薄板弯曲问题的有限元法

第五章薄板弯曲问题有限元法第一节薄板弯曲问题的有关概念一、基本概念1．薄板的定义：薄板是由上下两个平行的表面所构成的片状结构，其间距称为板厚。

同时，定义等分板厚的面为中面，当中面为平面时，称为平板，当中面为曲面时则称为壳体。

2．挠度; 板结构在承受横向载荷（弯矩、扭矩和横向剪力）作用下，发生弯扭而使薄板中面上各个点沿垂直中面方向发生的横向变形称为挠度，记为w。

3．薄板的两类问题：（1）平面应力板问题，载荷作用于板面内—（薄膜单元）；在拉、压力和面内切力作用下，板内将产生薄膜内力，从而使板产生面内变形。

（2）薄板弯曲问题：其特点为：a) 几何尺寸：板的厚度远较长与宽的几何尺寸为小(一般厚度与板面最小尺寸之比小于1/5-1/10)；（否则称为厚板）b) 载荷条件：结构仅承受垂直于板中面的横向载荷作用。

c) 小挠度条件；即挠度与板厚之比值较小，一般为w/t ≤1/5。

研究薄板弯曲问题时，通常以未变形的板的中面为xoy平面，厚度方向为z轴方向，3．板的一般问题：一般情况下，板既可承受横向载荷作用，也可同时承受平行于板中面的膜载荷作用。

(1) 薄板：在小挠度情况下，当两种载荷同时作用时，可认为两种变形互不影响，因此膜载荷的作用可按平面应力问题进行处理，而横向载荷的作用则按薄板弯曲问题来分析，两种问题引起的薄膜内力和弯曲内力的叠加便是一般载荷综合作用的结果。

（2）厚板：当1<w／t<5时为大挠度板,w／t≥5时为特大挠度板。

在大挠度情况下，薄板面内变形和弯扭变形之间将相互影响，即横向载荷也可能产生膜内力和面内变形，而膜载荷也可能产生弯曲内力和弯曲变形。

这时描述薄板变形的数学方程是非线性的，应采用更复杂的理论分析方法。

二．薄板弯曲问题求解的假设：（克希霍夫假设）1．法线假设垂直板中面的法线在板变形后仍垂直于弯曲的挠曲面，且法线线段没有伸缩，板的厚度无变化。

这样，垂直于中面的正应变便可忽略，即εz=0根据几何方程，可得因此挠度只是x,y的函数，表示为w=w(x,y)，也即薄板中面上法线的各点都有相同位移。

101第三章 弹性平板弯曲问题弹性薄板在工程中应用很广。

对于一些比较简单的清况，如等厚、单跨、无大孔口、外形规则（矩形、圆形等）的薄板，已有一些理论解答及表格可资利用。

但对于在工程中经常出现的复杂情况，如变厚度、多垮度、大孔口、外形不规则以及受到弹性梁、柱支承的薄板，理论方法是无能为力的，现在利用有限单元法，可迅速求解。

由于板壳结构在几何上有一个方向的尺度比其它两个方向小的多的特点，在结构力学中引入了一定的假设，使之简化为二维问题。

这种简化不仅是为了便于用解析法求解，而且从数值求解角度考虑也是必要的。

这可以使计算费用得到很大的缩减，同时可以避免因求解系数矩阵的元素间相差过大而造成的困难。

按位移法求解薄板弯曲问题时，在相邻单元的公共边界上，不但要求挠度w 连续，而且要求w 的一阶导数连续。

但要做到这一点是很不容易的。

因此，在薄板弯曲的有限单元中，除了按位移求解的协调单元外，杂交单元和混合单元也颇受重视，后来又发展了挠度和转动分别独立插值的曲边板单元，效果较好。

第一节 弹性薄板的弯曲在受到垂直于板面的荷载后，薄板将产生弯曲。

如果板的挠度w 与其厚度相比是比较小的，在分析板的弯曲问题时可采用下列假定：（1）可忽略板厚度方向的正应力，并假定薄板的厚度没有变化， （2）薄板的法线，在产生弯曲后，仍保持为薄板弹性曲面的法线。

