2003年数一真题、标准答案及解析(超强版)

2003年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷答案解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1） )1ln(12)(cos lim x x x +→ =e1 .【分析】 ∞1型未定式，化为指数函数或利用公式)()(lim x g x f )1(∞=)()1)(lim(x g x f e -进行计算求极限均可.【详解1】 )1ln(12)(cos lim x x x +→=xx x ecos ln )1ln(1lim20+→,而 212cos sin lim cos ln lim )1ln(cos ln lim02020-=-==+→→→x x xx x x x x x x ， 故 原式=.121ee=-【详解2】 因为 2121lim )1ln(1)1(cos lim 2202-=-=+⋅-→→xxx x x x ， 所以 原式=.121ee=-【评注】 本题属常规题型（2） 曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是542=-+z y x .【分析】 待求平面的法矢量为}1,4,2{-=n，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程, 而切点坐标可根据曲面22y x z +=切平面的法矢量与}1,4,2{-=n平行确定.【详解】 令 22),,(y x z z y x F --=，则x F x 2-='，y F y 2-='， 1='z F .设切点坐标为),,(000z y x ，则切平面的法矢量为 }1,2,2{00y x --，其与已知平面042=-+z y x 平行，因此有11422200-=-=-y x ， 可解得 2,100==y x ，相应地有 .520200=+=y x z故所求的切平面方程为0)5()2(4)1(2=---+-z y x ，即 542=-+z y x . 【评注】 本题属基本题型。

2003年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分．）（1）)1ln(102)(cos lim x x x +→＝ ．【考点】两个重要极限 【难易度】★【详解】本题涉及到的主要知识点：对于∞1型不定式，可以采取01lim 0lim(1)lim(1)(0,)x x x e αβαββααααβ→⋅⋅⋅→→+=+=→→∞，进而转化为∞∞∞⋅,00,0，通过等价无穷小或洛必达法则来计算. 解析：)1ln(102)(cos lim x x x +→2121lim )1ln(1cos lim)1ln(1)1(cos 1cos 10220202)1cos 1(lim --+-+⋅--→===-+=→→e eex x x x x x x x x x x（2）曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是 ． 【答案】542=-+z y x 【考点】曲面的切平面 【难易度】★★【详解】解析：令 22),,(y x z z y x F --=，则x F x 2-='，y F y 2-='， 1='z F .设切点坐标为),,(000z y x ，则切平面的法矢量为 }1,2,2{00y x --，其与已知平面042=-+z y x 平行，因此有11422200-=-=-y x ，可解得2,100==y x ，相应地有 .520200=+=y x z 故所求的切平面方程为0)5()2(4)1(2=---+-z y x ，即 542=-+z y x .（3）设)ππ(cos 02≤≤-=∑∞=x nx ax n n，则2a ＝ ．【答案】1【考点】函数在],0[l 上的余弦级数 【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点： 将))((ππ≤≤-x x f 展开为余弦级数)(cos )(0ππ≤≤-=∑∞=x nx ax f n n，其系数计算公式为⎰=ππ0cos )(2nxdx x f a n .解析：根据余弦级数的定义，有x d x xdx x a 2sin 12cos 22022⎰⎰=⋅=ππππ=⎰⋅-πππ2]22sin 2sin [1xdx x xx=⎰⎰-=πππππ]2cos 2cos [12cos 1xdx xx x xd=1.（4）从2R 到基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011α,⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=112α到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111β,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=212β的过渡矩阵为 ． 【答案】⎪⎪⎭⎫⎝⎛--2132【考点】向量空间及其相关概念 【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点：n 维向量空间中，从基n ααα,,,21Λ到基n βββ,,,21Λ的过渡矩阵P 满足[n βββ,,,21Λ]=[n ααα,,,21Λ]P ，因此过渡矩阵P 为：P =[121],,,-n αααΛ[],,,21n βββΛ.解析：根据定义，从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为P =[121],-αα[⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-21111011],121ββ. =.213221111011⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡- （5）设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤=，y x x y x f 其他,0,10,6),(则}1{≤+Y X P ＝ ． 【答案】41 【考点】二维连续型随机变量 【难易度】★【详解】本题涉及到的主要知识点：已知二维随机变量X Y （，）的概率密度(,)f x y ，求满足一定条件的概率}),({0z Y X g P ≤，一般可转化为二重积分}),({0z Y X g P ≤=⎰⎰≤0),(),(z y x g dxdy y x f 进行计算.解析：=≤+}1{Y X P ⎰⎰⎰⎰≤+-=12116),(y x x xxdy dx dxdy y x f =.41)126(2102=-⎰dx x x（6）已知一批零件的长度X （单位：cm ）服从正态分布)1,(μN ，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为)(40cm ，则μ的置信度为95.0的置信区间是 ．（注：标准正态分布函数值.95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ） 【答案】)49.40,51.39( 【考点】区间估计的概念 【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点： ①已知方差12=σ，对正态总体的数学期望μ进行估计，可根据)1,0(~1N nX μ-，由αμα-=<-1}1{2u nX P 确定临界值2αu ，进而确定相应的置信区间. ②在单个正态总体方差已知条件下，求期望值μ的置信区间为22(x u x u αα-+，其中2{}1,(0,1)P U u U N αα<=-:。

2003考研数一真题及解析2003年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.(1) 21ln(1)lim(cos )x x x +→=(2) 曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是.(3) 设)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx a x n n ，则2a = .(4) 从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为 .(5) 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为，y x x y x f 其他,10,0,6),(≤≤≤⎩⎨⎧=则=≤+}1{Y X P.(6) 已知一批零件的长度X (单位：cm cm)服从正态分布)1,(μN ，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40 (cm )，则μ的置信度为0.95的置信区间是.(注：标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ二、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. (1) 设函数()f x 在),(+∞-∞则()f x 有( )(A)一个极小值点和两个极大值点. (B)两个极小值点和一个极大值点. (C)两个极小值点和两个极大值点. (D)三个极小值点和一个极大值点.(2) 设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有( )(A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立. (C) 极限n n n c a ∞→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞→lim 不存在.(3) 已知函数(,)f x y 在点(0,0)的某个邻域内连续，且1)(),(lim 2220,0=+-→→y x xyy x f y x ，则( )(A) 点(0,0)不是(,)f x y 的极值点. (B) 点(0,0)是(,)f x y 的极大值点. (C) 点(0,0)是(,)f x y 的极小值点.(D) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为(,)f x y 的极值点.(4) 设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则( )(A) 当s r <时，向量组II 必线性相关. (B) 当s r >时，向量组II 必线性相关.(C) 当s r <时，向量组I 必线性相关. (D) 当s r >时，向量组I 必线性相关.x(5) 设有齐次线性方程组0Ax =和0Bx =, 其中,A B 均为n m ⨯矩阵，现有4个命题：① 若0Ax =的解均是0Bx =的解，则秩(A )≥秩(B )； ② 若秩(A )≥秩(B )，则0Ax =的解均是0Bx =的解； ③ 若0Ax =与0Bx =同解，则秩(A )=秩(B )； ④ 若秩(A )=秩(B )， 则0Ax =与0Bx =同解. 以上命题中正确的是( )(A) ① ②. (B) ① ③.(C) ② ④. (D) ③ ④.(6) 设随机变量21),1)((~XY n n t X =>，则( )(A) )(~2n Y χ. (B) )1(~2-n Y χ.(C) )1,(~n F Y . (D) ),1(~n F Y .三 、(本题满分10分)过坐标原点作曲线ln y x =的切线，该切线与曲线ln y x =及x 轴围成平面图形D .(1)求D 的面积A ;(2)求D 绕直线x e =旋转一周所得旋转体的体积V .四 、(本题满分12分)将函数x x x f 2121arctan )(+-=展开成x 的幂级数，并求级数∑∞=+-012)1(n nn 的和.五 、(本题满分10分)已知平面区域}0,0),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界. 试证：(1) dx ye dy xe dx ye dy xe x Ly x Ly sin sin sin sin -=-⎰⎰--;(2) .22sin sin π≥--⎰dx ye dy xe x Ly六 、(本题满分10分)某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为,0k k >).汽锤第一次击打将桩打进地下a m . 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数(01)r r <<. 问(1) 汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？ (2) 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？ (注：m 表示长度单位米.)七 、(本题满分12分)设函数()y y x =)在),(+∞-∞内具有二阶导数，且)(,0y x x y =≠'是()y y x =的反函数.(1) 试将()x x y =所满足的微分方程0))(sin (322=++dy dxx y dyx d 变换为()y y x =满足的微分方程；(2) 求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解.八 、(本题满分12分)设函数()f x 连续且恒大于零，⎰⎰⎰⎰⎰+++=Ω)(22)(222)()()(t D t d y xf dvz y x f t F σ，⎰⎰⎰-+=tt D dxx f d y x f t G 12)(22)()()(σ，其中}),,{()(2222t z y x z y x t ≤++=Ω，}.),{()(222t y x y x t D ≤+=(1) 讨论()F t 在区间),0(+∞内的单调性. (2) 证明当0t >时，).(2)(t G t F π>九 、(本题满分10分)设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=322232223A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100101010P ，P A P B *1-=，求2B E +的特征值与特征向量，其中*A 为A 的伴随矩阵，E 为3阶单位矩阵.十 、(本题满分8分)已知平面上三条不同直线的方程分别为1:230l ax by c ++=，2:230l bx cy a ++=，3:230l cx ay b ++=.试证: 这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a十一 、(本题满分10分)已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：(1) 乙箱中次品件数X 的数学期望； (2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率.十二 、(本题满分8分)设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=--,,,0,2)()(2θθθx x e x f x其中0>θ是未知参数. 从总体X 中抽取简单随机样本n X X X ,,,21 ，记).,,,min(ˆ21nX X X =θ (1) 求总体X 的分布函数()F x ; (2) 求统计量θˆ的分布函数)(ˆx F θ；(3) 如果用θˆ作为θ的估计量，讨论它是否具有无偏性.2003年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题 (1)【详解】方法1：求()lim ()v x u x 型极限，一般先化为指数形式()()ln ()lim ()lim v x v x u x u x e =然后求lim ()ln ()v x u x ，再回到指数上去．)1ln(12)(cos lim x x x +→=220ln cos ln cos limln(1)ln(1)lim x xxx x x ee→++→=,而2200ln cos ln(1cos 1)limlim ln(1)ln(1)x x x x x x →→+-=++20cos 1lim x x x →-=(等价无穷小替换ln(1)x x +)220112lim 2x x x →-==-(等价无穷小替换211cos 2x x -) 故 原式=.121ee=-方法2：令21ln(1)(cos )x y x +=，有2ln cos ln ln(1)xy x =+，以下同方法1．(2)【答案】542=-+z y x【详解】由题意，只要满足所求切平面的法向量与已知平面的法向量平行即可．平面042=-+z y x 的法向量：1{2,4,1}n =-； 曲面22y x z +=在点),,(000z y x 的法向量：20000{(,),(,),1}x y n z x y z x y =-00{2,2,1}x y =-由于12//n n ，因此有00221241x y -==- 可解得，2,100==y x ，相应地有.520200=+=y x z 所求切平面过点(1,2,5)，法向量为：2{2,4,1}n =-，故所求的切平面方程为0)5()2(4)1(2=---+-z y x ，即 542=-+z y x(3)【答案】1【详解】将)()(2ππ≤≤-=x x x f 展开为余弦级数20()cos ()n n f x x a nx x ππ∞===-≤≤∑，其中⎰=ππ0cos )(2nxdx x f a n ．所以 x d x xdx x a 2sin 12cos 2222⎰⎰=⋅=ππππ201[sin 2sin 22]x xx xdx πππ=-⋅⎰1cos2xd x ππ=⎰001[cos2cos2]x x xdx πππ=-⎰1=(4)【答案】⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2132【详解】n 维向量空间中，从基n ααα,,,21 到基n βββ,,,21 的过渡矩阵P 满足[n βββ,,,21 ]=[n ααα,,,21 ]P ，因此过渡矩阵P 为：P =[121],,,-n ααα [],,,21n βββ ．根据定义，从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为P =[121],-αα[⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-21111011],121ββ=.213221111011⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-(5)【答案】14． 【分析】本题为已知二维随机变量(,)X Y 的概率密度(,)f x y ，求满足一定条件的概率}),({0z Y X g P ≤．连续型二维随机变量(,)X Y 概率的求解方法(,)(,),y xF x y f u v dudv -∞-∞=⎰⎰此题可转化为二重积分}),({0z Y X g P ≤0(,)(,)g x y z f x y dxdy ≤=⎰⎰进行计算．【详解】图中阴影区域为积分区域. 由题设，有=≤+}1{Y X P 1(,)x y f x y dxdy +≤⎰⎰11206xxdx xdy -=⎰⎰1220(612)x x dx =-⎰14=(6)【答案】)49.40,51.39(．【分析】可以用两种方法求解：(1) 已知方差12=σ，对正态总体的数学期望μ进行估计. 因为(,1)XN μ，设有n 个样本，样本均值11ni i X X n ==∑，则1(,)XN nμ，将其标准~(0,1)X N 得：)1,0(~1N n X μ-由正态分布分为点的定义αμα-=<-1}1{2u nX P 可确定临界值2αu ，进而确定相应的置信区间22(x u x u αα-+．(2)本题是在单个正态总体方差已知条件下，求期望值μ的置信区间问题．由教材上已经求出的置信区间22(x u x u αα-+，其中2{}1,(0,1)P U u UN αα<=-，可以直接得出答案．【详解】方法1：由题设，95.01=-α，可见.05.0=α 查标准正态分布表知分位点.96.12=αu 本题16n =, 40=x .根据 1.96}0.95P <=，有 1.96}0.95P <=， 即{39.5140.49}0.95P μ<<=，故μ的置信度为0．95的置信区间是)49.40,51.39(．方法2：由题设，95.01=-α，22222{}{}2()10.95,()0.975P U u P u U u u u ααααα<=-<<=Φ-=Φ=查得.96.12=αu 将1σ=，16n =, 40=x代入22(x u x u αα-+得置信区间)49.40,51.39(二、选择题 (1)【答案】()C【分析】函数的极值点可能是驻点(点有3个(导函数与x 轴交点的个数)；0x =是导数 不存在的点．对3个一阶导数为零的点左右两侧导数符号均 不一致，故必为极值点，其中第一个交点左右两侧导数符号由正变为负，是极大值点；第二个交点和第三个交点左右两侧导数符号由负变为正，是极小值点，则三个驻点中有两个极小值点，一个极大值点；对导数不存在的点：0x =．左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见0x =为极大值点．故()f x 共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C)．(2)【答案】()D 【详解】方法1：推理法由题设lim 1n n b →∞=，假设lim n n n b c →∞存在并记为A ，则lim limn nn n n nb c c A b →∞→∞==,这与lim n n c →∞=∞矛盾，故假设不成立，lim n n n b c →∞不存在． 所以选项()D 正确． 方法2：排除法y取1n a n =，1n n b n-=，满足0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b , 而11111,0,a b a b ==>，()A 不正确； 取1n n b n-=，2n c n =-，满足1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,而1101b c =>-=，()B 不正确；取1n a n=，2n c n =-，满足0lim =∞→n n a ,∞=∞→n n c lim ,而lim 1n n n a c →∞=，()C 不正确．(3)【答案】()A 【详解】由2220,0(,)lim1()x y f x y xy x y →→-=+222(,)(1)()f x y xy x y α⇒-=++，其中00lim 0x y α→→=． 由(,)f x y 在点(0,0)连续知，(0,0)0f =．