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（新课标）最新北师大版高中数学选修1-2高二期末质量检测试题理 科 数 学注意事项：1．本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，用2B 铅笔将答案涂在答题卡上。
第Ⅱ卷为非选择题，用0.5mm 黑色签字笔将答案答在答题纸上。
考试结束后，只收答题卡和答题纸。
2．答第Ⅰ、Ⅱ卷时，先将答题卡首和答题纸首有关项目填写清楚。
3．全卷满分150分，考试时间120分钟。
附：独立性检验临界值表22()()()()()()a b c d ad bc a b c d a c b d χ+++-=++++P 20()k χ≥ 0.150.100.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.072 2.7063.8415.0246.6357.87910.828最小二乘法求线性回归方程系数公式1221ˆi ii ni i x y nx ybx nx==-=-∑∑，ˆa y bx=-)第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的）1．复数),(R b a bi a ∈+的平方是实数等价于（ ）A ．022=+b a B ．0=a 且0=b C ．0≠a D ．0=ab2．一个书包内装有5本不同的小说，另一书包内有6本不同学科的教材，从两个书包中各取一本书的取法共有（ ）A ．5种B ．6种C ．11种D ．30种3．右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a 所表示的数是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．84．用反证法证明：“a>b ”.应假设（ ）A ．a>bB ．a<bC ．a=bD ．a ≤b 5．设f 0(x)＝sinx ，f 1(x)＝f 0′(x)，f 2(x)＝f 1′(x)，…，f n ＋1(x)＝f n ′(x)，n ∈N ，则f 2013(x)＝（ ） A ．sinx B ．－sinx C ．cosxD ．－cosx6．实验测得四组(x,y)的值是(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)，则y 与x 之间的回归直线的方程是（ ）A ．$y =x ＋1B ．$y =x+2C ．$y =2x+1D ．$y =x －17．若函数()(1)(2)(3)(4)(5)f x x x x x x =-----，且()f x '是函数()f x 的导函数，则(1)f '=（ ）A ．24B ．﹣24C ．10D ．﹣108．设两个变量x 和y 之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r ，y 关于x 的回归直线的斜率是b ，纵截距是a ，那么必有（ ）A ．b 与r 的符号相同B ．a 与r 的符号相同C ．b 与r 的相反D ．a 与r 的符号相反9．下列命题中不正确的是（ ）A ．若ξ ~B(n,p)，则E ξ = np ，D ξ = np(1－p)B ．E(a ξ + b) = aE ξ + bC ．D(a ξ + b) = aD ξD ．D ξ =E ξ2－(E ξ )210．将4个不同的球放入3个不同的盒中，每个盒内至少有1个球，则不同的放法种数为（ ）A ．24B ．36C ．48D ．96第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题（本题共5小题，每题5分，共25分） 11.⎰-1)1(dx x =.12．设离散型随机变量ξ的概率分布如下：则a 的值为.13．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P(B ︱A)=.14．若52345012345(1)x a a x a x a x a x a x -=+++++,则012345a a a a a a -+-+-=.15．由三角形的性质通过类比推理，得到四面体的如下性质：四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体内切球的球心，那么原来三角形的性质为.三、解答题（本大题共6小题,满分75分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）（1）设i 是虚数单位，将ii-+11表示为a+bi 的形式（a ，b ∈R ），求a+b; （2）二项式(31x－2x )n展开式中第五项的二项式系数是第三项系数的4倍，求n.17．（本小题满分12分）在调查男女乘客是否晕机的情况中，已知男乘客晕机为28人，不会晕机的也是28人，而女乘客晕机为28人，不会晕机的为56人，（1）根据以上数据建立一个2×2的列联表； （2）试判断是否晕机与性别有关？18．（本小题满分12分）从4名男同学中选出2人，6名女同学中选出3人，并将选出的5人排成一排． （1）共有多少种不同的排法？（2）若选出的2名男同学不相邻，共有多少种不同的排法？19．（本小题满分13分）已知数列{a n }满足S n ＋a n ＝2n ＋1. （1）写出a 1, a 2, a 3,并推测a n 的表达式； （2）用数学归纳法证明所得的结论.20．（本小题满分13分）在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖.某顾客从此10张券中任抽2张，求：（1）该顾客中奖的概率；（2）该顾客获得的奖品总价值x (元)的概率分布列和期望Ex.21．（本小题满分13分）设函数y=x3+ax2+bx+c的图象如图所示，且与y=0在原点相切，若函数的极小值为－4.（1）求a、b、c的值；（2）求函数的递减区间．理科数学参考答案及评分标准一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
训练试题3本试卷满分150分. 考试用时120分钟.注意事项：1、答卷前，考生务必用2B 铅笔在答题卡“考生号”处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己姓名、考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.2、选择题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上.3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上. 如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案. 不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.4、考生必须保持答题卡的整洁. 考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交.5、不可以使用计算器.参考公式：回归直线ˆybx a =+，其中1122211()(),()nnii i ii i nniii i xx y y x ynx y b a y bx xx xnx====---===---∑∑∑∑.一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．在复平面上，复数(2i)i z =-+的对应点所在象限是 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．下列论断中错误．．的是 A ．a 、b 、m 是实数，则“am 2>bm 2”是“a >b ”的充分非必要条件； B ．命题“若a >b >0，则a 2>b 2”的逆命题是假命题； C ．向量a ，b 的夹角为锐角的充要条件是a b >0；D ．命题p ：“∃x ∈R ，x 2-3 x +2≥0”的否定为¬p ：“∀x ∈R ，x 2-3x +2<0” 3．已知函数n x y x e =，则其导数'y = A ．1n x nx e -B ．n x x eC ．2n x x eD ．1()n x n x x e -+4．每次试验的成功率为)10(<<p p ，则在3次重复试验中至少失败1次的概率为A ．3)1(p - B ．31p -C ．)1(3p -D ．)1()1()1(223p p p p p -+-+-5．若集合2{|20}A x x x =--<，{|2}B x x a =-<<， 则“A B ≠∅”的充要条件是A ． 2a >-B ．2a ≤-C ．1a >-D ．1a ≥-6．圆上有10个点，过每三个点画一个圆内接三角形，则一共可以画的三角形个数为A ．720B ．360C ．240D ．1207．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则输入的数是 A ．2或22B ．22或22-C ．2-或22-D ．2或22-8．定义在R 上的函数()f x 及其导函数()f x ' 的图象 都是连续不断的曲线，且对于实数,()a b a b <， 有()0,()0f a f b ''><．现给出如下结论：①00[,],(=0x a b f x ∃∈）；②00[,],(()x a b f x f b ∃∈>）；③00[,],(()x a b f x f a ∀∈≥）；④00[,],(()()()x a b f a f b f x a b '∃∈->-）. 其中结论正确的个数是 A ． 1 B ． 2C ． 3D ． 4二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡相应横线上）（一）必做题（9～13题） 9．在国家宏观政策的调控下，中国经济已经走向复苏. 统计我市某小型企业在2010年1～5月的收入，得到月份x （月）与收入y （万元）的情况如下表：y 关于x 的回归直线方程为 . 10．()2321d xx -+=⎰ .11．523)1(x x +展开式的常数项是 . 12．已知经过计算和验证有下列正确的不等式:112>,111123++>,111312372++++>, 111122315++++>,,根据以上不等式的规律，写出一个一般性的不等式 .13．如果对任意一个三角形，只要它的三边,,a b c 都在函数()f x 的定义域内，就有(),(),()f a f b f c 也是某个三角形的三边长，则称()f x 为“和美型函数”.现有下列函数：①()f x =②()sin ,(0,)g x x x π=∈； ③()ln ,[2,)h x x x =∈+∞.其中是“和美型函数”的函数序号为 . （写出所有正确的序号）A（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题，若两题都做，取14题得分为最后得分） 14．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程是2cos 22sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ是参数），若以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，则曲线C 的极坐标方程可写为 . 15．（几何证明选讲选做题）如图所示，圆O 的直径6AB =，C 为圆周上一点，3BC =．过C 作圆的切线l ，过A 作 l 的垂线AD ，AD 分别与直线l 、圆交于点DE ，，则线段AE 的长为 ．三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.） 16．（13分）用数学归纳法证明：112(1)3(2)1(1)(2).6n n n n n n n ⋅+⋅-+⋅-++⋅=++17．（13分）通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，其中60名男大学生中有40人爱好此项运动，女大学生中有20人爱好此项运动，其中22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，附表：18．（13分）若,x y 都是正实数，且2,x y +> 求证：12x y +<与12yx+<中至少有一个成立.19．（13分）已知函数322()1f x x mx m x =+-+（m 为常数，且0m >）有极大值9. （1）求m 的值；（2）若曲线()y f x =有斜率为5-的切线，求此切线方程.20．（14分）投掷四枚不同的金属硬币A B C D 、、、，假定A B 、两枚正面向上的概率均为12，另两枚C D 、为非均匀硬币，正面向上的概率均为(01)a a <<，把这四枚硬币各投掷一次，设ε表示正面向上的枚数.(Ⅰ) 若A B 、出现一枚正面向上一枚反面向上与C D 、出现两枚正面均向上的概率相等，求a 的值；(Ⅱ) 求ε的分布列及数学期望（用a表示）.21．（14分）一个截面为抛物线形的旧河道(如图1)，河口宽4AB=米，河深2米，现要将其截面改造为等腰梯形(如图2)，要求河道深度不变，而且施工时只能挖土，不准向河道填土．(Ⅰ) 建立恰当的直角坐标系并求出抛物线弧AB的标准方程；(Ⅱ) 试求当截面梯形的下底（较长的底边）长为多少米时，才能使挖出的土最少？A B（图1）A B（图2）训练试题3答案一、选择题：CCDBC DDB二、填空题：9. 9917+=x y ； 10. 4 ； 11. 10 ； 12. 212131211n n >-++++； 13. ①③ ； 14．θρcos 4=. 15．3 ．三、解答题： 16．证明：（1）当1n =时，左边111,=⨯=右边11231,6=⨯⨯⨯=等式成立.（2）假设当*()n k k N =∈时等式成立，即112(1)3(2)1(1)(2),6k k k k k k k ⋅+⋅-+⋅-++⋅=++那么，1(1)23(1)2(1)1(1)[12(1)3(2)1](1)(2)211(1)(2)(1)(2)621(1)(2)(3)6k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ⋅++⋅+⋅-++⋅++⋅=++⋅+⋅-+⋅-++⋅++-+-+++++=+++=+++即当1n k =+时等式也成立.根据（1）和（2），可知等式对任何*n N ∈都成立17.2110(40302020)7.8.60506050K ⨯⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”18．证明：假设12x y +<和12yx +<都不成立，则有21≥+yx 和21≥+x y 同时成立， 因为0x >且0y >，所以y x 21≥+且x y 21≥+两式相加，得y x y x 222+≥++.所以2≤+y x ，这与已知条件2x y +>矛盾.因此12x y +<和12yx+<中至少有一个成立. 19．解：（1）'22()32()(3)0f x x mx m x m x m =+-=+-=则x m =-或13x m =.当x 变化时，'()f x 与()f x 的变化情况如下表：A BO从而可知，当x m =-时，函数()f x 取得极大值9，即()19,2.f m m m m m -=-+++=∴=（2）由（1）知，32()241,f x x x x =+-+ 依题意知'2()3445,f x x x =+-=-11.3x x ∴=-=-或又168(1)6,(,327f f -=-=所以切线方程为65(1)y x -=-+或6815()273y x -=-+ 即510x y +-=或13527230.x y +-=20．