人教版高二上册期末数学试卷(有答案)【真题】

人教新课标高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，只有一个正确答案，共60分）1．（5分）如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h随时间t变化的可能图象是（）A．B．C．D．2．（5分）直线3x﹣4y=0截圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=2所得弦长为（）A．4 B．2 C．2 D．23．（5分）α，β，γ是三个平面，m，n是两条直线，下列命题正确的是（）A．若α∩β=m，n⊂α，m⊥n，则α⊥βB．若α⊥β，α∩β=m，α∩γ=n，则m⊥nC．若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥βD．若m不垂直平面，则m不可能垂直于平面α内的无数条直线4．（5分）设p：a=1，q：直线l1：ax+y﹣1=0与l2：3x+（a+2）y+1=0平行，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知命题p：∃x∈R，使sinx=；命题q：∀x∈R，都有x2+x+1＞0，给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧（￢q）”是假命题；③命题“（￢p）∨q”是真命题；④命题“（￢p）∨（￢q）”是假命题．其中正确的是（）A．②④B．②③C．③④D．①②③6．（5分）如图，将无盖正方体纸盒展开，线段AB，CD所在直线在原正方体中的位置关系是（）A．平行B．相交且垂直C．异面D．相交成60°7．（5分）直线l：y=kx与双曲线C：x2﹣y2=2交于不同的两点，则斜率k的取值范围是（）A．（0，1） B．C．（﹣1，1）D．[﹣1，1]8．（5分）已知F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2=90°，则椭圆的离心率e的取值范围为（）A．（0，]B．[，1）C．（0，]D．[，1）9．（5分）若函数f（x）在R上可导，且f（x）=x2+2f'（2）x﹣3，则（）A．f（0）＜f（4）B．f（0）=f（4）C．f（0）＞f（4）D．以上都不对10．（5分）已知点P（x，y）在直线x﹣y﹣1=0上运动，则（x﹣2）2+（y﹣2）2的最小值为（）A．B．C．D．11．（5分）已知抛物线y2=8x的准线与双曲线交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，若△FAB为直角三角形，则双曲线的离心率是（）A．B．2 C． D．12．（5分）过正方形ABCD的顶点A，作PA⊥平面ABCD，若PA=BA，则平面ABP和平面CDP 所成的锐二面角的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．90°二、填空题（每小题5分共20分）13．（5分）已知直线l1：ax+3y﹣1=0和l2：2x+（a﹣1）y+1=0垂直，则实数a的值为．14．（5分）已知底面是正方形的直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的外接球的表面积为42π，且，则AC1与底面ABCD所成角的正切值为．15．（5分）函数y=x2（x＞0）的图象在点处的切线与x轴的交点的横坐标为a n+1，n 为正整数，若a1=16，则a1+a3+a5=．16．（5分）α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：（1）如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β．（2）如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n．（3）如果α∥β，m⊂α，那么n∥β．（4）如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题有．（填写所有正确命题的编号）三、解答题（17题10分，其余各题均为12分共70分）17．（10分）已知命题p：∀x∈R，x2+a≥0，命题q：∃x∈R，使x2+（2+a）x+1=0．若命题“p 且q”为真命题，求实数a的取值范围．18．（12分）已知圆C经过A（﹣2，1），B（5，0）两点，且圆心C在直线y=2x上．（1）求圆C的方程；（2）动直线l：（m+2）x+（2m+1）y﹣7m﹣8=0过定点M，斜率为1的直线m过点M，直线m和圆C相交于P，Q两点，求PQ的长度．19．（12分）已知过抛物线y2=8x的焦点，斜率为的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点．（1）求线段AB的长度；（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求λ的值．20．（12分）四棱锥P﹣ABCD中，PD=PC，底面ABCD为直角梯形，AB⊥BC，AB∥CD，CD=2AB，点M为CD的中点．（1）求证：AM∥平面PBC；（2）求证：CD⊥PA．21．（12分）已知函数f（x）=（x2+mx）e x（其中e为自然对数的底数）．（1）当m=﹣2时，求函数f（x）的单调递增区间；（2）若函数f（x）在区间[1，3]上单调递减，求m的取值范围．22．（12分）已知椭圆过点，且离心率e=．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过定点，求k的取值范围．人教新课标高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，只有一个正确答案，共60分）1．（5分）如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h随时间t变化的可能图象是（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图可知几何体为圆台，上底小，下底大，∴向容器内注水时，水位高度h增加的速度越来越快，故选A．2．（5分）直线3x﹣4y=0截圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=2所得弦长为（）A．4 B．2 C．2 D．2【解答】解：圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=2的圆心坐标为（1，2），半径为，则圆心（1，2）到直线3x﹣4y=0的距离d=，由垂径定理可得直线3x﹣4y=0截圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=2所得弦长为2×．故选：D．3．（5分）α，β，γ是三个平面，m，n是两条直线，下列命题正确的是（）A．若α∩β=m，n⊂α，m⊥n，则α⊥βB．若α⊥β，α∩β=m，α∩γ=n，则m⊥nC．若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥βD．若m不垂直平面，则m不可能垂直于平面α内的无数条直线【解答】解：由α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，知：在A中，若α∩β=m，n⊂α，m⊥n，则α与β相交但不一定垂直，故A错误；在B中，若α⊥β，α∩β=m，α∩γ=n，则m与n相交、平行或异面，故B错误；在C中，若m⊥α，n⊥β，m∥n，则由面面平行的判定定理得α∥β，故C正确．在D中，若m不垂直平面α，则m有可能垂直于平面α内的无数条平行直线，故D错误；故选：C4．（5分）设p：a=1，q：直线l1：ax+y﹣1=0与l2：3x+（a+2）y+1=0平行，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：对于命题q：由a（a+2）﹣3=0，解得a=1或﹣3．a=﹣3时，两条直线重合，舍去．∴a=1．∴p是q的充要条件．故选：C．5．（5分）已知命题p：∃x∈R，使sinx=；命题q：∀x∈R，都有x2+x+1＞0，给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧（￢q）”是假命题；③命题“（￢p）∨q”是真命题；④命题“（￢p）∨（￢q）”是假命题．其中正确的是（）A．②④B．②③C．③④D．①②③【解答】解：∵|sinx|≤1，∴：∃x∈R，使sinx=错误，即命题p是假命题，∵判别式△=1﹣4=﹣3＜0，∴∀x∈R，都有x2+x+1＞0恒成立，即命题q是真命题，则①命题“p∧q”是假命题；故①错误，②命题“p∧（￢q）”是假命题；故②正确，③命题“（￢p）∨q”是真命题；故③正确，④命题“（￢p）∨（￢q）”是真命题．故④错误，故选：B6．（5分）如图，将无盖正方体纸盒展开，线段AB，CD所在直线在原正方体中的位置关系是（）A．平行B．相交且垂直C．异面D．相交成60°【解答】解：把正方体展开图还原成如图所示的正方体，∵AB∥EC，∴∠ECD是线段AB，CD所在直线所成的角，∵EC=CD=ED，∴∠ECD=60°，∴线段AB，CD所在直线在原正方体中的位置关系是异面相交成60°．故选：C．7．（5分）直线l：y=kx与双曲线C：x2﹣y2=2交于不同的两点，则斜率k的取值范围是（）A．（0，1） B．C．（﹣1，1）D．[﹣1，1]【解答】解：双曲线C：x2﹣y2=2的渐近线方程为：y=±x，直线l：y=kx与双曲线C：x2﹣y2=2交于不同的两点，则斜率k的取值范围是（﹣1，1）．故选：C．8．（5分）已知F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2=90°，则椭圆的离心率e的取值范围为（）A．（0，]B．[，1）C．（0，]D．[，1）【解答】解：F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2=90°，可得以原点为圆心以c为半径的圆与椭圆有交点，可得b≤c，即b2≤c2，a2﹣c2≤c2，a2≤2c2，因为0＜e＜1，即可得1＞e≥，所以则椭圆的离心率e的取值范围为：[，1）．故选：B．9．（5分）若函数f（x）在R上可导，且f（x）=x2+2f'（2）x﹣3，则（）A．f（0）＜f（4）B．f（0）=f（4）C．f（0）＞f（4）D．以上都不对【解答】解：函数的导数f′（x）=2x+2f′（2），令x=2，得f′（2）=4+2f′（2），即f′（2）=﹣4，f（x）=x2﹣8x﹣3，∴f（0）=﹣3，f（4）=16﹣32﹣3=﹣19，则f（0）＞f（4），故选：C10．（5分）已知点P（x，y）在直线x﹣y﹣1=0上运动，则（x﹣2）2+（y﹣2）2的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵点（2，2）到直线x﹣y﹣1=0的距离d==，∴（x﹣2）2+（y﹣2）2的最小值为．故选A11．（5分）已知抛物线y2=8x的准线与双曲线交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，若△FAB为直角三角形，则双曲线的离心率是（）A．B．2 C． D．【解答】解：抛物线y2=8x的焦点F（2，0），准线x=﹣2，代入双曲线，得y=±，不妨设A（﹣2，），B（﹣2，﹣），∵△FAB是等腰直角三角形，∴=4，解得m=，∴c2=a2+b2=+1=，∴e==，故选D．12．（5分）过正方形ABCD的顶点A，作PA⊥平面ABCD，若PA=BA，则平面ABP和平面CDP 所成的锐二面角的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AD为z轴，建立空间直角坐标系，设PA=BA=1，则C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，1），=（1，1，﹣1），=（0，1，﹣1），设平面PCD的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（0，1，1），平面ABP的法向量=（0，1，0），设平面ABP和平面CDP所成的锐二面角的大小为θ，则cosθ===，∴θ=45°，∴平面ABP和平面CDP所成的锐二面角的大小为45°．故选：B．二、填空题（每小题5分共20分）13．（5分）已知直线l1：ax+3y﹣1=0和l2：2x+（a﹣1）y+1=0垂直，则实数a的值为．【解答】解：a=1时，两条直线不垂直，舍去．a≠1时，由﹣×=﹣1，解得a=．故答案为：．14．（5分）已知底面是正方形的直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的外接球的表面积为42π，且，则AC1与底面ABCD所成角的正切值为．【解答】解：设CC1=h，则AC=AB=，AC1==，∴棱柱外接球的半径r=AC1=．∴外接球的表面积S=4πr2=（h2+6）π=42π，解得h=6．∴tan∠C1AC===．故答案为：．15．（5分）函数y=x2（x＞0）的图象在点处的切线与x轴的交点的横坐标为a n+1，n 为正整数，若a1=16，则a1+a3+a5=21．【解答】解：依题意，y′=2x，∴函数y=x2（x＞0）的图象在点（a n，a n2）处的切线方程为y﹣a n2=2a n（x﹣a n），令y=0，可得x=a n，即a n=a n，+1∴数列{a n}为等比数列a n=16×（）n﹣1，∴a1+a3+a5=16+4+1=21．故答案为：21．16．（5分）α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：（1）如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β．（2）如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n．（3）如果α∥β，m⊂α，那么n∥β．（4）如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题有（2）（4）．（填写所有正确命题的编号）【解答】解：（1）如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α∥β或α、β相交，故（1）错；（2）如果m⊥α，n∥α，过n的平面与α的交线l平行于n，且m⊥l，那么m⊥n，故（2）正确；（3）如果α∥β，m⊂α，由面面平行的性质可得m∥β，故（3）错；（4）如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等，正确．故答案为：（2）（4）．三、解答题（17题10分，其余各题均为12分共70分）17．（10分）已知命题p：∀x∈R，x2+a≥0，命题q：∃x∈R，使x2+（2+a）x+1=0．若命题“p 且q”为真命题，求实数a的取值范围．【解答】解：若p为真命题，则﹣a≤x2在x∈R上恒成立，即﹣a≤0，即a≥0；（3分）若q为真命题，则△=（2+a）2﹣4≥0，即a≤﹣4或a≥0…（5分）命题“p且q”为真命题，即p为真命题且q为真命题，所以…（8分）故a的取值范围为[0，+∞）…（10分）18．（12分）已知圆C经过A（﹣2，1），B（5，0）两点，且圆心C在直线y=2x上．（1）求圆C的方程；（2）动直线l：（m+2）x+（2m+1）y﹣7m﹣8=0过定点M，斜率为1的直线m过点M，直线m和圆C相交于P，Q两点，求PQ的长度．【解答】解：（1）设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，解得D=﹣4，E=﹣8，F=﹣5，∴圆C的方程：x2+y2﹣4x﹣8y﹣5=0；（2）动直线l的方程为（x+2y﹣7）m+2x+y﹣8=0．则得，∴动直线l过定点M（3，2），∴直线m：y=x﹣1，∴圆心C（2，4）到m的距离为，∴PQ的长为．19．（12分）已知过抛物线y2=8x的焦点，斜率为的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点．（1）求线段AB的长度；（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求λ的值．【解答】解：（1）直线AB的方程是y=2 （x﹣2），与y2=8x联立，消去y得x2﹣5x+4=0，由根与系数的关系得x1+x2=5．由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=9，（2）由x2﹣5x+4=0，得x1=1，x2=4，从而A（1，﹣2），B（4，4）．设=（x3，y3）=（1，﹣2）+λ（4，4）=（4λ+1，4λ﹣2），又y2=8x3，即[2（2λ﹣1）]2=8（4λ+1），即（2λ﹣1）2=4λ+1，解得λ=0或λ=2．20．（12分）四棱锥P﹣ABCD中，PD=PC，底面ABCD为直角梯形，AB⊥BC，AB∥CD，CD=2AB，点M为CD的中点．（1）求证：AM∥平面PBC；（2）求证：CD⊥PA．【解答】证：（1）∵四边形ABCM为平行四边形…（3分）…（6分）（2）∵…（9分）∴…（12分）21．（12分）已知函数f（x）=（x2+mx）e x（其中e为自然对数的底数）．（1）当m=﹣2时，求函数f（x）的单调递增区间；（2）若函数f（x）在区间[1，3]上单调递减，求m的取值范围．【解答】解：（1）当m=﹣2时，f（x）=（x2﹣2x）e x，f′（x）=（x2﹣2）e x，令f′（x）≥0，解得：x≥或x≤﹣，∴f（x）在（﹣∞，﹣），（，+∞）递增；（2）∵f′（x）=[x2+（m+2）x+m]e x，由题意得f′（x）≤0对于x∈[1，3]恒成立，∴x2+（m+2）x+m≤0，即m≤﹣=﹣（x+1）+，令g（x）=﹣（x+1）+，则g′（x）=﹣1﹣＜0恒成立，∴g（x）在区间[1，3]递减，g（x）min=g（3）=﹣，∴m的范围是（﹣∞，﹣]．22．（12分）已知椭圆过点，且离心率e=．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过定点，求k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意椭圆的离心率∴∴a=2c∴b2=a2﹣c2=3c2∴椭圆方程为又点在椭圆上∴∴c2=1∴椭圆的方程为…（4分）（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2）由消去y并整理得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0…（6分）∵直线y=kx+m与椭圆有两个交点△=（8km）2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，即m2＜4k2+3…（8分）又∴MN中点P的坐标为…（9分）设MN的垂直平分线l'方程：∵p在l'上∴即4k2+8km+3=0∴…（11分）将上式代入得∴即或，∴k的取值范围为。

2020-2021学年高二（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1. 设集合A={x|(x−7)(x+12)<0}，B={x|x+6>0}，则A∩B=( )A.{x|−6<x<12}B.{x|−6<x<7}C.{x|x>−12}D.{x|6<x<7}2. “四边形ABCD是菱形”是“四边形ABCD的对角线互相垂直”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3. 双曲线x2−4y2=−8的渐近线方程为()A.y=±2xB.y=±12x C.y=±√2x D.y=±√22x4. “一尺之棰，日取其半，万世不竭”这句话出自《庄子•天下篇》，其意思为“一根一尺长的木棰，每天截取其一半，永远都取不完”．设第一天这根木棰被截取一半剩下a1尺，第二天被截取剩下的一半剩下a2尺，…，第五天被截取剩下的一半剩下a5尺，则a1+a2a5=()A.18B.20C.22D.245. 已知抛物线C的焦点到准线的距离大于2，则C的方程可能为()A.y2=4xB.y2=−3xC.x2=6yD.y=−8x26. 如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为BB1的中点，若O为底面A1B1C1D1的中心，则异面直线C1E与AO所成角的余弦值为（）A.√3015B.√3030C.815D.2√3015|PQ|=|PF2|，则动点Q的轨迹方程为( )A.(x+2)2+y2=34B.(x+2)2+y2=68C.(x−2)2+y2=34D.(x−2)2+y2=688. 如图，某人在一条水平公路旁的山顶P处测得小车在A处的俯角为30∘，该小车在公路上由东向西匀速行驶7.5分钟后，到达B处，此时测得俯角为45∘．已知小车的速度是20km/ℎ，且cos∠AOB=−3√38，则此山的高PO=()A.1kmB.√22km C.√3km D.√2km二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．)9. 设命题p:∀n∈N，6n+7为质数，则()A.¬p为假命题B.¬p:∃n∈N，6n+7不是质数C.¬p为真命题D.¬p:∀n∈N，6n+7不是质数10. 设S n是等差数列{a n}的前n项和，且a1=2，a3=8，则()A.a5=12B.公差d=3C.S2n=n(6n+1)D.数列{1a n a n+1}的前n项和为n6n+411. 已知a>b>0，且a+3b=1，则()A.ab的最大值为112B.ab的最小值为112C.1 a +3b的最小值为16 D.a2+15b2的最小值为58轴上，直线AP 与直线y =−3交于点C ，直线BP 与直线y =−3交于点D ．设直线AP 的斜率为k ，则满足|CD|=36的k 的值可能为( )A.1B.−17C.110D.−7+2√109三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．)13. 设向量AB →=(1,2,4)，CD →=(m,1,1)，AB →⊥CD →，则实数m =________．14. 若双曲线x 26−y 2m =1的虚轴长为6√2，则该双曲线的离心率为________．15. 在△ABC 中，若B =π3，tan C =2√3，AC =2，则AB =________．16. 已知点P (m,n )是抛物线x 2=−8y 上一动点，则√m 2+n 2+4n +4+√m 2+n 2−4m +2n +5的最小值为________.四、解答题．本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说期、证时过程或演算步骤．)17. △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知b 2+c 2−a 2=58bc ，sin C =2sin B ．(1)求cos A ；(2)若△ABC 的周长为6+√15，求△ABC 的面积．18. 如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，AC =AA 1=2BC ，E ，F 分别为侧棱BB 1，CC 1的中点．(1)证明：BF//平面A 1C 1E ；(2)求B1C与平面A1C1E所成角的正弦值．19. 已知数列{a n}的首项为4．(1)若数列{a n−2n}是等差数列，且公差为2，求{a n}的通项公式；(2)在①a3−a2=48且a2>0，②a3=64且a4>0，③a2021=16a2a2017这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答．问题：若{a n}是等比数列，________，求数列{(3n−1)a n}的前n项和S n．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．20. 如图，平面ABCDE⊥平面CEFG，四边形CEFG为正方形，点B在正方形ACDE的外部，且AB=BC=√5，AC=4.(1)证明：AD⊥CF；(2)求平面BFG与平面ABCDE所成锐二面角的余弦值．−y2=1有相同的焦点F．21. 已知抛物线C:y2=2px(p>0)与双曲线x23(1)求C的方程，并求其准线l的方程；(2)如图，过F且斜率存在的直线与C交于不同的两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，直线OA与准线l交于点N，过点A作l的垂线，垂足为M．证明：y1y2为定值，且四边形AMNB为梯形．22. 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为2√55，且焦距为8．(1)求C的方程；(2)设直线l的倾斜角为π3，且与C交于A，B两点，点O为坐标原点，求△AOB面积的最大值．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【答案】B【解析】可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．2.【答案】A【解析】利用充分条件和必要条件的定义，结合平面几何知识进行判断，即可得到答案．3.【答案】B【解析】根据题意，将双曲线的方程变形为标准方程，分析可得其焦点位置以及a、b的值，利用双曲线的渐近线方程计算可得答案．4.【答案】D【解析】设这根木棰的长度为1尺，分别计算每一次截取的量可得剩余的量，可得答案．5.【答案】C【解析】利用已知条件推出p>2，然后判断选项的正误即可．6.【答案】D【解析】建立空间直角坐标系，利用向量夹角计算公式即可得出．7.【答案】B【解析】由椭圆的方程求出a，b，c的值，由此可得|PF1|+|PF2|=2a=2√17，再由已知可|QF1|=2√17，进而可以求解．8.【答案】设OP＝x，由题意可得：Rt△OBP中，∠PBO＝45∘；在Rt△OAP中，∠PAO＝30∘，即可得出OB，OA．AB＝×20＝2.5．在△OAB中，利用余弦定理即可得出．二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9.【答案】B,C【解析】先判断命题p为真命题，然后利用含有一个量词的命题的否得到￢p，利用命题的否定与原命题的真假相反得到答案．10.【答案】B,C,D【解析】本题先设等差数列{a n}的公差为d，根据已知条件即可计算出d的值，判断选项B，然后根据通项公式计算出a5的值，判断选项A，再根据等差数列的求和公式计算出S2n的表达式，判断选项C，最后计算出等差数列{a n}的通项公式，进一步计算出数列{}的通项公式，运用裂项相消法计算出数列{}的前n项和，判断选项D．11.【答案】A,C,D【解析】根据基本不等式的性质分别判断A，B，C，根据二次函数的性质判断D即可．12.【答案】A,D【解析】设出点P的坐标，求出直线PA，PB的斜率的乘积，然后再设出直线PA，PB的方程，进而可以求出点C，D的横坐标，进而可以求出|CD|，即可求解．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13.【答案】−6【解析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，计算求得m的值．14.【答案】215.【答案】8√1313【解析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin C的值，进而根据正弦定理即可求解AB的值．16.【答案】3【解析】抛物线的准线为y＝2，焦点F坐标为(0, −2)，表示点P(m, n)与点F(0, −2)的距离与点P(m, n)与点A(2, −1)的距离之和，由抛物线的定义和两点之间线段最短可得最小值，进而可得结论．四、解答题．本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说期、证时过程或演算步骤．17.【答案】解：(1)∵b2+c2−a2=58bc，∴cos A=b2+c2−a22bc =58bc2bc=516．(2)∵sin C=2sin B，∴c=2b.由余弦定理，得a2=b2+c2−2bc cos A=154b2，∴a=√152b.∵△ABC的周长为6+√15，∴3b+√152b=6+√15，解得b=2，∴S△ABC=12bc sin A=12×b×2b√1−(516)2=12×2×4×√23116=√2314．【解析】（1）由已知利用余弦定理即可求解cos A的值．（2）由已知利用正弦定理化简可得c=2b，由余弦定理得a＝√152b，根据△ABC的周长，可求b的值，进而利用三角形的面积公式即可计算得解．18.(1)证明：在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，∵ BB 1=CC 1，BB 1//CC 1，E ，F 分别为侧棱BB 1，CC 1的中点， ∴ BE//FC 1，BE =FC 1，∴ 四边形BEC 1F 是平行四边形，∴ BF//EC 1 .∵ C 1E ⊂平面A 1C 1E ，BF ⊄平面A 1C 1E ， ∴ BF//平面A 1C 1E ．(2)解：以C 为坐标原点，CA →的方向为x 轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系C −xyz ，设BC =1，则A 1(2,0,2)，C 1(0,0,2)，E(0,1,1)，B 1(0,1,2)，C(0,0,0)， C 1A 1→=(2,0,0)，EC 1→=(0,−1,1) ，CB 1→=(0,1,2) ． 设平面A 1C 1E 的法向量为n →=(x,y,z )，则{n →⋅C 1A 1→=2x =0,n →⋅EC 1→=−y +z =0,令y =1，得n →=(0,1,1)，则sin <CB 1→⋅n →>=|cos <CB 1→⋅n →>|=3√5⋅√2=3√1010， 故B 1C 与平面A 1C 1E 所成角的正弦值为3√1010. 【解析】（1）推导出BE C 1F ，从而四边形BEC 1F 是平行四边形，进而BF // EC 1，由此能证明BF // 平面A 1C 1E ．（2）以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出B 1C 与平面A 1C 1E 所成角的正弦值． 19.【答案】解：(1)因为a 1=4，所以a n−2n=2+2(n−1)=2n，所以a n=2n+2n．(2)选①：a3−a2=48且a2>0；由题意，设数列{a n}的公比为q.由a3−a2=48，得4q2−4q=48，解得q=4或q=−3，又a2>0，所以q=4．所以a n=4×4n−1=4n，所以(3n−1)a n=(3n−1)4n，所以S n=2×4+5×42+⋯+(3n−1)×4n，4S n=2×42+5×43+⋯+(3n−1)×4n+1，两式相减，得−3S n=8+3(42+43+⋯+4n)−(3n−1)4n+1，+(1−3n)4n+1=(2−3n)4n+1−8，即−3S n=8+3×42−4n+11−4．所以S n=(3n−2)4n+1+83选②：a3=64且a4>0；由题意，设数列{a n}的公比为q.由a3=64，得4q2=64，解得q=±4，又a2>0，所以q=4．所以a n=4×4n−1=4n，所以(3n−1)a n=(3n−1)4n．所以S n=2×4+5×42+⋯+(3n−1)×4n，4S n=2×42+5×43+⋯+(3n−1)×4n+1，两式相减，得−3S n=8+3(42+43+⋯+4n)−(3n−1)4n+1，+(1−3n)4n+1=(2−3n)4n+1−8，即−3S n=8+3×42−4n+11−4所以S n=(3n−2)4n+1+8．3选③：a2021=16a2a2017；由题意，设数列{a n}的公比为q.由a2021=16a2a2017，得a2021=16a1a2018=64a2018，则q3=64，解得q=4，所以a n=4×4n−1=4n，所以(3n−1)a n=(3n−1)4n．所以S n=2×4+5×42+⋯+(3n−1)×4n，4S n=2×42+5×43+⋯+(3n−1)×4n+1，两式相减，得−3S n=8+3(42+43+⋯+4n)−(3n−1)4n+1，+(1−3n)4n+1=(2−3n)4n+1−8，即−3S n=8+3×42−4n+11−4．所以S n=(3n−2)4n+1+83（1）直接利用已知条件求出数列的通项公式，再得到{a n }的通项公式；（2）根据条件分别求出数列的通项公式，然后利用错位相减法，求出数列{(3n −1)a n }的前n 项和．20.【答案】(1)证明：∵ 四边形ACDE 为正方形，∴ AD ⊥CE .∵ 平面ABCDE ⊥平面CEFG ，平面ABCDE ∩平面CEFG =CE ，∴ AD ⊥平面FECG ．又CF ⊂平面FECG ，∴ AD ⊥CF .(2)解：以C 为坐标原点，CD →的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C −xyz ．∵ AB =BC =√5，AC =4， ∴ 点B 到AC 的距离为1，∴ G(0,0,4√2)，F(4,4,4√2)，B (−1,2,0)，GF →=(4,4,0)，BG →=(1,−2,4√2)．设平面BFG 的一个法向量为n →=(x,y,z )，则n →⋅GF →=n →⋅BG →=0，即4x +4y =x −2y +4√2z =0，令y =4√2，得n →=(−4√2,4√2,3)．取m →=(0,0,1)为平面ABCDE 的一个法向量，∴ cos ⟨m →,n →⟩=m →⋅n →|m →||n →|=3√73=3√7373， ∴ 平面BFG 与平面ABCDE 所成锐二面角的余弦值为3√7373．【解析】（1）由四边形ACDE 为正方形，可得AD ⊥CE ，再由面面垂直的性质可得AD ⊥平面FECG ，从而得到AD ⊥CF ；（2）以E 为坐标原点，建立空间直角坐标系A −xyz ，利用向量法能求出平面BFG 与平面ABCDE 所成锐二面角的余弦值．21.【答案】(1)解：∵ 双曲线x 23−y 2=1的右焦点为F (2,0)，∴ p 2=2， 解得p =4，∴ C 的方程为y 2=8x ，其准线l 的方程为x =−2．(2)证明：由题意可知，直线AB 过点F 且斜率存在，设直线AB 的方程为y =k (x −2)(k ≠0)，联立{y =k (x −2),y 2=8x,整理，得ky 2−8y −16k =0，则Δ=64+64k 2>0恒成立，y 1y 2=−16k k =−16，故y 1y 2为定值．由题意，得点N 在准线l 上，设点N (−2,m )，由k OA =k ON ，得y 1x 1=m −2， 又∵ y 2=−16y 1，∴ m =−2y 1x 1=−2y 1y 128=−16y 1=y 2，∴ BN//x 轴//AM .又∵ x 1≠x 2，|AM|≠|BN|，∴ 四边形AMNB 为梯形．【解析】（1）根据题意可得双曲线的右焦点为(2, 0)，则，解得p ，进而可得C 的方程和准线l 的方程；（2）设直线AB 方程为y ＝k(x −2)(k ≠0)，联立直线AB 与抛物线的方程得关于y 的一元二次方程，由韦达定理可得y 1∗y 2为定值；设点N 为(−2, m)，由k OA ＝k ON ，推出可得m ＝y 2，进而可得BN // x 轴 // AM ，|AM|≠|BN ，即可得证．22.【答案】解：(1)依题意可知{e =c a =2√55,2c =8,a 2=b 2+c 2,解得a =2√5,c =4，故C 的方程为x 220+y 24=1.(2)依题意可设直线l 的方程为y =√3x +m .联立{y =√3x +m,x 220+y 24=1,整理得16x 2+10√3mx +5m 2−20=0，则Δ=300m2−64(5m2−20)>0，解得−8<m<8．设A(x1, y1)，B(x2, y2)，则x1+x2=−5√3m8,x1x2=5m2−2016，|AB|=√1+3√(x1+x2)2−4x1x2=√−5m2+3204，原点到直线l的距离d=√1+3=|m|2，则△AOB的面积S=12d⋅|AB|=12×|m|2×√−5m2+3204=√−5(m2−32)2+512016，当且仅当m2=32，即m=±4√2时，△AOB的面积有最大值2√5.【解析】（1）根据椭圆的离心率和焦距列方程组，解得a，b，c，进而可得椭圆的方程．（2）依题意可设直线l的方程为，联立直线l与椭圆的方程，得关于x的一元二次方程，可得△>0，解得−8<m<8．设A(x1, y1)，B(x2, y2)，由韦达定理可得x1+x2，x1x2，由点到直线的距离公式可得原点到直线l的距离d，再计算三角形AOB的面积最大值，即可．。

