考研数学一真题及答案解析完整版

全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题一、选择题：1〜8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.请将所选项前的字母填在答题纨指定位置上.1- cos Jx _______ _ r > 0(1)若函数/(# = { ax在x连续，则b,x<Q(A) ab = g.(B) ab = —^.(C) ab = 0.(D) ab = 2.【答案】A【详解】由lim --=，_ = b,得出? = L.ax 2a 2(2)设函数可导，且—。

)>0则(A) /(1)>/(-1). (B) /⑴ </(T).© |/W|>|/(-l)|- ⑼ ]〃刈<|〃-1)卜【答案】C【详解】/(刈=[弓2r〉o,从而广(冷单调递增，尸⑴>(3)函数/。

,乂2)=犬〉+ ^在点(1,2,0)处沿着向量〃 =(1,2,2)的方向导数为(A) 12. (B) 6. (C) 4. (D)2 .【答案】D19【详解】方向余弦cosa = -,cos^ = cosy = §，偏导数f； = 2xy,f； = x\f! = 2z，代入 cos af； + cos /f： + cos yf；即可.(4)甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处.图中，实线表示甲的速度曲线y =H«)(单位：m/s),虚线表示乙的速度曲线〃=匕(。

(单位：in/s),三块阴影部分面积的数值一次为10, 20, 3,计时开始后乙追上甲的时刻记为(单位：s),则(A) r 0 =10. (B) 15<t 0 <20 . (C) 0 = 25. (D) t 0>25.【答案】C【详解】在。

=25时，乙比甲多跑10m,而最开始的时候甲在乙前方10m 处. (5)设a 为〃维单位列向量，七为〃阶单位矩阵，则(A)七一勿肝不可逆. (B) E+aaT 不可逆. (C) E+2a«i 不可逆. (D)不可逆.【答案】A【详解】可设Q = (l,o,…,0)、则或/的特征值为L0,…,0,从而E —皿丁的特征值为 0』,…因此E —不可逆.101 fl 、2 0 , C= 2 0 J 1 2)(A)A 与C 相似，8与。

数学1考研试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 设函数f(x)=x^2-4x+c，若f(x)在区间[2,+∞)上单调递增，则c 的取值范围是（）。

A. c≥0B. c≥4C. c≤0D. c≤4答案：B2. 已知函数f(x)=x^3-3x+1，求f'(x)的值。

A. 3x^2-3B. x^2-3xC. 3x^2-9xD. x^3-3答案：A3. 计算定积分∫(0,1) x^2 dx的值。

A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2答案：B4. 若矩阵A = [1 2; 3 4]，则|A|的值为（）。

A. 2B. -2C. 6D. -6答案：C5. 设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_3=7，S_6=28，则S_9的值为（）。

A. 63B. 56C. 49D. 84答案：A二、填空题（每题4分，共20分）6. 已知函数f(x)=2x+3，求f(-1)的值。

答案：17. 设等差数列{a_n}的公差为d=3，若a_3=12，则a_1的值为。

答案：38. 计算极限lim(x→0) (sin x)/x的值。

答案：19. 设矩阵B = [1 0; 0 2]，则B^2的值为。

答案：[1 0; 0 4]10. 已知函数g(x)=x^3-6x^2+11x-6，求g'(x)的值。

答案：3x^2-12x+11三、解答题（每题10分，共60分）11. 证明：若x>0，则x^2>2x。

证明：因为x>0，所以x-1>-1，所以(x-1)^2>0，即x^2-2x+1>0，所以x^2>2x。

12. 求函数f(x)=x^3-3x+1在x=1处的导数。

解：f'(x)=3x^2-3，所以f'(1)=3×1^2-3=0。

13. 计算定积分∫(0,2) (x^2-4x+4) dx。

解：∫(0,2) (x^2-4x+4) dx = [1/3x^3-2x^2+4x](0,2) = (1/3×2^3-2×2^2+4×2) - (0) = 8/3。

2024年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题解析一、选择题:1~10小题，每小题5分,共50分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。

（1）已知函数cos 0()xtf x edt =⎰,2sin 0()xt g x e dt =⎰,则（）（A ）()f x 是奇函数，()g x 是偶函数（B ）()f x 是偶函数，()g x 是奇函数（C ）()f x 与()g x 均为奇函数（D ）()f x 与()g x 均为周期函数【答案】C ，【解析】由于cos te 是偶函数，所以()f x 是奇函数；又2(sin )cos ()x xg x e'=是偶函数，所以是()g x 奇函数.（2）设(,,),(,,)P P x y z Q Q x y z ==均为连续函数，∑为曲面0,0)Z x y = 的上侧，则Pdydz Qdzdx ∑+=⎰⎰（）（A ）()x yP Q dxdy z z ∑+⎰⎰（B ）()x yP Q dxdy z z ∑-+⎰⎰（C ）()xyP Q dxdy zz∑-⎰⎰（D ）()xyP Q dxdy zz∑--⎰⎰【答案】A ，【解析】由,z x z y z x z y z ∂∂==-=-∂∂，1cos cos dS dxdy dS dxdy γγ=→=cos cos cos cos cos cos Pdydz Qdzdx P dS Q dS Pdxdy Q dxdy αβαβγγ∑∑∑+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰(()()z z x yP dxdy Q dxdy P Q dxdy x y z z∑∑∂∂=-+-=+∂∂⎰⎰⎰⎰.（3）设幂级数nn nxa ∑∞=0的和函数为)2ln(x +，则∑∞=02n nna（）（A ）61-（B ）31-（C ）61（D ）31【答案】（A ）【解析】法1，∑∞=--+=++=+=+11)21()1(2ln )211ln(2ln )211(2ln )2ln(n nn n x x x x所以⎪⎩⎪⎨⎧>-==-0,21)1(0,2ln 21n n n a n n ，当n n n a n 22221,0⋅-=>，所以61411)21(21)2213112112202-=--=-=⋅-⋅==∑∑∑∑∞=+∞=∞=∞=n n n n n n n n n n na na （，故选(A)；法2：n n n xx x x )2()1(21)21(2121])2[ln(0∑∞=-=+=+='+C n x C n x x n n n n n n +-=++-=+∑∑∞=-+∞=1110)21()1(1)21()1()2ln(，2ln )02ln()0(=+==C S ，⎪⎩⎪⎨⎧>-==-0,21)1(0,2ln 21n n n a n n ，所以)221(112202∑∑∑∞=∞=∞=⋅-==n n n n n n n n na na 61411)21(213112-=--=-=∑∞=+n n （4）设函数()f x 在区间上(1,1)-有定义，且0lim ()0x f x →=，则（）（A ）当0()limx f x m x→=时，(0)f m '=（B ）当(0)f m '=时，0()limx f x m x→=（C ）当0lim ()x f x m →'=时,(0)f m '=（D ）当(0)f m '=时，0lim ()x f x m→'=【答案】B ，【解析】因为(0)f m '=所以()f x 在0x =处连续，从而0lim ()(0)0x f x f →==，所以0()()(0)limlim 0x x f x f x f m x x →→-==-，故选B .（5）在空间直角坐标系O xyz -中,三张平面:(1,2,3)i i i i i a x b y c z d i π++==的位置关系如图所示,记(),,i i i i a b c α=,(),,,i i i i i a b c d β=若112233,r m r n αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则（）（A ）1,2m n ==（B ）2m n ==（C ）2,3m n ==（D ）3m n ==【答案】B ，【解析】由题意知111222333x d x d x d ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭有无穷多解,故1122333r r αβαβαβ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又由存在两平面的法向量不共线即线性无关,故1232r ααα⎛⎫ ⎪≥ ⎪ ⎪⎝⎭,则1122332r r αβαβαβ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故2m n ==,故选B.（6）设向量1231111,,1111ab a a ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,若123,,ααα线性相关,且其中任意两个向量均线性无关,则（）（A ）1,1a b =≠（B ）1,1a b ==-（C ）2,2a b ≠=（D ）2,2a b =-=【答案】D ，【解析】由于123,,ααα线性相关，故1111011a a a =得1a =或2-，当1a =时，13,αα相关，故2a =-，又由112111111201111aa b b -=-=----得2b =故选D .（7）设A 是秩为2的3阶矩阵，α是满足0A α=的非零向量，若对满足0Tβα=的3维向量β均有A ββ=，则（）（A ）3A 的迹为2（B ）3A 的迹为5（C ）2A 的迹为8（D ）2A 的迹为9【答案】A ，【解析】由0A α=且0α≠，故10λ=，由于A 是秩为2的3阶矩阵，对于0Ax =仅有一个解向量，所以，1λ是一重，0Tβα=可得到所有的β有两个无关的向量构成，A ββ=,故21λ=为两重，故3A 的特征值为0,1,1，故3()2tr A =.（8）设随机变量,X Y 相互独立，且()()~0,2,~2,2X N Y N -，若}{}{2P X Y a P X Y +<>=，则a =（）（A）2-（B）2-+（C）2-（D）2-+【答案】B ，【解析】()2~ 2,10;~ (2,4)X Y N Y X N +---，所以{2}P X Y a +<=Φ={0}P Y X -<=02()2+Φ,022+=,2a =-+（9）设随机变量X 的概率密度为2(1)01()0,x x f x -<<⎧=⎨⎩，其他,在(01)X x x =<<的条件下,随机变量Y 服从区间(,1)x 上的均匀分布,则Cov(,)X Y =（）（A ）136-（B ）172-（C ）172（D ）136【答案】D ，【解析】当01x <<时，|1el 1,(|)1se 0,Y X x y f y x x ⎧<<⎪=-⎨⎪⎩，则2,1,01(,)0,x y x f x y else <<<<⎧=⎨⎩10,1(,)24yx y EXY xyf x y dxdy d y xydx -∞<<+∞-∞<<+∞===⎰⎰⎰⎰112(1)3EX x x dx =-=⎰，,2(,)3x y EY y f x y dxdy -∞<<+∞-∞<<+∞==⎰⎰所以1(,)36Cov X Y EXY EXEY =-=，故选D （10）设随机变量,X Y 相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，令Z X Y =-，则下列随机变量中与Z 同分布的是（）（A ）X Y +（B ）2X Y+（C ）2X （D ）X【答案】（D ）【解析】令{}{}zY X P z Z P z F Y X Z z ≤-=≤=-=)(,则0)(0=<z F z z 时，当当0≥z 时，dxdy e e dxdy y x f z F y x zy x zy x z λλλλ--≤-≤-⎰⎰⎰⎰==),()(zy x zy ye dy e e dy λλλλλ---+∞+-==⎰⎰120所以⎩⎨⎧≥-<=-0,10,0)(z ez z F zz λ，显然Y X Z -=与X 同步，故选（D ）二、填空题：11~16小题，每小题5分，共30分，请将答案写在答题纸指定位置上。

