D9_6多元函数微分学的几何应用资料
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D9多元函数微分法及其应用(1-3节)-PPT精选文档75页
二元函数 (图形一般为空间曲面) 常用
三元函数
微积分(二) 教案 第6版
3. 多元函数的极限
limf(P)A
PP0
ε 0,δ 0,当 0P0Pδ时， 有 f(P)Aε
4. 多元函数的连续性
1) 函数 f(P)在P0连续 P l iP 0 m f(P)f(P 0)
2) 闭域上的多元连续函数的性质:
第9章
多元函数微分法及其应用
一元函数微分学 推广
多元函数微分学 注意: 善于类比, 区别异同
微积分(二) 教案 第6版
第一节
第9章
多元函数的基本概念
一、区域 二、多元函数的概念 三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性
微积分(二) 教案 第6版
一、 区域
1. 邻域
点集 例如,在平面上,
PP0 δ 称为点 P0 的邻域.
如果它们都存在, 则三者相等. 仅知其中一个存在, 推不出其它二者存在.
例如,
显然
limlimf(x,y) 0,
x0y0
但由例3 知它在(0,0)点二重极限不存在 .
微积分(二) 教案 第6版
四、 多元函数的连续性 定义3 . 设 n 元函数 f (P) 定义在 D 上, 聚P 点 0D, 如果存在
(最值定理)
(3) 对任意
QD，
(介值定理)
* (4) f (P) 必在D 上一致连续 . (一致连续性定理)
(证明略)
微积分(二) 教案 第6版
例5.求 解: 原式
lim xy 1 1. x0 xy
y0
lim 1 1 x0 xy 11 2
y0
例6. 求函数 f(x,y)arcs3xinxy2(2y2)的连续域.
第九章-第6节-多元函数微分学的几何应用
第九章 多元函数微分法及其应用
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节
第六节
多元函数的基本概念 偏导数 全微分 多元复合函数的求导法则 隐函数的求导公式
多元函数微分学的几何应用
第七节 方向导数与梯度
第八节 多元函数的极值及其求法
1
第六节
第九章
多元函数微分学的几何应用
一、空间曲线的切线与法平面 二、曲面的切平面与法线
切线方程 法平面方程
x 0 y 1 z 2,
1
2
3
x 2( y 1) 3(z 2) 0,
即 x 2 y 3z 8 0.
8
2.特殊地： (1).空间曲线方程为
y z
(x) ,
(x)
在M( x0, y0, z0 )处,
切向量 T {1,( x0 ), ( x0 )}
切线方程为 x x0 y y0 z z0 ,
命题:
在光滑曲面 上通过点 M 的任何曲线在点 M 处
的切线都在同一平面上.
称此平面为曲面在点M的切平面. 事实上, 因
: x (t ), y (t ),z (t )
F( ( t ), ( t ), ( t ) ) 0
两边对 t 求导,
t t0
M( x0 , y0 , z0 )
Fx ( x0 , y0 ,z0 )( t0 ) Fy ( x0 , y0 ,z0 ) ( t0 )
11
dy
0,
dx (1,2, 1)
dz
1,
dx (1,2, 1)
由此得切向量 T {1, 0,1},
所求切线方程为
x 1 y 2 z 1,
1
0 1
法平面方程为 ( x 1) 0 ( y 2) (z 1) 0,
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节
第六节
多元函数的基本概念 偏导数 全微分 多元复合函数的求导法则 隐函数的求导公式
多元函数微分学的几何应用
第七节 方向导数与梯度
第八节 多元函数的极值及其求法
1
第六节
第九章
多元函数微分学的几何应用
一、空间曲线的切线与法平面 二、曲面的切平面与法线
切线方程 法平面方程
x 0 y 1 z 2,
1
2
3
x 2( y 1) 3(z 2) 0,
即 x 2 y 3z 8 0.
8
2.特殊地： (1).空间曲线方程为
y z
(x) ,
(x)
在M( x0, y0, z0 )处,
切向量 T {1,( x0 ), ( x0 )}
切线方程为 x x0 y y0 z z0 ,
命题:
在光滑曲面 上通过点 M 的任何曲线在点 M 处
的切线都在同一平面上.
