(江西版)2013年高考数学总复习 不等式选讲课时演练 理 北师大版(含详解)

2013年高考第一轮复习数学北师(江西版)理第十一章11.6 数系的扩充与复数的引入练习一、选择题1．复数i(2＋i)1－2i等于( )．A ．iB ．－iC ．1D ．－12．i 是虚数单位，41+i 1i ⎛⎫⎪-⎝⎭＝( )．A ．iB ．－iC ．1D ．－1 3．已知a ，b ，c ，d ∈C ，定义运算＝(a ＋b )(c ＋d )－a ＋cb ＋d，z ＝，则z ＝( )．A ．4＋3iB ．4－3iC ．－4－3iD ．－4＋3i4．设复数z 1＝i ，z 2＝1＋i ，则复数z ＝z 1·z 2在复平面内对应的点位于( )． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限5．在复平面内，复数21＋i 对应的点与原点的距离是( )．A ．1B ． 2C ．2D ．2 26．在复平面内，若z ＝m 2(1＋i)－m (4＋i)－6i 所对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是( )．A ．(0,3)B ．(－∞，－2)C ．(－2,0)D ．(3,4) 二、填空题7．(2011湖南长郡中学月考)若复数z ＝(m 2＋2m －3)＋(m －1)i 是纯虚数，则实数m 的值为__________．8．(2012北京海淀练习)对于任意两个复数z 1＝x 1＋y 1i ，z 2＝x 2＋y 2i(x 1，y 1，x 2，y 2为实数)，定义运算“⊙”为：z 1⊙z 2＝x 1x 2＋y 1y 2.设非零复数w 1，w 2在复平面内对应的点分别为P 1，P 2，点O 为坐标原点．如果w 1⊙w 2＝0，那么在△P 1OP 2中，∠P 1OP 2的大小为__________．9．设t 是实数，且t 1－3i ＋1－3i2是实数，则t ＝________.三、解答题10．(2011上海高考，文19)已知复数z 1满足(z 1－2)·(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.11．实数m 分别取什么数值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i (1)与复数2－12i 相等；(2)与复数12＋16i 互为共轭复数； (3)对应的点在x 轴的上方．12．设z ＝(1＋i)2＋3(1－i)2＋i，若z 2＋az ＋b ＝1＋i ，求实数a ，b 的值．参考答案一、选择题1．D 解析：i(2＋i)1－2i ＝－1＋2i 1－2i ＝(－1＋2i)(1＋2i)5＝－1.2．C 解析：1＋i 1－i ＝(1＋i)2(1－i)(1＋i)＝2i 2＝i ，所以41+i 1i ⎛⎫ ⎪-⎝⎭＝i 4＝1，故选C. 3．A 解析：由题意知z ＝(1－i)(2＋2i)－1＋2－i ＋2i＝4＋3i.4．B5．B 解析：21＋i＝1－i ，点(1，－1)与原点(0,0)的距离为 2.6．D 解析：整理得z ＝(m 2－4m )＋(m 2－m －6)i ，由复数z 的对应点在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4m <0，m 2－m －6>0，解得3＜m ＜4. 二、填空题 7．－38．π2解析：设1OP ＝(x 1，y 1)，2OP ＝(x 2，y 2)(x 1，y 1，x 2，y 2为实数)， 则w 1＝x 1＋y 1i ，w 2＝x 2＋y 2i.∵w 1⊙w 2＝0，由定义知x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴OP 1⊥OP 2.∴∠P 1OP 2＝π2.9．2 解析：t 1－3i＋1－3i 2＝t (1＋3i)4＋1－3i 2＝2＋t 4＋3(t －2)4i ，当t ＝2时，该数为实数1. 三、解答题10．解：∵1(2)(1i)z －＋＝1－i ，∴1z ＝2－i. 设2z ＝a ＋2i ，a ∈R .12z z ⋅＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i. ∵12·z z ∈R ，∴a ＝4， ∴2z ＝4＋2i.11．解：(1)根据复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝2，m 2－2m －15＝－12.解得m ＝－1.(2)根据共轭复数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝12，m 2－2m －15＝－16.解得m ＝1.(3)根据复数z 的对应点在x 轴的上方可得m 2－2m －15＞0，解得m ＜－3或m ＞5.12．解：z ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i 2＋i ＝(3－i)(2－i)5＝1－i.于是z 2＋az ＋b ＝(1－i)2＋a (1－i)＋b ＝(a ＋b )－(2＋a )i.由(a ＋b )－(2＋a )i ＝1＋i ，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，2＋a ＝－1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝4. 即实数a ，b 的值分别为－3,4.。

2013年高考数学总复习 6-4课后演练知能检测 北师大版(时间：60分钟，满分：80分)一、选择题(共6小题，每小题5分，满分30分) 1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0x －2y －1≤0x ＋y ≤1表示的平面区域为( )A ．四边形及其内部B ．等腰三角形及其内部C ．在第一象限内的一个无界区域D ．不包含第一象限内的点的一个有界区域解析：画出不等式组表示的平面区域如图，易知2x －y ＋1＝0与x －2y －1＝0关于y ＝x 对称，与x ＋y ＝1所成角相等，故不等式组表示的平面区域为等腰三角形及其内部． 答案：B2．(2011年某某高考)设变量x ，y 满足|x |＋|y |≤1，则x ＋2y 的最大值和最小值分别为( )A ．1，－1B ．2，－2C ．1，－2D ．2，－1解析：法一：特殊值验证：当y ＝1，x ＝0时，x ＋2y ＝2，排除A ，C ；当y ＝－1，x ＝0时，x ＋2y ＝－2，排除D ，故选B.法二：直接求解：如图，先画出不等式|x |＋|y |≤1表示的平面区域，易知当直线x ＋2y ＝u 经过点B ，D 时分别对应u 的最大值和最小值，所以u max ＝2，u min ＝－2. 答案：B3．(2012年某某五校联考)当点M (x ，y )在如图所示的三角形ABC 区域内(含边界)运动时，目标函数z ＝kx ＋y 取得最大值的一个最优解为(1,2)，则实数k 的取值X 围是( ) A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞) B ．[－1,1]C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,1)解析：由目标函数z ＝kx ＋y 得y ＝－kx ＋z ，结合题中图形，要使直线的截距z 最大的一个最优解为(1,2)，则0≤－k ≤k AC ＝1且0≥－k ≥k BC ＝－1，即k ∈[－1,1]． 答案：B4．(2012年某某高考)已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2y ≤2x ≤2y给定．若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为( )A ．3B ．4C ．32D ．4 2解析：画出区域D 如图所示，而z ＝OM →·OA →＝2x ＋y ，∴y ＝－2x ＋z ，令l 0：y ＝－2x 时，平移直线l 0，相应直线过点(2，2)时，截距z 有最大值，故z max ＝2×2＋2＝4. 答案：B5．(2012年全国原创模拟)实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥0，x －y ≥0，则W ＝y －1x ＋1的取值X 围是( )A ．