广西来宾市2020版高二上学期期末数学试卷(理科)A卷

广西来宾市高二上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2020高一下·南宁期末) ，，且，，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高二上·綦江期末) 命题“ ”的否定是（）A .B .C .D .3. （2分）等差数列{an}的通项公式为an＝2n＋1，其前n项的和为Sn ，则数列的前10项的和为（）．A . 120B . 70C . 75D . 1004. （2分）已知命题P：“存在命题q:“中，若则A>B。

则下列命题为真命题的是（）A .B .C .D .5. （2分） (2016高二下·马山期末) 曲线y=x3﹣2x+1在点（1，0）处的切线方程为（）A . y=x﹣1B . y=﹣x+1C . y=2x﹣2D . y=﹣2x+26. （2分） (2019高二下·汕头期中) “ ”是“ ”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件7. （2分） (2019高二下·慈溪期中) 定义在上的可导函数，当时，恒成立，，则的大小关系为（）A .B .C .D .8. （2分）在等比数列{an}中，a2a3a4=8，a7=8，则a1=（）A . 1B . ±1C . 2D . ±29. （2分） (2019高二下·南宁期中) 已知点是双曲线的左焦点，点是该双曲线的右顶点，过作垂直于轴的直线与双曲线交于、两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A .B .C .D .10. （2分）(2019·肇庆模拟) 已知是的极小值点，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .11. （2分） (2017高一下·东丰期末) 正六棱锥底面边长为2，体积为，则侧棱与底面所成的角为（）A . 30°B . 45°C . 60°D . 75°12. （2分） (2019高二上·长春月考) 已知椭圆的左、右顶点分别为，点为椭圆上不同于两点的动点，若直线斜率的取值范围是，则直线斜率的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共5分)13. （2分）若空间三点A（1，5，﹣2），B（2，4，1），C（p，3，q+2）共线，则p=________ ，q=________14. （1分）(2019·永州模拟) 若实数满足，则点到原点的最大距离为________．15. （1分） (2019高二上·揭阳月考) 一船以每小时的速度向东航行,船在处看到一个灯塔在北偏东，行驶后，船到达处，看到这个灯塔在北偏东，这时船与灯塔的距离为________16. （1分） (2017高一下·宿州期末) 数列{an}中，若an= ，则其前6项和为________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （15分） (2015高三上·泰州期中) 设f（x）=x2lnx，g（x）=ax3﹣x2 ．（1）求函数f（x）的最小值；（2）若存在x∈（0，+∞），使f（x）＞g（x），求实数a的取值范围；（3）若使方程f（x）﹣g（x）=0在x∈[ ，en]（其中e=2.7…为自然对数的底数）上有解的最小a的值为an ，数列{an}的前n项和为Sn ，求证：Sn＜3．18. （10分）(2017·榆林模拟) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．（1）求角B的大小；（2）若b= ，a+c=3，求△ABC的面积．19. （5分） (2018高二上·南京月考) 已知中心在原点，焦点在轴上的等轴双曲线与抛物线的准线交于两点，且，求双曲线的实轴的长.20. （5分） (2018高二上·鄞州期中) 如图，三棱柱所有的棱长均为1， C．1 求证：；21. （10分） (2018高二下·阿拉善左旗期末) 已知函数 .（1）若在上的最小值为，求的值；（2）若在上恒成立，求a的取值范围.22. （5分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且a2=2b．（1）求椭圆的方程；（2）直线l：x﹣y+m=0与椭圆交于A，B两点，是否存在实数m，使线段AB的中点在圆x2+y2=5上，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共5分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共50分)答案：17-1、答案：17-2、答案：17-3、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、考点：解析：。

2019-2020学年广西壮族自治区来宾市高二上学期期末数学（理）试题一、单选题1．已知0λ>，双曲线22x y λ-=的离心率为（ ）A B C ．2D ．与λ的值有关【答案】A【解析】转化双曲线22x y λ-=为标准形式221x y λλ-=，计算即可.【详解】22x y λ-=，可化为221x y λλ-=，则离心率为c e a ===故选：A 【点睛】本题考查了双曲线的离心率，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题. 2．设命题:p x ∀∈R ，22sin 10x x ++<，则p 的否定是（ ） A ．x ∀∈R ，22sin 10x x ++≥ B ．0x ∃∈R ，202sin 10x x ++≥ C ．x ∀∈R ，22sin 10x x ++> D ．0x ∃∈R ，202sin 10x x ++>【答案】B【解析】根据全称命题的否定形式，即可得出结论. 【详解】因为命题:p x ∀∈R ，22sin 10x x ++<是全称命题，所以p 的否定是特称命题：0x ∃∈R ，202sin 10x x ++≥.故选:B. 【点睛】本题考查命题的否定，要注意全称量词和特称量词的转换，属于基础题. 3．在ABC V 中，2AB =，4BC =，2ABC S =V ，则角B =（ ） A ．6π B ．3π C ．3π或23π D ．6π或56π【答案】D【解析】利用三角形的面积公式1sin 22ABC S AB BC B =⋅⋅=V ，即得解. 【详解】1sin 22ABC S AB BC B =⋅⋅=V ，则1sin 2B =，则6B π=或56π．故选：D 【点睛】本题考查了三角形的面积公式，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题. 4．“a b >”是“lg lg a b ≥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】a b >不能不能保证,a b 都是正值，推不出lg lg a b ≥，反之则成立，即可求解. 【详解】由lg lg a b >，得0a b >>．取2a =，3b =-，此时满足a b >，但是不满足lg lg a b >． 综上，“a b >”是“lg lg a b >”的必要不充分条件． 【点睛】本题主要考查了必要不充分条件，对数函数的单调性，属于中档题.5．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且52515,2S a a =-+=-，则公差d = （ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 【答案】B 【解析】53515S a ==- ，即33a =- ，25332262a a a d a d d +=-++=-⇒-+=- ， 4d = ，故选B.6．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若4a =，5b =，6c =，则cos B =（ ） A ．18- B ．18C ．916-D ．916【答案】D【解析】【详解】根据题意，△ABC 中，a=4，b=5，c=6，则2221636259cos .224616a cb B ac +-+-===⨯⨯故选D ．7．命题p ：在数列{}n a 中，“132n n a a -=，2,3,4,n =L ”是“{}n a 是公比为32的等比数列”的充分不必要条件；命题q ：若k ϕπ=，k ∈Z ，则()()()sin 0f x x ωϕω=+≠为奇函数，则在四个命题()()p q ⌝∨⌝，p q ∧，()p q ⌝∧，()p q ∨⌝中，真命题的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】可判断p 为假命题，q 为真命题，继而可判断()()p q ⌝∨⌝，p q ∧，()p q ⌝∧，()p q ∨⌝的真假.【详解】因为当0n a =时也有132n n a a -=，2,3,4,n =L ， 但{}n a 是等差数列，不是等比数列，因此充分性不成立． 又因为当{}n a 是公比为32的等比数列时，有132n n a a -=，2,3,4,n =L ，所以必要性成立，所以命题p 为假命题；当,k k ϕπ=∈Z 时，可以推得()sin s n ()i f x x x ωϕω=+=±为奇函数； 当()()sin f x x ωϕ=+为奇函数时，可以得到k ϕπ=， 故命题q 为真命题，因此()()p q ⌝∨⌝真，p q ∧假，()p q ⌝∧真，()p q ∨⌝假， 故选：B ． 【点睛】本题考查了命题的逻辑连接词，考查了学生逻辑推理，概念理解，数学运算的能力，属于中档题.8．在平面内，动点P 到定点()1,0的距离比它到y 轴的距离大1，则动点P 的轨迹方程为（ ）A ．24y x =B ．24x y =C ．2y x =D ．2x y =【答案】A【解析】设动点(,)M x y ||1x =+，化简，求出轨迹方程. 【详解】设动点(,)M x y ，动点P 到定点()1,0的距离比它到y 轴的距离大1，||1x =||1x =+，两边平方得222||y x x =+，当0x ≥时，24y x =；当0x <时，0y =.故选:A. 【点睛】本题考查求曲线的轨迹方程，要注意分类讨论，属于基础题.9．在数列{}n a 中，已知12a =，12nn n a a +=+，则10a =（ ）A ．524B ．526C ．1024D ．1026【答案】C【解析】利用叠加法，求得2nn a =，即得解.【详解】根据题意，由12n n n a a +=+，得12nn n a a +-=，则112,n n n a a ---=L ，212a a -=，将各式相加得1222212nn n a a --==--又12a =，所以2nn a =，即101024a =．