2023年全国硕士研究生招生考试《数学一》真题及答案解析【完整版】一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选选项前的字母填在答题卡指定位置。

1．1ln 1y x e x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭曲线的渐近线方程为（ ）。

A ．y ＝x ＋e B ．y ＝x ＋1/e C ．y ＝xD ．y ＝x －1/e 【参考答案】B【参考解析】1ln 11lim lim lim ln 1,1x x x x e y x k e x x x →∞→∞→∞⎛⎫+ ⎪-⎛⎫⎝⎭===+= ⎪-⎝⎭ ()()()11lim lim ln lim ln 11111lim ln 1lim 11x x x x x b y kx x e x x e x x x x e x e x e →∞→∞→∞→∞→∞⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎡⎤=+==⎢⎥--⎣⎦所以斜渐近线方程为y ＝x ＋1/e ．2．已知微分方程式y ′′＋ay ′＋by ＝0的解在（－∞，＋∞）上有界，则（ ）。

A ．a ＜0，b ＞0 B ．a ＞0，b ＞0 C ．a ＝0，b ＞0 D ．a ＝0，b ＜0 【参考答案】C【参考解析】微分方程y ′′＋ay ′＋by ＝0的特征方程为λ2＋a λ＋b ＝0，当Δ＝a 2－4b ＞0时，特征方程有两个不同的实根λ1，λ2，则λ1，λ2至少有一个不等于零， 若C 1，C 2都不为零，则微分方程的解1212x x y C e C e λλ--=+在（－∞，＋∞）无界； 当Δ＝a 2－4b ＝0时，特征方程有两个相同的实根λ1，2＝－a/2， 若C 2≠0，则微分方程的解2212a a x xy C eC e=+在（－∞，＋∞）无界；当Δ＝a 2－4b ＜0时，特征方程的根为1,22a λ=-±，则通解为212cossin 22ax y eC x C x -⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭， 此时，要使微分方程的解在（－∞，＋∞）有界，则a ＝0，再由Δ＝a 2－4b ＜0，知b ＞0.3．设函数y ＝f （x ）由2sin x t t y t t⎧=+⎪⎨=⎪⎩确定，则（ ）。

2023年全国硕士研究生招生考试数学一试题一、选择题:1~10小题，每小题5分，共50分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的.1.曲线1ln 1y x e x的斜渐近线为A.y x e B.1y x eC.y xD.1y x e2.若微分方程0y ay by 的解在 , 上有界，则A.0,0a b B.0,0a b C.0,0a b D.0,0a b 3.设函数 y f x 是由2,sin x t t y t t确定，则A. f x 连续， 0f 不存在.B. 0f 存在， f x 在0x 处不连续.C. f x 连续， 0f 不存在.D. 0f 存在， f x 在0x 处不连续.4.已知(1,2,...)n n a b n ，若级数1nn a与1nn b均收敛，则“1nn a绝对收敛”是“1nn b绝对收敛”的A.充分必要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件5.已知n 阶矩阵,,A B C .满足 ABC O ，E 是n 阶单位矩阵，记矩阵OA BC E ，AB C O E ，E AB ABO 的秩分别为123,,r r r ，则A.123r r r B.132r r r C.312r r r D.213r r r 6.下列矩阵中不能相似于对角矩阵的是A.11022003aB.1112003a aC.11020002aD.11022002a7.已知向量121212212,1,5,03191.若 既可由12, 线性表示，也可由12, 线性表示，则A.33,4k kR B.35,10k k R C.11,2k kR D.15,8k kR 8.设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则E X EXA.1e B.12C.2eD.19.设12,,,n X X X 为来自总体 21,N的简单随机样本，12,,,mY Y Y为来自总体22,2N 的简单随机样本，且两样本相互独立.记1111,,n m i i i i X X Y Y n m221111n i i S X X n ，22111mi i S Y Y m ，则A. 2122~,S F n m S B. 2122~1,1S F n m S C. 21222~,S F n m S D. 21222~1,1S F n m S 10.设12,X X 为来自总体 2,N的简单随机样本，其中(0) 是未知参数.若12ˆa X X为 的无偏估计.则aA.2B.2二、填空题：11~16小题，每小题5分，共30分.11.当0x 时，函数 2ln 1f x ax bx x 与 2cos x g x e x 是等价无穷小，则ab.12.曲面222ln 1z x y x y 在点 0,0,0处的切平面方程为.13.设f x 是周期为2的周期函数，且 1,0,1f x x x ，若01cos 2n n a f x a n x，则21n n a.14.设连续函数 f x 满足： 2f x f x x ，20f x dx ，则 31f x dx.15.已知向量12311010111,,,10111111αααβ，112233k k k γααα，若,(1,2,3)T T i i i γαβα，则222123k k k.16.设随机变量,X Y 相互独立，且1~1,3X B，1~2,2Y B，则 2P X Y .三、解答题:17~22小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.设曲线 0y y x x 经过点 1,2，该曲线上任一点 ,P x y 到y 轴的距离等于该点处的切线在y 轴上的截距.（1）求 y y x .（2）求函数 1x f x y t dt在(0,) 的最大值.18.（本题满分12分）求函数 23,f x y y x y x 的极值.19.（本题满分12分）设空间有界区域 由柱面221x y 和平面0z 和1x z 所围成， 为 的边界曲面的外侧，计算曲面积分2cos 3sin I xzdydz xz ydzdx yz xdxdy.20.（本题满分12分）已知 f x 在 ,a a 上具有二阶连续导数.证明：（1）若 00f ，则存在 ,a a ，使得 21f f a f a a.（2）若f x 在,a a 内取得极值，则存在,a a ，使得212f f a f a a.21.（本题满分12分）已知二次型2221231231213,,2222f x x x x x x x x x x ，22212312323,,2g y y y y y y y y .（1）求可逆变换x y P ，将二次型 123,,f x x x 化成 123,,g y y y .（2）是否存在正交变换x y Q ，将二次型 123,,f x x x 化成 123,,g y y y .设二维随机变量 ,X Y 的概率密度为 22222,1,0,x y x y f x y，其他.（1）求,X Y 的协方差.（2）,X Y 是否相互独立？（3）求22+Z X Y ，求Z 的概率密度.23考研数一真题答案速查一、选择题1.考点：渐近线答案：B.1y x e2.考点：常系数线性微分方程答案：C.0,0a b 3.考点：参数方程求导，分段函数求导答案：C. f x 连续，但 0f 不存在.4.考点：数项级数敛散性的判定答案：A.充分必要条件5.考点：矩阵的秩答案：B.132r r r 6.考点：相似对角化答案：D.11022002a 7.考点：向量的线性表示答案：D.15,8k kR 8.考点：常见分布答案：C.2e9.考点：三大抽样分布答案：D.21222~1,1S F n m S 10.考点：估计量的评选标准（无偏性）答案：A.2二、填空题11.考点：等价无穷小答案：212.考点：空间曲面的切平面答案：20x y z 13.考点：傅里叶级数答案：014.考点：定积分的换元法答案：1215.考点：向量内积与线性方程组答案：11916.考点：常见分布答案：13三、解答题17.考点：切线方程、一阶线性微分方程、函数求最值答案：（1）ln 2y x x x ；（2） f x 的最大值为241544f e e.18.考点：多元函数求极值答案： ,f x y 在210,327处取极大值2104,327729f.19.考点：第二类曲面积分（高斯公式）答案：5420.考点：泰勒中值定理的证明答案：（1）在0x 处泰勒展开，用介值定理推论处理余项.（2）在极值点处泰勒展开，用介值定理推论处理余项.21.考点：二次型的配方法、合同与相似答案：（1）111010001P ，x y P （2）不存在正交变换，因为两个二次型的系数矩阵不相似.22.考点：协方差、独立性、随机变量函数的分布答案：（1）0.（2）不独立.（3） 2,01,0,Z z z f z其他.。

