1993考研数学一真题及答案解析

2016年上海嘉定中考地理试卷及答案一、选择题：本大共5小题，每小题2分，共20分1．中国的政治、文化中心是（）A．北京 B．上海 C．西安 D．广州2．“世界屋脊”上生活的主要少数民族是（）A．维吾尔族 B．壮族 C．高山族 D．藏族3．本初子午线是指（）A．0°经线 B．180°经线 C．20°W经线 D．160°E经线4．沟通印度洋和太平洋的海峡是（）A．直布罗陀海峡 B．白令海峡 C．马六甲海峡 D．英吉利海峡5．世界上黑色人种主要分布的地区是（）A．中东地区 B．撒哈拉以南非洲 C．撒哈拉以北非洲 D．南亚地区二、识图作答6．图中数码表示各大洲面积最大的国家，读数码信息回答：（1）面积最大的亚洲国家名称是_________，濒临太平洋和大西洋的国家名称是俄罗斯和_________．（2）有极昼极夜现象的国家代号是_________；有太阳直射现象的国家代号是_________．（3）世界第一大河亚马孙河流经的国家代号是_________；畜牧业发达，有“骑在羊背上的国家”之称的国家代号是_________．7．依托黄金水道建设长江经济带是我国的新一轮国土开发战略，请回答：（1）长江经济带包括的省级行政单位中，长江干流没有流经的有贵州省和_________．图示长江沿岸城市中属于省级行政中心的有重庆、_________、_________和上海．（2）长江石内河货运量居世界第一的黄金水道．甲、乙两图中，航运条件更好的是_________图所示河段；水能资源更丰富的是_________图所示河段，这里水能资源丰富的原因是_________．（3）长江经济带中上海宝山钢铁工业基地与攀枝花钢铁工业基地相比，发展钢铁工业的优势条件是_________．A．矿产资源丰富 B．海陆交通便利 C．水资源丰富 D．能源资源丰富（4）长江经济带的开发中，采取“退田还湖”的举措体现了流域开发“人水和谐”的理念，其根本目的是_________．A．增加灌溉水源 B．促进工业发展 C．修复生态系统 D．发展水产养殖．8．美国农业发达，有地区分工明显的农业带，读图回答：（1）根据各地不同自然条件和社会经济条件，美国形成了不同的农业带．以下描述的是_________带的形成条件，该农业带的年降水量均在_________毫米以上．这里气候冷湿，适宜牧草生长．又由于人口众多、城市密集、经济发达，对乳制品的需求量大，因此畜牧业发达．（2）“畜牧业和灌溉农业带”位于美国西部，其发展农业的自然条件与东部地区相比差异较大，如下描述的是该农业带的自然条件，从地形和降水两方面补充完整．这里_________，_________，很多地区为荒漠，形成了“畜牧业和灌溉农业带”．（3）喜温喜湿的水稻并不是美国的主要农作物，但在一些农业带也有种植，从下列农业带的自然条件看，适宜种植水稻的农业带是_________．A．小麦带 B．玉米带 C．乳畜带 D．棉花带（4）下列农产品中，美国需要从国外大量进口的是_________．A．咖啡豆 B．苹果 C．玉米D．大豆（5）中、美两国面积相差不大，但耕地面积美国远大于中国，其主要影响因素是_________．A．气温B．降水 C．地形 D．土壤．9．上海某旅游团在4月赴西双版纳观光，读图回答：（1）旅游团乘飞机从上海出发，向_________方向飞行，最终抵达_________省南部西双版纳的景洪，开始了热带风光之旅．（2）旅游团到达时，当地正处于旱雨两季中的_________季，游客参加了傣族盛大的_________节活动．（3）品味美食也是此次旅游的项目，游客可以尝到的当地特色美食是_________．A．甜菜饼 B．海鲜羹C．菠萝饭 D．青稞酒（4）游客还乘船欣赏了澜沧江两岸放光．导游介绍说，澜沧江流出西双版纳后又被称为_________河，流经了_________、_________、泰国、柬埔寨和越南等国家．10．2015年10月16日，中国和印度尼西亚签署了“雅万高铁”项目．读图回答：（1）雅万高铁连接了印度尼西亚的首都_________和大城市_________．（2）高铁的建设弥补了爪哇岛河运的不足．将下列代表地理现象的字母填入相应空格内，完成爪哇岛河流航运价值不高的原因示意图．A．岛屿面积狭小 B．河流流速快 C．地势起伏大 D．河流长度短（3）从地形类型看，雅万高铁以及规划高铁的路线多经过爪哇岛的_________地区；从人口分布看，爪哇岛人口密度_________．高铁建设将使岛上居民的出行更便捷．（4）雅万高铁全长150千米，据此推算“爪哇岛简图”的比例尺大致为_________．A.1：1000B.1：10000C.1：100000D.1：10000000．11．徐霞客是我国古代杰出的地理学家和旅行家，他为后人留下的《徐霞客游记》是不可多得的地理学巨著，读图回答：（1）徐霞客游历数十载，行遍大半个中国，从图中看，徐霞客最西曾到过简称为_________的省级行政单位；曾考察过地形类型为_________的甲地；考察过温度带为_________带的乙地．（2）“单装徙步，行十万余里”体现了徐霞客坚韧不拔的品质．在整个旅行路线中，除徒步跋涉外，他还必须借助的一种交通工具是_________．（3）“盖此丛立之峰…磅礴数千里，为西南奇胜…”该段游记描述的地形区特征是_________．A．远看是山，近看是川B．地势平坦，一望无际C．千沟万壑，支离破碎D．暗河溶洞，地表崎岖（4）徐霞客澄清了沿用千年之久的“岷江导山”的误解，肯定金沙江是_________的上游河段．（5）在考察广西灵渠时，他指出其“西注为漓，又东浚湘支”，从中可推断灵渠沟通的两大水系是_________．A．长江水系和黄河水系B．黄河水系和珠江水系C．长江水系和珠江水系D．长江水系和淮河水系（6）《徐霞客游记》除对自然地理有详细的描绘外，还对各地矿产有记叙．《徐霞客游记》中写道：“山皆煤炭，不深凿即可得”，该考察地最可能在_________．A．河南嵩山B．山西恒山C．山东泰山D．湖南衡山．12．2016年6月16日上海迪士尼乐园正式开园，它是世界第六个迪士尼主题公园，读图回答：（1）上海迪士尼乐园位于_________（填区县名称），可直达的轨道交通是_________号线；也可开车沿_________路到达离主入口最近的停车场．（2）从主入口进入，首先可游玩的是_________主题公园，景点“探险家独木舟”大致位于“大钟塔”的_________方向．（3）上海迪士尼乐园中，占地面积最大的景观水系所处的主题园区是_________．A．奇想花园B．宝藏湾 C．梦幻世界 D．探险岛（4）上海迪士尼乐园建成后，你认为会对上海产生哪些有利的影响？_________．13．竖版世界地图以崭新的视角展示了世界．（1）写出图中数码所表示的大洲与大洋名称．①_________洲，②_________洲，③_________洋，④_________洋．（2）用字母“S”在图中标注南极点的位置．参照答案：一、选择题：本大共5小题，每小题2分，共20分01．【解答】解：对于未来的发展北京做出了长远规划，北京市未来的建设发展目标定位于：国家首都（政治中心）、世界城市（国际交往中心）、文化名城（文化中心），并首次提出“宜居城市”概念．故选：A．【点评】考查北京市的城市职能，要理解记忆．2．【解答】解：青藏地区除青海省东北部汉族人较多外，大部分地区人口以藏族为主．藏族人民多信奉藏传佛教（俗称喇嘛教）．位于拉萨市中部的布达拉宫是著名的藏传佛教圣地．故选：D．【点评】考查青藏地区的民族分布，要理解记忆．3．【解答】解：本初子午线是一条特殊的经线，其经度是0°，该线以东是东经，以西是西经；依据题意．故选：A．【点评】本题考查重要的经纬线，属于基础题，识记即可．4．【解答】解：马六甲海峡位于苏门答腊岛与马来半岛之间，沟通了太平洋与印度洋，是世界重要的海上交通要道；直布罗陀海峡沟通了大西洋与地中海，白令海峡沟通了北冰洋与太平洋，英吉利海峡沟通了北海与大西洋．故选：C．【点评】本题考查世界重要海峡的位置，结合地图记忆较好．5．【解答】解：黑种人主要分布在非洲，非洲的中部和南部有黑非洲之称．故选：B．【点评】本题考查世界人种的分布，牢记即可．二、识图作答6．【解答】解：（1）中国是世界上面积第三大国，亚洲第一．濒临太平洋和大西洋的国家名称是俄罗斯和美国；（2）极昼极夜现象出现在寒带地区，即极圈与极点之间的地区．有极昼极夜现象的国家代号是④俄罗斯；有太阳直射现象的国家代号是②巴西；（3）世界第一大河亚马孙河流经的国家代号是②巴西；畜牧业发达，有“骑在羊背上的国家”之称的国家代号是⑥澳大利亚．故答案为：（1）中国；美国；（2）④；②；（3）②；⑥．【点评】该题考查学生的识图和识记能力．7．【解答】解：（1）长江经济带包括的省级行政单位中，长江干流没有流经的有贵州省和浙江省．图示长江沿岸城市中属于省级行政中心的有重庆、武汉、南京、上海；（2）甲、乙两图中，航运条件更好的是乙图所示河段；水能资源更丰富的是甲河段，这里经过高原、高山、峡谷地带，具有明显的高原山地峡谷河流特征．这里河流水量丰沛，水流湍急，水力资源丰富；（3）上海市虽然煤炭和铁矿石资源贫乏，但上海位于东海海岸，并且扼长江入海口，地理位置优越，便于运输铁矿石、煤炭以及成品出口．另外上海不仅面向广阔的国内市场，同时也面向更广阔的国际市场．这些都为上海宝山钢铁工业的发展起了重要作用．（4）长江经济带的开发中，采取“退田还湖”的举措体现了流域开发“人水和谐”的理念，其根本目的是修复生态系统．故答案为：（1）浙江省；武汉；南京；（2）乙；甲；经过高原、高山、峡谷地带，具有明显的高原山地峡谷河流特征．这里河流水量丰沛，水流湍急，水力资源丰富；（3）B；（4）C．【点评】该题考查长江流域的相关知识．8．【解答】解：（1）美国的乳畜带位于其东北部地区，因为该区域位置偏北，气候湿冷，适宜牧草生长，城市和人口分布密集．读图可知，该农业带的年降水量均在750毫米以上．（2）畜牧和灌溉农业区美国西部高山地区地势较高，降水较少，只能发展畜牧业和灌溉农业；（3）美国农业生产的各个过程和环节都实现了机械化和专业化，效率高，产量大．乳畜带降水量较大，气候冷湿适宜种植水稻；（4）美国主要位于北温带，美国的热带面积较小，热带农产品产量不能满足国内需求，因此美国虽是农产品输出大国，但仍需要进口热带经济作物咖啡、可可、香蕉、天然橡胶等．（5）我国平原面积所占比重小，干旱区和高寒区面积广大．故中、美两国面积相差不大，但耕地面积美国远大于中国．故答案为：（1）乳畜；750；（2）地势较高，降水较少；（3）C；（4）A；（5）C．【点评】本题主要考查美国的概况．9．【解答】解：（1）西双版纳位于位于云南省的南部，上海的西南部，（2）西双版纳位于云南省的南部，属于热带季风气候，其特点是终年高温，降水分旱雨两季；读图可知，4月正值旱季；泼水节是云南傣族人民每年都举行的重大节日，泼水节大约在清明节后的4月13日至15日举行．（3）菠萝饭是西双版纳的特色美食；（4）湄公河发源于中国，流经缅甸、老挝、泰国、柬埔寨，在越南注入南海，其在中国境内叫澜沧江，该河流是亚洲流经国家最多的河流．故答案为：（1）西南；云南；（2）旱；泼水；（3）C；（4）湄公；缅甸；老挝．【点评】此题综合考查了西双版纳的位置、旅游资源等知识点，要重点掌握旅游资源．10．【解答】解：（1）雅万高铁连接了印度尼西亚的首都雅加达和城市万隆；（2）爪哇岛岛屿由于面积狭小，所以河流长度短；该地地势起伏大，导致河流流速快；（3）雅万高铁以及规划高铁的路线多经过爪哇岛的平原地区，爪哇岛是世界上人口最多，也是人口密度最高的岛屿之一，高铁建设将使岛上居民的出行更便捷．（4）根据雅万高铁的图上距离和实际距离，可知，“爪哇岛简图”的比例尺大致为1.5/15000000=1：10000000．故答案为：（1）雅加达；万隆；（2）（3）平原；大；（4）D．【点评】该题考查雅万高铁的相关知识．11．【解答】解：（1）根据图中信息可知，徐霞客最西曾到过云南省，简称滇；甲江西省位于我国的南方地区，属于水田，乙位于华北地区，位于北温带；（2）徐霞客坚韧不拔的品质．在整个旅行路线中，除徒步跋涉外，他还必须借助的一种交通工具是轮船；（3）《徐霞客游记》中描述的景观特点是喀斯特地貌的典型特点，这种地貌是在流水侵蚀作用下形成的．（4）金沙江是长江的上游河段，流经青、藏、川、滇四省区，至四川宜宾与岷江汇合后称“长江”．（5）广西河流众多，水力资源丰富．西江是区内最大的河流．西江支流桂江的上游称漓江，与湘江之间有秦时开凿的灵渠相通．历史上，灵渠是沟通长江流域与珠江流域的重要通道．（6）煤炭是我国第一大能源，占全国能源生产和消费总量的70%以上，我国是世界上煤炭产量最多的国家，在各省区中，山西省的煤炭产量最多，每年有大量的煤炭供应外地，故选项B符合题意．故答案为：（1）滇；水田；北温；（2）轮船；（3）D；（4）长江；（5）C；（6）B．【点评】该题考查学生的读图和识记能力．12．【解答】解：（1）上海迪士尼乐园山海市浦东新区川沙新镇；可直达的轨道交通是11号线；也可开车沿沪芦高速路到达离主入口最近的停车场．（2）读图可知，从主入口进入，首先可游玩的是大钟塔主题公园，景点“探险家独木舟”大致位于“大钟塔”的东北方向．（3）读图可知，上海迪士尼乐园中，占地面积最大的景观水系所处的主题园区是宝藏湾；（4）上海迪士尼乐园建成后，会提高上海的知名度；丰富上海的旅游资源；带动相关产业发展；有利于上海的经济结构转型．故答案为：（1）川沙新镇；11；沪芦高速；（2）大钟塔；东北；（3）B；（4）提高上海的知名度；丰富上海的旅游资源；带动相关产业发展；有利于上海的经济结构转型．【点评】该题考查上海迪士尼乐园的相关知识．13．【解答】解：读图解析可知：（1）依据位置及轮廓，图中数码所表示的大洲与大洋名称为：①北美洲，②南美洲，③太平洋，④大西洋．（2）南极点位于地球的最南端，依据位置，用字母“S”在图中标注即可．故答案为：（1）北美；南美；太平；大西；（2）如图：【点评】本题主要考查大洲大洋的地理分布，熟记课本知识点读图解答即可．。