故选:C 【点睛】本题考查了叠加法求数列的通项，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.10．点P 是抛物线24y x =-上的一点，则点P 到焦点F 的距离与到()3,1A -的距离之和的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】求出抛物线焦点坐标和准线方程，将||PF 转为点P 到抛物线准线的距离||PM ，由抛物线的定义，可得||||PF PM =，转化为求||||AP PM +的最小值，结合图形，即可求解. 【详解】由题意得抛物线的焦点为()1,0F -，准线方程为:1l x =. 过点P 作PM l ⊥于点M ，由定义可得||||PF PM =， 所以||||||||PA PF PA PM +=+，由图形可得，当P ，A ，M 三点共线时，||||PA PM +最小，最小值为4. 故选:B.【点睛】本题考查动点到两定点距离和最小，灵活应用抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离互相转化是解题的关键，属于中档题.11．三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，11AA AB AC ===，AB AC ⊥，N是BC 的中点，1A P λ=u u u v 11A B u u u u v ，113C C C M =u u u u v u u u u v，若PN BM ⊥，则λ=（ ） A ．12B ．13C ．23D ．34【答案】C【解析】建立空间直角坐标系，求出,,,P B M N 坐标，进而求出,PN BM u u u r u u u u r坐标，由=0PN BM ⋅u u u r u u u u r，即可求解.【详解】如图，以AB ，AC ，1AA 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，则(),0,1P λ，11,,022N ⎛⎫⎪⎝⎭， ()1,0,0B ，20,1,3M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11,,122PN λ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ，21,13BM ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u u r ，所以1120223PN BM λ=-+-=⋅u u u r u u u u r ，即23λ=.故选:C.【点睛】本题考查空间向量坐标运算，求出各点坐标是解题的关键，属于基础题.12．已知双曲线22221x y a b-=(0a >，0b >)上的一点()00,A x y ，直线:l y kx =与双曲线交于B ，C 两点(B ，C 都不与A 重合)，设AB ，AC 的斜率分别为12,k k ，1222116k k k k +取最小值时，双曲线的渐近线方程为（ ）A ．4y x =±B ．14y x =±C ．2y x =±D ．12y x =±【答案】D【解析】直线:l y kx =与双曲线交于B ，C 两点(B ，C 都不与A 重合)，可知点,B C 关于原点对称，设(),B x y ，(),C x y --，由斜率公式结合点,B C 在双曲线上，可求出2122b k k a =，再由基本不等式可得，12121212111216162k k k k k k k k +≥⋅=，当且仅当1214k k =时等号成立，求出,a b 关系，即可求解. 【详解】设(),B x y ，(),C x y --，220001222000y y y y y y k k x x x x x x -+-=⋅=-+-， 且2200221x y a b -=，22221x y a b -=，两式相减可得22202220y y b x x a -=-， 即2122b k k a=，121211162k k k k +≥=， 当1212116k k k k =，即1214k k =时取等号，即224a b =，故该双曲线的渐近线方程为12y x =±. 故选:D. 【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，要挖掘两点关于原点对称关系，将问题转化为圆锥曲线的参数关系，考查基本不等式的应用，属于中档题.二、填空题13．若x ，y 满足不等式组430,230,0,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩则21z x y =-+的最大值为______.【答案】2【解析】做出可行域，根据图象特征，即可求出目标函数的最小值. 【详解】做出可行域，如下图所示：由23y x y x=-+⎧⎨=⎩解得11x y =⎧⎨=⎩，(1,1)A ，当目标函数21z x y =-+过点A 时，取得最大值为2. 故答案为:2.【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，考查线性目标函数的最值，属于基础题.14．已知数列{}n a 的前n 项和公式为24n S n n =-，则{}n a 的通项公式为______.【答案】85n a n =-【解析】根据数列前n 项和与通项的关系，分111,n a S ==，12,n n n n a S S -≥=-，即可求出通项公式. 【详解】当1n =时，113a S ==；当2n ≥时，()221441185n n n a S S n n n n n -=-=---+-=-. 又13a =也满足85n a n =-，所以85n a n =-. 故答案为:85n a n =-. 【点睛】本题考查数列的前n 项和与通项的关系，属于基础题. 15．已知0x >，0y >，则2x y yy x y+++的最小值为___________． 2【解析】利用均值不等式，即得解. 【详解】由于0x >，0y >，2x y y y x y ++≥=+2x y y y x y +=+取得最小值．【点睛】本题考查了均值不等式在最值问题中的应用，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于基础题.16．1F 为椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的右焦点，已知过椭圆长轴上一点M （不含端点）任意作一条直线l ，交椭圆于A ，B 两点，且1ABF V 的周长的最大值为5b ，则该椭圆的离心率为______. 【答案】35【解析】设椭圆的左焦点为2F ，则有22|||||AB AF BF ≤+，求出1ABF V 的周长最大值为45a b =，结合,,a b c 的关系，即可求解 【详解】设椭圆的左焦点为2F ，则有111122||||||||||||||45AF BF AB AF BF AF BF a b ++≤+++==，（当且仅当2,,A B F 三点共线时等号成立）则35c a ==，因此所求离心率为35.故答案为:35.【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，合理应用椭圆的定义是解题的关键，属于中档题.三、解答题17．设:,:3p x a q x >>.（1）若p 是q 的必要不充分条件，求a 的取值范围； （2）若p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围；（3）若a 是方程2690x x -+=的根，判断p 是q 的什么条件.【答案】（1）3a <；（2）3a >；（3）充要条件【解析】设{}{},3A x x a B x x =>=>.（1）由题得B ⊂A ，得到a 的取值范围；（2）由题得A B ⊂，得到a 的取值范围；（3）因为方程2690x x -+=的根为3，则有A B =,判断得解. 【详解】设{}{},3A x x a B x x =>=>.（1）若p 是q 的必要不充分条件，则有B ⊂A ，所以3a <. （2）若p 是q 的充分不必要条件，则有A B ⊂，所以3a >. （3）因为方程2690x x -+=的根为3，则有A B =， 所以p 是q 的充要条件. 【点睛】本题主要考查充分必要条件的判断，考查根据充分必要条件求参数，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18．（1）求不等式()236x x x --≤的解集；（2）已知矩形ABCD 的面积为16，求它的周长的最小值． 【答案】（1）[]1,3-；（2）16【解析】（1）将问题转化为一元二次不等式，解不等式得结果；（2）假设矩形的长，将周长转化为基本不等式的形式，从而求得周长的最小值. 【详解】（1）不等式()236x x x --≤可化为2230x x --≤ 即()()130x x +-≤，解得：13x -≤≤∴该不等式的解集为[]1,3-（2）设矩形ABCD 的长为x ，则它的宽为16x，0x >则矩形的周长为162222416l x x ⎛⎫=+≥⨯=⨯⨯= ⎪⎝⎭ 当且仅当16x x=，即4x =时取等号 矩形周长的最小值为16 【点睛】本题考查一元二次不等式的求解，基本不等式求解和的最小值的问题，属于基础题.19．在锐角ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知()222tan a b c C +-=.（1）求C ；（2）求函数()212cos 2sin cos f A A A A =-+的定义域及其最大值.【答案】（1）2π；（2）,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭.【解析】（1）根据余弦定理将已知等式化为cos C =，再化切为弦，可得sin C =，结合C 范围，即可求解； （2）由（1）得3C π=，则23B A π=-，由,A B 为锐角，求出62A ππ<<，用二倍角及辅助角公式，化简()24f A A π=-⎛⎫ ⎪⎝⎭，结合角A 的范围，即可求解 【详解】(1)因为()222tan a b c C +-=，所以222cos 2a b c C ab +-==，即sin C =， 因为02C <<π，所以3C π=.(2)()212cos 2sin cos sin 2cos 224f A A A A A A A π=-+⎛⎫ ⎪⎝=-=⎭-. 在锐角ABC V 中，因为02A π<<，2032A <-<ππ， 所以62A ππ<<，则()f A 的定义域为,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 321244A πππ<-<，故当242A ππ-=，即38A π=时，()max f A =【点睛】本题考查余弦定理解三角形，考查三角函数化简，求函数的最值，在求定义域中要注意隐含条件角B 为锐角不要遗漏，属于中档题.20．