《不等式及其性质》等式与不等式PPT【优秀课件】

2.5%，蛋白质的含量 p 应不少于 2.3%;
（3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边;
（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.
把现实中的不等关系、相等关系转化为不等式、等式 表示时,应注意以下几点:
(1)设立适当的未知数; (2)当问题中的不等关系较为复杂,可逐一解决,最 后组合成不等式组; (3)注意所设未知数本身的实际意义(变量的取值范围).
糖，再加入m克糖
第二杯重a2克的糖水含b2克糖
b b m (a b 0, m 0). a am
（3）两杯浓度不相同的糖水混合成一大杯后，一定比原
来淡的浓而比浓的淡.你能找出这些现象中的相等关系和
不等关系吗？
例：人们通常把自来水管的横截面制成圆形，而不是 正方形。其中的一个原因是因为圆的面积大于与它具 有相同周长的正方形的面积。
时，等号成立.
例4 现实生活中，我们有一些有趣的事实.比如： （1）两杯浓度相同的糖水混合成一大杯后和原来的糖水 一样甜；
第一杯重a1克的糖水含b1克糖
a1 b1 0, a2 b2 0,
b1 b2 b1 b2 . a1 a2 a1 a2
（2）糖水不饱和的情况下，加糖更甜了；重a克的糖水含b克
例2，例4，当堂检测2
例3 右图是在北京召开的第24届国际数学家大 会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的 弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风 车，代表中国人民热情好客.你能在这个图中找 出一D些相等关系和不等关系吗？
G
F
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C
A
H
a
E
b a2 b2
B
一般地，a,b R ，有 a2 b2 2ab, a 当 b且仅当

不等式基本性质3：不等式的两边都 乘以（或除以）同一个负__数__，不等 号如的果方_a_>改向_b_，变____c__<__0。,那么_a_c_<_b_c_(_或__ac____bc_ )
例1：
我是最棒的 ☞
判断下列各题的推导是否正确？为什么(学生口答)
(1)因为7.5＞5.7，所以-7.5＜-5.7；
方向不变。
➢如式不果的等a两>式边b，基都c本乘<性0以质（那3或么：除ac以<b）c同(或一ac个负bc数，不)就等是号说的不方等向
改变。
等式性质与不等式性质的区别和联系
• 区别：等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不 为0）时，结果仍相等；不等式两边都乘以（或除以） 同一个数（除数不为0）时，会出现两种情况，若是 正数，不等号方向不改变，若是负数不等号方向要改 变，而且不等式两边同乘以0，结果相等.
5. 8 x 1,两边都乘 7 ，得 _x____87_.
7
8
例 已知a<0 ，试比较2a与a的大小。 解法一：∵2＞1，a＜0， ∴2a＜a（不等式的基本性质3）
解法二： 在数轴上分别表示2a和a的点（a＜0）， 如图.2a位于a的左边，所以2a＜a
∣a∣ ∣a∣
2a
a
想一想：还有其 他比较2a与a的 大小的方法吗？
如果_a_>_b_,那么a±c>b±c _________.
不等式还有什么类似的性质呢？ ➢如果 7 ＞ 3
那么 7×5 _＞___ 3× 5 , 7÷5 __＞__ 3÷ 5 ,
➢如果-1< 3,
那么-1×2<____3×2,
-1÷2__<__3÷2,
不等式基本性质2：不等式的两边都乘以

不等式两边同乘一个正数， 所得不等式与原不等式同向； 不等式两边同乘一个负数，
所得不等式与原不等式反向.
高中数学
二、 不等式性质
性 质 1 : 如 果a=b, 那么b=a. 性 质 2 : 如 果a >b, b>c, 那么a >c.
性质3:如果a >b,那么a+c> b+c.
性 质 4 : 如 果 a>b,c> 0, 那么 ac>bc;
高中数学
二、不等式性质
性质3:如果a>b, 那么a+ c>b+c 追问2:两个实数大小关系还可以形象地在 数轴上表达出来，你能从几何意义的角度 对这个性质进行解释吗?
高中数学
二、不等式性质
性质3:如果a>b, 那么a+ c>b+c 追问2:两个实数大小关系还可以形象地在 数轴上表达出来，你能从几何意义的角度 对这个性质进行解释吗?
高中数学
二、不等式性质
性质3:如果a>b, 那么a+ c>b+c 追问2:两个实数大小关系还可以形象地在 数轴上表达出来，你能从几何意义的角度 对这个性质进行解释吗?
高中数学
二、不等式性质
追问3:你能从性质3中得到什么结论吗? 由性质3可得
a+b>c→a+b+(-b)>c+(-b)
→a >c-b
如果a>b>0, 那么 a²>b²
性质7:如果 a>b>0, 那么a”>b”
(n∈N*,n≥2)
高中数学
三、 不等式的简单应用
例：已知a>b>0,c<0, 求证

