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同济大学数字信号处理课件第二章6离散系统的系统函数系统的频率响应

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数字信号处理课件ppt

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| rws (k ) |2
2 w
1 dz 1 C Sss ( z) H opt ( z)S xs ( z ) z 2πj
通过前面的分析, 因果维纳滤波器设计的一般方法可以按 下面的步骤进行：
(1) 根据观测信号x(n)的功率谱求出它所对应的信号模型的
传输函数，即采用谱分解的方法得到B(z)。 S xs ( z) (2) 求 B( z 1 ) 的Z反变换，取其因果部分再做Z变换，即 S xs ( z ) 舍掉单位圆外的极点，得 B( z 1 ) (3) 积分曲线取单位圆，应用（2.3.38）式和（2.3.39）式，计 算Hopt(z), E［|e(n)|2］min。
1 ˆ' rxx (m) N
N |m|1

n 0
x ( n ) x ( n m)
平稳随机序列通过线性系统：
y (n)
k
h( k ) x ( n k )
k

m y E[ y (n )]
h(k ) E[ x(n k )]
k

ryy (m)
m0

k=0, 1, 2, …
利用白化x(n)的方法求解维纳-霍夫方程:
x(n)=s(n)+υ (n)
H(z) (a)
ˆ y ( n) s ( n)
x(
x(n)
1 B( z )
w(n)
G(z) (b)
ˆ y ( n) s ( n)
x(
图2.3.5 利用白化x(n)的方法求解维纳-霍夫方程
D (m)
2 x
rxx (m)
2 x (m)

数字信号处理第2章

数字信号处理第2章

Z变换与拉氏变换的关系:
这一关系实际上是通过 到了Z平面。
若将Z平面用极坐标表示
标表示
，代入
将S平面的函数映射
，S平面用直角坐 ，得：
上述关系表明： z 的模 r 仅与 s 的实部 相对应， z 的幅角 则仅与 s 的虚部 对应。
映射关系：
Z变换与拉氏变换的关系
0 0,2 (S平面实轴映射到Z平面的正实轴)
解：
，求它的傅立叶变换。
其幅度谱和相位谱分别为：
典型例题
❖ 例2 已知序列的傅立叶变换如下，求它的反变换。
解：
显然序列 h(n)不是绝对可和的，而是平方可和 的 ，但其依然存在傅立叶变换。 Parseval定理
典型例题
❖ 例3 证明复指数序列 x(n) e j0n 的傅立叶变换为：
证：根据序列的傅立叶反变换定义，利用冲击函 数 的性质，有：
即序列绝对可和
某的有 立些序些叶既列序变不，列换满若虽依足引然然绝入不存对频满在可 域足。和的以见的冲上后条击条例件函件。也数，不但满满，足足其平平傅方方立可可叶和和变条，换件其傅
也存在。如
、某些周期序列，见后例。
序列傅立叶变换的定义
5．常用序列的傅立叶变换
序列
(n)
傅立叶变换
1
1
典型例题
❖ 例1 已知
A形k(式k=求0,X取1(…：z),N)B，(此z) A( z )
时
为了方bi 便z i通常利用
i0
N
1 ai z i
X(z)/z的
i 1
若序列为因果序列，且N≥M，当X(z)的N个极点都是单
极点时，可以展开成以下的部分分式的形式：
则其逆Z变换为：

数字信号处理DSP第二章6 离散系统的系统函数、系统的频率响应

数字信号处理DSP第二章6 离散系统的系统函数、系统的频率响应
a M 1 x ( n M 1)
M 1 k 0
a k x (n k )
这就是M 1个单元延时及M 个抽头加权后 相加所组成的电路，常称之为横向滤波器， 求其频率响应。
2013-8-8
数字信号处理
解：令x ( n ) ( n )，两边取z变换 H ( z)
六 、离散系统的系统函数、 系统的频率响应
LSI系统的系统函数H(z)： 单位抽样响应h(n)的z变换
H ( z ) ZT [h ( n )]

n
h(n ) z
n
Y ( z) X ( z)
其中：y(n)=x(n)*h(n)
Y(z)=X(z)H(z)
2013-8-8
数字信号处理
H ( e j ) ： 系统的频率响应
单位圆上的系统函数 单位抽样响应h(n)的Fourier变换
H (e j ) H ( z )
z e j
DTFT [h(n )]
2013-8-8
数字信号处理
1、因果稳定系统
1）因果： Rx z 2）稳定： 序列h(n)绝对可和，即 而h(n)的z变换的Roc：
M
a z
k k 0

k
1 ak z
k 1
m 0 N
bm z m
k
M
IIR系统：至少有一个 ak 0
全极点系统：分子只有常数项 b0 零极点系统：分子不止常数项 b0
FIR系统：全部 ak 0 收敛域 0 z 内无极点，是全零点系统
2013-8-8 数字信号处理
例：一系统的极点有： 0.2e
j / 4
, 0.2e
j / 4

