 2(2,0)，右准线方程为x =4，则a =2，a 2c=4，则c =1，b 2=a 2−c 2=3， ∴椭圆方程：x 24+y 23=1①，(2)设直线A 1D ：y =k(x +2)(k >0)②， 则与右准线x =4的交点D(4,6k)， 又A 2(2,0)，∴设直线A 2D ：y =3k(x −2)，联立①得， {y =3k (x −2)x 24+y 23=1，解得：G(24k 2−21+12k 2,−12k 1+12k 2)， 则直线OG 的斜率为k OG =−6k12k 2−1③， ∵OG ⊥A 1D ，故−6k12k 2−1·k =−1， 又k >0，解得k =√66，则直线A 1D ：y =√66(x +2)(3)由(2)中③知，设直线OG ：y =−6k12k 2−1x ， 联立②得，{y =−6k12k 2−1x x 24+y 23=1，解得：H(−24k 2+212k 2+5,12k 12k 2+5)， 联立①②得，{y =k (x +2)x 24+y 23=1，解得P(6−8k 23+4k 2,12k 3+4k 2)， ∵A 1H ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λA 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴(x H +2,y H )=λ(x P +2,y P )，则y H =λy P ， λ=y H y P=12k12k 2+512k 3+4k 2=3+4k 212k 2+5=112k 2+9−43+4k 2=13−43+4k 2，∵f(k)在(0,+∞)为减函数， ∴λ∈(13,35)．解析：本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查向量的坐标运算，考查函数的最值，考查计算能力，属于中档题．(1)由题意可知a=2，a2c=4，则c=1，b2=a2−c2=3，，求得椭圆方程；(2)求得椭圆的准线方程，设P，求得PA和PB的方程，代入椭圆方程，求得M和N点坐标，根据向量数量积的坐标运算，即可求得λ=λ=y Hy P =12k12k2+512k3+4k2=3+4k212k2+5=112k2+9−43+4k2=13−43+4k2，根据函数的性质即可求得λ的取值范围．21.答案：(Ⅰ)(Ⅱ)解析：试题分析：解：(Ⅰ)，，∴．(Ⅱ)∵又∵f(1)=∴切线方程为考点：导数的应用点评：导数常应用于求曲线的切线方程、求函数的最值与单调区间、证明不等式和解不等式中参数的取值范围等。

2022年甘肃省高考数学一诊试卷（理科）1. 已知集合，，则( )A. B. C. D.2. 设，则( )A. B. C. D.3. 2021年7月下甸某省遭遇特大洪涝灾害，某品牌服饰公司第一时间向该省捐款5000万元物资以援助抗灾，该品牌随后受到消费者的青睐．如图为该品牌服饰某分店月的销量单位：件情况．以下描述不正确的是( )A. 这8个月销量的极差为4132B. 这8个月销量的中位数2499C. 这8个月中2月份的销量最低D. 这8个月中销量比前一个月增长最多的是7月份4. 如图，AB是的直径，点C，D是半圆弧上的两个三等分点，，，则( )A.B.C.D.5. “”是“”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )A. 的最小正周期是B. 直线是图象的一条对称轴C. 点是图象的一个对称中心D. 的单调递减区间是7. 定义在R上的奇函数，满足，且当时，，则( )A. B. C. 2 D. 88. 直线与椭圆相交于A，B两点，若将x轴下方半平面沿着x轴翻折，使之与上半平面成直二面角，则的取值范围是( )A. B. C. D.9. 在直角中，，，，且，分别以BC，AC，AB所在直线为轴，将旋转一周，形成三个几何体，其表面积和体积分别记为，，和，，，则它们的关系为( )A.， B. ，C. ，D. ，10. 已知以圆C：的圆心为焦点的抛物线与圆C在第一象限交于A点，B 点是抛物线：上任意一点，BM与直线垂直，垂足为M，则的最大值为 ( )A. 1B. 2C.D. 811. 线段AB 上任取一点C ，若，则点C 是线段AB 的“黄金分割点”．以AC ，BC 为邻边组成的矩形称为“黄金矩形”．