(江西版)2013年高考数学总复习 第六章数列单元检测 理 北师大版(含详解)

2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,2,i M z =,i 为虚数单位,{}{}3,4,4N M N == ,则复数z =（ ）A.2i -B.2iC.4i -D.4i 【测量目标】集合的基本运算和复数的四则运算 【考查方式】利用并集运算、复数的乘法运算求解. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】{}{}1,2,i ,3,4,M z N == 由{}4,M N = 得4,i=4,M z ∈∴4i.z =- 2.函数)y x =-的定义域为（ ）A.(0,1)B.[0,1)C.(0,1]D.[0,1]【测量目标】函数的定义域.【考查方式】利用根式和对数函数有意义的条件求解. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】由00110x x x ⎧⇒<⎨->⎩…….3.等比数列,33,66x x x ++, 的第四项等于 ( )A.24-B.0C.12D.24【测量目标】等比数列性质.【考查方式】利用等比中项和等比数列的特点求解. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】由2(33)(66)1x x x x +=+⇒=-或3x =-，（步骤1） 当1x =-时，330x +=，故舍去，（步骤2）所以当3x =-，则等比数列的前3项为3,6,12---，故第四项为24-.（步骤3）4.总体有编号为01,02,…,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号【测量目标】简单的随机抽样.【考查方式】利用随机抽样方法中随机数表的应用求解. 【难易程度】容易 【参考答案】D 【试题解析】依题意，第一次得到的两个数为65,6520>,将它去掉；第二次得到的两个数为72，由于7220>,将它去掉；第三次得到的两个数字为08，由于0820<，说明号码08在总体内,将它取出;继续向右读，依次可以取出02,14,07,02;但由于02在前面已经选出，故需要继续选一个,再选一个数就是01，故选出来的第五个个体是01. 5.2532()x x-展开式中的常数项为 ( )A.80B.-80C.40D.40-【测量目标】二项式定理.【考查方式】利用二项展开式的通项公式求解.【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】展开式的通项为2510515532C ()()(2)C rrr r r r r T x x x --+=-=-， 令10502r r -=⇒=，故展开式的常数项为225(2)C 40-=.6.若22221231111,,e ,x S x dx S dx S dx x ===⎰⎰⎰则123,,S S S 的大小关系为( )A.123S S S <<B.213S S S <<C.231S S S <<D.321S S S <<【测量目标】定积分的几何意义.【考查方式】利用定积分的求法比较三个的大小来求解. 【难易程度】中等 【参考答案】B 【试题解析】32222212311122271,ln ln 2,e e e e 11133x x x S x dx S dx x S dx x =========-⎰⎰⎰，显然213S S S <<7.阅读如下程序框图，如果输出5i =,那么在空白矩形框中应填入的语句为( )第7题图A.22S i =-B.21S i =-C.2S i =D.24S i =+ 【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】根据程序框图表示的算法对i 的取值进行验证. 【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】当2i =时，22510;S =⨯+=<当3i =时，仍然循环，排除D;当4i =时，241910S =⨯+=< 当5i =时，不满足10,S <即此时10S …输出i .（步骤1）此时A 项求得2528,S =⨯-=B 项求得2519,S =⨯-=C 项求得2510,S =⨯=故只有C 项满足条件. （步骤2）8.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB CD ，正方体的六个面所在的平面与直线,CE EF 相交的平面个数分别记为,m n ，那么m n += （ ）第8题图A.8B.9C.10D.11 【测量目标】线面平行的判定.【考查方式】利用线面平行,线面相交的判断及空间想象力求解. 【难易程度】中等 【参考答案】A【试题解析】直线CE 在正方体的下底面内，与正方体的上底面平行；与正方体的左右两个侧面,前后两个侧面都相交,故4m =;(步骤1)作CD 的中点G ，显然易证平面EFG 的底边EG 上的高线与正方体的前后两个侧面平行,故直线EF 一定与正方体的前后两个侧面相交;另外,直线EF 显然与正方体的上下两个底面相交;综上,直线EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4，故4n =,所以8m n +=.(步骤2)9.过点引直线l 与曲线y =,A B 两点,O 为坐标原点,当AOB △的面积取最大值时,直线l 的斜率等于 ( )A.3 B.3- C.3± D.【测量目标】直线与圆的位置关系.【考查方式】利用角形的面积,点到直线的距离公式,三角函数的最值求解. 【难易程度】中等 【参考答案】B【试题解析】因为AOB △的面积在π2AOB ∠=时,取得最大值.设直线l 的斜率为k ,则直线l 的方程为(y k x =,即0kx y -=,(步骤1)由题意，曲线y =O 到直线l 的距离为π1sin4⨯=,23k =⇒=（舍去）,或k =.(步骤2) 10.如图，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线，12,l l 之间1l l ,l 与半圆相交于,F G 两点，与三角形ABC 两边相交于,E D 两点，设弧 FG 的长为(0π)x x <<,y EB BC CD =++，若l 从1l 平行移动到2l ,则函数()y f x =的图象大致是（ ）第10题图A B C D 【测量目标】函数图象的判断.【考查方式】利用函数的图象、扇形弧长、三角函数，以及数形结合的数学思想求解. 【难易程度】较难 【参考答案】D【试题解析】连接OF ,OG ,过点O 作,OM FG ⊥过点A 作AH BC ⊥,交DE 于点N .因为弧 FG的长度为x ,所以,FOG x ∠=则cos,2x AN OM ==所以cos ,2AN AE x AH AB ==则,2xAE =.2x EB ∴=2x y EB BC CD ∴=++=π)2xx =+<< 第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.11.函数2sin2y x x =+的最小正周期为T 为 . 【测量目标】三角函数的周期.【考查方式】利用三角恒等变换求解三角函数的最小周期. 【难易程度】容易 【参考答案】π【试题解析】2πsin 2sin sin 2cos 22sin(233y x x x x x =+==-，故最小正周期为2ππ2T ==. 12.设1e ,2e 为单位向量.且1e ,2e 的夹角为π3,若123=+a e e ,12=b e ,则向量a 在b 方向上的射影为 ___________.【测量目标】平面向量的数量积运算.【考查方式】利用向量的投影，向量的数量积运算求解. 【难易程度】容易 【参考答案】52【试题解析】121(3)2||cos ||||||||2θ+===e e e a b a b a a a b b2112π2611cos 2653.222+⨯⨯⨯+=== e e e 13.设函数()f x 在(0,)+∞内可导,且(e )e x x f x =+,则(1)f '= .【测量目标】导数的运算.【考查方式】利用导数的运算,函数解析式的求解,以及转化与化归的数学思想求解. 【难易程度】中等 【参考答案】2【试题解析】由1(e )e ()ln (0)()1(0)xxf x f x x x x f x x x'=+⇒=+>⇒=+>,故(1)2f '=. 14.抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ,其准线与双曲线22133x y -=相交于,A B 两点,若ABF △为等边三角形,则p = .【测量目标】直线与双曲线位置关系.【考查方式】利用抛物线与双曲线的简单性质，等边三角形的特征求解. 【难易程度】中等 【参考答案】6【试题解析】不妨设点A 在左方,AB 的中点为C ,则易求得点(0,),2pF (),2pA -)2pB -.（步骤1）因为ABF △为等边三角形，所以由正切函数易知tan 606FCp CB==⇒= . （步骤2）三、选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按第一题评阅计分，本题共5分 15.（1）.（坐标系与参数方程选做题）设曲线C 的参数方程为2x t y t=⎧⎨=⎩（t 为参数）,若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为 . 【测量目标】极坐标与参数方程.【考查方式】利用参数方程、直角坐标系方程和极从标的互化. 【难易程度】容易【参考答案】2cos sin 0ρθθ-=【试题解析】由曲线C 的参数方程为2,x t y t ==（t 为参数）， 得曲线C 的直角坐标系方程为2x y =，（步骤1） 又由极坐标的定义得，2(cos )sin ρθρθ=，即化简曲线C 的极坐标方程为2cos sin 0ρθθ-=.（步骤2）（2）.（不等式选做题）在实数范围内,不等式211x --…的解集为 . 【测量目标】解绝对值不等式.【考查方式】利用绝对值不等式的解法，结合绝对值的性质求解. 【难易程度】容易 【参考答案】[]0,4【试题解析】||2|1|11|2|110|2|222204x x x x x --⇒---⇒-⇒--⇒剟剟剟剟?.四、解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别为,,a b c ，已知cos (cos )cos 0C A A B +=. （1）求角B 的大小；（2）若1a c +=,求b 的取值范围 【测量目标】两角和与差的正余弦,余弦定理.【考查方式】给出相关信息,利用两角和的余弦函数,余弦定理求解. 【难易程度】中等【试题解析】（1）由已知得cos()cos cos cos 0A B A B A B -++=即有sin sin cos 0A B A B = （步骤1）因为sin 0A ≠，所以sin 0B B =，又cos 0B ≠，所以tan B =又0πB <<，所以π3B ∠=.（步骤2） （2）由余弦定理，有2222cos b a c ac B =+-.（步骤3）因为11,cos 2a c B +==，有22113()24b a =-+.又01a <<，于是有2114b <…，即有112b <….（步骤4）17.（本小题满分12分）正项数列{}n a 的前n 项和n S 满足：222(1)()0n n S n n S n n -+--+=（1）求数列{n a }的通项公式n a ； （2）令221(2)n n b n a+=+,数列{n b }的前n 项和为n T .证明:对于任意的*n ∈N ,都有564n T <【测量目标】数列的通项公式与前n 项和n S 的关系，裂项求和法.【考查方式】利用数列通项公式的求法和数列的求和，裂项求和法求出其前n 项和，通过放缩法证明. 【难易程度】中等【试题解析】（1）由222(1)()0n n S n n S n n -+--+=，得2()(1)0n n S n n S ⎡⎤-++=⎣⎦.由于{}n a 是正项数列，所以20,n n S S n n >=+.（步骤1）于是112,2a S n ==…时,221(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=. 综上,数列{}n a 的通项2n a n =.（步骤1） （2）证明:由于2212,(2)n n nn a n b n a +==+. 则222211114(2)16(2)n n b n n n n ⎡⎤+==-⎢⎥++⎣⎦.（步骤3） 222222222111111111111632435(1)(1)(2)n T n n n n ⎡⎤=-+-+-++-+-⎢⎥-++⎣⎦ (22221111)1151(1)162(1)(2)16264n n ⎡⎤=+--<+=⎢⎥++⎣⎦.（步骤4） 18.（本小题满分12分）小波以游戏方式决定参加学校合唱团还是参加学校排球队.游戏规则为:以O 为起点,再从12345678,,,,,,,,A A A A A A A A (如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为X .若0X =就参加学校合唱团,否则就参加学校排球队. （1）求小波参加学校合唱团的概率； （2）求X 的分布列和数学期望.第18题图【测量目标】古典概型，离散型随机变量分布列和期望.【考查方式】利用组合数的公式、向量数量积运算、古典概型概率等求解. 【难易程度】中等【试题解析】（1）从8个点中任意取两点为向量终点的不同取法共有28C 28=种，当0X =时，两向量夹角为直角共有8种情形,所以小波参加学校合唱团的概率为82(0)287P X ===.（步骤1） （2）两向量数量积X 的所有可能取值为2,1,0,1,2X --=-时,有两种情形;1X =时,有8种情形；1X =-时,有1(2)+(1)01.14147714EX =-⨯-⨯+⨯+⨯=-（步骤2）19.（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面,ABCD E 为BD 的中点,G 为PD 的中点，3,12DAB DCB EA EB AB PA ====△≌△,，连接CE 并延长交AD 于F . （1）求证:AD CFG ⊥平面；（2）求平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值.第19题图【测量目标】线面垂直的判定，二面角,空间直角坐标系，空间向量及运算. 【考查方式】利用线面垂直的定理求解，通过建系求二面角的平面角的余弦值. 【难易程度】中等 【试题解析】（1）在ABD △中，因为E 是BD 的中点,所以1EA EB ED AB ====,故ππ,23BAD ABE AEB ∠=∠=∠=，（步骤1） 因为DAB DCB △≌△,所以EAB ECB △≌△, 从而有FED FEA ∠=∠，（步骤2）故,EF AD AF FD ⊥=,又因为,PG GD =所以FG PA . 又PA ⊥平面ABCD ，所以,GF AD ⊥故AD ⊥平面CFG .（步骤3）（2）以点A 为坐标原点建立如图所示的坐标系,则3(0,0,0),(1,0,0),(2A B C D,第19题(2)图3(0,0,)2P ,故1333(0),(),(,2222222BC CP CD ==--=- ，， （步骤4）设平面BCP 的法向量111(1,,)y z =n，则111102233022y y z ⎧+=⎪⎪⎨⎪--+=⎪⎩ ，解得1123y z ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即12(1,,)33=-n .（步骤5）设平面DCP 的法向量222(1,,)y z =n，则222302330222y y z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪--+=⎪⎩，解得222y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩，（步骤6）即2(1=n .从而平面BCP 与平面DCP的夹角的余弦值为12124cos θ=== n n n n （步骤7）20. (本小题满分13分)如图,椭圆2222+=1(>>0)x y C a b a b：经过点3(1,),2P 离心率1=2e ，直线l 的方程为=4x .（1）求椭圆C 的方程；（2）AB 是经过右焦点F 的任一弦（不经过点P ），设直线AB 与直线l 相交于点M ，记,,PA PB PM 的斜率分别为123,,.k k k 问:是否存在常数λ，使得123+=k k k λ？若存在求λ的值；若不存在,说明理由.第20题图【测量目标】椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系. 【考查方式】利用椭圆方程的方法及直线的斜率求解. 【难易程度】较难【试题解析】（1）由3(1,)2P 在椭圆上得,221914a b += ① 依题设知2a c =,则223b c =. ②（步骤1） ②代入①解得2221,4,3c a b ===.故椭圆C 的方程为22143x y +=.（步骤2） （2）方法一:由题意可设AB 的斜率为k ， 则直线AB 的方程为(1)y k x =- ③代入椭圆方程223412x y +=并整理,得2222(43)84(3)0k x k x k +-+-=，（步骤3） 设1122(,),(,)A x y B x y ,则有2212122284(3),4343k k x x x x k k -+==++ ④（步骤4）在方程③中令4x =得,M 的坐标为(4,3)k .从而121231233331222,,11412y y k k k k k x x ---====----. 注意到,,A F B 共线,则有AF BF k k k ==,即有121211y y k x x ==--.所以1212121212123331122()1111212y y y y k k x x x x x x --+=+=+-+------ 121212232.2()1x x k x x x x +-=--++ ⑤（步骤5）④代入⑤得22122222823432214(3)8214343k k k k k k k k k k -++=-=---+++ ， 又312k k =-，所以1232k k k +=.