第八章离散系统作业答案

⾃控控制原理习题王建辉第8章答案第⼋章8-1 离散数据系统由哪些基本环节组成？8-2 离散数据系统中A\D 、D\A 转换器的作⽤是什么？ 8-3 离散数据系统与连续数据系统有什么区别和联系？ 8-4 ⾹农采样定理的意义和作⽤是什么？8-5 脉冲传递函数是怎么定义的？它与传递函数有什么区别和联系？求解过程中要注意哪些问题？8-6 离散系统稳定的条件是什么？8-7 离散系统的稳定性与什么因素有关？ 8-8 采⽤周期对系统的稳定性有没有影响？ 8-9 采样系统的稳态误差怎样求解？8-10 设计最少拍系统的⽬的、原则是什么？ 8-11 求下列函数的z 变换。

（1）at e t f --=1)( （2）f(t)=coswt （3）at te t f -=)( （4）f(k)=a k 8-12 证明下列关系式（1）Z[))(()]([是采样周期T z e F t f e Z at at ±= ] （2）)()](t [z F dzdTzt f Z -= 8-13 求下列函数的z 变换。

（1）F(s)= 21s（2）F(s)=)2)(1()3(+++s s s（3）F(s)=2)2(1+s （4）F(s)=)2(+s s k（5）F(s)=)(a s enTs+-(T 是采样周期)8-14 求下列函数的z 反变换。

（1）F(s)=))(1()1(T Te z z e z -----（2）F(s)=)2()1(2--z z z （3）F(s)=22)1()1(-+z z z（4）F(s)=222)1()1(2+-z z z8-15 ⽤z 变换⽅法求解下列差分⽅程，结果以f(k)表⽰（1）f(k+2)+2f(k+1)+f(k)=u(k)f(0)=0,f(1)=0,u(k)=k(k=0,1,2……)（2）f(k+2)-4f(k)=cosk πf(0)=1,f(1)=0,u(k)=k(k=0,1,2……)（3）f(k+2)+5f(k+1)+6f(k)=cos 2πkf(0)=0,f(1)=1,u(k)=k(k=0,1,2……)8-16 已知某采样系统的输⼊输出差分⽅程为x c (k+2)+3x c (k+1)+4x c (k)=x r (k+1)-x r (k) x c (1)=0,x c (0)=0,x r (1)=1,x r (0)=1试求该系统的脉冲传递函数Xc(z)/Xr(z)和脉冲响应。

·185·第8章 时域离散系统的实现本章学习要点第8章研究数字信号处理系统的实现方法。

数字信号处理系统设计完成后得到的是该系统的系统函数或者差分方程，要实现还需要设计一种具体的算法，这些算法会影响系统的成本以及运算误差等。

本章介绍常用的几种系统结构，即系统算法，同时简明扼要地介绍数字信号处理中的量化效应，最后介绍了MA TLAB 语言中的滤波器设计和分析工具。

本章学习要点如下：(1) 由系统流图写出系统的系统函数或者差分方程。

(2) 按照FIR 系统的系统函数或者差分方程画出其直接型、级联型和频率采样结构，FIR 线性相位结构，以及用快速卷积法实现FIR 系统。

(3) 按照IIR 系统的系统函数或者差分方程画出其直接型、级联型、并联型。

(4) 一般了解格型网络结构，包括全零点格型网络结构系统函数、由FIR 直接型转换成全零点格型网络结构、全极点格型网络结构及其系统函数。

(5) 一般了解如何用软件实现各种网络结构，并排出运算次序。

(6) 数字信号处理中的量化效应，包括A/D 变换器中的量化效应、系数量化效应、运算中的量化效应及其影响。

(7) 了解用MA TLAB 语言设计、分析滤波器。

8.5 习题与上机题解答8.1 已知系统用下面差分方程描述311()(1)(2)()(1)483y n y n y n x n x n =---++- 试分别画出系统的直接型、级联型和并联型结构。

差分方程中()x n 和()y n 分别表示系统的输入和输出信号。

解：311()(1)(2)()(1)483y n y n y n x n x n --+-=+- 将上式进行Z 变换，得到121311()()()()()483Y z Y z z Y z z X z X z z ----+=+ 112113()31148z H z z z ---+=-+ (1) 按照系统函数()H z ，画出直接型结构如图S8.1.1所示。

