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第二节 抛体运动[学生用书P 64]一、平抛运动1．性质：平抛运动是加速度恒为重力加速度g 的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线． 2．规律：以抛出点为原点，以水平方向(初速度v 0方向)为x 轴，以竖直向下的方向为y 轴建立平面直角坐标系，则(1)水平方向：做匀速直线运动，速度：v x ＝v 0，位移：x ＝v 0t .(2)竖直方向：做自由落体运动，速度：v y ＝gt ，位移：y ＝12gt 2.(3)合运动①合速度：v ＝v 2x ＋v 2y ，方向与水平方向夹角为θ，则tan θ＝v y v 0＝gtv 0. ②合位移：x 合＝x 2＋y 2，方向与水平方向夹角为α，则tan α＝y x ＝gt 2v 0.1.(多选)关于平抛运动，下列说法错误的是( )A ．平抛运动是一种在恒力作用下的曲线运动B ．平抛运动的轨迹为抛物线，速度方向时刻变化，加速度方向也时刻变化C ．做平抛运动的物体的初速度越大，在空中的运动时间越长D ．平抛运动的水平位移与下落的高度无关 答案：BCD 二、斜抛运动 1．性质加速度为g 的匀变速曲线运动，轨迹为抛物线．2．规律(以斜向上抛为例说明，如图所示)(1)水平方向：做匀速直线运动，v x ＝v 0cos θ. (2)竖直方向：做竖直上抛运动，v y ＝v 0sin θ－gt .2.(单选)做斜上抛运动的物体，到达最高点时( )A ．速度为零，加速度向下B ．速度为零，加速度为零C ．具有水平方向的速度和竖直向下的加速度D ．具有水平方向的速度和加速度 答案：C考点一 平抛运动的基本规律及应用 [学生用书P 64]1．飞行时间：由t ＝2hg知，时间取决于下落高度h ，与初速度v 0无关．2．水平射程：x ＝v 0t ＝v 02hg，即水平射程由初速度v 0和下落高度h 共同决定，与其他因素无关．3．落地速度：v t ＝v 2x ＋v 2y ＝v 20＋2gh ，以θ表示落地速度与x 轴正方向的夹角，有tan θ＝v y v x ＝2ghv 0，所以落地速度也只与初速度v 0和下落高度h 有关．4．速度改变量：因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g ，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt 内的速度改变量Δv ＝g Δt 相同，方向恒为竖直向下，如图甲所示．5．两个重要推论(1)做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图乙中A 点和B 点所示．(2)做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻任一位置处，设其末速度方向与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为θ，则tan α＝2tan θ.(高考改编题)(1)(单选)在“研究平抛运动”的实验中，得到了平抛小球的运动轨迹，在轨迹上取一些点，以平抛起点O 为坐标原点，测量它们的水平坐标x 和竖直坐标y ，下图中y －x 2图象能说明平抛小球运动轨迹为抛物线的是( )(2)如图是某同学根据实验画出的平抛小球的运动轨迹，O 为平抛的起点，在轨迹上任取三点A 、B 、C ，测得A 、B 两点竖直坐标y 1为5.0 cm 、y 2为45.0 cm ，A 、B 两点水平间距Δx 为40.0 cm.则平抛小球的初速度v 0为________m/s ，若C 点的竖直坐标y 3为60.0 cm ，则小球在C 点的速度v C 为________m/s(结果保留两位有效数字，g 取10 m/s 2)．[解析] (1)对平抛运动，水平位移x ＝v 0t ，竖直位移y ＝12gt 2，联立上述两式得y ＝g2v 2x 2，故y －x 2图线应为直线，故选c.(2)由y ＝12gt 2解得，从O 点运动到A 、B 、C 各点的时间分别为t 1＝0.1 s 、t 2＝0.3 s 、t 3＝0.2 3 s ，则平抛初速度v 0＝Δx t 2－t 1＝2.0 m/s ，在C 点速度v C ＝v 20＋ gt 3 2＝4.0 m/s.[答案] (1)c (2)2.0 4.0[总结提升] “化曲为直”思想在抛体运动中的应用(1)根据等效性，利用运动分解的方法，将其转化为两个方向上的直线运动，在这两个方向上分别求解．(2)运用运动合成的方法求出平抛运动的速度、位移等．1.(单选)(2015·济南模拟)如图所示，从某高度水平抛出一小球，经过时间t 到达地面时，速度与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g .下列说法正确的是( )A ．小球水平抛出时的初速度大小为gt tan θB ．小球在t 时间内的位移方向与水平方向的夹角为θ2C ．若小球初速度增大，则平抛运动的时间变长D ．若小球初速度增大，则θ减小 解析：选D.速度、位移分解如图v y ＝gt ，v 0＝v y tan θ＝gttan θ，故A 错． 设位移与水平方向夹角为α，则tan θ＝2tan α，α≠θ2，故B错．平抛时间由下落高度决定，与水平初速度无关，故C 错．由tan θ＝v y v 0知，v 0增大θ减小，D 正确．考点二 与斜面相关联的平抛运动 [学生用书P 65]斜面上的平抛问题是一种常见的题型，在解答这类问题时除要运用平抛运动的位移和速度规律，还要充分运用斜面倾角，找出斜面倾角同位移和速度与水平方向夹角的关系，从而(多选)(2015·山东临沂质检)跳台滑雪是奥运比赛项目之一，利用自然山形建成的跳台进行，某运动员从弧形雪坡上沿水平方向飞出后，又落回到斜面雪坡上，如图所示，若斜面雪坡的倾角为θ，飞出时的速度大小为v 0，不计空气阻力，运动员飞出后在空中的姿势保持不变，重力加速度为g ，则( )A ．如果v 0不同，该运动员落到雪坡时的位置不同，速度方向也不同B ．如果v 0不同，该运动员落到雪坡时的位置不同，但速度方向相同C ．运动员在空中经历的时间是2v 0tan θgD ．运动员落到雪坡时的速度大小是v 0cos θ[解析] 运动员落到雪坡上时，初速度越大，落点越远；位移与水平方向的夹角为θ，速度与水平方向的夹角为α.则有tan α＝2tan θ，所以初速度不同时，落点不同，但速度方向与水平方向的夹角相同，故选项A 错误，B 正确；由平抛运动规律可知x ＝v 0t ，y ＝12gt 2且tan θ＝y x ，可解得t ＝2v 0tan θg，故选项C 正确；运动员落到雪坡上时，速度v ＝v 20＋ gt 2＝v 01＋4tan 2θ，故选项D 错误．[答案] BC[总结提升] 与斜面有关的平抛运动问题分为两类：(1)从斜面上某点抛出又落到斜面上，位移与水平方向夹角等于斜面倾角； (2)从斜面外抛出的物体落到斜面上，注意找速度方向与斜面倾角的关系．2.(多选)(2013·高考上海卷)如图，轰炸机沿水平方向匀速飞行，到达山坡底端正上方时释放一颗炸弹，并垂直击中山坡上的目标A .已知A 点高度为h ，山坡倾角为θ，由此可算出( )A ．轰炸机的飞行高度B ．轰炸机的飞行速度C ．炸弹的飞行时间D ．炸弹投出时的动能解析：选ABC.设轰炸机投弹位置高度为H ，炸弹水平位移为x ，则H －h ＝12v y ·t ，x ＝v 0t ，二式相除H －h x ＝12·v y v 0，因为v y v 0＝1tan θ，x ＝h tan θ，所以H ＝h ＋h2tan 2θ，A 正确；根据H －h ＝12gt 2可求出飞行时间，再由x ＝v 0t 可求出飞行速度，故B 、C 正确；不知道炸弹质量，不能求出炸弹的动能，D 错误．考点三 与圆轨道关联的平抛运动 [学生用书P 66]在竖直半圆内进行平抛时，圆的半径和半圆轨道对平抛运动形成制约．画出落点相对圆心的位置，利用几何关系和平抛运动规律求解．如图，水平地面上有一个坑，其竖直截面为半圆．ab 为沿水平方向的直径．若在a 点以初速度v 0沿ab 方向抛出一小球，小球会击中坑壁上的c 点．已知c 点与水平地面的距离为圆半径的一半，求圆的半径．[解析] 如图所示，h ＝R2，则Od ＝32R 小球做平抛运动的水平位移x ＝R ＋32R竖直位移y ＝h ＝R2又y ＝12gt 2，x ＝v 0t联立以上各式解得R ＝4v 27＋43 g .[答案] 4v 207＋43 g3.(多选)如图，从半径为R ＝1 m 的半圆AB 上的A 点水平抛出一个可视为质点的小球，经t ＝0.4 s 小球落到半圆上，已知当地的重力加速度g ＝10 m/s 2，则小球的初速度v 0可能为( )A ．