（3）薄板中面上的各点，没有平行于中面的位移。

利用上述假定，板的全部应力和应变分量都可用板的挠度w 表示。

取板的中面为xy 面，z 轴垂直于中面，如图 1.l 所示。

x图1.1由第（1）个假定可知0z w zε∂==∂ 从而可得w ＝w （x ，y ），也就是说，薄板中面每一法线上的所有各点都有相同的位移w 。

由第（2）假定，薄板弯曲后，板的法线与弹性曲面在x 方向或y 方向的切线都保持互相垂直，没有剪应变，即0yz γ=，0zx γ=，也就是1020v wz y∂∂+=∂∂，0w u x z ∂∂+=∂∂ 由上式可知v w z y∂∂=-∂∂， u w z x ∂∂=-∂∂ （a ） 但由w ＝w （x ，y ）可知w x ∂∂和wy∂∂都是不随z 变化，由式（a ）对z 积分，得 2(,)wv zf x y y∂=-+∂， 1(,)w u z f x y x ∂=-+∂ （b ） 式中，1(,)f x y 和2(,)f x y 是任意函数。

第五章薄板弯曲问题机场学院2011/11/21CAUCCAUC两个平行面和垂直于这两个平行面的柱面或棱柱面所围成的物体，称为平板，简称为板。

bhyxzCAUCCAUC垂直于板面——平板弯曲问题byxzCAUCCAUC1、小变形假设：虽然板很薄，但它的挠度远小于板的厚度。

byxz)(0==z u 0)(0==z v 因为：2、板中面各点都没有平行于中面的位移，只发生弯曲变形。

x u x ∂∂=εy v y ∂∂=εyu x v xy ∂∂+∂∂=γ所以：0)(0==z x ε0)(0==z y ε0)(0==z y x γCAUC CAUC3、沿板的厚度方向挤压变形忽略不计。

byxz=∂∂=zw z ε所以：),(y x w w =在薄板中面的任一根法线上，薄板全厚度内的所有各点都具有相同的挠度。

CAUCCAUC保持在挠曲面法线上。

byxz应力分量：zx τzy τzσ远小于其余三个应力分量，其引起的形变忽略不计。

0=zx γ0=zx γ0=∂∂+∂∂xw z u 0=∂∂+∂∂yw z v 即：等价于：这样=∂∂=z w z ε0=zx γ0=zx γ中面法线不伸缩，仍为变形后曲面的法线CAUC CAUCxyxy x y y y x x EEE τµγµσσεµσσε)1(2)(1)(1+=−=−=薄板弯曲与平面应力问题有相同的物理方程。