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，3518a a +=，3550S S +=.数列{}n b 为等比数列，且11b a =，2143b a a =.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列211n n b S -⎧⎫⎨⎩+⎬⎭的前n 项和n T . 【答案】（1）21n a n =+，3nn b =；（2）1311242n n T n +=--+. 【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，将已知条件转化为1,a d 的方程组，求解，可得到21n a n =+；由已知可得13b =，29b =，从而求出数列{}n b 的通项公式；（2）由（1）得22141n S n -=-，211111322121n n n b S n n -⎛⎫+=-+ ⎪-+⎝⎭，数列211n n b S -⎧⎫⎨⎩+⎬⎭的前n 项和n T 分成两部分，其中211n S -⎧⎫⎨⎬⎩⎭用裂项相消求和，{}n b 用等比数列的前n 项和公式求和，二者相加，即可求出结论.【详解】(1)设公差为d ，则由3518a a +=，3550S S +=，得112618,81350,a d a d +=⎧⎨+=⎩解得13,2,a d =⎧⎨=⎩所以21n a n =+. 设{}nb 的公比q ，又因为13a =，49a =，所以13b =，29b =，故3n n b =.(2)由(1)可知22141n S n -=-，则()()211111133212122121n n n n b S n n n n -⎛⎫+=+=-+ ⎪-+-+⎝⎭. 数列211n S -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为111111111123352121221n n n ⎛⎫⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭， 数列{}n b 的前n 项和为()131333132n n +--=-，故1311242n n T n +=--+. 【点睛】本题考查等差数列通项、前n 项和基本量的运算，以及求等比数列的通项与前n 项和，考查裂项相消求数列的前n 和，属于中档题.21．如图，在直三棱柱ABC DEF -中，90BAC ∠=︒，30ACB ∠=︒，2BE BC ==，M ，N 分别是BE ，AC 的中点.（1）证明：MN ∥平面CDE .（2）求直线AM 与平面CDE 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）4214【解析】（1）取CD 的中点O ，连接NO ，EO ，可证四边形MEON 是平行四边形，即得MN EO P ，即可证明线面平行.（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求出线面角的正弦值.【详解】解：（1）证明：取CD 的中点O ，连接NO ，EO .∵N 是AC 的中点，∴NO AD ME P P .∵M 是BE 的中点，∴NO ME =，∴四边形MEON 是平行四边形，∴MN EO P .∵EO ⊂平面CDE ，MN ⊄平面CDE ，∴MN ∥平面CDE .（2）解：以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -.∵90BAC ∠=︒，30ACB ∠=︒，∴1DE AB ==，3DF AC ==， 则()0,0,0D ，()1,0,0E ，()0,3,2C ，()0,0,2A ，()1,0,1M ， 则()1,0,0DE =u u u r ，()0,3,2DC =u u u r . 设平面CDE 的法向量为(),,n x y z =r ，则0n DE n DC ⋅=⋅=r u u u r r u u u r ，即320x y z =+=，令2y =，则3z =-，得()0,2,3n =-r . 设直线AM 与平面CDE 所成角为θ，∵()1,0,1AM =-u u u u r ，∴()||342sin cos ,14||||27AM n AM n AM n θ⋅====⨯u u u u r r u u u u r r u u u u r r ， 故AM 与平面CDE 所成角的正弦值为4214.【点睛】本题考查线面平行的证明，线面角的计算，考查空间想象能力，计算能力，属于中档题.22．已知椭圆2222:1x y W a b+=(0a b >>)的左、右焦点分别是1F ，2F ，点P 为W 的上顶点，点Q 在W 上，227PF F Q =u u u u v u u u u v ，且1167PF PQ ⋅=-u u u v u u u v . （1）求W 的方程；（2）已知过原点的直线1l 与椭圆W 交于C ，D 两点，垂直于1l 的直线2l 过1F 且与椭圆W 交于M ，N 两点，若26CD MN =，求2F CD S △. 【答案】（1）2214x y +=；（22. 【解析】（1）设12(,0),(,0)F c F c -，由已知227PF F Q =u u u u r u u u u r ，求得Q 的坐标为8,77c b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入椭圆方程，得2234c a =；再由1167PF PQ ⋅=-u u u r u u u r ，求得222c b -=，结合222a b c =+，求出,a b 值，即可求得结论；（2）先讨论直线2l 斜率不存在和斜率为0的情况，验证不满足条件，设直线2l 的方程为(()0y k x k =+≠，与椭圆方程联立，消元，由韦达定理和相交弦长公式，求出||MN ； 再将直线1l 方程1=-y x k 与椭圆联立，求出2CD ，由26CD MN =求出k 的值，进而求出||CD ，再求出点2F 到直线CD 的距离，即可求解.【详解】（1）设椭圆W 的焦距为2c ，∵227PF F Q =u u u u r u u u u r ，∴Q 的坐标为8,77c b ⎛⎫- ⎪⎝⎭.∵Q 在W 上， 将8,77Q c b ⎛⎫- ⎪⎝⎭代人22221x y a b+=，得2234c a =. 又∵1167PF PQ ⋅=-u u u r u u u r ，∴()8816,777,c b c b ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭--， ∴222c b -=.又∵222a b c =+，∴24a =，21b =，W 的方程为2214x y +=. （2）当直线2l 的斜率不存在时，||2CD =，||4MN =，不符合题意；当直线2l 的斜率为0时，||4CD =，||1MN =，也不符合题意.∴可设直线2l的方程为(()0y k x k =≠,联立(22,1,4y k x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩得()2222411240k x x k +++-=，则12x x +=，212212441k x x k -=+.()2241||41k MN k +==+.由221,1,4y x k x y ⎧=-⋅⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴()222161||4k CD k +=+. 又∵26||||MN CD =，∴()()2222241161444k k k k ++=++，∴22k =，∴||CD =∵2F 到直线CD的距离1d ==，∴2112F CD S =⨯⨯=△. 【点睛】 本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，设直线方程时要注意特殊情况，要熟练掌握求相交弦长的方法，考查计算能力，属于较难题.。

广西2020版数学高二上学期理数期末考试试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2020·江西模拟) 已知函数函数的四个零点从小到大依次为，，，，对满足条件的任意一组零点，下列判断中一定成立的是（）A .B .C .D .2. （2分）若命题“”为假，且“”为假，则（）A . p或q为假B . q假C . q真D . 不能判断q的真假3. （2分） (2017高二上·平顶山期末) 已知双曲线E的中心为原点，P（3，0）是E的焦点，过P的直线l 与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣12，﹣15），则E的方程式为（）A .B .C .D .4. （2分）已知函数的图像上一点(1,1)及邻近一点,则和分别等于（）A . 4 ，2B . 4x，4C . ，4D . ，35. （2分）一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为（的单位：m，t的单位：s），则t=5时的瞬时速度（单位：m/s）为（）A . 37B . 38C . 39D . 406. （2分）下列求导运算正确的是（）A .B .C .D .7. （2分）已知常数a、b、c都是实数，f(x)=ax3+bx2+cx-34的导函数为f'(x)，f'(x)0的解集为，若f（x)的极小值等于-115，则a的值是（）A .B .C . 2D . 58. （2分）已知函数的极大值点和极小值点都在区间内，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .9. （2分）(2020·驻马店模拟) 若为纯虚数，则z＝（）A .B . 6iC .D . 2010. （2分）以下说法，正确的个数为（）．①公安人员由罪犯的脚印的尺寸估计罪犯的身高情况，所运用的是类比推理．②农谚“瑞雪兆丰年”是通过归纳推理得到的．③由平面几何中圆的一些性质，推测出球的某些性质这是运用的类比推理．④个位是5的整数是5的倍数，2375的个位是5，因此2375是5的倍数，这是运用的演绎推理．A . 0B . 2C . 3D . 411. （2分） (2019高二下·长春期末) 已知，则“ ”是“ ”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件12. （2分）已知函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+1)＝f(x-1)且当x∈[-1,1]时，f(x)=x2 ，则y=f(x)与y=log5x 的图象的交点个数为（）A . 2B . 3C . 4D . 