第8 章 习题解答8.1 图8.6 中,(1)所示的图为,3,1K (2) 所示的图为,3,2K (3)所示的图为,2,2K 它们分别各有不同的同构形式.8.2 若G 为零图,用一种颜色就够了,若G 是非零图的二部图,用两种颜色就够了.分析 根据二部图的定义可知,n 阶零图(无边的图)是三部图(含平凡图),对n 阶零图的每个顶点都用同一种颜色染色,因为无边,所以,不会出现相邻顶点染同色,因而一种颜色就够用了.8.3 完全二部图,,s r K 中的边数rs m -.分析 设完全二部图s r K ,的顶点集为V, 则∅==2121,V V V V V ,且,||,||21s V r V ==s r K ,是简单图,且1V 中每个顶点与2V 中所有顶点相邻,而且1V 中任何两个不同顶点关联的边互不相同,所以,边数rs m -.8.4 完全二部图s r K ,中匹配数},min{1s r =β,即1β等于s r ,中的小者. 分析 不妨设,s r ≤且二部图s r K ,中,,||,||21s V r V ==由Hall 定理可知,图中存在1V 到的完备匹配,设M 为一个完备匹配,则1V 中顶点全为M 饱和点,所以,.1r =β8.5 能安排多种方案,使每个工人去完成一项他们各自能胜任的任务.分析 设},,{1丙乙甲=V ,则1V 为工人集合, },,{2c b a V =,则2V 为任务集合.令}|),{(,21y x y x E V V V 能胜任== ,得无向图>=<E V G ,,则G 为二部图,见图8.7 所示.本题是求图中完美匹配问题. 给图中一个完美匹配就对应一个分配方案.图8.7 满足Hall 定理中的相异性条件,所以,存在完备匹配,又因为,3||||21==V V 所以,完备匹配也为完美匹配.其实,从图上,可以找到多个完美匹配. 取)},(),,(),,{(1c b a M 丙乙甲=此匹配对应的方案为甲完成a,乙完成b, 丙完成c,见图中粗边所示的匹配. )},(),,(),,{(c a b M 丙乙甲=2M 对应的分配方案为甲完成b,乙完成a,丙完成c.请读者再找出其余的分配方案.8.6 本题的答案太多,如果不限定画出的图为简单图,非常容易地给出4族图分别满足要求.(1) n (n 为偶数,且2≥n )阶圈都是偶数个顶点,偶数条边的欧拉图.(2) n (n 为奇数,且1≥n )阶圈都是奇数个顶点,奇数条边的欧拉图.(3) 在(1) 中的圈上任选一个顶点,在此顶点处加一个环,所务图为奇数个顶点,偶数条边的欧拉图.分析 上面给出的4族图都是连通的,并且所有顶点的度数都是偶数,所以,都是欧拉图.并且(1),(2) 中的图都是简单图.而(3),(4)中的图都带环,因而都是非简单图. 于是,如果要求所给出的图必须是简单图,则(3),(4)中的图不满足要求.其实,欧拉图是若干个边不重的图的并,由这种性质,同样可以得到满足(3),(4)中要求的简单欧拉图.设k G G G ,,,21 是长度大于等于3的k 个奇圈(长度为奇数的圈称为奇圈),其中k 为偶数,将1G 中某个顶点与2G 中的某顶点重合,但边不重合, 2G 中某顶点与3G 中某顶点重合,但边不重合,继续地,最后将1-k G 中某顶点与k G 中某顶点重合,边不重合,设最后得连通图为G,则G 中有奇数个顶点,偶数条边,且所有顶点度数均为偶数,所以,这样的一族图满足(4)的要求,其中一个特例为图8.8中(1)所示.在以上各图中,若k G G G ,,,21 中有一个偶圈,其他条件不变,构造方法同上,则所得图G 为偶数个顶点,奇数条边的简单欧拉图,满足(3)的要求,图8.8中(2)所示为一个特殊的情况.8.7 本题的讨论类似于8.6题,只是将所有无向圈全变成有向圈即可,请读者自己画出满足要求的一些特殊有向欧拉图.8.8 本题的答案也是很多的,这里给出满足要求的最简单一些图案,而且全为简单图.(1) n (3≥n )阶圈,它们都是欧拉图,又都是哈密尔顿图.(2) 给定k (2≥k )个长度大于等于3的初级回路,即圈k G G G ,,,21 ,用8.6题方法构造的图G 均为欧拉图,但都不是哈密尔顿图,图8.8给出的两个图是这里的特例.