北京大学高等量子力学讲义

（1）若 V(r) 时，仅当 0<m<2 m r 时才有束缚态。 0 时，径向波函数应满足 （2）在 r
A
rR ( r ) 0
（3）三维自由粒子运动
V r V r 0
d 2 d l ( l 1 ) R ( ) R ( ) [ 1 2] R ( ) 0 2 d d
ˆ] ˆ ˆ d rp [ rp ,H 0 , dt i
ˆ] ˆ,H [r p i

ˆ p
2
m
r V (r)
2 Tˆ r V ( r )
(x ,y ,z ) 是x，y，z的n次齐次函数，则 若 V
ˆ nV 2 T (r)
例：谐振子势是x，y，z的 2 次齐次函数
量本征方程的解进行标识。
u ( r ) R ( r ) Y ( , ) nlm nl lm
于是归结到解具有不同位势 V ( r ) 的径向方程
2
d l ( l 1 ) 2 m ( E V ( r )) ( rR ( r )) ( rR ( r )) ( rR ( r )) 0 2 2 2 dr r

个解。这时 ka 2
,即 0 kr 。
所以, 在区间 0a 无节点。 3）当 2 mV a 1 3 2 2 5 0 ( ) 2 2 2 ， ka ，无零点； 有二个解 : 一个解
3 另一个解 ka2 。所以， 2
2
0 kr 2 , 有一个零点。
ˆ V(r) T
例：库仑势是x，y，z的 -1 次齐次函数
ˆ V 2T (r)
1 ˆ H V(r) 2
(3) 能量-时间测不准关系 由算符的“涨落”关系，有

确定位置设置粒子接收器
→ 比较 → − ↗
散射问题中量子态的渐近行为
量子力学 波函数 描述散射过程中粒子的状态。 − − − − − → 我们考虑非相对论无自旋粒子的入射束，由于考查渐近行为， V = 0，确定粒子的入射粒子束有 平面波描述 i Ae Pz z 沿 z 轴入射 进入散射中心 (靶) 的有效力程后 入射波 (物质波) 发生衍射 − − − − − − − − − − − − − → −→ 原入射方向外 + 其它方向的衍射传播 按衍射理论习惯 − − − − − − − − − − − − → ψi ↓ 入射波 相干叠加 ψ − − − − − − → 进一步，由于散射波是由散射中心向外发散的， 出了有效力程后 相对自由粒子的球面波 − − − − − − − − − − − → ψr→∞ −→ A e
i
+
ψs ↓ 散射波 = ψi + ψs
Pi r cos θ
+A
f (θ, φ) i Ps r e r
Pi 为入射粒子动量； Ps 为粒子经散射的动量。
渐进行为中量与散射物理量的关系
由量子力学：入射粒子流 ⃗ ji = 出射粒子流：
r js =
mi
z ∗ = ∇ψi −→ ji ψi
|A|2 Pi m
2π
若我们完成对立体角的积分，则得到总的散射截面 ˆ ˆ ˆ σ = dσ = σ (θ, ϕ)dΩ =
0
ˆ
0
π
σ (θ, φ) sin θdφdθ
上述物理量的实验获得：
实验可确定量 ↙ 单位时间入射粒子数目 ↘ ratio 微分散射截面 ↓ 总散射截面 散射理论的最终目的→ 确立理论中的散射截面 6 ← 积分 → − ↘ ↘ ↙ 散射后出射的粒子数 ↙