[－12，1) B ．[－1,1)C ．(－1,1)D ．[－12，1]解析：由约束条件知可行域如图，而y －1x ＋1表示(x ，y )和(－1,1)两点连线(－1,1)的斜率，故选A. 答案：A6．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0y ≥a0≤x ≤3表示的平面区域是一个三角形，则a的X 围是( ) A ．a <5 B ．a ≥8C ．5≤a <8D ．a <5或a ≥8解析：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5＝0x ＝0的交点为(0,5)，⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5＝0x ＝3的交点为(3,8)，∴5≤a <8.答案：C二、填空题(共3小题，每小6分，共15分)7．(2011年某某高考)如图，点(x ，y )在四边形ABCD 内部和边界上运动，那么2x －y 的最小值为________．解析：设目标函数为z ＝2x －y ，借助平移，显然点(1,1)满足题意，则2x －y 的最小值为1. 答案：18．若P 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0y ≥0y －x ≤2表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x＋y ＝a 扫过P 中的那部分区域的面积为________．解析：根据题意作图．图中阴影部分为所求的区域，设其面积为S ，S ＝S △AOD －S △ABC ＝12×2×2－12×1×12＝74.答案：749．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x ＋y ≤9，6≤x －y ≤9，则z ＝x ＋2y 的最小值为________．解析：作出不等式表示的可行域如图(阴影部分)．易知直线z ＝x ＋2y 过点B 时，z 有最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝9，2x ＋y ＝3得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－5.所以z min ＝4＋2×(－5)＝－6. 答案：－6三、解答题(共3小题，满分35分)10．求由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤5，2x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0确定的平面区域的面积S 和周长C .解析：由约束条件作出其所确定的平面区域(阴影部分)，其四个顶点为O (0,0)，B (3,0)，A (0,5)，P (1,4)．过P 点作y 轴的垂线，垂足为C .则AC ＝|5－4|＝1，PC ＝|1－0|＝1， OC ＝4，OB ＝3，AP ＝2， PB ＝4－02＋1－32＝2 5.得S △ACP ＝12AC ·PC ＝12，S 梯形COBP ＝12(CP ＋OB )·OC ＝8.所以S ＝S △ACP ＋S 梯形COBP ＝172，C ＝OA ＋AP ＋PB ＋OB ＝8＋2＋2 5.11．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0x －2y ＋4≥03x －y －3≤0，试求z ＝y ＋1x ＋1的最大值和最小值． 解析：由于z ＝y ＋1x ＋1＝y －－1x －－1，所以z 的几何意义是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率，因此y ＋1x ＋1的最值就是点(x ，y )与M (－1，－1)连线的斜率的最值．结合图可知：直线MB 的斜率最大，直线MC 的斜率最小，即z max ＝k MB ＝3，此时x ＝0，y ＝2；z min ＝k MC ＝12，此时x ＝1，y ＝0.12．已知甲、乙、丙三种食物的维生素A 、B 含量及成本如下表，若用甲、乙、丙三种食物各x 千克、y 千克、z 千克配成100千克混合食物，并使混合食物内至少含有56 000单位维生素A 和63 000单位维生素B.甲 乙 丙 维生素A(单位/千克) 600 700 400 维生素B(单位/千克) 800 400 500 成本(元/千克)1194(1)用x ，y (2)确定x ，y ，z 的值，使成本最低． 解析：(1)依题意得c ＝11x ＋9y ＋4z ， 又x ＋y ＋z ＝100， ∴c ＝400＋7x ＋5y .(2)由⎩⎪⎨⎪⎧600x ＋700y ＋400z ≥56 000800x ＋400y ＋500z ≥63 000及z ＝100－x －y ，得⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋6y ≥3203x －y ≥130∴7x ＋5y ≥450，∴c ＝400＋7x ＋5y ≥400＋450＝850，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋6y ＝320，3x －y ＝130，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50y ＝20时等号成立．∴当x ＝50千克，y ＝20千克，z ＝30千克时，c ＝11×50＋9×20＋4×30＝850，即混合物成本最低为850元．。

2013年高考第一轮复习数学北师(江西版)理第十一章算法初步、推理与证明、复数单元检测(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2011安徽高考，文1)设i 是虚数单位，复数1＋a i2－i为纯虚数，则实数a 为( )．A ．2B ．－2C ．－12D ．122．如图是一个算法的程序框图，该算法输出的结果是( )．A ．12B ．23C ．34D ．453．观察下图中图形的规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )．4．下面程序运行的结果是( )．A ．5 050B ．5 049C ．3D ．2 5．下列推理是归纳推理的是( )．A ．A ，B 为定点，动点P 满足|PA |＋|PB |＝2a ＞|AB |，得动点P 的轨迹为椭圆 B ．由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积为πr 2，猜出椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的面积S ＝πabD ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇6．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1＋2i 1－i 1＋i ＝0的复数z 的共轭复数所对应的点在( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．如图，程序框图的输出结果为170，那么在判断框中①表示的“条件”应该是( )．A ．i ＞5B ．i ≥7C ．i ≥9D ．i ＞98．在数列{a n }中，a 1＝0，a n ＋1＝2a n ＋2，则猜想a n ＝( )．A ．2n －2－12B ．2n－2C ．2n －1＋1D ．2n ＋1－49．若三角形内切圆半径为r ，三边长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积为S ＝12r (a ＋b ＋c )．根据类比思想，若四面体内切球半径为R ，四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，则这个四面体的体积为( )．A ．V ＝16R (S 1＋S 2＋S 3＋S 4)B ．V ＝14R (S 1＋S 2＋S 3＋S 4)C ．V ＝13R (S 1＋S 2＋S 3＋S 4)D ．