1、若m>n，判断下列不等式是否正确：
（1）m-7<n-7
()
（2）3m<3n
（）
（3）-5m>-5n
（4） m n 99
（5） m+5≥n+5
（） () ()
填空:
(1) ∵ 2a < 3a , ∴a是__正__数
(2) ∵
a
a
,
∴a是___正_数
23
(3) ∵ ax < a 且 x > 1 , ∴a是__负__数
例2：判断下列各题的推导是否正确？为什么(学生 口答) (1)因为7.5＞5.7，所以-7.5＜-5.7； (2)因为a+8＞4，所以a＞-4； (3)因为4a＞4b，所以a＞b； (4)因为-1＞-2，所以-a-1＞-a-2； (5)因为3＞2，所以3a＞2a． 答：(1)正确，根据不等式基本性质3．
的方向不变。
➢不等式基本性质3： 如果a>b，c<0 那么ac<bc(或
ab cc
)就是说不等式
的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向
改变。
➢不等式的对称性： 如果a>b，那么b<a
➢不等式传递性： 如果a>b，b>c,那么a>c
小结：
①在利用不等式的基本性质进行变形时，当 不等式的两边都乘以(或除以)同一个字母， 字母代表什么数是问题的关键，这决定了是 用不等式基本性质2还是基本性质3，也就是 不等号是否要改变方向的问题；
那么_a_c_>_b_c__
(或
a c
b
c)
不等式基本性质2：不等式的两边都 乘以（或除以）同一个_正__数_，不等号 的如方果向_a>_不__b__，变____c。>__0,那么_a_c_>_b_c_(_或___ac___bc_ )

1+
0,求证：
3+
>
1
.
3
证明：因 > 0,所以3 + > 0,从而
1+m 1
>
3+m 3
3(1 + m)
> 3+m
又因为已知 > 0,所以结论成立.
m>0
跟踪训练.已知, , 都是正数， >
+
,求证：
+
>

.

证明：因 > 0,所以 + > 0, + > 0从而
的不等式与原不等式同向.由性质3很容易得出
综合法
+ > ⟹ + + (−) > + (−) ⟹ > −
推论1：如果 + > ,那么 > −.（移向法则）
从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到
结论的方法，在数学中通常称为综合法. 由因导果：顺推法
的实数大.
a
b
思考3：对任意两实数和，它们可能有怎样的不等关系？如何
来判断这种不等关系呢？
数轴上两点A，B的位置关系有下列三种：
点A和点B重合、点A在点B右侧、点A在点B左侧
两实数,的大小有下列三种关系：
= ， > ， <
− <0⇔ <
− =0⇔ =
− >0⇔ >
不等式是刻画不等关系的工具.这节课我们一起来
学习一下吧.
1.会用不等式表示不等关系.（重点）
2.会用作差法比较大小.（重点）

元，现有工人工资预算20 000元，设请木工x人，瓦工y人，则请工人满足的
关系式是（
D）
A.5x+4y<200
B.5x+4y≥200
C.5x+4y＝200
D.5x+4y≤200
2. 已知a，b，c，d均为实数，有下列命题：