1 m/sB ．2 m/sC ．3 m/sD ．4 m/s 解析：选AD.由于小球经0.4 s 落到半圆上，下落的高度h ＝12gt 2＝0.8 m ，位置可能有两处，如图所示： 第一种可能：小球落在半圆左侧， v 0t ＝R －R 2－h 2＝0.4 m ，v 0＝1 m/s 第二种可能：小球落在半圆右侧，v 0t ＝R ＋R 2－h 2＝1.6 m ，v 0＝4 m/s ，选项A 、D 正确．[学生用书P 66]真题剖析——平抛运动的临界问题(16分)(2014·高考浙江卷)如图所示，装甲车在水平地面上以速度v 0＝20 m/s沿直线前进，车上机枪的枪管水平，距地面高为h ＝1.8 m ．在车正前方竖直立一块高为两米的长方形靶，其底边与地面接触．枪口与靶距离为L 时，机枪手正对靶射出第一发子弹，子弹相对于枪口的初速度为v ＝800 m/s.在子弹射出的同时，装甲车开始匀减速运动，行进s ＝90 m 后停下．装甲车停下后，机枪手以相同方式射出第二发子弹．(不计空气阻力，子弹看成质点，重力加速度g ＝10 m/s 2)(1)求装甲车匀减速运动时的加速度大小； (2)当L ＝410 m 时，求第一发子弹的弹孔离地的高度，并计算靶上两个弹孔之间的距离； (3)若靶上只有一个弹孔，求L 的范围．[审题点睛] (1)装甲车以初速20 m/s 匀减速停下来，前进了90 m ，利用匀变速运动公式求加速度．(2)第(2)问中，属于根据平抛运动规律求竖直位移问题，注意：①两发子弹初速不同，②时间根据水平方向的分运动求解．(3)第(3)问属于临界问题，靶上只有一个弹孔，是指一发子弹打到靶上，另一发打到地上，具体情况为：①第一发子弹恰好打不到靶下沿，第二发打到靶上；②第二发子弹恰好打到靶下沿，第一发打到地上，可见靶下沿是打到和打不到靶上的临界点．根据题给条件，不会出现两子弹打到靶的同一点的情况．[规范解答]—————————该得的分一分不丢！ (1)装甲车匀减速运动的加速度大小a ＝v 202s ＝209 m/s 2.(2分) (2)第一发子弹飞行时间t 1＝Lv ＋v 0＝0.5 s(2分)弹孔离地高度h 1＝h －12gt 21＝0.55 m(2分)第二发子弹的弹孔离地的高度h 2＝h －12g ⎝ ⎛⎭⎪⎫L －s v 2＝1.0 m(2分)两弹孔之间的距离Δh ＝h 2－h 1＝0.45 m ．(1分)(3)第一发子弹打到靶的下沿时(第二发打到靶上)，装甲车离靶的距离为L 1L 1＝(v 0＋v )2hg＝492 m(3分)第二发子弹打到靶的下沿时(第一发打到地上)，装甲车离靶的距离为L 2L 2＝v 2hg＋s ＝570 m(3分)故L 的范围为492 m<L ≤570 m．(1分)[答案] (1)209m/s 2(2)0.55 m 0.45 m(3)492 m<L ≤570 m[剖析感悟] (1)在解决临界和极值问题时，正确找出临界条件(点)是解题关键． (2)对于平抛运动，已知平抛点高度，又已知初速度和水平距离时，要进行平抛运动时间的判断，即比较t 1＝2h g 与t 2＝xv 0，平抛运动时间取t 1、t 2的小者．(3)本题中，两发子弹不可能打到靶上同一点的说明：若打到靶上同一点，则子弹平抛运动时间相同，即t ＝L v 0＋v ＝L －90v ，L ＝3 690 m ，t ＝4.5 s ＞2hg＝0.6 s ，即子弹0.6 s 后就已经打到地上．4.(多选)如图所示，相距l 的两小球A 、B 位于同一高度h (l 、h 均为定值)．将A 向B 水平抛出的同时，B 自由下落．A 、B 与地面碰撞前后，水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反．不计空气阻力及小球与地面碰撞的时间，则( )A ．A 、B 在第一次落地前能否相碰，取决于A 的初速度 B ．A 、B 在第一次落地前若不碰，此后就不会相碰C ．A 、B 不可能运动到最高处相碰D ．A 、B 一定能相碰解析：选AD.平抛运动规律x ＝vt ，h ＝12gt 2，所以x ＝v 2hg，若x ≥l ，则第一次落地前能相碰，所以取决于v ，A 正确；若第一次落地前未相碰，则由于A 、B 反弹后的竖直分速度仍相同，且A 的水平分速度不变，所以A 碰地后还能与B 相遇，故B 、C 错误，D 正确．[学生用书P 67]1．(多选)(2015·镇江模拟)在一次体育活动中，两位同学一前一后在同一水平直线上的两个位置沿水平方向分别抛出两个小球A 和B ，两个小球的运动轨迹如图所示，不计空气阻力．要使两小球在空中发生碰撞，则必须( )A ．先抛出A 球再抛出B 球 B ．同时抛出两球C ．A 球抛出速度大于B 球抛出速度D ．使两球质量相等解析：选BC.两球到轨迹交点的竖直高度相等，运动时间相同，故A 错，B 对；A 球水平位移大，初速大，故C 正确；平抛运动物体的运动规律与质量无关，D 错．2．(单选)(2015·江西鹰潭一模)如图所示，水平地面附近，小球B 以初速度v 斜向上瞄准另一小球A 射出，恰巧在B 球射出的同时，A 球由静止开始下落，不计空气阻力．则两球在空中运动的过程中( )A ．A 做匀变速直线运动，B 做变加速曲线运动 B ．相同时间内B 速度变化一定比A 的速度变化大C ．A 、B 两球落地前，其水平间距随时间均匀变化D ．A 、B 两球一定会相碰解析：选C.A 、B 两球运动过程中只受重力，都做匀变速运动，Δt 内的速度改变量Δv ＝g Δt ，大小相等，方向相同，故A 、B 错误．落地前B 相对A 做匀速直线运动，两者间距均匀减小，C 对．只有当ABv不小于A 球落地时间时，才会在空中相碰，D 错误．3.(单选)(2015·成都模拟)如图所示，一小球从一半圆轨道左端A 点正上方某处开始做平抛运动(小球可视为质点)，飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B 点．O 为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为R ，OB 与水平方向夹角为60°，重力加速度为g ，则小球抛出时的初速度为( )A. 3gR2 B. 33gR2 C.3gR 2D.3gR 3解析：选B.将B 点的速度分解为v 0和v y ，则tan 60°＝v 0v y ，v y ＝33v 0，而v y ＝gt ，所以t ＝v y g ＝3v 03g ，由几何关系，小球水平方向的位移x ＝R ＋R cos 60°＝32R ，根据x ＝v 0t 得，v 0＝33gR2，B 正确．4.(单选)(2015·山东烟台一模)如图所示，斜面上A 、B 、C 三点等距，小球从A 点正上方O 点以初速度v 0水平抛出，忽略空气阻力，恰好落在C 点．若小球落点位于B ，则其初速度应满足( )A ．v ＝12v 0B ．v ＜12v 0C ．v 0＞v ＞12v 0D ．v ＞v 0解析：选B.根据几何关系可知，OC 的水平位移是OB 水平位移的两倍，根据h ＝12gt 2，得t ＝2h g ，OC 的时间小于OB 的时间，由v ＝x t 可知，v ＜12v 0，B 正确． 5.(单选)(2015·河北邢台质检)如图所示，在斜面顶端的A 点以速度v 平抛一小球，经t 1时间落到斜面上B 点处，若在A 点将此小球以速度0.5v 水平抛出，经t 2时间落到斜面上的C 点处，以下判断正确的是( )A ．AB ∶AC ＝2∶1 B ．AB ∶AC ＝4∶1 C ．t 1∶t 2＝4∶1D ．t 1∶t 2＝2∶1解析：选B.由平抛运动规律有：x ＝v 0t ，y ＝12gt 2，则tan θ＝y x ＝gt2v 0，将两次实验数据均代入上式，联立解得t 1∶t 2＝2∶1，C 、D 项均错．它们竖直位移之比y B ∶y C ＝12gt 21∶12gt 22＝4∶1，所以AB ∶AC ＝y B sin θ∶y Csin θ＝4∶1，故A 错误，B 正确．6.(单选)(2015·北京东城区模拟)如图所示，在一次空地联合军事演习中，离地面H 高处的飞机以水平对地速度v 1发射一颗炸弹轰炸地面目标P ，反应灵敏的地面拦截系统同时以初速度v 2竖直向上发射一颗炮弹拦截(炮弹运动过程视为竖直上抛)，设此时拦截系统与飞机的水平距离为x ，若拦截成功，不计空气阻力，则v 1、v 2的关系应满足( )A ．v 1＝H x v 2B ．v 1＝v 2x HC ．v 1＝xHv 2D ．v 1＝v 2解析：选C.炮弹拦截成功，即炮弹与炸弹同时运动到同一位置．设此位置距地面的高度为h ，则x ＝v 1t ，h ＝v 2t －12gt 2，H －h ＝12gt 2，由以上各式联立解得v 1＝xHv 2，C 正确．一、单项选择题1．(2015·深圳模拟)如图所示，在距水平地面H 和4H 高度处，同时将质量相同的a 、b 两小球以相同的初速度v 0水平抛出，则以下判断正确的是( )A ．