《金版新学案》高三数学一轮复习 垂直关系随堂检测 理 北师大版

用心 爱心 专心 1 2011《金版新学案》高三数学一轮复习 框图随堂检测 文 北师大版
(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)
一、选择题(每小题6分，共36分)
1．下列判断不正确的是(
)
A ．画工序流程图类似于算法的流程图，要先把每一个工序逐步细化，按自上向下或自左到右的顺序
B ．在工序流程图中可以出现循环回路，这一点不同于算法流程图
C ．工序流程图中的流程线表示相邻两工序之间的衔接关系
D ．工序流程图中的流程线都是有方向的指向线
【答案】 B
2．如图是《集合》的知识结构图，如果要加入“子集”，则应该放在( )
A ．“集合的概念”的下位
B ．“集合的表示”的下位
C ．“基本关系”的下位
D ．“基本运算”的下位
【解析】 由子集概念知应属于集合间的基本关系．故选C.
【答案】 C
3．图中关于函数、函数的定义域、函数的值域、函数的对应法则的结构图正确的是(
)。

2011《金版新学案》高三数学一轮复习量词逻辑联结词随堂检测理北师大版(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)一、选择题(每小题6分，共36分)1．全称命题“任意x∈Z,2x＋1是整数”的逆命题是( )A．若2x＋1是整数，则x∈ZB．若2x＋1是奇数，则x∈ZC．若2x＋1是偶数，则x∈ZD．若2x＋1能被3整除，则x∈Z【解析】命题“任意x∈Z,2x＋1是整数”的条件为：x∈Z，结论为：2x＋1是整数．【答案】 A2．已知命题p，q，r满足“p或q”真，“綈p或r”真，则( )A．“q或r”假 B．“q或r”真C．“q且r”假 D．“q且r”真【解析】若p为真则r真，q可真可假，排除选项A、C、D.【答案】 B3．下列说法错误的是( )A．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”B．“x＞1”是“|x|”＞1的充分不必要条件C．若p且q为假命题，则p、q均为假命题D．命题p：“存在x∈R，使得x2＋x＋1＜0”，则¬p：“任意x∈R，均有x2＋x＋1≥0”【解析】若p且q为假命题，则p、q中至少有一个是假命题，所以C错误．故选C.【答案】 C4．下列特称命题中，假命题是( )A．存在x∈R，x2－2x－3＝0B．至少有一个x∈Z，x能被2和3整除C．存在两个相交平面垂直于同一直线D．存在x∈{x|x是无理数}使x2是有理数【解析】对于A：当x＝－1时，x2－2x－3＝0，故A为真命题；对于B：当x＝6时，符合题目要求，为真命题；对于C：假命题对于D ：x ＝3时，x 2＝3，故D 为真命题．综上可知：应选C.【答案】 C5．(2009年浙江卷)若函数f(x)＝x 2＋a x(a∈R )，则下列结论正确的是( ) A ．任意a∈R ，f(x)在(0，＋∞)上是增函数B ．任意a∈R ，f(x)在(0，＋∞)上是减函数C ．存在a∈R ，f(x)是偶函数D ．存在a∈R ，f(x)是奇函数【解析】 当a ＝16时，f(x)＝x 2＋16x ，f′(x)＝2x －16x 2， 令f′(x)＞0得x ＞2.∴f(x)在(2，＋∞)上是增函数，故A 、B 错．当a ＝0时，f(x)＝x 2是偶函数．故C 正确．D 显然错误．故选C.【答案】 C6．已知命题p ：“任意x∈[1,2]，x 2－a≥0”；命题q ：“存在x∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0”．若命题“p 且q”是真命题，则实数a 的取值范围为( )A ．a≤－2或a ＝1B ．a≤－2或1≤a≤2C ．a≥1 D．－2≤a≤1【解析】 由已知可知p 和q 均为真命题，由命题p 为真得a≤1，由命题q 为真得a≤－2或a≥1，所以a≤－2或a ＝1.【答案】 A二、填空题(每小题6分，共18分)7．“若a ∉M 或a ∉P ，则a ∉M∩P”的逆否命题是________________________．【解析】 命题“若p 则q”的逆否命题是“若綈q 则綈p”，本题中“a ∉M 或a ∉P”的否定是“a∈M 且a∈P”．【答案】 若a∈M∩P，则a∈M 且a∈P8．已知p(x)：x 2＋2x －m ＞0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m 的取值范围是________．【解析】 p(1)：3－m ＞0，即m ＜3，p(2)：8－m ＞0，即m ＜8，若p(1)是假命题，p(2)是真命题，则3≤m＜8.【答案】 3≤m＜89．设有两个命题：①关于x 的不等式mx 2＋1＞0的解集是R ；②函数f(x)＝log m x是减函数，如果这两个命题有且只有一个真命题，则实数m的取值范围是________．【解析】①关于x的不等式mx2＋1＞0的解集为R，则m≥0；②函数f(x)＝log m x为减函数，则0＜m＜1.①与②有且只有一个正确，则m的取值范围是m＝0或m≥1.【答案】m＝0或m≥1三、解答题(共46分)10．(15分)在一次投篮训练中，小明连续投了2次．设命题p是“第一次投中”，q 是“第二次投中”．试用p、q以及逻辑联结词“且，或，非”表示下列命题：(1)两次都没投中；(2)两次都投中了；(3)恰有一次投中；(4)至少有一次投中；(5)至多有一次投中．【解析】依题意及逻辑联结词的意义，(1)两次没投中可表示为(¬p)且(¬q)；(2)两次都投中了可表示为p且q；(3)恰有一次投中可表示为[p且(¬q)]或[(¬p)且q]；(4)至少有一次投中可表示为p或q；(5)至多有一次投中可表示为¬(p且q)．11．(15分)写出下列命题的否定和否命题：(1)若abc＝0，则a、b、c中至少有一个为零；(2)若x2＋y2＝0，则x，y全为零；(3)平行于同一条直线的两条直线平行．【解析】(1)命题的否定：若abc＝0，则a、b、c全不为零；否命题：若abc≠0，则a、b、c全不为零．(2)命题的否定：若x2＋y2＝0，则x，y中至少有一个不为零；否命题：若x2＋y2≠0，则x，y中至少有一个不为零．(3)命题的否定：平行于同一条直线的两条直线不平行；否命题：若两条直线不平行于同一条直线，则这两条直线不平行．12．(16分)已知命题p：“任意x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“存在x0∈R，x02＋2ax0＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．【解析】由“p且q”是真命题，则p为真命题，q也为真命题．若p为真命题，a≤x2恒成立，∵x∈[1,2]，∴a≤1.若q为真命题，即x2＋2ax＋2－a＝0有实根，Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≥1或a≤－2，综上所求实数a的取值范围为a≤－2或a＝1。

2011《金版新学案》高三数学一轮复习函数的图象随堂检测文北师大版(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)一、选择题(每小题6分，共36分)1．函数y＝5x与函数y＝－15x的图象关于( )A．x轴对称B．y轴对称C．原点对称 D．直线y＝x对称【解析】因y＝－15x＝－5－x，所以关于原点对称．【答案】 C2．有一空容器，由悬在它上方的一根水管均匀地注水，直至把容器注满，在注水过程中水面的高度变化曲线如图所示，其中PQ为一线段，则与此图相对应的容器的形状是( )【解析】由函数图象可判断出该容器必定有不规则形状，再由PQ为直线段，容器上端必是直的一段．故可排除ABD，选C.【答案】 C3．设曲线y＝x2＋1在其任一点(x，y)处切线斜率为g(x)，则函数y＝g(x)cos x的部分图象可以为( )【解析】g(x)=2x，g(x)·cos x=2x·cos x，g(-x)=-g(x)，cos(-x)=cos x，∴y=g(x)cos x为奇函数，排除B、D.令x=，得y ＞0.故选A. 【答案】 A4．把函数y ＝f(x)＝(x －2)2＋2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图象对应的函数的解析式是( )A ．y ＝(x －3)2＋3B ．y ＝(x －3)2＋1C ．y ＝(x －1)2＋3D ．