《不等式及其解集》不等式与不等式组课件PPT

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解：新注入的水的体积 v 与原有的水的体积的和不能
超过容器的容积，即
v+3×5×3≤3×5×10， v≤105. 又由于新注入的水的体积 v 不能是负数， 因此，v 的取值范围是 v≥0 并且 v≥105.
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问题7：
解下列不等式，并在数轴上 表示解集.
（1）
x
1 5
≤6；
（2）
5
3x 2
≥3-
2x
.
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独立解问决题问8题：.
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作业：
• 必做题：习题第7、8题． • 选做题：习 Nhomakorabea第9题．
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感谢您的观看！
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第九章 不等式与不等式组
9.1 不等式
9.1.2 不等式的性质（2）
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问题1：
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问题2：解下列不等式并在数轴上表示出它的解集.
（1） x +3＞-1； （2）5 x ＜4 x -2；
（3）
1 3
x
＞5.
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问题3：你学过哪些不等号？
不等式的符号统称不等号，有 “＞” “＜” “≠”. 其中“≤” “≥”,也是不等号. 其中，“≤”表示不大于、不超过，“≥” 表示不小于、不低于.
问题4： 含有“ ≤ ” “≥”的不
等式你会解吗？
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问题5：
若 a ≥ b ，用“≤”或“≥”填空：
⑴ a +c b +c，a c b c； ⑵ ac bc （ c ＞0）； ⑶ ac bc （ c ＜0）.

式的不等式，可以利用积分来求解。通 过对函数进行积分，可以求出函数的值域，从而确定不等式 的解集。
几何法
利用数形结合求解不等式
将不等式转化为两个函数的交点问题，利用数形结合的方法可以直观地求解 不等式。
利用平面几何求解不等式
将不等式转化为平面几何中的问题，利用平面几何的知识可以直观地求解不 等式。
不等式的分类
简单不等式
只包含一个不等号，左右两侧的代数式为一次或二次的简单不等式。
不等式组
多个简单不等式组合在一起，形成的不等式组。
不等式的性质
1 2
可加性
不等式的两边同时加上一个数，不等号的方向 不变。
可乘性
不等式的两边同时乘以一个正数，不等号的方 向不变。
3
可乘方性
不等式的两边同时乘以一个正数的方数，不等 号的方向不变。
车辆调度问题
在交通运输中，需要对车辆进行合理调度，以满足不同客户的需求并降低成 本。不等式组可以用来描述车辆调度中的约束条件，帮助企业制定更加高效 的车辆调度方案。
06
不等式发展方向
不等式理论研究
深入研究不等式的本质和特性，探究不等式的基本原理和证 明方法，推动不等式理论的发展和完善。
研究不等式在数学其他分支的应用，例如代数、分析、几何 等领域，揭示不等式的广泛作用和深刻内涵。
非线性规划的优缺点
非线性规划具有能够处理非线性问题的优点，但需要选 择合适的迭代算法和初始点，否则可能导致求解失败或 局部最优解。
动态规划
动态规划简介
动态规划是一种求解多阶段决策过程的最优解的方法，通过将问题分解为多个子问题，逐 个子问题的求解达到整体问题的最优解。
动态规划的应用
动态规划广泛应用于最短路径、最长子序列、背包问题等优化问题中，也用于求解生产计 划、资源分配等问题。

这节课你学到了哪些？有什么体会？
不等式的解
不等式的解集
不等式
……
用数轴表示不 等式的解集
拓展提高
1.写出不等式x<3的所有正整数解：1—,2—
0,1
2.写出不等式x<2的所有非负整数解：——
-2
3.写出不等式x >－3的最小整数解：—— 4.写出不等式x >－4的所有负整数解：-—3，-2，-1 5.不等式x＜5有多少个解？有多少个正整数解？分别
不等式的解.
练习:下列说法正确的是( A )
A. x=3是2x>1的解
练
B. x=3是2x>1的唯一解
一 练
C. x=3不是2x>1的解 D. x=-1是2x>1的解
自学指导
• 自学课本第115页从思考到这一页结束。 • 找出：什么是不等式的解集及什么叫解不等
式,并用笔画出来 • 找出：怎样用数轴表示不等式的解集。
一个含有未知数的不等式的所有解组成这个 不等式的解集.
在数轴上表示x≥－2正确的是 ( D)
试
●
一
-2
A
试
○
-2 0
C
●
-2 0
B
●
-2 0
D
试一试: 写出下列数轴所表示的不等式的解集:
○
-3 0
⑴
●
02
⑵
X > -3
X≥2
○
-3 0 ⑶
X < -3
●
0a ⑷
X ≤a
用数轴表示下列不等式的解集:
x=3是2x>1的唯一解 写出下列数轴所表示的不等式的解集:
速应满足什么条件？