取y x =，x 充分小，0x ≠，有222(,)(1)(2)0f x y x x α=++>； 取y x =-，x 充分小，0x ≠，有222(,)(1)(2)0f x y x x α=-++< 故点(0,0)不是(,)f x y 的极值点，应选()A ． (极值的定义)(4)【分析】 本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则当s r >时，向量组I 必线性相关． 或其逆否命题：若向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，且向量组I 线性无关，则必有s r ≤． 可见正确选项为(D)． 本题也可通过举反例用排除法找到答案．【详解】 用排除法：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,00211ββα，则21100ββα⋅+⋅=，但21,ββ线性无关，排除(A)；⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01,01,00121βαα，则21,αα可由1β线性表示，但1β线性无关，排除(B)；⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,01211ββα，1α可由21,ββ线性表示，但1α线性无关，排除(C)．(5)【答案】(B)【分析】本题可找反例用排除法进行分析，但①、②两个命题的反例比较复杂一些，关键是抓住③、④，迅速排除不正确的选项．【详解】若0AX =与0BX =同解，则它们的解空间中的基础解系所含向量个数相同，即n -秩(A )=n -秩(B ), 得秩(A )=秩(B )，命题③成立，可排除(A), (C)；但反过来，若秩(A )=秩(B )，则不能推出0AX =与0BX =同解，通过举一反例证明，若⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0001A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1000B ，则秩(A )=秩(B )=1，但0AX =与0BX =不同解，可见命题④不成立，排除(D). 故正确选项为(B)．(6)【答案】(C)．【分析】求解这类问题关键在于了解产生2χ变量、t 变量、F 变量的典型模式．(1)2χ分布：设12,,,n X X X 相互独立且均服从标准正态分布，则随机变量21ni i Z X ==∑服从自由度为n 的2χ分布．记做2().Zn χ(2)t 分布：设1(0,1)X N ，22~()X n χ，且12,X X相互独立，则随机变量Z =n 的t 分布．记做()Z t n(3)F 分布：设2212(),(),Xn Y n χχ且,X Y 相互独立，则随机变量12X n Z Y n =服从F 分布，其第一、二自由度分别为12,.n n 记做12(,).Z F n n【详解】其实，由F 分布的性质以及t 分布和F 分布的关系得，(1) 如果统计量 ()T t n ，则有2(1,)T F n ；(2) 如果统计量12(,)FF n n ，则有211(,)F n n F．由以上两条性质可以直接得出本题的答案为(C)．先由t分布的定义知()X t n =，其中)(~),1,0(~2n V N U χ，于是 21XY ==122U n V U n V =， 分母中只含有一个标准正态分布的平方，所以)1(~22χU . 由F 分布的定义知~(,1).Y F n 故应选(C)．三【分析】圆锥体体积公式：213V r h π=⋅；旋转体的体积：(1) 连续曲线()y f x =，直线x a =、x b =所围成的图形绕直线0x x =旋转一周而成的立体的体积[]210()baV f x x dx π=-⎰(2) 连续曲线()x g x =，直线y c =、y d =所围成的图形绕直线0y y =旋转一周而成的立体的体积[]220()dcV g y y dy π=-⎰【详解】为了求D 的面积，首先要求出切点的坐标，设切点的横坐标为0x ，则曲线ln y x =在点)ln ,(00x x 处的切线方程是：).(1ln 000x x x x y -+=切线的斜率为01x y x '=，由于该切线过原点，将(0,0)点代入切线方程，得01ln 0=-x ，从而.0e x = 所以该切线的方程为.1x ey =(1) 利用平面图形D 的面积公式()()S y y dy βαϕψ=-⎰，得⎰-=-=1.121)(e dy ey e A y (2) 旋转体体积可用一大立体(圆锥)体积减去一小立体体积进行计算，为了帮助理解，可画一草图．x切线x ey 1=与x 轴及直线x e =所围成的三角形绕直线x e =旋转所得的圆锥体积为：122101().3V e ey dy e ππ=-=⎰曲线ln y x =与x 轴及直线x e =所围成的图形绕直线x e =旋转所得的旋转体体积为：dy e e V y 2102)(⎰-=π1220(2)y y e e e e dy π=-⋅+⎰12201(2)2yy e y e e e π=-⋅+211(2)22e e π=-+-因此所求旋转体的体积为).3125(6)(312102221+-=--=-=⎰e e dy e e e V V V y πππ四【分析】幂级数展开有直接法与间接法，一般考查间接法展开，即通过适当的恒等变形、求导或积分等，转化为可利用已知幂级数展开的情形．另外，由于函数展开成的幂级数，经两边求导或积分(其中一边是逐项求导或逐项积分)后，其新的展开式收敛区间不变，但在收敛区间端点处，求导(积分)后的展开式成立与否，要另行单独处理，设已有00()()n n n f x a x x ∞==-∑收敛区间为00(,)x R x R -+． 如果在0x x R =+处级数收敛，并且()f x (左)连续，则展开式成立的范围可扩大到0x x R =+处，在0x x R =-处亦有类似的结论，不过此时()f x (左)连续应改称(右)连续． 【详解】本题可先求导，()f x '()2222(12)2(12)1212121212111212x x x x x x x x x '-+---⎛⎫ ⎪++⎝⎭==--⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭基本求导公式 22422(14)14x x --==++21214x=-+ 对于函数2114x +，可以利用我们所熟悉的函数x-11的幂级数展开： 2011(11)1nnn x x x x x x ∞==+++++=-<<-∑所以 2222001(4)(1)414114n n n n n n x x x x ∞∞===-=--<-<+∑∑ (把x 换成24x -) 有 220111()22(1)4,(,).1422n n nn f x x x x ∞='=-=--∈-+∑对上式两边求积分，得200()(0)()2(1)4xxn n n n f x f f t dt t dt ∞=⎛⎫'-==-- ⎪⎝⎭∑⎰⎰ 221000(1)4112(1)42,(,)2122n n x nnnn n n t dt x x n ∞∞+==-=--=-∈-+∑∑⎰，又因为04f π=（），所以()(0)()xf x f f t dt '=+⎰=).21,21(,124)1(24120-∈+--+∞=∑x x n n n nn π即 21012(1)411arctan 2,(,).1242122n n n n x x x x n π∞+=--=-∈-++∑ (*)在21=x 处，右边级数成为0(1)1212n n n ∞=-⋅+∑，收敛(利用莱布尼茨定理)，左边函数()f x 连续，所以成立范围可扩大到21=x 处．而在12x =-处，右边级数虽然收敛，但左边函数()f x 不连续，所以成立范围只能是11(,]22x ∈-．为了求∑∞=+-012)1(n nn ，令21=x 代入(*)得∑∑∞=+∞=+--=⋅+--=012012)1(4]21124)1([24)21(n n n n n n n f ππ, 再由0)21(=f ，得.4)21(412)1(0ππ=-=+-∑∞=f n n n五【详解】(1) 方法1：用格林公式证明. 由曲线为正向封闭曲线，自然想到用格林公式L D Q P Pdx Qdy dxdy x y ⎛⎫∂∂+=- ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰． 所以 ⎰⎰⎰--+=-Dx y x Ly dxdy e e dx ye dy xe )(sin sin sin sin所以 ⎰⎰⎰+=---Dx y x Ly dxdy e e dx ye dy xe )(sin sin sin sin因为积分区域D 关于y x =对称，所以sin sin sin sin ()()x y yxy xDDeedxdye e dxdy --+=+⎰⎰⎰⎰与互换故 dx ye dy xe dx ye dy xe x Ly x Ly sin sin sin sin -=-⎰⎰--方法2：化为定积分证明左边sin sin yxLLxe dy yedx -=-⎰⎰=dx edy exy⎰⎰--0sin 0sin ππππ=⎰-+ππ0sin sin )(dx e e x x右边sin sin y x LLxe dy ye dx -=-⎰⎰=⎰⎰--ππππ00sin sin dx e dy ex y=⎰-+ππ0sin sin )(dx e e x x 所以 dx ye dy xe dx ye dy xe x Ly x Ly sin sin sin sin -=-⎰⎰--．(2) 方法1：用格林公式证明⎰⎰⎰--+=-Dxy x Ly dxdy e e dx ye dy xe )(sin sin sin sin =dxdy e dxdy e DDx y ⎰⎰⎰⎰-+sin sin =dxdy e dxdy e DDx x ⎰⎰⎰⎰-+sin sin 利用轮换对称性=sin sin ()2x x DDe e dxdy dxdy -+≥⎰⎰⎰⎰22π=(因为0,0a b a b +≥>>)方法2：由(1)知，sin sin sin sin 00()2y x x x L xe dy ye dx e e dx dx ππππ---=+≥⎰⎰⎰22π=六【详解】(1) 建立坐标系，地面作为坐标原点，向下为x 轴正向，设第n 次击打后，桩被打进地下n x ，第n 次击打时，汽锤所作的功为),3,2,1( =n W n ．由题设，当桩被打进地下的深度为x 时，土层对桩的阻力的大小为kx ，汽锤所作的功等于克服阻力所做的功．121102x k W kxdx x ==⎰，2122221()2x x k W kxdx x x ==-⎰，3222332()2x x k W kxdx x x ==-⎰，1x a =从而 212332kW W W x ++=又 12rW W =，2321W rW r W ==，从而 222231231(1)(1)22kk x W W W r r W r r a =++=++=++于是 3x =(2) 第n 次击打后，桩被打进地下n x ，第n 次击打时，汽锤所作的功为),3,2,1( =n W n ．则汽锤前n 次所功的和等于克服桩被打进地下n x m 所做的功．11210(1)nx n n kxdx W W W r r W -=+++=+++⎰而 2102a k W kxdx a ==⎰ 牛-莱公式所以212(1)22n n k k x r r a -=+++从而 n x = 等比数列求和公式由于01r <<，所以1lim n n x +→∞=．七【详解】 (1) 将题中的dy dx 与22d xdy 变换成以x 为自变量y 为因变量的导数dxdy 与22d ydx来表示(即通常所说的反函数变量变换)，有 dy dx =y dxdy '=11，)(22dy dxdy d dy x d ==dy dx y dx d ⋅')1(=32)(1y y y y y '''-='⋅'''-． 代入原方程，得 .sin x y y =-'' ( * )(2) 方程( * )所对应的齐次方程为0=-''y y ，特征方程为210r -=，根1,21r =±，因此通解为.21x x e C e C Y -+= 由于i λω+不是特征方程得根，所以设方程( * )的特解为x B x A y sin cos *+=则 *sin cos y A x B x '=-+，*cos sin y A x B x ''=--代入方程( * )，得：cos sin cos sin 2cos 2sin sin A x B x A x B x A x B x x ----=--=解得21,0-==B A ，故x y sin 21*-=. 从而x y y sin =-''的通解为.sin 2121*x e C e C y Y y x x -+=+=-由23)0(,0)0(='=y y ，得1,121-==C C ．故变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解为.sin 21x e e y x x --=-且()y x 的导函数1()cos 02x x y x e e x -'=+->，满足题设0y '≠条件．八【详解】(1) 首先对()F t 进行化简，三重积分转化为在球面坐标系中的计算；二重积分转化为在极坐标系中的计算．222222220()()()sin 2sin ()t tt f x y z dv d d f r r dr d f r r dr πππθϕϕπϕϕΩ++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()2222002()cos 4()t tf r r dr f r r dr ππϕπ=⋅-=⎰⎰ (球面坐标)222220()()()2()t tD t f x y d d f r rdr f r rdr πσθπ+==⎰⎰⎰⎰⎰ (极坐标)所以222220000222()sin 4()()()2()ttttd d f r r drf r r drF t d f r rdrf r rdrπππθϕϕπθπ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22022()()ttf r r drf r rdr=⎰⎰为了讨论()F t 在区间),0(+∞内的单调性，对()F t 求导：222222022()()()()()2[()]tttt f t f r rdr f r r dr f t tF t f r rdr ⋅-⋅'=⎰⎰⎰22022()()()2[()]tttf t f r r t r drf r rdr ⋅-=⎰⎰由于()0,0,0f t r t r >>->，所以2()()0f r r t r ->. 再利用定积分的性质：若在区间[,]a b 上()0f x >，则()0ba f x dx >⎰. 所以()0F t '>，所以()F t 在区间),0(+∞内严格单调增加．(2) 将待证的不等式作适当的恒等变形后，构造辅助函数，再用单调性进行证明即可．因为 22200()2()2()t t tt f x dx f x dx f r dr -==⎰⎰⎰， 所以2222()0022200()2()()()()2()()ttD t ttttf x y d f r rdr f r rdrG t f x dxf r drf r drσππ-+===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰要证明0t >时)(2)(t G t F π>，只需证明0t >时，0)(2)(>-t G t F π，即22200222()2()2()()()()t tttf r r drf r rdrF tG t f r rdrf r drπ-=-⎰⎰⎰⎰()()()()()222222202()()()()()tttttf r r dr f r dr f r rdr f r rdr f r dr⎡⎤⋅-⎢⎥⎣⎦=⋅⎰⎰⎰⎰⎰令 ()()()22222()()()()tttg t f r r dr f r dr f r rdr =⋅-⎰⎰⎰222222220222()()()()()2()()()()()0ttttg t f t t f r dr f t f r r dr f t t f r rdrf t f r t r dr t '=+-=->>⎰⎰⎰⎰故()g t 在),0(+∞内单调增加，又因为(0)0g =，所以当0t >时，有()0)0g t g >=（，从而0t >时，).(2)(t G t F π>九【分析】 法1：可先求出*1,A P -，进而确定P A P B *1-=及2B E +，再按通常方法确定其特征值和特征向量；法2：先求出A 的特征值与特征向量，再相应地确定*A 的特征值与特征向量，最终根据2B E +与*2A E +相似求出其特征值与特征向量．【详解】方法1：经计算可得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=522252225*A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-1000011101P ，所以 P A P B *1-==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----322452007，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=+5224720092E B ． 令 2900(2)274(9)(3)0225E B E λλλλλλ--+=-=--=-，故2B E +的特征值为.3,9321===λλλ当921==λλ时，解0)9(=-x A E ，得线性无关的特征向量为,0111⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=η ,1022⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=η 所以属于特征值921==λλ的所有特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+102011212211k k k k ηη，其中21,k k 是不全为零的任意常数．当33=λ时，解0)3(=-x A E ，得线性无关的特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1103η， 所以属于特征值33=λ的所有特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=110333k k η，其中03≠k 为任意常数．方法2：设A 的特征值为λ，对应的特征向量为η，即ληη=A ．由于07≠=A ，所以.0≠λ所以 ***()()A A A E A A A E A A A E ηηηη=⇒=⇒=***()AA A A A A ληηληηηηλ⇒=⇒=⇒=，于是 11*11()()()AB P P A P P P ηηηλ----==，.)2()2(11ηλη--+=+P AP E B因此，2+λA为2B E +的特征值，对应的特征向量为.1η-P由于)7()1(3222322232--=---------=-λλλλλλA E ，故A 的特征值为1231,7λλλ===当121==λλ时，对应的线性无关特征向量可取为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=0111η， .1012⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=η 当73=λ时，对应的一个特征向量为.1113⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=η 由⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-1000011101P ，得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-01111ηP ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-11121ηP ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-11031ηP ． 因此，2B E +的三个特征值分别为9，9，3．对应于特征值9的全部特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+--11101121212111k k P k P k ηη，其中21,k k 是不全为零的任意常数；对应于特征值3的全部特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-1103313k P k η，其中3k 是不为零的任意常数．十【分析】三条直线相交于一点，相当于对应线性方程组有唯一解，进而转化为系数矩阵与增广矩阵的秩均为2．【详解】方法1：“必要性”. 设三条直线321,,l l l 交于一点，则线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+,32,32,32b ay cx a cy bx c by ax (*) 有唯一解，故系数矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a c c b b a A 222与增广矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=b a c a c b c b a A 323232的秩均为2，于是.0=A232()3()23232323a b ca b c b c a c a b A bc a b c a c a bc ab -++++-++=-=---123111()236()23a b c b ca abc b c a c a b c a b -=++-=-++- 16()6()c b a ba b c b c b a b a b c a c b cc a c b c--=-++--=-++----6()[()()()()]a b c c b b c a b a c =-++-----2226()()a b c bc c b bc a ac ab bc =-++--+-++- 2226()()a b c a b c ac ab bc =++++--- 2223()[()()()]a b c a b b c c a =++-+-+-,由于三条直线互不相同，所以0)()()(222≠-+-+-a c c b b a ，故.0=++c b a“充分性”. 由0=++c b a ，则从必要性的证明可知，0=A ，故秩.3)(<A由于])([2)(22222b b a a b ac cb ba ++-=-==0]43)21[(222≠++-b b a ，故秩()2A =．于是，秩(A )=秩)(A =2．因此方程组(*)有唯一解，即三直线321,,l l l 交于一点． 