《多元函数微分学》PPT课件

例 4 作 z z 1 ( z 1 为 常 数 ) 的 图 形 . 解 观 察 发 现 在 方 程 zz1 中 无 变 量 x 和 y,这 表 明 zz1 表 示 的 图 形 上 点 的 坐 标 , 无 论 x 和 y 取 何 值 ,总 有 zz1 .因 此 ,该 图 形 是 一 个 与 x O y 平 面 平 行 的 平 面 ( 见 图 6 - 6 ) .
z
M(x,y,z)
O
y
x 图6-4 曲面示意
一般地，把由三元一次方程表示的曲面叫做一次 曲面，也和为平面；由三元二次方程表示的曲面叫做二 次曲面.下面简单介绍平面和一些常见的二次曲面方程.
2.平面方程 一 动 点 M ( x ,y ,z ) 到 两 定 点 M 1 ( a 1 ,b 1 ,c 1 ) ,M 2 ( a 2 ,b 2 ,c 2 ) 距 离 相 等 , 该 动 点 M 的 运 动 轨 迹 是 一 个 平 面 . 下 建 立 该 平 面 方 程 . 由两点距离公式知
第 四 卦 限 : { ( x , y , z ) |x 0 , y 0 , z 0 } ;
O
第 五 卦 限 : { ( x , y , z ) |x 0 , y 0 , z 0 } ;
第 六 卦 限 : { ( x , y , z ) |x 0 , y 0 , z 0 } ; V
第六章 多元函数微分学基础
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节
空间解析几何简介 多元函数的概念 偏导数与全微分 复合函数与隐函数微分法 多元函数的极值
第六章 多元函数微分学基础
在上学期我们讨论了一元函数的微积分.但在自然科学和 工程技术中，很多问题都与多种因素有关，反映到数学上就 是多元函数的问题.本篇将在一元函数的基础上讨论多元函数 的微积及其应用，而本章主要介绍空间解析几何的基本知识 和多元函数的微分及一些简单的应用.

x
y
z f [u( x, y), x, y]
z
x
y
z f u f , x u x x
两者的区别
变而对 x 的偏导数
z f u f . y u y y
把 z f (u, x, y) 中 的 u 及 y
把复合函数 z f [(x, y), x, y] 中的 y 看作不 看作不变而对 x 的
的偏导数都存在,函数在 z f (u, v) 对应点 (u, v) 可微，则 复合函数 z f [ ( x, y), ( x, y)] 在点 ( x, y ) 处存在对 x 、 y 的偏导数,且
z z u z v , x u x v x
z z u z v . y u y v y
z z u z v v 1 v vu x u ln u 1 y u y v y
xy(1 xy)
y
y 1
(1 xy) ln(1 xy)
y
xy (1 xy) [ ln(1 xy)] 1 xy
医用高等数学
推论:
”
医用高等数学
医用高等数学
第三节
多元函数微分法
一、复合函数微分法
二、隐函数微分法
医用高等数学
一、复合函数微分法
我们知道 : 如果函数u ( x )在点 x处可导 , 而 y f ( u)在 x点对应u处可导 , 则复合函数 y f [ ( x )] 在点 x处可导, 且其导数为
u
z
v
x
医用高等数学
全导数
例4-24 设 z e
u 2v
3 u sin x v x , 而 ， ,求

