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第八章 多元函数微分学 第六节 多元函数的极值及其应用PPT课件

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多元函数微积分学

多元函数微积分学

3、 f ( x, y) f ( x, y) y x
x
y
4、 f ( x, y) 1, f ( x, y) 2 y.
x
y
二、隐函数的求导法则（重点）
(1) F( x, y) 0
隐函数存在定理 1 设函数F ( x, y)在点 P( x0 , y0 )的 某一邻域内具有连续的偏导数，且F( x0 , y0 ) 0， Fy ( x0 , y0 ) 0，则方程F ( x, y) 0在点 P( x0 , y0 )的
y
x y
3. 设 f ( x y, x y) x2 y2 , 求 f ( x, y) f ( x, y) .
x
y
4．设 f ( xy, x y) x2 y2 xy, 求 f ( x, y) , f ( x, y)
x
y
练习四答案
1、 dz esin xcos x (cos2 x sin2 x); dx
z 2ex2y y 2z 2ex2y x y
2z 2 e x2 y y x
2 z y2
4e x2 y
二、全微分概念
如果函数z f ( x, y)在点( x, y)的全增量 z f ( x x, y y) f ( x, y)可以表示为
z
uv tt
定理 2 如果u ( x, y)及v ( x, y)都在点
( x, y)具有对 x和 y 的偏导数，且函数z f (u,v)
在对应点(u, v )具有连续偏导数，则复合函数
z f [ ( x, y), ( x, y)]在对应点( x, y)的两个偏
导数存在，且可用下列公式计算

大学课程《高等数学》PPT课件：6-6 多元函数的极值及其求法

大学课程《高等数学》PPT课件：6-6 多元函数的极值及其求法
第六章
多元函数的极值及其求法
一、多元函数的极值 二、多元函数的最大值与最小值 三、条件极值与拉格朗日乘数法
一、多元函数的极值
定义1 设函数 z f x, y 在点 x0, y0 的某个邻
域内有定义，
对于该邻域内的任何点 x, y x0, y0 ，若总有
f x, y f x0, y0
若有，加以判别是否为极值点.
例3 考察 z x2 y2 是否有极值. 解 因为 z x , z y 在 x 0, y 0
x x2 y2 y x2 y2
处偏导数不存在，但是对任意点 x, y 0,0， 均有 f x, y f 0,0 0，所以函数在 0,0 点取得极大值.
从上例可知，在考虑函数的极值问题时，除了考 虑函数的驻点外，如果有偏导数不存在的点，那 么对这些点也应当考虑.
构造拉格朗日函数
31
F x, y, 100x4 y4 50000 150x 250y
由方程组
1 1
Fx 75x 4 y 4 150 0
Fy
3
25x 4
3
y4
250
0
F 50 000 150x 250 y 0
中的第一个方程解得
1
1
x4
1
y4
2
，将其代入第二
个方程中，得
3 3
1 1
其中 x ，y 就是函数在条件 x, y=0 下的可能
极值点的坐标.
（3）如何确定所求点是否为极值点，在实际问题中往 往可根据问题本身的性质来判定. 拉格朗日乘数法也可能推广到自变量多于两个而条件 多于一个的情形.
例如，求函数 u f x, y, z,t 在条件 x, y, z,t 0 ，

《多元函数微分学》课件

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第二章：多元函数的连续性
多元函数的连续性概念
解释多元函数连续性的定义和特 点。
多元函数的间断点
探讨多元函数可能出现的间断点 情况。
多元函数在点和区间上的 连续性
讲解多元函数在点和区间上连续 的条件和性质。
第三章：多元函数的偏导数与全微分
1
多元函数的偏导数
介绍多元函数的偏导数概念和计算方法。
偏导数的计算方法
3 二重积分与三重积分的转化
探讨二重积分与三重积分的相互转化和应用。
第五章：多元函数积分学
1
多元函数积分的概念
解释多元函数积分的定义和性质。
2
多元函数积分的性质
讨论多元函数积分的基本性质和计算方法。
3
多元函数积分的计算方法
探索多元函数积分的计算技巧和应用。
第六章：多元函数积分学应用
1 二重积分的应用
介绍二重积分在实际问题中的应用。
2 三重积分的应用
讲解三重积分在科学和工程领域的重要应用。
《多元函数微分学》PPT 课件
欢迎来到《多元函数微分学》PPT课件！本课程将深入讲解多元函数的各个方 面，帮助您全面掌握多元函数微分学的知识。
第一章：多元函数及其极限
多元函数的概念
介绍多元函数的基本概念和定义。
多元函数的极限
讨论多元函数的极限概念和计算方法。
多元函数极限的运算法则
探讨多元函数极限的运算法则和性质。
2
讨论多元函数偏导数的计算方法和应用。
3
多元函数的全微分及其计算方法
探索多ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ函数全微分的定义和计算方式。
第四章：多元函数的微分学应用
多元函数的极值及其判定方法
讲解多元函数极值的概念和判定方法。

