2021届甘肃省兰州市高三一诊数学(理)试题Word版含解析

兰州一中2021-2022-1学期期中考试试题高三数学（理科）说明：本套试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合{}12A x x =-<，{13}B y Z y =∈-≤<，则A B = （ ）A. ∅B.1,0,1,2C. {}0,1,2D.{}1,0,1-【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合A ，B 中元素的范围，再求A B【详解】解：由已知{}{}12=13A x x x x =-<-<<，{}{13}1,0,1,2B y Z y =∈-≤<=-，所以{}0,1,2AB =，故选：C 。

【点睛】本题考查交集的求法，要注意细节y Z ∈，是基础题。

2.设1i2i 1iz -=++，则||z =（ ）A. 2B.12D. 1【答案】D 【解析】 【分析】先由复数的除法运算可得1i2i 1iz i -=+=+，再结合向量模的运算可得||1z =，得解.【详解】解：因为21i (1)2i=221i 2i z i i i i --=++=-+=+，则22||011z =+=， 故选：D.【点睛】本题考查了复数的运算，重点考查了复数模的运算，属基础题. 3.已知2sin cos αα=，则2cos 2sin 21cos ααα++=( )A.32B. 3C. 6D. 12【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件求得tan α的值，利用二倍角公式化简所求表达式为只含tan α的表达，由此求得所求表达式的值. 【详解】由2sin cos αα=得1tan 2α=.故222cos 2sin 212cos 2sin cos 122tan 223cos cos 2αααααααα+++==+=+⨯=，故选B.【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式，属于基础题. 4. 下列说法错误的是( ) A. 命题“若，则1x =”的逆否命题为：“若1x ≠，则”B. “1x >”是“1x >”的充分不必要条件C. 若p 且q 为假命题，则p 、q 均为假命题D. 命题p ：“0x R ∃∈，使得20010x x ++<”，则p ⌝：“x R ∀∈，均有210x x ++≥”【答案】C 【解析】试题分析：若“p 且q ”为假命题，则p q 、中至少有一个是假命题，而不是p q 、均为假命题．故C 错．考点：1.四种命题；2.充分条件与必要条件；3.逻辑连接词；4.命题的否定.5.已知平面向量,a b 满足1,13a b ==，且2a b a b +=+，则a 与b 的夹角为( ) A. 6π B.3π C.23π D.56π 【答案】C 【解析】 【分析】设a 与b 的夹角为θ，由题意求得cos θ的值，可得θ的值． 【详解】因为2a b a b +=+，所以222a b a b +=-， 即2222442a a b b a a b b +⋅+=+⋅-， 因为113a b ==，所以32a b ⋅=-， 记a 与b 的夹角为θ，则1cos 2a ba bθ⋅==-，解得23πθ=，即a 与b 的夹角为23π.故选C.【点睛】本题主要考查两个向量的数量积的定义，属于基础题． 6.设0,0a b >>，若2是2a 与2b 的等比中项，则19a b+的最小值为（ ） A. 16 B. 8C. 4D. 2【答案】B 【解析】 【分析】先由等比中项的运算可得2a b +=，则19a b +=119()()2a b a b++，然后利用重要不等式可得：119191()()[10()]58222a b a b a b b a ++=++≥+⋅=，一定要注意取等的条件. 【详解】解：因为2是2a 与2b 的等比中项， 所以224a b ⋅= ，即24a b +=，所以2a b +=， 又0,0a b >>，所以19a b +=119191()()[10()]5538222a b a b a b b a ++=++≥+⋅=+=，当且仅当9a bb a =，即13,22a b ==时取等号， 则19a b+的最小值为8， 故选:B.【点睛】本题考查了等比中项的运算，重点考查了利用重要不等式求最值，属基础题.7.若双曲线2222:1x y C a b-= (0,0)a b >>的一条渐近线被圆22(2)4x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为 （ ）A. 2B.12C.【答案】A 【解析】 【分析】求得双曲线的一条渐近线方程，求得圆心和半径，运用点到直线的距离公式和弦长公式，可得a ，b 的关系，即可得到所求离心率公式． 【详解】取渐近线by x a=，化成一般式0bx ay -=，圆心()2,0=224c a =，24e =，即2e =. 故选：A【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率，考查方程思想和运算能力，属于基础题．8.某程序框图如图所示，则输出的结果S 等于（ ）A. 7B. 16C. 28D. 43【答案】C 【解析】执行程序：S 1=，k 1=,k 2=,S 1327=+⨯=,判断不符合条件， k 3=, S 73316=+⨯=,判断不符合条件， k 4=,S 163428=+⨯=,判断符合条件， 故选：C9.函数e4xy x=的图象可能是（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】利用已知函数的对称性及特殊点进行判断即可.【详解】函数为奇函数，图象关于原点对称，排除B ， 当1x =时，14ey =<，排除A ； 当x →+∞时，4xex→+∞，排除D ．故应选C ．【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.10.我国古代数学名著《九章算术》记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无丈.刍，草也；甍，屋盖也.”翻译为：“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶.”如图，为一刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形.则它的体积为( )A.1603B. 160C.2563D. 64【答案】A 【解析】【详解】分析：由三视图可知该刍甍是一个组合体，它由成一个直三棱柱和两个全等的四棱锥组成，根据三视图中的数据可得其体积.详解：由三视图可知该刍甍是一个组合体，它由成一个直三棱柱和两个全等的四棱锥组成， 根据三视图中的数据，求出棱锥与棱柱的体积相加即可，11444+2244=23⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯6416032+=33，故选A. 点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状. 11.若函数()1sin2 sin 4f x x x a x =--在(),-∞+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是( ) A. 11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B. 11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. []1,1-D.11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】 【分析】根据题意函数()1sin2 sin 4f x x x a x =--在(),-∞+∞上单调递增，转化为()0f x '≥在(),-∞+∞恒成立，利用换元法，结合一元二次函数的性质，列出相应的不等式，即可求解出a 的取值范围。