条件极值与无约束极值
条件极值
在给定附加条件下的极值问题，需要将条件转化为约束，然后求解无约束极值问题。
无约束极值
在没有任何限制条件下的极值问题，通常通过求导数并令其为零来找到可能的极值点，再 通过充分条件判断是否为真正的极值点。
解释
在实际问题中，常常会遇到附加条件的约束，如边界条件或特定条件。条件极值问题需要 将这些约束转化为数学表达形式，并求解对应的无约束极值问题。无约束极值问题则更常 见于未加任何限制的函数最优化问题。
答案解析
习题3答案解析
首先，根据全微分的定义，有$dz=u'dx+v'dy$。然后，将函数$z=x^2+y^2$代入全微分的定义中， 得到$dz=(2x)dx+(2y)dy=2xdx+2ydy$。最后，将点$(1,1)$代入全微分中，得到全微分为 $dz=(2cdot1)dx+(2cdot1)dy=2dx+2dy$。
答案解析
习题2答案解析
首先，根据题目给出的条件，有 $lim_{(x,y)to(0,0)}frac{f(x,y)}{x^2+y^2}=0$。然后， 利用极限的运算法则，得到 $lim_{(x,y)to(0,0)}frac{f(x,y)-f(0,0)}{x^2+y^2}=lim_{(x,y)to(0,0)}frac{f(0,0)}{x^2+y^2}=-f_{xx}(0,0)f_{yy}(0,0)$。最后，根据可微的定义，如果上述极限 存在且等于$f_{xx}(0,0)+f_{yy}(0,0)$，则函数$f(x,y)$ 在点$(0,0)$处可微。
偏导数与全微分的应用 在几何上，偏导数可以用来描述曲面在某一点的切线方向， 全微分可以用来计算函数在某一点的近似值。Fra bibliotek高阶偏导数

最优化问题
在资源分配和生产计划中，多元函数微积分可以用于求解最优化问 题，例如最大化利润或最小化成本等。
风险评估
在金融学中，多元函数微积分可以用于评估投资风险和回报，以及 制定风险管理策略。
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多元函数的定义域
函数中各个自变量可以取值的范围。例如，对于函数z = f(x, y)，其定义域是x和y的所有可能取值的集合。
多元函数的值域
函数中因变量可以取值的范围。例如，对于函数z = f(x, y) ，其值域是z的所有可能取值的集合。
多元函数的几何意义
平面上的曲线
对于二元函数z = f(x, y)，其图像 在二维平面上表现为一条曲线。 例如，函数z = x^2 + y^2表示 一个圆。
体积计算
通过多元函数微积分，可以计算出由曲面围成的三维空间的体积 ，这在工程和科学领域中具有广泛的应用。
曲线积分
在几何学中，曲线积分是计算曲线长度的一种方法，而多元函数 微积分可以提供更精确和更高效的计算方法。
多元函数微积分在物理上的应用
力学分析
在分析力学中，多元函数微积分 被广泛应用于解决质点和刚体的 运动问题，例如计算物体的速度 、加速度和力矩等。
三维空间中的曲面
对于三元函数z = f(x, y, z)，其图 像在三维空间中表现为一个曲面 。例如，函数z = x^2 + y^2表 示一个球面。
多元函数的极限与连续性
多元函数的极限
当自变量趋近于某个值时，函数值的趋近值。例如，lim (x, y) → (0, 0) (x^2 + y^2) = 0，表示当(x, y)趋近于(0, 0)时，函数x^2 + y^2的值趋近于0。
《多元函数的微积分》 ppt课件

当J (F,G) 0时, 可表示为 (y, z)
, 且有
dy 1 (F,G) , dz 1 (F,G) , dx J (z, x) dx J (x, y) 曲线上一点 M (x0 , y0 , z0 ) 处的切向量为
T 1, (x0 ), (x0 )
1 ,
1 J
(F,G) (z , x)
一、一元向量值函数及其导数
（一）向量值函数的概念 （二）向量值函数的极限和连续 （三）向量值函数的导数 （四）举例
一、一元向量值函数及其导数
（一）向量值函数的概念 （二）向量值函数的极限和连续 （三）向量值函数的导数 （四）举例
➢定义
设向量值函数 f (t )在点 t0的某一邻域内有定义, 如果
x x0 Fx (x0 , y0 , z0 )
y y0 Fy (x0 , y0 , z0 )
z z0 Fz (x0 , y0 , z0 )
T
M
特别, 当光滑曲面 的方程为显式
F(x, y, z) f (x, y) z
时, 令
则在点 (x, y, z),
故当函数
在点 ( x0, y0 ) 有连续偏导数时, 曲面
f (t)的三个分量函数 f1(t), f2(t), f3(t)都在 t0 可导.
当f (t)在 t0 可导时, f (t) f1(t)i f2(t) j f3(t)k.
➢运算法则
设u(t), v(t),(t)可导, C是常向量, c是任一常数，则
(1) d C 0 dt
(2) d [cu(t)] cu(t) dt
例1. 求圆柱螺旋线
在
对应点处的切线方程和法平面方程.
解: 由于
对应的切向量为 T (R , 0, k), 故