现在线段AB 上任取一点C ，若以AC ，BC 为邻边组成矩形，则该矩形的面积小于“黄金矩形”的面积的概率为( )A.B.C. D.12. 设函数函数，若存在唯一的，使得的最小值为，则实数a 的取值范围为( )A.B.C.D.13. 若双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为______.14. 已知等差数列满足，，则______.15. 曲线的一条切线的方程为，则实数______.16. 在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且若角C的平分线交AB 于D 点，且，则的最小值为______.17.已知数列满足，，数列满足，，，求数列及的通项公式；求数列的前n 项和18. 2021年国庆节过后我省多地突发新冠疫情，某行业主管部门为了了解本行业中的小企业在疫情后的恢复生产情况，随机调查了150个企业，得到这些企业第四季度相对于去年同期产值增长率的频数分布表如表：增长率分组企业数1530503817根据上述增长率的频数分布表，估计这些企业中产值负增长的企业比例用百分数表示：估计这150个企业同期产值增长率的平均数同一组中的数据用该组区间的中点值代表；某调研部门要从当地本行业所有企业中任意选取两个企业做调查研究，若被调查的企业同期增长率则调研价值为1；被调查的企业同期增长率则调研价值为2；被调查的企业同期增长率，则调研价值为以表中对应各组的频率为概率，设选取的两个企业的调研价值之和为X ，求X 的分布列及数学期望．19. 如图，是边长为3的等边三角形，E ，F 分别在边AB ，AC 上，且，M 为BC 边的中点，AM 交EF 于点O ，沿EF 将折到DEF 的位置，使证明：平面EFCB ；若平面EFCB内的直线平面DOC，且与边BC交于点N，问在线段DM上是否存在点P，使二面角的大小为？若存在，则求出点P；若不存在，请说明理由．20. 已知动点P到点的距离与它到直线l：的距离之比为求动点P的轨迹所形成曲线C的方程；，分别过，作斜率为的直线与曲线C交于x轴上方A，B两点，若四边形的面积为，求k的值．21. 已知函数，判断函数的单调性；当时，关于x的不等式恒成立，求实数b的取值范围．22. 如图，曲线是著名的笛卡尔心形曲线．它的极坐标方程为曲线是经过极点且在极轴上方的圆，其圆心在经过极点且垂直于极轴的直线上，直径为求曲线的极坐标方程，并求曲线和曲线交点的极坐标；以极点为坐标原点，极轴所在的直线为x轴，经过极点且垂直于极轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为为参数若曲线与曲线相交于除极点外的M，N两点，求线段MN的长度．23. 已知函数求不等式的解集；若，，且，求证：答案和解析1.【答案】B【解析】解：，，则故选：先求出集合A，然后结合集合交集运算即可求解．本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：，故选：直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】B【解析】解：对于A，由销量折线图得极差为：，故A正确；对于B，销量由小到大排列为：712，1433，1533，1952，2822，3046，4532，4844，中位数为：，故B错误；对于C，由折线图得2月份销量最低，故C正确；对于D，由折线图知7月份销量比6月份销量增长件，最大，这8个月中销量比前一个月增长最多的是7月份，故D正确．故选：根据销量折线图，结合极差、中位数的定义直接求解．本题考查命题真假的判断，考查折线图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】C【解析】解：连接CD，CO，DO，如图，，D是半圆弧上的两个三等分点，，，是等边三角形，，四边形OACD是菱形，四边形OBDC是菱形，故选：根据圆的几何性质、菱形以及向量运算法则能求出结果．本题考查向量的运算，考查圆的性质、向量运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】A【解析】解：当成立时能推出但当时能推出，推不出故“”是“”的充分不必要条件故选A利用三角函数的平方关系，判断前者成立时是否推出后者成立；反之，后者成立时，是否推出前者成立；利用各种条件的定义得到结论．