解：（Ⅰ）由题意，得21121222.a a ⨯-=∴=⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭……………………3分（Ⅱ）ε=0，1，2，3，4. …………………4分020222211(0)(1)(1)(1)24;p C C a a ε==--=-…………5分10202122221111(1)(1(1)(1)(1)(1)2222p C C a C C a a a ε==--+--=-；……………6分22021102222222221111(2)(1)(1(1)2222()(1)p C C a C C a a C C aε==-+--+-21(122);4a a =+-…………………………7分 2211222222111(3)(1)(1,2222(a p C C a C C a a ε==-+-=…………………………8分222222211(4).24()p C C a a ε===………………………………………9分ε的数学期望为：221111(1)2(122)3421,2424a E a a a a a ε=⨯-+⨯+-+⨯+⨯=+21．解：（1）如图：以抛物线的顶点为原点，AB 中垂线为y 轴建立直角坐标系则(2,2),(2,2)A B -设抛物线的方程为22(0)x py p =>，将点(2,2)B 代入得1p =所以抛物线弧AB 方程为22x y =（2x -≤≤（2）解法一： 设等腰梯形的腰与抛物线相切于21(,),2P t t(0)t >不妨则过21(,)2P t t 的切线l 的斜率为'x tyt ==所以切线l 的方程为：2()2t y t x t -=-，即22t y tx =-令0y =，得2t x =， 令2y =，得22t x t =+，所以梯形面积1222()222()222t t S t t t ⎡⎤=⋅++⋅⋅=+≥⎢⎥⎣⎦当仅当2t t=，即t =""=成立此时下底边长为2(2+=答：当梯形的下底边长等于解法二：设等腰梯形的腰与抛物线相切于21(,),2P t t (0)t >不妨 则过21(,)2P t t 的切线l 的斜率为'x tyt ==所以切线l 的方程为：2()2t y t x t -=-，即22t y tx =-运用定积分计算抛物线与等腰梯形间的面积：222222220222(())(2())2222t t t t x x t tS dx tx dx tx dx +⎡⎤=+--+--⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ -----10分22222222222022222()2()2222t t t t tt t x x t t dx dx tx dx dx tx dx ++⎡⎤=+--+--⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰222222202222()22t t t tt x t dx dx tx dx ++⎡⎤=+--⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰2222422222(2)()()(3222222422t t t t t t t t t t t t ⎡⎤=+⋅+--⋅++⋅++⋅-⋅⎢⎥⎣⎦2823t t ⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦163≥当仅当2t t =，即t =""=成立，此时下底边长为=答：当梯形的下底边长等于解法三：设等腰梯形上底（较短的边）长为2a 米，则一腰过点(,0),(0)a a >，可设此腰所在直线方程为(),(0)y k x a k =->， 联立2()12y k x a y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩，得2220x kx ka -+=，令2480k ka ∆=-=，得2k a =，或0k =（舍）， 故此腰所在直线方程为2()y a x a =-，令2y =，得1x a a=+，故等腰梯形的面积：1112[()]22(2)2S a a a a a=⨯++⨯=+≥当且仅当12a a =，即2a =时，有min S =此时，下底边长12()2(2a a +==答：当梯形的下底边长等于。
江西省高二数学下学期期末考试试题理（含解析）一．选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.袋中有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5 五个号码，现在在有放回．．．抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量，则所有可能取值的个数是（）A. 5B. 9C. 10D. 25【答案】B【解析】号码之和可能为2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9种.考点：离散型随机变量．2.随机变量服从正态分布，若，，则（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】【分析】直接根据正态曲线的对称性求解即可.【详解】，，，即，，故选B.【点睛】本题主要考查正态分布与正态曲线的性质，属于中档题. 正态曲线的常见性质有：（1）正态曲线关于对称，且越大图象越靠近右边，越小图象越靠近左边；（2）边越小图象越“痩长”，边越大图象越“矮胖”;(3)正态分布区间上的概率，关于对称，3.从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：根据上表可得回归直线方程，据此模型预报身高为的高三男生体重为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由上表知，，所以，当时，，所以男生体重约为，故选B．考点：线性回归方程．4.设随机变量，若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用二项分布概率计算公式结合条件计算出，然后再利用二项分布概率公式计算出.【详解】由于，则，，所以，，因此，，故选：A.【点睛】本题考查二项分布概率的计算，解题的关键在于找出基本事件以及灵活利用二项分布概率公式，考查计算能力，属于中等题。
5.在的展开式中，的系数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用的展开式通项，与和分别做乘法，分别求得的系数，作和求得整体的的系数. 【详解】展开式的通项为：与相乘可得：当时得：与相乘可得：当时得：的系数为：本题正确选项：【点睛】本题考查二项式定理求解的系数的问题，关键在于能够运用多项式相乘的运算法则，分别求出同次项的系数，合并同类项得到结果.6.有位同学按照身高由低到高站成一列，现在需要在该队列中插入另外位同学，但是不能改变原来的位同学的顺序，则所有排列的种数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】将问题转化为将这个同学中新插入的个同学重新排序，再利用排列数的定义可得出答案。
江西省赣州市2014-2015学年高二下学期期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每一小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案填写在答题卷上.1．（5分）已知i 为虚数单位，（2+i ）z=1+2i ，则z 的共轭复数=（）A ． +iB ． ﹣iC ． +iD ． ﹣i2．（5分）用数学归纳法证明某命题时，左式为+cos α+cos3α+…+cos （2n ﹣1）α（α≠k π，k ∈Z ，n ∈N *）在验证n=1时，左边所得的代数式为（）A ．B ． +cos αC ． +cos α+cos3αD ． +cos α+cos3α+cos5α3．（5分）为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如表： 喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计 男生 25 10 35 女生 5 10 15 合计 30 20 50根据表中的数据你认为喜爱打篮球与性别之间有关系的把握是（） 参考数据：．临界值表：P （Χ2≥k） 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 A ． 97.5% B ． 99% C ． 99.5% D ． 99.9% 4．（5分）设随机变量ξ服从正态分布N （3，4），若P （ξ＜2a ﹣3）=P （ξ＞a+2），则a 的值为（）A ．B ．C ． 5D ． 35．（5分）一牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02．设发病的牛的头数为ξ，则D ξ等于（） A ． 0.2 B ． 0.8 C ． 0.196 D ． 0.804 6．（5分）由曲线y=，直线y=x ﹣2及y 轴所围成的图形的面积为（）A．B．4 C．D．67．（5分）从0，1，2，3，4，5共6个数中任取三个组成的无重复数字的三位数，其中能被5整除的有（）A．40个B．36个C．28个D．60个8．（5分）由抛物线y2=4x与直线y=x﹣3围成的平面图形的面积为（）A．B．C．64 D．329．（5分）设，那么的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣110．（5分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+lnx，则f′（1）=（）A．﹣e B．﹣1 C．1 D．e11．（5分）将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同．甲从袋中摸出一个球，其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b．则使不等式a﹣2b+10＞0成立的事件发生的概率等于（）A．B．C．D．12．（5分）下列命题中①若f′（x0）=0，则函数y=f（x）在x=x0取得极值；②直线5x﹣2y+1=0与函数f（x）=sin（2x+）的图象不相切；③若z∈C（C为复数集），且|z+2﹣2i|=1，则|z﹣2﹣2i|的最小值是3；④定积分dx=4π．正确的有（）A．①④B．③④C．②④D．②③④二、填空题：本大题共有4小题，每小题5分，共20分，答案填写在答题卷上.13．（5分）复数在复平面中的第象限．14．（5分）有5名数学实习老师，现将他们分配到2014-2015学年高二年级的三个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有种（用数字作答）．15．（5分）如图所示，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一粒豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”，则P（B|A）=．16．（5分）已知y=f（x）是奇函数，当x∈（0，2）时，f（x）=lnx﹣ax（a＞），当x∈（﹣2，0）时，f（x）的最小值为1，则a的值等于．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7距离的最小值．18．（12分）已知函数f（x）=x3+x﹣16．（1）求曲线y=f（x）在点（2，6）处的切线方程；（2）直线l为曲线y=f（x）的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．19．（12分）给出四个等式：1=1；1﹣4=﹣（1+2）；1﹣4+9=1+2+3；1﹣4+9﹣16=﹣（1+2+3+4）…．猜测第n（n∈N*）个等式，并用数学归纳法证明．20．（12分）某同学参加高校自主招生3门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q（p＜q），且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为ξ0 1 2 3p x y（Ⅰ）求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率及求p，q的值；（Ⅱ）求该生取得优秀成绩课程门数的数学期望Eξ．21．（12分）班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25名女同学，15名男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析．随机抽出8位，他们的数学分数从小到大排序是：60、65、70、75、80、85、90、95，物理分数从小到大排序是：72、77、80、84、88、90、93、95．（Ⅰ）如果按性别比例分层抽样，男女同学分别抽取多少人？（Ⅱ）若这8位同学的数学、物理分数对应如下表：学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8数学分数x 60 65 70 75 80 85 90 95物理分数y 72 77 80 84 88 90 93 95根据上表数据用变量y与x的相关系数或散点图说明物理成绩y与数学成绩x之间是否具有线性相关性？如果具有线性相关性，求y与x的线性回归方程（系数精确到0.01）；如果不具有线性相关性，请说明理由．参考公式：相关系数；回归直线的方程是：=bx+a．其中对应的回归估计值b=，a=﹣b；参考数据：=77.5，=85，（x1﹣）2≈1050，（y1﹣）2≈456；（x1﹣）（y1﹣）≈688，≈32.4，≈21.4，≈23.5．22．（12分）已知函数f（x）=x2﹣alnx+（a∈R）（Ⅰ）求函数f（x）单调区间；（Ⅱ）若a=﹣1，求证：当x＞1时，f（x）＜x3．江西省赣州市2014-2015学年高二下学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每一小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案填写在答题卷上.1．（5分）已知i为虚数单位，（2+i）z=1+2i，则z的共轭复数=（）A．+i B．﹣i C．+i D．﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的除法运算法则化简求解即可．解答：解：i为虚数单位，（2+i）z=1+2i，可得z===+i．z的共轭复数=﹣i．故选：B．点评：本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的定义，基本知识的考查．2．（5分）用数学归纳法证明某命题时，左式为+cosα+cos3α+…+cos（2n﹣1）α（α≠kπ，k∈Z，n∈N*）在验证n=1时，左边所得的代数式为（）A．B．+cosαC．+cosα+cos3αD．+cosα+cos3α+cos5α考点：数学归纳法．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：在验证n=1时，令左边n=1可得：所得的代数式为：．