2021年高三诊断考试数学(文科)注意事项：1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题纸上。

2.本试卷满分150分，考试用时120分钟。

答题全部在答题纸上完成，试卷上答题无效。

第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合M＝{x|0≤x≤1}，N＝{x|y＝lg(1－x)}，则M∪N＝A.[0，1)B.[0，1]C.(－∞，1)D.(－∞，1]2.已知复数z满足(1－i)(3＋z)＝1＋i(i为虚数单位)，则z的共轭复数为A.3－iB.3＋iC.－3－iD.－3＋i3.某学校高一开展数学建模活动，有3位教师负责指导该活动，若甲、乙两名同学分别从这三位教师中选择一位作为自己的指导教师，则他们选择同一位教师的概率是A.12B.13C.14D.164.若双曲线22214x ya-=(a>2)的一条渐近线经过点P(2，1)，则双曲线的焦距是A.5B.25C.43D.455.下图是甲、乙两组数据的频率分布折线图，s12，s22分别表示甲、乙两组数据的方差，则s12，s 22大小关系正确的是A.s12>s22B.s12＝s22C.s12<s22D.无法确定6.已知S n为等差数列{a n}的前n项和，若S5＝3a4，a1＝－2，则S10＝A.150B.160C.190D.2007.正方形ABCD边长为4，点E为BC边的中点，点F为CD边的一点，若2 AF AE AE⋅=，则CF＝A.5B.3C.2D.18.函数f(x)＝xe x的图象如图所示，则函数f(1－x)的图象为9.《九章算术·商功》有如下叙述：斜解立方，得两堑堵。

斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑。

阳马居二，鳖臑居一，不易之率也。

”(阳马和鳖臑是我国古代对一些特殊锥体的称谓)。

取一个长方体，按下图所示将其一分为二，得两个一模一样的三棱柱，均称为堑堵。

甘肃省兰州市2021届高考数学诊断试卷(理科)(3月份)(一模)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合U={1,2,3,4,5,6,7}，A={1,3,5,7}，B={1,3,5,6,7}，则集合∁U(A∩B)是()A. {2,4,6}B. {1,3,5,7}C. {2,4}D. {2,5,6}2.已知复数z=2−3i2+i(i是虚数单位)，则z的实部和虚部的比值为()A. −18B. 18C. −8D. 83.已知向量a⃗，b⃗ 满足a⃗⋅b⃗ =10，|a⃗+b⃗ |=5√2，且a⃗=(2,1)，则|b⃗ |=()A. 3√2B. 5C. 2D. √24.等轴双曲线x2−y2=1上一点P与两焦点F1，F2连线互相垂直，则△PF1F2的面积()A. 12B. 2C. 1D. 45.2个人分别从3部电影中选择一部电影购买电影票，不同的购买方式共有()A. 6B. 9C. 8D. 276.已知函数y=f(x)的大致图象如图所示，则函数y=f(x)的解析式可能为()A. f(x)=cosx⋅ln x−11+xB. f(x)=cosx⋅ln x+1x−1C. f(x)=sinx⋅ln x−11+xD. f(x)=sinx⋅ln x+1x−17.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的外接球的表面积为27π，△A1DB与A1DC1的重心分别为E，F，球O与该正方体的各条棱都相切，则球O被EF所在直线截的弦长为()A. √172B. 2√3C. 3√2D. √178.机器人是一种能够半自主或全自主工作的智能机器.它可以辅助甚至替代人类完成某些工作，提高工作效率，服务人类生活，扩大或延伸人的活动及能力范畴.某公司为了研究M、N两个机器人的销售情况，统计了2020年2月至7月M、N两店每月的营业额(单位：万元)，得到如图折线图，则下列说法中错误的是()A. N店营业额的平均值是29B. M店营业额的平均值在[34,35]内C. N店营业额总体呈上升趋势D. M店营业额的极差比N店营业额的极差大9.设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是()．A. x∈R，f(x)≤f(x0)B. −x0是f(−x)的极小值点C. −x0是−f(x)的极小值点D. −x0是−f(−x)的极小值点10.已知命题p：若θ=150°，则sinθ=12，则在命题p的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 311.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为12，点P为椭圆上一点，且△PF1F2的周长为12，那么C的方程为()A. x225+y2=1 B. x216+y24=1 C. x225+y224=1 D. x216+y212=112.方程2x+x=0的根为a，方程log3x+x=0的根为b，那么()A. a>bB. a<bC. a=bD. 不确定二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 某市高三数学抽样考试中，对90分以上(含90分)的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示，若130～140分数段的人数为90人，则90～100分数段的人数为______．14. 已知，实数满足约束条件，若的最小值为，则的值为 ．15. 已知正方体的棱长为a ，该正方体的外接球的半径为√3，则a = ______ ．16. 在平行四边形ABCD 中，AB =2，BC =1，∠ABC =120°，P 是AC 上一点，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗ )最小值是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 7=7，S 15=75，(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n =S n n ，求证数列{b n }是等差数列，并求其前n 项和T n ．18. 如图，在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，D 为AB 的中点．(Ⅰ) 求证：CD ⊥平面ABB 1A 1；(Ⅱ) 求证：BC 1//平面A 1CD ．19. 某校高三年级组为了缓解学生的学习压力，举办元宵猜灯谜活动。

甘肃省兰州市第一中学2021届高三数学上学期9月月考试题 文（含解析）一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上．．．．．．．．．．．．.） 1.已知集合A ＝{x|y ＝lg(x －2x )}，B ＝{x|2x －cx<0，c>0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围是( ) A. (0,1] B. [1，＋∞) C. (0,1) D. (1，＋∞)【答案】B 【解析】 【分析】A 集合用对数的真数的定义即可求出范围，B 集合化简后含有参数，所以，画出数轴，用数轴表示A ⊆B ，即可求出c 的取值范围.【详解】解法1：A ＝{x|y ＝lg(x －2x )}＝{x|x －2x >0}＝{x|0<x<1}，B ＝{x|2x －cx<0，c>0}＝{x|0<x<c}，因为A ⊆B ，画出数轴，如图所示，得c≥1.解法2：因为A ＝{x|y ＝lg(x －2x )}＝{x|x －2x >0}＝{x|0<x<1}，取c ＝1，则B ＝{x|0<x<1}，所以A ⊆B 成立，故可排除C ，D ；取c ＝2，则B ＝{x|0<x<2} ，所以A ⊆B 成立，故可排除A ，故选B.【点睛】本题考查集合关系求参数范围的题目，这类题目采用数形结合的方法，通过数轴来表示集合间的关系来求解，属于中等题.2.若复数z 满足(34)43i z i -=+，则z 的虚部为（ ） A. 45i - B. 45-C.45D.45i 【答案】C 【解析】分析:由复数的模长公式计算出等式右边，再把复数变形，利用复数代数形式的乘除运算计算出z ，进而得到虚部。