(3)n (4≥n )阶圈中,找两个不相邻的顶点,在它们之间加一条边,所得图均为哈密尔顿图,但都不是欧拉图.(4) 在(2)中的图中,设存在长度大于等于4的圈,比如说1G ,在1G 中找两个不相邻的相邻顶点,在它们之间加一条新边,然后用8.6题方法构造图G,则G 既不是欧拉图,也不是哈密尔顿图,见图8.9所示的图.分析 (1) 中图满足要求是显然的.(2)中构造的图G 是连通的,并且各顶点度数均为偶数,所以,都是欧拉图,但因为G 中存在割点,将割点从G 中删除,所得图至少有两个连通分支,这破坏了哈密尔顿图的必要条件,所以,G 不是哈密尔顿图.(3) 中构造的图中,所有顶点都排在一个圈上,所以,图中存在哈密尔顿回路,因而为哈密尔顿图,但因图中有奇度顶点(度数为奇数的顶点),所以,不是欧拉图. 由以上讨论可知,(4) 中图既不是欧拉其实,读者可以找许多族图,分别满足题中的要求.8.9 请读者自己讨论.8.10 其逆命题不真.分析 若D 是强连通的有向图,则D 中任何两个顶点都是相互可达的,但并没有要求D 中每个顶点的入度都等于出度. 在图8.2 所示的3个强连通的有向衅都不是欧拉图.8.11 除2K 不是哈密尔顿图之外, n K (3≥n )全是哈密尔顿图. n K (n 为奇数)为欧拉图. 规定1K (平凡图)既是欧拉图,又是哈密尔顿图.分析 从哈密尔顿图的定义不难看出,n 阶图G 是否为哈密尔顿图,就看是否能将G 中的所有顶点排在G 中的一个长为n 的初级回路,即圈上. n K (3≥n )中存在多个这样的生成圈(含所有顶点的图), 所以n K (3≥n )都是哈密尔顿图.在完全图n K 中,各顶点的度数均为n-1,若n K 为欧拉图,则必有1-n 为偶数,即n 为奇数,于是,当n 为奇数时, n K 连通且无度顶点,所以, n K (n 为奇数) 都是欧拉图.当n 为偶数时,各顶点的度数均为奇数,当然不是欧拉图.8.12 有割点的图也可以为欧拉图.分析 无向图G 为欧拉图当且仅当G 连通且没有奇度顶点.只要G 连通且无奇度顶点(割点的度数也为偶数),G 就是欧拉图.图8.8所示的两个图都有割点,但它们都是欧拉图.8.13 将7个人排座在圆桌周围,其排法为.abdfgeca分析 做无向图>=<E V G ,,其中,},,,,,,{g f e d c b a V =},|),{(有共同语言与且v u V v u v u E ∈=图G 为图8.10所示.图G 是连通图,于是,能否将这7个人排座在圆桌周围,使得每个人能与两边的人交谈,就转化成了图G 中是否存在哈密尔顿回路(也就是G 是否为哈密尔顿图).通过观察发现G 中存在哈密尔顿回路, abdfgeca 就是其8.14 用i v 表示颜色.6,,2,1, =i i 做无向图>=<E V G ,,其中},,,,,,{654321v v v v v v V =}.,,|),{(能搭配与并且且v u v u V v u v u E ≠∈=对于任意的)(,v d V v ∈表示顶点v 与别的能搭配的颜色个数,易知G 是简单图,且对于任意的V v u ∈,,均有633)()(=+≥+v d u d ,由定理8.9可知,G 为哈密尔顿图,因而G 中存在哈密尔顿回路,不妨设1654321i i i i i i i v v v v v v v 为其中的一条,在这种回路上,每个顶点工表的颜色都能与它相邻顶点代表的颜色相.于是,让1i v 与2i v ,3i v 与4i v ,5i v 与6i v 所代表的颜色相搭配就能织出3种双色布,包含了6种颜色.8.15∑=⨯======300321,10220)deg(.12)deg(,3)deg(,1)deg(,4)deg(i i R R R R R 而本图边数m=10.分析 平面图(平面嵌入)的面i R 的次数等于包围它的边界的回路的长度,这里所说回路,可能是初级的,可能是简单的,也可能是复杂的,还可能由若干个回路组成.