y ＝(x －1)2＋1【解析】 把函数y ＝f(x)的图象向左平移1个单位，即把其中x 换成x ＋1，于是得y＝[(x ＋1)－2]2＋2＝(x －1)2＋2，再向上平移1个单位，即得到y ＝(x －1)2＋2＋1＝(x －1)2＋3.故选C.【答案】 C5．函数y ＝lg|x|x的图象大致是( )【解析】 易知y=为奇函数，其图象关于原点对称，故排除A 、B ，又f(1)=f(-1)=0，故选D.【答案】 D6．已知f(x)＝则关于图中的函数图象正确的是( ) A ．是f(x －1)的图象 B ．是f(－x)的图象C ．是f(|x|)或|f(x)|的图象D ．以上答案都不对【解析】 所给图象与f(x)的图象关于y 轴对称，选项中只有f(－x)与f(x)的图象关于y 轴对称，故选B.【答案】 B二、填空题(每小题6分，共18分) 7.设奇函数f(x)的定义域为[-5,5]，若当x ∈[0,5]时，f(x)的图像如图，则不等式f(x)＜0的解集是 .【解析】 由奇函数图像的特征可得f(x)在[-5,5]上的图象．由图像可解出结果． 【答案】 {x|-2＜x ＜0或2＜x ≤5}8．若把函数y ＝f(x)的图象作平移，可以使图象上的点P(1,0)变换成点Q(2,2)，则函数y ＝f(x)的图象经此变换后所得图象对应的函数为________【解析】 ∵将点P(1,0)变成点Q(2,2)，即将图象向右平移一个单位，向上平移2个单位，∴用x －1代x ，y －2代y 得y ＝f(x －1)＋2.【答案】 y ＝f(x －1)＋29．对于任意实数a 、b ，定义min{a ，b}＝⎩⎪⎨⎪⎧a ， (a≤b )，b ， (a ＞b).设函数f(x)＝－x ＋3，g(x)＝log 2x ，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________．【解析】 依题意，h(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x(0＜x≤2)，－x ＋3(x ＞2)，结合图象，易知h(x)的最大值为1.【答案】 1三、解答题(共46分)10．(15分)已知函数f(x)＝(1)在如图给定的直角坐标系内画出f(x)的图象；,(2)写出f(x)的单调递增区间．,【解析】 (1)函数f(x)的图象如图所示．,,(2)由图象可知，函数f(x)的单调递增区间为[－1,0]，[2,5]．,,11.(15分)若1＜x ＜3，a 为何值时，x 2－5x＋3＋a ＝0有两解、一解、无解？,【解析】 原方程化为：a ＝－x 2＋5x －3，①,作出函数y ＝－x 2＋5x －3(1＜x ＜3)的图象如图．,显然该图象与直线y=a 的交点的横坐标是方程①的解，由图可知：当3＜a ＜时，原方程有两解；当1＜a ≤3或a=时，原方程有一解； 当a ＞或a ≤1时，原方程无解．12．(16分)已知函数f(x)＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 的图象与h(x)＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋2的图象关于点A(0,1)对称．(1)求m 的值；(2)若g(x)＝f(x)＋a4x在(0,2]上是减函数，求实数a 的取值范围．【解析】 (1)设P(x ，y)是h(x)图象上一点，点P 关于A(0,1)的对称点为Q(x 0，y 0)，则x 0＝－x ，y 0＝2－y.∴2－y ＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －1x ，∴y＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋2，从而m ＝14. (2)g(x)＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋a 4x ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a ＋1x .设0<x 1<x 2≤2，则g(x 1)－g(x 2)＝14⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋a ＋1x 1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a ＋1x 2＝14(x 1－x 2)＋14(a ＋1)·x 2－x 1x 1x 2 ＝14(x 1－x 2)·x 1x 2－(a ＋1)x 1x 2>0， 并且在x 1，x 2∈(0,2]上恒成立，∴x 1x 2－(a ＋1)<0，∴1＋a>x 1x 2,1＋a≥4，∴a≥3.。

2011《金版新学案》高三数学一轮复习 数学归纳法随堂检测 理 北师大版(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)一、选择题(每小题6分，共36分)1．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n(n －3)条时，第一步检验n 等于( ) A ．1 B ．2C ．3D ．0【解析】 因为n≥3，所以，第一步应检验n ＝3【答案】 C2．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”的第二步是( )A ．假使n ＝2k ＋1时正确，再推n ＝2k ＋3正确(k∈N ＋)B ．假使n ＝2k －1时正确，再推n ＝2k ＋1正确(k∈N ＋)C ．假使n ＝k 时正确，再推n ＝k ＋1正确(k∈N ＋)D ．假使n≤k(k≥1)时正确，再推n ＝k ＋2时正确(k∈N ＋)【解析】 因为n 为正奇数，根据数学归纳法证题的步骤，第二步应先假设第k 个正奇数也成立，本题即假设n ＝2k －1正确，再推第k ＋1个正奇数，即n ＝2k ＋1正确．【答案】 B3．设f(n)＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n，n∈N ＋，那么f(n ＋1)－f(n)＝( ) A.12n ＋1 B.12n ＋2C.12n ＋1＋12n ＋2D.12n ＋1－12n ＋2【解析】 f(n ＋1)－f(n)＝1(n ＋1)＋1＋1(n ＋1)＋2＋…＋1(n ＋1)＋n ＋1(n ＋1)＋(n ＋1)－1n ＋1－1n ＋2－…－1n ＋n ＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2. 【答案】 D4．数列{a n }中，已知a 1＝1，当n≥2时，a n －a n －1＝2n －1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n 的表达式是( )A ．3n －2B ．n 2C ．3n －1D ．4n －3【解析】 计算出a 1＝1，a 2＝4，a 3＝9，a 4＝16.可猜a n ＝n 2.故应选B.【答案】 B5．下列代数式(其中k∈N ＋)能被9整除的是( )A ．6＋6·7kB ．2＋7k －1C ．2(2＋7k ＋1)D ．3(2＋7k )【解析】 (1)当k ＝1时，显然只有3(2＋7k )能被9整除．(2)假设当k ＝n(n∈N ＋)时，命题成立，即3(2＋7n )能被9整除，那么3(2＋7n ＋1)＝21(2＋7n )－36.这就是说，k ＝n ＋1时命题也成立．由(1)(2)可知，命题对任何k∈N ＋都成立．【答案】 D6．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n －1＝3n (na －b)＋c 对一切n∈N ＋都成立，则a 、b 、c 的值为( )A ．a ＝12，b ＝c ＝14B ．a ＝b ＝c ＝14C ．a ＝0，b ＝c ＝14D ．不存在这样的a 、b 、c 【解析】 ∵等式对一切n∈N ＋均成立，∴n＝1,2,3时等式成立，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝3(a －b)＋c 1＋2×3＝32(2a －b)＋c1＋2×3＋3×32＝33(3a －b)＋c整理得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －3b ＋c ＝118a －9b ＋c ＝7，81a －27b ＋c ＝34解得a ＝12，b ＝c ＝14. 