2017考研数一真题答案及详细解析

．．．（1）若函数f(x)=⎨⎩1-cos x1【解析】lim=lim=,Q f(x)在x=0处连续∴x→0+ax【解析】Q f(x)f'(x)>0,∴⎨⎧f(x)>0={4,1,0}⇒∂f2017考研数学一真题及答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.⎧1-cos x ⎪ax ⎪b,x≤0,x>0在x=0处连续，则（）(A)ab=12(B)ab=-12(C)ab=0【答案】A(D)ab=21x2x→0+ax2a（2）设函数f(x)可导，且f(x)f'(x)>0，则（）11=b⇒ab=.选A. 2a2(A)f(1)>f(-1) (C)f(1)>f(-1)(B)f(1)<f(-1) (D)f(1)<f(-1)【答案】C⎧f(x)<0(1)或⎨(2)，只有C选项满足(1)且满足⎩f'(x)>0⎩f'(x)<0(2)，所以选C。

（3）函数f(x,y,z)=x2y+z2在点(1,2,0)处沿向量u=(1,2,2)的方向导数为（）(A)12【答案】D【解析】(B)6(C)4(D)2gradf={2xy,x2,2z},⇒gradf(1,2,0)u122 =gradf⋅={4,1,0}⋅{,,}=2.∂u|u|333（6）设矩阵 A = ⎢0 2 1⎥⎥ , B = ⎢⎢0 2 0⎥⎥ , C = ⎢⎢0 2 0⎥⎥ ,则（ ）T ⎣ ⎣ ⎣选 D.（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 10（单位：m ）处，图中实线表示甲的速度曲线 v = v (t ) （单位：m / s ），虚线表示乙的速度曲线 v = v (t ) ，三块阴影部分面积的数值12依次为 10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为t （单位：s ），则（）v(m / s)1020( A )t = 10【答案】B0 5 10 15 20 25 30 t(s)( B )15 < t < 20 (C )t = 25 ( D )t > 250 0 0【解析】从 0 到 t 这段时间内甲乙的位移分别为⎰t 0v (t)dt , ⎰ t 0v (t)dt , 则乙要追上甲，则1 2⎰ t 0v2(t) - v (t)dt = 10 ，当 t = 25 时满足，故选 C.1 0（5）设 α 是 n 维单位列向量， E 为 n 阶单位矩阵，则（）( A) E - αα T 不可逆(C ) E + 2αα T 不可逆(B )E + αα T 不可逆 (D )E - 2αα T 不可逆【答案】A【解析】选项 A,由 ( E - αα T )α = α - α = 0 得 ( E - αα T ) x = 0 有非零解，故 E - αα T = 0 。

2017考研数学一答案及解析（22）（本题满分11分）设随机变量X和Y相互独立，且X的概率分布为1(0)(2)2P X P X====，Y的概率密度为2,01 ()0,y yf y<<⎧=⎨⎩其他（Ⅰ）求{}P Y EY ≤；（Ⅱ）求Z X Y =+的概率密度。

【答案】 （Ⅰ）49（Ⅱ）()11()(1)22Z Y Y F z F z F z =+- 【解析】（Ⅰ）由数字特征的计算公式可知：1202()23EY yf y dy y dy +∞-∞===⎰⎰，则{}2233024()239P Y EY P Y f y dy ydy -∞⎧⎫≤=≤===⎨⎬⎩⎭⎰⎰ （Ⅱ）先求Z 的分布函数，由分布函数的定义可知：(){}{}Z F z P Z z P X Y z =≤=+≤。

由于X 为离散型随机变量，则由全概率公式可知(){}{}{}{}{}{}{}0|01|111Y z 12211()(1)22Z Y Y F z P X Y z P X P X Y z X P X P X Y z X P P Y z F z F z =+≤==+≤=+=+≤==≤+≤-=+- （其中()Y F z 为Y 的分布函数：(){}Y F z P Y z =≤）（23）（本题满分11分）某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做n 次测量，该物体的质量μ是已知的，设n 次测量结果12,,,n X X X L 相互独立，且均服从正态分布2(,)N μσ，该工程师记录的是n 次测量的绝对误差||,(1,2,,)i i Z X i n μ=-=L ，利用12,,,n Z Z Z L 估计σ （Ⅰ）求1Z 的概率密度；（Ⅱ）利用一阶矩求σ的矩估计量；（Ⅲ）求σ的最大似然估计量。

