(江西版)高考数学总复习 第八章8.2 点与直线、直线与直线的位置关系教案 理 北师大版

2020年高考第一轮复习数学北师(江西版)理第八章8.2 点与直线、直线与直线的位置关系考纲要求1．能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直． 2．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．3．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．知识梳理1．两直线的位置关系平面内两条直线的位置关系包括平行、相交、重合三种情况． (1)两直线平行对于直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2， l 1∥l 2⇔________________. 对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0， l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1∥l 2⇔__________________________. (2)两直线垂直对于直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2， l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝____.对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0， l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0， l 1⊥l 2⇔____________. 2．两直线的交点设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，将这两条直线的方程联立，得方程组⎩⎨⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，若方程组有唯一解，则l 1与l 2____，此解就是两直线交点的坐标；若方程组无解，则l 1与l 2____；若方程组有无数个解，则l 1与l 2____.3．有关距离 (1)两点间的距离平面上两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离|P 1P 2|＝____________. (2)点到直线的距离平面上一点P(x 0，y 0)到一条直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝____________. (3)两平行线间的距离已知l 1，l 2是平行线，求l 1，l 2间距离的方法： ①求一条直线上一点到另一条直线的距离；②设l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0，则l 1与l 2之间的距离d ＝________. 4．对称问题 (1)中点坐标公式设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则线段AB 的中点坐标为____________． (2)中心对称若点M(x 1，y 1)及N(x ，y)关于P(a ，b)对称，则由中点坐标公式得______． (3)轴对称若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，则线段P 1P 2的中点在对称轴l 上，而且连接P 1P 2的直线垂直于对称轴l.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＋B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋y 22＋C ＝0，y 1－y 2x 1－x 2＝B A可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中A≠0，x 1≠x 2)．基础自测1．过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )． A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0 D ．x ＋2y －1＝02．点P 在直线x ＋y －4＝0上，O 为坐标原点，则|OP|的最小值为( )． A ．13 B ．2 2 C ． 6 D ．23．已知两条直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则a＝( )．A．2 B．1 C．0 D．－14．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋by＝0相交于一点，则b＝( )．A．－1 B．－12C．2 D．125．求与直线x－y＋2＝0平行，且它们之间的距离为32的直线方程．思维拓展1．研究两直线的位置关系时，若直线方程的系数含有变量应注意什么？提示：在利用斜率、截距研究两直线的位置关系时，若直线方程中y的系数含有字母参数，则斜率可能有不存在的情况．此时，应对其按y的系数为零(斜率不存在)和不为零(斜率存在)两种情况进行讨论．利用斜率相等研究两条直线平行时，要注意重合的情形．2．运用距离公式时应注意什么？提示：点到直线的斜率公式适用于任何形式的直线方程，在运用该公式时，应首先把直线方程化为一般式；在运用两平行线间的距离公式时，要注意先把两直线方程中x，y的系数化成相等的形式．一、两直线的平行【例1】直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，则m的值为( )．A．2 B．－3C．2或－3 D．－2或－3方法提炼1．判定两直线平行的方法：(1)判定两直线的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式，若k1＝k2，且b1≠b2，则两直线平行；若斜率都不存在，还要判定是否重合．(2)直接用以下方法，可避免对斜率是否存在进行讨论：设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0.2．与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0(m≠C)，这也是经常采用的解题技巧．请做[针对训练]1二、两直线的垂直【例2】求经过点A(2,1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．方法提炼1．判定两直线垂直的方法：(1)判定两直线的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式，若k1·k2＝－1，则两直线垂直；若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，两直线也垂直．(2)直接用以下方法，可避免对斜率是否存在进行讨论：设直线l1：A1x＋B1y＋C 1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.2．与Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0，这也是经常采用的解题技巧．请做[针对训练]2三、距离公式的应用【例3－1】已知直线l过两直线3x＋4y－5＝0,2x－3y＋8＝0的交点P，且与A(2,3)，B(－4,5)两点距离相等，求直线l的方程．【例3－2】已知直线l过点P(3,1)，且被两平行线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y＋6＝0截得的线段长为5，求直线l的方程．方法提炼运用点到直线的距离公式时，需把直线方程化为一般式；运用两平行线的距离公式时，需先把两平行线方程中x，y的系数化为相同的形式．请做[针对训练]3四、对称问题【例4－1】已知直线l1：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：(1)点A关于直线l1的对称点A′的坐标；(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l1的对称直线l2的方程；(3)直线l1关于点A对称的直线l3的方程．【例4－2】已知直线l1：2x＋y－4＝0，求l1关于直线l：3x＋4y－1＝0对称的直线l2的方程．方法提炼1．在对称问题中，点关于直线的对称是最基本也是最重要的对称．处理这种问题关键是抓住垂直与平分两个几何条件，转化为代数关系列方程求解；线关于线的对称问题，可以转化为点关于直线的对称问题来解决；直线关于点的对称可转化为点关于点的对称来处理，结合“代入法”求轨迹方程的思想方法解题也是这类问题的一个通法．2．求与距离有关的最值问题，一般是通过作图，转化为对称问题加以解决．请做[针对训练]4考情分析通过分析近几年的高考试题可以看出，对于本节内容的考查，主要侧重以下几个方面：(1)判断两直线平行与垂直的位置关系，或以平行、垂直的位置关系为载体求相关参数的值；(2)对距离公式的考查，主要是把它作为工具来使用；(3)对称问题侧重点与点关于直线的对称．思想方法主要侧重分类讨论、数形结合、方程思想等．考查的形式以选择题、填空题为主．针对训练1．与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程为__________．2．(2020浙江高考，文12)若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m＝________.3．若P(a，b)在直线x＋y＋1＝0上，求a2＋b2－2a－2b＋2的最小值．4．(1)在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大；(2)在直线l：3x－y－1＝0上求一点Q，使得Q到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小．参考答案基础梳理自测 知识梳理1．(1)k 1＝k 2，且b 1≠b 2 A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1≠0 (2)－1 A 1A 2＋B 1B 2＝02．相交 平行 重合 3．(1)(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2 (2)|Ax 0＋By 0＋C|A 2＋B 2 (3)②|C 1－C 2|A 2＋B 24．(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22 (2)⎩⎨⎧x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1基础自测1．A 解析：∵所求直线与直线x －2y －2＝0平行，∴所求直线的斜率为12，方程为y －0＝12(x －1)，即x －2y －1＝0.2．B 解析：根据题意知，|OP|的最小值为原点O 到直线x ＋y －4＝0的距离．根据点到直线的距离公式，得42＝2 2.3．D 解析：∵两直线垂直， ∴a(a ＋2)＝－1. ∴a ＝－1.4．