解答：解：由于左式为+cosα+cos3α+…+cos（2n﹣1）α（α≠kπ，k∈Z，n∈N*），因此在验证n=1时，左边所得的代数式为：．故选：B．点评：本题考查了数学归纳法的应用，考查了推理能力，属于基础题．3．（5分）为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如表：喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生25 10 35女生 5 10 15合计30 20 50根据表中的数据你认为喜爱打篮球与性别之间有关系的把握是（）参考数据：．临界值表：P（Χ2≥k）0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828A．97.5% B．99% C．99.5% D．99.9%考点：线性回归方程．分析：根据所给的列联表得到求观测值所用的数据，把数据代入观测值公式中，做出观测值，同所给的临界值表进行比较，得到结论．解答：解：根据所给的列联表，得到Χ2=≈6.349＞5.024，对照临界值表可知有97.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关．故选：A．点评：本题考查独立性检验的应用，考查根据列联表做出观测值，根据所给的临界值表进行比较，本题是一个基础题．4．（5分）设随机变量ξ服从正态分布N（3，4），若P（ξ＜2a﹣3）=P（ξ＞a+2），则a的值为（）A．B．C．5 D．3考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：计算题．分析：根据随机变量符合正态分布，又知正态曲线关于x=3对称，得到两个概率相等的区间关于x=3对称，得到关于a的方程，解方程即可．解答：解：∵随机变量ξ服从正态分布N（3，4），∵P（ξ＜2a﹣3）=P（ξ＞a+2），∴2a﹣3与a+2关于x=3对称，∴2a﹣3+a+2=6，∴3a=7，∴a=，故选A．点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，本题主要考查曲线关于x=3对称，考查关于直线对称的点的特点，本题是一个基础题，若出现是一个得分题目．5．（5分）一牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02．设发病的牛的头数为ξ，则Dξ等于（）A．0.2 B．0.8 C．0.196 D．0.804考点：离散型随机变量的期望与方差．分析：把每个牛是否得病作为一个实验，牛发病的概率是0.02，且牛是否发病相互之间没有影响，得到发病的牛的头数为ξ服从二项分布，根据方差的公式Dξ=npq，得到结果．解答：解：∵由题意知该病的发病率为0.02，且每次实验结果都是相互独立的，∴ξ～B（10，0.02），∴由二项分布的方差公式得到Dξ=10×0.02×0.98=0.196．故选C点评：解决离散型随机变量分布列问题时，主要依据概率的有关概念和运算，同时还要注意题目中离散型随机变量服从什么分布，若服从特殊的分布则运算要简单得多．6．（5分）由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4 C．D．6考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线y=，直线y=x ﹣2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解．解答：解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为：S=．故选C．点评：本题考查曲边图形面积的计算问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的转化与化归能力和运算能力，考查学生对定积分与导数的联系的认识，求定积分关键要找准被积函数的原函数，属于定积分的简单应用问题．7．（5分）从0，1，2，3，4，5共6个数中任取三个组成的无重复数字的三位数，其中能被5整除的有（）A．40个B．36个C．28个D．60个考点：排列、组合及简单计数问题．专题：排列组合．分析：由题意知能被5整除的三位数末位必为0或5．当末位是0时，没有问题，但当末位是5时，注意0不能放在第一位，所以要分类解决，①末位为0的三位数其首次两位从1～5的5个数中任取2个排列②末位为5的三位数，首位从非0，5的4个数中选1个，再挑十位，相加得到结果．解答：解：其中能被5整除的三位数末位必为0或5．①末位为0的三位数其首次两位从1～5的5个数中任取2个排列而成方法数为A52=20，②末位为5的三位数，首位从非0，5的4个数中选1个，有C41种挑法，再挑十位，还有C41种挑法，∴合要求的数有C41•C41=16种．∴共有20+16=36个合要求的数，故选：B．点评：本题考查排列组合、计数原理，是一个综合题，本题主要抓住能被5整除的三位数的特征（末位数为0，5），还要注意分类讨论及排数字时对首位非0的限制．8．（5分）由抛物线y2=4x与直线y=x﹣3围成的平面图形的面积为（）A．B．C．64 D．32考点：定积分．专题：导数的综合应用．分析：由题设条件，需要先求出抛物线y2=2x与直线y=4﹣x的交点坐标，积分时可以以x 作为积分变量，也可以y作为积分变量，故本题法一以x为积分变量，法2以y作为积分变量分别计算出两曲线所围成的图形的面解答：解：联立方程组，得，y1=﹣2，y2=6，∵抛物线y2=4x与直线y=x﹣3所围成的平面图形的面积，∴S==（y2+3y﹣）|=；故选：A．点评：本题考查定积分，解答本题关键是确定积分变量与积分区间，有些类型的题积分时选择不同的积分变量，故求解时要注意恰当地选择积分变量达到简单解题的目的．9．（5分）设，那么的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣1考点：二项式定理．专题：计算题．分析：令x=1，可得 a0+a1+a2+a3+a4+a5=1，再令x=﹣1可得 a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5=35．解得a0+a2+a4和 a1+a3的值，即可求得要求式子的值．解答：解：令x=1，可得 a0+a1+a2+a3+a4+a5=1，再令x=﹣1可得 a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5=35．两式相加除以2求得 a0+a2+a4=122，两式相减除以2可得 a1+a3=﹣121，故=，故选A．点评：本题主要考查二项式定理的应用，是给变量赋值的问题，关键是根据要求的结果，选择合适的数值代入，属于中档题．10．（5分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+lnx，则f′（1）=（）A．﹣e B．﹣1 C．1 D．e考点：导数的乘法与除法法则；导数的加法与减法法则．专题：计算题．分析：已知函数f（x）的导函数为f′（x），利用求导公式对f（x）进行求导，再把x=1代入，即可求解；解答：解：∵函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+ln x，（x＞0）∴f′（x）=2f′（1）+，把x=1代入f′（x）可得f′（1）=2f′（1）+1，解得f′（1）=﹣1，故选B；点评：此题主要考查导数的加法与减法的法则，解决此题的关键是对f（x）进行正确求导，把f′（1）看成一个常数，就比较简单了；11．（5分）将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同．甲从袋中摸出一个球，其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b．则使不等式a﹣2b+10＞0成立的事件发生的概率等于（）A．B．C．D．考点：等可能事件的概率．专题：计算题．分析：本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是两次分别从袋中摸球，共有9×9种结果，满足条件的事件是使不等式a﹣2b+10＞0成立的，即2b﹣a＜10，列举出当当b=1，2，3，4，5，6，7，8，9时的所有的结果，得到概率．解答：解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是两次分别从袋中摸球，共有9×9=81种结果，满足条件的事件是使不等式a﹣2b+10＞0成立的，即2b﹣a＜10当b=1，2，3，4，5时，a有9种结果，共有45种结果，当b=6时，a有7种结果当b=7时，a有5种结果当b=8时，a有3种结果当b=9时，a有1种结果∴共有45+7+5+3+1=61种结果∴所求的概率是故选D．点评：本题考查等可能事件的概率，在解题的过程中注意列举出所有的满足条件的事件数时，因为包含的情况比较多，又是一个数字问题，注意做到不重不漏．12．（5分）下列命题中①若f′（x0）=0，则函数y=f（x）在x=x0取得极值；②直线5x﹣2y+1=0与函数f（x）=sin（2x+）的图象不相切；③若z∈C（C为复数集），且|z+2﹣2i|=1，则|z﹣2﹣2i|的最小值是3；④定积分dx=4π．正确的有（）A．①④B．③④C．②④D．②③④考点：命题的真假判断与应用．专题：综合题；推理和证明．分析：①若f′（x0）=0，且在x=x0的左右附近导数的符号改变，则函数y=f（x）在x=x0取得极值判断即可；②求出导数f′（x），由切线的斜率等于f′（x0），根据三角函数的值域加以判断即可；③|z+2﹣2i|=1表示圆，|z﹣2﹣2i|的几何意义两点的距离，通过连接两定点，由原定特性即可求出最小值；④令y=，则x2+y2=16（y≥0），点（x，y）的轨迹表示半圆，则该积分表示该圆面积的．解答：解：①若f′（x0）=0，且在x=x0的左右附近导数的符号改变，则函数y=f（x）在x=x0取得极值，故不正确；②若直线与函数的图象相切，则f′（x0）=2.5，即2cos（2x0+）=2.5，显然x0不存在，故②正确；③|z+2﹣2i|=1的几何意义是以A（﹣2，2）为圆心，半径为1的圆，|z﹣2﹣2i|的几何意义是圆上一点到点B（2，2）的距离，连接AB并延长，显然最小值为AB﹣1=4﹣1=3，故③正确；④令y=，则x2+y2=16（y≥0），点（x，y）的轨迹表示半圆，定积分dx表示以原点为圆心，4为半径的圆面积的，故定积分dx=×π×42=4π，故④正确．故选：D点评：本题以命题的真假为载体考查函数的极值概念，导数的应用于求切线方程，以及复数的几何意义，定积分的几何意义及求法，是一道中档题．二、填空题：本大题共有4小题，每小题5分，共20分，答案填写在答题卷上.13．（5分）复数在复平面中的第四象限．考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：化简复数为a+bi的形式，然后判断即可．解答：解：复数===．即复数对应点为：（）在第四象限．故答案为：四．点评：本题考查复数的代数形式混合运算，复数的几何意义，考查计算能力．14．（5分）有5名数学实习老师，现将他们分配到2014-2015学年高二年级的三个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有90种（用数字作答）．考点：计数原理的应用．专题：计算题；排列组合．分析：根据题意，先把5名实习老师分成三组，一组1人，另两组都是2人，计算其分组的方法种数，进而将三个组分到3个班，即进行全排列，计算可得答案．解答：解：把5名实习老师分成三组，一组1人，另两组都是2人，有=15种方法，再将3组分到3个班，共有•A33=90种不同的分配方案，故答案为：90．点评：本题考查排列、组合的综合运用，注意此类题目一般顺序为先组合、再排列．15．（5分）如图所示，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一粒豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”，则P（B|A）=．考点：条件概率与独立事件．专题：计算题；概率与统计．分析：根据几何概型计算公式，分别算出P（AB）与P（A），再由条件概率计算公式即可算出P（B|A）的值．解答：解：根据题意，得P（AB）===∵P（A）==∴P（B|A）==故答案为：点评：本题给出圆内接正方形，求条件概率P（B|A），着重考查了几何概型和条件概率计算公式等知识，属于中档题．16．（5分）已知y=f（x）是奇函数，当x∈（0，2）时，f（x）=lnx﹣ax（a＞），当x∈（﹣2，0）时，f（x）的最小值为1，则a的值等于1．考点：奇偶性与单调性的综合．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：根据函数的奇偶性，确定f（x）在（0，2）上的最大值为﹣1，求导函数，确定函数的单调性，求出最值，即可求得a的值．解答：解：∵f（x）是奇函数，x∈（﹣2，0）时，f（x）的最小值为1，∴f（x）在（0，2）上的最大值为﹣1，当x∈（0，2）时，f′（x）=﹣a，令f′（x）=0得x=，又a＞，∴0＜＜2，令f′（x）＞0，则x＜，∴f（x）在（0，）上递增；令f′（x）＜0，则x＞，∴f（x）在（，2）上递减，∴f（x）max=f（）=ln﹣a•=﹣1，∴ln=0，得a=1．故答案为：1．点评：本题考查函数单调性与奇偶性的结合，考查导数知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7距离的最小值．考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）曲线C1：（t为参数），利用sin2t+cos2t=1即可化为普通方程；C2：（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1化为普通方程．（Ⅱ）当t=时，P（﹣4，4），Q（8cosθ，3sinθ），故M，直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7化为x﹣2y=7，利用点到直线的距离公式与三角函数的单调性即可得出．解答：解：（Ⅰ）曲线C1：（t为参数），化为（x+4）2+（y﹣3）2=1，∴C1为圆心是（﹣4，3），半径是1的圆．C2：（θ为参数），化为．C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．（Ⅱ）当t=时，P（﹣4，4），Q（8cosθ，3sinθ），故M，直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7化为x﹣2y=7，M到C3的距离d==|5sin（θ+φ）+13|，从而当cossinθ=，sinθ=﹣时，d取得最小值．点评：本题考查了参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式公式、三角函数的单调性、椭圆与圆的参数与标准方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）已知函数f（x）=x3+x﹣16．（1）求曲线y=f（x）在点（2，6）处的切线方程；（2）直线l为曲线y=f（x）的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）求出原函数的导函数，得到函数在x=2时的导数，即切线的斜率，然后由直线方程的点斜式得答案；（2）设出切点坐标，求出函数过切点的切线方程，由切线过原点求得切点横坐标，则直线方程与切点坐标可求．