详解：由题意得，()()()534534z 34343455i i i i i +===+--+ 所以z 的虚部为45. 故本题答案为45点睛：本题主要考查复数的概念，复数的模长公式以及复数代数形式的四则运算，属于基础题。

2021届甘肃省兰州市高三一诊模拟数学（理）试题Word版含答案2021届甘肃省兰州市高三一诊模拟数学（理）试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集U R =，集合{|0}M x x =≥，集合2{|1}N x x =<，则()U M C N =（）A ．(0,1)B ．[0,1]C ．[1,)+∞D ．(1,)+∞2.已知复数512z i =-+（i 是虚数单位），则下列说法正确的是（）A ．复数z 的实部为5B ．复数z 的虚部为12iC ．复数z 的共轭复数为512i +D ．复数z 的模为133.已知数列{}n a 为等比数列，且22642a a a π+=，则35tan()aa =（）A ． C ．-． 4.双曲线22221x y a b-=的一条渐近线与抛物线21y x =+只有一个公共点，则双曲线的离心率为（）A ．54B ．5CD 5.在ABC ?中，M 是BC 的中点，1AM =，点P 在AM 上且满足2AP PM =，则()PA PB PC ?+等于（）A ．49-B ．43-C ．43D ．496.数列{}n a 中，11a =，对任意*n N ∈，有11n n a n a +=++，令1i i b a =，*()i N ∈，则122018b b b +++=（）A ．20171009 B ．20172018 C ．20182019 D ．403620197.若1(1)n x x ++的展开式中各项的系数之和为81，则分别在区间[0,]π和[0,]4n 内任取两个实数x ，y ，满足sin y x >的概率为（）A ．11π- B ．21π- C ．31π- D ．128.刘徽《九章算术注》记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”.意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫做堑堵，沿堑堵的一顶点与其相对的面的对角线剖开成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积之比为定值2:1，这一结论今称刘徽原理.如图是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（）A ．3π B ．32π C ．3π D ．4π 9.某程序框图如图所示，则程序运行后输出的S 的值是（）A ．1008B ．2017C ．2018D ．302510.设p ：实数x ，y 满足22(1)[(22)]x y -+-322≤-；q ：实数x ，y 满足111x y x y y -≤??+≥??≤?，则p 是q的（）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件11.已知圆C ：22(1)(4)10x y -+-=和点(5,)M t ，若圆C 上存在两点A ，B 使得MA MB ⊥，则实数t 的取值范围是（）A ．[2,6]-B ．[3,5]-C ．[2,6]D ．[3,5]12.定义在(0,)2π上的函数()f x ，已知'()f x 是它的导函数，且恒有cos '()sin ()0x f x x f x ?+?<成立，则有（）A ．()2()64f f ππ> B ．3()()63f f ππ> C ．()3()63f f ππ> D ．()3()64f f ππ> 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若2sin()45πα-=-，则cos()4πα+= ． 14.已知样本数据1a ，2a ，……2018a 的方差是4，如果有2i i b a =-(1,2,,2018)i =，那么数据1b ，2b ，……2018b 的均方差为．15.设函数()sin(2)f x x ?=+()2π<向左平移3π个单位长度后得到的函数是一个奇函数，则?= ．16.函数23()123x x f x x =+-+，23()123x x g x x =-+-，若函数()(3)(4)F x f x g x =+-，且函数()F x 的零点均在[,](,,)a b a b a b Z <∈内，则b a -的最小值为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知向量(cos 2,sin 2)a x x =，(3,1)b =，函数()f x a b m =?+.（1）求()f x 的最小正周期；（2）当[0,]2x π∈时，()f x 的最小值为5，求m 的值.18.如图所示，矩形ABCD 中，ACBD G =，AD ⊥平面ABE ，2AE EB BC ===，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE .（1）求证：AE ⊥平面BCE ；（2）求平面BCE 与平面CDE 所成角的余弦值.19.某地一商场记录了12月份某5天当中某商品的销售量y （单位：kg ）与该地当日最高气温x （单位：C ）的相关数据，如下表：（1）试求y 与x 的回归方程y bx a =+；（2）判断y 与x 之间是正相关还是负相关；若该地12月某日的最高气温是6C ，试用所求回归方程预测这天该商品的销售量；（3）假定该地12月份的日最高气温2(,)XN μσ，其中μ近似取样本平均数x ，2σ近似取样本方差2s ，试求(3.813.4)P X <<.附：参考公式和有关数据1122211()()()n n i i i i i i n n i i i i x y nx y x x y y b x nx x x a y bx ====?---??==??--??=-??∑∑∑∑3.2≈ 1.8≈，若2(,)X N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，且(22)0.9544P X μσμσ-<<+=.20.已知圆C ：22(1)8x y ++=，过(1,0)D 且与圆C 相切的动圆圆心为P . （1）求点P 的轨迹E 的方程；（2）设过点C 的直线1l 交曲线E 于Q ，S 两点，过点D 的直线2l 交曲线E 于R，T 两点，且12ll ⊥，垂足为W （Q ，R ，S ，T 为不同的四个点）.①设00(,)W x y ，证明：220012x y +<；②求四边形QRST 的面积的最小值.21.