CAUCCAUC1、几何方程byxz0=∂∂+∂∂x w z u 0=∂∂+∂∂y w z v xw z u ∂∂−=∂∂y w z v ∂∂−=∂∂),(2y x f z yw v +∂∂−=),(1y x f z xwu +∂∂−=0)(0==z u 0)(0==z v 因为：),(),(21==y x f y x fCAUCCAUCzxu ∂−=zyv ∂−=zxwx u x 22∂∂−=∂∂=εzyw y v y 22∂∂−=∂∂=εz yx w y u x v xy∂∂∂−=∂∂+∂∂=22γ221xw x ∂∂−=ρ221ywy ∂∂−=ρyx wxy ∂∂∂−=221ρ令：xx zρε=yy z ρε=xyxyz ργ=得：CAUCCAUCw y x y x xy y x ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂−=⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨=⎭⎬⎫⎩⎨⎧222221111ρρρρ{}w y x y x z xy y x ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂−=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=222222γεεε写成列阵形式：应变列阵：CAUCCAUCxyxy x y y y x x EEE τµγµσσεµσσε)1(2)(1)(1+=−=−=xyxy x y y y x x EEE γµτµεεµσµεεµσ)1(2)(1)(122+=+−=+−={}w y x y x z xy y x ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂−=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=222222γεεεyx w Ez x w y w Ez y wx w Ez xy y x ∂∂∂+−=∂∂+∂∂−−=∂∂+∂∂−−=222222222221)(1)(1µτµµσµµσCAUCCAUCyx w Ez xw y w Ez yx xyy x ∂∂∂+−=∂∂+∂∂−−=∂+∂−−=2222222221)(1)(1µτµµσµµσ其它几项应力：w yh z E w xh z E zy zx22222222)4()1(2)4()1(2∇∂∂−−=∇∂∂−−=µτµτw hz h z Eh z 4223)1()21()1(6∇+−−−=µσCAUCCAUC在薄板的上表面有：qh z z −==2)(σ得：q w Eh =∇−423)1(12µ令：)1(1223µ−=Eh D qw D =∇42、微分方程CAUCCAUC xyab边界条件：0)(,0)(0)(,0)(0)(,0)(0)(,0)(220220220220=∂∂==∂∂==∂∂==∂∂=========b y b y y y a x a x x x xww x ww x ww x w w qw D =∇4微分方程：四边简支矩形薄板的重三角级数解答——纳维叶解法CAUCCAUC设重三角级数解为：b yn a x m A w m n mn ππsinsin 11∑∑∞=∞==代入微分方程：qb yn a x m A b n am D m n mn =+∑∑∞=∞=πππsin sin )(1122224b yn a x m C q m n mn ππsinsin 11∑∑∞=∞==将),(y x q q =也展成重三角级数：CAUCCAUC222226)(16bn a m Dmn q A mn +=π（m=1,3,5, m=1,3,5, ………… n=1,3,5, n=1,3,5, …………）∑∑∞=∞=+=...5,3,1,...5,3,12222260)(sin sin 16m n bn a m mn b yn a x m D q w πππ得挠度的表达式：CAUC CAUC荷代替q ，得：dxdyP q =b n a m bn a m abD P dxdy b n a m dxdy P b n a m abD A mn ηπξππηπξππsin sin )(4sin sin )(4222224222224+=+=CAUC CAUC集中载荷作用下的简支矩形板挠度表达式：b y n a x m bn a m b m a m abD P w m n ππηπξππsin sin )(sin sin 411222224∑∑∞=∞=+=M x yxzM y{}[]zDxyyx⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=ρτσσσ1zdzMhhxx∫−=22σ1、弯曲应力zdzMhhyy∫−=22σzdzMhhxyxy∫−=22τCAUC CAUCCAUC CAUC{}zdzM M M M h xy y x ∫−=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=22}{σ完成积分：⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=ρρ1][1][12}{3D D hM ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−=21000101)1(12][23µµµµEh DCAUCCAUC2b2ayxzlmn kw θ yθ x（1）节点位移单元任一节点有三个位移分量：{}⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂−∂∂=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=i i i yi xi i i x w y w w w )()(θθδ{}{}Tyk xk k ynxn n ymxm m yl xl li w w w w θθθθθθθθδ={}{}T T kT nT mTli δδδδδ=CAUCCAUC31231131029283726524321xya y x a y a xy a y x a xa y a xy a x a y a x a a w +++++++++++=写成矩阵形式：{}a xy yx yxyyx xy xy xy xw ]1[33322322=或：{}a y x M w )],([=CAUCCAUC{}a xy yx yxy yx xy xy xy xw ]1[33322322={}a xy xyxy xy x yw x ]332020100[2322=∂∂=θ{}a y y x y xy xy x xw y ]302302010[3222−=∂∂−=θCAUC CAUC⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣=⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎨654310000110000001a a a a y x y x y x y x v u v u n nn n m m m m n n m m {}[]{}a A e=δ[]{}[][]{}a A A A e 11−−=δ{}[]{}eA a δ1−=[]{}[][]{}{}eey x N A y x M a y x M w δδ)],([),(),(1===−A[][]k nm lN N N N y x N =),(形函数CAUCCAUC⎥⎥⎦⎤⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−++⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=111,111,21181][2222222222222222a x x b y y a x x x b y y b y y a x x y b y a x b y y a x x b y y a x x N i i i i i i i i ii i i i （i ＝l ，m ，n ，k ）单元刚度阵：ee xy y x B N y x y x w y x y x }]{[}]{[2211112222222222δδρρρρ=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂−=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂−=⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧CAUCCAUC][][k n m l B B B B B =单元内力：eB D M }]{][[}{δ=[][][][]dxdy B D B k Ts ee∫=单元刚度阵：[]{}{}Q K =δ整体方程：。