解答：解：（1）由f（x）=x3+x﹣16，得f′（x）=3x2+1，∴f′（2）=3×22+1=13，∴曲线y=f（x）在点（2，6）处的切线方程为y﹣6=13（x﹣2），即13x﹣y﹣20=0；（2）设切点为（），，∴切线方程为，∵切线经过原点，∴，∴，x0=﹣2．则f′（﹣2）=13，∴所求的切线方程为y=13x；切点为（﹣2，﹣26）．点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是区分切线所经过的点是否为切点，是中档题．19．（12分）给出四个等式：1=1；1﹣4=﹣（1+2）；1﹣4+9=1+2+3；1﹣4+9﹣16=﹣（1+2+3+4）…．猜测第n（n∈N*）个等式，并用数学归纳法证明．考点：数学归纳法；归纳推理．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：由已知猜测：第n（n∈N*）个等式为：1﹣22+32﹣42+…+（﹣1）n﹣1•n2=（﹣1）n﹣1（1+2+…+n）=（﹣1）n﹣1．利用数学归纳法证明即可．解答：解：1=1；1﹣4=﹣（1+2）；1﹣4+9=1+2+3；1﹣4+9﹣16=﹣（1+2+3+4）…．猜测第n（n∈N*）个等式为：1﹣22+32﹣42+…+（﹣1）n﹣1•n2=（﹣1）n﹣1（1+2+…+n）=（﹣1）n﹣1．下面利用数学归纳法证明：（1）当n=1时，1=1，成立；（2）假设当n=k（k∈N*）时，等式1﹣22+32﹣42+…+（﹣1）k﹣1•k2=成立．则当n=k+1时，左边=1﹣22+32﹣42+…+（﹣1）k﹣1•k2+（﹣1）k•（k+1）2=+（﹣1）k•（k+1）2=（﹣1）k=（﹣1）k•=右边，∴当n=k+1时，等式成立．综上可得：第n（n∈N*）个等式为：1﹣22+32﹣42+…+（﹣1）n﹣1•n2=（﹣1）n﹣1（1+2+…+n）=（﹣1）n﹣1成立．点评：本题考查了数学归纳法应用，考查了观察分析猜想归纳能力与计算能力，属于中档题．20．（12分）某同学参加高校自主招生3门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q（p＜q），且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为ξ0 1 2 3p x y（Ⅰ）求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率及求p，q的值；（Ⅱ）求该生取得优秀成绩课程门数的数学期望Eξ．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）用A i表示“该生第i门课程取得优秀成绩”，i=1，2，3．由题意得P（A1）=，P（）=，由此能求出该生至少有一门课程取得优秀成绩的概率．从而能够求出p，q的值．（Ⅱ）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出其概率，由此能够求出数学期望Eξ．解答：解：用A i表示“该生第i门课程取得优秀成绩”，i=1，2，3．由题意得得P（A 1）=，P（）=，（Ⅰ）该生至少有一门课程取得优秀成绩的概率为P=1﹣P（）=1﹣=P（）=（1﹣P（A 1））（1﹣P（A2））（1﹣P（A3））=（1﹣p）（1﹣q）=及P（A1A2A3）=P（A1）P（A2）P（A3）=pq=得p=，q=．（Ⅱ）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，P（ξ=0）=，P（ξ=1）=××+××+××=，P（ξ=2）=××+××+××=，ξ0 1 2 3p i∴E（ξ）=0×+1×+2×+3×=．∴该生取得优秀成绩的课程门数的期望为．点评：本题考查离散随机变量的概率分布列和数学期望，是历年2015届高考的必考题型之一．解题时要认真审题，注意排列组合知识和概率知识的灵活运用．21．（12分）班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25名女同学，15名男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析．随机抽出8位，他们的数学分数从小到大排序是：60、65、70、75、80、85、90、95，物理分数从小到大排序是：72、77、80、84、88、90、93、95．（Ⅰ）如果按性别比例分层抽样，男女同学分别抽取多少人？（Ⅱ）若这8位同学的数学、物理分数对应如下表：学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8数学分数x 60 65 70 75 80 85 90 95物理分数y 72 77 80 84 88 90 93 95根据上表数据用变量y与x的相关系数或散点图说明物理成绩y与数学成绩x之间是否具有线性相关性？如果具有线性相关性，求y与x的线性回归方程（系数精确到0.01）；如果不具有线性相关性，请说明理由．参考公式：相关系数；回归直线的方程是：=bx+a．其中对应的回归估计值b=，a=﹣b；参考数据：=77.5，=85，（x1﹣）2≈1050，（y1﹣）2≈456；（x1﹣）（y1﹣）≈688，≈32.4，≈21.4，≈23.5．考点：线性回归方程．专题：计算题；概率与统计．分析：（Ⅰ）按分层抽样原理，计算应抽取的男生、女生各是多少；（Ⅱ）根据题目中的公式，计算相关系数r，判断线性相关性；求出线性回归方程中的系数，得出回归方程．解答：解：（Ⅰ）按男女生分层抽样的结果是，女生应抽取（人），男生应抽取（人）；…（4分）（Ⅱ）变量y与x的相关系数是r===≈0.99；…（6分）可以看出，物理与数学成绩是高度正相关；…（8分）【若以数学成绩x为横坐标，物理成绩y为纵坐标做散点图，从散点图可以看出这些点大至分布在一条直线附近，并且在逐步上升，所以物理与数学成绩是高度正相关；】设y与x的线性回归方程是，根据所给的数据，可以计算出b===0.66，a=﹣b=85﹣0.66×77.5=33.85；…（10分）所以y与x的回归方程是．…（12分）点评：本题考查了线性回归方程的应用问题，也考查了线性相关系数的计算问题，是基础题目．22．（12分）已知函数f（x）=x2﹣alnx+（a∈R）（Ⅰ）求函数f（x）单调区间；（Ⅱ）若a=﹣1，求证：当x＞1时，f（x）＜x3．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求导数，分类讨论，利用导数的正负求函数f（x）单调区间；（Ⅱ）设，证明F（x）在（1，+∞）上为增函数，即可得出结论．解答：（Ⅰ）解：f（x）的定义域为x＞0…（1分）…（2分）若a≤0时，f'（x）≥0恒成立，即f（x）的单调区间为（0，+∞）…（4分）若a＞0时，令f'（x）＞0，得…（5分）即f（x）的单调区间为，减区间为…（6分）（Ⅱ）证明：设…（7分）则…（8分）∴F（x）在（1，+∞）上为增函数，且…（10分）即F（x）＞0在（1，+∞）上恒成立…（11分）∴当x＞1，…（12分）点评：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，正确构造函数，求导数是关键．。
2022-2023学年江西省赣州市高二下学期期末教学质量验收数学试题一、单选题1．各项均为正数的等比数列{}n a ，公比为q ，则“1q >”是“{}n a 为递增数列”的（）A ．充分且不必要条件B ．必要且不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】C【分析】先根据1q >，得到{}n a 递增，充分性成立，再推导出必要性成立.【详解】因为{}n a 各项为正数，且1q >，所以11n na q a +=>，即1n n a a +>，所以{}n a 为递增数列，充分性成立，若{}n a 为递增数列，则1n n a a +>，因为{}n a 各项为正数，所以11n na q a +=>，必要性成立.故选：C2．下列命题正确的是（）A ．在独立性检验中，随机变量2K 的观测值越大，“认为两个分类变量有关”这种判断犯错误的概率越小B ．已知()2~,X N μσ，当μ不变时，σ越大，X 的正态密度曲线越高瘦C ．若在平面α内存在不共线的三点到平面β的距离相等，则平面//α平面βD ．若平面α⊥平面β，直线m α⊥，//n m ，则//n β【答案】A【分析】根据相关概念及定理逐项分析即可.【详解】对选项A ，因为随机变量2K 的观测值越大，说明两个变量有关系的可能性越大，即犯错误的概率越小，故A 正确；对选项B ，当μ不变时，σ越大，X 的正态密度曲线越矮胖，故B 错误；对选项C ，当平面α与平面β相交时，在平面α内存在不共线的三点到平面β的距离相等（在平面β的两侧，一侧两个点，一侧一个点），故C 错误；对选项D ，若平面α⊥平面β，直线m α⊥，//n m ，则直线n 有可能在平面β内，故D 错误.故选：A3．袋中有6个大小相同的黑球，编号为123456，，，，，，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,910，，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是（）①取出的最大号码X 服从超几何分布；②取出的黑球个数Y 服从超几何分布；③取出2个白球的概率为114；④若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为114A ．①②B ．②④C ．③④D ．①③④【答案】B【分析】根据超几何分布的定义，要把总体分为两类，再依次选取可判断①②；利用超几何分布求概率的方式即可判断③④【详解】对于①，根据超几何分布的定义，要把总体分为两类，再依次选取，由此可知取出的最大号码X 不符合超几何分布的定义，无法用超几何分布的数学模型计算概率，故①错误；对于②，取出的黑球个数Y 符合超几何分布的定义，将黑球视作第一类，白球视作第二类，可以用超几何分布的数学模型计算概率，故②正确；对于③，取出2个白球的概率为2264410C C 3C 7=，故③错误；对于④，若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则取出四个黑球的总得分最大，∴总得分最大的概率为46410C 1C 14=，故④正确．故选：B4．已知函数()22f x x =-，则()()332limx f f x x∆→--∆=∆（）A ．12-B ．9-C ．9D ．12【答案】D【分析】根据极限的定义求解.【详解】()()()()220009232299412332lim lim limx x x x x x f f x x x x∆→∆→∆→⎡⎤---∆--+∆-∆--∆⎣⎦==∆∆∆200412lim 12lim 412x x x xx x∆→∆→-∆+∆==-∆=∆；故选：D.5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，6934a a a +=+，则23S =（）A ．92B ．94C ．96D ．98【答案】A【分析】由等差数列的性质有69312a a a a +=+，得124a =，则231223S a =，可求值.【详解】等差数列{}n a 中，6933124a a a a a +=+=+，则124a =，所以12323122323922a a S a +=⨯==.故选：A ．6．已知数列{}n a 中，123a =，11n n n n a a a a ++=+⋅，则数列{}n a 的通项公式为（）A ．331n -B ．313n -C ．52n-D ．252n-【答案】D【分析】分析得到数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以32为首项，公差为1-的等差数列，求出()1312n n a =--，化简整理即得解.【详解】由题意，可得11n n n n a a a a ++=+⋅，即1111n na a +-=-.又1132a =，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以32为首项，公差为1-的等差数列，所以()135122n n n a =--=-，所以252n a n=-.故选：D .7．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【分析】可知每一层灯数形成以2为公比的等比数列{}n a ，根据7381S =即可求出.【详解】解：设顶层的灯数是1a ，则每一层灯数形成以2为公比的等比数列{}n a ，所以，由题可得()7171238112a S -==-，解得13a =，所以，塔的顶层的灯数是3.故选：A.8．()f x ，()()()0g x g x ≠分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x <时，()()()()f x g x f x g x ''<，且()30f -=，则()()0f x g x <的解集为（）A ．()(),33,-∞-+∞B ．()()3,00,3-C ．()()3,03,-⋃+∞D ．()(),30,3-∞- 【答案】C【分析】构造函数令()()()f x u xg x =，再由已知得到()u x 的奇函数，单调性，画出()u x 的示意图，再得到()0u x <的解集，得到答案.【详解】令()()()f x u x g x =，则()()()()()()f x f x u x u xg x g x ---===--，得()u x 是R 上的奇函数，当0x <时，有2()()()()()0()f xg x f x g x u x g x ''-'=<，即()u x 在(,0)-∞单调递减，且(3)(3)0(3)f ug --==-，作出()u x 的示意图如图所示：故()()0()f x u xg x =<的解集为(3,0)(3,)-⋃+∞.故选：C.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性以及单调性的应用、函数的奇偶性及其应用，考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及数形结合思想，转化思想的应用，属于中档题．二、多选题9．等差数列{}n a 的公差0d ≠，前n 项和为n S ，若612S S =，则下列结论中正确的是（）A ．当0d <时，614a a >B ．180S =C ．当0d >时，6140a a +>D ．1:17:2a d =-【答案】BCD【分析】由条件结合等差数列的性质，求得9100a a +=，结合等差数列的通项公式和等差数列的单调性和等差数列的性质，等差数列求和公式，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，等差数列{}n a 的公差0d ≠，前n 项和为n S ，因为612S S =，可得()12678910111291030S S a a a a a a a a -=+++++=+=，即9100a a +=，对于A 中，由0d <，可得数列{}n a 单调递减，由9100a a +=，可得9100,0a a ><，故当19n ≤≤时，0n a >，当10n ≥时，0n a <，因为6146139100a a a a d a a d d +=++=++=<，所以6140a a <<-，所以61414a a a <-=，A 错误；对于B 中，由等差数列的前n 项和公式，可得()1181891018()902a a S a a +==+=，所以B 正确；对于C 中，因为9100a a +=，0d >6146139100a a a a d a a d d +=++=++=>，故6140a a +>，C 正确；对于D 中，因为9100a a +=，所以11890a d a d +++=，所以12170a d +=，因为0d ≠，所以11702a d +=，即1:17:2a d =-，所以D 正确.