5二、填空题 (共5题；共5分)13. （1分） (2017高二下·黄冈期末) 若函数f（x）=x3+x2﹣ax﹣4在区间（﹣1，1）恰有一个极值点，则实数a的取值范围为________．14. （1分）(2017·泰州模拟) 复数（a+i）（1+2i）是纯虚数（i是虚数单位），则实数a=________．15. （1分） (2019高三上·涟水月考) 已知，，，，类比这些等式，若（，均为正整数），则 ________.16. （1分） (2018高二上·淮北月考) 已知椭圆的离心率e= ，A,B是椭圆的左右顶点，P为椭圆上不同于AB的动点，直线PA,PB的倾斜角分别为，则 =________.17. （1分） (2020高二上·黄陵期末) 用数学归纳法证明等式时，第一步验证时，左边应取的项是________．三、解答题 (共6题；共50分)18. （5分） (2020高二下·郑州期末) 对于命题：存在一个常数，使得不等式对任意正数，恒成立.（1）试给出这个常数的值（不需要证明）；（2）在（1）所得结论的条件下证明命题 .19. （5分） (2020高二下·吉林期中) 已知抛物线，在点，分别作抛物线的切线．（1）求切线和的方程；（2）求抛物线C与切线和所围成的面积．20. （10分） (2017高二下·天津期末) 已知i是虚数单位，a，b∈R，z1=a﹣1+（3﹣a）i，z2=b+（2b﹣1）i，z1=z2 ．（1）求a，b的值；（2）若z=m﹣2+（1﹣m）i，m∈R，求证：|z+a+bi|≥ ．21. （10分）(2018·泸州模拟) 已知函数 .（1）求曲线在处的切线在轴上的截距；（2）若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围.22. （10分） (2018高三上·汕头月考) 已知抛物线E：的焦点为F，为x轴上的点．（1）过点P作直线l与E相切，求切线l的方程；（2）如果存在过点F的直线与抛物线交于A，B两点，且直线PA与PB的倾斜角互补，求实数a的取值范围．23. （10分） (2017高二下·湖北期中) 已知函数f（x）=x2（x﹣a），其中a∈R．（1）若a=1，求曲线y=f（x）的过点（1，0）的切线方程．（2）讨论函数y=f（x）在[0，4]上的单调性．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共5题；共5分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：答案：17-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共50分)答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：答案：23-1、答案：23-2、考点：解析：。

2020年广西壮族自治区来宾市实验中学高二数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图：已知△ABC是直角三角形，∠ACB=90°M为AB的中点，PM⊥△ABC所在的平面，那么PA、PB、PC的大小关系是（）A．PA>PB>PC B．PB>PA>PCC．PC>PA>PB D．PA=PB=PC参考答案：D略2. 已知，，，则的取值范围是A. B. C. D.参考答案：D3. 若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则P的值为（）A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣4参考答案：C【考点】椭圆的简单性质．【分析】通过椭圆、抛物线的焦点相同，计算即得结论．【解答】解：由a2=6、b2=2，可得c2=a2﹣b2=4，∴到椭圆的右焦点为（2，0），∴抛物线y2=2px的焦点（2，0），∴p=4，故选：C．4. 已知椭圆的一个焦点为F(1,0)，离心率e＝，则椭圆的标准方程为()参考答案：C略5. 若，则方程表示（）A. 焦点在轴上的椭圆B. 焦点在轴上的椭圆C. 焦点在轴上的双曲线D. 焦点在轴上的双曲线参考答案：B6. 当x＞0，y＞0， +=1时，x+y的最小值为（）A．10 B．12 C．14 D．16参考答案：D【考点】7F：基本不等式．【分析】利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x＞0，y＞0， +=1，∴x+y=（x+y）=10+=16，当且仅当y=3x=12时取等号．∴x+y的最小值为16．故选：D．7. 已知某离散型随机变量服从的分布列如，则随机变量的方差等于( )A. B. C. D.参考答案：B8. 设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f′（x）可能为（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】3O：函数的图象；63：导数的运算．【分析】先从f（x）的图象判断出f（x）的单调性，根据函数的单调性与导函数的符号的关系判断出导函数的符号，判断出导函数的图象【解答】解：由f（x）的图象判断出f（x）在区间（﹣∞，0）上递增；在（0，+∞）上先增再减再增∴在区间（﹣∞，0）上f′（x）＞0，在（0，+∞）上先有f′（x）＞0再有f′（x）＜0再有f′（x）＞0故选D．9. 某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（）A．抽签法B．系统抽样法C．分层抽样法D．随机数法参考答案：C 【考点】收集数据的方法．【专题】应用题；概率与统计．【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．【解答】解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，而事先已经了解到三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，这种方式具有代表性，比较合理．故选：C．【点评】本小题考查抽样方法，主要考查抽样方法，属基本题．10. 函数的图象是由函数的图像向左平移个单位得到的，则（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】把的图像向左平移个单位后得到的图像，化简后可得的值，利用两角和的余弦和正弦展开后可得的值.【详解】把的图像向左平移个单位后得到所得图像的解析式为，根据可得①，所以即（舍），又对①化简可得，故，故选B.【点睛】三角函数的图像往往涉及振幅变换、周期变换和平移变换，注意左右平移时是自变量作相应的变化，而且周期变换和平移变换（左右平移）的次序对函数解析式的也有影响，比如，它可以由先向左平移个单位，再纵坐标不变，横坐标变为原来的，也可以先保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向左平移.．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 曲线在点处的切线的斜率为．参考答案：略12. 直线: 绕着它与x 轴的交点逆时针旋转所得直线的方程为．参考答案：13. 设F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若＝0，则.参考答案：12 14. 直线与的交点坐标为__________.参考答案：（1,1）15. 圆x 2+y 2+2x ﹣4y+1=0关于直线ax+y+1=0对称，则a= ．参考答案：3【考点】关于点、直线对称的圆的方程．【分析】求出圆的圆心代入对称轴方程即可求出a 的值．【解答】解：圆x 2+y 2+2x ﹣4y+1=0的圆心（﹣1，2）；圆x 2+y 2+2x ﹣4y+1=0关于直线ax+y+1=0对称，可得：﹣a+2+1=0，解得a=3．故答案为：3．16. 求证：一个三角形中，至少有一个内角不小于，用反证法证明时的假设为“三角形的 ”． 参考答案： 三个内角都小于；略17. 设为椭圆的右焦点，且椭圆上至少有10个不同的点，使组成公差为的等差数列，则的取值范围是 ．参考答案：椭圆中，左顶点为：，右顶点为，若这个等差数列是增数列,则a 1≤|FP 1|=13?9=4,a 10≤|FP 10|=13+9=22，∴a 10=a 1+9d ,∴0< a 10?a 1=9d ≤18， 解得.若这个等差数列是减数列,则a 1≥|FP 1|=13+9=22, a 10≥|FP 10|=13?9=4， ∴a 10=a 1+9d ,∴0> a 10?a 1=9d ≥18,?2≤d <0. ∴d 的取值范围是.三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

2020年广西壮族自治区来宾市迁江中学高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 按右边的程序框图运行后,输出的应为（）A．26 B．35 C．40 D．57参考答案：C2. 对同一目标进行两次射击，第一、二次射击命中目标的概率分别为0.5和0.7，则两次射击中至少有一次命中目标的概率是（）A．0.35 B．0.42 C．0.85 D．0.15参考答案：C【考点】C9：相互独立事件的概率乘法公式．【分析】先求得两次射击中都没有命中目标的概率是（1﹣0.5）（1﹣0.7），再用1减去此概率，即得所求．【解答】解：两次射击中都没有命中目标的概率是（1﹣0.5）（1﹣0.7）=0.15，故两次射击中至少有一次命中目标的概率是1﹣0.15=0.85，故选C．3. 下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）D略4. 已知中，，，的对边分别为三角形的重心为.，则 ( ）参考答案：B5. 下列函数中最小值为2的是( )A．B．C． D．参考答案：C6. 一物体做竖直上抛运动，它距地面的高度与时间间的函数关系式为，则的瞬时速度（）为A. －0.98B. 0.2C. -0.2D. -4.9参考答案：B略7. 在对一组数据采用几种不同的回归模型进行回归分析时，得到下面的相应模型的相关指数的值，其中拟和效果较好的是（）．．．．参考答案：D略8. 若集合有且仅有2个子集，则实数的值是 ( )A.-2B.-2或-1C.2或-1 D.2或-1参考答案：D略9. ，则（）A. B. C. D.参考答案：A10. 集合，，则两集合M，N关系为（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】根据集合表示的元素特点可得两集合的关系.【详解】为所有整数，为奇数本题正确选项：【点睛】本题考查集合之间的关系判断问题，属于基础题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在空间四边形ABCD中，BC = AD，E、F、M、N分别是AB、CD、BD、AC的中点，则EF与MN的夹角等于______________。