称此平面为曲面在点M的切平面. 事实上, 因
: x (t ), y (t ),z (t )
F( ( t ), ( t ), ( t ) ) 0
两边对 t 求导,
t t0
M( x0 , y0 , z0 )
Fx ( x0 , y0 ,z0 )( t0 ) Fy ( x0 , y0 ,z0 ) ( t0 )
11
dy
0,
dx (1,2, 1)
dz
1,
dx (1,2, 1)
由此得切向量 T {1, 0,1},
所求切线方程为
x 1 y 2 z 1,
1
0 1
法平面方程为 ( x 1) 0 ( y 2) (z 1) 0,
A9-6多元函数微分学的几何应用
定义 3 设向量值函数 f (t ) 在点 t0 的某一领域内 有定义， 有定义， 如果
∆r f (t 0 + ∆ t ) − f (t 0 ) lim = lim ∆t → 0 ∆ t ∆t → 0 ∆t
存在， 存在，那么就称这个极限向量为向量值函数 r = f (t )
dr 处的导数或导向量， 在 t0 处的导数或导向量，记作 f ′(t0 ) 或 dt t =t0 。
在 t0 连续 ⇔
f1 (t ), f 2 (t ), f3 (t )
在 t0 连续都。 连续都。
连续函数的定义:见书上 连续函数的定义 见书上
π 例 1 设 f (t ) = (cos t )i + (sin t ) j + tk , 求 lim f (t ).
t→ 4
2.向量函数的导数 向量函数的导数
x = x, y = y(x), z = z(x),
切向量为
(1, y′( x0 ), z ′( x0 ))
故切线方程为 x − x0 = y − y0 = z − z0 , 1 y ′( x 0 ) z ′( x 0 ) 法平面方程为 ( x − x0 ) + y′( x0 )( y − y0 ) + z′( x0 )( z − z0 ) = 0.
0
x − x0 y − y0 z − z0 , = = Fy Fz Fz Fx Fx Fy G y Gz 0 Gz G x 0 G x G y 0
例 6 求曲线 x 2 + y 2 + z 2 = 6 ， x + y + z = 0 在 处的切线及法平面方程. 点(1,−2, 1)处的切线及法平面方程
§9.6 微分法在几何上的应用
∆r f (t 0 + ∆ t ) − f (t 0 ) lim = lim ∆t → 0 ∆ t ∆t → 0 ∆t
存在， 存在，那么就称这个极限向量为向量值函数 r = f (t )
dr 处的导数或导向量， 在 t0 处的导数或导向量，记作 f ′(t0 ) 或 dt t =t0 。
在 t0 连续 ⇔
f1 (t ), f 2 (t ), f3 (t )
在 t0 连续都。 连续都。
连续函数的定义:见书上 连续函数的定义 见书上
π 例 1 设 f (t ) = (cos t )i + (sin t ) j + tk , 求 lim f (t ).
t→ 4
2.向量函数的导数 向量函数的导数
x = x, y = y(x), z = z(x),
切向量为
(1, y′( x0 ), z ′( x0 ))
故切线方程为 x − x0 = y − y0 = z − z0 , 1 y ′( x 0 ) z ′( x 0 ) 法平面方程为 ( x − x0 ) + y′( x0 )( y − y0 ) + z′( x0 )( z − z0 ) = 0.
0
x − x0 y − y0 z − z0 , = = Fy Fz Fz Fx Fx Fy G y Gz 0 Gz G x 0 G x G y 0
例 6 求曲线 x 2 + y 2 + z 2 = 6 ， x + y + z = 0 在 处的切线及法平面方程. 点(1,−2, 1)处的切线及法平面方程
§9.6 微分法在几何上的应用
多元函数微分学的几何应用ppt课件
9.6 多元函数微分学的几何应用
2. 空间曲线的方程为 两个柱面 的交线
x
设曲线直角坐标方程为
x0 y y0 z z0
y z
y( x) ,
z( x)
x(t0 ) y(t0 ) z(t0 )
x x
令
x为参数,
曲线的参数方程是
y
y(
x)
z z( x) 由前面得到的结果, 在M(x0, y0, z0)处,
5
9.6 多元函数微分学的几何应用
（3）向量值函数的图像
设向量 r 的起点在坐标原点，则终
点M随t的改变而移动，点M的轨迹 Γ
称为向量值函数 r=f(t) 的终端曲 x
线，也称为该函数的图像，记作Γ
反过来，向量值函数
z
•M
rf
(t)
o
y
r f (t) ( f1(t), f2 (t), f3 (t))
f (2) (4,4,2), f (2) 42 42 22 6.
