离散系统的系统函数,系统的频率响应

式。
4、正弦型序列
x(n) sin(n )
要求：会判断正弦型序列的周期性
四、正弦序列的周期性
x(n) sin(n ) 的周期有三种情况：
2 1 、 N 是整数，则x(n)是周期序列，周期为N；
2 P 2、 是有理数，（其中P、Q为互质整数)， Q
则x(n)是周期序列，周期为P；
m
x ( m) h ( n m)

上式中，若序列x(n)和h(n)的长度分别是M和L,
则y(n)的长度为L+M-1。
三、几种常用序列 1、单位抽样序列δ(n) （1）定义式
1 (n 0) ( n) 0 (n 0)
1 (n m) ( n m) 0 (n m)
n
1.2 线性、移不变（LSI）系统 一、线性系统： 若y1(n)=T[x1(n)]、y2(n)=T[x2(n)]， 则a1 y1(n)+ a2y2(n)=T[a1x1(n)+ a2x2(n)]
例：判断下列系统是否线性系统。
y(n)=x(n)+1 y(n)=x(n+5) y(n)=x(3n)
二、移不变系统：
当n<0时，h(n)=0，则系统是因果系统。
例：下列单位抽样响应所表示的系统是否因果系统? A.h(n)=δ(n) C.h(n)= R10(n) B.h(n)=u(n) D.h(n)=e-20nu(n)
五、稳定系统 1、稳定系统的定义： 稳定（BIBO）系统是指当输入有界时，输出也有界的系统。 例：判断下列系统是否稳定系统。 y(n)=x(n-2)
二、掌握用留数法求Z反变换的方法
例：已知
X( z) 1 (1 2 z 1 )(1 1.2 z 1 )

Bi最短，则频率响应在该 点可能出现峰值。 • 若 极 点 pi 越 靠 近 单 位 圆 ， Bi愈 短 ， 则 频 率 响 应 在 峰
值附近愈尖锐；
• 若
极
点
p
落
i
在
单
位
圆
上
，
B
＝i 0，
则
频
率
响
应
的
峰
值
趋于无穷大。
• 零 点 的 作 用 与 极 点 相 反 。
X
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第
小结
页
1. 系统的频响特性 HejHzzejωHejωejω Hej：幅~ω频特性，输出与输入序列的幅度之比
统的频率响应特性: ：相频特性，输出对输入序列的相移
10 离散时间系统的
频率响应特性
二系．统频 对响不特同性频的率几的何输确入定，法产生不同的加j权，这就是系统的频率响应特性。
He Hz He e 通过本征函数透视系统的频响特性
jω
ze 离散系统（数字滤波器）的分类
jω jω
He ~ω ：幅频特性 因为 是周期为 的周期函数，所以系统的频响
输出对输入序列的相移 体现了系统对信号的处理功能。
正弦稳态（正弦序列作用下系统的稳态响应） 由系统函数得到频响特性
•H e即 h (n )的 DTF T 离：散相系 频统特频性响，特输j性出ω 的对定输义入序列的相移
特性 为周期为 的周期函数。
为输入序列的加权，
二输．出• 频 与e 响输j特入ω 性序为 的列几的何幅确度定之法比 周期H 函 ejω为 数周 ，期 所函 以 2 π。 数
ω：~ω相频特性，输出对输入序列的相移
2.系统的频率响应就是系统函数在单位圆上的动态，

n =−∞
对比其z变换的收敛域定义：∑ h ( n ) z − n < ∞ 结论2：稳定 系统的系统函数H(z)的Roc须包含单位圆，即 须包含单位圆， 结论 ：稳定(LSI)系统的系统函数 系统的系统函数 的 须包含单位圆 频率响应存在且连续。 频率响应存在且连续。
n =−∞
∞
（3）因果稳定系统： ）因果稳定系统： 综合上述两条件： 综合上述两条件： 一个LSI系统是因果稳定系统至少应满足： 系统是因果稳定系统至少应满足： 一个 系统是因果稳定系统至少应满足
3.8 离散系统的系统函数、系统频率响应
LSI系统的系统函数H(z)： 系统的系统函数 单位抽样响应h(n)的z变换 系统的系统函数 ： ∞ Y ( z) −n H ( z ) = ZT [h ( n )] = ∑ h ( n ) z = X ( z) n =−∞ 其中：y(n)=x(n)*h(n) Y(z)=X(z)H(z)
1 y (n ) = 2π
∫π
−
π
H ( e jω ) X ( e jω )e jω n d ω
1 π X (e jω )e jωndω 其中：x(n) = 2π ∫−π
，可看出序列x(n)可表示成
1 jω jω n 复指数微分分量： X ( e )e dω 的叠加。 2π
又系统对复指数微分分量的响应为：
系统函数：
2）由于系统为因果稳定系统， 1 故收敛域： z > 2
−1/ 3
0
0.5 Re[ z ] 1 0.25
3) 对H(z)求z反变换即得单位抽样响应h(n)，用部分分式法
的负幂， ①消去z的负幂，便于求解： 消去 的负幂 便于求解：
1 1 −1 1+ z z + z 3 3 H (z) = = 1 1 1 −1 1 −1 1 − z 1 − z z − z − 2 4 2 4 1 z+ H (z) A1 A2 3 = = + 1 1 1 1 z z− z− z − z − 2 4 2 4

例4：求序列 x(n) a u (n)的Z变换及收敛域。
n
解： X ( z )
n
n n n n 1 n a u ( n ) z a z ( az ) n 0 n 0



1 az 1 (az 1 ) 2 (az 1 ) n
1 — 64
Z -
-2
-3 1 —— Z 256
1 -3 —— Z 256
...
极点分为：实极点、复极点 若为复极点必然是共轭极点，必然是成对出现
例：
z 1 z z X ( z) 2 1 2 1 z z z z 1 ( z 1 )2 ( 3 j)2 2 2
因为D(z)的系数是实数，所以复极点必然成对出现
§2.3
z变换性质1
一、线性: Z[a x (n)+a x (n)]=a Z[x (n)]+a Z[x (n)]
1 1 2 2 1 1 2 2
二、时移： Z[x(n)]=X(z)
Z[x(n-m)]=z-m· X(z)
意义：z-1：单位延迟器
z变换性质2
三、时域卷积：
x(n) h(n) y(n)
|a|<|z|<1/|a|
双边序列的收敛域是左边序列和右边序列z变换的 公共收敛区间。
课本P27表2.1
z nu(n) ~ ( z 1) 2
作业2.1(2)(6)
z 2 sin z sin(0 ) sin(n0 )u (n) ~ z 2 2 z cos0 1 sin z 1 sin(0 ) 1 2 z 1 cos0 z 2
z z 1 z z X ( z) 2 z 4 z 3 ( z 1)(z 3) 2 z 1 z 3