a 、b 两小球同时落地B ．两小球落地速度方向相同C ．a 、b 两小球水平位移之比为1∶2D ．a 、b 两小球水平位移之比为1∶4解析：选C.a 、b 两小球均做平抛运动，由于下落时间t ＝2hg，水平位移x ＝v 02hg，将h a ＝H ，h b ＝4H 代入上述关系式可得A 、D 错误，C 正确；两小球落地时速度方向均与落地点沿轨迹的切线方向一致，所以B 错误．2.(2015·湖北八校联考)如图所示，在竖直放置的半圆形容器的中心O 点分别以水平初速度v 1、v 2抛出两个小球(可视为质点)，最终它们分别落在圆弧上的A 点和B 点，已知OA 与OB 互相垂直，且OA 与竖直方向成α角，则两小球初速度之比v 1v 2为( )A ．tan αB ．cos αC ．tan αtan αD ．cos αcos α解析：选C.两小球被抛出后都做平抛运动，设容器半径为R ，两小球运动时间分别为t 1、t 2，对A 球：R sin α＝v 1t 1，R cos α＝12gt 21；对B 球：R cos α＝v 2t 2，R sin α＝12gt 22，解四式可得：v 1v 2＝tan αtan α，C 项正确．3.(2015·四川泸州一模)斜面上有a 、b 、c 、d 四个点，如图所示，ab ＝bc ＝cd ，从a 点正上方的O 点以速度v 水平抛出一个小球，它落在斜面上b 点，若小球从O 点以速度2v 水平抛出，不计空气阻力，则它落在斜面上的( )A ．b 与c 之间某一点B ．c 点C ．c 与d 之间某一点D ．d 点解析：选A.小球以2v 平抛，落到与b 点同高的水平面上，水平射程变为原来的2倍，由作图可知，A 正确．4．(2014·高考新课标全国卷Ⅱ)取水平地面为重力势能零点．一物块从某一高度水平抛出，在抛出点其动能与重力势能恰好相等．不计空气阻力．该物块落地时的速度方向与水平方向的夹角为( )A.π6B. π4C.π3D.5π12解析：选B.设物块的初速度为v 0，质量为m ，依题意有：mgh ＝12mv 20，设物块落地瞬间水平速度分量为v x ，竖直速度分量为v y ，则根据平抛运动的规律可得：v x ＝v 0，v y ＝2gh ，即v x ＝v y ＝v 0，所以物块落地时速度方向与水平方向夹角为π4，B 项正确．5．(2015·湖南五市十校联考)如图所示，小球从楼梯上以2 m/s 的速度水平抛出，所有台阶的高度和宽度均为0.25 m ，g 取10 m/s 2，小球抛出后首先落到的台阶是( )A ．第1级台阶B ．第2级台阶C ．第3级台阶D ．第4级台阶 解析：选D.小球做平抛运动，设小球第1次落在第n 级台阶上，水平方向上有nl ＝v 0t ，竖直方向上有nl ＝12gt 2，解得n ＝3.2，故小球将落在第4级台阶上，D 正确．☆6.(2015·陕西五校联考)如图所示，一足够长的固定斜面与水平面的夹角为37°，物体A 以初速度v 1从斜面顶端水平抛出，物体B 在斜面上距顶端L ＝15 m 处同时以速度v 2沿斜面向下匀速运动，经历时间t 物体A 和物体B 在斜面上相遇，则下列各组速度和时间中满足条件的是(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g ＝10 m/s 2)( )A ．v 1＝16 m/s ，v 2＝15 m/s ，t ＝3 sB ．v 1＝16 m/s ，v 2＝16 m/s ，t ＝2 sC ．v 1＝20 m/s ，v 2＝20 m/s ，t ＝3 sD ．v 1＝20 m/s ，v 2＝16 m/s ，t ＝2 s解析：选C.由题知，v 1t L ＋v 2t ＝cos 37°＝0.8，12gt 2v 1t ＝tan 37°＝34，将数据代入知C 正确，A 、B 、D 错误．二、多项选择题7.(2013·高考江苏卷)如图所示，从地面上同一位置抛出两小球A 、B ，分别落在地面上的M 、N 点，两球运动的最大高度相同. 空气阻力不计，则( )A ．B 的加速度比A 的大 B ．B 的飞行时间比A 的长C ．B 在最高点的速度比A 在最高点的大D ．B 在落地时的速度比A 在落地时的大解析：选CD.两球加速度都是重力加速度g ，A 错误；飞行时间t ＝22hg ，h 相同则t相同，B 错误；水平位移x ＝v x ·t ，在t 相同情况下，x 越大说明v x 越大，C 正确；落地速度v ＝v 2x ＋v 2y ，两球落地时竖直速度v y 相同，可见v x 越大，落地速度v 越大，D 正确．8.如图所示，A 、B 两质点以相同的水平速度v 0抛出，A 在竖直面内运动，落地点为P 1，B 沿光滑斜面运动，落地点为P 2，不计空气阻力，比较P 1、P 2在x 轴方向上距抛出点的远近关系及落地瞬时速度的大小关系，则( )A ．P 1较近B ．P 1、P 2一样远C ．A 落地时速率大D ．A 、B 落地时速率一样大解析：选AD.质点A 做平抛运动，则x A ＝v 02h g ，v yA ＝g 2h g，v A ＝v 20＋v 2yA ；质点B 做类平抛运动，则x B ＝v 02h g sin 2θ，v yB ＝g sin θ2h g sin 2θ＝g 2h g，v B ＝v 20＋v 2yB ；解以上各式得x A ＜x B ，v A ＝v B ，选项A 、D 正确，B 、C 错误．9.(2015·安徽六安一中段考)如图所示，一演员表演飞刀绝技，由O 点先后抛出完全相同的3把飞刀，分别依次垂直打在竖直木板M 、N 、P 三点上．假设不考虑飞刀的转动，并可将其视为质点，已知O 、M 、N 、P 四点距离水平地面高度分别为h 、4h 、3h 、2h ，以下说法正确的是( )A ．3把飞刀在击中板时动能相同B ．到达M 、N 、P 三点的飞行时间之比为1∶2∶ 3C ．到达M 、N 、P 三点的初速度的竖直分量之比为3∶2∶1D ．设到达M 、N 、P 三点，抛出飞刀的初速度与水平方向夹角分别为θ1、θ2、θ3，则有θ1＞θ2＞θ3解析：选CD.将运动逆向看，可视为3个平抛运动且到达O 点时水平位移相等．由H ＝12gt 2得t ＝2H g，则到达M 、N 、P 三点的飞行时间之比为3∶2∶1，B 错误．在水平方向有l ＝v M t 1＝v N t 2＝v P t 3，由E k ＝12mv 2知3把飞刀在击中板时打在M 点处的动能最小，打在P 点处的动能最大，A 错误．由v y ＝gt 可知到达M 、N 、P 三点的初速度的竖直分量之比为3∶2∶1，C 正确．作出抛体运动的轨迹，可知θ1＞θ2＞θ3，D 正确．10.(2015·浙江杭州一模)2014年温布尔登网球公开赛于6月23日～7月6日在英国伦敦举行．如图所示是比赛场地，已知底线到网的距离为L ，运动员在网前截击，若在球网正上方距地面H 处，将球以水平速度沿垂直球网的方向击出，球刚好落在底线上．将球的运动视做平抛运动，重力加速度为g ，则下列说法正确的是( )A ．根据题目条件能求出球的水平速度vB ．根据题目条件能求出球从击出至落地所用时间tC ．球从击球点至落地点的位移等于LD ．球从击球点至落地点的水平位移与球的质量无关 解析：选ABD.球的运动为平抛运动，竖直方向为自由落体运动，H ＝12gt 2，水平方向为匀速直线运动，L ＝v 0t ，可求出时间t ＝2H g ，v 0＝L t ＝L g 2H ，A 、B 正确；击球点至落地点的位移为H 2＋L 2，C 错误；水平位移L ＝v 0t ＝v 02H g，D 正确． 三、非选择题11.(2015·江西八校联考)如图所示，在水平地面上固定一倾角θ＝37°表面光滑的斜面体，物体A 以v 1＝6 m/s 的初速度沿斜面上滑，同时在物体A 的正上方，有一物体B 以某一初速度水平抛出．如果当A上滑到最高点时恰好被B 物体击中．(A 、B 均可看做质点，s in 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)求：(1)物体A 上滑到最高点所用的时间t ；(2)物体B 抛出时的初速度v 2.解析：(1)物体A 上滑过程中，由牛顿第二定律得：mg sin θ＝ma解得：a ＝6 m/s 2设经过时间t 物体A 上滑到最高点，由运动学公式：0＝v 1－at解得：t ＝1 s.(2)平抛物体B 的水平位移：x ＝12v 1t cos 37°＝2.4 m 平抛速度：v 2＝x t＝2.4 m/s.答案：(1)1 s (2)2.4 m/s☆12.(2015·杭州模拟)某电视台娱乐节目，要求选手要从较高的平台上以水平速度v 0跃出后，落在水平传送带上，已知平台与传送带高度差H ＝1.8 m ，水池宽度s 0＝1.2 m ，传送带A 、B 间的距离L 0＝20.85 m ，由于传送带足够粗糙，假设人落到传送带上后瞬间相对传送带静止，经过一个Δt ＝0.5 s 反应时间后，立刻以a ＝2 m/s 2、方向向右的加速度跑至传送带最右端．(1)若传送带静止，选手以v 0＝3 m/s 水平速度从平台跃出，求从开始跃出到跑至传送带右端经历的时间；(2)若传送带以u ＝1 m/s 的恒定速度向左运动，选手若要能到达传送带右端，则从高台上跃出的水平速度v 1至少多大．解析：(1)选手离开平台做平抛运动，则： H ＝12gt 21 t 1＝2Hg ＝0.6 sx 1＝v 0t 1＝1.8 m选手在传送带上做匀加速直线运动，则：L 0－(x 1－s 0)＝12at 22 t 2＝4.5 st ＝t 1＋t 2＋Δt ＝5.6 s.(2)选手以水平速度v 1跃出落到传送带上，先向左匀速运动后再向左匀减速运动，刚好不从传送带上掉下时水平速度v 1最小，则：v 1t 1－s 0＝u Δt ＋u 22a解得：v 1＝3.25 m/s.答案：(1)5.6 s(2)3.25 m/s。