V ＝12R (S 1＋S 2＋S 3＋S 4)10．(2011山东高考，理12)设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若13A A＝λ12A A (λ∈R )，14A A ＝μ12A A (μ∈R )，且1λ＋1μ＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1，A 2.已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B ，则下面说法正确的是( )．A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C ，D 可能同时在线段AB 上D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．i 是虚数单位，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 4＝__________.12．定义某种运算⊗，S ＝a ⊗b 的运算原理如图所示．则0⊗(－1)＝__________；设f (x )＝(0⊗x )x －(2⊗x )，则f (1)＝__________.13．将正整数12分解成两个正整数的乘积有1×12,2×6,3×4三种，其中3×4是这三种分解中，两数差的绝对值最小的，我们称3×4为12的最佳分解．当p ×q (p ≤q 且p ，q ∈N *)是正整数n 的最佳分解时，我们规定函数f (n )＝p q ，例如f (12)＝34.关于函数f (n )有下列叙述：①f (7)＝17；②f (24)＝38；③f (28)＝47；④f (144)＝916.其中正确的序号为__________(填入所有正确的序号)． 14．对于命题：若O 是线段AB 上一点，则有|OB |OA ＋|OA |OB＝0.将它类比到平面的情形是：若O 是△ABC 内一点，则有S △OBC OA ＋S △OCA OB ＋S △OBA OC＝0.将它类比到空间的情形应该是：若O 是四面体ABCD 内一点，则有__________．15．在计算“11×2＋12×3＋…＋1n (n ＋1)(n ∈N *)”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k 项：1k (k ＋1)＝1k －1k ＋1，由此得11×2＝11－12，12×3＝12－13，…，1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，将上述各式相加，得11×2＋12×3＋…＋1n (n ＋1)＝1－1n ＋1.类比上述方法，请计算“11×2×3＋12×3×4＋…＋1n (n ＋1)(n ＋2)(n ∈N *)”，其结果为__________．三、解答题(本大题共6小题，共75分)16．(12分)已知集合A ＝{1,2，(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i}(其中i 是虚数单位)，集合B ＝{－1,3}，A ∩B ＝{3}．求实数a 的值．17．(12分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x <0，2－5x ，x ≥0，写出求该函数的函数值的算法，并画出程序框图．18．(12分)已知α，β≠k π＋π2(k ∈Z )，且sin θ＋cos θ＝2sin α，①sin θcos θ＝sin 2β，②求证：1－tan 2α1＋tan 2α＝1－tan 2β2(1＋tan 2β).19．(12分)已知函数f (x )＝kx ＋b 的图象与x ，y 轴分别相交于点A ，B ，AB＝2i ＋2j (i ，j 分别是与x ，y 轴正半轴同方向的单位向量)，函数g (x )＝x 2－x －6. (1)求k ，b 的值；(2)当x 满足f (x )＞g (x )时，求函数g (x )＋1f (x )的最小值．20．(13分)已知a ，b ，c 是互不相等的实数，且都不为零．求证：由y ＝ax 2＋2bx ＋c ，y ＝bx 2＋2cx ＋a 和y ＝cx 2＋2ax ＋b 确定的三条抛物线至少有一条与x 轴有两个不同的交点．21．(14分)如图，梯形ABCD 和正△PAB 所在平面互相垂直，其中AB ∥DC ，AD ＝CD ＝12AB ，且O 为AB 中点．(1)求证：BC ∥平面POD ； (2)求证：AC ⊥PD .参考答案一、选择题1．A 解析：1＋a i 2－i ＝(1＋a i)(2＋i)(2－i)(2＋i)＝(2－a )＋(2a ＋1)i 5＝2－a 5＋2a ＋15i 为纯虚数，∴2－a 5＝0，∴a ＝2.2．C 解析：n ＝11×2＋12×3＋13×4＝1－12＋12－13＋13－14＝34.3．A 解析：表格中的图形都是矩形、圆、正三角形的不同排列，规律是每一行中只有一个图形是空心的，其他两个都是填充颜色的，第三行中已经有正三角形是空心的了，因此另外一个应该是阴影矩形．4．A 解析：读程序知，该程序的功能是求S ＝1＋2＋3＋…＋100的值，由等差数列的求和公式S ＝100×(1＋100)2＝5 050.5．B 解析：从S 1，S 2，S 3猜想出数列的前n 项和S n 的表达式，是从特殊到一般的推理，所以B 是归纳推理．6．A 解析：由已知得z (1＋i)－(1＋2i)·(1－i)＝0，∴z ＝(1＋2i)(1－i)1＋i＝(1＋2i)(－i)＝2－i.∴z ＝2＋i ，即z 对应的点(2,1)在第一象限．7．C 解析：依次运行程序可得当S ＝2时，i ＝3；S ＝10时，i ＝5，…；S ＝170时，i ＝9，故判断框内可填入i ≥9.8．B 解析：∵a 1＝0＝21－2，∴a 2＝2a 1＋2＝2＝22－2， a 3＝2a 2＋2＝4＋2＝6＝23－2， a 4＝2a 3＋2＝12＋2＝14＝24－2， ……猜想a n ＝2n－2.9．C 解析：平面几何中结论的推导是面积分割，类比到空间几何中，应用体积分割的方法即可得到答案．10．D 解析：∵C ，D 调和分割点A ，B ， ∴AC ＝λAB ，AD ＝μAB ，且1λ＋1μ＝2(*)，不妨设A (0,0)，B (1,0)， 则C (λ，0)，D (μ，0)，对A ，若C 为AB 的中点，则AC ＝12AB ，即λ＝12，将其代入(*)式，得1μ＝0，这是无意义的，故A 错误；对B ，若D 为AB 的中点，则μ＝12，同理得1λ＝0，故B 错误；对C ，要使C ，D 同时在线段AB 上，则0＜λ＜1且0＜μ＜1，∴1λ＞1，1μ＞1，∴1λ＋1μ＞2，这与1λ＋1μ＝2矛盾；故C 错误；显然D 正确． 二、填空题11．1 解析：41i 1i +⎛⎫ ⎪-⎝⎭＝42(1i)(1i)(1i)⎡⎤+⎢⎥+-⎣⎦＝i 4＝1.12．1 －1 解析：根据框图可知0(－1)＝|－1|＝1；f (x )＝(0x )x －(2x )⇒f (1)＝(01)－(21)＝0－1＝－1.13．①③ 解析：因为7＝1×7，所以f (7)＝17，①正确；24＝3×8＝4×6＝2×12，最佳分解应该是4×6，所以f (24)＝46＝23，所以②错误；同理③正确；对于④，144＝12×12，所以f (144)＝1212＝1.14．V O －BCD OA ＋V O －ACD OB ＋V O －ABD OC ＋V O －ABC OD＝0 解析：由线段到平面，线段的长类比为面积，由平面到空间，面积可以类比为体积，由此可以类比得一命题为O 是四面体ABCD内一点，则有V O －BCD OA ＋V O －ACD OB ＋V O －ABD OC ＋V O －ABC OD＝0.15．n 2＋3n4(n ＋1)(n ＋2)解析：∵1n (n ＋1)(n ＋2)＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n (n ＋1)－1(n ＋1)(n ＋2)， ∴11×2×3＋12×3×4＋…＋1n (n ＋1)(n ＋2) ＝12⎣⎢⎡11×2－12×3＋12×3－13×4＋…＋⎦⎥⎤1n (n ＋1)－1(n ＋1)(n ＋2) ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤11×2－1(n ＋1)(n ＋2) ＝n 2＋3n 4(n ＋1)(n ＋2). 