所求单位切向量一个是：(4,4,2) 2 , 2 , 1 6 3 3 3
另一个是： 2 , 2 , 1
其指向与t的增长方向一致
3 3 3 其指向与t的增长方向相反
16
9.6 多元函数微分学的几何应用
二、空间曲线的切线与法平面
lim
t t0
f
(t)
r0
7
9.6 多元函数微分学的几何应用
说明 设 f (t) ( f1(t), f2(t), f3(t))
r 0 (m, n, p),
则lim f (t) t t0
r0
lltt iimmtt00
f1(t) f3(t)
m,
9-6多元函数微分学的几何应用
9-6多元函数微分学的几何应用第6节多元函数微分学的几何应用教学目的：根据导函数的几何性质，学习并掌握空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线方程的形成过程和确定方法。
教学重点：空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的方程。
教学难点：曲线切线、曲面切平面的切向量。
教学方法：讲授为主，互动为辅教学课时：2 教学内容：一、空间曲线的切线与法平面设空间曲线Г的参数方程为),(),(),(t z t y t x ωφ?===(1)这里假定式(1)的三个函数都可导。
在曲线上取对应于0t t =的一点),,(000z y x M 及对应于t t t ?+=0的邻近一点),,('000z z y y x x M ?+?+?+。
根据解析几何，曲线的割线M M '的方程是.000zz z y y y x x x ?-=?-=?- 当M ＇沿着Г趋于M 时，割线M M '的极限位置MT 就是曲线Г在点M 处的切线(图8―7).用△t 除上式的各分母，得,000tz z z t y y y t x x x ??-=??-=??- 令M ＇→M 这时0),(→?t 通过对上式取极限，即得曲线在点M 处的切线方程为)(00t x x ?'-=.)()(0000t z z t y y ωφ'-='- (2) 这里当然要假定)('),('),('000t t t ωφ?不能都为零.如果个别为零，则应按空间解析几何有关直线的对称式方程的说明来理解。
切线的方向向量称为曲线的切向量。
向量)}('),('),('{000t t t T ωφ?=就是曲线Г在点M 处的一个切向量。
通过点M 而与切线垂直的平面称为曲线在点M 处的法平面，它是通过点),,(000z y x M 而以T 为法向量的平面，因此这法平面的方程为0))(('))(('))( ('000000=-+-+-z z t y y t x x t ωφ? (3)例1 求曲线32,,t z t y t x ===在点 (1,1,1)处的切线及法平面方程。
第二章 多元函数微分法及其应用 第四节 多元函数微分法在几何上的应用
Fz ( x0 , y0 , z0 ) ( t0 ) 0
- 15 -
第四节
多元函数微分在几何上的应用
令 T { ( t0 ) , ( t0 ) , ( t0 )}
第 八 章 切向量 T n 多 元 函 数 微 分 法 及 其 应 用
n { Fx ( x0 , y0 , z0 ) , Fy ( x0 , y0 , z0 ) , Fz ( x0 , y0 , z0 )}
第四节
多元函数微分在几何上的应用
切平面方程
第 八 章
Fx ( x0 , y0 , z0 ) ( x x0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) ( y y0 )
Fz ( x0 , y0 , z0 )( z z0 ) 0
多 元 通过点 M ( x 0 , y 0 , z 0 ) 而垂直于切平面的直线称为曲 函 数 面在该点的法线.法线方程 微 分 x x0 y y0 z z0 法 Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) 及 其 应 用
第 八 章
在
解: 由于
M 0 (0 , R , k ) 2 z
多 对应的切向量为 T ( R , 0 , k ) , 故 元 函 yR zk x 2 切线方程 数 微 0 R k 分 法 k x Rz R k 0 2 即 及 其 yR0 应 用 法平面方程 R x k ( z k ) 0 2