8.6 向量值函数及多元函数微分学的几何应用

8.6 向量值函数及多元函数微分学的几何应用
M
z z0 (F , G) ( x , y )
M
法平面方程
(F , G) ( x x0 ) ( z , x) M (F , G) ( x , y )
M
( y y0 ) ( z z0 ) 0
M
§ 8.6 向量值函数及多元函数微分学的几何应用 法平面方程
(F , G) (F , G) ( x x0 ) ( y y0 ) ( y, z ) M ( z , x) M (F , G) ( z z0 ) 0 ( x , y) M
§ 8.6 向量值函数及多元函数微分学的几何应用 例4. 求曲线 x t , y t 2 , z t 3 在点 M (1, 1, 1) 处的切线 方程与法平面方程. 解： x 1, y 2 t , z 3t 2 , 点(1, 1, 1) 对应于 思考: 光滑曲线 y ( x) 因此所求切线方程为 : z ( x) x 1 y 1 z 1 的切向量有何特点? 2 3 1 xx 法平面方程为 答: : y ( x ) ( x 1) 2 ( y 1) 3( z 1) 0 z ( x) 即 x 2 y 3z 6 切向量 T (1, , ) 故点M 处的切向量为 T (1, 2, 3)
T

M

利用
点向式可建立曲线的切线方程 点法式可建立曲线的法平面方程
§ 8.6 向量值函数及多元函数微分学的几何应用 1. 曲线方程为参数方程的情况 给定光滑曲线
设 上的点 M ( x0 , y0 , z0 ) 对应 t t0 , (t0 ), (t0 ), (t0 )不全
为0, 则 在点M 的导向量为

《高等数学教学课件》9.1多元函数微分学法及其应用

《高等数学教学课件》9.1多元函数微分学法及其应用

在社会科学中的应用（如人口动态学、市场均衡分析等）
在工程科学中的应用（如机器人控制、信号处理等）
总结词：优化和控制
感谢观看
THANKS
全微分的定义
线性性质、可加性、全微分与偏导数的关系、全微分与方向导数的关系。
全微分的性质
全微分的定义与性质
03
梯度的性质
梯度与方向导数的关系、梯度的几何意义。
01
方向导数的定义
在某一方向上函数值的变化率。
02
梯度的定义
方向导数在各个方向上的最大值，表示函数值变化最快的方向。
方向导数与梯度
04
多元函数的极值
在物理科学中的应用（如流体动力学、热传导等）
总结词：揭示内在机制 总结词：预测和政策制定 总结词：复杂系统分析 详细描述：在人口动态学和市场均衡分析等社会科学领域，多元函数微分学也具有广泛的应用。通过建立微分方程模型，我们可以揭示人口动态变化和市场供需关系的内在机制，预测未来的发展趋势。此外，这些模型还可以为政策制定提供依据，帮助政府和企业制定有效的政策和措施。在复杂系统分析中，多元函数微分学也为我们提供了理解和预测系统动态行为的有力工具。
极值点处的函数一阶导数必须为零
如果一个多元函数在某点的所有偏导数都为零，并且该点的二阶导数矩阵正定，那么该点就是函数的极值点。
费马定理是判断多元函数极值点的充分条件，但在实际应用中，需要结合其他条件进行判断，例如函数的单调性、凹凸性等。
极值的充分条件（费马定理）
费马定理的应用
费马定理
最大值与最小值的定义
多元函数的表示方法
可以用数学符号表示，如$z = f(x, y)$，其中$x$和$y$是自变量，$z$是因变量。
多元函数的定义域