B 解析：解方程组⎩⎨⎧2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－2，∴三条直线交于点(－1，－2)． ∴－1－2b ＝0，即b ＝－12.5．解：设与直线x －y ＋2＝0平行的直线方程为x －y ＋m ＝0，根据平行线间的距离公式，得|2－m|2＝32⇒|2－m|＝6⇒m ＝－4或m ＝8，即所求的直线方程为x－y －4＝0，或x －y ＋8＝0.考点探究突破【例1】C 解析：解法一：当m ＝－1时，l 1：2x ＋4＝0，l 2：－x ＋3y －2＝0显然l 1与l 2不平行；当m ≠－1时，因为l 1∥l 2，所以应满足－2m ＋1＝－m 3且－4m ＋1≠23，解得m ＝2或m ＝－3.解法二：若l 1∥l 2，需2×3－m(m ＋1)＝0，解得m ＝－3或m ＝2. 当m ＝－3或2时，－2(m ＋1)－12≠0. ∴m ＝－3或2为所求．【例2】解：解法一：∵直线2x ＋y －10＝0的斜率不为0， ∴直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k. ∵直线l 与直线2x ＋y －10＝0垂直， ∴k·(－2)＝－1.∴k ＝12.又∵l 经过点A(2,1)，∴所求直线l 的方程为y －1＝12(x －2)，即x －2y ＝0.解法二：设与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线方程为x －2y ＋m ＝0. ∵直线l 经过点A(2,1)， ∴2－2×1＋m ＝0.∴m ＝0. ∴所求直线l 的方程为x －2y ＝0. 【例3－1】解：解方程组⎩⎨⎧3x ＋4y －5＝0，2x －3y ＋8＝0，得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝2.故交点P(－1,2)．(1)当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y －2＝k(x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0.由题意得|2k－3＋k＋2|k2＋1＝|－4k－5＋k＋2|k2＋1，解得k＝－13，∴直线l方程为y－2＝－13(x＋1)即x＋3y－5＝0.(2)当直线l的斜率不存在时，则l的方程为x＝－1，此时也符合题目要求．综合(1)(2)知，所求直线方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.【例3－2】解法一：若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝3，此时与l 1，l2的交点分别是A(3，－4)，B(3，－9)，截得的线段长|AB|＝|－4＋9|＝5，符合题意．当直线l的斜率存在时，则设直线l的方程为y＝k(x－3)＋1，分别与直线l1，l 2的方程联立，由⎩⎨⎧y＝k(x－3)＋1，x＋y＋1＝0，解得A⎝⎛⎭⎪⎫3k－2k＋1，1－4kk＋1.由⎩⎨⎧y＝k(x－3)＋1，x＋y＋6＝0，解得B⎝⎛⎭⎪⎫3k－7k＋1，1－9kk＋1.由两点间的距离公式，得⎝⎛⎭⎪⎫3k－2k＋1－3k－7k＋12＋⎝⎛⎭⎪⎫1－4kk＋1－1－9kk＋12＝25，解得k＝0，即所求直线方程为y＝1.综上可知，直线l的方程为x＝3，或y＝1.解法二：因为两平行线间的距离d＝|6－1|2＝522，如图，直线l 被两平行线截得的线段长为5， 设直线l 与两平行线的夹角为θ，则s in 2θ=， 所以θ=45°.因为两平行线的斜率是1-， 故所求直线的斜率不存在，或为0. 又因为直线l 过点P(3,1)， 所以直线l 的方程为x=3，或y=1. 【例4－1】解：(1)设A′(x，y)， 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1·23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413.故A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413.(2)在直线m 上取一点，如M(2,0)，则M 关于l 1的对称点必在l 2上． 设对称点为M′(a，b)，则由⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，得M′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013.设m 与l 1的交点为N ， 由⎩⎨⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N(4,3)．又l 2过N 点，由两点式得直线l 2的方程为9x －46y ＋102＝0. (3)解法一：在l 1：2x －3y ＋1＝0上任取两点，如M(1,1)，N(4,3)． 则M ，N 关于点A 的对称点M′，N′均在直线l 3上．易知M′(－3，－5)，N′(－6，－7)，由两点式可得l 3的方程为2x －3y －9＝0.解法二：∵l 1∥l 3，∴可设l 3的方程为2x －3y ＋c ＝0(c ≠1)． ∵点A 到两直线的距离相等，∴由点到直线的距离公式得|－2＋6＋c|22＋32＝|－2＋6＋1|22＋32，得c ＝－9，∴l 3的方程为2x －3y －9＝0.解法三：设P(x ，y)是l 3上任一点，则P(x ，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x ，－4－y)．∵P′在直线l 1上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0. 整理得2x －3y －9＝0.【例4－2】解：方法一：由⎩⎨⎧2x ＋y －4＝0，3x ＋4y －1＝0，得l 1与l 的交点为P(3，－2)，显然P 也在l 2上．设l 2的斜率为k ，又l 1的斜率为－2，l 的斜率为－34，则－34－(－2)1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34×(－2)＝k －⎝ ⎛⎭⎪⎫－341＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34k ，解得k ＝－211. 故l 2的直线方程为y ＋2＝－211(x －3)，即2x ＋11y ＋16＝0. 方法二：在直线l 1上取一点A(2,0)，又设点A 关于直线l 的对称点为B(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ y 0－0x 0－2＝43，3·2＋x 02＋4·0＋y 02－1＝0，解得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－85. 故由两点式可求得直线l 2的方程为2x ＋11y ＋16＝0.演练巩固提升针对训练1．3x ＋4y －11＝0 解析：解法一：设直线l 的斜率为k.∵l 与直线3x ＋4y ＋1＝0平行，∴k ＝－34. 又∵l 经过点(1,2)，可得所求直线方程为y －2＝－34(x －1)，即3x ＋4y －11＝0.解法二：设与直线3x ＋4y ＋1＝0平行的直线l 的方程为3x ＋4y ＋m ＝0. ∵l 经过点(1,2)，∴3×1＋4×2＋m ＝0，解得m ＝－11.∴所求直线方程为3x ＋4y －11＝0.2．1 解析：∵直线x －2y ＋5＝0与2x ＋my －6＝0互相垂直，∴1×2＋(－2)·m＝0，即m ＝1.3．解：∵a 2＋b 2－2a －2b ＋2＝(a －1)2＋(b －1)2，可看成是点P(a ，b)与点(1,1)之间的距离．又∵点P 是直线x ＋y ＋1＝0上任一点，∴(a －1)2＋(b －1)2即是点(1,1)与直线x ＋y ＋1＝0上任一点之间的距离． 因此，点(1,1)到直线x ＋y ＋1＝0的距离即是(a －1)2＋(b －1)2的最小值． 由于点(1,1)到直线x ＋y ＋1＝0的距离为d ＝|1＋1＋1|12＋12＝322， 故a 2＋b 2－2a －2b ＋2的最小值为32 2. 4．解：(1)如图甲所示，设点B 关于l 的对称点为B ′，连接AB′并延长交l 于P ，此时的P 满足|PA|－|PB|的值最大．图甲设B′的坐标为(a ，b)，则k BB′·k l ＝－1，即b －4a·3＝－1. ∴a ＋3b －12＝0.①又由于线段BB′的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b ＋42，且在直线l 上， ∴3×a 2－b ＋42－1＝0，即3a －b －6＝0.② ①②联立，解得a ＝3，b ＝3，∴B′(3,3)．于是AB′的方程为y －13－1＝x －43－4， 即2x ＋y －9＝0.解方程组⎩⎨⎧ 3x －y －1＝0，2x ＋y －9＝0，得⎩⎨⎧ x ＝2，y ＝5，即l 与AB′的交点坐标为P(2,5)．(2)如图乙所示，设C 关于l 的对称点为C′，连接AC′交l 于点Q ，此时的Q 满足|QA|＋|QC|的值最小．图乙设C′的坐标为(x′，y′)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ y′－4x′－3·3＝－1，3·x′＋32－y′＋42－1＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x′＝35，y′＝245.∴C′⎝ ⎛⎭⎪⎫35，245. 由两点式得直线AC′的方程为y －1245－1＝x －435－4， 即19x ＋17y －93＝0.解方程组⎩⎨⎧ 19x ＋17y －93＝0，3x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝117，y ＝267.∴所求点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫117，267.。