本题考查三角函数的平方关系、考查如何利用各种条件的定义判断一个命题是另一个命题的什么条件．6.【答案】C【解析】解：由图象可知，即，故A错误；由可得，又因为函数图象过点，所以，由五点法作图可知，，即，又，故，所以，当时，，故B错误；因为，所以点是图象的一个对称中心，故C正确；令，解得，即函数的单调递减区间为，故D错误．故选：根据函数图象求出周期T，，，判断A，再由正弦型函数的对称轴、对称中心、单调区间判断BCD即可．本题考查了三角函数的图象与性质，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：是定义在R上的奇函数，且，即，，的周期为8，时，，故选：根据是R上的奇函数，并且，便可推出，即的周期为8，由周期性及函数为奇函数即可得解．本题考查了函数的周期性、奇偶性，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：直线交椭圆于A，B两点，椭圆的半短轴长为：，可知的最大值为：，的最小值为：2，因为直线与椭圆的交点，不经过椭圆的短轴端点，所以的取值范围是：故选：判断直线与椭圆的交点的位置，然后求解的取值范围即可．本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，距离的判断，是中档题．9.【答案】B【解析】解：由直角三角形绕其直角边旋转可以得到一个圆锥，直角三角形绕其斜边旋转可以得到两个共用同一底面的圆锥的组合体，采用特例法，不妨令、、，当绕边旋转时，其表面展开后是两个扇形，其表面积为；体积；当绕边旋转时，，体积；当绕边旋转时，，体积；故选：由选项可知，，，和，，的关系唯一，故采用特例法，不妨令、、，绕三边旋转一周分别形成三个几何体的形状，求出他们的表面积和体积，进行比较可得答案．本题考查旋转体的表面积与体积的求法，采用特例法求解是关键，是基础题．10.【答案】A【解析】【分析】本题考查圆方程和抛物线的定义和方程的运用，考查方程思想和定义法解题，以及三点共线取得最值，属于中档题．求得圆心，可得抛物线方程，与圆C的交点A，运用抛物线的定义和三点共线，即可得到所求最大值．【解答】解：圆C：的圆心为焦点的抛物线方程为，由，解得，抛物线：的焦点为，准线方程为，即有，当且仅当A，B，在B，F之间三点共线，可得最大值1，故选：11.【答案】A【解析】解：不妨设，由，解得，“黄金矩形”的面积现在线段AB上任取一点C，若以AC，BC为邻边组成矩形，则该矩形的面积小于“黄金矩形”的面积，设，，则，由，解得，或该矩形的面积小于“黄金矩形”的面积的概率故选：不妨设，由，解得AC，BC，可得“黄金矩形”的面积．现在线段AB上任取一点C，设，，，由题意可得，解得x 范围，可得该矩形的面积小于“黄金矩形”的面积的概率．本题考查了“黄金分割”、方程的解法、古典概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12.【答案】A【解析】解：作出函数函数的图象，可得的最小值为0，最大值为2；函数，且仅当取得最小值由存在唯一的，使得的最小值为，可得，解得故选：A.作出函数的图象，可得最小值为0，最大值为2，由基本不等式可得的最小值为，由题意可得，解不等式即可得到所求范围本题考查分段函数的图象及应用，考查基本不等式的运用：求最值，注意数形结合思想方法的运用，属于中档题．13.【答案】【解析】解：由题意得，且，解得，则渐近线方程为故答案是：利用双曲线的离心率求出a，然后可求渐近线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．14.【答案】6【解析】解：设等差数列的公差为d，由，得，解得，所以故答案为：设等差数列的公差为d，利用可求出d值，进一步根据即可求解．本题考查等差数列的通项公式，考查学生基本的运算能力，属于基础题．15.【答案】9【解析】解：设切点为，，在点处的切线方程为，把点在切线方程上，A的坐标代入，可得，解得过点的切线方程为，故答案为：设出切点，求导函数可得切线方程，将A坐标代入，求得切线方程，从而可求实数a的值．本题考查利用导数求曲线的切线方程，考查导数的几何意义，正确确定切线方程是关键．16.【答案】4【解析】解：因为，由正弦定理得，，由A为三角形内角得，所以，即，由C为三角形内角，得，由题意得，因为，所以，所以，即，，，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为故答案为：由已知结合正弦定理及同角基本关系先求出C，然后结合三角形面积公式可得a，b的关系，然后结合基本不等式可求．