三、解答题16．解：∵A ∩B ＝{3}，∴3∈A .∴(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i ＝3.根据复数相等，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a －1＝3，a 2－5a －6＝0，解得a ＝－1.17．解：算法如下： 第一步，输入x .第二步，如果x ＜0，那么f (x )＝3x －1； 否则f (x )＝2－5x .第三步，输出函数值f (x )． 程序框图如下：18．证明：因为(sin θ＋cos θ)2－2sin θ·cos θ＝1，所以将①②代入，可得4sin 2α－2sin 2β＝1.③另一方面，要证1－tan 2α1＋tan 2α＝1－tan 2β2(1＋tan 2β)， 即证1－sin 2αcos 2α1＋sin 2αcos 2α＝1－sin 2βcos 2β2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin 2βcos 2β， 即证cos 2α－sin 2α＝12(cos 2β－sin 2β)，即证1－2sin 2α＝12(1－2sin 2β)，即证4sin 2α－2sin 2β＝1.由于上式与③相同，于是问题得证．19．解：(1)由已知得k ≠0，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－bk，0，B (0，b )，则AB ＝(bk，b )，于是⎩⎪⎨⎪⎧b k＝2，b ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝2.(2)由f (x )＞g (x )，得x ＋2＞x 2－x －6，即(x ＋2)(x －4)＜0，得－2＜x ＜4. g (x )＋1f (x )＝x 2－x －5x ＋2＝x ＋2＋1x ＋2－5， 由于x ＋2＞0，则g (x )＋1f (x )≥－3，其中等号当且仅当x ＋2＝1，即x ＝－1时成立． ∴g (x )＋1f (x )的最小值是－3.20．证明：假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x 轴有两个不同的交点(即任何一条抛物线与x 轴没有两个不同的交点)，由y ＝ax 2＋2bx ＋c ，y ＝bx 2＋2cx ＋a ，y ＝cx 2＋2ax ＋b ，得Δ1＝(2b )2－4ac ≤0，Δ2＝(2c )2－4ab ≤0，Δ3＝(2a )2－4bc ≤0.上述三个同向不等式相加得，4b 2＋4c 2＋4a 2－4ac －4ab －4bc ≤0，∴2a 2＋2b 2＋2c 2－2ab －2bc －2ac ≤0.∴(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≤0.∴a ＝b ＝c ，这与题设a ，b ，c 互不相等矛盾，因此假设不成立，从而命题得证． 21．证明：(1)因为O 为AB 中点，所以BO ＝12AB .又AB ∥CD ，CD ＝12AB ，所以有CD ＝BO ，CD ∥BO ， 所以ODCB 为平行四边形， 所以BC ∥OD .又DO ⊂平面POD ，BC 平面POD ， 所以BC ∥平面POD . (2)连接OC .因为CD ＝BO ＝AO ，CD ∥AO ， 所以ADCO 为平行四边形，又AD ＝CD ，所以ADCO 为菱形，所以AC ⊥DO ，因为在正△PAB 中，O 为AB 中点， 所以PO ⊥AB .又因为平面ABCD ⊥平面PAB ，平面ABCD ∩平面PAB ＝AB ，所以PO ⊥平面ABCD ， 而AC ⊂平面ABCD ，所以PO ⊥AC . 又PO ∩DO ＝O ， 所以AC ⊥平面POD .又PD ⊂平面POD ，所以AC ⊥PD .。

（江西版）2013年高考数学总复习 坐标系与参数方程课时演练1．(2011·江西卷)若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．2．(2012·北京卷)直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝－1－t (t 为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)的交点个数为________．3．(2012·江西卷)曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．4．在极坐标系中，已知两点A ，B 的极坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫3，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6，则△AOB (其中O 为极点)的面积为________．5．在极坐标系中，圆心在(2，π)且过极点的圆的方程为________．6．(2012·湖南卷)在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a ＞0)的一个交点在极轴上，则a ＝________.7．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1的交点的极坐标为________．8．(2012·安徽卷)在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝π6(ρ∈R )的距离是________．9．(2012·湖北卷)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线θ＝π4与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －2(t 为参数)相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点的直角坐标为________．10．已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，且曲线C 与直线x－3y ＝0相交于两点A ，B ，则线段AB 的长是________．11．(2011·天津卷)已知拋物线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 2，y ＝8t(t 为参数)．若斜率为1的直线经过拋物线C 的焦点，且与圆(x －4)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r ＝________.12．(2011·陕西卷)直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θy ＝sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB |的最小值为________．13．(2012·湖南卷)在直角坐标系xOy中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t(t 为参数)与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ(θ为参数，a ＞0)有一个公共点在x 轴上，则a ＝________.14．(2012·广东东莞高级中学二模)在极坐标系中，直线ρ(cos θ－sin θ)＋2＝0被曲线C ：ρ＝2所截得弦的中点的极坐标为________．15．(2012·陕西西工大附中适应性训练)在已知极坐标系中，已知圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0相切，则实数a ＝________.16．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ＋4y ＝22t (参数t ∈R )，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝4cos θ，点O 为坐标原点．