传热学---导热微分方程式

传热学 复习要点1-3节为导热部分1.导热理论基础 (分稳态导热和非稳态导热) (1)导热现象的物理本质及在不同介质中的传递特征.依靠分子,原子和自由电子等微观粒子热运动进行的热量传递.气体中为分子,金属中为电子,非导电固体和液体中为晶格(2)温度场的空间时间概念.表达式:t=f(x,y,z, τ)空间用x,y,z表示.时间用τ.稳态: 非稳态:(3)温度梯度的概念和表达式.定义: 两等温面温差 与其法线方向距离 的比值极限..表达式:(4)傅立叶定律的概念及其表达式.----导热基本定律定义:表达式:适用范围:只适用于各向同性的固体材料.(5)导热系数的定义,物理意义和影响因素.表达式:物理意义:表征物体导热能力的大小.影响因素:(6)物性参数为常数时的导热微分方程式在各种不同条件下的数学表达.导热微分方程---由傅立叶定律和热一律导出.导热微分方程表达式:无内热源:稳态温度场:无内热源且为稳态温度场:(7)导温系数的表达及其物理意义,与导热系数的区别.导温系数a定义: a=λ/cρ;物理意义:表示物体加热或冷却时,物体内部各部分温度趋于一致的能力.(8)导热过程单值性条件和数学表达.单值性条件包括4个:几何条件;物理条件;时间条件;边界条件;其中边界条件分3类:①第一类边界条件:已知边界面温度.②第二类边界条件:已知边界面热流密度..③第二类边界条件:已知边界面与周围流体间的表面传热系数及周围流体温度tf.牛顿冷却公式:2.稳态导热--t=f(x,y,z)(1)通过单层平壁,多层平壁和复合平壁的导热计算式及温度分布,热阻概念及其表达式和运用.A: 第一类边界条件: 在无内热源,常物性条件下1)单层平壁,高度h>>厚度δ，即为无限大平壁.因是一维导热,所以温度分布为线性分布.t=tw1-(tw1-tw2)x/δ;热流密度q=tw1-tw2/(δ/λ)=Δt/Rt.热阻Rt: Rt=Δt/q.2)多层平壁:温度分布为折线..B: 第三类边界条件: 厚度δ,无内热源,常物性单层平壁:q=(tf1-tf2)/(1/h1+δ/λ+1/h2)Rt=1/h1+δ/λ+1/h2多层平壁:q=(tf1-tf2)/(1/h1+δ/λ+1/h2)C: 复杂的平壁导热:(串连加并联)RA与RB串连: R=RA+RB;RA与RB并连: R=1/(1/RA+1/RB).D: 导热系数为t的函数: λ=λ0(1+bt)t=q=此时,温度分布为二次曲线.(2)通过单层圆筒壁和多层圆筒壁的导热及温度分布,热阻表达式和运用.工程上长度l>>厚度δ的称为圆筒壁导热.1)第一类边界条件:内径为r1,外径为r2单层: 边界条件:t=q=温度分布为曲线分布.多层:q=1)第三类边界条件:单层:多层:(3)临界热绝缘直径的物理概念和如何确定合理的绝热层厚度.当绝热层外径=dx时,总热组最小,散热量最大.这一直径称为临界~~Dx=dc=2λins/h2.说明:外径d2<dc时,热损失反而增大.外径d2>dc时,加绝热层才有效.(4)肋片的作用及温度分布曲线,肋片效率概念及影响因素,肋片散热量的计算式.---- 只讨论等截面直肋1)等截面直肋:肋高为l,肋厚为δ,肋片周边长度为U,导热系数为λ,l>>δ,可认为肋片温度只沿着高度方向变化.边界条件:2)过余温度:以周围介质tf为基准的温度.θ=t-tf.其中m=温度分布为一条余弦双曲函数,即沿x反向逐渐降低.肋端国余温度:3)肋片表面散热量:4)肋片效率:定义:在肋片表面平均温度tm下,肋片的实际散热量Φ与假定整个肋片表面都处在肋基温度to时的理想散热量Φo的比值.即:结论:①当m一定时,随着肋高增加, Φ先迅速增大然后逐渐趋于平缓.也即η先降低,肋高增加到一定程度时, Φ急剧降低.②ml大,肋端过于温度小,肋片表面tm小,效率低.所以应降低m提高效率.③λ与h都给定时,m随U/A降低而减小.变截面肋片效率高.(5)接触热阻的形成和表达式.两固体直接接触,因接触面不绝对平整,会产生接触热阻.定义式:减小接触热阻的措施:改善接触面粗糙镀;提高接触面挤压压力;减小表面硬度;接触面上涂油.3.非稳态导热 (分瞬态导热和周期性导热)两个重要准则:Fo准则和Bi准则.Bi=(δ/λ):(1/h)Fo=aτ/δ2(1)瞬态导热过程及周期性不稳态导热过程的特点.前者物理量瞬间变化.后者物理量周期性变化.(2)Fo准则的表达式及物理意义,当Fo>0.2时,无限大平壁内的温度变化规律.傅立叶准则:Fo=aτ/δ2物理意义:表征不稳态导热过程的无因次时间. Fo>0.2为临界值.无限大平壁:在进行到F o>0.2的时间起,物体中任何给定地点的过余温度的对数值将随时间按线性规律变化.(3)Bi准则的表达式及物理意义, Bi准则对无限大平壁内温度分布的影响.毕渥准则Bi=(δ/λ):(1/h)物理意义:表征物体内部导热热阻与表面对流换热热阻之比.它的值越小,内部温度越趋于均匀一致.Bi<0.1可近似认为,物体温度是均匀一致的.(4)运用集总参数法的条件及温度计算式.集总参数法的条件:对于平板,圆柱,球体,温度计算式:V为体积,A为表面积,初始温度θ=to-tf.地下建筑的预热:5-7节为对流换热部分5.对流换热分析 (对流换热=导热+热对流)(1) 对流换热过程的特征及基本计算公式.定义：流体因外部原因(强迫对流)或内部原因(自然对流)而流动并与物体表面接触时发生的热量传递.特征:①导热与热对流同时存在的复杂热传递过程② 必须有直接接触（流体与壁面）和宏观运动；也必须有温差③ 由于流体的粘性和受壁面摩擦阻力的影响，紧贴壁面处会形成速度梯度很大的边界层基本计算公式:---牛顿冷却公式:q=h(tw-tf)(2)影响对流换热的因素.影响因素:①流动的起因（强迫对流或自然对流）；②流动状态（层流或紊流）；③有无相变；④换热表面几何因素；⑤流体的物理性质。