已知函数1()1x x t f x e x -+=-，其中e 为自然对数的底数. （1）证明：当1x >时，①ln1<，②1x e x ->；（2）证明：对任意1x >，1t >-，有1()ln )2f x x >+. （二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的参数方程是22x y ?==+??（t 是参数），圆 C 的极坐标方程为2cos()4πρθ=+. （1）求圆心C 的直角坐标；（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，并切线长的最小值.23.[选修4-5：不等式选讲] 设函数()2f x x a x =-+，其中0a >.（1）当2a =时，求不等式()21f x x ≥+的解集；（2）若(2,)x ∈-+∞时，恒有()0f x >，求a 的取值范围.2021届甘肃省兰州市高三一诊模拟数学（理）试题参考答案一、选择题1-5: CDADA 6-10: DBBAB 11、12：CC二、填空题 13. 25- 14. 2 15. 3π 16. 10 三、解答题 17.（1）由题意知：()cos(2,sin 2)f x x x =(3,1)m ?+3cos 2sin 2x x m =++2sin(2)3x m π=++，所以()f x 的最小正周期为T π=.（2）由（1）知：()2sin(2)3f x x m π=++，当[0,]2x π∈时，42[,]333x πππ+∈. 所以当4233x ππ+=时，()f x 的最小值为3m -+. 又∵()f x 的最小值为5，∴35m -+=，即53m =+.18.（1）因为AD ⊥面ABE ，所以AD AE ⊥，又//BC AD ，所以BC AE ⊥.因为BF ⊥面ACE ，所以BF AE ⊥.又BC BF B =，所以AE ⊥面BCF ，即AE ⊥平面BCE .（2）方法1：因为BF ⊥面ACE ，CE ?面ACE ，所以BF CE ⊥，又BC BE =，所以F 为CE 中点，在DEC ?中，22DE CE CD ===DF CE ⊥，BFD ∠为二面角B CE D --的平面角，222cos 2BF DF BD BFD BF DF +-∠=??3226==??.∴平面BCE 与平面CDE所成角的余弦值为3. 方法2：以E 为原点，EB 所在直线为x 轴，EA 所在直线为y 轴，过E 且垂直于平面ABE 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，则相关点的坐标为(0,0,0)E ，(2,0,0)B ，(2,0,2)C ，(0,2,2)D ，设平面BCE 的法向量1n ，平面CDE 的法向量为2n ，易知1(0,1,0)n =，令2(,,)n x y z =，则2200n EC n ED ??==??，故220220x z y z +=??+=?，令1x =，得111x y z =??=??=-?，2(1,1,1)n =-，于是，12cos ,n n <>12121n n n n ?==?3=. 此即平面BCE 与平面CDE 所成角的余弦值.19.（1）由题意，7x =，9y =，1ni ii x y nx y =-∑28757928=-??=-，221n i i x nx =-∑22955750=-?=，280.5650b =-=-，a y bx =-9(0.56)712.92=--?=. 所以所求回归直线方程为0.5612.92y x =-+.（2）由0.560b =-<知，y 与x 负相关.将6x =代入回归方程可得，0.56612.929.56y =-?+=，即可预测当日销售量为9.56kg. （3）由（1）知7x μ≈=，3.2σ≈=，所以(3.813.4)P X <<(2)P X μσμσ=-<<+1()2P X μσμσ=-<<+1(22)2P X μσμσ+-<<+0.8185=. 20.解：（1）设动圆半径为r ，由于D 在圆内，圆P 与圆C 内切，则PC r =，PD r =， PC PD +=2CD >=，由椭圆定义可知，点P 的轨迹E是椭圆，a =1c =，1b ==，E 的方程为2212x y +=. （2）①证明：由已知条件可知，垂足W 在以CD 为直径的圆周上，则有22001x y +=，又因Q ，R ，S ，T 为不同的四个点，220012x y +<. ②解：若1l 或2l 的斜率不存在，四边形QRST 的面积为2.若两条直线的斜率存在，设1l 的斜率为1k ，则1l 的方程为1(1)y k x =+，解方程组122(1)12y k x x y =++=??，得222(21)4k x k x ++2220k +-=，则QS =同理得RT =，∴12QSRT S QS RT =?2222(1)4(21)(2)k k k +=++2222(1)49(1)4k k +≥+169=，当且仅当22212k k +=+，即1k =±时等号成立.综上所述，当1k =±时，四边形QRST 的面积取得最小值为169. 21.解：（1）令()1)m x =-，则1'()2m x x =1)0=<，()m x 为(1,)+∞上的减函数，而(1)0m =，所以()ln1)0m x =<，1<成立；令1()x n x e x -=-，则1'()10x n x e -=->，()n x 为(1,)+∞上的增函数，而(1)0n =，所以1()0x n x e x -=->，1x e x ->成立.（2）1()ln )2f x x >+，即11x x t e x -+-1ln )2x >+=+，由（1）1，所以1ln +<，+x <=，所以，只需证11x x t x e x -+<-，即12()x x t e x x -+>-，由（1）1x e x ->，所以只需证2()x x t x x +>-，只需证1x t x +>-，即1t >-，上式已知成立，故原式成立，得证.22.解：（1）∵ρθθ=，∴2cos sinρθθ=，∴圆C的直角坐标方程为220x y +-=，即22((1x y -+=，∴圆心直角坐标为. （2）方法1：直线l 上的点向圆C 引切线长是==≥，∴直线l 上的点向圆C引的切线长的最小值是方法2：直线l的普通方程为0x y -+=，∴圆心C 到直线l|5++=，∴直线l 上的点向圆C=.23.解：（1）当2a =时，2221x x x -+≥+，所以21x -≥，所以3x ≥或1x ≤，解集为(,1][3,)-∞+∞.（2）3,(),x a x a f x x a x a -≥?=?+，因为0a >，∴x a ≥时，320x a a -≥>恒成立，又x a <时，当2x >-时，2x a a +>-+，∴只需20a -+≥即可，所以2a ≥.。