第二节 两条直线的位置关系[考纲传真] (教师用书独具)1.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离．(对应学生用书第111页)[基础知识填充]1．两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行①对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. ②当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2.(2)两条直线垂直①如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2. 2．两条直线的交点的求法直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2为常数)，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A1x ＋B1y ＋C1＝0，A2x ＋B2y ＋C2＝0的解．若方程组有唯一解，则两直线相交；若方程组无解，则两条直线平行；若方程组有无数个解，则两条直线重合． 3．距离|P 1P 2|＝－＋－[1．直线系方程(1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋m ＝0(m ∈R 且m ≠C )．(2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋n ＝0(n ∈R )．2．两直线平行或重合的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行或重合的充要条件是A 1B 2－A 2B 1＝0. 3．两直线垂直的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件是A 1A 2＋B 1B 2＝0.[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.( ) (2)如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( ) (3)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx0＋b|1＋k2.( )(4)已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2为常数)，若直线l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0.( )(5)若点P ，Q 分别是两条平行线l 1，l 2上的任意一点，则P ，Q 两点的最小距离就是两条平行线的距离．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√2．(教材改编)已知点(a,2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于( ) A ． 2B ．2－ 2C ．2－1D ．2＋1C [由题意得|a －2＋3|2＝1，即|a ＋1|＝2，又a >0，∴a ＝2－1.]3．直线l ：(a －2)x ＋(a ＋1)y ＋6＝0，则直线l 恒过定点________．(2，－2) [直线l 的方程变形为a (x ＋y )－2x ＋y ＋6＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，－2x ＋y ＋6＝0， 解得x ＝2，y ＝－2，所以直线l 恒过定点(2，－2)．]4．已知直线l 1：ax ＋(3－a )y ＋1＝0，l 2：x －2y ＝0.若l 1⊥l 2，则实数a 的值为________. 【导学号：79170269】2 [由a a －3＝－2，得a ＝2.]5．已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是________． 2 [∵63＝m 4≠14－3，∴m ＝8，直线6x ＋my ＋14＝0可化为3x ＋4y ＋7＝0，∴两平行线之间的距离d ＝|－3－7|32＋42＝2.](对应学生用书第112页)(1)设aR ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 (2)(2018·潍坊模拟)过点(－1,3)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为( ) A ．2x ＋y －1＝0 B ．2x ＋y －5＝0 C ．x ＋2y －5＝0D ．x －2y ＋7＝0(1)A (2)A [(1)当a ＝1时，显然l 1∥l 2，若l 1∥l 2，则a (a ＋1)－2×1＝0，所以a ＝1或a ＝－2. 所以a ＝1是直线l 1与直线l 2平行的充分不必要条件． (2)直线x －2y ＋3＝0的斜率为12，从而所求直线的斜率为－2. 又直线过点(－1,3)，所以所求直线的方程为y －3＝－2(x ＋1)，即2x ＋y －1＝0.][规律方法] 1.判断直线间的位置关系，要注意直线方程中字母参数取值的影响，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，还要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．2．在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论，可避免讨论．另外当A 2B 2C 2≠0时，比例式A1A2与B1B2，C1C2的关系容易记住，在解答选择、填空题时，有时比较方便． [变式训练1]已知过点A (－2，m )和点B (m,4)的直线为l 1，直线2x ＋y －1＝0为l 2，直线x ＋ny ＋1＝0为l 3.若l 1∥l 2，l 2⊥l 3，则实数m ＋n 的值为( ) A ．－10 B ．－2 C ．0D ．8A [∵l 1∥l 2，∴k AB ＝4－mm ＋2＝－2，解得m ＝－8.又∵l 2⊥l 3，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－1n ×(－2)＝－1，解得n ＝－2，∴m ＋n ＝－10.](1)直线l 过点P (－1,2)且到点A (2,3)和点B (－4,5)的距离相等，则直线l 的方程为________．(2)过点P (3,0)作一直线l ，使它被两直线l 1：2x －y －2＝0和l 2：x ＋y ＋3＝0所截的线段AB 以P 为中点，求此直线l 的方程．(1)x ＋3y －5＝0或x ＝－1 [法一：当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0. 由题意知|2k －3＋k ＋2|k2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k2＋1，即|3k －1|＝|－3k －3|，∴k ＝－13，∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，也符合题意． 法二：当AB ∥l 时，有k ＝k AB ＝－13，直线l 的方程为 y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0. 当l 过AB 中点时，AB 的中点为(－1,4)， ∴直线l 的方程为x ＝－1.故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1.](2)设直线l 与l 1的交点为A (x 0，y 0)，则直线l 与l 2的交点B (6－x 0，－y 0)，2分由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2x0－y0－2＝0，6－x0－y0＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x0＝113，y0＝163，6分即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫113，163，从而直线l 的斜率k ＝163－0113－3＝8，10分直线l 的方程为y ＝8(x －3)，即8x －y －24＝0.12分[规律方法] 1.求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程；也可利用过交点的直线系方程，再求参数．2．利用距离公式应注意：①点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x ，y 的系数化为相等． [变式训练2] (1)已知直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝－12x ＋2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是________. 【导学号：79170270】 (2)(2018·石家庄模拟)若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2间的距离为________． (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－16，12 (2)823[法一：由方程组⎩⎨⎧y ＝kx ＋2k ＋1，y ＝－12x ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－4k2k ＋1，y ＝6k ＋12k ＋1.(若2k ＋1＝0，即k ＝－12，则两直线平行) ∴交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2－4k 2k ＋1，6k ＋12k ＋1. 又∵交点位于第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－4k2k ＋1＞0，6k ＋12k ＋1＞0，解得－16＜k ＜12.法二：如图，已知直线y ＝－12x ＋2与x 轴、y 轴分别交于点A (4,0)，B (0,2)． 而直线方程y ＝kx ＋2k ＋1可变形为y －1＝k (x ＋2)，表示这是一条过定点P (－2,1)，斜率为k 的动直线．∵两直线的交点在第一象限，∴两直线的交点必在线段AB 上(不包括端点)， ∴动直线的斜率k 需满足k PA ＜k ＜k PB ． ∵k PA ＝－16，k PB ＝12. ∴－16＜k ＜12.(2)由a (a －2)＝3得a ＝3或a ＝－1，经检验a ＝3时两直线重合，因此a ＝－1，此时l 1的方程为x －y ＋6＝0，l 2的方程为x －y ＋23＝0，两条直线间的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6－232＝823.](1)平面直角坐标系中直线y ＝2x ＋1关于点(1,1)对称的直线l 方程是________． (2)光线从A (－4，－2)点射出，到直线y ＝x 上的B 点后被直线y＝x 反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1,6)，则BC 所在的直线方程是________．(1)y ＝2x －3 (2)10x －3y ＋8＝0 [(1)法一：在直线l 上任取一点P ′(x ，y )，其关于点(1,1)的对称点P (2－x,2－y )必在直线y ＝2x ＋1上，∴2－y ＝2(2－x )＋1，即2x －y －3＝0.因此，直线l 的方程为y ＝2x －3.法二：由题意，l 与直线y ＝2x ＋1平行，设l 的方程为2x －y ＋c ＝0(c ≠1)，则点(1,1)到两平行线的距离相等， ∴|2－1＋c|22＋1＝|2－1＋1|22＋1，解得c ＝－3.因此所求直线l 的方程为y ＝2x －3.法三：在直线y ＝2x ＋1上任取两个点A (0,1)，B (1,3)，则点A 关于点(1,1)对称的点M (2,1)，点B 关于点(1,1)对称的点N (1，－1)．由两点式求出对称直线MN 的方程为y ＋11＋1＝x －12－1，即y ＝2x －3.(2)作出草图，如图所示，设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D 关于y 轴的对称点为D ′，则易得A ′(－2，－4)，D ′(1,6)．由入射角等于反射角可得A ′D ′所在直线经过点B 与C ． 