【答案】 A二、填空题(每小题6分，共18分)7．猜想1＝1,1－4＝－(1＋2),1－4＋9＝1＋2＋3，…，第n 个式子为______________．【答案】 1－4＋9－…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n －1(1＋2＋3＋…＋n)8．下面三个判断中，正确的是( )①f(n)＝1＋k ＋k 2＋…＋k n (n∈N ＋)，当n ＝1时，f(n)＝1；②f(n)＝1＋12＋13＋…＋12n ＋1(n∈N ＋)， 当n ＝1时，f(n)＝1＋12＋13； ③f(n)＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1(n∈N ＋)，则f(k ＋1) ＝f(k)＋13k ＋2＋13k ＋3＋13k ＋4. 【解析】 ①中n ＝1时，f(n)＝f(1)＝1＋k 不一定等于1，故①不正确；②中n ＝1时，f(1)＝1＋12＋13，故②正确； ③中f(k ＋1)＝f(k)＋13k ＋2＋13k ＋3＋13k ＋4－1k ＋1， 故③不正确．【答案】 ②9．设平面内有n 条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这n 条直线交点的个数，则f(4)＝________；当n ＞4时，f(n)＝________(用n 表示)．【解析】 f(2)＝0，f(3)＝2，f(4)＝5，f(5)＝9，每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数．∴f(3)－f(2)＝2，f(4)－f(3)＝3，f(5)－f(4)＝4，…f(n)－f(n －1)＝n －1.累加，得f(n)－f(2)＝2＋3＋4＋…＋(n －1)＝2＋(n －1)2(n －2)． ∴f(n)＝12(n ＋1)(n －2)． 【答案】 5 12(n ＋1)(n －2) 三、解答题(共46分)10．(15分)对于n∈N ＋，用数学归纳法证明：1·n＋2·(n－1)＋3·(n－2)＋…＋(n －1)·2＋n·1＝16n(n ＋1)(n ＋2)． 【证明】 设f(n)＝1·n＋2·(n－1)＋3·(n－2)＋…＋(n －1)·2＋n·1.(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立；(2)设当n ＝k(k≥1且k∈N ＋)时等式成立，即1·k＋2·(k－1)＋3·(k－2)＋…＋(k－1)·2＋k·1＝16k(k ＋1)(k ＋2)， 则当n ＝k ＋1时，f(k ＋1)＝1·(k＋1)＋2[(k ＋1)－1]＋3[(k ＋1)－2]＋…＋[(k ＋1)－1]·2＋(k ＋1)·1＝f(k)＋1＋2＋3＋…＋k ＋(k ＋1)＝16k(k ＋1)(k ＋2)＋12(k ＋1)(k ＋1＋1) ＝16(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)． 由(1)(2)可知当n∈N ＋时等式都成立．11．(15分)已知点P n (a n ，b n )满足a n ＋1＝a n ·b n ＋1，b n ＋1＝b n 1－4a n 2(n∈N ＋)且点P 1的坐标为(1，－1)．(1)求过点P 1，P 2的直线l 的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于n∈N ＋，点P n 都在(1)中的直线l 上．【解析】 (1)由P 1的坐标为(1，－1)知a 1＝1，b 1＝－1.∴b 2＝b 11－4a 12＝13. a 2＝a 1·b 2＝13. ∴点P 2的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13 ∴直线l 的方程为2x ＋y ＝1.(2)证明：①当n ＝1时，2a 1＋b 1＝2×1＋(－1)＝1成立．②假设n ＝k(k∈N ＋，k≥1)时，2a k ＋b k ＝1成立，则2a k ＋1＋b k ＋1＝2a k ·b k ＋1＋b k ＋1＝b k 1－4a k 2(2a k ＋1) ＝b k 1－2a k ＝1－2a k 1－2a k＝1， ∴当n ＝k ＋1时，命题也成立．由①②知，对n∈N ＋，都有2a n ＋b n ＝1，即点P n 在直线l 上．12．(16分)已知{a n }是由非负整数组成的数列，满足a 1＝0，a 2＝3，a n ＋1a n ＝(a n －1＋2)(a n－2＋2)，n ＝3,4,5，….(1)求a 3；(2)证明a n ＝a n －2＋2，n ＝3,4,5，…；【解析】 由题设得a 3a 4＝10，且a 3、a 4均为非负整数，所以a 3的可能的值为1,2,5,10.若a 3＝1，则a 4＝10，a 5＝32，与题设矛盾．若a 3＝5，则a 4＝2，a 5＝352，与题设矛盾．若a 3＝10，则a 4＝1，a 5＝60，a 6＝35，与题设矛盾．所以a 3＝2. (2)用数学归纳法证明：①当n ＝3，a 3＝a 1＋2，等式成立．②假设当n ＝k(k≥3)时等式成立，即a k ＝a k －2＋2，由题设a k ＋1a k ＝(a k －1＋2)(a k －2＋2)，∵a k ＝a k －2＋2≠0，∴a k ＋1＝a k －1＋2，也就是说，当n ＝k ＋1时，等式a k ＋1＝a k －1＋2成立．根据①和②，对于所有n≥3，有a n ＋1＝a n －1＋2.。

课时作业(四十四) 空间中的垂直关系A 级1．(2012·沈阳模拟)已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，mβ，则“α∥β”是“l⊥m”的( )A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件2．将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到空间四面体ABCD(如图2)，则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是( )A．相交且垂直B．相交但不垂直C．异面且垂直D．异面但不垂直3．已知直线m，l和平面α，β，则α⊥β的充分条件是( )A．m⊥l，m∥α，l∥βB．m⊥l，α∩β＝m，lαC．m∥l，m⊥α，l⊥βD．m∥l，l⊥β，mα4.如图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB＝90°，M为AB的中点，PM垂直于△ABC所在平面，那么( )A．PA＝PB＞PCB．PA＝PB＜PCC．PA＝PB＝PCD．PA≠PB≠PC5．(2012·浙江卷)设l是直线，α，β是两个不同的平面( )A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β6.如图，∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有________；与AP垂直的直线有________．7．已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③mα；④α∥β.当满足条件________时，有m⊥β.(填所选条件的序号)8.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)9．在正三棱锥P－ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，有下列三个论断：①AC ⊥PB ；②AC ∥平面PDE ；③AB ⊥平面PDE .其中正确论断的序号为________．10．(2012·新课标全国卷)如图，在三棱柱ABC －A1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝12AA 1，D 是棱AA 1的中点．(1)证明：平面BDC 1⊥平面BDC ；(2)平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．11．Rt △ABC 所在平面外一点S ，且SA ＝SB ＝SC ，D 为斜边AC 的中点．(1)求证：SD ⊥平面ABC ；(2)若AB ＝BC ，求证：BD ⊥平面SAC .B 级1.