解 自变量x, y 所取的值必须满足不等式x y 0 , 即定义域为
D (x, y) | x y 0.
点集D 在 xOy 面上表示一个在直线上方的半平面(不 包含边界x y 0)，如下图所示，此时 D 为无界开区域．
y
O
x
例 6 求二元函数 z ln(9 x2 y2 ) x2 y2 1的定
如果一个区域D 内任意两点之间的距离都不超过某 一常数M ，则称D 为有界区域，否则称 D 为无界区域．
常见区域有矩形域：a x b,c y d ,
圆域:(x x0 )2 ( y y0 )2 2 ( 0).
圆域 (x, y) | (x x0 )2 ( y y0 )2 2 一般称为平面
上点P0 (x0 , y0 )的 邻域，而称不包含点 P0的邻域为无 心邻域．
二元函数的定义域通常是由平面上一条或几条光滑 曲线所围成平面区域 .二元函数定义域的求法与一元函 数类似，就是找使函数有意义的自变量的范围，其定义 域的图形一般由平面曲线围成．
例 4 求二元函数 z a2 x2 y2 的定义域．
过 D 域中的任一点M (x, y) 作垂直于xOy 平面的有向线段
MP，使P 点的竖坐标为与(x, y)对应的函数值 z．当 M 点在
D中变动时，对应的 P 点的轨迹就是函数z f (x, y) 的几何
图形，它通常是一张曲面，而其定义域 D 就是此曲面在
xOy 平面上的投影．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
z
O X
x
P
Y
y
MD
解 由根式函数的定义容易知道，该函数的定义域 为满足 x2 y2 a2的x, y, 即定义域为

i1
i 1
❖几何上看，C0(S)是凸集，且表示包含集合S最小凸集或是包 含集合S全部凸集交集.
数理经济学（Mathematical Economics）, 刘树林, © 2005
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Rn中凸集与凸集分离定理（续）
极点
定义4.1.11 设X Rn是凸集，称x X是X
极点，若对任意y，z X和
，定义
d(x, y)
n
(xi
yi )2
(x y) • (x y)
i1
则可验证映射d满足(M-1) (M-3)，故(R n，d)是一个度量空间．
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数学基础—几个空间
范数与赋范线性空间
设V是一个实线性空间，若V上实值函数‖.‖: x ‖x‖满足:
m
x
= (x1, x2, , xn)mlim xim
xi
i = 1，2，…，n．
❖定理 若
lim x m x lim y m y lim c m c
m
m
m
则
lim (c
m
m
x
m
ym)
cx
y
这里，m = 1，2，…，+ .
数理经济学（Mathematical Economics）, 刘树林, © 2005
易验证Rn满足(I-1) (I-3), 故是一个内积空间, 称作Euclidean 空间
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数学基础—几个空间

rhvrhvrhrh这里是随着的变化而变化的当在一定范围内内取定一对数值时的对应值就随之确定611三角形面积见图其面积依赖于三角形的两条边及其夹角图611例2示意图xyzxy设有变量如果当变量在一定范围内任意取定一对数值时变量按照一定法则总有惟一确定的数值与之对应则称是的二元函数记作xy式中叫作自变量叫作因变量
(b)有界区域
(c)有界区域
图6-12 区域示意
若区域能延伸到无限远处，就称这区域是无界的，如 图6-12(c)所示，否则，它总可以被包含在一个以原点O为中 心，而半径适当大的圆内，这样的区域称为有界的，如图612(a)、(b)所示，围成区域的曲线叫区域的边界.
闭区域：连同边界在内的区域的曲线叫区域的边界.
同样,函数z f (x, y)在点(x0,y0 )处对y的偏导数定义为
lim f ( y0 y, y0 ) f (x0 ,y0 )
x0
y
记作 z , f , z (x ,y )或f (x ,y )等.
y x (x0 ,y0 )
(x0 ,y0 )
y 00
y 00
如果函数z f (x, y)在区域D内每一点(x,y)处对x的偏导数 都有存在,那么这个偏导数就是x, y的函数,称为函数z f (x, y) 对自变量x的偏导函数.记作
y
a x2 y2 a2
O ax
例 5 求二元函数z ln(x y)的定义域．
解 自变量x, y 所取的值必须满足不等式x y 0 , 即定义域为
D (x, y) | x y 0.
点集D 在 xOy 面上表示一个在直线上方的半平面(不 包含边界x y 0)，如下图所示，此时 D 为无界开区域．
(如右图所示)．