故BC 所在的直线方程为y －6－4－6＝x －1－2－1，即10x －3y ＋8＝0.] [母题探究1]在题(1)中“将结论”改为“求点A (1,1)关于直线y ＝2x ＋1的对称点”，则结果如何？[解] 设点A (1,1)关于直线y ＝2x ＋1的对称点为A ′(a ，b )， 2分 则AA ′的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 2，1＋b 2，4分所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋b 2＝2×1＋a2＋1，b －1a －1×2＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－35，b ＝95，10分故点A (1,1)关于直线y ＝2x ＋1的对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，95.12分[母题探究2]在题(1)中“关于点(1,1)对称”改为“关于直线x －y ＝0对称”，则结果如何？ [解] 在直线y ＝2x ＋1上任取两个点A (0,1)，B (1,3)，则点A 关于直线x －y ＝0的对称点为M (1,0)，点B 关于直线x －y ＝0的对称点为N (3,1)， 6分 根据两点式，得所求直线的方程为y －10－1＝x －31－3，即x －2y －1＝0.12分[规律方法] 1.第(1)题求解的关键是利用中点坐标公式，将直线关于点的中心对称转化为点关于点的对称．2．解决轴对称问题，一般是转化为求对称点问题，关键是要抓住两点，一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直；二是以已知点与对称点为端点的线段的中点在对称轴上． [变式训练3] (1)(2017·广州模拟)直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＋y －2＝0对称的直线方程是( ) A ．x ＋2y －1＝0 B ．2x －y －1＝0 C ．2x ＋y －3＝0 D ．x ＋2y －3＝0(2)直线l 1：3x －y ＋1＝0与直线l 2：3x －y ＋7＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程为________．【导学号：79170271】(1)B (2)3x －y ＋4＝0 [(1)由题意得直线x －2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0的交点坐标为(1,1)．在直线x －2y ＋1＝0上取点A (－1,0)， 设A 点关于直线x ＋y －2＝0的对称点为B (m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧n －0m ＋1－＝－1，m －12＋n 2－2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝3.故所求直线的方程为y －13－1＝x －12－1，即2x －y －1＝0.(2)由题意知l 1∥l 2，设直线l 的方程为3x －y ＋m ＝0， 则|m －1|10＝|m －7|10，即|m －1|＝|m －7|解得m ＝4，故直线l 的方程为3x －y ＋4＝0]。

点和直线、直线与直线的地址关系备课教师：徐素琳知识点梳理一、点 P(x0 , y0 ) 与直线 l : ax by c0 地址关系( a、 b不全为 0 )1、点P( x0, y0)在直线l : ax by c0 上2、点P( x0, y0)不在直线l : ax by c0 上，则点P到l的距离d=；；的符号确定了点P 对于直线 l 的相对地址。

二、直线 l1 : a1x b1 y c1 0 与直线 l2 : a2 x b2 y c2 0 地址关系（ a1 ,b1a2 ,b2不全为0）1、l1与l2订交，交点坐标为两直线联立的方程组的解；l1与 l 2夹角公式为。

特别地，若 l1与 l 2垂直。

2、l1与l2平行；两平行直线 l1与 l 2的距离d=。

3、l1与l2重合。

基础练习 (*题为书、练习册题或改编)1.已知点 (a,b)在直线 2 x 3y60 上，则直线 ax by 6 0 必过定点*2.点 P(1,1) 到直线 3x 4 y c0的距离为3，则实数c的值为*3.已知直线 l : y ax 2和A(1,4)、B(3,1) 两点。

当直线 l 与线段 AB 订交时，实数a*4.l1 : 3x 2 y 60与 l2 : 9x 4 y 3 0的交点坐标为5.l1 : y3x1与 l2 : 3y x40 的夹角为*6.若直线 x ay20 和 2x3y 1 0 互相垂直，则 a 的值为*7.l1 : x y 1 0 与 l2 : 2x 2 y10 的地址关系是8. 两平行直线l1: x y 3 0与 l2: 2x 2 y 1 0 的距离为9.与直线 5x12 y70 平行且距离为 1 的直线方程为典型例题 (*题为书、练习册题或改编)例1 已知点P(4, m) 到直线 l : 4x 3 y 1 0的距离是 4，求实数m的值。

例 2m 为何值时，直线l1 : 4x y 4 ， l2 : mx y 0 ， l3 : 2x 3my 40 不能够组成三角形。

2013年点与直线、直线与直线的位置关系高考复习教案2013年高考第一轮复习数学北师(江西版)理第八章8.2 点与直线、直线与直线的位置关系考纲要求1．能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．2．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标． 3．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．知识梳理1．两直线的位置关系平面内两条直线的位置关系包括平行、相交、重合三种情况．(1)两直线平行对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1∥l2⇔________________.对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1∥l2⇔__________________________.(2)两直线垂直对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1⊥l2⇔k1k2＝____.对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2⇔____________.2．两直线的交点设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，将这两条直线的方程联立，得方程组A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0，若方程组有唯一解，则l1与l2____，此解就是两直线交点的坐标；若方程组无解，则l1与l2____；若方程组有无数个解，则l1与l2____. 3．有关距离(1)两点间的距离平面上两点P1(x1，y1)，P2 (x2，y2)间的距离|P1P2|＝____________.(2)点到直线的距离平面上一点P(x0，y0)到一条直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝____________.(3)两平行线间的距离已知l1，l2是平行线，求l1，l2间距离的方法：①求一条直线上一点到另一条直线的距离；②设l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则l1与l2之间的距离d＝________.4．对称问题(1)中点坐标公式设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则线段AB的中点坐标为____________．(2)中心对称若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得______．(3)轴对称若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，则线段P1P2的中点在对称轴l上，而且连接P1P2的直线垂直于对称轴l.由方程组Ax1＋x22＋By1＋y22＋C＝0，y1－y2x1－x2＝BA可得到点P1关于l 对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中A≠0，x1≠x2)．基础自测1．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是( )．A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝02．点P在直线x＋y－4＝0上，O为坐标原点，则|OP|的最小值为( )．A．13 B．22 C．6 D．23．已知两条直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则a＝( ) ．A．2 B．1 C．0 D．－14．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋by ＝0相交于一点，则b＝( )．A．－1 B．－12 C．2 D．125．求与直线x－y＋2＝0平行，且它们之间的距离为32的直线方程．思维拓展1．研究两直线的位置关系时，若直线方程的系数含有变量应注意什么？提示：在利用斜率、截距研究两直线的位置关系时，若直线方程中y的系数含有字母参数，则斜率可能有不存在的情况．此时，应对其按y的系数为零(斜率不存在)和不为零(斜率存在)两种情况进行讨论．利用斜率相等研究两条直线平行时，要注意重合的情形．2．运用距离公式时应注意什么？提示：点到直线的斜率公式适用于任何形式的直线方程，在运用该公式时，应首先把直线方程化为一般式；在运用两平行线间的距离公式时，要注意先把两直线方程中x，y的系数化成相等的形式．一、两直线的平行【例1】直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx ＋3y－2＝0平行，则m的值为( )．A．2 B．－3C．2或－3 D．－2或－3方法提炼1．判定两直线平行的方法：(1)判定两直线的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式，若k1＝k2，且b1≠b2，则两直线平行；若斜率都不存在，还要判定是否重合．(2)直接用以下方法，可避免对斜率是否存在进行讨论：设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0. 2．与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax ＋By＋m＝0(m≠C)，这也是经常采用的解题技巧．请做[针对训练]1二、两直线的垂直【例2】求经过点A(2,1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线 l的方程．方法提炼1．判定两直线垂直的方法：(1)判定两直线的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式，若k1k2＝－1，则两直线垂直；若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，两直线也垂直．