设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，则OA →·OB →＝________.答案：1．解析： ∵ρ＝2sin θ＋4cos θ，∴ρ2＝2ρsin θ＋4ρcos θ. ∴x 2＋y 2＝2y ＋4x ，即x 2＋y 2－2y －4x ＝0. 答案： x 2＋y 2－2y －4x ＝02．解析： 直线的普通方程为x ＋y －1＝0，圆的普通方程为x 2＋y 2＝32，圆心到直线的距离d ＝22＜3，故直线与圆的交点个数是2. 答案： 23．解析： 将x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ代入x 2＋y 2－2x ＝0得ρ2－2ρcos θ＝0，整理得ρ＝2cos θ.答案： ρ＝2cos θ4．解析： 由题意得S △AOB ＝12×3×4×sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π6＝12×3×4×sin π6＝3.答案： 3 5．解析： 如图，O 为极点，OB 为直径，A (ρ，θ)，则∠ABO ＝θ－90°，OB ＝22＝ρθ－，化简得ρ＝－22cos θ.答案： ρ＝－22cos θ6．解析： 曲线C 1的直角坐标方程为2x ＋y ＝1，曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝a 2，C 1与x 轴的交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，0，此点也在曲线C 2上，代入解得a ＝22.答案：227．解析： 因为ρ＝2sin θ的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，ρcos θ＝－1的直角坐标方程为x ＝－1，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，即交点为(－1,1)．又0≤θ＜2π，因此这两条曲线的交点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，3π4. 答案： ⎝⎛⎭⎪⎫2，3π48．解析： 将ρ＝4sin θ化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4，圆心为(0,2)．将θ＝π6(ρ∈R)化成直角坐标方程为x －3y ＝0，由点到直线的距离公式可知，圆心到直线的距离d ＝|0－23|2＝ 3.答案：39．解析： 记A (x 1， y 1)，B (x 2，y 2)，将θ＝π4转化为直角坐标方程为y ＝x (x ≥0)，曲线为y ＝(x －2)2，联立上述两个方程得x 2－5x ＋4＝0，所以x 1＋x 2＝5，故线段AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，52. 答案： ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，52 10．解析： 曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)表示以(2,0)为圆心，2为半径的圆．则圆心到直线x －3y ＝0的距离d ＝|2－3×0|12＋32＝1，∴直线被C 截得的弦长|AB |＝2r 2－d 2＝222－12＝2.答案： 211．解析： 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 2，y ＝8t 得y 2＝8x ，拋物线C 的焦点坐标为F (2,0)，直线方程为y＝x －2，即x －y －2＝0.因为直线y ＝x －2与圆(x －4)2＋y 2＝r 2相切， 由题意得r ＝|4－0－2|2＝ 2.答案：212．解析： 将C 1和C 2分别化为直角坐标方程为C 1：(x －3)2＋y 2＝1，C 2：x 2＋y 2＝1，所以两圆心之间的距离为3.又由于A ∈C 1，B ∈C 2，所以|AB |的最小值为3－2＝1.答案： 113．解析： ∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t ，消去参数t 得2x ＋y －3＝0.又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ，消去参数θ得x 2a 2＋y 29＝1.方程2x ＋y －3＝0中，令y ＝0得x ＝32，将⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0代入x 2a 2＋y 29＝1，得94a 2＝1.又a ＞0，∴a ＝32.答案： 3214．解析：直线ρ(cos θ－sin θ)＋2＝0化为直角坐标方程为x －y ＋2＝0，曲线C ：ρ＝2化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝4，如图，直线被圆截得弦AB ，中点为M ，则|OA |＝2，|OB |＝2，从而|OM |＝2，∠MOx ＝3π4，∴点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4. 答案： ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π415．解析： 把圆ρ＝2cos θ化为普通方程得x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0化为普通方程得3x ＋4y ＋a ＝0，∵直线与圆相切，∴d ＝|3＋a |5＝r ＝1，∴a ＝2或－8. 答案： 2或－816．解析： 直线l 的普通方程为y ＝x －4，曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x . 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x y ＝x －4消去y 得x 2－12x ＋16＝0，∴x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝16，∴y 1y 2＝(x 1－4)(x 2－4)＝x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16， ∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝2x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16＝0. 答案： 0。

2013年高考第一轮复习数学北师(江西版)理第十一章11.5 数学归纳法练习一、选择题1．用数学归纳法证明1＋2＋…＋(2n ＋1)＝(n ＋1)(2n ＋1)时，在验证n ＝1成立时，左边所得的代数式是( )．A ．1B ．1＋3C ．1＋2＋3D ．1＋2＋3＋42．用数学归纳法证明“1＋12＋13＋…＋12－1＜n (n ∈N ＋，n ＞1)”时，由n ＝k (k ＞1)不等式成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的项数是( )．A ．2k －1B ．2k －1C ．2kD ．2k＋13．用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1＞12764成立时，起始值n 至少应取为( )．A ．7B ．8C ．9D ．104．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n能被x ＋y 整除”的第二步是( )． A ．假设n ＝2k ＋1时正确，再推n ＝2k ＋3时正确(其中k ∈N ＋) B ．假设n ＝2k －1时正确，再推n ＝2k ＋1时正确(其中k ∈N ＋) C ．假设n ＝k 时正确，再推n ＝k ＋1时正确(其中k ∈N ＋)D ．假设n ≤k (k ≥1)时正确，再推n ＝k ＋2时正确(其中k ∈N ＋)5．