08多元函数微分法

08多元函数微分法

x, x,
y y
0 0
x, y0
得x , y及λ,则 (x , y) 是 f(x , y) 在条件
x,y0 下的可能极值点。
2020/3/25
［例6］ 设生产某种产品的数量与 所用的两种原料A，B的数量x，y间 的关系式 f (x , y )= 0.00 5x2 y ，欲用150 元购料，已知A，B原料的单价分别 为1元，2元，问购进两种原料各多少， 可使生产数量最多？
当x=1,y=2,z=3
>> syms x y z
>> z=x^4+y^4-4*x^2*y^2;
>> zxx=diff(z,x,2)
>> zyy=diff(z,y,2)
>> zxy=diff(diff(z,x),y) >> x=1;y=2; >> eval(zxy)
2020/3/25
zxx =12*x^2-8*y^2 zyy =12*y^2-8*x^2 zxy =-16*x*y
法线方程为：
F xx x 0 ,y x 0 0 ,z0F yx y 0 ,y y 0 0 ,z0F zx z0 ,y z0 0 ,z0
2020/3/25
[例8]求曲面 ez-z+xy=3 在点 ( 2, 1, 0) 处的切平面及法线方程。
>> syms x y z >> F=exp(z)-z+x*y-3; >> n=[diff(F,x) diff(F,y) diff(F,z)]; %求曲 面的法向量 >> x=2; y=1; z=0; >> n0=eval(n)
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微积分教学课件第8章多元函数微积分学第6节多元函数的极值与最值

微积分教学课件第8章多元函数微积分学第6节多元函数的极值与最值

则构造拉格朗日函数为
L( x, y, z;, ) f ( x, y, z) g( x, y, z) h( x, y, z) .
f x ( x, y, z) gx ( x, y, z) hx ( x, y, z) 0
令
f f
y ( x, z( x,
y, y,
z) z)
gy ( x, gz ( x,
注意：极值点
驻点
例如, 点(0,0)是函数z xy的驻点，但不是极值点.
问题：如何判定一个驻点是否为极值点？
12
定理2（充分条件）
设函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 ) 的某邻域内连续，
有一阶及二阶连续偏导数，
设 f x ( x0 , y0 ) 0 , f y ( x0 , y0 ) 0 ，
最大利润为 L(4.8,1.2) 229.6 .
16
二、条件极值与拉格朗日乘数法
实际问题中,目标函数的自变量除了受到定义域 的限制外, 往往还受到一些附加条件的约束,这类极 值问题称条件极值问题.
例8 用铁皮做一个有盖的长方形水箱,要求容积为V, 问怎么做用料最省？
解 即表面积最小.设水箱的长、宽、高分别为x, y, z ,则
11 5x2 48x 10 y2 24 y ，
令
Lx
Ly
10x 20x
4ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 24
0， 0
解得唯一驻点
x 4.8, y 1.2，
A f xx 10 , B f xy 0 , C f yy 20 ,
B2 AC 0 , A 0 , 唯一驻点为极大值点，
即为最大值点，
播放 3
极值的求法
定理1（必要条件）

高数二多元函数微分学课件

高数二多元函数微分学课件

条件极值与无约束极值
条件极值
在给定附加条件下的极值问题，需要将条件转化为约束，然后求解无约束极值问题。
无约束极值
在没有任何限制条件下的极值问题，通常通过求导数并令其为零来找到可能的极值点，再 通过充分条件判断是否为真正的极值点。
解释
在实际问题中，常常会遇到附加条件的约束，如边界条件或特定条件。条件极值问题需要 将这些约束转化为数学表达形式，并求解对应的无约束极值问题。无约束极值问题则更常 见于未加任何限制的函数最优化问题。
答案解析
习题3答案解析
首先，根据全微分的定义，有$dz=u'dx+v'dy$。然后，将函数$z=x^2+y^2$代入全微分的定义中， 得到$dz=(2x)dx+(2y)dy=2xdx+2ydy$。最后，将点$(1,1)$代入全微分中，得到全微分为 $dz=(2cdot1)dx+(2cdot1)dy=2dx+2dy$。
答案解析
习题2答案解析
首先，根据题目给出的条件，有 $lim_{(x,y)to(0,0)}frac{f(x,y)}{x^2+y^2}=0$。然后， 利用极限的运算法则，得到 $lim_{(x,y)to(0,0)}frac{f(x,y)-f(0,0)}{x^2+y^2}=lim_{(x,y)to(0,0)}frac{f(0,0)}{x^2+y^2}=-f_{xx}(0,0)f_{yy}(0,0)$。最后，根据可微的定义，如果上述极限 存在且等于$f_{xx}(0,0)+f_{yy}(0,0)$，则函数$f(x,y)$ 在点$(0,0)$处可微。
偏导数与全微分的应用 在几何上，偏导数可以用来描述曲面在某一点的切线方向， 全微分可以用来计算函数在某一点的近似值。Fra bibliotek高阶偏导数