数字信号处理第二章--离散时间信号与系统的频域分析ppt课件

数字信号处理第二章--离散时间信号与系统的频域分析ppt课件

而
.
2
X(ej)ejmd x(n)2(nm)
n
2x(m)
x(n)1 X(ej)ejnd
2
序列傅 里叶变
换对
X(ej) x(n)ejn n
x(n)21 X(ej)ejnd
.
正变换
反变换
3
例:试求矩形序列 RN (n) 的傅里叶变换
解：
N 1
X(ej) RN(n)ejn e j n
1X(ej w )1x*(n)ejn
2
2n
1X(ejw )1
x*(n)ejn
2
2n
1X(ej w )1[
x(n)ejn]
2
2n
1X(ejw)1X*(ejw)
2
2
XR(ejw)
.
14
C)实因果序列h(n)的对称性 因为h(n)是实序列，其FT只有共轭对称部分He(ejω),共轭反对称
部分为零。 即:H(ejω)=He(ejω)=H*(e-jω)
n
M为整数
因此序列的傅里叶变换是频率ω的周期函数，周期是2π。
由于FT的周期性，一般只分析-π~+π或0~2π之间的FT
2. 线性
设 X 1(ej)F T[x1(n)],X2(ej)F T[x2(n)], 那么 F T[ax1(n)bx2(n)]aX 1(ej)bX2(ej)
.
6
3. 时移与频移 设X(e jω)=FT［x(n)］， 那么
则 Y(ej) 1 X(ej)H(ej)
2
1 X(ej)H[ej()]d
2
证明:
Y(ej)F[Ty(n)] x(n)h(n)ejn
n
x(n)[1H (ej)ejnd]ejn

离散系统的系统函数和频率响应-PPT课件

离散系统的系统函数和频率响应-PPT课件
离散系统的系统函数和频率响应频率响应函数传递函数频率响应什么是频率响应函数系统的频率响应系统频率响应离散函数传递函数离散化matlab传递函数离散化matlab离散传递函数
离散系统的系统函数和频率响应
Y ( z ) 系统函数： H ( z ) FT [ h ( n )] X ( z )
频率响应： H(e ) 单位圆上的系统函数(传输函数)
零点矢量
H (e ) Ae
j
j(N M)
(e (e
r 1 r 1 N
M
相量相减的 矢量几何表 示法:从Cr 单位圆上的 e^jw
j
c r) dr )
极点矢量
j
位于原点的零极点不影响 | H(e ) | 只影响 ( )
j
H (e ) A
j
cB
r r 1 N r
j
H ( e) H ( z ) | j z e
j
1、零极点分布对系统因果、稳定性的影响： 稳定性：
n
|h(n) |
n

n
| h ( n ) z
| , z 1
（稳定的系统收敛域包括单位圆）
离散系统稳定的充分必要条件是： The ROC of H(z) contain the unit circle(单位圆)
block-diagram realization sample processing
e
filter design specifications
2.7 Pole/Zero Designs
设某一离散因果稳定系统有一对共轭复数极点。
p 1 R e
z-plane
j 0
p 2 R e

数字信号处理及应用第2章时域离散信号和系统的频域分析

数字信号处理及应用第2章时域离散信号和系统的频域分析

为求系数 a ~x(n) k
，
将上式两边乘以
e

j 2 N
mn
，
并对n在一个周期N中求和：
~ x(n)e [ ae ]e [ a]e N 1
n0
j2mnN 1N 1 j2kn j2mnN1 N1
N
N
N
k
k
n0k0
n0 k0
j2(km)n
?21 2[X(ej)X*(ej)] jXI(ej)
x(n)xe(n)xo(n)
X ( e j ) X R ( e j ) jI X ( e j )
X (ej) X e(ej) X o(ej)
§2.2 序列的傅立叶变换
X (ej)X e(ej)X o(ej)
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
通信与信息工程学院 数字信号处理教学团队
Jean Baptiste Joseph Fourier 与傅立叶变换
Jean Baptiste Joseph Fourier生于 1768年3月21日法国奥克斯雷 （Allxerre）。
傅立叶级数的提出和完善 1807年 1829年
0,
n0 0,
n0
例2.2.3
序列的傅立叶变换性质：
6. 频域卷积定理 y(n)x(n)h(n)
Y(ej) 1 X(ej)Hej
2
1 X(ej)H(ej())d
2
7.时域卷积定理
y(n)x(n)*h(n)
Y ( e j ) X ( e j ) H e j
x(t)cos2(fct0),
f110Hz,10ra;d
fc 10Hz,0 0rad
f215Hz,2/3rad