①若ab>0，bc-ad >0，则 - >0；②若ab>0，
bc-ad >0，



- >0，则ab>0.其中正确的是




- >0，则bc-ad>0；③若
.
①②③
➢ 课堂小结
性质6：如果a>b>0，c>d>0，则ac>bd.
a＞b＞0，c＞d＞0
ac＞bd
(正数同向不等式的可乘性)
证明：因为a>b，c>0，所以ac>bc，
又因为c>d，b>0，所以bc>bd，
根据不等式的传递性得 ac>bd。
几个两边都是正数的同向不等式的两边分别
相乘，所得的不等式与原不等式同向。
➢ 新知:不等式的性质
性质1：如果a>b，那么b<a；如果b<a，
那么a>b.
a＞b b＜a（对称性）
性质1表明，把不等式的左边和右边交
换位置，所得不等式与原不等式异向，我
们把这种性质称为不等式的对称性。
➢ 新知:不等式的性质
性质2：如果a>b，b>c，那么a>c.
a＞b，b＞c
a＜b，b＜c


a＞c；

垂直于AB，垂足为 D，E 是线段AB 上不同于D的任意
一点，则 CD<CE
生活中的相等和不等关系
问题2某种杂志原以每本 25元的价格销售，可以售出8万本据市场调查，杂志的单价每提高
0.1元，销量就可能减少 2 000本如定才能使提价后的销总收入不低于 20万元?
设提价后每本杂志的定价为工元，则销售总收
以从等式的性质及其研究方法中获得启发.
不等式性质
等式有下面的基本性质：
性质1 如果a>b，那么b<a;如果b<a，那么a>b。
性质1 如果a=b，那么b=a；
即a＞b ⇌b＜a
性质2 如果a=b，b=c，那么a=c；
性质3 如果a=b，那么a士c=b士c；
性质4 如果a=b，那么ac=bc；

性质5 如果a=b，c≠0，那么 =
人民热情好客。你能在这个图中找出一些相等关系
和不等关系吗?
① 由正方形ABCDA的面积和＞四个直角三角形的面
积和，可以得到：a²+b²＞2ab
② 当直角三角形变为等腰直角三角形时，即a=b时，
可以得到：a²+b²=2ab
③ 以上汇总可得：a²+b²≥2ab
④ 利用完全平方公式，a²+b²-2ab=(a-b)²
a>b，c>0，ac>bc；a>b，c<0，ac<bc
性质2 如果a>b，b>c，那么a>c。(要了解证明过程)
即a>b，b>c ⇒ a>c
性质3 如果a>b，那么a+c>b+c。


a+b>c ⇒ a+b+(-b)>c+(-b) ⇒ a>c-b。

3．不加性
可乘性
性质内容
a>b⇔ b<a a>b，b>c⇒ a>c a>b⇔ a＋c>b＋c
a>b⇒ c>0
ac>bc
a>b⇒ c<0
ac<bc
特别提醒 ⇔ ⇒ ⇔
注意 c 的符号
同向可加性 同向同正可乘性
可乘方性 可开方性
a>b⇒ c>d
a＋c>b＋d
a>b>0⇒ ac>bd>0 c>d>0
> ba∈R，b>0， ＝ ba∈R，b>0， < ba∈R，b>0.
2．等式的性质 性质 1 对称性：如果 a＝b，那么 b＝a； 性质 2 传递性：如果 a＝b，b＝c 那么 a＝c； 性质 3 可加(减)性：如果 a＝b，那么 a±c＝b±c； 性质 4 可乘性：如果 a＝b，那么 ac＝bc； 性质 5 可除性：如果 a＝b，c≠0，那么ac＝bc.
【例 2】 (1)对于任意非零实数 a，b，且 a>b，又 c∈R，则( D )
A．lg(a－b)>0
B．ac2<bc2
C.1a<1b
11 D． 3 a< 3 b
(2)(多选)若 a>0>b>－a，c<d<0，则下列命题成立的是( BCD )
A．ad>bc
B.ad＋bc<0
C．a－c>b－d
D．a(d－c)>b(d－c)
2．若 M＝(x－3)2，N＝(x－2)(x－4)，则有( A )
A．M>N
B．M≥N
C．M<N