高二数学上学期期末考试试题 理考试时间：120分钟 总分150分 一、选择题（每小题5分，共60分） 1.不等式－x 2＋x －2＞0的解集是( )(A){x |x ＞1，或x ＜－2} (B){x |－2＜x ＜1} (C)R(D)∅2、已知||=5，||=3，且•=﹣12，则向量在向量上的投影等于（ ） A ．B ．4C ．D ．﹣43．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ） A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏4. “x ”是“ x 2x ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条5．若坐标原点到抛物线2y mx =的准线的距离为2，则m =（ ） A ．8 B ．8±C ．14±D ．18± 6.设,x y 满足约束条件12x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩,则3z x y =+的最大值为（ ）A ． 5 B. 3 C. 7 D. -8 7.下列是命题“存在一个整数a ，012<+a ”的否定的是（ ） A 012,>+∈∃a Z a 。

B 012,>+∈∀a Z a 。

C 012,≥+∈∃a Z a 。

D 012,≥+∈∀a Z a8．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且π3B = ，2b ac =，则ABC △一定是（ ）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形9、正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是11A B 的中点，则E 到平面11ABC D 的距离是（ ）Ｃ．1210．若双曲线:C 22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ）A ．2 BCD11.一个等比数列}{n a 的前n 项和为48，前2n 项和为60，则前3n 项和为（ ） A 、63 B 、108 C 、75 D 、8312、若点 A （-2，-1）在直线 mx ＋ny ＋1＝0（m ＞0，n ＞0）上，则 nm 21+的最小值等于（ ） A ．16 B ．12C ．9D ．8二、填空题（每小题5分，共20分） 13.在ABC ∆中，045,B c b ===A ＝_____________; 14.已知数列｛a n ｝的前n 项和2n S n n =+，那么它的通项公式为a n=_____15.若双曲线 4422=-y x 的焦点是21,F F 过1F 的直线交左支于A 、B ，若|AB|=5，则△AF 2B 的周长是16.若体积为4的长方体的一个面的面积为1，且这个长方体8个顶点都在球O 的球面上，则球O 表面积的最小值为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17(10分) .已知等比数列{}n a 中，45,106431=+=+a a a a ，求其第4项及前5项和.18（12分）．已知双曲线C 的方程为221515x y -=. （1）求其渐近线方程；（2）求与双曲线C 焦点相同，且过点(0,3)的椭圆的标准方程.19 (12分).在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程220x -+=的两个根，且2cos()1A B +=。

高二数学上学期期末考试试题 理（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．范围：北师大必修5+选修2-1 +选修2-2复数、 导数。

第Ⅰ卷一、选择题（本题共12题，每小题5分，共60分．每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知复数z 满足i 1i z =+，则z 的共轭复数z =A ．1i +B ．1i -CD ．1i --2．命题“对任意的,sin 1x x ∈≤R ”的否定是 A ．不存在,sin 1x x ∈≤R B ．存在,sin 1x x ∈≤R C ．存在,sin 1x x ∈>RD ．对任意的,sin 1x x ∈>R3．已知双曲线222:1y C x b-=的离心率为2，则双曲线C 的渐近线方程为A ．y x =B ．y =±C ．y =D ．y = 4．不等式12x x-≥的解集为 A ．(,1]-∞-B ．(,1](0,)-∞-+∞ C ．[1,)+∞D ．[1,0)-5．已知空间向量(3,1,0),(,3,1)x ==-a b ，若⊥a b ，则x = A ．3-B ．1-C ．1D ．36．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos A aB b=，则ABC △是A ．直角三角形B ．等腰直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形7．已知a ，b ∈R ，且220a b -+=，则124ab+的最小值为 A ．2B ．1C ．12D ．148．已知e e ()xf x x -=+的导函数为()f 'x ，则1()f '=A ． 11+B 11-+C ．1-1D ．1-1-9．我国古代数学《算法通宗》有如下问题：远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层是上一层灯数的2倍，则塔顶层共有灯几盏？ A ．3B ．1C ．2D ．410．在正方体1111ABCD A B C D -中，已知M 为11A B 的中点，则异面直线AM 与1B C 所成角的余弦值为 ABCD11．若关于x 的不等式22280(0)x ax a a --<<的解集为12(,)x x ，且2115x x -=，则a =A ．56-B ．52-C ．154-D ．152-12．过抛物线2:(0)C y mx m =>的焦点F 作直线l 交抛物线于P ，Q 两点，若线段PQ 中点的横坐标为3，且5||4PQ m =，则m = A ．6B ．8C ．10D ．12第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知变量x ，y 满足约束条件1330x y x y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =-的最大值是_____________．14．集合1{|0}1x A x x -=<+，{|}B x x a =<，若A 是B 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是______15．已知1F ， 2F 分别是椭圆222:1(3)9x y C a a +=>的左、右焦点，P 为椭圆C 上一点，且12120F PF ∠=︒则12||||PF PF ⋅=_____________．16．已知0a >，0b >，且23a b+=，则ab 的最小值为________________． 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）集合2{|10}P x x=-<与2{|540}B x x x =-+<求B P 和B PC R18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且111a b ==，234a b a +=，347a b a +=． （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）记n n n b a c ∙=，求数列{}n c 的前n 项和n S ．19．（本小题满分12分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知(2)cos cos 0b c A a C --=．（1）求角A 的大小；（2）若2a =，求ABC △的面积S 的最大值．20．（本小题满分12分）设函数()()ln ,ln 2f x x g x x x ==-+. （1）求函数()g x 的极大值； （2）求)()(x g x f +的单调区间21．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1()0x y C a b a b +=>>的离心率为2，且过点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线y x m =+交椭圆C 于A ，B 两点，设O 为坐标原点，求OAB △面积的最大值．22．（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中,11,AAC C ABC ⊥侧面底面112,AA AC AC ===AB BC =，,AB BC O AC ⊥且为中点．（1）证明：1;AO ABC ⊥平面 （2）求直线1BC 与平面1A AB 所成角的正弦值．。