第2讲抛体运动的规律及应用一、平抛运动1．定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在________作用下的运动．2．性质：平抛运动是加速度为g的________曲线运动，运动轨迹是抛物线．3．研究方法：运动的合成与分解．(1)水平方向：________直线运动；(2)竖直方向：________运动．4．基本规律：如图所示，以抛出点O为坐标原点，以初速度v0方向(水平方向)为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向．(1)位移关系(2)速度关系(3)常用推论：①图中C点为水平位移中点；②tan θ＝2tan α.注意θ与α不是2倍关系．二、斜抛运动1．定义：将物体以初速度v0________或斜向下方抛出，物体只在________作用下的运动．如图所示．2．性质：斜抛运动是加速度为g的________曲线运动，运动轨迹是________．3．研究方法：运动的合成与分解(1)水平方向：________直线运动；(2)竖直方向：________直线运动．,生活情境1.一架投放救灾物资的飞机在受灾区域的上空水平地匀速飞行，从飞机上投放的救灾物资在落地前的运动中(不计空气阻力)(1)速度和加速度都在不断改变．( )(2)速度和加速度方向之间的夹角一直减小．( )(3)在相等的时间内速度的改变量相等．( )(4)在相等的时间内速率的改变量相等．( )(5)在相等的时间内动能的改变量相等．( )教材拓展2.(多选)为了验证平抛运动的小球在竖直方向上做自由落体运动，用如图所示的装置进行实验．小锤打击弹性金属片，A球水平抛出，同时B球被松开，自由下落，关于该实验，下列说法中正确的有( )A．两球的质量应相等B．两球应同时落地C．应改变装置的高度，多次实验D．实验也能说明A球在水平方向上做匀速直线运动考点一平抛运动规律的应用用“化曲为直”的思想处理平抛运动中落点在水平面上的问题时，将研究对象抽象为质点平抛运动模型，处理平抛运动的基本方法是运动的分解(化曲为直)．即同时又要注意合运动与分运动的独立性、等时性．例1.[2021·河北卷，2]铯原子钟是精确的计时仪器．图1中铯原子从O点以100 m/s 的初速度在真空中做平抛运动，到达竖直平面MN所用时间为t1；图2中铯原子在真空中从P点做竖直上抛运动，到达最高点Q再返回P点，整个过程所用时间为t2.O点到竖直平面MN、P点到Q点的距离均为0.2 m．重力加速度取g＝10m.则t1∶t2为( )s2A．100∶1 B．1∶100跟进训练1.在高空中匀速飞行的轰炸机，每隔时间t投放一颗炸弹，若不计空气阻力，则投放的炸弹在空中的位置是选项中的(图中竖直的虚线将各图隔离)( )2．[2022·陕西五校联考]墙网球又叫壁球，场地类似于半个网球场，如图所示，在场地一侧立有一竖直墙壁，墙壁上离地面一定高度的位置画了水平线(发球线)，在发球区发出的球必须击中发球线以上位置才有效，假设运动员在某个固定位置将球发出，发球速度(球离开球拍时的速度)方向与水平面的夹角为θ，球击中墙壁位置离地面的高度为h，球每次都以垂直墙壁的速度撞击墙壁，设球撞击墙壁的速度大小为v，球在与墙壁极短时间的撞击过程中无机械能损失，球撞到墙壁反弹后落地点到墙壁的水平距离为x，不计空气阻力，球始终在与墙壁垂直的平面内运动，则下列说法正确的是( )A．h越大，x越大B．v越小，x越大C．h越大，θ越大 D．v越大，h越大考点二平抛运动与各种面结合问题角度1落点在斜面上分解位移，构建位移三例2. [2022·江西八校联考](多选)如图所示，小球A从斜面顶端水平抛出，落在斜面上的Q点，在斜面底端P点正上方水平抛出小球B，小球B也刚好落在斜面上的Q点，B球，A、B 抛出点离斜面底边的高度是斜面高度的一半，Q点到斜面顶端的距离是斜面长度的23两球均可视为质点，不计空气阻力，则A、B两球( )A．平抛运动的时间之比为2∶1B．平抛运动的时间之比为3∶1C．平抛运动的初速度之比为1∶2D．平抛运动的初速度之比为1∶1角度2落点在曲面上例3. [2022·浙江温州一模]如图所示为某种水轮机的示意图，水平管出水口的水流速度恒定为v 0，当水流冲击到水轮机上某挡板时，水流的速度方向刚好与该挡板垂直，该档板的延长线过水轮机的转轴O ，且与水平方向的夹角为30°.当水轮机圆盘稳定转动后，挡板的线速度恰为冲击该挡板的水流速度的一半．忽略挡板的大小，不计空气阻力，若水轮机圆盘的半径为R ，则水轮机圆盘稳定转动的角速度大小为( )A.v 02R B ．v0RC ．√3v 0RD ．2v 0R跟进训练.3 [2022·浙江名校统测]如图所示，水平地面有一个坑，其竖直截面为y ＝kx 2的抛物线(k ＝1，单位为m －1)，ab 沿水平方向，a 点横坐标为－3s2，在a 点分别以初速度v 0、2v 0(v 0未知)沿ab 方向抛出两个石子并击中坑壁，且以v 0、2v 0抛出的石子做平抛运动的时间相等．设以v 0和2v 0抛出的石子做平抛运动的时间为t ，击中坑壁瞬间的速度分别为v 1和v 2，下落高度为H ，仅s 和重力加速度g 为已知量，不计空气阻力，则(选项中只考虑数值大小，不考虑单位)( )A ．不可以求出tB ．可求出t 的大小为 √4sg C ．可以求出v 1的大小为 √3g+16gs 24D ．可求出H 的大小为2s 2考点三 生活中的平抛运动(STSE 问题)素养提升情境1投篮游戏[2021·新疆第二次联考]如图甲所示，投篮游戏是小朋友们最喜欢的项目之一，小朋友站立在水平地面上双手将皮球水平抛出，皮球进入篮筐且不擦到篮筐就能获得一枚小红旗．如图乙所示，篮筐的半径为R，皮球的半径为r，篮筐中心和出手处皮球的中心高度为h1和h2，两中心在水平地面上的投影点O1、O2之间的距离为d.忽略空气的阻力，已知重力加速度为g.设出手速度为v，要使皮球能入筐，则下列说法中正确的是( )A．出手速度大的皮球进筐前运动的时间也长B．速度v只能沿与O1O2连线平行的方向C．速度v的最大值为(d＋R－r)√g2(h2−h1)D．速度v的最小值为(d－R＋r)√2gh2−h1[思维方法]1．处理平抛运动中的临界问题要抓住两点(1)找出临界状态对应的临界条件；(2)用分解速度或者分解位移的思想分析平抛运动的临界问题．2．平抛运动临界极值问题的分析方法(1)确定研究对象的运动性质；(2)根据题意确定临界状态；(3)确定临界轨迹，画出轨迹示意图；(4)应用平抛运动的规律结合临界条件列方程求解．情境2农林灌溉农林灌溉需要扩大灌溉面积，通常在水管的末端加上一段尖管，示意图如图所示，尖管，尖管水平，不考虑空气阻力的影响，下列说法正确的是( )的直径是水管直径的13A．由于增加尖管，单位时间的出水量增加2倍B．由于增加尖管，水平射程增加3倍C．增加尖管前后，空中水的质量不变D．由于增加尖管，水落地时的速度大小增加8倍情境3海鸥捕食[2021·山东卷，16] 海鸥捕到外壳坚硬的鸟蛤(贝类动物)后，有时会飞到空中将它丢下，利用地面的冲击打碎硬壳．一只海鸥叼着质量m＝0.1 kg的鸟蛤，在H＝20 m的高度、，以v0＝15 m/s的水平速度飞行时，松开嘴巴让鸟蛤落到水平地面上．取重力加速度g＝10ms2忽略空气阻力．(1)若鸟蛤与地面的碰撞时间Δt ＝0.005 s ，弹起速度可忽略，求碰撞过程中鸟蛤受到的平均作用力的大小F ；(碰撞过程中不计重力)(2)在海鸥飞行方向正下方的地面上，有一与地面平齐、长度L ＝6 m 的岩石，以岩石左端为坐标原点，建立如图所示坐标系．若海鸥水平飞行的高度仍为20 m ，速度大小在15～17 m/s 之间，为保证鸟蛤一定能落到岩石上，求释放鸟蛤位置的x 坐标范围．第2讲 抛体运动的规律及应用必备知识·自主排查一、 1．重力 2．匀变速3．(1)匀速 (2)自由落体 4．