1993年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京、湖北、湖南、云南、海南、贵州等省市用）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至9页，共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共68分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．一、选择题：本大题共17小题；每小题4分，共68分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．函数()sin cos f x x x =+的最小正周期是A ．2πB ．π22C ．πD ．4π 【答案】A【解析】()sin cos )4f x x x x π=+=+，所以周期221T ππ==．2．如果双曲线的焦距为6，两条准线间的距离为4，那么该双曲线的离心率为 A ．23B ．23C ．26D ．2【答案】C【解析】由题设23,2a cc ==，解得a =2c e a ===．3．和直线3450x y -+=关于x 轴对称的直线的方程为A ．3450x y +-=B ．3450x y ++=C ．3450x y -+-=D ．3450x y -++=【答案】B 【解析】设出所求对称直线上的点的坐标，求出关于x 轴的对称点坐标，代入已知直线方程，即可．设所求对称直线的点的坐标(,)x y ，关于x 轴的对称点的坐标(,)x y -在已知的直线上，所以所求对称直线方程为：3450x y ++=．点评：本题是基础题，考查直线关于直线的对称直线方程的求法，考查计算能力，常考题型，注意特殊直线为对称轴的情况，化简解题过程．4．极坐标方程θρcos 534-=所表示的曲线是A ．焦点到准线距离为54的椭圆B ．焦点到准线距离为54的双曲线右支C ．焦点到准线距离为34的椭圆D ．焦点到准线距离为34的双曲线右支【答案】B【解析】443535cos 1cos 3ρθθ==--，而1cos ep e ρθ=-，所以54,35e p ==．5．53x y =在[1,1]-上是A ．增函数且是奇函数B ．增函数且是偶函数C ．减函数且是奇函数D ．减函数且是偶函数 【答案】A【解析】35y x ==A 正确．6．5215lim 22+--∞→n n n n 的值为A ．51-B ．25- C ．51 D ．25 【答案】D【解析】222215515lim lim 152522n n n n n n n n→∞→∞--==-+-+．7．集合{|}{|}2442k k M x x k Z N x x k Z ππππ==+∈==+∈,,,，则 A ．M N = B ．N M ⊃ C ．N M ⊂ D ．M N =∅【答案】C【解析】由于212{|,},{|,}44k k M x x k Z N x x k Z ππ++==∈==∈，21k +可以取所有的奇数，而2k +可以取所有的整数，所以N M ⊂．8．sin 20cos70sin10sin50︒︒+︒︒的值是 A ．41 B ．23 C ．21D ．43【答案】A【解析】1sin 20cos70sin10sin 50[sin(2070)sin(2070)]2︒︒+︒︒=︒+︒+︒-︒ 111[cos(1050)cos(1050)](sin 90sin 50)(cos60cos 40)222-︒+︒-︒-︒=︒-︒-︒-︒ 1111(1sin 50)(sin 50)2224=-︒--︒=．9．参数方程cos sin 221(1sin )2x y θθθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ ()πθ20<<表示A ．双曲线的一支，这支过点1(1,)2 B ．抛物线的一部分，这部分过1(1,)2C ．双曲线的一支，这支过点1(1,)2-D ．抛物线的一部分，这部分过1(1,)2- 【答案】B【解析】由题设可知cossin,[0,222x x θθ=+∈，且21sin x θ=+，则2sin 1x θ=-，所以2211(11),22y x x x =+-=∈，显然参数方程表示抛物线的一部分，这部分过1(1,)2．10．（同全国1理科10）若,a b 是任意实数，且a b >，则A ．22a b > B ．1<a b C ．lg()0a b -> D ．ba ⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛212111．（同全国1理科11）一动圆与两圆221x y +=和228120x y x +-+=都外切，则动圆圆心轨迹为A ．圆B 椭圆．C ．双曲线的一支D ．抛物线12．（同全国1理科12）圆柱轴截面的周长l 为定值，那么圆柱体积的最大值是 A ．3()6l π B ．31()92l π C ．3()4lπ D ．32()4l π13．451)(1)x -展开式中4x 的系数为A ．40-B ．10C ．40D ．45 【答案】D【解析】41)中02,,x x x 的系数分别为420444,,C C C ，在5(1)x -中对应的432,,x x x 123555,,C C C --，则展开式中4x 的系数为412203454545()()45C C C C C C -++-=．14．直角梯形的一个内角为45︒，下底长为上底长的23，这个梯形绕下底所在的直线旋转一周所成的旋转体的全面积为(5π+，则旋转体的体积为A ．2πB ．43+ C ．53+ D ．π37【答案】D【解析】旋转体是一个圆柱与一个圆锥的简单组合体．这个几何体的面积是一个圆（以直角梯形的高为半径）+一个长方形（圆柱的侧面展开）+一个扇形的面积（圆锥的侧面）．设直角梯形的上底长为x ，则下底为32x ，由题设可得直角梯形的高3122h x x x =-=，x ，全面积为2111()(2)222x x x x πππ+⨯⨯+⨯25(24x x π⨯=，即2(5x ππ=+，2x =． 旋转体的体积为322111177()()2322243x x x x x πππ⨯+⨯==．15．已知128,,...,a a a 为各项都大于零的等比数列，公式1q ≠，则 A ．1845a a a a +>+ B ．1845a a a a +<+C ．1845a a a a +=+D ．18a a +和45a a +的大小关系不能由已知条件确定 【答案】A【解析】题目要求比较18a a +和45a a +的大小．由于73434184511111()()(1)(1)a a a a a a q a q a q a q q +-+=+-+=--，又10a >，且1q ≠，所以3(1)q -与4(1)q -同号，所以1845()0a a a a +-+>，即1845a a a a +>+．16．设有如下三个命题：甲：相交两直线,l m 都在平面α内，并且都不在平面β内． 乙：,l m 之中至少有一条与β相交． 丙：α与β相交． 当甲成立时A ．乙是丙的充分而不必要的条件B ．乙是丙的必要而不充分的条件C ．乙是丙的充分且必要的条件D ．乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件 【答案】C【解析】分析：判断乙是丙的什么条件，即看乙=>丙、丙=>乙是否成立．当乙成立时，即“,l m 之中至少有一条与β相交”，则平面α与β至少有一个公共点，故α与β相交；反之丙成立时，即“α与β相交”，则,l m 之中至少有一条与β相交，故乙成立．故选C ．点评：本题考查空间两条直线、两个平面的位置关系判断、充要条件的判断，考查逻辑推理能力．17．将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有A ．6种B ．9种C ．11种D ．23种 【答案】B【解析】分三类：第一格填2，则第二格有13A ，第三、四格自动对号入座，不能自由排列；第一格填3，则第三格有13A ，第一、四格自动对号入座，不能自由排列；第一格填4，则第撕格有13A ，第二、三格自动对号入座，不能自由排列；共计有1339A =．第Ⅱ卷（非选择题共82分）注意事项：1．第Ⅱ卷6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中，不要在答题卡上填涂． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共6小题；每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．18．11sin(arccosarccos )23+= ． 【答案】6322+ 【解析】设11arccos,arccos 23αβ==，则11cos ,cos 23αβ==，有sin αβ==，所以11sin(arccos arccos )sin()23αβ+=+=．19．若双曲线2222194x y k k-=与圆221x y +=没有公共点，则实数k 的取值范围为 ．【答案】13k k ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭|【解析】双曲线的焦点在x 上，顶点坐标为(3,0)k ±，圆的圆心坐标为在原点，半径为1，由题设可知31k >，所以13k k ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭|．20．从1,2,...,10这十个数中取出四个数，使它们的和为奇数，共有 种取法（用 数字作答）．【答案】100【解析】根据题意，将这10个数分为奇数与偶数两个组，每组各5个数；若取出的四个数的和为奇数，则取出的四个数必有1个或3个奇数．若有1个奇数时，有135550C C =种取法，若有3个奇数时，有135550C C =种取法，故符合题意的取法共100种取法．21．（同全国1理科23）设1()42xx f x +=+，则1(0)f-= ．22．（同全国1理科24）建造一个容积为38m ，深为2m 的长方体无盖水池．如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为 元．23．如图，ABCD 是正方形，E 是AB 的中点，如将DAE ∆和CBE ∆分别沿虚线DE 和CE 折起，使AE 与BE 重合，记A 与B 重合后的点为P ，则面PCD 与面ECD 所成的二面角为 度．【答案】30【解析】不妨设正方形的边长为2，取CD 的中点M ，连接,PM EM ，∵PD PC =，∴PM CD ⊥，∵ED EC =，∴EM CD ⊥．故PME ∠即为面PCD 与面ECD 所成二面角的平面角．在PME ∆中：1,2PE PM EM ===，2223cos 22PM EM PE PME PM EM +-∠==⋅ ∴30PME ∠=︒，故答案为30．三、解答题：本大题共5小题；共58分．解题应写出文字说明、演算步骤．24．（本小题满分10分）已知1()log (0,1)1axf x a a x+=>≠-． （Ⅰ）求()f x 的定义域；（Ⅱ）判断()f x 的奇偶性并予以证明； （Ⅲ）求使()0f x >的x 取值范围．【解】本小题考查函数的奇偶性、对数函数的性质、不等式的性质和解法等基本知识及运算能力．满分12分． （Ⅰ）由对数函数的定义知011>-+xx． ——1分 如果⎩⎨⎧>->+0101x x ，则11x -<<；如果⎩⎨⎧<-<+0101x x ，则不等式组无解． ——4分故()f x 的定义域为(1,1)-． （Ⅱ）∵()()x f xxx x x f a a-=-+-=+-=-11log 11log ， ∴()f x 为奇函数． ——6分 （Ⅲ）（ⅰ）对1a >，1log 01ax x +>-等价于111>-+xx， ① 而从（Ⅰ）知10x ->，故①等价于11x x +>-，又等价于0x >． 故对1a >，当(0,1)x ∈时有()0f x >． ——9分 （ⅱ）对01a <<，1log 01ax x +>-等价于1011xx+<<-． ②而从（Ⅰ）知10x ->，故②等价于10x -<<．故对01a <<，当(1,0)x ∈-时有()0f x >． ——12分25．（同全国1文科26，分值不同）（本小题满分12分）已知数列()()2222228182813352121nn n ⋅⋅⋅⋅-+，，，，．n S 为其前n 项和．计算得189S =， 234244880254981S S S ===,,． 观察上述结果，推测出计算n S 的公式，并用数学归纳法加以证明． 【解】本小题考查观察、分析、归纳的能力和数学归纳法．22(21)1()(21)n n S n N n +-=∈+． （4分） 证明如下：（Ⅰ）当1n =时，21231839S -==，等式成立． （6分） （Ⅱ）设当n k =时等式成立，即22(21)1(21)k k S k +-=+． （7分） 则21222228(1)(21)18(1)(21)(23)(21)(21)(23)k k k k k S S k k k k k +++-+=+=++++++222222222[(21)1](23)8(1)(21)(23)(23)8(1)(21)(23)(21)(23)k k k k k k k k k k k +-+++++-+++==++++2222222(21)(23)(21)(23)1(21)(23)(23)k k k k k k k ++-++-==+++． 由此可知，当1n k =+时等式也成立． （9分）根据（Ⅰ）、（Ⅱ）可知，等式对任何n N ∈都成立． （12分）26．（本小题满分12分）已知：平面α平面β=直线a ．,αβ同垂直于平面γ，又同平行于直线b ．求证：（Ⅰ）a γ⊥；（Ⅱ）b γ⊥．【解】本小题考查直线与平面的平行、垂直和两平面垂直的基础知识，及空间想象能力和逻辑思维能力．满分12分． 证法一：（Ⅰ）设,AB AC αγβγ==．在γ内任取一点P 并于γ内作直线,PM AB PN AC ⊥⊥． ——1分∵ γα⊥，∴PM α⊥． 而a α⊂，∴PM a ⊥．同理PN a ⊥． ——4分 又,PM PN γγ⊂⊂，∴a γ⊥． ——6分（Ⅱ）于a 上任取点Q ，过b 与Q 作一平面交α于直线1a ，交β于直线2a ．——7分∵//b α，∴1//b a ．同理2//b a ． ——8分 ∵12,a a 同过Q 且平行于b ，∴12,a a 重合． 又12,a a αβ⊂⊂，∴12,a a 都是,αβ的交线，即都重合于a ． ——10分 ∵1//b a ，∴//b a ．而a γ⊥，∴b γ⊥． ——12分 注：在第Ⅱ部分未证明//b a 而直接断定b γ⊥的，该部分不给分． 证法二：（Ⅰ）在a 上任取一点P ，过P 作直线a γ'⊥． ——1分∵,P αγα⊥∈，∴a α'⊂．同理a β'⊂． ——3分 可见a '是,αβ的交线．因而a '重合于a ． ——5分又a γ'⊥，∴a γ⊥． ——6分（Ⅱ）于α内任取不在a 上的一点，过b 和该点作平面与α交于直线c ．同法过b 作平面与β交于直线d ． ——7分∵//,//b b αβ．∴//,//b c b d ． ——8分 又,c d ββ⊄⊂，可见c 与d 不重合．因而//c d ．于是//c β． ——9分 ∵//,,c c a βααβ⊂=，∴//c a ． ——10分∵//,//b c a c ，b 与a 不重合（,b a αα⊄⊂，∴//b a ． ——11分 而a γ⊥，∴b γ⊥． ——12分 注：在第Ⅱ部分未证明//b a 而直接断定b γ⊥的，该部分不给分．27．（同全国1理科27，解法不同，分值不同）（本小题满分12分）在面积为1的PMN ∆中，1tan ,tan 22PMN MNP ==-．建立适当的坐标系，求以,M N 为焦点且过点P 的椭圆方程．【解】本小题主要考查坐标系、椭圆的概念和性质、直线方程以及综合应用能力．满分12分．解法一：如图，以MN 所在直线为x 轴，线段MN 的垂 直平分线为y 轴建立直角坐标系．设以,M N 为焦点且过点P 的椭圆方程为12222=+by a x ，焦点为(,0),(,0)M c N c -． ——1分由1tan ,tan tan()22PMN N απ==-=，得 直线PM 和直线PN 的方程分别为1()2y x c =+和2()y x c =-．将此二方程联立，解得54,33x c y c ==，即P 点坐标为54(,)33c c ． ——5分在MPN ∆中，2MN c =，MN 上的高为点P 的纵坐标，故.34342212c c c S MNP =⋅⋅=∆ 由题设条件1MNP S ∆=，∴c =P点坐标为． ——7分 由两点间的距离公式()3152332236352222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=y c x PM ， ()315332236352222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=y c x PN ． 得 ()21521=+=PN PM a ． ——10分 又222153344b ac =-=-=， 故所求椭圆方程为1315422=+y x ． ——12分 解法二：同解法一得23=c ，P点的坐标为． ——7分 ∵ 点P 在椭圆上，且222a b c =+22231b +=． 化简得423830b b --=．解得23b =或213b =-（舍去）． ——10分 又222315344a b c =+=+=．故所求椭圆方程为1315422=+y x ． ——12分 解法三：同解法一建立坐标系． ——1分∵P PMN α∠=∠-∠，∴ 12tan()tan 32tan 11tan()tan 4122N M P N M ππ---===+-+⨯．∴P ∠为锐角．∴34sin ,cos 55P P ==． 而1sin 12MNP S PM PN P ∆=⋅=，∴ 103PM PN ⋅=． ——4分 ∵2,2PM PN a MN c +==，由余弦定理，222(2)2cos c PM PN PM PN P =+-⋅2()2(1c o s)P M P N P M P N P =+-⋅+ 2104(2)2235a =-⋅-⋅， ∴223c a =-，即23b =． ——7分又sin M =sin N =，由正弦定理，sin sin sin PM PN MN N M P ==， ∴PMN MN PN PM sin sin sin =++．即53251522ca =+，∴a =． ——10分 ∴222235a a b c =+=+．∴2154a =．故所求椭圆方程为1315422=+y x ． ——12分28．（同全国1理科28，解法不同）（本小题满分12分）设复数441()cos sin (0),1z z i z θθθπω-=+<<=+，并且2πωω=<，求θ．【解】本小题考查复数的基本概念和运算，三角函数式的恒等变形及综合解题能力．满分12分． 解法一：()()[]()()441cos sin 1cos 4sin 41cos 4sin 41cos sin i i i i θθθθωθθθθ--+-⎡⎤----⎣⎦==++++ ——2分()222sin 22sin 2cos 2tan2sin 4cos 42cos 22sin 2cos 2i i i θθθθθθθθθ+==++． ——5分tan 2sin 4cos 4tan 2i ωθθθθ=⋅+==，tan2θ=±． ——6分 因πθ<<0，故有（ⅰ）当tan23θ=12πθ=或127πθ=，这时都有 ⎪⎭⎫⎝⎛+=6sin 6cos 33ππωi ， 得26arg ππω<=，适合题意． ——10分（ⅱ）当tan2θ=时，得125πθ=或1211πθ=，这时都有 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=611sin 611cos 33ππωi ，得2611arg ππω>=，不适合题意，舍去． 综合（ⅰ）、（ⅱ）知12πθ=或127πθ=． ——2分解法二：θθ4sin 4cos 4i z +=．记θϕ4=，得()()ϕϕsin cos 44i z z-==．ϕϕϕϕωsin cos 1sin cos 1i i +++-=——2分()()sin sin cos tan sin cos 1cos 2i i ϕϕϕϕϕϕϕ=+=++． ——5分∵33=ω，2arg πω<，∴tan 23tan sin 0,2tan cos 0,2ϕϕϕϕϕ⎧=⎪⎪⎪⋅>⎨⎪⎪⋅≥⎪⎩——8分当①成立时，②恒成立，所以θ应满足（ⅰ）0tan2cos 40θπθθ<<⎧⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩，或（ⅱ）0tan2cos 40θπθθ<<⎧⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎩——10分解（ⅰ）得12πθ=或127πθ=．（ⅱ）无解．综合（ⅰ）、（ⅱ）12πθ=或127πθ=． ——12分。