薄板弯曲问题的有限元求解1.问题描述如图所示，已知悬臂矩形薄板，其几何尺寸为20m×10m×1m,左边固定，右上角节点上作用有向下垂直于板中面的集中载100N。

材料的弹性模量为Ex=300GPa,泊松比μ=0.3，求薄板的位移、应力及固定端反力。

2.分析步骤（1）进入Ansys（设定工作目录和工作文件）；（2）设置计算类型为Structural；（3）选择单元类型shell63，选择与厚度有关，在Real constants中定义厚度参数为1；（4）定义材料参数弹性模量为EX:3e11;泊松比PRXY：0.3；（5）建立几何模型生成节点和单元。

此题结构简单，受力也简单，因此可用4个单元来分析。

首先创造节点，节点的坐标是：1（0，0，1）2（0，5，1）3(0,10,1) 4(10,0，1) 5(10,5,1) 6(10,10,1) 7(20,0,1) 8(20,5,1) 9(20,10,1)，操作如下：GUI：Preprocessor>Modeling>Create>Nodes>In Active CSGUI：Preprocessor>Modeling>Create>Elements>AutoNumbered>ThruNodes，逆时针方向依次连接这几个点形成4个4节点四边形单元（6）施加载荷与约束加载与施加边界条件板的左边完全被固定，其自由度为0；右边第9节点施加了一个垂直方向的集中力（7）求解 （8）查看结果 1）变形结果可得最大变形为51011.0-⨯m 2）查看节点位移3）查看等效应力可以看出3节点受最大应力1248Pa，节点7所受应力最小。

4）查看节点力及力矩可以看出节点1、2、3既受到Z轴的集中力又受到X、Y的弯矩。

节点9只受外载作用。

3.如果将例题中的受力作如下图的改变，则此时单元的计算应为薄壳问题。

按照前面的计算方法可得出节点的线位移、角位移及力和力矩。

薄板弯曲问题的有限元法一、 薄板弯曲问题的基本方程什么是薄板？薄板就是指厚度t 远小于其长度、宽度的板。

1. 三个基本假设（克希霍夫假设）： (1) 法线假设，εz =0,γyz =γzx =0 (2) 正应力假设，σz <<σx ,σy ,τxy (3) 小挠度假设，w<t/4根据假设，可以得到位移分量()()()()()(),,,,,,,,,,, x y z u x y z z x x y z v x y z z y x y z x y ωωωω∂⎧=-⎪∂⎪∂⎪=-⎨∂⎪⎪=⎪⎩式4-1图 1 薄板弯曲后某点B 的位移2. 应变分量{}222222x y z x z y x y ωεωεεεω⎧⎫∂-⎪⎪∂⎪⎪⎧⎫⎪⎪∂⎪⎪⎪⎪==-⎨⎬⎨⎬∂⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎪⎪∂-⎪⎪∂∂⎪⎪⎩⎭式4-23. 曲率{}222222x y z x y x y ωχωχχχω⎧⎫∂-⎪⎪∂⎪⎪⎧⎫⎪⎪∂⎪⎪⎪⎪==-⎨⎬⎨⎬∂⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎪⎪∂-⎪⎪∂∂⎪⎪⎩⎭式4-3 22=x x ωχ∂-∂——薄板弹性曲面在x 方向的曲率22=y yωχ∂-∂——薄板弹性曲面在y 方向的曲率2=z x yωχ∂-∂∂——薄板弹性曲面在x 方向和y 方向的扭率4. 应力分量与应变分量间的关系：{}[]{}2222222222221 11D Ez xy Ez x y Ez x y σεωωμμωωμμωμ=⎧⎫⎛⎫∂∂-+⎪⎪ ⎪-∂∂⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎛⎫∂∂⎪⎪=-+⎨⎬ ⎪-∂∂⎝⎭⎪⎪⎪⎪∂⎪⎪--∂∂⎪⎪⎩⎭式4-4 5. 线力矩{}()2222222101012110022x y z x M Et M M y M x y ωμωμμμω⎧⎫∂-⎪⎪⎡⎤∂⎪⎪⎢⎥⎧⎫⎪⎪⎢⎥∂⎪⎪⎪⎪==-⎨⎬⎨⎬⎢⎥∂-⎪⎪⎪⎪⎢⎥-⎩⎭⎪⎪⎢⎥∂⎣⎦-⎪⎪∂∂⎪⎪⎩⎭式4-5a广义应力与广义应变之间的关系式{}[]{}D M χ= 式4-5b式中：[D]—薄板弯曲问题的弹性矩阵6. 薄板弯曲问题的基本方程（双调和方程）()32222222121Et p xx y y ωωωμ⎛⎫∂∂∂++= ⎪∂∂∂∂-⎝⎭ 式4-6()32121Et μ-——薄板弯曲刚度 二、 矩形薄板单元分析 1、矩形薄板单元图 2 矩形薄板单元2、位移函数22123456322333789101112 a a x a y a x a xy a y a x a x y a xy a y a x y a xy ω=+++++++++++ 式4-73、形状函数[]{}k i i xi xi yi yi j j xj xj yj yj k kxk xk yk y l l xl xl yl yl N N N N N N N N N N N N N q ωωθθωθθωθθωθθ=+++++++++++= 式4-8式中：i,j,k,l ——节点号N i ，N xi ，N yi ，……，N yl ——形状函数()()()()()()()()()()2211128N 111 ,,,8111 8y i i i i i xi i i iyi i i i b N i i j h l N a x a b ξξηηξξηηξηηξξηηηξξξηηξξη⎧⎫++++--⎪⎪⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪=-++-=⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎪⎪++-⎪⎪⎩⎭==， 式4-94、单元刚阵[][][][]S K TB D B dxdy =⎰ 式4-10式中：[]22222222222222222222 2222yi yl i xiyi yl ixi yi yl i xi N N N N x x x x N N NN B y y y y N N N N x yx yx yx y ⎡⎤∂∂∂∂⎢⎥∂∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂=⎢⎥∂∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂∂∂∂∂⎣⎦式4-11 5、节点力与节点位移的关系式{}[]{}F K q = 式4-12三、 三角形薄板单元分析1、三角形薄板单元当薄板具有斜交边界或曲线边界时，可采用三角形单元较好地反映边界形状。