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是CD，A1D1的中点．(1)求证：AB1⊥BF；(2)求证：AE⊥BF；(3)棱CC1上是否存在点P，使BF⊥平面AEP？若存在，确定点P的位置，若不存在，说明理由．2.如图，四棱锥V－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD，设AB＝2.(1)证明：AB⊥平面VAD；(2)求二面角A－VD－B的正切值；(3)E是VA上的动点，当面DCE⊥面VAB时，求三棱锥V－ECD的体积．详解答案课时作业(四十四)A 级1．B 当α∥β，l⊥α时，有l⊥β，又mβ，故l⊥m.反之，当l⊥m，mβ时，不一定有l⊥β，故α∥β不一定成立．因此“α∥β”是“l⊥m”的充分不必要条件．2．C 在图1中的等腰直角三角形ABC中，斜边上的中线AD就是斜边上的高，则AD⊥BC，翻折后如图2，AD与BC变成异面直线，而原线段BC变成两条线段BD，CD，这两条线段与AD垂直，即AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩CD＝D，故AD⊥平面BCD，所以AD⊥BC.3．D 由⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥l m ∥αl ∥β⇒/ α⊥β，如图.由⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥l α∩β＝m l α⇒/ α⊥β，如图. 由 ⎭⎪⎬⎪⎫m ∥l m ⊥αl ⊥β⇒/ α⊥β，如图.所以选项A ，B ，C 都不对．又选项D 能推出α⊥β，所以D 正确，故选D.4．C ∵M 为AB 的中点，△ACB 为直角三角形，∴BM ＝AM ＝CM ，又PM ⊥平面ABC ，∴Rt △PMB ≌Rt △PMA ≌Rt △PMC ，故PA ＝PB ＝PC .5．B 利用线与面、面与面的关系定理判定，用特例法．设α∩β＝a ，若直线l ∥a ，且l α，l β，则l ∥α，l ∥β，因此α不一定平行于β，故A 错误；由于l ∥α，故在α内存在直线l ′∥l ，又因为l ⊥β，所以l ′⊥β，故α⊥β，所以B 正确；若α⊥β，在β内作交线的垂线l ，则l ⊥α，此时l 在平面β内，因此C 错误；已知α⊥β，若α∩β＝a ，l ∥a ，且l 不在平面α，β内，则l ∥α且l ∥β，因此D 错误．6．解析： ∵PC ⊥平面ABC ，∴PC 垂直于直线AB ，BC ，AC ；∵AB ⊥AC ，AB ⊥PC ，AC ∩PC ＝C ，∴AB ⊥平面PAC ，∴AB ⊥PC .与AP 垂直的直线是AB .答案： AB ，BC ，AC AB7．解析： 若m ⊥α，α∥β，则m ⊥β.答案： ②④8．解析： 由定理可知，BD ⊥PC .∴当DM ⊥PC (或BM ⊥PC )时，即有PC ⊥平面MBD ，而PC 平面PCD ，∴平面MBD ⊥平面PCD .答案： DM ⊥PC (或BM ⊥PC 等)9.解析： 如图，∵P －ABC 为正三棱锥，∴PB ⊥AC ；又∵DE ∥AC ，∴AC ∥平面PDE .故①，②正确．答案： ①②10．解析： (1)证明：由题设知BC ⊥CC 1，BC ⊥AC ，CC 1∩AC ＝C ，所以BC ⊥平面ACC 1A 1. 又DC 1平面ACC 1A 1，所以DC 1⊥BC .由题设知∠A 1DC 1＝∠ADC ＝45°，所以∠CDC 1＝90°，即DC 1⊥DC .又DC ∩BC ＝C ，所以DC 1⊥平面BDC .又DC 1平面BDC 1，故平面BDC 1⊥平面BDC .(2)设棱锥B －DACC 1的体积为V 1，设AC ＝1.由题意得V 1＝13×1＋22×1×1＝12. 又三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积V ＝1，所以(V －V 1)∶V 1＝1∶1.故平面BDC 1分此棱柱所得两部分体积的比为1∶1.11．证明： (1)取AB 的中点E ，连结SE ，DE ，在Rt △ABC 中，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，故DE ∥BC ，且DE ⊥AB .∵SA ＝SB ，∴△SAB 为等腰三角形．SE ⊥AB .又∵DE ⊥AB ，SE ∩DE ＝E ，∴AB ⊥平面SDE .而SD 平面SDE ，∴AB ⊥SD .在△SAC 中，SA ＝SC ，D 为AC 的中点，∴SD ⊥AC .又∵SD ⊥AB ，AC ∩AB ＝A ，∴SD ⊥平面ABC .(2)若AB ＝BC ，则BD ⊥AC ，由(1)可知，SD ⊥平面ABC ，而BD 平面ABC ，∴SD ⊥BD .又∵BD ⊥AC ，SD ∩AC ＝D ，∴BD ⊥平面SAC .B 级1．解析： (1)证明：连接A 1B ，则AB 1⊥A 1B ，又∵AB 1⊥A 1F ，且A 1B ∩A 1F ＝A 1，∴AB 1⊥平面A 1BF .∵BF 平面A 1BF ，∴AB 1⊥BF .(2)证明：取AD 中点G ，连接FG ，BG ，则FG ⊥AE ，又∵△BAG ≌△ADE ，∴∠ABG ＝∠DAE .∴AE ⊥BG .又∵BG ∩FG ＝G ，∴AE ⊥平面BFG .∵BF 平面BFG ，∴AE ⊥BF .(3)存在．取CC 1中点P ，即为所求．连接EP ，AP ，C 1D ，∵EP ∥C 1D ，C 1D ∥AB 1，∴EP ∥AB 1.由(1)知AB 1⊥BF ，∴BF ⊥EP .又由(2)知AE ⊥BF ，且AE ∩EP ＝E ，∴BF ⊥平面AEP . 2.解析： (1)证明：∵平面VAD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形．∴AB ⊥AD . 又平面VAD ∩底面ABCD ＝AD .故AB ⊥平面VAD .(2)如图，取VD 的中点F ，连接AF ，BF .∵△VAD 是正三角形，∴AF ⊥VD ，AF ＝32AD . 根据(1)AB ⊥平面VAD .∴AB ⊥VD .∴VD ⊥平面ABF .∴BF ⊥VD .∴∠AFB 为面VAD 与平面VDB 所成的二面角的平面角．∴tan ∠AFB ＝AB AF ＝233. (3)由(1)可知AB ⊥平面VAD ，∴CD ⊥平面VAD .∴平面VAD ⊥平面ECD .又∵△VAD 是正三角形，∴当E 是VA 中点时，ED ⊥VA .∴VA ⊥面EDC ，∵VA 面VAB ，∴面VAB ⊥面EDC .此时三棱锥V －EDC 的体积等于三棱锥C －VED 的体积， V C －EDV ＝13·S △VED ·DC ＝13×12×3×1×2＝33.。

2011《金版新学案》高三数学一轮复习相关性最小二乘估计随堂检测理北师大版(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)一、选择题(每小题6分，共36分)1．下列关系中，是相关关系的为( )①学生的学习态度与学习成绩之间的关系；②教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系；③学生的身高与学生的学习成绩之间的关系；④家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系．A．①② B．①③C．②③ D．②④【解析】学生的学习成绩与学生的学习态度和教师的执教水平是相关的，与学生的身高和家庭经济条件不相关．【答案】 A2．下列命题：①线性回归方法就是由样本点去寻找一条贴近这些样本点的直线的数学方法；②利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示；③通过回归直线y＝bx＋a及回归系数b，可以估计和预测变量的取值和变化趋势．其中正确的命题是( )A．①② B．①③C．②③ D．①②③【解析】利用最小二乘法求回归直线就是求样本数据的点到直线的距离的平方和最小值．利用回归直线，可以进行预测．而从散点图的分布可以判断是否线性相关．【答案】 D3．回归方程y＝1.5x－15，则( )A．y＝1.5x－15 B．15是回归系数aC．1.5是回归系数a D．x＝10时，y＝0【解析】由a＝y－b x得y＝b x＋a，即为A.【答案】 A4．