的解的有
5 3
，
是－32x＞1 的解的有 －2，－2.5 .
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10．将下列不等式的解集在数轴上表示出来：
(1)x＜－3;
(2)x≥－1；
(3)x≠2;
(4)x＞－2.
解：
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七年级数学(下册)·人教版
第九章 不等式与不等式组
9．1 不等式 9．1.1 不等式及其解集
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1．用“＞ ”或“ ＜ ”表示大小关系的式子叫做不等式，用“ ≠ ” 表示不等关系的式子也是不等式． 2．使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解；一般地，一个含有未知数 的不等式的 所有的解 组成这个不等式的解集．求不等式的 解集 的过程叫 做解不等式．
14．x 与 3 的差的 2 倍小于 x 的 2 倍与 3 的差，用不等式表示为( C )
A．2(x－3)＜x－3
B．2x－3＜2(x－3)
C．2(x－3)＜2x－3
D．2x－3＜12(x－3)
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解：(1)3x＞－2； (2)4y＋1＜5； (3)x2－2＞0； (4)2y－6≥0.
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20．若方程(m＋2)x＝2 的解为 x＝1，想一想(m－2)x＞－3 的解集是多少？ 试探究－1，－2,0,1,2 这五个数中的哪些数是该不等式的解． 解：由题意可知：m＝0，则不等式(m－2)x＞－3 可化为－2x＞－3.可以看 出其解集为 x＜32.故－1，－2,0,1 是该不等式的解．

9,解一元一次不等式组: 求一元一次不等式组解集的过程叫解一元一次不等式组
注意：1、不等式的解与解集是不同的两个概念，不等式的解是单独的未知数的值， 而解集是一个范围的未知数的值组成的集合，一般由无数个解组成
2、不等式的解集一般可以在数轴上表示出来。注意“>”“<”在数轴上表示 为空心圆圈，而“≥”“≤”在数轴上表示为 实心圆点 】
D
） 个．
A．1 B．2 C．3 D．4
考点五：确定不等式（组）中字母的取值范围
a＞-1．
例6
（宁夏解，则a的取值范围是(
2
)
【聚焦成都中考】
、（14年成都）解不等式组：
（15年成都）比较：
．
3、（2016年成都）已知关于x的方程 3x2+2x﹣m=0没有实数解，求实数m的取 值范围．
例2
把不等式组x 1
2x 1
5
的解集在数轴上表示正确的是（C
）
A、
B、
C、
D、
考点三：不等式（组）的解法 例3 （成都）不等式2x-1＞3的解集是(
x＞2．)
例4 （永州）解不等式组，22xx301
并把解集在数轴上表示出来．
考点四：不等式（组）的特殊解
2x 1 3
例5
（雅安）不等式组
x 2
1
的整数解有（
解集
x>b x<a
数轴法如图 示
口诀法
同大取大
ab
ab
同小取小
x a x b
x a x b
a<x<b 无解
ab ab
大小小大中间找
大大小小解不了 （无解）
【注意：1、求不等式的解集，一般要体现在数轴上，这样不容易出错。 2、一元一次不等式组求解过程中往常出现求特殊解的问题，比如：整数解、 非负数解等，这时要注意不要漏了解，特别当出现“≥”或“≤”时要注意两头 的数值是否在取值的范围内】