1993年考研数学一难度系数摘要：1.1993 年考研数学一的难度系数2.考研数学对课程知识点和基础的要求3.数学一、数学二、数学三的难度比较4.考研数学的复习建议5.成功考研数学的案例正文：1993 年考研数学一的难度系数：在1993 年的考研数学中，数学一的难度系数较高。

数学一是针对报考理工类专业的学生，其考察范围和难度都是整个考研数学中最难的部分。

与数学二和数学三相比，数学一的要求更高，对课程知识点和基础的掌握都要求更加扎实。

考研数学对课程知识点和基础的要求：考研数学对课程知识点的要求非常高，需要考生对数学课本上的内容有深入的了解，特别是一些定理和公式。

此外，考生还需要具备良好的数学基础，这样才能在考研数学中取得高分。

数学一、数学二、数学三的难度比较：数学一的难度最高，其考察范围涵盖了高等数学、线性代数、概率论与数理统计等课程。

数学二是针对理工类专业的学生，不考察概论，其难度相对较低。

数学三是针对经济管理类专业的学生，其难度介于数学一和数学二之间，但有些内容比数学二要难一些，例如无穷级数等。

考研数学的复习建议：对于准备考研数学的考生，建议提前至少4 个月开始复习，确保有足够的时间掌握课程知识点和巩固基础。

复习过程中要多做题，特别是历年真题，这有助于熟悉考试题型和提高解题能力。

此外，可以参加一些考研数学辅导班，以便更好地理解和掌握知识点。

成功考研数学的案例：有一位2014 年参加考研的考生，通过认真复习和多做题，成功考取了数学一145 分的高分。

这位考生在考前基本上把市面上所有的相关资料都做过了，通过不断练习和总结，最终取得了优异的成绩。

1991年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设 ,则=_____________.(2)由方程在点处的全微分 =_____________.(3)已知两条直线的方程是则过且平行于的平面方程是_____________.(4)已知当时与是等价无穷小,则常数=_____________.(5)设4阶方阵则的逆阵=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)曲线(A)没有渐近线 (B)仅有水平渐近线(C)仅有铅直渐近线(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线 (2)若连续函数满足关系式则等于(A) (B) (C) (D) (3)已知级数则级数等于(A)3 (B)7(C)8 (D)9(4)设是平面上以、和为顶点的三角形区域是在第一象限的部分,则21cos x t y t=+=22d ydx xyz +=(,)z z x y =(1,0,1)-dz 1212321:;:.101211x y z x y zl l ---+-====-1l 2l 0x →123,(1)1ax +-cos 1x -a 52002100,00120011⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A A 1-A 221e 1ex x y --+=-()f x 20()()ln 2,2tf x f dt π=+⎰()f x e ln 2x 2e ln 2x e ln 2x +2e ln 2x +12111(1)2,5,n n n n n a a ∞∞--==-==∑∑1n n a ∞=∑D xoy (1,1)(1,1)-(1,1)--1,D D等于(A)(B)(C)(D)0(5)设阶方阵、、满足关系式其中是阶单位阵,则必有 (A) (B) (C) (D)三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求(2)设是曲面在点处的指向外侧的法向量,求函数在点处沿方向的方向导数.(cos sin )Dxy x y dxdy +⎰⎰12cos sin D x ydxdy ⎰⎰12D xydxdy ⎰⎰14(cos sin )D xy x y dxdy +⎰⎰n A B C ,=ABC E E n =ACB E =CBA E =BAC E =BCA E 20).x π+→n r 222236x y z ++=(1,1,1)P u =P n r(3)其中是由曲线绕轴旋转一周而成的曲面与平面所围城的立体.四、(本题满分6分)过点和的曲线族中,求一条曲线使沿该曲线从到的积分的值最小.五、(本题满分8分)将函数展开成以2为周期的傅里叶级数,并由此求级数的和.22(),x y z dv Ω++⎰⎰⎰Ω220y zx ==z 4z =(0,0)O (,0)A πsin (0)y a x a =>,L O A 3(1)(2)Ly dx x y dy +++⎰()2(11)f x x x =+-≤≤211n n ∞=∑六、（本题满分7分）设函数在上连续内可导,且证明在内存在一点使七、（本题满分8分）已知及 (1)、为何值时不能表示成的线性组合?(2)、为何值时有的唯一的线性表示式?写出该表示式()f x [0,1],(0,1)1233()(0),f x dx f =⎰(0,1),c ()0.f c '=1234(1,0,2,3),(1,1,3,5),(1,1,2,1),(1,2,4,8)a a ===-+=+αααα(1,1,3,5).b =+βa b ,β1234,,,ααααa b ,β1234,,,αααα八、（本题满分6分）设是阶正定阵是阶单位阵,证明的行列式大于1. 九、（本题满分8分）在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点处的曲率等于此曲线在该点的法线段长度的倒数(是法线与轴的交点),且曲线在点处的切线与轴平行.A n ,E n A E (,)P x y PQ Q x (1,1)x十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)若随机变量服从均值为2、方差为的正态分布,且则=____________.(2)随机地向半圆为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与轴的夹角小于的概率为____________.十一、（本题满分6分）设二维随机变量的密度函数为求随机变量的分布函数.X 2σ{24}0.3,P X <<={0}P X <0y a <<x 4π(,)X Y (,)f x y =(2)2e 0,00 x y x y -+>>其它2Z X Y =+1992年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设函数由方程确定,则=_____________.(2)函数在点处的梯度=_____________.(3)设 ,则其以为周期的傅里叶级数在点处收敛于_____________.(4)微分方程的通解为=_____________.(5)设其中则矩阵的秩=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)当时,函数的极限 (A)等于2 (B)等于0 (C)为(D)不存在但不为(2)级数常数(A)发散(B)条件收敛(C)绝对收敛 (D)收敛性与有关(3)在曲线的所有切线中,与平面平行的切线 (A)只有1条 (B)只有2条 (C)至少有3条(D)不存在(4)设则使存在的最高阶数为 (A)0(B)1()y y x =e cos()0x y xy ++=dydx222ln()u x y z =++(1,2,2)M -grad Mu ()f x =211x-+00x x ππ-<≤<≤2πx π=tan cos y y x x '+=y 111212121212,n n n n n n a b a b a b a b a ba b a b a b a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A L L L L L L L0,0,(1,2,,).i i a b i n ≠≠=L A ()r A 1x →1211e 1x x x ---∞∞1(1)(1cos )(n n an ∞=--∑0)a >a 23,,x t y t z t ==-=24x y z ++=32()3,f x x x x =+()(0)n f n(C)2 (D)3(5)要使都是线性方程组的解,只要系数矩阵为(A)(B) (C)(D)三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分) (1)求(2)设其中具有二阶连续偏导数,求12100,121⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ξξ=AX 0A []212-201011-⎡⎤⎢⎥⎣⎦102011-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦011422011-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦x x →22(e sin ,),xz f y x y =+f 2.zx y ∂∂∂(3)设,求四、(本题满分6分)求微分方程的通解.五、(本题满分8分) 计算曲面积分其中为上半球面.()f x =21e xx -+00x x ≤>31(2).f x dx -⎰323e x y y y -'''+-=323232()()(),xaz dydz y ax dzdx z ay dxdy ∑+++++⎰⎰∑z =六、（本题满分7分）设证明对任何有 七、（本题满分8分）在变力的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面上第一卦限的点问当、、取何值时,力所做的功最大?并求出的最大值.()0,(0)0,f x f ''<=120,0,x x >>1212()()().f x x f x f x +<+F yzi zxj xyk =++r r r r 2222221x y z a b c++=(,,),M ξηζξηζF rW W八、（本题满分7分）设向量组线性相关,向量组线性无关,问: (1)能否由线性表出?证明你的结论. (2)能否由线性表出?证明你的结论. 九、（本题满分7分）设3阶矩阵的特征值为对应的特征向量依次为又向量(1)将用线性表出. (2)求为自然数).123,,ααα234,,ααα1α23,αα4α123,,αααA 1231,2,3,λλλ===1231111,2,3,149⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ξξξ12.3⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ββ123,,ξξξ(n n A β十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知则事件、、全不发生的概率为____________.(2)设随机变量服从参数为1的指数分布,则数学期望=____________.十一、（本题满分6分）设随机变量与独立服从正态分布服从上的均匀分布,试求的概率分布密度(计算结果用标准正态分布函数表示,其中.11()()(),()0,()(),46P A P B P C P AB P AC P BC ======A B C X 2{e }X E X -+X Y ,X 2(,),N Y μσ[,]ππ-Z X Y =+Φ22()e)t xx dt --∞Φ=1993年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)函数的单调减少区间为_____________.(2)由曲线 绕轴旋转一周得到的旋转面在点处的指向外侧的单位法向量为_____________.(3)设函数的傅里叶级数展开式为则其中系数的值为_____________.(4)设数量场则=_____________.(5)设阶矩阵的各行元素之和均为零,且的秩为则线性方程组的通解为_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设则当时是的(A)等价无穷小 (B)同价但非等价的无穷小 (C)高阶无穷小 (D)低价无穷小(2)双纽线所围成的区域面积可用定积分表示为(A)(B)(C)(D)(3)设有直线与 则与的夹角为 (A)(B)1()(2(0)xF x dt x =->⎰223212x y z +==y 2()()f x x x x πππ=+-<<01(cos sin ),2n n n a a nx b nx ∞=++∑3b u =div(grad )u n A A 1,n -=AX 0sin 2340()sin(),(),xf x t dtg x x x ==+⎰0x →,()f x ()g x 22222()x y x y +=-402cos 2d πθθ⎰404cos 2d πθθ⎰2θ2401(cos 2)2d πθθ⎰1158:121x y z l --+==-2:l 623x y y z -=+=1l 2l 6π4π(C)(D)(4)设曲线积分与路径无关,其中具有一阶连续导数,且则等于(A)(B)(C)(D)(5)已知为三阶非零矩阵,且满足则 (A)时的秩必为1 (B)时的秩必为2 (C)时的秩必为1 (D)时的秩必为2三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求(2)求3π2π[()e ]sin ()cos xL f t ydx f x ydy --⎰()f x (0)0,f =()f x e e 2x x --e e 2x x --e e 12x x-+-e e 12x x-+-12324,369t ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦Q P 0,=PQ 6t =P 6t =P 6t ≠P 6t ≠P 21lim(sin cos ).x x x x →∞+.x(3)求微分方程满足初始条件的特解.四、(本题满分6分)计算其中是由曲面与所围立体的表面外侧.五、(本题满分7分)求级数的和.22,x y xy y '+=11x y ==22,xzdydz yzdzdx z dxdy ∑+-⎰⎰Ò∑z =z =20(1)(1)2n nn n n ∞=--+∑六、(本题共2小题,每小题5分,满分10分)(1)设在上函数有连续导数,且证明在内有且仅有一个零点. (2)设证明七、（本题满分8分）已知二次型通过正交变换化成标准形求参数及所用的正交变换矩阵.[0,)+∞()f x ()0,(0)0,f x k f '≥><()f x (0,)+∞,b a e >>.b a a b >22212312323(,,)2332(0)f x x x x x x ax x a =+++>22212325,f y y y =++a八、（本题满分6分）设是矩阵是矩阵,其中是阶单位矩阵,若证明的列向量组线性无关. 九、（本题满分6分）设物体从点出发,以速度大小为常数沿轴正向运动.物体从点与同时出发,其速度大小为方向始终指向试建立物体的运动轨迹所满足的微分方程,并写出初始条件.A n m ⨯,B m n ⨯,n m <I n ,=AB I B A (0,1)v y B (1,0)-A 2,v ,A B十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为____________.(2)设随机变量服从上的均匀分布,则随机变量在内的概率分布密度=____________.十一、（本题满分6分）设随机变量的概率分布密度为(1)求的数学期望和方差(2)求与的协方差,并问与是否不相关? (3)问与是否相互独立?为什么?X (0,2)2Y X =(0,4)()Y f y X 1()e ,.2x f x x -=-∞<<+∞X EX .DX X X X X X X。