(2)直接用以下方法，可避免对斜率是否存在进行讨论：设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.2．与Ax＋By＋C＝ 0垂直的直线方程可设为Bx－Ay ＋m＝0，这也是经常采用的解题技巧．请做[针对训练]2三、距离公式的应用【例3－1】已知直线l过两直线3x＋4y－5＝0,2x －3y＋8＝0的交点P，且与A(2,3)，B(－4,5)两点距离相等，求直线l的方程．【例3－2】已知直线l过点P(3,1)，且被两平行线l1：x＋y＋1＝0，l 2：x＋y＋6＝0截得的线段长为5，求直线l的方程．方法提炼运用点到直线的距离公式时，需把直线方程化为一般式；运用两平行线的距离公式时，需先把两平行线方程中x，y的系数化为相同的形式．请做[针对训练]3四、对称问题【例4－1】已知直线l1：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：(1)点A关于直线l1的对称点A′的坐标；(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l1的对称直线l2的方程；(3)直线l1关于点A对称的直线l3的方程．【例4－2】已知直线l1：2x＋y－4＝0，求l1关于直线l：3x＋4y－1＝0对称的直线l2的方程．方法提炼1．在对称问题中，点关于直线的对称是最基本也是最重要的对称．处理这种问题关键是抓住垂直与平分两个几何条件，转化为代数关系列方程求解；线关于线的对称问题，可以转化为点关于直线的对称问题来解决；直线关于点的对称可转化为点关于点的对称来处理，结合“代入法”求轨迹方程的思想方法解题也是这类问题的一个通法．2．求与距离有关的最值问题，一般是通过作图，转化为对称问题加以解决．请做[针对训练]4考情分析通过分析近几年的高考试题可以看出，对于本节内容的考查，主要侧重以下几个方面：(1)判断两直线平行与垂直的位置关系，或以平行、垂直的位置关系为载体求相关参数的值；(2)对距离公式的考查，主要是把它作为工具来使用；(3)对称问题侧重点与点关于直线的对称．思想方法主要侧重分类讨论、数形结合、方程思想等．考查的形式以选择题、填空题为主．针对训练1．与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l 的方程为__________．2．(2011浙江高考，文12)若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m＝________.3．若P(a，b)在直线x＋ y＋1＝0上，求a2＋b2－2a－2b＋2的最小值．4．(1)在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得 P 到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大；(2)在直线l：3x－y－1＝0上求一点Q，使得Q到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小．参考答案基础梳理自测知识梳理1．(1)k1＝k2，且b1≠b2A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0(2)－1 A1A2＋B1B2＝02．相交平行重合3．(1)(x2－x1)2＋(y2－y1)2(2)|Ax0＋By0＋C|A2＋B2 (3)②|C1－C2|A2＋B2 4．(1)x1＋x22，y1＋y22(2)x＝2a－x1，y＝2b－y1基础自测1．A 解析：∵所求直线与直线x－2y－2＝0平行，∴所求直线的斜率为12，方程为y－0＝12(x－1)，即x－2y－1＝0.2．B 解析：根据题意知，|OP|的最小值为原点O到直线x＋y－4＝0的距离．根据点到直线的距离公式，得42＝22.3．D 解析：∵两直线垂直，∴a(a＋2)＝－1.∴a＝－．B 解析：解方程组2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0，得x＝－1，y＝－2，∴三条直线交于点(－1，－2)．∴－1－2b＝0，即b＝－12.5．解：设与直线x－y＋2＝0平行的直线方程为x－y＋m＝0，根据平行线间的距离公式，得|2－m|2＝32⇒|2－m|＝6⇒m＝－4或m＝8，即所求的直线方程为x－y－4＝0，或x－y＋8＝0.考点探究突破【例1】C 解析：解法一：当m＝－1时，l1：2x＋4＝0，l2：－x＋3y－2＝0显然l1与l2不平行；当m≠－1时，因为l1∥l2，所以应满足－2m＋1＝－m3且－4m＋1≠23，解得m＝2或m＝－解法二：若l1∥l2，需2×3－m(m＋1)＝0，解得m＝－3或m＝2.当m＝－3或2时，－2(m＋1)－12≠0.∴m＝－3或2为所求．【例2】解：解法一：∵直线2x＋y－10＝0的斜率不为0，∴直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k.∵直线l与直线2x＋y－10＝0垂直，∴k(－2)＝－1.∴k＝12.又∵l经过点A(2,1)，∴所求直线l的方程为y－1＝12(x－2)，即x－2y＝0.解法二：设与直线2x＋y－10＝0垂直的直线方程为x－2y＋m＝0.∵直线l经过点A(2,1)，∴2－2×1＋m＝0.∴m＝0.∴所求直线l的方程为x－2y＝0.【例3－1】解：解方程组3x＋4y－5＝0，2x－3y＋8＝0，得x＝－1，y＝2.故交点P(－1,2)．(1)当直线l的斜率存在时，设l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.由题意得|2k－3＋k＋2|k2＋1＝|－4k－5＋k＋2|k2＋1，解得k＝－13，∴直线l方程为y－2＝－13(x＋1)即x＋3y－5＝0.(2)当直线l的斜率不存在时，则l的方程为x＝－1，此时也符合题目要求．综合(1)(2)知，所求直线方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.【例3－2】解法一：若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝3，此时与l1，l2 的交点分别是A(3，－4)，B(3，－9)，截得的线段长|AB|＝|－4＋9|＝5，符合题意．当直线l的斜率存在时，则设直线l的方程为y＝k(x－3)＋1，分别与直线l1，l2的方程联立，由y＝k(x －3)＋1，x＋y＋1＝0，解得A3k－2k＋1，1－4kk＋1.由y＝k(x－3)＋1，x＋y＋6＝0，解得B3k－7k＋1，1－9kk＋1.由两点间的距离公式，得3k－2k＋1－3k－7k＋12＋1－4kk＋1－1－9kk＋12＝25，解得k＝0，即所求直线方程为y＝综上可知，直线l的方程为x ＝3，或y＝1.解法二：因为两平行线间的距离d＝|6－1|2＝522，如图，直线l被两平行线截得的线段长为5，设直线l与两平行线的夹角为θ，则，所以θ=45°.因为两平行线的斜率是，故所求直线的斜率不存在，或为0.又因为直线l过点P(3,1)，所以直线l的方程为x=3，或【例4－1】解：(1)设A′(x，y)，由已知得y＋2x＋123＝－1，2×x－12－3×y－22＋1＝0，解得x＝－3313，y＝故A′－3313，(2)在直线m上取一点，如M(2,0)，则M关于l1的对称点必在l2上．设对称点为M′(a，b)，则由2×a＋22－3×b＋02＋1＝0，b－0a－2×23＝－1，得M′613，30设m与l1的交点为N，由2x－3y＋1＝0，3x－2y－6＝0，得N(4,3)．又l2过N点，由两点式得直线l2的方程为9x－46y ＋102＝0.(3)解法一：在l1：2x－3y＋1＝0上任取两点，如M(1,1)，N(4,3)．则M，N关于点A的对称点M′，N′均在直线l3上．易知M′(－3，－5)，N′(－6，－7)，由两点式可得l3的方程为2x－3y－9＝0.解法二：∵l1∥l3，∴可设l3的方程为2x－3y＋c＝0(c≠1)．∵点A到两直线的距离相等，∴由点到直线的距离公式得|－2＋6＋c|22＋32＝|－2＋6＋1|22＋32，得c＝－9，∴l3的方程为2x－3y－9＝0.解法三：设P(x，y)是l3上任一点，则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)．∵P′在直线l1上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0.整理得2x－3y－9＝0.【例4－2】解：方法一：由2x＋y－4＝0，3x＋4y－1＝0，得l1与l的交点为P(3，－2)，显然P也在l2上．设l2的斜率为k，又l1的斜率为－2，l的斜率为－34，则－34－(－2)1＋－34×(－2)＝k－－341＋－34k，解得k＝－2故l2的直线方程为y＋2＝－211(x－3)，即2x＋11y＋16＝0.方法二：在直线l1上取一点A(2,0)，又设点A关于直线l的对称点为B(x0，y0)，则y0－0x0－2＝43，32＋x02＋40＋y02－1＝0，解得B45，－故由两点式可求得直线l2的方程为2x ＋11y＋16＝0.演练巩固提升针对训练1．3x＋4y－11＝0 解析：解法一：设直线l的斜率为k.∵l与直线3x＋4y＋1＝0平行，∴k＝－又∵l经过点(1,2)，可得所求直线方程为y －2＝－34(x－1)，即3x＋4y－11＝0.解法二：设与直线3x＋4y＋1＝0平行的直线l的方程为3x＋4y＋m＝0.∵l经过点(1,2)，∴3×1＋4×2＋m＝0，解得m＝－∴所求直线方程为3x＋4y－11＝0.2．1 解析：∵直线x－2y＋5＝0与2x＋my－6＝0互相垂直，∴1×2＋(－2)m＝0，即m＝．解：∵a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2，可看成是点P(a，b)与点(1,1)之间的距离．又∵点P是直线x＋y＋1＝0上任一点，∴(a－1)2＋(b－1)2即是点(1,1)与直线x＋y＋1＝0上任一点之间的距离．因此，点(1,1)到直线x＋y＋1＝0的距离即是(a－1)2＋(b－1)2的最小值．由于点(1,1)到直线x＋y＋1＝0的距离为d＝|1＋1＋1|12＋12＝322，故a2＋b2－2a－2b＋2的最小值为322.4．解：(1)如图甲所示，设点B关于l的对称点为B ′，连接AB′并延长交l于P，此时的P满足|PA|－|PB|的值最大．图甲设B′的坐标为(a，b)，则kBB′kl＝－1，即b－4a3＝－1.∴a＋3b－12＝0.①又由于线段BB′的中点坐标为a2，b＋42，且在直线l上，∴3×a2－b＋42－1＝0，即3a－b－6＝0.②①②联立，解得a＝3，b＝3，∴B′(3,3)．于是AB′的方程为y－13－1＝x－43－4，即2x＋y－9＝0.解方程组3x－y－1＝0，2x＋y－9＝0，得x＝2，y ＝5，即l与AB′的交点坐标为P(2,5)．(2)如图乙所示，设C关于l的对称点为C′，连接AC′交l于点Q，此时的Q满足|QA|＋|QC|的值最小．图乙设C′的坐标为(x′，y′)，∴y′－4x′－33＝－1，3x′＋32－y′＋42－1＝0.解得x′＝35，y′＝245.∴C′35，2由两点式得直线AC′的方程为y－1245－1 ＝x－435－4，即19x＋17y－93＝0.解方程组19x＋17y－93＝0，3x－y－1＝0，得x＝117，y＝2∴所求点Q的坐标为117，2。