图8.1所示图中,321,,R R R 的边界都是初级回路,而0R 的边界为复杂回路(有的边在回路中重复出现),即432110987654321e e e e e e e e e e e e e e ,长度为12,其中边65,e e 在其中各出现两次.8.16 图8.11中,实线边所示的图为图8.1中图G,虚线边,实心点图为它的对偶图的顶点数*n ,边数*m ,面数*r 分别为4,10和8,于是有分析 从图8.11还可以发现,G 的每个顶点位于的一个面中,且的每个面只含G 的一个顶点,所以,这是连通平面图G 是具有k 个连通分支的平面图2≥k ,则应有1*+-=k n r .读者自己给出一个非连通的平面图,求出它的对偶图来验证这个结论.另外,用图8.1还可以验证,对于任意的*v (*G 中的顶点),若它处于G 的面i R 中,则应有)deg()(*i R v d =.8.17 不能与G 同构.分析 任意平面图的对偶图都是连通的,因而与都是连通图,而G 是具有3个连通分支的非连通图,连通图与非连通图显然是不能同构的.图 8.12 中, 这线边图为图8.2中的图G,虚线边图为G 的对偶图,带小杠的边组成的图是*G 的对偶图,显然.~**G G ≠8.18 因为彼得森图中有长度为奇数的圈,根据定理8.1可知它不是二部图.图中每个顶点的度数均为3,由定8.5可知它不是欧拉图.又因为它可以收缩成5K ,由库拉图期基定理可知它也不是平面图.其实,彼得森图也不是哈密尔顿图图,这里就不给出证明了.8.19 将图8.4重画在图8.13中,并且将顶点标定.图中afbdcea 为图中哈密尔顿回路,见图中粗边所示,所以,该图为哈密尔顿图.将图中边),(),,(),,(d f f e e d 三条去掉,所得图为原来图的子图,它为3,3K ,可取},,{1c b a V =},,{2f e d V =,由库拉图期基定理可知,该图不是平面图.8.20 图8.14 所示图为图8.5所示图的平面嵌入.分析 该图为极大平面图.此图G 中,顶点数9=n ,边数.12=m 若G 是不是极大平面图,则应该存在不相邻的顶点,,v u 在它们之间再加一条边所得'G 还应该是简单平面图, 'G 的顶点数131,6''=+===n m n n ,于是会有.126313''=->=n m这与定理8.16矛盾,所以,G 为极大平面图.其实,n ( 3≥n )阶简单平面图G 为极大平面图当且仅当G 的每个面的次数均为3.由图8.14可知,G 的每个面的次数均为3,所以,G 为极大平面图.8.12 答案 A,B,C,D 全为②分析 (1) 只有n 为奇数时命题为真,见8.11的解答与分析.(2) 2≠n 时,命题为真,见8.11的解答与分析.(3) 只有m n ,都是偶数时,m n K ,中才无奇度数顶点,因而m n K ,为欧拉图,其他情况下,即m n ,中至少有一个是奇数,这时m n K ,中必有奇度顶点,因而不是欧拉图.(4) 只有m n =时, m n K ,中存在 哈密尔顿回路,因而为哈密尔顿图. 当m n ≠时,不妨设m n <,并且在二部图m n K ,中,m V n V ==||,||21,则n V m V G p =>=-||)(11,这与定理8.8矛盾. 所以, m n ≠时, m n K ,不是哈密尔顿图.8.22 答案 A:②;B ②;C ②.分析图8.15中,两个实边图是同构的,但它们的对偶力(虚边图)是不同构的.(2) 任何平面图的对偶图都是连通图.设G 是非连通的平面图,显然有.**~G G ≠ (3) 当G 是非连通的平面图时,,1*+-=k n r 其中k 为G 的连通分支数.8.23 答案 A:④;B ②;C ②.分析 根据库期基定理可知,所求的图必含有5K 或3,3K 同胚子图,或含可收缩成5K 或3,3K 的子图.由于顶点数和边数均已限定,因而由3,3K 加2条边的图可满足要求,由5K 增加一个顶点,一条边的图可满足要求,将所有的非同构的简单图画出来,共有4个,其中由3,3K 产生的有2个,由5K 产生的有2个.见图8.16所示.。