故选：BCD.10．若方程()ln 1x x a x =-恰有一个实数根，则实数a 的值为（）A ．e B ．－e C ．1D ．－1【答案】BCD【分析】把方程问题转化为函数与直线有一个交点，利用导数研究函数图象，数形结合即可求解.【详解】令()()ln ,0,f x x x x ∞=∈+，则()ln 1f x x '=+，当10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时，()0f x '<，()f x 单调递减，当1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，当1x =时，()0f x =，当x 趋向正无穷大时，()f x 趋向正无穷，故作出()y f x =的大致图象，如图所示：由题意，方程()ln 1x x a x =-恰有一个实数根，即函数()y f x =的图象与直线()1y a x =-的图象有一个公共点，易知点(1,0)为函数()y f x =的图象与直线()1y a x =-的公共点，又曲线()y f x =在点(1,0)处的切线方程为1y x =-，所以1a =，显然0a ≤也成立，故实数a 的值为1a =或0a ≤，故选：BCD11．已知函数()()π,0,,2y f x x f x ⎛⎫'=∈ ⎪⎝⎭是其导函数，恒有()()cos sin f x x f x x >'，则下列结论正确的是（）A ．ππ234f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．ππ2646f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()1πcos1126f f ⎛⎫<⋅ ⎪⎝⎭D ．()π2cos113f f ⎛⎫>⋅ ⎪⎝⎭【答案】ABD【分析】令()()πcos ,0,2g x f x x x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，求导后可判断函数()g x 为增函数，利用单调性可依次判断各选项.【详解】由题意得：令()()πcos ,0,2g x f x x x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，于是其导数()()()cos sin g x f x x f x x =-''．又函数()()π,0,,2y f x x f x ⎛⎫'=∈ ⎪⎝⎭是其导函数，恒有()()cos sin f x x f x x >'，即()()cos sin 0f x x f x x '->，所以()0g x '>，即函数()g x 为增函数．对于选项A ：由ππ34>，有ππ34g g ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即ππππcos cos 3344f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，于是ππ234f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 正确；对于选项B ：由ππ46>，有ππ46g g ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即ππππcos cos 4466f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，于是π6π426f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确；对于选项C ：由16π>，有()π16g g ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即()ππ1cos1cos 66f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，于是()3π1cos126f f ⎛⎫>⎪⎝⎭，无法比较()1cos1f 与1π26f ⎛⎫⎪⎝⎭的大小关系，故C 错误；对于选项D ：由π13>，有()π13g g ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即()ππcos 1cos133f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，于是()1π1cos123f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即()π2cos113f f ⎛⎫>⋅ ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：ABD ．12．在数列{}n p 中，如果对任意()2*n n ≥∈N ，都有11n nn n P P k P P +--=（k 为常数），则称数列{}n p 为比等差数列，k 称为比公差.则下列说法错误的是（）A ．等比数列一定是比等差数列，且比公差1k =B ．等差数列一定不是比等差数列C ．若数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，则数列{}n n a b ⋅一定是比等差数列D ．若数列{}n a 满足121a a ==，()112n n n a a a n +-=+≥，则该数列不是比等差数列【答案】ABC【分析】根据比等差数列定义直接验证可判断A ；令1n b =，依定义验证可判断B ；令0n a =，1n b =，然后依定义验证可判断C ；根据递推公式求出前4项，然后依定义验证可判断D.【详解】若{}n a 为等比数列，公比0q ≠，则1n n a q a +=，1n n aq a -=，所以1101n nn n a a k a a +--==≠，故选项A 错误；若1n b =，{}n b 是等差数列，则110n nn n b b b b +--=，故{}n b 为比等差数列，故选项B 错误；令0n a =，1n b =，则0n n a b ⋅=，此时1111n n n n n n n n a b a ba b a b ++---无意义，故选项C 错误；因为数列{}n a 满足121a a ==，()112n n n a a a n +-=+≥，所以32a =，43a =，故33242132112a a a a a a a a -=≠-=-，所以{}n a 不是比等差数列，故选项D 正确.故选：ABC.三、填空题13．公比为2的等比数列{}n a 中，若123a a +=，则45a a +的值为．【答案】24【分析】借助等比数列通项公式求解.【详解】因为等比数列{an }的公比q =2，a 1+a 2=3，则a 4+a 5=a 1q 3+a 2q 3=（a 1+a 2）q 3=3×23=24．故答案为：24．14．函数()3234f x x x =+-的极大值为.【答案】0【分析】先求导求解函数单调性，再结合极值定义求解即可.【详解】函数()3234f x x x =+-的导数()()23632f x x x x x '=+=+，令()0f x '=，则0x =或2x =-，所以()f x 在()(),2,0,-∞-+∞单调增，在()2,0-单调递减，所以()f x 的极大值为()281240f -=-+-=.故答案为：015．已知函数()()21220232023ln 2f x x xf x '=-++，则()2023f '=.【答案】2022【分析】求出()f x '，再将2023x =代入，即可求出答案.【详解】由于()()21220232023ln 2f x x xf x '=-++，于是导函数()()202322023f x x f x ''=-++，因此()()202320232023220232023f f ''=-++，解得()20232022f '=.故答案为：202216．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()1110n n na n a +-++=（*n ∈N ），且13a =，25a =.若12nn S m +>恒成立，则实数m 的取值范围为.【答案】()1,+∞【分析】由1(1)10n n na n a +-++=得21(1)(2)10n n n a n a +++-++=，两式相减可证明数列{}n a 为等差数列，继而可求出21n a n =+，令12n n n S b +=，通过21232n n n n b b ++--=可知，当2n ≥时，数列{}n b 单调递减，故可求出{}n b 最大值，进而可求m 的取值范围.【详解】由1(1)10n n na n a +-++=，可得21(1)(2)10n n n a n a +++-++=.两式相减，可得2120n n n a a a ++-+=，所以数列{}n a 为等差数列.因为13a =，25a =，所以2d =，所以21n a n =+，22n S n n =+，则211222n n n S n n+++=.令12n n n S b +=，则21232n n n n b b ++--=.当2n ≥时，10n n b b +-<，数列{}n b 单调递减，而134b =，21b =，31516b =，所以数列12n n S +⎧⎫⎨⎬⎩⎭中的最大项为1，故1m >，即实数m 的取值范围为(1,)+∞.故答案为:(1,)+∞.四、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项为n S ，416a a -=，420S =-．(1)求{}n a 的通项公式；(2)若18k S =-，求k 的值．【答案】(1)210n a n =-(2)3或6【分析】（1）解：设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题意列出方程，求得18a =-，2d =，即可求得数列{}n a 的通项公式；（2）由18k S =-，结合等差数列的求和公式，列出方程，即可求解.【详解】（1）解：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为416a a -=，可得4162413a a d -===-，又因为420S =-，可得14342202a ⨯+⨯=-，解得18a =-，所以1(1)8(1)2210n a a n d n n =+-=-+-⨯=-，即数列{}n a 的通项公式为210n a n =-.（2）解：由（1）知18a =-，2d =，因为18k S =-，可得()182182k k k --+⨯=-，即29180k k -+=，解得3k =或6k =.18．设函数()()322113f x x x m x =-++-，其中0m >．(1)当1m =时，求()f x 在区间[]3,2-上的最大值与最小值；(2)求函数()f x 的单调递增区间．【答案】(1)()max 18f x =，()min 0f x =(2)()1,1m m -+【分析】（1）利用导数可确定()f x 在[]3,2-上的单调性，进而确定最值点和最值；（2）求导后，根据()0f x '=的两根可确定()0f x ¢>的解集，由此可得单调递增区间.【详解】（1）当1m =时，()3213f x x x =-+，()()222f x x x x x '∴=-+=--，∴当[)3,0x ∈-时，()0f x '<；当()0,2x ∈时，()0f x ¢>；()f x \在[)3,0-上单调递减，在(]0,2上单调递增，又()39918f -=+=，()842433f =-+=，()00f =，()()max 318f x f ∴=-=，()()min 00f x f ==.（2）由题意知：()f x 定义域为R ，()()()()222111f x x x m x m x m '=-++-=--++-⎡⎤⎣⎦；令()0f x '=，解得：1x m =+或1x m =-；0m > ，11m m ∴-<+，∴当()1,1x m m ∈-+时，()0f x ¢>，()f x \的单调递增区间为()1,1m m -+.19．如图，在四棱雉P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AD CD ⊥，//AD BC ，2PA AD CD ===，3BC =．E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且13PF PC =，点G 在PB 上，且23PG PB =．(1)求证：//AG 平面PCD ；(2)求平面AEF 与平面ADP 的夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)33【分析】（1）证明出AG 、DC 、DP 共面，再由AG ⊄平面PBD ，即可证得结论成立；（2）以点A 为坐标原点，DC 、AD 、AP 的方向分别为x 、y 、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面AEF 与平面ADP 的夹角的余弦值.【详解】（1）证明：因为点G 在PB 上，且23PG PB =，即23PG PB = ，即()23AG AP AB AP -=- ，所以，2133AG AB AP =+ ，因为//AD BC ，2PA AD CD ===，3BC =，则32CB AD =- ，因为3122AB AD DC CB AD DC AD DC AD =++=+-=- ，AP AD DP =+ ，所以，()21211213332333AG AB AP DC AD AD DP DC DP ⎛⎫=+=-++=+ ⎪⎝⎭ ，所以，AG 、DC 、DP 共面，又因为AG ⊄平面PBD ，所以，//AG 平面PBD .（2）解：因为PA ⊥平面ABCD ，AD CD ⊥，以点A 为坐标原点，DC 、AD 、AP 的方向分别为x 、y 、z 轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A 、()0,2,0D 、()2,2,0C 、()002P ,,、()0,1,1E ，因为点F 在PC 上，且13PF PC =，则()112222,2,2,,33333PF PC ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭，则()2222240,0,2,,,,333333AF AP PF ⎛⎫⎛⎫=+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()0,1,1AE = ，设平面AEF 的法向量为(),,n x y z = ，则02240333n AE y z n AF x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩，取1y =，可得()1,1,1n =- ，易知平面ADP 的一个法向量为()1,0,0m = ，所以，13cos ,313m n m n m n ⋅===⨯⋅ .因此，平面AEF 与平面ADP 的夹角的余弦值为33.20．三门是“中国青蟹之乡”，气候温暖、港湾平静、水质优良，以优越的自然环境成为我国优质青蟹的最佳产区.