数字信号处理 程佩青 PPT第二章




1

= a n z n a n z n
n 1 n 0

az a z 1 az n 1
n n

az 1 z 1/ a
az 1 1 z a
a z
n 0

n n
1 1 az 1
当 a 1时，无公共收敛域，X( z )不存在
则
d ZT [nx ( n )]
若
ZT [ x (n )] X ( z ) Rx z Rx
则
ZT [ x* (n)] X * ( z* )
Rx z Rx
6、翻褶序列
若
ZT [ x (n )] X ( z ) Rx z Rx
其z变换：X ( z )
n

0
x(n ) z n x(n ) z n
n 1
n2
前式Roc: 0 z Rx
j Im[ z ]
后式Roc: z 0
当n2 0时，Roc : 0 z Rx 当n2 0时，Roc : 0 z Rx
Roc :
za
0
a
零点：z 0 极点：z a
Re[ z ]
例4：求x ( n ) a ，a为实数，求其z变换及其收敛域
n
解：X(z)= x(n ) z n = a z n = a n z n a n z n
n n n n n 0
1）有限长序列
x(n ) n1 n n2 x(n) 其它n 0
其Z变换：X ( z ) x(n ) z n
n n1 n2

数字信号处理课件第2章时域离散信号和系统的频域分析


h(n)=he(n)+ho(n) he(n)=1/2［h(n)+h(-n)］ ho(n)=1/2［h(n)-h(-n)］ 因为h(n)是实因果序列， 按照上面两式he(n)和 ho(n)可以用下式表示：
h(o), n 0
he (n)
1 h(n), n 0 2 1 h(n), n 0 2
(2.2.27)
x*(-n) = xe(n) - xo(n)
利用(2.2.16)和(2.2.17)两式， 得到
xe (n)
1 2
[x(n)
x(n)]
xo (n)
1 2
[x(n)
x(n)]
-[-x*o(-n) ] (2.2.17)
(2.2.18) (2.2.19)
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
利用上面两式， 可以分别求出xe(n)和xo(n)。 对于频域函数X(ejω)也有和上面类似的概念和结论：
式中
X (e j ) FT [xr (n)] xr (n)e jn
n
X o (e j ) FT [ jxi (n)] j xr (n)e jn
n
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
上面两式中， xr(n)和xi(n)都是实数序列， 容 易证明Xe(ejω)满足(2.2.21)式， 具有共轭对称性， 它的实部是偶函数， 虚部是奇函数。 Xo(ejω)满足 (2.2.22)式， 具有共轭反对称性质， 其实部是奇函 数， 虚部是偶函数。
最后得到结论： 序列分成实部与虚部两部分， 实部对称的FT具有共轭对称性， 虚部和j一起对应 的FT具有共轭反对称性。
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
(b) 将序列分成共轭对称部分xe(n)和共轭反对称部分 xo(n) ，即

数字信号处理第二章

数字信号处理第二章第二章离散系统的频域分析与系统结构学习重点★掌握Z变换的定义，性质，反变换的求法。

★掌握常用的Z变换并理解收敛域的含义。

★掌握序列傅里叶变换(FT)的定义和性质。

★掌握离散系统的变换域分析方法。

★理解Z变换与傅里叶变换的关系。

★理解系统函数和频率响应的定义和关系。

★掌握系统特性与系统函数的关系。

★掌握IIR和FIR系统结构流图的画法。

2.1 引言离散系统的分析方法通常分为时域分析和变换域分析两大类。

其中，时域分析法一般是采用直接解差分方程或者利用线性卷积的方法来求系统的响应，该部分内容在本书前文有所交代，此处不再赘述，本章将重点讲述离散系统的变换域分析方法，这是另一种很常见的系统分析方法，在实际中有很广泛的应用。

变换分析方法通常又分为频域分析和Z域分析法。

本章前半部分我们将着重学习序列傅里叶变换和Z变换的相关内容，以及基于Z变换的离散系统Z域分析法。

Z变换作为序列傅里叶变换的推广，在系统分析中占据着重要地位，这是因为在系统分析中引入Z变换和Z域分析后，可以把离散系统的差分方程转换为代数方程，使求解过程大大简化。