本文由一线教师精心整理/word 可编辑1 / 92021届甘肃省兰州第一中学 高三上学期期中考试数学（理）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题1．设全集U 是实数集R ，集合M ＝{x |x <0或x >2}，N ＝{x |y =log 2(x －1) }，则(∁U M )∩N 为 A ． {x |1<x <2} B ． {x |1≤x ≤2} C ． {x |1<x ≤2} D ． {x |1≤x <2} 2．下列结论中正确的是A ． 命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的否命题是“若x 2－3x ＋2＝0，则x ≠1”B ． 命题p ：存在x 0∈R ，sin x 0>1，则⌝ p ：任意x ∈R ，sin x ≤1C ． 若p 且q 为假命题，则p 、q 均为假命题D ．“x 2＋2x －3<0”是命题．3．条件p ：－2<x <4，条件q ：(x ＋2)(x ＋a )<0；若q 是p 的必要而不充分条件，则a 的取值范围是A ． (4，＋∞)B ． (－∞，－4)C ． (－∞，－4]D ． [4，＋∞)4．已知f (x )＝且f (0)＝2，f (－1)＝3，则f (f (－3))等于A ． －3B ． 3C ． －2D ． 25．已知sin(π－α)＝－，且α∈(－，0)，则tan(2π－α)的值为 A ．B ． －C ． ±D ．6．设函数f (x )=sin(x +)，则下列结论错误的是A ． f (x )的一个周期为−4πB ． y =f (x )的图像关于直线对称x =C ． f (x +π)的一个零点为x =D ． f (x )在(,π)单调递增7．设f (x )＝x 3＋bx ＋c ，若导函数f ′(x )>0在[－1，1]上恒成立，且f (-)·f ()<0，则方程f (x )＝0在[－1，1]内根的情况是A ． 可能有3个实数根B ． 可能有2个实数根C ． 有唯一的实数根D ． 没有实数根8．将函数y =sin(2x +) 图象上各点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变），再向右平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图象关于直线对称，则m 的最小值为 A ．B ．C ．D ．9．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ) (ω>0, |ϕ|<)，y ＝f (x )的部分图象如图，则f ()＝ A ．B ．C ． 2＋D ． 2－10．函数f (x )＝的图象如图所示，则m 的取值范围为A ． (－∞，－1)B ． (1,2)C ． (0,2)D ． (－1,2) 11．定义运算＝ad －bc ，若cos α＝，，0<β<α<，则β=A ．B ．C ．D ．12．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，其导函数为f ′(x )，若f ′(x ) < f (x )，且 f (x ＋1)＝f (3－x )，f (2 015)＝2，则不等式f (x )<2e x -1的解集为A ． (1，＋∞)B ． (e ，＋∞)C ． (－∞，0)D ． (－∞，) 二、填空题13．若曲线y ＝e －x 上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________． 14．若函数f (x )在R 上可导，f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，则＝________.15．已知函数f (x )=x cos x ，现给出如下命题：① 当x ∈(-4,-3)时，f (x ) > 0； ② f (x )在区间(5,6)上单调递增； ③ f (x )在区间上有极大值； ④ 存在M >0，使得对任意x ∈R ，都有| f (x )|≤M ．其中真命题的序号是_________.16．若△ABC 的内角满足sin A ＋sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________．此卷只装订不密封姓名 准考证号 考场号 座位号本文由一线教师精心整理/word 可编辑2 / 9三、解答题 17．已知函数f (x )=.（I ）求函数f (x )的单调递减区间；（II ）若△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，f (A )=，a =，sin B =2sin C ，求c .18．如图，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 为矩形，且PA =AD =1，AB =2，∠PAB =120°,∠PBC =90°. （I ）平面PAD 与平面PAB 是否垂直？并说明理由； （II ）求平面PCD 与平面ABCD 所成二面角的余弦值．19．某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图如图所示，规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败．(I) 求图中a 的值；(II) 根据已知条件完成下面2⨯2列联表，并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关？(III) 将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取3人进行约谈，记这3人中晋级失败的人数为X ，求X 的分布列与数学期望E (X )．晋级成功晋级失败 合计男 16 女50合计参考公式：，其中20．已知椭圆离心率为，点P (0,1)在短轴CD 上，且.（I ）求椭圆E 的方程；（II ）过点P 的直线l 与椭圆E 交于A ,B 两点.若，求直线l 的方程.21．已知函数.（I ）讨论的导函数的零点个数；（II ）当时，证明：.22．在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：ρsin 2θ＝2a cos θ(a >0)，过点P (－2，－4)的直线l ： 222{242x ty t=-+=-+ (t 为参数)与曲线C 相交于M ，N 两点．(1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (2)若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求实数a 的值． 23．已知函数f (x )＝|x －1|. (I) 解不等式f (2x )＋f (x ＋4)≥8； (II) 若|a |＜1，|b |＜1，a ≠0，求证：＞.2021届甘肃省兰州第一中学高三上学期期中考试数学（理）试题数学答案参考答案1．C【解析】【分析】先求集合M的补集，再与集合N求交集即可。