浙江省温州市十校联合体高二（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）准线方程是y=﹣2的抛物线标准方程是（）A．x2=8y B．x2=﹣8y C．y2=﹣8x D．y2=8x2．（4分）已知直线l1：x﹣y+1=0和l2：x﹣y+3=0，则l1与l2之间距离是（）A．B．C．D．23．（4分）设三棱柱ABC﹣A1B1C1体积为V，E，F，G分别是AA1，AB，AC的中点，则三棱锥E ﹣AFG体积是（）A．B．C．D．4．（4分）若直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相切，则m的值是（）A．0或2 B．2 C．D．或25．（4分）在四面体ABCD中（）命题①：AD⊥BC且AC⊥BD则AB⊥CD命题②：AC=AD且BC=BD则AB⊥CD．A．命题①②都正确 B．命题①②都不正确C．命题①正确，命题②不正确D．命题①不正确，命题②正确6．（4分）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面．考查下列命题，其中正确的命题是（）A．m⊥α，n⊂β，m⊥n⇒α⊥βB．α∥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥nC．α⊥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥n D．α⊥β，α∩β=m，n⊥m⇒n⊥β7．（4分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，二面角A﹣BD1﹣B1的大小是（）A．B．C． D．8．（4分）过点（0，﹣2）的直线交抛物线y2=16x于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且y12﹣y22=1，则△OAB（O为坐标原点）的面积为（）A．B．C．D．9．（4分）已知在△ABC中，∠ACB=，AB=2BC，现将△ABC绕BC所在直线旋转到△PBC，设二面角P﹣BC﹣A大小为θ，PB与平面ABC所成角为α，PC与平面PAB所成角为β，若0＜θ＜π，则（）A．且B．且C．且D．且10．（4分）如图，F1，F2是椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，点A是C1，C2的公共点．设C1，C2的离心率分别是e1，e2，∠F1AF2=2θ，则（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．（6分）双曲线C：x2﹣4y2=1的渐近线方程是，双曲线C的离心率是．12．（6分）某空间几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积V=cm3，表面积S=cm2．13．（4分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点，则满足=．14．（6分）已知直线l1：y=mx+1和l2：x=﹣my+1相交于点P，O为坐标原点，则P点横坐标是（用m表示），的最大值是．15．（6分）四面体ABCD中，已知AB=AC=BC=BD=CD=1，则该四面体体积的最大值是，表面积的最大值是．16．（4分）过双曲线G：（a＞0，b＞0）的右顶点A作斜率为1的直线m，分别与两渐近线交于B，C两点，若|AB|=2|AC|，则双曲线G的离心率为．17．（4分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是正方体棱上的一点（不包括棱的端点），对确定的常数m，若满足|PB|+|PD1|=m的点P的个数为n，则n的最大值是．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）已知抛物线C：y2=4x，直线l：y=﹣x+b与抛物线交于A，B两点．（Ⅰ）若|AB|=8，求b的值；（Ⅱ）若以AB为直径的圆与x轴相切，求该圆的方程．19．（15分）在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面ACF；（Ⅱ）求证：BD⊥AE；（Ⅲ）若AB=CE，在线段EO上是否存在点G，使CG⊥平面BDE？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．20．（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=PA=2，CD=4，E，F分别是PC，PD的中点．（Ⅰ）证明：EF∥平面PAB；（Ⅱ）求直线AC与平面ABEF所成角的正弦值．21．（15分）已知点C（x0，y0）是椭圆+y2=1上的动点，以C为圆心的圆过点F（1，0）．（Ⅰ）若圆C与y轴相切，求实数x0的值；（Ⅱ）若圆C与y轴交于A，B两点，求|FA|•|FB|的取值范围．22．（15分）已知椭圆C的方程是，直线l：y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点，若F1M⊥l，F2N⊥l，M，N分别为垂足．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求四边形F1MNF2面积S的最大值．浙江省温州市十校联合体高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）准线方程是y=﹣2的抛物线标准方程是（）A．x2=8y B．x2=﹣8y C．y2=﹣8x D．y2=8x【解答】解：由题意可知抛物线的焦点在y轴的正半轴，设抛物线标准方程为：x2=2py（p＞0），∵抛物线的准线方程为y=﹣2，∴=2，∴p=4，∴抛物线的标准方程为：x2=8y．故选A．2．（4分）已知直线l1：x﹣y+1=0和l2：x﹣y+3=0，则l1与l2之间距离是（）A．B．C．D．2【解答】解：∵已知平行直线l1：x﹣y+1=0与l2：x﹣y+3=0，∴l1与l2间的距离d==，故选C．3．（4分）设三棱柱ABC﹣A1B1C1体积为V，E，F，G分别是AA1，AB，AC的中点，则三棱锥E ﹣AFG体积是（）A．B．C．D．【解答】解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1体积为V，∴V=S•AA1，△ABC∵E，F，G分别是AA1，AB，AC的中点，∴S=，，△AFG∴三棱锥E﹣AFG体积：V E﹣AFG===S△ABC•AA1=．故选：D．4．（4分）若直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相切，则m的值是（）A．0或2 B．2 C．D．或2【解答】解：∵圆x2+y2=m的圆心为原点，半径r=∴若直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相切，得圆心到直线的距离d==，解之得m=2（舍去0）故选B．5．（4分）在四面体ABCD中（）命题①：AD⊥BC且AC⊥BD则AB⊥CD命题②：AC=AD且BC=BD则AB⊥CD．A．命题①②都正确 B．命题①②都不正确C．命题①正确，命题②不正确D．命题①不正确，命题②正确【解答】解：对于①作AE⊥面BCD于E，连接DE，可得AE⊥BC，同理可得AE⊥BD，证得E 是垂心，则可得出AE⊥CD，进而可证得CD⊥面AEB，即可证出AB⊥CD，故①正确；对于②，取CD的中点O，连接AO，BO，则CD⊥AO，CD⊥BO，∵AO∩BO=O，∴CD⊥面ABO，∵AB⊂面ABO，∴CD⊥AB，故②正确．故选A．6．（4分）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面．考查下列命题，其中正确的命题是（）A．m⊥α，n⊂β，m⊥n⇒α⊥βB．α∥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥nC．α⊥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥n D．α⊥β，α∩β=m，n⊥m⇒n⊥β【解答】解：设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则：m⊥α，n⊂β，m⊥n时，α、β可能平行，也可能相交，不一定垂直，故A不正确α∥β，m⊥α，n∥β时，m与n一定垂直，故B正确α⊥β，m⊥α，n∥β时，m与n可能平行、相交或异面，不一定垂直，故C错误α⊥β，α∩β=m时，若n⊥m，n⊂α，则n⊥β，但题目中无条件n⊂α，故D也不一定成立，故选B．7．（4分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，二面角A﹣BD1﹣B1的大小是（）A．B．C． D．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1，则A（1，0，0），B（1，1，0），B1（1，1，1），D1（0，0，1），=（0，﹣1，0），=（﹣1，﹣1，1），=（0，0，1），设平面ABD1的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得，设平面BB1D1的法向量=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，﹣1，0），设二面角A﹣BD1﹣B1的大小为θ，则cosθ===﹣，∴θ=．∴二面角A﹣BD1﹣B1的大小为．故选：C．8．（4分）过点（0，﹣2）的直线交抛物线y2=16x于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且y12﹣y22=1，则△OAB（O为坐标原点）的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：设直线方程为x=my+2m，代入y2=16x可得y2﹣16my﹣32m=0，∴y1+y2=16m，y1y2=﹣32m，∴（y1﹣y2）2=256m2+128m，∵y12﹣y22=1，∴256m2（256m2+128m）=1，∴△OAB（O为坐标原点）的面积为|y1﹣y2|=．故选：D．9．（4分）已知在△ABC中，∠ACB=，AB=2BC，现将△ABC绕BC所在直线旋转到△PBC，设二面角P﹣BC﹣A大小为θ，PB与平面ABC所成角为α，PC与平面PAB所成角为β，若0＜θ＜π，则（）A．且B．且C．且D．且【解答】解：在△ABC 中，∠ACB=，AB=2BC ， 可设BC=a ，可得AB=PB=2a ，AC=CP=a ，过C 作CH ⊥平面PAB ，连接HB ， 则PC 与平面PAB 所成角为β=∠CPH ，且CH ＜CB=a ， sinβ=＜=；由BC ⊥AC ，BC ⊥CP ，可得二面角P ﹣BC ﹣A 大小为θ，即为∠ACP ，设P 到平面ABC 的距离为d ，由BC ⊥平面PAC ，且V B ﹣ACP =V P ﹣ABC ， 即有BC•S △ACP =d•S △ABC ， 即a••a•a•sinθ=d••a•a解得d=sinθ， 则sinα==≤， 即有α≤． 另解：由BC ⊥AC ，BC ⊥CP ，可得二面角P ﹣BC ﹣A 大小为θ，即为∠ACP以C 为坐标原点，CA 为x 轴，CB 为z 轴，建立直角坐标系O ﹣xyz ， 可设BC=1，则AC=PC=，PB=AB=2， 可得P （cosθ，sinθ，0），过P 作PM ⊥AC ，可得PM ⊥平面ABC ，∠PBM=α，sinα==≤，可得α≤； 过C 作CN 垂直于平面PAB ，垂足为N ，则∠CPN=β， sinβ==＜=．故选：B．10．（4分）如图，F1，F2是椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，点A是C1，C2的公共点．设C1，C2的离心率分别是e1，e2，∠F1AF2=2θ，则（）A．B．C．D．【解答】解：根据椭圆的几何性质可得，=b12tanθ，∵e1=，∴a1=，∴b12=a12﹣c2=﹣c2，∴=c2（）tanθ根据双曲线的几何性质可得，=，∵a2=，∴b22=c2﹣a22=c2﹣=c2（）∴=c2（）•，∴c2（）tanθ=c2（）•，∴（）sin2θ=（）•cos2θ，∴，故选：B二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．（6分）双曲线C：x2﹣4y2=1的渐近线方程是y=±x，双曲线C的离心率是．【解答】解：双曲线C：x2﹣4y2=1，即为﹣=1，可得a=1，b=，c==，可得渐近线方程为y=±x；离心率e==．故答案为：y=±x；．12．（6分）某空间几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积V=cm3，表面积S=cm2．【解答】解：由题意，该几何体是以俯视图为底面，有一条侧棱垂直于底面的三棱锥，所以V==cm3，S=+++=．故答案为：；．13．（4分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点，则满足=．【解答】解：设N到准线的距离等于d，由抛物线的定义可得d=|NF|，由题意得cos∠NMF===∴∠NMF=．故答案为：．14．（6分）已知直线l1：y=mx+1和l2：x=﹣my+1相交于点P，O为坐标原点，则P点横坐标是（用m表示），的最大值是．【解答】解：直线l1：y=mx+1和l2：x=﹣my+1相交于点P，∴，∴x=﹣m（mx+1）+1，解得x=，y=m×+1=，∴P点横坐标是；∴=（﹣，﹣），∴=+=≤2，且m=0时“=”成立；∴的最大值是．故答案为：，．15．（6分）四面体ABCD中，已知AB=AC=BC=BD=CD=1，则该四面体体积的最大值是，表面积的最大值是+1．【解答】解：∵四面体ABCD中，AB=AC=BC=BD=CD=1，∴当平面ABC⊥平面BDC时，该四体体积最大，此时，过D作DE⊥平面ABC，交BC于E，连结AE，则AE=DE==，∴该四面体体积的最大值：S max==．∵△ABC，△BCD都是边长为1的等边三角形，面积都是S==，∴要使表面积最大需△ABD，△ACD面积最大，∴当AC⊥CD，AB⊥BD时，表面积取最大值，此时=，四面体表面积最大值S max==1+．故答案为：，．16．（4分）过双曲线G：（a＞0，b＞0）的右顶点A作斜率为1的直线m，分别与两渐近线交于B，C两点，若|AB|=2|AC|，则双曲线G的离心率为或．【解答】解：由题得，双曲线的右顶点A（a，0）所以所作斜率为1的直线l：y=x﹣a，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B（x1，y1），C（x2，y2）．联立其中一条渐近线y=﹣x，则，解得x2=①；同理联立，解得x1=②；又因为|AB|=2|AC|，（i）当C是AB的中点时，则x2=⇒2x2=x1+a，把①②代入整理得：b=3a，∴e===；（ii）当A为BC的中点时，则根据三角形相似可以得到，∴x1+2x2=3a，把①②代入整理得：a=3b，∴e===．综上所述，双曲线G的离心率为或．故答案为：或．17．（4分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是正方体棱上的一点（不包括棱的端点），对确定的常数m，若满足|PB|+|PD1|=m的点P的个数为n，则n的最大值是12．【解答】解：∵正方体的棱长为1，∴BD1=，∵点P是正方体棱上的一点（不包括棱的端点），满足|PB|+|PD1|=m，∴点P是以2c=为焦距，以2a=m为长半轴的椭圆，∵P在正方体的棱上，∴P应是椭圆与正方体与棱的交点，结合正方体的性质可知，满足条件的点应该在正方体的12条棱上各有一点满足条件．∴满足|PB|+|PD1|=m的点P的个数n的最大值是12，故答案为12．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）已知抛物线C：y2=4x，直线l：y=﹣x+b与抛物线交于A，B两点．（Ⅰ）若|AB|=8，求b的值；（Ⅱ）若以AB为直径的圆与x轴相切，求该圆的方程．【解答】解：（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由抛物线C：y2=4x，直线l：y=﹣x+b得y2+4y ﹣4b=0﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∴|AB|=|y1﹣y2|===8﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）解得b=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）（Ⅱ）以AB为直径的圆与x轴相切，设AB中点为M|AB|=|y1+y2|又y1+y2=﹣4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）∴4=解得b=﹣，则M（，﹣2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）∴圆方程为（x﹣）2+（y+2）2=4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）19．（15分）在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面ACF；（Ⅱ）求证：BD⊥AE；（Ⅲ）若AB=CE，在线段EO上是否存在点G，使CG⊥平面BDE？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（I）连接OF．由ABCD是正方形可知，点O为BD中点．又F为BE的中点，所以OF∥DE．又OF⊂面ACF，DE⊄面ACF，所以DE∥平面ACF…．（4分）（II）证明：由EC⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，∴EC⊥BD，由ABCD是正方形可知，AC⊥BD，又AC∩EC=C，AC、E⊂平面ACE，∴BD⊥平面ACE，又AE⊂平面ACE，∴BD⊥AE…（9分）（III）：在线段EO上存在点G，使CG⊥平面BDE．理由如下：取EO中点G，连接CG，在四棱锥E﹣ABCD中，AB=CE，CO=AB=CE，∴CG⊥EO．由（Ⅱ）可知，BD⊥平面ACE，而BD⊂平面BDE，∴平面ACE⊥平面BDE，且平面ACE∩平面BDE=EO，∵CG⊥EO，CG⊂平面ACE，∴CG⊥平面BDE故在线段EO上存在点G，使CG⊥平面BDE．由G为EO中点，得．…（14分）20．（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=PA=2，CD=4，E，F分别是PC，PD的中点．（Ⅰ）证明：EF∥平面PAB；（Ⅱ）求直线AC与平面ABEF所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：因为E，F分别是PC，PD的中点，所以EF∥CD，又因为CD∥AB，所以EF∥AB，又因为EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，所以EF∥平面PAB．（Ⅱ）解：取线段PA中点M，连结EM，则EM∥AC，故AC与面ABEF所成角的大小等于ME与面ABEF所成角的大小．作MH⊥AF，垂足为H，连结EH．因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，又因为AB⊥AD，所以AB⊥平面PAD，又因为EF∥AB，所以EF⊥平面PAD．因为MH⊂平面PAD，所以EF⊥MH，所以MH⊥平面ABEF，所以∠MEH是ME与面ABEF所成的角．在直角△EHM中，EM=AC=，MH=，得sin∠MEH=．所以AC与平面ABEF所成的角的正弦值是．21．（15分）已知点C（x0，y0）是椭圆+y2=1上的动点，以C为圆心的圆过点F（1，0）．（Ⅰ）若圆C与y轴相切，求实数x0的值；（Ⅱ）若圆C与y轴交于A，B两点，求|FA|•|FB|的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当圆C与y轴相切时，|x0|=，（2分）又因为点C在椭圆上，所以，（3分）解得，（5分）因为﹣，所以．（6分）（Ⅱ）圆C的方程是（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=（x0﹣1）2+，令x=0，得y2﹣2y0y+2x0﹣1=0，设A（0，y1），B（0，y2），则y1+y2=2y0，y1y2=2x0﹣1，（8分）由，及得﹣2﹣2＜x0＜﹣2+2，又由P点在椭圆上，﹣≤x0≤，所以﹣≤，（10分）|FA|•|FB|=•=（12分）===，（14分）所以|FA|•|FB|的取值范围是（4，2+2]．（15分）22．（15分）已知椭圆C的方程是，直线l：y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点，若F1M⊥l，F2N⊥l，M，N分别为垂足．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求四边形F1MNF2面积S的最大值．【解答】解：（Ⅰ）证明：将直线的方程y=kx+m代入椭圆C的方程3x2+4y2=12中，得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0．由直线与椭圆C仅有一个公共点知，△=64k2m2﹣4（4k2+3）（4m2﹣12）=0，化简得：m2=4k2+3．设d1=|F1M=，d2=|F2M|=，d1d2=•===3，|F1M|+|F2M|=d1+d2≥=2．（Ⅱ）当k≠0时，设直线的倾斜角为θ，则|d1﹣d2|=|MN||tanθ|，∴|MN|=，S=|MN|•（d1+d2）====，∵m2=4k2+3，∴当k≠0时，|m|，∴＞+=，∴S．当k=0时，四边形F1MNF2是矩形，．所以四边形F1MNF2面积S的最大值为2．。

2020-2021学年高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1. 若a<b<0，那么下列不等式中正确的是（）A.ab<b2B.ab>a2C.1a <1bD.1a>1b2. 抛物线y=−4x2的准线方程为（）A.y=−116B.y=116C.x=−1D.x=13. 下列求导结果正确的是()A.(cosπ6)′=−sinπ6B.(3x)′=x⋅3x−1C.(log2x)′=log2exD.(sin2x)′=cos2x4. 已知命题p:∃x0∈(1, +∞)，使得；命题q:∀x∈R，2x2−3x+5> 0．那么下列命题为真命题的是（）A.p∧qB.(￢p)∨qC.p∨(￢q)D.(￢p)∧(￢q)5. 已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则B＝（）A. B. C. D.6. 若变量x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最小值为（）A. B.6 C. D.47. 等比数列{a n}的前n项和为S n，若S2n＝4(a1+a3+...+a2n−1)(n∈N∗)，a1a2a3＝−27，则a5＝（）A.81B.24C.−81D.−248. 已知a>0，b>0，且3a+2b＝ab，则a+b的最小值为（）A. B. C. D.9. 已知双曲线的一条渐近线平行于直线，且该双曲线的一个焦点在直线l上，则此双曲线的方程为（）A. B. C. D.10. 若函数f(x)＝e x−2ax2+1有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.二、选择题：（本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，把正确答案的选项涂在答题卡上.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）)11. 已知在数列{a n}中，a5=4，其前n项和为S n，下列说法正确的是（）A.若{a n}为等差数列，a2=1，则S10=45B.若{a n}为等比数列，a1=1，则a3=±2C.若{a n}为等差数列，则a1a9≤16D.若{a n}为等比数列，则a2+a8≥812. 已知曲线C:mx2+ny2＝1，下列说法正确的是（）A.若m＝n>0，则C是圆，其半径为．B.若m>0，n＝0，则C是两条直线．C.若n>m>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上．D.若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为．三、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）)13. 设等差数列{a n}的前n项和为S n，若2a5＝a3+4，则S13＝________．14. 设点P是曲线上的任意一点，曲线在点P处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是________．（用区间表示）15. 若△ABC的三边长分别为3，5，7，则该三角形的内切圆半径等于________．16. 设椭圆的左焦点为F，直线x＝m与椭圆C相交于A，B两点．当△ABF的周长最大时，△ABF的面积为b2，则椭圆C的离心率e＝________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）)17. 设命题p：实数x满足x2−4mx+3m2<0(m>0)；命题q：实数x满足．若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．18. 已知数列{a n}的前n项和为S n，且2S n＝3a n−3．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；a n，，求数列{c n}的前n项和T n．(Ⅱ)设b n＝log319. 已知函数f(x)=x3−2x2+x．(1)求曲线y=f(x)在点(−1, −4)处的切线方程；(2)求曲线y=f(x)过点(1, 0)的切线方程．20. 已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a+b+c＝12．(Ⅰ)若a＝2，b＝5，求cos A的值；(Ⅱ)若sin A cos2＝2sin C，且△ABC的面积为10sin C，试判断△ABC的形状并说明理由．21. 已知椭圆经过如下四个点中的三个，，P2(0, 1)，，．(Ⅰ)求椭圆M的方程；(Ⅱ)设直线l与椭圆M交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆经过椭圆M的右顶点C （A，B均不与点C重合），证明：直线l过定点．22. 已知函数f(x)＝ln x+ax2+(2a+1)x+1．(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)当a<0时，证明：f(x)≤−−1．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】D【解析】利用不等式的基本性质即可判断出．2.【答案】B【解析】利用抛物线的标准方程及其性质即可得出．3.【答案】C【解析】根据基本初等函数和复合函数的求导公式对每个选项的函数求导即可．4.【答案】B【解析】根据条件判断命题p，q的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．5.【答案】A【解析】利用正弦定理以及同角三角函数的关系式，直接求角B的大小6.【答案】C【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．7.【答案】C【解析】设等比数列{a n}的公比为q，由S2n＝4(a1+a3+...+a2n−1)(n∈N∗)，令n＝1，则S2＝4a1，可得a2＝3a1，根据a1a2a3＝−27，可得a23=−27，解得a2．利用等比数列的通项公式即可得出．8.【答案】B【解析】将3a+2b＝ab变形为，再由“乘1法”，即可得解．9.【答案】B【解析】根据渐近线的方程和焦点坐标，利用a、b、c的关系和条件列出方程求出a2、b2，代入双曲线的方程即可．10.【答案】C【解析】由导数与极值的关系知可转化为方程f′(x)＝0在R上有两个不同根，结合函数的性质可求．二、选择题：（本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，把正确答案的选项涂在答题卡上.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）11.