全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上．（1）若函数10(),0x f x axb x ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩在x 连续，则 (A) 12ab =． (B) 12ab =-． (C) 0ab =． (D) 2ab =．【答案】A【详解】由011lim2x b ax a +→-==,得12ab =. （2）设函数()f x 可导，且()'()0f x f x >则(A) ()()11f f >- ． (B) ()()11f f <-．(C) ()()11f f >-． (D) ()()11f f <-. 【答案】C【详解】2()()()[]02f x f x f x ''=>,从而2()f x 单调递增,22(1)(1)f f >-. （3）函数22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿着向量(1,2,2)n =的方向导数为(A) 12． (B) 6． (C) 4． (D)2 ．【答案】D【详解】方向余弦12cos ,cos cos 33===αβγ,偏导数22,,2x y z f xy f x f z '''===,代入cos cos cos x y z f f f '''++αβγ即可.（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处.图中，实线表示甲的速度曲线1()v v t =(单位：m/s)，虚线表示乙的速度曲线2()v v t =(单位：m/s)，三块阴影部分面积的数值一次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为(单位：s)，则(A) 010t =． (B) 01520t <<．(C) 025t =． (D)025t >．【答案】C【详解】在025t =时,乙比甲多跑10m,而最开始的时候甲在乙前方10m 处.（5）设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则(A) T E -αα不可逆． (B) T E +αα不可逆．(C) T 2E +αα不可逆． (D) T 2E -αα不可逆．【答案】A【详解】可设T α=(1,0,,0),则T αα的特征值为1,0,,0,从而T αα-E 的特征值为011,,,,因此T αα-E 不可逆.（6）设有矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，122C ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(A)A 与C 相似，B 与C 相似． (B) A 与C 相似，B 与C 不相似．(C) A 与C 不相似，B 与C 相似．(D) A 与C 不相似，B 与C 不相似．【答案】B【详解】,A B 的特征值为221,,,但A 有三个线性无关的特征向量,而B 只有两个,所以A 可对角化, B 则不行.（7）设,A B 为随机事件，若0()1P A <<，0()1P B <<，则(|)(|)P A B P B A >的充分必要条件(A) (|)(|)P B A P B A >． (B) (|)(|)P B A P B A <． (C) (|)(|)P B A P B A >． (D) (|)(|)P B A P B A <．【答案】A【详解】由(|)(|)P A B P A B >得()()()()()()1()P AB P AB P A P AB P B P B P B ->=-,即()>()()P AB P A P B ;由(|)(|)P B A P B A >也可得()>()()P AB P A P B .（8）设12,,,(2)n X X X n 为来自总体(,1)N μ的简单随机样本，记11ni i X X n ==∑，则下列结论不正确的是(A)21()ni i X μ=-∑服从2χ分布 ． (B) 212()n X X -服从2χ分布．(C)21()nii XX =-∑服从2χ分布． (D) 2()n X -μ服从2χ分布．【答案】B【详解】222211~(0,1)()~(),()~(1)1n ni i i i i X N X n X X n ==----∑∑μμχχ;221~(,),()~(1);X N n X n-μμχ2211()~(0,2),~(1)2n n X X X X N --χ.二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答．题纸．．指定位置上．（9）已知函数21(),1f x x=+(3)(0)f = ． 【答案】0 【详解】2421()1(11)1f x x x x x==-++-<<+,没有三次项.（10）微分方程032=+'+''y y y 的通解为 ．【答案】12e ()x y C C -=+【详解】特征方程2230r r ++=得1r =-+,因此12e ()x y C C -=+.（11）若曲线积分⎰-+-L y x aydyxdx 122在区域{}1),(22<+=y x y x D 内与路径无关，则=a．【答案】1-【详解】有题意可得Q Px x∂∂=∂∂,解得1a =-. （12）幂级数111)1(-∞=-∑-n n n nx 在(-1,1)内的和函数()S x = ．【答案】21(1)x +【详解】112111(1)[()](1)n n n n n nxx x ∞∞--=='-=--=+∑∑.（13）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=110211101A ，321ααα，，是3维线性无关的列向量，则()321,,αααA A A 的秩为 ．【答案】2【详解】123(,,)()2r r ααα==A A A A（14）设随即变量X 的分布函数4()0.5()0.5()2x F x x -=Φ+Φ，其中)(x Φ为标准正态分布函数，则EX = ． 【答案】2【详解】00.54()d [0,5()()]d 222x EX xf x x x x x +∞+∞-∞-==+=⎰⎰ϕϕ. 三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．（15）（本题满分10分）．设函数(,)f u v 具有2阶连续偏导数，(e ,cos ),xy f x =求2200,x x dyd y dxdx==.【答案】(e ,cos )x y f x =()''12'12''''''''''111212122222''''11122sin ,0(1,1)sin (sin )sin cos 0(1,1)(1,1)(1,1)x x x x x dyf e f x dx dy x f dx d y f e f x e f e f e f x x f x dx d y x f f f dx ∴=-∴===-+---==+- （16）（本题满分10分）．求2limln(1)n k k n n→∞+. 【答案】212221120012202lim ln(1)1122lim ln(1)ln(1)...ln(1)11122lim ln(1)ln(1)...ln(1)1ln(1)ln(1)21111ln(1)02211111ln 2221n k n n k k nn n n n n n n n n n n n n n n n n n x x dx x d x x x x dxx x ∞→∞=→∞→∞+⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭=+=+=+-+-+=-∑⎰⎰⎰1011002111ln 2[(1)]22111111ln 2[()ln(1)]002221111ln 2(1ln 2)2224dxxx dx dx xx x x +=--++=--++=--+=⎰⎰⎰（17）（本题满分10分）．已知函数)(x y 由方程333320x y x y +-+-=确定，求)(x y 的极值. 【答案】333320x y x y +-+-=①，方程①两边对x 求导得：22''33330x y y y +-+=②， 令'0y =，得233,1x x ==±. 当1x =时1y =，当1x =-时0y =.方程②两边再对x 求导：'22''''66()330x y y y y y +++=， 令'0y =，2''6(31)0x y y ++=，当1x =，1y =时''32y =-，当1x =-，0y =时''6y =.所以当1x =时函数有极大值，极大值为1，当1x =-时函数有极小值，极小值为0.（18）（本题满分10分）．设函数()f x 在区间[0,1]上具有2阶导数，且(1)0f >，0()lim 0x f x x+→<.证明：（I ）方程()0f x =在区间(0,1)内至少存在一个实根;（II ）方程2()''()['()]0f x f x f x +=在区间(0,1)内至少存在两个不同实根. 【答案】 (1)()lim 0x f x x+→<，由极限的局部保号性，(0,),()0c f c δ∃∈<使得，又(1)0,f >由零点存在定理知，(c,1)ξ∃∈，使得，()0f ξ=.(2)构造()()'()F x f x f x =，(0)(0)'(0)0F f f ==，()()'()0F f f ξξξ==，0()lim 0,'(0)0,x f x f x+→<∴<由拉格朗日中值定理知(1)(0)(0,1),'()010f f f ηη-∃∈=>-，'(0)'()0,f f η<所以由零点定理知1(0,)(0,1)ξη∃∈⊂，使得1'()0f ξ=，111()()'()0,F f f ξξξ∴== 所以原方程至少有两个不同实根。