(1)12gt 2√x 2+y 2yx(2)√v x 2+v y 2 v y v x二、1．斜向上方 重力 2．匀变速 抛物线 3．(1)匀速 (2)匀变速生活情境1．(1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)× 教材拓展2．解析：根据合运动与分运动的等时性和独立性特点可知，两球应同时落地，为减小实验误差，应改变装置的高度，多次做实验，选项B 、C 正确；平抛运动的实验与小球的质量无关，选项A 错误；此实验只能说明A 球在竖直方向做自由落体运动，选项D 错误．答案：BC关键能力·分层突破例1 解析：设距离d ＝0.2 m ，铯原子做平抛运动时有d ＝v 0t 1，做竖直上抛运动时有d ＝12g (t 22)2，解得t 1t 2＝1200.故A 、B 、D 错误，C 正确．答案：C1．解析：由题意可知，炸弹被投放后做平抛运动，它在水平方向上做匀速直线运动，与飞机速度相等，所以所有离开飞机的炸弹与飞机应在同一条竖直线上，故A 、C 错误；炸弹在竖直方向上做自由落体运动，从上至下，炸弹间的距离越来越大．故B 正确，D 错误．答案：B 2．解析：将球离开球拍后撞向墙壁的运动反向视为平抛运动，该平抛运动的初速度大小为v ，反弹后球做平抛运动的初速度大小也为v ，两运动的轨迹有一部分重合，运动员在某个固定位置发球，因此不同的发球速度对应击中墙壁的不同高度h ，但所有轨迹均经过发球点，如图所示，h 越大，球从发球点运动到击墙位置的运动时间越长，墙壁到发球点的水平位移x ′相同，则v 越小，由图可知，反弹后球做平抛运动的水平位移x 越小，选项A 、B 、D 错误；设球击中墙壁的位置到发球点的高度为h ′，由平抛运动的推论可知2h ′x ′＝tan θ，则h ′越大，即h 越大，θ越大，选项C 正确．答案：C例2 解析：依题意及几何关系可知，小球A 下落的高度为斜面高度的23，小球B 下落高度为斜面高度的12再减去斜面高度的13，则根据公式h ＝12gt 2，可知A 、B 两球平抛运动时间之比为tA tB ＝2，选项A 正确，B 错误；两小球在水平方向做匀速直线运动，有x ＝v 0t ，小球A水平分位移为斜面宽度的23，小球B 水平分位移为斜面宽度的13，代入上式联立可得v 0A v 0B＝1，选项C 错误，D 正确．答案：AD 例3 解析：由几何关系可知，水流冲击挡板时，水流的速度方向与水平方向成60°角，则有vy v 0＝tan 60°，所以水流速度为v ＝√v 02+v y2 ＝2v 0，根据题意知被冲击后的挡板的线速度为v ′＝12v ＝v 0，所以水轮机圆盘稳定转动的角速度大小为ω＝v ′R＝v0R，选项B 正确．答案：B3．解析：由题可知，两个石子做平抛运动，运动时间一样，则下落的高度H 一样，又因为落在抛物线上，a 、b 是关于y 轴对称的点，可得如下关系3s 2－v 0t ＝2v 0t －3s2，可得v 0t ＝s ，可分别得出落在坑壁上两个石子的横坐标分别为－s 2和s2，由y ＝kx 2，可得初始高度为9s 24，可求得此时高度为s 24，所以利用高度值差可求得H ＝2s 2，由H ＝12gt 2可求出平抛运动的运动时间t ＝ √2Hg ＝2s √1g ，故选项D 正确，A 、B 错误；由前面可求出v 0＝st ＝√g2，竖直方向上的速度v y ＝gt ＝2s √g ，由运动的合成可得v 1＝√v 02+v y2 ＝√g+16gs 24，故选项C 错误．答案：D情境1 解析：本题考查平抛，属于应用性题．平抛运动的时间由下落的高度决定，则进筐的皮球运动时间相同，A 错误；与O 1O 2连线方向成一个合适的角度投出的皮球也可能进筐，B 错误；皮球沿与O 1O 2连线平行的方向投出，下落的高度为h 2－h 1，水平射程临界分别为d ＋R －r 和d ＋r －R ，则投射的最大速度为v max ＝√2(h 2−h 1)g＝(d ＋R －r ) √g2(h 2−h 1)最小速度为v min ＝√2(h 2−h 1)g＝(d －R ＋r ) √g2(h 2−h 1)C 正确，D 错误． 答案：C情境2 解析：单位时间的出水量与单位时间输入水管的量有关，与是否增加尖管无关，选项A 错误；设尖管中水的流速为v 0，水管中水的流速为v ，水管的半径为r ，根据相同时间Δt 内水的流量相同可得，π(r3)2v 0Δt ＝πr 2v Δt ，得水管、尖管中水的流速之比为v v 0＝19，根据平抛运动规律，有h ＝12gt 2，增加尖管后水平射程x 0＝v 0t ＝v 0√2hg ，不加尖管时水平射程x ＝vt ＝v √2hg，可得xx 0＝19，Δx ＝x 0－x ＝8x ，故由于增加尖管，水平射程增加8倍，选项B 错误；不加尖管时，空中水的质量m ＝ρπr 2x ，加尖管时空中水的质量为m 0＝ρ·π(r 3)2·x 0＝πρr 2x ，则m ＝m 0，选项C 正确；由动能定理有mgh ＝12mv 12－12mv 2、m 0gh ＝12m 0v −2212m 0v 02，解得增加尖管前后水落地时的速度分别为v1＝√2g ℎ+v 2、v2＝√2g ℎ+v 02 ，v 2−v 1v 1≠8，选项D 错误．答案：C情境3 解析：(1)设平抛运动的时间为t，鸟蛤落地前瞬间的速度大小为v.竖直方向gt2，v y＝gt，v＝√v02+v y2.分速度大小为v y，根据运动的合成与分解得H＝12在碰撞过程中，以鸟蛤为研究对象，取速度v的方向为正方向，由动量定理得－FΔt ＝0－mv联立并代入数据得F＝500 N(2)若释放鸟蛤的初速度为v1＝15 m/s，设击中岩石左端时，释放点的x坐标为x1，击中岩石右端时，释放点的x坐标为x2，则有x1＝v1t，x2＝x1＋L联立并代入数据得x1＝30 m，x2＝36 m若释放鸟蛤时的初速度为v2＝17 m/s，设击中岩石左端时，释放点的x坐标为x′1，击中岩石右端时，释放点的x坐标为x′2，则有x′1＝v2t，x′2＝x′1＋L联立并代入数据得x′1＝34 m，x′2＝40 m综上得x坐标范围为[34 m，36 m].。
权掇市安稳阳光实验学校抛体运动(1)以一定的初速度水平抛出的物体的运动是平抛运动。
(×)(2)做平抛运动的物体的速度方向时刻在变化，加速度方向也时刻在变化。
(×)(3)做平抛运动的物体初速度越大，水平位移越大。
(×)(4)做平抛运动的物体，初速度越大，在空中飞行时间越长。
(×)(5)从同一高度平抛的物体，不计空气阻力时，在空中飞行的时间是相同的。
( √)(6)无论平抛运动还是斜抛运动，都是匀变速曲线运动。
(√)(7)做平抛运动的物体，在任意相等的时间内速度的变化量是相同的。
(√)突破点(一) 平抛运动的规律1．基本规律(1)速度关系(2)位移关系2．实用结论(1)速度改变量：物体在任意相等时间内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图甲所示。
(2)水平位移中点：因tan α＝2tan β，所以OC＝2BC，即速度的反向延长线通过此时水平位移的中点，如图乙所示。
[题点全练]1.(2019·南通调研)如图所示，某同学以不同的初速度将篮球从同一位置抛出，篮球两次抛出后均垂直撞在竖直墙上，图中曲线为篮球第一次运动的轨迹，O为撞击点，篮球第二次抛出后与墙的撞击点在O点正下方。
忽略空气阻力。
下列说法正确的是( ) A．篮球在空中运动的时间相等B．篮球第一次撞墙时的速度较小C．篮球第一次抛出时速度的竖直分量较小D．篮球第一次抛出时的初速度较小解析：选B 将篮球的运动反向处理，即可视为平抛运动，第二次下落的高度较小，所以运动时间较短，故A错误；水平射程相等，由x＝v0t得知第二次水平分速度较大，即篮球第二次撞墙的速度较大，第一次撞墙时的速度较小，故B正确；第二次运动时间较短，则由v y＝gt可知，第二次抛出时速度的竖直分量较小，故C错误；根据速度的合成可知，不能确定抛出时的速度大小，故D错误。
2.[多选](2019·扬州模拟)如图所示，滑板运动员以速度v0从离地高度h处的平台末端水平飞出，落在水平地面上。