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第二章 等式与不等式
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)实数 a 不大于－2，用不等式表示为 a≥－2.( ) (2)不等式 x≥2 的含义是指 x 不小于 2.( ) (3)若 a<b 或 a＝b 之中有一个正确，则 a≤b 正确．( ) (4)若 a＋c>b＋d，则 a>b，c>d.( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×
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第二章 等式与不等式
3．比较 5x2＋y2＋z2 与 2xy＋4x＋2z－2 的大小． 解：因为 5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)＝4x2－4x＋1＋x2－2xy ＋y2＋z2－2z＋1＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0，所以 5x2＋y2 ＋z2≥2xy＋4x＋2z－2，当且仅当 x＝y＝12且 z＝1 时取等号．
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第二章 等式与不等式
■名师点拨 符号“⇔”叫做等价号，读作“等价于”，“p⇔q”的含义是： p 可以推出 q，q 也可以推出 p，即 p 与 q 可以互推．
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第二章 等式与不等式
2．不等式的性质 性质 1：如果 a>b，那么 a＋c__>__b＋c. 性质 2：如果 a>b，c>0，那么 ac__>__bc. 性质 3：如果 a>b，c<0，那么 ac__<__bc. 性质 4：如果 a>b，b>c，那么 a__>__c.(传递性)
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第二章 等式与不等式
(2)证明：因为 a>b>0⇒－a<－b⇒c－a<c－b. 因为 c>a，所以 c－a>0.所以 0<c－a<c－b. 上式两边同乘（c－a）1（c－b），得c－1 a>c－1 b>0. 又因为 a>b>0，所以c－a a>c－b b.

现在需要比较上面两个数量的大小.
用求差法比较大小
两个数量的大小可以通过它们的差来判断，如果两个数a和b比较大小，那么 当a>b时，一定有a-b>0; 当a=b时，一定有a-b=0; 当a 反过来也对，即 当a-b>0时，一定有a>b; 当a-b=0时，一定有a=b; 当a-b<0时，一定有a 因此，我们经常把两个要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的正负 判断对象的大小. 用求差的方法，你能回答前面的用料问题吗？
乘以（或除以）同一个正__数__，不等号
如果a=b,那么a±c=b±c 等式的基本性质2:在等式两边都乘以或除以同一
个数(除数不为0)，结果仍相等．
如果a=b,那么ac=bc或a b （c≠0）， cc
不等式是否具有类似的性质呢？
➢如果 5 ＞ 3 那么 5+2 __＞__ 3+2 , 5 -2__＞__3-2
➢如果-1< 3,
那么-1+2_<___3+2, -1- 3_<___3 - 3 性质1 ：如果 a>b, 那么 a+c>b+c 或
-1+2 __＜______ 3+2，-1+(-3) ___＜_____ 3+(-3)， -1+0 __＜______ 3+0．
猜想 当不等式两边加（或减）同一个数（或式子）时，不等号的方向_不__变___．
不等式的性质1
当不等式两边加（或减）同一个数（或式子）时，不等号的方 向不变． 你能把不等式的性质1用符号语言表示吗?
（3） -2a_＜___-2b ； （4） ＞
（5） -3.5b+1_＞____ -3.5a+1 ．

不等号
>
<
≥
≤
≠
2.1.1 等式性质与不等式性质
新课 你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗? （1）某路段限速40km/h；
（2）某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f 应不少于 2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%；
（3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边；
（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短．
（1）作差：对要比较大小的两个数(或式子)作差； （2）变形：对差进行变形(因式分解、通分、配方等)； （3）判断符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号； （4）作出结论．
练习 P40，练习2
新课
D
GF
C
A
H a
E
b
B
当且仅当a=b时，等号成立.
练习 P40，练习3
小结 1．不等式与不等关系： 用不等式表示不等关系，注意文字语言与符号语言之间的转化．
从上述基本事实可知：要比较 两个实数的大小,可以转化为 比较它们的差与0的大小．
已学不等式性质
a b,b c a c
a b ac bc a b,c 0 ac bc a b,c 0 ac bc a b, c 0 a b
cc a b, c 0 a b
cc
例题 比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小．
2．比较两个实数大小关系的依据：
a b ab0
a b ab0
ab ab0
3．作差比较法： 作差 → 变形 → 判断符号 → 作出结论
作业
作业本P19-20 2.1.1 等式性质与不等式性质（