- 17 -
第四节
多元函数微分在几何上的应用
垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量. 曲面在M 处的法向量即
第 八 章 多 元 函 数 微 分 法 及 其 应 用
多元函数微分学的几何应用
多元函数微分学的几何应用一、多元函数微分学多元函数微分学是微积分的一个分支，研究的是多个自变量的函数的导数、微分和全微分等概念。
与一元函数微分学不同的是，多元函数在求导时需要通过偏导数来计算，而全微分可以看做多元函数在某一点上的线性近似。
多元函数微分学在实际生活中有着广泛的应用，尤其是在几何学方面。
二、几何应用1. 向量场和梯度向量场是一个函数与向量的映射关系，在几何学中经常用于描述速度场、磁场等。
其中，梯度是向量场的一个重要概念。
梯度表示在某一点上函数变化增加最快的方向。
例如，在平面上的某一点上，一个函数的梯度表示了函数值增加最快的方向及增加的速率。
2. 方向导数和梯度的应用方向导数表示函数在某一点上沿着某一给定方向上的导数。
在平面几何中，方向导数可以用来求解曲面的切平面方程。
具体来说，可以通过梯度和方向向量的点积计算出方向导数，从而得到曲面上某一点的切平面方程。
3. 曲面积分曲面积分是对曲面上的函数进行积分，类似于线积分。
在计算曲面积分时，需要用到曲面的面积元素，这里面积元素的计算需要用到微积分中的偏微分。
具体来说，可以通过将曲面分成小的面元，计算每个面元的面积和函数值，然后将它们累加起来，从而得到曲面上的积分值。
4. 极值和拐点在多元函数中，类似于一元函数中的极值和拐点的概念。
在平面几何中，可以将这些概念应用于曲线的局部特征的分析中。
通过极值和拐点的计算，可以得到曲线上的最大和最小值，以及拐点的位置和拐点的类型等信息。
总之，多元函数微分学在几何学中有着广泛的应用。
通过对向量场、梯度、方向导数、曲面积分、极值和拐点等概念的研究，可以深入分析曲线、曲面的本质特征和局部特征，从而为实际问题的求解提供了精确的数学工具。
多元函数微分学的几何应用
f (x, y) −z = 0
令 F(x, y, z) = f (x, y) − z 则 曲 ∑ 方 为 F(x, y, z) = 0 面 的 程 :
∴n = F (x0, y0, z0), Fy(x0, y0, z0), F (x0, y0, z0) ) ( x z
= ( fx (x0, y0) , f y(x0, y0) ,−1 ) 即 n =( fx(x0, y0), f y(x0, y0),−1 )
即
dz dy y dx + z dx = −x dy dz + = −1 dx dx
解得
−x z dy −1 1 = y z dx 1 1
y −x
z −x = y−z
dz 1 −1 = y z dx 1 1
x− x− y = y−z
dz , dx )
∴T =
=
(1 ,
dy dx
|(1 −2,1) ,
切平面及法线方程. 解: 令 (x, y, z) = x2 + y2 + z2 −14 F
F = 2x ， y = 2y ，F = 2z F x z r ∴ n = (Fx, Fy, Fz ) = (2x,2y,2z) r ∴ n (1,2,3) =(2,4,6)
∴在 (1,2,3)处球 的 平 方 为 点 , 面 切 面 程
F (x0, y0, z0) Fy(x0, y0, z0) F (x0, y0, z0) x z
曲 Σ在 M 切 面 法 量 为 面 点 的 平 的 向 称 曲 Σ在 M 法 量 面 点 的 向 .
2. 面 的 程 : z = f (x, y) , M(x0, y0, z0)∈Σ 曲 ∑ 方 为
2019年六节多元函数微分学几何应用.ppt
z z0
' (t0 )
z
M
Q
M T
xo
y
方向向量 T ( '(t0), '(t0),'(t0) )
切线的方向向量也称为曲线的切向量。
法平面： 过点 M 且与这点的切线垂直的平面
由点法式得：点 M (x0, y0, z0)处的法平面方程为
'(t0)(x x0) '(t0)( y y0) '(t0)(z z0) 0
点M (x0, y0, z0)对应于参数t t0，
且'(t0)、 '(t0)、'(t0) 不全为0.