故存在常数2λ=符合题意. （步骤6）方法二:设000(,)(1)B x y x ≠,则直线FB 的方程为:00(1)1y y x x =--，令4x =,求得003(4,)1y M x -，从而直线PM 的斜率为0030212(1)y x k x -+=-,（步骤3）联立0022(1)1143y y x x x y ⎧=-⎪-⎪⎨⎪+=⎪⎩ ,得0000583(,)2525x y A x x ---，（步骤4） 则直线PA 的斜率为:00102252(1)y x k x -+=-，直线PB 的斜率为:020232(1)y k x -=-，所以00000123000225232122(1)2(1)1y x y y x k k k x x x -+--++=+==---，（步骤5） 故存在常数2λ=符合题意. （步骤6）21. (本小题满分14分)已知函数1()=(12)2f x a x --,a 为常数且>0a . （1）证明:函数()f x 的图象关于直线1=2x 对称；（2）若0x 满足00(())=f f x x ,但00()f x x ≠,则称0x 为函数()f x 的二阶周期点,如果()f x 有两个二阶周期点12,,x x 试确定a 的取值范围；（3）对于（2）中的12,x x 和a , 设3x 为函数()()ff x 的最大值点,()()()1,,A x f f x()()()()223,,,0.B x f f x C x 记ABC △的面积为()S a ,讨论()S a 的单调性.【测量目标】函数单调性的综合应用.【考查方式】利用函数的对称性,解方程,导数的应用及函数单调性求解. 【难易程度】较难【试题解析】（1）证明:因为11()(12),()(12),22f x a x f x a x +=--=- 有11()()22f x f x +=-,（步骤1）所以函数()f x 的图象关于直线12x =对称. （步骤2） （2）当102a <<时,有224,(())4(1),a x f f x a x ⎧⎪=⎨-⎪⎩1,21.2x x >…所以(())f f x x =只有一个解0x =，又(0)0f =，故0不是二阶周期点. （步骤3）当12a =时，有1,2(()).11,2x x f f x x x ⎧⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩… 所以(())f f x x =有解集1|2x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭…,又当12x …时,()f x x =,故1|2x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭…中的所有点都不是二阶周期点.（步骤4）当12a >时，有2222214,41124,42(()).1412(12)4,244144,4a x x a a a x x a f f x a a a a x x a a a a x x a ⎧⎪⎪⎪-<⎪=⎨-⎪-+<⎪⎪-⎪->⎩……… 所以(())f f x x =有四个解2222240,,,141214a a a a a a +++，（步骤5）又22(0)0,()1212a af f a a==++， 22222244(),()14141414a a a a f f a a a a ≠≠++++,故只有22224,1414a a a a ++是()f x 的二阶周期点.（步骤6） 综上所述，所求a 的取值范围为12a >.（步骤7）（3）由（2）得2122224,1414a a x x a a ==++，因为3x 为函数(())f f x 的最大值点，所以314x a =或3414a x a-=.（步骤8）当314x a =时，221()4(14)a S a a -=+.求导得：22112(22()(14)a a S a a ---'=-+，所以当1(2a ∈时，()S a单调递增，当)a ∈+∞时()S a 单调递减；（步骤9）当3414a x a -=时，22861()4(14)a a S a a -+=+，求导得：2221243()2(14)a a S a a +-'=+，因12a>，从而有2221243()02(14)a aS aa+-'=>+，（步骤10）所以当1(,)2a∈+∞时()S a单调递增. （步骤11）。

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(江西卷)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2013江西，理1)已知集合M ＝{1,2，z i}，i 为虚数单位，N ＝{3,4}，M ∩N ＝{4}，则复数z ＝( )．A ．－2iB ．2iC ．－4iD ．4i2．(2013江西，理2)函数yln(1－x )的定义域为( )． A ．(0,1) B ． [0,1) C ．(0,1] D ．[0,1] 3．(2013江西，理3)等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( )．A ．－24B ．0C ．12D ．244．(2013江西，理4)总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5A ．5．(2013江西，理5)5232x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为( )．A ．80B ．－80C ．40D ．－406．(2013江西，理6)若2211d S x x =⎰，2211d S x x =⎰，231e d xS x =⎰，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )．A ．S1＜S2＜S3B ．S2＜S1＜S3C ．S2＜S3＜S1D ．S3＜S2＜S1 7．(2013江西，理7)阅读如下程序框图，如果输出i ＝5，那么在空白矩形框中应填入的语句为( )．A ．S ＝2*i －2B ．S ＝2*i －1C ．S=2*iD ．S ＝2*i ＋48．(2013江西，理8)如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB ∥CD ，正方体的六个面所在的平面与直线CE ，EF 相交的平面个数分别记为m ，n ，那么m＋n ＝( )．A ．8B ．9C ．10D ．119．(2013江西，理9)过点，0)引直线l 与曲线y A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( )．A ．3B ．3-C ．3±D ．10．(2013江西，理10)如图，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线l 1，l 2之间，l ∥l 1，l 与半圆相交于F ，G 两点，与三角形ABC 两边相交于E ，D 两点．设弧FG 的长为x (0＜x ＜π)，y ＝EB ＋BC ＋CD ，若l 从l 1平行移动到l 2，则函数y ＝f (x )的图像大致是( )．第Ⅱ卷注意事项： 第Ⅱ卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．(2013江西，理11)函数y ＝sin 2x＋2x 的最小正周期T 为________．12．(2013江西，理12)设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为π3，若a ＝e1＋3e2，b ＝2e1，则向量a 在b 方向上的射影为________．13．(2013江西，理13)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x ＋ex ，则f ′(1)＝________.14．(2013江西，理14)抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F ，其准线与双曲线22=133x y -相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.三、选做题：请在下列两题中任选一题作答．若两题都做，则按第一题评阅计分．本题共5分．15．(2013江西，理15)(1)(坐标系与参数方程选做题)设曲线C 的参数方程为2,x t y t =⎧⎨=⎩(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________． (2)(不等式选做题)在实数范围内，不等式211x --≤的解集为________．四、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．(2013江西，理16)(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos C ＋(cos AA )cosB ＝0.(1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝1，求b 的取值范围．17．(2013江西，理17)(本小题满分12分)正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：2n S －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令221(2)n n n b n a +=+，数列{b n }的前n 项和为T n .证明：对于任意的n ∈N *，都有T n ＜564.18．(2013江西，理18)(本小题满分12分)小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O 为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，A 7，A 8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X .若X ＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．(1)求小波参加学校合唱团的概率； (2)求X 的分布列和数学期望．19．(2013江西，理19)(本小题满分12分)如图，四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点，△DAB≌△DCB，EA＝EB＝AB＝1，PA＝32，连接CE并延长交AD于F.(1)求证：AD⊥平面CFG；(2)求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值．20．(2013江西，理20)(本小题满分13分)如图，椭圆C：2222=1x ya b+(a>b>0)经过点P31,2⎛⎫⎪⎝⎭，离心率e＝12，直线l的方程为x＝4.(1)求椭圆C的方程；(2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P)，设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3.问：是否存在常数λ，使得k1＋k2＝λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．21．(2013江西，理21)(本小题满分14分)已知函数f(x)＝1122a x⎛⎫--⎪⎝⎭，a为常数且a>0.(1)证明：函数f(x)的图像关于直线12x=对称；(2)若x0满足f(f(x0))＝x0，但f(x0)≠x0，则称x0为函数f(x)的二阶周期点．如果f(x)有两个二阶周期点x1，x2，试确定a的取值范围；(3)对于(2)中的x1，x2和a，设x3为函数f(f(x))的最大值点，A(x1，f(f(x1)))，B(x2，f(f(x2)))，C(x3,0)．记△ABC的面积为S(a)，讨论S(a)的单调性．2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(江西卷)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．答案：C解析：由M ∩N ＝{4}，得z i ＝4，∴z ＝4i＝－4i.故选C.2．答案：B解析：要使函数有意义，需0,10,x x ≥⎧⎨->⎩解得0≤x ＜1，即所求定义域为[0,1)．故选B.3．答案：A解析：由题意得：(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，解得x ＝－3或－1.当x ＝－1时，3x ＋3＝0，不满足题意．当x ＝－3时，原数列是等比数列，前三项为－3，－6，－12，故第四项为－24. 4．答案：D解析：选出的5个个体的编号依次是08,02,14,07,01，故选D. 5．答案：C解析：展开式的通项为T r ＋1＝5C r x 2(5－r )(－2)r x －3r＝5C r (－2)r x10－5r.令10－5r ＝0，得r ＝2，所以T 2＋1＝25C (－2)2＝40.故选C.6．答案：B解析：2211d S x x =⎰＝23117|33x =，2211d S x x=⎰＝21ln |ln 2x =，231e d x S x =⎰＝2217e |e e=(e 1)>e>3x =--，所以S 2＜S 1＜S 3，故选B. 7．答案：C解析：当i ＝2时，S ＝2×2＋1＝5； 当i ＝3时，S ＝2×3＋4＝10不满足S ＜10，排除选项D ；当i ＝4时，S ＝2×4＋1＝9；当i ＝5时，选项A ，B 中的S 满足S ＜10，继续循环，选项C 中的S ＝10不满足S ＜10，退出循环，输出i ＝5，故选C. 8．答案：A解析：由CE 与AB 共面，且与正方体的上底面平行，则与CE 相交的平面个数m ＝4.作FO ⊥底面CED ，一定有面EOF 平行于正方体的左、右侧面，即FE 平行于正方体的左、右侧面，所以n ＝4，m ＋n ＝8.故选A.9．答案：B解析：曲线y若直线l 与曲线相交于A ，B 两点，则直线l 的斜率k ＜0，设l ：y ＝(k x ，则点O 到l 的距离d =又S △AOB ＝12|AB |·d ＝22111222d d d -+⨯=≤=，当且仅当1－d 2＝d 2，即d 2＝12时，S △AOB 取得最大值．所以222112k k =+，∴213k =，∴k =.故选B.10．答案：D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．答案：π解析：∵y ＝sin 2x －cos 2x )π=2sin 23x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴2ππ2T ==.12．答案：52解析：∵a ·b ＝(e 1＋3e 2)·2e 1＝212e ＋6e 1·e 2＝2＋6×12×πcos 3＝5，∴a 在b 上的射影为5||2⋅=a b b .13．答案：2解析：令e x＝t ，则x ＝ln t ，∴f (t )＝ln t ＋t ，∴f ′(t )＝11t+，∴f ′(1)＝2.14．答案：6解析：抛物线的准线方程为2p y =-，设A ，B 的横坐标分别为x A ，x B ，则|x A |2＝|x B |2＝234p +，所以|AB |＝|2x A |.又焦点到准线的距离为p ，由等边三角形的特点得||p AB =，即2234344p p ⎛⎫=⨯⨯+ ⎪⎝⎭，所以p ＝6.三、选做题：请在下列两题中任选一题作答．若两题都做，则按第一题评阅计分．本题共5分．15．(2013江西，理15)(1)答案：ρcos 2θ－sin θ＝0解析：由参数方程2,x t y t =⎧⎨=⎩得曲线在直角坐标系下的方程为y ＝x 2.由公式cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ＝sin θ.(2)答案：[0,4]解析：原不等式等价于－1≤|x －2|－1≤1，即0≤|x －2|≤2，解得0≤x ≤4.四、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．解：(1)由已知得－cos(A ＋B )＋cos A cos B A cos B ＝0，即有sin A sin B A cos B ＝0，因为sin A ≠0，所以sin B B ＝0，又cos B ≠0，所以tan B，又0＜B ＜π，所以π3B =.(2)由余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B .因为a ＋c ＝1，cos B ＝12，有2211324b a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.又0＜a ＜1，于是有14≤b 2＜1，即有12≤b ＜1.17．(1)解：由2n S －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0，得[S n －(n 2＋n )](S n ＋1)＝0.由于{a n }是正项数列，所以S n >0，S n ＝n 2＋n .于是a 1＝S 1＝2，n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n .综上，数列{a n }的通项a n ＝2n .(2)证明：由于a n ＝2n ，221(2)n nn b n a +=+，则222211114(2)16(2)n n b n n n n ⎡⎤+==-⎢⎥++⎣⎦. 222222222111111111111632435112n T n n n n ⎡⎤=-+-+-++-+-⎢⎥(-)(+)(+)⎣⎦22221111115111621216264n n ⎡⎤⎛⎫=+--<+= ⎪⎢⎥(+)(+)⎝⎭⎣⎦.18．解：(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有28C ＝28种，X ＝0时，两向量夹角为直角共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为P (X ＝0)＝82287=.