广西桂林市2020年高二上学期期末数学试卷（理科）A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）某社区现有480个住户，其中中等收入家庭200户、低收入家庭160户，其他为高收入家庭.在建设幸福社区的某次分层抽样调查中，高收入家庭被抽取了6户，则在此次分层抽样调查中，被抽取的总户数为（）A . 20B . 24C . 36D . 302. （2分）(2017·汕头模拟) 某厂家为了解销售轿车台数与广告宣传费之间的关系，得到如表统计数据表：根据数据表可得回归直线方程，其中，，据此模型预测广告费用为9万元时，销售轿车台数为（）广告费用x（万元）23456销售轿车y（台数）3461012A . 17B . 18C . 19D . 203. （2分）(2017·焦作模拟) 已知M是抛物线C：y2=2px（p＞0）上一点，F是抛物线C的焦点，若|MF|=p，K是抛物线C的准线与x轴的交点，则∠MKF=（）A . 45°B . 30°C . 15°D . 60°4. （2分）(2017·浙江模拟) 设P：2＜x＜4，Q：lnx＜e，则P是Q成立的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分） (2017高一下·晋中期末) 在平面四边形ABCD中，若AB=3，AC=4，cos∠CAB= ，AD=4sin∠ACD，则BD的最大值为（）A .B . 4C .D . 56. （2分） D为△ABC边BC中点，点P满足 + + = ，=λ ，实数λ为（）A .B . 2C . ﹣2D .7. （2分） (2016高二下·佛山期末) 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A . 16B . 17C . 14D . 158. （2分）椭圆的离心率为，则k的值为（）A . －21B . 21C . 或21D . 或219. （2分） (2016高二上·青海期中) 如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、G分别是棱A1B1、BB1、B1C1的中点，则下列结论中：①FG⊥BD②B1D⊥面EFG③面EFG∥面ACC1A1④EF∥面CDD1C1正确结论的序号是（）A . ①和②B . ②和④C . ①和③D . ③和④10. （2分）(2017·赣州模拟) 已知双曲线的离心率为，则抛物线x2=4y的焦点到双曲线的渐近线的距离是（）A .B .C .D .11. （2分）(2017·临翔模拟) 已知焦点为F的抛物线y2=2px（p＞0）上有一点，以A为圆心，|AF|为半径的圆被y轴截得的弦长为，则m=（）A .B .C .D .12. （2分）(2017·新课标Ⅰ卷理) 已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1 ， l2 ，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（）A . 16B . 14C . 12D . 10二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点与双曲线：的右焦点重合，则抛物线C的方程是________14. （1分）在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在正方形内切圆的上半圆（圆中阴影部分）中的概率是________15. （1分）给出以下四个命题：①若则或；②若，则；③在△ 中，若，则；④在一元二次方程中，若，则方程有实数根．其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是________．(填序号)16. （1分） (2018高三上·哈尔滨月考) 如图，已知一个八面体的各条棱长均为，四边形为正方形，给出下列命题：①不平行的两条棱所在的直线所成的角是或；②四边形是正方形；③点到平面的距离为；④平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．其中正确的命题全部序号为________三、解答题 (共6题；共40分)17. （5分）(2017·东城模拟) 某单位附近只有甲，乙两个临时停车场，它们各有50个车位，为了方便市民停车，某互联网停车公司对这两个停车场在工作日某些固定时刻的剩余停车位进行记录，如下表：时间8点10点12点14点16点18点停车场甲1031261217停车场乙13432619如果表中某一时刻停车场剩余停车位数低于总车位数的10%，那么当车主驱车抵达单位附近时，该公司将会向车主发出停车场饱和警报．（Ⅰ）假设某车主在以上六个时刻抵达单位附近的可能性相同，求他收到甲停车场饱和警报的概率；（Ⅱ）从这六个时刻中任选一个时刻，求甲停车场比乙停车场剩余车位数少的概率；（Ⅲ）当停车场乙发出饱和警报时，求停车场甲也发出饱和警报的概率．18. （15分）(2017·舒城模拟) 中石化集团获得了某地深海油田区块的开采权，集团在该地区随机初步勘探了部分儿口井，取得了地质资料．进入全面勘探时期后，集团按网络点来布置井位进行全面勘探．由于勘探一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合或接近，便利用旧井的地质资料，不必打这口新井，以节约勘探费用．勘探初期数据资料见如表：井号I123456坐标（x，y）（km）（2，30）（4，40）（5，60）（6，50）（8，70）（1，y）钻探深度（km）2456810出油量（L）407011090160205（1） 1～6号旧井位置线性分布，借助前5组数据求得回归直线方程为y=6.5x+a，求a，并估计y的预报值；（2）现准备勘探新井7（1，25），若通过1、3、5、7号井计算出的的值（精确到0.01）相比于（1）中b，a的值之差不超过10%，则使用位置最接近的已有旧井6（1，y），否则在新位置打开，请判断可否使用旧井？（参考公式和计算结果：）（3）设出油量与勘探深度的比值k不低于20的勘探并称为优质井，那么在原有井号1～6的出油量不低于50L 的井中任意勘探3口井，求恰好2口是优质井的概率．19. （5分） (2018高二上·吕梁月考) 球的两个平行截面的面积分别是5π，8π，两截面间的距离为1，求球的半径20. （5分）(2017·武邑模拟) 如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC=BC=EB=2DC=2，∠ACB=120°，P，Q分别为AE，AB的中点．（Ⅰ）证明：PQ∥平面ACD；（Ⅱ）求AD与平面ABE所成角的正弦值．21. （5分） (2018高二上·南京月考) 已知中心在原点，焦点在轴上的等轴双曲线与抛物线的准线交于两点，且，求双曲线的实轴的长.22. （5分） (2017高二下·嘉兴期末) 已知椭圆的离心率为，且它的一个焦点的坐标为 .（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设过焦点的直线与椭圆相交于两点，是椭圆上不同于的动点，试求的面积的最大值.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共40分)17-1、18-1、18-2、18-3、19-1、20-1、21-1、。

2020-2021学年广西来宾市高二（上）期末数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.抛物线C：y2=−16x的焦点坐标为()A. (4,0)B. (8,0)C. (−4,0)D. (−8,0)2.设a<b<0，c∈R，则下列不等式一定成立的是()A. a+c3<b+c3B. a2<abC. ab<0D. ac>bc3.在锐角△ABC中，已知a=3，c=√7，C=60°，则△ABC的面积为()A. √32B. 3√32或3√34C. 3√32D. 3√344.已知数列{a n}为等差数列，S n为数列{a n}的前n项和，a2+a3+a4+a5+a6=25，则S7等于()A. 5B. 15C. 30D. 355.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为3√24，则其渐近线方程为()A. y=±√22x B. y=±√24x C. y=±14x D. y=±12x6.已知不等式2ax2−bx+4>0的解集是(−1,1)，则a b+1的值为()A. 2B. 1C. √2D. −27.函数f(x)=14x+9 x−1(x>1)的最小值为()A. 134B. 3 C. 72D. 948.如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，AB=AD=AA1=4，∠A1AD=∠A1AB=∠DAB=60°，则线段AC1的长度是()A. 6√3B. 10C. 4√6D. 8√29.中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵．那么前3个儿子分到的绵的总数是( )A. 89斤B. 116斤C. 189斤D. 246斤10. 设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0,c =√a 2−b 2)的左、右焦点，过点F 2且斜率为√3的直线l 与直线x =a 2c相交于点P ，若△PF 1F 2为等腰三角形，则椭圆E 的离心率e 的值是( )A. √32B. 13C. √33D. √2211. 已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，b n =a n4a n+13，且数列{b n }的前n 项和为T n ，若对于一切正整数n 都有S n <T n ，则数列{a n }的公比q 的取值范围为( )A. (1,+∞)B. (0,1)C. (2,+∞)D. (0,4)12. 在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若csinC =asinA +(b −a)sinB ，角C 的角平分线交AB 于点D ，且CD =√3，a =3b ，则c 的值为( )A. 72B. 4√73C. 3D. 2√3二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知x ，y 满足约束条件{3x −2y −2⩽0x −2y +2⩾0，则z =3x +y 的最大值为______．14. 直线y =2x −2被抛物线C ：y 2=4x 截得的弦长为______ ． 15. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，过点F 且与x 轴垂直的直线与双曲线C 和双曲线C 的一条渐近线分别相交于P ，Q 两点(P,Q 在同一象限内)，若P 为线段QF 的中点，且|PF|=√33，则双曲线C 的标准方程为______ ．16. 数列{a n }满足a 3=8，a 10=29，2a n+1≤a n +a n+2(n ∈N ∗)，则a 6的最大值为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知命题p ：“曲线C 1：x 2m +y 22m+3=1表示焦点在y 轴上的椭圆”，命题q ：“曲线C 2：x 2m+2+y 2m−1=1表示双曲线”．(1)请判断p 是否是q 的必要不充分条件，并说明理由； (2)若命题“p 且q ”是真命题，求实数m 的取值范围．18.已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=2，a n+1=a n+2(n∈N∗)．(1)求S n；)n+2，求数列{b n}的前2n项的和T2n．(2)若b n=3a n+1−(1219.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，bsinAcosC+asinCcosB=bsinB+csinC−bsinC．(1)求A的值；(2)若△ABC的面积为5√3a2，周长为25，求a．4820.已知动点P到点F(t,0)(t为常数且t>0)的距离与到直线x=−t的距离相等，且点(1,−1)在动点P的轨迹上．