模块： 八、坐标平面上的直线 课题： 2、直线的位置关系 教学目标： 能熟练判定点与直线、直线与直线的位置关系的不同位置关系，从而能正确求点到直线的距离、两直线的交点坐标及两直线的夹角大小，并能运用上述知识解决与之相关的问题．重难点： 初步建立用代数方法解决几何问题的概念，正确将几何条件与代数表示进行关系转化，将最简单的几何图形——直线表示为方程．一、 知识要点1、两条直线的位置关系一般地，设两条直线的方程分别为 1l ：1110a x b y c ++=（11,a b 不全为零） ……①2l ：2220a x b y c ++=（22,a b 不全为零）……②两条直线的位置关系与其方程的系数之间的关系：a.1l 与2l 相交⇔方程组(Ⅰ)有唯一解⇔0D ≠即1221a b a b ≠；b.1l 与2l 平行⇔方程组(Ⅰ)无解⇔0D =且,x y D D 中至少有一个不为零；c.1l 与2l 重合⇔方程组(Ⅰ)有无穷多解⇔0x y D D D ===． 2、两条直线的夹角公式：若直线1l 的斜率为1k ，2l 的斜率为2k ，则：a.直线1l 到2l 的角满足：211212tan (1)1k k k k k k θ-=≠-+.b.直线1l 与直线2l 所成的角（简称夹角）θ满足：211212tan (1)1k k k k k k θ-=≠-+注意：①当1l 和2l 的斜率都不存在时，所成的角为0︒；②当1l 与2l 的斜率有一个存在时，可画图、观察，根据另一条直线的斜率得出所求的角；③ 1l 到2l 的角1θ不同于2l 到1l 的角2θ，它们满足：12θθπ+=. ④到角范围：[)0,π；夹角范围：0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦3、点到直线的距离点(),x y 到直线0ax by c ++=的距离：22ax by c d a b++=+．若两点在直线的同侧，则22a bδ=+的符号相同；若在直线的异侧，则22a bδ=+的符号相反4、平行直线1l 与2l 的距离d ：若1l ：10ax by c ++=，2l ：20ax by c ++=（,a b 不全为零），则定义为d =二、例题精讲例1、正方形的中心为()1,0G -，其一边的所在的直线的斜率为3，并且此正方形的面积为14.4，求这个正方形各边所在的直线的方程．答案：330x y --=，390x y -+=，350x y +-=，370x y ++=．例2、求与直线1:220l x y --=关于直线:10l x y --=对称的直线2l 的方程． 答案：210x y --=．例3、求过两直线240x y -+=和20x y +-=的交点且满足下列条件的直线l 的方程． （1） 过点()2,1-；（2） 和直线3450x y -+=垂直．答案：（1）3240x y +-=；（2）4360x y +-=．例4、点P 在直线2y =上移动，直线l 过原点O ，且l 与OP 垂直，点'P 是x 轴上一点，且'P 和点P 横坐标关于y 轴对称，设过点P 、'P 的直线是m ，直线m 交直线l 于点Q ，求点Q 的轨迹方程． 答案：22220x y y +-=．例5、已知m R ∈，直线()2:14l mx m y m -+=和圆22:84160C x y x y +-++=， （1） 求直线l 斜率的取值范围；（2） 直线l 是否能将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧？为什么？ 答案：（1）11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）不能，因为由圆C 截直线l 所得的弦所对应的圆心角小于23π．例6、某城市有一条公路从正西方通过市中心O 后转向东北方OB ，现要修建一条铁路l ，在OA 上设一站A ，在OB 上设一站B ，铁路在AB 部分为直线段，现要求市中心O 与AB 的距离为10千米，问把A 、B 分别设在公路上距中心O 多远处才能使AB 最短，并求其最短距离（不要求作近似计算）．答案：当A 、B 分别设在OA 、OB 上距中心O 点千米处时距离最小．例7、在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点()1,1A -关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积为13-． （1） 求动点P 的轨迹方程；（2） 设直线AP 与BP 分别与直线3x =交于点M 、N ，问：是否存在点P 使得PAB∆与PMN ∆的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．答案：（1）()22341x y x +=≠±；（2）存在，5,39⎛± ⎝⎭． 三、课堂练习1、已知直线1l ：313--=x a y 与2l ：01)1(2=+++y a x ，实数a = ，使直线1l 与2l 平行． 答案：3-．2、过点()5,2P -，且与直线50x y -+=相交成45°角的直线l 的方程为 ． 答案：5x =或2y =-．3、已知点(,)M a b 在直线1543=+y x 上，则22b a +的最小值为 ． 答案：3.4、已知直线,32:1+=x y l 若2l 与1l 关于y 轴对称，则2l 的方程为 ；若3l 与1l 关于x 轴对称，则3l 的方程为 ；若4l 与1l 关于x y =对称，则4l 的方程为 ． 答案：23y x =-+，23y x =--，32x y -=． 5、已知点()1,3A ，()5,2B -，如果点P 在x 轴上，且使AP BP -最大，则点P 的坐标为 ． 答案：()13,0．6、直线240x y --=上有一点P ，它与两定点()4,1A -，()3,4B 的距离之和最小，则P 点坐标是 ；若该点P 与两定点()3,3A -，()0.5,4B -的距离之差最大，则P点坐标是 ．答案：2318,77⎛⎫ ⎪⎝⎭；117,84⎛⎫-- ⎪⎝⎭．四、 课后作业 一、填空题1、已知点()7,1A -，()5,5B -，点P 在直线250x y --=上，当P 点的坐标为 时，PA PB +的值最小．答案：()2,1-．2、直线10x y -+=上一点P 的横坐标是3，若该直线绕点P 逆时针旋转090得直线l ，则直线l 的方程是 ． 答案：7y x =-+．3、直线1y =与直线3y =+的夹角为 ． 答案：60︒．4、已知直线l 经过点()5,10P ，且原点到它的距离为5，则直线l 的方程为 ． 答案：342505x y x -+==或．5、()1:523310l x y m m -++=与()2:2639200l x y m m +-+=的交点到43120x y --=的距离取最小值时实数m 的值为 ．答案：59-． 6、已知直线:10l x y --=，1:220l x y --=，若直线2l 与1l 关于l 对称，则2l 的方程是 ． 答案：210x y --=．二、选择题7、在坐标平面内，与点()1,2A 距离为1，且与点()3,1B 距离为2的直线共有（ ） A 、1条B 、2条C 、3条D 、4条答案：B8、已知平面上直线l 的方向向量43,55e ⎛⎫=-⎪⎝⎭，点()0,0O 和()1,2A -在l 上的身影分别 是'O 和'A ，则''O A e λ=，其中λ=（ ） A 、115B 、115-C 、2D 、2-答案：D9、已知()2,A a a ，()2,B b b ()a b ≠两点的坐标满足2sin cos 1aa θθ+=，2sin cos 1b b θθ+=，记原点到直线AB 的距离为d ，则d 与1的大小关系是（ ）A 、1d >B 、1d =C 、1d <D 、不能确定答案：B三、解答题10、光线从点()2,3A 射出，若镜面的位置在直线:10l x y ++=上，反射线经过()1,1B ，求入射光线和反射光线所在直线的方程，并求光线从A 到B 所走过的路线长．11、在正三角形ABC 中，点D 、E 分别在AB 和BC 上，且11,33AD AB BE BC ==，AE 和CD 交于点P ．试问直线BP 和CP 的位置关系怎样，为什么？ 答案：垂直，提示：利用数量积判断．12、（1）已知三点()0,5A ，()5,0B ，()4,3C --．过点A 的直线l 与线段BC 相交，试求直线l 的斜率k 和倾斜角α的取值范围；（2）问m 为何值时，三条直线1:440l x y +-=，2:0l mx y +=，3:2340l x my --=不能构成三角形；（3）已知ABC ∆中BC 边上的高AD 所在直线的方程为210x y -+=，A ∠的平分线所在直线的方程为0y =，若顶点()1,2B ，求顶点A C 、的坐标．答案：（1）(][),12,k ∈-∞-+∞或不存在，倾斜角3arctan 2,4πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦； （2）23m =或1-或4或16-时，三条直线不能构成三角形； （3）()1,0A -，()5,6C -．。

2024年高考数学总复习第八章《立体几何与空间向量》§8.2空间点、直线、平面之间的位置关系最新考纲 1.借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．1．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．2．直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点(2)异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．，π2.3．直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况．4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．5．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．概念方法微思考1．分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线吗？提示不一定．因为异面直线不同在任何一个平面内．分别在两个不同平面内的两条直线可能平行或相交．2．空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角一定相等吗？提示不一定．如果这两个角开口方向一致，则它们相等，若反向则互补．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.(√)(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．(×)(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．(×)(4)经过两条相交直线，有且只有一个平面．(√)(5)没有公共点的两条直线是异面直线．(×)(6)若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a⊂α，b⊂β，则a，b是异面直线．(×)题组二教材改编2．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为()A．