【答案】A,C【解析】对于A，利用等差数列通项公式列出方程组，求出a1＝0，d＝1，由此能求出S10；对于B，利用等比数列能通项公式求出q2＝2，进而能求出a3；对于C，利用等差数列通项公式得a1+a9＝2a5＝8，当a1，a9一正一负时，a1a9≤16成立，当a1，a9均大于0时，则a1a9≤（）2＝16；对于D，{a n}为等比数列时，a2a8＝＝16，当a2，a8均大于0时，a2+a8≥2＝8，当a2，a8均小于0时，a2+a8＝−(−a2−a8)≤−2＝−(8)12.【答案】A,B,D【解析】通过m，n的取值，判断曲线的形状，即可判断选项．三、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.【答案】52【解析】利用等差数列{a n}的通项公式列方程求得a1+6d＝4，再由S13＝＝13(a1+6d)，能求出结果．14.【答案】【解析】求出原函数的导函数，利用配方法求得导函数的值域，再由直线的斜率等于倾斜角的正切值，即可求得曲线在点P处的切线的倾斜角α的范围．15.【答案】【解析】由已知结合余弦定理可求C，易得三角形的面积，所以内切圆半径满足关系：S＝(a+b+c)r．16.【答案】【解析】判断三角形周长取得最大值时，求出m的值，利用三角形的面积，列出方程，求解椭圆的离心率即可．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.【答案】由x2−4mx+5m2<0，得(x−m)(x−5m)<0，又m>0，所以m<x<3m，由，得0<4−x<5因为￢p是￢q的充分不必要条件，所以q是p的充分不必要条件．设A＝(3, m)B＝(2，则B是A的真子集，故或即．【解析】求出命题p，q为真命题的等价条件，根据￢p是￢q的充分不必要条件，转化为q是p的充分不必要条件，进行转化求解即可．18.【答案】（1）当n＝1时，2a6＝2S1＝2a1−1，∴a8＝1当n≥2时，8a n＝2S n−2S n−2＝(3a n−3)−(8a n−1−3)即：，∴数列{a n}为以3为首项，4为公比的等比数列．∴（2）由(Ⅰ)知，a n＝n，所以b n＝log3故．即①所以②①②得所以．【解析】(Ⅰ)直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式；(Ⅱ)利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和．19.【答案】解：(1)由题意得f′(x)=3x2−4x+1，∴f′(−1)=8，∴曲线y=f(x)在点(−1, −4)处的切线方程为y+4=8(x+1)，即8x−y+4=0.(2)设切点为(x0, y0)，∵切点在函数图象上，∴y0=x03−2x02+x0，故曲线在该点处的切线为y −(x 03−2x 02+x 0)=(3x 02−4x 0+1)(x −x 0).∵ 切线过点(1, 0)，∴ 0−(x 03−2x 02+x 0)=(3x 02−4x 0+1)(1−x 0)即(x 0−1)2(2x 0−1)=0，解得x 0=1或x 0=12，当x 0=1时，切点为(1,0)，∵ f ′(1)=0，∴ 切线方程为y −0=0⋅(x −1)即y =0.当x 0=12时，切点为(12,18)， ∵ f ′(12)=−14， ∴ 切线方程为y −0=−14(x −1)即x +4y −1=0.综上可得，切线方程为y =0或x +4y −1=0．【解析】(Ⅰ)求出原函数的导函数，得到函数在x ＝−1处的导数，再由直线方程的点斜式得答案；(Ⅱ)设出切点坐标，得到函数在切点处的切线方程，代入已知点的坐标，求得切点坐标，进一步求解过点(1, 0)的切线方程．利用导数研究某一点的切线方程问题（含参问题）.20.【答案】（1）∵ a +b +c ＝12，a ＝2，∴ c ＝5． ∴ -（2）∵ △ABC 为直角三角形，， ∴，即sin A +sin B +sin A cos B +cos A sin B ＝4sin C ，∴ sin A +sin B +sin (A +B)＝4sin C ，∵ A +B +C ＝π，A +B ＝π−C ．∴ sin A +sin B ＝3sin C ，由正弦定理得a +b ＝3c ，∵ a +b +c ＝12，可得8c ＝12．从而a +b ＝9．又∵ △ABC 的面积为10sin C ，∴．即ab＝20，∴a＝5，b＝5，又∵c＝6，可得cos B＝＝，可得B为直角，∴△ABC为直角三角形．【解析】（1）由题意可求c的值，进而根据余弦定理即可求解cos A的值．（2）由已知利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin A+sin B＝3sin C，由正弦定理得a+b＝3c，解得c，可得a+b＝9，利用三角形的面积公式可求ab＝20，解得a，b的值，即可判断得解．21.【答案】（1）；由题意，点与点，根据椭圆的对称性且椭圆过其中的三个点可知，点和点，又因为点与点，即椭圆过点，P3（，），P7(0, 1)，所以，且，故a6＝4，b2＝3，所以，椭圆M的方程为．（2）证明：直线l恒过点．由题意，可设直线AB的方程x＝ky+m(m≠2)，联立消去x2+4)y2+2kmy+m2−4＝0，设A(x1, y8)，B(x2, y2)，则有，①又以线段AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，∴，由，，得(x2−2)(x2−8)+y1y2＝5，将x1＝ky1+m，x6＝ky2+m代入上式得，将①代入上式求得或m＝2（舍），则直线l恒过点．【解析】(Ⅰ)由椭圆的对称性可得椭圆过点，，P2(0, 1)，代入椭圆的方程，列方程组，解得a，b，进而可得椭圆的方程．(Ⅱ)设直线AB的方程x＝ky+m(m≠2)，A(x1, y1)，B(x2, y2)，联立直线AB与椭圆的方程可得关于y的一元二次方程，由韦达定理可得y1+y2，y1y2，由线段AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，得，用坐标表示，可得m，进而可得答案．22.【答案】（1）因为f(x)＝ln x+ax2+(2a+5)x+1，所以，当a≥7时，f′(x)≥0恒成立，+∞)上单调递增；当a<0时，令f′(x)>5，所以，令f′(x)<0，则2ax+2<0，所以f(x)的增区间为，减区间为．综上：当a≥3时，f(x)的增区间为(0；当a<0时，f(x)的增区间为．（2）证明：由(Ⅰ)知，当a<0时max＝f(−），，令g(t)＝ln t−t+3(t>0)，则，令g′(t)>0，则5<t<1，则t>1，所以g(t)在(6, 1)上单调递增，+∞)上单调递减，故g(t)max＝g(1)＝0，所以ln t−t+3≤0又因为，所以则，从而，所以．【解析】(Ⅰ)对f(x)求得，对a分类讨论，利用导数与单调性的关系求解即可；(Ⅱ)由(Ⅰ)可知f(x)max＝f(−），，令g(t)＝ln t−t+1(t>0)，利用导数可得g(t)的最大值为0，可得，从而可得．。

高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）命题“∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞nB．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞nC．且f（n0）＞n0D．或f（n0）＞n02．（5分）若复数=2﹣i其中a，b是实数，则复数a+bi在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知a，b，c均为实数，则“b2=ac”是“a，b，c构成等比数列”的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）抛物线x2=y的准线方程是（）A．y=1 B．y=﹣1 C．y=D．y=﹣5．（5分）在等差数列{a n}中，a1=1，a3+a4+a5+a6=20，则a8=（）A．7 B．8 C．9 D．106．（5分）已知△ABC的两个顶点A（5，0），B（﹣5，0），周长为22，则顶点C 的轨迹方程是（）A．B．C．D．7．（5分）函数，则（）A．x=e为函数f（x）的极大值点B．x=e为函数f（x）的极小值点C．为函数f（x）的极大值点D．为函数f（x）的极小值点8．（5分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知M，N分别是BD和AD 的中点，则B1M与D1N所成角的余弦值为（）A．B．C．D．9．（5分）已知数列{a n}，a1=1，，则a10的值为（）A．5 B．C．D．10．（5分）若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是（）A．（，+∞）B．（﹣∞，]C．[，+∞）D．（﹣∞，）11．（5分）已知x，y∈（0，+∞），且满足，那么x+4y的最小值为（）A．B．C．D．12．（5分）如图，F1，F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右两个焦点．若直线y=x与双曲线C交于P、Q两点，且四边形PF1QF2为矩形，则双曲线的离心率为（）A．2+B．2+C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若，则=．14．（5分）=．15．（5分）椭圆C的中心在坐标原点，左、右焦点F1，F2在x轴上，已知A，B 分别是椭圆的上顶点和右顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，PF2∥AB，则此椭圆的离心率为．16．（5分）已知f（x，y）=ax+by，若1≤f（1，1）≤2且﹣1≤f（1，﹣1）≤1，则f（2，1）的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）设数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n，n∈N+．（Ⅰ）求{a n}的通项公式及前n项和S n；（Ⅱ）已知{b n}是等差数列，且满足b1=a2，b3=a1+a2+a3，求数列{b n}的通项公式．18．（12分）已知抛物线y2=2px（p＞0），焦点对准线的距离为4，过点P（1，﹣1）的直线交抛物线于A，B两点．（1）求抛物线的方程；（2）如果点P恰是线段AB的中点，求直线AB的方程．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=2，AB=2．（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD；（Ⅱ）求锐二面角D﹣A1C﹣E的余弦值．20．（12分）在圆x2+y2=4上任取一点P，点P在x轴的正射影为点Q，当点P 在圆上运动时，动点M满足，动点M形成的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）点A（2，0）在曲线C上，过点（1，0）的直线l交曲线C于B，D两点，设直线AB斜率为k1，直线AD斜率为k2，求证：k1k2为定值．21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2AD=2，，PD⊥AD，PD⊥DC．（Ⅰ）证明：平面PBC⊥平面PBD；（Ⅱ）若二面角P﹣BC﹣D为，求AP与平面PBC所成角的正弦值．22．（12分）设函数f（x）=x2e x．（1）求曲线f（x）在点（1，e）处的切线方程；（2）若f（x）＜ax对x∈（﹣∞，0）恒成立，求a的取值范围；（3）求整数n的值，使函数F（x）=f（x）﹣在区间（n，n+1）上有零点．2017-2018学年江西省赣州市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）命题“∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞nB．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞nC．且f（n0）＞n0D．或f（n0）＞n0【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）≤n”的否定形式是：或f（n0）＞n0．故选：D．2．（5分）若复数=2﹣i其中a，b是实数，则复数a+bi在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：复数=2﹣i，其中a，b是实数，∴a+i=（2﹣i）（b﹣i）=2b﹣1﹣（2+b）i，∴，解得b=﹣3，a=﹣7．则复数a+bi在复平面内所对应的点（﹣7，﹣3）位于第三象限．故选：C．3．（5分）已知a，b，c均为实数，则“b2=ac”是“a，b，c构成等比数列”的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由“b2=ac”推不出“a，b，c构成等比数列，比如a=b=c=0，反之成立，故选：A．4．（5分）抛物线x2=y的准线方程是（）A．y=1 B．y=﹣1 C．y=D．y=﹣【解答】解：因为抛物线的标准方程为：x2=y，焦点在y轴上；所以：2p=，即p=，所以：=，所以准线方程y=﹣．故选：D．5．（5分）在等差数列{a n}中，a1=1，a3+a4+a5+a6=20，则a8=（）A．7 B．8 C．9 D．10【解答】解：设公差为d，则1+2d+1+3d+1+4d+1+5d=20，∴d=，∴a8=1+7d=9，故选C．6．（5分）已知△ABC的两个顶点A（5，0），B（﹣5，0），周长为22，则顶点C 的轨迹方程是（）A．B．C．D．【解答】解：△ABC的两个顶点A（5，0），B（﹣5，0），周长为22，则顶点C 的轨迹是椭圆，可知c=5，2a=12，解得a=6，c=．则顶点C的轨迹方程是：．故选：B．7．（5分）函数，则（）A．x=e为函数f（x）的极大值点B．x=e为函数f（x）的极小值点C．为函数f（x）的极大值点D．为函数f（x）的极小值点【解答】解：的定义域（0，+∞），求导f′（x）=，令f′（x）=＞0，解得：0＜x＜e，令f′（x）=＜0，解得：x＞e，∴函数在（0，e）上递增，在（e，+∞）上递减，∴当x=e时，函数有极大值，故选A．8．（5分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知M，N分别是BD和AD 的中点，则B1M与D1N所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：建立如图所示的坐标系，设正方体的棱长为2，则B1（2，2，2），M（1，1，0），D1（0，0，2），N（1，0，0），∴=（﹣1，﹣1，﹣2），=（1，0，﹣2），∴B1M与D1N所成角的余弦值为||=，故选：A．9．（5分）已知数列{a n}，a1=1，，则a10的值为（）A．5 B．C．D．【解答】解：∵数列{a n}，a1=1，，∴=，=，=，由此猜想a n=．下面利用数学归纳法进行证明：①，成立；②假设a k=，则==，成立，∴，∴a10=．故选：D．10．（5分）若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是（）A．（，+∞）B．（﹣∞，]C．[，+∞）D．（﹣∞，）【解答】解：若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，只需y′=3x2+2x+m≥0恒成立，即△=4﹣12m≤0，∴m≥．故选C．11．（5分）已知x，y∈（0，+∞），且满足，那么x+4y的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵x，y∈（0，+∞），且满足，那么x+4y=（x+4y）=≥==+，当且仅当x=2=时取等号．故选：C．12．（5分）如图，F1，F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右两个焦点．若直线y=x与双曲线C交于P、Q两点，且四边形PF1QF2为矩形，则双曲线的离心率为（）A．2+B．2+C．D．【解答】解：由题意，矩形的对角线长相等，y=x代入﹣=1，可得x=±，∴•=c，∴2a2b2=（b2﹣a2）c2，∴2a2（c2﹣a2）=（c2﹣2a2）c2，∴2（e2﹣1）=e4﹣2e2，∴e4﹣4e2+2=0，∵e＞1，∴e2=2+，∴e=．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若，则=﹣7．【解答】解：，则=（﹣2，﹣1，5）•（7，﹣2，1）=﹣14+2+5=﹣7；故答案为：﹣7．14．（5分）=1．【解答】解：∫1e dx=lnx|1e=lne﹣ln1=1，故答案为115．（5分）椭圆C的中心在坐标原点，左、右焦点F1，F2在x轴上，已知A，B 分别是椭圆的上顶点和右顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，PF2∥AB，则此椭圆的离心率为．【解答】解：如图所示，把x=﹣c代入椭圆标准方程：+=1（a＞b＞0）．则=1，解得y=±．取P，又A（0，b），B（a，0），F2（c，0），∴k AB=﹣，==﹣．∵PF2∥AB，∴﹣=﹣，化为：b=2c．∴4c2=b2=a2﹣c2，即a2=5c2，解得a=c，∴e==．故答案为：．16．（5分）已知f（x，y）=ax+by，若1≤f（1，1）≤2且﹣1≤f（1，﹣1）≤1，则f（2，1）的取值范围为．【解答】解：f（x，y）=ax+by，若1≤f（1，1）≤2且﹣1≤f（1，﹣1）≤1，可得，画出不等式组的可行域如图：则f（2，1）=2a+b，当直线z=2a+b经过A时取得最小值，经过B时取得最大值，由可得B（，），f（2，1）=2a+b的最小值为：！，最大值为：．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）设数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n，n∈N+．（Ⅰ）求{a n}的通项公式及前n项和S n；（Ⅱ）已知{b n}是等差数列，且满足b1=a2，b3=a1+a2+a3，求数列{b n}的通项公式．【解答】解：（Ⅰ）由题设可知{a n}是首项为1，公比为3的等比数列，…（2分）所以，…（4分）…（6分）（Ⅱ）设数列{b n}的公差为d∵b1=a2=3，b3=a1+a2+a3=S3=13，∴b3﹣b1=10=2d，∴d=5，…（8分）∴b n=5n﹣2…（10分）18．（12分）已知抛物线y2=2px（p＞0），焦点对准线的距离为4，过点P（1，﹣1）的直线交抛物线于A，B两点．（1）求抛物线的方程；（2）如果点P恰是线段AB的中点，求直线AB的方程．【解答】解：（1）由题设焦点对准线的距离为4，可知p=4，所以抛物线方程为y2=8x；（2）方法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2，y1+y2=﹣2，又，相减整理得，所以直线AB的方程是y=﹣4（x﹣1）﹣1，即4x+y﹣3=0．方法二：由题设可知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k（x﹣1）﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），由，消去x，得ky2﹣8y﹣8k﹣8=0，易知，又y1+y2=﹣2所以，所以直线AB的方程是y=﹣4（x﹣1）﹣1，即4x+y﹣3=0．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=2，AB=2．（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD；（Ⅱ）求锐二面角D﹣A1C﹣E的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）连结AC1，交A1C于点O，连结DO，则O为AC1的中点，因为D为AB的中点，所以OD∥BC1，又因为OD⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，∴BC1∥平面A1CD…（4分）（Ⅱ）由，可知AC⊥BC，以C为坐标原点，方向为x 轴正方向，方向为y轴正方向，方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系Cxyz，则D（1，1，0），E（0，2，1），A1（2，0，2），，，设是平面A1CD的法向量，则即可取．…（6分）同理，设是平面A1CE的法向量，则，可取．…（8分）从而…（10分）所以锐二面角D﹣A1C﹣E的余弦值为…（12分）20．（12分）在圆x2+y2=4上任取一点P，点P在x轴的正射影为点Q，当点P 在圆上运动时，动点M满足，动点M形成的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）点A（2，0）在曲线C上，过点（1，0）的直线l交曲线C于B，D两点，设直线AB斜率为k1，直线AD斜率为k2，求证：k1k2为定值．【解答】解：（Ⅰ）设点M的坐标为（x，y），则由题意知点P的坐标为（x，2y）因为P在圆O：x2+y2=4，所以x2+4y2=4故所求动点M的轨迹方程为．…（4分）（Ⅱ）方法一：由题意知直线l斜率不为0，设直线l方程为x=my+1，B（x1，y1），D（x2，y2）由消去x，得（m2+4）y2+2my﹣3=0，易知△=16m2+48＞0，得…（8分）=．所以为定值…（12分）方法二：（ⅰ）当直线l斜率不存在时，所以…（6分）（ⅱ）当直线l斜率存在时，设直线l方程为y=k（x﹣1），B（x1，y1），D（x2，y2）由消去y，得（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0，易知△=48k2+16＞0，…（8分）=．所以为定值…（12分）21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2AD=2，，PD⊥AD，PD⊥DC．（Ⅰ）证明：平面PBC⊥平面PBD；（Ⅱ）若二面角P﹣BC﹣D为，求AP与平面PBC所成角的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵PD⊥AD，PD⊥CDAD∩CD=D，AD⊂平面ABCDCD⊂平面ABCD∴PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD∴PD⊥BC…（2分）又∴又∴，∠ADB=90°，AD⊥BD，又AD∥BC∴BC⊥BD…（4分）又∵PD∩BD=D，BD⊂平面PBD，PD⊂平面PBD∴BC⊥平面PBD而BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PBD…（6分）解：（Ⅱ）由（Ⅰ）所证，BC⊥平面PBD∴∠PBD即为二面角P﹣BC﹣D的平面角，即∠PBD=而，所以PD=1…（8分）分别以DA、DB、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．则A（1，0，0），，，P（0，0，1）∴，=（﹣1，0，0），，设平面PBC的法向量为，则，即，取y=1，得…（10分）∴AP与平面PBC所成角的正弦值为：．…（12分）22．（12分）设函数f（x）=x2e x．（1）求曲线f（x）在点（1，e）处的切线方程；（2）若f（x）＜ax对x∈（﹣∞，0）恒成立，求a的取值范围；（3）求整数n的值，使函数F（x）=f（x）﹣在区间（n，n+1）上有零点．【解答】解：（1）f'（x）=（x2+2x）e x，∴f'（1）=3e，∴所求切线方程为y﹣e=3e（x﹣1），即y=3ex﹣2e；（2）∵f（x）＜ax，对x∈（﹣∞，0）恒成立，∴，设g（x）=xe x，g'（x）=（x+1）e x，令g'（x）＞0，得x＞﹣1，令g'（x）＜0得x＜﹣1，∴g（x）在（﹣∞，﹣1）上递减，在（﹣1，0）上递增，∴，∴；（3）令F（x）=0，得，当x＜0时，，∴F（x）的零点在（0，+∞）上，令f'（x）＞0，得x＞0或x＜﹣2，∴f（x）在（0，+∞）上递增，又在（0，+∞）上递减，∴方程仅有一解x0，且x0∈（n，n+1），n∈Z，∵，∴由零点存在的条件可得，则n=0．。

黑龙江省大庆高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）向量，若，则x的值为（）A．﹣3 B．1 C．﹣1 D．32．（5分）已知函数f（x）=x+lnx，则f′（1）的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣23．（5分）某学校高一、高二、高三共有学生3500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多300人，现在按的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为（）A．8 B．11 C．16 D．104．（5分）某公司在2014年上半年的收入x（单位：万元）与月支出y（单位：万元）的统计资料如下表所示：月份1月份2月份3月份4月份5月份6月份收入x12.314.515.017.019.820.6支出Y 5.63 5.75 5.82 5.89 6.11 6.18根据统计资料，则（）A．月收入的中位数是15，x与y有正线性相关关系B．月收入的中位数是17，x与y有负线性相关关系C．月收入的中位数是16，x与y有正线性相关关系D．月收入的中位数是16，x与y有负线性相关关系5．（5分）齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，则田忌获胜的概率为（）A ．B ．C ．D ．6．（5分）点集Ω={（x，y）|0≤x≤e，0≤y≤e}，A={（x，y）|y≥e x，（x，y）∈Ω}，在点集Ω中任取一个元素a，则a∈A的概率为（）A ．B ．C ．D ．7．（5分）下列说法错误的是（）A．“函数f（x）的奇函数”是“f（0）=0”的充分不必要条件．B．已知A，B，C不共线，若=，则P是△ABC的重心．C．命题“∃x0∈R，sinx0≥1”的否定是：“∀x∈R，sinx＜1”．D．命题“若α=，则cos”的逆否命题是：“若cos，则”．8．（5分）过双曲线的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B 两点，D为虚轴上的一个端点，且△ABD为直角三角形，则此双曲线离心率的值为（）A．B．C．或D．或9．（5分）若双曲线x2+my2=m（m∈R）的焦距4，则该双曲线的渐近线方程为（）A．B．C． D．10．（5分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．11．（5分）设函数f（x）=x2﹣9lnx在区间[a﹣1，a+1]上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．（1，2]B．[4，+∞）C．（﹣∞，2]D．（0，3]12．（5分）设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知命题“∃x∈R，x2﹣ax+1＜0”为假命题，则实数a的取值范围是．14．（5分）由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，若∠APB=120°，则动点P的轨迹方程为．15．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值是．16．（5分）已知函数f（x）=e x﹣e﹣x+1（e为自然对数的底数），若f（2x﹣1）+f（4﹣x2）＞2，则实数x的取值范围为．三、解答题（本大题共6个小题，17题10分，其余各题各12分，共70分）17．（10分）已知过抛物线y2=8x的焦点，斜率为的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点．（1）求线段AB的长度；（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求λ的值．18．（12分）已知关于x的二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．（Ⅰ）设集合A={﹣1，1，2}和B={﹣2，﹣1，1}，分别从集合A，B中随机取一个数作为a 和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．（Ⅱ）设点（a，b）是区域内的随机点，求函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．19．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，E为AB的中点，PA⊥平面ABCD，且PA=2（1）在棱PD上求一点F，使AF∥平面PEC；（2）求二面角D﹣PE﹣A的余弦值．20．（12分）已知函数f（x）=e x（ax+b）﹣x2﹣4x，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值．21．（12分）已知椭圆的两个焦点分别为，，点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点M（1，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设点N（3，2），记直线AN，BN 的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2为定值．22．（12分）设函数（1）当x∈（0，+∞），恒成立，求实数a的取值范围．（2）设g（x）=f（x）﹣x在[1，e2]上有两个极值点x1，x2．（A）求实数a的取值范围；（B）求证：．大庆高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）向量，若，则x的值为（）A．﹣3 B．1 C．﹣1 D．3【解答】解：∵向量，，∴=﹣4+4x﹣8=0，解得x=3．故选：D．2．（5分）已知函数f（x）=x+lnx，则f′（1）的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【解答】解：∵f（x）=x+lnx，∴f′（x）=1+∴f′（1）=1+=2故选B3．（5分）某学校高一、高二、高三共有学生3500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多300人，现在按的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为（）A．8 B．11 C．16 D．10【解答】解：设高一学生有x人，则高三有2x，高二有x+300，∵高一、高二、高三共有学生3500人，∴x+2x+x+300=3500，∴x=800，∵按的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，∴应抽取高一学生数为=8故选A．4．（5分）某公司在2014年上半年的收入x（单位：万元）与月支出y（单位：万元）的统计资料如下表所示：月份1月份2月份3月份4月份5月份6月份收入x12.314.515.017.019.820.6支出Y 5.63 5.75 5.82 5.89 6.11 6.18根据统计资料，则（）A．月收入的中位数是15，x与y有正线性相关关系B．月收入的中位数是17，x与y有负线性相关关系C．月收入的中位数是16，x与y有正线性相关关系D．月收入的中位数是16，x与y有负线性相关关系【解答】解：月收入的中位数是=16，收入增加，支出增加，故x与y有正线性相关关系，故选：C．5．（5分）齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，则田忌获胜的概率为（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：设齐王的上，中，下三个等次的马分别为a，b，c，田忌的上，中，下三个等次的马分别为记为A，B，C，从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛的所有的可能为Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，根据题设其中Ab，Ac，Bc是胜局共三种可能，则田忌获胜的概率为=，故选：A6．