高数-第八章-多元函数微分学
目
CONTENCT
录
• 多元函数微分学概述 • 多元函数的导数与偏导数计算 • 多元函数微分学在几何上的应用 • 多元函数微分学在极值问题中的应
用
目
CONTENCT
录
• 多元函数微分学在约束最优化问题 中的应用
• 多元函数微分学在实际问题中的应 用
01
多元函数微分学概述
04
多元函数微分学在极值问题中的应用
极值的第一充分条件
总结词
极值的第一充分条件是多元函数微分 学中用于判断函数极值的重要定理。
详细描述
极值的第一充分条件表明，如果一个 多元函数在某一点的偏导数等于零， 并且这个点的海森矩阵（Hessian matrix）是正定的或负定的，那么这 个点就是函数的极值点。
多元函数的概念
80%
多元函数
设D是n维空间的一个区域，对D 中的任意点P，若存在实数x、y、 z...与之对应，则称f(x,y,z...)是D上 的多元函数。
100%
多元函数的定义域函数f(x Nhomakorabeay,z...)中所有自变量x、y 、z...的取值范围共同构成的集合 称为多元函数的定义域。
80%
多元函数的几何意义
在三维空间中，二元函数f(x,y)表 示曲面上的点P(x,y,f(x,y))的轨迹 。
偏导数的定义与性质
偏导数的定义
对于多元函数f(x,y,z...)，如果当 其他变量保持不变时，函数关 于某个特定变量的一阶导数存 在，则称这个导数为该函数在 该特定变量上的偏导数。
偏导数的几何意义
在三维空间中，二元函数f(x,y) 在点(x0,y0)处关于x的偏导数 表示曲面在点(x0,y0)处沿x轴 方向的切线斜率。

0 V .
14
定义1 设D是xOy平面上的点集, 若变量z与D
多 元
函
中的变量x, y之间有一个依赖关系, 使得在D内
数 的
基
每取定一个点P(x, y)时,按着这个关系有确定的
本 概
z值与之对应, 则称z是x, y的二元(点)函数.记为 念
z f ( x, y) (或z f (P) )
称x, y为自变量,称z为因变量,点集D称为该函数
P0 称为 E 的内点：如果存在一个正数 使得U (P0 ) E P0 称为 E 的外点：如果存在一个正数 使得
U (P0 ) E
P0 称为 E 的边界点：如果对任意一个正数 使得
U (P0 ) 中即有E中点又有非E中点
P0 即不是E的内点也不是E的外点
闭区域： G G G
12
（3）Rn 中的集合到 Rm的映射
的 基 本
和方法上都会出现一些实质性的差别, 而多元
概 念
函数之间差异不大. 因此研究多元函数时, 将以
二元函数为主.
24
3、多元函数的极限
多
讨论二元函数 z f ( x, y),当x x0 , y y0 ,
元 函
即P( x, y) P0 ( x0 , y0 )时的极限.
数 的 基
怎样描述呢? 回忆: 一元函数的极限
多 元 函 数
的
基
解 定义域是 ( x 1)2 y2 1且x2 y2 1
本 概
念
y
•
O
1
x
有界半开半闭区域
18
3 求 f ( x, y) arcsin(3 x2 y2的) 定义域． x y2
解
3 x2 y2 1