第九章
不等式与不等式组 第一课时
9.1.1 不等式及其解集
现实生活中数量存在相等和不等的关系。 用等式（包括方程），我们可以研究相等关系， 而研究不等关系需要用本章的不等式。
学习目标
1 了解不等式概念和不等式的解；
2
理解不等式的解集，能正确表示不等式的解集； 培养数感，渗透数形结合的思想.
3
新知探究1：不等式的概念
155cm
156cm
类比归纳
观察下列式子：
这些式子有哪些共同特点?类比等式，你能给它起个名吗?
x ＜ 1.1；x ≥ 1.1 ；155＜156 ； 156＞155 ；155≠156；
结论:像上面这样用">"或"<"等不等号表示大小关 系的式子，叫做不等式. 不等号包括： ≥ ≤ > < ≠
有些不等式含有未知数，有些不等式不含未知数
1 1 1 2、在 -1，- ，- ，0 ， 3 2 2
，1，3，7，100中哪些
能使不等式x+1＜2成立？ 1 1 1 解：-1，- ，- ，0 ， ，能使不等式x+1＜2成立。 3 2 2
3、 已知x的取值范围如图所示,你能写出x的取值范围吗?
-1
0
1
x＞-1
-2 -1
1 x＜ 2
0
0
1
2
x≤-2
问题1：泸州市公交车儿童购票标准:1米1以 下儿童免票,1.1（含1.1米）米以上购票
设儿童身 高为x米
你能用一个 数学式子 表示它们吗?
x ＜ 1.1
x ≥ 1.1
观察与思考
例如，小明的身高为155cm，小聪的身高为156cm，

第九章 不等式与不等式组 9．1 不等式 9．1.1 不等式及其解集
1．用“__＞__”或“__＜__”表示大小关系的式子叫做不等式，用“__≠__”表示不等 关系的式子也是不等式．
2．使不等式成立的__未知数的值__叫做不等式的解；一般地，一个含有未知数的不等式 的__所有的解__组成这个不等式的解集．求不等式的__解集__的过程叫做解不等式．
21．(16分)阅读下列材料，并完成填空． 你能比较2 0142015和2 0152014的大小吗？ 为 了 解 决 这 个 问 题 ， 先 把 问 题 一 般 化 ， 比 较 nn ＋ 1 和 (n ＋ 1)n(n≥1 ， 且 n 为 整 数 ) 的 大 小．然后从分析n＝1，n＝2，n＝3…的简单情形入手，从中发现规律，经过归纳、猜 想得出结论． (1)通过计算(可用计算器)比较下列①～⑦组两数的大小；(在横线上填上“＞”“＝”或“＜”) ①12__＜__21；②23__＜__32；③34__＞__43； ④45__＞__54；⑤56__＞__65；⑥67__＞__76； ⑦78__＞__87. (2)归纳第(1)问的结果，可以猜想出nn＋1和(n＋1)n的大小关系； (3)根据以上结论，请判断2 0142 015和2 0152 014的大小关系． 解：(2)当n＝1或2时，nn＋1＜(n＋1)n；当n≥3时，nn＋1＞(n＋1)n
第九章 不等式与不等式组 9．1.2 不等式的性质
4．(4分)平面直角坐标系中，点Q(2，－3m＋1)在第四象限，则m的取 值范围是( D ) A．m＜ B．m＞－ C．m＜－ D．m＞
5．(3分)在下列不等式的变形后面填上依据： (1)如果a－3＞－3，那么a＞0；__不等式的性质1__ (2)如果3a＜6，那么a＜2；__不等式的性质2__ (3)如果－a＞4，那么a＜－4.__不等式的性质3__