第八章 离散傅立叶变换8.1 假设()t x c 是一个周期的连续时间信号，其周期为1ms ，它的傅立叶级数为()()∑-=-=9910/23k kt j kc e a t x π. 对于9>k ，傅立叶系数k a 为零，以采样间隔s T 31061-⨯=对()t x c 采样得到[]n x ： []⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-6103n x n x c .(a) []n x 是周期的吗？如果是，周期为多少？(b) 采样率是否高于奈奎斯特采样率，也就是说T 是否充分小而且可以避免混叠？ (c) 利用k a 求出[]n x 的离散傅立叶级数系数。

解：（a ）[]∑∑-=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--996299610102333610k kn jkk n k j k c ea e a n x n x ππ而() 1,0,62662==+l ee kn jl n k jππ[][]l n x n x 6+=∴∴ []n x 是周期的，周期为6。

（b ）30102-=Ωπ而采样频率为03321012106122Ω>=⨯==Ω--πππT 所以T 足够小，而可以避免混叠。

（c ）[][]()()()∑∑∑∑∑∑-=---==-=--=-=--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==99335995062506299621011k k l k l lk n k l n j l n kn j l nl j l N n knNeea e a e e a w n x k X πππππ 8.2 设[]n x ~是一个周期为N 的周期序列，[]n x ~还是一个周期为3N 的周期序列。

令[]k X ~表示作为周期为N 的周期序列的[]n x ~的DFS 系数，[]k X ~3表示作为周期为3N 的周期序列的[]n x ~的DFS 系数。

(a) 用[]k X ~表示出[]k X ~3。

(b) 用公式计算[]k X ~和[]k X ~3，当[]n x ~为图P8.2中给定的序列时，证明你在(a)中得出的结果。

第八章 离散时间系统的变换域分析一、选择题1、一个因果稳定的离散系统，其H （z ）的全部极点须分布在z 平面的 BA 、单位圆外B 、单位圆内C 、单位圆上D 、单位圆内或单位圆上2、为使线性时不变因果离散系统是稳定的，其系统函数)(z H 的极点必须在z 平面的 AA 、单位圆内B 、单位圆外C 、左半平面D 、右半平面3、如果某离散时间系统的系统函数H(z)只有一个在单位圆上实数为1的单极点，则它的h(n)= A 。

A )(n uB )(n u -C )()1(n u n -D 14、已知Z 变换Z 1311)]([--=zn x ，收敛域3z >，则逆变换x(n)为 A 。

A 、)(3n u n B 、3(1)n u n - C 、)(3n u n -- D 、)1(3----n u n5、已知Z 变换Z 1311)]([--=z n x ，收敛域3<z ，则逆变换x(n)为（ D ） A )(3n u n B )(3n u n -- C )(3n u n -- D )1(3---n u n6、已知)(n x 的Ｚ变换)2)((1)(21++=z z z X ，)(z X 的收敛域为 C 时，)(n x 为因果信号。

A 、5.0||>z B 、5.0||<z C 、2||>z D 、2||5.0<<z7、已知)(n x 的Z 变换)2)(1(1)(++=z z z X ，)(z X 的收敛域为 C 时，)(n x 为因果信号。

A 、1||>zB 、1||<zC 、2||>zD 、2||1<<z8、)1()1()(---n u n n nu 的z 变换为（A ） A 11-z B )1(1-z z C 1-z z D 12-z z 9、如果序列)()(n u n x 的z 变换为11-+z z ，则)0(x 的值为（B ）A 0B 1C 2D 310、)1()1()(---n u n n nu 的z 变换为 A 。