方法2：“必要性”设三直线交于一点),(00y x ，则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100y x 为0BX =的非零解，其中2323.23a b c B b c a c a b ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦所以||0B =．而232323232323a b c a bcB bc a bc a A c a bca b-==--=--2223()[()()()]a b c a b b c c a =-++-+-+-,(解法同方法1)但根据题设 0)()()(222≠-+-+-a c c b b a ，故.0=++c b a “充分性”：考虑线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+,32,32,32b ay cx a cy bx c by ax (*) 将方程组(*)的三个方程相加，并由.0=++c b a 可知，方程组(*)等价于方程组⎩⎨⎧-=+-=+.32,32a cy bx c by ax (* *)因为])([2)(22222b b a a b ac cb b a ++-=-==222[()]0a b a b -+++≠,故方程组(* *)有唯一解，所以方程组(*)有唯一解，即三直线321,,l l l 交于一点．十一【详解】乙箱中可能的次品件数为0,1,2,3,分别求出其概率，再按定义求数学期望即可；而求从乙箱中任取一件产品是次品的概率，涉及到两次试验，是典型的用全概率公式的情形，第一次试验的各种可能结果(取到的次品数)就是要找的完备事件组．(1) 方法1：X 的可能取值为0,1,2,3, 取出k 件次品()0,1,2,3k =的取法有333k kC C -种；样本空间即从两个箱子中取出3件产品的总的取法数为36C ．所以有，X 的概率分布为36333}{C C C k X P kk -==， k 0,1,2,3.= 即 X 0 1 2 3 P201 209 209 201 因此，由离散型数学期望的定义{}1()nk k k E X x P X x ==⋅=∑易得 19913()0123.202020202E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 方法2：本题对数学期望的计算也可用分解法：设0, ,1,i i X i ⎧=⎨⎩从甲箱中取出的第件产品是合格品从甲箱中取出的第件产品是次品.则i X 的概率分布为i X 0 1P 21 21.3,2,1=i因为321X X X X ++=，所以由数学期望的线性可加性，有()()()()1233.2E X E X E X E X =++=(2) 设A 表示事件“从乙箱中任取一件产品是次品”，由于}0{=X ，}1{=X ，}2{=X ，}3{=X 构成完备事件组，因此根据全概率公式，有∑====3}{}{)(k k X A P k X P A P =33001{}{}66k k k P X k k P X k ===⋅=⋅=∑∑()1131.6624E X ==⋅=十二【分析】本题表面上是一数理统计问题，实际上考查了求分布函数、随机变量的函数求分布和概率密度以及数学期望的计算等多个知识点．将数理统计的概念与随机变量求分布与数字特征结合起来是一种典型的命题形式．求分布函数()F X 是基本题型：求统计量θˆ的分布函数)(ˆx F θ，可作为多维相互独立且同分布的随机变量函数求分布函数，直接用定义即可；是否具有无偏性，只需检验θθ=ˆE 是否成立． 【详解】(1) 由连续型随机变量分布函数的定义，有.,,0,1)()()(2θθθ≤>⎩⎨⎧-==⎰∞---x x e dt t f x F xx(2) 由题给).,,,min(ˆ21nX X X =θ，有 }),,,{min(}ˆ{)(21ˆx X X X P x P x F n≤=≤= θθ 121{min(,,,)}n P X X X x =->121{,,,}n P X x X x X x =->>>1[1()]nF x =--2(),1,.0,n x x e x θθθ-->⎧-=⎨≤⎩(3) 由连续型随机变量概率密度是分布函数在相应区间上的微分得θˆ概率密度为.,,0,2)()()(2ˆˆθθθθθ≤>⎩⎨⎧==--x x ne dxx dF x f x n 因为 2()ˆˆ()()2n x E xf x dx nxe dx θθθθ+∞+∞---∞==⎰⎰12nθθ=+≠， 所以θˆ作为θ的估计量不具有无偏性．。

2003年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.(1) 21ln(1)lim(cos )x x x +→=(2) 曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是.(3) 设)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n，则2a = .(4) 从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为 .(5) 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为，y x x y x f 其他,10,0,6),(≤≤≤⎩⎨⎧=则=≤+}1{Y X P.(6) 已知一批零件的长度X (单位：cm cm)服从正态分布)1,(μN ，从中随机地抽取16个 零件，得到长度的平均值为40 (cm )，则μ的置信度为0.95的置信区间是.(注：标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ二、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. (1) 设函数()f x 在),(+∞-∞内连续，其导函数的图形如图所示， 则()f x 有( )(A)一个极小值点和两个极大值点. (B)两个极小值点和一个极大值点. (C)两个极小值点和两个极大值点. (D)三个极小值点和一个极大值点.(2) 设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有( )(A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立.(C) 极限n n n c a ∞→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞→lim 不存在.(3) 已知函数(,)f x y 在点(0,0)的某个邻域内连续，且1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x ，则( )(A) 点(0,0)不是(,)f x y 的极值点. (B) 点(0,0)是(,)f x y 的极大值点. (C) 点(0,0)是(,)f x y 的极小值点.(D) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为(,)f x y 的极值点.(4) 设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则( )(A) 当s r <时，向量组II 必线性相关. (B) 当s r >时，向量组II 必线性相关. (C) 当s r <时，向量组I 必线性相关. (D) 当s r >时，向量组I 必线性相关.(5) 设有齐次线性方程组0Ax =和0Bx =, 其中,A B 均为n m ⨯矩阵，现有4个命题：① 若0Ax =的解均是0Bx =的解，则秩(A )≥秩(B )； ② 若秩(A )≥秩(B )，则0Ax =的解均是0Bx =的解； ③ 若0Ax =与0Bx =同解，则秩(A )=秩(B )； ④ 若秩(A )=秩(B )， 则0Ax =与0Bx =同解. 以上命题中正确的是( )(A) ① ②. (B) ① ③.(C) ② ④. (D) ③ ④.(6) 设随机变量21),1)((~XY n n t X =>，则( ) (A) )(~2n Y χ. (B) )1(~2-n Y χ.(C) )1,(~n F Y . (D) ),1(~n F Y .三 、(本题满分10分)过坐标原点作曲线ln y x =的切线，该切线与曲线ln y x =及x 轴围成平面图形D . (1) 求D 的面积A ;(2) 求D 绕直线x e =旋转一周所得旋转体的体积V .四 、(本题满分12分)将函数x xx f 2121arctan )(+-=展开成x 的幂级数，并求级数∑∞=+-012)1(n n n 的和.五 、(本题满分10分)已知平面区域}0,0),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界. 试证： (1) dx ye dy xe dx ye dy xex Ly x Lysin sin sin sin -=-⎰⎰--;(2) .22sin sin π≥--⎰dx ye dy xex L y六 、(本题满分10分)某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为,0k k >).汽锤第一次击打将桩打进地下a m . 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数(01)r r <<. 问 (1) 汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？(2) 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？ (注：m 表示长度单位米.)七 、(本题满分12分)设函数()y y x =)在),(+∞-∞内具有二阶导数，且)(,0y x x y =≠'是()y y x =的反函数.(1) 试将()x x y =所满足的微分方程0))(sin (322=++dy dx x y dy x d 变换为()y y x =满足的微分方程；(2) 求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解.八 、(本题满分12分)设函数()f x 连续且恒大于零，⎰⎰⎰⎰⎰+++=Ω)(22)(222)()()(t D t d y xf dvz y xf t F σ，⎰⎰⎰-+=t t D dxx f d y x f t G 12)(22)()()(σ，其中}),,{()(2222t z y x z y x t ≤++=Ω，}.),{()(222t y x y x t D ≤+=(1) 讨论()F t 在区间),0(+∞内的单调性.(2) 证明当0t >时，).(2)(t G t F π>九 、(本题满分10分)设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=322232223A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100101010P ，P A P B *1-=，求2B E +的特征值与特征向量，其中*A 为A 的伴随矩阵，E 为3阶单位矩阵.十 、(本题满分8分)已知平面上三条不同直线的方程分别为1:230l ax by c ++=，2:230l bx cy a ++=，3:230l cx ay b ++=.试证: 这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a十一 、(本题满分10分)已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：(1) 乙箱中次品件数X 的数学期望；(2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率.十二 、(本题满分8分)设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=--,,,0,2)()(2θθθx x e x f x其中0>θ是未知参数. 从总体X 中抽取简单随机样本n X X X ,,,21 ，记).,,,min(ˆ21nX X X =θ (1) 求总体X 的分布函数()F x ;(2) 求统计量θˆ的分布函数)(ˆx F θ； (3) 如果用θˆ作为θ的估计量，讨论它是否具有无偏性.2003年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题 (1)【答案】【详解】方法1：求()lim ()v x u x 型极限，一般先化为指数形式()()ln ()lim ()lim v x v x u x u x e =然后求lim ()ln ()v x u x ，再回到指数上去．)1ln(12)(cos lim x x x +→=220ln cos ln cos limln(1)ln(1)lim x xxx x x e e→++→=,而2200ln cos ln(1cos 1)limlim ln(1)ln(1)x x x x x x →→+-=++20cos 1lim x x x→-=(等价无穷小替换ln(1)x x +) 220112lim 2x x x →-==-(等价无穷小替换211cos 2x x -) 故 原式=.121ee=-方法2：令21ln(1)(cos )x y x +=，有2ln cos ln ln(1)xy x =+，以下同方法1．(2)【答案】542=-+z y x【详解】由题意，只要满足所求切平面的法向量与已知平面的法向量平行即可．平面042=-+z y x 的法向量：1{2,4,1}n =-；曲面22y x z +=在点),,(000z y x 的法向量：20000{(,),(,),1}x y n z x y z x y =-00{2,2,1}x y =- 由于12//n n ，因此有00221241x y -==- 可解得，2,100==y x ，相应地有.520200=+=y x z所求切平面过点(1,2,5)，法向量为：2{2,4,1}n =-，故所求的切平面方程为0)5()2(4)1(2=---+-z y x ，即 542=-+z y x(3)【答案】1【详解】将)()(2ππ≤≤-=x x x f 展开为余弦级数2()cos ()n n f x x a nx x ππ∞===-≤≤∑，其中⎰=ππ0cos )(2nxdx x f a n ．所以 x d x xdx x a 2sin 12cos 22022⎰⎰=⋅=ππππ201[sin 2sin 22]x xx xdx πππ=-⋅⎰ 01cos2xd x ππ=⎰001[cos2cos2]x x xdx πππ=-⎰1=(4)【答案】⎪⎪⎭⎫⎝⎛--2132【详解】n 维向量空间中，从基n ααα,,,21 到基n βββ,,,21 的过渡矩阵P 满足[n βββ,,,21 ]=[n ααα,,,21 ]P ，因此过渡矩阵P 为：P =[121],,,-n ααα [],,,21n βββ ．根据定义，从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为 P =[121],-αα[⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-21111011],121ββ=.213221111011⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-(5)【答案】14． 【分析】本题为已知二维随机变量(,)X Y 的概率密度(,)f x y ，求满足一定条件的概率}),({0z Y X g P ≤．连续型二维随机变量(,)X Y 概率的求解方法(,)(,),yxF x y f u v dudv -∞-∞=⎰⎰此题可转化为二重积分}),({0z Y X g P ≤0(,)(,)g x y z f x y dxdy ≤=⎰⎰进行计算．【详解】图中阴影区域为积分区域. 由题设，有=≤+}1{Y X P 1(,)x y f x y dxdy +≤⎰⎰11206xxdx xdy -=⎰⎰1220(612)x x dx =-⎰14=(6)【答案】)49.40,51.39(． 【分析】可以用两种方法求解：(1) 已知方差12=σ，对正态总体的数学期望μ进行估计. 因为(,1)X N μ，设有n 个样本，样本均值11ni i X X n ==∑，则1(,)XN n μ，将其标准化，~(0,1)X N 得：)1,0(~1N nX μ- 由正态分布分为点的定义αμα-=<-1}1{2u nX P 可确定临界值2αu ，进而确定相应的置信区间22(x u x u αα-+．(2)本题是在单个正态总体方差已知条件下，求期望值μ的置信区间问题．由教材上已经求出的置信区间22(x u x u αα-+，其中2{}1,(0,1)P U u UN αα<=-，可以直接得出答案．【详解】方法1：由题设，95.01=-α，可见.05.0=α 查标准正态分布表知分位点.96.12=αu 本题16n =, 40=x .根据 1.96}0.95P <=，有 1.96}0.95P <=，即{39.5140.49}0.95P μ<<=，故μ的置信度为0．95的置信区间是)49.40,51.39(． 方法2：由题设，95.01=-α，22222{}{}2()10.95,()0.975P U u P u U u u u ααααα<=-<<=Φ-=Φ=查得.96.12=αu 将1σ=，16n =, 40=x代入22(x u x u αα-+得置信区间)49.40,51.39( 二、选择题(1)【答案】()C【分析】函数的极值点可能是驻点(一阶导数为零) 或导数不存在的点，极值点是极大值点还是极小值 点可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定． 【详解】根据导函数的图形可知，一阶导数为零的 点有3个(导函数与x 轴交点的个数)；0x =是导数 不存在的点．对3个一阶导数为零的点左右两侧导数符号均 不一致，故必为极值点，其中第一个交点左右两侧 导数符号由正变为负，是极大值点；第二个交点和第三个交点左右两侧导数符号由负变为正，是极小值点，则三个驻点中有两个极小值点，一个极大值点；对导数不存在的点：0x =．左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见0x =为极大值点．故()f x 共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C)．(2)【答案】()D 【详解】方法1：推理法由题设lim 1n n b →∞=，假设lim n n n b c →∞存在并记为A ，则lim limn nn n n nb c c A b →∞→∞==,这与lim n n c →∞=∞矛盾，故假设不成立，lim n n n b c →∞不存在． 所以选项()D 正确．方法2：排除法取1n a n =，1n n b n-=，满足0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b , 而11111,0,a b a b ==>，()A 不正确；取1n n b n-=，2n c n =-，满足1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,而1101b c =>-=，()B 不正确；取1n a n=，2n c n =-，满足0lim =∞→n n a ,∞=∞→n n c lim ,而lim 1n n n a c →∞=，()C 不正确．(3)【答案】()A 【详解】由2220,0(,)lim1()x y f x y xyx y →→-=+222(,)(1)()f x y xy x y α⇒-=++，其中00lim 0x y α→→=． 由(,)f x y 在点(0,0)连续知，(0,0)0f =．取y x =，x 充分小，0x ≠，有222(,)(1)(2)0f x y x x α=++>；取y x =-，x 充分小，0x ≠，有222(,)(1)(2)0f x y x x α=-++< 故点(0,0)不是(,)f x y 的极值点，应选()A ． (极值的定义)(4)【分析】 本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则当s r >时，向量组I 必线性相关． 或其逆否命题：若向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，且向量组I 线性无关，则必有s r ≤． 可见正确选项为(D)． 本题也可通过举反例用排除法找到答案．【详解】 用排除法：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,00211ββα，则21100ββα⋅+⋅=，但21,ββ线性无关，排除(A)；⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01,01,00121βαα，则21,αα可由1β线性表示，但1β线性无关，排除(B)；⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,01211ββα，1α可由21,ββ线性表示，但1α线性无关，排除(C)．(5)【答案】(B)【分析】本题可找反例用排除法进行分析，但①、②两个命题的反例比较复杂一些，关键是抓住③、④，迅速排除不正确的选项． 【详解】若0AX =与0BX =同解，则它们的解空间中的基础解系所含向量个数相同，即n -秩(A )=n -秩(B ), 得秩(A )=秩(B )，命题③成立，可排除(A), (C)；但反过来，若秩(A )=秩(B )，则不能推出0AX =与0BX =同解，通过举一反例证明，若⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0001A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1000B ，则秩(A )=秩(B )=1，但0AX =与0BX =不同解，可见命题④不成立，排除(D). 故正确选项为(B)．(6)【答案】(C)．【分析】求解这类问题关键在于了解产生2χ变量、t 变量、F 变量的典型模式．(1)2χ分布：设12,,,n X X X 相互独立且均服从标准正态分布，则随机变量21ni i Z X ==∑服从自由度为n 的2χ分布．记做2().Zn χ(2)t 分布：设1(0,1)X N ，22~()X n χ，且12,X X 相互独立，则随机变量Z =n 的t 分布．记做()Z t n(3)F 分布：设2212(),(),Xn Y n χχ且,X Y 相互独立，则随机变量12X n Z Y n =服从F 分布，其第一、二自由度分别为12,.n n 记做12(,).ZF n n【详解】其实，由F 分布的性质以及t 分布和F 分布的关系得，(1) 如果统计量 ()T t n ，则有2(1,)T F n ；(2) 如果统计量12(,)FF n n ，则有211(,)F n n F．