本题主要考查了正弦定理，同角基本关系，三角形面积公式，还考查了利用基本不等式求解最值，属于中档题．17.【答案】解：因为，，所以数列是首项为1，公比为的等比数列，所以，因为，所以数列是等差数列，又，，所以公差，所以，所以【解析】根据等比数列的概念与通项公式可得数列的通项公式，由等差中项的性质与等差数列的通项公式可得数列的通项公式；根据分组求和法，即可得解．本题考查数列的通项公式与前n项和的求法，熟练掌握等差、等比数列的通项公式与前n项和公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．18.【答案】解：负增长的企业比例为，这150个企业同期产值增长率的平均数为：，由题意被调查的企业同期增长率的概率为，被调査的企业同期增长率的概率为：，被调査的企业同期增长率的概率为：，由题意选取的两个企业的调研价值之和X的取值为：2，3，4，5，6，，，，所以X的分布列为：X 2 34 5 6P【解析】根据题意可得负增长的企业比例，由公式直接求平均数．先求出被调査的企业同期增长率在对应范围内的概率，然后得出X的取值，并求出各个取值对应的概率，得出分布列，由期望公式得出其期望．本题考查离散型随机变量的分布列与期望，考查学生的运算能力，属于中档题．19.【答案】解：证明：在中，由题意，，，，，，，，为BC中点，，，，EF，平面EBCF，平面连接OC，过E作，交BC于N，平面DOC，平面DOC，平面DOC，，四边形OENC是平行四边形，，如图，建立空间直角坐标系，设，，，，，，，，，，平面ENB的法向量，设平面ENP的法向量，则，取，得，在线段DM上存在点P，使二面角的大小为，，解得舍或，此时，，在线段DM上存在点P，使二面角的大小为，P点坐标为【解析】先由勾股定理证明，再推导出，能证明平面连接OC，过E作，交BC于N，建立空间直角坐标系，利用向量法求解．本题考查线面垂直的证明，考查满足二面角的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：设，由题意得，整理得，即为曲线C的方程．由题意知，延长交椭圆C于点，由椭圆的对称性知，所以，设，与联立消得：，设，，则，，所以，因为点到直线的距离，所以，平方化简得，解得或舍，所以【解析】设，利用直接法即可求解；延长交椭圆C于点，根据椭圆的对称性，设，将直线与椭圆方程联立，利用弦长公式求出，再利用点到直线的距离公式求出点到直线的距离，进而表示出，解方程即可．本题主要考查轨迹方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系等知识，属于中等题．21.【答案】解：，，，当时，，恒成立，在上单调递增，当时，令，得，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，综上所述，当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递增．当时，，即恒成立，所以，所以，即恒成立，令，，，令，，因为，所以，，，所以恒成立，所以在上单调递增，时，，，所以，而，所以，使得，即，所以，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，而，令，，则，，所以在上单调递增，所以，即，所以，所以b的取值范围为【解析】求导得，分两种情况：当时，当时，分析的正负，的单调性．根据题意可得当时，恒成立，即恒成立，令，，只需，即可得出答案．本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．22.【答案】解：曲线是著名的笛卡尔心形曲线．它的极坐标方程为曲线的极坐标方程为，与方程联立代入得，，解得或，曲线和曲线交点的极坐标分别为，曲线为过原点倾斜角为的直线，其极坐标方程为和，联立两曲线和的方程，解得两交点的极坐标分别为，，【解析】根据圆的极坐标方程方程求出，联立曲线和曲线的方程，求出交点即可．写出的极坐标方程，求出M，N的极坐标，由极坐标的意义求出线段MN的长度．本题考查极坐标方程、线段长度的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23.