(2)两向量数量积X 的所有可能取值为－2，－1，0,1，X ＝－2时，有2种情形；X ＝1时，有8种情形；X＝－1时，有10种情形． 所以X 的分布列为：EX ＝152(2)+(1)+0+114147714-⨯-⨯⨯⨯=-.19．解：(1)在△ABD 中，因为E 是BD 中点，所以EA ＝EB ＝ED ＝AB ＝1，故∠BAD ＝π2，∠ABE ＝∠AEB ＝π3，因为△DAB ≌△DCB ，所以△EAB ≌△ECB ，从而有∠FED ＝∠BEC ＝∠AEB ＝π3，所以∠FED ＝∠FEA ，故EF ⊥AD ，AF ＝FD ，又因为PG ＝GD ，所以FG ∥PA .又PA ⊥平面ABCD ， 所以CF ⊥AD ，故AD ⊥平面CFG .(2)以点A 为坐标原点建立如图所示的坐标系，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C 32⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，D (00)，P 30,0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，故1,,022BC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，33,222CP ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，3,22CD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.设平面BCP 的法向量n 1＝(1，y 1，z 1)，则11110,22330,222y y z ⎧+=⎪⎪⎨⎪--+=⎪⎩解得11,32,3y z ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即n 1＝21,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. 设平面DCP 的法向量n 2＝(1，y 2，z 2)，则22230,2330,222y y z ⎧-=⎪⎪⎨⎪--+=⎪⎩解得22 2.y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩即n 2＝(1，2)．从而平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值为cos θ＝21124||||||4⋅==n n n n . 20．解：(1)由P 31,2⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上得，2219=14a b +，①依题设知a ＝2c ，则b 2＝3c 2，②②代入①解得c 2＝1，a 2＝4，b 2＝3.故椭圆C 的方程为22=143x y +.(2)方法一：由题意可设AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，③代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12并整理，得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4(k 2－3)＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝22843k k +，x 1x 2＝224343k k (-)+，④在方程③中令x ＝4得，M 的坐标为(4,3k )．从而111321y k x -=-，222321y k x -=-，33312412k k k -==--.注意到A ，F ，B 共线，则有k ＝k AF ＝k BF ，即有121211y y k x x ==--.所以k 1＋k 2＝121212121233311221111211y y y y x x x x x x --⎛⎫+=+-+ ⎪------⎝⎭1212122322()1x x k x x x x +-=-⋅-++.⑤④代入⑤得k 1＋k 2＝222222823432438214343k k k k k k k -+-⋅(-)-+++＝2k －1，又k 3＝12k -，所以k 1＋k 2＝2k 3. 故存在常数λ＝2符合题意．(2)方法二：设B (x 0，y 0)(x 0≠1)，则直线FB 的方程为：00(1)1y y x x =--，令x ＝4，求得M 0034,1y x ⎛⎫ ⎪-⎝⎭， 从而直线PM 的斜率为00302121y x k x -+=(-). 联立00221,11,43y y x x x y ⎧=(-)⎪-⎪⎨⎪+=⎪⎩ 得A 0000583,2525x y x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭，则直线PA 的斜率为：00102252(1)y x k x -+=-，直线PB 的斜率为：020232(1)y k x -=-， 所以k 1＋k 2＝00000000225232121211y x y y x x x x -+--++=(-)(-)-＝2k 3， 故存在常数λ＝2符合题意．21． (1)证明：因为12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝a (1－2|x |)，12f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝a (1－2|x |)， 有1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以函数f (x )的图像关于直线12x =对称． (2)解：当0＜a ＜12时，有f (f (x ))＝2214,,2141,.2a x x a x x ⎧≤⎪⎪⎨⎪(-)>⎪⎩所以f (f (x ))＝x 只有一个解x ＝0，又f (0)＝0，故0不是二阶周期点． 当12a =时，有f (f (x ))＝1,,211,.2x x x x ⎧≤⎪⎪⎨⎪->⎪⎩所以f (f (x ))＝x 有解集12x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭，又当12x ≤时，f (x )＝x ，故12x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭中的所有点都不是二阶周期点． 当12a >时，有f (f (x ))＝2222214,41124,,421412(12)4,,244144.4a x x a a a x x a a a a a x x a a a a x x a ⎧≤⎪⎪⎪-<≤⎪⎨-⎪-+<≤⎪⎪-⎪>⎩，－，所以f (f (x ))＝x 有四个解0，222224,,141214a a a a a a +++，又f (0)＝0，22()1212a a f a a =++，22221414a a f a a ⎛⎫≠ ⎪++⎝⎭，2222441414a a f a a ⎛⎫≠ ⎪++⎝⎭，故只有22224,1414a a a a ++是f (x )的二阶周期点．综上所述，所求a 的取值范围为12a >. (3)由(2)得12214a x a=+，222414a x a =+， 因为x 3为函数f (f (x ))的最大值点，所以314x a =，或3414a x a-=. 当314x a=时，221()4(14)a S a a -=+，求导得： S ′(a )＝221122214a a a ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭⎝⎭-(+)，所以当a∈11,22⎛+ ⎝⎭时，S (a )单调递增，当a∈12⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭时S (a )单调递减； 当3414a x a-=时，S (a )＝22861414a a a -+(+)，求导得： S ′(a )＝2221243214a a a +-(+)， 因12a >，从而有S ′(a )＝2221243214a a a +-(+)>0， 所以当a ∈1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭时S (a )单调递增．。

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(江西卷)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，满分150分，考试时间120分钟．考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013江西，理1)已知集合M ＝{1,2，z i}，i 为虚数单位，N ＝{3,4}，M ∩N ＝{4}，则复数z ＝( )．A ．－2iB ．2iC ．－4iD ．4i 答案：C解析：由M ∩N ＝{4}，得z i ＝4，∴z ＝4i＝－4i.故选C.2．(2013江西，理2)函数y －x )的定义域为( )．A ．(0,1)B ． [0,1)C ．(0,1]D ．[0,1] 答案：B解析：要使函数有意义，需0,10,x x ≥⎧⎨->⎩解得0≤x ＜1，即所求定义域为[0,1)．故选B.3．(2013江西，理3)等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( )．A ．－24B ．0C ．12D ．24 答案：A解析：由题意得：(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，解得x ＝－3或－1.当x ＝－1时，3x ＋3＝0，不满足题意．当x ＝－3时，原数列是等比数列，前三项为－3，－6，－12，故第四项为－24.4．(2013江西，理4)总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5A ．08 答案：D解析：选出的5个个体的编号依次是08,02,14,07,01，故选D.5．(2013江西，理5)5232x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为( )．A ．80B ．－80C ．40D ．－40答案：C解析：展开式的通项为T r ＋1＝5C rx 2(5－r )(－2)r x －3r ＝5C r(－2)r x 10－5r .令10－5r ＝0，得r ＝2，所以T 2＋1＝25C (－2)2＝40.故选C. 6．(2013江西，理6)若2211d S x x =⎰，2211d S x x=⎰，231e d x S x =⎰，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )．A ．S 1＜S 2＜S 3B ．S 2＜S 1＜S 3C ．S 2＜S 3＜S 1D ．S 3＜S 2＜S 1解析：2211d S x x =⎰＝23117|33x =，2211d S x x=⎰＝21ln |ln 2x =， 231e d x S x =⎰＝2217e |e e=(e 1)>e>3x =--，所以S 2＜S 1＜S 3，故选B.7．(2013江西，理7)阅读如下程序框图，如果输出i ＝5，那么在空白矩形框中应填入的语句为( )．A ．S ＝2*i －2B ．S ＝2*i －1C ．S =2*iD ．S ＝2*i ＋4 答案：C解析：当i ＝2时，S ＝2×2＋1＝5；当i ＝3时，S ＝2×3＋4＝10不满足S ＜10，排除选项D ；当i ＝4时，S ＝2×4＋1＝9；当i ＝5时，选项A ，B 中的S 满足S ＜10，继续循环，选项C 中的S ＝10不满足S ＜10，退出循环，输出i ＝5，故选C.8．(2013江西，理8)如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB ∥CD ，正方体的六个面所在的平面与直线CE ，EF 相交的平面个数分别记为m ，n ，那么m ＋n ＝( )．A ．8B ．9C ．10D ．11 答案：A解析：由CE 与AB 共面，且与正方体的上底面平行，则与CE 相交的平面个数m ＝4.作FO ⊥底面CED ，一定有面EOF 平行于正方体的左、右侧面，即FE 平行于正方体的左、右侧面，所以n ＝4，m ＋n ＝8.故选A.9．(2013江西，理9)过点，0)引直线l 与曲线y A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( )．A B ． C ．± D ．解析：曲线y若直线l 与曲线相交于A ，B 两点，则直线l 的斜率k ＜0，设l ：y ＝(k x ，则点O 到l 的距离d =又S △AOB ＝12|AB |·d ＝22111222d d d -+⨯=≤=，当且仅当1－d 2＝d 2，即d 2＝12时，S △AOB 取得最大值．所以222112k k =+，∴213k =，∴k =.故选B.10．(2013江西，理10)如图，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线l 1，l 2之间，l ∥l 1，l 与半圆相交于F ，G 两点，与三角形ABC 两边相交于E ，D 两点．设弧FG 的长为x (0＜x ＜π)，y ＝EB ＋BC ＋CD ，若l 从l 1平行移动到l 2，则函数y ＝f (x )的图像大致是( )．答案：D第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．(2013江西，理11)函数y ＝sin 2x ＋2x 的最小正周期T 为________．答案：π解析：∵y ＝sin 2x －cos 2x )π=2sin 23x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∴2ππ2T ==.12．(2013江西，理12)设e 1，e 2为单位向量，且e 1，e 2的夹角为π3，若a ＝e 1＋3e 2，b ＝2e 1，则向量a 在b 方向上的射影为________．答案：52解析：∵a ·b ＝(e 1＋3e 2)·2e 1＝212e ＋6e 1·e 2＝2＋6×12×πcos3＝5，∴a 在b 上的射影为5||2⋅=a b b . 13．(2013江西，理13)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________.答案：2解析：令e x ＝t ，则x ＝ln t ，∴f (t )＝ln t ＋t ，∴f ′(t )＝11t+，∴f ′(1)＝2. 14．(2013江西，理14)抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线22=133x y -相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.答案：6解析：抛物线的准线方程为2py =-，设A ，B 的横坐标分别为x A ，x B ，则|x A |2＝|x B |2＝234p +，所以|AB |＝|2x A |.又焦点到准线的距离为p ，由等边三角形的特点得||2p AB =，即2234344p p ⎛⎫=⨯⨯+ ⎪⎝⎭，所以p ＝6.三、选做题：请在下列两题中任选一题作答．若两题都做，则按第一题评阅计分．本题共5分． 15．(2013江西，理15)(1)(坐标系与参数方程选做题)设曲线C 的参数方程为2,x t y t=⎧⎨=⎩(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．答案：ρcos 2θ－sin θ＝0解析：由参数方程2,x t y t =⎧⎨=⎩得曲线在直角坐标系下的方程为y ＝x 2.由公式cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ＝sin θ.(2)(不等式选做题)在实数范围内，不等式211x --≤的解集为________． 答案：[0,4]解析：原不等式等价于－1≤|x －2|－1≤1，即0≤|x －2|≤2，解得0≤x ≤4.四、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．(2013江西，理16)(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos C＋(cos A sin A )cos B ＝0.(1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝1，求b 的取值范围．解：(1)由已知得－cos(A ＋B )＋cos A cos B sin A cos B ＝0，即有sin A sin B A cos B ＝0，因为sin A ≠0，所以sin BB ＝0， 又cos B ≠0，所以tan B， 又0＜B ＜π，所以π3B =. (2)由余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B .因为a ＋c ＝1，cos B ＝12，有2211324b a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.又0＜a ＜1，于是有14≤b 2＜1，即有12≤b ＜1.17．(2013江西，理17)(本小题满分12分)正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：2n S －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0.(1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)令221(2)n n n b n a +=+，数列{b n }的前n 项和为T n .证明：对于任意的n ∈N *，都有T n ＜564. (1)解：由2n S －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0，得[S n －(n 2＋n )](S n ＋1)＝0. 由于{a n }是正项数列，所以S n >0，S n ＝n 2＋n .