第8章 习题参考答案1. 在一次10周年同学聚会上，想统计所有人握手的次数之和，应该如何建立该问题的图论模型？解：将每个同学分别作为一个节点，如果两个人握过一次手就在相应的两个节点之间画一条无向边，于是得到一个无向图。

一个人握手的次数就是这个节点与其他节点所连接的边的条数，进而可得出所有人握手的次数之和。

2. 在一个地方有3户人家，并且有3口井供他们使用。

由于土质和气候的关系，有些井中的水常常干枯，因此各户人家要到有水的井去打水。

不久，这3户人家成了冤家，于是决定各自修一条路通往水井，打算使得他们在去水井的路上不会相遇。

试建立解决此问题的图论模型。

解：将3户人家分别看做3个节点且将3口井分别看做另外3个节点，若1户人家与1口井之间有一条路，则在该户人家与该口井对应的节点之间连一条无向边，这样就得到一个无向图。

3. 某人挑一担菜并带一条狼和一只羊要从河的一岸到对岸去。

由于船太小，只能带狼、菜、羊中的一种过河。

由于明显的原因，当人不在场时，狼要吃羊，羊要吃菜。

通过建立图论模型给出问题答案。

解：不妨认为从北岸到南岸，则在北岸可能出现的状态为24=16种，其中安全状态有下面10种：（人，狼，羊，菜），（人，狼，羊），（人，狼，菜），（人，羊，菜），（Φ），（人，羊），（菜），（羊），（狼），（狼，菜）；不安全的状态有下面6种：（人）（人，菜）（人，狼）（狼，羊，菜）（狼，羊）（羊，菜）。

线将北岸的10种安全状态看做10个节点，而渡河的过程则是状态之间的转移，这样就得到一个无向图，如图8-1所示。

图8-1从上述无向图可以得出安全的渡河方案有两种：第1种：（人，狼，羊，菜）→（狼，菜）→（人，狼，菜）→（狼）→（人，狼，羊）→（羊）→（人，羊）→（Φ）。

(人，狼，羊，菜)(人，狼，羊)(人，狼，菜)(人，羊，菜)(人，羊) (狼，菜) (羊) (狼) (菜) (Φ)第2中：（人，狼，羊，菜）→（狼，菜）→（人，狼，菜）→（菜）→（人，羊，菜）→（羊）→（人，羊）→（Φ）。

离散数学答案屈婉玲版第二版高等教育出版社课后答案第一章部分课后习题参考答案16设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。

（1）p∨(q∧r)⇔0∨(0∧1)⇔0（2）（p?r）∧(﹁q∨s)⇔（0?1）∧(1∨1)⇔0∧1⇔0.（3）（⌝(4)（176能被2q:3r:2s:619（4）(p（5）(p（6）((p答：（pqp→q⌝0011111011011110010011110011所以公式类型为永真式（5）公式类型为可满足式（方法如上例）（6）公式类型为永真式（方法如上例）第二章部分课后习题参考答案3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值.(1)⌝(p∧q→q)(2)(p→(p∨q))∨(p→r)(3)(p∨q)→(p∧r)答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)⇔(⌝p∨(p∨q))∨(⌝p∨r)⇔⌝p∨p∨q∨r⇔1所以公式类型为永真式(3)P qrp∨qp∧r（p∨q）→(p∧r)0000010010014.(2)(p→(4)(p∧证明（2（45.(1)(⌝p→q)→(⌝q∨p)(2)⌝(p→q)∧q∧r(3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)解：（1）主析取范式(⌝p→q)→(⌝q∨p)⇔⌝(p∨q)∨(⌝q∨p)⇔(⌝p∧⌝q)∨(⌝q∨p)⇔(⌝p∧⌝q)∨(⌝q∧p)∨(⌝q∧⌝p)∨(p∧q)∨(p∧⌝q)⇔(⌝p∧⌝q)∨(p∧⌝q)∨(p∧q)⇔∑(0,2,3)主合取范式：(⌝p→q)→(⌝q∨p)⇔⌝(p∨q)∨(⌝q∨p)⇔(⌝p∧⌝q)∨(⌝q∨p)⇔(⌝p⇔1∧(p⇔(p∨⇔∏(2)⌝(p→q)⇔(p∧(3)⇔⌝⇔1∧1⇔1所以该式为永真式.永真式的主合取范式为1主析取范式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7)第三章部分课后习题参考答案14.在自然推理系统P中构造下面推理的证明：(2)前提：p→q,⌝(q∧r),r结论：⌝p(4)前提：q→p,q↔s,s↔t,t∧r结论：p∧q证明：（2）①⌝(q∧r)前提引入②⌝q∨⌝r①置换③q→⌝r②蕴含等值式④r⑤⌝q⑥p→q⑦￢p（3证明（4①t②t③q④s⑤q⑥（⑦（⑧q⑨q⑩p15在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理：(1)前提：p→(q→r),s→p,q结论：s→r证明①s附加前提引入②s→p前提引入③p①②假言推理④p→(q→r)前提引入⑤q→r③④假言推理⑥q前提引入⑦r⑤⑥假言推理16在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理：(1)前提：p→⌝q,⌝r∨q,r∧⌝s结论：⌝p证明：①p②p③﹁④￢⑤￢⑥r⑦r⑧r3.:(1)均有2=(x+)(x).(2)其中(a)(b)解：F(x):2=(x+)(x).G(x):x+5=9.(1)在两个个体域中都解释为)(x∀，在（a）中为假命题，在(b)中为真命题。