【答案】解：解法一：，由，得或或，解得或或，故所求不等式的解集为证明：要证成立，只需证成立，即证，由，，，故只需证，由基本不等式可知，成立当且仅当时“=”成立，故命题得证．解法二：因为，作函数图象与直线，如图所示：其交点为，，所以不等式的解集为证明：，又，，，，成立当且仅当时“=”成立【解析】法一求出的分段函数形式，通过讨论x的范围，去掉绝对值解不等式求出不等式的解集即可；结合基本不等式的性质证明即可；法二：画出函数的图象，结合图象求出交点坐标，求出不等式的解集即可；结合基本不等式的性质证明即可．本题考查了解绝对值不等式问题，不等式的证明以及转化思想，是中档题．。

甘肃省2021-2022学年度高考数学一模试卷（理科）A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分） (2017高二下·温州期中) 已知集合P={x|x2＞2}，Q={0，1，2，3}，则（∁RP）∩Q=（）A . {0，1}B . {0}C . {2，3}D . {1，2，3}2. （2分） (2020高二上·吴起期末) 若，则的最大值为（）A .B .C .D .3. （2分） (2019高二上·雨城期中) 程序框图符号“ ”可用于（）A . 赋值B . 输出C . 输入D . 判断4. （2分）(2018·淮北模拟) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A . 11B . 9C . 7D . 55. （2分） (2019高二上·辽阳期末) “方程表示的曲线为椭圆”是“ ”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件6. （2分） (2016高二上·蕲春期中) 如图F1 ， F2分别是椭圆的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则椭圆的离心率为（）A .B .C .D .7. （2分）下列命题正确的个数是（）①②③④（）=（）A . 1B . 2C . 3D . 48. （2分）函数y=﹣的图象向右平移1个单位之后得到的函数图象与函数y=2sinπx（﹣2≤x≤4）的图象的所有交点的横坐标之和等于（）A . 2B . 4C . 6D . 8二、填空题 (共6题；共6分)9. （1分）(2020·南京模拟) 复数z 复平面上对应的点位于第________象限．10. （1分） (2020高三上·松原月考) 已知，则________．11. （1分） (2016高二上·吉林期中) 在三角形ABC中，已知A=60°，b=1，其面积为，则=________．12. （1分）在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，规定ρ≥0，﹣π≤θ＜π，若点M的直角坐标是，则点M的极坐标为________．13. （1分） (2018高一下·集宁期末) 关于f(x)＝4sin (x∈R)，有下列命题①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2是π的整数倍；②y＝f(x)的表达式可改写成y＝4cos ；③y＝f(x)图象关于对称；④y＝f(x)图象关于x＝－对称．其中正确命题的序号为________(将你认为正确的都填上)。

2022年甘肃省兰州市高考数学诊断试卷（理科）一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.i为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数( )A. B. 0 C. 1 D. 0或12.已知集合，，则( )A. B. C. D.3.已知，，与的夹角为，则( )A. 6B.C.D.4.圆的圆心到直线的距离是( )A. B. C. 1 D.5.莫高窟坐落在甘肃的敦煌，它是世界上现存规模最大、内容最丰富的佛教艺术胜地，每年都会吸引来自世界各地的游客参观旅游．已知购买莫高窟正常参观套票可以参观8个开放洞窟，在这8个洞窟中莫高窟九层楼96号窟、莫高窟三层楼16号窟、藏经洞17号窟被誉为最值得参观的洞窟．根据疫情防控的需要，莫高窟改为极速参观模式，游客需从套票包含的开放洞窟中随机选择4个进行参观，所有选择中至少包含2个最值得参观洞窟的概率是( )A. B. C. D.6.