于是a 1＝S 1＝2，n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n . 综上，数列{a n }的通项a n ＝2n . (2)证明：由于a n ＝2n ，221(2)n n n b n a +=+，则222211114(2)16(2)n n b n n n n ⎡⎤+==-⎢⎥++⎣⎦. 222222222111111111111632435112n T n n n n ⎡⎤=-+-+-++-+-⎢⎥(-)(+)(+)⎣⎦ 22221111115111621216264n n ⎡⎤⎛⎫=+--<+= ⎪⎢⎥(+)(+)⎝⎭⎣⎦. 18．(2013江西，理18)(本小题满分12分)小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O 为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，A 7，A 8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X .若X ＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．(1)求小波参加学校合唱团的概率； (2)求X 的分布列和数学期望．解：(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有28C ＝28种，X ＝0时，两向量夹角为直角共有8种情形， 所以小波参加学校合唱团的概率为P (X ＝0)＝82287=. (2)两向量数量积X 的所有可能取值为－2，－1，0,1，X ＝－2时，有2种情形；X ＝1时，有8种情形；X ＝－1时，有10种情形．所以X 的分布列为：EX ＝15(2)+(1)+0+114147714-⨯-⨯⨯⨯=-.19．(2013江西，理19)(本小题满分12分)如图，四棱锥P ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，E 为BD 的中点，G为PD 的中点，△DAB ≌△DCB ，EA ＝EB ＝AB ＝1，P A ＝32，连接CE 并延长交AD 于F .(1)求证：AD ⊥平面CFG ；(2)求平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值．解：(1)在△ABD 中，因为E 是BD 中点，所以EA ＝EB ＝ED ＝AB ＝1，故∠BAD ＝π2，∠ABE ＝∠AEB ＝π3， 因为△DAB ≌△DCB ，所以△EAB ≌△ECB ， 从而有∠FED ＝∠BEC ＝∠AEB ＝π3， 所以∠FED ＝∠FEA ，故EF ⊥AD ，AF ＝FD ，又因为PG ＝GD ，所以FG ∥P A . 又P A ⊥平面ABCD ，所以CF⊥AD ，故AD ⊥平面CFG .(2)以点A 为坐标原点建立如图所示的坐标系，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C 3,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，D (00)，P 30,0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，故1,22BC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，33,222CP ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，3,22CD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.设平面BCP 的法向量n 1＝(1，y 1，z 1)，则11110,2330,222y y z ⎧+=⎪⎪⎨⎪--+=⎪⎩解得112,3y z ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即n 1＝21,,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.设平面DCP 的法向量n 2＝(1，y 2，z 2)，则22230,2330,222y y z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪--+=⎪⎩解得222.y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩即n 2＝(12)．从而平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值为cosθ＝21124||||||4⋅==n n n n .20．(2013江西，理20)(本小题满分13分)如图，椭圆C ：2222=1x y a b +(a >b >0)经过点P 31,2⎛⎫⎪⎝⎭，离心率e＝12，直线l 的方程为x ＝4.(1)求椭圆C 的方程；(2)AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P )，设直线AB 与直线l 相交于点M ，记P A ，PB ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3.问：是否存在常数λ，使得k 1＋k 2＝λk 3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．解：(1)由P 31,2⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上得，2219=14a b +，① 依题设知a ＝2c ，则b 2＝3c 2，② ②代入①解得c 2＝1，a 2＝4，b 2＝3.故椭圆C 的方程为22=143x y +. (2)方法一：由题意可设AB 的斜率为k ， 则直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，③代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12并整理，得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4(k 2－3)＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝22843k k +，x 1x 2＝224343k k (-)+，④在方程③中令x ＝4得，M 的坐标为(4,3k )．从而111321y k x -=-，222321y k x -=-，33312412k k k -==--. 注意到A ，F ，B 共线，则有k ＝k AF ＝k BF ，即有121211y y k x x ==--. 所以k 1＋k 2＝121212121233311221111211y y y y x x x x x x --⎛⎫+=+-+ ⎪------⎝⎭ 1212122322()1x x k x x x x +-=-⋅-++.⑤④代入⑤得k 1＋k 2＝222222823432438214343k k k k k k k -+-⋅(-)-+++＝2k －1， 又k 3＝12k -，所以k 1＋k 2＝2k 3.(2)方法二：设B (x 0，y 0)(x 0≠1)，则直线FB 的方程为：00(1)1y y x x =--， 令x ＝4，求得M 0034,1y x ⎛⎫⎪-⎝⎭， 从而直线PM 的斜率为00302121y x k x -+=(-).联立00221,11,43y y x x x y ⎧=(-)⎪-⎪⎨⎪+=⎪⎩得A 0000583,2525x y x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭，则直线P A 的斜率为：00102252(1)y x k x -+=-，直线PB 的斜率为：020232(1)y k x -=-，所以k 1＋k 2＝00000000225232121211y x y y x x x x -+--++=(-)(-)-＝2k 3，故存在常数λ＝2符合题意．21．(2013江西，理21)(本小题满分14分)已知函数f (x )＝1122a x ⎛⎫--⎪⎝⎭，a 为常数且a >0. (1)证明：函数f (x )的图像关于直线12x =对称； (2)若x 0满足f (f (x 0))＝x 0，但f (x 0)≠x 0，则称x 0为函数f (x )的二阶周期点．如果f (x )有两个二阶周期点x 1，x 2，试确定a 的取值范围；(3)对于(2)中的x 1，x 2和a ，设x 3为函数f (f (x ))的最大值点，A (x 1，f (f (x 1)))，B (x 2，f (f (x 2)))，C (x 3,0)．记△ABC 的面积为S (a )，讨论S (a )的单调性．(1)证明：因为12f x ⎛⎫+⎪⎝⎭＝a (1－2|x |)，12f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝a (1－2|x |)， 有1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数f (x )的图像关于直线12x =对称．(2)解：当0＜a ＜12时，有f (f (x ))＝2214,,2141,.2a x x a x x ⎧≤⎪⎪⎨⎪(-)>⎪⎩所以f (f (x ))＝x 只有一个解x ＝0，又f (0)＝0，故0不是二阶周期点．当12a =时，有f (f (x ))＝1,,211,.2x x x x ⎧≤⎪⎪⎨⎪->⎪⎩所以f (f (x ))＝x 有解集12x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭，又当12x ≤时，f (x )＝x ，故12x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭中的所有点都不是二阶周期当12a >时，有f (f (x ))＝2222214,41124,,421412(12)4,,244144.4a x x a a a x x a a a a a x x a a a a x x a ⎧≤⎪⎪⎪-<≤⎪⎨-⎪-+<≤⎪⎪-⎪>⎩，－，所以f (f (x ))＝x 有四个解0，222224,,141214a a a a a a +++，又f (0)＝0，22()1212a a f a a =++，22221414a a f a a ⎛⎫≠ ⎪++⎝⎭，2222441414a a f a a ⎛⎫≠ ⎪++⎝⎭，故只有22224,1414a a a a ++是f (x )的二阶周期点．综上所述，所求a 的取值范围为12a >. (3)由(2)得12214ax a=+，222414a x a =+， 因为x 3为函数f (f (x ))的最大值点，所以314x a =，或3414a x a-=. 当314x a=时，221()4(14)a S a a -=+，求导得：S ′(a )＝22214a a a ⎛ ⎝⎭⎝⎭-(+)，所以当a∈11,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭时，S (a )单调递增，当a∈12⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭时S (a )单调递减； 当3414a x a-=时，S (a )＝22861414a a a -+(+)，求导得： S ′(a )＝2221243214a a a +-(+)，因12a >，从而有S ′(a )＝2221243214a a a +-(+)>0，所以当a ∈1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭时S (a )单调递增．。

第六章 数列 6.3 等比数列及其前n 项和试题 理 北师大版1．等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，通常用字母q 表示(q ≠0)． 2．等比数列的通项公式设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项a n ＝a 1·q n －1(a 1≠0，q ≠0)．3．等比中项如果在a 与b 中插入一个数G ，使得a ，G ，b 成等比数列，那么根据等比数列的定义，G a ＝b a，G 2＝ab ，G ＝±ab .我们称G 为a ，b 的等比中项．4．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·qn －m(n ，m ∈N ＋)．(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N ＋)，则a k ·a l ＝a m ·a n .(3)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 仍是等比数列．5．等比数列的前n 项和公式等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 11－q n 1－q ＝a 1－a n q1－q.6．等比数列前n 项和的性质公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n. 【知识拓展】等比数列{a n }的单调性(1)满足⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，q >1或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1<0，0<q <1时，{a n }是递增数列．(2)满足⎩⎪⎨⎪⎧a 1>0，0<q <1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，q >1时，{a n }是递减数列．(3)当⎩⎪⎨⎪⎧a 1≠0，q ＝1时，{a n }为常数列．(4)当q <0时，{a n }为摆动数列． 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N ＋，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( × ) (2)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab .( × )(3)如果数列{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列．( × ) (4)如果数列{a n }为等比数列，则数列{ln a n }是等差数列．( × )1．(教材改编)已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q 等于( )A ．－12B ．－2C ．2 D.12答案 D解析 由题意知q 3＝a 5a 2＝18，∴q ＝12.2．(2016·某某一模)若等比数列{a n }的各项均为正数，前4项的和为9，积为814，则前4项倒数的和为( ) A.32B.94 C ．1 D ．2 答案 D解析 设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，因为前4项的和为9，积为814， 所以a 11－q 41－q ＝9，且a 41q 1＋2＋3＝a 41q 6＝814，即a 21q 3＝92，所以1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4＝1a 11－1q 41－1q＝a 11－q 41－q ·1a 21q3＝2，故选D.3．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3，S 4＝15，则S 6等于( ) A ．31 B ．32 C ．63 D ．64 答案 C解析 根据题意知，等比数列{a n }的公比不是－1.由等比数列的性质，得(S 4－S 2)2＝S 2·(S 6－S 4)，即122＝3×(S 6－15)，解得S 6＝63.故选C.4．(教材改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________． 答案 27,81解析 设该数列的公比为q ，由题意知， 243＝9×q 3，q 3＝27，∴q ＝3.∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81.5．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝________. 答案 －11解析 设等比数列{a n }的公比为q ， ∵8a 2＋a 5＝0，∴8a 1q ＋a 1q 4＝0. ∴q 3＋8＝0，∴q ＝－2，∴S 5S 2＝a 11－q 51－q ·1－q a 11－q 2＝1－q 51－q 2＝1－－251－4＝－11.题型一 等比数列基本量的运算例1 (1)(2015·课标全国Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2等于( )A ．2B ．1 C.12D.18(2)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S na n ＝________.答案 (1)C (2)2n－1解析 (1)由{a n }为等比数列，得a 3a 5＝a 24， 又a 3a 5＝4(a 4－1)，所以a 24＝4(a 4－1)， 解得a 4＝2.设等比数列{a n }的公比为q ， 则由a 4＝a 1q 3，得2＝14q 3，解得q ＝2，所以a 2＝a 1q ＝12.故选C.(2)∵⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝52， ①a 1q ＋a 1q 3＝54， ②由①除以②可得1＋q2q ＋q 3＝2，解得q ＝12，代入①得a 1＝2，∴a n ＝2×(12)n －1＝42n ，∴S n ＝2×[1－12n]1－12＝4(1－12n )，∴S n a n＝41－12n42n ＝2n－1. 