2023年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题及答案考试时间：180分钟，满分：150分一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．（1）曲线1ln()1yx e x =+−的斜渐近线方程为（ ） （A）y x e =+ （B）1y x e=+（C）y x = （D）1y x e=−【答案】B 【解析】1limlimln()11x x y ke x x →∞→∞==+=−，11lim()lim()lim[ln(]lim [ln(ln ]11x x x x b y kx y x x e x x e e x x →∞→∞→∞→∞=−==−=+−=+−−−111lim ln(1lim (1)(1)x x x x e x e x e→∞→∞=+==−−，所以渐进线方程为1y x e =+，答案为B（2）若微分方程0y ay by ′′′++=的解在(,)−∞+∞上有界，则（ ） （A ）0,0a b <>（B ）0,0a b >>（C ）0,0ab =>（D ）0,0ab =<【答案】C 【解析】0y ay by ′′′++=的解一共三种情形：①240a b Δ=−>，1212x xy C e C e λλ=+，但此时无论12,λλ取何值，y 在(,)−∞+∞上均无界；②240a b Δ=−=，12()xy C C x eλ=+，但此时无论λ取何值，y 在(,)−∞+∞上均无界；③240a b Δ=−<，12(cos sin )xy e C x C x αββ=+，此时若y 在(,)−∞+∞上有界，则需满足0α=，所以0,0a b =>，答案为（C）（3）设函数()y f x =由2sin x t ty t t⎧=+⎪⎨=⎪⎩确定，则（ ） （A）()f x 连续，(0)f ′不存在（B）(0)f ′不存在，()f x ′在0x =处不连续（C）()f x ′连续，(0)f ′′不存在（D）(0)f ′′存在，()f x ′′在0x =处不连续【答案】C【解析】当0t =时，有0x y ==①当0t >时，3sin x t y t t=⎧⎨=⎩，可得sin 33x xy =，故()f x 右连续；②当0t <时，sin x ty t t=⎧⎨=−⎩，可得sin y x x =−，故()f x 左连续，所以()f x 连续；因为0sin 033(0)lim 0x x x y x ++→−′==；0sin 0(0)lim 0x x x y x −−→−−′==，所以(0)0f ′=；③当0x >时，1sin sin cos 333393x x x x x y ′⎛⎫′==+ ⎪⎝⎭，所以0lim ()0x y x +→′=，即()f x ′右连续；④当0x <时，()sin sin cos y x x x x x ′′=−=−−，所以0lim ()0x y x −→′=，即()f x ′左连续，所以()f x ′连续；考虑01sin cos 23393(0)lim 9x x x xf x ++→+′′==；0sin cos (0)lim 2x x x x f x −−→−−′′==−，所以(0)f ′′不存在，答案为C（4）已知(1,2,)nn a b n <= ，若级数1n n a ∞=∑与1n n b ∞=∑均收敛，则“1n n a ∞=∑绝对收敛”是“1n n b ∞=∑绝对收敛”的（ ）（A ）充分必要条件（B ）充分不必要条件（C ）必要不充分条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】因为级数1nn a ∞=∑与1nn b ∞=∑均收敛，所以正项级数1()nn n ba ∞=−∑收敛又因为()()n n n n n n n n n nb b a a b a a b a a =−+≤−+=−+所以，若1nn a∞=∑绝对收敛，则1n n b ∞=∑绝对收敛；同理可得：()()n n n n n n n n n na ab b a b b b a b =−+≤−+=−+所以，若1nn b ∞=∑绝对收敛，则1nn a∞=∑绝对收敛；故答案为充要条件，选（A）（5）已知n 阶矩阵A ，B ，C 满足ABC O =，E 为n 阶单位矩阵，记矩阵OA BC E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，ABC O E ⎛⎫⎪⎝⎭，E AB AB O ⎛⎫⎪⎝⎭的秩分别为123,,r r r ，则（ ） （A ）123r r r ≤≤（B ）132r r r ≤≤（C ）321r r r ≤≤（D ）213r r r ≤≤【答案】B【解析】根据初等变换可得：OA O O O O BC E BC E O E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎯⎯→⎯⎯→⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭行列，所以1r n =；AB C AB O O E O E ⎛⎫⎛⎫⎯⎯→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭行，所以2()r n r AB =+；2()E AB E O E O AB O AB ABAB O AB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎯⎯→⎯⎯→ ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭⎝⎭行列，所以23()r n r AB ⎡⎤=+⎣⎦；又因为20()()r AB r AB ⎡⎤≤≤⎣⎦，所以132r r r ≤≤（6）下列矩阵中不能相似于对角矩阵的是（）（A ）11022003a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （B ）1112003a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （C ）11020002a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（D ）11022002a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】（A ）特征值互异，则可对角化；（B ）为实对称矩阵，必可对角化； 选项（C ），特征值为1，2，2，且特征值2的重数（代数重数）2(2)312n r E A =−−=−=（几何重数），故矩阵可对角化；选项（D ），特征值为1，2，2，且特征值2的重数（代数重数）2(2)321n r E A ≠−−=−=（几何重数），故矩阵不可对角化；（7）已知向量1123α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2211α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1259β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2101β⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，若γ既可由12,αα线性表示，也可由12,ββ线性表示，则γ=（ ）（A ）33,4k k R ⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭（B ）35,10k k R ⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭（C ）11,2k k R −⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭（D ）15,8k k R ⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】令γ11221122k k l l ααββ=+=+，则有112211220k k l l ααββ+−−=，即12121212(,)0k k l l ααββ⎛⎫ ⎪ ⎪−−= ⎪ ⎪⎝⎭而121212211003(,)2150010131910011ααββ−−⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪−−=−→− ⎪ ⎪⎪ ⎪−−⎝⎭⎝⎭所以1212(,,,)(3,1,1,1),TT k k l l c c R =−−∈，所以12(1,5,8)(1,5,8),T T c c c k k R γββ=−+=−=∈，答案为D（8）设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则()E X EX −=（ ）（A）1e（B）12（C）2e（D）1【答案】C【解析】因为(1)X P ，所以1EX =，()()1110022112(1)(1)!0!!k k e e e E X EX E X k k E X k k e e−−−∞∞==−=−=−=+−=+−=∑∑，答案为C（9）设12,,,n X X X 为来自总体21(,)N μσ的简单随机样本，12,,,m Y Y Y 为来自总体22(,2)N μσ的简单随机样本，且两样本相互独立，记11n i i X X n ==∑，11m i i Y Y m ==∑，22111()1n i i S X X n ==−−∑， 22211()1mi i S Y Y m ==−−∑，则（ ） （A）2122(,)S F n m S （B）2122(1,1)S F n m S −−（C）21222(,)S F n m S （D）21222(1,1)S F n m S −− 【答案】D【解析】由正态分布的抽样性质可得，2212(1)(1)n S n χσ−− ，2222(1)(1)2m S m χσ−− 又因为2212,S S 相互独立，所以212222(1)1(1,1)(1)21n S n F n m m S m σσ−−−−−− ，即21222(1,1)S F n m S −− ，答案为D （10）设12,X X 为来自总体2(,)N μσ的简单随机样本，其中(0)σσ>是未知参数，记12a X X σ=−,若()E σσ=，则a =（ ）（A）2π（B）2π【答案】A【解析】由已知可得，令212(0,2)Z X X N σ=− ，所以22221212()()()z Z E E a X X aE X X aE Z az f z dz a dzσσ−+∞+∞⋅−∞−∞=−=−===⎰⎰2222440z z a zdz aσσ−−+∞+∞==−=⎰若()E σσ=，则有2a π=，答案为A二、填空题：11～16小题，每小题5分，共30分，请将答案写在答题纸指定位置上． （11）当0x →时，函数2()ln(1)f x ax bx x =+++与2()cos x g x e x =−是等价无穷小，则ab =________【答案】2−【解析】由已知可得：2222200022221(())()ln(1)2lim lim lim 1()cos (1())(1())2x x x x ax bx x x o x f x ax bx x g x e x x o x x o x →→→++−++++==−++−−+220221(1)(()2lim 13()2x a x b x o x x o x →++−+==+所以1310,22a b +=−=，即1,2a b =−=,所以2ab =− （12）曲面222ln(1)z x y x y =++++在点(0,0,0)处的切平面方程为________【答案】20x y z +−=【解析】两边微分可得，222221xdx ydydz dx dy x y +=++++，代入(0,0,0)得2dz dx dy =+，因此法向量为(1,2,1)−，切平面方程为20x y z +−=（13）设()f x 是周期为2的周期函数，且()1,[0,1]f x x x =−∈，若01()cos 2n n a f x a n x π∞==+∑，则21nn a∞==∑_________【答案】0【解析】由已知得01(0)12n n a f a ∞==+=∑，01(1)(1)02n n n a f a ∞==+−=∑ 相加可得021(0)(1)21nn f f a a∞=+=+=∑显然()f x 为偶函数，则(0,1,2,)n a n = 为其余弦级数的系数，故1002()1a f x dx ==⎰，因此210n n a ∞==∑.