（5分）点集Ω={（x，y）|0≤x≤e，0≤y≤e}，A={（x，y）|y≥e x，（x，y）∈Ω}，在点集Ω中任取一个元素a，则a∈A的概率为（）A．B．C． D．【解答】解：点集Ω表示的平面区域的面积为：，集合A所表示的平面区域如图所示，其面积为：，结合几何概型计算公式可得所求的概率值为：．故选：B．7．（5分）下列说法错误的是（）A．“函数f（x）的奇函数”是“f（0）=0”的充分不必要条件．B．已知A，B，C不共线，若=，则P是△ABC的重心．C．命题“∃x0∈R，sinx0≥1”的否定是：“∀x∈R，sinx＜1”．D．命题“若α=，则cos”的逆否命题是：“若cos，则”．【解答】解：对于A，函数f（x）为奇函数，若f（0）有意义，则f（0）=0，则“函数f（x）为奇函数”是“f（0）=0”的非充分非必要条件，故A错误；对于B，已知A，B，C不共线，若=，可得+==2，（D为AB的中点），即有P在AB的中线上，同理P也在BC的中线上，在CA的中线上，则P是△ABC的重心，故B正确；对于C，命题“∃x0∈R，sinx0≥1”的否定是：“∀x∈R，sinx＜1”，由命题的否定形式，可得C 正确；对于D，由逆否命题的形式可得，命题“若α=，则cosα=”的逆否命题为“若cosα≠，则α≠”，故D正确．故选：A．8．（5分）过双曲线的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B 两点，D为虚轴上的一个端点，且△ABD为直角三角形，则此双曲线离心率的值为（）A．B．C．或D．或【解答】解：设双曲线的右焦点F2（c，0），令x=﹣c，可得y=±，可得A（c，﹣），B（c，），又设D（0，b），△ABD为直角三角形，可得∠DBA=90°，即b=或∠BDA=90°，即=0，解：b=可得a=b，c=，所以e==；由=0，可得：（c，）（c，﹣）=0，可得c2+b2﹣=0，可得e4﹣4e2+2=0，e＞1，可得e=，综上，e=或．故选：D．9．（5分）若双曲线x2+my2=m（m∈R）的焦距4，则该双曲线的渐近线方程为（）A．B．C． D．【解答】解：根据题意，双曲线x2+my2=m（m∈R）的焦距4，可得=2c=4，解可得m=﹣3，则双曲线的方程为：，其渐近线方程为：y=±x；故选：D．10．（5分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．【解答】解：取A1C1的中点D1，连接B1D1，AD1，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1D1⊥面ACC1A1，则∠B1AD1是AB1与侧面ACC1A1所成的角，∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，∴，故选A．11．（5分）设函数f（x）=x2﹣9lnx在区间[a﹣1，a+1]上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．（1，2]B．[4，+∞）C．（﹣∞，2]D．（0，3]【解答】解：∵f（x）=x2﹣9lnx，∴函数f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=x﹣，∵x＞0，∴由f′（x）=x﹣＜0，得0＜x＜3．∵函数f（x）=x2﹣9lnx在区间[a﹣1，a+1]上单调递减，∴，解得1＜a≤2．故选A．12．（5分）设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【解答】解：由题意可得，f（x0）=±，即=kπ+，k∈z，即x0=m．再由x02+[f（x0）]2＜m2，即x02+3＜m2，可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，∴m2 ＞m2+3，∴m2＞4．求得m＞2，或m＜﹣2，故选：C．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知命题“∃x∈R，x2﹣ax+1＜0”为假命题，则实数a的取值范围是[﹣2，2] ．【解答】解：∵命题“存在实数x，使x2﹣ax+1＜0”的否定是任意实数x，使x2﹣ax+1≥0，命题否定是真命题，∴△=（﹣a）2﹣4≤0∴﹣2≤a≤2．实数a的取值范围是：[﹣2，2]．故答案为：[﹣2，2]．14．（5分）由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，若∠APB=120°，则动点P的轨迹方程为x2+y2=．【解答】解：连接OP，AB，OA，OB，∵PA，PB是单位圆O的切线，∴PA=PB，OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OPA=∠OPB=∠APB=60°，又OA=OB=1，∴OP=，∴P点轨迹为以O为圆心，以为半径的圆，∴P点轨迹方程为x2+y2=．故答案为：x2+y2=．15．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值是．【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出S=sin+sin+ (i)的值，由于sin，k∈Z的取值周期为6，且2017=336×6+1，所以S=sin+sin+…sin=336×（sin+sin+…+sin）+sin=．故答案为：．16．（5分）已知函数f（x）=e x﹣e﹣x+1（e为自然对数的底数），若f（2x﹣1）+f（4﹣x2）＞2，则实数x的取值范围为（﹣1，3）．【解答】解：根据题意，令g（x）=f（x）﹣1=e x﹣e﹣x，有g（﹣x）=f（﹣x）﹣1=e﹣x﹣e x=﹣g（x），则g（x）为奇函数，对于g（x）=e x﹣e﹣x，其导数g′（x）=e x+e﹣x＞0，则g（x）为增函数，且g（0）=e0﹣e0=0，f（2x﹣1）+f（4﹣x2）＞2⇒f（2x﹣1）﹣1＞﹣f（4﹣x2）+1⇒f（2x﹣1）＞﹣[f（4﹣x2）﹣1]⇒g（2x﹣1）＞g（x2﹣4），又由函数g（x）为增函数，则有2x﹣1＞x2﹣4，即x2﹣2x﹣3＜0解可得：﹣1＜x＜3，即实数x的取值范围为（﹣1，3）；故答案为：（﹣1，3）．三、解答题（本大题共6个小题，17题10分，其余各题各12分，共70分）17．（10分）已知过抛物线y2=8x的焦点，斜率为的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点．（1）求线段AB的长度；（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求λ的值．【解答】解：（1）直线AB的方程是y=2 （x﹣2），与y2=8x联立，消去y得x2﹣5x+4=0，由根与系数的关系得x1+x2=5．由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=9，（2）由x2﹣5x+4=0，得x1=1，x2=4，从而A（1，﹣2），B（4，4）．设=（x3，y3）=（1，﹣2）+λ（4，4）=（4λ+1，4λ﹣2），又y2=8x3，即[2（2λ﹣1）]2=8（4λ+1），即（2λ﹣1）2=4λ+1，解得λ=0或λ=2．18．（12分）已知关于x的二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．（Ⅰ）设集合A={﹣1，1，2}和B={﹣2，﹣1，1}，分别从集合A，B中随机取一个数作为a 和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．（Ⅱ）设点（a，b）是区域内的随机点，求函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．【解答】解：要使函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，需a＞0且，即a＞0且2b≤a．（Ⅰ）所有（a，b）的取法总数为3×3=9个．满足条件的（a，b）有（1，﹣2），（1，﹣1），（2，﹣2），（2，﹣1），（2，1）共5个，所以所求概率．（Ⅱ）如图，求得区域的面积为．由，求得．所以区域内满足a＞0且2b≤a的面积为．所以所求概率．19．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，E为AB的中点，PA⊥平面ABCD，且PA=2（1）在棱PD上求一点F，使AF∥平面PEC；（2）求二面角D﹣PE﹣A的余弦值．【解答】解：（1）以BD为x轴，CA为y轴，AC与BD的交点为O，过O作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系．A（0，1，0），，C（0，﹣1，0），，P（0，1，2），设，，，则=（）．设平面PEC的法向量为=（x，y，z），，，则，∴，取y=﹣1，得=（﹣，﹣1，1）．∵AF∥平面PEC，∴=﹣3λ+λ+2﹣2λ=0，解得，∴F为PD中点．（2）=（，，0），=（，﹣，0），设平面PEA的法向量=（x，y，z），则，取x=，得平面PEA的法向量=（，﹣3，0），设平面PED的法向量=（x，y，z），则，取x=，得=（），cos＜＞===﹣，由二面角D﹣PE﹣A为锐二面角，因此，二面角D﹣PE﹣A的余弦值为．20．（12分）已知函数f（x）=e x（ax+b）﹣x2﹣4x，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=e x（ax+b）﹣x2﹣4x，∴f′（x）=e x（ax+a+b）﹣2x﹣4，∵曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4∴f（0）=4，f′（0）=4∴b=4，a+b=8∴a=4，b=4；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=4e x（x+1）﹣x2﹣4x，f′（x）=4e x（x+2）﹣2x﹣4=4（x+2）（e x﹣），令f′（x）=0，得x=﹣ln2或x=﹣2∴x∈（﹣∞，﹣2）或（﹣ln2，+∞）时，f′（x）＞0；x∈（﹣2，﹣ln2）时，f′（x）＜0∴f（x）的单调增区间是（﹣∞，﹣2），（﹣ln2，+∞），单调减区间是（﹣2，﹣ln2）当x=﹣2时，函数f（x）取得极大值，极大值为f（﹣2）=4（1﹣e﹣2）．21．（12分）已知椭圆的两个焦点分别为，，点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点M（1，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设点N（3，2），记直线AN，BN 的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2为定值．【解答】解：（Ⅰ）依题意，，a2﹣b2=2，∵点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直，∴b=|OM|=1，∴．…（3分）∴椭圆的方程为．…（4分）（II）①当直线l的斜率不存在时，由解得．设，，则为定值．…（5分）②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=k（x﹣1）．将y=k（x﹣1）代入整理化简，得（3k2+1）x2﹣6k2x+3k2﹣3=0．…（6分）依题意，直线l与椭圆C必相交于两点，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．…（7分）又y1=k（x1﹣1），y2=k（x2﹣1），所以=====．．…．…（13分）综上得k1+k2为常数2..…．…（14分）22．（12分）设函数（1）当x∈（0，+∞），恒成立，求实数a的取值范围．（2）设g（x）=f（x）﹣x在[1，e2]上有两个极值点x1，x2．（A）求实数a的取值范围；（B）求证：．【解答】解：（1）∵，且x＞0，∴．令，则．①当a≤0时，U'（x）＞0，U（x）在（1，+∞）上为单调递增函数，∴x＞1时，U（x）＞U（1）=0，不合题意．②当0＜a＜2时，时，U'（x）＞0，U（x）在上为单调递增函数，∴，U（x）＞U（1）=0，不合题意．③当a＞2时，，U'（x）＜0，U（x）在上为单调递减函数．∴时，U（x）＞U（1）=0，不合题意．④当a=2时，x∈（0，1），U'（x）＞0，U（x）在（0，1）上为单调递增函数．x∈（1，+∞），U'（x）＜0，U（x）在（1，+∞）上为单调递减函数．∴U（x）≤0，符合题意．综上，a=2．（2），x∈[1，e2]．g'（x）=lnx﹣ax．令h（x）=g'（x），则由已知h（x）=0在（1，e2）上有两个不等的实根．（A）①当时，h'（x）≥0，h（x）在（1，e2）上为单调递增函数，不合题意．②当a≥1时，h'（x）≤0，h（x）在（1，e2）上为单调递减函数，不合题意．③当时，，h'（x）＞0，，h'（x）＜0，所以，h（1）＜0，，h（e2）＜0，解得．（B）证明：由已知lnx1﹣ax1=0，lnx2﹣ax2=0，∴lnx1﹣lnx2=a（x1﹣x2）．不妨设x1＜x2，则，则=．令，（0＜x＜1）．则，∴G（x）在（0，1）上为单调递增函数，∴即，∴，∴，∴，由（A），∴ae＜1，2ae＜2，∴．。

人教A版高二上学期数学期末试卷一、选择题1．已知命题p：若x＜﹣3，则x2﹣2x﹣8＞0，则下列叙述正确的是（）A．命题p的逆命题是：若x2﹣2x﹣8≤0，则x＜﹣3B．命题p的否命题是：若x≥﹣3，则x2﹣2x﹣8＞0C．命题p的否命题是：若x＜﹣3，则x2﹣2x﹣8≤0D．命题p的逆否命题是真命题2．抛物线的焦点坐标是（）A．（0，1）B．C．D．3．已知等比数列{a n}，a1＝1，，则a5＝（）A．B．C．D．4．在△ABC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，，A＝45°，B＝60°，则a ＝（）A．B．2C．4 D．65．若抛物线的焦点与椭圆的左焦点重合，则m的值为（）A．﹣B．C．﹣2 D．26．已知，，且，则x的值是（）A．6 B．5 C．4 D．37．若过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1＝0垂直，则m的值为（）A．2 B．0 C．10 D．﹣88．焦点在x轴上，虚轴长为12，离心率为的双曲线标准方程是（）A．B．C．D．9．“x≠0”是“x＞0”的（）A．充分而不必要B．充分必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件10．直线l过抛物线y2＝4x的焦点且与抛物线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2＝6，则线段AB长等于（）A．10 B．8 C．6 D．411．抛物线y＝2x2上两点A（x1，y1）、B（x2，y2）关于直线y＝x+m对称，且x1•x2＝﹣，则m等于（）A．B．2 C．D．312．已知定义在R上的函数y＝f（x）满足：函数y＝f（x﹣1）的图象关于直线x＝1对称，且当x∈（﹣∞，0），f（x）+xf′（x）＜0（f′（x）是函数f（x）的导函数）成立．若，b＝（ln2）•，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b二、填空题（本题包括4小题）13．已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，P是椭圆上异于顶点的一点，M在PF1上，且满足＝2，PO⊥F2M，O为坐标原点．则椭圆离心率e的取值范围．14．若函数e x f（x）（e＝2.71828是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数的序号为．①f（x）＝②f（x）＝③f（x）＝x3④f（x）＝x2+215．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+＝1的左、右焦点分别是F1，F2，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2，则点P到x轴的距离为．16．给出下列命题：①直线l的方向向量为＝（1，﹣1，2），直线m的方向向量＝（2，1，﹣），则l与m垂直；②直线l 的方向向量＝（0，1，﹣1），平面α的法向量＝（1，﹣1，﹣1），则l⊥α；③平面α、β的法向量分别为＝（0，1，3），＝（1，0，2），则α∥β；④平面α经过三点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），向量＝（1，u，t）是平面α的法向量，则u+t＝1．其中真命题的是．（把你认为正确命题的序号都填上）三、解答题17．已知双曲线的方程是16x2﹣9y2＝144．（1）求双曲线的实轴长和渐近线方程；（2）设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|•|PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．18．某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：日期1月10日2月10日3月10日4月10日5月10日6月10日昼夜温差10 11 13 12 8 6x（℃）22 25 29 26 16 12就诊人数y（人）该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．（1）求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；（2）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y关于x的线性回归方程y＝bx+a；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？19．如图，已知抛物线C：y2＝4x焦点为F，直线l经过点F且与抛物线C相交于A、B两点．（Ⅰ）若线段AB的中点在直线y＝2上，求直线l的方程；（Ⅱ）若|AB|＝20，求直线l的方程．20．已知关于x，y的方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m＝0．（1）当m为何值时，方程C表示圆．（2）若圆C与直线l：x+2y﹣4＝0相交于M，N两点，且MN＝，求m的值．21．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝2，E是BC中点．（1）求证：A1B∥平面AEC1；（2）在棱AA1上存在一点M，满足B1M⊥C1E，求平面MEC1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值．22．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PDC⊥平面ABCD，AD＝PD＝2，PB＝AB＝6．（Ⅰ）证明：BD⊥PA；（Ⅱ）求直线AP与平面PBC所成角的正弦值．参考答案一、选择题（本题包括12小题）1．已知命题p：若x＜﹣3，则x2﹣2x﹣8＞0，则下列叙述正确的是（）A．命题p的逆命题是：若x2﹣2x﹣8≤0，则x＜﹣3B．命题p的否命题是：若x≥﹣3，则x2﹣2x﹣8＞0C．命题p的否命题是：若x＜﹣3，则x2﹣2x﹣8≤0D．命题p的逆否命题是真命题【分析】根据四种命题之间的关系，对选项中的命题真假性进行判断即可．解：命题p：若x＜﹣3，则x2﹣2x﹣8＞0，则命题p的逆命题是：若x2﹣2x﹣8＞0，则x＜﹣3，故A错误；命题p的否命题是：若x≥﹣3，则x2﹣2x﹣8≤0，故B、C错误；因为命题p：若x＜﹣3，则x2﹣2x﹣8＞0是真命题，所以p的逆否命题也是真命题，D正确．故选：D．2．抛物线的焦点坐标是（）A．（0，1）B．C．D．【分析】先根据标准方程求出p值，判断抛物线x2＝2y的开口方向及焦点所在的坐标轴，从而写出焦点坐标．解：∵抛物线，即x2＝2y中，p＝1，＝，焦点在y轴上，开口向上，∴焦点坐标为（0，），故选：B．3．已知等比数列{a n}，a1＝1，，则a5＝（）A．B．C．D．【分析】设等比数列{a n}的公比为q，由a1＝1，，可得q2＝．即可得出a5＝．解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a1＝1，，∴q2＝．则a5＝＝1×＝．故选：D．4．在△ABC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，，A＝45°，B＝60°，则a ＝（）A．B．2C．4 D．6【分析】由已知利用正弦定理即可解得a的值．解：∵，A＝45°，B＝60°，∴由正弦定理，可得：a＝＝＝4．故选：C．5．若抛物线的焦点与椭圆的左焦点重合，则m的值为（）A．﹣B．C．﹣2 D．2【分析】先确定抛物线与椭圆的焦点坐标，根据抛物线的焦点与椭圆的左焦点重合，可建立方程，从而可求m的值解：抛物线的焦点坐标为椭圆，∵a2＝7，b2＝3，∴c2＝a2﹣b2＝4，∴椭圆的左焦点坐标为（﹣2，0）∵抛物线的焦点与椭圆的左焦点重合，∴∴故选：A．6．已知，，且，则x的值是（）A．6 B．5 C．4 D．3【分析】根据题意，由向量、的坐标，结合空间向量的数量积坐标计算公式可得•＝（﹣3）×1+2x+5×（﹣1）＝2x﹣8＝4，计算可得x的值，即可得答案．解：根据题意，，，若，则有•＝（﹣3）×1+2x+5×（﹣1）＝2x﹣8＝4，解可得x＝6，故选：A．7．若过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1＝0垂直，则m的值为（）A．2 B．0 C．10 D．﹣8【分析】求出AB所在直线的斜率，然后利用过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1＝0垂直求得m的值．解：∵A（﹣2，m），B（m，4），∴，直线2x+y﹣1＝0的斜率为﹣2，由过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1＝0垂直，得，解得：m＝2．故选：A．8．焦点在x轴上，虚轴长为12，离心率为的双曲线标准方程是（）A．B．C．D．【分析】由虚轴长是12求出半虚轴b，根据双曲线的性质c2＝a2+b2以及离心率然，求出a2，写出双曲线的标准方程．解：根据题意可知2b＝12，解得b＝6 ①又因为离心率e＝＝②根据双曲线的性质可得a2＝c2﹣b2 ③由①②③得，a2＝64双所以满足题意的双曲线的标准方程为：故选：D．9．“x≠0”是“x＞0”的（）A．充分而不必要B．充分必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：当x＝﹣1时，满足x≠0，但x＞0不成立，即充分性不成立，若x＞0，则x≠0一定成立，即必要性成立，故“x≠0”是“x＞0”的必要不充分条件，故选：C．10．直线l过抛物线y2＝4x的焦点且与抛物线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2＝6，则线段AB长等于（）A．10 B．8 C．6 D．4【分析】根据抛物线定义，把|AB|转化为点A、B到准线的距离之和，由梯形的中位线性质可求．解：由抛物线定义知，|FB|＝|BB′|，|AA′|＝|AF|，准线x＝﹣1，设M为AB中点，M（3，y），MN⊥A′B′，垂足为N点，如图所示：则|AB|＝（|AF|+|BF|）＝（|AA′|+|BB′|）＝2|MN|＝2[3﹣（﹣1）]＝8，故选：B．11．抛物线y＝2x2上两点A（x1，y1）、B（x2，y2）关于直线y＝x+m对称，且x1•x2＝﹣，则m等于（）A．B．2 C．D．3【分析】先利用条件得出A、B两点连线的斜率k，再利用A、B两点的中点在直线y＝x+m 求出关于m以及x2，x1的方程，再与已知条件联立求出实数m的值．解：由条件得A（x1，y1）、B（x2，y2）两点连线的斜率k＝，而y2﹣y1＝2（x22﹣x12）①，得x2+x1＝﹣②，且（，）在直线y＝x+m 上，即＝+m，即y2+y1＝x2+x1+2m③又因为A（x1，y1）、B（x2，y2）两点在抛物线y＝2x2上，所以有2（x22+x12）＝x2+x1+2m，：即2[（x2+x1）2﹣2x2x1]＝x2+x1+2m④，把①②代入④整理得2m＝3，解得m＝故选：A．12．已知定义在R上的函数y＝f（x）满足：函数y＝f（x﹣1）的图象关于直线x＝1对称，且当x∈（﹣∞，0），f（x）+xf′（x）＜0（f′（x）是函数f（x）的导函数）成立．若，b＝（ln2）•，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b【分析】由导数性质推导出当x∈（﹣∞，0）或x∈（0，+∞）时，函数y＝xf（x）单调递减．由此能求出结果．解：∵函数y＝f（x﹣1）的图象关于直线x＝1对称，∴y＝f（x）关于y轴对称，∴函数y＝xf（x）为奇函数．∵[xf（x）]'＝f（x）+xf'（x），∴当x∈（﹣∞，0）时，[xf（x）]'＝f（x）+xf'（x）＜0，函数y＝xf（x）单调递减，当x∈（0，+∞）时，函数y＝xf（x）单调递减．∵，，，，∴a＞b＞c．故选：A．二、填空题（本题包括4小题，每小题5分，共计20分）13．已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，P是椭圆上异于顶点的一点，M在PF1上，且满足＝2，PO⊥F2M，O为坐标原点．则椭圆离心率e的取值范围（，1）．【分析】直接利用圆锥曲线的定义的应用和不等式的应用求出结果．解：设点P（x0，y0），M（x M，y M），由于满足＝2，PO⊥F2M，所以．整理得，故：，即．联立消去y0，得到．解得或，由于﹣a＜x0＜a，所以，所以0＜a2﹣ac＜ac，解得e，故椭圆的离心率为（）．故答案为：（）14．若函数e x f（x）（e＝2.71828是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数的序号为①④．①f（x）＝②f（x）＝③f（x）＝x3④f（x）＝x2+2【分析】根据题意，对函数y＝e x f（x）求导，分析可得若函数f（x）具有M性质，必有f（x）+f′（x）＞0在f（x）的定义域上恒成立，据此分析所给的四个函数，验证f （x）+f′（x）＞0是否成立，综合即可得答案．解：根据题意，y＝e x f（x），其导数y′＝（e x）′f（x）+e x f′（x）＝e x[f（x）+f′（x）]，若函数f（x）具有M性质，必有y′≥0在函数f（x）的定义域上恒成立，必有f（x）+f′（x）＞0在f（x）的定义域上恒成立，据此分析所给的四个函数：对于①，f（x）＝＝（）x，其导数f′（x）＝（）x ln＝﹣ln2×，此时f （x）+f′（x）＝﹣ln2×＝（1﹣ln2）＞0，具有M性质，符合题意；对于②，f（x）＝＝（）x，其导数f′（x）＝（）x ln＝﹣ln3×，此时f （x）+f′（x）＝﹣ln3×＝（1﹣ln3）＜0，不具有M性质，不符合题意；对于③，f（x）＝x3，其导数f′（x）＝3x2，此时f（x）+f′（x）＝x3+3x2＝x2（x+3），不能满足f（x）+f′（x）＞0在f（x）在R上恒成立，不具有M性质，不符合题意；对于④，f（x）＝x2+2，其导数f′（x）＝2x，此时f（x）+f′（x）＝x2+2+2x＝（x+1）2+1＞0，具有M性质，符合题意；综合可得：具有M性质的函数为：①④；故答案为：①④．15．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+＝1的左、右焦点分别是F1，F2，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2，则点P到x轴的距离为．【分析】直接利用椭圆的定义的应用求出结果．解：根据椭圆的定义，知：|PF1|+|PF2|＝10，由于PF1⊥PF2，所以，故|PF1|•|PF2|＝42，所以，所以，解得d＝，故答案为：16．给出下列命题：①直线l的方向向量为＝（1，﹣1，2），直线m的方向向量＝（2，1，﹣），则l与m垂直；②直线l的方向向量＝（0，1，﹣1），平面α的法向量＝（1，﹣1，﹣1），则l⊥α；③平面α、β的法向量分别为＝（0，1，3），＝（1，0，2），则α∥β；④平面α经过三点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），向量＝（1，u，t）是平面α的法向量，则u+t＝1．其中真命题的是①④．（把你认为正确命题的序号都填上）【分析】①根据直线l、m的方向向量与垂直，得出l⊥m；②根据直线l的方向向量与平面α的法向量垂直，不能判断l⊥α；③根据平面α、β的法向量与不共线，不能得出α∥β；④求出向量与的坐标表示，再利用平面α的法向量，列出方程组求出u+t的值．解：对于①，∵＝（1，﹣1，2），＝（2，1，﹣），∴•＝1×2﹣1×1+2×（﹣）＝0，∴⊥，∴直线l与m垂直，①正确；对于②，＝（0，1，﹣1），＝（1，﹣1，﹣1），∴•＝0×1+1×（﹣1）+（﹣1）×（﹣1）＝0，∴⊥，∴l∥α或l⊂α，②错误；对于③，∵＝（0，1，3），＝（1，0，2），∴与不共线，∴α∥β不成立，③错误；对于④，∵点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），∴＝（﹣1，1，1），＝（﹣1，1，0），向量＝（1，u，t）是平面α的法向量，∴，即；则u+t＝1，④正确．综上，以上真命题的序号是①④．故答案为：①④．三、解答题（10+12+12+12+12+12＝70分）17．已知双曲线的方程是16x2﹣9y2＝144．（1）求双曲线的实轴长和渐近线方程；（2）设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|•|PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．【分析】（1）利用已知条件化简双曲线方程，然后求解即可．（2）利用双曲线的定义，结合已知条件，通过余弦定理转化求解即可．解：（1）由题知：，a＝3，b＝4，则长轴长为6，渐近线方程是y＝x．（2）||PF1|﹣|PF2||＝6，且|PF1|•|PF2|＝32，则cos∠F1PF2＝＝＝0．故∠F1PF2＝90°18．某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：日期1月10日2月10日3月10日4月10日5月10日6月10日昼夜温差10 11 13 12 8 6x（℃）22 25 29 26 16 12就诊人数y（人）该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．（1）求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；（2）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y关于x的线性回归方程y＝bx+a；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？【分析】（Ⅰ）本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从6组数据中选取2组数据共有C62种情况，满足条件的事件是抽到相邻两个月的数据的情况有5种，根据古典概型的概率公式得到结果．（Ⅱ）根据所给的数据，求出x，y的平均数，根据求线性回归方程系数的方法，求出系数b，把b和x，y的平均数，代入求a的公式，做出a的值，写出线性回归方程．（Ⅲ）根据所求的线性回归方程，预报当自变量为10和6时的y的值，把预报的值同原来表中所给的10和6对应的值做差，差的绝对值不超过2，得到线性回归方程理想．解：（Ⅰ）由题意知本题是一个古典概型，设抽到相邻两个月的数据为事件A，试验发生包含的事件是从6组数据中选取2组数据共有C62＝15种情况，每种情况都是等可能出现的其中，满足条件的事件是抽到相邻两个月的数据的情况有5种，∴P（A ）＝＝；（Ⅱ）由数据求得＝11，＝24，由公式求得＝＝＝，再由＝﹣b，求得＝﹣，∴y关于x的线性回归方程为＝x﹣，（Ⅲ）当x＝10时，＝，|﹣22|＝＜2，当x＝6时，＝，|﹣12|＝＜2，∴该小组所得线性回归方程是理想的．19．如图，已知抛物线C：y2＝4x焦点为F，直线l经过点F且与抛物线C相交于A、B两点．（Ⅰ）若线段AB的中点在直线y＝2上，求直线l的方程；（Ⅱ）若|AB|＝20，求直线l的方程．【分析】（I）利用“点差法”、中点坐标公式、斜率计算公式即可得出；（II）设直线l的方程为y＝k（x﹣1），与抛物线方程联立化为k2x2﹣（4+2k2）x+k2＝0，得到根与系数的关系，利用弦长公式|AB|＝x1+x2+p即可得到k．