思维升华 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．(1)设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( )A.152B.314C.334D.172(2)(2015·某某)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，且3S 1,2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________.答案 (1)B (2)3n －1解析 (1)显然公比q ≠1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ·a 1q 3＝1，a 11－q 31－q ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，q ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9q ＝－13(舍去)，∴S 5＝a 11－q 51－q＝41－1251－12＝314. (2)由3S 1,2S 2，S 3成等差数列知，4S 2＝3S 1＋S 3， 可得a 3＝3a 2，所以公比q ＝3， 故等比数列通项a n ＝a 1qn －1＝3n －1.题型二 等比数列的判定与证明例2 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式． (1)证明 由a 1＝1及S n ＋1＝4a n ＋2， 得a 1＋a 2＝S 2＝4a 1＋2. ∴a 2＝5，∴b 1＝a 2－2a 1＝3.又⎩⎪⎨⎪⎧S n ＋1＝4a n ＋2， ①S n ＝4a n －1＋2n ≥2， ②由①－②，得a n ＋1＝4a n －4a n －1(n ≥2)，∴a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)(n ≥2)． ∵b n ＝a n ＋1－2a n ，∴b n ＝2b n －1(n ≥2)， 故{b n }是首项b 1＝3，公比为2的等比数列． (2)解 由(1)知b n ＝a n ＋1－2a n ＝3·2n －1，∴a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝34， 故{a n 2n }是首项为12，公差为34的等差数列． ∴a n 2n ＝12＋(n －1)·34＝3n －14， 故a n ＝(3n －1)·2n －2.引申探究若将本例中“S n ＋1＝4a n ＋2”改为“S n ＋1＝2S n ＋(n ＋1)”，其他不变，求数列{a n }的通项公式． 解 由已知得n ≥2时，S n ＝2S n －1＋n . ∴S n ＋1－S n ＝2S n －2S n －1＋1， ∴a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，n ≥2，(*)又a 1＝1，S 2＝a 1＋a 2＝2a 1＋2，即a 2＋1＝2(a 1＋1)， ∴当n ＝1时(*)式也成立，故{a n ＋1}是以2为首项，以2为公比的等比数列， ∴a n ＋1＝2·2n －1＝2n ，∴a n ＝2n－1.思维升华 (1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可． (2)利用递推关系时要注意对n ＝1时的情况进行验证．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明：{a n ＋12}是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)证明：1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.证明 (1)由a n ＋1＝3a n ＋1，得a n ＋1＋12＝3(a n ＋12)．又a 1＋12＝32，所以{a n ＋12}是首项为32，公比为3的等比数列．所以a n ＋12＝3n2，因此{a n }的通项公式为a n ＝3n－12.(2)由(1)知1a n ＝23n －1.因为当n ≥1时，3n－1≥2×3n －1，所以13n －1≤12×3n －1.于是1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤1＋13＋…＋13n －1＝32(1－13n )<32， 所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.题型三 等比数列性质的应用例3 (1)若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________.(2)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝12，则S 9S 3＝________.答案 (1)50 (2)34解析 (1)因为a 10a 11＋a 9a 12＝2a 10a 11＝2e 5， 所以a 10a 11＝e 5.所以ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20 ＝ln(a 1a 2…a 20)＝ln[(a 1a 20)·(a 2a 19)·…·(a 10a 11)] ＝ln(a 10a 11)10＝10ln(a 10a 11) ＝10ln e 5＝50ln e ＝50.(2)方法一 ∵S 6∶S 3＝1∶2，∴{a n }的公比q ≠1.由a 11－q 61－q ÷a 11－q 31－q ＝12，得q 3＝－12，∴S 9S 3＝1－q 91－q 3＝34. 方法二 ∵{a n }是等比数列，且S 6S 3＝12，∴公比q ≠－1，∴S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即(S 6－S 3)2＝S 3·(S 9－S 6)， 将S 6＝12S 3代入得S 9S 3＝34.思维升华 等比数列常见性质的应用 等比数列性质的应用可以分为三类： (1)通项公式的变形； (2)等比中项的变形；(3)前n 项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．(1)已知在等比数列{a n }中，a 1a 4＝10，则数列{lg a n }的前4项和等于( )A ．4B ．3C ．2D ．1(2)设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.18B ．－18 C.578D.558 答案 (1)C(2)A解析 (1)前4项和S 4＝lg a 1＋lg a 2＋lg a 3＋lg a 4＝lg(a 1a 2a 3a 4)，又∵等比数列{a n }中，a 2a 3＝a 1a 4＝10， ∴S 4＝lg 100＝2.(2)因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且公比不等于－1，在等比数列中，S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以有8(S 9－S 6)＝(－1)2，S 9－S 6＝18，即a 7＋a 8＋a 9＝18.13．分类讨论思想在等比数列中的应用典例 (12分)已知首项为32的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N ＋)，且－2S 2，S 3,4S 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明：S n ＋1S n ≤136(n ∈N ＋)．思想方法指导 (1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式； (2)求出前n 项和，根据函数的单调性证明． 规X 解答(1)解 设等比数列{a n }的公比为q ， 因为－2S 2，S 3,4S 4成等差数列，所以S 3＋2S 2＝4S 4－S 3，即S 4－S 3＝S 2－S 4，可得2a 4＝－a 3，于是q ＝a 4a 3＝－12.[2分]又a 1＝32，所以等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n .[3分](2)证明 由(1)知，S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n，S n ＋1S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n＝⎩⎪⎨⎪⎧2＋12n2n＋1，n 为奇数，2＋12n2n－1，n 为偶数.[6分]当n 为奇数时，S n ＋1S n随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 1＋1S 1＝136.[8分]当n 为偶数时，S n ＋1S n随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 2＋1S 2＝2512.[10分]故对于n ∈N ＋，有S n ＋1S n ≤136.[12分]1．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 3＝2－1，a 5＝2＋1，则a 23＋2a 2a 6＋a 3a 7等于( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．8－4 2 答案 C解析 在等比数列中，a 3a 7＝a 25，a 2a 6＝a 3a 5，所以a 23＋2a 2a 6＋a 3a 7＝a 23＋2a 3a 5＋a 25＝(a 3＋a 5)2＝(2－1＋2＋1)2＝(22)2＝8.2．(2016·某某模拟)在等比数列{a n }中，若a 1<0，a 2＝18，a 4＝8，则公比q 等于( ) A.32B.23 C ．－23D.23或－23答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝18，a 1q 3＝8解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝27，q ＝23或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－27，q ＝－23.又a 1<0，因此q ＝－23.3．在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n 等于( ) A ．12 B ．13 C ．14 D ．15 答案 C解析 设数列{a n }的公比为q ， 由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12， 可得q 9＝3，a n －1a n a n ＋1＝a 31q 3n －3＝324，因此q3n －6＝81＝34＝q 36，所以n ＝14，故选C.4.(2015·某某)若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p ＞0，q ＞0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案 D 解析 由题意知：a ＋b ＝p ，ab ＝q ，∵p ＞0，q ＞0，∴a ＞0，b ＞0.在a ，b ，－2这三个数的6种排序中，成等差数列的情况有a ，b ，－2；b ，a ，－2；－2，a ，b ；－2，b ，a ；成等比数列的情况有a ，－2，b ；b ，－2，a .∴⎩⎪⎨⎪⎧ ab ＝4，2b ＝a －2或⎩⎪⎨⎪⎧ ab ＝4，2a ＝b －2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝4.∴p ＝5，q ＝4，∴p ＋q ＝9，故选D.5．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )A ．192里B ．96里C ．48里D ．24里答案 B解析 设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ＝12， 依题意有a 11－1261－12＝378，解得a 1＝192，则a 2＝192×12＝96， 即第二天走了96里，故选B.6．(2016·某某质检)在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 3a 4a 5＝3π，则sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)的值为( )A.12B.32C ．1D ．－32 答案 B解析 因为a 3a 4a 5＝3π＝a 34，所以a 4＝π33. log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7＝log 3(a 1a 2…a 7)＝log 3a 74＝7log 3π33＝7π3， 所以sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)＝32. 7．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知3S 3＝a 4－2，3S 2＝a 3－2，则公比q ＝________. 答案 4解析 因为⎩⎪⎨⎪⎧ 3S 3＝a 4－2， ①3S 2＝a 3－2， ②由①－②，得3a 3＝a 4－a 3，即4a 3＝a 4，则q ＝a 4a 3＝4.8．设各项都是正数的等比数列{a n }，S n 为前n 项和且S 10＝10，S 30＝70，那么S 40＝________. 答案 150解析 依题意，知数列{a n }的公比q ≠－1，数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30成等比数列，因此有(S 20－S 10)2＝S 10(S 30－S 20)，即(S 20－10)2＝10(70－S 20)，故S 20＝－20或S 20＝30；又S 20>0，因此S 20＝30，S 20－S 10＝20，S 30－S 20＝40，故S 40－S 30＝80，S 40＝150.9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋S n ＝1(n ∈N ＋)，则通项a n ＝________. 答案 12n 解析 ∵a n ＋S n ＝1，①∴a 1＝12，a n －1＋S n －1＝1(n ≥2)，② 由①－②，得a n －a n －1＋a n ＝0，即a n a n －1＝12(n ≥2)， ∴数列{a n }是首项为12，公比为12的等比数列， 则a n ＝12×(12)n －1＝12n . 10．已知数列{a n }的首项为1，数列{b n }为等比数列且b n ＝a n ＋1a n，若b 10·b 11＝2，则a 21＝________. 答案 1 024解析 ∵b 1＝a 2a 1＝a 2，b 2＝a 3a 2，∴a 3＝b 2a 2＝b 1b 2，∵b 3＝a 4a 3，∴a 4＝b 1b 2b 3，…，a n ＝b 1b 2b 3·…·b n －1，∴a 21＝b 1b 2b 3·…·b 20＝(b 10b 11)10＝210＝1 024.11．已知{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，S n 表示{a n }的前n 项和．(1)求a n 及S n ；(2)设{b n }是首项为2的等比数列，公比q 满足q 2－(a 4＋1)q ＋S 4＝0，求{b n }的通项公式及其前n 项和T n .解 (1)因为{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝2的等差数列，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1. 故S n ＝1＋3＋…＋(2n －1)＝n a 1＋a n2＝n 1＋2n －12＝n 2. (2)由(1)得a 4＝7，S 4＝16.因为q 2－(a 4＋1)q ＋S 4＝0，即q 2－8q ＋16＝0，所以(q －4)2＝0，从而q ＝4.又因为b 1＝2，{b n }是公比q ＝4的等比数列，所以b n ＝b 1q n －1＝2·4n －1＝22n －1.从而{b n }的前n 项和T n ＝b 11－q n 1－q ＝23(4n －1)． 12．(2016·全国丙卷)已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0.(1)求a 2，a 3；(2)求{a n }的通项公式．解 (1)由题意，得a 2＝12，a 3＝14. (2)由a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0，得2a n ＋1(a n ＋1)＝a n (a n ＋1)．因为{a n }的各项都为正数，所以a n ＋1a n ＝12.故{a n }是首项为1，公比为12的等比数列， 因此a n ＝12n －1. 13．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ·a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，记T 2n 为{a n }的前2n 项的和，b n ＝a 2n ＋a 2n －1， n ∈N ＋.(1)判断数列{b n }是否为等比数列，并求出b n ；(2)求T 2n .解 (1)∵a n ·a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ， ∴a n ＋1·a n ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1， ∴a n ＋2a n ＝12，即a n ＋2＝12a n . ∵b n ＝a 2n ＋a 2n －1，∴b n ＋1b n ＝a 2n ＋2＋a 2n ＋1a 2n ＋a 2n －1＝12a 2n ＋12a 2n －1a 2n ＋a 2n －1＝12， ∵a 1＝1，a 1·a 2＝12， ∴a 2＝12⇒b 1＝a 1＋a 2＝32. ∴{b n }是首项为32，公比为12的等比数列． ∴b n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝32n . (2)由(1)可知，a n ＋2＝12a n ， ∴a 1，a 3，a 5，…是以a 1＝1为首项，以12为公比的等比数列；a 2，a 4，a 6，…是以a 2＝12为首项，以12为公比的等比数列， ∴T 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝3－32n .。