第八章 多元函数的微分学

第八章 多元函数的微分学
y y0 y y0
二元函数偏导数的定义可以类推到三元或三元以上的 函数. 如果函数 z f ( x, y ) 在区域 D 内每一点处，对 x 的偏 导数都存在， 那么在 D 内定义了一个函数， 称为 z f ( x, y ) 的偏导函数，记作 z f 或 或 z x ( x, y ) 或 f x ( x, y ) x x 类似地，函数 z f ( x, y ) 对 y 的偏导函数,记作 z f 或 或 z y ( x, y ) 或 f y ( x, y ) . y y 偏导函数简称为偏导数.
x x0 y y0
上面定义的二元函数的极限又称二重极限,二重极限 是一元函数极限的推广,有关一元函数的运算法则和定理 均可类推到二重极限.
例 4 求极限 lim
x2 y 2 1 x2 y 2 1
x x0 y y0
解 显然，当 x 0, y 0 时, x 2 y 2 0 ,根据极限的 加法法则及有关复合函数的极限定理,有 lim 1 x 2 y 2 lim1 lim( x 2 y 2 ) 1 0 1,
x 0 y 0 x 0 y 0 x 0 y 0
所以
lim
x0 y 0
x2 y 2 1 x2 y 2 1 ( x 2 y 2 )( 1 x 2 y 2 1) ( 1 x 2 y 2 1)( 1 x 2 y 2 1)
lim
x0 y 0
例 6 求极限 lim
x0 y 1
ex y2 1 x2 Leabharlann 2 ex y21 x y
2 2
解 函数 f ( x, y ) 续的， 所以
在点(0,1)处有定义,是连
1 x2 y 2 1 02 12 在有界区域上连续的二元函数有以下性质:

微积分第八章

微积分第八章
或f(x0,y0). 同一元函数一样，函数的定义域和对应法则是二元函数的两个 要素.对于以解析式表示的二元函数，其定义域就是使该式子有意义 的自变量的变化范围.对于实际问题，在求定义域时，除使该式子有 意义外，还要符合具体问题的实际意义. 二元函数的定义域比较复杂，可以是全平面，可以是一条曲线， 也可以是由曲线围成的部分平面等. 二元函数的定义域的求法同一元函数，可用不等式组或集合的 形式表示.
利用函数全增量的概念，连续定义可用另一种形式表述.
三、 二元函数的连续性
函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内有定义， 当自变量x,y分别由x0变到x0+Δx，y0变到y0+Δy时， 函数z=f(x,y)有增量
f(x0+Δx,y0+Δy)－f(x0,y0) 称其为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的全增量，记 为Δz，即
P0(x0,y0)处连续.
如果函数z=f(x,y)在区域D内各点都连续，则称函数
z=f(x,y)在区域D内连续.
三、 二元函数的连续性
对于闭区域上的连续函数z=f(x,y)，则要求
函数z=f(x,y)在区域D内和边界上都连续.当点
P0(x0,y0)
D
中的P→P0是指P在区域D内所取的路线趋近于点
P0(x0,y0)，极限中满足0<(x－x0)2+(y－y0)2<δ
图 8-7
一、多元函数的概念
定义域D就是曲面在xOy面上的投影区域. 例如，函数z=a2－x2－y2(a>0)的图形是球心在原点、 半径为a的上半球面(见图8-8).
图 8-8
二、 二元函数的极限
与一元函数情况类似，对于二元函数z=f(x,y)，我们 需要考察当自变量x,y无限趋近于常数x0,y0时，即当点 P(x,y)无限逼近于点P0(x0,y0)时，对应的函数值的变化趋 势，这就是二元函数的极限问题.