在数列{a n }中，a 1＝13，且S n ＝n (2n －1)a n ，通过求a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式为( )．A ．1(n －1)(n ＋1)B ．12n (2n ＋1)C ．1(2n －1)(2n ＋1)D ．1(2n ＋1)(2n ＋2)6．设函数f (n )＝(2n ＋9)·3n ＋1＋9，当n ∈N ＋时，f (n )能被m (m ∈N ＋)整除，猜想m 的最大值为( )．A ．9B ．18C ．27D ．36 二、填空题7．用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a(a ≠1，且n ∈N ＋)”，在验证n ＝1时，左边计算所得的结果是__________．8．用数学归纳法证明：(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(n ＋n )＝n (3n ＋1)2(n ∈N ＋)的第二步中，当n ＝k ＋1时等式左边与n ＝k 时等式左边的差等于__________．9．在△ABC 中，不等式1A ＋1B ＋1C ≥9π成立；在四边形ABCD 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ≥162π成立；在五边形ABCDE 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ＋1E ≥253π成立……猜想在n 边形A 1A 2…A n 中，有不等式__________成立． 三、解答题10．用数学归纳法证明：12＋32＋52＋…＋(2n －1)2＝13n (4n 2－1)．11．试比较2n ＋2与n 2的大小(n ∈N ＋)，并用数学归纳法证明你的结论． 12．如图，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，…，P n (x n ，y n )(0＜y 1＜y 2＜…＜y n )是曲线C ：y 2＝3x (y ≥0)上的n 个点，点A i (a i,0)(i ＝1,2，3，…，n )在x 轴的正半轴上，且△A i －1A i P i 是正三角形(A 0是坐标原点)．(1)写出a 1，a 2，a 3；(2)求出点A n (a n,0)(n ∈N ＋)的横坐标a n 关于n 的表达式并证明．参考答案一、选择题1．C 解析：左边表示从1开始，连续2n ＋1个正整数的和，故n ＝1时，表示1＋2＋3的和．2．C 解析：左边的特点：分母逐渐增加1，末项为12－1；由n ＝k ，末项为12－1到n ＝k＋1末项为12k ＋1－1＝12k －1＋2k ，显然增加的项数为2k.3．B 解析：∵1＋12＋14＋…＋127－1＝7112112⎛⎫- ⎪⎝⎭-＝2－126＝27－126＝12764， 而1＋12＋14＋…＋128－1＞12764，故起始值n 至少取8.4．B 解析：∵n 为正奇数， ∴n ＝2k －1(k ∈N ＋)．5．C 解析：由a 1＝13，S n ＝n (2n －1)a n 求得a 2＝115＝13×5，a 3＝135＝15×7，a 4＝163＝17×9.猜想a n ＝1(2n －1)(2n ＋1).6．D 解析：f (n ＋1)－f (n )＝(2n ＋11)·3n ＋2－(2n ＋9)·3n ＋1＝4(n ＋6)·3n ＋1， 当n ＝1时，f (2)－f (1)＝4×7×9为最小值，据此可猜想D 正确． 二、填空题7．1＋a ＋a 2解析：首先观察等式两边的构成情况，它的左边是按a 的升幂顺序排列的，共有n ＋2项．因此当n ＝1时，共有3项，应该是1＋a ＋a 2.8．3k ＋2 解析：当n ＝k 时，左边＝(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋(k ＋k )，当n ＝k ＋1时， 左边＝(k ＋1＋1)＋(k ＋1＋2)＋…＋(k ＋1＋k ＋1)＝(k ＋2)＋(k ＋3)＋…＋2k ＋(2k ＋1)＋(2k ＋2)，所以其差为(2k ＋1)＋(2k ＋2)－(k ＋1)＝3k ＋2.9．1A 1＋1A 2＋…＋1A n ≥n 2(n －2)π 三、解答题10．证明：(1)当n ＝1时，左边＝12＝1，右边＝13×1×(4－1)＝1，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即12＋32＋52＋…＋(2k －1)2＝13k (4k 2－1)．则当n ＝k ＋1时，12＋32＋52＋…＋(2k －1)2＋(2k ＋1)2＝13k (4k 2－1)＋(2k ＋1)2＝13k (4k2－1)＋4k 2＋4k ＋1＝13k [4(k ＋1)2－1]－13k ·4(2k ＋1)＋4k 2＋4k ＋1 ＝13k [4(k ＋1)2－1]＋13(12k 2＋12k ＋3－8k 2－4k ) ＝13k [4(k ＋1)2－1]＋13[4(k ＋1)2－1] ＝13(k ＋1)[4(k ＋1)2－1]． 即当n ＝k ＋1时等式也成立．由(1)，(2)可知，对一切n ∈N ＋，等式都成立．11．解：当n ＝1时，21＋2＝4＞n 2＝1，当n ＝2时，22＋2＝6＞n 2＝4，当n ＝3时，23＋2＝10＞n 2＝9，当n ＝4时，24＋2＝18＞n 2＝16，由此可以猜想，2n ＋2＞n 2(n ∈N *)成立． 下面用数学归纳法证明：(1)当n ＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1，左边＞右边，所以原不等式成立．当n ＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，左边＞右边；当n ＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，左边＞右边．(2)假设n ＝k (k ≥3且k ∈N *)时，不等式成立，即2k ＋2＞k 2.那么n ＝k ＋1时， 2k ＋1＋2＝2·2k ＋2＝2(2k ＋2)－2＞2·k 2－2.又因为2k 2－2－(k ＋1)2＝k 2－2k －3＝(k －3)(k ＋1)≥0，即2k 2－2≥(k ＋1)2，故2k ＋1＋2＞(k ＋1)2成立．根据(1)和(2)，可知原不等式对于任何n ∈N *都成立． 12．解：(1)a 1＝2，a 2＝6，a 3＝12.(2)依题意，得x n ＝a n －1＋a n2，y n ＝3·a n －a n －12，由此及2n y ＝3·x n 得212n n a a --⎫⎪⎭＝32(a n ＋a n －1)， 即(a n －a n －1)2＝2(a n －1＋a n )．由(1)可猜想：a n ＝n (n ＋1)(n ∈N ＋)． 下面用数学归纳法予以证明： ①当n ＝1时，命题显然成立．②假设当n ＝k (k ∈N ＋)时命题成立，即有a k ＝k (k ＋1)，则当n ＝k ＋1时，由归纳假设及(a k ＋1－a k )2＝2(a k ＋a k ＋1)，即a k ＋12－2(k 2＋k ＋1)a k ＋1＋[k (k －1)]·[(k ＋1)(k ＋2)]＝0，解之，得a k ＋1＝(k ＋1)(k ＋2)〔a k ＋1＝k (k －1)＜a k 不合题意，舍去〕，即当n ＝k ＋1时，命题成立．由①、②可知，命题a n ＝n (n ＋1)(n ∈N ＋)成立．。