所产的三门青蟹具有“金爪、绯钳、青背、黄肚”的特征，以“壳薄、皆黄、肉嫩、味美”而著称，素有“三门青蟹、横行世界”之美誉；且营养丰富，内含人体所需的18种氨基酸和蛋白质、脂肪、钙、磷、铁等营养成分，被誉为“海中黄金，蟹中臻品”.养殖户一般把重量超过350克的青蟹标记为A 类青蟹(1)现有一个小型养蟹池，已知蟹池中有50只青蟹，其中A 类青蟹有7只，若从池中抓了2只青蟹，用ξ表示其中A 类青蟹的只数，请写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望()E ξ；(2)另有一个养蟹池，为估计蟹池中的青蟹数目N ，小王先从中抓了50只青蟹，做好记号后放回池中，过了一段时间后，再从中抓了20只青蟹，发现有记号的有x 只，若5x =，试给出蟹池中青蟹数目N 的估计值（以使()5P x =取得最大值的N 为估计值）.【答案】(1)分布列见解析，()725E =ξ(2)199N =或200【分析】（1）ξ的取值为0，1，2，由古典概型概率公式求出对应概率，从而可得分布列，进而可求ξ的数学期望；（2）设()()515505020C C 5C N Nf N P x -===，判断增减性，可得199N >时，()()1f N f N +<，199N <时，()()1f N f N +>，进而可得答案.【详解】（1）由题意ξ的取值为0，1，2()243250C 1290C 175P ξ===，()11743250C C 431C 175P ξ===，()27250C 32C 175P ξ===分布列为ξ012P 129175431753175()43371217517525E ξ=⨯+⨯=（2）设()()515505020C C 5C N Nf N P x -===()()()()()()2214919689316416364f N N N N N f N N N N N +---+==-+--()()226893163645995N N N N N -+---=-+，所以199N =时，()()1f N f N +=199N >时，()()1f N f N +<，199N <时，()()1f N f N +>所以当199N =或200时，()5P x =最大，估计蟹池中青蟹数目为199或200只21．在平面直角坐标系xOy 中，顶点在原点，以坐标轴为对称轴的抛物线C 经过点()2,4.(1)求C 的方程；(2)若C 关于x 轴对称，焦点为F ，过点(4,2)且与x 轴不垂直的直线l 交C 于,M N 两点，直线MF 交C 于另一点A ，直线NF 交C 于另一点B ，求证：直线AB 过定点.【答案】(1)28y x =或2x y=(2)证明见解析【分析】（1）分类讨论C 的焦点在x 或y 轴上，设出抛物线的方程，将点()2,4代入即可得出答案；（2）设222231241234,,,,,,,8888y y y y M y N y A y B y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，分别求出直线MN ，,AM BN 的方程，由题意可得()1212232y y y y +-=，132416y y y y ==-，再求出直线AB 的方程，代入化简即可得出直线AB 过的定点.【详解】（1）若C 的焦点在x 轴上，设抛物线C 的方程为22(0)y px p =>，将点()2,4代入，得244p =，解得4p =，故C 的方程为28y x =；若C 的焦点在y 轴上，设抛物线C 的方程为22(0)x py p =>，将点()2,4代入，得228p =，解得12p =，故C 的方程为2x y =，综上，C 的方程为28y x =或2x y =.（2）证明：由（1）知抛物线C 的方程为28y x =.若直线l 不过点F，如图，设222231241234,,,,,,,8888y y y y M y N y A y B y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由题意可知直线MN 的斜率存在且不为0，则直线MN 的斜率12221212888MN y y k y y y y -==+-，所以直线MN 的方程为2111288y y y x y y ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭，即()121280x y y y y y -++=，同理直线,AM BN 的方程分别为()()1313242480,80x y y y y y x y y y y y -++=-++=，由直线MN 过定点()4,2，可得()1212232y y y y +-=，由直线,AM BN 过焦点()2,0F ，可得132416y y y y ==-，直线AB 的方程为()343480x y y y y y -++=，由132416y y y y ==-，得1212161625680x y y y y y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，所以()12128162560y y x y y y +++=，即()12122320y y x y y y +++=，又因为()1212232y y y y +-=，所以()()123210x y y y y +++=.令0,10,x y y +=⎧⎨+=⎩解得1,1,x y =⎧⎨=-⎩故直线AB 恒过定点()1,1-.若直线l 过点F ，直线AB 即为直线MN ，其方程为()200242y x --=--，即2y x =-，显然直线过点()1,1-.综上，直线AB 过定点()1,1-.22．已知()ln f x ax x =-，()e xx g x =．(1)求()f x 的单调区间；(2)当1a =时，函数()()f x g x k +-有2个零点，分别为12,x x 且满足12x x <，证明：121x x <．【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）先对()f x 求导，分类讨论0a ≤与0a >两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解；（2）利用同构法，结合导数研究函数()()0e x x t x x =>与1()ln 0e h t t t t ⎛⎫=-<≤ ⎪⎝⎭的图像，从而推得1212e ex x x x =，再利用导数将双变量问题转化为恒成立问题，由此得解.【详解】（1）因为()()ln 0f x ax x x =->，所以()11(0)ax f x a x x x-='-=>，当0a ≤时，()0,()f x f x '<在(0,)+∞单调递减；当0a >时，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0,()f x f x '<单调递减；当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0,()f x f x '>单调递增；故当0a ≤时，()f x 的单调递减区间为(0,)+∞，无单调递增区间；当0a >时，()f x 的单调递减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.（2）因为1a =，所以()()ln e x k f x x g x k x x -++=--,令ln 0e x x x x k -+-=，即(ln )ln e e e x x x x x x k x x =--=-，令()()0e x x t x x =>，则1()e xx t x -'=，当(0,1)x ∈时，()0,()t x t x '>单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()0,()t x t x '<单调递减；故max ()(1)e 1t x t ==，又(0)0t =，当0x >时，()0ex x t x =>，则1ln ,0,e k t t t ⎛⎤=-∈ ⎥⎝⎦，令1()ln 0e h t t t t ⎛⎫=-<≤ ⎪⎝⎭，则11()1t h t t t -'=-=，当10,e t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0,()h t h t '<单调递减，111e e h ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以当11e k >+，存在唯一010,e t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，满足()0k h t =，且存在12,x x ，满足1201x x <<<且12012e e x x x x t ==，要证121x x <，由1212e e x x x x =，得1122ln ln x x x x -=-，设21(1)x p p x =>，则21x px =，故111111ln ln ln ln x x px px p x px -=-=+-，所以12ln ln ,11p p x x p p p ==--，即证2ln 11p p p ⎛⎫< ⎪-⎝⎭，即证()()221ln p p p -<，即证1ln p p p<-，令(1)p m m =>，则2ln ln 2ln p m m ==，即证12ln m m m <-，即证12ln 0m m m-+<恒成立，令()1()2ln 1F m m m m m =-+>，则22221(1)()10m F m m m m --'=--=<，故()F m 在(1,)+∞上单调递减，即()(1)0F m F <=恒成立，即证.【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理．。
高二下学期数学期末复习试卷（1）一、选择题：1、已知集合A ＝｛y ︱322+-=x x y ｝，B ＝｛x ︱291x y -=｝，则A ∩B ＝（ C ）（A ）[]3,3- （B ）（－3，3）（C ）[)3,2 （D ）（2，3）2、a 、b 、c R ∈使c c b a >成立的一个充分条件是（ A ）（A ）0,0>>>c b a （B ）0,0<>>c b a （C ）0,0<>>c a b （D ）0,0>>>c a b3、函数[]8)(log )(2131-=x x f 的定义域是（ D ） （A ）[)+∞-,3log 22（B ）()3,-∞-（C ）[)3,3log 22- （D ）[)3,3log 22--4、设()π,0∈x ，则函数xx y sin 22sin +=的最小值是（ C ） （A ）2 （B ）49 （C ）25 (D) 3 5、设函数b ax x f +=)( )10(≤≤x ，则02>+b a 是0)(>x f 恒成立的（ B ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 (D) 既不充分又不必要条件 6、令6242)(---+-=x x x x f ，其中82≤≤x ，则)(x f 的值域是（ D ）（A ）[]1,0 （B ）[]2,1 （C ）[]2,1- (D) []2,07、已知-1<a+b<3，且2<a-b<4，则2a+3b 的范围是D A.(213-，217) B.(27-，211) C.(27-，213) D.(29，213) 8、关于x 的不等式ax-b>O 的解集是(1，+∞)，则关于x 的不等式2x b ax -+>0的解集是A A.(-∞，-1)∪(2，+∞) B.(-1，2) C.(1，2) D.(-∞，1)∪(2，+∞)9、有下列四个命题：①“若x+y=0 , 则x ,y 互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q ≤1 ,则x 2 + 2x+q=0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题。
2020–2021学年高二下学期期末测试卷01数学·全解全析1．B 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知条件可得出关于1a 、d 的方程组，解出两个量的值，利用等差数列的求和公式可求得7S 的值.因为4516127053a a a d a a d +=+=⎧⎨=+=⎩，所以172a d =-⎧⎨=⎩，因此，()7176767772722S a d ⨯⨯=+=-⨯+⨯=-. 故选：B. 2．A 【解析】根据等差数列片断和的性质得出4S 、84S S -、128S S -、1612S S -成等差数列，并将8S 和16S 都用4S 表示，可得出816S S 的值．若数列{}n a 为等差数列，则4841281612,,,S S S S S S S ---也成等差数列， 因为4825S S =，所以48423S S S =-， 则数列4841281612,,,S S S S S S S ---是以4S 为首项，以412S 为公差的等差数列， 则84412841612435,2,22S S S S S S S S S -=-=-=， 所以841645,72S S S S ==，所以816514S S =. 故选：A ． 3．D 【解析】由题意，判断出数列{}n a 是公差为0的等差数列，然后分别利用等差数列的定义与等比数列的定义判断每个选项即可.因为数列{}n a 和{}n S 都是等差数列，1n n n a S S -=-，所以可判断n a 为定值，所以数列{}n a 是公差为0的等差数列，即10n n a a --=.对A ，()()1111----++-=-+-=n n n n n n n n n a S a S S S a a a ，所以数列{}n n a S +是等差数列；对B ，1121----=⋅⋅⋅⋅-=n n n n n n n n n a S a S a S a S a ，所以数列{}n n a S ⋅是等差数列；对C ，222211-==n n n n a a a a ，所以数列{}2n a 是等比数列；对D ，设n a a =，则222,==n n S na S n a ，则221222222(1)(1)-==--n n n a n n a n S S ，所以数列{}2nS 不是等比数列. 故选：D 【点睛】解答本题的关键在于判断出数列{}n a 是公差为0的等差数列，然后结合等差数列的定义，等比数列的定义列式判断是否为等差或者等比数列. 4．A 【解析】首先根据极值点为1，求得a e =，再结合函数的单调性，判断实根个数.由()'xf x e a =-，得()10'=-=f e a则a e =()x f x e ex =-函数()f x 在()2,+∞，()()'0,f x f x >单调递增，()222f e e e =-<,函数()y f x =与y a =的交点个数为1个.故选：A 5．B 【解析】由()20f '=求出a 的值，然后利用导数可求得函数()f x 在1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值.()22ln 3f x x ax x =+-，则()223f x ax x=+-'， 由题意可得()2420f a '=-=，解得12a =，则()212ln 32f x x x x =+-， ()22323x x f x x x x-+'=+-=，令()0f x '=，可得1x =或2x =，列表如下：x1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭1()1,22(]2,3()f x '+0 -+()f x极大值极小值所以，函数()f x 的极大值为()12f =-，极小值为()22ln 24f =-， 又1112ln 228f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()932ln 32f =-，()()()95312ln 32ln 322ln 31022f f -=-+=-=->，则()()13f f <，所以，()()max 932ln 32f x f ==-.