【答案】（Ⅰ）()222,0()'0,0z z f z F z z σ-⎧>==≤⎩（Ⅱ）^1n i i Z σ===（Ⅲ）^σ=【解析】（Ⅰ）因为2~(,)i X N μσ，所以2~(0,)i i Y X N μσ=-，对应的概率密度为()22y Y f y σ-=，设i Z 的分布函数为()F z ，对应的概率密度为()f z ； 当0z <时，()0F z =；当0z ≥时，(){}{}{}22y z i i i F z P Z z P Y z P z Y z dy σ--=≤=≤=-≤≤=⎰；则iZ 的概率密度为()22,0()'0,0z z f z F z z σ-⎧>==≤⎩；（Ⅱ）因为2220z i EZ dz σ-+∞==⎰i σ=，从而σ的矩估计量为^1n i i Z σ===；（Ⅲ）由题可知对应的似然函数为()22121,,,i Z nn i L z z z σσ-==……，，取对数得：221ln ln 2n i i Z L σσ=⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭∑，所以231ln ()1n i i Z d L d σσσσ=⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭∑，令ln ()0d L d σσ=，得σ=σ的最大似然估计量为^σ=。

:899*()):899*()):899*()):8999*())):8*(*((18)(本题满分10分）f(x)设函数f(x)在区间[0, 1]上具有2阶导数，且八1)> 0, lim < 0. 证明：x---->O+ X(I)方程f(x)=0在区间(0,1)内至少存在一个实根；(II)方程f(x)f"(x)+ [ /'(x) ]2 =0在区间(0,1)内至少存在两个不同实根．(19)(本题满分10分）设薄片刑物体S是圆锥面z=�了石了被柱面z2=2x割下的有限部分，其上任一点的密度为µ(x,y,z) =9心；2+y2 +z2. 记圆锥面与柱面的交线为C.(I)求C在x Oy平面上的投影曲线的方程；(II)求S的质量M.(20)(本题满分11分）设3阶矩阵A= («1 , «2 , «3)有3个不同的特征值，且也=«1+ 2也·(I)证明r(A)=2;(II)设/3=«1 +«2十也，求方程组Ax=/3的通解．—3—(21)(本题满分11分）设二次型/(X 1,x2 ,x3) =2xf -式+a式+2x1 x2 -8x1 x3 + 2x2x3在正交变换X=Qy下的标准形为入忒＋入义，求a的值及一个正交矩阵Q.(22)(本题满分11分）设随机变械X,Y相互独立，且X的概率分布为PjX=Of=P1X=2f =—,Y的概率密度为2/(y) =( 2y, 0 <y < 1,0, 其他(I)求PjY�E(Y) f;(II)求Z=X+Y的概率密度(23)(本题满分11分）某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做n次测蜇，该物体的质量µ是已知的．设n次测量结果X1,X2'…, x n相互独立且均服从正态分布N(µ,矿），该工程师记录的是n次测械的绝对误差z i= I x i-µI (i =1,2, …，n). 利用Z1,Z2'…，Z n估计O".(I)求Z1的概率密度；(II)利用一阶矩求6的矩估计酰；c m)求6的最大似然估计量．—4—。

2017年考研数学一真题及答案解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在0x =处连续，则（ ） ()()11()22()02A abB abC abD ab ==-==【答案】A【解析】00112lim lim ,()2x x xf x ax a++→→==在0x =处连续11.22b ab a ∴=⇒=选A.（2）设函数()f x 可导，且'()()0f x f x >，则（ ）()()()(1)(1)(1)(1)()(1)(1)(1)(1)A f fB f fC f fD f f >-<->-<-【答案】C【解析】'()0()()0,(1)'()0f x f x f x f x >⎧>∴⎨>⎩或()0(2)'()0f x f x <⎧⎨<⎩，只有C 选项满足(1)且满足(2)，所以选C 。