多元函数微分法和应用

多元函数微分法和应用

第8章多元函数微分及其应用第一卷研究一元函数的微分方法。

利用这些知识，我们可以求出直线上质点运动的速度和加速度，也可以求出曲线切线的斜率。

还不够，因为一元函数只研究由一个因素决定的事物。

一般来说，对自然现象的研究总是离不开时间和空间。

需要三个坐标来确定空间中的点。

因此，一般物理量往往取决于四个变量。

在某些问题中，需要考虑更多的变量。

这样，就有必要研究多元函数的微分。

多元函数微分是一元函数微积分的扩展，所以多元函数微积分与一元函数微积分有很多相似之处，但也有很多不同之处。

学生在学习这部分时要特别注意他们的差异。

地方。

一、教学目标和基本要求(1)了解多元函数的概念。

(2)了解两个变量的函数的极限和连续性的概念，与有界封闭区域上的连续函数的性质有关。

(3)了解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的充要条件，并在近似计算中应用全微分。

(4)了解方向导数和梯度的概念，掌握它们的计算方法。

(5)掌握复合函数一阶和二阶偏导数的计算方法。

(6)找到隐函数的偏导数，包括那些由方程组确定的函数。

(7)了解曲线的切面和法线以及曲面的切面和法线，掌握它们的方程。

(8)理解多元函数极值的概念，找出函数的极值。

了解条件极值的概念，利用拉格朗日乘子法求条件极值，解决一些比较简单的最大值和最小值的应用问题。

二、教学内容及课时分配：第 1 节多元函数的基本概念 2 小时第二部分偏导数 1 学分第三个全差1学分第 4 节多元复合函数的导数规则 2 小时练习课2小时第五节隐函数2小时的推导公式第六节多元函数微积分的几何应用2学分第七节方向导数和梯度 2 学分第 8 节多元函数的极值及其方法 2 小时练习课2小时三、教学内容的重点和难点：强调：1．多元函数的极限和连续性；2．偏导数的定义；总微分的定义3．多元复合函数的推导规则；隐函数的推导规则4．方向导数和梯度的定义5．如何找到多元函数的极值和最大值困难：1．多元函数微分的几个概念，即多元函数极限的存在性、多元函数的连续性、偏导数的存在性、全微分的存在性、连续性的关系偏导数；2．在多元复合函数的求导规则中，抽象函数的高阶导数；3．由方程组确定的隐函数的推导规则；4．梯度大小和方向的重要性；5．如何找到条件极值四、教学内容的深化与拓宽：1．多元函数微积分几个概念的深厚背景；2．多元复合函数求导法则的应用；3．由方程确定的隐函数，推广到由方程组确定的隐函数4．利用多元函数微积分的知识研究空间曲线和曲面的性质；5．将偏导数的概念推广到方向导数，从而得到梯田的概念6．利用多元函数微积分的知识研究无条件极值和条件极值。

多元函数

多元函数
4、有界集与无界集
2 E R 设集合 ，如果存在常数 k 0 ，使得对所有的
P( x, y) E ，都有 OP x 2 y 2 k ，则称 E 是 R 2 中
的有界集。一个集合如果不是有界集，就称为无界集。
第八章 多元函数微分学
§1 多元函数的基本概念
5、区域、闭区域
设 E 是 R 2 中的非空开集，如果对于 E 中任意两点 P1 与 P2 ，在存在 E 中的折线把 P1 与 P2 连接起来，则称
2 是 中的区域（或开区域）。开区域连同它的边界一 R E
起，称为闭区域。
第八章 多元函数微分学
§1 多元函数的基本概念
二 、多元函数的概念
1、多元函数的定义 定义
设 D 是 R n 的非空开集，从 D 到实数集 R n 元（实值）函数， f 的任一映射 称为定义在 D 上的一个 记作
f :D R R
例4
，求 f ( x, y ) 的
偏导数并讨论 f ( x, y ) 在(0,0) 处的连续性。
第八章 多元函数微分学
§2 偏导数及其在经济分析中的应用
三 、 高阶偏导数
设函数 z f ( x, y) 在平面区域 内处处存在偏导数
f x ( x, y) 与 f y ( x, y) ，如果这两个偏导数仍可偏导，则称 它们的偏导数为函数 z f ( x, y) 的二阶偏导数，按照求导
z x f ( x0 , y0 ) , z x ( x0 , y0 ), x
( x0 , y 0 )
, 或f x ( x0 , y0 )
第八章 多元函数微分学
§2 偏导数及其在经济分析中的应用
类似地，如果
f ( x0 , y0 y ) f ( x0 , y0 ) lim （ 2） y 0 y 存在，则称此极限为函数 z f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 )对 y 的偏