由以上两条性质可以直接得出本题的答案为(C)．先由t分布的定义知()X t n =，其中)(~),1,0(~2n V N U χ，于是 21XY ==122U n V U n V =， 分母中只含有一个标准正态分布的平方，所以)1(~22χU. 由F 分布的定义知~(,1).Y F n 故应选(C)．三【分析】圆锥体体积公式：213V r h π=⋅；旋转体的体积：(1) 连续曲线()y f x =，直线x a =、x b =所围成的图形绕直线0x x =旋转一周而成的立体的体积[]210()ba V f x x dx π=-⎰(2) 连续曲线()x g x =，直线y c =、y d =所围成的图形绕直线0y y =旋转一周而成的立体的体积[]220()dc V g y y dy π=-⎰【详解】为了求D 的面积，首先要求出切点的坐标，设切点的横坐标为0x ，则曲线ln y x =在点)ln ,(00x x 处的切线方程是：).(1ln 000x x x x y -+=切线的斜率为01x y x '=，由于该切线过原点，将(0,0)点代入切线方程，得01ln 0=-x ，从而.0e x = 所以该切线的方程为.1x ey =(1) 利用平面图形D 的面积公式()()S y y dy βαϕψ=-⎰，得⎰-=-=1.121)(e dy ey e A y (2) 旋转体体积可用一大立体(圆锥)体积减去一小立体体积进行计算，为了帮助理解，可画一草图．切线x ey 1=与x 轴及直线x e =所围成的三角形绕直线x e =旋转所得的圆锥体积为： 122101().3V e ey dy e ππ=-=⎰曲线ln y x =与x 轴及直线x e =所围成的图形绕直线x e =旋转所得的旋转体体积为：dy e e V y 212)(⎰-=π1220(2)y y e e e e dy π=-⋅+⎰12201(2)2yy e y e e e π=-⋅+211(2)22e e π=-+-因此所求旋转体的体积为).3125(6)(312102221+-=--=-=⎰e e dy e e e V V V y πππ四【分析】幂级数展开有直接法与间接法，一般考查间接法展开，即通过适当的恒等变形、求导或积分等，转化为可利用已知幂级数展开的情形．另外，由于函数展开成的幂级数，经两边求导或积分(其中一边是逐项求导或逐项积分)后，其新的展开式收敛区间不变，但在收敛区间端点处，求导(积分)后的展开式成立与否，要另行单独处理，设已有00()()n n n f x a x x ∞==-∑收敛区间为00(,)x R x R -+． 如果在0x x R =+处级数收敛，并且()f x (左)连续，则展开式成立的范围可扩大到0x x R =+处，在0x x R =-处亦有类似的结论，不过此时()f x (左)连续应改称(右)连续． 【详解】本题可先求导，()f x '()2222(12)2(12)1212121212111212x x x x x x x x x '-+---⎛⎫ ⎪++⎝⎭==--⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭基本求导公式 22422(14)14x x --==++21214x=-+ 对于函数2114x +，可以利用我们所熟悉的函数x-11的幂级数展开：2011(11)1nnn x x x x x x ∞==+++++=-<<-∑所以 2222001(4)(1)414114n n n nn n x x x x ∞∞===-=--<-<+∑∑ (把x 换成24x -) 有 22111()22(1)4,(,).1422n n nn f x x x x ∞='=-=--∈-+∑对上式两边求积分，得200()(0)()2(1)4xx n n n n f x f f t dt t dt ∞=⎛⎫'-==-- ⎪⎝⎭∑⎰⎰221000(1)4112(1)42,(,)2122n n x nnnn n n t dt x x n ∞∞+==-=--=-∈-+∑∑⎰，又因为04f π=（），所以()(0)()xf x f f t dt '=+⎰=).21,21(,124)1(24120-∈+--+∞=∑x x n n n n n π即 21012(1)411arctan 2,(,).1242122n n n n x x x x n π∞+=--=-∈-++∑ (*)在21=x 处，右边级数成为0(1)1212n n n ∞=-⋅+∑，收敛(利用莱布尼茨定理)，左边函数()f x 连续，所以成立范围可扩大到21=x 处．而在12x =-处，右边级数虽然收敛，但左边函数()f x 不连续，所以成立范围只能是11(,]22x ∈-．为了求∑∞=+-012)1(n n n ，令21=x 代入(*)得∑∑∞=+∞=+--=⋅+--=012012)1(4]21124)1([24)21(n n n n n n n f ππ, 再由0)21(=f ，得.4)21(412)1(0ππ=-=+-∑∞=f n n n五【详解】(1) 方法1：用格林公式证明. 由曲线为正向封闭曲线，自然想到用格林公式L D Q P Pdx Qdy dxdy x y ⎛⎫∂∂+=- ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰． 所以 ⎰⎰⎰--+=-D x yx Ly dxdy e edx ye dy xe )(sin sin sin sin所以 ⎰⎰⎰+=---Dxy x L y dxdy e e dx ye dy xe )(sin sin sin sin 因为积分区域D 关于y x =对称，所以sin sin sin sin ()()x y yxyx DDeedxdyee dxdy --+=+⎰⎰⎰⎰与互换故 dx ye dy xe dx ye dy xex Ly x L ysin sin sin sin -=-⎰⎰--方法2：化为定积分证明左边sin sin yxLL xedy yedx -=-⎰⎰=dx edy exy⎰⎰--0sin 0sin ππππ=⎰-+ππ0sin sin )(dx e e x x右边sin sin y x LLxe dy ye dx -=-⎰⎰=⎰⎰--ππππ00sin sin dx e dy e x y =⎰-+ππ0sin sin )(dx e e x x所以 dx ye dy xe dx ye dy xex Ly x L ysin sin sin sin -=-⎰⎰--．(2) 方法1：用格林公式证明⎰⎰⎰--+=-Dxy x Ly dxdy e e dx ye dy xe )(sin sin sin sin =dxdy e dxdy eDDx y⎰⎰⎰⎰-+sin sin =dxdy e dxdy e DDx x ⎰⎰⎰⎰-+sin sin 利用轮换对称性=sin sin ()2x x DDe e dxdy dxdy -+≥⎰⎰⎰⎰22π=(因为0,0a b a b +≥>>)方法2：由(1)知，sin sin sin sin 0()2y x x x Lxe dy ye dx e e dx dx ππππ---=+≥⎰⎰⎰22π=六【详解】(1) 建立坐标系，地面作为坐标原点，向下为x 轴正向，设第n 次击打后，桩被打进地下n x ，第n 次击打时，汽锤所作的功为),3,2,1( =n W n ．由题设，当桩被打进地下的深度为x 时，土层对桩的阻力的大小为kx ，汽锤所作的功等于克服阻力所做的功．121102x k W kxdx x ==⎰，2122221()2x x k W kxdx x x ==-⎰，3222332()2x x k W kxdx x x ==-⎰，1x a =从而 212332k W W W x ++=又 12rW W =，2321W rW r W ==， 从而222231231(1)(1)22k k x W W W r r W r r a =++=++=++于是 3x =(2) 第n 次击打后，桩被打进地下n x ，第n 次击打时，汽锤所作的功为),3,2,1( =n W n ． 则汽锤前n 次所功的和等于克服桩被打进地下n x m 所做的功．11210(1)nx n n kxdx W W W r r W -=+++=+++⎰而 2102a kW kxdx a ==⎰ 牛-莱公式所以212(1)22n n k k x r r a -=+++从而 n x = 等比数列求和公式由于01r <<，所以1lim n n x +→∞=．七【详解】 (1) 将题中的dy dx 与22d x dy 变换成以x 为自变量y 为因变量的导数dx dy 与22d ydx来表示(即通常所说的反函数变量变换)，有dy dx =y dxdy '=11，)(22dy dx dy d dy x d ==dy dx y dx d ⋅')1(=32)(1y y y y y '''-='⋅'''-． 代入原方程，得 .sin x y y =-'' ( * )(2) 方程( * )所对应的齐次方程为0=-''y y ，特征方程为210r -=，根1,21r =±，因此通解为.21xx e C e C Y -+= 由于i λω+不是特征方程得根，所以设方程( * )的特解为x B x A y sin cos *+=则 *sin cos y A x B x '=-+，*cos sin y A x B x ''=--代入方程( * )，得：cos sin cos sin 2cos 2sin sin A x B x A x B x A x B x x ----=--= 解得21,0-==B A ，故x y sin 21*-=. 从而x y y sin =-''的通解为 .sin 2121*x e C e C y Y y x x -+=+=-由23)0(,0)0(='=y y ，得1,121-==C C ．故变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解为.sin 21x e e y x x --=-且()y x 的导函数1()cos 02x x y x e e x -'=+->，满足题设0y '≠条件．八【详解】(1) 首先对()F t 进行化简，三重积分转化为在球面坐标系中的计算；二重积分转化为在极坐标系中的计算．222222220()()()sin 2sin ()t tt f x y z dv d d f r r dr d f r r dr πππθϕϕπϕϕΩ++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()2222002()cos 4()t tf r r dr f r r dr ππϕπ=⋅-=⎰⎰ (球面坐标)222220()()()2()t tD t f x y d d f r rdr f r rdr πσθπ+==⎰⎰⎰⎰⎰ (极坐标)所以222220000222()sin 4()()()2()ttttd d f r r drf r r drF t d f r rdrf r rdrπππθϕϕπθπ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22022()()ttf r r drf r rdr=⎰⎰为了讨论()F t 在区间),0(+∞内的单调性，对()F t 求导：222222022()()()()()2[()]t ttt f t f r rdr f r r dr f t tF t f r rdr ⋅-⋅'=⎰⎰⎰22022()()()2[()]tttf t f r r t r drf r rdr ⋅-=⎰⎰由于()0,0,0f t r t r >>->，所以2()()0f r r t r ->. 再利用定积分的性质：若在区间[,]a b 上()0f x >，则()0baf x dx >⎰. 所以()0F t '>，所以()F t 在区间),0(+∞内严格单调增加．(2) 将待证的不等式作适当的恒等变形后，构造辅助函数，再用单调性进行证明即可．因为 2220()2()2()t t ttf x dx f x dx f r dr -==⎰⎰⎰，所以2222()0022200()2()()()()2()()ttD t ttttf x y d f r rdr f r rdrG t f x dxf r drf r drσππ-+===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰要证明0t >时)(2)(t G t F π>，只需证明0t >时，0)(2)(>-t G t F π，即22200222()2()2()()()()t tttf r r drf r rdrF tG t f r rdrf r drπ-=-⎰⎰⎰⎰()()()()()222222202()()()()()tttttf r r dr f r dr f r rdr f r rdr f r dr⎡⎤⋅-⎢⎥⎣⎦=⋅⎰⎰⎰⎰⎰令 ()()()22222()()()()tt tg t f r r dr f r dr f r rdr =⋅-⎰⎰⎰222222220222()()()()()2()()()()()0ttttg t f t t f r dr f t f r r dr f t t f r rdrf t f r t r dr t '=+-=->>⎰⎰⎰⎰故()g t 在),0(+∞内单调增加，又因为(0)0g =，所以当0t >时，有()0)0g t g >=（， 从而0t >时，).(2)(t G t F π>九【分析】 法1：可先求出*1,A P -，进而确定P A P B *1-=及2B E +，再按通常方法确定其特征值和特征向量；法2：先求出A 的特征值与特征向量，再相应地确定*A 的特征值与特征向量，最终根据2B E +与*2A E +相似求出其特征值与特征向量． 【详解】方法1：经计算可得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=522252225*A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-1000011101P ，所以 P A P B *1-==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----322452007，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=+5224720092E B ．令 2900(2)274(9)(3)0225E B E λλλλλλ--+=-=--=-，故2B E +的特征值为.3,9321===λλλ当921==λλ时，解0)9(=-x A E ，得线性无关的特征向量为,0111⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=η ,1022⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=η所以属于特征值921==λλ的所有特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+102011212211k k k k ηη，其中21,k k 是不全为零的任意常数．当33=λ时，解0)3(=-x A E ，得线性无关的特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1103η，所以属于特征值33=λ的所有特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=110333k k η，其中03≠k 为任意常数． 方法2：设A 的特征值为λ，对应的特征向量为η，即ληη=A ．由于07≠=A ，所以.0≠λ所以 ***()()A A A E A A A E A A A E ηηηη=⇒=⇒=***()AA A A A A ληηληηηηλ⇒=⇒=⇒=，于是 11*11()()()AB P P A P P P ηηηλ----==，.)2()2(11ηλη--+=+P AP E B因此，2+λA为2B E +的特征值，对应的特征向量为.1η-P由于)7()1(3222322232--=---------=-λλλλλλA E ，故A 的特征值为1231,7λλλ===当121==λλ时，对应的线性无关特征向量可取为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=0111η， .1012⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=η 当73=λ时，对应的一个特征向量为.1113⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=η 由⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-1000011101P，得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-01111ηP ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-11121ηP ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-11031ηP ．因此，2B E +的三个特征值分别为9，9，3．对应于特征值9的全部特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+--11101121212111k k P k P k ηη，其中21,k k 是不全为零的任意常数；对应于特征值3的全部特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-1103313k P k η，其中3k 是不为零的任意常数．十【分析】三条直线相交于一点，相当于对应线性方程组有唯一解，进而转化为系数矩阵与增广矩阵的秩均为2．【详解】方法1：“必要性”. 设三条直线321,,l l l 交于一点，则线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+,32,32,32b ay cx a cy bx c by ax (*) 有唯一解，故系数矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a c c b b a A 222与增广矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=b a c a c b c b a A 323232的秩均为2，于是.0=A232()3()23232323a b c a b c b c a c a b A bc a b c a c a bc ab -++++-++=-=---123111()236()23a b c b ca abc b c a c a b c a b -=++-=-++-16()6()c ba ba b c b c b a b a b c a c b cc a c b c--=-++--=-++----6()[()()()()]a b c c b b c a b a c =-++-----2226()()a b c bc c b bc a ac ab bc =-++--+-++- 2226()()a b c a b c ac ab bc =++++--- 2223()[()()()]a b c a b b c c a =++-+-+-,由于三条直线互不相同，所以0)()()(222≠-+-+-a c c b b a ，故.0=++c b a“充分性”. 由0=++c b a ，则从必要性的证明可知，0=A ，故秩.3)(<A由于])([2)(22222b b a a b ac cb ba ++-=-==0]43)21[(222≠++-b b a ，故秩()2A =．于是，秩(A )=秩)(A =2．因此方程组(*)有唯一解，即三直线321,,l l l 交于一点．方法2：“必要性”设三直线交于一点),(00y x ，则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100y x 为0BX =的非零解，其中2323.23a b c B b c a c a b ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 所以||0B =．而232323232323a b c a bcB bc a bc a A c a bca b-==--=-- 2223()[()()()]a b c a b b c c a =-++-+-+-,(解法同方法1)但根据题设 0)()()(222≠-+-+-a c c b b a ，故.0=++c b a “充分性”：考虑线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+,32,32,32b ay cx a cy bx c by ax (*) 将方程组(*)的三个方程相加，并由.0=++c b a 可知，方程组(*)等价于方程组⎩⎨⎧-=+-=+.32,32a cy bx c by ax (* *) 因为])([2)(22222b b a a b ac cb b a ++-=-==222[()]0a b a b -+++≠,故方程组(* *)有唯一解，所以方程组(*)有唯一解，即三直线321,,l l l 交于一点．十一【详解】乙箱中可能的次品件数为0,1,2,3,分别求出其概率，再按定义求数学期望即可；而求从乙箱中任取一件产品是次品的概率，涉及到两次试验，是典型的用全概率公式的情形，第一次试验的各种可能结果(取到的次品数)就是要找的完备事件组．(1) 方法1：X 的可能取值为0,1,2,3, 取出k 件次品()0,1,2,3k =的取法有333kkC C -种；样本空间即从两个箱子中取出3件产品的总的取法数为36C ．所以有，X 的概率分布为36333}{C C C k X P kk -==， k 0,1,2,3.= 即 X 0 1 2 3 P201 209 209 201 因此，由离散型数学期望的定义{}1()nk k k E X x P X x ==⋅=∑易得 19913()0123.202020202E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 方法2：本题对数学期望的计算也可用分解法：设0, ,1,i i X i ⎧=⎨⎩从甲箱中取出的第件产品是合格品从甲箱中取出的第件产品是次品. 则i X 的概率分布为i X 0 1P 21 21 .3,2,1=i 因为321X X X X ++=，所以由数学期望的线性可加性，有()()()()1233.2E X E X E X E X =++= (2) 设A 表示事件“从乙箱中任取一件产品是次品”，由于}0{=X ，}1{=X ，}2{=X ，}3{=X 构成完备事件组，因此根据全概率公式，有∑====30}{}{)(k k X A P k X P A P =33001{}{}66k k k P X k k P X k ===⋅=⋅=∑∑ ()1131.6624E X ==⋅=十二【分析】本题表面上是一数理统计问题，实际上考查了求分布函数、随机变量的函数求分布和概率密度以及数学期望的计算等多个知识点．将数理统计的概念与随机变量求分布与数字特征结合起来是一种典型的命题形式．求分布函数()F X 是基本题型：求统计量θˆ的分布函数)(ˆx F θ，可作为多维相互独立且同分布的随机变量函数求分布函数，直接用定义即可；是否具有无偏性，只需检验θθ=ˆE 是否成立．【详解】(1) 由连续型随机变量分布函数的定义，有.,,0,1)()()(2θθθ≤>⎩⎨⎧-==⎰∞---x x e dt t f x F xx (2) 由题给).,,,min(ˆ21nX X X =θ，有 }),,,{min(}ˆ{)(21ˆx X X X P x P x F n≤=≤= θθ 121{min(,,,)}n P X X X x =->121{,,,}n P X x X x X x =->>> 1[1()]n F x =--2(),1,.0,n x x e x θθθ-->⎧-=⎨≤⎩(3) 由连续型随机变量概率密度是分布函数在相应区间上的微分得θˆ概率密度为 .,,0,2)()()(2ˆˆθθθθθ≤>⎩⎨⎧==--x x ne dx x dF x f x n因为 2()ˆˆ()()2n x E xf x dx nxe dx θθθθ+∞+∞---∞==⎰⎰12nθθ=+≠， 所以θˆ作为θ的估计量不具有无偏性．。