解：（I）设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点M（x0，2），则，，．由，，可得（y1+y2）（y1﹣y2）＝4（x1﹣x2），∴4k l＝4，解得k l＝1．由y2＝4x得焦点F（1，0）．∴直线l的方程为：y＝x﹣1．（II）设直线l的方程为y＝k（x﹣1），联立化为k2x2﹣（4+2k2）x+k2＝0，∴．∵|AB|＝x1+x2+p＝，解得k＝．∴直线l的方程为．20．已知关于x，y的方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m＝0．（1）当m为何值时，方程C表示圆．（2）若圆C与直线l：x+2y﹣4＝0相交于M，N两点，且MN＝，求m的值．【分析】（1）方程C可化为：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5﹣m，应有5﹣m＞0．（2）先求出圆心坐标和半径，圆心到直线的距离，利用弦长公式求出m的值．解：（1）方程C可化为：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5﹣m，显然，当5﹣m＞0时，即m＜5时，方程C表示圆．（2）圆的方程化为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5﹣m，圆心C（1，2），半径，则圆心C（1，2）到直线l：x+2y﹣4＝0 的距离为，∵，有，∴，解得m＝4．21．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝2，E是BC中点．（1）求证：A1B∥平面AEC1；（2）在棱AA1上存在一点M，满足B1M⊥C1E，求平面MEC1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值．【分析】（1）连结A1C交AC1于点O，连结EO，推导出EO∥A1B，由此能证明A1B∥平面AEC1．（2）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面MEC1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值．【解答】证明：（1）连结A1C交AC1于点O，连结EO，∵ACC1A1是正方形，∴O为A1C的中点，又E为CB的中点，∴EO∥A1B，∵EO⊂平面AEC1，A1B⊄平面AEC1，∴A1B∥平面AEC1．解：（2）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（2，0，0），B1（2，0，2），C（0，2，0），C1（0，2，2），E（1，1，0），设M（0，0，m），（0≤m≤2），则＝（﹣2，0，m﹣2），＝（1，﹣1，﹣2），∵B1M⊥C1E，∴＝﹣2﹣2（m﹣2）＝0，解得m＝1，∴M（0，0，1），＝（1，1，﹣1），＝（0，2，1），设平面MEC1的法向量＝（x，y，z），则，取y＝﹣1，得＝（3，﹣1，2），∵AC⊥平面ABB1A1，∴取平面ABB1A1的法向量为＝（0，2，0），∴cos＜＞＝＝﹣，∴平面MEC1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值为．22．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PDC⊥平面ABCD，AD＝PD＝2，PB＝AB＝6．（Ⅰ）证明：BD⊥PA；（Ⅱ）求直线AP与平面PBC所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）取PA的中点M，连结DM，BM，推导出DM⊥PA，BM⊥PA，从而PA⊥平面BDM，由此能证明BD⊥PA．（Ⅱ）过点P作PO⊥DC于点O，连结AO，交BD于H，推导出PO⊥平面ABCD，从而PO⊥BD，进而BD⊥平面PAO，以D为坐标原点，DA，DC所在的直线为x，y轴，建立空间直角坐标系，由此能求出直线AP与平面PBC所成角的正弦值．【解答】（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）取PA的中点M，连结DM，BM．由AD＝PD，得DM⊥PA，由PB＝AB，得BM⊥PA，∵DM∩BM＝M．∴PA⊥平面BDM．∵BD⊂平面BDM，∴BD⊥PA．解：（Ⅱ）在平面PDC中，过点P作PO⊥DC于点O，连结AO，交BD于H．∵平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝DC，∴PO⊥平面ABCD．∴PO⊥BD．由（1）及PA∩PO＝P，∴BD⊥平面PAO，∵AO⊂平面PAO，∴BD⊥AO在Rt△BAD中，tan∠ADB＝＝，即∠ADB＝60°．∴AH＝PH＝AD•sin60°＝3，DH＝AD cos60°＝．在Rt△DHO中，HO＝DH tan30°＝1，DO＝2．∴PO＝＝2．以D为坐标原点，DA，DC所在的直线为x，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（2，0，0），P（0，2，2），B（2，6，0），C（0，6，0）．＝（0，﹣4，2），＝（﹣2，﹣4，2）．设平面PBC的法向量是＝（x，y，z），则，取y＝1，得＝（0，1，）．设直线AP与平面PBC所成角为θ，又＝（2，﹣2，﹣2），则sinθ＝|cos＜＞|＝＝．∴直线AP与平面PBC所成角的正弦值为．。

2022-2023学年高中高二上数学期末考试学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 11 小题 ，每题 5 分 ，共计55分 ）1. 已知直线，：，若，则的值为（ ）A.B.C.D.或2. 已知等差数列的公差为，前项和为，则“”是“”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3. 已知四面体的每条棱长都等于，点，，分别是棱，，的中点，则等于（ ）A.B.C.D.4. 已知椭圆，若长轴长为，离心率为，则此椭圆的标准方程为( )A.B.C.:3x +2ay −5=0l 1l 2(3a −1)x −ay −2=0//l 1l 2a −1660−16{}a n d n S n d >0+>2S 4S 6S 5ABCD 2E F G AB AD DC ⋅GE −→−GF −→−1−14−4C :+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2812+=1x 264y248+=1x 264y 216+=1x 216y 24=122D.5. 已知向量，则向量在向量方向上的投影为 A.B.C.D.6. 若直线与曲线有交点，则的取值范围是（ ）A.B.C.D.7. 在同一直角坐标系中，反映直线与位置关系正确的是（ ）A.B.C.D.8. 从一个边长为的等边三角形开始，把三角形的每一条边三等分，并以每一条边三等分后的中段为边，向外作新的等边三角形（如图），但要去掉与原三角形叠合的边，接着对此图形每一个等边三角形“尖出”的部分继续上述过程．若按照上述规律，则第四个图形的周长是（ ）+=1x 216y 212=(−,1)，=(3,)a →3–√b →3–√b →a →()−3–√3–√−11y =kx +=1(x −)3–√2(|y|−1)2k [−,]3–√3–√[−1,1][−,]2–√22–√2[−,]3–√33–√3y =ax y =x +a 3143A.B.C.D.9. 设等差数列的前项和为，已知，，则下列结论正确的是（ ）A.，B.，C.，D.，10. 如图，在平行四边形中，，，点为的中点，若，则A.B.C.D.11. 下列说法正确的是（ ）A.椭圆上任意一点（非左右顶点）与左右顶点连线的斜率乘积为B.过双曲线焦点的弦中最短弦长为C.抛物线 上两点 则弦经过抛物线焦点的充要条件为D.若直线与圆锥曲线有一个公共点，则该直线和圆锥曲线相切二、 多选题 （本题共计 1 小题 ，共计5分 ）12. （5分） 如图所示，“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行．若用和分别表示椭圆轨道和的焦距，用和分别表示椭圆轨道和的长轴长，下列式子正确的是（ ）143320492569643{}a n n S n (−1+2019(−1)=1a 4)3a 4(−1+2019(−1)=−1a 2016)3a 2016=−2019S 2019>a 2016a 4=2019S 2019>a 2016a 4=−2019S 2019<a 2016a 4=2019S 2019<a 2016a 4ABCD AB =2AD =5–√F CD ⋅=0AF −→−DF −→−⋅=BF −→−AC −→−( )4321+=1x 2a 2y 2b 2−b 2a2−=1x 2a 2y 2b22b 2a =2px y 2A(,)x 1y 1B(,)x 2y 2AB =x 1x 2p 24P F I P F II 2c 12c 2I II 2a 12a 2I IIA.B.C.D.卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 抛物线上一个点（在轴上方）到焦点的距离是，此时点的坐标是________．14. 已知双曲线＝，过轴上点的直线与双曲线的右支交于，两点（在第一象限），直线交双曲线左支于点（为坐标原点），连接．若＝，＝，则该双曲线的渐近线方程为________．15. 已知圆，直线与圆相交于，两点，当钝角三角形的面积为时，则实数________．16. 如图，是边长为的等边三角形，是以为圆心，为半径的圆上的任意一点，则的最小值为________．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 已知数列的前项和 .求数列的通项公式；在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解该问题．若________，求数列的前项和 .18. 如图，将边长为的正方形沿对角线折起，使得平面平面，在折起后形成的三棱锥中，给出下列四种说法：① 是等边三角形；② ；③+=+a 1c 1a 2c 2−=−a 1c 1a 2c 2<c 1a 1c 2a 2>c 1a 2a 1c 2=8x y 2P P x 8P 1(a >0,b >0)x P M N M MO Q O QN ∠MPO 120∘∠MNQ 150∘C :+−4x −2y −20=0x 2y 23x +4y −a =0C A B ABC 12a =△ABC 23–√P C 1⋅AP −→−BP −→−{}a n n =S n n 2(1){}a n (2)=b n 8n (⋅)a n a n+12=⋅b n a n 2n =⋅b n (−1)n S n {}b n n T n 1ABCD AC ADC ⊥ABC D −ABC △DBC AC ⊥BD AB ⊥CD AD BC C60∘；④直线和所成的角的大小为．其中所有正确的序号是( )A. ①③B.②④C.①②③D.①②④19. 在平面直角坐标系中动圆与圆外切，与圆内切.求动圆圆心的轨迹方程；直线过点且与动圆圆心的轨迹交于，两点．是否存在面积的最大值，若存在，求出的面积的最大值；若不存在，说明理由．20. 如图，已知抛物线的焦点为，过的两条动直线，与抛物线交出，，，四点，直线，的斜率存在且分别是，．若直线过点，求直线与轴的交点坐标；若，求四边形面积的最小值．21. 在直四棱柱中，底面为正方形，，，，分别是，，的中点．证明：平面平面；求直线与平面所成角的正弦值．22. 已知双曲线的中心在原点，焦点，在坐标轴上，离心率为且双曲线过点求双曲线的方程；若点 在双曲线上，（其中 ，求 的值．AB ⊥CD AD BC C 60∘xOy P M ：(x +1+=1)2y 2N ：(x −1+=9)2y 2(1)P (2)l E(−1，0)P A B △AOB △AOB x 2=2py(p >0)F(0,1)F AB CD A B C D AB CD (>0)k 1k 1k 2(1)BD (0,3)AC y (2)−k 1k 2=2ACBD ABCD −A 1B 1C 1D 1ABCD A =2AB =4A 1M N P AD DD 1CC 1(1)MNC//A P D 1(2)DP MNC F 1F 22–√P(4,−)10−−√(1)(2)M (3,m)m <0)⋅MF 1−→−−MF 2−→−−参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二上数学期末考试一、 选择题 （本题共计 11 小题 ，每题 5 分 ，共计55分 ）1.【答案】D【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【解析】根据两直线平行的条件可知，．从而可求出的值．【解答】解：∵，∴．即．解得或．故选．2.【答案】C【考点】等差数列的性质【解析】此题暂无解析【解答】由要，可知当时，有，即，反之，若，则，所以“”是“”的充要条件，选．3.【答案】A【考点】空间向量的数量积运算向量在几何中的应用【解析】3(−a)−2a(3a −1)=0a //l 1l 23(−a)−2a(3a −1)=06+a =0a 2a =0a =−16D +−2=10+21d −2(5+10d)=d S 4S 6S 5a 1a 1d >0+−2>0S 4S 6S 5+>2S 4S 6S 5+>2S 4S 6S 5d >0d >0+>2S 4S 6S 5C此题暂无解析【解答】解：取的中点，连接，，如图所示，四面体的每条棱长都等于，点，，分别是棱，，的中点，所以，，，且，所以平面，又平面，所以，又 所以，又，所以所以.故选.4.【答案】D【考点】椭圆的标准方程【解析】由椭圆的离心率为，长轴长为及联立方程组求解，，则椭圆的方程可求.【解答】解：椭圆，长轴长为，离心率为，所以，，，因为，所以，，所以椭圆的标准方程为.故选．5.【答案】A【考点】向量的投影BD M AM CM ABCD 2E F G AB AD DC GF =AC =112AM ⊥BD CM ⊥BD AM ∩CM =M BM ⊥AMC AC ⊂ACM BD ⊥AC EF//BD,EF ⊥AC AC//FG FG ⊥EF;⋅=(+)GE −→−GF −→−GF −→−FE −→−⋅=+GF −→−GF −→−2⋅=+0=1FE −→−GF −→−12A 128−=a 2b 2c 2a b C ：+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 28122a =8a =4=c a 12−=a 2b 2c 2c =2b =23–√C +=1x 216y 212D根据向量的数量积公式得到向量在方向上的投影为它们的数量积除以的模．【解答】解：向量，则向量在方向上的投影为：.故选．6.【答案】A【考点】直线与圆的位置关系点到直线的距离公式直线与圆相交的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：时，曲线方程为 ，时，曲线方程为．当直线与曲线相切时，，则的取值范围是，故选．7.【答案】C【考点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系【解析】本题是一个选择题，按照选择题的解法来做题，由得斜率为排除、，由与中同号知若递增，则与轴的交点在轴的正半轴上；若递减，则与轴的交点在轴的负半轴上，得到结果．【解答】解：由得斜率为排除、，由与中同号知若递增，则与轴的交点在轴的正半轴上；若递减，则与轴的交点在轴的负半轴上；故选．8.b →a →a →=(−,1)，=(3,)a →3–√b →3–√b →a →||==−a →−23–√1+3−−−−√3–√A y ≥0+=1(x −)3–√2(y −1)2y <0+=1(x −)3–√2(y +1)2y =kx k =±3–√k [−,]3–√3–√A y =x +a 1B D y =ax y =x +a a y =ax y =x +a y y y =ax y =x +a y y y =x +a 1B D y =ax y =x +a a y =ax y =x +a y y y =ax y =x +a y y CD【考点】数列的应用【解析】设曲线的边长分别为，边长个数为，设周长为，，，，选．【解答】解：设曲线的边长分别为，边长个数为，设周长为，，，，.故选．9.【答案】D【考点】数列的函数特性等差数列的性质等差数列的前n 项和【解析】由，，设，．即，化为，可得．即．再利用等差数列的性质与前项和公式即可得出．【解答】解：∵，，∴，设，，则，化为.∵，∴，∴，∴．∵，又，∴，即.∵，,,,a 1a 2a 3a 4,,,b 1b 2b 3b 4(n =1,1,2,3,4)S n =3,=3a 1b 1=×=1,==,==,=3,=3×4,=3×4,=3×4×4a 2a 113a 313a 213a 413a 319b 1b 2b 3b 4=9,=12,=16,=S 1S 2S 3S 4643D ,,,a 1a 2a 3a 4,,,b 1b 2b 3b 4(n =1,2,3,4)S n =3,=3a 1b 1=×=1,==,==a 2a 113a 313a 213a 413a 319=3,=3×4,=3×4×4,=3×4×4×4b 1b 2b 3b 4=9,=12,=16,=S 1S 2S 3S 4643D y −1+2016(−1)=1a 4)3a 4(−1+2016(−1)=−1a 2013)3a 2013−1=m a 4−1=n a 2013+2016m ++2016n =0m 3n 3(m +n)(+−mn +2016)=0m 2n 2m +n =0+=2a 4a 2013n (−1+2019(−1)=1a 4)3a 4(−1+2019(−1)=−1a 2016)3a 2016(−1+2019(−1)+(−1+2019(−1)=0a 4)3a 4a 2016)3a 2016−1=m a 4−1=n a 2016+2019m ++2019n =0m 3n 3(m +n)(+−mn +2019)=0m 2n 2+−mn +2019>0m 2n 2m +n =−1+−1=0a 4a 2016+=2a 4a 2016===2019S 20192019(+)a 1a 201922019(+)a 4a 20162(−1+2019(−1)=(−1)[(−1+2019]=1a 4)3a 4a 4a 4)2(−1+2019>0a 4)2−1>0a 4>1a 4(−1+2019(−1)=(−1)[(−1+2019]=−1a 2016)3a 2016a 2016a 2016)2(−1+2019>0)2又，∴，即，∴.故选.10.【答案】C【考点】平面向量数量积的运算数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】由已知得到，以为坐标原点，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，求出，，，，即可得到，，再利用向量的数量积运算即可得解.【解答】解：因为，所以.因为，所以.因为为的中点，所以.因为，所以.以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系.则，，，，所以，，所以.故选.11.【答案】A,C【考点】椭圆的标准方程双曲线的特性【解析】(−1+2019>0a 2016)2−1<0a 2016<1a 2016>1>a 4a 2016D AB ⊥DF A AF y AB x A (0,0)B (2,0)C (1,2)F (0,2)=(−2,2)BF −→−=(1,2)AC −→−⋅=0AF −→−DF −→−AF ⊥DF AB//DC AF ⊥DF F CD DF =FC =AB =112AD =5–√AF ===2A −DF D 22−−−−−−−−−−√5−1−−−−√A AB x AF y A (0,0)B (2,0)C (1,2)F (0,2)=(−2,2)BF −→−=(1,2)AC −→−⋅=−2×1+2×2=2BF −→−AC −→−C数形结合；方程思想；数形结合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理． 直线和圆锥曲线相交带来的问题，只要联立方程，恰当利用韦达定理就可对四个选项做出判断．【解答】解：．正确；设椭圆的左右顶点分别为，，椭圆上除左右顶点以外的任意一点，①，又点在椭圆上， ，代入①，得，；．错误；设双曲线右焦点直线与双曲线右支相交于，，当直线斜率不存在时，则直线方程为，则．当直线斜率存在时，则直线方程为，联立，得，，得或，由焦半径公式可得,所以当直线与轴垂直时，的长为最小，即最小值为．特别的当直线斜率存在且为时，，所以最小值为或．．正确；充分性：当直线斜率存在时，设直线的方程为：,由，得，，又 ，，，或，直线方程为（舍）或，当时，．当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时，又因为，所以，弦经过焦点；必要性：当直线经过抛物线的焦点时，设过焦点的直线方程为，代入，可得，A A(−a,0)B(a,0)P(m,n)∴⋅=⋅=k PA k PB nm +a nm −a n 2−m 2a 2∵P(m,n)∴+=1m 2a 2n 2b 2∴=(1−)n 2m 2b 2b 2∴⋅=−k PA k PB b 2a 2B −=1x 2a 2y 2b 2F(c,0)A (,)x 1y 1B (,)x 2y 2AB AB x =c |AB|=2b 2a AB AB y =k(x −c) −=1x 2a 2y 2b 2y =k(x −c)(−)+2c x −−=0b 2a 2k 2x 2a 2k 2a 2k 2c 2a 2b 2 Δ>0+>0x 1x 2>0x 1x 2k >b a k <−b a |AB|=|AF|+|BF|=e (+)−2a x 1x 2=⋅−2a =−2a =−2a >−2a =c a 2c a 2k 2−a 2k 2b 22ac 2k 2−a 2k 2b 22ac 2−a 2b 2k 22c 2a 2b2aAB x |AB|2b 2a AB 0|AB|=2a |AB|2b 2a 2a C AB AB y =kx +b {y =kx +b=2px y 2+(2bk −2p)x +=0k 2x 2b 2∴⋅=x 1x 2b 2k 2∵=2px(p >0)y 2⋅=x 1x 2p 24∴=b 2k 2p 24∴k =2b p k =−2b p ∴AB y =x +b 2b p y =−x +b 2b p y =0x =p 2AB AB x =x 1=x 1x2=x 1x 2p 24==x 1x 2p 2∴= x 1x 2p 24AB AB F (,0)p 2AB x =my +p 2=2px y 2−2pmy −=0y 2p 2==2222由韦达定理得，，， 弦经过焦点． 抛物线上两点，，则弦经过抛物线焦点的充要条件为；．错误；当直线和抛物线的对称轴平行时，满足只有一个交点，但此时直线和抛物线是相交关系．故选．二、 多选题 （本题共计 1 小题 ，共计5分 ）12.【答案】B,D【考点】命题的真假判断与应用椭圆的应用椭圆的标准方程【解析】根据图象可知，，进而根据基本不等式的性质分别进行判断即可．可知；，进而判断①④不正确．③正确；根据，可知；【解答】解：由图可知，，∴，∴不正确，∵，，∴，∴正确．，可得，，即，∵，∴，∴正确；此时，∴不正确．故选.三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】抛物线的性质【解析】根据抛物线可知，准线方程为，进而根据抛物线的定义可知点到其焦点的距离等于点到其准线的距离，求得点的横坐标，代入抛物线方程即可求得纵坐标．【解答】=−y 1y 2p 2===x 1x 2y 21y 224p 2()y 1y 224p 2p 24∴AB x =x 1x 2p 24∴=2px y 2A (,)x 1y 1B (,)x 2y 2AB =x 1x 2p 24D AC >a 1a 2>c 1c 2+>+a 1c 1a 2c 2>c 1a 1c 2a 2−=|PF |a 1c 1−=|PF |a 2c 2−=−a 1c 1a 2c 2>a 1a 2>c 1c 2+>+a 1c 1a 2c 2A −=|PF |a 1c 1−=|PF |a 2c 2−=−a 1c 1a 2c 2B +=+a 1c 2a 2c 1(+=(+a 1c 2)2a 2c 1)2−+2=−+2a 21c 21a 1c 2a 22c 22a 2c 1+2=+2b 21a 1c 2b 22a 2c 1>b 1b 2>c 1a 2a 1c 2D >c 1a 1c 2a 2C BD (6,4)3–√=8x y 2p =4x =−2P P x =−2P =8x2解：根据抛物线，得，根据抛物线的定义可知点到其焦点的距离等于点到其准线的距离，则可得点的横坐标为，把代入抛物线方程，解得．因为在轴上方，所以点的坐标是．故答案为：．14.【答案】＝【考点】双曲线的离心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答15.【答案】或【考点】直线与圆的位置关系点到直线的距离公式【解析】利用圆心到直线距离与弦长、半径之间的关系表示出弦长和距离，三角形的面积用距离和弦长表示，最后用点到直线的距离公式求解未知数．【解答】解：设圆心到直线的距离为，直线被圆所截的弦长为，则；由圆的方程得知圆心为，半径，所以；所以，联立解出，或，；因为三角形为钝角三角形，所以，则．因为，所以或 ．故答案为：或．16.【答案】=8x y 2p =4P P x =−2P x =6x =6y =±43–√P x P (6,4)3–√(6,4)3–√y ±x−525d d l =dl S △ABC 12(2,1)r =5=25−()l 22d 2⋅=d 2()l 22122=9d 2(=16l 2)2=16d 2(=9l 2)2ABC <d 2()l 22=9d 2d ==3|3×2+4×1−a|+3242−−−−−−√a =−5a =25−5251【考点】向量的线性运算性质及几何意义平面向量数量积的运算相等向量与相反向量【解析】根据是边长为的等边三角形，算出，分别将和分解为以、和为基向量的式子，将数量积展开，化简整理得，最后研究的大小与方向，可得的最大、最小值，最终得到的取值范围．【解答】解：∵，，∴.∵，，∴.∵，∴.∵是边长为的等边三角形，∴向量是与垂直且方向向上，长度为的一个向量，由此可得，点在圆上运动，当与共线反向时，取最小值，且这个最小值为，故的最小值为.故答案为：.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：依题意，当时， ,当时，，当时，也满足上式，∴，.选条件①：由可得：，∴.选条件②：由可得 ，则,△ABC 23–√⋅=6AC −→−BC −→−AP −→−BP −→−AC −→−BC −→−CP −→−⋅AP −→−BP −→−⋅=7+(+)AP −→−BP −→−CP −→−AC −→−BC −→−+AC −→−BC −→−(+)CP −→−AC −→−BC −→−⋅AP −→−BP −→−==2|AC |−→−−−|BC |−→−−−3–√∠ACB =60∘⋅=2⋅2cos =6AC −→−BC −→−3–√3–√60∘=+AP −→−AC −→−CP −→−=+BP −→−BC −→−CP −→−⋅=(+)(+)AP −→−BP −→−AC −→−CP −→−BC −→−CP −→−=⋅+(+)+AC −→−BC −→−CP −→−AC −→−BC −→−CP −→−2=1|CP |−→−−−⋅=6+(+)+1AP −→−BP −→−CP −→−AC −→−BC −→−=7+(+)CP −→−AC −→−BC −→−△ABC 23–√+AC −→−BC −→−AB 6P C CP −→−+AC −→−BC −→−(+)CP −→−AC −→−BC −→−−6⋅AP −→−BP −→−7−6=11(1)n =1==1a 1S 1n ≥2=−=−=2n −1a n S n S n−1n 2(n −1)2n =1=1a 1=2n −1a n n ∈N ∗(2)(1)=b n 8n (⋅)a n a n+12=8n (2n −1)2(2n +1)2=−1(2n −1)21(2n +1)2=++⋯+T n b 1b 2b n =−+−+112132132152⋯+−1(2n −1)21(2n +1)2=1−1(2n +1)2(1)=⋅=(2n −1)b n a n 2n 2n =1×2+3×+5×+T n 2223⋯+(2n −3)⋅+(2n −1)⋅2n−12n 2=1×+3×+5×+234n+1,两式相减，可得： ，∴.选条件③：由可得 .当为偶数时，为奇数，，当为奇数时，为偶数，，综上所述，可得.【考点】数列递推式等差数列的通项公式数列的求和【解析】【解答】解：依题意，当时， ,当时，，当时，也满足上式，∴，.选条件①：由可得：，∴.选条件②：由可得 ，则,,两式相减，可得：，2=1×+3×+5×+T n 222324⋯+(2n −3)⋅+(2n −1)2n 2n+1−=2+2×+2×+T n 2223⋯+2⋅2n −(2n −1)2n+1=2+−(2n −1)⋅8−2n+21−22n+1=−6−(2n −3)⋅2n+1=6+(2n −3)⋅T n 2n+1(1)=⋅b n (−1)n =⋅S n (−1)n n 2(i)n n −1=++⋯+T n b 1b 2b n=−+−+12223242⋯−+(n −1)2n 2=(−)+(−)+⋯+[−]22124232n 2(n −1)2=3+7+⋯+2n −1=(3+2n −1)n 22=n (n +1)2(ii)n n −1=−=−=T n T n−1n 2n (n −1)2n 2−n (n +1)2=⋅T n (−1)n n (n +1)2(1)n =1==1a 1S 1n ≥2=−=−=2n −1a n S n S n−1n 2(n −1)2n =1=1a 1=2n −1a n n ∈N ∗(2)(1)=b n 8n (⋅)a n a n+12=8n (2n −1)2(2n +1)2=−1(2n −1)21(2n +1)2=++⋯+T n b 1b 2b n =−+−+112132132152⋯+−1(2n −1)21(2n +1)2=1−1(2n +1)2(1)=⋅=(2n −1)b n a n 2n 2n =1×2+3×+5×+T n 2223⋯+(2n −3)⋅+(2n −1)⋅2n−12n 2=1×+3×+5×+T n 222324⋯+(2n −3)⋅+(2n −1)2n 2n+1−=2+2×+2×+T n 2223⋯+2⋅2n −(2n −1)2n+1=2+−(2n −1)⋅8−2n+21−22n+1=−6−(2n −3)⋅2n+1=6+(2n −3)⋅n+1∴.选条件③：由可得 .当为偶数时，为奇数，，当为奇数时，为偶数，，综上所述，可得.18.【答案】D【考点】两条直线垂直的判定异面直线及其所成的角【解析】①因为 取中点，连接，，则，因为平面 平面，平面平面 ，所以 平面，所以 所以 ，故①正确；对于②，取的中点，连接，则，因为 又因为 ，所以 平面，又因为平面，所以 ；对于③可以采用反证法进行否定；对于④，以为坐标圆的建立空间坐标系，转化成向量的夹角处理．【解答】解：过作于，连接，由题意知：，∵平面平面，∴平面，∴，∴，即为等边三角形，①正确；∵为的中点，，∴，∴平面，平面，∴，②正确；假设.又因为，，所以平面，因为平面，所以，又知道，，所以 平面，这与空间中过一点有且只有一条直线与一个平面垂直矛盾，故③错．建立空间直角坐标系如图：=6+(2n −3)⋅T n 2n+1(1)=⋅b n (−1)n =⋅S n (−1)n n 2(i)n n −1=++⋯+T n b 1b 2b n=−+−+12223242⋯−+(n −1)2n 2=(−)+(−)+⋯+[−]22124232n 2(n −1)2=3+7+⋯+2n −1=(3+2n −1)n 22=n (n +1)2(ii)n n −1=−=−=T n T n−1n 2n (n −1)2n 2−n (n +1)2=⋅T n (−1)n n (n +1)2CD =BC AC E BE DE DE ⊥AC,BE ⊥AC,DE =BE =2–√2ACD ⊥ABC ADC∩ABC =AC DE ABC DE ⊥BE BD ==1D +B E 2E 2−−−−−−−−−−√AC E BE DE BE ⊥AC,DE ⊥AC DE ∩BE =E AC ⊥BDE BDC BDE AC ⊥BD E D DO ⊥AC O BO DO =BO =2–√2ADC ⊥ABC DO ⊥ABC DO ⊥BO BD =1△BCD O AC AB =BC BO ⊥AC AC ⊥BOD BD ⊂BOD AC ⊥BD AB ⊥CD AB ⊥BC BC ∩CD =C AB ⊥BCD BD ⊂BCD AB ⊥BD AC ⊥BD AB ∩AC =A BD ⊥ABC (−,,0)−→−–√–√(,0,)−→−–√–√则，，∴，，∴异面直线与所成的角是，∴④正确．