2021年甘肃省学业水平考试模拟试卷（1）高中数学一、单项选择题：本大题共20小题，每小题3分，共60分。

1．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，集合A＝{1,3,5,6}，则∁U A＝()A．{1,3,5,6}B．{2,3,7}C．{2,4,7} D．{2,5,7}2．函数f(x)＝x＋1x－1的定义域为()A．[－1,1)∪(1，＋∞) B．(1，＋∞) C．(－1，＋∞) D．(－1,1)∪(1，＋∞)3．函数y＝－1x－1＋1的图象是下列图象中的()4．如下所示的直观图是将正方体模型放置在你的水平视线的左下角而绘制的，其中正确的是()A B C D5．某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(双)的关系式为y＝5x＋4 000，而手套出厂价格为每双10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为()A．200双B．400双C．600双D．800双6．经过点(－1，1)，斜率是直线y ＝22x －2的斜率的2倍的直线方程是( ) A ．x ＝－1 B ．y ＝1C ．y －1＝2(x ＋1)D ．y －1＝22(x ＋1)7.老师在班级50名学生中，依次抽取学号为5，10，15，20，25，30，35，40，45，50的学生进行作业检查，这种抽样方法是 ( )A.随机抽样B.分层抽样C.系统抽样D.既是随机抽样，又是分层抽样8．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成的角的 大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°9．1弧度的圆心角所对的弧长为6，则这个圆心角所夹的扇形的面积是( ) A ．3 B ．6 C ．18D ．3610．在空间直角坐标系中，点A (－3，4，0)与点B (2，－1，6)的距离是( ) A ．243 B ．221 C ．9 D. 86 11．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x ，x ＞1，则f (f (3))＝( )A.15 B ．3 C.23D.13912．函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，若f (a )≤f (2)，则实数a的取值范围是( )A ．a ≤2B ．a ≥－2C ．－2≤a ≤2D ．a ≤－2或a ≥213．设α是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，则α2的终边所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限14．tan ⎝⎛⎭⎫－353π的值是( ) A ．－33B ．3C ．－ 3D ．33 15．下列命题中的真命题是( ) A ．单位向量都相等 B ．若a ≠b ，则|a |≠|b | C ．若|a |≠|b |，则a ≠b D ．若|a |＝|b |，则a ∥b16．设a ＝(1，－2)，b ＝(－3,4)，c ＝(3,2)，则(a ＋2b )·c ＝( ) A ．(－15,12) B ．0 C ．－3D ．－1117．已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( ) A ．－4 B ．－3 C ．－2D ．－118.如表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：由表格可知，用水量y 与月份x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是=-0.7x+，则= ( ) A.10.5B.5.15C.5.2D.5.2519．设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|P A |＝|PB |，若直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程为( )A ．x ＋y －5＝0B ．2x －y －1＝0C ．2y －x －4＝0D ．2x ＋y －7＝020．已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb ，λ，μ∈R ，则A ，B ，C 三点共线的充要条件为( )A ．λ＋μ＝2B ．λ－μ＝1C ．λμ＝－1D ．λμ＝1二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分）21．设集合M ＝{x |x 是小于5的质数}，则M 的真子集的个数为__________． 解析：由题意可知M ＝{2,3}，∴M 的真子集有∅，{2}，{3}共3个．22．在如图所示的长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，已知A 1(a ，0，c )，C (0，b ，0)，则点B 1的坐标为________．23．若点A (4，－1)在直线l 1：ax －y ＋1＝0上，则l 1与l 2：2x －y －3＝0的位置关系是________．24．在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB →＝(1，－2)，AD →＝(2,1)，则AD →·AC →＝__________. 三、解答题（共3小题，共28分）25.(本小题满分8分)已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角为60°，c ＝5a ＋3b ，d ＝3a ＋k b ，当实数k 为何值时，c ∥d26．(10分)已知集合A ＝{x |2≤x ≤8}，B ＝{x |1＜x ＜6}，C ＝{x |x ＞a }，U ＝R . (1)求A ∪B ，(∁U A )∩B ；(2)若A ∩C ≠∅，求a 的取值范围．27．(本小题满分10分)已知圆C 的方程是(x －1)2＋(y －1)2＝4，直线l 的方程为y ＝x ＋m ，求当m 为何值时，(1)直线平分圆； (2)直线与圆相切．2021年甘肃省学业水平考试模拟试卷（1）高中数学 解析版四、单项选择题：本大题共20小题，每小题3分，共60分。