则
z
曲线在点M处的切线方程为：
x x0 y y0 z z0
'(t0 ) '(t0 ) '(t0 )
曲线在曲面上 F[(t), (t),(t)] 0
O x
y
F(x, y, z)在点(x0, y0, z0)处有连续偏导数,
且'(t0), '(t0),'(t0)存在 上式左端在点t t0可导
d dt
F[(t), (t),(t)] |t t 0
0
(*)
(链锁法则)
由链锁法则，得
d dt
F[ (t ),
(t ), (t )]
2 y
(
x0
,
y0 )
cos
1
1
f
2 x
(
x0
,
y0)
f
2 y
(
x0
,
y0 )
例3 求球面 x2 y2 z2 14 在点(1,2,3)处的 切平面及法线方程.
高等数学第九章第六节多元函数微分学的几何应用课件.ppt
当J (F,G) 0时, 可表示为 (y, z)
, 且有
dy 1 (F,G) , dz 1 (F,G) , dx J (z, x) dx J (x, y) 曲线上一点 M (x0 , y0 , z0 ) 处的切向量为
T 1, (x0 ), (x0 )
1 ,
1 J
(F,G) (z , x)
一、一元向量值函数及其导数
（一）向量值函数的概念 （二）向量值函数的极限和连续 （三）向量值函数的导数 （四）举例
一、一元向量值函数及其导数
（一）向量值函数的概念 （二）向量值函数的极限和连续 （三）向量值函数的导数 （四）举例
➢定义
设向量值函数 f (t )在点 t0的某一邻域内有定义, 如果
x x0 Fx (x0 , y0 , z0 )
y y0 Fy (x0 , y0 , z0 )
z z0 Fz (x0 , y0 , z0 )
T
M
特别, 当光滑曲面 的方程为显式
F(x, y, z) f (x, y) z
时, 令
则在点 (x, y, z),
故当函数
在点 ( x0, y0 ) 有连续偏导数时, 曲面
f (t)的三个分量函数 f1(t), f2(t), f3(t)都在 t0 可导.
当f (t)在 t0 可导时, f (t) f1(t)i f2(t) j f3(t)k.
➢运算法则
设u(t), v(t),(t)可导, C是常向量, c是任一常数，则
(1) d C 0 dt
(2) d [cu(t)] cu(t) dt
例1. 求圆柱螺旋线
在
对应点处的切线方程和法平面方程.
解: 由于
对应的切向量为 T (R , 0, k), 故
多元函数微分学在几何上的应用
多元函数微分学在几 何上的应用
目录
CONTENTS
• 引言 • 多元函数微分学基础 • 多元函数微分学在几何中的应用 • 具体案例分析 • 结论与展望
01
引言
主题简介
多元函数微分学是数学的一个重要分 支，主要研究多元函数的可微性、微 分法则和微分方程等。
在几何上，多元函数微分学可以用来 研究曲面、曲线和流形等的几何性质 和变化。
05
结论与展望
研究结论
多元函数微分学在几何上有着广泛的应用，它为解决几何问题提供了重要 的理论工具。
通过多元函数微分学，我们可以更好地理解几何对象的性质，例如曲面、 曲线和流形等的几何特征。
多元函数微分学在解决几何问题时具有高效性和精确性，为几何学的发展 提供了重要的推动力。
研究展望
01
随着数学理论和计算机技术的 不断发展，多元函数微分学在 几何上的应用将更加深入和广 泛。
球面函数的微分学分析
总结词
通过球面函数的微分学分析，可以研究球面上的几何性质和变多元函数，其定义域为球面。通过研究球面函数的导数和微分，可以了解球面上点的切线和法线， 以及曲面在一点的切平面和法线方向。这些信息对于研究球面的几何性质和变化规律非常重要，例如球面上的曲 线、曲面和体积等。
二次曲面在几何中的应用
总结词