已知一个半径为4的扇形圆心角为，面积为，若，则( )A. 0B.C. 2D.7.已知是奇函数，当时，，若，则( )A. B. C. 2 D. 18.已知三棱锥，PC为其外接球O的直径，，若D为棱AB上与A、B不重合的一点，则( )A. 必为锐角B. 必为直角C. 必为钝角D. 无法确定9.已知在上单调，且值域为，则( )A. 1B.C.D.10.如图所示直三棱柱内接于圆柱之中，圆柱的体积为，侧面积为，，若三棱柱的体积为V，则V的最大值为( )A.B.C.D.11.已知椭圆：与双曲线有公共的焦点、，A为曲线、在第一象限的交点，且的面积为2，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为( )A. 9B.C. 7D.12.若函数在其定义域内存在、，使得，则称函数具有D性质．在函数①，②，③，④中，不具有D性质的是( )A. ②③B. ①④C. ③④D. ①③二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

一、单选题二、多选题1. 甲乙两位游客慕名来到赣州旅游，准备分别从大余丫山、崇义齐云山、全南天龙山、龙南九连山和安远三百山5个景点中随机选择其中一个，记事件A ：甲和乙选择的景点不同，事件B ：甲和乙恰好一人选择崇义齐云山，则条件概率（ ）A．B．C．D．2.已知为等比数列，则“”是“，是任意正整数”的（ ）A ．充分条件但不是必要条件B ．必要条件但不是充分条件C ．充要条件D ．既不是充分条件也不是必要条件3. 设命题：，，则p 的否定为（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，4. 已知，则函数的部分图象大致为（ ）A．B．C．D．5. 若过点可作曲线的两条切线，则点可以是（ ）A．B．C．D．6. 设全集，集合，集合，则图中阴影部分所示的集合是（）A．B．C．D．7.已知，则的大小关系是A．B．C．D．8. 若，则（ ）A．B．C．D．9.已知正实数满足，则（ ）A．B．C．D．10.已知点，为不同的两点，直线，，为不同的三条直线，平面，为不同的两个平面，则下列说法正确的是（ ）A ．若，，则B．若，，则C ．若，，，，则D ．若，，，，则直线11. 已知分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆的面积为，甘肃省兰州市等4地2022届高三一模理科数学试题(1)甘肃省兰州市等4地2022届高三一模理科数学试题(1)三、填空题四、解答题的内切圆的面积为，则（ ）A ．圆和圆外切B ．圆心在直线上C．D．的取值范围是12.如图，在四棱柱中，平面，，，，为棱上一动点，过直线的平面分别与棱，交于点，，则下列结论正确的是（）A ．对于任意的点，都有B ．对于任意的点，四边形不可能为平行四边形C ．存在点，使得为等腰直角三角形D ．存在点，使得直线平面13. 已知函数，，若存在2个零点，则实数m 的取值范围是______．14.斜率为的直线过椭圆的焦点，交椭圆于两点，若，则该椭圆的离心率为_________．15.的展开式中的常数项为_________.16. 某数学建模小组研究挡雨棚（图1），将它抽象为柱体（图2），底面与全等且所在平面平行，与各边表示挡雨棚支架，支架、、垂直于平面.雨滴下落方向与外墙（所在平面）所成角为（即），挡雨棚有效遮挡的区域为矩形（、分别在、延长线上）.(1)挡雨板（曲面）的面积可以视为曲线段与线段长的乘积．已知米，米，米，小组成员对曲线段有两种假设，分别为：①其为直线段且；②其为以为圆心的圆弧.请分别计算这两种假设下挡雨板的面积（精确到0.1平方米）；(2)小组拟自制部分的支架用于测试（图3），其中米，，，其中，求有效遮挡区域高的最大值.17. 如图，在四棱锥中，底面是梯形，，，，，侧面底面．（1）求证：平面平面；（2）若，且三棱锥的体积为，求侧面的面积．18. 某机构为了了解不同年龄的人对一款智能家电的评价，随机选取了50名购买该家电的消费者，让他们根据实际使用体验进行评分.（Ⅰ）设消费者的年龄为，对该款智能家电的评分为.若根据统计数据，用最小二乘法得到关于的线性回归方程为，且年龄的方差为，评分的方差为.求与的相关系数，并据此判断对该款智能家电的评分与年龄的相关性强弱.