第二节 抛体运动[学生用书P 64]一、平抛运动1．性质：平抛运动是加速度恒为重力加速度g 的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线． 2．规律：以抛出点为原点，以水平方向(初速度v 0方向)为x 轴，以竖直向下的方向为y 轴建立平面直角坐标系，则(1)水平方向：做匀速直线运动，速度：v x ＝v 0，位移：x ＝v 0t .(2)竖直方向：做自由落体运动，速度：v y ＝gt ，位移：y ＝12gt 2.(3)合运动①合速度：v ＝v 2x ＋v 2y ，方向与水平方向夹角为θ，则tan θ＝v y v 0＝gtv 0. ②合位移：x 合＝x 2＋y 2，方向与水平方向夹角为α，则tan α＝y x ＝gt 2v 0.1.(多选)关于平抛运动，下列说法错误的是( )A ．平抛运动是一种在恒力作用下的曲线运动B ．平抛运动的轨迹为抛物线，速度方向时刻变化，加速度方向也时刻变化C ．做平抛运动的物体的初速度越大，在空中的运动时间越长D ．平抛运动的水平位移与下落的高度无关 答案：BCD 二、斜抛运动 1．性质加速度为g 的匀变速曲线运动，轨迹为抛物线．2．规律(以斜向上抛为例说明，如图所示)(1)水平方向：做匀速直线运动，v x ＝v 0cos θ. (2)竖直方向：做竖直上抛运动，v y ＝v 0sin θ－gt .2.(单选)做斜上抛运动的物体，到达最高点时( )A ．速度为零，加速度向下B ．速度为零，加速度为零C ．具有水平方向的速度和竖直向下的加速度D ．具有水平方向的速度和加速度 答案：C考点一 平抛运动的基本规律及应用 [学生用书P 64]1．飞行时间：由t ＝2hg知，时间取决于下落高度h ，与初速度v 0无关．2．水平射程：x ＝v 0t ＝v 02hg，即水平射程由初速度v 0和下落高度h 共同决定，与其他因素无关．3．落地速度：v t ＝v 2x ＋v 2y ＝v 20＋2gh ，以θ表示落地速度与x 轴正方向的夹角，有tan θ＝v y v x ＝2ghv 0，所以落地速度也只与初速度v 0和下落高度h 有关．4．速度改变量：因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g ，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt 内的速度改变量Δv ＝g Δt 相同，方向恒为竖直向下，如图甲所示．5．两个重要推论(1)做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图乙中A 点和B 点所示．(2)做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻任一位置处，设其末速度方向与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为θ，则tan α＝2tan θ.(高考改编题)(1)(单选)在“研究平抛运动”的实验中，得到了平抛小球的运动轨迹，在轨迹上取一些点，以平抛起点O 为坐标原点，测量它们的水平坐标x 和竖直坐标y ，下图中y －x 2图象能说明平抛小球运动轨迹为抛物线的是( )(2)如图是某同学根据实验画出的平抛小球的运动轨迹，O 为平抛的起点，在轨迹上任取三点A 、B 、C ，测得A 、B 两点竖直坐标y 1为5.0 cm 、y 2为45.0 cm ，A 、B 两点水平间距Δx 为40.0 cm.则平抛小球的初速度v 0为________m/s ，若C 点的竖直坐标y 3为60.0 cm ，则小球在C 点的速度v C 为________m/s(结果保留两位有效数字，g 取10 m/s 2)．[解析] (1)对平抛运动，水平位移x ＝v 0t ，竖直位移y ＝12gt 2，联立上述两式得y ＝g2v 2x 2，故y －x 2图线应为直线，故选c.(2)由y ＝12gt 2解得，从O 点运动到A 、B 、C 各点的时间分别为t 1＝0.1 s 、t 2＝0.3 s 、t 3＝0.2 3 s ，则平抛初速度v 0＝Δx t 2－t 1＝2.0 m/s ，在C 点速度v C ＝v 20＋ gt 3 2＝4.0 m/s.[答案] (1)c (2)2.0 4.0[总结提升] “化曲为直”思想在抛体运动中的应用(1)根据等效性，利用运动分解的方法，将其转化为两个方向上的直线运动，在这两个方向上分别求解．(2)运用运动合成的方法求出平抛运动的速度、位移等．1.(单选)(2015·济南模拟)如图所示，从某高度水平抛出一小球，经过时间t 到达地面时，速度与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g .下列说法正确的是( )A ．小球水平抛出时的初速度大小为gt tan θB ．小球在t 时间内的位移方向与水平方向的夹角为θ2C ．若小球初速度增大，则平抛运动的时间变长D ．若小球初速度增大，则θ减小 解析：选D.速度、位移分解如图v y ＝gt ，v 0＝v y tan θ＝gttan θ，故A 错． 设位移与水平方向夹角为α，则tan θ＝2tan α，α≠θ2，故B错．平抛时间由下落高度决定，与水平初速度无关，故C 错．由tan θ＝v y v 0知，v 0增大θ减小，D 正确．考点二 与斜面相关联的平抛运动 [学生用书P 65]斜面上的平抛问题是一种常见的题型，在解答这类问题时除要运用平抛运动的位移和速度规律，还要充分运用斜面倾角，找出斜面倾角同位移和速度与水平方向夹角的关系，从而(多选)(2015·山东临沂质检)跳台滑雪是奥运比赛项目之一，利用自然山形建成的跳台进行，某运动员从弧形雪坡上沿水平方向飞出后，又落回到斜面雪坡上，如图所示，若斜面雪坡的倾角为θ，飞出时的速度大小为v 0，不计空气阻力，运动员飞出后在空中的姿势保持不变，重力加速度为g ，则( )A ．如果v 0不同，该运动员落到雪坡时的位置不同，速度方向也不同B ．如果v 0不同，该运动员落到雪坡时的位置不同，但速度方向相同C ．运动员在空中经历的时间是2v 0tan θgD ．运动员落到雪坡时的速度大小是v 0cos θ[解析] 运动员落到雪坡上时，初速度越大，落点越远；位移与水平方向的夹角为θ，速度与水平方向的夹角为α.则有tan α＝2tan θ，所以初速度不同时，落点不同，但速度方向与水平方向的夹角相同，故选项A 错误，B 正确；由平抛运动规律可知x ＝v 0t ，y ＝12gt 2且tan θ＝y x ，可解得t ＝2v 0tan θg，故选项C 正确；运动员落到雪坡上时，速度v ＝v 20＋ gt 2＝v 01＋4tan 2θ，故选项D 错误．[答案] BC[总结提升] 与斜面有关的平抛运动问题分为两类：(1)从斜面上某点抛出又落到斜面上，位移与水平方向夹角等于斜面倾角； (2)从斜面外抛出的物体落到斜面上，注意找速度方向与斜面倾角的关系．2.(多选)(·高考上海卷)如图，轰炸机沿水平方向匀速飞行，到达山坡底端正上方时释放一颗炸弹，并垂直击中山坡上的目标A .已知A 点高度为h ，山坡倾角为θ，由此可算出( )A ．轰炸机的飞行高度B ．轰炸机的飞行速度C ．炸弹的飞行时间D ．炸弹投出时的动能解析：选ABC.设轰炸机投弹位置高度为H ，炸弹水平位移为x ，则H －h ＝12v y ·t ，x ＝v 0t ，二式相除H －h x ＝12·v y v 0，因为v y v 0＝1tan θ，x ＝h tan θ，所以H ＝h ＋h2tan 2θ，A 正确；根据H －h ＝12gt 2可求出飞行时间，再由x ＝v 0t 可求出飞行速度，故B 、C 正确；不知道炸弹质量，不能求出炸弹的动能，D 错误．考点三 与圆轨道关联的平抛运动 [学生用书P 66]在竖直半圆内进行平抛时，圆的半径和半圆轨道对平抛运动形成制约．画出落点相对圆心的位置，利用几何关系和平抛运动规律求解．如图，水平地面上有一个坑，其竖直截面为半圆．ab 为沿水平方向的直径．若在a 点以初速度v 0沿ab 方向抛出一小球，小球会击中坑壁上的c 点．已知c 点与水平地面的距离为圆半径的一半，求圆的半径．[解析] 如图所示，h ＝R2，则Od ＝32R 小球做平抛运动的水平位移x ＝R ＋32R竖直位移y ＝h ＝R2又y ＝12gt 2，x ＝v 0t联立以上各式解得R ＝4v 27＋43 g .[答案] 4v 207＋43 g3.(多选)如图，从半径为R ＝1 m 的半圆AB 上的A 点水平抛出一个可视为质点的小球，经t ＝0.4 s 小球落到半圆上，已知当地的重力加速度g ＝10 m/s 2，则小球的初速度v 0可能为( )A ．1 m/sB ．2 m/sC ．3 m/sD ．4 m/s 解析：选AD.由于小球经0.4 s 落到半圆上，下落的高度h ＝12gt 2＝0.8 m ，位置可能有两处，如图所示： 第一种可能：小球落在半圆左侧， v 0t ＝R －R 2－h 2＝0.4 m ，v 0＝1 m/s 第二种可能：小球落在半圆右侧，v 0t ＝R ＋R 2－h 2＝1.6 m ，v 0＝4 m/s ，选项A 、D 正确．[学生用书P 66]真题剖析——平抛运动的临界问题(16分)(·高考浙江卷)如图所示，装甲车在水平地面上以速度v 0＝20 m/s 沿直线前进，车上机枪的枪管水平，距地面高为h ＝1.8 m ．在车正前方竖直立一块高为两米的长方形靶，其底边与地面接触．枪口与靶距离为L 时，机枪手正对靶射出第一发子弹，子弹相对于枪口的初速度为v ＝800 m/s.在子弹射出的同时，装甲车开始匀减速运动，行进s ＝90 m 后停下．