1993年考研数学一难度系数
摘要：
一、前言
二、1993年考研数学一难度系数的背景介绍
三、1993年考研数学一试题的难度分析
四、1993年考研数学一难度系数对后续考试的影响
五、结论
正文：
一、前言
1993年考研数学一难度系数在历年考研中具有较高的知名度和影响力，一度成为考生们热议的焦点。

本文旨在通过对这一年度难度系数的分析，帮助大家更好地了解考研数学一的难度情况，为广大考生提供参考。

二、1993年考研数学一难度系数的背景介绍
1993年是我国恢复研究生招生考试的第二年，考研数学一难度系数相较于前一年有了明显的提高。

这一年的试题在考察基本概念、基本方法和基本技能方面更为严格，要求考生具备较强的数学素养和综合运用能力。

三、1993年考研数学一试题的难度分析
1993年考研数学一试题在各个知识点上的分布较为均衡，涵盖了高等数学、线性代数、概率论与数理统计等内容。

试题在计算量、思维难度和创新性方面均有所提高，尤其在一些综合题和应用题上，考生需要运用所学知识进行灵活分析和解决问题。

四、1993年考研数学一难度系数对后续考试的影响
1993年考研数学一难度系数的提高，使得广大考生对考研数学一的难度有了更为清晰的认识。

此后，我国研究生招生考试数学一的难度系数逐渐趋于稳定，既保证了选拔人才的质量，又兼顾了考生的实际需求。

五、结论
综合以上分析，1993年考研数学一难度系数在历年考试中具有较高的代表性。

了解这一年度的难度系数，有助于广大考生更好地把握考研数学一的难度趋势，为备考提供参考。

考研数学一（常微分方程）历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(1989年)设线性无关的函数y1，y2，y3都是二阶非齐次线性方程y”+p(x)y’+q(x)y=f(x)的解，c1，c2是任意常数，则该非齐次方程的通解是A．c1 y1+c2y2+y3B．c1y1+c2y2一(c1+c2)y3C．c1y1+c2y2一(1一c1—c2)y3D．c1y1+c2y2+(1一c1一c2)y3正确答案：D解析：由于(D)中的y=C1y1+C2y2+(1一C1—C2)y3=C1(y1一y3)+C2(y2一y3)+y3其中y1一y3和y2一y3是对应的齐次方程的两个解，且y1一y3与y2—y3线性无关．事实上，若令A(y1—y3)+B(y2一y3)=0即Ay1+By2一(A+B)y3=0由于y1，y2，y3线性无关，则A=0，B=0，一(A+B)=0因此y1一y3与y2一y3线性无关，故y=C1y1+C2y2+(1一C1—C2)y3是原方程通解．知识模块：常微分方程2．(1991年)若连续函数f(x)满足关系式则f(x)等于A．exln2B．e2xln2C．ex+ln2D．e2x+ln2正确答案：B解析：等式两边求导得f’(x)=2f(x)解此方程得f(x)=Ce2x由原方程可知f(0)=ln2，代入f(x)=Ce2x得C=ln2.故f(x)=e2xln2 知识模块：常微分方程3．(1993年)设曲线积分与路径无关，其中f(x)具有一阶连续导数，且f(0)=0，则f(x)等于A．B．C．D．正确答案：B解析：由得f’(x)+f(x)=ex解此方程得f(x)=e-x(e2x+C)由f(0)=0得，故知识模块：常微分方程填空题4．(1992年)微分方程y’+ytanx=cosx的通解为y=_____________．正确答案：(x+c)cosx．解析：由线性方程通解公式得知识模块：常微分方程5．(1996年)微分方程y”一2y’+2y=ex的通解为___________．正确答案：特征方程为λ2一2λ+2=0，解得λ1，2=1±i，则齐次方程通解为y=ex(C1cosx+C2sinx)易观察出y=ex是非齐次方程的一个特解．则原方程通解为y=ex(C1cosx+C2sinx)+ex 涉及知识点：常微分方程6．(1999年)y”一4y—e2x的通解为y=____________．正确答案：C1e-2x+C2e2x+xe2x．解析：特征方程为λ2一4=0，则λ=一2，λ2=2，从而齐次方程的解为由于λ=2为特征方程单根，则非齐次待定特解可设为y*=Axe2x代入原方程得故所求通解为y=C1e-2x+C2e2x+xe2x 知识模块：常微分方程7．(2000年)微分方程xy”+3y’=0的通解为____________．正确答案：解析：令y’=p，则y”=p’．代入原方程得解得因此知识模块：常微分方程8．(2001年)设y=ex(C1sinx+C2cosx)(C1，C2为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为___________．正确答案：y”-2y’+2y=0解析：所求方程的特征根为λ1，2=1,±i则其特征方程为λ2一2λ+2=0故所求方程为y”一2y’+2y=0 知识模块：常微分方程9．(2002年)微分方程yy”+y’2一0满足初始条件的特解是____________．正确答案：y2=x+1或解析：解 1 令y’=P，则代入原方程得解得可知，则所求的特解为y2=x+1 解2 由于原方程左端从而原方程可改写为因此yy’=C1以下求解同解1．知识模块：常微分方程10．(2004年)欧拉方程的通解为___________．正确答案：解析：令z=et 代入原方程所得新方程的特征方程为ρ(ρ一1)+4ρ+2=0 解得ρ1=一1，ρ2=一2则新方程通解为y=C1e-t+C2e-2t，将x=et代入得原方程通解为知识模块：常微分方程解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

1993年考研数学一难度系数【最新版】目录1.1993 年考研数学一背景介绍2.考研数学一难度系数分析3.1993 年考研数学一难度系数的影响因素4.对比其他年份考研数学一难度系数5.总结正文【1993 年考研数学一背景介绍】1993 年考研数学一，即 1993 年全国硕士研究生入学考试数学一，是我国教育历史上一次重要的研究生入学考试。