2013年高考第一轮复习数学北师(江西版)理第三章3.4 基本不等式及其应用练习一、选择题1．下列命题中正确的是( )．A ．函数y ＝x ＋1x的最小值为2B ．函数y ＝x 2＋3x 2＋2的最小值为2 C ．函数y ＝2－3x －4x (x ＞0)的最小值为2－4 3 D ．函数y ＝2－3x －4x(x ＞0)的最大值为2－4 32．已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )．A ．2B ．4C ．6D ．83．(2012安徽江南十校联考)设M 是△ABC 内一点，且S △ABC 的面积为1，定义f (M )＝(m ，n ，p )，其中m ，n ，p 分别是△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积，若f (M )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，x ，y ，则1x ＋4y 的最小值是( )．A ．8B ．9C ．16D ．184．设a ＞0，b ＞0，且不等式1a ＋1b ＋ka ＋b≥0恒成立，则实数k 的最小值等于( )．A ．0B ．4C ．－4D ．－25．若0＜x ＜32，则y ＝x (3－2x )的最大值是( )．A ．916B ．94C ．2D ．986．若a ＞0，b ＞0，且(a －1)(b －1)＜0，则log a b ＋log b a 的取值范围是( )． A ．(－∞，－2] B ．[2，＋∞)C ．[－2,2]D ．[－2,0)∪(0,2] 二、填空题7．已知关于x 的不等式2x ＋2x －a≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为__________．8．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝__________.9．当点(x ，y )在直线x ＋3y －4＝0上移动时，表达式3x ＋27y＋2的最小值为__________． 三、解答题10．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，BC 边上的高AD ＝BC ，求b c ＋c b的取值范围．11．已知lg(3x )＋lg y ＝lg(x ＋y ＋1)． (1)求xy 的最小值； (2)求x ＋y 的最小值．12．某工厂最近用50万元购买了一台德国仿型铣床，在买回来以后的第二天投入使用，使用后的第t 天应付的保养费是(t ＋500)元，(买来当天的保养维修费以t ＝0计算)，机器从买来当天到报废共付的保养维修费与购买机器费用的和平均摊到每一天的费用叫作每天的平均损耗．当平均损耗达到最小值时，机器报废最划算．(1)将每天平均损耗y(元)表示为天数x的函数；(2)求该机器买回来后多少天报废最划算．参考答案一、选择题1．D 解析：y ＝x ＋1x的定义域为{x |x ≠0}，当x ＞0时，有最小值2，当x ＜0时，有最大值－2，故A 不正确；y ＝x 2＋3x 2＋2＝x 2＋2＋1x 2＋2≥2，因为x 2＋2≥2，所以取不到“＝”，故B 不正确；∵x ＞0时，3x ＋4x ≥2·3x ·4x＝43，当且仅当3x ＝4x ，即x ＝233时取“＝”，∴y ＝2－⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋4x 有最大值2－43，故C 不正确，D 正确．2．B 解析：∵x ，y ∈(0，＋∞)，a ＞0，∴(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋ax y≥1＋a ＋2a (当且仅当y ＝ax 时等号成立)，因此，若使不等式(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则需1＋a ＋2a ＝(a＋1)2≥9，解得a ≥4，即正实数a 的最小值为4.故选B. 3．D 解析：由题意12＋x ＋y ＝1，即x ＋y ＝12，则1x ＋4y＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y (x ＋y )＝2⎝⎛⎭⎪⎫1＋y x＋4x y＋4＝2⎝⎛⎭⎪⎫5＋y x＋4x y ≥2(5＋24)＝18.故选D.4．C 解析：由a ＞0，b ＞0，1a ＋1b ＋k a ＋b ≥0，得k ≥－(a ＋b )2ab ，而(a ＋b )2ab ＝b a ＋a b＋2≥4(a＝b 时取等号)，所以－(a ＋b )2ab≤－4.因此要使k ≥－(a ＋b )2ab恒成立，应有k ≥－4，即实数k 的最小值等于－4.故选C.5．D 解析：∵0＜x ＜32，∴32－x ＞0.∴y ＝x (3－2x )＝2·x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ≤22322x x ⎛⎫+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭＝98，当且仅当x ＝32－x ，即x ＝34时，取“＝”，∴函数y ＝x (3－2x )的最大值为98.6．A 解析：当a ＞0，b ＞0，且(a －1)(b －1)＜0时，log a b ＜0，log b a ＜0， 所以log a b ＋log b a ＝－[(－log a b )＋(－log b a )]，而(－log a b )＋(－log b a )≥2， 故有log a b ＋log b a ≤－2.故选A. 二、填空题7．32 解析：因为x ＞a ，所以2x ＋2x －a ＝2(x －a )＋2x －a ＋2a ≥22(x －a )·2x －a＋2a ＝2a ＋4(当且仅当x ＝a ＋1时取等号)，即2a ＋4≥7，所以a ≥32，即a 的最小值为32.8．20 解析：该公司一年购买货物400吨，每次都购买x 吨，则需要购买400x次，又运费为4万元/次，所以一年的总运费为400x·4万元，又一年的总存储费用为4x 万元，则一年的总运费与总存储费用之和为400x ·4＋4x 万元，400x ·4＋4x ≥160，当1 600x＝4x ，即x ＝20时，一年的总运费与总存储费用之和最小．9．20 解析：由x ＋3y －4＝0，得x ＋3y ＝4，∴3x＋27y＋2＝3x＋33y＋2≥23x ·33y＋2＝23x ＋3y ＋2＝234＋2＝20，当且仅当3x ＝3y且x ＋3y －4＝0，即x ＝2，y ＝23时取“＝”．三、解答题10．解：因为b c ＋c b ＝b 2＋c 2bc ＝a 2＋2bc cos A bc ＝a 2bc ＋2cos A ，S △ABC ＝12·AD ·BC ＝12a 2，又12a 2＝S △ABC ＝12bc sin A ， 所以a 2bc ＝sin A ，故b c ＋c b＝sin A ＋2cos A ＝5sin(A ＋φ)≤5⎝⎛当且仅当A ＋φ＝⎭⎪⎫π2时等号成立. 又b c ＋cb ≥2b c ·cb ＝2， 所以2≤b c＋c b≤5，即b c ＋c b的取值范围是[2，5]．11．解：由lg(3x )＋lg y ＝lg(x ＋y ＋1)，得⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，3xy ＝x ＋y ＋1.(1)∵x ＞0，y ＞0，∴3xy ＝x ＋y ＋1≥2xy ＋1. ∴3xy －2xy －1≥0，即3(xy )2－2xy －1≥0， ∴(3xy ＋1)(xy －1)≥0. ∴xy ≥1.∴xy ≥1.当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立． ∴xy 的最小值为1.(2)∵x ＞0，y ＞0，∴x ＋y ＋1＝3xy ≤3·22x y +⎛⎫⎪⎝⎭.∴3(x ＋y )2－4(x ＋y )－4≥0. ∴[3(x ＋y )＋2][(x ＋y )－2]≥0. ∴x ＋y ≥2.当且仅当x ＝y ＝1时取等号， ∴x ＋y 的最小值为2.12．解：(1)买回后第一天应付维修保养费a 1＝500元； 第二天应付维修保养费 a 2＝(500＋1)元；第三天应付维修保养费 a 3＝(500＋2)元； …第x 天应付维修保养费 a x ＝[500＋(x －1)]元．由此可知{a n }是首项a 1＝500，公差d ＝1的等差数列，∴前x 天共付维修保养费S x ＝a 1x ＋x (x －1)2d ＝500x ＋x (x －1)2，因而，每天平均损耗y (元)与时间x (天)的函数关系式为y ＝500x ＋x (x －1)2＋500 000x(x ∈N ＋)，即y ＝x 2＋500 000x ＋9992(x ∈N ＋)．(2)y ＝x 2＋500 000x ＋9992≥2x 2·500 000x ＋9992＝1 000＋9992＝2 9992，当且仅当x 2＝500 000x，即x ＝1 000时取等号，∴该机器买回来1 000天时，报废最合算．。