30°B．45°C．60°D．90°答案C解析连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C即为所求的角．又B1D1＝B1C＝D1C，∴△B1D1C为等边三角形，∴∠D1B1C＝60°.3．如图，在三棱锥A—BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则(1)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；(2)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为正方形．答案(1)AC＝BD(2)AC＝BD且AC⊥BD解析(1)∵四边形EFGH为菱形，∴EF＝EH，∴AC＝BD.(2)∵四边形EFGH为正方形，∴EF＝EH且EF⊥EH，∵EF∥AC，EH∥BD，且EF＝12AC，EH＝12BD，∴AC＝BD且AC⊥BD.题组三易错自纠4．α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m⊄α，n⊂α，且A∈m，A∈α，则m，n的位置关系不可能是()A．垂直B．相交C．异面D．平行答案D解析依题意，m∩α＝A，n⊂α，∴m与n可能异面、相交(垂直是相交的特例)，一定不平行．5.如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过()A．点AB．点BC．点C但不过点MD．点C和点M答案D解析∵AB⊂γ，M∈AB，∴M∈γ.又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.根据公理3可知，M在γ与β的交线上．同理可知，点C也在γ与β的交线上．6.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的对数为______．答案3解析平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH 相交，CD与EF平行．故互为异面的直线有且只有3对．题型一平面基本性质的应用例1如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．证明(1)如图，连接EF，CD1，A1B.∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥BA1.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E，C，D1，F四点共面．(2)∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，如图所示．则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点．思维升华共面、共线、共点问题的证明(1)证明共面的方法：①先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②证两平面重合．(2)证明共线的方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上．(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．跟踪训练1如图，在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，G ，H 分别在BC ，CD 上，且BG ∶GC ＝DH ∶HC ＝1∶2.(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)设EG 与FH 交于点P ，求证：P ，A ，C 三点共线．证明(1)∵E ，F 分别为AB ，AD 的中点，∴EF ∥BD .∵在△BCD 中，BG GC ＝DH HC ＝12，∴GH ∥BD ，∴EF ∥GH .∴E ，F ，G ，H 四点共面．(2)∵EG ∩FH ＝P ，P ∈EG ，EG ⊂平面ABC ，∴P ∈平面ABC .同理P ∈平面ADC .∴P 为平面ABC 与平面ADC 的公共点．又平面ABC ∩平面ADC ＝AC ，∴P ∈AC ，∴P ，A ，C 三点共线．题型二判断空间两直线的位置关系例2(1)若直线l 1和l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是()A ．l 与l 1，l 2都不相交B ．l 与l 1，l 2都相交C ．l 至多与l 1，l 2中的一条相交D ．l 至少与l 1，l 2中的一条相交答案D 解析由直线l 1和l 2是异面直线可知l 1与l 2不平行，故l 1，l 2中至少有一条与l 相交．故选D.(2)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别在A 1D ，AC 上，且A 1E ＝2ED ，CF ＝2FA ，则EF 与BD 1的位置关系是()A．相交但不垂直B．相交且垂直C．异面D．平行答案D解析连接D1E并延长，与AD交于点M，由A1E＝2ED，可得M为AD的中点，连接BF并延长，交AD于点N，因为CF＝2FA，可得N为AD的中点，所以M，N重合，所以EF和BD1共面，且MEED1＝12，MFBF＝12，所以MEED1＝MFBF，所以EF∥BD1.思维升华空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定．异面直线可采用直接法或反证法；平行直线可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；垂直关系往往利用线面垂直或面面垂直的性质来解决．跟踪训练2(1)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a 和直线b可能平行或异面或相交，故选A.(2)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM 与CC 1是相交直线；②直线AM 与BN 是平行直线；③直线BN 与MB 1是异面直线；④直线AM 与DD 1是异面直线．其中正确的结论为________．(注：把你认为正确的结论序号都填上)答案③④解析因为点A 在平面CDD 1C 1外，点M 在平面CDD 1C 1内，直线CC 1在平面CDD 1C 1内，CC 1不过点M ，所以AM 与CC 1是异面直线，故①错；取DD 1中点E ，连接AE ，则BN ∥AE ，但AE 与AM 相交，故②错；因为B 1与BN 都在平面BCC 1B 1内，M 在平面BCC 1B 1外，BN 不过点B 1，所以BN 与MB 1是异面直线，故③正确；同理④正确，故填③④.题型三求两条异面直线所成的角例3(2019·青岛模拟)如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为()A.15B.25C.35D.45答案D 解析连接BC 1，易证BC 1∥AD 1，则∠A 1BC 1即为异面直线A 1B 与AD 1所成的角．连接A 1C 1，由AB ＝1，AA 1＝2，易得A 1C 1＝2，A 1B ＝BC 1＝5，故cos ∠A 1BC 1＝A 1B 2＋BC 21－A 1C 212×A 1B ×BC 1＝45，即异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为45.引申探究将上例条件“AA 1＝2AB ＝2”改为“AB ＝1，若异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为910”，试求AA 1AB 的值．解设AA 1AB＝t (t >0)，则AA 1＝tAB .∵AB ＝1，∴AA 1＝t .∵A 1C 1＝2，A 1B ＝t 2＋1＝BC 1，∴cos ∠A 1BC 1＝A 1B 2＋BC 21－A 1C 212×A 1B ×BC 1＝t 2＋1＋t 2＋1－22×t 2＋1×t 2＋1＝910.∴t ＝3，即AA 1AB ＝3.思维升华用平移法求异面直线所成的角的三个步骤(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；(2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角；(3)三求：解三角形，求出所作的角．跟踪训练3(2018·全国Ⅱ)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为()A.22 B.32 C.52 D.72答案C 解析如图，因为AB ∥CD ，所以AE 与CD 所成角为∠EAB .在Rt △ABE 中，设AB ＝2，则BE ＝5，则tan ∠EAB ＝BE AB ＝52，所以异面直线AE 与CD 所成角的正切值为52.立体几何中的线面位置关系直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题．例如图所示，四边形ABEF 和ABCD 都是梯形，BC ∥AD 且BC ＝12AD ，BE ∥FA 且BE ＝12FA ，G ，H 分别为FA ，FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形；(2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？(1)证明由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ，可得GH ∥AD 且GH ＝12AD .又BC ∥AD 且BC ＝12AD ，∴GH ∥BC 且GH ＝BC ，∴四边形BCHG 为平行四边形．(2)解∵BE ∥AF 且BE ＝12AF ，G 为FA 的中点，∴BE ∥FG 且BE ＝FG ，∴四边形BEFG 为平行四边形，∴EF ∥BG .由(1)知BG ∥CH .∴EF ∥CH ，∴EF 与CH 共面．又D ∈FH ，∴C ，D ，F ，E 四点共面．素养提升平面几何和立体几何在点线面的位置关系中有很多的不同，借助确定的几何模型，利用直观想象讨论点线面关系在平面和空间中的差异．1．四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数为()A ．4B ．3C ．2D ．1答案A 解析首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定四个平面．2．a ，b ，c 是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是()A．若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面B．若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交C．若a∥b，则a，b与c所成的角相等D．若a⊥b，b⊥c，则a∥c答案C解析若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行或异面；若a⊥b，b⊥c，则a，c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确．