这一年的考研数学一考试，无论是题目难度还是考试形式，都对后来的考研数学一有着重要的影响。

【考研数学一难度系数分析】1993 年考研数学一的难度系数，从历史数据来看，属于中等偏上难度。

这一难度系数的设定，主要是考虑到研究生教育的选拔要求，以及考生的整体水平。

难度系数的设定，既要保证选拔效果，又要考虑到考生的承受能力，避免过大的难度造成考生的挫败感。

【1993 年考研数学一难度系数的影响因素】1993 年考研数学一难度系数的确定，受到了多种因素的影响。

首先，当时的教育环境和研究生教育政策，对考研数学一的难度系数产生了影响。

其次，考生的整体水平和学科素养，也是影响难度系数的重要因素。

再次，当年的考试大纲和命题趋势，也对难度系数产生了影响。

【对比其他年份考研数学一难度系数】对比其他年份的考研数学一难度系数，可以发现，1993 年的难度系数处于中等偏上水平。

这与其他年份的难度系数相比，既不高于最高难度，也不低于最低难度。

因此，可以说，1993 年的考研数学一难度系数是合理的。

【总结】总的来说，1993 年考研数学一的难度系数是合理的，既保证了选拔效果，又考虑到了考生的承受能力。

虽然难度属于中等偏上，但这并没有影响到考生的报考热情和考试效果。

1993年全国硕士研究生入学统一考试数学试题参考解答及评分标准数 学（试卷一）一、填空题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分) (1) 函数)0()12()(1>-=⎰x dt t x F x的单调减少区间为1(0,)4.(答1(0,]4也对)(2) 由曲线223212x y z ⎧+=⎨=⎩绕y 轴旋转一周得到的旋转面在点（0,2,3）处的指向外侧的单位法向量为2,3}5(3) 设函数2()f x x x π=+()ππ<<-x 的傅里叶级数展开式为()∑∞=++10sin cos 2n n n nx b nx a a 则其中系数3b 的值为 π32(4) 设数量场222u x y z =++，则()div gradu =2221x y z++ (5) 设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为零，且A 的秩为n-1，则线性方程组AX=0的通解为()1,1,,1T k二、选择题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分) (1) 设sin 2340()sin(),()x f x t dt g x x x ==+⎰，则当x →0时，()f x 是()g x 的 （B ）(A) 等价无穷小 （B ）同阶但非等价无穷小 （C ）高阶无穷小 （D ）低阶无穷小 (2) 双纽线22222)(y x y x -=+所围成的区域面积可用定积分表示为 （A ）(A) 2⎰42cos πθθd (B) 4⎰402cos πθθd (C) 2θθπd ⎰42cos (D)21()⎰4022cos πθθd (3) 设直线182511:1+=--=-z y x l 与⎩⎨⎧=+=-326:2z y y x l ，则1l 与2l 的夹角为 (C) (A)6π (B) 4π (C) 3π (D) 2π(4) 设曲线积分ydy x f ydx e x f xLcos )(sin ])([--⎰与路径无关，其中()f x 具有一阶连续导数，且(0)0f =，则()f x 等于 (B)(A) 2x x e e -- (B) 2x x e e -- (C) 12-+-x x e e (D) 21xx e e -+-(5) 已知Q=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡96342321t ，P 为三阶非零矩阵，且满足 PQ = 0，则 (C)(A) 6t =时P 的秩必为1 (B) 6t =时P 的秩必为2 (C) 6t ≠时P 的秩必为1 (D) 6t ≠时P 的秩必为2三、(本题共3小题，每小题5分，满分15分)(1) 求21lim(sincos )x x x x→∞+.解：因021ln(sin 2cos )lim ln(sin cos )lim x t t t x x x t→∞→++=……2分 02cos 2sin lim 2sin 2cos t t tt t→-==+,……4分 所以原式2e =. ……5分(2) 求dx e xe xx⎰-1. 解：令1x u e =-222ln(1),1u x u dx du u=+=+，从而 222(1)ln(1)2(1)1x x u u udu u u e ++=⋅+-⎰ ……2分22ln(1)u du =+⎰222242ln(1)2ln(1)441u u u du u u u arctgu C u=+-=+-+++⎰……4分 214141x x x x e e e C =---.……5分(3) 求微分方程22y xy y x =+'满足初始条件11==x y 的特解.解一： 22'y xy y x -=，令y xu =，有22','2xu u u u xu u u +=-=-. ……2分分离变量得22du dx u u x =-，积分得11[ln(2)ln ]ln 2u u x C --=+即22u Cx u-=，亦即22y x Cx y -=. ……4分 由11x y =∣=得1C =-，故所求特解为22y x x y -=-，即221x y x =+. ……5分解二 2222111'1,,'1,'x x y z x z xz z z y y y x x+==-+=-=-令有,……2分 解得 311[()]2z x dx C Cx x x=-+=+⎰ ……4分 即2212x y Cx =+，由11x y =∣=得12C =，故所求特解为221xy x =+.. ……5分四、(本题满分6分) 计算⎰⎰∑-+dxdy zyzdzdx xzdydz 22，其中∑是由曲面22y x z +=与222y x z --=所围立体的表面外侧.解：22,,,2,,2,P Q R P Q RP xz Q yz R z z z z z x y z x y z∂∂∂∂∂∂===-===-++=∂∂∂∂∂∂因故.根据奥-高公式，22xzdydz yzdzdx z dxdy zdxdydz ∑Ω+-=⎰⎰⎰⎰⎰……2分 2234sin cos d d dr ππθϕϕϕ=⎰⎰……5分 2π=.……6分五、(本题满分6分) 求级数()()∑∞=+--02211n nn n n 的和.解：2000(1)(1)11(1)()()222n n nnn n n n n n n ∞∞∞===--+=--+-∑∑∑, ……1分 其中12112()213n n ∞=-==+∑, ……2分设22()(1),(1,1)n n S x n n xx ∞-==-∈-∑，则22[()]1x xnn x S x dx dx x x ∞===-∑⎰⎰故232()()1(1)x S x x x ''==--2302(1),(1,1)(1)nn x n n x x x ∞=-=∈--∑， ……5分 于是014(1)()227n n n n ∞=--=∑，……6分 20(1)(1)4222227327n nn n n ∞=--+=+=∑所以. ……7分六、(本题共2小题，每小题5分，满分10分)(1) 设在[0,)+∞上函数()f x 有连续导数，且f '(x)0>≥k ，(0)0f <，证明()f x 在(0,)+∞内有且仅有一个零点．证：在[0,)+∞上，由'()f x k ≥得'()xxf x dx kdx ≥⎰⎰，即()(0)f x kx f ≥+.11(0)(0)0,()[](0)0f f x f x k f k k>->>-+=取有. ……2分 1010()0,(0)0,,(0,),()0f x f x x f x ><∈=因由题设根据零点定理故必存在使.……4分又因'()0f x k ≥>，故()f x 严格单调增加，()f x 在(0,)+∞内有且仅有一个零点．……5分(2) 设b a e >>，证明 abb a >.证: 要证ab b a >，只需证ln ln .b a a b > 令()ln ln (),f x x a a x x a =-≥……2分 因为'()ln 10(),a af x a x a x x=->-≥≥所以()f x 在x a ≥时单调增加. ……3分 于是，当b a >时，()()0f b f a >=，即有ln ln b a a b >.……5分七、(本题满分8分)已知二次型()02332),,(32232221321>+++=a x ax x x x x x x f 通过正交变换化成标准形23222152y y y f ++=，求参数a 及所用的正交变换矩阵. 解：二次型f 的矩阵2000303a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ， ……1分特征方程为22200||03(2)(69)003a a aλλλλλλλ--=--=--+-=--I A ，……2分由题设，知A 的特征值为1231,2,5λλλ===.将1λ=（或5λ=）代入特征方程，得240,2a a -==±. 又0a >，故取2a =.这时200032023⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ， 当11λ=时，由()-=I A x 0，即1231000220022x x x -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，解得对应的特征向量1011ξ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭. 当22λ=时，由(2)-=I A x 0，解得对应的特征向量为2100ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.当35λ=时，由(5)-=I A x 0，解得对应的特征向量为3011ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. ……7分将123,,ξξξ单位化，得0001230101,0,1,22101ξξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪==⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪-⎭⎝⎭⎭故所用的正交变换矩阵为010202202⎛⎫ = -⎝T . ……8分八、(本题满分6分)设A 是n m ⨯矩阵，B 是m n ⨯矩阵，其中n m <，I 是n 阶单位矩阵.若AB = I ，证明 B 的列向量组线性无关.证一：设12[,,,]n B βββ= ，其中(1,2,,)i i n β= 是B 的列向量.若11220n n x x x βββ+++= ，即1212(,,,)0n n x x BX x βββ⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭， ……2分两边左乘A ，则得0ABX =，即0I X =，亦即0X =.……5分 所以12,,,n βββ 线性无关.……6分 证二：因为()r B n ≤， ……1分 又()()()r B r AB r I n ≥==， ……4分 故()r B n =.……5分 所以12,,,n βββ 线性无关.……6分九、(本题满分6分)设物体A 从点(0,1)出发，以速度大小为常数v 沿y 轴正向运 动.物体B 从点（-1，0）与A 同时出发，其速度大小为2v ，方向 始终指向A. 试建立物体B 的运动轨迹所满足的微分方程，并写出 初始条件.解：设在时刻t ，B 位于点(,)x y 处，则 (1)dy y vt dx x-+=， ……2分 两边对x 求导得22()d y dt x vx dx=-*∂由221()ds dy dx v dt dx dt ==+，得211()2dt dy dx v dx=+ 代入(*)式得到所求的微分方程为22211()02d y dyx x dx+=∂. ……5分其初始条件为110,'1x x y y =-=-∣=∣=. ……6分 十、填空题 (本题共2小题，每小题3分，满分6分)(1) 一批产品共有10个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不放回，则 第二次抽出的是次品的概率为1/6.(2) 设随机变量X 服从(0,2)的均匀分布，则随机变量2Y X =在（0，4）内概率分布密度()Y f y 4y十一、(本题满分6分) 设随机变量X 的概率分布密度为1(),.2xf x e x -=-∞<<+∞ (1)求X 的数学期望EX 和方差DX ； (2)求X 与X 的协方差;并问X 与X 是否不相关？(3)问X 与X 是否相互独立？为什么？解：(1) ()0EX xf x dx ∞-∞==⎰，……1分 220()02x DX x f x dx x e dx ∞∞--∞=-==⎰⎰.……2分(2) cov(,||)(||)||||()00X X E X X EX E X x x f x dx ∞-∞=⋅-⋅=-=⎰，……3分 故X 与X 不相关.……4分(3) 对给定0a <<+∞，显然{||}{}X a X a <⊂<，故{,||}{||}P X a X a P X a <<=<. 又易见{}1P X a <<，{||}0P X a <>，所以{}{||}{||}P X a P X a P X a <⋅<<<， 因此{,||}{}{||}P X a X a P X a P X a <<≠<⋅<，因此X 与X 不独立. ……6分数 学（试卷二）一 ~ 三、【 同数学一 第一 ~ 三题 】 四、(本题共3小题，每小题6分，满分18分)(1) 设),(3xyxy f x z =，f 具有连续二阶偏导数，求22,y z y z ∂∂∂∂及y x z ∂∂∂2 解: 4212z x f x f y ∂''=+∂.……2分 2533531112212211122222z x f x f x f xf x f x f xf y ∂''''''''''''''=+++=++∂. ……3分23422111122212242zx f x yf x yf xf x yf yf x y∂''''''''''=+-++-∂∂ 3412112242x f xf x yf yf ''''''=++-.……6分(2) 【 同数学一 第四题 】(3) 已知3R 的两个基为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1111α，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1012α，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1013α；⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1211β，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=4322β，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3433β.求由基3,2,1ααα到基3,2,1βββ的过渡矩阵.解：设由基123,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵为C ， 则()()1,2,31,2,3C βββααα= ……1分故()()11,2,31,2,3C αααβββ-=，其中()111,2,3111100111ααα--⎛⎫ ⎪== ⎪⎪-⎝⎭0101102211122⎛⎫⎪⎪⎪-⎪⎪ ⎪-⎝⎭……3分 于是234010101C ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭.……5分五~九、【 同数学一 第五 ~ 九题 】数 学（试卷三）一、填空题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分) (1) 0ln lim 0=+→x x x .(2) 函数()y y x =由方程()0sin 222=-++xy e y x x 所确定，则dx dy =222222cos()2cos()2x y e x x y y x y xy--++-.(3) 【 同数学一 第一（1）题 】 (4)cos cos dx c xx=+ . (5) 已知曲线()y f x =过点1(0,)2-，且其上任一点(,)x y 处的切线斜率为2ln(1)x x +，则()f x =22(1)[ln(1)1]/2x x ++-.二、选择题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分) (1) 当x 0→时，变量x x1sin 12是 ( D) (A) 无穷小 (B) 无穷大(C) 有界的，但不是无穷小量 (D) 无界的,但不是无穷大(2) 设()f x =⎪⎩⎪⎨⎧=≠--1,21,112x x x x ，则在点1x =处函数()f x ( A ) (A) 不连续 (B) 连续，但不可导 (C) 可导，但导数不连续 (D) 可导，且导数连续(3) 已知()f x =201112x x x ⎧≤<⎨≤≤⎩，设()1()()02x F x f td t x =≤≤⎰，则()F x 为 (D) (A) ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<≤2110313x xx x (B) ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<≤-211031313x x x x (C) ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤21110313x x x x (D) ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤-2111031313x x x x (4) 设常数0k >，函数k exx x f +-=)ln()(在()+∞,0内零点个数为 ( B )(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0(5) 若()()f x f x =--， 且在()+∞,0内0)('>x f ,0)(''>x f ,则()f x 在()0,∞-内 (C)(A) 0)('',0)('<<x f x f (B) 0)('',0)('><x f x f (C) 0)('',0)('<>x f x f (D) 0)('',0)('>>x f x f 三、(本题共5小题，每小题5分，满分25分)(1) 设2sin[()]y f x =，其中f 具有二阶导数，求22dx yd .解：222()cos[()]dy xf x f x dx '=,……2分 222222222222{()cos[()]2()cos[()]2['()]sin[()]}d yf x f x x f x f x x f x f x dx'''=+- 222222222'()cos[()]4{''()cos[()]['()]sin[()]}f x f x x f x f x f x f x =+-. ……5分(2) 求 2lim 100)x x x x →-∞+.解：原式2lim100x x x =+-……1分 2lim10011x x=-+- ……4分50=-. ……5分(3) 求 dx xx⎰+402cos 1π.解：原式442001tan 2cos 2x dx xd x x ππ==⎰⎰ ……1分 44001sin (tan )2cos x x x dx xππ=∣-⎰ ……3分 4011(ln cos )ln 22484x πππ=+∣=-. ……5分(4) 求 ()dx x x⎰∞++031 解：原式3011(1)x dx x +∞+-=+⎰……1分23201111[]lim (1)(1)12(1)bb dx x x x x +∞→+∞⎡⎤=-=-+⎢⎥++++⎣⎦⎰……3分12=. ……5分(5) 求微分方程0)cos 2()1(2=-+-dx x xy dy x 满足初始条件10==x y 的特解.解：原方程可化为 222cos 11dy x xy dx x x +=--……1分 此一阶线性微分方程的通解为2222112cos (),1x x dx dx x x x y e e dx C x ---⎰⎰=+-⎰ ……3分 即2sin 1x C y x +=-.……4分 由01x y =∣=，得1C =-，故满足初始条件的特解是2sin 11x y x -=-. ……5分四、(本题满分9分)设二阶常系数线性微分方程x e y y y γβα=+'+''的一个特解为()x x e x e y ++=12.试确 定常数,,,γβα并求该方程的通解.解一：由题设特解知原方程的特征根为1和2，……2分 所以特征方程为(1)(2)0r r --=，即2320r r -+=，于是3,2αβ=-= ……5分 将1x y xe =代入方程得(2)3(1)2x x x x x e x e xe e γ+-++=，即1γ=- ……7分 从而原方程的通解为212x x x y c e c e xe =++.……9分 解二: 将2(1)xx y ex e =++代入原方程得2(42)(32)(1)x x x x e e xe e αβαβαβγ++++++++=,……2分 比较同类项的系数，有4203210αβαβγαβ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解方程组得αβγ=-3,=2,=-1. ……5分即原方程为32xy y y e-'''-+=-，它对应的齐次方程的特征方程为2320r r -+=，解之得特征根121,2r r ==，故齐次方程的通解为212x x Y c e c e =+. ……7分由题设特解知，原方程的通解为2212[(1)]x x x x y c e c e e x e =++++, 即234x x x y c e c e xe =++……9分五、(本题满分9分)设平面图形A 由x y x 222≤+与x y ≥所确定，求图形A 绕直线2x =旋转一周所得旋转体的体积.解：A 的图形如下图所示.