综上，正确的序号为：①②④．故选19.【答案】解：设点，动圆的半径为，由题意知，，，∴．由椭圆定义可知，动圆圆心在以，为焦点的椭圆上，∴，，∴，轨迹方程为．由于圆与圆内切于点，则．因此，动圆圆心的轨迹方程为．因为直线过点，若直线的方程为，显然构成不了，故舍去；故可设直线的方程为，则整理得，由，设点，，则，，则，因为，设，则，则 ，设，，所以在区间上为增函数，所以，所以，当且仅当时取等号，即，=(−,,0)AB −→−2–√22–√2=(,0,)CD −→−2–√22–√2cos <AB −→−>=−CD −→−12AB CD 60∘D.(1)P (x,y)P r |PM |=r +1|PN |=3−r |PM |+|PN |=4>|MN |=2P M N a =2c ==1−a 2b 2−−−−−−√b =3–√+=1x 24y 23M N (−2,0)x ≠−2P +=1(x ≠−2)x 24y 23(2)l E (−1,0)l y =0△AOB l x =my −1{3+4=12，x 2y 2x =my −1，(3+4)−6my −9=0m 2y 2Δ=+36(3+4)(6m)2m 2=144(+1)m 2>0A (,)x 1y 1B (,)x 2y 2+=y 1y 26m3+4m 2=−y 1y 293+4m 2|−|=y 1y 2−4(+)y 1y 22y 1y 2−−−−−−−−−−−−−−√=−4×(−)()6m 3+4m 2293+4m 2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=12+1m 2−−−−−−√3+4m 2S △AOB =|OE |⋅|−|12y 1y 2=×1×1212+1m 2−−−−−−√3+4m 2t =≥1+1m 2−−−−−−√=−1m 2t 2==S △AOB 6t3(−1)+4t 26t3+1t 2=63t +1tg(t)=3t +1t (t)=g ′3−1t 2t 2g(t)[1,+∞)g =g(1)=4(t)min ≤S △AOB 32m =0=()S △AOB max 323因此，面积的最大值为.【考点】轨迹方程直线与椭圆结合的最值问题【解析】（1）设动圆圆，半径为）．利用已知条件转化判断动圆圆心在以，为焦点的椭圆上，求出，然后求解椭圆的方程；（2）设直线！的方程为或（舍）．联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理、弦长公式表示的面积，利用换元法和导数在函数最值中的应用即可求出结果．【解答】解：设点，动圆的半径为，由题意知，，，∴．由椭圆定义可知，动圆圆心在以，为焦点的椭圆上，∴，，∴，轨迹方程为．由于圆与圆内切于点，则．因此，动圆圆心的轨迹方程为．因为直线过点，若直线的方程为，显然构成不了，故舍去；故可设直线的方程为，则整理得，由，设点，，则，，则，因为，设，则，则 ，2△AOB 32加P (x,y)P M N a b x =my −1y =01AOB (1)P (x,y)P r |PM |=r +1|PN |=3−r |PM |+|PN |=4>|MN |=2P M N a =2c ==1−a 2b 2−−−−−−√b =3–√+=1x 24y 23M N (−2,0)x ≠−2P +=1(x ≠−2)x 24y 23(2)l E (−1,0)l y =0△AOB l x =my −1{3+4=12，x 2y 2x =my −1，(3+4)−6my −9=0m 2y 2Δ=+36(3+4)(6m)2m 2=144(+1)m 2>0A (,)x 1y 1B (,)x 2y 2+=y 1y 26m 3+4m 2=−y 1y 293+4m 2|−|=y 1y 2−4(+)y 1y 22y 1y 2−−−−−−−−−−−−−−√=−4×(−)()6m 3+4m 2293+4m 2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=12+1m 2−−−−−−√3+4m 2S △AOB =|OE |⋅|−|12y 1y 2=×1×1212+1m 2−−−−−−√3+4m 2t =≥1+1m 2−−−−−−√=−1m 2t 2==S △AOB 6t 3(−1)+4t 26t 3+1t 2=63t +1tt)=3−12设，，所以在区间上为增函数，所以，所以，当且仅当时取等号，即，因此，面积的最大值为.20.【答案】解：由题意可得抛物线方程为，设直线代入抛物线方程得，设，，，，，当时，得，，当时，，所以，直线方程是，令得，故直线与轴交点坐标是 ． ，设直线的方程是，代入得，设，，，，，则，点到的距离 ，点到的距离 ，，设，，则，所以在 上单调递减，在上单调递增，所以在内最小值，故当，时，．【考点】抛物线的标准方程抛物线的应用g(t)=3t +1t (t)=g ′3−1t 2t 2g(t)[1,+∞)g =g(1)=4(t)min ≤S △AOB 32m =0=()S △AOB max 32△AOB 32(1)=4y x 2y =kx +t −4kx −4t =0x 2A (,)x 1y 1B (,)x 2y 2C (,)x 3y 3D (,)x 4y 4>x 3x 4t =1=−4x 1x 2=−4x 3x 4t =3=−12x 2x 4=⋅=−x 1x 3−4x 2−4x 443AC y −=(x −)y 1+x 1x 34x 1x =0y =−=x 1x 3413AC y (0,)13(2)F (0,1)l y =kx +1=4y x 2−4kx −4=0x 2A (,)x 1y 1B (,)x 2y 2C (,)x 3y 3D (,)x 4y 4>x 3x 4{+=4,x 1x 2k 1=−4,x 1x 2{+=4,x 3x 4k 2=−4,x 3x 4|AB|=|+1++1|=|++4|=4(+1)y 1y 2k 1x 1k 1x 2k 12C AB ==d 1|−+1|k 1x 3y 31+k 12−−−−−−√−+1k 1x 3y 31+k 12−−−−−−√D AB ==d 2|−+1|k 1x 4y 41+k 12−−−−−−√−(−+1)k 1x 4y 41+k 12−−−−−−√S =|AB|(+)=2(+1)⋅12d 1d 2k 12(−)+(−)k 1x 3x 4y 4y 31+k 12−−−−−−√=2⋅(−)(−)1+k 12−−−−−−√k 1k 2x 3x 4=41+k 12−−−−−−√16+16k 22−−−−−−−−−√=16(1+)(−4+5)k 12k 12k 1−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√f (x)=(1+)(−4x +5)x 2x 2x >0(x)=4(−3+3x −1)=4f ′x 3x 2(x −1)3f (x)(0,1)(1,+∞)(0,+∞)f (x)f(1)=4=1k 1=−1k 2=32S min直线与抛物线结合的最值问题【解析】（1）平辱析】（2）抛物线方程为，设（五乃），（元小），（丏），；，石，直线代入抛物线、________方程，当时，得乃：，巧﹦，当时，得巧兀，进而可得互巧值为一- ，写出直线方程，令得________，进而得出结论；【解答】解：由题意可得抛物线方程为，设直线代入抛物线方程得，设，，，，，当时，得，，当时，，所以，直线方程是，令得，故直线与轴交点坐标是 ． ，设直线的方程是，代入得，设，，，，，则，点到的距离 ，点到的距离 ，，设，，则，所以在 上单调递减，在上单调递增，所以在内最小值，故当，时，．21.【答案】证明：因为，，分别是，，的中点，所以，．又平面，平面，所以平面，同理平面.又，所以平面平面．∼=4y 4B C μD(x y)>πy =lcc +t 4t =1X t =3AC x =031y =−43(1)=4y x 2y =kx +t −4kx −4t =0x 2A (,)x 1y 1B (,)x 2y 2C (,)x 3y 3D (,)x 4y 4>x 3x 4t =1=−4x 1x 2=−4x 3x 4t =3=−12x 2x 4=⋅=−x 1x 3−4x 2−4x 443AC y −=(x −)y 1+x 1x 34x 1x =0y =−=x 1x 3413AC y (0,)13(2)F (0,1)l y =kx +1=4y x 2−4kx −4=0x 2A (,)x 1y 1B (,)x 2y 2C (,)x 3y 3D (,)x 4y 4>x 3x 4{+=4,x 1x 2k 1=−4,x 1x 2{+=4,x 3x 4k 2=−4,x 3x 4|AB|=|+1++1|=|++4|=4(+1)y 1y 2k 1x 1k 1x 2k 12C AB ==d 1|−+1|k 1x 3y 31+k 12−−−−−−√−+1k 1x 3y 31+k 12−−−−−−√D AB ==d 2|−+1|k 1x 4y 41+k 12−−−−−−√−(−+1)k 1x 4y 41+k 12−−−−−−√S =|AB|(+)=2(+1)⋅12d 1d 2k 12(−)+(−)k 1x 3x 4y 4y 31+k 12−−−−−−√=2⋅(−)(−)1+k 12−−−−−−√k 1k 2x 3x 4=41+k 12−−−−−−√16+16k 22−−−−−−−−−√=16(1+)(−4+5)k 12k 12k 1−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√f (x)=(1+)(−4x +5)x 2x 2x >0(x)=4(−3+3x −1)=4f ′x 3x 2(x −1)3f (x)(0,1)(1,+∞)(0,+∞)f (x)f(1)=4=1k 1=−1k 2=32S min (1)M N P AD DD 1CC 1MN//AD 1CN//PD 1A ⊂D 1MNC MN ⊂MNC A //D 1MNC P //D 1MNC A ∩P =D 1D 1D 1MNC//A P D 1(2)解：以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，．设平面的法向量为，则令，得．设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为．【考点】平面与平面平行的判定用空间向量求直线与平面的夹角【解析】此题暂无解析【解答】证明：因为，，分别是，，的中点，所以，．又平面，平面，所以平面，同理平面.又，所以平面平面．解：以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，．设平面的法向量为，(2)D D −xyz D (0,0,0)P (0,2,2)M (1,0,0)N (0,0,2)C (0,2,0)=(0,2,2)DP −→−=(−1,0,2)MN −→−=(−1,2,0)MC −→−MNC =(x,y,z)n → ⋅=−x +2z =0，MN −→−n →⋅=−x +2y =0，MC −→−n →z =1=(2,1,1)n →DP MNC θsin θ=|cos , |==DP −→−n →|⋅|DP −→−n →||||DP −→−n →3–√3DP MNC 3–√3(1)M N P AD DD 1CC 1MN//AD 1CN//PD 1A ⊂D 1MNC MN ⊂MNC A //D 1MNC P //D 1MNC A ∩P =D 1D 1D 1MNC//A P D 1(2)D D −xyz D (0,0,0)P (0,2,2)M (1,0,0)N (0,0,2)C (0,2,0)=(0,2,2)DP −→−=(−1,0,2)MN −→−=(−1,2,0)MC −→−MNC =(x,y,z)n → =−x +2z =0，−→−则令，得．设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为．22.【答案】解：∵，∴可设双曲线的方程，∵双曲线过点，∴，即，∴双曲线的方程.∵∴∵点在双曲线上， ，即，∴．【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题双曲线的标准方程【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，∴可设双曲线的方程，∵双曲线过点，∴，即，∴双曲线的方程.∵∴∵点在双曲线上， ，即，∴． ⋅=−x +2z =0，MN −→−n →⋅=−x +2y =0，MC −→−n →z =1=(2,1,1)n →DP MNC θsin θ=|cos , |==DP −→−n →|⋅|DP −→−n →||||DP −→−n →3–√3DP MNC 3–√3(1)e =2–√−=λx 2y 2P(4,−)10−−√16−10=λλ=6−=6x 2y 2(2)=(−3−2,−m),MF 1−→−−3–√MF 2−→−−=(2−3,−m)3–√⋅=(−3−2)×(2−3)MF 1−→−−MF 2−→−−3–√3–√+=−3+m 2m 2M ∴9−=6m 2−3=0m 2⋅=0MF 1−→−−MF 2−→−−(1)e =2–√−=λx 2y 2P(4,−)10−−√16−10=λλ=6−=6x 2y 2(2)=(−3−2,−m),MF 1−→−−3–√MF 2−→−−=(2−3,−m)3–√⋅=(−3−2)×(2−3)MF 1−→−−MF 2−→−−3–√3–√+=−3+m 2m 2M ∴9−=6m 2−3=0m 2⋅=0MF 1−→−−MF 2−→−−。

高二（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）在等差数列51、47、43，…中，第一个负数项为（）A．第13项 B．第14项 C．第15项 D．第16项2．（5分）在△ABC中，已知a2=b2+c2+bc，则角A为（）A．B．C． D．或3．（5分）已知命题p：∅⊆{0}，q：{1}∈{1，2}，由它们组成的“p∨q”，“p∧q”和“¬p”形式的复合命题中，真命题有（）个．A．0 B．1 C．2 D．34．（5分）双曲线=﹣1的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x5．（5分）在△ABC中，a=8，B=60°，C=75°，则b=（）A．B．C．D．6．（5分）设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（）A．8 B．4 C．1 D．7．（5分）如果等差数列{a n}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…+a7=（）A．14 B．21 C．28 D．358．（5分）准线方程为x=1的抛物线的标准方程是（）A．y2=﹣2x B．y2=﹣4x C．y2=2x D．y2=4x9．（5分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则p的值为（）A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．410．（5分）”m＞n＞0”是”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件11．（5分）已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么函数f（x）的图象最有可能的是（）A．B．C．D．12．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+2y的最大值为（）A．12 B．10 C．8 D．2二、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）数列{a n}的通项公式是a n=（n∈N*），则a3=．14．（5分）求y=x3+3x2+6x﹣10的导数y′=．15．（5分）若在△ABC中，∠A=60°，b=1，S△ABC=，则=．16．（5分）有下列命题：①（log a x）；②（cosx）′=﹣sinx；③（）；其中是真命题的有：．（把你认为正确命题的序号都填上）三、解答题（本大题共7小题，满分70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是．（1）求sinC的值；（2）求△ABC的面积．18．（12分）命题p：方程x2+mx+1=0有两个不等的正实数根；命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实数根，若“p或q”为真命题，求m的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+x+b，其中a，b∈R，a≠0，又y=f（x）在x=1处的切线方程为2x+y+1=0，求函数f（x）的解析式．20．（12分）已知函数f（x）=x3﹣3x，求函数f（x）在[﹣3，]上的最大值和最小值．21．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=2a n﹣2n（n∈N+），令b n=．（1）求证：数列{b n}为等差数列；（2）求数列{a n}的通项公式．22．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P 在此椭圆上，且PF1⊥F1F2，|PF1|=，|PF2|=．（1）求椭圆的方程；（2）若直线l过圆x2+y2+4x﹣2y=0的圆心M且交椭圆于A，B两点，且A，B关于点M对称，求直线l的方程．23．（理科）如图，在三棱锥A﹣BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD=，BD=CD=1，另一个侧面ABC是正三角形．（1）求证：AD⊥BC；（2）求二面角B﹣AC﹣D的余弦值．2017-2018学年甘肃省白银市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）在等差数列51、47、43，…中，第一个负数项为（）A．第13项 B．第14项 C．第15项 D．第16项【解答】解：因为数列51、47、43，…为等差数列，所以公差d=47﹣51=﹣4，首项为51，所以通项a n=51+（n﹣1）×（﹣4）=55﹣4n所以令55﹣4n＜0解得n＞，因为n为正整数，所以最小的正整数解为14，所以第一个负数项为第14项故选B2．（5分）在△ABC中，已知a2=b2+c2+bc，则角A为（）A．B．C． D．或【解答】解：由a2=b2+c2+bc，则根据余弦定理得：cosA===﹣，因为A∈（0，π），所以A=．故选C3．（5分）已知命题p：∅⊆{0}，q：{1}∈{1，2}，由它们组成的“p∨q”，“p∧q”和“¬p”形式的复合命题中，真命题有（）个．A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：因为∅⊆{0}，所以命题p为真．因为：{1}⊆{1，2}，所以命题q为假．所以p∨q为真，p∧q为假，¬p为假．故真命题的个数为1个．故选B．4．（5分）双曲线=﹣1的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【解答】解：化已知双曲线的方程为标准方程，可知焦点在y轴，且a=3，b=2，故渐近线方程为y==故选A5．（5分）在△ABC中，a=8，B=60°，C=75°，则b=（）A．B．C．D．【解答】解：由内角和定理得：A=180°﹣60°﹣75°=45°，根据正弦定理得：=，又a=8，sinA=，sinB=，则b===4．故选C6．（5分）设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（）A．8 B．4 C．1 D．【解答】解：因为3a•3b=3，所以a+b=1，，当且仅当即时“=”成立，故选择B．7．（5分）如果等差数列{a n}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…+a7=（）A．14 B．21 C．28 D．35【解答】解：a3+a4+a5=3a4=12，a4=4，∴a1+a2+…+a7==7a4=28故选C8．（5分）准线方程为x=1的抛物线的标准方程是（）A．y2=﹣2x B．y2=﹣4x C．y2=2x D．y2=4x【解答】解：由题意可知：=1，∴p=2且抛物线的标准方程的焦点在x轴的负半轴上故可设抛物线的标准方程为：y2=﹣2px将p代入可得y2=﹣4x．故选：B．9．（5分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则p的值为（）A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4【解答】解：由椭圆a=，b=，c2=a2﹣c2=4，则椭圆的焦点右焦点F（2，0），由抛物线y2=2px的焦点，则=2，则p=4，故选：D．10．（5分）”m＞n＞0”是”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：将方程mx2+ny2=1转化为，根据椭圆的定义，要使焦点在y轴上必须满足，且，即m＞n＞0反之，当m＞n＞0，可得出＞0，此时方程对应的轨迹是椭圆综上证之，”m＞n＞0”是”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的充要条件故选C．11．（5分）已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么函数f（x）的图象最有可能的是（）A．B．C．D．【解答】解：由导函数图象可知，f（x）在（﹣∞，﹣2），（0，+∞）上单调递减，在（﹣2，0）上单调递增，故选A．12．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+2y的最大值为（）A．12 B．10 C．8 D．2【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=4x+2y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C时，直线y=﹣2x+的截距最大，此时z最大．由，解得，即C（2，1），代入目标函数z=4x+2y得z=4×2+2×1=10．即目标函数z=4x+2y的最大值为10．故选：B二、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）数列{a n}的通项公式是a n=（n∈N*），则a3=．【解答】解：∵a n=（n∈N*），∴a3==，故答案为：．14．（5分）求y=x3+3x2+6x﹣10的导数y′=3x2+6x+6，．【解答】解：函数的导数为y′=3x2+6x+6，故答案为：3x2+6x+6，15．（5分）若在△ABC中，∠A=60°，b=1，S△ABC=，则=．【解答】解：由∠A=60°，得到sinA=，cosA=，=，又b=1，S△ABC∴bcsinA=×1×c×=，解得c=4，根据余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=1+16﹣4=13，解得a=，根据正弦定理====，则=．故答案为：16．（5分）有下列命题：①（log a x）；②（cosx）′=﹣sinx；③（）；其中是真命题的有：②．（把你认为正确命题的序号都填上）【解答】解：①（log a x）′=；故①错误，②（cosx）′=﹣sinx；故②正确，③（）′=，故③错误，故真命题为②，故答案为：②三、解答题（本大题共7小题，满分70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是．（1）求sinC的值；（2）求△ABC的面积．【解答】解：（1）在△ABC中，cosA=．B=则：sinA=，所以：sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，=．（2）利用正弦定理得：，由于：B=，b=，sinA=，解得：a=，所以：，=．18．（12分）命题p：方程x2+mx+1=0有两个不等的正实数根；命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实数根，若“p或q”为真命题，求m的取值范围．【解答】解：∵“p或q”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题，当p为真命题时，则，解得m＜﹣2，当q为真命题时，则△=16（m+2）2﹣16＜0，得﹣3＜m＜﹣1．当p真q假时，得m≤﹣3．当q真p假时，得﹣2≤m＜﹣1．当p真q真时，﹣3＜m＜﹣2综上，m＜﹣1．∴m的取值范围是（﹣∞，﹣1）．19．（12分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+x+b，其中a，b∈R，a≠0，又y=f（x）在x=1处的切线方程为2x+y+1=0，求函数f（x）的解析式．【解答】解：函数f（x）=ax3﹣3x2+x+b，则：f′（x）=3ax2﹣6x+1，由于：y=f（x）在x=1处的切线方程为2x+y+1=0，则：f′（1）=﹣2，即：3a﹣6+1=﹣2，解得：a=1．又：当x=1时，y=﹣3，则（1，﹣3）满足函数f（x）=x3﹣3x2+x+b，解得：b=﹣2．故函数的解析式为：f（x）=x3﹣3x2+x﹣2．20．（12分）已知函数f（x）=x3﹣3x，求函数f（x）在[﹣3，]上的最大值和最小值．【解答】解：f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1），令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜﹣1，令f′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜1，故f（x）在[﹣3，﹣1）递增，在（﹣1，1）递减，在（1，]递增，而f（﹣3）=﹣27+9=﹣18，f（﹣1）=2，f（1）=﹣2，f（）=﹣，故函数的最大值是2，最小值是﹣18．21．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=2a n﹣2n（n∈N+），令b n=．（1）求证：数列{b n}为等差数列；（2）求数列{a n}的通项公式．【解答】（1）证明：由S n=2a n﹣2n（n∈N+），n=1时，a1=S1=2a1﹣2，解得a1=2．n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2n﹣（），化为：a n﹣2a n﹣1=2n﹣1，化为：﹣=．令b n=．=，b1==1．则b n﹣b n﹣1∴数列{b n}为等差数列，首项为1，公差为．（2）解：由（1）可得：b n=1+（n﹣1）==．∴a n=（n+1）•2n﹣1．22．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P 在此椭圆上，且PF1⊥F1F2，|PF1|=，|PF2|=．（1）求椭圆的方程；（2）若直线l过圆x2+y2+4x﹣2y=0的圆心M且交椭圆于A，B两点，且A，B关于点M对称，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）因为点P在椭圆C上，所以2a=|PF1|+|PF2|=6，a=3．在Rt△PF1F2中，，故椭圆的半焦距c=，从而b2=a2﹣c2=4，所以椭圆C的方程为=1．（Ⅱ）解法一：设A，B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）．已知圆的方程为（x+2）2+（y﹣1）2=5，所以圆心M的坐标为（﹣2，1）．从而可设直线l的方程为y=k（x+2）+1，代入椭圆C的方程得（4+9k2）x2+（36k2+18k）x+36k2+36k﹣27=0．因为A，B关于点M对称．所以．解得，所以直线l的方程为，即8x﹣9y+25=0．（经检验，所求直线方程符合题意）（Ⅱ）解法二：已知圆的方程为（x+2）2+（y﹣1）2=5，所以圆心M的坐标为（﹣2，1）．设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）．由题意x1≠x2且，①，②由①﹣②得．③因为A、B关于点M对称，所以x1+x2=﹣4，y1+y2=2，代入③得=，即直线l的斜率为，所以直线l的方程为y﹣1=（x+2），即8x﹣9y+25=0．（经检验，所求直线方程符合题意．）23．（理科）如图，在三棱锥A﹣BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD=，BD=CD=1，另一个侧面ABC是正三角形．（1）求证：AD⊥BC；（2）求二面角B﹣AC﹣D的余弦值．【解答】证明：（1）方法一：作AH⊥面BCD于H，连DH．AB⊥BD，HB⊥BD，又AD=，BD=1，∴AB==BC=AC，∴BD⊥DC，又BD=CD，则BHCD是正方形，则DH⊥BC，∴AD⊥BC．方法二：取BC的中点O，连AO、DO，则有AO⊥BC，DO⊥BC，∴BC⊥面AOD，∴BC⊥AD（2）作BM⊥AC于M，作MN⊥AC交AD于N，则∠BMN就是二面角B﹣AC﹣D的平面角，因为AB=AC=BC=，∵M是AC的中点，则BM=，MN=CD=，BN=AD=，由余弦定理可求得cos∠BMN=，∴二面角B﹣AC﹣D的余弦值为．。