《高等数学教学课件》高数-第八章-多元函数微分学

《高等数学教学课件》高数-第八章-多元函数微分学
高数-第八章-多元函数微分学
目
CONTENCT
录
• 多元函数微分学概述 • 多元函数的导数与偏导数计算 • 多元函数微分学在几何上的应用 • 多元函数微分学在极值问题中的应
用
目
CONTENCT
录
• 多元函数微分学在约束最优化问题 中的应用
• 多元函数微分学在实际问题中的应 用
01
多元函数微分学概述
04
多元函数微分学在极值问题中的应用
极值的第一充分条件
总结词
极值的第一充分条件是多元函数微分 学中用于判断函数极值的重要定理。
详细描述
极值的第一充分条件表明，如果一个 多元函数在某一点的偏导数等于零， 并且这个点的海森矩阵（Hessian matrix）是正定的或负定的，那么这 个点就是函数的极值点。
多元函数的概念
80%
多元函数
设D是n维空间的一个区域，对D 中的任意点P，若存在实数x、y、 z...与之对应，则称f(x,y,z...)是D上 的多元函数。
100%
多元函数的定义域函数f(x Nhomakorabeay,z...)中所有自变量x、y 、z...的取值范围共同构成的集合 称为多元函数的定义域。
80%
多元函数的几何意义
在三维空间中，二元函数f(x,y)表 示曲面上的点P(x,y,f(x,y))的轨迹 。
偏导数的定义与性质
偏导数的定义
对于多元函数f(x,y,z...)，如果当 其他变量保持不变时，函数关 于某个特定变量的一阶导数存 在，则称这个导数为该函数在 该特定变量上的偏导数。
偏导数的几何意义
在三维空间中，二元函数f(x,y) 在点(x0,y0)处关于x的偏导数 表示曲面在点(x0,y0)处沿x轴 方向的切线斜率。

大一高数课件第八章 8-1-1多元函数的基本概念

大一高数课件第八章 8-1-1多元函数的基本概念
•P
E 的边界点的全体称为E 的边界．
E
设 D 是开集．如果对于 D内 任何两点，都可用折线连结起来， 且该折线上的点都属于 D，则称 开集 D 是连通的．
•
•
连通的开集称为区域或开区域． 例如，
{( x, y) | 1 x2 y2 4}. 开区域连同它的边界一起称为闭区域.
例如， {(x, y) | 1 x2 y2 4}.
第八章 多元函数微分法 及其应用
一元函数微分学 推广
多元函数微分学
注意: 善于类比, 区别异同
第八章
第一节 多元函数的基本概念
一、区域 二、多元函数的概念 三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性
一、多元函数的概念
（1）邻域
设 P0( x0 , y0 )是 xoy平面上的一个点， 是某一正数，
与点 P0( x0 , y0 )距离小于 的点 P( x, y)的全体，称为点 P0的 邻域，记为U (P0 , )，
内点、边界点、区域等概念也可定义．
二、多元函数的概念
引例: • 圆柱体的体积
• 定量理想气体的压强
r h
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（1）二元函数的定义 设D是平面上的一个点集，如果对于每个点 P( x, y) D，
变量 z按照一定的法则总有确定的值和它对应，则称z 是变量
x, y的二元函数，记为 z f ( x, y)（或记为z f (P)）.
（2）二元函数的极限也叫二重极限 lim f ( x, y); x x0 y y0
（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．
例2 求证
lim( x2
x0
y2 )sin
x2
1
y2