（Ⅱ）按照一定的标准，将50名消费者的年龄划分为“青年”和“中老年”，评分划分为“好评”和“差评”，整理得到如下数据，请判断是否有的把握认为对该智能家电的评价与年龄有关.好评差评青年816中老年206附：线性回归直线的斜率；相关系数，独立性检验中的，其中.临界值表：0.0500.0100.0013.841 6.63510.82819. 如图，A、B、C三地在以O为圆心的圆形区域边界上，公里，公里，，D是圆形区域外一景点，，.(1)O、A相距多少公里？（精确到小数点后两位）(2)若一汽车从A处出发，以每小时50公里的速度沿公路AD行驶到D处.需要多少小时？（精确到小数点后两位）20. 已知数列是首项，公比的等比数列，设，数列满足．(1)证明：数列成等差数列．(2)若对一切正整数恒成立，求实数的取值范围．21. 在本题中，我们把具体如下性质的函数叫做区间上的闭函数：①的定义域和值域都是；②在上是增函数或者减函数.（1）若在区间上是闭函数，求常数的值；（2）找出所有形如的函数（都是常数），使其在区间上是闭函数.。

一、单选题二、多选题1. 如图所示，一个水平放置的四边形OABC 的斜二测画法的直观图是边长为2的正方形，则原四边形的面积是（）A．B．C ．16D ．82. 定义在上的函数的导函数都存在，，且，，则不等式的解集为（ ）A．B．C．D．3. 已知全集，集合，则（ ）A．B．C．D．4. 设数列的前项之积为，满足（），则（ ）A．B．C．D．5.已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的部分图象如图所示，则（）A．B．C．D．6. 甲、乙、丙、丁、戊共5名同学参加劳动技术比赛，决出第一名到第五名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军，”对乙说：“你不是最差的．”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有（ ）不同的排列A ．36B ．54C ．60D ．727.双曲线：的左､右焦点分别为，，若在双曲线上有一点使得三角形为直角三角形，且该三角形某个锐角的正切值为，那么该双曲线离心率的最大值为（ ）A．B．C．D ．58.设，，，则（ ）A．B．C．D．9. 已知P是双曲线在第一象限上一点，F 1，F 2分别是E的左、右焦点，的面积为．则以下结论正确的是（ ）A ．点P的横坐标为B．C ．的内切圆半径为1D ．平分线所在的直线方程为甘肃省兰州市等4地2022届高三一模理科数学试题甘肃省兰州市等4地2022届高三一模理科数学试题三、填空题10. 已知，且.则下列选项正确的是（ ）A．的最小值为B．的最小值为C．D．11.斜圆锥顾名思义是轴线与底面不垂直的类似圆锥的锥体．如图，斜圆锥的底面是半径为2的圆，为直径，是圆周上一点，且满足．斜圆锥的顶点满足与底面垂直，是中点，是线段上任意一点．下列结论正确的是（）A ．存在点，使得B ．在劣弧上存在一点，使得C ．当时，平面D ．三棱锥体积的最大值为12. 某学校为普及安全知识，对本校1500名高一学生开展了一次校园安全知识竞赛答题活动(满分为100分).现从中随机抽取100名学生的得分进行统计分析，整理得到如图所示的频率分布直方图，则根据该直方图，下列结论正确的是（）A ．图中的值为0.016B ．估计该校高一大约有77%的学生竞赛得分介于60至90之间C ．该校高一学生竞赛得分不小于90的人数估计为195人D ．该校高一学生竞赛得分的第75百分位数估计大于8013. 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 为CC 1的中点.若AM ⊥平面α，且B ∈平面α，则平面α截正方体所得截面的周长为________.14. 已知在椭圆上运动，且，延长至，使得为与椭圆的交点，则______．四、解答题15. 函数的图象在处的切线方程________.16. 如图，四棱锥中，底面为平行四边形，且，平面平面，为的中点．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）在中，，三棱锥的体积是，求二面角的大小.17. 莫比乌斯函数在数论中有着广泛的应用．所有大于1的正整数都可以被唯一表示为有限个质数的乘积形式：（为的质因数个数，为质数，），例如：，对应．