下列叙述中：( )①变量间关系有函数关系，还有相关关系；②回归函数即用函数关系近似地描述相互关系；③∑i ＝1nx i ＝x 1＋x 2＋…＋x n ；④线性回归方程y ＝bx ＋a 中，b ＝∑i ＝1n(x i －x)(y i －y )∑i ＝1n(x i －x)2，a ＝y －b x ；⑤线性回归方程一定可以近似地表示所有相关关系．其中正确的有( ) A ．①②③ B．①②③④⑤ C ．①②③④ D．③④⑤【解析】 ①②③④显然正确，线性回归方程不一定可以近似地表示所有相关关系，如它不可表示非线性的相关关系，因此，⑤错误，所以选C.【答案】 C5．某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x(千元)与居民人均消费水平y(千元)统计调查，y 与x 具有相关关系，回归方程为y ＝0.66x ＋1.562，若某城市居民人均消费水平为7.675千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为( )A ．83%B ．72%C ．67%D ．66%【解析】 将y ＝7.675代入回归方程，可计算得x≈9.26，所以该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为7.675÷9.26≈0.83，即约为83%.【答案】 A6．三点(3,10)，(7,20)，(11,24)的线性回归方程为( ) A ．y ＝1.75x －5.75 B ．y ＝1.75x ＋5.75 C ．y ＝－1.75x ＋5.75 D ．y ＝－1.75x －5.75 【解析】 方法一：设回归直线方程为y ＝bx ＋a ，则 b ＝x 1y 1＋x 2y 2＋x 3y 3－3x y x 12＋x 22＋x 32－3x 2＝3×10＋7×20＋11×24－3×7×189＋49＋121－3×49＝1.75，a ＝y －b x ＝18－1.75×7＝5.75. 故y ＝1.75x ＋5.75，故选B.方法二：将点代入选项用代入法检验可排除A 、C 、D. 【答案】 B二、填空题(每小题6分，共18分)7．如图所示，有5组(x ，y)数据，去掉________组数据后，剩下的4组数据的线性相关性最大．【解析】 因为A 、B 、C 、E 四点分布在一条直线附近且贴近某一直线，D 点离得远． 【答案】 D8．下表是某地的年降雨量与年平均气温，判断两者是否是相关关系________．(填“是”或“否”)【答案】 否9．已知回归方程y ＝4.4x ＋838.19，则可估计x 与y 增长速度之比约为________．【解析】 Δy ＝y 2－y 1＝4.4(x 2－x 1)， ∴x 2－x 1y 2－y 1＝14.4＝1044≈0.227. 【答案】 0.227 三、解答题(共46分)10．(15分)山东鲁洁棉业公司的科研人员在7块并排、形状大小相同的试验田上对某棉花新品种进行施化肥量x 对产量y 影响的试验，得到如下表所示的一组数据(单位：kg).(1)(2)判断是否具有相关关系． 【解析】 (1)散点图如图所示，(2)由散点图知，各组数据对应点大致都在一条直线附近，所以施化肥量x 与产量y 具有线性相关关系．11．(15分)已知变量x ，y 线性相关，x 与y 有下列对应数据：求y 对x 【解析】 x ＝1＋2＋3＋44＝52，y ＝12＋32＋2＋34＝74，∑i ＝14x i 2＝12＋22＋32＋42＝30，∑i ＝14x i y i ＝1×12＋2×32＋3×2＋4×3＝432， ∴b＝∑i ＝14x i y i －4xy∑i ＝14x i 2－4x2＝432－4×52×7430－4×254＝45，a ＝y －b x ＝74－45×52＝－14.∴y＝45x －14.12．(16分)某城区为研究城镇居民月家庭人均生活费支出和月人均收入的相关关系，随机抽取10户进行调查，其结果如下：利用上述资料：(1)画出散点图；(2)如果变量x与y之间具有线性相关关系，求出回归直线方程；(3)测算人均收入为280元时，人均生活费支出应为多少元？【解析】(1)散点图如图所示：(2) =637.4，=490.4，∴y=0.70 761x+39.369 39.(3)把x=280代入，得y≈237.5元，测算人均收入为280元时，人均生活费支出应为237.5元．。

核心素养测评四十七垂直关系(30分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.α，β，γ为不同的平面，m，n，l为不同的直线，则m⊥β的一个充分条件是( )A.n⊥α，n⊥β，m⊥αB.α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γC.α⊥γ，β⊥γ，m⊥αD.α⊥β，α∩β=l，m⊥l【解析】选A.由n⊥α，n⊥β知α∥β，又m⊥α，所以m⊥β.所以A正确.2.(2020·铜陵模拟)教师拿了一把直尺走进教室，则下列判断正确的个数是( )①教室地面上有且仅有一条直线与直尺所在直线平行;②教室地面上有且仅有一条直线与直尺所在直线垂直;③教室地面上有无数条直线与直尺所在直线平行;④教室地面上有无数条直线与直尺所在直线垂直.A.1B.2C.3D.4【解析】选A.①当直尺与地面平行时，有无数条直线与直尺平行，错误②当直尺与地面垂直时，有无数条直线与直尺垂直，错误③当直尺与地面相交时，没有直线与直尺平行，错误④不管直尺与地面是什么关系，有无数条直线与直尺所在直线垂直，正确.3.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD ⊥平面BCD，构成三棱锥A-BCD，则在三棱锥A-BCD中，下面结论正确的是( )A.平面ABD⊥平面ABCB.平面ADC⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDCD.平面ADC⊥平面ABC【解析】选D.在平面图形中CD⊥BD，折起后仍有CD⊥BD，由于平面ABD⊥平面BCD，故CD⊥平面ABD，所以CD⊥AB，又AB⊥AD，AD∩CD=D，故AB⊥平面ADC，又因为AB⫋平面ABC，所以平面ABC⊥平面ADC.4.下列说法正确的是( )A.直线a平行于平面M，则a平行于M内的任意一条直线B.直线a与平面M相交，则a不平行于M内的任意一条直线C.直线a不垂直于平面M，则a不垂直于M内的任意一条直线D.直线a不垂直于平面M，则过a的平面不垂直于M【解析】选B.A选项不正确，因为一条线平行于一个平面，则它与该平面内的直线的位置关系是平行或者异面;B选项正确，因为直线a与平面M相交，则a与M内的任意一条直线位置关系是异面或相交;C选项不正确，因为直线a不垂直于平面M，则a与平面M内与它的投影垂直的直线是垂直关系;D选项不正确，因为直线a不垂直于平面M，则过a的平面可以垂直于M.5.如图，正三角形PAD所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直，O为正方形ABCD的中心，M为正方形ABCD内一点，且满足MP=MC，则点M的轨迹为( )【解析】选A.取AD的中点E，连接PE，PC，CE.由PE⊥AD知PE⊥平面ABCD，从而平面PEC⊥平面ABCD，取PC，AB的中点F，G，连接DF，DG，FG，由PD=DC知DF⊥PC，由DG⊥EC知，DG⊥平面PEC，又PC⊂平面PEC，所以DG⊥PC，DF∩DG=D，所以PC⊥平面DFG，又点F是PC的中点，因此，线段DG上的点满足MP=MC.二、填空题(每小题5分，共15分)6.如图，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论:①AF⊥PB;②EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________________.【解析】由题意知PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC.又AC⊥BC，且PA∩AC=A，所以BC⊥平面PAC，所以BC⊥AF.因为AF⊥PC，且BC∩PC=C，所以AF⊥平面PBC，所以AF⊥PB，又AE⊥PB，AE∩AF=A，所以PB⊥平面AEF，所以PB⊥EF.故①②③正确.答案:①②③7.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)【解析】因为PA⊥底面ABCD，所以BD⊥PA，连接AC，则BD⊥AC，且PA∩AC=A，所以BD⊥平面PAC，所以BD⊥PC，所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD. 