人教版高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）“x＞2”是“x＞3”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．（5分）命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是（）A．所有不能被2整除的整数都是偶数B．所有能被2整除的整数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的整数是偶数D．存在一个能被2整除的整数不是偶数3．（5分）设a，b，c都是实数．已知命题p：若a＞b，则a+c＞b+c；命题q：若a＞b＞0，则ac＞bc．则下列命题中为真命题的是（）A．（¬p）∨q B．p∧q C．（¬p）∧（¬q）D．（¬p）∨（¬q）4．（5分）双曲线=﹣1的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x5．（5分）椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（）A．B．C．2 D．46．（5分）已知M（﹣2，0），N（2，0），|PM|﹣|PN|=4，则动点P的轨迹是（）A．一条射线B．双曲线C．双曲线左支D．双曲线右支7．（5分）若方程Ax2+By2=1表示焦点在y轴上的双曲线，则A、B满足的条件是（）A．A＞0，且B＞0 B．A＞0，且B＜0 C．A＜0，且B＞0 D．A＜0，且B＜08．（5分）在等比数列{a n}，a3=2，a7=32，则q=（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．49．（5分）方程2x2﹣5x+2=0的两个根可分别作为的离心率．（）A．椭圆和双曲线B．两条抛物线C．椭圆和抛物线D．两个椭圆10．（5分）已知a＜b＜0，则下列式子中恒成立的是（）A．B．C．a2＜b2D．11．（5分）不等式x2﹣ax﹣b＜0的解为2＜x＜3，则a，b值分别为（）A．a=2，b=3 B．a=﹣2，b=3 C．a=5，b=﹣6 D．a=﹣5，b=612．（5分）已知A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），则向量与的夹角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°二．空题（4&#215;5=20）．13．（5分）抛物线y=4x2的焦点坐标是．14．（5分）14．已知=（1，2，﹣2），=（1，0，﹣1），求（﹣2））=．15．（5分）在△ABC中，若c2=a2+b2+ab，则∠C=．16．（5分）已知双曲线的一个焦点为F（0，2），则m=．三、解答题（共5小题，满分70分）17．（12分）已知平面π1的法向量为=（1，2，3）平面π2的法向量为=（﹣1，0，2）求两个平面夹角的余弦值．18．（12分）写出适合条件的双曲线的标准方程：（1）a=3，b=4焦点在x轴上；（2）焦点为（0，5），（0，﹣5）经过点（2，）．19．（16分）已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且经过点M（4，1），直线l：y=x+m交椭圆于不同的两点A，B．（1）求椭圆的方程；（2）求m的取值范围．20．（16分）如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．求证：（1）直线EF∥面ACD；（2）平面EFC⊥面BCD．21．（14分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC．（1）求角B的大小；（2）当a=3，c=2时，求△ABC的面积．人教版高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）“x＞2”是“x＞3”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当x=时，满足x＞2，但x＞3不成立，即充分性不成立，若x＞3，则x＞2，即必要性成立，则“x＞2”是“x＞3”的必要不充分条件，故选：B．2．（5分）命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是（）A．所有不能被2整除的整数都是偶数B．所有能被2整除的整数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的整数是偶数D．存在一个能被2整除的整数不是偶数【解答】解：命题“所有能被2整除的数都是偶数”是一个全称命题其否定一定是一个特称命题，故排除A，B结合全称命题的否定方法，我们易得命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定应为“存在一个能被2整除的整数不是偶数”故选：D3．（5分）设a，b，c都是实数．已知命题p：若a＞b，则a+c＞b+c；命题q：若a＞b＞0，则ac＞bc．则下列命题中为真命题的是（）A．（¬p）∨q B．p∧q C．（¬p）∧（¬q）D．（¬p）∨（¬q）【解答】解：∵命题p：若a＞b，则a+c＞b+c是真命题，则￢p为假命题，命题q：若a＞b＞0，则ac＞bc是假命题，￢q是真命题，∴（¬p）∨q为假命题，p∧q为假命题，（¬p）∧（¬q）为假命题，（¬p）∨（¬q）为真命题故选：D．4．（5分）双曲线=﹣1的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【解答】解：化已知双曲线的方程为标准方程，可知焦点在y轴，且a=3，b=2，故渐近线方程为y==故选A5．（5分）椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（）A．B．C．2 D．4【解答】解：椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，∴，故选A．6．（5分）已知M（﹣2，0），N（2，0），|PM|﹣|PN|=4，则动点P的轨迹是（）A．一条射线B．双曲线C．双曲线左支D．双曲线右支【解答】解：如果是双曲线，那么|PM|﹣|PN|=4=2aa=2而两个定点M（﹣2，0），N（2，0）为双曲线的焦点c=2而在双曲线中c＞a所以把后三个关于双曲线的答案全部排除，故选A．7．（5分）若方程Ax2+By2=1表示焦点在y轴上的双曲线，则A、B满足的条件是（）A．A＞0，且B＞0 B．A＞0，且B＜0 C．A＜0，且B＞0 D．A＜0，且B＜0【解答】解：方程Ax2+By2=1化成：，∵方程Ax2+By2=1表示焦点在y轴上的双曲线，∴即A＜0，且B＞0故选C．8．（5分）在等比数列{a n}，a3=2，a7=32，则q=（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．4【解答】解：设等比数列的公比为q，首项为a1则由题意可得两式相除可得，即q4=16∴q=±2故选C9．（5分）方程2x2﹣5x+2=0的两个根可分别作为的离心率．（）A．椭圆和双曲线B．两条抛物线C．椭圆和抛物线D．两个椭圆【解答】解：∵2x2﹣5x+2=0，∴解得方程的两个根为x1=2，x2=．∵x1=2∈（1，+∞），∴x1可作为双曲线的离心率；∵x2=∈（0，1），∴x2可作为椭圆的离心率．故选：A．10．（5分）已知a＜b＜0，则下列式子中恒成立的是（）A．B．C．a2＜b2D．【解答】解：∵a＜b＜0，不放令a=﹣3，b=﹣2，则﹣＞﹣，可排除A；（﹣3）2＞（﹣2）2，可排除C；=＞1，可排除D；而﹣＞﹣，即，B正确．故选B．11．（5分）不等式x2﹣ax﹣b＜0的解为2＜x＜3，则a，b值分别为（）A．a=2，b=3 B．a=﹣2，b=3 C．a=5，b=﹣6 D．a=﹣5，b=6【解答】解：[解法一]∵不等式x2﹣ax﹣b＜0的解为2＜x＜3，∴一元二次方程x2﹣ax﹣b=0的根为x1=2，x2=3，根据根与系数的关系可得：，所以a=5，b=﹣6；[解法二]∵不等式x2﹣ax﹣b＜0的解为2＜x＜3，∴不等式x2﹣ax﹣b＜0与（x﹣2）（x﹣3）＜0解集相同即x2﹣ax﹣b＜0与x2﹣5x+6＜0解集相同，所以==，可得a=5，b=﹣6故选C12．（5分）已知A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），则向量与的夹角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：因为A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），所以，所以═0×（﹣1）+3×1+3×0=3，并且||=3，||=，所以cos＜，＞==，∴的夹角为60°故选C．二．空题（4&#215;5=20）．13．（5分）抛物线y=4x2的焦点坐标是．【解答】解：由题意可知∴p=∴焦点坐标为故答案为14．（5分）14．已知=（1，2，﹣2），=（1，0，﹣1），求（﹣2））=17．【解答】解：∵=（1，2，﹣2），=（1，0，﹣1），∴=（﹣1，2，0），=（3，4，﹣5），∴（﹣2））=﹣3+8+0=5．故答案为：5．15．（5分）在△ABC中，若c2=a2+b2+ab，则∠C=120°．【解答】解：∵c2=a2+b2+ab，可得：﹣ab=a2+b2﹣c2，∴cosC===﹣，∵∠C∈（0°，180°），∴∠C=120°．故答案为：120°．16．（5分）已知双曲线的一个焦点为F（0，2），则m=﹣1．【解答】解：∵双曲线上午一个焦点为（0，2）∴双曲线在y轴上则双曲线方程为：c=2∵c2=a2﹣b 2∴4=﹣3m+（﹣m）解得：m=﹣1故答案为﹣1．三、解答题（共5小题，满分70分）17．（12分）已知平面π1的法向量为=（1，2，3）平面π2的法向量为=（﹣1，0，2）求两个平面夹角的余弦值．【解答】解：∵平面π1的法向量为=（1，2，3）平面π2的法向量为=（﹣1，0，2），∴cos＜＞===．∴两个平面夹角的余弦值为．18．（12分）写出适合条件的双曲线的标准方程：（1）a=3，b=4焦点在x轴上；（2）焦点为（0，5），（0，﹣5）经过点（2，）．【解答】解：（1）根据题意，因为要求双曲线的焦点在x轴上，则可设双曲线的标准方程﹣=1，又因为a=3，b=4，所以其标准方程为﹣=1；（2）根据题意，因为双曲线的焦点为（0，5），（0，﹣5），所以双曲线的焦点在y轴上，又由双曲线经过点（2，），则有2a=|﹣|=6，则a=3，又由c=5，则b==4，则双曲线的标准方程为：﹣=1．19．（16分）已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且经过点M（4，1），直线l：y=x+m交椭圆于不同的两点A，B．（1）求椭圆的方程；（2）求m的取值范围．【解答】解：（1）由，得，∴a2=4b2，依题意设椭圆方程为：，把点（4，1）代入得b2=5，∴椭圆方程为；（2）联立，得5x2+8mx+4m2﹣20=0．由△=64m2﹣20（4m2﹣20）=400﹣16m2＞0，解得﹣5＜m＜5．∴m的取值范围是（﹣5，5）．20．（16分）如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．求证：（1）直线EF∥面ACD；（2）平面EFC⊥面BCD．【解答】证明：（1）∵E，F分别是AB，BD的中点．∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD，∵EF⊄面ACD，AD⊂面ACD，∴直线EF∥面ACD；（2）∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD，∵CB=CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD又EF∩CF=F，∴BD⊥面EFC，∵BD⊂面BCD，∴面EFC⊥面BCD21．（14分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC．（1）求角B的大小；（2）当a=3，c=2时，求△ABC的面积．【解答】.解：（1）（2a﹣c）cosB=bcosC．由正弦定理得：（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，即：2sinAcosB=sinA，在△ABC 中，cosB=，解得：B=．（2）直接利用已知条件：=．。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = 2x - 3，则f(-1)的值为（）A. -5B. -2C. 1D. 42. 下列命题中，正确的是（）A. 对于任意实数x，x² ≥ 0B. 对于任意实数x，x³ ≥ 0C. 对于任意实数x，x⁴ ≥ 0D. 对于任意实数x，x⁵ ≥ 03. 已知数列{an}中，a₁ = 1，an+1 = an + 2n（n ≥ 1），则数列{an}的通项公式为（）A. an = n² - n + 1B. an = n² + nC. an = n² - 2n + 1D. an = n² + 2n4. 若向量a = (2, 3)，向量b = (-1, 2)，则向量a与向量b的夹角θ的余弦值为（）A. 1/5B. 2/5C. 3/5D. 4/55. 已知函数f(x) = ax² + bx + c（a ≠ 0），若f(-1) = 2，f(1) = -2，则f(0)的值为（）A. 0B. 2C. -2D. 46. 在三角形ABC中，∠A = 60°，AB = 8，AC = 10，则BC的长度为（）A. 6B. 8C. 10D. 127. 已知等差数列{an}中，a₁ = 3，公差d = 2，则第10项a₁₀的值为（）A. 19B. 21C. 23D. 258. 下列函数中，为奇函数的是（）A. y = x²B. y = |x|C. y = x³D. y = x⁴9. 已知等比数列{an}中，a₁ = 2，公比q = 3，则第5项a₅的值为（）A. 162B. 243C. 729D. 218710. 在直角坐标系中，点P(2, -3)关于直线y = x的对称点Q的坐标为（）A. (2, -3)B. (-3, 2)C. (-2, 3)D. (3, -2)二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）11. 已知等差数列{an}中，a₁ = 1，公差d = 2，则第10项a₁₀的值为______。

2020-2021学年高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）)1. 复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于直线y ＝x 对称，且z 1＝3+2i ，则z 2＝________．2. 复数a−2i 1+2i （i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为________．3. 抛物线x 2＝16y 的准线方程是________．4. 已知复数z ＝2+4i ，其中i 是虚数单位，，则|ω|＝________．5. 设E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，若AC ⊥BD ，则四边形EFGH 的形状是________．6. 直线l 与抛物线y 2＝4x 交于两点A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，O 为坐标原点，若，则x 1x 2＝________．7. 已知点F 1，F 2分别是椭圆x 2+2y 2=2的左、右焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF 1→+PF 2→|的最小值是________．8. 设F 1，F 2是双曲线x 25−y 24=1的两个焦点，P 是该双曲线上一点，且|PF 1|:|PF 2|＝2:1，则△PF 1F 2的面积等于________9. 已知矩形ABCD 的边AB =a ，BC =2，PA ⊥平面ABCD ，PA =2，现有以下五个数据：(1)a =12；(2)a =1；(3)a =√3；(4)a =2；(5)a =4. 当在BC 边上存在点Q ，使PQ ⊥QD 时，则a 可以取________．（填上一个正确的数据序号即可）10. 在所有经过正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的任意两个顶点的直线中任取k 条，求这k 条直线恰是两两异面，则k 的最大值为________．11. 在平面几何里，有勾股点了“设△ABC的两边AC，AB互相垂直，则AB2+AC2＝BC2．”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，若三棱锥A−BCD的三个侧面ABC，ACD，ADB两类互相垂直，则有________．=1的右支上一点P，分别向圆C1：(x+4)2+y2=4和圆C2：12. 过双曲线x2−y215(x−4)2+y2=1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2−|PN|2的最小值为________．二、选择题（本大题共4小题，满分20分，每题5分）)13. “a>0，b>0”是“方程ax2+by2=1表示椭圆”的（）A.充要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.既不充分也不必要条件14. 已知平面α与平面β相交，直线m⊥α，则（）A.β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直B.β内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直C.β内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直D.β内必存在直线与m平行，却不一定存在直线与m垂直15. 正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为CC1，BC，CD，BB1的中点，则下列结论正确的是（）A.B1G // EFB.A1H⊥EFC.B1G与AE相交D.平面AEF∩平面AA1D1D＝AD116. 已知直线l：x+y+2＝0与椭圆Γ：＝1交于A，B两点，直线l1与椭圆T交于M，N两点，有下列直线l1：①x−y−2＝0；②x+y−2＝0；③x+y−2＝0；④x−y+2＝0，其中满足△OAB与△OMN的面积相等的直线l1可以是（）A.①②③B.①③④C.②③④D.①②③④三、解答题（本大题共5小题，满分35分）)17. 已知复数z1，z2是实系数一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根，且复数z1在复平面内对应的点在第一象限，若z1+2z2＝12−3i，其中i是虚数单位．（1）求复数z1，z2；（2）若复数z满足|z|＝1，求|z−z1|的最大值和最小值．18. 唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登上望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有趣的“将军饮马”问题，这是一个数学问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使得总路程最短？在平面直角坐标系中，将军从点A(3, 0)处出发，河岸线所在直线方程为x+y＝4，并假定将军只要到达军营孙在区域即为回到军营．（1）若军营所在区域为Ω:x2+y2≤2，求“将军饮马”的最短总路程；（2）若军营所在区域为Ω:|x|+2|y|≤2，求“将军饮马”的最短总路程．19. 如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的边长为1，点P在底面ABCD（含边界）内运动．（1）证明：BD⊥平面AA1C1C；（2）若A1P和A1B与平面ABCD所成的角相等，求点P的轨迹长度．20. 已知直线l:x＝my+1过椭圆的右焦点F，且直线l交椭圆C于A，B两点，点A，F，B在直线l′:x＝4上的射影依次为点D，K，E．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l交y轴于点M，且，当m变化时，探究λ1+λ2的值是否为定值？若是，求出λ1+λ2的值；否则，说明理由；（3）连接AE，BD，试探究当m变化时，直线AE与BD是否相交于顶点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由．21. 已知平面内到定点A(1, 0)的距离与到定直线x=−1的距离之和为3的动点M的轨迹是Γ，（1）求曲线Γ与x轴的交点P的坐标；（2）求曲线Γ的方程；（3）设B(a, 1)（a为常数），求|MA|+|MB|的最小值d(a)．参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.【答案】2+3i【解析】直接利用对称知识求出复数的代数形式即可．2.【答案】4【解析】化简复数为a +bi(a, b ∈R)，然后由复数的实部等于零且虚部不等于0求出实数a 的值． 3.【答案】y ＝−4【解析】利用抛物线方程直接求解准线方程即可．4.【答案】【解析】求出，求出ω，从而求出|ω|的值即可．5.【答案】矩形【解析】利用三角形中位线定理可得四边形EFGH 是平行四边形．根据AC ⊥BD ，可得EF ⊥EH ．即可判断出四边形EFGH 的形状是矩形．6.【答案】4【解析】把点的坐标代入方程，结合向量的数量积化简求解即可．7.【答案】2【解析】求出椭圆的a ，b ，运用中点的向量表示，得到|PF 1→+PF 2→|=2|PO →|，再设P(x, y)，运用椭圆方程，以及二次函数的值域即可得到最小值．【答案】12【解析】先由双曲线的方程求出|F 1F 2|＝6，再由|PF 1|:|PF 2|＝2:1，求出|PF 1|，|PF 2|，由此转化求出△PF 1F 2的面积．9.【答案】(1)或(2)【解析】根据三垂线定理结合PQ ⊥QD ，可得PQ 在底面的射影AQ 也与QD 垂直，由此可得平面ABCD 内满足条件的Q 点应在以AD 为直径的圆上，得出a ≤1即可选出正确选项． 10.【答案】4个【解析】根据异面直线的判断方法，结合正方体的结构特征即可判断．11.【答案】S △ABC 2+S △ACD 2+S △ABD 2＝S △BCD 2【解析】由边对应着面，边长对应着面积，由类比可得结果．12.【答案】13【解析】求得两圆的圆心和半径，设双曲线x 2−y 215=1的左右焦点为F 1(−4, 0)，F 2(4, 0)，连接PF 1，PF 2，F 1M ，F 2N ，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小值，计算即可得到所求值．二、选择题（本大题共4小题，满分20分，每题5分）13.【答案】C【解析】直接利用必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法结合椭圆标准方程得答案． 14.【答案】C【解析】作两个相交平面，交线为n ，使直线m ⊥α，然后利用反证法说明，假设β内一定存在直线a 与m 平行，根据面面垂直的判定定理证明α⊥β，这与平面α与平面β相交不一定垂直矛盾，然后根据线面垂直的性质说明β内必存在直线与m 垂直，从而证得结论． 15.【答案】【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，不妨取AD＝2．A．B1G与EF为异面直线，即可判断出正误；B．计算•与0比较，即可判断出正误；C．根据GE // DC1，DC1 // AB1，可得四边形AB1EG为梯形，即可判断出正误；D．连接BC1，可得BC1 // EF，于是EF // AD1，即可判断出正误．16.【答案】B【解析】根据于椭圆具有轴对称和中心对称的性质，经过平移和旋转即可求出直线l1的方程．三、解答题（本大题共5小题，满分35分）17.【答案】设z1＝a+bi，则z2＝a−bi(a>5, b>0)，由z1+5z2＝12−3i，得(a+bi)+4(a−bi)＝3a−bi＝12−3i，∴3a＝12，b＝3，b＝3．∴z8＝4+3i，z7＝4−3i；满足|z|＝5的复数z在以原点为圆心，以1为半径的圆上，而，∴|z−z1|的最大值为4，最小值为4．【解析】（1）设z1＝a+bi，则z2＝a−bi(a>0, b>0)，代入z1+2z2＝12−3i，整理后利用复数相等的条件列式求得a与b的值，则z1，z2可求；（2）满足|z|＝1的复数z在以原点为圆心，以1为半径的圆上，求出|z1|，则|z−z1|的最大值和最小值即可．18.【答案】若军营所在区域为Ω:x2+y4≤2，作图如下：设将军饮马点为P，到达营区点为B，则总路程|PB|+|PA|＝|PB|+|PA′|，要使得路程最短，只需要|PB|+|PA′|最短，即点A′到军营的距离最短，即点A′到x2+y5≤2的最短距离，为|OA′|−＝-若军营所在区域为Ω:|x|+2|y|≤2，作图如下：联立，解得x＝4，即B(2，所以点A′到区域Ω最短距离|A′B|＝＝，【解析】设点A(3, 0)关于直线x+y＝4的对称点为A′(a, b)，由对称性，解得A′(4, 1)，作出可行域，结合图形，即可解得答案．19.【答案】证明：连接AC，由正方体的几何特征，得AC⊥BD，AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以AA1⊥BD，又AA3∩AC＝A，所以BD⊥平面AA1C1C．A7B与平面ABCD所成的角为∠A1BA，A1P与平面ABCD所成的角为∠A2PA，所以tan∠A1BA＝tan∠A1PA，即＝，所以AB＝AP，所以点P的轨迹为，以A为圆心AB为半径的圆的，所以点P的轨迹长度为×7π×1＝．【解析】（1）连接AC，结合正方体的几何特征，得AC⊥BD，AA1⊥平面ABCD，再由线面垂直的判定定理可得BD⊥平面AA1C1C．（2）连接A1P，根据题意可得tan∠A1BA＝tan∠A1PA，推出AB＝AP，点P的轨迹为，以A为圆心AB为半径的圆的，进而可得点P的轨迹长度．20.【答案】易知椭圆的右焦点为F(1, 0)，所以c＝3，抛物线x2＝4的焦点坐标为(0，），所以b＝，a2＝b2+c2＝3+1＝5，所以椭圆C的方程为+＝1．易知，m≠7，-），设直线l交椭圆于A(x1, y2)，B(x2, y2)，由，得(5m2+4)y7+6my−9＝7，所以△＝(6m)2+36(8m2+4)＝144(m3+1)>0，所以y2+y2＝-，y5y2＝-，又由＝λ4，所以(x1，y1+）＝λ1(1−x7, −y1)，所以λ1＝−4−，同理λ2＝−1−，所以λ1+λ2＝−7−（+），因为+＝＝-）＝，所以λ4+λ2＝−2−（+）＝−2−•，所以λ1+λ3的值为-．由（2）知A(x8, y1)，B(x2, y3)所以D(4, y1)，E(6, y2)，所以直线AE方程为：y−y2＝(x−4)，当x＝时，y＝y2+（-＝＝＝＝6，所以点N（，5)在直线AE上，同理可证，点N（，所以m变化时，直线AE与直线BD相交于定点（．【解析】（1）根据题意可得c＝1，有抛物线x2＝4的焦点坐标得b，计算出a2＝b2+c2＝4，进而可得椭圆C的方程为．（2）根据题意可得l与y轴的交点为M(0，-），设A(x1, y1)，B(x2, y2)，联立直线l与椭圆的方程，得关于x的一元二次方程，结合韦达定理可得y1+y2，y1y2，用坐标表示＝λ1，得λ1＝−1−，同理λ2＝−1−，再计算化简λ1+λ2即可得出答案．（3）由（2）知A(x1, y1)，B(x2, y2)，进而可得D(4, y1)，E(4, y2)，写出直线AE方程，再把x＝代入，得y＝0，推出点N（，0)在直线AE上，同理可证，点N（，0)也在直线BD上，进而得出结论．21.【答案】设点M坐标为(x, y)，因为动点M到定点A(1, 0)的距离到定直线x=−1的距离之和为3，所以√(x−1)2+y2+√(x+1)2=3，当y=0时，代入求得x=±32，所以曲线Γ与x轴的交点P的坐标(±32, 0)；由（1）知曲线Γ方程为√(x−1)2+y2+√(x+1)2=3，当x<−4时，因为|x+1|>3，无轨迹，当−4≤x≤−1时，化为√(x−1)2+y2=x+4，化为y2=10x+15(−32≤x≤−1)，当x>−1时，化为为√(x−1)2+y2=2−x，化为y2=−2x+3(−1<x≤32)，综上可得，曲线方程为y2=10x+15(−32≤x≤−1)，或y2=−2x+3(−1<x≤32)，当−32≤x≤−1时，曲线Γ化为y2=10x+15，当−1<x≤32时，曲线Γ化为y2=−2x+3，令y=1则10x+15=1或−2x+3=1，解得x=−1.4或x=1，①当a≤1.4或a≥1时，MB+MA≥BA，所以d(a)=|AB|=√(a−1)2+1=√a2−2a+2，②当−1<a<1时，当直线y=1与y2=−2x+3(−1<x≤32)相交时，交点M满足MB+MA取得最小值，因为抛物线准线方程为x=2，所以直线y=1与准线交点坐标为(2, 1)，此时d(a)=2−a ，③当−1.4<a ≤−1时，当直线y =1与y 2=10x +15(−32≤x ≤−1)相交时， 交点M 满足MB +MA 取得最小值，此时抛物线准线的方程为形，所以y =1与准线交点坐标为(−4, 1)，此时d(a)=a +4，综上所述d(a)={√a 2−2a +2，a ≤−1.4或a ≥1a +4,−1.4<a ≤−12−a,−1<a <1． 【解析】（1）设点M 坐标为(x, y)，根据题意可得√(x −1)2+y 2+√(x +1)2=3，令y =0，求得x ，即可得出答案．（2）分类当x <−4时，当−4≤x ≤−1时，当x >−1时，讨论曲线Γ方程．（3）通过分类讨论，在不同范围内，由曲线方程的意义求得最小值．。

2017—2018学年度第一学期高二数学期末考试题文科（提高班）选择题（每题5分, 共60分）1．在相距2km的A、B两点处测量目标C, 若∠CAB＝75°, ∠CBA＝60°, 则A、C两点之间的B. 3 km距离是（）A. 2 kmA．2kmC. kmD. 3 km2. 已知椭圆（）的左B．4C．3D．2焦点为,则（）A．93. 在等差数列中,,则B. 15C. 20D. 25的前5项和=（）A．74. 某房地产公司要在一块圆形的土地上,设计一B. 100m2C. 200m2D. 250m2个矩形的停车场.若圆的半径为10m,则这个矩形的面积最大值是（）A. 50m2A．50m25. 如图所示, 表示满足不等式的点所在的平面区域为（）B ．C ．D ．A ．6. 焦点为(0, ±6)且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程是（）B ．A ．C ．D ．7. 函数的导数为（）B ．A ．C ．D ．8. 若＜＜0, 则下列结论正确的是（）B ．A. bA ．bC. -2D ．9. 已知命题: 命题.则下列判断正确的是（）B. q是真命题A. p是假命题A．p是假命题C. 是真命题D. 是真命题10. 某观察站B. 600米C. 700米D. 800米与两灯塔、的距离分别为300米和500米, 测得灯塔在观察站北偏东30 , 灯塔在观察站正西方向, 则两灯塔、间的距离为（）A. 500米A．500米11. 方程表示的曲线为（）A. 抛物线A．抛物线B. 椭圆 C. 双曲线D．圆12. 已知数列的前项和为, 则的值是（）A. -76A．-76B. 76C. 46D. 13二、填空题（每题5分, 共20分）13.若, , 是实数, 则的最大值是_________14.过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点, 如果, 那么＝___________.15.若双曲线的顶点为椭圆长轴的端点, 且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为1, 则双曲线的方程是____________．16.直线是曲线y=l.x（x>0）的一条切线，则实数b=___________2017—2018学年度第一学期高二数学期末考试文科数学（提高班）答题卡二、填空题（共4小题, 每题5分）13. 2 14、 815. 16.三、解答题（共6小题, 17题10分, 其他每小题12分）17.已知数列（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求证数列是等比数列；18.已知不等式组的解集是, 且存在, 使得不等式成立.（Ⅰ）求集合；（Ⅱ）求实数的取值范围.19.某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元, 每生产一台仪器需增加投入100元, 已知总收益满足函数:（其中是仪器的月产量）.（1）将利润表示为月产量的函数；（2）当月产量为何值时, 公司所获利润最大？最大利润为多少元？（利润=总收益-总成本）20.根据下列条件, 求双曲线的标准方程.(1)经过点, 且一条渐近线为；(2) 与两个焦点连线互相垂直, 与两个顶点连线的夹角为.21.已知函数在区间上有最小值1和最大值4, 设.（1）求的值；（2）若不等式在区间上有解, 求实数k的取值范围.22.已知函数（）.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）是否存在常数, 使得, 恒成立？若存在, 求常数的值或取值范围；若不存在, 请说明理由.文科（提高班）选择题（每题5分, 共60分）1.考点: 1. 2 应用举例试题解析：由题意, ∠ACB＝180°－75°－60°＝45°, 由正弦定理得＝, 所以AC＝·sin60°＝(km)．答案：C2.考点: 2. 1 椭圆试题解析：, 因为, 所以, 故选C．答案：C3.考点: 2. 5 等比数列的前n项和试题解析: .答案：B4.考点: 3. 3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题试题解析：如图,设矩形长为, 则宽为,所以矩形面积为 , 故选C答案: C5.考点：3．.二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题试题解析: 不等式等价于或作出可行域可知选B答案: B6.考点: 2. 2 双曲线试题解析：与双曲线有共同渐近线的双曲线方程可设为，又因为双曲线的焦点在y轴上，∴方程可写为.又∵双曲线方程的焦点为(0，±6)，∴－λ－2λ＝36.∴λ＝－12.∴双曲线方程为.答案：B7.考点: 3. 2 导数的计算试题解析：, 故选B.答案：B8.考点: 3. 1 不等关系与不等式试题解析：根据题意可知, 对两边取倒数的得, 综上可知, 以此判断：A．正确；因为：, 所以：, B错误；, 两个正数相加不可能小于, 所以C错误；, D错误, 综上正确的应该是A．答案：A9.考点: 1. 3 简单的逻辑联结词试题解析：当时, （当且仅当, 即时取等号）, 故为真命题；令, 得, 故为假命题, 为真命题；所以是真命题.答案：C10.考点: 1. 2 应用举例试题解析：画图可知在三角形ACB中, , , 由余弦定理可知, 解得AB=700.答案：C11.考点: 2. 1 椭圆试题解析：方程表示动点到定点的距离与到定直线的距离, 点不在直线上, 符合抛物线的定义；答案：A12.考点: 2. 3 等差数列的前n项和试题解析：由已知可知：, 所以, , , 因此, 答案选A.答案：A二. 填空题（每题5分, 共20分）13.考点: 3. 4 基本不等式试题解析：, , 即,则, 化简得, 即, 即的最大值是2.答案：214.考点: 2. 3 抛物线试题解析：根据抛物线方程知, 直线过焦点, 则弦, 又因为, 所以．答案：815.考点: 2. 2 双曲线试题解析：椭圆长轴的端点为, 所以双曲线顶点为, 椭圆离心率为,所以双曲线离心率为, 因此双曲线方程为答案：16.考点: 3. 2 导数的计算试题解析：设曲线上的一个切点为（m, n）, , ∴,∴.答案：三、解答题（共6小题, 17题10分, 其他每小题12分）17.考点: 2. 3 等差数列的前n项和试题解析: （Ⅰ）设数列由题意得:解得:（Ⅱ）依题,为首项为2, 公比为4的等比数列（Ⅲ）由答案: （Ⅰ）2n-1；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）{1, 2, 3, 4}18.考点: 3. 2 一元二次不等式及其解法试题解析：（Ⅰ）解得；（Ⅱ）令, 由题意得时, ．当即, （舍去）当即, .综上可知, 的取值范围是.答案: （Ⅰ）；（Ⅱ）的取值范围是19.考点: 3. 4 生活中的优化问题举例试题解析：（1）（2）当时,∴当时, 有最大值为当时,是减函数,∴当时, 的最大值为答：每月生产台仪器时, 利润最大, 最大利润为元.答案：（1）；（2）每月生产台仪器时, 利润最大, 最大利润为元20.考点: 双曲线试题解析:（1）由于双曲线的一条渐近线方程为设双曲线的方程为（）代入点得所以双曲线方程为（2）由题意可设双曲线的方程为则两焦点为, 两顶点为由与两个焦点连线垂直得, 所以由与两个顶点连线的夹角为得, 所以, 则所以方程为21.考点: 3. 2 一元二次不等式及其解法试题解析: （1）, 因为, 所以在区间上是增函数,故, 解得．（2）由已知可得, 所以, 可化为,化为, 令, 则, 因, 故,记, 因为, 故,所以的取值范围是22.考点: 3. 3 导数在研究函数中的应用试题解析:（1）, 所求切线的斜率所求切线方程为即（2）由, 作函数,其中由上表可知, , ；,由, 当时, , 的取值范围为, 当时, , 的取值范围为∵, 恒成立, ∴答案：（1）（2）存在, , 恒成立100.在中, 角所对的边分别为, 且满足, .（.）求的面积；（II）若, 求的值.46.考点: 正弦定理余弦定理试题解析：（Ⅰ）又, , 而, 所以, 所以的面积为：（Ⅱ）由（Ⅰ）知, 而, 所以所以答案: (1)2(2)。