《多元函数微分学》PPT课件

《多元函数微分学》PPT课件

0 V .
14
定义1 设D是xOy平面上的点集, 若变量z与D
多 元
函
中的变量x, y之间有一个依赖关系, 使得在D内
数 的
基
每取定一个点P(x, y)时,按着这个关系有确定的
本 概
z值与之对应, 则称z是x, y的二元(点)函数.记为 念
z f ( x, y) (或z f (P) )
称x, y为自变量,称z为因变量,点集D称为该函数
P0 称为 E 的内点：如果存在一个正数 使得U (P0 ) E P0 称为 E 的外点：如果存在一个正数 使得
U (P0 ) E
P0 称为 E 的边界点：如果对任意一个正数 使得
U (P0 ) 中即有E中点又有非E中点
P0 即不是E的内点也不是E的外点
闭区域： G G G
12
（3）Rn 中的集合到 Rm的映射
的 基 本
和方法上都会出现一些实质性的差别, 而多元
概 念
函数之间差异不大. 因此研究多元函数时, 将以
二元函数为主.
24
3、多元函数的极限
多
讨论二元函数 z f ( x, y),当x x0 , y y0 ,
元 函
即P( x, y) P0 ( x0 , y0 )时的极限.
数 的 基
怎样描述呢? 回忆: 一元函数的极限
多 元 函 数
的
基
解 定义域是 ( x 1)2 y2 1且x2 y2 1
本 概
念
y
•
O
1
x
有界半开半闭区域
18
3 求 f ( x, y) arcsin(3 x2 y2的) 定义域． x y2
解
3 x2 y2 1

多元函数微分学(共184张PPT)

多元函数微分学(共184张PPT)