故选：B. 【点睛】思路点睛：利用导数求函数()y f x =在[],a b 上的最大值和最小值的步骤如下： （1）求函数()y f x =在(),a b 内的极值；（2）将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a 、f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 6．D 【解析】根据数列递推公式与数列的前n 项和n S ，判断数列{}n a 的单调性与临界值，对每个序号逐一判断.①()2212101n n n n n a a a a a +-+=-=≥-，所以数列{}n a 是递增数列，又()111n n n a a a +-=-，所以11n a +-与1n a -同号，又因为1112a -=-，所以110n a +-<，即11n a +<，故①错；()()1221211123n n n n n n a a a a a a +--+=--=-，由①知，数列{}n a 是递增数列且恒小于1，所以112n a ≤<，所以()()2101n n a a -<-即1210n n a a +--≤恒成立，故②正确；因为1n n n a S ∞==∑，15566n n ∞==∑，56n S n <等价于15()06n n a ∞=-<∑，因为数列{}n a 是递增数列且恒小于1，所以存在N n +∈，当n N >时，有561n a <<，因为N 为固定的值，记为0M <，n 趋向于+∞，51066n a -→>，所以+1+2555+++666n n n p a a a M +⎛⎫⎛⎫⎛⎫--->- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1155()()066N p n n n n a a +∞==->->∑∑，故③错误；因为1n n n a S ∞==∑，21n n n a T ∞==∑，11n n ∞==∑，所以2n n S T n -≤等价于211(2)0n n n a a ∞-=-≤∑，因为()21210n n n a aa --=--≤恒成立，所以211(2)0n n n a a ∞-=-≤∑恒成立，故④正确；故选：D. 【点睛】解答该题的关键在于判断数列{}n a 的单调性与临界值，根据数列的递推公式判断数列1n n a a +-的正负，从而得数列的单调性，同时需要利用数列相关不等式的推断数列的临界值. 7．D 【解析】①对函数求导得22()0(1)xf x e x '=+>-，只能说明()f x 在(,1)-∞和()1,+∞上都是增函数，不能说明()f x 在其整个定义域上为增函数；②直接计算()f a 的值，分离常数后，在1a <的条件下与1-比较大小即可； ③可得()f x 在(,1)-∞和()1,+∞上都是增函数，由零点存在性定理即可判断； ④先写出x y e =在()()000,1x x ex≠处的切线方程l ，再设直线l 与 ln y x =相切于()11,ln A x x ，化简整理可得()00001011xx e x x +-=≠-.①函数()f x 的定义域为()(),11,-∞+∞，且22()0(1)x f x e x '=+>-，∴()f x 在(,1)-∞和()1,+∞上都是增函数，但不能说明()f x 在其整个定义域上为增函数，故①错误；②当1a <时，有201ae a ->-，12()1111a a a f a e e a a +∴=-=-+->---，故②正确； ③()f x 在(,1)-∞上是增函数，且22111(2)033f e e --=-=-<，(0)20f =>，()f x ∴在(,1)-∞上有且仅有1个零点；()f x 在()1,+∞上是增函数，且55244593304e ⎛⎫=-<-< ⎪⎝⎭，2e (2)30f =->，()f x ∴在()1,+∞上有且仅有1个零点，故()f x 有且仅有两个零点，故③正确；④x y e =在点()()000,1x x e x ≠处的切线方程l 为()000-=-x xy e e x x ，又l 也是ln y x =的切线，设其切点为()11,ln A x x ，则l 的斜率为11k x =，则011x e x =，01xx e -∴=，即()00,x A e x --，又点A 在l 上，()0000x x x x e eex -∴--=-，()00001011xx e x x +∴-=≠-，0x ∴必是()f x 零点，故④正确. 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题考查利用导数研究函数的切线方程、单调性和零点问题，有一定的综合性，解题的关键是利用清楚导数的几何意义以及导数与单调性的关系. 8．D 【解析】分析得出0a <，利用导数分析函数()f x 的单调性，可得知1x 为函数()f x 的极大值点，2x 为函数()f x 的极小值点，再由()()1f x f n =、()()2f x f m =结合因式分解可得出结论.当0a ≥时，()230f x x a '=+≥，此时，函数()f x 在R 上为增函数，当1x 、()2,x m n ∈时，()()1f x f n <，()()2f x f m >，不合乎题意，所以，0a <. 由()0f x '=可得3ax =±-当3a x或3ax 时，()0f x '>；当33a ax时，()0f x '<. 所以，函数()f x 的单调递增区间为,3a ⎛-∞-- ⎝，,3a ⎫-+∞⎪⎪⎭，单调递减区间为,33a a ⎛---⎝. 对任意的[],x m n ∈恒有()()()f m f x f n ≤≤，()()min f x f m =，()()max f x f n =， 又当1x 、()2,x m n ∈且满足()()1f x f n =，()()2f x f m =，所以，1x 为函数()f x 的极大值点，2x 为函数()f x 的极小值点，则13a x =--，23a x =-，由()()1f x f n =可得3311x ax b n an b ++=++，可得()()33110x n a x n -+-=， 即()()221110x n x nx n a -+++=，因为1x n ≠，则22110x nx n a +++=，13a x =--213a x =-，所以，221120n nx x +-=，即()()1120n x n x -+=， 所以，120n x +=，同理可得220m x +=， 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于以下两点：（1）利用已知条件分析出1x 、2x 为函数()f x 的极值点；（2）利用等式()()1f x f n =，()()2f x f m =结合因式化简得出结果. 9．ABC 【解析】由11a =，12n n n a a +⋅=可求出44a =判断A ，由+1+122n n n a a +⋅=与12n n n a a +⋅=相比即可判断B ，由等比数列通项公式即可判断C ，D.因为11a =，12nn n a a +⋅=，所以2342,2,4a a a ===， 由12nn n a a +⋅=可得1122n n n a a +++⋅=，所以22n na a +=， 所以{}2n a ，{}21n a -分别是以2,1为首项，公比为2的等比数列， 所以111221222,122n n n n n n a a ----=⋅==⋅=，所以12212n n n a a ---=，11212322n n n n a a -+-+=⋅≠，综上可知，ABC 正确，D 错误. 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：根据数列的递推关系，等比数列的定义，判断出数列{}2n a ，{}21n a -是等比数列，是解题的关键，属于中档题. 10．BD 【解析】A 选项借助导数研究函数的极值情况；BC 选项，构造新函数研究函数的零点问题以及参数取值范围；D 选项根据新函数单调性比较函数值的大小，从而得到双变量的关系．A ：函数()f x 的定义域为()0,∞+，()22212x f x x x x-'=-+=， 当()0,2x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()2,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增， 所以2x =是()f x 的极小值点，故A 错误；B ：()2ln y f x x x x x=-=+-，22221210x x y x x x -+'=-+-=-<， 所以函数在()0,∞+上单调递减，又()112ln1110f -=+-=>，()221ln22ln210f -=+-=-<， 所以函数()y f x x =-有且只有1个零点，故B 正确；C ：若()f x kx >，即2ln x kx x +>，则22ln x k x x<+， 令()22ln x g x x x =+，则()34ln x x xg x x-+-'=， 令()4ln h x x x x =-+-，则()ln h x x '=-，当()0,1x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调递减， 所以()()130h x h ≤=-<，所以()0g x '<， 所以()22ln xg x x x=+在()0,∞+上单调递减，函数无最小值， 所以不存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立，故C 错； D ：因为()f x 在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增， ∴2x =是()f x 的极小值点，∵对任意两个正实数1x ，2x ，且21x x >，若()()12f x f x =，则1202x x <<<． 令()211x t t x =>，则21x tx =， 由()()12f x f x =，得121222ln ln x x x x +=+，∴211222ln ln x x x x -=-，即()2121212ln x x x x x x -=，即()11121ln t x t x tx -=⋅，解得()121ln t x t t-=，()2121ln t t x tx t t -==，所以21222ln t x x t t-+=．故要证124x x +>，需证1240x x +->，需证22240ln t t t -->，需证2224ln 0ln t t tt t-->． ∵211x t x =>，则ln 0t t >，∴证2224ln 0t t t -->． 令()()2224ln 1H t t t t t =-->，()()44ln 41H t t t t '=-->，()()()414401t H t t t t-''=-=>>，所以()H t '在()1,+∞上是增函数． 因为1t →时，()0H t '→，则()0H t '>，所以()H t 在()1,+∞上是增函数．因为1t →时，()0H t →，则()0H t >，所以2224ln 0ln t t tt t-->，∴124x x +>，故D 正确， 故选：BD ． 【点睛】思路点睛：借助导数研究函数的极值情况，构造新函数研究函数的零点问题以及参数取值范围；可以将自变量的大小比较通过构造新函数，通过单调性转化为函数值的大小比较，从而得到自变量间的关系． 11．BC 【解析】 由()f x 求导3()42f x x ax a '=++，再由()'f x 求导得到2()122f x x a ''=+，然后分0a > ，2732a <-，27032a -<讨论分析选项ABC ，选项D 根据12120,0x x x x <<+>，作差()()12f x f x -()()()()22121212x x x x x x a a =-++++，取()2212a x x =-+判断。
赣州市2014～2015学年度第二学期期末考试高二数学（理科）试题2015年6月（共150分．考试时间120分钟）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每一小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案填写在答题卷上.1.已知i 为虚数单位，(2i)z 12i +=+，则z 的共轭复数z =A.43i 55+ B.43i 55- C.4i 3+ D.4i 3- 2.用数学归纳法证明某命题时，左式为1cos cos3cos(21)2n ααα+++⋅⋅⋅+-(π, ,)k k Z n α*≠∈∈N 在验证1n =时，左边所得的代数式为A.12B.1cos 2α+C.1cos cos32αα++D.1cos cos3cos52ααα+++3.为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了下表：根据表中的数据你认为喜爱打篮球与性别之间有关系的把握是 A.0097.5B.0099C.0099.5D.0099.9参考数据:22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++．临界值表：4.设随机变量ξ服从正态分布()3,4N ，若()()232P a P a ξξ<-=>+，则实数a 等于 A.5 B.53 C.73D.35.一牧场有10头牛,因误食含有病毒的饲料而被感染,已知该病的发病率为0.02.设发病的牛的头数为ξ,则()D ξ等于 A.0.2B.0.8C.0.196D.0.8046.由曲线y =，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为A.4B.6C.103D.1637.从0,1,2,3,4,5共6个数中任取三个组成的无重复数字的三位数，其中能被5整除的有 A.40个 B.36个 C.28个D.60个8.由抛物线24y x =与直线3y x =-围成的平面图形的面积为 A.643 B.323C.64D.32 9.设()52501252x a a x a x a x -=++++ ，那么02413a a a a a +++的值为A.122121-B.6160-C.244241- D.1- 10.已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()2(1)ln f x xf x '=+，则(1)f '= A.e - B.1 C.1- D.e11.将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中, 这些小球仅号码不同，其余完全相同．甲从袋中摸出一个球，其号码为a ，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b ．则使不等式2100a b -+>成立的事件发生的概率等于 A.8161 B.8160 C.8159 D.815212.下列命题中①若0()0f x '=,则函数()y f x =在0x x =取得极值；②直线5210x y -+=与函数()sin(2)3f x x π=+的图像不相切；③若z ∈C （C 为复数集），且|22i |1,|22i |z z +-=--则的最小值是3；④定积分4-=π⎰．