(1)求动点P的轨迹C的方程，并求t的值；(2)在(1)的条件下，已知直线l与轨迹C交于A，B两点，点M(2,1)是线段AB的中点，求直线l 的方程．21. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 上的动点．(1)若PB//平面AEC ，请确定点E 的位置，并说明理由． (2)设AB =AP =2，AD =3，若PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求二面角P −AC −E 的正弦值．22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为√32，短轴长为2．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知点A ，B 分别为椭圆C 的左、右顶点，点D 为椭圆C 的下顶点，点P 为椭圆C 上异于椭圆顶点的动点，直线AP 与直线BD 相交于点M ，直线BP 与直线AD 相交于点N.证明：直线MN 与x 轴垂直．答案和解析1.【答案】C【解析】解：由抛物线C：y2=−16x的方程可得焦点坐标(−4,0)，故选：C．由抛物线的方程直接可得焦点坐标．本题考查抛物线定义，由标准方程求焦点坐标的方法，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：对于A，∵a<b<0，c3=c3，∴由不等式的可加性可得，a+c3<b+c3，故A正确，对于B，∵a<b<0，∴a2−ab=a(a−b)>0，即a2>ab，故B错误，对于C，∵a<b<0，∴ab>0，故C错误，对于D，当c=0时，ac=bc，故D错误．故选：A．根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解．本题主要考查了不等式的性质，掌握特殊值法是解本题的关键，属于基础题．3.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了余弦定理及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，体现了分类讨论思想的应用．由已知结合余弦定理先求出b，然后结合三角形的面积公式即可求解．【解答】解：由余弦定理得cosC=a2+b2−c2，2ab所以12=9+b2−76b，解得b=1或b=2，当b=1时，b2+c2−a2<0，此时A为钝角，不合题意，当b=2时，△ABC的面积S=12absinC=12×3×2×√32=3√32．故选：C．4.【答案】D【解析】解：因为数列{a n}为等差数列，a2+a3+a4+a5+a6=5a4=25，所以a4=5，则S7=7(a1+a7)2=7a4=35．故选：D．由已知结合等差数列的性质可先求出a4，然后结合等差数列的求和公式可求．本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的应用，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为3√24．可得：ca =3√24，即1+b2a2=1816=98，可得ba =√24，则双曲线C的渐近线方程为：y=±√24x.故选：B．通过双曲线的离心率求出b与a的关系，然后求解双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．6.【答案】D【解析】根据题意，不等式2ax2−bx+4>0的解集为(−1,1)．则2ax2−bx+4=0的根为−1和1，由韦达定理得{b2a =042a=−1，解得a =−2，b =0，∴a b+1=(−2)1=−2． 故选：D ．根据题意，分析可得2ax 2−bx +4=0的根为−1和1，由根与系数的关系可求得a ，b 的值，即可求得a b+1的值．本题考查了一元二次不等式的解法，注意先利用一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系求出a 、b 的值，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：因为x >1，所以x −1>0， 则f(x)=14x +9x−1=14(x −1)+9x−1+14≥2√14(x −1)⋅9x−1+14=134，当且仅当14(x −1)=9x−1，即x =52时取等号， 此时函数f(x)的最小值为134， 故选：A ．因为x >1，所以x −1>0，则f(x)=14x +9x−1=14(x −1)+9x−1+14，然后利用基本不等式即可求解．本题考查了基本不等式的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：∵平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1，∴AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗而AB =AD =AA 1=4，∠A 1AD =∠A 1AB =∠DAB =60°，∴AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =16+16+16+2(4×4×cos60°+4×4×cos60°+4×4×cos60°)=96，故线段AC 1的长度：4√6． 故选：C ．由AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB =AD =AA 1=4，∠A 1AD =∠A 1AB =∠DAB =60°，利用空间向量的数量积能求出线段AC 1的长度．本题考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9.【答案】D【解析】解：用a 1，a 2，⋅⋅⋅a 8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵的斤数， 由题意得a 1，a 2，⋅⋅⋅a 8构成以17为公差的等差数列，且8项和为996， 所以8a 1+8×72×17=996，故a 1=65，所以前3个儿子分到的绵的总数为65+82+99=246． 故选：D ．用a 1，a 2，⋅⋅⋅a 8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵的斤数，由题意得a 1，a 2，⋅⋅⋅a 8构成以17为公差的等差数列，且8项和为996，然后结合求和公式即可求解． 本题主要考查了等差数列的求和公式在实际问题中的应用，属于基础题．10.【答案】C【解析】解：设准线x =a 2c与x 轴交于Q ，由F 2且斜率为√3的直线l 可得直线的倾斜角为60°， 所以|F 2Q|=|F 2P|⋅cos60°=|PF 2|2=2c ，所以a 2c−c =2c ，所以e =c a=√33， 故选：C ．由题意可得右焦点到右准线x =a 2c的距离为a 2c−c =2c ，从而求出离心率的值．本题考查椭圆的性质及直线的斜率与倾斜角的关系，属于中档题．11.【答案】B【解析】解：因为等比数列{a n }是正项等比数列，所以a 1>0、q >0，若q =1，则a n =a 1， ∴b n =a n 4a n+13=a n =a 1，则有S n =T n ，不满足题意； 若q ≠1，则S n =a 1(1−q n )1−q，b n =a n 4a n+13，T n =a 1q 3(1−q n )q 3(1−q)=a 1(1−q n )q 3(1−q)，∴T n −S n =a 1(1−q n )1−q(1q3−1)=a 1(1−q n )(1−q 3)q 3(1−q)=a 1(1−q n )(1+q+q 2)q 3，因为a 1>0，q >0，S n <T n ， 则1−q n >0，q n <1， ∴0<q <1，故数列{a n }的公比q 的取值范围为(0,1)． 故选：B ．本题首先可设q =1，通过S n =T n 排除这种情况，再然后设q ≠1，通过等比数列的求和公式即可得出S n =a 1(1−q n )1−q、T n =a 1(1−q n )q 3(1−q)，最后根据a 1>0、q >0、S n <T n 即可得出结果．本题考查了等比数列的前n 项和公式和分类讨论思想，求等比数列的前n 项和时一定要分q =1和q ≠1两种情况进行讨论，属于基础题．12.【答案】B【解析】解：因为csinC =asinA +(b −a)sinB ， 所以由正弦定理可得c 2=a 2+b 2−ab ， 可得cosC =a 2+b 2−c 22ab=ab 2ab=12，因为C ∈(0,π)， 所以C =π3，所以∠ACD =∠BCD =π6，由CD =√3，a =3b ， 所以CACB =ADDB =13，在△ACD ，△BCD 中，由余弦定理得：AD 2=b 2+3−2b ×√3cos30°=b 2−3b +3， DB 2=(3b)2+3−2×3b ×√3cos30°=9b 2−9b +3，故9b 2−9b +3=9(b 2−3b +3)，解得：b =43，故a =4， 在△ABC 中，由余弦定理得：c 2=a 2+b 2−2abcosC ，即c 2=16+169−2×4×43×12=1129，故c =4√73． 故选：B ．利用角平分线的性质，分别在△ACD ，△BCD 中，利用余弦定理用b 表示出AD ，BD ，然后列方程求出b 的值，最后再求出AD ，DB ，最后求出c 的值．本题考查正、余弦定理的应用，同时考查了学生的运算能力，属于中档题．13.【答案】8【解析】解：由约束条件{3x −2y −2⩽0x −2y +2⩾0作出可行域如图：联立{3x −2y −2=0x −2y +2=0⇒{x =2y =2，由z =3x +y 得：y =−3x +z ， 将直线y =−3x 向上平移，可知当直线经过点A(2,2)时，y =−3x +z 的截距取得最大值，z 的最大值，z max =3×2+2=8， 故答案为：8．画出满足条件的平面区域，由z =3x +y 得：y =−3x +z ，将直线y =−3x 向上平移，结合图象求出z 的最大值即可．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14.【答案】5【解析】解：直线y=2x−2代入y2=4x，消去y，得4x2−12x+4=0.即：x2−3x+ 1=0设A(x1,y1)，B(x2,y2)则x1+x2=3，x1x2=1．所以|AB|=√1+k2|x1−x2|=√5⋅√9−4=5，故答案为：5．直线y=2x−2代入y2=4x，消去y，得4x2−12x+4=0.利用韦达定理，结合弦长公式，即可得出结论．本题考查直线与抛物线的位置关系，考查弦长的计算，考查韦达定理的运用，正确运用弦长公式是关键，是基础题．15.