另一方面，作为单位脉冲响应的Z变换，系统函数的零极点在Z平面的分布也完整的刻画了系统的稳定性和因果性。

因此，序列傅里叶变换，Z变换及其性质是本章的核心内容，是变换域分析的重要数学手段，读者应熟练理解和掌握。

本章后半部分将重点介绍如何根据系统的差分方程和系统函数，画出离散系统的多种结构流图。

尽管同样的一个系统可以用不同的结构流图去实现，但不同的系统结构图代表着不同的系统算法，不同的算法直接影响系统的运算速度，误差和系统的复杂程度，因此研究实现信号处理的算法和结构是信号分析中一个重要问题。

这一部分我们将介绍不同的系统流图结构，分析各自的优缺点，从而为离散系统的具体物理实现提供了依据和方法。

2.2 序列Z 变换的定义和收敛域 1. Z 变换定义：Z 变换（简称为Z T ）是一种常用的数学变换,根据求和下限的不同取值，又分为双边和单边两种，其中序列的双边Z 变换定义如下：设()x n 为任意序列，则（2-2-1）称为序列()x n 的双边Z 变换。

数字信号处理04-课件 第二节_2：离散LTI系统响应的分析_8


yzs[k ] x[k ] h[k ] x[n ]h[k n ]
n
[1 (1
2)n ]u[n](1
3)kn u[k
n]
k
[1
n0
(1
2)n ](1
3)kn , k
0
n
0,
k0
[3 2 3 2(1 3)k 3(1 2)k ]u[k]
序列卷积和的工程应用
输入信号x[k]
离散LTI系统 H
0
0.5
h=[1/8,1/8,1/8,1/8 1/8 1/8 1/8 1/8]
-0.5
0
1
2
3
4
5
4
x 10
0
-1
-0.5
0
0.5
1
序列卷积和的工程应用
MATLAB程序代码：
[y, fs] = wavread('E:\y.wav'); time = (1:length(y)) / fs;figure; plot(time,y); h = [1/8, 1/8, 1/8, 1/8, 1/8, 1/8, 1/8, 1/8]; x = deconv(y, h); wavplay(x, fs); time = (1:length(x)) / fs; figure; plot(time, x); wavwrite(x,fs,‘E:\x_new.wav’);
n
离散时间LTI系统的零状态响应是输入信号与系统单位脉冲
响应的卷积，此揭示了信号与系统在时域相互作用的机理。
[例] 已知某离散时间LTI系统的单位脉冲响应h[k]=(1/3)ku[k] ， 输入序列x[k]=[1(1/2)k]u[k]，试求系统零状态响应yzs[k]。
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H (e j ) H (z) ze j DTFT [h(n)]
2019/8/31
信号处理
1、因果稳定系统
1）因果： Rx z
2）稳定：

序列h(n)绝对可和，即 h(n)
n

而h(n)的z变换的Roc： h(n)zn
n
稳定系统的系统函数H(z)的Roc须包含单位圆，
z
2019/8/31
z1
2


z

1 2


z
信号处理

z1 3
1 2

z

1 4
z1 2

10 3
A2

H z
Res
z
z1
4


z

1
4


z

z1 3
1 2

z

1 4
z1
Y (z) 3 z1Y (z) 1 z2Y (z) X (z) 1 z1X (z)
4
8
3
系统函数： H(z) Y (z)
X (z) 1
1 1 z1 3
3 z1 1 z2 48

1
1 2
1 1 z1 3
z
1

1

1 4
z
1

k 0
m0
N
M
ak zkY (z) bm zm X (z)
k 0
m0
则系统函数
M
bm zm
H (z)

Y
(z)
/
X
(z)

m0 N
ak zk
k 0
2019/8/31
信号处理
M
(1 cm z1)
K
m1 N
(1 dk z1)
k 1
例：已知离散LSI系统的差分方程：
FIR系统：全部 ak 0 收敛域 0 z 内无极点，是全零点系统
2019/8/31
信号处理
M
N
y(n) bm x(n m) ak y(n k)
m0
k 0
IIR系统：至少有一个ak 0 有反馈环路，采用递归型结构
FIR系统：全部 ak 0 无反馈环路，多采用非递归结构
即频率响应存在且连续
3）因果稳定：Roc： 1 z
H(z)须从单位圆到 的整个z域内收敛
即系统函数H(z)的全部极点必须在单位圆内
2019/8/31
信号处理
例：一系统的极点有：
0.2e j / 4 , 0.2e j / 4 , 0.4, 2e j /6 , 2e j /6 , 1.5 问什么情况下，系统为因果系统，
2
其中： x(n) 1 X (e j )e jnd
2
微分增量（复指数）： 1 X (e j )e jnd 2
2019/8/31
信号处理
4、频率响应的几何确定法
利用H(z)在z平面上的零极点分布
M
M
(1 cm z1)
(z cm )
H(z)
m1
k 1
2019/8/31
信号处理
零点位置影响凹谷点的位置与深度
– 零点在单位圆上，谷点为零 – 零点趋向于单位圆，谷点趋向于零
极点位置影响凸峰的位置和深度
– 极点趋向于单位圆，峰值趋向于无穷 – 2019/8/31 极点y(n) x(n) ay(n 1) a 1，a为实数