取y 为积分变量,它的变化区间为[0,1]，易见A的两条边界曲线方程分别为 211(01)x y x y y =-=≤≤及.……2分于是相应于[0,1]区间上任一小区间[],y y dy +的薄片的体积元素为22222{[2(11(2)}2[1(1)]dV y y dy y y dy πππ=----=--， ……5分于是所求体积为12202[1(1)]V y y dy π=--⎰……6分 1321(1)2[1arcsin ]223y y y y π-=-+……8分 12()43ππ=-2223ππ=- ……9分六、(本题满分9分)作半径为r 的球的外切正圆锥，问此圆锥的高h 为何值时， 其体积V 最小，并求出该最小值.解：设圆锥底面圆半径为R ，如图所示SC h, OC OD r,BC R ====.因222,R 2()BC CD R SC SD h h hr h r r ==---故从而 ……2分 于是圆锥体积为222()(2)332r h V h R h r h h rππ==<<+∞-.……4分2224(h)=,(h)04,0().3(2)r h rhh r h h r π-''===-因V 故解V 得舍去 ……7分由于圆锥的最小体积一定存在,且h=4r 是()V h 在(2r,+)∞内的唯一驻点，所以当h=4r 时，V 取最小值223(4)8(4)3(42)3r r r V r r r ππ==-. ……9分七、(本题满分9分)设0x >，常数a e >，证明：()x a aa x a +<+.证：因为ln y x =是单调增加函数，所以欲证明()x a aa x a +<+，只需证ln()()ln a a x a x a +<+.……2分 设()()ln ln(),f x a x a a a x =+-+ ……4分则在[0,)+∞内连续且可导，又有()ln af x a a x'=-+. ……5分 ln 1,1,()0,()[0,].aa f x f x a x'><>+∞+因为故所以函数在内单调增加 ……7分(0)0,()0(0),ln()()ln ,()a a x f f x x a a x a x a a x a +=><<+∞+<++<而所以即.……9分八、(本题满分9分)设()f x '在[0,]a 上连续，且(0)0f =，证明：2()2a Ma f x dx ≤⎰，其中0max '()x aM f x ≤≤=.证一：任取(0,]x a ∈，由微分中值定理有()(0)(),(0,)f x f f x x ξξ'-=∈. ……3分 又(0)0f =，故()(),(0,]f x f x x a ξ'=∈. 所以()()()aaaf x dx f xdx f xdx ξξ''=≤⎰⎰⎰……6分 0a M xdx ≤⎰22M a =……9分证二：设[0,]x a ∈，由(0)0f =，知'()()(0)()xf t dt f x f f x =-=⎰……4分由积分基本性质，并考虑到0max '()x aM f x ≤≤=，有()'()'()xx xf x f t dt f t dt Mdt Mx =≤≤=⎰⎰⎰.……7分 于是2()()2aaaMa f x dx f x dx Mxdx ≤≤=⎰⎰⎰. ……9分数 学（试卷四）一、填空题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分)(1) 562sin 3553lim 2=++∞→x x x x . (2) 已知()232,,32x y f f x arctgx x -⎛⎫='= ⎪+⎝⎭则 ==0x dx dy π43.(3) 级数()∑∞=023ln n nn的和为22ln3-.(4) 设4阶方阵A 的秩为2, 则其伴随矩阵*A 的秩为 0 .(5) 设总体X 的方差为1，根据来自X 的容量为100的简单随机样本，测得样本均值为5，则X 的数学期望的置信度近似等于0.95的置信区间为 ( 4.804 ,5.196 ) . 二、选择题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分)(1) 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(2x x xx x f , 则 f (x ) 在点x = 0处 ( C ) (A) 极限不存在. (B) 极限存在但不连续. (C) 连续但不可导. (D) 可导. (2) 设()f x 为连续函数，且ln 1()()x xF x f t dt =⎰, 则)(x F '等于 ( A )(A))1(1)(l n 12x f x x f x + (B) )1()(ln x f x f + (C) )1(1)(ln 12x f xx f x -(D) )1()(ln x f x f - (3) n 阶方阵A 具有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的 (B) (A) 充分必要条件 (B) 充分而非必要条件 (C) 必要而非充分条件 (D) 既非充分也非必要条件 (4) 假设事件A 和B 满足()1P B A =，则 (D)(A) A 是必然事件 (B)()0P B A = (C) A ⊃ B (D) A ⊂ B(5) 设随机变量X 的密度函数为)(x ϕ,且)(x -ϕ=)(x ϕ,()F x 是X 的分布函数,则对任意实数a ， 有 (B )(A ) 0()1()aF a x dx ϕ-=-⎰ (B ) 01()()2aF a x dx ϕ-=-⎰(C ) ()()F a F a -= (D ) ()2()1F a F a -=- 三、(本题满分5分)设(,)z f x y =是由方程0z y x z y x xe ----+=所确定的二元函数，求dz .解：将方程两端微分，得()0z y x z y x dz dy dx e dx xe dz dy dx ------++--= ……3分 整理后得(1)(1)(1)z y x z y x z y x z y x xe dz xe e dx xe dy --------+=+-++……4分 由此，得1(1)1z y xz y xx e dz dx dy xe----+-=++. ……5分四、(本题满分7分)已知⎰∞+-∞→=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-a xxx dx e x a x a x 224lim ，求常数a 的值. 解：左边=22lim(1)xa x a e x a-→∞-=+.……2分 22222224x x x aaax dex e xe dx +∞+∞--+∞-=-=-∣+⎰⎰右边……3分 22222a x aa e xde +∞--=-⎰……4分2222222a x x a aa e xe e dx +∞--+∞-=-∣+⎰……5分 222222a a x aa e ae e ---+∞=+-∣222222a a a a e ae e ---=++. ……6分 于是，有2222222aa a a ea e ae e ----=++，解得0a =或1a =-……7分五、(本题满分9分)设某产品的成本函数为2C aq bq c =++，需求函数为()1q d p e=-，其中C 为成本，q 为需求量(即产量)，p 为单价，,,,,a b c d e 都是正的常数，且d b >，求：(1) 利润最大时的产量及最大利润； (2) 需求对价格的弹性； (3) 需求对价格弹性的绝对值为1时的产量. 解：(1) 利润函数为22()()()()L pq C d eq q aq bq c d b q e a q c =-=--++=--+-……2分 两侧同时对q 求导，得'()2()L d b e a q =--+. 令'L =0，得2()d bq e a -=+……3分 因为2()0L e a ''=-+<，所以当2()d bq e a -=+时，利润最大，且……4分 2max()L 4()d b ce a -=-+. ……5分(2) 因为1'q e=-， 所以需求对价格的弹性为'p q qη=-……7分 1()d eq d eqq e eq --=--=. ……8分 (3) 由1η=，得2dq e=.……9分六、(本题满分8分)假设: (1) 函数)(x f y =(∞<≤x 0) 满足条件 0)0(=f 和1)(0-≤≤x e x f ；(2) 平行于y 轴的动直线MN 与曲线)(x f y =和1-=xe y 分别交于点1P 和2P ；(3) 曲线)(x f y =、直线MN 与x 轴所围封闭图形的面积S 恒等于线段21P P 的长度. 求函数)(x f y =的表达式.解：由题设可得示意图如下： 由图可知()1()xx f x dx e f x =--⎰……3分两端求导，得()()x f x e f x '=- ……4分 即()()x f x f x e '+=. 解此一阶线性方程，得1()()2x x x x x f x e e e dx C e Ce --=+=+⎰, ……7分因(0)0f =，故有1C 2=-，因此所求函数为1()()2x x f x e e -=-……8分七、(本题满分6分)假设函数)(x f 在[0,1]上连续，在()1,0内二阶可导,过点(0,(0))A f 与(1,(1))B f 的直 线与曲线()y f x =相交于点(,())C c f c ，其中01c <<. 证明：在()1,0内至少存在一点ξ， 使0)(=''ξf .证一：因为()f x 在[0,c]上满足拉格朗日中值定理的条件，故存在1(0,),c ξ∈使1()(0)()0f c f f c ξ-'=- ……2分由于点C 在弦AB 上，故有()(0)(1)(0)(1)(0)010f c f f f f f c --==---， 1'()(1)(0)f f f ξ=-从而. ……3分 同理可证，存在22(,1),'()(1)(0)c f f f ξξ∈=-使,……4分于是有12'()'()f f ξξ=，从而()f x '在12[,]ξξ上满足罗尔定理的条件， 所以存在12(,)(0,1)ξξξ∈⊂使()0f ξ''=.……6分八、(本题满分10分)k 为何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=++-=++4243212321321x x x k x kx x kx x x 有唯一解、无解、有无穷多组解? 在有解情况下，求出其全部解.解： 21141141102281124(1)(4)00(4)2k k k k k k k k k ⎛⎫⎪⎛⎫⎪ ⎪=-→→- ⎪ ⎪⎪ ⎪--+-⎝⎭- ⎪⎝⎭A ， ……1分 当1k ≠-和4时，有2221001141224014010212200100111k k k k k k k k k k k k ⎛⎫+⎛⎫ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪-++ ⎪→→ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭+⎝⎭A ， ……2分 这时方程组有唯一解：221232242,,111k k k k kx x x k k k+++-===+++. ……4分 当1k =-时，有()2()3R R =<=A A ，方程组无解. ……6分当4k =时，有114410300114011400000000⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ，()()23R R n ==<=A A ，故方程组有无穷多组解.这时，得同解方程组13233,4x x x x =-⎧⎨=-+⎩. ……8分令3x c =，得方程组的全部解：34c x c c -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭或034101x c -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.其中c 为任意常数.……10分 九、(本题满分9分)设二次型222123123122313(,,)222f x x x x x x x x x x x x αβ=+++++经正交变换X = P Y 化成=f 23222y y +，其中()T x x x X 321,,=和()T y y y Y 321,,=是三维列向量，P 是3阶正交矩阵. 试求常数,αβ.解：变换前后二次型的矩阵分别为110001,01011002A B ααββ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，……2分二次型可以写成T f X AX =和Tf Y BY =，……3分 由于TP AP B =，P 为正交矩阵，故1P AP B -=，……5分 因此||||E A E B λλ-=-，即1100101011002λαλαλβλβλλ------=-----，……6分亦即32222323(2)()32λλαβλαβλλλ-+--+-=-+， ……8分 故其解0αβ==为所求常数.……9分十、(本题满分8分)设随机变量X 和Y 同分布,X 的概率密度为()f x =⎪⎩⎪⎨⎧<<他其020832x x , (1) 已知事件A ={X >a }和B ={Y >a }独立，且P (A B )=34,求常数a ； (2) 求21X 的数学期望. 解：(1) 由条件知()()()()()P A P B P AB P A P B ==；，……1分 23()()()()2()[()]4P A B P A P B P AB P A P A =+-=-=， ……3分由此得1()2P A =.又由条件知222333311{}()(8)8882a a a P X a f x dx x dx x a +∞>====-=⎰⎰，于是有34a =……6分 (2) 22222200113133()884E f x dx x dx x X x x +∞-∞====⎛⎛⎜⎜⎠⎠. ……8分十一、(本题满分8分)假设一大型设备在任何长为t 的时间内发生故障的次数N (t )服从参数为t λ的泊松分布.(1) 求相继两次故障之间时间间隔T 的概率分布；(2) 求在设备已经无故障工作8小时的情形下,再无故障运行8小时的概率Q .解：(1) 由于T 是非负随机变量，可见当0t <时，(){}0F t P T t =≤=， ……1分设0t ≥，则事件{}T t >与{()0}N t =等价.因此，当0t ≥时，有(){}1{}1{()0}1t F t P T t P T t N t e λ-=≤=->=-==-， ……4分 于是，T 服从参数为λ的指数分布.(2) {16|8}Q P T T =≥≥……5分 {16,8}{16}{8}{8}P T T P T P T P T ≥≥≥==≥≥ ……7分 1688e e eλλλ---==. ……8分数 学（试卷五）一、填空题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分) (1) lim 1212(1)22n n n →∞⎡++++++-=⎣ .(2) 已知()232,arcsin ,32x y f f x x x -⎛⎫='= ⎪+⎝⎭则0x dy dx ==32π.(3)=--⎰xx dx 1)2(1x c --.(4) 【 同数学四 第一、（4）题 】(5) 设10件产品有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为15二、选择题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分) (1) 【 同数学四 第二、（1）题 】 (2) 【 同数学四 第二、（2）题 】(3) 若 21321,,,,ββααα都是四维列向量，且四阶行列式n m ==32211321,αβααβααα，则四阶行列式()21123ββααα+ 等于 (C )(A) m + n (B) - ( m + n ) (C) n - m (D) m - n(4) 设2=λ是非奇异矩阵A 的一个特征值，则矩阵 211()3A -有一特征值等于 (B)(A)34 (B) 43 (C) 21 (D) 41(5) 设随机变量X 与Y 均服从正态分布，22~(,4),~(,5)X N Y N μμ，记}5{},4{21+≥=-≤=μμY P p X P p ，则 (A )(A) 对任何实数μ，都有21p p = (B ) 对任何实数μ，都有 21p p < (C) 只对μ的个别值，才有21p p = (D ) 对任何实数μ，都有 21p p > 三、(本题满分5分)【 同数学四 第三题 】 四、(本题满分7分)【 同数学四 第四题 】 五、(本题满分7分)已知某厂生产x 件产品的成本为2125000020040C x x =++（元）.问： (1) 要使平均成本最小，应生产多少件产品？(2) 若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？ 解：(1) 设平均成本为y ，则25000200,40xy x =++ ……1分 2250001'040y x =-+=由，得121000,1000x x ==-（舍去）. ……2分因为510005100x y =''=⨯>，所以当310x =时，y 取得极小值，即最小值.因此，要使平均成本最小，应生产1000件产品.……4分 (2) 利润函数为22500(25000200)300250004040x x L x x x =-++=--，……5分 由20'3000L x=-=，得6000x =.……6分因为1L''(6000)020=-<，所以当6000x =时，L 取得极大值，即最大值.因此，要使利润最大，应生产6000件产品.……7分六、(本题满分6分) 设,p q 是大于1的常数，且111=+q p ，证明：对于任意0x >，有x qx p p ≥+11. 证：记11()p f x x x p q=+-，则 ……1分 1'()1p f x x -=-……2分 令()0f x '=，得 1.x =……3分 因为2''()(1),''(1)10.p f x p x f p -=-=-> ……4分 所以当1x =时，()f x 取得极小值，即最小值. ……5分 从而当0x >时，有()(1)0f x f ≥=，即11p x x p q+≥. ……6分七、(本题满分13分)运用导数的知识作函数xe x y 1)6(+=的图形. 解：显然定义域为(,0)(0,)-∞⋃+∞.令12260x x x y e x--'==，得122, 3.x x =-= ……3分又令14136''0xx y e x +==，得3613x =- ……5分列表如下：可见，极大值为2x y e=-∣=339x y e =∣= 拐点为136672(,e )1313-- ……8分又由0lim ,0.x y x +→=+∞=知为铅直渐近线 ……9分 而由1()(6)limlim 1xx x f x x ea x x→∞→∞+=== 1lim[()]lim[(6)]7xx x b f x x x e x →∞→∞=-=+-=知7y x =+为斜渐近线. ……11分此外，由于0lim 0x y -→=，可知函数曲线的左半支，当0x →时趋向于原点. 综上所述，即可作出图所示的图形. ……13分八、(本题满分8分)已知三阶矩阵A 的逆矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-3111211111A ，试求伴随矩阵*A 的逆矩阵.解：因1*1||A A A -=，故*||A A E A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，于是*111()||2||A A A A A A --===. ……3分 由于1111100111100(|)121010*********001002101A E -⎡⎡⎤⎤⎢⎢⎥⎥=→-⎢⎢⎥⎥⎢⎢⎥⎥-⎦⎦⎣⎣1015/211/20101100011/201/2⎡--⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ ……5分所以 5/211/21101/201/2A --⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.……6分因此 *1521()220101A ---⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.……8分九、(本题满分8分)设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，E 是n 阶单位矩阵()m n >.已知BA E =，试判 断A 的列向量组是否线性相关？为什么？解：记12[,,,]n A ααα= ，其中12,,,n ααα 为m 维列向量. 设存在数12,,,n k k k ，使得11220n n k k k ααα+++= .……2分即1212[,,,]0n n k k a k αα⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 或120n k k A k ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，……4分这时，由于BA E =，故将上式左乘矩阵B 后，可得120n k k k ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， ……6分即120n k k k ==== . 因此矩阵A 的列向量组线性无关.……8分十、(本题满分8分)设随机变量X 和Y 独立，都在区间[1,3]上服从均匀分布；引进事件A ={X a ≤}， B ={Y >a }.(1) 已知P (A B )=9/7，求常数a ； (2) 求1X的数学期望. 解：(1) 设()p P A =.由X Y 和同分布，知(){}{}()P B P Y P X P A p αα=≤=≤==，故()1P B p =-.……1分由题设27()()()()(1)(1)19P A B P A P B P AB p p p p p p =+-=+---=-+= ， ……3分 由此得1212,33p p ==. 于是问题有两个解，即a 有两个可能值：122547113333αα=+==+=；. ……5分 (2) 3111111()ln 322E f x dx dx X x x +∞-∞===⎛⎛⎜⎜⎠⎠.……8分十一、(本题满分8分) 【 同数学四 第十一题 】。