【答案】x23−y2=1【解析】解：由双曲线方程可得F(c,0)，渐近线的方程为y=bax，由|PF|=√33，可得P(c,√33)，由P为QF的中点可得Q(c,2√33)，将Q的坐标代入渐近线的方程，得2√33=bca，整理得43=(c2−a2)c2a2，即4a2=3c4−3a2c2①，P在双曲线上，则c2a2−13b2=1，所以3c2(c2−a2)−a2=3a2(c2−a2)，整理得3c4−6a2c2−a2+3a4=0②，由①②可得3c4−7a2c2+4a4=0，因为c>a，所以c2=43a2③，由①②③，解得b2=1，c2=4，a2=3，所以双曲线的方程为x23−y2=1，故答案为：x23−y2=1．由双曲线的方程可得右焦点F的坐标，由题意可得P，Q的坐标，将P，Q的坐标分别代入双曲线及渐近线中，可得a ，b 的值，进而求出双曲线的方程． 本题考查双曲线的方程的求法及线段中点的坐标的求法，属于中档题．16.【答案】17【解析】解：因为2a n+1≤a n +a n+2，即a n+1−a n≤a n+2−a n+1，所以a 10−a 6=(a 10−a 9)+(a 9−a 8)+(a 8−a 7)+(a 7−a 6)≥4(a 7−a 6)， 即a 7−a 6≤14(29−a 6)，又由a 6−a 3=(a 6−a 5)+(a 5−a 4)+(a 4−a 3)≤3(a 6−a 5)，得a 6−a 5≥13(a 6−8)， 再由a 7−a 6≥a 6−a 5得，14(29−a 6)≥13(a 6−8)， 解得，a 6≤17， 所以a 6的最大值为17． 故答案为：17由已知得，a n+1−a n≤a n+2−a n+1，结合a 10−a 6=(a 10−a 9)+(a 9−a 8)+(a 8−a 7)+(a 7−a 6)≥4(a 7−a 6)，a 6−a 3=(a 6−a 5)+(a 5−a 4)+(a 4−a 3)≤3(a 6−a 5)，a 7−a 6≥a 6−a 5可求a 6的范围，进而可求．，本题主要考查了利用数列的递推关系求解数列的最大项，考查了考生逻辑推理的能力，属于难题．17.【答案】解：由“曲线C 1：x 2m +y22m+3=1表示焦点在y 轴上的椭圆”， 所以{m 2>02m +3>m 2，解得−1<m <3且m ≠0；由“曲线C 2：x 2m+2+y 2m−1=1表示双曲线”，所以(m +2)(m −1)<0，解得−2<m <1． (1)命题p ：m ∈(−1,0)∪(0,3)，命题q ：m ∈(−2,1)； 由p 不能得出q ，由q 也不能得出p ， 所以p 不是q 的必要不充分条件．(2)若命题“p 且q ”是真命题，则−1<m <0或0<m <1， 所以实数m 的取值范围是(−1,0)∪(0,1)．【解析】(1)利用命题p 求出m 的取值范围，利用命题q 求出m 的取值范围，再判断命题p 是否为命题q 的必要不充分条件．(2)根据命题“p 且q ”是真命题，列不等式组求出m 的取值范围是． 本题考查了命题真假的判断问题和充分必要条件的应用问题，是基础题．18.【答案】解：(1)因为 a n+1=a n +2，a 1=2，所以 {a n } 是公差为2，首项为2的等差数列． 所以 S n =2n +n(n−1)2×2=n 2+n ．(2)由(1)可知 a n =2+2(n −1)=2n ，因为 b n =3a n+1−(12)n+2，所以 b n =6(n +1)−(12)n+2， ∴T 2n =6[2+3+⋯+(2n +1)]−[(12)3+(12)4+⋯+(12)2n+2]，所以 T 2n =6⋅2n(2+2n+1)2−18[1−(12)2n ]1−12=12n 2+18n −14+14⋅4n=12n 2+18n +14n+1−14．【解析】(1)由等差数列的求和公式进行计算即可； (2)先求出b n 的通项公式，再采用分组求和即可；本题考查了等差数列的求和公式、等比数列求和公式及分组求和公式，属于基础题．19.【答案】解：(1)由正弦定理有 abcosC +accosB =b 2+c 2−bc ，可得：a 2+b 2−c 22+a 2+c 2−b 22=b 2+c 2−bc ，可得：a 2=b 2+c 2−bc ， 可得：b 2+c 2−a 2=bc ， 可得：cosA =b 2+c 2−a 22bc=bc 2bc=12，因为：0<A <π， 所以：A =π3．(2)由(1)有 a 2=b 2+c 2−bc ，可得 a 2=(b +c)2−3bc ，又由 12bc ×√32=5√3a248，可得：bc =5a 212，可得：a 2=(b +c)2−54a 2，可得：b +c =32a ，由 a +b +c =25，可得a +32a =25， 可得：a =10．【解析】(1)由正弦定理，余弦定理化简已知等式可得cosA 的值，结合范围0<A <π，可求A 的值．(2)由(1)可得a 2=(b +c)2−3bc ，又由三角形的面积公式可求bc =5a 212，解得b +c =32a ，结合三角形的周长的值即可求解a 的值．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．20.【答案】解：(1)动点P 到F(t,0)的距离与到直线x =−t 的距离相等，所以点P 的轨迹是以F(t,0)为焦点，x =−t 的为准线的抛物线， 故点P 的轨迹方程为y 2=4tx ， 又点(1,−1)在动点P 的轨迹上， 所以t =14，故动点P 的轨迹C 的方程y 2=x ；(2)设直线l 的方程为x =ky +m ，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 因为AB 的中点为(2,1)，则有2=k +m ， 联立方程组{x =ky +my 2=x ，则有y 2−ky −m =0，所以y 1+y 2=k =2， 故m =0，所以直线l 的方程为y =12x ．【解析】(1)利用抛物线的定义即可得到轨迹方程，再利用点在抛物线上，即可求出t 的值；(2)设出直线l 的方程为x =ky +m ，联立直线与抛物线，利用韦达定理和中点坐标公式求出k 的值，再利用中点在直线l 上，求出m 的值，即可得到答案．本题考查了动点轨迹方程的求解，涉及了抛物线定义的应用、直线与抛物线位置关系的应用、中点坐标公式以及韦达定理的应用，是中档题．21.【答案】解：(1)当E 是PD 中点时，PB//平面AEC ． 理由如下：连接BD ，交AC 于点O ，连接OE ， ∵底面ABCD 是矩形，∴O 是BD 中点， ∵E 是PD 中点，∴OE//PB ， ∵OE ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ， ∴PB//平面AEC ．(2)∵在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是矩形， PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 上的动点，∴以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系， ∵AB =AP =2，AD =3，∴P(0,0,2)，A(0,0,0)，C(2,3,0)，D(0,3,0)， ∵PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴E(0,1,43)， AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2)，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,3,0)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,43)， 设平面APC 的法向量n⃗ =(x,y,z)， 则{n⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2z =0n ⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +3y =0，取x =3，得n⃗ =(3,−2,0)， 设平面ACE 的法向量m⃗⃗⃗ =(a,b,c)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a +3b =0m ⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =b +43c =0，取a =3，则m ⃗⃗⃗ =(3,−2,32)， 设二面角P −AC −E 的平面角为θ， 则cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√13⋅√614=√13√61，∴二面角P −AC −E 的正弦值为：1−(2√13√61)=3√6161．【解析】(1)当E 是PD 中点时，连接BD ，交AC 于点O ，连接OE ，推导出OE//PB ，由此能证明PB//平面AEC ．(2)以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P −AC −E 的正弦值．本题考查满足线面平行的点的位置的确定与证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．22.【答案】解：(1)设椭圆的半焦距为c ，由题意可得e =c a =√1−b 2a 2=√32，即b =12a ，由短轴长为2，可得b =1，a =2， 所以椭圆的方程为x 24+y 2=1；(2)证明：由题意可得A(−2,0)，B(2,0)，D(0,−1)， 设P(s,t)，则s 2+4t 2=4，由{y =ts+2(x +2)y =12x −1可得x M =4t+2s+4s+2−2t =2(s+2+2t)s+2−2t， 由{y =t s−2(x −2)y =−12x −1可得x N =4+4t−2s s−2+2t =2(2−s+2t)s−2+2t ， 由x M −x N =2(s+2+2t)s+2−2t−2(2−s+2t)s−2+2t，上式化后的分子为2(s +2+2t)(s −2+2t)−2(s +2−2t)(−s +2+2t) =2(s 2+4st +4t 2−4+s 2+4t 2−4st −4)=2(2s 2+8t 2−8)=2(8−8)=0， 所以M ，N 的横坐标相等，故直线MN 与x 轴垂直．【解析】(1)设椭圆的半焦距为c ，运用椭圆的离心率公式和a ，b ，c 的关系，解得a ，b ，可得椭圆方程；(2)分别求得A ，B ，D 的坐标，设P(s,t)，则s 2+4t 2=4，求得直线AP ，BD 的方程，解得M 的横坐标，求得直线BP ，AD 的方程，求得N 的横坐标，由作差法，结合P 满足椭圆方程，化简可得M ，N 的横坐标相等，即可得证．本题考查椭圆的方程和性质，以及直线和椭圆的位置关系，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．。