答案:DM⊥PC(答案不唯一)8.设α，β是空间两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同直线.从“①m⊥n;②α⊥β;③n ⊥β;④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题:________________(用代号表示).【解析】逐一判断.若①②③成立，则m与α的位置关系不确定，故①②③⇒④错误;同理①②④⇒③也错误;①③④⇒②与②③④⇒①均正确.答案:①③④⇒②(或②③④⇒①)三、解答题(每小题10分，共20分)9.(2020·新余模拟)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AC=AA1，D是棱AB的中点.(1)求证:BC1∥平面A1CD.(2)求证:BC1⊥A1C.【证明】(1)连接AC1，设AC1∩A1C=O，连接OD，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ACC1A1是平行四边形，所以O为AC1的中点，又因为D是棱AB的中点，所以OD∥BC1，又因为BC1平面A1CD，OD平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.(2)由(1)可知侧面ACC1A1是平行四边形，因为AC=AA1，所以平行四边形ACC1A1是菱形，所以AC1⊥A1C，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，因为AB平面ABC，所以AB⊥AA1，又因为AB⊥AC，AC∩AA1=A，AC平面ACC1A1，AA1平面ACC1A1，所以AB⊥平面ACC1A1，因为A1C平面ACC1A1，所以AB⊥A1C，又因为AC1⊥A1C，AB∩AC1=A，AB平面ABC1，AC1平面ABC1，所以A1C⊥平面ABC1，因为BC1平面ABC1，所以BC1⊥A1C.10.如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是菱形，△PAD≌△BAD，平面PAD⊥平面ABCD，AB=4，PA=PD，M在棱PD上运动. 世纪金榜导学号(1)当M在何处时，PB∥平面MAC.(2)已知O为AD的中点，AC与OB交于点E，当PB∥平面MAC时，求三棱锥E-BCM的体积.【解析】(1)如图，设AC与BD相交于点N，当M为PD的中点时，PB∥平面MAC.证明:因为四边形ABCD是菱形，可得DN=NB，又因为M为PD的中点，可得DM=MP，所以NM为△BDP的中位线，可得NM∥PB，又因为NM平面MAC，PB平面MAC，所以PB∥平面MAC.(2)因为O为AD的中点，PA=PD，则OP⊥AD，又△PAD≌△BAD，所以OB⊥AD，且OB=2，又因为△AEO∽△CEB，所以==，所以BE=OB=，所以S△EBC=×4×=.又因为OP=4×=2，点M为PD的中点，所以M到平面EBC的距离为，所以V E-BCM=V M-EBC=××=.(15分钟35分)1.(5分)如图，在三棱锥D-ABC中，若AB=CB，AD=CD，E是AC的中点，则下列正确的是( )A.平面ABC⊥平面ABDB.平面ABD⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED.平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE【解析】选C.要判断两个平面的垂直关系，就需固定其中一个平面，找另一个平面内的一条直线与第一个平面垂直.因为AB=CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.2.(5分)四面体P-ABC的四个顶点都在球O的球面上，PA=8，BC=4，PB=PC=AB=AC，且平面PBC⊥平面ABC，则球O的表面积为( )A.64πB.65πC.66πD.128π【解析】选B.如图，D，E分别为BC，PA的中点，易知球心点O在线段DE上，因为PB=PC=AB=AC，则PD ⊥BC，AD⊥BC，PD=AD.又因为平面PBC⊥平面ABC，平面PBC∩平面ABC=BC，所以PD⊥平面ABC，所以PD⊥AD，所以PD=AD=4.因为点E是PA的中点，所以ED⊥PA，且DE=EA=PE=4 .设球O的半径为R，OE=x，则OD=4-x.在Rt△OEA中，有R2=16+x2，在Rt△OBD中，有R2=4+(4-x)2，解得R2=，所以S=4πR2=65π.3.(5分)如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAB与△PBC是正三角形，平面PAB⊥平面PBC，AC⊥BD，则下列结论不一定成立的是( )A.PB⊥ACB.PD⊥平面ABCDC.AC⊥PDD.平面PBD⊥平面ABCD【解析】选B.取BP的中点O，连接OA，OC，易得BP⊥OA，BP⊥OC⇒BP⊥平面OAC⇒BP⊥AC⇒选项A正确;又AC⊥BD⇒AC⊥平面BDP⇒AC⊥PD，平面PBD⊥平面ABCD，故选项C，D正确.4.(10分)(2020·淮北模拟)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，AB=BC=1，BB1=2.(1)求异面直线B1C1与A1C所成角的正切值.(2)求直线B1C1与平面A1BC的距离.【解析】(1)因为B1C1∥BC，所以∠A1CB (或其补角)是异面直线B1C1与A1C所成角.因为BC⊥AB，BC⊥BB1，AB∩BB1=B，所以BC⊥平面ABB1，所以BC⊥A1B.在Rt△A1BC中，tan∠A1CB===，所以异面直线B1C1与A1C所成角的正切值为.(2)因为B1C1∥平面A1BC，所以B1C1到平面A1BC的距离等于B1到平面A1BC的距离，设B1到平面A1BC的距离为d，因为=，所以×d=×A1B1，可得d=，所以直线B1C1与平面A1BC的距离为.5.(10分)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是CD，A1D1的中点. 世纪金榜导学号(1)求证:AB1⊥BF.(2)求证:AE⊥BF.(3)棱CC1上是否存在点P，使BF⊥平面AEP?若存在，确定点P的位置，若不存在，说明理由.【解析】(1)连接A1B，则AB1⊥A1B，又因为AB1⊥A1F，且A1B∩A1F=A1，所以AB1⊥平面A1BF.又BF平面A1BF，所以AB1⊥BF.(2)取AD中点G，连接FG，BG，则FG⊥AE，又因为△BAG≌△ADE，所以∠ABG=∠DAE.所以AE⊥BG.又因为BG∩FG=G，所以AE⊥平面BFG.又BF平面BFG，所以AE⊥BF.(3)存在.取CC1的中点P，即为所求.连接EP，AP，C1D，因为EP∥C1D，C1D∥AB1，所以EP∥AB1.由(1)知AB1⊥BF，所以BF⊥EP.又由(2)知AE⊥BF，且AE∩EP=E，所以BF⊥平面AEP.1.如图，点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列四个结论:①三棱锥A-D1PC的体积不变;②A1P∥平面ACD1;③DP⊥BC1;④平面PDB1⊥平面ACD1.其中正确的结论序号是____________.世纪金榜导学号【解析】由题意可得直线BC1平行于直线AD1，并且直线AD1平面AD1C，直线BC1平面AD1C，所以直线BC1∥平面AD1C.所以点P到平面AD1C的距离不变，=，所以三棱锥A-D1PC的体积不变，故①正确;连接A1C1，A1B，可得平面AD1C∥平面A1C1B.又A1P平面A1C1B，所以A1P∥平面ACD1，故②正确;当点P运动到B点时，△DBC1是等边三角形，所以DP不垂直于BC1，故③不正确;连接BD，因为直线AC⊥平面DB1B，DB1平面DB1B.所以AC⊥DB1.同理可得AD1⊥DB1.所以可得DB1⊥平面AD1C.又DB1平面PDB1.所以可得平面PDB1⊥平面ACD1.故④正确.答案:①②④2.正四棱锥S-ABCD的底面边长为2，高为2，E是BC的中点，动点P在四棱锥的表面上运动，并且总保持PE⊥AC，则动点P的轨迹的长为________________.世纪金榜导学号【解析】如图，设AC∩BD=O，连接SO，取CD的中点F，SC的中点G，连接EF，EG，FG，设EF交AC于点H，连接GH，易知AC⊥EF，GH∥SO，所以GH⊥平面ABCD，所以AC⊥GH，所以AC⊥平面EFG，故动点P的轨迹是△EFG的三条边，由已知易得EF=，GE=GF=，所以△EFG的周长为+，故动点P的轨迹长为+.答案:+关闭Word文档返回原板块。