第三章 薄板弯曲的变分原理及有限元素法3.1 基本问题基本认识：板作为承力的结构元件，主要通过弯曲起作用。

如果垂直于板面的挠度与板的厚度相比很小的话1<<Hw，则由弯曲而引起的板中面的拉伸作用就可以忽略不及，这是所谓的小挠度问题，一般认为4.0<H w以下。

反之，Hw越大，弯曲引起的中面拉伸的影响越来越大，就不能忽略不计，导致所谓大挠度问题。

除板的弯曲变形之外，还伴随有剪切变形，剪切作用的影响一方面取决于材料的剪切模量，另一方面取决于厚度/跨度（l H ）之比，即横向剪切随l H 的增大而增大。

通常把不考虑剪切作用（横向剪应变无穷大）的板理论叫做薄板理论，把考虑剪切作用的板理论叫做厚板理论。

本章仅考虑小挠度薄板问题。

基本假设：取板的中面为xy 平面，取z 轴与y x ,轴垂直，设板的厚度为h ，可以是()y x ,的函数。

① 变形假设：变形前垂直于中面的直线段在变形后没有伸缩，并且继续垂直变形后的中面。

由此得： ② 内力假设：板内应力的6个分量的大小不是同一量级，一般xy y x τσσ,,最大，yz xz ττ,约小一个量级，而z σ又小一个量级；在静力学分析中，0=z σ。

控制方程（内力平衡方程及物理方程）① 由弹性力学方法，对于均质材料构成的薄板，应力分量yz xz xy y x τττσσ,,,,可用5个内力()()()()()y x Q y x Q y x M y x M y x M y x xy y x ,,,,,,,,,表示，即：x x zM h 312=σ y y zM h 312=σ xy xyzM h 312=τ （矩定义为单位宽度上的矩） Note ：上述的弯距及剪力代表单位宽度上的，而不是整个板侧面的。