z
sin
x2
1 y2
1
• 在 点圆 都周 是x2间 断y2 点1，是上一没条有曲定线义，. 所以该圆周上各
• 性质1(最大值和最小值定理) 在有界闭区域 D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和最小
值.
• 在D上至少有一点 及一点 ，使得 为最大 值而 为最小值，P 即1 对于一切P 2 P∈D，有f ( P1 )
•
P
于E的点，也有不属于E的点，
•
E
则称P为E的边界点（图8-2）.
•
设D是开集.如果对于D内的
• 图 8-1 任何两点，都可用折线连结起
上一页 下一页 返 回
•
来,而且该折线上的点都属于D,
•
P 则称开集D是连通的.
•
连通的开集称为区域或开区域.
•
E
开区域连同它的边界一起,称
•
为闭区域.
• 图 8-2
f( x x ,y ) f( x ,y ) A x ( x )
• 上式两边各除以 x ，再令 x 0而极限，就得
limf(xx,y)f(x,y)A • 从而 ，x 偏0导数 z 存 在x，而且等于A.同样可证
• =B.所以三式 x 成立.证毕.
z y
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• 定理2(充分条件) 如果z=f(x,y)的偏导数
• 3.n维空间
• 设n为取定的一个自然数,我们称有序n元数组
•
的全体为n维空间,而每个有序n元数
(x1组,x2, ,xn) 称为n维空间中的一个点,数 称
(x1,x2, ,xn)
xi
上一页 下一页 返 回
• 为该点的第i个坐标,n维空间记为 .n
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则 f(x在, y点) 处(x是0,否y0取) 得极值的条件如下:
(1) A C 时B2 具有0极值 ,
当 A时有0极大值 , 当 时有A极0小值;
(2) A CB20时没有极值; (3) A C B20时可能有极值 , 也可能没有极值,
还需另作讨论.
例4 求由方程 x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 4 z 1 0 0 确定的函数 zf的(x极,y值).
解 将方程两边分别对 x , y 求偏导
2x2zzx24zx0 2y2zzy24zy0
由函数取极值的必要条件知 , 驻点为 P(1,1),
将上方程组再分别对 x , y 求偏导数 ,
A z x |P x 2 1 z ,B z x |P y 0 ,C z y |P y 2 1 z ,
第六节 多元函数的极值及其应用
一、问题的提出 实例：某商店卖两种牌子的果汁 , 本地牌子每瓶进 价1元 , 外地牌子每瓶进价1.2元 , 店主估计 , 如果本 地牌子的每瓶卖 x 元 , 外地牌子的每瓶卖 y 元 , 则每天 可卖出 70 5x + 4y 瓶本地牌子的果汁 , 80 + 6x 7y 瓶外地牌子的果汁 , 问：店主每天以什么价格卖两种 牌子的果汁可取得最大收益?
例2 函数z x2y2
(2)
在(0,0)处有极大 . 值
例3 函数zxy
在(0, 0)处无极.值
(3)
2. 多元函数取得极值的条件
定理1 (必要条件) 设函数 z在f(点x,y)具 (x0, y0) 有偏导数 , 且在点 (x0处, y有0)极值 , 则它在该点的偏 导数必然为零 : 即
f x ( x 0 ,y 0 ) 0 ,f y ( x 0 ,y 0 ) 0 . 证 不妨设 zf(在x点,y) 处有(x极0, 大y0)值 , 则对于 (x0,的y0某) 邻域内任意 (x ,y) (x 0,y 0)都有
例5
求
z
的x最y大值和最小值 x2 y2 1
.
解 令 zx(x2(yx 22 1y ) 2 21 x)(2 xy)0,
(x2y21)2y(xy)
zy (x2y21)2
0,
得驻点 ( 1 ,和1 ) ( 1 , 1 ),
22
22
因为
xy
lx im x2
y2
0, 1
即边界上的值趋近于零 .
y
又 z( 1 , 1) 1 , z(1,1)1,
每天的收益为 f ( x , y ) ( x 1 ) 7 5 x ( 4 y 0 ) ( y 1 . 2 ) 8 6 x ( 7 y 0 ) ,
求最大收益即为求二元函数的最大值.
二、多元函数的极值和最值 观察二z元 ex 函 x2yy2的 数图形
END
1. 二元函数极值的定义
设函数 zf(x,y)在点 (x0, y0)的某邻域内有定义 , 对于该邻域内异于(x0, y0)的点 (x, y): 若满足不等式
f x ( x 0 , y 0 , z 0 ) 0 , f y ( x 0 , y 0 , z 0 ) 0 , f z ( x 0 , y 0 , z 0 ) 0 .
仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，
均称为函数的驻点.
注意： 驻点
具有偏导数的函数的极值点
例如, 点 (0是, 0函) 数 的z驻点xy, 但不是极值点.
U(x , y) = ln x + ln y . 设每张磁盘 8 元 , 每盒磁带 10 元 , 问他如何分配这 200 元以达到最佳效果 .
问题的实质: 求 U (x ,y ) 在l条x n 件 ly n
问题：如何判定一个驻点是否为极值点? 定理2 (充分条件) 设函数 z在f(点x,y)的 (x0, y0) 某邻域内连续 , 且有一阶及二阶连续偏导数 , 又
f x ( x 0 ,y 0 ) 0 ,f y ( x 0 ,y 0 ) 0 , 令 fx(x x 0,y0)A , fx(yx0,y0)B, fy(yx0,y0)C,
f(x ,y ) f(x 0 ,y 0 ), 故当 yy0,xx0时 , 有 f(x ,y 0 ) f(x 0 ,y 0 ),
说明一元函数 f(x,在y0) 处x有极x大0 值 ,
必有 fx(x0,y0)0;
类似地可证 fy(x0,y0)0.
证毕
推广: 如果三元函数 u在f(点x,y,z) P(x0,y0,z0) 具有偏导数 , 则它在 P(x0,有y0极,z值0)的必要条件为
22 2
22 2
所以最大值为 1 , 最小值为 1 .
2
2
无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并 无其他条件 . 上例即为无条件极值的问题 . 下面我们讨论条件极 值的问题 .
三、条件极值、拉格朗日乘数法
实例: 小王有 200 元钱 , 他决定用来购买两种急需 物品，计算机磁盘和录音磁带 , 设他购买 x 张磁盘 , y 盒录音磁带达到最佳效果 , 效果函数为
第一步 解方程组 fx(x,y)0, fy(x,y)0,
求出实数解 , 得驻点 . 第二步 对于每一个驻点 (x0, y0),
求出二阶偏导数的值 A , B , C .
第三步 定出 A的C符B号2 , 再判定是否是极值 .
二、二元函数的最值
与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求 函数的最大值和最小值 . 求最值的一般方法： 将函数在 D 内的所有驻点处的函数值及在 D 的边界 上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大 值，最小者即为最小值 .
故
A CB2(2 1z)20(z2)
函数在 P 有极值 .
将 P(1,代1入)原方程 ,
有 z 1 2 ,z , 4
所以 zf(1 ,为 1 极) 小 值2 ;
当 z2 时6,
A 1 0, 4
所以 zf(1 ,为 极1 )大6 值 .
求函数 zf(x,y)极值的一般步骤：
f(x ,y ) f(x 0 ,y 0 ), 则称函数在(x0, y0)有极大值 ; 若满足不等式
f(x ,y ) f(x 0 ,y 0 ), 则称函数在(x0, y0)有极小值 ;
极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点.
例1 函数z3x24y2
在(0,0)处有极小 . 值
(1)