2021?金版新学案?高三数学一轮复习 命题充分条件与必要条件随堂检测 理 北师大版(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)一、选择题(每题6分，共36分)1．以下命题：①5>4或4>5；②9≥3；③命题“假设a>b ，那么a ＋c>b ＋c 〞的否命题；④命题“矩形的两条对角线相等〞的逆命题．其中假命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】 ①是p 或q 形式的复合命题，p 真q 假，根据真值表，故p 或q 为真；②是p 或q 形式的复合命题，同理为真；③否命题是“假设a≤b，那么a ＋c≤b＋c 〞，是真命题；④逆命题是“两条对角线相等的四边形是矩形〞，是假命题，比方等腰梯形的对角线也相等．【答案】 B2．(2021年陕西卷)“m>n>0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆〞的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 mx 2＋ny 2＝1可化为x 21m ＋y 21n ＝1.因为m>n>0，所以0<1m <1n，因此椭圆焦点在y 轴上，反之亦成立．【答案】 C3．与命题“假设x∈A，那么y ∉A 〞等价的命题是( )A ．假设x ∉A ，那么y ∉AB ．假设y ∉A ，那么x∈AC ．假设x ∉A ，那么y∈AD ．假设y∈A，那么x ∉A【解析】 由命题和其逆否命题等价，所以根据原命题写出其逆否命题即可．【答案】 D4．命题“假设a>0，那么a 2>0”的否命题是( )A ．假设a 2>0，那么a>0B ．假设a<0，那么a 2<0C．假设a≤0，那么a2≤0D．假设a≤0，那么a2≥0【解析】命题的否命题是条件结论都要否认．把原命题的条件和结论同时否认即可．【答案】 C5．设集合M＝{x|0<x≤3}，N＝{x|0<x≤2}，那么“a∈M〞是“a∈N〞的( )A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【解析】a∈M时，推不出a∈N，例如a＝3.但是a∈N时，a∈M成立．故“a∈M〞是“a∈N〞的必要不充分条件．【答案】 B6．有以下四个命题：(1)“假设xy＝1，那么x，y互为倒数〞的逆命题；(2)“面积相等的三角形全等〞的否命题；(3)“假设m≤1，那么方程x2－2x＋m＝0有实数解〞的逆否命题；(4)“假设A∩B＝A，那么A⊆B〞的逆否命题．其中真命题个数为( ) A．1 B．2C．3 D．4【解析】(1)、(2)、(4)显然成立．(3)∵x2－2x＋m＝0有实数解，∴Δ＝4－4m≥0，即m≤1.所以(3)成立．【答案】 D二、填空题(每题6分，共18分)7．以下命题中：①一个整数的平方是偶数，那么这个整数是偶数；②2是无理数；③经过平面内一点和平面外一点的直线一定不在平面内；④假设向量a、b是平面向量的一组基底，那么a＋b 与a－b也可作为平面向量的一组基底．其中正确的命题是________．【解析】可用反证法证明，①②③④都为正确命题．【答案】①②③④8．在以下电路图所示中，闭合开关A是灯泡B亮的什么条件：(1)如图①所示，开关A闭合是灯泡B亮的________________________________________________________________________条件；(2)如图②所示，开关A闭合是灯泡B亮的________________________________________________________________________条件；(3)如图③所示，开关A闭合是灯泡B亮的________________________________________________________________________条件；(4)如图④所示，开关A闭合是灯泡B亮的________________________________________________________________________条件．【解析】(1)A闭合，B亮；而B亮时，A不一定闭合，故A是B的充分但不必要条件．(2)A闭合，B不一定亮；而B亮，A必须闭合，故A是B的必要不充分条件．(3)A闭合，B亮；而B亮，A必闭合，所以A是B的充要条件．(4)A闭合，B不一定亮；而B亮，A不一定闭合，所以A是B的既不充分也不必要条件．【答案】充分不必要必要不充分充要条件既不充分也不必要9．给定以下命题：①假设k>0，那么方程x2＋2x－k＝0有实数根；②“假设a>b，那么a＋c>b＋c〞的否命题；③“矩形的对角线相等〞的逆命题；④“假设xy＝0，那么x、y中至少有一个为0”的否命题．其中真命题的序号是________．【解析】①∵Δ＝4－4(－k)＝4＋4k>0，∴①是真命题．②否命题：“假设a≤b，那么a＋c≤b＋c〞是真命题．③逆命题：“对角线相等的四边形是矩形〞是假命题．④否命题：“假设xy≠0，那么x、y都不为零〞是真命题．【答案】①②④三、解答题(共46分)10．(15分)写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题．(1)假设a>b，那么ac2>bc2；(2)假设在二次函数y＝ax2＋bx＋c中b2－4ac＜0，那么该二次函数图象与x轴有公共点；【解析】(1)逆命题：假设ac2>bc2，那么a>b；否命题：假设a≤b，那么ac2≤bc2；逆否命题：假设ac2≤bc2，那么a≤b.(2)逆命题：假设二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有公共点，那么b2－4ac＜0.否命题：假设在二次函数y＝ax2＋bx＋c中b2－4ac≥0，那么该二次函数图象与x轴没有公共点；逆否命题：假设二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴没有公共点，那么b2－4ac≥0.11．(15分)给出以下命题，判断p是q的什么条件？(1)p∶A＝B，q∶sin A＝sin B；(2)p∶x>2且y>3，q∶x＋y>5；(3)p∶正方形，q∶菱形；(4)p∶a>b，q∶1a <1b. 【解析】 (1)当A ＝B 时，sin A ＝sin B ；当sin A ＝sin B 时，A 不一定等于B ，如sin π3＝sin 2π3，而π3≠2π3. 所以p 是q 的充分不必要条件．(2)当x>2且y>3时，x ＋y>5成立；当x ＋y>5时，不一定有x>2且y>3成立，如x ＝0，y ＝6.所以p 是q 的充分不必要条件．(3)正方形一定是菱形，菱形不一定是正方形，所以p 是q 的充分而不必要条件．(4)当a>b 时，1a <1b不一定成立，如a ＝2，b ＝－1. 当1a <1b时，a>b 不一定成立，如a ＝－3，b ＝2. 所以p 是q 的既不充分也不必要条件．12．(16分)求不等式(a 2－3a ＋2)x 2＋(a －1)x ＋2＞0的解是一切实数的充要条件．【解析】 讨论二次项系数：由a 2－3a ＋2＝0，得a ＝1，或a ＝2.当a ＝1时，原不等式为2＞0恒成立，∴a＝1适合；当a ＝2时，原不等式为x ＋2＞0，即x ＞－2，它的解不是一切实数，∴a＝2不适合． 当a 2－3a ＋2≠0时，必须有⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－3a ＋2＞0， ①Δ＝(a －1)2－8(a 2－3a ＋2)＜0， ②由①得a ＜1，或a ＞2，由②得a ＜1或a ＞157. ∴a＜1，或a ＞157. ∴所求的充要条件是a≤1或a ＞157.。

2011《金版新学案》高三数学一轮复习垂直关系随堂检测文北师
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一、选择题(每小题6分，共36分)