（14）设连续函数()f x 满足：(2)()f x f x x +−=，2()0f x dx =⎰，则31()f x dx =⎰_______【答案】12【解析】323211121()()()()(2)f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx=+=++⎰⎰⎰⎰⎰[]2121111()()()022f x dx f x x dx f x dx xdx =++=+=+=⎰⎰⎰⎰（15）已知向量11011α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，21101α−⎛⎫ ⎪− ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，30111α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪− ⎪⎝⎭，1111β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪−⎝⎭，112233k k k γααα=++，若(1,2,3)T T i i i γαβα==，则222123k k k ++=_______【答案】119【解析】由已知可得，123,,ααα两两正交，通过计算可得：11113TT k γαβα=⇒=；2221T T k γαβα=⇒=−；33213T T k γαβα=⇒=−，则222123k k k ++=119（16）设随机变量X 与Y 相互独立，且1(1,3X B ，1(2,2Y B ，则{}P X Y ==________ 【答案】13【解析】212211111{}{0}{1}(323223P X Y P X Y P X Y C ====+===⋅+⋅⋅=三、解答题：17～22小题，共70分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17）（本题满分10分）设曲线:()(0)L y y x x =>经过点(1,2)，该曲线上任一点(,)P x y 到y 轴的距离等于该点处的切线在y 轴上的截距（1）求()y x ；（2）求函数1()()xf x y t dt =⎰在(0,)+∞上的最大值【答案】（1）()(2ln )y x x x =− （2）454e −【解析】（1）曲线L 上任一点(,)P x y 处的切线方程为()Y y y X x ′−=−，令0X =，则y 轴上的截距为Y y xy ′=−，由题意可得x y xy ′=−，即11y y x′−=−，解得(ln )y x C x =−，其中C 为任意常数，代入(1,2)可得2C =，从而()(2ln )y x x x =−（2）()(2ln )f x x x ′=−，显然在2(0,)e 上()0f x ′>，()f x 单调递增；在2(,)e +∞上()0f x ′<，()f x 单调递减，所以()f x 在(0,)+∞上的最大值为22422211515()(2ln )ln 424e e ef e t t dt t t t −⎛⎫=−=−=⎪⎝⎭⎰（18）（本题满分12分）求函数23(,)()()f x y y x y x =−−的极值【答案】极小值为2104(,)327729f =−【解析】先求驻点42235(32)020xy f x x x y f y x x ⎧′=−+=⎪⎨′=−−=⎪⎩，解得驻点为(0,0)，(1,1)，210(,327下求二阶偏导数，3220(62)322xx xy yyf x x yf x xf ⎧′′=−+⎪⎪′′=−−⎨⎪′′=⎪⎩①对于点(0,0)，(0,0)0f =，5(,0)f x x =，由定义可得(0,0)不是极值点；②代入点(1,1)，解得1252xxxy yy A f B f C f ⎧′′==⎪⎪′′==−⎨⎪′′==⎪⎩，210AC B −=−<，所以(1,1)不是极值点；③代入点210(,)327，解得10027832xx xy yyA fB fC f ⎧′′==⎪⎪⎪′′==−⎨⎪⎪′′==⎪⎩，2809AC B −=>且0A >，所以210(,)327是极小值点，极小值为2104(,)327729f =−（19）（本题满分12分）设空间有界区域Ω由柱面221x y +=与平面0z =和1x z +=围成，Σ为Ω的边界曲面的外侧，计算曲面积分2cos 3sin I xzdydz xz ydzdx yz xdxdy Σ=++⎰⎰【答案】54π【解析】由高斯公式可得，2cos 3sin (2sin 3sin )I xzdydz xz ydzdx yz xdxdy z xz y y x dvΣΩ=++=−+⎰⎰⎰⎰⎰ 因为Ω关于平面xoz 对称，所以(sin 3sin )0xz y y x dv Ω−+=⎰⎰⎰所以1222022(1)(:1)xyxyxxy D D I zdv dxdy zdz x dxdyD x y −Ω===−+≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22221(21)()2xyxyxyD D D x x dxdy x dxdy x y dxdy ππ=−+=+=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 2130015244d r dr πππθππ=+=+=⎰⎰（20）（本题满分12分）设函数()f x 在[,]a a −上具有2阶连续导数，证明： （1）若(0)0f =，则存在(,)a a ξ∈−，使得21()[()()]f f a f a aξ′′=+−（2）若()f x 在(,)a a −内取得极值，则存在(,)a a η∈−，使得21()()()2f f a f a aη′′≥−−【答案】（1）利用泰勒公式在0x =处展开，再利用介值性定理； （2）利用泰勒公式在极值点处展开，再利用基本不等式进行放缩；【解析】（1）在0x =处泰勒展开，22()()()(0)(0)(0)2!2!f c f c f x f f x x f x x ′′′′′′=++=+， 其中c 介于0与x 之间；代入两个端点有：211()()(0),(0,)2!f f a f a a a ξξ′′′=+∈222()()(0)(),(,0)2!f f a f a a a ξξ′′′−=−+∈− 两式相加可得：212()()()()2f f f a f a a ξξ′′′′++−=即122()()1[()()]2f f f a f a a ξξ′′′′++−= 因为()f x 在[,]a a −上具有2阶连续导数，所以()f x ′′存在最大值M 与最小值m ， 根据连续函数的介值性定理可得，12()()2f f m M ξξ′′′′+≤≤，所以存在(,)a a ξ∈−，使得12()()()2f f f ξξξ′′′′+′′=，即21()[()()]f f a f a a ξ′′=+−成立；（2）若()f x 在(,)a a −内取得极值，不妨设0x 为其极值点，则由费马引理可得，0()0f x ′=将()f x 在0x 处泰勒展开，22000000()()()()()()()()()2!2!f d f d f x f x f x x x x x f x x x ′′′′′=+−+−=+−其中d 介于0x 与x 之间； 代入两个端点有：210010()()()(),(,)2!f f a f x a x x a ηη′′=+−∈ 220020()()()(),(,)2!f f a f x a x a x ηη′′−=+−−∈−两式相减可得：221200()()()()()()22f f f a f a a x a x ηη′′′′−−=−−−−所以22120022()()11()()()()2222f f f a f a a x a x a a ηη′′′′−−=−−−− 22102021[()()()()]4f a x f a x aηη′′′′≤−++，记112()max[(),()]f f f ηηη′′′′′′=， 又因为22220000()()[()()]4a x a x a x a x a −++≤−++=，所以21()()()2f a f a f a η′′−−≤成立 （21）（本题满分12分）已知二次型2221231231213(,,)2222f x x x x x x x x x x =+++−，22212312323(,,)2g y y y y y y y y =+++（1）求可逆变换x Py =，将123(,,)f x x x 化成123(,,)g y y y ； （2）是否存在正交变换x Qy =将123(,,)f x x x 化成123(,,)g y y y ?【答案】（1）111010001P −⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭（2）不存在（二者矩阵的迹不相同）【解析】（1）利用配方法将123(,,)f x x x 化成123(,,)g y y y ， 先用配方法将123(,,)f x x x 化成标准形：22222212312312131232323(,,)2222()2f x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++−=+−+++2212323()()x x x x x =+−++再用配方法将123(,,)g y y y 化成标准形：2222212312323123(,,)2()g y y y y y y y y y y y =+++=++令11232233y x x x y x y x =+−⎧⎪=⎨⎪=⎩，即11232233x y y y x y x y=−+⎧⎪=⎨⎪=⎩， 则在可逆变换112233*********x y x y x y −⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭下，其中111010001P −⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，二次型123(,,)f x x x 即可化成123(,,)g y y y （2）因为二次型123(,,)f x x x 与123(,,)g y y y 的矩阵分别为111120102A −⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪−⎝⎭，100011011B ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭显然()5tr A =，()3tr B =，所以矩阵A ，B 不相似，故不存在正交矩阵Q ，使得1T Q AQ Q AQ B −==， 所以也不存在正交变换x Qy =，将123(,,)f x x x 化成123(,,)g y y y .11 /11 （22）（本题满分12分）设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为22222(),1(,)0,x y x y f x y else π⎧++≤⎪=⎨⎪⎩，求 （1）求X 与Y 的斜方差；（2）X 与Y 是否相互独立？（3）求22Z X Y =+概率密度【答案】（1）0 （2）不独立 （3）2,01()0,z z f z else <<⎧=⎨⎩【解析】（1）由对称性可得：222212()0x y EX x x y dxdy π+≤=+=⎰⎰，同理0EY =，0EXY =所以(,)()()()0Cov X Y E XY E X E Y =−=； （2）22)11()(,)0,X x y dy x f x f x y dy else +∞−∞⎧+−≤≤⎪==⎨⎪⎩⎰24(121130,x x elseπ⎧+−≤≤⎪=⎨⎪⎩同理可得，24(1211()30,Y y y f y else π⎧+−≤≤⎪=⎨⎪⎩所以(,)()()X Y f x y f x f y ≠，X 与Y 不独立 （3）先求分布函数22(){}{}Z F z P Z z P X Y z =≤=+≤ 当0z <时，()0Z F z =；当01z ≤<时，2222222320022(){}()Z x y z F z P X Y z x y dxdy d dr z πθππ+≤=+≤=+==⎰⎰⎰；当1z ≤时，()1Z F z =；所以22Z X Y =+概率密度为2,01()()0,Z Z z z f z F z else <<⎧′==⎨⎩。