二次曲面是一类重要的几何对象，可以通过二次曲面 的微分学分析来研究其几何性质和变化规律。
详细描述
二次曲面是由两个二元二次多项式定义的曲面。通过 研究二次曲面的导数和微分，可以了解曲面的切线和 法线，以及曲面在一点的切平面和法线方向。这些信 息对于研究二次曲面的几何性质和变化规律非常重要 ，例如二次曲面的面积、体积和质量分布等。此外， 二次曲面在几何、物理和工程等领域也有着广泛的应 用，例如地球表面形状、光学和力学等。
目录
CONTENTS
• 引言 • 多元函数微分学基础 • 多元函数微分学在几何中的应用 • 具体案例分析 • 结论与展望
01
引言
主题简介
多元函数微分学是数学的一个重要分 支，主要研究多元函数的可微性、微 分法则和微分方程等。
在几何上，多元函数微分学可以用来 研究曲面、曲线和流形等的几何性质 和变化。
05
结论与展望
研究结论
多元函数微分学在几何上有着广泛的应用，它为解决几何问题提供了重要 的理论工具。
通过多元函数微分学，我们可以更好地理解几何对象的性质，例如曲面、 曲线和流形等的几何特征。
多元函数微分学在解决几何问题时具有高效性和精确性，为几何学的发展 提供了重要的推动力。
研究展望
01
随着数学理论和计算机技术的 不断发展，多元函数微分学在 几何上的应用将更加深入和广 泛。
球面函数的微分学分析
总结词
通过球面函数的微分学分析，可以研究球面上的几何性质和变多元函数，其定义域为球面。通过研究球面函数的导数和微分，可以了解球面上点的切线和法线， 以及曲面在一点的切平面和法线方向。这些信息对于研究球面的几何性质和变化规律非常重要，例如球面上的曲 线、曲面和体积等。
二次曲面在几何中的应用
总结词
二次曲面是一类重要的几何对象，可以通过二次曲面 的微分学分析来研究其几何性质和变化规律。
详细描述
二次曲面是由两个二元二次多项式定义的曲面。通过 研究二次曲面的导数和微分，可以了解曲面的切线和 法线，以及曲面在一点的切平面和法线方向。这些信 息对于研究二次曲面的几何性质和变化规律非常重要 ，例如二次曲面的面积、体积和质量分布等。此外， 二次曲面在几何、物理和工程等领域也有着广泛的应 用，例如地球表面形状、光学和力学等。
第9讲多元微分学在几何中的应用资料
其中， y(x), z(x)可导.
.Q
.P
L
T
曲线 L 在点P 处的切线方程为
x x0 y y0 z z0
1
y(x0 ) z(x0 )
其方向向量 l (1, y(x0 ), z(x0 )) .
例
例
求圆柱螺旋线 x a cost , y a sin t , z bt
y y(x) z z(x)
a xb
设曲线 L 的参数方程为
x x(t)
y
y(t)
z z(t)
t
其中，x(t) , y(t) , z(t)可导。
.Q
.P
L
T
P t0 ： P(x(t0 ), y(t0 ), z(t0 )) P(x0, y0, z0 ) Q t0 t ： Q(x(t0 t), y(t0 t), z(t0 t))
多元微分学在几何中的应用
一. 空间曲线的切线 二. 空间曲线的法平面 三. 空间曲面的切平面与法线
本节关键概念和理论
曲线的切线、法平面 曲面的切平面、法线
一.空间曲线的切线
曲线 L 在点 P 处点切线为 点 Q 沿曲线 L 趋向点 P 时 割线 PQ 的极限位置 PT
L
P
Q
t
t
t
引入 t
x(t0 ) y(t0 ) z(t0 )
设曲线 L 的参数方程为
x x(t)
y
y(t)
z z(t)
t
其中，x(t) , y(t) , z(t)可导。
.Q
.P
.Q
.P
L
T
曲线 L 在点P 处的切线方程为
x x0 y y0 z z0
1
y(x0 ) z(x0 )
其方向向量 l (1, y(x0 ), z(x0 )) .