1．(2009年山东卷)已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面α内的一条直线，m⊥β，则α⊥β，反过来则不一定．所以“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件．【答案】 B
2．(2009年广东卷)给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中，为真命题的是( )
A．①和②B．②和③
C．③和④ D．②和④
【解析】当两个平面相交时，一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面，故①不对；
由平面与平面垂直的判定可知②正确；
空间中垂直于同一条直线的两条直线可以相交也可以异面，故③不对；
若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④正确．
【答案】 D
3．(2008年宁夏卷)已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )
用心爱心专心 1。

2011《金版新学案》高三数学一轮复习 正弦定理和余弦定理随堂检测 文 北师大版(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)一、选择题(每小题6分，共36分)1．(2008年陕西卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( ) A. 6 B ．2C. 3D. 2【解析】 由正弦定理得6sin 120°＝2sin C， ∴sin C＝12. 又∵C 为锐角，则C ＝30°，∴A＝30°，△ABC 为等腰三角形，a ＝c ＝ 2.故选D.【答案】 D2．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2c 2＝2a 2＋2b 2＋ab ，则△ABC是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形【解析】 ∵2c 2＝2a 2＋2b 2＋ab ，∴a 2＋b 2－c 2＝－12ab ， ∴cos C＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－14＜0. 则△ABC 是钝角三角形．故选A.【答案】 A3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边．若A ＝π3，b ＝1，△ABC 的面积32，则a 的值为( )A ．1B ．2 C.32D. 3 【解析】 由已知得：12bcsin A ＝12×1×c×sin 60°＝32⇒c ＝2，则由余弦定理可得：a 2＝4＋1－2×2×1×cos 60°＝3⇒a ＝ 3.【答案】 D4．在△ABC 中，cos 2B ＞cos 2A 是A ＞B 的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 cos 2B ＞cos 2A ⇔1－2sin 2B ＞1－2sin 2A ⇔sin 2B ＜sin 2A ⇔sin A ＞sin B ⇔A＞B.【答案】 C5．满足A ＝45°，c ＝6，a ＝2的△ABC 的个数记为m ，则a m 的值为( )A ．4B ．2C ．1D ．不确定【解析】 由正弦定理a sin A ＝c sin C 得sin C ＝csin A a ＝6×222＝32. ∵c＞a ，∴C＞A ＝45°，∴C＝60°或120°，∴满足条件的三角形有2个，即m ＝2.∴a m ＝4.【答案】 A 6．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b 2＋c 2－bc ＝a 2，且a b＝3，则角C 的值为( )A ．45° B．60°C ．90° D．120°【解析】 由b 2＋c 2－bc ＝a 2得b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A＝60°. 又a b ＝3，∴sinA sin B＝3， ∴sin B＝33sin A ＝33×32＝12， ∴B＝30°，∴C＝180°－A －B ＝90°.【答案】 C二、填空题(每小题6分，共18分)7．在△ABC 中，若a ＝7，b ＝8，cos C ＝1314，则此三角形的最大内角的余弦值为________． 【解析】 c 2＝a 2＋b 2－2abcos C ＝9，c ＝3，由b>a>c 知最大角为B ，利用余弦定理求得cosB ＝－17. 【答案】 －17 8．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是________．9．在△ABC 中，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足a ＋b ＋c ＝2＋1，sin A ＋sin B＝2sin C ，则c ＝________；若C ＝π3，则△ABC 的面积S ＝________.【解析】 依题意及正弦定理得a ＋b ＝2c ，且a ＋b ＋c ＝2＋1，因此c ＋2c ＝2＋1，c ＝1，当C ＝π3时， c 2＝a 2＋b 2－2abcos C ＝a 2＋b 2－ab ＝1，∴(a＋b)2－3ab ＝1.又a ＋b ＝2，因此2－3ab ＝1，∴ab＝13，则△ABC 的面积S ＝12absin C ＝12×13sin π3＝312. 【答案】 1 312三、解答题(共46分)10．(15分)已知△ABC 的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C.(1)求边AB 的长；(2)若△ABC 的面积为16sin C ．求角C 的度数． 【解析】 (1)由题意及正弦定理，得AB ＋BC ＋AC ＝2＋1.BC ＋AC ＝2AB ，两式相减，得AB ＝1.(2)由△ABC 的面积＝12BC·AC·sin C＝16sin C ， 得BC·AC＝13. 由余弦定理，得cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC·BC＝(AC ＋BC)2－2AC·BC －AB 22AC·BC ＝12， ∴C＝60°.11．(15分)△ABC 中，角A 、B 、C 对边的边长分别是a 、b 、c ，且a(cos B ＋cos C)＝b ＋c.(1)求证：A ＝π2； (2)若△ABC 的外接圆半径为1，求△ABC 周长的取值范围．【解析】 (1)∵a(cos B＋cos C)＝b ＋c ，∴由余弦定理得a·a 2＋c 2－b 22ac ＋a·a 2＋b 2－c 22ab＝b ＋c ， 整理得(b ＋c)(a 2－b 2－c 2)＝0.∵b＋c ＞0，∴a 2＝b 2＋c 2，故A ＝π2. (2)∵△ABC 的外接圆半径为1，A ＝π2，∴a＝2. ∴b＋c ＝2(sinB ＋cos B)＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π4. ∵0＜B ＜π2，∴π4＜B ＋π4＜3π4，∴2＜b ＋c≤2 2. ∴4＜a ＋b ＋c≤2＋22，故△ABC 周长的取值范围为(4,2＋22]．12．(16分)已知△ABC ，a 、b 、c 分别是三个内角A 、B 、C 的对边，关于x 的不等式x 2cos C ＋4xsin C ＋6＜0的解集是空集．(1)求C 的最大值；(2)若c ＝72，△ABC 的面积S ＝332， 求当C 取得最大值是a ＋b 的值．【解析】 (1)显然cos C≤0不合题意，故有⎩⎪⎨⎪⎧ cos C ＞0Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ cos C ＞016sin 2C －24cos C≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ cos C ＞0cos C≤－2或cos C≥12，故cos C≥12，∴C 的最大值为60°. (2)当C ＝60°时，S ＝12absin C ＝34ab ＝332，∴ab＝6， 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2abcos C＝(a ＋b)2－2ab －2abcos C ，∴(a＋b)2＝c 2＋3ab ＝1214，∴a＋b ＝112.。