一、选择题(1)【答案】D【解析】（方法一）利用结论：若f(x)和g(x)在x=O某邻域内连续，且当x-o时，f位）～g(x)'则J勹(t)dt �r g(t)dt.(A)『(/-l)dt� 『t 2dt =气3(B)『ln(l +万）dt �rt 令dt=气5(C) f"工s int 2dt �厂r t 2dt�f c 2d t =丘。

3(D)J :-co sx /忒臣了d t -I -c os rt i d t �I :''l令d t=岊（占）寺x故应选CD).（方法二）设J(x)和<p (x)在x =O某邻域内连续，且当x-0时，f(x)和<p (x)分别是x 的m阶和n阶无穷小，则『(,-)J(t)dt 是x -0时的n(m+ 1)阶无穷小．。

CA)r C / -1) d t , m = 2 , n = 1 , 则n(m+ 1) = 3. 。

ln(l + #)dt,m =立，n= 1, 则n(m+l)=立。

2 2.CC)厂sint 2dt, m =2, n =1 , 则n(m+ 1)=3.。

1一cos,·3叫产t,m=一，n= 2, 则n(m+l)=5.。

2故应选(D).(2)【答案】C【解析】（方法一）直接法若f(x)在x=O处可导，则f(x)在x=O处连续，且f(O)=lim f(x) = 0.工-o故应选(C).f(x) -f(O) = limf(x)j'(O) = Jim;-0Xr•OXf(x)f(x) lim=lim ——•X =j'(0)• 0 = 0工-o,/了.,·-oX�（方法二）排除法取f (x)= {X, X # 0，则l im f位）=o ,且1,X= 0J-0 x 3f(x ) x 3lim·f(x)=lim _。

J了工-o�= O ,lim 一=lim —=22 工-oXr--0 X但f(x)在x=O处不可导，因为f(x)在X = 0处不连续，则排除选项(A),CB).若取f(x)= x , 则lim f(x)= 0, 且f(x)在x =O处可导，但J-0• 5 •叫排除CD )'故应选CC).(3)【答案】A2 ,·-·OX.r-0 X.r -•O X【解析】利用函数z = .I 一位，y)在(x 。

（1）函数1ln(e )1y x x 的渐近线为（）（A ）e y x .（B ）1e y x .（C ）y x .（D ）1ey x .【答案】（B ）.（2）若微分方程0y ay by 的解在(,) 有界，则（）（A ）0,0a b （B ）0,0a b （C ）0,0a b （D ）0,0a b 【答案】（C ）.（3）确定，则（）.（A ）连续，但不存在（B ）存在，但不连续（C ）连续，但不存在（D ）存在，但不连续【答案】（C ）.（4）已知n n a b (1,2,)n ，若级数1nn a与1nn b均收敛，则1nn a绝对收敛是1nn b绝对收敛的（A ）充分必要条件（B ）充分不必要条件（C ）必要不充分（D ）既不充分也不必要【答案】（A ）.（5）已知n 阶矩阵,,A B C 满足0ABC =E 为n 阶单位矩阵，记矩阵A BCE ， 0AB C E ，0E AB AB 的秩分别为123,,r r r ，则（A ）123r r r （B ）132r r r （C ）312r r r （D ）213r r r 【答案】（B ）.（6）下列矩阵中不能相似于对角阵的是（）（A ）11022003a .（B ）1112003a a .（C ）11020002a .（D ）11022002a.【答案】（D ）.（7）121212212,1,5,03191若 既可由12, 线性表示，也可由12 线性表示，则（A）3,4k k R（B）35,10k k R（C）11,2k k R（D）15,8k k R【答案】D（8）设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则 =E X EX（A）1e（B）12（C）2e（D）1【答案】（C）（9）为总体的简单随机样本,为总体的简单随机样本，且两样本相互独立.，，则（A）2122(,)S F n mS（B）2122(1,1)S F n mS（C）21222(,)S F n mS（D）21222(1,1)S F n mS【答案】（D）（10）设12,X X为总体2(,)N 的样本，0为未知参数，若12ˆ||a X X为 的无偏估计，则a （）（A）2（B）22（C（D（11）当0x 时，函数2()ln(1)f x ax bx x 与2()cos x g x e x 是等价无穷小，则ab.【答案】2 .（12）曲面222ln 1z x y x y 在 0,0,0处的切平面方程为_______.【答案】20x y z （13）函数()f x 是周期为2的周期函数，且()1,[0,1]f x x x ，若01()cos π2n n a f x a n x，则21n n a.【答案】0.（14）连续函数()f x 满足20(2)(),()d 0,f x f x x f x x 则31()d f x x _______【答案】12（15）向量123(1,0,1,1),(1,1,0,1),(0,1,1,1) ，(1,1,1,1) ，112233k k k ，若T T i i（1,2,3i），则222123k k k【答案】119（16）设随机变量X 与Y 相互独立，且1(1,)3X B ，1(2,2Y B ，则P X Y .【答案】13【解析】由题意可知(,)X Y 联合分布律为：从而 0,01,13P X Y P X Y P X Y 。