2021届甘肃省高三第一次高考诊断考试数学（理）试题一、单选题1．（）A．B．C．D．【答案】A【解析】利用复数的除法运算，将复数化简为的形式，由此得出正确选项.【详解】依题意，原式，故选A.【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查运算求解能力，属于基础题.2．已知全集，集合，，那么集合（）A．B．C．D．【答案】C【解析】先求得集合的补集，然后求其与集合的交集.【详解】依题意，故，故选C.【点睛】本小题主要考查集合补集的运算，考查集合交集的运算，属于基础题.3．已知平面向量，的夹角为，，，则（）A．4 B．2 C．D．【答案】B【解析】将两边平方，利用向量数量积的运算求解得出数值，然后开方得到结果. 【详解】依题意.故选B.【点睛】本小题主要考查向量的数量积运算，考查向量模的坐标表示，属于基础题.4．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】求得抛物线的焦点，双曲线的渐近线，再由点到直线的距离公式求出结果.【详解】依题意，抛物线的焦点为，双曲线的渐近线为，其中一条为，由点到直线的距离公式得.故选C.【点睛】本小题主要考查抛物线的焦点坐标，考查双曲线的渐近线方程，考查点到直线的距离公式，属于基础题.5．已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据函数图像上的特殊点，对选项进行排除，由此得出正确选项.【详解】对于A,B两个选项，，不符合图像，排除A,B选项.对于C选项，，不符合图像，排除C选项，故选D.【点睛】本小题主要考查根据函数图像选择相应的解析式，考查利用特殊值法解选择题，属于基础题. 6．若函数在为增函数，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】利用函数的导函数在区间恒为非负数列不等式，用分离常数法求得的取值范围.【详解】依题意，在区间上恒成立，即，当时，，故，在时为递增函数，其最大值为，故.所以选A.【点睛】本小题主要考查利用导数求解函数单调性有关的问题，考查正切函数的单调性，属于中档题.7．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】运行程序，当时退出程序，输出的值.【详解】运行程序，，判断否，，判断否，，……，以此类推，，判断是，退出循环，输出，故选C.【点睛】本小题主要考查计算循环结构程序框图输出的结果，属于基础题.8．《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳（约公元2世纪）所著，该书主要记述了：积算（即筹算）太乙、两仪、三才、五行、八卦、九宫、运筹、了知、成数、把头、龟算、珠算计数14种计算器械的使用方法.某研究性学习小组3人分工搜集整理14种计算器械的相关资料，其中一人4种、另两人每人5种计算器械，则不同的分配方法有（）A．B．C．D．【答案】A【解析】本题涉及平均分组问题，先计算出分组的方法，然后乘以得出总的方法数.【详解】先将种计算器械分为三组，方法数有种，再排给个人，方法数有种，故选A.【点睛】本小题主要考查简单的排列组合问题，考查平均分组要注意的地方，属于基础题.9．在中，，，，则的面积为（）A．15 B．C．40 D．【答案】B【解析】先利用余弦定理求得，然后利用三角形面积公式求得三角形的面积.【详解】由余弦定理得，解得，由三角形面积得，故选B.【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题.10．四棱锥的顶点均在一个半径为3的球面上，若正方形的边长为4，则四棱锥的体积最大值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设正方形的中心为，当在于球心的连线上时，四棱锥高最高，体积取得最大值，利用勾股定理计算出高，然后求得四棱锥的最大体积.【详解】设正方形的中心为，当在于球心的连线上时，四棱锥高最高，由于底面面积固定，则高最高时，四棱锥体积取得最大值.设高为，，球的半径为，故，解得.故四棱锥的体积的最大值为.故选D. 【点睛】本小题主要考查几何体外接球有关问题，考查四棱锥体积的计算，所以基础题.11．直线过抛物线的焦点，且交抛物线于，两点，交其准线于点，已知，，则（）A．2 B．C．D．4【答案】C【解析】过分别做准线的垂线交准线于两点，设，根据抛物线的性质可知，，根据平行线段比例可知，即，解得，又，即，解得，故选C.【点睛】抛物线的定义在解题中的应用，当已知曲线是抛物线时，可利用抛物线上的点满足定义，点到焦点的距离转化点为到准线的距离，这样可利用三角形相似或是平行线段比例关系可求得距离弦长以及相关的最值等问题12．已知函数是函数的导函数，，对任意实数都有，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】令,,所以函数是减函数，又，所以不等式的解集为本题选择B选项.二、填空题13．若实数，满足约束条件，则的最大值是_____．【答案】8【解析】画出可行域，将基准直线向下平移到可行域边界位置，由此求得目标函数的最大值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最大值，且最大值为.【点睛】本小题主要考查利用线性规划求目标函数的最大值的方法，属于基础题.14．已知，均为锐角，，，则_____．【答案】【解析】先求得的值，然后求得的值，进而求得的值.【详解】由于为锐角，且，故，.由，解得，由于为锐角，故.【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查两角差的正切公式，属于中档题.15．直三棱柱中，底面为正三角形，，是的中点，异面直线与所成角的余弦值是，则三棱柱的表面积等于_____．【答案】【解析】作出异面直线与所成角，利用余弦定理求出三棱柱的高，进而求得三棱柱的表面积.【详解】设是的中点，画出图像如下图所示，由于，故是异面直线与所成角.设三棱柱的高为，则，,由于异面直线与所成角的余弦值是，在三角形中，由余弦定理得，解得.故三棱柱的表面积为.【点睛】本小题主要考查线线所成角，考查余弦定理，考查三棱柱的表面积，属于基础题.16．已知定义在上的偶函数，满足，且在区间上是增函数，①函数的一个周期为4；②直线是函数图象的一条对称轴；③函数在上单调递增，在上单调递减；④函数在内有25个零点；其中正确的命题序号是_____（注：把你认为正确的命题序号都填上）【答案】①②④【解析】先求得，由此函数的周期性.通过证明求得函数的对称轴，根据奇偶性、周期性和单调性画出函数的图像，由此判断③④的真假.【详解】令得，即，由于函数为偶函数，故.所以，所以函数是周期为的周期函数，故①正确.由于函数为偶函数，故，所以是函数图像的一条对称轴，故②正确.根据前面的分析，结合函数在区间上是增函数，画出函数图像如下图所示.由图可知，函数在上单调递减，故③错误.根据图像可知，，零点的周期为，共有个零点，故④正确.综上所述正确的命题有①②④.【点睛】本小题主要考查函数的周期性、单调性、对称性等性质，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.三、解答题17．已知等差数列满足，.（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设是等比数列的前项和，若，，求．【答案】(I)；(Ⅱ)，或【解析】（I）由，可计算出首项和公差，进而求得通项公式。

2021年甘肃省兰州市高考数学诊断试卷（理科）（一模）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合M＝{x|0≤x≤1}，N＝{x|y＝lg（1﹣x）}，则M∩N＝（）A．[0，1）B．（0，1]C．（﹣∞，1）D．[0，1]2．（5分）已知复数z满足＝（为虚数单位），则z的虚部为（）A．﹣i B．﹣1C．i D．13．（5分）已知向量，满足＝（4，0），＝（m，1），且|•，则，的夹角大小为（）A．B．C．D．4．（5分）点P为双曲线＝1（a＞0）右支上一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点．若|PF1|＝7，|PF2|＝3，则双曲线的一条渐近线方程是（）A．2x+3y＝0B．4x+9y＝0C．3x﹣2y＝0D．9x﹣4y＝0 5．（5分）2019年9月1日兰州地铁一号线正式开通，两位同学同时去乘坐地铁，一列地铁有6节车厢（）A．15种B．30种C．36种D．64种6．（5分）函数f（x）＝xlnx的图象如图所示，则函数f（1﹣x）（）A．B．C．D．7．（5分）《九章算术》卷五《商功》中有如下问题：“今有委粟平地，下周一十二丈，高四丈．”意思是：今将粟放在平地，高4丈．将该谷堆模型看作一个圆锥，π取近似值3（）A．55平方丈B．75平方丈C．110平方丈D．150平方丈8．（5分）一组数据x1，x2，x3，…，x n的平均数为，现定义这组数据的平均差为D＝．如图是甲、乙两组数据的频率分布折线图．根据折线图，可判断甲、乙两组数据的平均差D1，D2的大小关系是（）A．D1＞D2B．D1＝D2C．D1＜D2D．无法确定9．（5分）已知函数f（x）＝﹣bx（a＞0，b＞0），则ab的最大值为（）A．1B．C．D．10．（5分）下列四个命题：①已知a，b是两条不同的直线，α是一个平面，a⊥b，则a∥α．②命题“∀x＞0，x（x﹣2）＞0”的否定是“∃x0＞0，x0（x0﹣2）≤0”③函数f（x）＝sin（2x+）的对称中心为（kπ+，0）（k∈Z）．④函数f（x）＝为R上的增函数．其中真命题的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个11．（5分）已知P（2，﹣2）是离心率为的椭圆（a＞b＞0）外一点，经过点P的光线被y轴反射后，则此条切线的斜率是（）A．﹣B．﹣C．1D．12．（5分）已知奇函数f（x），当x≥0时，f（x）＝，则f（x﹣1）（﹣4≤x≤6）的图象所有交点的横坐标之和等于（）A．0B．9C．11D．17二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年高三数学第一次诊断性考试试题理（含解析）【试卷综析】本套试卷能从学科结构上设计试题，已全面覆盖了中学数学教材中的知识模块，同时，试卷突出了学科的主干内容，集合与函数、不等式、数列、概率统计、解析几何、导数的应用等重点内容在试卷中占有较高的比例，也达到了必要的考查深度．本套试卷没有刻意追求覆盖面，还有调整和扩大的空间，注重了能力的考查，特别是运算能力，逻辑思维能力和空间想象能力的强调比较突出，实践能力和创新意识方面也在努力体现.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）。