高二上学期期末考试数学试卷含答案（全卷满分：120 分 考试用时：120 分钟）一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.某社区有500户家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户，为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取1个容量为100户的样本，记作①；某学校高三年级有12名足球运动员，要从中选出3人调查学习负担情况，记作②那么完成上述两项调查宜采用的抽样方法是（ ）A. ①用随机抽样法，②用系统抽样法B. ①用系统抽样法，②用分层抽样法C. ①用分层抽样法，②用随机抽样法D. ①用分层抽样法，②用系统抽样法 2.若直线1:(2)10l m x y ---=与直线2:30l x my -=互相平行，则m 的值为（ ）A. 0或-1或3B. 0或3C. 0或-1D. -1或33.用秦九韶算法求多项式542()42016f x x x x x =++++在2x =-时，2v 的值为（ ）A. 2B.-4C. 4D. -34.执行右面的程序框图，如果输入的3N =，那么输出的S =（ ）A. 1B.32C.53D.525.下图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件） 若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为（ ）A. 5，5B. 3，5C. 3，7D. 5，7 6.若点P （3，4）和点Q （a ，b ）关于直线10x y --=对称，则（ ）A.5,2a b ==B. 2,1a b ==-C. 4,3a b ==D. 1,2a b ==-7.直线l 过点（0，2），被圆22:4690c x y x y +--+=截得的弦长为l 的方程是（ ）A.423y x =+ B. 123y x =-+ C. 2y = D. 423y x =+ 或2y = 8.椭圆221169x y +=中，以点(1,2)M 为中点的弦所在直线斜率为（ ）A.932-B.932C.964D.9169.刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国最宝贵的文化遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意的精度．割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积．若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是（ ）C.12πD.14π10.若椭圆22194x y k+=+的离心率为45，则k 的值为( ) A ．－21B ．21C ．－1925或21D.1925或21 11.椭圆221164x y +=上的点到直线x ＋2y －2＝0的最大距离是( ) A ．3 B.11 C ．2 2D.1012.2=，若直线:12l y kx k =+-与曲线有公共点，则k 的取值范围是（ ）A.1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. )1,1,3⎛⎤⎡-∞⋃+∞ ⎣⎥⎝⎦ D. ()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.命题“20,0x x x ∀>+>”的否定为______________________________ ．14.已知x 与y 之间的一组数据：，已求得关于y 与x 的线性回归方程 1.20.55x =+，则a 的值为______ ．15.若,x y 满足约束条件103030x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =-的最小值为______．16.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，焦距为2c. 若直线y ＝3(x ＋c)与椭圆的一个交点M满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.（本小题10分）已知直线l 的方程为210x y -+=. （1）求过点A （3，2），且与直线l 垂直的直线1l 的方程； （2）求与直线l 平行，且到点P （3，0）的距离2l 的方程.18.（本小题12分）设命题:p 实数x 满足22430x ax a -+<（0a >）；命题:q 实数x 满足32x x -+＜0． （1）若1a =且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；（2）若¬q 是¬p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．19.(本小题12分)我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0，0.5），[0.5，1）， …[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求直方图中的a 值；（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．说明理由； （3）估计居民月均用水量的中位数．20.（本小题12分）某儿童节在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．记两次记录的数分别为x 、y ． 奖励规则如下：①若xy≤3，则奖励玩具一个；②若xy≥8，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶． 假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动． （1）求小亮获得玩具的概率；（2）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．21.（本小题12分）已知曲线方程为：22240x y x y m +--+=． （1）若此曲线是圆，求m 的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线240x y +-=相交于M 、N 两点，且OM⊥ON（O 为坐标原点），求m 的值．22.（本小题12分）已知1(1,0)F -和2(1,0)F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，且点3(1,)2P 在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的方程；（2）直线:l y kx m =+（m ＞0）与椭圆C 有且仅有一个公共点，且与x 轴和y 轴分别交于点M ，N ，当△OMN 面积取最小值时，求此时直线l 的方程．数学参考答案13.20000,0x x x ∃>+≤14. 2.1515. -5117.（1）设与直线l ：2x -y +1=0垂直的直线1l 的方程为：x +2y +m =0，-------------------------2分把点A （3，2）代入可得，3+2×2+m =0，解得m =-7．-------------------------------4分 ∴过点A （3，2）且与直线l 垂直的直线1l 方程为：x +2y -7=0；----------------------5分（2）设与直线l ：2x -y +1=0平行的直线2l 的方程为：2x -y +c =0，----------------------------7分∵点P （3，0）到直线2l =，解得c =-1或-11．-----------------------------------------------8分∴直线2l 方程为：2x -y -1=0或2x -y -11=0．-------------------------------------------10分18.（1）由x 2-4ax +3a 2＜0得(x -3a )(x -a )＜0，又a ＞0，所以a ＜x ＜3a ，.------------------------------------------------------2分 当a =1时，1＜x ＜3，即p 为真时实数x 的取值范围是1＜x ＜3．由实数x 满足302x x -<+ 得-2＜x ＜3，即q 为真时实数x 的取值范围是-2＜x ＜3．------4分 若p ∧q 为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是1＜x ＜3．---------------------------------------------- 6分（2）¬q 是¬p 的充分不必要条件，即p 是q 的充分不必要条件 -----------------------------8分由a ＞0，及3a ≤3得0＜a ≤1，所以实数a 的取值范围是0＜a ≤1．-------------------------------------------------12分19.（1）∵1=（0.08+0.16+a +0.40+0.52+a +0.12+0.08+0.04）×0.5，------------------------2分整理可得：2=1.4+2a ，∴解得：a =0.3-----------------------------------------------------------------4分（2）估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万，理由如下：由已知中的频率分布直方图可得月均用水量不低于3吨的频率为（0.12+0.08+0.04）×0.5=0.12，又样本容量为30万-----6分 则样本中月均用水量不低于3吨的户数为30×0.12=3.6万．---------------------------8分 （3）根据频率分布直方图，得0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.40×0.5=0.47＜0.5， 0.47+0.5×0.52=0.73＞0.5，∴中位数应在（2，2.5]组内，设出未知数x ，---------------------------------------10分 令0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.4×0.5+0.5×x =0.5， 解得x =0.06；∴中位数是2+0.06=2.06．--------------------------------------------------------12分 20.（1）两次记录的数为（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4）， （4，1），（4，2），（4，3），（4，4），共16个， ----------------------------2分 满足xy ≤3，有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（3，1），共5个， ----------4分∴小亮获得玩具的概率为516； -------------------------------------------------------6分 （2）满足xy ≥8，（2，4），（3，4），（4，2），（4，3），（3，3），（4，4）共6个， ----8分∴小亮获得水杯的概率为616； --------------------------------------------------------9分 小亮获得饮料的概率为5651161616--=，----------------------------------------------11分 ∴小亮获得水杯大于获得饮料的概率．-------------------------------------------------12分21.（1）由曲线方程x 2+y 2-2x -4y +m =0．整理得：（x -1）2+（y -2）2=5-m ，------------------------------------------------2分 又曲线为圆，则5-m ＞0，解得：m ＜5．------------------------------------------------------------------4分（2）设直线x +2y -4=0与圆：x 2+y 2-2x -4y +m =0的交点为M （x 1，y 1）N （x 2，y 2）．则：22240240x y x y x y m +-=⎧⎨+--+=⎩，消去x 整理得：5y 2-16y +8+m =0， 则：1212168,55m y y y y ++==，------------------------------------------------6分 由OM ⊥ON （O 为坐标原点），可得x 1x 2+y 1y 2=0，-------------------------------------8分又x 1=4-2y 1，x 2=4-2y 2，则（4-2y 1）（4-2y 2）+y 1y 2=0．---------------------------------------------------10分 解得：85m =，故m 的值为85．--------------------------------------------------12分 22.（1）∵1(1,0)F -和2(1,0)F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，且点3(1,)2P 在椭圆C 上，∴依题意，1c =，又3242a ==，故2a =．---------------------2分由222b c a +=得b 2=3．-----------------------------------------------------------3分故所求椭圆C 的方程为22143x y +=．-----------------------------------------------4分（2）由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消y 得（4k 2+3）x 2+8kmx +4m 2-12=0，由直线l 与椭圆C 仅有一个公共点知，△=64k 2m 2-4（4k 2+3）（4m 2-12）=0，整理得m 2=4k 2+3．-----------------------------6分 由条件可得k ≠0，(,0)mM k-，N （0，m ）． 所以．①------------------------------8分将m 2=4k 2+3代入①，得．因为|k |＞0，所以，-------------------------------10分当且仅当34k k=，则，即时等号成立，S △OMN 有最小值．-----11分因为m 2=4k 2+3，所以m 2=6，又m ＞0，解得．故所求直线方程为或．----------------------------12分高二级第一学期期末质量检测数学试卷本试卷分两部分，共4页，满分150分。

高二（上）期末数学试卷一、单项选择（每小题5分，共计60分）1．（5分）在△ABC中，已知A=60°，a=4，b=4，则∠B的度数是（）A．135°B．45°C．75°D．45°或135°2．（5分）若△ABC的三个内角A，B，C满足sinA：sinB：sinC=5：12：13，则△ABC一定是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．无法确定3．（5分）已知等比数列{a n}满足a2=4，a6=64，则a4=（）A．﹣16 B．16 C．±16 D．324．（5分）已知等差数列{a n}中，a5+a9=2，则S13=（）A．11 B．12 C．13 D．145．（5分）若a＜b＜0，则下列不等式中成立的是（）A．|a|＞﹣b B．C．D．6．（5分）等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）A．130 B．170 C．210 D．2607．（5分）设变量x，y满足，则2x+3y的最大值为（）A．20 B．35 C．45 D．558．（5分）设集合A={x|x﹣2＞0}，B={x|x2﹣2x＞0}，则“x∈A”是“x∈B”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．（5分）命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（）A．不存在x∈R，x3﹣x2+1≤0 B．∃x0∈R，x03﹣x02+1≥0C．∃x0∈R，x03﹣x02+1＞0 D．∀x∈R，x3﹣x2+1＞010．（5分）椭圆上的一点M到左焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则ON为（）A．2 B．C．8 D．411．（5分）如果椭圆+=1的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是（）A．x﹣2y=0 B．x+2y﹣4=0 C．2x+3y﹣12=0 D．x+2y﹣8=012．（5分）已知点F1、F2分别是椭圆+=1（k＞﹣1）的左、右焦点，弦AB过点F1，若△ABF2的周长为8，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，共计20分）13．（5分）设x＞0，y＞0且x+2y=1，求+的最小值．14．（5分）过椭圆的左焦点F1作直线l交椭圆于A，B两点，F2是椭圆右焦点，则△ABF2的周长为．15．（5分）给出以下四个判断，其中正确的判断是（1）若“p或q”为真命题，则p，q均为真命题（2）命题“若x≥4且y≥2，则x+y≥6”的逆否命题为“若x+y＜6，则x＜4且y ＜2”（3）若x≠300°，则cosx≠（4）命题“∃x0∈R，e≤0”是假命题．16．（5分）在△ABC中，已知b=，c=3，B=30°，则a=．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）椭圆+=1（a＞b＞0）的两焦点为F1（0，﹣c），F2（0，c）（c ＞0），离心率e=，焦点到椭圆上点的最短距离为2﹣，求椭圆的方程．18．（12分）已知△abc的周长为10，且sinB+sinC=4sinA．（Ⅰ）求边长a的值；（Ⅱ）若bc=16，求角A的余弦值．19．（12分）设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13．（Ⅰ）求{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和S n．20．（12分）设命题p：实数x满足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足（x﹣3）（x﹣2）≤0．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围．（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．21．（12分）已知等比数列{a n}中，s n为前n项和且a1+a3=5，s4=15，（1）求数列{a n}的通项公式．（2）设b n=3log2a n，求b n的前n项和T n的值．22．（12分）已知椭圆过左焦点的直线l的倾角为45°与椭圆相交于A，B两点（1）求AB的中点坐标；（2）求△ABF2的面积．2017-2018学年吉林省延边州汪清高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择（每小题5分，共计60分）1．（5分）在△ABC中，已知A=60°，a=4，b=4，则∠B的度数是（）A．135°B．45°C．75°D．45°或135°【解答】解：∵A=60°，a=4，b=4，∴由正弦定理得：sinB===，∵a＞b，可得A＞B，∴B=45°．故选：B．2．（5分）若△ABC的三个内角A，B，C满足sinA：sinB：sinC=5：12：13，则△ABC一定是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．无法确定【解答】解：∵角A、B、C满足sinA：sinB：sinC=5：12：13，∴根据正弦定理，整理得a：b：c=5：12：13，设a=5x，b=12x，c=13x，满足（5x）2+（12x）2=（13x）2因此，△ABC是直角三角形．故选：C．3．（5分）已知等比数列{a n}满足a2=4，a6=64，则a4=（）A．﹣16 B．16 C．±16 D．32【解答】解法一：∵等比数列{a n}满足a2=4，a6=64，∴，解得或，∴a4==16．故选：B．解法二：∵等比数列{a n}满足a2=4，a6=64，∴a42=a2a6=4×64=256，∵偶数项的符号相同，∴a4=16．故选：B．4．（5分）已知等差数列{a n}中，a5+a9=2，则S13=（）A．11 B．12 C．13 D．14【解答】解：∵在等差数列{a n}中，S n=∴S13====13故选C5．（5分）若a＜b＜0，则下列不等式中成立的是（）A．|a|＞﹣b B．C．D．【解答】解：∵a＜0，∴|a|=﹣a，∵a＜b＜0，∴﹣a＞﹣b＞0，∴|a|＞﹣b，故结论A成立；取a=﹣2，b=﹣1，则∵，∴B不正确；，∴，∴C不正确；，，∴，∴D不正确．故选A．6．（5分）等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）A．130 B．170 C．210 D．260【解答】解：解法1：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由题意得方程组，a1解得d=，a1=，∴s3m=3ma1+d=3m+=210．故选C．解法2：∵设{a n}为等差数列，∴s m，s2m﹣s m，s3m﹣s2m成等差数列，即30，70，s3m﹣100成等差数列，∴30+s3m﹣100=70×2，解得s3m=210．故选C．a17．（5分）设变量x，y满足，则2x+3y的最大值为（）A．20 B．35 C．45 D．55【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：令z=2x+3y可得y=，则为直线2x+3y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越大作直线l：2x+3y=0把直线向上平移可得过点D时2x+3y最大，由可得x=5，y=15，此时z=55故选D8．（5分）设集合A={x|x﹣2＞0}，B={x|x2﹣2x＞0}，则“x∈A”是“x∈B”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵A={x|x﹣2＞0}={x|x＞2}，B={x|x2﹣2x＞0}={x|x＞2或x＜0}，∴“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件．故选A．9．（5分）命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（）A．不存在x∈R，x3﹣x2+1≤0 B．∃x0∈R，x03﹣x02+1≥0C．∃x0∈R，x03﹣x02+1＞0 D．∀x∈R，x3﹣x2+1＞0【解答】解：命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是：∃x0∈R，x﹣x+1＞0，故选：C．10．（5分）椭圆上的一点M到左焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则ON为（）A．2 B．C．8 D．4【解答】解：椭圆，可得a=5，∴|MF1|+|MF2|=2a=10，又|MF1|=2，∴|MF2|=8，∵N是MF1的中点，O为F1F2的中点，∴|ON|=|MF2|=4．故选：D．11．（5分）如果椭圆+=1的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是（）A．x﹣2y=0 B．x+2y﹣4=0 C．2x+3y﹣12=0 D．x+2y﹣8=0【解答】解：设这条弦的两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），斜率为k，则，两式相减再变形得又弦中点为（4，2），故k=，故这条弦所在的直线方程y﹣2=（x﹣4），整理得x+2y﹣8=0；故选D．12．（5分）已知点F1、F2分别是椭圆+=1（k＞﹣1）的左、右焦点，弦AB过点F1，若△ABF2的周长为8，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：由椭圆定义有4a=8∴a=2，所以k+2=a2=4∴k=2．从而b2=k+1=3，c2=a2﹣b2=1，所以，故选A二、填空题（每小题5分，共计20分）13．（5分）设x＞0，y＞0且x+2y=1，求+的最小值3+2．【解答】解：根据题意，x+2y=1，则=（x+2y）•（）=3+≥3+2=3+2，故答案为3+2．14．（5分）过椭圆的左焦点F1作直线l交椭圆于A，B两点，F2是椭圆右焦点，则△ABF2的周长为8．【解答】解：由椭圆，可得a=2；椭圆的定义可得：|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a=4．∴△ABF2的周长=|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=8．故答案为：8．15．（5分）给出以下四个判断，其中正确的判断是（4）（1）若“p或q”为真命题，则p，q均为真命题（2）命题“若x≥4且y≥2，则x+y≥6”的逆否命题为“若x+y＜6，则x＜4且y ＜2”（3）若x≠300°，则cosx≠（4）命题“∃x0∈R，e≤0”是假命题．【解答】解：（1）若“p或q”为真命题，则两个没有至少一个是真命题，所以判断p，q均为真命题是不正确的；（2）命题“若x≥4且y≥2，则x+y≥6”的逆否命题为“若x+y＜6，则x＜4或y ＜2”，所以原判断不正确；（3）若x≠300°，则cosx≠，反例x=60°，cosx=，所以（3）不正确；（4）命题“∃x0∈R，e≤0”是假命题．由指数函数的值域可知，命题是假命题，所以（4）正确；故答案为：（4）．16．（5分）在△ABC中，已知b=，c=3，B=30°，则a=或2．【解答】解：∵b=，c=3，B=30°，∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB可得：3=a2+9﹣2×a×3×cos30°，整理可得：a2﹣3a+6=0，∴a=或2．故答案为：或2．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）椭圆+=1（a＞b＞0）的两焦点为F1（0，﹣c），F2（0，c）（c ＞0），离心率e=，焦点到椭圆上点的最短距离为2﹣，求椭圆的方程．【解答】解：∵e=，焦点到椭圆上点的最短距离为2﹣，∴=，a﹣c=2﹣，解得a=2，c=，∴b2=a2﹣c2=1，由此可得椭圆的方程为．18．（12分）已知△abc的周长为10，且sinB+sinC=4sinA．（Ⅰ）求边长a的值；（Ⅱ）若bc=16，求角A的余弦值．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）根据正弦定理，sinB+sinC=4sinA，可化为b+c=4a，…（3分）联立方程组，解得a=2．…（5分）所以，边长a=2．…（6分）（Ⅱ）由bc=16，又由（Ⅰ）得b+c=8，得b=c=4，…（8分）∴=．…（10分）因此，所求角A的余弦值是．…（12分）19．（12分）设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13．（Ⅰ）求{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和S n．【解答】解：（Ⅰ）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，则依题意有q＞0且解得d=2，q=2．所以a n=1+（n﹣1）d=2n﹣1，b n=q n﹣1=2n﹣1．（Ⅱ），，①S n=，②①﹣②得S n=1+2（++…+）﹣，则===．20．（12分）设命题p：实数x满足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足（x﹣3）（x﹣2）≤0．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围．（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由（x﹣1）（x﹣3）＜0，得P={x|1＜x＜3}，（x﹣3）（x﹣2）≤0，可得Q={x|2≤x≤3}，由p∧q为真，即为p，q均为真命题，可得x的取值范围是2≤x＜3；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，可得q是p的充分不必要条件，由题意可得P={x|a＜x＜3a}，Q={x|2≤x≤3}，由Q⊊P，可得a＜2且3＜3a，解得1＜a＜2．21．（12分）已知等比数列{a n}中，s n为前n项和且a1+a3=5，s4=15，（1）求数列{a n}的通项公式．（2）设b n=3log2a n，求b n的前n项和T n的值．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，∵a1+a3=5，s4=15，q≠1．∴a1（1+q2）=5，=15，联立解得a1=1，q=2．∴a n=2n﹣1．（2）b n=3log2a n=3（n﹣1）．∴数列{b n}的前n项和T n==﹣n．22．（12分）已知椭圆过左焦点的直线l的倾角为45°与椭圆相交于A，B两点（1）求AB的中点坐标；（2）求△ABF2的面积．【解答】解：（1）由椭圆方程：知，a=，b=，c==1∴F1（﹣1，0），F2（1，0）直线l的斜率k=tan45°，∴l的方程为y=x+1，，整理得：5x2+6x﹣3=0设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点M（x0，y0）则x1+x2=﹣，x1x2=﹣，∴x0==﹣，则y0=x0+1=，∴中点坐标为M（﹣，）；（2）F2到直线l距离d===，|AB|==∴S=|AB|×d=××=，△ABC∴△ABF2的面积．。