7 3
4
10 z 7 z
H (z)

3 z
1

z
3 1
24
根据Roc : z 1，查表2-1得 2
h(n)

10

3

1 2
n


7 3

1 4
n

u
n
2019/8/31
信号处理
3、系统的频率响应的意义
1）LSI系统对复指数序列的稳态响应：
输出同频 0 正弦序列
幅度受频率响应幅度 H (e j ) 加权 相位为输入相位与系统相位响应之和
2019/8/31
信号处理
3）LSI系统对任意输入序列的稳态响应
y(n) x(n)*h(n) Y (e j ) X (e j ) H (e j )
y(n) 1 H (e j ) X (e j )e jnd
2019/8/31
信号处理
1 a cos
2019/8/31
信号处理
例：设系统的差分方程：
y(n) x(n) ax(n 1) a2x(n 2) ...
M 1
aM 1x(n M 1) ak x(n k )
k 0
这就是M 1个单元延时及M 个抽头加权后
求系统的频率响应。
解：两边求z变换，得 Y(z) 1
H (z) X (z) 1 az1
za
h(n) anu(n)
H
(e
j
)

1
1 ae
j

1
(1 a cos)
ja sin
幅度响应： H (e j ) (1 a2 2a cos )1/2
相位响应： arg[H (e j )] arctan a sin
K
m1 N
Kz( N M )
m1 N
(1 dk z1)
(z dk )
k 1
k 1
频率响应：
M
(e j cm )
H (e j ) Ke j( N M )
m1 N
H (e j ) e j arg[H (e j )]
(e j dk )
k 1
2019/8/31
信号处理


z

1 3

z
1

1 2
z
1

1

1 4
z
1


z

1 2


z

1 4

H
z
z


z

z

1 3


1 2


z

1 4


z
A1 1
2

z
A2 1
4
H z
A1 Res
y(n) 3 y(n 1) 1 y(n 2) x(n) 1 x(n 1)
4
8
3
其中：x(n)为输入，y(n)为输出。
1）求系统函数，指出系统的零极点；
2）若该系统是因果稳定的，指出系统的收敛域；
3）求该因果稳定系统的单位抽样响应。
2019/8/31
信号处理
解：1）对差分方程两边取z变换：
零点：z 1 , 0 极点：z 1 , 1
3
24
j Im[z]
2）由于系统为因果稳定系统， 故收敛域： z 1 2
1/ 3
0.5 Re[z]
0 0.25 1
2019/8/31
信号处理
3) 对H(z)求z反变换即得单位抽样响应h(n)，
用部分分式法
H z
1 1 z1 3
1
极点：z 0， (M 1)阶，z a处零极点相消
当输入为 (n)，则输出为h(n)
an 0 n M 1
h(n) 0
其它n
2019/8/31
信号处理
2019/8/31
信号处理
5、IIR系统和FIR系统
无限长单位冲激响应（IIR）系统： 单位冲激响应h(n)是无限长序列
x(n) e jn n


y(n) h(m)e j (nm) e jn h(m)e jm
m
m
e jn H (e j )
2019/8/31
信号处理
2）LSI系统对正弦序列的稳态响应
x(n) Acos(0n ) y(n) A H (e j0 ) cos{0n arg[H (e j0 )]}
有限长单位冲激响应（FIR）系统： 单位冲激响应h(n)是有限长序列
2019/8/31
信号处理
M
M
bm zm
bm zm
H (z)

m0 N
m0 N
ak zk 1 ak zk
k 0
k 1
IIR系统：至少有一个 ak 0
全极点系统：分子只有常数项 b0 零极点系统：分子不止常数项 b0
2019/8/31
信号处理
令 cm e j cm me jm
dk e j dk lke jk
则频率响应的
M
m
幅度：
H (e j ) K
m1 N
lk
幅角：
k 1
M
N
arg[H (e j )] arg[K ] m k (N M )
相加所组成的电路，常称之为横向滤波器，
求其频率响应。
2019/8/31
信号处理
解：令x(n) (n)，两边取z变换
M 1
H(z) akzk
k 0

1
a 1
M zM az 1

zM aM zM 1(z a)