② 用内力表示的平衡方程：0=+∂∂+∂∂p yQ x Q yx ()y x p p ,= 分布的横向载荷 在薄板理论中，内力y x Q Q ,不产生应变，因而也不做功，可在以后的分析中不计算它们，在上式中消去y x Q Q , 即得：③ 几何关系： ④ 物理关系：（各向同性体）点应力应变关系：⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧xy y x xy y x v v v v E εεετσσ2100010112内力与应变关系：注意： ()v E G +=12 ()23112v Eh D -=⑤ 单位面积上的应变能及余应变能（密度）应变能密度（曲率作为自变量）变分：[]xy xy y y x x k M k M k M U δδδδ2++= ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂=x w x k x (单位长度上转角的变化) ∴ x x k UM ∂∂=y y k U M ∂∂= xyxy k U M ∂∂=21（这也是一种物理关系） 代入关于内力矩的物理关系，有：注意：上式中都是关于曲率的二次项，而且从物理上对于任意的曲率U >0，故U 称为正定的二次齐次函数。

变分原理与有限元素法课程报告报告名称：薄板弯曲问题的有限元分析姓名：学号：导师：专业：2015.5.15目录1.问题描述 (3)2.理论基础 (3)2.1矩形薄板弯曲单元 (3)2.1.1挠度函数 (3)2.1.2单元刚度矩阵 (5)2.2四边简支矩形板的纳维叶解法 (5)3.有限元模型 (6)4.结果与分析 (7)4.1均布载荷作用下四边简支板 (7)4.2集中载荷作用下四边简支板 (8)4.2均布载荷作用下四边固支板 (9)4.2集中载荷作用下四边固支板 (10)4.5总结 (11)1.问题描述一块方板，边长为L，厚度为t（51/801≤≤t L ），材料为铝，分别用不同密度的四节点12个自由度的矩形单元来划分网格。

要求：考虑四边简支和四边固支两种边界情况，分别计算受均匀载荷q 和在板中心处受集中载荷P 两种载荷情况下，板的中心挠度max ω(不超过板厚t 的1/5)，进而计算出不同情况下的方板的中心挠度系数；将计算出的系数与精确解进行比较，通过比较发现不同有限元网格密度对薄板弯曲问题计算结果的影响。

本例中，方板边长L=40mm，厚度t=1mm，铝的弹性模量E=70GPa，泊松比3.0=μ，粗略计算当q=0.1MPa 或者P=50N 时，板中心挠度小于板厚的1/5，属于小挠度弯曲，因此载荷可取这两个值。

2.理论基础2.1矩形薄板弯曲单元2.1.1挠度函数薄板弯曲单元中比较简单的是四节点12个自由度的矩形单元，将矩形薄板沿坐标方向划分为若干矩形单元，如图1所示，每个单元设有四个节点，每个节点位移有三个分量：挠度w，绕x 轴的转角y w x ∂∂=/θ，绕y 轴的转角x w y ∂-∂=/θ，即)4,3,2,1()/()/(}{=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∂∂-∂∂=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=i x w y w w w i i i yi xi i i ϕϕδ图1单元的节点位移为TT T T Te ]}{}{}{}{[}{4321δδδδδ=节点荷载为)4,3,2,1(}{=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=i M M V F yi xi i i 单元的节点荷载为TT T T Te F F F F F ]}{}{}{}{[}{4321=取位移函数为31231131029283726524321xy y x y xy y x x y xy x y x w αααααααααααα+++++++++++=在位移函数中，前三项包含了单元的刚体位移状态，二次项代表了单元的均匀应变状态。

具有压电材料薄板弯曲控制的有限元法本文旨在聚焦于压电材料薄板弯曲控制的有限元法，以探讨以有限元法实现薄板弯曲控制的机理、技术、计算过程及其应用场景。

首先，本文介绍了压电材料的基本理论和特性，并简要介绍了有限元法的基本概念，特别是薄板弯曲的有限元模型。

其次，本文结合压电材料的基本理论与有限元模型，给出了实现薄板弯曲控制的有限元法的基本原理、计算过程及其应用场景，并结合实例分析了实现薄板弯曲控制的有限元法的应用效果。