例
例
求圆柱螺旋线 x a cost , y a sin t , z bt
y y(x) z z(x)
a xb
设曲线 L 的参数方程为
x x(t)
y
y(t)
z z(t)
t
其中，x(t) , y(t) , z(t)可导。
.Q
.P
L
T
P t0 ： P(x(t0 ), y(t0 ), z(t0 )) P(x0, y0, z0 ) Q t0 t ： Q(x(t0 t), y(t0 t), z(t0 t))
多元微分学在几何中的应用
一. 空间曲线的切线 二. 空间曲线的法平面 三. 空间曲面的切平面与法线
本节关键概念和理论
曲线的切线、法平面 曲面的切平面、法线
一.空间曲线的切线
曲线 L 在点 P 处点切线为 点 Q 沿曲线 L 趋向点 P 时 割线 PQ 的极限位置 PT
L
P
Q
t
t
t
引入 t
x(t0 ) y(t0 ) z(t0 )
设曲线 L 的参数方程为
x x(t)
y
y(t)
z z(t)
t
其中，x(t) , y(t) , z(t)可导。
.Q
.P
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结束
法平面方程
(F , G) (F , G) ( x x0 ) ( y y0 ) ( y, z ) M ( z , x) M (F , G) ( z z0 ) 0 ( x , y) M
x x0 Fx ( M ) y y0 Fy ( M ) z z0 Fz ( M ) 0
第六节 多元函数微分学的几何应用
一、一元向量值函数及其导数
第九章
二、空间曲线的切线与法平面
三、曲面的切平面与法线
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一、一元向量值函数及其导数 引例: 已知空间曲线 的参数方程:
x ( t ) y ( t ) z ( t ) t [, ]
为0, 则 在点M 的导向量为
f ( t0 ) ( ( t0 ), ( t0 ), ( t0 ))
因此曲线 在点 M 处的 切线方程 法平面方程
y y0 z z0 (t0 ) (t0 ) (t0 )
x x0
M
f (t0 )
(t0 )( x x0 ) (t0 ) ( y y0 ) (t0 )( z z0 ) 0
切向量 T (1, , )
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2. 曲线为一般式的情况
F ( x, y , z ) 0 光滑曲线 : G ( x, y , z ) 0 ( F , G) 可表示为 当J 0 时， ( y, z )
, 且有
d y 1 (F , G) d z 1 (F , G) , , d x J ( z , x) d x J ( x, y )
解法2 方程组两边对 x 求导, 得
y z 1 1 曲线在点 M(1,–2, 1) 处有:
切向量
dy 解得 dx
x z 1 1
zx , yz
y x 1 1 x y dz y z dx yz 1 1
2 2 2 x y z d y d z6 T 1, , (1, 0 , 1) z0 x M dx M x dy
z
M
r
O
y
x 记 r ( x, y, z ), f (t ) ( (t ), (t ), (t ))
f ( t ) ( t )i ( t ) j ( t )k ,
的向量形式 r xi y j zk ,
的向量方程 r f ( t ), t [ , ]
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点 M (1,–2, 1) 处的切向量
T (1, 0 , 1)
切线方程
即 法平面方程
1 ( x 1) 0 ( y 2) (1) ( z 1) 0
即
xz 0
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三、曲面的切平面与法线
设 有光滑曲面 通过其上定点 任意引一条光滑曲线
设 t t0 对应点 M, 且 不全为0 . 则 在
点 M 的切向量为
T
T ( (t0 ) , (t0 ) , (t0 )) x x0 y y0 z z0 切线方程为 (t0 ) (t0 ) (t0 )
在同一平面上. 此平面称为 在该点的切平面.