正确的有．A.①④B.③④C.②④D.②③④二、填空题：本大题共有4小题，每小题5分，共20分，答案填写在答题卷上. 13.复数21i 1i 2+++在复平面中的第 象限. 14.有5名数学实习老师，现将他们分配到高二年级的三个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有 种（用数字作答）．15.如图，EFGH 是以O 为圆心，1为半径的圆的内接正方形，将一颗豆 子随机地掷到圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表 示事件“豆子落在扇形HOE （阴影部分）内”，则(|)P B A = . 16.已知函数()y f x =是奇函数，当(0,2)x ∈时，1()ln ()2f x x ax a =->，当(2,0)x ∈-时，()f x 的最小值为1，则a 的值为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.已知曲线14cos :3sin x t C y t =-+⎧⎨=+⎩（t 为参数），28cos :3sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.（Ⅰ）化1C ，2C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （Ⅱ）若1C 上的点P 对应的参数为π2t =，Q 为2C 上的动点，求PQ 中点M 到直线3:(cos 2sin )7C ρθθ-=距离的最小值.18.（本小题满分12分）已知函数3()16f x x x =+-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(26)-，处的切线方程；（Ⅱ）直线l 为曲线()y f x =的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标．19.（本小题满分12分）给出四个等式：11=；14(12)-=-+；149123-+=++；14916(1234)-+-=-+++ .猜测第()n n *∈N 个等式，并用数学归纳法证明．20.（本小题满分12分）某同学参加高校自主招生3门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为25，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p ，()q p q <，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为（Ⅰ）求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率及求p ，q 的值； （Ⅱ）求该生取得优秀成绩课程门数的数学期望E ξ． 21.（本小题满分12分）班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25名女同学，15名男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析.随机抽出8位，他们的数学分数从小到大排序是：60、65、70、75、80、85、90、95，物理分数从小到大排序是：72、77、80、84、88、90、93、95.（Ⅰ）若规定85分以上（包括85分）为优秀，求这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀的概率；（Ⅱ）若这8位同学的数学、物理分数对应如下表：有线性相关性？如果具有线性相关性，求y 与x 的线性回归方程（系数精确到0.01）；如果不具有线性相关性，请说明理由.参考公式：相关系数()()niix x y y r --=∑；回归直线的方程是：ˆybx a =+. 其中对应的回归估计值121()(),()niii nii x x y y b a y bx x x ==--==--∑∑；参考数据：8822111177.5,85,()1050,()456i i x y x x y y ====-≈-≈∑∑；8111()()23.5i x x yy =--≈≈≈≈∑22.（本小题满分12分） 已知函数211()ln ()212f x x a x a =-+∈R （Ⅰ）求函数)(x f 单调区间；（Ⅱ）若1-=a ，求证：当1>x 时，332)(x x f <.赣州市2014～2015学年度第二学期期末考试高二数学理科答案2015 .6一、选择题：1～5. BBACC ； 6～10. DBABC ； 11～12. DA. 二、填空题：13.四； 14.90； 15.14； 16.1a = 三、解答题：17. 解：（Ⅰ）222212:(4)(3)1,:1649x y C x y C ++-=+=………………………………2分 1C 为圆心是(4,3)-，半径是1的圆.2C 为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆…………4分（Ⅱ）当π2t =时，(4,4),(8cos ,3sin )P Q θθ-…………………………………………5分 故3(24cos ,2sin )2M θθ-++……………………………………………………………6分 3C 为直线270x y --=……………………………………………………………………7分M 到3C 的距离3sin 13d θθ=--……………………………………………8分从而当43cos ,sin 55θθ==-时，d 取得最小值5…………………………………10分 18．解：（1）'2()31f x x =+Q ……………………………………………………………2分 所以在点(26)-，处的切线的斜率2(2)32113k f '==⨯+=，………………………4分∴切线的方程为1332y x =-；……………………………………………………………6分（2）设切点为00()x y ，，则直线l 的斜率为200()31f x x '=+，所以直线l 的方程为：230000(31)()16y x x x x x =+-++-………………………………7分所以又直线l 过点(00)，，2300000(31)()16x x x x ∴=+-++-，………………………………………………………9分整理，得308x =-， 02x ∴=-，30(2)(2)1626y ∴=-+--=-， l 的斜率23(2)113k =⨯-+=，…………………10分∴直线l 的方程为13y x =，切点坐标为(226)--，．……………………………………12分 18．解: 第n 个等式为：2222121234(1)n n --+-+⋅⋅⋅+-＝1(1)(123)n n --+++⋅⋅⋅+……………………………4分证明：(1)当1n =时，左边＝12＝1，右边＝01(11)(1)12⨯+-⨯=， 左边＝右边，等式成立…………………………………………………………………………6分 (2)假设(*)n k k =∈N 时，等式成立………………………………………………………7分 即2222121234(1)k k --+-+⋅⋅⋅+-＝11(1)(1)(123)(1)2k k k k k --+-+++⋅⋅⋅+=-. 则当1n k =+时，22221221234(1)(1)(1)k k k k --+-+⋅⋅⋅+-+-+＝12(1)(1)(1)(1)2k k k k k -+-+-+……………………………………………………………8分 ＝(1)(1)(1)2k k k k ⎡⎤-++-⎢⎥⎣⎦＝[](1)(1)1(1)2kk k +++-…………………………………………………………………10分∴当1n k =+时，等式也成立……………………………………………………………11分 根据(1)、(2)可知，对于任何n ∈N *等式均成立．………………………………………12分 19.解：用i A 表示“该生第i 门课程取得优秀成绩”， i =1，2，3．由题意得12()5p A =，1236()125p A A A =……………………………………………………2分 （Ⅰ）该生至少有一门课程取得优秀成绩的概率为12361191()1125125p p A A A =-=-= 2分 12312336()(1())(1())(1())(1)(1)5125p A A A P A P A P A p q =---=--=及123123224()()()()5125p A A A P A P A P A pq ===…………………………………………4分解得35p =，45q =……………………………………………………………………………6分（Ⅱ）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3………………………………………………7分6(0)125p ξ==， 43212213337(1)555555555125p ξ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，42243312358(2)555555555125p ξ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，6375824(3)1p ξ==---=……………………………………………………10分∴01231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． ∴该生取得优秀成绩的课程门数的期望为95．…………………………………………12分20.解：（1）这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀，则需要先从物理的4个优秀分数中选出3个与数学优秀分数对应，种数是)(343334A A C 或，然后剩下的5个数学分数和物理分数任意对应，种数是55A 。
高二数学期末试卷一、选择题（本大题共有12小题, 每小题5分, 共60分. 在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题意的，请把正确选项前的字母代号填在题后的括号内）1．物体的运动方程是S =10t －t 2(S 的单位：m ； t 的单位：s), 则物体在t =2s 的速度是 ( ) A ．2 m/s B ．4 m/s C ．6 m/s D ．8 m/s 2．算法此算法的功能是 ( )A ．a ，b ，c 中最大值B ．a ，b ，c 中最小值C ．将a ，b ，c 由小到大排序D ．将a ，b ，c 由大到小排序3．从一群游戏的孩子中抽出k 人，每人扎一条红带，然后让他们返回继续游戏，一会后，再从中任取m 人，发现其中有n 人扎有红带，估计这群孩子的人数为 （ ） A ．k m B ．k n C ．m kn D ．n km4．甲、乙、丙、丁四名射击选手在选拔赛 中所得的平均环数x 及其方差S 2如下表所示，则选送参加决赛的最佳人选 是 （ ）A ．甲B ． 乙C ．丙D ． 丁 5．若命题p : x ∈A ∪B , 则非p 是 ( ) A ．x ∉A 且x ∉B B ．x ∉A 或x ∉B C ．x ∉A ∩B D ．x ∈A ∩B 6．在下列命题中，(1)2,0x R x ∀∈≥. (2)x R ∃∈,使得x 2+x +1<0. (3)若tan α= tan β,则α=β.(4)若ac =b 2则a 、b 、c 成等比数列。
其中真命题有 （ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个7．若不等式|x －1| <a 成立的充分条件是0<x <4,则实数a 的取值范围是 ( )A ．a ≤1B ．a ≤3C ．a ≥1D ．a ≥38． (文科做) 甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是21，乙获胜的概率是31则65是 ( ）A ．乙胜的概率B ．乙不输的概率C ．甲胜的概率D ．甲不输的概率8．(理科做)若向量、的坐标满足(2,1,2)a b +=--，(4,3,2)a b -=--，则·等于 ( ) A ．1- B ．5- C ．5 D ．79．(文科做) 设一组数据的方差s 2,将这组数据的每个数据乘以10,所得到一组新数据的方差是( )9．(理科做)下列积分正确的一个是( )A ．22ππ-⎰sin x dx =2 B ．271⎰=12C ．ln 2⎰e x (1+ e x ) dx =163D ．21⎰12xe x dxe10．已知双曲线x 2a 2 － y 22 =1(a>2)的两条渐近线的夹角为π3,则双曲线的离心率为 ( )A ．2B ． 3C ．263D ．23311．在平面直角坐标系中，点(x ,y ) 中的x 、y ∈{0,1,2,3,4,5,6}且x ≠y ，则点(x ,y )落在半圆（x －3）2+y 2=9(y ≥0)内(不包括边界) 的概率是 （ ）A ．1142B ．1342C ．37D ．154912．函数y =x cos x －sin x 在下面哪个区间上是增函数 ( )A ．(2π, 23π)B ．(π, 2π)C ．( 23π,25π) D ．( 2π, 3π)二、填空题（本大题共有6小题，每题5分，共30分. 把结果直接填在题中的横线上）13．若施肥量x 与水稻产量y 的线性回归方程为ˆy=5x +250，当施肥量为80kg 时，预计的水 稻产量为 . 14.右图给出的是计算201614121+⋅⋅⋅+++的值的一个程序 框图，其中判断框内应填入的条件是 . 15有两个人在一座15层大楼的底层进入电梯，设他们中的每一个人自第二层开始在每一层离开是等可能的，则这两个 人在不同层离开的概率是 ．16．直线y ＝x －3与抛物线y 2=4x 交于A 、B 两点，过A 、B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P 、Q ，则梯形 APQB 的面积为 ．17．点P 是椭圆19y 16x 22=+上一点, F 1、F 2是其焦点, 若 ∠F 1P F 2=90°, △F 1P F 2面积为 ．18. (文科做) 函数f (x )= x －e x在点P 的切线平行于x 轴,则点P 的坐标为 ． 18. (理科做) 由曲线y=24x 、直线x =1、x =6和x 轴围成的封闭图形的面积为 ． 三、解答题（本大题共有6小题，满分50分. 解答需写出文字说明、推理过程或演算步骤） 19.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了20000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）．根椐上述信息回答下列问题：（1）月收入在[3000, 3500 )的居民有多少人? (2) 试估计该地居民的平均月收入（元）； (3) 为了分析居民的收入与年龄、学历、职 业等方面的关系，要从这20000人中再用分层抽样方法抽出300人作进一步调查，则在[2500, 3000 )（元）月收入段应抽出多少人．20.今有一批球票，按票价分别为10元票5张，20元票3张，50票2张，从这批票中抽出2 张. 问：（1）抽得2张均为20元的票价的概率 （2）抽得2张不同票价的概率.（3）抽得票价之和等于70元的概率.21.(文科做)已知命题p : f (x )=31x- , 且,命题q : 集合{}2|(2)10,A x x a x x R =+++=∈,B={x | x ＞0}, 且A B =∅，求实数a 的取值范围，使p 、q 中有且只有一个为真命题。