则有
g cos cos cos cos 3 3 cos cos 3
同样，实验的测量结果是与量子力学的预 言符合。
实验证实了定域隐变量理论是不正确的。 Einstein-Podolsky-Rosen的假设是不成立的
§7.6 全同粒子交换不变性－波函数具有确定的 交换对称性 各种微观粒子有一定属性，具有一定质量、 电荷、自旋，人们根据它的属性的不同分别称为 等等。实验证明 电子，质子，介子， ， 每一种粒子，都是完全相同的（如两个氢原子中 的质子或电子都一样）。经典物理中，我们能按 轨道来区分同一类粒子。 但从量子力学的观点来看，情况就发生变化。 它的描述不能用轨道概念，而只能用波函数或根
于是有
g g a1 b 2 (1 b 2 c 2 )
a1 b 2 (1 b 2 c 2 )
a1 b 2 (1 b1 c 2 )
1 b1c2
所以，
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ C(a, b) C(a, c) C(b, c) 1
第 二 十 四 讲
Ⅰ. 碱金属的双线结构 碱金属原子有一个价电子，它受到来自原 子核和其他电子提供的屏蔽库仑场的作用。 所以，价电子的哈密顿量为
ˆ2 ˆ P V( r ) ( r ) L S ˆ ˆ H 2
1 dV( r ) ( r ) 2 2 r dr 2 c
1
ˆ H E
据一些力学量完全集来描述粒子所处状态。即 n1 n 个粒子处于态 1； 2个粒子处于态 2 或这些 态的叠加态上。但它不可能告诉你，那一个粒子 处于 1 态，那一个粒子处于态 2 。 如 1 ( r1 ) 2 ( r2 )
ˆ ˆ x 2 sin z 2 cos )

而 t t 0 时，它位于
[1 ( t 0 2m 2 ) ]
P0 t 0 x m
，宽度为
t 0 2m 2 ) 2 ]1 2
2 12
[1 (
也可以计算标准偏差，得到发现粒子的主要 区域在 x0 x- x0 x 其中
P0 t 0 x0 m
x ( x x ) x x [1 (
这就是格林函数的含义： t 0 时刻，粒子处于 r 0 ， ，则 t 时刻， r 处发现粒子的几率密度振幅就是 G(r, t; r 0 , t 0 ) 。 由薛定谔方程我们可直接给出
1ˆ ˆ i H( r , P)( t t 0 ) G ( r , t; r 0 , t 0 ) e ( r r 0 )
G(r, t; r' , t' )称为 Green 函数，或称传播子。
如 t' t 0 时刻，粒子处于 r 0 ，即 由上式得
(r' , t 0 ) (r'r 0 )
( r, t ) G( r, t; r ' , t 0 )( r' , t 0 )dr ' G( r, t; r 0 , t 0 )
* ˆ (r, P ˆ , t )(r, t ) i (r, t ) (r, t ) (r, t )H t
*
由 乘 * * ˆ * ˆ i ( r, t ) H ( r, P, t ) ( r, t ) t
* ˆ * (r, P ˆ , t ) * ( r , t ) i (r, t ) (r, t ) (r, t )H t
d i 2 * ( r , t ) d r ( )d r dt 2m i * ( ) ds 2m

p c ( p , t )d p c ( p , t ) p c ( p , t ) d p p
2
*
(r, t) 去求 P ， 则 若用
P ( r , t )( i ) ( r , t ) d r
这表明，如果不用 c( p, t ) 去求动量平均值， (r, t)去求 P ，则需要引进算符 而用
2 ˆ P * r ,t ) ( r ,t ) d r ( 2 m 2 * 2 ( r , t ) ( r , t ) d r 2 m
所以动量
2
ˆ P P i
2 2 2 2 2 ˆ P 2 ˆ T T ( 2 2 2 ) 2 m 2 m 2 m x y z
Ⅱ . 位置和位能的平均值 A．位置平均值 ( x ,y ,z ,t )是归一化波函数，则 x的平 设： 均值为
x ( r , t ) x ( r , t ) d r
B．位能平均值（假设位能表示中不依赖 动量）
*
V ( r , t ) V ( r ) ( r , t ) d r
dx x 0 2( a x ) e 0 4 a
a
B．波函数的自然条件： 一般而言，波函数必须连续，有界，单值。 ① 波函数必须连续； 2 (r,t) dr 有界， ② 有界：我们讲有界是指 即使是在某些孤立奇点（对于(r, t)）也 可能不违背波函数这一性质； 2 ③ 单值：实际上仅需 ( r, t ) 单值，即(r, t) 单值； ④ 在位势有限大小的间断处，波函数导数 ' ( x 0 , t ) ' ( x 0 , t ) 仍连续 0 0
i