装甲车停下后，机枪手以相同方式射出第二发子弹．(不计空气阻力，子弹看成质点，重力加速度g ＝10 m/s 2)(1)求装甲车匀减速运动时的加速度大小； (2)当L ＝410 m 时，求第一发子弹的弹孔离地的高度，并计算靶上两个弹孔之间的距离； (3)若靶上只有一个弹孔，求L 的范围．[审题点睛] (1)装甲车以初速20 m/s 匀减速停下来，前进了90 m ，利用匀变速运动公式求加速度．(2)第(2)问中，属于根据平抛运动规律求竖直位移问题，注意：①两发子弹初速不同，②时间根据水平方向的分运动求解．(3)第(3)问属于临界问题，靶上只有一个弹孔，是指一发子弹打到靶上，另一发打到地上，具体情况为：①第一发子弹恰好打不到靶下沿，第二发打到靶上；②第二发子弹恰好打到靶下沿，第一发打到地上，可见靶下沿是打到和打不到靶上的临界点．根据题给条件，不会出现两子弹打到靶的同一点的情况．[规范解答]—————————该得的分一分不丢！ (1)装甲车匀减速运动的加速度大小a ＝v 202s ＝209 m/s 2.(2分) (2)第一发子弹飞行时间t 1＝Lv ＋v 0＝0.5 s(2分)弹孔离地高度h 1＝h －12gt 21＝0.55 m(2分)第二发子弹的弹孔离地的高度h 2＝h －12g ⎝ ⎛⎭⎪⎫L －s v 2＝1.0 m(2分)两弹孔之间的距离Δh ＝h 2－h 1＝0.45 m ．(1分)(3)第一发子弹打到靶的下沿时(第二发打到靶上)，装甲车离靶的距离为L 1L 1＝(v 0＋v )2hg＝492 m(3分)第二发子弹打到靶的下沿时(第一发打到地上)，装甲车离靶的距离为L 2L 2＝v 2hg＋s ＝570 m(3分)故L 的范围为492 m<L ≤570 m．(1分)[答案] (1)209m/s 2(2)0.55 m 0.45 m(3)492 m<L ≤570 m[剖析感悟] (1)在解决临界和极值问题时，正确找出临界条件(点)是解题关键． (2)对于平抛运动，已知平抛点高度，又已知初速度和水平距离时，要进行平抛运动时间的判断，即比较t 1＝2h g 与t 2＝xv 0，平抛运动时间取t 1、t 2的小者．(3)本题中，两发子弹不可能打到靶上同一点的说明：若打到靶上同一点，则子弹平抛运动时间相同，即t ＝L v 0＋v ＝L －90v ，L ＝3 690 m ，t ＝4.5 s ＞2hg＝0.6 s ，即子弹0.6 s 后就已经打到地上．4.(多选)如图所示，相距l 的两小球A 、B 位于同一高度h (l 、h 均为定值)．将A 向B 水平抛出的同时，B 自由下落．A 、B 与地面碰撞前后，水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反．不计空气阻力及小球与地面碰撞的时间，则( )A ．A 、B 在第一次落地前能否相碰，取决于A 的初速度 B ．A 、B 在第一次落地前若不碰，此后就不会相碰C ．A 、B 不可能运动到最高处相碰D ．A 、B 一定能相碰解析：选AD.平抛运动规律x ＝vt ，h ＝12gt 2，所以x ＝v 2hg，若x ≥l ，则第一次落地前能相碰，所以取决于v ，A 正确；若第一次落地前未相碰，则由于A 、B 反弹后的竖直分速度仍相同，且A 的水平分速度不变，所以A 碰地后还能与B 相遇，故B 、C 错误，D 正确．[学生用书P 67]1．(多选)(2015·镇江模拟)在一次体育活动中，两位同学一前一后在同一水平直线上的两个位置沿水平方向分别抛出两个小球A 和B ，两个小球的运动轨迹如图所示，不计空气阻力．要使两小球在空中发生碰撞，则必须( )A ．先抛出A 球再抛出B 球 B ．同时抛出两球C ．A 球抛出速度大于B 球抛出速度D ．使两球质量相等解析：选BC.两球到轨迹交点的竖直高度相等，运动时间相同，故A 错，B 对；A 球水平位移大，初速大，故C 正确；平抛运动物体的运动规律与质量无关，D 错．2．(单选)(2015·江西鹰潭一模)如图所示，水平地面附近，小球B 以初速度v 斜向上瞄准另一小球A 射出，恰巧在B 球射出的同时，A 球由静止开始下落，不计空气阻力．则两球在空中运动的过程中( )A ．A 做匀变速直线运动，B 做变加速曲线运动 B ．相同时间内B 速度变化一定比A 的速度变化大C ．A 、B 两球落地前，其水平间距随时间均匀变化D ．A 、B 两球一定会相碰解析：选C.A 、B 两球运动过程中只受重力，都做匀变速运动，Δt 内的速度改变量Δv ＝g Δt ，大小相等，方向相同，故A 、B 错误．落地前B 相对A 做匀速直线运动，两者间距均匀减小，C 对．只有当ABv不小于A 球落地时间时，才会在空中相碰，D 错误．3.(单选)(2015·成都模拟)如图所示，一小球从一半圆轨道左端A 点正上方某处开始做平抛运动(小球可视为质点)，飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B 点．O 为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为R ，OB 与水平方向夹角为60°，重力加速度为g ，则小球抛出时的初速度为( )A. 3gR2 B. 33gR2 C.3gR 2D.3gR 3解析：选B.将B 点的速度分解为v 0和v y ，则tan 60°＝v 0v y ，v y ＝33v 0，而v y ＝gt ，所以t ＝v y g ＝3v 03g ，由几何关系，小球水平方向的位移x ＝R ＋R cos 60°＝32R ，根据x ＝v 0t 得，v 0＝33gR2，B 正确．4.(单选)(2015·山东烟台一模)如图所示，斜面上A 、B 、C 三点等距，小球从A 点正上方O 点以初速度v 0水平抛出，忽略空气阻力，恰好落在C 点．若小球落点位于B ，则其初速度应满足( )A ．v ＝12v 0B ．v ＜12v 0C ．v 0＞v ＞12v 0D ．v ＞v 0解析：选B.根据几何关系可知，OC 的水平位移是OB 水平位移的两倍，根据h ＝12gt 2，得t ＝2h g ，OC 的时间小于OB 的时间，由v ＝x t 可知，v ＜12v 0，B 正确． 5.(单选)(2015·河北邢台质检)如图所示，在斜面顶端的A 点以速度v 平抛一小球，经t 1时间落到斜面上B 点处，若在A 点将此小球以速度0.5v 水平抛出，经t 2时间落到斜面上的C 点处，以下判断正确的是( )A ．AB ∶AC ＝2∶1 B ．AB ∶AC ＝4∶1 C ．t 1∶t 2＝4∶1D ．t 1∶t 2＝2∶1解析：选B.由平抛运动规律有：x ＝v 0t ，y ＝12gt 2，则tan θ＝y x ＝gt2v 0，将两次实验数据均代入上式，联立解得t 1∶t 2＝2∶1，C 、D 项均错．它们竖直位移之比y B ∶y C ＝12gt 21∶12gt 22＝4∶1，所以AB ∶AC ＝y B sin θ∶y Csin θ＝4∶1，故A 错误，B 正确．6.(单选)(2015·北京东城区模拟)如图所示，在一次空地联合军事演习中，离地面H 高处的飞机以水平对地速度v 1发射一颗炸弹轰炸地面目标P ，反应灵敏的地面拦截系统同时以初速度v 2竖直向上发射一颗炮弹拦截(炮弹运动过程视为竖直上抛)，设此时拦截系统与飞机的水平距离为x ，若拦截成功，不计空气阻力，则v 1、v 2的关系应满足( )A ．v 1＝H x v 2B ．v 1＝v 2x HC ．v 1＝xHv 2D ．v 1＝v 2解析：选C.炮弹拦截成功，即炮弹与炸弹同时运动到同一位置．设此位置距地面的高度为h ，则x ＝v 1t ，h ＝v 2t －12gt 2，H －h ＝12gt 2，由以上各式联立解得v 1＝xHv 2，C 正确．一、单项选择题1．(2015·深圳模拟)如图所示，在距水平地面H 和4H 高度处，同时将质量相同的a 、b 两小球以相同的初速度v 0水平抛出，则以下判断正确的是( )A ．a 、b 两小球同时落地B ．两小球落地速度方向相同C ．a 、b 两小球水平位移之比为1∶2D ．a 、b 两小球水平位移之比为1∶4解析：选C.a 、b 两小球均做平抛运动，由于下落时间t ＝2hg，水平位移x ＝v 02hg，将h a ＝H ，h b ＝4H 代入上述关系式可得A 、D 错误，C 正确；两小球落地时速度方向均与落地点沿轨迹的切线方向一致，所以B 错误．2.(2015·湖北八校联考)如图所示，在竖直放置的半圆形容器的中心O 点分别以水平初速度v 1、v 2抛出两个小球(可视为质点)，最终它们分别落在圆弧上的A 点和B 点，已知OA 与OB 互相垂直，且OA 与竖直方向成α角，则两小球初速度之比v 1v 2为( )A ．tan αB ．cos αC ．tan αtan αD ．cos αcos α解析：选C.