（3）函数22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量()1,2,2u =的方向导数为（ ）()12()6()4()2A B C D【答案】D 【解析】2(1,2,0)122{2,,2},{4,1,0}{4,1,0}{,,} 2.|u |333f u gradf xy x z gradfgradf u ∂=⇒=⇒=⋅=⋅=∂ 选D.（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：/m s ），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位：s ），则（ ）()s0000()10()1520()25()25A t B t C t D t =<<=>【答案】B【解析】从0到0t 这段时间内甲乙的位移分别为120(t),(t),t t v dt v dt ⎰⎰则乙要追上甲，则210(t)v (t)10t v dt -=⎰，当025t =时满足，故选C.（5）设α是n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则（ ）()()()()22T T TT A E B E C E D E αααααααα-++-不可逆不可逆不可逆不可逆【答案】A【解析】选项A,由()0ααααα-=-=T E 得()0αα-=TE x 有非零解，故0αα-=T E 。

2017年考研数学一真题及答案解析一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在 ．答题纸．．指定位置上. （1）若函数1,0(),0x f x axb x ì->ï=íï£î在0x =处连续，则（ ）()()11()22()02A abB abC abD ab ==-==【答案】A【解析】001112lim lim ,()2x x x f x ax ax a++®®-==!在0x =处连续11.22b ab a \=Þ=选A. （2）设函数()f x 可导，且'()()0f x f x >，则（ ）()()()(1)(1)(1)(1)()(1)(1)(1)(1)A f fB f fC f fD f f >-<->-<-【答案】C【解析】'()0()()0,(1)'()0f x f x f x f x >ì>\í>î!或()0(2)'()0f x f x <ìí<î，只有C 选项满足(1)且满足(2)，所以选C 。

（3）函数22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量()1,2,2u =的方向导数为（ ）()12()6()4()2A B C D 【答案】D【解析】2(1,2,0)122{2,,2},{4,1,0}{4,1,0}{,,} 2.|u |333f u gradf xy x z gradf gradf u ¶=Þ=Þ=×=×=¶选D.（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：/m s ），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位：s ），则（ ）()s 0000()10()1520()25()25A tB tC tD t =<<=>【答案】B【解析】从0到0t 这段时间内甲乙的位移分别为120(t),(t),t t v dt v dt òò则乙要追上甲，则210(t)v (t)10t v dt -=ò，当025t =时满足，故选C.（5）设a 是n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则（ ）()()()()22T T T T A E B E C E D E aa aa aa aa -++-不可逆不可逆不可逆不可逆【答案】A【解析】选项A,由()0aa a a a -=-=T E 得()0aa -=T E x 有非零解，故0aa -=T E 。

2017年考研数学一真题及答案解析跨考教育 数学教研室一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若函数1,0(),0xx f x axb x ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩在0x =处连续，则（ ） ()()11()22()02A abB abC abD ab ==-==【答案】A【解析】001112lim lim ,()2x x xx f x ax ax a++→→-==在0x =处连续11.22b ab a ∴=⇒=选A.（2）设函数()f x 可导，且'()()0f x f x >，则（ ）()()()(1)(1)(1)(1)()(1)(1)(1)(1)A f fB f fC f fD f f >-<->-<-【答案】C 【解析】'()0()()0,(1)'()0f x f x f x f x >⎧>∴⎨>⎩或()0(2)'()0f x f x <⎧⎨<⎩，只有C 选项满足(1)且满足(2)，所以选C 。

（3）函数22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量()1,2,2u =的方向导数为（ ）()12()6()4()2A B C D【答案】D 【解析】2(1,2,0)122{2,,2},{4,1,0}{4,1,0}{,,} 2.|u |333f u gradf xy x z gradfgradf u ∂=⇒=⇒=⋅=⋅=∂ 选D.（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单全国统一服务热线：400—668—2155 精勤求学 自强不息位：/m s ），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位：s ），则（ ）0510********()s (/)v m s 10200000()10()1520()25()25A t B t C t D t =<<=>【答案】B【解析】从0到0t 这段时间内甲乙的位移分别为120(t),(t),t t v dt v dt ⎰⎰则乙要追上甲，则210(t)v (t)10t v dt -=⎰，当025t =时满足，故选C.（5）设α是n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则（ ）()()()()22T T TT A E B E C E D E αααααααα-++-不可逆不可逆不可逆不可逆【答案】A【解析】选项A,由()0ααααα-=-=T E 得()0αα-=TE x 有非零解，故0αα-=TE 。