2016考研数学（一）真题完整版
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若反常积分
()
11b
a
dx x x +∞
+⎰
收敛，则（ ）
()()()()11111111
A a b
B a b
C a a b
D a a b <>>><+>>+>且且且且
（2）已知函数()()21,1
ln ,1
x x f x x x -<⎧⎪=⎨
≥⎪⎩，则()f x 的一个原函数是（ ）
()()()()()()()()()()()()()()()()22
22
1,11,1
ln 1,1ln 11,1
1,11,1
ln 11,1ln 11,1x x x x A F x B F x x x x x x x x x x x C F x D F x x x x x x x ⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨
-≥+-≥⎪⎪⎩⎩⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨
++≥-+≥⎪⎪⎩⎩
（3）若(
)
(
)2
2
2
211y x y x =+-=++是微分方程()()y p x y q x '+=的两
个解，则()q x =（ ）
()()()()
()
()222
2
313111x
x A x x B x x C D x x +-+-
++
（4）已知函数(),0111
,,1,2,1
x x f x x n n n n ≤⎧⎪
=⎨<≤=⎪+⎩，则（ ）
（A ）0x =是()f x 的第一类间断点 （B ）0x =是()f x 的第二类间断点 （C ）()f x 在0x =处连续但不可导 （D ）()f x 在0x =处可导 （5）设A ，B 是可逆矩阵，且A 与B 相似，则下列结论错误的是（ ） （A ）T
A 与T
B 相似 （B ）1A -与1
B -相似 （
C ）T
A A +与T
B B +相似 （D ）1
A A -+与1
B B -+相似
（6）设二次型()2
2
2
123123121323,,444f x x x x x x x x x x x x =+++++，则()123,,2f x x x =在
空间直角坐标下表示的二次曲面为（ ）
（A ）单叶双曲面 （B ）双叶双曲面 （C ）椭球面 （C ）柱面
（7）设随机变量(
)()0,~2
>σσ
μN X ，记{}2
σμ+≤=X P p ，则（ ）
（A ）p 随着μ的增加而增加 （B ）p 随着σ的增加而增加 （C ）p 随着μ的增加而减少 （D ）p 随着σ的增加而减少 （8）随机试验E 有三种两两不相容的结果321,,A A A ，且三种结果发生的概率均为
3
1，将试验E 独立重复做2次，X 表示2次试验中结果1A 发生的次数，Y 表示2次试验中结果2A 发生的次数，则X 与Y 的相关系数为（ ）
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．
指定位置上. （9）()__________cos 1sin 1ln lim
2
00
=-+⎰→x dt t t t x
x
（10）向量场()()zk xyj i z y x z y x A ++++=,,的旋度_________=rotA
（11）设函数()v u f ,可微，()y x z z ,=由方程()()y z x f x y z x ,12
2
-=-+确定，则
()_________
1,0=dz
（12）设函数()2
1arctan ax
x
x x f +-
=，且()10''=f ，则________=a （13）行列式
10001
0014
3
21
λλλ
λ--=-+____________. （14）设12,,...,n x x x 为来自总体()2
,N
μσ的简单随机样本，样本均值9.5x =，参数μ的
置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8，则μ的置信度为0.95的双侧置信区间为______.
三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题．．纸．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分10分）已知平面区域()(),221cos ,2
2D r r π
πθθθ⎧⎫
=≤≤+-
≤≤
⎨⎬⎩
⎭
，
计算二重积分
D
xdxdy ⎰⎰.
（16）（本题满分10分）设函数()y x 满足方程''
'
20,y y ky ++=其中01k <<.
()I 证明：反常积分0
()y x dx +∞
⎰收敛；
()II 若'
(0)1,(0)1,y y ==求0
()y x dx +∞
⎰的值.
（17）（本题满分10分）设函数(,)f x y 满足
2(,)
(21),x y f x y x e x
-∂=+∂且(0,)1,t
f y y L =+是从点(0,0)到点(1,)t 的光滑曲线，计算曲线积分(,)(,)
()t
L f x y f x y I t dx dy x y
∂∂=
+∂∂⎰
，并求()I t 的最小值
（18）设有界区域Ω由平面222=++z y x 与三个坐标平面围成，∑为Ω整个表面的外侧，计算曲面积分()
zdxdy
ydzdx dydz x
I 3212
+-+=
⎰⎰∑
（19）（本题满分10分）已知函数()f x 可导，且(0)1f =，1
0'()2
f x <<，设数列{}n x 满足1()(1,2...)n n x f x n +==，证明： （I ）级数
1
1
()n n n x
x ∞
+=-∑绝对收敛；
（II ）lim n n x →∞
存在，且0lim 2n n x →∞
<<.
（20）（本题满分11分）设矩阵1112221,11112A a B a a a --⎛⎫⎛⎫
⎪
⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝
⎭
当a 为何值时，方程AX B =无解、有唯一解、有无穷多解？
（21）（本题满分11分）已知矩阵011230000A -⎛⎫
⎪
=- ⎪ ⎪⎝⎭
（I ）求99
A
（II ）设3阶矩阵23(,,)B ααα=满足2
B BA =，记100
123(,,)B βββ=将123,,βββ分别表
示为123,,ααα的线性组合。
（22）（本题满分11分）设二维随机变量(,)X Y 在区域()
{2
,01,D x y x x
y =<<<<上服从均匀分布，令
1,0,X Y
U X Y
≤⎧=⎨>⎩