(3)2003年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)的平均值为40 (cm)，贝U 的置信度为0.95的置信区间是(注：标准正态分布函数值(1.96) 0.975, (1.645) 0.95.)二、选择题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内)一个极小值点和两个极大值点 两个极小值点和一个极大值点 两个极小值点和两个极大值点已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且lim f (x, y)―xyx 0, y 0(1)lim (cos x)x 0(2)曲面z x 2(3) 设x 21ln(1 x 2)2x 4y z 0平行的切平面的方程是a n cosnx()，则 a2 =(4) 从R 2的基到基1 的过渡矩阵为(5) 设二维随机变量 (X,Y)的概率密度为 f (x, y)6x, 0 0,x y 其他,1,则 P{X Y 1}(6) 已知一批零件的长度 X (单位：cm)服从正态分布 N(,1)，从中随机地抽取16个零件，得到长度(1) 设函数f(x)在()内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有(A) (B) (C) 0, lim b nn1 ,lim c nn，则必有(A) a nb n 对任意n 成立.(B) b n C n 对任意(C) 极限lim a n C n 不存在. n(D)极限lim b n C n 不存在.n1，则2 2 2(x y )n y 2与平面 0n(A) 点(0,0)不是f(x,y)的极值点.(B) 点(0,0)是f(x,y)的极大值点.(C) 点(0,0)是f(x,y)的极小值点.(D)根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点.(4)设向量组I:1, 2, , r可由向量组II:1? 2 ,,s线性表示，则(A)当r s时, 向量组II必线性相关•(B)当(r s 时，向量组II必线性相关(C)当r s时，向量组I必线性相关•(D)当j r s 时，向量组1必线性相关[](5)设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0,其中A,B均为m n矩阵，现有4个命题:①若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A)秩(B)；②若秩(A)秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解；③若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(B)；④若秩(A)=秩(B)，则Ax=0与Bx=0同解.以上命题中正确的是(A)①②•(B)①③•(C)②④•(D)③④•[ ](6) 设随机变量X~t(n)(n1),Y 1X2，则(A)2Y~ (n )•(B)Y〜2(n 1).(C)Y ~ F(n,1)・(D)Y〜F(1, n).[]三、(本题满分10分)过坐标原点作曲线y=lnx的切线，该切线与曲线y=lnx及x轴围成平面图形 D.(1) 求D的面积A;(2) 求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积V.四、(本题满分12分)1 2x ( i)n将函数f (x) arctan 展开成x的幕级数，并求级数的和•1 2x n 02n 1五、(本题满分10分)已知平面区域D {(x, y) 0 x ,0 y }，L为D的正向边界•试证：sin y . sin x . sin y . sin x .(1) ;xe dy ye dx xe dy ye dx；sin y . sin x . - 2(2) ；xe dy ye dx 2 .六、(本题满分10分)某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层•汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为k,k>0)•汽锤第一次击打将桩打进地下根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0<r<1).问(1) 汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？(2) 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？.设土a m.(注：m 表示长度单位米.) 七、(本题满分12分)A 的伴随矩阵，E 为3阶单位矩阵. 十、(本题满分8分)已知平面上三条不同直线的方程分别为1 : ax2by 3c 0， 2 : bx2cy 3a 0， 3: cx2ay 3b 0.试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 十一、(本题满分10分) 已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品.从 甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：(1) 乙箱中次品件数的数学期望； (2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率 .十二、(本题满分8分) 设总体X 的概率密度为设函数y=y(x)在()内具有二阶导数，且y 0, x x(y)是y=y(x)的反函数.(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程第(ydydxsin x)(-dx)3 0变换为y=y(x)满足的微分方程; dy求变换后的微分方程满足初始条件y(0) 0, y (0)、(本题满分12分) 设函数f(x)连续且恒大于零，2 2 2f (x y z )dv(t)y 2)dF(t))d，G(t)f(x 2D(t)t 2，1f(x )dx(t) {( x, y, z) x 2 2 y 2 .2-1z t }，D(t){(x, y) x 22 .2,yt}(1)讨论F(t)在区间 (0, )内的单调性(2)证明当t>0时， F(t)-G(t).九、(本题满分10分)3 2 2 0 1 0设矩阵A 2 3 2， P 1 0 1， B P 1A P ，求 B+2E 2 2 3 0 0 1a b c 0.其中的特征值与特征向量，其中A *为D(t)0是未知参数•从总体X 中抽取简单随机样本 X 1,X 2, ,X n ，记? min (X^X ?, ,X n ).(1) 求总体 X 的分布函数 F(x); (2) 求统计量 ?的分布函数 F ?(x)；(3) 如果用 ?作为 的估计量，讨论它是否具有无偏性f(x)2e 2(x ),x0, x其中2003年考研数学一真题评注、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)1ln(1 x 2)lim 1_ ln cosx【详解 1】lim(cosx)ln(1 x )= e x 0ln(1 x)x 0sin x1所以原式=e 2故所求的切平面方程为2(x 1) 4(y 2) (z 5) 0,即卩 2x 4y z 5._ 1= ,e .(1) i|m (cos x)【分析】1型未定式，化为指数函数或利用公式lim f (x)g(x) (1 ) = e lim(f(x) 1)g(x)进行计算求极限均而lim x 0 ln(1In cos xx 2) lim 竺空x 0x 2limcosxx 02x，故原式=e1 e"【详解2】 因为lim (cos x 1)x 0ln(1 x 2)1 2xlim 2—x 0 x 2(2) 曲面z2y 与平面2x4yz 0平行的切平面的方程是 2x 4y z 5. 【分析】 待求平面的法矢量为 n {2,4, 1}，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程 ，而切点坐标可根据曲面z 2 2x y 切平面的法矢量与 n{2,4, 1}平行确定•【详解】22令 F (x, y, z) z x y ,则F x 2x ， F y 2y ， F z 1 .设切点坐标为(x 0,y °,Z 0)，则切平面的法矢量为 { 2x 。

2003年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.)(1))1ln(12)(cos lim x x x +→= .(2)曲面22y x z+=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是.(3)设)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n,则2a =.(4)从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为 .(5)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为，y x x y x f 其他,10,0,6),(≤≤≤⎩⎨⎧= 则=≤+}1{Y X P.(6)已知一批零件的长度X (单位:cm )服从正态分布)1,(μN ,从中随机地抽取16个零件,得到长度的平均值为40(cm ),则μ的置信度为0.95的置信区间是.(注:标准正态分布函数值(1.96)0.975,(1.645)0.95.ΦΦ==)二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设函数()f x 在),(+∞-∞内连续,其导函数的图形如图所示,则()f x 有(A ) 一个极小值点和两个极大值点. (B ) 两个极小值点和一个极大值点. (C ) 两个极小值点和两个极大值点. (D ) 三个极小值点和一个极大值点.(2)设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列,且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有(A ) n n b a <对任意n 成立.(B ) n n c b <对任意n 成立.(C ) 极限n n n c a ∞→lim 不存在.(D ) 极限n n n c b ∞→lim 不存在.(3)已知函数(,)f x y 在点(0,0)的某个邻域内连续,且22200(,)lim1()x y f x y xyx y →→-=+,则 (A ) 点(0,0)不是(,)f x y 的极值点. (B ) 点(0,0)是(,)f x y 的极大值点. (C ) 点(0,0)是(,)f x y 的极小值点.(D ) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为(,)f x y 的极值点.(4)设向量组I:r ααα,,,21 可由向量组II:s βββ,,,21 线性表示,则 (A ) 当s r <时,向量组II 必线性相关.(B ) 当s r>时,向量组II 必线性相关.(C ) 当s r <时,向量组I 必线性相关.(D ) 当s r >时,向量组I 必线性相关.(5)设有齐次线性方程组0Ax =和0Bx =,其中,A B 均为n m ⨯矩阵,现有4个命题: ①若0Ax =的解均是0Bx =的解,则秩(A )≥秩(B ); ②若秩(A )≥秩(B ),则0Ax =的解均是0Bx =的解; ③若0Ax =与0Bx =同解,则秩(A )=秩(B ); ④若秩(A )=秩(B ),则0Ax =与0Bx =同解. 以上命题中正确的是(A ) ①②.(B ) ①③.(C ) ②④.(D ) ③④.(6)设随机变量21),1)((~X Y n n t X =>,则 (A ) )(~2n Yχ.(B ) )1(~2-n Yχ.(C ) )1,(~n F Y .(D ) ),1(~n F Y .过坐标原点作曲线ln y x =的切线,该切线与曲线ln y x =及x 轴围成平面图形D . (1)求D 的面积A ;(2)求D 绕直线x e =旋转一周所得旋转体的体积V .四、(本题满分12分)将函数x xx f 2121arctan )(+-=展开成x 的幂级数,并求级数∑∞=+-012)1(n n n 的和.五、(本题满分10分) 已知平面区域}0,0),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ,L 为D 的正向边界.试证:(1)dx ye dy xe dx ye dy xe xLy x Ly sin sin sin sin -=-⎰⎰--; (2).22sin sin π≥--⎰dx ye dy xex Ly六、(本题满分10分)某建筑工程打地基时,需用汽锤将桩打进土层.汽锤每次击打,都将克服土层对桩的阻力而作功.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为,0k k >).汽锤第一次击打将桩打进地下a (m ).根据设计方案,要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数(01)r r <<.问(1)汽锤击打桩3次后,可将桩打进地下多深? (2)若击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下多深? (注:m 表示长度单位米.)七、(本题满分12分)设函数()y y x =在),(+∞-∞内具有二阶导数,且)(,0y x x y =≠'是()y y x =的反函数.(1)试将()x x y =所满足的微分方程0))(sin (322=++dy dx x y dyx d 变换为()y y x =满足的微分方程;(2)求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解.设函数()f x 连续且恒大于零,222()22()()()()t D t f xy z dVF t f x y d σΩ++=+⎰⎰⎰⎰⎰,22()2()()()D t tt f x y d G t f x dxσ-+=⎰⎰⎰,其中}),,{()(2222t z y x z y x t ≤++=Ω,}.),{()(222t y x y x t D ≤+=(1)讨论()F t 在区间),0(+∞内的单调性. (2)证明当0t >时,).(2)(t G t F π>九、(本题满分10分)设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=322232223A ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100101010P ,P A P B *1-=,求2B E +的特征值与特征向量,其中*A 为A 的伴随矩阵,E 为3阶单位矩阵.十、(本题满分8分)已知平面上三条不同直线的方程分别为:1l 032=++c by ax ,:2l 032=++a cy bx , :3l 032=++b ay cx .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a十一、(本题满分10分)已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有3件合格品和3件次品,乙箱中仅装有3件合格品.从甲箱中任取3件产品放入乙箱后,求:(1)乙箱中次品件数X 的数学期望; (2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率.十二、(本题满分8分)设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=--,,,0,2)()(2θθθx x e x f x其中0>θ是未知参数.从总体X 中抽取简单随机样本n X X X ,,,21 ,记12ˆmin(,,,X X θ=L )n X .(1)求总体X 的分布函数()F x ; (2)求统计量θˆ的分布函数)(ˆx F θ;(3)如果用θˆ作为θ的估计量,讨论它是否具有无偏性.2003年考研数学一试题答案与解析一、填空题(1)【分析】 属1∞型. 原式=1cos 1cos 1ln(1)lim[1(cos 1)].x x x x x -⋅-+→+-利用等价无穷小因子替换易求得2121lim)1ln(1)1(cos lim 22020-=-=+⋅-→→x xx x x x , 故原式=12.e -(2)【分析】 曲面在任意点(,,)P x y z 处的法向量{2,2,1}x y =-n ,n 与平面042=-+z y x 的法向量{2,4,1}=-0n 平行,λλ⇔=0n n 为某常数,即22,24,1.x y λλλ==-=- 从而1, 2.x y ==,又点P 在曲面上22(1,2)()5z x y P ⇒=+=⇒点处的{2,4,1}=-n .因此所求切面方程是0)5()2(4)1(2=---+-z y x ,即245x y z +-=.(3)【分析】 这是求傅氏系数的问题. 已知)()(2ππ≤≤-=x x x f 是以2π为周期的偶函数,按傅氏系数计算公式得2220002211cos 2sin 22sin 22a x xdx x d x x xdx ππππππ===-⎰⎰⎰=00111cos 2cos 2cos 2 1.xd x x x xdx ππππππ=-=⎰⎰(4)【分析】 设由基12,αα到基12,ββ的过渡矩阵为C ,则1212(,)(,)C ββαα=,即11212(,)(,).C ααββ-=那么,由111110231023011201120112⎡⎤⎡⎤⎡⎤→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 可知应填:23.12⎡⎤⎢⎥--⎣⎦当然也可先求出11111,0101-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦再作矩阵乘法而得到过渡矩阵.(5)【分析】 =≤+}1{Y X P 1(,)x y f x y dxdy +≤⎰⎰11206xxdx xdy -=⎰⎰12016(12).4x x dx =-=⎰(6)【分析】 这是一个正态总体方差已知求期望值μ的置信区间问题,该类型置信区间公式为(,),I x x =+其中λ由{}0.95P U λ<=确定(~(0,1))U N 即 1.96λ=.将40,1,16, 1.96x n σλ====代入上面估计公式,得到μ的置信度为0.95的置信区间是(39.51,40.49).二、选择题(1)【分析】 由图,()f x 有三个驻点和一个不可导点0.x ='()f x 在三个驻点处,一个由正变负,两个由负变正,因而这三个驻点中一个是极大值点,两个是极小值点;而点0x =(()f x 的连续点)的左侧'()0f x >,0x =的右侧'()0f x <,0x =是()f x 由增变减的交界点,因而是极大值点.应选(C ).(2)【分析】 (A ),(B )显然不对,因为由数列极限的不等式性质只能得出数列“当n 充分大时”的情况,不可能得出“对任意n 成立”的性质.(C )也明显不对,因为“无穷小⋅无穷大”是未定型,极限可能存在也可能不存在. 故应选(D ).(3)【分析】 由条件000lim[(,)]0lim (,)(0,0)0.x x y y f x y xy f x y f →→→→⇒-=⇒==由极限与无穷小的关系⇒222(,)1(1)()f x y xyo x y -=++ (0).ρ=→⇒2222222(,)()(())()(0).f x y xy x y o x y xy o ρρ=++++=+→ 当y x =时,2(,)(0,0)[1(1)]0f x y f x o -=+>(0ρδ<<时), 当y x =-时,2(,)(0,0)[1(1)]0f x y f x o -=-+<(0ρδ<<时),其中δ是充分小的正数,因此,(0,0)不是(,)f x y 的极值点.应选(A ).(4)【分析】 根据定理“若12,,,s αααL可由12,,,t βββL 线性表出,且s t >,则12,,,s αααL 必线性相关”,即若多数向量可以由少数向量线性表出,则这多数向量必线性相关,故应选(D ).(5)【分析】 显然命题④错误,因此排除(C ),(D ).对于(A )与(B )其中必有一个正确,因此命题①必正确,那么②与③哪一个命题正确呢?由命题①,“若0Ax =的解均是0Bx =的解,则秩(A )≥秩(B )”正确,知“若0Bx =的解均是0Ax =的解,则秩(A )≥秩(B )”正确,可见“若0Ax =与0Bx =同解,则秩(A )=秩(B )”正确.即命题③正确,所以应当选(B ).(6)【分析】 根据t 分布的性质,2~(1,)X F n ,再根据F 分布的性质21~(,1),F n X因此21~(,1)Y F n X=.故应选择(C ).三、【解】(1)曲线ln y x =在点0000(,)(ln )x y y x =处的切线方程为0001();y y x x x -=- 由切线过原点(0,0),得000,y x e ==,所以该切线方程为x y e=.从而,图形的D 面积为(如图)1() 1.2y eA e ey dy =-=-⎰ (2)切线y x e x =、轴与直线x e =所围三角形绕x e =旋转所得圆锥体的体积为211,3V e π=而曲线ln y x x =、轴与直线x e =所围曲边三角形绕x e =的旋转体体积为1222011()(2),22y V e e dy e e ππ=-=-+-⎰或者221112()ln (2).22e V e x xdx e e ππ=-=-+-⎰因此所求旋转体的体积为 212(5123).6V V V e e π=-=-+四、【分析与求解】 (1)因为'()f x 简单,先求'()f x 的展开式,然后逐项积分得()f x 的展开式.