2021年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题解析一、选择题:110小题,每小题5分,共50分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)函数1,0()1,0x e x f x xx ⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩，在0x =处（ ） (A)连续且取极大值. (B)连续且取极小值. (C)可导且导数为0. (D)可导且导数不为0.【答案】D【解析】因为001lim ()lim 1(0)x x x e f x f x→→-=-=，故()f x 在0x =处连续.因为200011()(0)11lim lim lim 002x x x x x e f x f e x x x x x →→→-----===--，故1(0)2f '=，故选D . (2)设函数(,)f x y 可微，且2(1,)(1)x f x e x x +=+，22(,)2ln f x x x x =，则(1,1)df =（ ）(A)dx dy +. (B)dx dy -. (C)dy . (D)dy -.【答案】C【解析】212(1,)(1,)(1)2(1)x x x f x e e f x e x x x ''+++=+++ ①2212(,)2(,)4ln 2f x x xf x x x x x ''+=+ ②分别将00x y =⎧⎨=⎩，11x y =⎧⎨=⎩代入①②式有12(1,1)(1,1)1f f ''+=，12(1,1)2(1,1)2f f ''+=联立可得1(1,1)0f '=，2(1,1)1f '=，12(1,1)(1,1)(1,1)df f dx f dy dy ''=+=，故选C .(3)设函数2sin ()1x f x x=+在0x =处的3次泰勒多项式为23+ax bx cx +，则（ ） (A)1a =，0b =，76c =-. (B)1a =，0b =，76c =.(C)1a =-，1b =-，76c =-. (D)1a =-，1b =-，76c =.【答案】A【解析】3323332sin 7()()1()()166x x f x x o x x o x x x o x x ⎡⎤⎡⎤==-+⋅-+=-+⎢⎥⎣⎦+⎣⎦，故1a =，0b =，76c =-，故选A .(4)设函数()f x 在区间[0,1]上连续，则10()f x dx =⎰(A)1211lim 22nx n k f n n →∞=-⎛⎫ ⎪⎝⎭∑(B )1211l i m 2nx n k f n n→∞=-⎛⎫ ⎪⎝⎭∑. (C)2111lim 2nx n k f n n →∞=-⎛⎫ ⎪⎝⎭∑. (D)212lim 2n x n k f n n→∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑. 【答案】B【解析】由定积分定义秩，将(0,1)分成n 份，取中间点的函数11211()lim 2nx n k f x dx f n n →∞=-⎛⎫= ⎪⎝⎭∑⎰，即选B . (5)二次型222123122331(,,)()()()f x x x x x x x x x =+++--的正惯性指数与负惯性指数依次为（ ）(A)2,0. (B)1,1. (C)2,1. (D)1,2.【答案】B【解析】22221231223312122313(,,)()()()2222f x x x x x x x x x x x x x x x x =+++--=+++所以011121110⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，故多项式11121(1)(3)11λλλλλλ---=---=+---E A .令上式等于零，故特征值为1-，3，0，故该二次型正惯性指数为1，负惯性指数为1，故选B .(6)已知1101α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2121α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，3312α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，记11βα=，221k βαβ=-，331122l l βαββ=--，若将1β，2β，3β两两正交，则1l ，2l 依次为（ ）(A)52，12. (B)52-，12. (C)52，12-. (D)52-，12-. 【答案】A 【解析】利用斯密斯正交化21221110[,]2[,]0αββαβββ⎛⎫⎪=-= ⎪ ⎪⎝⎭，313233121122[,][,][,][,]αβαββαββββββ=--，故31111[,]5[,]2l αβββ==，322222[,]1[,]2l αββββ==.故选A .(7)设A ，B 为n 阶实矩阵，则下列不成立的是（ ） (A)T2()r r ⎛⎫= ⎪⎝⎭A O A O A A . (B )T 2()r r ⎛⎫= ⎪⎝⎭AAB A O A . (C)T 2()r r ⎛⎫=⎪⎝⎭A BA A OAA . (D)T 2()r r ⎛⎫= ⎪⎝⎭AO A BAA . 【答案】C 【解析】(A)TT()()2()r r r r ⎛⎫=+=⎪⎝⎭A O A A A A O A A ，故A 正确. (B)AB 的列向量可由A 的列线性表示，故T T ()()2()r r r r ⎛⎫=+=⎪⎝⎭AAB A A A OA . (C)BA 的列向量不一定可由A 的列线性表示.(D)BA 的列向量可由A 的行线性表示，T T ()()2()r r r r ⎛⎫=+=⎪⎝⎭AO A A A BAA . (8)设A ，B 为随机变量，且0()1P B <<，下列命题中不成立的是 (A)若()()P A B P A =，则()()P A B P A =. (B)若()()P A B P A >，则()()P A B P A >. (C)()()P A B P A B >，则()()P A B P A >. (D)若()()P A A B P A A B >，则()()P A P B >.【答案】D 【解析】(())()()()()()()P A A B P A P A AB P A B P A P B P AB ==+-(())()()()()()()()()()P A A B P AB P B P AB P A A B P A B P A B P A P B P AB -===+-因为()()P A A B P A A B >，固有()()()P A P B P AB >-，故选D .(9)设11(,)X Y ，22(,)X Y ，，(,)n n X Y 为来自总体1212(,;,;)N μμσσρ的简单随机样本，令12θμμ=-，11ni i X X n ==∑，11n i i Y Y n ==∑，X Y θ∧=-，则(A)θ∧是θ的无偏估计，2212()D nσσθ∧+=.(B)θ∧不是θ的无偏估计，2212()D nσσθ∧+=.(C)θ∧是θ的无偏估计，2212122()D nσσρσσθ∧+-=.(D)θ∧不是θ的无偏估计，2212122()D nσσρσσθ∧+-=.【答案】C【解析】因为X ，Y 是二维正态分布，所以X 与Y 也服从二维正态分布，则X Y -也服从二维正态分布，即12()()()()E E X Y E X E Y θμμθ∧=-=-=-=，2212122()()()()cov(,)D D X Y D X D Y X Y nσσρσσθ∧+-=-=+-=，故选C .(10)设1216,,,X X X 是来自总体(,4)N μ的简单随机样本，考虑假设检验问题：:10o H μ≤，1:10H μ>. ()x Φ表示标准正态分布函数，若该检验问题的拒绝域为 {11}W X =≥，其中161116i i X X ==∑，则11.5μ=，该检验犯第二类错误的概率为(A)1(0.5)-Φ. (B)1(1)-Φ. (C)1(1.5)-Φ. (D)1(2)-Φ.【答案】(B)【解析】所求概率为{11}P X < 1~(11.5,)4X11.51111.5{11}1(1)1122X P X P ⎧⎫⎪⎪--<=<=-Φ⎨⎬⎪⎪⎩⎭故选B .二、填空题：1116小题,每小题5分,共30分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （11）222dxx x +∞++⎰= _______________ 【答案】4π【解析】2200022(1)1==arctan(1)|==244dx x x x dx x πππ+∞+∞+∞+++++-⎰⎰ (12) 设函数由参数方程22104(1),t t x e t x y t e t x ⎧=++<⎪⎨=-+≥⎪⎩，确定，则202|t d ydx == _______________【答案】23【解析]】由4221t t dy te t dx e +=+，得223(442)(21)(42)2(21)t t t t tt d y e te e te t e dx e +++-+=+，将0t =代入得202|t d y dx == 23(13) 欧拉方程2"'40x y xy y +-=满足条件'(1)1,(1)2y y ==的解为_______________ 【答案】2x【解析】令,tx e =，则',dy xy dt=22"2d y dy x y dx dt =-原方程化为2240d y y dx -=.特征方程为240,λ-=特征根为12,λ=22,λ=-通解为22221212,t t y c e c e c x c x --=+=+将初始条件'(1)1,(1)2y y ==代入得121,0.c c ==故满足初始条件的解为2y x =(14) 设∑为空间区域}{22(,,)|44,02x y z x y z +≤≤≤表面的外侧，则曲面积分22x dydz y dzdx zdxdy ∑++=⎰⎰ _______________【答案】4π【解析】 由高斯公式得原式2214Dx y dV dz dxdy πΩ=++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰（15）设ij A a =为3阶矩阵，ij A 为代数余子式，若A 的每行元素之和均为2，且3A =，则112131A A A ++= . 