2013年高考第一轮复习数学北师(江西版)理第三章不等式单元检测(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a ，b 为非零实数且a ＜b ，则下列命题成立的是( )．A ．a 2＜b 2B ．ab 2＞a 2bC ．1ab 2＜1a 2bD ．b a ＜a b2．已知集合P ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＋1x －1>0，集合Q ＝{x |x 2＋x －2≥0}，则“x ∈Q ”是“x ∈P ”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．关于x 的不等式2x －1＞a (x －2)的解集为R ，则a 的取值范围是( )．A ．(2，＋∞)B ．{2}C ．(－∞，2)D ．4．已知数列{a n }为等差数列，数列{b n }是各项均为正数的等比数列，且公比q ＞1，若a 2＝b 2，a 2 010＝b 2 010，则a 1 006与b 1 006的大小关系是( )．A ．a 1 006＝b 1 006B ．a 1 006＞b 1 006C ．a 1 006＜b 1 006D ．无法判断5．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D .若指数函数y ＝a x的图像上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是( )．A ．(1,3]B ．[2,3]C ．(1,2]D ．[3，＋∞)6．函数f (x )＝lg(x 2－2x －3)的定义域是集合M ，函数g (x )＝x －1的定义域是集合P ，则P ∪M 等于( )．A ．(－∞，－1)∪[1，＋∞)B ．(－∞，－3)∪[1，＋∞)C ．(－3，＋∞)D ．(－1，＋∞)7．已知a ，b 均为正数且a ＋b ＝1，则使1a ＋4b≥c 恒成立的c 的取值范围是( )．A ．c ＞1B ．c ≥0C ．c ≤9D ．c ＜－18．已知抛物线C 的方程为x 2＝12y ，过点A (0，－1)和点B (t,3)的直线与抛物线C 没有公共点，则实数t 的取值范围是( )．A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞C ．(－∞，－22)∪(22，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)9．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为( )．A ．－5B ．1C ．2D ．310．已知x ，y ，z ＞0，则xy ＋yzx 2＋y 2＋z2的最大值为( )．A ．32 B ．22 C ．23 D ．33二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分) 11．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，y ≥a ，0≤x ≤3表示的平面区域是一个三角形，则a 的范围是__________．12．若任意a ∈[1,3]，使得不等式ax 2＋(a －2)x －2＞0成立，则实数x 的取值范围是__________．13．若x ＞1，则函数y ＝x ＋1x ＋16xx 2＋1的最小值为__________．14．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2≥0，x ＋2y ＋1≤0，y ≥0，则z ＝22(1)(2)x y ＋＋－的最小值是__________．15．若直线ax －by ＋2＝0(a ＞0，b ＞0)和函数f (x )＝a x ＋1＋1(a ＞0且a ≠1)的图像恒过同一个定点，则当1a ＋1b取最小值时，函数f (x )的解析式是______．三、解答题(本大题共6小题，共75分)16．(12分)设a ，b ，c 都大于0，求证：12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b.17．(12分)已知不等式kx 2－2x ＋6k ＜0(k ≠0)．(1)若不等式的解集为{x |x ＜－3或x ＞－2}，求k 的值； (2)若不等式的解集为，求k 的取值范围．18．(12分)(1)已知a ，b 是正常数，且a ≠b ，x ＞0，y ＞0，求证：a 2x ＋b 2y ≥(a ＋b )2x ＋y，并指出等号成立的条件．(2)利用(1)的结论求函数f (x )＝2x ＋91－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12的最小值，并指出取得最小值时x的值．19．(12分)已知不等式x 2＋px ＋1＞2x ＋p .(1)如果不等式当|p |≤2时恒成立，求x 的范围； (2)如果不等式当2≤x ≤4时恒成立，求p 的范围．20．(13分)某渔业公司年初用98万元购买一艘捕渔船，第一年各种费用12万元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益50万元．(1)问第几年开始获利？(2)若干年后，有两种处理方案：①年平均获利最大时，以26万元出售该渔船；②总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船．问哪种方案最合算？21．(14分)已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1，若a ，b ∈[－1,1]，a＋b ≠0时，有f (a )＋f (b )a ＋b＞0.(1)证明：函数f (x )在[－1,1]上单调递增；(2)解不等式：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1；(3)若f (x )≤m 2－2pm ＋1对所有x ∈[－1,1]，p ∈[－1,1](p 是常数)恒成立，求实数m 的取值范围．参考答案一、选择题1．C 解析：若a ＜b ＜0，可得a 2＞b 2，知A 不成立．若⎩⎪⎨⎪⎧ab <0，a <b ，可得a 2b ＞ab 2，知B不成立．若a ＝1，b ＝2，则b a ＝2，a b ＝12，有b a ＞ab，知D 不成立．2．D 解析：由题意得P ＝{x |x ＜－1，或x ＞1}，Q ＝{x |x ≤－2，或x ≥1}，集合P ，Q 之间不存在包含关系，所以“x ∈Q ”是“x ∈P ”的既不充分也不必要条件．3．B 解析：原不等式可化为(a －2)x ＜2a －1， 当a ＝2时，2a －1＝3，不等式化为0＜3恒成立． ∵不等式的解集为R ，∴a ＝2.4．B 解析：a 1 006＝a 2＋a 2 0102＞a 2a 2 010＝b 2b 2 010＝b 1 006.故选B.5．A 解析：平面区域D 如图阴影部分所示．要使指数函数y ＝a x的图像上存在区域D 上的点，∴1＜a ≤3.6．A 解析：M ＝{x |x 2－2x －3＞0}＝{x |x ＞3，或x ＜－1}，P ＝{x |x ≥1}， ∴P ∪M ＝{x |x ≥1，或x ＜－1}．7．C 解析：关键是求1a ＋4b的最小值，∵1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ×(a ＋b )＝5＋b a ＋4ab≥5＋24＝9，∴c ≤9.8．D 解析：由已知可得直线AB 的方程为y ＝4tx －1，联立直线与抛物线方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4t x －1，x 2＝12y ，消元整理，得2x 2－4tx ＋1＝0，由于直线与抛物线无公共点，即方程2x2－4t x ＋1＝0无解，故有248<0t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，解得t ＞2或t ＜－ 2. 9．D 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋1，x ＝1，得A (1，a ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y －1＝0，得B (1,0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋1，x ＋y －1＝0，得C (0,1)．∵△ABC 的面积为2，且a ＞－1，∴S △ABC ＝12|a ＋1|＝2.∴a ＝3.10．B 解析：方法一：∵y ∈R ＋，∴u ＝xy ＋yzx 2＋y 2＋z 2＝221x z y y x z y y +⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可化为2x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋2z y ⎛⎫ ⎪⎝⎭－⎝⎛⎭⎪⎫x y ＋z y 1u＋1＝0，配方得212x y u ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋212z y u ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝12u 2－1.由上式可得12u 2－1≥0，即－22≤u ≤22.∵x ，y ，z ∈R ＋，由已知，显然有u ＞0，∴0＜u ≤22.∴u max ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x y ＝z y ＝22时，u 取得最大值. 方法二：由已知，得u ＝(x ＋z )yx 2＋y 2＋z 2.∵x ，y ，z ∈R ＋，且22x z +⎛⎫ ⎪⎝⎭≤x 2＋z22，∴u ≤2(x 2＋z 2)·y (x 2＋z 2)＋y 2≤2y x 2＋z 22y x 2＋z 2＝22，当且仅当x ＝z 且x 2＋z 2＝y 2，即x ＝z ＝22y 时取等号．∴u max＝22. 二、填空题 11．[5,8) 解析：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5＝0，x ＝0的交点为(0,5)，⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5＝0，x ＝3的交点为(3,8)，∴5≤a ＜8.12．(－∞，－1)∪(2，＋∞) 解析：设f (a )＝a (x 2＋x )－2x －2，任意f (a )在a ∈[1,3]上满足f (a )＞0.∴⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝x 2－x －2>0，f (3)＝3x 2＋x －2>0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x >2或x <－1，x >23或x <－1.综上，x ＞2或x ＜－1.13．8 解析：当x ＞1时，y ＝x ＋1x ＋16x x 2＋1＝x ＋1x ＋16x ＋1x≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ·16x ＋1x＝216＝8，当且仅当x ＝2＋3时，等号成立．14．165解析：作出约束条件的可行域如图，z ＝(x ＋1)2＋(y －2)2，可看作可行域内的点到定点A (－1,2)的距离的平方，其最小值为点A (－1,2)到直线x ＋2y ＋1＝0的距离的平方，∴z min ＝2⎛⎫＝165. 15．f (x )＝(22－2)x ＋1＋1 解析：函数f (x )＝a x ＋1＋1(a ＞0且a ≠1)的图像恒过点(－1,2)，故12a ＋b ＝1，1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝32＋b a ＋a 2b ≥32＋2，当且仅当b ＝22a 时等号成立，将b ＝22a 代入12a ＋b ＝1，得a ＝22－2，故f (x )＝(22－2)x ＋1＋1. 三、解答题16．证明：原不等式可化为12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋12b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋12c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ＋12a ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b， ∵a ，b ∈R ＋，∴12a ＋12b ≥212ab ＝1ab ≥2a ＋b .同理，12b ＋12c ≥2b ＋c ，12c ＋12a ≥2c ＋a .∴12⎣⎢⎡ ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋12b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋12c ＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ＋12a ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b ， 即12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b. 17．解：(1)∵不等式的解集为{x |x ＜－3或x ＞－2}．∴k ＜0且x 1＝－3，x 2＝－2是方程kx 2－2x ＋6k ＝0的两根．∴x 1x 2＝6，x 1＋x 2＝2k＝－5.∴k ＝－25.(2)由于k ≠0，要使不等式解集为，只需⎩⎪⎨⎪⎧k >0，Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧k >0，1－6k 2≤0，解得k ≥66， 即k 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫66，＋∞.18．(1)证明：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2x ＋b 2y (x ＋y )＝a 2＋b 2＋a 2y x ＋b 2x y ≥a 2＋b 2＋2a 2y x ·b 2x y＝a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2，∵x ＞0，y ＞0，∴x ＋y ＞0，∴a 2x ＋b 2y ≥(a ＋b )2x ＋y，当且仅当a 2y x ＝b 2x y ，即a x ＝by时，上式等号成立．(2)解：由(1)得f (x )＝222x ＋321－2x ≥(2＋3)22x ＋1－2x＝25，当且仅当22x ＝31－2x ，即x ＝15时，上式取得最小值，即f (x )min ＝25.19．解：(1)原不等式为(x －1)p ＋(x －1)2＞0，令f (p )＝(x －1)p ＋(x －1)2， 它是关于p 的一次函数，定义域为[－2,2]，由一次函数的单调性知⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)＝(x －1)(x －3)>0，f (2)＝(x －1)(x ＋1)>0.解得x ＜－1或x ＞3.即x 的取值范围是{x |x ＜－1，或x ＞3}．(2)不等式可化为(x －1)p ＞－x 2＋2x －1， ∵2≤x ≤4，∴x －1＞0.∴p ＞－x 2＋2x －1x －1＝1－x .对x ∈[2,4]恒成立， 所以p ＞(1－x )max .当2≤x ≤4时，(1－x )max ＝－1，于是p ＞－1. 故p 的范围是{p |p ＞－1}．20．解：由题设知，每年的费用是以12为首项，4为公差的等差数列． 设纯收入与年数的关系为f (n )，则f (n )＝50n －[12＋16＋…＋(8＋4n )]－98＝40n －2n 2－98.(1)由f (n )＞0⇔n 2－20n ＋49＜0⇒10－51＜n ＜10＋51. 又∵n ∈N ，∴n ＝3,4，…，17. 即从第3年开始获利．(2)①年平均收入为f (n )n＝40－2⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋49n ≤40－2×14＝12(万元)．当且仅当n ＝7时，年平均获利最大．总收益为12×7＋26＝110(万元)．②f (n )＝－2(n －10)2＋102.∵当n ＝10时，f (n )max ＝102(万元)． 总收益为102＋8＝110(万元)，但7＜10. ∴第一种方案更合算．21．(1)证明：设－1≤x 1＜x 2≤1， ∵f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数， ∴f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1)． 又x 1＜x 2，∴x 2＋(－x 1)＝x 2－x 1＞0，由题设有f (x 2)＋f (－x 1)x 2＋(－x 1)＞0，∴f (x 2)＋f (－x 1)＞0，即f (x 2)＞f (x 1)． ∴函数f (x )在[－1,1]上是增函数．(2)解：由(1)知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1⇔⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋12≤1，－1≤1x －1≤1，x ＋12<1x －1⇔⎩⎪⎨⎪⎧－32≤x ≤12，x ≥2或x ≤0，x <－1或1<x <32⇔－32≤x ＜－1.∴不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32≤x <－1. (3)解：由(1)知对于x ∈[－1,1]，f (x )max ＝f (1)＝1，∴f (x )≤m 2－2pm ＋1对任意x ∈[－1,1]恒成立，只需1≤m 2－2pm ＋1对p ∈[－1,1]恒成立，即m 2－2pm ≥0对p ∈[－1,1]恒成立．设g (p )＝m 2－2mp ，则⎩⎪⎨⎪⎧ g (－1)≥0，g (1)≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m ≥0，m 2－2m ≥0，解得m ≤－2或m ≥2或m ＝0. ∴m 的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)∪{0}．。

绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷4至6页,满分150分,考试时间120分钟. 考生注意：1.答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答,答案无效.3.考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合1,2{},i M z =,i 为虚数单位,4{}3,N =,}4{MN =,则复数z = ( )A .2i -B .2iC .4i -D .4i2.函数(1)y x －=的定义域为( )A .(0,1)B .[0,1)C .(0,1]D .[0,1]3.等比数列x ,33+x ,66+x ,…的第四项等于 ( )A .24-B .0C .12D .244.总体由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为( )A .08B .07C .02D .015.2532()x x-展开式中的常数项为( )A .80B .80-C .40D .40-6.若2211d S x x =⎰,2211d S x x=⎰,231e d x S x =⎰,则S 1,S 2,S 3的大小关系为( )A .123S S S <<B .213S S S <<C .231S S S <<D .321S S S <<7.阅读如下程序框图,如果输出5i =,那么在空白矩形框中应填入的语句为( )A .=22S i -*B .=21S i -*C .=2Si *D .=2S i +4*8.如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB CD ∥,正方体的六个面所在的平面与直线CE ,EF 相交的平面个数分别记为m ,n ,那么=+m n( )A.8 B .9 C .10D .119.过点)0引直线l与曲线y A ,B 两点,O 为坐标原点,当AOB △的面积取最大值时,直线l 的斜率等于( )A B . C . D .10.如图,半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线1l ,2l之间,1l l∥,l 与半圆相交于F ,G 两点,与三角形ABC 两边相交于E ,D 两点.设弧FG 的长为()0πx x <<,y EB BC CD =++,若l 从1l 平行移动到2l ,则函数()y f x =的图像大致是( )A .B .C .D .--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无------------------------------------姓名________________ 准考证号_____________第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷共3页,须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答,答案无效. 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.11.函数2sin 2i =n y x x +的最小正周期T 为 . 12.设1e ,2e 为单位向量,且1e ,2e 的夹角为π3,若123=+a e e ,12=b e ,则向量a 在b 方向上的射影为 .13.设函数()f x 在(0),+∞内可导,且=(e )e x x f x +,则)=(1f ' .14.抛物线20=2()x py p >的焦点为F ,其准线与双曲线22=133x y -相交于A ,B 两点,若ABF △为等边三角形,则=p .三、选做题：请在下列两题中任选一题作答.若两题都做,则按第一题评阅计分.本题共5分.15（1）.（坐标系与参数方程选做题）设曲线C 的参数方程为2x ty t =⎧⎨=⎩（t 为参数）,若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C 的极坐标方程为 .15（2）.（不等式选做题）在实数范围内,不等式|2|11x --≤的解集为 . 四、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）在ABC △中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知cos cos ()cos C A A B +0=. （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若=1a c +,求b 的取值范围.17.（本小题满分12分）正项数列{}n a 的前n 项和n S 满足：222()10()=n n n n S S n n -+-+-. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ； （Ⅱ）令221(2)n nn b n a +=+,数列{}n b 的前n 项和为n T .证明：对于任意的*n N ∈,都有564n T <.18.（本小题满分12分）小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队.游戏规则为：以O 为起点,再从1A ,2A ,3A ,4A ,5A ,6A ,7A ,8A （如图）这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为X .若=0X 就参加学校合唱团,否则就参加学校排球队.（Ⅰ）求小波参加学校合唱团的概率； （Ⅱ）求X 的分布列和数学期望.19.（本小题满分12分）如图,四棱锥P ABCD —中,PA ⊥平面ABCD ,E 为BD 的中点,G 为PD 的中点,DAB △DCB ≌△,===1EA EB AB ,32=PA ,连接CE 并延长交AD 于F .（Ⅰ）求证：AD ⊥平面CFG ；（Ⅱ）求平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值.20.（本小题满分13分）如图,椭圆2222=1(0)x y a C b a b :+>>经过点()31,2P ,离心率12e =,直线l 的方程为4x =.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）AB 是经过右焦点F 的任一弦（不经过点P ）,设直线AB 与直线l 相交于点M ,记PA ,PB ,PM 的斜率分别为1k ,2k ,3k .问：是否存在常数λ,使得123=k k k λ+？若存在,求λ的值；若不存在,说明理由.21.（本小题满分14分）已知函数1(1|)(|2)2f x x a --=,a 为常数且0a >. （Ⅰ）证明：函数()f x 的图像关于直线12x =对称； （Ⅱ）若0x 满足00()=()f f x x ,但00()f x x ≠,则称0x 为函数()f x 的二阶周期点.如果()f x 有两个二阶周期点1x ,2x ,试确定a 的取值范围；（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的1x ,2x 和a ,设3x 为函数(())f f x 的最大值点,11()(())A x f f x ，,22()(())B x f f x ，,3(0),C x .记ABC △的面积为()S a ,讨论()S a 的单调性.2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）2535()522()()r r rrrrrxx C x－－－－＝－，令1050r -=的常数项为25(2)41040rC -⨯=⨯=，故选C .5225()52(r r x－－展开式中的常数项.322111k k -=+2621k -+D=线段的下方，对照选项，D 正确，故选D .s3x，2ω=，∴2【解析】1e 、2e 为单位向量，且e 和e 的夹角31211e e ∴=⨯⨯123a e e =+，12b e =，2121112(3)(2)26235a b e e e e e e ∴=+=+=+=.a ∴在b 上的射影为52||a b b =，故答案为52. 【提示】根据题意求得12e e 的值，从而求得a b 的值，再根据a 在b 上的射影为||a bb ，运c o s ，sin 0A ≠）1a c +=1cos B =，cos ac B ，即22a c ac +-，01a <<2114b ≤<，正项数列22416n =⎢⎣21111n n ++-+(-)(+)1⎤⎛<22416n =⎢⎣【考点】数列的求和，等差数列的通项公式）在DAB △≌△EDA ∴∠=又PAD △中，PA ⊥平面，AD ⊂平面又EF 、FG AD ∴⊥平面（2）以点x 轴、y 轴、1,BC ⎛∴=，3CP ⎛=- ，3CD ⎛=- 的法向量(1,,m y =1232m BC m CP ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪2，可得321,,33m ⎛⎫- ⎪ ⎪=⎭， 的法向量(1,,n y z =3232n CD n CP ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=--⎪2，(13,2n =11,||||411349m n m n m n ⨯+<>=++与平面DCP 的夹角的余弦值等于2,4m n <>=ππ、P A 分别为x 轴、y 轴、的坐标，从而得到BC 、CP 、CD 的坐标，利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出1,3m ⎛=- ⎪ ⎪⎭和(1,3,2)n =分别为平面利用空间向量的夹角公式算出m 、n 夹角的余弦，即可得到平面【考点】用空间向量求平面间的夹角，直线与平面垂直的判定，二面角的平面角及求法1212132(x x x x x +-+④代入⑤得k k ＋0003⎛⎫19）证明：12f x ⎛+ ⎝12x a ⎫-=⎪⎭2x 为函数当314x a=12a >，从而有∴当1a ⎛∈ ⎝。

2013年江西省高考数学试卷（理科）参考答案和试题分析一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2013•江西）已知集合M={1，2，zi}，i为虚数单位，N={3，4}，M∩N={4}，则复数z=（）A．﹣2i B．2i C．﹣4i D．4i考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：根据两集合的交集中的元素为4，得到zi=4，即可求出z的值．解答：解：根据题意得：zi=4，解得：z=﹣4i．故选C点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）（2013•江西）函数y=的定义域为（）A．（0，1）B．[0，1）C．（0，1]D．[0，1]考点：函数的定义域及其求法．专题：计算题；函数的性质及使用．分析：由函数的分析式可直接得到不等式组，解出其解集即为所求的定义域，从而选出正确选项解答：解：由题意，自变量满足，解得0≤x＜1，即函数y=的定义域为[0，1）故选B点评：本题考查函数定义域的求法，理解相关函数的定义是解题的关键，本题是概念考查题，基础题．3．（5分）（2013•江西）等比数列x，3x+3，6x+6，…的第四项等于（）A．﹣24 B．0C．12 D．24 考点：等比数列的性质．专题：等差数列和等比数列．分析：由题意可得（3x+3）2=x（6x+6），解x的值，可得此等比数列的前三项，从而求得此等比数列的公比，从而求得第四项．解答：解：由于x，3x+3，6x+6是等比数列的前三项，故有（3x+3）2=x（6x+6），解x=﹣3，故此等比数列的前三项分别为﹣3，﹣6，﹣12，故此等比数列的公比为2，故第四项为﹣24，故选A．本题主要考查等比数列的通项公式，等比数列的性质，属于基础题．点评：4．（5分）（2013•江西）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 01983204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 A．08 B． 07 C． 02 D．01考点：简单随机抽样．专题：图表型．分析：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读，依次为65，72，08，02，63，14，07，02，43，69，97，28，01，98，…，其中08，02，14，07，01符合条件，故可得结论．解答：解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读，第一个数为65，不符合条件，第二个数为72，不符合条件，第三个数为08，符合条件，以下符合条件依次为：08，02，14，07，01，故第5个数为01．故选：D．点评：本题主要考查简单随机抽样．在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的．5．（5分）（2013•江西）（x2﹣）5的展开式中的常数项为（）A．80 B．﹣80 C．40 D．﹣40 二项式定理．考点：计算题；概率和统计．专题：分利用（x）5展开式中的通项公式T r+1=•x2（5﹣r）•（﹣2）r•x﹣3r，令x的幂析：指数为0，求得r的值，即可求得（x）5展开式中的常数项．解解：设（x）5展开式中的通项为T r+1，答：则T r+1=•x2（5﹣r）•（﹣2）r•x﹣3r=（﹣2）r••x10﹣5r，令10﹣5r=0得r=2，∴（x）5展开式中的常数项为（﹣2）2×=4×10=40．故选C．点本题考查二项式定理，着重考查二项展开式的通项公式，考查运算能力，属于中档题．6．（5分）（2013•江西）若S1=x2dx，S2=dx，S3=e x dx，则S1，S2，S3的大小关系为（）A．S1＜S2＜S3B．S2＜S1＜S3C．S2＜S3＜S1D．S3＜S2＜S1考点：微积分基本定理．专题：导数的概念及使用．分析：先利用积分基本定理计算三个定积分，再比较它们的大小即可．解答：解：由于S1=x2dx=|=，S2=dx=lnx|=ln2，S3=e x dx=e x|=e2﹣e．且ln2＜＜e2﹣e，则S2＜S1＜S3．故选：B．点评：本小题主要考查定积分的计算、不等式的大小比较等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．7．（5分）（2013•江西）阅读如下程序框图，如果输出i=5，那么在空白矩形框中应填入的语句为（）A．S=2*i﹣2 B．S=2*i﹣1 C．S=2*i D．S=2*i+4考程序框图．专题：图表型．分析：题目给出了输出的结果i=5，让我们分析矩形框中应填的语句，根据判断框中内容，即s＜10，我们模拟程序执行的过程，从而得到答案．解答：解：当空白矩形框中应填入的语句为S=2*I时，程序在运行过程中各变量的值如下表示：i S 是否继续循环循环前1 0/第一圈2 5 是第二圈3 6 是第三圈4 9 是第四圈5 10 否故输出的i值为：5，符合题意．故选C．点评：本题考查了程序框图中的当型循环，当型循环是当条件满足时进入循环体，不满足条件算法结束，输出结果．8．（5分）（2013•江西）如果，正方体的底面和正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面和直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m+n=（）A．8B．9C．10 D．11考点：平面的基本性质及推论．专题：计算题；空间位置关系和距离．分析：判断CE和EF和正方体表面的关系，即可推出正方体的六个面所在的平面和直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，求出m+n的值．解答：解：由题意可知直线CE和正方体的上底面平行在正方体的下底面上，和正方体的四个侧面不平行，所以m=4，直线EF和正方体的左右两个侧面平行，和正方体的上下底面相交，前后侧面相交，所以n=4，所以m+n=8．故选A．点评：本题考查直线和平面的位置关系，基本知识的使用，考查空间想象能力．9．（5分）（2013•江西）过点（）引直线l和曲线y=相交于A，B两点，O 为坐标原点，当△ABO的面积取得最大值时，直线l的斜率等于（）A．B．C．D．考直线和圆的位置关系；直线的斜率．专题：压轴题；直线和圆．分析：由题意可知曲线为单位圆在x轴上方部分（含和x轴的交点），由此可得到过C点的直线和曲线相交时k的范围，设出直线方程，由点到直线的距离公式求出原点到直线的距离，由勾股定理求出直线被圆所截半弦长，写出面积后利用配方法转化为求二次函数的最值．解答：解：由y=，得x2+y2=1（y≥0）．所以曲线y=表示单位圆在x轴上方的部分（含和x轴的交点），设直线l的斜率为k，要保证直线l和曲线有两个交点，且直线不和x轴重合，则﹣1＜k＜0，直线l的方程为y﹣0=，即．