信号与系统离散时间系统习题详解8-2 列出图题8-2所示系统的差分方程，指出其阶次。

图 题8-2解：1201[][1][2][][1]y n b y n b y n a x n a x n ----=+- 二阶8-3 列出图题8-3所示系统的差分方程，已知边界条件y [-1] = 0，分别求以下输入序列时的输出y [n ]，并绘出其图形（用逐次迭代方法求）。

（1）[][]x n n δ= （2）[][]x n u n = 图 题8-3解：1[][1][]3y n y n x n --=（1） 1[][]3ny n u n ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）311[](())[]223n y n u n =-8-7 求解下列差分方程的完全解。

（1）[]2[1]2, [0]1y n y n n y +-=-= （2）[]5[1],y n y n n =--+ [1]0y -=解：（1）方程齐次解为：h [](2)ny n C =-，特解为：p 12[]y n D n D =+，代入原方程121212142(1)2 2 , 39D n D D n D n D D ++-+=-→==-完全响应为：()14[]239ny n C n =-+-，代入1]0[=y 得：913=C()1314[]2939ny n n ∴=-+-（2）方程齐次解为：h [](5)ny n C =-，特解为：p 12[]y n D n D =+，代入原方程0234121212155(1)5 , 636D n D D n D n D D +=---+→==完全响应为：()15[]5636ny n C n =-++，代入0]1[=-y 得：365-=C()11[][565]36n y n n +=-++8-12 用单边z 变换解下列差分方程。

（1）y [n ] + 0.1y [n -1] - 0.02y [n -2] = 10 u [n ]，y [-1] = 4，y [-2] = 6 （2）y [n ] - 0.9y [n -1] = 0.05 u [n ]，y [-1] = 1 （3）y [n ] + 2y [n -1] = (n -2) u [n ]，y [0] = 1 解： （2）差分方程两边同时进行z 变换：11211()0.9[()[1]]0.051(){10.9}0.050.9[1]10.050.90.050.9()(1)(0.9)(0.9)(1)(10.9)(10.9)()0.50.4510.910.90.50.45[][]0.10.9zY z z Y z y z z z Y z z y z z z zY z z z z z z z Y z A B z z z z z z zy n z z -----+-=--=+--=+=+------=+=+----=+=---1Z 5[]0.45(0.9)[]n u n u n +（3）由差分方程得：2(0)3(0)2(1)2(1)22y y y y --+-=-∴-==-差分方程两边同时进行z 变换：1221112222()2[()(1)]21(1)22(1)()(1)(12)(1)(12)(12)()33(1)2(1)(2)(1)3949139(1)2(1)z zY z z Y z y z z z z z y Y z z z z z z Y z z z A B C z z z z z z z z z ----++-=----=---+-++-+==++-+-+--=++-+-3413[]((2))[]999n y n n u n =-+-8-13 若描述某线性时不变系统的差分方程为：y [n ] - y [n - 1] - 2y [n - 2] = x [n ] + 2x [n - 2]，已知y [-1] = 2，y [-2] = -1/2，x [n ] = u [n ]。