t4
f (t ) (lim cos t ) i (lim sin t ) j lim tk 解：lim π π π π
t4 t4 t4 t4
2 2 π i j k ( f ( π 4) ) 2 2 4
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例2. 设空间曲线 的向量方程为
r f (t ) (t 2 1, 4t 3, 2t 2 6t )
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2 3 例4. 求曲线 x t , y t , z t 在点 M (1, 1, 1) 处的切线 方程与法平面方程. 解： x 1, y 2 t , z 3t 2 , 点(1, 1, 1) 对应于
故点M 处的切向量为 T (1, 2, 3) 因此所求切线方程为
(F , G) T ( y, z )
M
(F , G) , ( z , x)
M
(F , G) , ( x , y)
M
则在点 M ( x0 , y0 , z0 )有 切线方程
x x0 (F , G) ( y, z )
(F , G) ( y, z )
2 ( y z)
M
M
6 ;
x
切向量 切线方程
T ( 6, 0 , 6 )
y
x z 2 0 即 y20
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z
结束
法平面方程 6 ( x 1) 0 ( y 2) 6 ( z 1) 0 即
xz 0
t t0 t t0 t t0 t t0
连续： lim f (t ) f (t0 ) 导数： f (t ) ( f1(t ), f 2(t ), f3(t ))
t t0
f (t0 ) lim
t t0
f (t0 t ) f (t0 ) Δt
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Fz ( x0 , y0 , z0 ) (t0 ) 0
令 T ( (t ) , (t ) , (t )) 0 0 0
n ( Fx ( x0 , y0 , z0 ) , Fy ( x0 , y0 , z0 ) , Fz ( x0 , y0 , z0 ))
(自己验证)
也可表为
Gx (M ) G y (M ) Gz (M )
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例5. 求曲线 x y z 6 , x y z 0 在点
2
2
2
M ( 1, –2, 1) 处的切线方程与法平面方程.
解法1 令 则
( F , G) ( y, z )
M
2 y 2z 1 1
切向量, 其指向与t 的增长方
向一致.
z M
f (t0 )
r
O
Δr N
Δr Δt
y
x
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向量值函数导数的物理意义:
设 r f (t ) 表示质点沿光滑曲线运动的位置向量, 则有
速度向量：v(t ) f (t )
加速度向量： a v(t ) f (t ) 例1. 设 f (t ) (cos t ) i (sin t ) j t k , 求 lim f (t ). π
求曲线 上对应于 解: 的点处的单位切向量.
=6 故所求单位切向量为 其方向与 t 的增长方向一致 另一与 t 的增长方向相反的单位切向量为
2 2 1 ( , , ) 3 3 3
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例3. 一人悬挂在滑翔机上, 受快速上升气流影响作螺 求 旋式上升, 其位置向量为 (1) 滑翔机在任意时刻 t 的速度向量与加速度向量; (2) 滑翔机在任意时刻 t 的速率; (3) 滑翔机的加速度与速度正交的时刻.
此方程确定映射 f : [ , ] R 3, 称此映射为一元向量值函数. 对 上的动点M , 显然 r OM，即 是 r 的终点M 的轨迹 , 此轨迹称为向量值函数的终端曲线 .
要用向量值函数研究曲线的连续性和光滑性，就需要引进向 量值函数的极限、连续和导数的概念.
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解: (1)
(3) 由
即
得 t 0 , 即仅在开始时刻滑翔机的加速度与速度正交.
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二、空间曲线的切线与法平面
空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限位
置. 过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面.
给定光滑曲线
：f (t ) ( (t ), (t ), (t )) 在 则当 ， ， 不同时为 0 时，
M
y y0
(F , G) ( z , x)
M
z z0 (F , G) ( x , y )
M
法平面方程
(F , G) ( x x0 ) ( z , x) M (F , G) ( x , y )
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M
( y y0 ) ( z z0 ) 0
M
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(7 )
d dt
u (t ) (t )u (t )
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向量值函数导数的几何意义: 在 R3中, 设 r f (t ), t D 的终端曲线为 ,
OM f (t0 ), ON f (t0 Δ t ) Δ r f (t0 Δ t ) f (t0 ) Δr lim f (t0 ) t t0 Δ t 设 f (t0 ) 0 , 则 f (t0 ) 表示终端曲线在t0处的
曲线上一点 M ( x0 , y0 , z0 ) 处的切向量为
T 1, ( x0 ) , ( x0 )
1 (F , G) 1, J ( z , x)
M
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1 (F , G) , J ( x , y) M
或
M
下面证明: 上过点 M 的任何曲线在该点
证:
在 上,
F ( (t ) , (t ) , (t ) ) 0