2 p 2 z mgz E mgz 2 2m 2mz
E 2 1 3 0 z ( 2 ) z m g
me 2 3 z ( ) 1.17 10 3 m m
所以，对于经典物理学，则认为 z=0。而对于 量子粒子则为 z 11 3 i. 尘粒： m 10 克 , z 10 m ; 3 z 1.17 10 m 。 ii. 电子： 就我个人的看法： 测不准关系是对两个物 理量同时测量结果可能值的最佳区域（或不确定 度）关系的约束，它不是测量的影响导致的。
k 0 k i ( kx t ) dk k 0 k C(k )e
这个波包扩展度的区域不是任意小，即 2 x k
于是有
x p x 2 h
（2）一些实验： A．位置测量：一束 电子平行地沿x方向入通过 窄缝a，从而测出y方向的位 置。由于波的衍射，在y方 向有一不确定度
x0 x0
ik ( A B) ik 1D
得
k1 D A (1 ) 2 k
k1 D B (1 ) k ， 2
x0 x0
k 1 ikx D k 1 ikx D (1 )e (1 )e u E (x) 2 k 2 k 结果有 ik1x De
Se ikx u E ( x ) ikx ikx Ae Be xa x0
这形式是普遍的，只要远离作用区。而沿x 方向的几率流密度为
k 2 ji A， m
B R A
k 2 jR B， m
2

B A S A
k 2 jT S m
2
S T A
所以只要求得 , 即可。 对于 0 x a 有方程
Ⅱ.一维定态问题 三维问题可化为一维问题处理，所以一 维问题是解决三维问题的基础。

※
Peking University
Quantum Mechanics ( I ) 1.0
开始时，人们在经典理论的基础上加 进一些假设来说明新的实验结果，旧量子 论就是这样产生的。由于这种过渡性的理 论未能从本质上揭露微观世界的客观规 律，因而不可避免地在理论体系上带有明 显的矛盾。并且在阐明微观世界规律上有 很大的局限性。
※
Peking University
Quantum Mechanics ( I ) 1.1
在数学上，这样处理的是一个非常复杂 的问题。事实上，在这里，宏观物理量是作 为一个具有巨大数目自由度系统的动力学变 量的统计平均值而出现的。准确求解一个具 有巨大数目自由度系统的演化方程几乎是毫 无希望的，为此，人们发展了统计的研究方 法。于是，一门新的学科，统计力学，便应 运而生。
※
• 经典物理的成就的确眩惑了人们的眼睛。 原本对立的粒子和波这两种概念，被普适 化了、绝对化了。与此同时，牛顿力学和 波动力学的描述方法也被普适化和绝对化 了。仿佛物理学所研究的全部对象必定非 此即彼。与此相应，Laplace决定论也被普 适化和绝对化起来,成了因果论的唯一正确 形式，用Einstein的话来说就是：“上帝是 不玩掷骰子的”。
※
Peking University
Quantum Mechanics ( I ) 1.1
2.关于物质的微粒说
起初，这种理论只用来处理天体和具 有宏观尺度的固体的力学，随后，越来越显 示出，它也是制约微观尺度物质的演变的基 本理论，乃至化学家们提出的原子假说也为 它所证实。由于不可能把分子孤立出来单独 研究它们之间的相互作用而直接验证原子的 假说，人们便通过由组成物体的分子的运动 规律可以导出物体的宏观性质这件事来间接 证实它。

n 1
例： 求
S 0
ˆn [x, p x]
ˆ x [x, p ˆ x ]p ˆx p
S 0 n 1 s n s 1
n 1 n 1 ˆ ˆx i p x inp S0
n 1
在算符的运算时，要特别小心 。 ˆ ,B ˆ ,B ˆ 对易，可证明 ˆ 和 A 例：如 A

n2
S 0
s 1 ˆ ˆ ˆ n 1 s 1 n 1 ˆ ˆ ˆ ˆ B [ A , B ] B [ A , B ] B
ˆ ,B ˆ ,B ˆ s [A ˆ ]B ˆ n s 1 [A ˆ ]B ˆ n 1 B
S 1
n 1
ˆ ,B ˆ s [A ˆ ]B ˆ n s 1 B