第8章 系统分析的状态变量法8.1 学习要求（1）了解状态变量、状态、初始状态、状态空间、状态方程、输出方程、系统方程等概念及内涵；（2）能根据系统结构图、微分方程、差分方程、转移函数、系统框图，正确的选择状态变量，列出系统的状态方程和输出方程，并写成标准矩阵形式；（3）能采用时域方程和变换域方法求解系统状态方程和输出方程； （4）能根据状态方程和输出方程画出系统的框图。

8.2 本章重点（1）连续系统状态方程和输出方程的建立与求解；8.4 本章的内容摘要8.4.1状态方程的建立状态方程是描述系统的状态变量之间及其与激励之间关系的一阶微分方程，而输出方程是用状态变量和激励(有时还可能有激励的某些导数)表示的函数关系式。

（1）连续时间系统状态方程的建立通常，标准形式的状态方程为 )()()(t t t f x x B A +=•系统输出方程的标准形式为 )()()(t t t f x D C y +=式中)(t •x 表示状态变量的一阶导数，)(t f 是与外加信号有关的项，A 、B 、C 和D 为常数矩阵。

直接法：利用系统实际结构及系统所遵循的物理规律直接列出方程的方法。

间接法：根据已知的输入输出方程、系统框图或系统函数列写状态方程的方法。

（2）离散时间系统状态方程的建立对于一个有p 个输入和q 个输出的离散系统，如有k 个状态变量，其状态方程的一般形式为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++)()()()()()()1()1()1(212122221112112121222211121121n f n f n f b b b b b b b b b n x n x n x a a a a a a a a a n x n x n x p kp k k p p k kk k k k k k输出方程的一般形式为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡)()()()()()()()()(212122221112112121222211121121n f n f n f d d d d d d d d d n x n x n x c c c c c c c c c n y n y n y p qp q q p p k qk q q k k q可简写为)()()1(n n n f x x B A +=+ )()()n n n f x D C y(+=式中C B A 、、和D 是常数矩阵。

1 判断下列序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。

(1) ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=53sin )(x ππn n 解 z k 63220∈===k k k w T ππ 当k=1时，x(n)的最小正周期为6. (2) ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=541)(πn j e n x 解 z 841220∉===k k k w T πππ x(n)为非周期序列. 2.简述离散时间系统线性，时不变性，因果性，稳定性。

答：线性：满足齐次性和可加性设y 1(n )=T [x 1(n )]， y 2(n )=T [x 2(n )]对任意常数a,b ，若T [ax 1(n )+bx 2(n )]=aT [x 1(n )]+bT [x 2(n )]=a y 1(n )+b y 2(n )则称T[ ]为线性离散时间系统。

非时变：设y (n ) = T [x (n )]对任意整数k ,有y (n-k )=T [x (n-k )]稳定性稳定系统是有界输入产生有界输出的系统，充要条件是因果性若系统 n 时刻的输出，只取决于n 时刻以及n 时刻以前的输入序列，而与n 时刻以后的输入无关，则称该系统为因果系统线性时不变离散系统是因果系统的充要条件：3傅里叶变换、拉普拉斯变换以及Z 变换的区别与联系。

答：信号与系统的分析方法除时域分析方法以外，还有频域的分析方法。

在连续时间信号与系统中，其变换域方法就是拉普拉斯变换与傅里叶变换。

在离散时间信号与系统中变换域分析方法是Z 变换法和离散时间傅里叶变换法。

Z 变换在离散时间系统中的作用就如同拉普拉∑∑∑=====N k N k N k k k k k k k n y a n x T a n x a T 111)()]([)]([()00h n n =<n h n P ∞=-∞=<∞∑斯变换在连续时间系统中的作用一样，它把描述离散系统的差分方程转化为简单的代数方程，使其求解大大简化。

傅里叶变换的实质是将一个信号分离为无穷多正弦/复指数信号的加权，也就是说，傅里叶变换就是将一个信号的时域表示形式映射到一个频域表示形式。