因2220112211()()'2(1)4,(,),121214221()12n n nn x f x x x x x x x∞=--'==-=--∈--++++∑ 又(0)4f π=,两边积分得221000(1)411()2(1)42,(,).442122n n x n n nn n n f x t dt x x n ππ∞∞+==-=--=-∈-+∑∑⎰因为()f x 在21=x 连续,21102(1)41(1)21221n n nn x n n xn n ∞∞+===--=++∑∑收敛,所以210(1)411()2,(,].42122n n n n f x x x n π∞+=-=-∈-+∑(2)令21=x ,得21001(1)41(1)()2.24212421n n n n n n f n n ππ∞∞+==--=-⋅=-++∑∑又0)21(=f ,因此0(1).214n n n π∞=-=+∑五、【分析与证明】用格林公式把第二类曲线积分转化为二重积分.(1)由格林公式,有左边曲线积分=sin sin sin sin [()()](),y x y x DDxe ye dxdy e e dxdy x y --∂∂--=+∂∂⎰⎰⎰⎰ 右边曲线积分=sin sin ().y x De e dxdy -+⎰⎰ 因为区域D 关于y x =对称⇒⎰⎰-+Dx y dxdy e e )(sin sin =⎰⎰+-Dxy dxdy e e )(sin sin (x 与y 互换). 因此dx ye dy xe dx ye dy xex Ly x Lysin sin sin sin -=---.①(2)由(1)的结论,有sin sin sin sin sin sin ()()y x y x y yLDDxe dy ye dx e e dxdy e e dxdy ----=+=+⎰⎰⎰⎰⎰Ñ2222.DDdxdy π≥==⎰⎰⎰⎰六、【分析】 设第n 次打击后,桩被打进地下n x ,第n 次打击时,气锤所作的功为),3,2,1( =n W n . 由题设,已知当桩被打进地下的深度为x 时,土层对桩的阻力的大小为kx ,1n n W rW -=要求的是(n x n 3)=及lim .n n x →+∞【解】 通过求1nii W =∑直接求出nx .按功的计算公式:12211011,22x W kxdx kx ka ===⎰2312123,,,.nn x x x n x x x W kxdx W kxdx W kxdx -===⎰⎰⎰L相加得 21201.2nx n n W W W kxdx kx +++==⎰L又 21121n n n n W rW r W r W ---====L ,代入上式得21221111(1),.22n n r r r W kx W ka -++++==L 于是().n x a m ==因此3().x m ==lim ).n n x m →+∞=七、【证明】 (1)实质上是求反函数的一、二阶导数的问题.由反函数求导公式知y dy dx '=1,2211()'()'()'''y y x d x dx dx dy dy y y dy===⋅33''().y dxy y dy ''=-=-' 代入原微分方程,便得常系数的二阶线性微分方程.sin x y y =-''(*)(2)特征方程210r -=的两个根为1,21;r =±由于非齐次项()sin f x x =sin x e x αβ=,0,α=1β=,i i αβ±=±不是特征根,则设(*)的特解*cos sin y a x b x =+,代入(*)求得,10,2a b ==-,故x y sin 21*-=,于是(*)的通解为121()sin .2x x y x C e C e x -=+- 又由初始条件得1,121-==C C ,所求初值问题的解为.sin 21x e e y x x --=-八、【分析与证明】(1)分别作球坐标变换:sin cos ,sin sin ,cos x y z ρϕθϕθρϕ===与极坐标变换:cos ,sin .x r y r θθ==将()F t 中的分子与分母表成定积分,于是222220222()sin 2()().()()ttttd d f drf drF t d f r rdrf r rdrπππθϕρρϕρρθ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰下面求'()F t ,由它的符号讨论()F t 的单调性.由变限积分求导法得2222222022()()()()()2(())tttt f t f r rdr t f t f r r drF t f r rdr -'=⎰⎰⎰220220()()()20,[()]tttf t f r r t r drf r rdr -=>⎰⎰(0,)t ∈+∞.因此()F t 在),0(+∞单调增加.(2)如同题(1),先将()G t 表成定积分:22200022()()().2()()ttttd f r rdrf r rdrG t f r rdrf r drπθπ==⎰⎰⎰⎰⎰要证0t >时,2()(),F t G t π>即证2220022()(),()()t t ttf r r dr f r rdr f r rdrf r dr>⎰⎰⎰⎰即证222220()()[()]0.ttt f r dr f r r dr f r rdr ->⎰⎰⎰(*)我们将利用单调性证明这个不等式. 令222220()()()[()],tttt f r dr f r r dr f r rdr Φ=-⎰⎰⎰⇒2222222200'()()()()()2[()]()tttt f t f r r dr f t tf r dr f r rdr f t t Φ=+-⋅⎰⎰⎰2220()()()0t f t f r t r dr =->⎰,(0,)t ∈+∞又()t Φ在0t =处连续⇒()t Φ在[0,)+∞单调增加0t ⇒>时,()(0)0.t ΦΦ>=因此0t >时,).(2)(t G t F π>九、【解】由于322777232232223011E A λλλλλλλλλλ-------=---=--------2111(7)(1)232(1)(7),011λλλλλ=-----=---故A 的特征值为.7,1321===λλλ因为7,i A λ==∏若,A αλα=则.AA ααλ*=所以,A *的特征值为:7,7,1.由于1B P A P -*=,即A *与B 相似,故B 的特征值为7,7,1.从而2B E +的特征值为9,9,3.因为11111()()(),AB P P A P P P A P ααααλ--*--*-===按定义可知矩阵B 属于特征值Aλ的特征向量是1Pα-.因此2B E +属于特征值2+λA的特征向量是1Pα-.由于,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-1000011101P ,而当1λ=时,由222111()0,222000,222000E A x ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=---→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦得到属于1λ=的线性无关的特征向量为111,0α-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦210.1α-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 当7λ=时,由422121(7)0,242011,224000E A x ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=--→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦ 得到属于7λ=的特征向量为311.1α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦那么1111,0P α-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦1211,1P α--⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦1301.1P α-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦故2B E +属于特征值9λ=的全部特征向量为121111,01k k -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦12,k k 是不全为零的任意常数. 而2B E +属于特征值3λ=的全部特征向量为301,1k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,其中3k 为非零的任意常数.十、【解】必要性:若三条直线交于一点,则线性方程组23,23,23ax by c bx cy a cx ay b +=-⎧⎪+=-⎨⎪+=-⎩(*)有唯一解,故()()2r A r A ==.于是0.A =由于23111236()23a bc A b c a a b c b c a c a b c a b--=-=++---2226()()a b c ab c ab ac bc =++++---2223()[()()()],a b c a b b c c a =++-+-+-(* *)由321,,l l l 是三条不同直线,知a b c ==不成立,那么0)()()(222≠-+-+-a c c b b a .故必有.0=++c b a充分性:若0,a b c ++=由(**)知0=A ,故秩() 3.r A <由22222132()2[()]2[()]0,224a b ac b a a b b a b b b c =-=-++=-++≠(否则0a b c ===.)知秩() 2.r A =于是()() 2.r A r A ==因此,方程组(*)有唯一解,即三条直线321,,l l l 交于一点.十一、【解】 (1)易见,X 服从超几何分布,其分布参数为123,3n N N ===,根据超几何分布的期望公式,可直接得到1123.2N EX nN N ==+(2)设A 表示事件“从乙箱中任意取出的一件产品是次品”,由于{0},{1},{2}X X X ===和{3}X =构成完备事件组,因此根据全概率公式,有3300(){}{}{}6k k kP A P X k P A X k P X k =======⋅∑∑3011131{}.66624k kP X k EX =====⋅=∑十二、【解】 (1)2(),1,()().0,x xx e F x f t dt x θθθ---∞≥⎧-==⎨<⎩⎰(2)}),,,{min(}ˆ{)(21ˆx X X X P x P x F n≤=≤=θθ 12121{min(,,,)}1{,,,}n n P X X X x P X x X x X x =->=->>>L L 121{}{}{}n P X x P X x P X x =->>>L1[1()]nF x =--=2(),1,.0,n x x e x θθθ--≥⎧-⎨<⎩(3)ˆθ的概率密度为 2()ˆˆ,2,()'().0,n x x ne f x F x x θθθθθ-->⎧==⎨≤⎩因为2()ˆ1ˆ()2,2n x E xf x dx nxe dx nθθθθθθ+∞+∞---∞===+≠⎰⎰ 所以ˆθ作为θ的矩估计量不具有无偏性.。

2003年考研数学（一）真题评注一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1） )1ln(12)(cos lim x x x +→ =e1 .【分析】 ∞1型未定式，化为指数函数或利用公式)()(lim x g x f )1(∞=)()1)(lim(x g x f e -进行计算求极限均可.【详解1】 )1ln(12)(cos lim x x x +→=xx x ecos ln )1ln(1lim20+→,而 212c o s s i n lim cos ln lim )1ln(cos ln lim 02020-=-==+→→→x x xx x x x x x x ， 故 原式=.121ee=-【详解2】 因为 2121lim)1ln(1)1(cos lim 22020-=-=+⋅-→→x xx x x x ， 所以 原式=.121ee=-【评注】 本题属常规题型，完全类似例题见《数学复习指南》P.24-25 【例1.30-31】.（2） 曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是542=-+z y x .【分析】 待求平面的法矢量为}1,4,2{-=n，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程, 而切点坐标可根据曲面22y x z +=切平面的法矢量与}1,4,2{-=n平行确定.【详解】 令 22),,(y x z z y x F --=，则x F x 2-='，y F y 2-='， 1='z F .设切点坐标为),,(000z y x ，则切平面的法矢量为 }1,2,2{00y x --，其与已知平面042=-+z y x 平行，因此有11422200-=-=-y x ， 可解得 2,100==y x ，相应地有 .520200=+=y x z故所求的切平面方程为0)5()2(4)1(2=---+-z y x ，即 542=-+z y x .【评注】 本题属基本题型，完全类似例题见《数学复习指南》P.279 【例10.28】和 《数学题型集粹和练习题集》P.112 【例8.13】.（3） 设)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n，则2a = 1 .【分析】 将)()(2ππ≤≤-=x x x f 展开为余弦级数)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n，其系数计算公式为⎰=ππ0cos )(2nxdx x f a n .【详解】 根据余弦级数的定义，有 x d x xdx x a 2sin 12cos 22022⎰⎰=⋅=ππππ=⎰⋅-πππ2]22sin 2sin [1xdx x xx=⎰⎰-=πππππ]2cos 2cos [12cos 1xdx xx x xd=1.【评注】 本题属基本题型，主要考查傅里叶级数的展开公式，本质上转化为定积分的计算. 完全类似例题见《文登数学全真模拟试卷》数学一P.62第一大题第（6）小题和《数学复习指南》P.240 【例8.37】.（4）从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2132. 【分析】 n 维向量空间中，从基n ααα,,,21 到基n βββ,,,21 的过渡矩阵P 满足 [nβββ,,,21 ]=[nααα,,,21 ]P ，因此过渡矩阵P 为：P=[121],,,-n ααα [],,,21n βββ .【详解】根据定义，从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为P=[121],-αα[⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-21111011],121ββ.=.213221111011⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-【评注】 本题属基本题型，完全类似例题见《数学复习指南》P.429 【例3.35】. （5）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 ，y x x y x f 其他,10,0,6),(≤≤≤⎩⎨⎧=则=≤+}1{Y X P41 . 【分析】 已知二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y)，求满足一定条件的概率}),({0z Y X g P ≤，一般可转化为二重积分}),({0z Y X g P ≤=⎰⎰≤0),(),(z y x g dxdy y x f 进行计算.【详解】 由题设，有 =≤+}1{Y X P ⎰⎰⎰⎰≤+-=121016),(y x xxxdy dx dxdy y x f=.41)126(2102=-⎰dx x xy1DO211 x【评注】 本题属基本题型，但在计算二重积分时，应注意找出概率密度不为零与满足不等式1≤+y x 的公共部分D ，再在其上积分即可. 完全类似例题见《文登数学全真模拟试卷》数学一P.14第一大题第（5）小题.（6）已知一批零件的长度X (单位：cm)服从正态分布)1,(μN ，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40 (cm)，则μ的置信度为0.95的置信区间是)49.40,51.39( . (注：标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ【分析】 已知方差12=σ，对正态总体的数学期望μ进行估计，可根据)1,0(~1N n X μ-，由αμα-=<-1}1{2u nX P 确定临界值2αu ，进而确定相应的置信区间. 【详解】 由题设，95.01=-α，可见.05.0=α 于是查标准正态分布表知.96.12=αu 本题n=16, 40=x , 因此，根据 95.0}96.11{=<-nX P μ，有 95.0}96.116140{=<-μP ，即 95.0}49.40,51.39{=P ，故μ的置信度为0.95的置信区间是)49.40,51.39( . 【评注】 本题属基本题型，完全类似例题见《数学复习指南》P.608 【例6.16】.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设函数f(x)在),(+∞-∞内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有(A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点.(D) 三个极小值点和一个极大值点. [ C ] yO x【分析】 答案与极值点个数有关，而可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点，共4个，是极大值点还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定.【详解】 根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3个，而 x=0 则是导数不存在的点. 三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在x=0左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x=0为极大值点，故f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C).【评注】 本题属新题型，类似考题2001年数学一、二中曾出现过，当时考查的是已知f(x)的图象去推导)(x f '的图象，本题是其逆问题. 完全类似例题在文登学校经济类串讲班上介绍过.（2）设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有(A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立.(C) 极限n n n c a ∞→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞→lim 不存在. [ D ]【分析】 本题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可立即排除(A),(B)； 而极限n n n c a ∞→lim 是∞⋅0型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极限n n n c b ∞→lim 属∞⋅1型，必为无穷大量，即不存在.【详解】 用举反例法，取n a n 2=，1=n b ，),2,1(21==n n c n ，则可立即排除(A),(B),(C)，因此正确选项为(D).【评注】 对于不便直接证明的问题，经常可考虑用反例，通过排除法找到正确选项. 完全类似方法见《数学最后冲刺》P.179.（3）已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x ，则(A) 点(0,0)不是f(x,y)的极值点. (B) 点(0,0)是f(x,y)的极大值点. (C) 点(0,0)是f(x,y)的极小值点.(D) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点. [ A ] 【分析】 由题设，容易推知f(0,0)=0，因此点(0,0)是否为f(x,y)的极值，关键看在点(0,0)的充分小的邻域内f(x,y)是恒大于零、恒小于零还是变号.【详解】 由1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x 知，分子的极限必为零，从而有f(0,0)=0, 且 222)(),(y x xy y x f +≈- y x ,(充分小时），于是 .)()0,0(),(222y x xy f y x f ++≈-可见当y=x 且x 充分小时，04)0,0(),(42>+≈-x x f y x f ；而当y= -x 且x 充分小时，04)0,0(),(42<+-≈-x x f y x f . 故点(0,0)不是f(x,y)的极值点，应选(A).【评注】 本题综合考查了多元函数的极限、连续和多元函数的极值概念，题型比较新，有一定难度. 将极限表示式转化为极限值加无穷小量，是有关极限分析过程中常用的思想，类似分析思想的例题见《数学复习指南》P.43 【例1.71】.（4）设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则 (A) 当s r <时，向量组II 必线性相关. (B) 当s r >时，向量组II 必线性相关. (C) 当s r <时，向量组I 必线性相关. (D) 当s r >时，向量组I 必线性相关. [ D ]【分析】 本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则当s r >时，向量组I 必线性相关. 或其逆否命题：若向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，且向量组I 线性无关，则必有s r ≤. 可见正确选项为(D). 本题也可通过举反例用排除法找到答案.【详解】 用排除法：如⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,00211ββα，则21100ββα⋅+⋅=，但21,ββ线性无关，排除(A)；⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01,01,00121βαα，则21,αα可由1β线性表示，但1β线性无关，排除(B)；⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,01211ββα，1α可由21,ββ线性表示，但1α线性无关，排除(C). 故正确选项为(D).【评注】 本题将一已知定理改造成选择题，如果考生熟知此定理应该可直接找到答案，若记不清楚，也可通过构造适当的反例找到正确选项。