第I卷1至2页，第II 卷2至4页.共4页。

满分150分。

考试时间120分钟.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。

考试结束后，将答题卡交回。

第Ⅰ卷（选择题，共50分）注意事项：必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑.第I卷共10小题.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．【题文】1.已知集合A={x∈Z|x2-1≤0}，B={x|x2-x-2=0}，则A∩B=(A) (B) {2} (C) {0} (D) {-1}【知识点】集合运算. A1【答案解析】D 解析：因为A={-1，0，1}, B={-1，2}，所以，故选B.【思路点拨】化简集合A、B,从而求得.【题文】2．下列说法中正确的是(A) 命题“，”的否定是“，≤1”(B) 命题“，”的否定是“，≤1”(C) 命题“若，则”的逆否命题是“若，则”(D) 命题“若，则”的逆否命题是“若≥，则≥”【知识点】四种命题A2【答案解析】B 解析：根据命题之间的关系可知命题的否定是只否定结论，但全称量词要变成特称量词，而逆否命题是即否定条件又否定结论，所以分析四个选项可知应该选B.【思路点拨】根据命题之间的关系可直接判定.【题文】3．设各项均不为0的数列{a n}满足(n≥1)，S n是其前n项和，若，则S4=(A) 4 (B)(C) (D)【知识点】等比数列. D3【答案解析】D 解析：由知数列是以为公比的等比数列，因为，所以，所以，故选D. 【思路点拨】由已知条件确定数列是等比数列，再根据求得，进而求.【题文】4．如图，正六边形ABCDEF的边长为1，则=(A) -3 (B)(C) 3 (D)【知识点】向量的数量积. F3【答案解析】A 解析：因为,所以()2+⋅=⋅+⋅=-=-,故选 A.AB BD DB AB DB BD DB BD03【思路点拨】利用向量加法的三角形法则，将数量积中的向量表示为夹角、模都易求的向量的数量积.【题文】5．已知，那么=(A) (B) (C) (D)【知识点】二倍角公式；诱导公式.C2,C6【答案解析】C 解析：因为，所以27cos 22cos 14425x x ππ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即，故选C. 【思路点拨】利用二倍角公式求得值，再用诱导公式求得sin2x 值.【题文】6．已知x ，y 满足则2x -y 的最大值为(A) 1(B) 2 (C) 3 (D) 4http//【知识点】简单的线性规划.E5 【答案解析】B 解析：画出可行域如图：平移直线z=2x-y 得 ，当此直线过可行域中的点A （1,0）时 2x-y 有最大值2，故选B.【思路点拨】设目标函数z=2x-y ，画出可行域平移目标函数得点A （1,0）是使目标函数取得最大值的最优解.【题文】7.已知x ∈[，]，则“x ∈”是“sin(sin x )<cos(cos x )成立”的(A) 充要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充分不必要条件(D) 既不充分也不必要条件 【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 A2【答案解析】C 解析：解：（1）∵x∈[﹣，]，∴sinx+cosx≤，即＜sinx ＜﹣cosx ， ∴sin（sinx ）＜sin （﹣cosx ），即sin （sinx ）＜cos （cosx ）成立，（2）∵sin（sinx ）＜cos （cosx ）∴s in （sinx ）＜sin （﹣cosx ），sinx ＜﹣cosxsinx+cosx ＜，x ∈[﹣π，π]，∴x∈[，]，不一定成立，根据充分必要条件的定义可判断：“x∈[﹣，]是“sin（sinx ）＜cos （cosx ）成立”的充分不必要条件，故选：C【思路点拨】利用诱导公式，结合三角函数的单调性判断，命题成立，再运用充分必要条件定义判断【题文】8．是定义在非零实数集上的函数，为其导函数，且时，，记，则(A) (B)(C) (D)【知识点】函数的单调性.B3【答案解析】C 解析：因为对任意两个不相等的正数，都有，即对任意两个不相等的正数，都有，所以函数是上的减函数，因为，所以b>a>c,故选C. 【思路点拨】构造函数，根据条件可以判断它是上的减函数，由此可以判断a,b,c的大小关系.【题文】9．已知函数的图象上关于轴对称的点至少有3对，则实数的取值范围是(A) (B) (C) (D)【知识点】分段函数的应用B1【答案解析】D 解析：解：若x＞0，则﹣x＜0，∵x＜0时，f（x）=sin（）﹣1，∴f（﹣x）=sin（﹣）﹣1=﹣sin（）﹣1，则若f（x）=sin（）﹣1，（x＜0）关于y轴对称，则f（﹣x）=﹣sin（）﹣1=f（x），即y=﹣sin（）﹣1，x＞0，设g（x）=﹣sin（）﹣1，x＞0作出函数g（x）的图象，要使y=﹣sin（）﹣1，x＞0与f（x）=log a x，x＞0的图象至少有3个交点，则0＜a＜1且满足g（5）＜f（5），即﹣2＜log a5，即log a5＞，则5，解得0＜a＜，故选：A【思路点拨】求出函数f（x）=sin（）﹣1，（x＜0）关于y轴对称的解析式，利用数形结合即可得到结论【题文】10．已知R，且≥对x∈R恒成立，则的最大值是(A) (B) (C) (D)【知识点】分类讨论 E8【答案解析】A 解析：由≥对x ∈R 恒成立，显然a ≥0，b ≤-ax ．若a =0，则ab =0．若a >0，则ab ≤a -a 2x ．设函数，求导求出f (x )的最小值为．设，求导可以求出g(a )的最大值为，即的最大值是，此时．【思路点拨】利用导数证明不等关系第II 卷（非选择题 共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指的答题区域内作答。