1993年考研数学一难度系数
摘要：
1.1993 年考研数学一的背景和重要性
2.考研数学一难度系数的定义和计算方法
3.1993 年考研数学一难度系数的具体数值和分析
4.1993 年考研数学一难度系数的影响和启示
正文：
【1993 年考研数学一的背景和重要性】
1993 年，是我国研究生教育发展的关键时期。

这一年，研究生招生考试制度进行了重大改革，其中之一就是数学考试分为数学一、数学二和数学三。

这种分层次的考试方式，旨在更加精确地评估考生的数学能力，以适应不同专业和研究方向的需求。

因此，1993 年的考研数学一可以看作是这一改革背景下的一次重要尝试。

【考研数学一难度系数的定义和计算方法】
考研数学一难度系数，是指考试难度与考生平均分数之间的比值。

具体计算方法是：首先，通过阅卷，获取考生的平均分数；然后，通过难度分析，得出考试的难度系数。

难度系数的取值范围在0-1 之间，难度系数越接近1，说明考试难度越大。

【1993 年考研数学一难度系数的具体数值和分析】
根据相关资料，1993 年考研数学一的难度系数为0.65。

这个数值说明，1993 年的数学一试卷难度适中，既不过于简单，也不过于困难。

考生的平均分数为65 分，这个分数在及格线以上，说明大部分考生对数学一的掌握程度
较好。

【1993 年考研数学一难度系数的影响和启示】
1993 年考研数学一难度系数的设定，对于后来的考研数学一考试具有重要的影响和启示。

它告诉我们，在设计考试时，需要充分考虑到考生的实际水平和考试的目的，以设定适当的难度系数。

1993年普通高等学校招生全国统一考试数学(文史类)(北京、湖北、湖南、云南、海南、贵州等省市用题)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至9页，共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共68分)注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.一、选择题：本大题共17小题；每小题4分，共68分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(1) 函数f (x )=sin x +cos x 的最小正周期是 ( )(A) 2π(B) π22(C) π(D)4π(2) 如果双曲线的焦距为6，两条准线间的距离为4，那么该双曲线的离心率为( )(A)23 (B)23 (C)26 (D) 2(3) 和直线3x －4y +5=0关于x 轴对称的直线的方程为 ( )(A) 3x +4y －5=0 (B) 3x +4y +5=0 (C) －3x +4y －5=0(D) －3x +4y +5=0(4) i 2n －3+i 2n －1+i 2n +1+i 2n +3的值为( )(A) －2(B) 0 (C) 2 (D) 4(5) 53x y =在[－1，1]上是 ( )(A) 增函数且是奇函数 (B) 增函数且是偶函数 (C) 减函数且是奇函数(D) 减函数且是偶函数(6) 5215lim 22+--∞→n n n n 的值为( )(A) 51-(B) 25-(C)51 (D)25 (7) 集合}24|{}42|{Z k k x x N Z k k x x M ∈+==∈+==，，，ππππ，则 ( ) (A) M =N(B) N M ⊃(C) N M ⊂(D) =⋂N M Ø(8) sin20ºcos70º+sin10ºsin50º的值是 ( )(A)41(B) 23(C)21 (D)43 (9) 圆x 2+y 2=1上的点到直线3x +4y －25=0的距离的最小值是 ( ) (A) 6(B) 4(C) 5(D) 1(10) 若a 、b 是任意实数，且a >b ，则 ( )(A) a 2>b 2(B)1<ab (C) lg(a －b )>0(D) ba⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛2121(11) 一动圆与两圆x 2+y 2=1和x 2+y 2－8x +12=0都外切，则动圆圆心轨迹为 ( )(A) 圆(B) 椭圆 (C) 双曲线的一支(D) 抛物线(12) 圆柱轴截面的周长l 为定值，那么圆柱体积的最大值是 ( )(A) π36⎪⎭⎫⎝⎛l(B) π3291⎪⎭⎫ ⎝⎛l(C) π34⎪⎭⎫ ⎝⎛l(D) π342⎪⎭⎫ ⎝⎛l(13) (x +1)4(x －1)5展开式中x 4的系数为 ( )(A) －40(B) 10(C) 40(D) 45(14) 直角梯形的一个内角为45º，下底长为上底长的23，这个梯形绕下底所在的直线旋转一周所成的旋转体的全面积为(5+2)π，则旋转体的体积为( )(A) 2π(B)π324+ (C)π325+ (D)π37 (15) 已知a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等比数列，公式q ≠1，则 ( )(A) a 1+ a 8> a 4+ a 5 (B) a 1+ a 8< a 4+ a 5 (C) a 1+ a 8= a 4+ a 5(D) a 1+ a 8和a 4+ a 5的大小关系不能由已知条件确定 (16) 设有如下三个命题：甲：相交两直线l ，m 都在平面α内，并且都不在平面β内. 乙：l ，m 之中至少有一条与β相交. 丙：α与β相交. 当甲成立时( )(A) 乙是丙的充分而不必要的条件 (B) 乙是丙的必要而不充分的条件 (C) 乙是丙的充分且必要的条件(D) 乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件(17) 将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有( )(A) 6种(B) 9种(C) 11种(D) 23种第Ⅱ卷(非选择题共82分)注意事项：1．第Ⅱ卷6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中，要在答题卡上填涂. 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚.二、填空题：本大题共6小题；每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.(18) 设a >1，则1111lim -+∞→+-n n n a a =________________(19) 若双曲线222249ky k x -=1与圆x 2+y 2=1没有公共点，则实数k 的取值范围为___________________(20) 从1，2，…，10这十个数中取出四个数，使它们的和为奇数，共有__________种取法(用数字作答).(21) 设f (x )=4x －2x +1，则f －1(0)=______________(22) 建造一个容积为8m 3 ，深为2m 的长方体无盖水池.如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为________________元(23) 如图，ABCD 是正方形，E 是AB 的中点，如将△DAE 和△CBE 分别沿虚线DE 和CE 折起，使AE 与BE 重合，记A 与B 重合后的点为P ，则面PCD 与面ECD 所成的二面角为__________度三、解答题：本大题共5小题；共58分.解题应写出文字说明、演算步骤.(24) (本小题满分10分) 求tg20º+4sin20º的值. (25)(本小题满分12分) 已知f (x )=log axx-+11(a >0，a ≠1). (Ⅰ)求f (x )的定义域；(Ⅱ)判断f (x )的奇偶性并予以证明； (Ⅲ)求使f (x )>0的x 取值范围. (26) (本小题满分12分) 已知数列()().1212853283118222222 ，，，，+-⋅⋅⋅⋅n n nSn 为其前n 项和.计算得.818049482524984321====S S S S ，，，观察上述结果，推测出计算S n 的公式，并用数学归纳法加以证明.(27) (本小题满分12分)已知：平面α∩平面β=直线a . α，β同垂直于平面γ，又同平行于直线b .求证：(Ⅰ)a ⊥γ； (Ⅱ)b ⊥γ.(28) (本小题满分12分)在面积为1的△PMN 中，tg ∠PMN =21，tg ∠MNP =－2.建立适当的坐标系，求以M ，N 为焦点且过点P 的椭圆方程.1993年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(文史类)参考解答及评分标准说明：1．本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3．解答右端所注分数，表示考生正确做到一步应得的累加分数. 4．只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分68分. (1)A (2)C (3)B (4)B (5)A (6)D (7)C (8)A (9)B (10)D (11)C (12)A (13)A (14)D (15)A (16)C (17)B二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分24分.(18)－a 2 (19){k ||k |>31} (20)100 (21)1 (22)1760 (23)30三、解答题(24)本小题考查三角函数式的恒等变形及运算能力.满分10分.解 tg20º+4sin20º︒︒︒+︒=20cos 20cos 20sin 420sin︒︒+︒=20cos 40sin 220sin ——2分 ()︒︒+︒+︒=20cos 40sin 40sin 20sin ︒︒+︒︒=20cos 40sin 10cos 30sin 2 ——6分 ︒︒+︒=20cos 40sin 80sin ︒︒︒=20cos 20cos 60sin 2 ︒=60sin 23=. ——10分(25)本小题考查函数的奇偶性、对数函数的性质、不等式的性质和解法等基本知识及运算能力.满分12分.解 (Ⅰ)由对数函数的定义知011>-+xx. ——1分 如果⎩⎨⎧>->+0101x x ，则－1<x <1； ——3分如果⎩⎨⎧<-<+0101x x ，则不等式组无解. ——4分故f (x )的定义域为(－1，1) (Ⅱ) ∵ ()()x f xxx x x f a a-=-+-=+-=-11log 11log ， ∴ f (x )为奇函数. ——6分 (Ⅲ)(ⅰ)对a >1，log a011>-+xx等价于111>-+xx， ① 而从(Ⅰ)知1－x >0，故①等价于1+x >1－x ，又等价于x >0.故对a >1，当x ∈(0，1)时有f (x )>0. ——9分(ⅱ)对0<a <1，log a 011>-+xx等价于 0<111<-+xx. ② 而从(Ⅰ)知1－x >0，故②等价于－1<x <0.故对0<a <1，当x ∈(－1，0)时有f (x )>0.——12分(26)本小题考查观察、分析、归纳的能力和数学归纳法.满分12分.解 ()()()N n n n S n ∈+-+=2212112. ——4分 证明如下：(Ⅰ)当n =1时，98313221=-=S ，等式成立. ——6分 (Ⅱ)设当n =k 时等式成立，即()().1211222+-+=k k S k——7分 则 ()()()221321218++++=+k k k S S k k()()()()()222232121812112+++++-+=k k k k k ()()()()()222232121832]112[+++++-+=k k k k k()()()()()()22222321218323212+++++-++=k k k k k k ()()()()()222223212123212+++-++=k k k k k()()2232132+-+=k k()()22]112[1]112[++-++=k k 由此可知，当n =k +1时等式也成立. ——11分 根据(Ⅰ)(Ⅱ)可知，等式对任何n ∈N 都成立. ——12分 (27)本小题考查直线与平面的平行、垂直和两平面垂直的基础知识，及空间想象能力和逻辑思维能力.满分12分.证法一(Ⅰ)设α∩γ=AB ，β∩γ=AC .在γ内任取一点P 并于γ内作直线PM ⊥AB ，PN ⊥AC . ——1分∵ γ⊥α， ∴ PM ⊥α. 而 a ⊂α， ∴ PM ⊥a .同理PN ⊥a . ——4分 又 PM ⊂γ，PN ⊂γ，∴ a ⊥γ. ——6分(Ⅱ)于a 上任取一点Q ，过b 与Q 作一平面交α于直线a 1，交β于直线a 2. ——7分 ∵ b ∥α，∴ b ∥a 1.同理b ∥a 2. ——8分 ∵ a 1，a 2同过Q 且平行于b ， ∵ a 1，a 2重合. 又 a 1⊂α，a 2⊂β，∴ a 1，a 2都是α、β的交线，即都重合于a . ——10分 ∵ b ∥a 1，∴ b ∥a . 而a ⊥γ，∴ b ⊥γ. ——12分 注：在第Ⅱ部分未证明b ∥a 而直接断定b ⊥γ的，该部分不给分.证法二(Ⅰ)在a 上任取一点P ，过P 作直线a ′⊥γ.——1分∵ α⊥γ，P ∈α， ∴ a ′⊂α.同理a ′⊂β. ——3分 可见a ′是α，β的交线.因而a ′重合于a. ——5分 又 a ′⊥γ，∴ a ⊥γ. ——6分 (Ⅱ)于α内任取不在a 上的一点，过b 和该点作平面与α交于直线c .同法过b 作平面与β交于直线d . ——7分∵ b ∥α，b ∥β.∴ b ∥c ，b ∥d . ——8分 又 c ⊄β，d ⊂β，可见c 与d 不重合.因而c ∥d .于是c ∥β. ——9分 ∵ c ∥β，c ⊂α，α∩β=a ，∴ c ∥a . ——10分 ∵ b ∥c ，a ∥c ，b 与a 不重合(b ⊄α，a ⊂α)，∴ b ∥a . ——11分 而 a ⊥γ，∴ b ⊥γ. ——12分 注：在第Ⅱ部分未证明b ∥a 而直接断定b ⊥γ的，该部分不给分.(28)本小题主要考查坐标系、椭圆的概念和性质、直线方程以及综合应用能力.满分12分.解法一如图，以MN 所在直线为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，设以M ，N 为焦点且过点P 的椭圆方程为12222=+by a x ，焦点为M (－c ，0)，N (c ，0). ——1分 由tg M =21，tg α=tg(π－∠MNP )=2，得直线PM 和直线PN 的方程分别为y =21(x +c )和y =2(x －c ).将此二方程联立，解得x =35c ，y =34c ，即P 点坐标为(35c ，34c ). ——5分在△MNP 中，|MN |=2c ，MN 上的高为点P 的纵坐标，故.34342212c c c S MNP =⋅⋅=∆ 由题设条件S △MNP =1，∴ c =23，即P 点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛332635，. ——7分 由两点间的距离公式()3152332236352222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=y c x PM ， ()315332236352222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=y c x PN . 得 ()21521=+=PN PM a . ——10分 又 b 2=a 2－c 2=343415=-，故所求椭圆方程为 .1315422=+y x ——12分 解法二同解法一得23=c ，P 点的坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛332635，. ——7分 ∵ 点P 在椭圆上，且a 2=b 2+c 2.∴13322363522222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛b b . 化简得3b 4－8b 2－3=0.解得b 2=3，或b 2=31-(舍去). ——10分 又 a 2=b 2+c 2=3+41543=.故所求椭圆方程为1315422=+y x . ——12分 解法三同解法一建立坐标系. ——1分 ∵ ∠P =∠α－∠PMN ，∴ ()()4321212121=⨯+-=-+--=tgMN tg tgM N tg tgP ππ. ∴ ∠P 为锐角.∴ sin P =53，cos P =54. 而 S △MNP =21|PM |·|PN |sin P =1，∴ |PM |·|PN |=310. ——4分∵ |PM |+|PN |=2a ，|MN |=2c ，由余弦定理， (2c )2=|PM |2+|PN |2－2|PM |·|PN |cos P =(|PM |+|PN |)2－2|PM |·|PN |(1+cos P ) =(2a )2－2·310－2·310·54， ∴ c 2=a 2－3，即b 2=3. ——7分又 sin M =51，sin N =52，由正弦定理，P MN MPN NPM sin sin sin ==，∴PMN MN PN PM sin sin sin =++.即53251522ca =+， ∴ a =5c . ——10分∴ a 2=b 2+c 2=3+52a .∴ a 2=415. 故所求椭圆方程为1315422=+y x . ——12分古今中外有学问的人，有成就的人，总是十分注意积累的。