2003年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.(1)21ln(1)0lim(cos )x x x +→=(2) 曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是.(3) 设)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n，则2a = .(4) 从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为.(5) 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为，y x x y x f 其他,10,0,6),(≤≤≤⎩⎨⎧=则=≤+}1{Y X P.(6) 已知一批零件的长度X (单位：cm cm)服从正态分布)1,(μN ，从中随机地抽取16个 零件，得到长度的平均值为40 (cm )，则μ的置信度为0.95的置信区间是.(注：标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ二、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. (1) 设函数()f x 在),(+∞-∞内连续，其导函数的图形如图所示， 则()f x 有( )(A)一个极小值点和两个极大值点. (B)两个极小值点和一个极大值点. (C)两个极小值点和两个极大值点. (D)三个极小值点和一个极大值点.(2) 设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有( )(A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立. (C) 极限n n n c a ∞→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞→lim 不存在.(3) 已知函数(,)f x y 在点(0,0)的某个邻域内连续，且1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x ，则( ) (A) 点(0,0)不是(,)f x y 的极值点. (B) 点(0,0)是(,)f x y 的极大值点. (C) 点(0,0)是(,)f x y 的极小值点.(D) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为(,)f x y 的极值点.(4) 设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则( )(A) 当s r <时，向量组II 必线性相关. (B) 当s r >时，向量组II 必线性相关. (C) 当s r <时，向量组I 必线性相关. (D) 当s r >时，向量组I 必线性相关.(5) 设有齐次线性方程组0Ax =和0Bx =, 其中,A B 均为n m ⨯矩阵，现有4个命题：① 若0Ax =的解均是0Bx =的解，则秩(A )≥秩(B )； ② 若秩(A )≥秩(B )，则0Ax =的解均是0Bx =的解； ③ 若0Ax =与0Bx =同解，则秩(A )=秩(B )； ④ 若秩(A )=秩(B )， 则0Ax =与0Bx =同解. 以上命题中正确的是( )(A) ① ②. (B) ① ③.(C) ② ④. (D) ③ ④.(6) 设随机变量21),1)((~X Y n n t X =>，则( ) (A) )(~2n Y χ. (B) )1(~2-n Y χ.(C) )1,(~n F Y . (D) ),1(~n F Y .三 、(本题满分10分)过坐标原点作曲线ln y x =的切线，该切线与曲线ln y x =及x 轴围成平面图形D . (1) 求D 的面积A ;(2) 求D 绕直线x e =旋转一周所得旋转体的体积V .四 、(本题满分12分)将函数x xx f 2121arctan )(+-=展开成x 的幂级数，并求级数∑∞=+-012)1(n n n 的和.已知平面区域}0,0),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界. 试证： (1) dx ye dy xe dx ye dy xex Ly x Lysin sin sin sin -=-⎰⎰--;(2).22sin sin π≥--⎰dx ye dy xex Ly六 、(本题满分10分)某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为,0k k >).汽锤第一次击打将桩打进地下a m . 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数(01)r r <<. 问(1) 汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？(2) 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？ (注：m 表示长度单位米.)七 、(本题满分12分)设函数()y y x =)在),(+∞-∞内具有二阶导数，且)(,0y x x y =≠'是()y y x =的反函数.(1) 试将()x x y =所满足的微分方程0))(sin (322=++dy dx x y dyx d 变换为()y y x =满足的微分方程；(2) 求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解.八 、(本题满分12分)设函数()f x 连续且恒大于零，⎰⎰⎰⎰⎰+++=Ω)(22)(222)()()(t D t d y xf dvz y x f t F σ，⎰⎰⎰-+=tt D dxx f d y x f t G 12)(22)()()(σ，其中}),,{()(2222t z y x z y x t ≤++=Ω，}.),{()(222t y x y x t D ≤+=(1) 讨论()F t 在区间),0(+∞内的单调性. (2) 证明当0t >时，).(2)(t G t F π>设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=322232223A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100101010P ，P A P B *1-=，求2B E +的特征值与特征向量，其中*A 为A 的伴随矩阵，E 为3阶单位矩阵.十 、(本题满分8分)已知平面上三条不同直线的方程分别为1:230l ax by c ++=，2:230l bx cy a ++=，3:230l cx ay b ++=.试证: 这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a十一 、(本题满分10分)已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：(1) 乙箱中次品件数X 的数学期望； (2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率.十二 、(本题满分8分)设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=--,,,0,2)()(2θθθx x e x f x其中0>θ是未知参数. 从总体X 中抽取简单随机样本n X X X ,,,21 ，记).,,,min(ˆ21nX X X =θ (1) 求总体X 的分布函数()F x ;(2) 求统计量θˆ的分布函数)(ˆx F θ； (3) 如果用θˆ作为θ的估计量，讨论它是否具有无偏性.2003年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题 (1)【详解】方法1：求()lim ()v x u x 型极限，一般先化为指数形式()()ln ()lim ()lim v x v x u x u x e =然后求lim ()ln ()v x u x ，再回到指数上去．)1ln(12)(cos lim x x x +→=220ln cos ln cos limln(1)ln(1)lim x xxx x x e e→++→=,而2200ln cos ln(1cos 1)limlim ln(1)ln(1)x x x x x x →→+-=++20cos 1lim x x x→-=(等价无穷小替换ln(1)x x +) 220112lim 2x x x →-==-(等价无穷小替换211cos 2x x -) 故 原式=.121ee=-方法2：令21ln(1)(cos )x y x +=，有2ln cos ln ln(1)xy x =+，以下同方法1．(2)【答案】542=-+z y x【详解】由题意，只要满足所求切平面的法向量与已知平面的法向量平行即可．平面042=-+z y x 的法向量：1{2,4,1}n =-；曲面22y x z +=在点),,(000z y x 的法向量：20000{(,),(,),1}x y n z x y z x y =-00{2,2,1}x y =- 由于12//n n ，因此有00221241x y -==- 可解得，2,100==y x ，相应地有.520200=+=y x z所求切平面过点(1,2,5)，法向量为：2{2,4,1}n =-，故所求的切平面方程为0)5()2(4)1(2=---+-z y x ，即 542=-+z y x(3)【答案】1【详解】将)()(2ππ≤≤-=x x x f 展开为余弦级数2()cos ()n n f x x a nx x ππ∞===-≤≤∑，其中⎰=ππcos )(2nxdx x f a n ．所以 x d x xdx x a 2sin 12cos 2222⎰⎰=⋅=ππππ201[sin 2sin 22]x xx xdx πππ=-⋅⎰1cos2xd x ππ=⎰001[cos2cos2]x x xdx πππ=-⎰1=(4)【答案】⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2132【详解】n 维向量空间中，从基n ααα,,,21 到基n βββ,,,21 的过渡矩阵P 满足[n βββ,,,21 ]=[n ααα,,,21 ]P ，因此过渡矩阵P 为：P =[121],,,-n ααα [],,,21n βββ ．根据定义，从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为P =[121],-αα[⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-21111011],121ββ=.213221111011⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-(5)【答案】14． 【分析】本题为已知二维随机变量(,)X Y 的概率密度(,)f x y ，求满足一定条件的概率}),({0z Y X g P ≤．连续型二维随机变量(,)X Y 概率的求解方法(,)(,),yxF x y f u v dudv -∞-∞=⎰⎰此题可转化为二重积分}),({0z Y X g P ≤0(,)(,)g x y z f x y dxdy ≤=⎰⎰进行计算．【详解】图中阴影区域为积分区域. 由题设，有=≤+}1{Y X P 1(,)x y f x y dxdy +≤⎰⎰11206xxdx xdy -=⎰⎰1220(612)x x dx =-⎰14=(6)【答案】)49.40,51.39(． 【分析】可以用两种方法求解：(1) 已知方差12=σ，对正态总体的数学期望μ进行估计. 因为(,1)X N μ，设有n个样本，样本均值11ni i X X n ==∑，则1(,)XN n μ，将其标准化，~(0,1)X N 得：)1,0(~1N nX μ- 由正态分布分为点的定义αμα-=<-1}1{2u nX P 可确定临界值2αu ，进而确定相应的置信区间22(x u x u αα-+．(2)本题是在单个正态总体方差已知条件下，求期望值μ的置信区间问题．由教材上已经求出的置信区间22(x u x u αα-+，其中2{}1,(0,1)P U u UN αα<=-，可以直接得出答案．【详解】方法1：由题设，95.01=-α，可见.05.0=α 查标准正态分布表知分位点.96.12=αu 本题16n =, 40=x .根据 1.96}0.95P <=，有 1.96}0.95P <=，即{39.5140.49}0.95P μ<<=，故μ的置信度为0．95的置信区间是)49.40,51.39(． 方法2：由题设，95.01=-α，22222{}{}2()10.95,()0.975P U u P u U u u u ααααα<=-<<=Φ-=Φ=查得.96.12=αu 将1σ=，16n =, 40=x代入22(x u x u αα-+得置信区间)49.40,51.39(二、选择题(1)【答案】()Cy【分析】函数的极值点可能是驻点(一阶导数为零) 或导数不存在的点，极值点是极大值点还是极小值 点可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定． 【详解】根据导函数的图形可知，一阶导数为零的 点有3个(导函数与x 轴交点的个数)；0x =是导数 不存在的点．对3个一阶导数为零的点左右两侧导数符号均 不一致，故必为极值点，其中第一个交点左右两侧 导数符号由正变为负，是极大值点；第二个交点和第三个交点左右两侧导数符号由负变为正，是极小值点，则三个驻点中有两个极小值点，一个极大值点；对导数不存在的点：0x =．左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见0x =为极大值点．故()f x 共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C)．(2)【答案】()D 【详解】方法1：推理法由题设lim 1n n b →∞=，假设lim n n n b c →∞存在并记为A ，则lim limn nn n n nb c c A b →∞→∞==,这与lim n n c →∞=∞矛盾，故假设不成立，lim n n n b c →∞不存在． 所以选项()D 正确．方法2：排除法取1n a n =，1n n b n-=，满足0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b , 而11111,0,a b a b ==>，()A 不正确；取1n n b n-=，2n c n =-，满足1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,而1101b c =>-=，()B 不正确；取1n a n=，2n c n =-，满足0lim =∞→n n a ,∞=∞→n n c lim ,而lim 1n n n a c →∞=，()C 不正确．(3)【答案】()A 【详解】由2220,0(,)lim1()x y f x y xyx y →→-=+222(,)(1)()f x y xy x y α⇒-=++，其中00lim 0x y α→→=． 由(,)f x y 在点(0,0)连续知，(0,0)0f =．取y x =，x 充分小，0x ≠，有222(,)(1)(2)0f x y x x α=++>； 取y x =-，x 充分小，0x ≠，有222(,)(1)(2)0f x y x x α=-++< 故点(0,0)不是(,)f x y 的极值点，应选()A ． (极值的定义)(4)【分析】 本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则当s r >时，向量组I 必线性相关． 或其逆否命题：若向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，且向量组I 线性无关，则必有s r ≤． 可见正确选项为(D)． 本题也可通过举反例用排除法找到答案．【详解】 用排除法：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,00211ββα，则21100ββα⋅+⋅=，但21,ββ线性无关，排除(A)；⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01,01,00121βαα，则21,αα可由1β线性表示，但1β线性无关，排除(B)；⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,01211ββα，1α可由21,ββ线性表示，但1α线性无关，排除(C)．(5)【答案】(B)【分析】本题可找反例用排除法进行分析，但①、②两个命题的反例比较复杂一些，关键是抓住③、④，迅速排除不正确的选项． 【详解】若0AX =与0BX =同解，则它们的解空间中的基础解系所含向量个数相同，即n -秩(A )=n -秩(B ), 得秩(A )=秩(B )，命题③成立，可排除(A), (C)；但反过来，若秩(A )=秩(B )，则不能推出0AX =与0BX =同解，通过举一反例证明，若⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0001A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1000B ，则秩(A )=秩(B )=1，但0AX =与0BX =不同解，可见命题④不成立，排除(D). 故正确选项为(B)．(6)【答案】(C)．【分析】求解这类问题关键在于了解产生2χ变量、t 变量、F 变量的典型模式．(1)2χ分布：设12,,,n X X X 相互独立且均服从标准正态分布，则随机变量21nii Z X ==∑服从自由度为n 的2χ分布．记做2().Zn χ(2)t 分布：设1(0,1)X N ，22~()X n χ，且12,X X 相互独立，则随机变量Z =服从自由度为n 的t 分布．记做()Z t n(3)F 分布：设2212(),(),Xn Y n χχ且,X Y 相互独立，则随机变量12X n Z Y n =服从F 分布，其第一、二自由度分别为12,.n n 记做12(,).ZF n n【详解】其实，由F 分布的性质以及t 分布和F 分布的关系得，(1) 如果统计量 ()T t n ，则有2(1,)T F n ；(2) 如果统计量12(,)FF n n ，则有211(,)F n n F．由以上两条性质可以直接得出本题的答案为(C)．先由t分布的定义知()X t n =，其中)(~),1,0(~2n V N U χ，于是 21XY ==122U n V U n V =，分母中只含有一个标准正态分布的平方，所以)1(~22χU . 由F 分布的定义知~(,1).Y F n故应选(C)．三【分析】圆锥体体积公式：213V r h π=⋅；旋转体的体积：(1) 连续曲线()y f x =，直线x a =、x b =所围成的图形绕直线0x x =旋转一周而成的立体的体积[]210()ba V f x x dx π=-⎰(2) 连续曲线()x g x =，直线y c =、y d =所围成的图形绕直线0y y =旋转一周而成的立体的体积[]220()dc V g y y dy π=-⎰【详解】为了求D 的面积，首先要求出切点的坐标，设切点的横坐标为0x ，则曲线ln y x =在点)ln ,(00x x 处的切线方程是：).(1ln 000x x x x y -+= 切线的斜率为01x y x '=，由于该切线过原点，将(0,0)点代入切线方程，得01ln 0=-x ，从而.0e x = 所以该切线的方程为.1x ey =(1) 利用平面图形D 的面积公式()()S y y dy βαϕψ=-⎰，得⎰-=-=1.121)(e dy ey e A y (2) 旋转体体积可用一大立体(圆锥)体积减去一小立体体积进行计算，为了帮助理解，可画一草图．切线x ey 1=与x 轴及直线x e =所围成的三角形绕直线x e =旋转所得的圆锥体积为： 122101().3V e ey dy e ππ=-=⎰曲线ln y x =与x 轴及直线x e =所围成的图形绕直线x e =旋转所得的旋转体体积为：dy e e V y 212)(⎰-=π1220(2)y y e e e e dy π=-⋅+⎰12201(2)2yy e y e e e π=-⋅+211(2)22e e π=-+-因此所求旋转体的体积为).3125(6)(312102221+-=--=-=⎰e e dy e e e V V V y πππ四【分析】幂级数展开有直接法与间接法，一般考查间接法展开，即通过适当的恒等变形、求导或积分等，转化为可利用已知幂级数展开的情形．另外，由于函数展开成的幂级数，经两边求导或积分(其中一边是逐项求导或逐项积分)后，其新的展开式收敛区间不变，但在收敛区间端点处，求导(积分)后的展开式成立与否，要另行单独处理，设已有00()()n n n f x a x x ∞==-∑收敛区间为00(,)x R x R -+． 如果在0x x R =+处级数收敛，并且()f x (左)连续，则展开式成立的范围可扩大到0x x R =+处，在0x x R =-处亦有类似的结论，不过此时()f x (左)连续应改称(右)连续．