最后，本文结合近期论文研究成果，对未来实现薄板弯曲控制的有限元法的发展方向进行了展望。

压电材料是一类具有非常特殊的力学性能的材料，因其可以在电场作用下发生形变而被广泛应用于航空航天领域、机械领域以及智能制造等领域。

压电材料的特定力学性能主要表现为介电常数和形变行为之间存在着对应的压电应力压电效应，当外加电压发生变化时，压电材料的形变行为也会发生变化。

有限元法是一种通过将连续体构件划分成若干个有限元素，根据定义好的有限元模型将复杂的力学场作用转换为节点间的力学问题，以解决有关结构力学问题的数值模拟方式。

在应用有限元法分析压电材料的弯曲控制时，可以利用有限元模型快速准确地求解出复杂的表面形变和内部应力分布，从而能够更好地分析、控制压电材料的薄板弯曲控制。

需要注意的是，在利用有限元法分析薄板弯曲控制时，除了要考虑压电材料的本身性能外，还需要合理考虑外加电势场作用，以及压电材料与其它实体材料器件的结合效应等因素，以达到有效地控制压电材料的薄板弯曲。

此外，利用有限元法分析压电材料的薄板弯曲控制时，还需要考虑压电材料的结构形状、尺寸、厚度以及其它影响其特性的参数，以精确地模拟出真实情况，从而更好地控制压电材料的薄板弯曲行为。

随着节能减排、环保等政策的深入实施，利用压电材料薄板弯曲控制的有限元法，可以开发出更加高效、更加精细的薄板弯曲控制系统，以应对更加复杂的需求，如机械制造精度控制、结构优化设计等。

第五章薄板弯曲问题有限元讲义第五章薄板弯曲问题有限元法第⼀节薄板弯曲问题的有关概念⼀、基本概念1．薄板的定义：薄板是由上下两个平⾏的表⾯所构成的⽚状结构，其间距称为板厚。

同时，定义等分板厚的⾯为中⾯，当中⾯为平⾯时，称为平板，当中⾯为曲⾯时则称为壳体。

2．挠度; 板结构在承受横向载荷（弯矩、扭矩和横向剪⼒）作⽤下，发⽣弯扭⽽使薄板中⾯上各个点沿垂直中⾯⽅向发⽣的横向变形称为挠度，记为w。

3．薄板的两类问题：（1）平⾯应⼒板问题，载荷作⽤于板⾯内—（薄膜单元）；在拉、压⼒和⾯内切⼒作⽤下，板内将产⽣薄膜内⼒，从⽽使板产⽣⾯内变形。

（2）薄板弯曲问题：其特点为：a) ⼏何尺⼨：板的厚度远较长与宽的⼏何尺⼨为⼩(⼀般厚度与板⾯最⼩尺⼨之⽐⼩于1/5-1/10)；（否则称为厚板）b) 载荷条件：结构仅承受垂直于板中⾯的横向载荷作⽤。

c) ⼩挠度条件；即挠度与板厚之⽐值较⼩，⼀般为w/t ≤1/5。

研究薄板弯曲问题时，通常以未变形的板的中⾯为xoy平⾯，厚度⽅向为z轴⽅向，3．板的⼀般问题：⼀般情况下，板既可承受横向载荷作⽤，也可同时承受平⾏于板中⾯的膜载荷作⽤。

(1) 薄板：在⼩挠度情况下，当两种载荷同时作⽤时，可认为两种变形互不影响，因此膜载荷的作⽤可按平⾯应⼒问题进⾏处理，⽽横向载荷的作⽤则按薄板弯曲问题来分析，两种问题引起的薄膜内⼒和弯曲内⼒的叠加便是⼀般载荷综合作⽤的结果。

（2）厚板：当1⼆．薄板弯曲问题求解的假设：（克希霍夫假设）1．法线假设垂直板中⾯的法线在板变形后仍垂直于弯曲的挠曲⾯，且法线线段没有伸缩，板的厚度⽆变化。

这样，垂直于中⾯的正应变便可忽略，即εz=0根据⼏何⽅程，可得因此挠度只是x,y的函数，表⽰为w=w(x,y)，也即薄板中⾯上法线的各点都有相同位移。

2．正应⼒假设在平⾏于中⾯的截⾯上，应⼒分量ζz、τzx及τyz远⼩于其他三个应⼒分量，可忽略不计。

3．⼩挠度假设板中⾯只发⽣弯曲变形⽽没有⾯内变形，即中⾯内各点没有平⾏于中⾯的位移，表⽰为：在这些假设前提下，薄板的位移、应变和应⼒都可⽤挠度w表⽰。