故选C.3.如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是()A．直线ACB．直线ABC．直线CDD．直线BC答案C解析由题意知，D∈l，l⊂β，所以D∈β，又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，所以点D在平面ABC与平面β的交线上．又因为C∈平面ABC，C∈β，所以点C在平面β与平面ABC的交线上，所以平面ABC∩平面β＝CD.4.如图所示，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确是()A．A，M，O三点共线B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面D．B，B1，O，M共面答案A 解析连接A 1C 1，AC ，则A 1C 1∥AC ，∴A 1，C 1，A ，C 四点共面，∴A 1C ⊂平面ACC 1A 1，∵M ∈A 1C ，∴M ∈平面ACC 1A 1，又M ∈平面AB 1D 1，∴M 在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上，同理A ，O 在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上．∴A ，M ，O 三点共线．5．(2017·全国Ⅱ)已知直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为()A.32 B.155 C.105 D.33答案C解析方法一将直三棱柱ABC －A 1B 1C 1补形为直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1，如图①所示，连接AD 1，B 1D 1，BD .图①由题意知∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，所以AD 1＝BC 1＝2，AB 1＝5，∠DAB ＝60°.在△ABD 中，由余弦定理知BD 2＝AB 2＋AD 2－2×AB ×AD ×cos ∠DAB ＝22＋12－2×2×1×cos 60°＝3，所以BD ＝3，所以B 1D 1＝3.又AB 1与AD 1所成的角即为AB 1与BC 1所成的角θ，所以cos θ＝AB 21＋AD 21－B 1D 212×AB 1×AD 1＝5＋2－32×5×2＝105.故选C.方法二以B 1为坐标原点，B 1C 1所在的直线为x 轴，垂直于B 1C 1的直线为y 轴，BB 1所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图②所示．图②由已知条件知B 1(0，0，0)，B (0，0，1)，C 1(1，0，0)，A (－1，3，1)，则BC 1→＝(1，0，－1)，AB 1→＝(1，－3，－1)．所以cos 〈AB 1→，BC 1→〉＝AB 1，→·BC 1→|AB 1→||BC 1→|＝25×2＝105.所以异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为105.故选C.6．正方体AC 1中，与面ABCD 的对角线AC 异面的棱有________条．答案6解析如图，在正方体AC 1中，与面ABCD 的对角线AC 异面的棱有BB 1，DD 1，A 1B 1，A 1D 1，D 1C 1，B 1C 1，共6条．7．(2019·东北三省三校模拟)若直线l ⊥平面β，平面α⊥平面β，则直线l 与平面α的位置关系为________．答案l ∥α或l ⊂α解析∵直线l ⊥平面β，平面α⊥平面β，∴直线l ∥平面α，或者直线l ⊂平面α.8．在三棱锥S －ABC 中，G 1，G 2分别是△SAB 和△SAC 的重心，则直线G 1G 2与BC 的位置关系是________．答案平行解析如图所示，连接SG 1并延长交AB 于M ，连接SG 2并延长交AC 于N ，连接MN .由题意知SM为△SAB的中线，且SG1＝23SM，SN为△SAC的中线，且SG2＝23SN，∴在△SMN中，SG1SM＝SG2SN，∴G1G2∥MN，易知MN是△ABC的中位线，∴MN∥BC，∴G1G2∥BC.9.如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________．答案2解析取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以AD∥BC，所以直线AC1与AD所成的角即为异面直线AC1与BC所成的角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D垂直于圆柱下底面，所以C1D⊥AD.因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，所以C1D＝2AD，所以直线AC1与AD所成角的正切值为2，所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为2.10.如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．答案②③④解析还原成正四面体A －DEF ，其中H 与N 重合，A ，B ，C 三点重合．易知GH 与EF 异面，BD 与MN 异面．连接GM ，∵△GMH 为等边三角形，∴GH 与MN 成60°角，易证DE ⊥AF ，又MN ∥AF ，∴MN ⊥DE .因此正确命题的序号是②③④.11.如图所示，A 是△BCD 所在平面外的一点，E ，F 分别是BC ，AD 的中点．(1)求证：直线EF 与BD 是异面直线；(2)若AC ⊥BD ，AC ＝BD ，求EF 与BD 所成的角．(1)证明假设EF 与BD 不是异面直线，则EF 与BD 共面，从而DF 与BE 共面，即AD 与BC 共面，所以A ，B ，C ，D 在同一平面内，这与A 是△BCD 所在平面外的一点相矛盾．故直线EF 与BD 是异面直线．(2)解取CD 的中点G ，连接EG ，FG ，则AC ∥FG ，EG ∥BD ，所以相交直线EF 与EG 所成的角，即为异面直线EF 与BD 所成的角．又因为AC ⊥BD ，则FG ⊥EG .在Rt △EGF 中，由EG ＝FG＝12AC ，求得∠FEG ＝45°，即异面直线EF 与BD 所成的角为45°.12.如图，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点．已知∠BAC ＝π2，AB ＝2，AC ＝23，PA ＝2.求：(1)三棱锥P －ABC 的体积；(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值．解(1)S △ABC ＝12×2×23＝23，三棱锥P －ABC 的体积为V ＝13S △ABC ·PA ＝13×23×2＝433.(2)如图，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE (或其补角)是异面直线BC 与AD 所成的角．在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝2，AD ＝2，cos ∠ADE ＝AD 2＋DE 2－AE 22×AD ×DE ＝22＋22－22×2×2＝34.故异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为34.13．平面α过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α∥平面CB 1D 1，α∩平面ABCD ＝m ，α∩平面ABB 1A 1＝n ，则m ，n 所成角的正弦值为()A.32 B.22 C.33 D.13答案A解析如图所示，设平面CB 1D 1∩平面ABCD ＝m 1，∵α∥平面CB 1D 1，则m 1∥m ，又∵平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，平面CB 1D 1∩平面A 1B 1C 1D 1＝B 1D 1，∴B 1D 1∥m 1，∴B 1D 1∥m ，同理可得CD 1∥n .故m ，n 所成角的大小与B 1D 1，CD 1所成角的大小相等，即∠CD 1B 1的大小．又∵B 1C ＝B 1D 1＝CD 1(均为面对角线)，∴∠CD 1B 1＝π3，得sin ∠CD 1B 1＝32，故选A.14.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB ⊥EF ；②AB 与CM 所成的角为60°；③EF 与MN 是异面直线；④MN ∥CD .以上四个命题中，正确命题的序号是________．答案①③解析如图，①AB ⊥EF ，正确；②显然AB ∥CM ，所以不正确；③EF 与MN 是异面直线，所以正确；④MN 与CD 异面，并且垂直，所以不正确，则正确的是①③.15.如图，正方形ACDE 与等腰直角三角形ACB 所在的平面互相垂直，且AC ＝BC ＝4，∠ACB ＝90°，F ，G 分别是线段AE ，BC 的中点，则AD 与GF 所成的角的余弦值为________．答案36解析取DE 的中点H ，连接HF ，GH .由题设，HF ∥AD 且HF ＝12AD ，∴∠GFH 为异面直线AD 与GF 所成的角(或其补角)．在△GHF 中，可求HF ＝22，GF ＝GH ＝26，∴cos ∠GFH ＝HF 2＋GF 2－GH 22×HF ×GF ＝(22)2＋(26)2－(26)22×22×26＝36.16.如图所示，三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面是边长为2的正三角形，侧棱A 1A ⊥底面ABC ，点E ，F 分别是棱CC 1，BB 1上的点，点M 是线段AC 上的动点，EC ＝2FB ＝2.(1)当点M 在何位置时，BM ∥平面AEF?(2)若BM ∥平面AEF ，判断BM 与EF 的位置关系，说明理由；并求BM 与EF 所成的角的余弦值．解(1)方法一如图所示，取AE 的中点O ，连接OF ，过点O 作OM ⊥AC 于点M .因为EC ⊥AC ，OM ，EC ⊂平面ACC 1A 1，所以OM ∥EC .又因为EC ＝2FB ＝2，EC ∥FB ，所以OM ∥FB 且OM ＝12EC ＝FB ，所以四边形OMBF 为矩形，BM ∥OF .因为OF ⊂平面AEF ，BM ⊄平面AEF ，故BM ∥平面AEF ，此时点M 为AC 的中点．方法二如图所示，取EC 的中点P ，AC 的中点Q ，连接PQ ，PB ，BQ .因为EC ＝2FB ＝2，所以PE ∥BF 且PE ＝BF ，所以PB ∥EF ，PQ ∥AE ，又AE ，EF ⊂平面AEF ，PQ ，PB ⊄平面AEF ，所以PQ ∥平面AFE ，PB ∥平面AEF ，因为PB ∩PQ ＝P ，PB ，PQ ⊂平面PBQ ，所以平面PBQ ∥平面AEF .又因为BQ ⊂平面PBQ ，所以BQ ∥平面AEF .故点Q 即为所求的点M ，此时点M 为AC 的中点．(2)由(1)知，BM 与EF 异面，∠OFE (或∠MBP )就是异面直线BM 与EF 所成的角或其补角．易求AF ＝EF ＝5，MB ＝OF ＝3，OF ⊥AE ，所以cos ∠OFE ＝OF EF ＝35＝155，所以BM 与EF 所成的角的余弦值为155.。