现对任意，定义莫比乌斯函数(1)求；(2)若正整数互质，证明：；(3)若且，记的所有真因数（除了1和以外的因数）依次为，证明：．18. 设是椭圆：（）的四个顶点，四边形是圆：的外切平行四边形，其面积为.椭圆的内接的重心（三条中线的交点）为坐标原点.(1)求椭圆的方程；(2)的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.19.的内角、、的对边分别是、、，且．（1）求角的大小；（2）若，，为边上一点，，求的值．20. 一汽车4S 店新进A 、B 、C 三类轿车,每类轿车的数量如下表:类别A B C 数量432同一类轿车完全相同，现准备提取一部分车去参加车展.（Ⅰ）从店中一次随机提取2辆车，求提取的两辆车为同一类型车的概率;（Ⅱ）若一次性提取4辆车，其中A 、B 、C 三种型号的车辆数分别记为，记为的最大值，求的分布列和数学期望.21. 锐角的内角的对边分别为，已知.(1)证明：；(2)求的取值范围.。

一、单选题二、多选题1. 设，，，则（ ）A．B．C．D．2. 翼云机场将于2025年通航，初期将开通向北至沈阳､哈尔滨；向南至昆明､深圳；向西至兰州､银川的六条航线.甲､乙､丙､丁､戊､己6人各选择一条不同航线体验.已知甲不去沈阳､哈尔滨，乙和丙乘坐同一方向的航班.则不同的体验方案有（ ）A ．56种B ．72种C ．96种D ．144种3. 在△ ABC 中,已知,，，则AC 的长为（ ）A．B．C．或D．4.已知集合，，则（ ）A．B．C．D．5. 已知F 1，F 2分别是双曲线C ：的左、右焦点，点P 在双曲线上，，圆O ：，直线PF 1与圆O 相交于A ，B 两点，直线PF 2与圆O 相交于M ，N 两点．若四边形AMBN 的面积为，则C 的离心率为（ ）A．B．C．D．6.已知函数，则（ ）A ．0B ．1C ．D．7.已知向量， ，则在方向上的投影是（ ）A．B．C．D．8.已知两条直线，两个平面，给出下面四个命题：①，②，，③，，或 ④，其中，正确命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．49. 已知函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（ ）A．为周期函数且最小正周期为8B．C ．在上为增函数D ．方程有且仅有7个实数解10.如图，圆柱的轴截面是正方形，E 在底面圆周上， ，F 是垂足，G 在BD 上， ，则下列结论中正确的是（）甘肃省兰州市等4地2022届高三一模理科数学试题(高频考点版)甘肃省兰州市等4地2022届高三一模理科数学试题(高频考点版)三、填空题四、解答题A．B．直线与直线所成角的余弦值为C ．直线与平面所成角的余弦值为．D ．若平面平面，则11. 数列，，，该数列为著名的裴波那契数列，它是自然界的产物揭示了花瓣的数量、树木的分叉、植物种子的排列等植物的生长规律，则下面结论正确的是（ ）A．B．C ．数列为等比数列D ．数列为等比数列12. 坐式高拉训练器可以锻炼背阔肌，斜方肌下束.小明是一个健身爱好者，他发现健身房内的坐式高拉训练器锻炼人群的配重（单位：）符合正态分布，下列说法正确的是（ ）参考数据：，A．配重的平均数为B．C．D ．1000个使用该器材的人中，配重超过的有135人13. 在正六边形中，点为线段（含端点）上的动点，若（，），则的取值范围是________．14. 已知函数在R 数上单调递增，且，则的最小值为__________，的最小值为__________.15. 函数的图象如图所示，记、、，则、、最大的是________.16. 如图，以轴的非负半轴为始边作角，角的终边与单位圆分别交于两点，其中．（1）求的值；（2）若，求的值．17. 在三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求向量在方向上的投影．18.已知数列的前项和为，且．（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和．19. 已知实数，，．(1)求；(2)若对一切成立，求的最小值；(3)证明：当正整数时，．20.在三棱锥中，是边长为4的正三角形，平面平面，，分别为的中点.(1)证明：；(2)求二面角的正弦值的大小.21. 已知在中，在边上，平分，.(1)求；(2)求的面积.。