不等式及其解集
引入新课
1.什么是等式？ 用等号表示相等关系的式子叫做等式 2.什么是不等式呢？
用不等号表示不相等关系的式子叫 做不等式
不等号包括： ≥ ≤>< ≠
想一想
试判断下列各式是不是不等式。
① 2﹤5； 是 ③5m+3=8； 否 ⑤3x2+2＞0 ; 是
② x+3≠0； 是 ④ 7n-5≥2； 是 ⑥ 4x-2y≤0。 是
不等式的解集 用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式
汽车到达A地的行驶能用多少时间呢？
一辆匀速行驶的汽车在11:20距离A地50千米，要在12:00之前驶过A地，车速应该满足什么条件？
x=3不是2x>1的解
不等式解集的表示方法 x=3是2x>1的解
注意:不等式的解和不等式的解集是一样的吗?
练习:下列说法正确的是( )
注意:不等式的1解1和:2不0等—式的1解2集:0是0一之样的间吗，? 汽车走过的实际路程是多少？
你还能找出这个不等式的其他解吗?这个不等式有多少个解?
用等号表示相等关系的式子叫做等式
归纳：像②、④这样，只含有一个未知数，且未知数的次数都是1的不等式，叫作一元一次不等式。
归纳：像②、④这样，只含有一个未知数，且未知数的次数都是1的不等式，叫作一元一次不等式。
（2）用不等式表示：
① a是正数； ② x 与 5 的和小于 7； ③ n 与 2 的差大于-1；
④ m 的 4 倍不大于 8；
⑤ x 的 一半大于等于-3； ⑥ a是非负数.
3、下列哪些数值是不等式 x +3＞ 6 的解？ 哪些不是？ -4，-2.5, 0, 1, 2.5,3, 3.2, 4.8, 8, 12.

圆点还是空心圆圈,有等号边界点画实心圆点(表示包括这
一点),无等号边界点画空心圆圈(表示不包括这一点)；
2.定方向：大于向右，小于向左.
3.不等式的性质
不等式的性质1：不等式两边加（或减）同一个
数（或式子），不等号的方向 不变 ．
不等式的性质2：不等式两边乘（或除以）同一
不变
个正数，不等号的方向______.
《不等式与不等式组》
知识梳理
不
等
式
用不等号表示大小关系或不等
定义
关系的式子，叫做不等式
不等式的解
使不等式成立的未知数的值
不等式
一个含有未知数的不等式的所
的解集
有解，组成这个不等式的解集
性质1：不等式两边加(或减)同一
个数(或式子)，不等号的方向不变
性质2：不等式两边乘(或除以)同一
性质
个正数，不等号的方向不变
⑤
−1
6
−
3+2
2
< 3；
⑦ x>0.
A. 3个
B. 4个
C. 5个

π
> 0；
⑥ x+xy≥y2；
最高次为二次
D. 6个
重点解析 重难点2：一元一次不等式的性质
若a＞b，下列不等式不一定成立的是（
）
C
A．a﹣5＞b﹣5
B．﹣5a＜﹣5b


C． ＞
D．a+c＞b+c


c＞0时,成立；
c＜0时.不成立
④合并同类项；⑤系数化为1.(对
解法步骤 于解不等式,在去分母、系数化
为1时,若两边同时乘(或除以)一
个负数,则不等号的方向改变)

例题
用不等式表示: (1) m 是非负数；
m≥0. (2) m - n 是负数；
m - n ＜0. (3) a 与 3 的差大于 b 的 2 倍与 4 的和；
a - 3＞2b + 4.
(4) a 的 5 倍不大于 a2 与 2 的差；
5a≤a2 - 2.
(5) m 与 n 的差的平方小于 5；
(m - n)2＜5.
这个不等式的解集在数轴上的表示如图.
0
33
(2)3x＜2x + 1； 解: 为了使不等式 3x＜2x + 1 中不等号的一边变为 x，根据不等式的性质 1，不等式两边都减去 2x，不等 号的方向不变，得
3x - 2x＜2x + 1 - 2x， x＜1.
这个不等式的解集在数轴上的表示如图.
0
1
(3) 2 x＞50； 3
第九章 不等式与 不等式组
9.1 不等式 9.1.1 不等式及其解集
归纳
不等式的概念: 1. 定义: 用 “＞” “＜” 或 “≠” 表示不等关系 的式子叫做不等式. 例如，120＜5x，x - 1＜2，3 - 4＜0，3 - 4≠4 - 3， a＞0，a＜0，a2≥0，-a2≤0 等都是不等式.
得出三角形两边之差与第三边间的关系.
解: 如图，设 a，b，c 为任意一个三角形的三条边
的边长，则
a + b＞c，b + c＞a， c + a＞b. 由式子 a + b＞c 移项可得 a＞c - b，b＞c - a.
b
a
c
类似地，由式子 b + c＞a 及 c + a＞b 移项可得
c＞a - b，b＞a - c 及 c＞ b - a，a＞b - c.