考研数学一（多元函数微分学）历年真题试卷汇编3(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(1992年)在曲线x=t，y=一t2，z=t3的所有切线中，与平面x+2y+z=4平行的切线A．只有1条．B．只有2条．C．至少有3条．D．不存在．正确答案：B解析：曲线x=t，y=一t2，z=t3的切线向量为τ={1，一2t，3t2}而平面x+2y+z=4的法线向量为n={1，2，1}由题设知τ⊥n，则τ·n=1—4t+3t2=0．此方程只有两个实根，所以所求切线只有两条．知识模块：多元函数微分学2．(1994年)二元函数f(x，y)在点(x0，y0)处两个偏导数f’x(x0，y0)，f’y(x0，y0)存在是f(x，y)在该点连续的A．充分条件而非必要条件．B．必要条件而非充分条件．C．充分必要条件．D．既非充分条件义非必要条件．正确答案：D解析：多元函数在一点上连续性与偏导数存在之间没有直接关系，即“连续”未必“偏导数存在”；“偏导数存在”亦未必“连续”．所以应选 D. 知识模块：多元函数微分学3．(1996年)已知为某函数的全微分，则a等于A．一1．B．0．C．1．D．2．正确答案：D解析：令由于Pdx+Qdy为某个函数的全微分，则即(a一2)x-ay=一2y，(a一2)x=(a一2)y仅当a=2时，上式恒成立．知识模块：多元函数微分学4．(1997年)二元函数在点(0，0)处A．连续，偏导数存在．B．连续，偏导数不存在．C．不连续，偏导数存在．D．不连续，偏导数不存在．正确答案：C解析：令y=kx，则当k不同时，便不同，故极限不存在，因而f(x，y)在(0，0)点处不连续，但根据偏导数的定义知同理可得f’y(0，0)=0由此可见，在点(0，0)处f(x，y)的偏导数存在．知识模块：多元函数微分学5．(2002年)考虑二元函数的下面4条性质：①f(x，y)在点(x0，y0)处连续；②f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数连续；③f(x，y)在点(x0，y0)处可微；④f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数存在．若用“PQ”表示可由性质P推出性质Q，则有A．B．C．D．正确答案：A解析：由于f(x，y)在点(x0，y0，)处的两个偏导数连续是f(x，y)在点(x0，y0)处可微的充分条件，而f(x，y)在点(x0，y0)可微是f(x，y)在点(x0，y0)处连续的充分条件，故应选A. 知识模块：多元函数微分学6．(2003年)已知函数f(x，y)在点(0，0)的某个邻域内连续，且则A．点(0，0)不是f(x，y)的极值点．B．点(0，0)是f(x，y)的极大值点．C．点(0，0)是f(x，y)的极小值点．D．根据所给条件无法判断点(0，0)是否为f(x，y)的极值点．正确答案：A解析：由f(x，y)在点(0，0)的连续性及知f(0，0)=0．且其中则f(x，y)=xy+(x2+y2)2+α(x2+y2)2令y=x，得f(x，x)=x2+4x4+4αx4=x2+o(x2)令y=一x，得f(x，一x)=一x2+4x4+4αx4=一x2+o(x2)从而f(x，y)在(0，0)点的邻域内始终可正可负，又f(0，0)=0，由极值定义可知f(x，y)在(0，0)点没有极值，故应选(A)．知识模块：多元函数微分学7．(2005年)设有三元方程xy一zlny+exz=1，根据隐函数存在定理，存在点(0，1，1)的一个邻域，在此邻域内该方程A．只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x，y)．B．可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x，z)和z=z(x，y)．C．可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y，z)和z=z(x．y)．D．可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y，z)和y=y(x，z)．正确答案：D解析：令F(x，y，z)=xy—zlny+exz一1 显然，F(x，y，z)在点(0，1，1)的邻域内有连续一阶偏导数，且F(0，1，1)=0，F’x(0，1，1)=2≠0，f’y(0，1，1)=一1≠0，由隐函数存在定理知方程xy—zlny+exz=1可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y，z)和y=(x，z)，故应选(D)．知识模块：多元函数微分学填空题8．(1989年)已知曲面z=4一x2一y2上点P处的切平面平行于平面2x+2y+z 一1=0，则点P的坐标是______________．正确答案：(1，1，2)解析：设P点的坐标为(x0，y0，z0)，则曲面在P点的法向量为n={一2x0，一2y0，一1}又因为切平面平行于平面2x+2y+z一1=0，则从而可得x0=1，y0=1．代入曲面方程解得z0=2．知识模块：多元函数微分学9．(1991年)由方程所确定的函数z=z(x，y)在点(1，0，一1)处的全微分dz=___________．正确答案：解析：解1 由隐函数求导法求出△解2 方程两边求微分得将x=1，y=0，z=一1代入上式得故知识模块：多元函数微分学10．(1992年)函数u=ln(x2+y2+z2)在点M(1，2，一2)处的梯度正确答案：解析：因为所以知识模块：多元函数微分学11．(1993年)由曲线绕y轴旋转一周得到的旋转面在点处的指向外侧的单位法向量为_________．正确答案：解析：旋转面方程为3(x2+z2)+2y2=12 令F(x，y，z)=3(x2+z2)+2y2一12=0 则F’x=6x，F’y=4y．F’z=6z从而所得旋转面在点处向外侧的法向量为将其单位化得知识模块：多元函数微分学12．(1994年)曲面z一ez+2xy=3在点(1，2．0)处的切平而方程为____________．正确答案：2x+y一4=0解析：令F(x，y，z)=z—ez一2xy一3则F’x=2y，F’z=1一ez=，F’y=2x 曲面z—ez+xy=3在点(1，2．0)处的法向量为n={4，2，0}故所求切平面方程为4(x一1)4-2(y一2)=0即2x+y一4=0 知识模块：多元函数微分学13．(1994年)设则在点处的值为___________．正确答案：解析：知识模块：多元函数微分学14．(1996年)函数在点A(1．0，1)处沿点A指向点B(3，一2，2)方向的方向导数为_______．正确答案：解析：而的单位向量为故u沿的方向导数为知识模块：多元函数微分学15．(1998年)设f，φ具有二阶连续导数，则正确答案：yf”(xy)+φ’(x+y)+yφ”(z+y)．解析：由复合函数求导法知知识模块：多元函数微分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学一解答题专项强化真题试卷11(题后含答案及解析)题型有：1.1．(1993年)求微分方程x2y’+xy=y2满足初始条件的特解·正确答案：解1 原方程改写为令代入原方程得分离变量并积分得得即将代入上式得y一2x=Cx2y由得C=一1．则所求解为△解2 原方程也可改写为两边同除以y2得令原方程化为线性方程涉及知识点：常微分方程2．(2014年)设数列{an}，{bn}满足cosan一an=cosbn且级数收敛。

(I)证明(Ⅱ)证明级数收敛。

正确答案：(I)由cosan一an=cosbn及可得，0n=cosan一cosbn因为在上，cosx 为减函数，所以由于级数收敛，所以级数也收敛，由级数收敛的必要条件可得(Ⅱ)由于所以由于级数收敛，由正项级数的比较判别法可知级数收敛。

涉及知识点：级数3．已知平面上三条不同直线的方程分别为l1：ax+2by+3c=0 l2：bx+2cy+3a=0 l3：cx+2ay+3b=0试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0．正确答案：必要性设三直线l1，l2，l3交于一点，则二元线性方程组(*)有惟一解，故其系数矩阵A=的秩均为2，于是有｜｜=0．由于=6(a+b+c)[a2+b2+c2一ab一ac一bc] =3(a+b+c)[(a一b)2+(b一c)2+(c一a)2]及(a一b)2+(b 一c)(c一a)2≠0，(否则a=b=c，则三条直线重合，从而有无穷多个交点，与交点惟一矛盾)，所以a+b+c=0．充分性若a+b+c=0，则由必要性的证明知＜3，又系数矩阵A中有一个二阶于式故秩(A)=2，于是有秩(A)=秩()=2，因此方程组(*)有惟一解，即三直线l1，l2，l3交于一点．解析：三条平面直线交于一点→由这三条直线的方程联立所得二元线性方程组Ax=b有惟一解→秩(A)=秩()=2．知识模块：线性方程组4．(1998年试题，三)求直线在平面π：x一y+2z—1=0上的投影直线l0的方程，并求l0绕y轴旋转一周所成曲面的方程．正确答案：由题设，本题分两个大部分，一是求l在π的投影l0，二是求由l0生成的旋转曲面，其中第一部分是第二部分的基础．因为投影直线l0是经过直线l且与平面π垂直的平面与平面π的交线，因此只需求得此平面即可，设其为π1，下面先求平面π1的法向量n1，同时设平面π的法向量为n，由已知n={1，一1，2}，由于，n1⊥n，且n1垂直直线l的方向向量{1，1，一1}，因此n1={1，一1，2}×{1，1，一1}={一1，3，2}又因为直线f在平面π1内，因而直线l上的点(1，0，1)也是平面π1内的点，综上可得出平面π1的方程为一(x—1)+3(y 一0)+2(z—1)=0化简得x一3y一2x+l=0．由此，直线l在平面π上的投影直线l0的方程为以下再求l0绕y轴旋转所生成的旋转曲面S．设点A(x，y，z)在S 上．过A作平面2平行于Oxz平面，即垂直于y轴，则霄π2与y轴交点为B(0，y，0)，并设π2与l2交点为C(x1，y，z1)，由L0的方程不难确定出x1=2y及又由几何关系｜AB｜=｜CB｜，即距离相等，有x2+z2=x12+z12=4y2+(1一y)2化简为4x2一17y2+4z2+2y=1，由点A(x，y，z)的任意性，知上式就是所求旋转曲面S的方程．解析二本题第一部分求投影直线l0的方程的过程中，在求平面π1的方程时，也可采用平面束的方法，将直线l的方程化为一般形式：则经过l的平面束方程为x一y一1+λ(y+z一1)=0，其法向量n1={1，λ—1，λ}．要求的π1的法向量与π的法向量垂直，即n1.n=0，从而可求出λ，于是就得到了平面π1的方程，以下其余步骤同解析一．涉及知识点：一元函数积分学5．设A=X=(xij)3×3问a、b、c各取何值时，矩阵方程AX=B有解?并在有解时，求出全部解．正确答案：由下列矩阵的初等行变换：可见，r(A)=r[A┆B]→a=1，b=2，c=1，于是由上题知Ax=B有解→a=1，b=2，c=1．此时，对矩阵D作初等行变换：于是若将矩阵B按列分块为B=[b1 b2 b3]，则得方程组Ax=b1的通解为：x1=(1一l，一l，l)T；方程组Ax=b2的通解为：x1=(2一m，2一m，m)T；方程组Ax=b3的通解为：x3=(1一n，一1一n，n)T，所以，矩阵方程Ax=B的通解为x=[x1 x2 x3]=，其中l，m，n为任意常数．涉及知识点：线性方程组6．设函数f(u)具有二阶连续导数，而z=f(exsiny)满足方程，求f(u)．正确答案：令u=exsiny，则涉及知识点：高等数学7．[2008年] 求极限正确答案：原式= 涉及知识点：函数、极限、连续8．设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n矩阵，BT为B的转置矩阵．试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是秩（B）=n．正确答案：必要性．用齐次方程组只有零解证之．因BTAB正定，由定义知，对任意X≠0，XT(BTAB)X=(BX)TA(BX)＞0，故必有BX≠0，即BX=0只有零解，亦即秩（B）=n．充分性．用正定的定义证之．因(BTAB)T=BTATB=BTAB，故BTAB为对称矩阵(正定矩阵必是实对称矩阵，所以充分性首先必证明这一点)．由秩（B）=n知，齐次线性方程组BX=0只有零解，于是对任意X0≠0，恒有BX0≠0，又因A是正定矩阵，所以对BX0≠0，必有(BX0)TA(BX0)＞0．即对任意X0≠0，恒有X0T(BTAB)X0＞0，故BTAB是正定矩阵．涉及知识点：二次型[2004年] 设总体X的分布函数为其中未知参数β＞1，X1，X2， (X)为来自总体X的简单随机样本，求：9．β的矩估计量；正确答案：由题设，X的分布函数为F(x；β)，对F(x；β)求导得到X与假设检验。

1993年考研数学一难度系数（最新版）目录1.1993 年考研数学一背景介绍2.难度系数分析3.影响难度系数的因素4.对比其他年份的难度系数5.总结正文1.1993 年考研数学一背景介绍1993 年，全国硕士研究生入学统一考试数学一科目如期举行。

作为考研过程中的重要组成部分，数学一的难度备受关注，因为它直接影响到考生的成绩和录取结果。

2.难度系数分析根据历年来考生的反馈和教师的评价，1993 年考研数学一的难度系数相对较高。

难度系数是衡量试题难易程度的一个重要指标，它通过对试题正确率的统计分析得出。

一般来说，难度系数在 0.2-0.8 之间，0.2 以下表示题目过于简单，0.8 以上表示题目过于困难。

3.影响难度系数的因素难度系数受多种因素影响，包括但不限于以下几点：(1) 试题设计：题目的难度、复杂程度和考察角度都会影响到难度系数。

(2) 考生水平：考生的整体水平和个体差异也会对难度系数产生影响。

(3) 考试大纲：考试大纲的调整和变化可能导致难度系数的波动。

(4) 社会因素：例如当时的教育政策、招生政策等，也可能对难度系数产生影响。

4.对比其他年份的难度系数通过对比其他年份的考研数学一难度系数，可以发现 1993 年的难度系数确实较高。

不过，难度系数并非绝对标准，因为每个人的实际水平和应试能力不同，对于难度的感受也会有所差异。

5.总结1993 年考研数学一的难度系数相对较高，可能对部分考生产生了较大的压力。

然而，难度系数只是一个参考指标，考生应以平和的心态面对考试，充分发挥自己的水平，争取取得理想的成绩。