【答案】32【解析】1112111A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A αλα=，2λ=，1=11α⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则A *的特征值为A λ，对应的特征向量为1=11α⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，A A ααλ*=，又112131122232132333A A A A A A A AA A *⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，112131122232132333321131121132A A A A A A A A A A A λ*⎛⎫⎪++⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭. （16）甲乙两个盒子中各装有2个红球和2个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中，再从乙盒中任取一球.令X Y ，分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则X 与Y 的相关系数 .【答案】15【解析】联合分布律(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)(,)322310101010X Y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，X 的边缘分布011122X ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,Y 的边缘分布011122Y ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,易知1(,)20Cov X Y =，14DX =,1,4DY =即15XY ρ=.三、解答题：17～22小题,共70分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17）（本题满分10分）求极限2001+1lim 1sin x t x x e dt e x →⎛⎫⎪- ⎪- ⎪⎝⎭⎰. 【答案】12【解析】()()()2220002000sin 1+11+sin 1sin 1lim lim lim 1sin sin 1xx x t x t x t x x x x x x e dt e e dt x e x e dt e x x x e →→→⎛⎫---++ ⎪-== ⎪-- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰ 2222202220001()1()1sin sin 12lim+limlimlimxxt t xx x x x x o x x x o x x e dte dt x e x xxx→→→→⎡⎤⎡⎤+-++++⎣⎦⎢⎥-+⎣⎦==+⎰⎰2222001()112lim lim 122x x x x o x e x →→-+=+=-+=（18）（本题满分12分）设11()(1,2,)(1)nxn n u x ex n n n -+=+=+，求级数1()n n u x ∞=∑的收敛域及和函数. 【答案】(1)ln(1),(0,1)1(),11xxe x x x x e S x e x e --⎧+--+∈⎪⎪-=⎨⎪=⎪-⎩【解析】易知1nxn e∞-=∑为几何级数，故收敛区间为(0,)+∞；111(1)n n x n n ∞+=+∑的收敛半径为1，收敛区间为(1,1)-，所以1()n n u x ∞=∑的收敛区间为(0,1)当0x =时，1nxn e∞-=∑发散，故1()n n u x ∞=∑发散；当1x =时，1nx n e ∞-=∑与111(1)n n x n n ∞+=+∑均收敛，故1()n n u x ∞=∑收敛；综上，1()n n u x ∞=∑的收敛域为(]0,1.令1()()n n S x u x ∞==∑，(]0,1x ∈（1）(0,1)x ∈时11xnxxn e ee-∞--==-∑ 1111111111(1)11n n n n n n n n n n x x x x x x n n n n n n +++∞∞∞∞∞+======-=-+++∑∑∑∑∑ []ln(1)ln(1)(1)ln(1)x x x x x x =-----=--+()(1)ln(1)1xxe S x x x x e --=+--+-（2）1x =时1111nn e e e -∞--==-∑11(1)n n n ∞=+∑的前n 项和111nSn =-+，lim 1n n S →∞= ()1e S x e =- 综上，(1)ln(1),(0,1)1(),11xxe x x x x e S x e x e --⎧+--+∈⎪⎪-=⎨⎪=⎪-⎩（19）（本题满分12分）已知曲线2226:4230x y z C x y z ⎧+-=⎨++=⎩，求C 上的点到xOy 坐标面距离的最大值.【答案】66【解析】设拉格朗日函数222(,,,,)(26)(4230)L x y z z x y z x y z λμλμ=++--+++- 22240420202=64230xy z L x L y L z L x y z L x y z λμλμλμλμ'=+=⎧⎪'=+=⎪⎪'=-+=⎨⎪'=+-⎪'=++=⎪⎩解得驻点：(4,1,12),(8,2,66)-- 故C 上的点(8,2,66)--到xOy 坐标面距离最大为66. （20）（本题满分12分）设2D R ⊂是有界单连通闭区域，22()(4)DI D x y dxdy =--⎰⎰取得最大值的积分区域记为1D .（1）求1()I D 的值； （2）计算222214422()(4)4xy xy D xe y dx ye x dyx y ++∂++-+⎰，其中1D ∂是1D 的正向边界.【答案】（1）8π；（2）π- 【解析】（1）由二重积分的几何意义知：22()(4)DI D x y d σ=--⎰⎰，当且仅当224x y --在D 上大于0时，()I D 达到最大，故{}221(,)4D x y x y =+，且22210()=(4)8I D d r rdr πθπ-=⎰⎰.（2）补{}2222(,)4D x y x y ε=+（ε很小），取2D 的方向为顺时针方向，22422(,)4x y xe yP x y x y ++=+，224224(,)4x y ye x Q x y x y +-=+，且Q P x y ∂∂=∂∂ 222214422()(4)4xy xy D xe y dx ye x dyx y ++∂++-+⎰2222222212244442222+()(4)()(4)44xy xy xy xy D D D xe y dx ye x dyxe y dx ye x dyx y x y ++++∂∂∂++-++-=-++⎰⎰22222221124D DD e xdx ydy ydx xdy dxdy επεεε∂∂∂-=-+--==-⎰⎰⎰⎰.（21）（本题满分12分）已知111111a A a a -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭.（1）求正交矩阵P ，使得T P AP 为对角矩阵； （2）求正交矩阵C ，使得2(3)C a E A =+-.【答案】（1）0P ⎛ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭；（2）51135113315133C ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪- ⎪⎝⎭ 【解析】（1）由21111(1)(2)011aE A a a a aλλλλλλ---=--=-+--=-，得1=2a λ+，23==1a λλ- 当1=2a λ+时211101((2))121011112000a E A -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+-=-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的特征向量为11=11α⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭当23==1a λλ-时111111((1))111000111000a E A ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭的特征向量为2311=1,=102αα--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令312123,,0P αααααα⎛ ⎛⎫ ⎪== ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎪⎝⎭，则T211a P AP a a +⎛⎫⎪=Λ=- ⎪ ⎪-⎝⎭. （2）T 2T 1((3))(3)44P C P P a E A P a E ⎛⎫ ⎪=+-=+-Λ= ⎪ ⎪⎝⎭T T T114242P CPP CP P CP ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=⇒= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故T 51131512133215133C P P ⎛⎫-- ⎪⎛⎫ ⎪⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭. （22）（本题满分12分）在区间(0,2)上取一点，将该区间分成两段，较短的一段长度记为X ，较长的一段长度记为Y ，令XZ Y=. (1)求X 的概率密度.(2)求Z 的概率密度.(3) 求XE Y ⎛⎫⎪⎝⎭. 【答案】(1)101~()0,x X f x <<⎧=⎨⎩，其他；(2)()22,1(1)()()0,Z Z z z f z F z ⎧≥⎪'+==⎨⎪⎩其他；(3)12ln 2-+.【解析】(1)由题知：101~()0,x X f x <<⎧=⎨⎩，其他.(2)由2Y X =-，即2XZ X-=，先求Z 的分布函数. {}22()1Z X F z P Z z P z P z X X -⎧⎫⎧⎫=≤=≤=-≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭当1z <时，()0Z F z =.当1z ≥时，210222()1111111t Z F z P z P X dx X z z +⎧⎫⎧⎫=-≤=-≤=-=-⎨⎬⎨⎬++⎩⎭⎩⎭⎰. ()22,1(1)()()0,Z Z z z f z F z ⎧≥⎪'+==⎨⎪⎩其他. (3)10112ln 222X X x E E dx Y X x ⎛⎫⎛⎫==⋅=-+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎰.。