【详解】本题可先求导，()f x '()2222(12)2(12)1212121212111212x x x x x x x x x '-+---⎛⎫ ⎪++⎝⎭==--⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭基本求导公式 22422(14)14x x --==++21214x =-+ 对于函数2114x +，可以利用我们所熟悉的函数x-11的幂级数展开： 2011(11)1nnn x x x x x x ∞==+++++=-<<-∑所以 2222001(4)(1)414114n n n nn n x x x x ∞∞===-=--<-<+∑∑ (把x 换成24x -) 有 22111()22(1)4,(,).1422n n n n f x x x x ∞='=-=--∈-+∑对上式两边求积分，得200()(0)()2(1)4xxn n n n f x f f t dt t dt ∞=⎛⎫'-==-- ⎪⎝⎭∑⎰⎰221000(1)4112(1)42,(,)2122n n x nnnn n n t dt x x n ∞∞+==-=--=-∈-+∑∑⎰，又因为04f π=（），所以()(0)()xf x f f t dt '=+⎰=).21,21(,124)1(24120-∈+--+∞=∑x x n n n n n π即 21012(1)411arctan 2,(,).1242122n n n n x x x x n π∞+=--=-∈-++∑ (*)在21=x 处，右边级数成为0(1)1212n n n ∞=-⋅+∑，收敛(利用莱布尼茨定理)，左边函数()f x 连续，所以成立范围可扩大到21=x 处．而在12x =-处，右边级数虽然收敛，但左边函数()f x 不连续，所以成立范围只能是11(,]22x ∈-．为了求∑∞=+-012)1(n n n ，令21=x 代入(*)得∑∑∞=+∞=+--=⋅+--=012012)1(4]21124)1([24)21(n n n n n n n f ππ,再由0)21(=f ，得.4)21(412)1(0ππ=-=+-∑∞=f n n n五【详解】(1) 方法1：用格林公式证明. 由曲线为正向封闭曲线，自然想到用格林公式L D Q P Pdx Qdy dxdy x y ⎛⎫∂∂+=- ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰． 所以 ⎰⎰⎰--+=-D x y x L ydxdy e e dx ye dy xe)(sin sin sin sin所以⎰⎰⎰+=---Dx y x Ly dxdy e e dx ye dy xe )(sin sin sin sin 因为积分区域D 关于y x =对称，所以sin sin sin sin ()()x y yxyx DDeedxdyee dxdy --+=+⎰⎰⎰⎰与互换故dx ye dy xe dx ye dy xe x Ly x Ly sin sin sin sin -=-⎰⎰-- 方法2：化为定积分证明左边sin sin yxLL xedy yedx -=-⎰⎰=dx edy e xy ⎰⎰--0sin 0sin ππππ=⎰-+ππ0sin sin )(dx e e x x 右边sin sin y x LLxe dy ye dx -=-⎰⎰=⎰⎰--ππππ00sin sin dx e dy ex y=⎰-+ππ0sin sin )(dx e e x x 所以dx ye dy xe dx ye dy xe xLy x Ly sin sin sin sin -=-⎰⎰--． (2) 方法1：用格林公式证明⎰⎰⎰--+=-Dx y x Ly dxdy e e dx ye dy xe )(sin sin sin sin =dxdy e dxdy eDDx y⎰⎰⎰⎰-+sin sin =dxdy e dxdy e DDx x ⎰⎰⎰⎰-+sin sin 利用轮换对称性=sin sin ()2x x DDe e dxdy dxdy -+≥⎰⎰⎰⎰22π=(因为0,0a b a b +≥>>)方法2：由(1)知，sin sin sin sin 0()2y x x x Lxe dy ye dx e e dx dx ππππ---=+≥⎰⎰⎰22π=六【详解】(1) 建立坐标系，地面作为坐标原点，向下为x 轴正向，设第n 次击打后，桩被打进地下n x ，第n 次击打时，汽锤所作的功为),3,2,1( =n W n ．由题设，当桩被打进地下的深度为x 时，土层对桩的阻力的大小为kx ，汽锤所作的功等于克服阻力所做的功．121102x k W kxdx x ==⎰，2122221()2x x k W kxdx x x ==-⎰，3222332()2x x k W kxdx x x ==-⎰，1x a =从而 212332k W W W x ++=又 12rW W =，2321W rW r W ==， 从而222231231(1)(1)22k k x W W W r r W r r a =++=++=++于是 3x =(2) 第n 次击打后，桩被打进地下n x ，第n 次击打时，汽锤所作的功为),3,2,1( =n W n ． 则汽锤前n 次所功的和等于克服桩被打进地下n x m 所做的功．11210(1)nx n n kxdx W W W r r W -=+++=+++⎰而 2102a kW kxdx a ==⎰ 牛-莱公式 所以212(1)22n n k k x r r a -=+++从而 n x = 等比数列求和公式由于01r <<，所以1lim n n x +→∞=．七【详解】 (1) 将题中的dy dx 与22d x dy 变换成以x 为自变量y 为因变量的导数dx dy 与22d ydx来表示(即通常所说的反函数变量变换)，有dy dx =y dxdy '=11，)(22dy dx dy d dy x d ==dy dx y dx d ⋅')1(=32)(1y y y y y '''-='⋅'''-． 代入原方程，得 .s i nx y y =-'' ( * ) (2) 方程( * )所对应的齐次方程为0=-''y y ，特征方程为210r -=，根1,21r =±，因此通解为.21xxe C e C Y -+= 由于i λω+不是特征方程得根，所以设方程( * )的特解为x B x A y sin cos *+=则 *sin cos y A x B x '=-+，*cos sin y A x B x ''=--代入方程( * )，得：cos sin cos sin 2cos 2sin sin A x B x A x B x A x B x x ----=--= 解得21,0-==B A ，故x y sin 21*-=. 从而x y y sin =-''的通解为 .sin 2121*x e C e C y Y y x x -+=+=-由23)0(,0)0(='=y y ，得1,121-==C C ．故变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解为.sin 21x e e y x x --=-且()y x 的导函数1()cos 02x x y x e e x -'=+->，满足题设0y '≠条件．八【详解】(1) 首先对()F t 进行化简，三重积分转化为在球面坐标系中的计算；二重积分转化为在极坐标系中的计算．222222220()()()sin 2sin ()t tt f x y z dv d d f r r dr d f r r dr πππθϕϕπϕϕΩ++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()2222002()cos 4()t tf r r dr f r r dr ππϕπ=⋅-=⎰⎰ (球面坐标)222220()()()2()t tD t f x y d d f r rdr f r rdr πσθπ+==⎰⎰⎰⎰⎰ (极坐标)所以222220000222()sin 4()()()2()ttttd d f r r drf r r drF t d f r rdrf r rdrπππθϕϕπθπ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22022()()ttf r r drf r rdr=⎰⎰为了讨论()F t 在区间),0(+∞内的单调性，对()F t 求导：222222022()()()()()2[()]t ttt f t f r rdr f r r dr f t tF t f r rdr ⋅-⋅'=⎰⎰⎰22022()()()2[()]tttf t f r r t r drf r rdr ⋅-=⎰⎰由于()0,0,0f t r t r >>->，所以2()()0f r r t r ->. 再利用定积分的性质：若在区间[,]a b 上()0f x >，则()0baf x dx >⎰. 所以()0F t '>，所以()F t 在区间),0(+∞内严格单调增加．(2) 将待证的不等式作适当的恒等变形后，构造辅助函数，再用单调性进行证明即可． 因为 2220()2()2()tt ttf x dx f x dx f r dr -==⎰⎰⎰，所以2222()022200()2()()()()2()()ttD t ttttf x y d f r rdr f r rdrG t f x dxf r drf r drσππ-+===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰要证明0t >时)(2)(t G t F π>，只需证明0t >时，0)(2)(>-t G t F π，即22200222()2()2()()()()t tttf r r drf r rdrF tG t f r rdrf r drπ-=-⎰⎰⎰⎰()()()()()222222202()()()()()tttttf r r dr f r dr f r rdr f r rdr f r dr⎡⎤⋅-⎢⎥⎣⎦=⋅⎰⎰⎰⎰⎰令 ()()()22222()()()()tt tg t f r r dr f r dr f r rdr =⋅-⎰⎰⎰222222220222()()()()()2()()()()()0ttttg t f t t f r dr f t f r r dr f t t f r rdrf t f r t r dr t '=+-=->>⎰⎰⎰⎰故()g t 在),0(+∞内单调增加，又因为(0)0g =，所以当0t >时，有()0)0g t g >=（， 从而0t >时，).(2)(t G t F π>九【分析】 法1：可先求出*1,A P -，进而确定P A P B *1-=及2B E +，再按通常方法确定其特征值和特征向量；法2：先求出A 的特征值与特征向量，再相应地确定*A 的特征值与特征向量，最终根据2B E +与*2A E +相似求出其特征值与特征向量． 【详解】方法1：经计算可得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=522252225*A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-1000011101P ，所以 P A P B *1-==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----322452007，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=+5224720092E B ． 令 2900(2)274(9)(3)0225E B E λλλλλλ--+=-=--=-，故2B E +的特征值为.3,9321===λλλ当921==λλ时，解0)9(=-x A E ，得线性无关的特征向量为,0111⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=η ,1022⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=η所以属于特征值921==λλ的所有特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+102011212211k k k k ηη，其中21,k k 是不全为零的任意常数．当33=λ时，解0)3(=-x A E ，得线性无关的特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1103η，所以属于特征值33=λ的所有特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=110333k k η，其中03≠k 为任意常数． 方法2：设A 的特征值为λ，对应的特征向量为η，即ληη=A ．由于07≠=A ，所以.0≠λ所以 ***()()A A A E A A A E A A A E ηηηη=⇒=⇒=***()AA A A A A ληηληηηηλ⇒=⇒=⇒=，于是 11*11()()()AB P P A P P P ηηηλ----==，.)2()2(11ηλη--+=+P AP E B因此，2+λA为2B E +的特征值，对应的特征向量为.1η-P由于)7()1(3222322232--=---------=-λλλλλλA E ，故A 的特征值为1231,7λλλ===当121==λλ时，对应的线性无关特征向量可取为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=0111η， .1012⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=η当73=λ时，对应的一个特征向量为.1113⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=η 由⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-1000011101P，得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-01111ηP ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-11121ηP ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-11031ηP ．因此，2B E +的三个特征值分别为9，9，3．对应于特征值9的全部特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+--11101121212111k k P k P k ηη，其中21,k k 是不全为零的任意常数；对应于特征值3的全部特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-1103313k P k η，其中3k 是不为零的任意常数．十【分析】三条直线相交于一点，相当于对应线性方程组有唯一解，进而转化为系数矩阵与增广矩阵的秩均为2．【详解】方法1：“必要性”. 设三条直线321,,l l l 交于一点，则线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+,32,32,32b ay cx a cy bx c by ax (*) 有唯一解，故系数矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a c c b b a A 222与增广矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=b a c a c b c b a A 323232的秩均为2，于是.0=A232()3()23232323a b c a b c b c a c a b A bc a b c a c a bc ab -++++-++=-=---123111()236()23a b c b ca abc b c a c a b c a b-=++-=-++-1006()6()c b a ba b c b c b a b a b c a c b cc a c b c--=-++--=-++----6()[()()()()]a b c c b b c a b a c =-++-----2226()()a b c bc c b bc a ac ab bc =-++--+-++- 2226()()a b c a b c ac ab bc =++++--- 2223()[()()()]a b c a b b c c a =++-+-+-,由于三条直线互不相同，所以0)()()(222≠-+-+-a c c b b a ，故.0=++c b a“充分性”. 由0=++c b a ，则从必要性的证明可知，0=A ，故秩.3)(<A由于])([2)(22222b b a a b ac cb ba ++-=-==0]43)21[(222≠++-b b a ，故秩()2A =．于是，秩(A )=秩)(A =2．因此方程组(*)有唯一解，即三直线321,,l l l 交于一点．方法2：“必要性”设三直线交于一点),(00y x ，则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100y x 为0BX =的非零解，其中2323.23a b c B b c a c a b ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 所以||0B =．而232323232323a b c a bcB bc a bc a A c a bca b-==--=-- 2223()[()()()]a b c a b b c c a =-++-+-+-,(解法同方法1)但根据题设 0)()()(222≠-+-+-a c c b b a ，故.0=++c b a “充分性”：考虑线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+,32,32,32b ay cx a cy bx c by ax (*)将方程组(*)的三个方程相加，并由.0=++c b a 可知，方程组(*)等价于方程组⎩⎨⎧-=+-=+.32,32a cy bx c by ax (* *) 因为])([2)(22222b b a a b ac cb b a ++-=-==222[()]0a b a b -+++≠,故方程组(* *)有唯一解，所以方程组(*)有唯一解，即三直线321,,l l l 交于一点．十一【详解】乙箱中可能的次品件数为0,1,2,3,分别求出其概率，再按定义求数学期望即可；而求从乙箱中任取一件产品是次品的概率，涉及到两次试验，是典型的用全概率公式的情形，第一次试验的各种可能结果(取到的次品数)就是要找的完备事件组．(1) 方法1：X 的可能取值为0,1,2,3, 取出k 件次品()0,1,2,3k =的取法有333kkC C -种；样本空间即从两个箱子中取出3件产品的总的取法数为36C ．所以有，X 的概率分布为36333}{C C C k X P kk -==， k 0,1,2,3.= 即 X 0 1 2 3 P201 209 209 201 因此，由离散型数学期望的定义{}1()nk k k E X x P X x ==⋅=∑易得 19913()0123.202020202E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 方法2：本题对数学期望的计算也可用分解法：设0, ,1,i i X i ⎧=⎨⎩从甲箱中取出的第件产品是合格品从甲箱中取出的第件产品是次品. 则i X 的概率分布为i X 0 1P21 21.3,2,1=i 因为321X X X X ++=，所以由数学期望的线性可加性，有word 格式精心整理版范文范例 学习指导 ()()()()1233.2E X E X E X E X =++= (2) 设A 表示事件“从乙箱中任取一件产品是次品”，由于}0{=X ，}1{=X ，}2{=X ，}3{=X 构成完备事件组，因此根据全概率公式，有∑====30}{}{)(k k X A P k X P A P =33001{}{}66k k k P X k k P X k ===⋅=⋅=∑∑ ()1131.6624E X ==⋅=十二【分析】本题表面上是一数理统计问题，实际上考查了求分布函数、随机变量的函数求分布和概率密度以及数学期望的计算等多个知识点．将数理统计的概念与随机变量求分布与数字特征结合起来是一种典型的命题形式．求分布函数()F X 是基本题型：求统计量θˆ的分布函数)(ˆx F θ，可作为多维相互独立且同分布的随机变量函数求分布函数，直接用定义即可；是否具有无偏性，只需检验θθ=ˆE 是否成立．【详解】(1) 由连续型随机变量分布函数的定义，有.,,0,1)()()(2θθθ≤>⎩⎨⎧-==⎰∞---x x e dt t f x F xx (2) 由题给).,,,min(ˆ21nX X X =θ，有 }),,,{min(}ˆ{)(21ˆx X X X P x P x F n≤=≤= θθ 121{min(,,,)}n P X X X x =->121{,,,}n P X x X x X x =->>> 1[1()]n F x =--2(),1,.0,n x x e x θθθ-->⎧-=⎨≤⎩(3) 由连续型随机变量概率密度是分布函数在相应区间上的微分得θˆ概率密度为 .,,0,2)()()(2ˆˆθθθθθ≤>⎩⎨⎧==--x x ne dx x dF x f x n 因为 2()ˆˆ()()2n x E xf x dx nxe dx θθθθ+∞+∞---∞==⎰⎰12nθθ=+≠， 所以θˆ作为θ的估计量不具有无偏性．。

2003年硕士研究生入学考试（数学一）试题及答案解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1） )1ln(12)(cos lim x x x +→ =e1 .【分析】 ∞1型未定式，化为指数函数或利用公式)()(lim x g x f )1(∞=)()1)(lim(x g x f e -进行计算求极限均可.【详解1】 )1ln(12)(cos lim x x x +→=xx x ecos ln )1ln(1lim20+→,而 212c o s s i n lim cos ln lim )1ln(cos ln lim02020-=-==+→→→x x xx x x x x x x ， 故 原式=.121ee=-【详解2】 因为 2121lim)1ln(1)1(cos lim 22020-=-=+⋅-→→x xx x x x ， 所以 原式=.121ee=-【评注】 本题属常规题型（2） 曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是542=-+z y x .【分析】 待求平面的法矢量为}1,4,2{-=n，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程, 而切点坐标可根据曲面22y x z +=切平面的法矢量与}1,4,2{-=n平行确定.【详解】 令 22),,(y x z z y x F --=，则x F x 2-='，y F y 2-='， 1='z F .设切点坐标为),,(000z y x ，则切平面的法矢量为 }1,2,2{00y x --，其与已知平面042=-+z y x 平行，因此有11422200-=-=-y x ， 可解得 2,100==y x ，相应地有 .520200=+=y x z故所求的切平面方程为0)5()2(4)1(2=---+-z y x ，即 542=-+z y x . 【评注】 本题属基本题型。