2013年高考第一轮复习数学北师(江西版)理第十一章11.3 合情推理与演绎推理练习一、选择题1．下列推理过程是演绎推理的是( )．A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°B ．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人C ．由平面三角形的性质推测空间四面体的性质D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12(a n －1＋1a n －1)(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式2．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如下图)，试求第七个三角形数是( )．A ．27B ．28C ．29D ．303．定义一种运算“*”：对于正整数n 满足以下运算性质： (1)1]( )．A ．nB ．n ＋1C ．n －1D ．n 24．(2011江西高考，理7)观察下列各式：55＝3 125，56＝15 625，57＝78 125，…，则52 011的末四位数字为( )．A ．3 125B ．5 625C ．0 625D ．8 1255．如图，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB ⊥AB 时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e ＝( )．A ．5＋12B ．5－12C ．5－1D ．5＋16．设f (x )＝1＋x1－x ，又记f 1(x )＝f (x )，f k ＋1(x )＝f [f k (x )]，k ＝1,2，…，则f 2 012(x )＝( )．A ．－1xB ．xC ．x －1x ＋1D ．1＋x 1－x二、填空题7．(2011陕西咸阳高考模拟三)在平面几何中，已知“正三角形内一点到三边距离之和是一个定值”，类比到空间写出你认为合适的结论：__________.8．(2012山东菏泽高考模拟)在△ABC 中，若BC ⊥AC ，AC ＝b ，BC ＝a ，则△ABC 的外接圆半径r ＝a 2＋b 22.将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体S －ABC 中，若SA ，SB ，SC 两两垂直，SA ＝a ，SB ＝b ，SC ＝c ，则四面体S －ABC 的外接球半径R ＝__________.9．观察下列不等式：1＞12，1＋12＋13＞1,1＋12＋13＋…＋17＞32，1＋12＋13＋…＋115＞2,1＋12＋13＋…＋131＞52，…，由此猜想第n 个不等式为______． 三、解答题10．类比实数的加法和向量的加法，列出它们相似的运算性质．11．已知椭圆具有性质：若M ，N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．试对双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)写出具有类似特性的性质，并加以证明．12．已知各项均不相等的等差数列{a n }的前四项和S 4＝14，且a 1，a 3，a 7成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n 为数列{1a n a n ＋1}的前n 项和，若T n ≤λa n ＋1对一切n ∈N ＋恒成立，求实数λ的最小值．参考答案一、选择题1．A 解析：C 是类比推理，B 与D 均为归纳推理，而合情推理包括类比推理和归纳推理，故B ，C ，D 都不是演绎推理．而A 是由一般到特殊的推理形式，故A 是演绎推理．2．B 解析：观察归纳可知第n 个三角形数为1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n (n ＋1)2，∴第七个三角形数为7×(7＋1)2＝28.3．A 解析：由(n ＋1)*1＝n *1＋1，得n *1＝(n －1)*1＋1＝(n －2)*1＋2＝…＝1*1＋(n －1). 又∵1*1＝1，∴n *1＝n .4．D 解析：由观察易知55的末四位数字为3125,56的末四位数字为5625,57的末四位数字为8125,58的末四位数字为0625,59的末四位数字为3125，故周期T ＝4.又由于2 011＝502×4＋3，因此52 011的末四位数字是8125.5．A 解析：在“黄金双曲线”中，B (0，b )，F (－c ,0)，A (a ,0)．∵FB ⊥AB ，∴FB ·AB＝0.∴b 2＝ac .而b 2＝c 2－a 2，∴c 2－a 2＝ac .在等号两边同除以a 2得e 2－e －1＝0，又e ＞1，∴解得e ＝5＋12. 6．B 解析：计算21111()=1111xx x f x f xx x+++⎛⎫-= ⎪+-⎝⎭--＝－1x ， 31111()=111x x f x f x x x--⎛⎫-== ⎪+⎝⎭+， 4111()==111x x f x x x x -++--+， 511+()=()=1xf x f x x -， 归纳得4+11+()=1k xf x x-.∴()()()2 01245034f x f x f x x ⨯＝＝＝.二、填空题7．正四面体内一点到四个面的距离之和是一个定值 解析：因为边长为a 的正四面体的体积和各个面的面积是定值，在其内部任取一点，将其分割成四个底面积相等的三棱锥，由体积和是定值，可得该点到四个面的距离之和是一个定值．8．a 2＋b 2＋c 22解析：如图所示，以SA ，SB ，SC 为邻边作一长方体，该长方体的体对角线的长l ＝a 2＋b 2＋c 22， 此即四面体S －ABC 的外接球直径，所以半径R ＝a 2＋b 2＋c 22.9．1＋12＋13＋…＋12n －1＞n 2解析：由1＞12，1＋12＋122－1＞22，1＋12＋13＋…＋123－1＞32， 1＋12＋13＋…＋124－1＞42， 1＋12＋13＋…＋125－1＞52， 可猜想第n 个不等式为1＋12＋13＋…＋12－1＞n2.三、解答题10．解：(1)两实数相加后，结果是一个实数；两向量相加后，结果仍是一个向量． (2)从运算律的角度考虑，它们都满足交换律和结合律．即a ＋b ＝b ＋a ，a ＋b ＝b ＋a ； (a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )，(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．(3)从逆运算的角度考虑，二者都有逆运算，即减法运算，即a ＋x ＝0与a ＋x ＝0都有唯一解：x ＝－a 与x ＝－a .(4)在实数加法中，任意实数与0相加都不改变大小，即a ＋0＝a ；在向量加法中，任意向量与零向量相加，既不改变该向量的大小，亦不改变该向量的方向，即a ＋0＝a .11．解：类似的性质为：若M ，N 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为PM k ，PN k 时，那么PMk 与PN k 之积是与点P 的位置无关的定值．证明：设点M ，P 的坐标分别为(m ，n )，(x ，y )， 则N (－m ，－n )．因为点M (m ，n )在已知双曲线上，所以n 2＝b 2a2m 2－b 2.同理y 2＝b 2a2x 2－b 2.则PM k ·PN k ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a 2·x 2－m 2x 2－m 2＝b 2a 2(定值)．12．解：(1)设公差为d .由已知得121114614,(2)(6),a d a d a a d +=⎧⎨+=+⎩ 联立解得d ＝1或d ＝0(舍去)，∴a 1＝2，故a n ＝n ＋1.(2)+11n n a a＝1(n ＋1)(n ＋2)＝1n ＋1－1n ＋2，∴T n ＝12－13＋13－14＋…＋1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2＝n2(n ＋2).∵T n ≤1n a ＋，∴n2(n ＋2)≤λ(n ＋2)．∴λ≥n2(n ＋2)2.又n2(n ＋2)2＝12(n ＋4n＋4)≤12(4＋4)＝116.∴λ的最小值为116.。