两小球被抛出后都做平抛运动，设容器半径为R ，两小球运动时间分别为t 1、t 2，对A 球：R sin α＝v 1t 1，R cos α＝12gt 21；对B 球：R cos α＝v 2t 2，R sin α＝12gt 22，解四式可得：v 1v 2＝tan αtan α，C 项正确．3.(2015·四川泸州一模)斜面上有a 、b 、c 、d 四个点，如图所示，ab ＝bc ＝cd ，从a 点正上方的O 点以速度v 水平抛出一个小球，它落在斜面上b 点，若小球从O 点以速度2v 水平抛出，不计空气阻力，则它落在斜面上的( )A ．b 与c 之间某一点B ．c 点C ．c 与d 之间某一点D ．d 点解析：选A.小球以2v 平抛，落到与b 点同高的水平面上，水平射程变为原来的2倍，由作图可知，A 正确．4．(·高考新课标全国卷Ⅱ)取水平地面为重力势能零点．一物块从某一高度水平抛出，在抛出点其动能与重力势能恰好相等．不计空气阻力．该物块落地时的速度方向与水平方向的夹角为( )A.π6B. π4C.π3D.5π12解析：选B.设物块的初速度为v 0，质量为m ，依题意有：mgh ＝12mv 20，设物块落地瞬间水平速度分量为v x ，竖直速度分量为v y ，则根据平抛运动的规律可得：v x ＝v 0，v y ＝2gh ，即v x ＝v y ＝v 0，所以物块落地时速度方向与水平方向夹角为π4，B 项正确．5．(2015·湖南五市十校联考)如图所示，小球从楼梯上以2 m/s 的速度水平抛出，所有台阶的高度和宽度均为0.25 m ，g 取10 m/s 2，小球抛出后首先落到的台阶是( )A ．第1级台阶B ．第2级台阶C ．第3级台阶D ．第4级台阶 解析：选D.小球做平抛运动，设小球第1次落在第n 级台阶上，水平方向上有nl ＝v 0t ，竖直方向上有nl ＝12gt 2，解得n ＝3.2，故小球将落在第4级台阶上，D 正确．☆6.(2015·陕西五校联考)如图所示，一足够长的固定斜面与水平面的夹角为37°，物体A 以初速度v 1从斜面顶端水平抛出，物体B 在斜面上距顶端L ＝15 m 处同时以速度v 2沿斜面向下匀速运动，经历时间t 物体A 和物体B 在斜面上相遇，则下列各组速度和时间中满足条件的是(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g ＝10 m/s 2)( )A ．v 1＝16 m/s ，v 2＝15 m/s ，t ＝3 sB ．v 1＝16 m/s ，v 2＝16 m/s ，t ＝2 sC ．v 1＝20 m/s ，v 2＝20 m/s ，t ＝3 sD ．v 1＝20 m/s ，v 2＝16 m/s ，t ＝2 s解析：选C.由题知，v 1t L ＋v 2t ＝cos 37°＝0.8，12gt 2v 1t ＝tan 37°＝34，将数据代入知C 正确，A 、B 、D 错误．二、多项选择题7.(·高考江苏卷)如图所示，从地面上同一位置抛出两小球A 、B ，分别落在地面上的M 、N 点，两球运动的最大高度相同. 空气阻力不计，则( )A ．B 的加速度比A 的大 B ．B 的飞行时间比A 的长C ．B 在最高点的速度比A 在最高点的大D ．B 在落地时的速度比A 在落地时的大解析：选CD.两球加速度都是重力加速度g ，A 错误；飞行时间t ＝22hg ，h 相同则t相同，B 错误；水平位移x ＝v x ·t ，在t 相同情况下，x 越大说明v x 越大，C 正确；落地速度v ＝v 2x ＋v 2y ，两球落地时竖直速度v y 相同，可见v x 越大，落地速度v 越大，D 正确．8.如图所示，A 、B 两质点以相同的水平速度v 0抛出，A 在竖直面内运动，落地点为P 1，B 沿光滑斜面运动，落地点为P 2，不计空气阻力，比较P 1、P 2在x 轴方向上距抛出点的远近关系及落地瞬时速度的大小关系，则( )A ．P 1较近B ．P 1、P 2一样远C ．A 落地时速率大D ．A 、B 落地时速率一样大解析：选AD.质点A 做平抛运动，则x A ＝v 02h g ，v yA ＝g 2h g，v A ＝v 20＋v 2yA ；质点B 做类平抛运动，则x B ＝v 02h g sin 2θ，v yB ＝g sin θ2h g sin 2θ＝g 2h g，v B ＝v 20＋v 2yB ；解以上各式得x A ＜x B ，v A ＝v B ，选项A 、D 正确，B 、C 错误．9.(2015·安徽六安一中段考)如图所示，一演员表演飞刀绝技，由O 点先后抛出完全相同的3把飞刀，分别依次垂直打在竖直木板M 、N 、P 三点上．假设不考虑飞刀的转动，并可将其视为质点，已知O 、M 、N 、P 四点距离水平地面高度分别为h 、4h 、3h 、2h ，以下说法正确的是( )A ．3把飞刀在击中板时动能相同B ．到达M 、N 、P 三点的飞行时间之比为1∶2∶ 3C ．到达M 、N 、P 三点的初速度的竖直分量之比为3∶2∶1D ．设到达M 、N 、P 三点，抛出飞刀的初速度与水平方向夹角分别为θ1、θ2、θ3，则有θ1＞θ2＞θ3解析：选CD.将运动逆向看，可视为3个平抛运动且到达O 点时水平位移相等．由H ＝12gt 2得t ＝2H g，则到达M 、N 、P 三点的飞行时间之比为3∶2∶1，B 错误．在水平方向有l ＝v M t 1＝v N t 2＝v P t 3，由E k ＝12mv 2知3把飞刀在击中板时打在M 点处的动能最小，打在P 点处的动能最大，A 错误．由v y ＝gt 可知到达M 、N 、P 三点的初速度的竖直分量之比为3∶2∶1，C 正确．作出抛体运动的轨迹，可知θ1＞θ2＞θ3，D 正确．10.(2015·浙江杭州一模)年温布尔登网球公开赛于6月23日～7月6日在英国伦敦举行．如图所示是比赛场地，已知底线到网的距离为L ，运动员在网前截击，若在球网正上方距地面H 处，将球以水平速度沿垂直球网的方向击出，球刚好落在底线上．将球的运动视做平抛运动，重力加速度为g ，则下列说法正确的是( )A ．根据题目条件能求出球的水平速度vB ．根据题目条件能求出球从击出至落地所用时间tC ．球从击球点至落地点的位移等于LD ．球从击球点至落地点的水平位移与球的质量无关 解析：选ABD.球的运动为平抛运动，竖直方向为自由落体运动，H ＝12gt 2，水平方向为匀速直线运动，L ＝v 0t ，可求出时间t ＝2H g ，v 0＝L t ＝L g 2H ，A 、B 正确；击球点至落地点的位移为H 2＋L 2，C 错误；水平位移L ＝v 0t ＝v 02H g，D 正确． 三、非选择题11.(2015·江西八校联考)如图所示，在水平地面上固定一倾角θ＝37°表面光滑的斜面体，物体A 以v 1＝6 m/s 的初速度沿斜面上滑，同时在物体A 的正上方，有一物体B 以某一初速度水平抛出．如果当A上滑到最高点时恰好被B 物体击中．(A 、B 均可看做质点，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)求：(1)物体A 上滑到最高点所用的时间t ；(2)物体B 抛出时的初速度v 2.解析：(1)物体A 上滑过程中，由牛顿第二定律得：mg sin θ＝ma解得：a ＝6 m/s 2设经过时间t 物体A 上滑到最高点，由运动学公式：0＝v 1－at解得：t ＝1 s.(2)平抛物体B 的水平位移：x ＝12v 1t cos 37°＝2.4 m 平抛速度：v 2＝x t＝2.4 m/s.答案：(1)1 s (2)2.4 m/s☆12.(2015·杭州模拟)某电视台娱乐节目，要求选手要从较高的平台上以水平速度v 0跃出后，落在水平传送带上，已知平台与传送带高度差H ＝1.8 m ，水池宽度s 0＝1.2 m ，传送带A 、B 间的距离L 0＝20.85 m ，由于传送带足够粗糙，假设人落到传送带上后瞬间相对传送带静止，经过一个Δt ＝0.5 s 反应时间后，立刻以a ＝2 m/s 2、方向向右的加速度跑至传送带最右端．(1)若传送带静止，选手以v 0＝3 m/s 水平速度从平台跃出，求从开始跃出到跑至传送带右端经历的时间；(2)若传送带以u ＝1 m/s 的恒定速度向左运动，选手若要能到达传送带右端，则从高台上跃出的水平速度v 1至少多大．解析：(1)选手离开平台做平抛运动，则： H ＝12gt 21 t 1＝2Hg ＝0.6 sx 1＝v 0t 1＝1.8 m选手在传送带上做匀加速直线运动，则：L 0－(x 1－s 0)＝12at 22 t 2＝4.5 st ＝t 1＋t 2＋Δt ＝5.6 s.(2)选手以水平速度v 1跃出落到传送带上，先向左匀速运动后再向左匀减速运动，刚好不从传送带上掉下时水平速度v 1最小，则：v 1t 1－s 0＝u Δt ＋u 22a解得：v 1＝3.25 m/s.答案：(1)5.6 s(2)3.25 m/s。