1 m 1 2 ˆ ˆ] [ i ( m ) px x 2
c e
* i t
所以，
ˆ (t ) x
ˆ a ˆ) (a 2m

(ce it c* e it ) 2m
x( 0) cos( t )
ˆ a ˆ) m (a ˆ x (t ) p 2 i
而
[i , r ] 0 另外，对易关系与表象选择无关 如 n ˆ [x, p x ]
[i , pn x] p x
n 1 ˆ inp x
ˆ z , r] [L
（3）算符的厄密性（Hermiticity） A. 算符复共轭：若对波函数（任意）有
ˆ A
ˆ * * B
例如 2. 对不显含时间的薛定谔方程
ˆ E H ˆ 2 E 2 ，则 ˆ 1 E 1 ， H 若 H
c11 c 2 2
E(c11 c 2 2 )

rr

对于沿 Z 轴入射的定态散射波函数
(e
ikz
e
ikz
) [f ( ) f ( )]
e
ikr
r
() f () f ( )
即散射微分截面为
2
() f () f ( )
（空间对称，总自旋为偶）
散射总截面
4π 2 σT 2 (2l 1) sin δl k l 0
由
2l 1 Yl0 (0, ) 4
4 T I mf k (0) k
Ⅱ．一些讨论 （1）分波法的适用性
A. 中心力场 B. l 不为 0 的数要少，即 () 或 T 对 l 的收敛很快才行。也就是说，分波法的 适用于短力程和低能散射 （2）相移符号： 在 r 较大处，自由粒子的径向波函数 rR kl 为
第六章 量子力学的矩阵形式及表象理论
☆ 给定表象，如何求力学量的矩阵表示； ☆ 算符的本征方程的矩阵形式； ☆ 薛定谔方程和平均值的矩阵表示； ☆ 知道算符矩阵表示，如何求本征值和本 征函数；
第七章：自旋
自旋引入的实验证据； ☆ 电子自旋算符，本征值及表示； ☆ 泡利算符性质，泡利矩阵； ☆ 自旋存在下的波函数和算符的表示； ˆ ˆ ˆ ☆ ( L2 , J 2 , J z ) 的共同本征态的矩阵形式； ☆ 自旋为1/2的两粒子的态矢量； ☆ 碱金属的双线结构及反常塞曼效应的现 象及形成原因； ☆ 泡利原理。全同粒子的波函数结构。
含 义。 ☆ 散射 ⊙ 定态散射波函数的形式； ⊙ 散射振幅 1 i q r (1) 一级Born近似：f k (θ) 4π e U(r )d r
☇ 有心势时，
1 (1) f k (θ) 0 U(r ) sin qr rdr q

p y y 0
但事实上，通过缝后，在不同位置接收到的电 子数的多少显示出干 涉图象（电子数的大 小），这一单缝干涉 的第一极小为
λ sinθ 1 a
即通过单缝后，电子在 y 方向的动量不再为 0，
而在0附近有一宽度 h Δ p y p sinθ 1 a 所以，当测量y的位置越精确（即a越小）， 那动量在y方向越不精确，它们的精确度至少要 满足 Δ y Δ p h
t 1,
E t ,
B．能量－时间测不准关系的物理含意 1．在空间固定处，发现体系如有一不确 定的时间间隔Δt，那该体系的能量必有一扩 展度ΔE，且有 E t 。
例如：若一个自由粒子的波包宽 Δ x ，它通 x 过 x 0 所需时间 v 。所以，在间隔 t 0 t 0 g 内，都有可能在 x 0 处发现粒子。由
2
1 ikx C(k, t ) ( x, t ) e dx 2
( x , t ) 的扩展范围 从Fourier变换理论知： （即有意义的区域）和它的富氏变换 C(k, t ) 所扩 展的范围不能同时任意小。
ψ (x, t )
C( k , t )
2
Δx
Δk
2
x k 1
所以，
d 0 l dk k k 0
2
(r, t )
d i x ( ) 0 t l C(k 0 ) k i ( k 0 x 0 t ) dk dl e e k
d 2Sin{[ x t ]k} dk 0 Ck 0 i ( k 0 x t ) e d 2 x t dk 0
p0
(2)1 2
来描述，其几率密度 p0 ( x , t )