则原点O到l的距离d=，l被半圆截得的半弦长为．则===．令，则，当，即时，S△ABO有最大值为．此时由，解得k=﹣．故答案为B．点评：本题考查了直线的斜率，考查了直线和圆的关系，考查了学生的运算能力，考查了配方法及二次函数求最值，解答此题的关键在于把面积表达式转化为二次函数求最值，是中档题．10．（5分）（2013•江西）如图，半径为1的半圆O和等边三角形ABC夹在两平行线l1，l2之间，l∥l1，l和半圆相交于F，G两点，和三角形ABC两边相交于E，D两点．设弧的长为x（0＜x＜π），y=EB+BC+CD，若l从l1平行移动到l2，则函数y=f（x）的图象大致是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：压轴题；函数的性质及使用．分析：由题意可知：随着l从l1平行移动到l2，y=EB+BC+CD越来越大，考察几个特殊的情况，计算出相应的函数值y，结合考查选项可得答案．解答：解：当x=0时，y=EB+BC+CD=BC=；当x=π时，此时y=AB+BC+CA=3×=2；当x=时，∠FOG=，三角形OFG为正三角形，此时AM=OH=，在正△AED中，AE=ED=DA=1，∴y=EB+BC+CD=AB+BC+CA﹣（AE+AD）=3×﹣2×1=2﹣2．如图．又当x=时，图中y0=+（2﹣）=＞2﹣2．故当x=时，对应的点（x，y）在图中红色连线段的下方，对照选项，D正确．故选D．点本题考查函数的图象，注意理解图象的变化趋势是解决问题的关键，属中档题．评：二．第Ⅱ卷填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分11．（5分）（2013•江西）函数y=最小正周期T为π．考点：三角函数的周期性及其求法；两角和和差的正弦函数；二倍角的余弦．专题：三角函数的图像和性质．分析：函数分析式第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和和差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出函数的最小正周期．解答：解：y=sin2x+2×=sin2x﹣cos2x+=2（sin2x﹣cos2x）+=2sin （2x﹣）+，∵ω=2，∴T=π．故答案为：π点评：此题考查了三角函数的周期性及其求法，涉及的知识有：二倍角的余弦函数公式，两角和和差的正弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．12．（5分）（2013•江西）设，为单位向量．且、的夹角为，若=+3，=2，则向量在方向上的射影为．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及使用．分析：根据题意求得的值，从而求得的值，再根据在上的射影为，运算求得结果．解答：解：∵、为单位向量，且和的夹角θ等于，∴=1×1×cos=．∵=+3，=2，∴=（+3）•（2）=2+6=2+3=5．∴在上的射影为=，故答案为．点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，一个向量在另一个向量上的射影的定义，属于中档题．13．（5分）（2013•江西）设函数f（x）在（0，+∞）内可导，且f（e x）=x+e x，则f′（1）= 2．考点：导数的运算；函数的值．专题：计算题；压轴题；函数的性质及使用；导数的概念及使用．分析：由题设知，可先用换元法求出f（x）的分析式，再求出它的导数，从而求出f′（1）．解答：解：函数f（x）在（0，+∞）内可导，且f（e x）=x+e x，令e x=t，则x=lnt，故有f（t）=lnt+t，即f（x）=lnx+x，∴f′（x）=+1，故f′（1）=1+1=2．故答案为：2．点评：本题考查了求导的运算以及换元法求外层函数的分析式，属于基本题型，运算型．14．（5分）（2013•江西）抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，其准线和双曲线=1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p=6．考点：抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质和方程．分析：求出抛物线的焦点坐标，准线方程，然后求出抛物线的准线和双曲线的交点坐标，利用三角形是等边三角形求出p即可．解答：解：抛物线的焦点坐标为（0，），准线方程为：y=﹣，准线方程和双曲线联立可得：，解得x=±，因为△ABF为等边三角形，所以，即p2=3x2，即，解得p=6．故答案为：6．点评：本题考查抛物线的简单性质，双曲线方程的使用，考查分析问题解决问题的能力以及计算能力．三．第Ⅱ卷选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两道题都做，按第一题评卷计分．本题共5分．15．（5分）（2013•江西）（坐标系和参数方程选做题）设曲线C的参数方程为（t为参数），若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为ρcos2θ﹣sinθ=0．考点：抛物线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；压轴题．分析：先求出曲线C的普通方程，再利用x=ρcosθ，y=ρsinθ代换求得极坐标方程．解答：解：由（t为参数），得y=x2，令x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入并整理得ρcos2θ﹣sinθ=0．即曲线C的极坐标方程是ρcos2θ﹣sinθ=0．故答案为：ρcos2θ﹣sinθ=0．点评：本题主要考查极坐标方程、参数方程及直角坐标方程的转化．普通方程化为极坐标方程关键是利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ．16．（2013•江西）（不等式选做题）在实数范围内，不等式||x﹣2|﹣1|≤1的解集为[0，4]．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题；压轴题；不等式的解法及使用．分析：利用绝对值不等式的等价形式，利用绝对值不等式几何意义求解即可．解答：解：不等式||x﹣2|﹣1|≤1的解集，就是﹣1≤|x﹣2|﹣1≤1的解集，也就是0≤|x﹣2|≤2的解集，0≤|x﹣2|≤2的几何意义是数轴上的点到2的距离小于等于2的值，所以不等式的解为：0≤x≤4．所以不等式的解集为[0，4]．故答案为：[0，4]．点评：本题考查绝对值不等式的解法，绝对值不等式的几何意义，注意不等式的等价转化是解题的关键．四．第Ⅱ卷解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）（2013•江西）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC+（cosA﹣sinA）cosB=0．（1）求角B的大小；（2）若a+c=1，求b的取值范围．考点：余弦定理；两角和和差的余弦函数．专题：解三角形．分析：（1）已知等式第一项利用诱导公式化简，第二项利用单项式乘多项式法则计算，整理后根据sinA不为0求出tanB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（2）由余弦定理列出关系式，变形后将a+c及cosB的值代入表示出b2，根据a的范围，利用二次函数的性质求出b2的范围，即可求出b的范围．解答：解：（1）由已知得：﹣cos（A+B）+cosAcosB﹣sinAcosB=0，即sinAsinB﹣sinAcosB=0，∵sinA≠0，∴sinB﹣cosB=0，即tanB=，又B为三角形的内角，则B=；（2）∵a+c=1，即c=1﹣a，cosB=，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2ac•cosB，即b2=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac=1﹣3a（1﹣a）=3（a﹣）2+，∵0＜a＜1，∴≤b2＜1，则≤b＜1．点评： 此题考查了余弦定理，二次函数的性质，诱导公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键． 18．（12分）（2013•江西）正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n 2（1）求数列{a n }的通项公式a n ； （2）令b，数列{b n }的前n 项和为T n ．证明：对于任意n ∈N *，都有T ．考点： 数列的求和；等差数列的通项公式． 专题： 计算题；证明题；等差数列和等比数列． 分析： （I ）由S n2可求s n ，然后利用a 1=s 1，n ≥2时，a n =s n ﹣s n ﹣1可求a n （II ）由b==，利用裂项求和可求T n ，利用放缩法即可证明 解答： 解：（I ）由S n2可得，[]（S n +1）=0∵正项数列{a n }，S n ＞0∴S n =n 2+n 于是a 1=S 1=2n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=n 2+n ﹣（n ﹣1）2﹣（n ﹣1）=2n ，而n=1时也适合 ∴a n =2n （II ）证明：由b==∴]=点评： 本题主要考查了递推公式a 1=s 1，n ≥2时，a n =s n ﹣s n ﹣1在求解数列的通项公式中的使用及数列的裂项求和方法的使用． 19．（12分）（2013•江西）小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队，游戏规则为：以0为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，A 7，A 8（如图）这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X．若X=0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．（1）求小波参加学校合唱团的概率；（2）求X的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望和方差．专题：计算题；概率和统计．分析：（1）先求出从8个点中任意取两个点为向量的终点的不同取法，而X=0时，即两向量夹角为直角，求出结果数，代入古典概率的求解公式可求（2）先求出两向量数量积的所有可能情形及相应的概率，即可求解分布列及期望值解答：解：（1）从8个点中任意取两个点为向量的终点的不同取法有=28种X=0时，两向量夹角为直角共有8种情形所以小波参加学校合唱团的概率P（X=0）==（2）两向量数量积的所有可能情形有﹣2，﹣1，0，1X=﹣2时有2种情形X=1时有8种情形X=﹣1时，有10种情形X的分布列为：X ﹣2 ﹣1 0 1PEX==点评：本题主要考查了古典概率的求解公式的使用及离散型随机变量的分布列及期望值的求解．20．（12分）（2013•江西）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点，△DAB≌△DCB，EA=EB=AB=1，PA=，连接CE并延长交AD于F（1）求证：AD⊥平面CFG；（2）求平面BCP和平面DCP的夹角的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线和平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．专题：计算题；空间位置关系和距离；空间角．分析：（1）利用直角三角形的判定得到∠BAD=，且∠ABE=∠AEB=．由△DAB≌△DCB得到△EAB≌△ECB，从而得到∠FED=∠FEA=，所以EF⊥AD 且AF=FD，结合题意得到FG是△PAD是的中位线，可得FG∥PA，根据PA⊥平面ABCD得FG⊥平面ABCD，得到FG⊥AD，最后根据线面垂直的判定定理证出AD⊥平面CFG；（2）以点A为原点，AB、AD、PA分别为x轴、y轴、z轴建立如图直角坐标系，得到A、B、C、D、P的坐标，从而得到、、的坐标，利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出=（1，﹣，）和=（1，，2）分别为平面BCP、平面DCP的法向量，利用空间向量的夹角公式算出、夹角的余弦，即可得到平面BCP和平面DCP的夹角的余弦值．解答：解：（1）∵在△DAB中，E为BD的中点，EA=EB=AB=1，∴AE=BD，可得∠BAD=，且∠ABE=∠AEB=∵△DAB≌△DCB，∴△EAB≌△ECB，从而得到∠FED=∠BEC=∠AEB=∴∠EDA=∠EAD=，可得EF⊥AD，AF=FD又∵△PAD中，PG=GD，∴FG是△PAD是的中位线，可得FG∥PA∵PA⊥平面ABCD，∴FG⊥平面ABCD，∵AD⊂平面ABCD，∴FG⊥AD又∵EF、FG是平面CFG内的相交直线，∴AD⊥平面CFG；（2）以点A为原点，AB、AD、PA分别为x轴、y轴、z轴建立如图直角坐标系，可得A（0，0，0），B（1，0，0），C（，，0），D（0，，0），P（0，0，）∴=（，，0），=（﹣，﹣，），=（﹣，，0）设平面BCP的法向量=（1，y1，z1），则解得y1=﹣，z1=，可得=（1，﹣，），设平面DCP的法向量=（1，y2，z2），则解得y2=，z2=2，可得=（1，，2），∴cos＜，＞===因此平面BCP和平面DCP的夹角的余弦值等于|cos＜，＞|=．点评：本题在三棱锥中求证线面垂直，并求平面和平面所成角的余弦值．着重考查了空间线面垂直的判定和性质，考查了利用空间向量研究平面和平面所成角等知识，属于中档题．21．（13分）（2013•江西）如图，椭圆C：经过点P（1，），离心率e=，直线l的方程为x=4．（1）求椭圆C的方程；（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB和直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．考点：直线和圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：压轴题；转化思想；圆锥曲线的定义、性质和方程．分析：（1）由题意将点P （1，）代入椭圆的方程，得到，再由离心率为e=，将a，b用c表示出来代入方程，解得c，从而解得a，b，即可得到椭圆的标准方程；（2）方法一：可先设出直线AB的方程为y=k（x﹣1），代入椭圆的方程并整理成关于x的一元二次方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用根和系数的关系求得x1+x2=，，再求点M的坐标，分别表示出k1，k2，k3．比较k1+k2=λk3即可求得参数的值；方法二：设B（x0，y0）（x0≠1），以之表示出直线FB的方程为，由此方程求得M的坐标，再和椭圆方程联立，求得A的坐标，由此表示出k1，k2，k3．比较k1+k2=λk3即可求得参数的值解答：解：（1）椭圆C：经过点P （1，），可得①由离心率e=得=，即a=2c，则b2=3c2②，代入①解得c=1，a=2，b=故椭圆的方程为（2）方法一：由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x﹣1）③代入椭圆方程并整理得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0设A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2=，④在方程③中，令x=4得，M的坐标为（4，3k），从而，，=k﹣注意到A，F，B共线，则有k=k AF=k BF，即有==k所以k1+k2=+=+﹣（+）=2k﹣×⑤④代入⑤得k1+k2=2k﹣×=2k﹣1又k3=k﹣，所以k1+k2=2k3故存在常数λ=2符合题意方法二：设B（x0，y0）（x0≠1），则直线FB的方程为令x=4，求得M（4，）从而直线PM的斜率为k3=，联立，得A（，），则直线PA的斜率k1=，直线PB的斜率为k2=所以k1+k2=+=2×=2k3，故存在常数λ=2符合题意点评：本题考查直线和圆锥曲线的综合问题，考查了分析转化的能力和探究的能力，考查了方程的思想，数形结合的思想，本题综合性较强，运算量大，极易出错，解答时要严谨运算，严密推理，方能碸解答出．22．（14分）（2013•江西）已知函数f（x）=，a为常数且a＞0．（1）f（x）的图象关于直线x=对称；（2）若x0满足f（f（x0））=x0，但f（x0）≠x0，则x0称为函数f（x）的二阶周期点，如果f（x）有两个二阶周期点x1，x2，试确定a的取值范围；（3）对于（2）中的x1，x2，和a，设x3为函数f（f（x））的最大值点，A（x1，f（f（x1））），B（x2，f（f（x2））），C（x3，0），记△ABC的面积为S（a），讨论S（a）的单调性．考点：利用导数研究函数的单调性；奇偶函数图象的对称性；函数的值．专题：压轴题；新定义．分析：（1）只要证明成立即可；（2）对a分类讨论，利用二阶周期点的定义即可得出；（3）由（2）得出x3，得出三角形的面积，利用导数即可得出其单调性．解答：（1）证明：∵==a（1﹣2|x|），=a（1﹣2|x|），∴，∴f（x）的图象关于直线x=对称．（2）解：当时，有f（f（x））=．∴f（f（x））=x只有一个解x=0又f（0）=0，故0不是二阶周期点．当时，有f（f（x））=．∴f（f（x））=x有解集，{x|x}，故此集合中的所有点都不是二阶周期点．当时，有f（f（x））=，∴f（f（x））=x有四个解：0，，，．由f（0）=0，，，．故只有，是f（x）的二阶周期点，综上所述，所求a的取值范围为．（3）由（2）得，．∵x2为函数f（x）的最大值点，∴，或．当时，S（a）=．求导得：S′（a）=．∴当时，S（a）单调递增，当时，S（a）单调递减．当时，S（a）=，求导得．∵，从而有．∴当时，S（a）单调递增．点评：本题考查了新定义“二阶周期点”、利用导数研究函数的单调性、三角形的面积等基础知识，考查了推理能力和计算能力．。