传热学圆柱导热微分方程公式在传热学中，圆柱导热微分方程是一种重要的方程，用于描述圆柱体中的热传导过程。

通过这个方程，我们可以推导出圆柱体内部温度分布的解析解，并从中了解圆柱体的热传导特性。

圆柱导热微分方程的推导假设我们研究的是一个半径为r，长度为L的圆柱体内的热传导过程。

为了简化问题，我们假设圆柱体是各向同性的，并忽略边界效应。

根据热传导的基本原理，单位时间内通过圆柱体表面的热量等于圆柱内部温度梯度的负值乘以单位面积上的热传导系数。

根据傅里叶热传导定律，这个表达式可以写为：$$ Q = -kA \\frac{dT}{dr} $$其中，Q表示通过单位时间传导到圆柱体内部的热量，k是热传导系数，A是单位面积，$\\frac{dT}{dr}$表示温度随半径的梯度。

根据热量守恒定律，单位时间内通过截面面积为A的圆柱体表面的热量等于单位时间内圆柱体内部温度的变化量乘以圆柱体的体积。

即：$$ Q = \\frac{dQ}{dt} = \\rho c_p A L \\frac{dT}{dt} $$其中，$\\rho$是圆柱体材料的密度，c p是比热容，L是圆柱体的长度，$\\frac{dT}{dt}$表示温度随时间的变化率。

将上述两个等式相等，可以得到：$$ -kA \\frac{dT}{dr} = \\rho c_p A L \\frac{dT}{dt} $$简化上述方程，可得圆柱导热微分方程：$$ \\frac{1}{r} \\frac{d}{dr}\\left(r \\frac{dT}{dr}\\right) =\\frac{1}{\\alpha}\\frac{dT}{dt} $$其中，$\\alpha = \\frac{k}{\\rho c_p}$为热扩散系数。

圆柱导热微分方程的解析解为了求解圆柱导热微分方程的解析解，我们可以引入分离变量法。

假设温度分布T(r,t)可以表示为R(r)T(t)的乘积形式。

传热学圆柱导热微分方程在传热学中，研究圆柱的导热过程是非常重要的。

导热微分方程是描述导热过程的数学模型，能够揭示圆柱体在不同条件下的温度分布和热传导性能。

本文将介绍传热学中的圆柱导热微分方程，并详细讨论其基本概念和应用。

圆柱导热微分方程的基本概念圆柱导热微分方程是用来描述圆柱体内部温度分布的方程。

它基于热传导定律，即热流密度与温度梯度成正比。

圆柱导热微分方程的一般形式为：$$ \\frac{{\\partial T}}{{\\partial t}} = \\alpha \\left( \\frac{{\\partial^2T}}{{\\partial r^2}} + \\frac{1}{r} \\frac{{\\partial T}}{{\\partial r}} \\right) $$其中，T是温度，t是时间，r是圆柱体的半径，$\\alpha$ 是热扩散系数。

该方程可以进一步简化为：$$ \\frac{{\\partial T}}{{\\partial t}} = \\alpha \\frac{1}{r}\\frac{{\\partial}}{{\\partial r}} \\left( r \\frac{{\\partial T}}{{\\partial r}} \\right) $$这个方程描述了圆柱体内部温度随时间变化的规律。

它表明，圆柱体内部的温度变化取决于半径方向上的温度梯度。

圆柱导热微分方程的应用圆柱导热微分方程在实际工程中有广泛的应用。

以下是一些具体的应用案例：圆柱的热稳定研究圆柱的热稳定性是圆柱导热微分方程的重要应用之一。

通过求解导热方程，可以得到圆柱的温度分布，并进一步分析圆柱是否达到了热稳定状态。

这对理解材料的导热性能、设计合适的散热结构等方面具有重要意义。

圆柱的散热分析圆柱体在散热过程中的温度分布对于工程设计和安全性评估至关重要。

通过求解导热方程，可以预测并优化圆柱体的散热能力。

高等传热学基本方程推导本文详细推导了高等传热学的基本方程：连续性方程、动量方程和能量方程方程推导1.导热微分方程某方向导入微元体的热流量为某某+d某方向导出微元体的热流量为：Tdydz某某d某某某Td某某(dydz)d某某某某同理可得y、z方向的导入、导出热流量。

根据能量守恒：导入微元体的总热流量+微元体内的生成热=导出微元体的总热流量+微元体内能的增加微元体内能的增加：dUcTd某dydz微元体内的生成热：qd某dydzTTTT经整理有：czzq某某yy该式可在（1）导热系数为常数；（2）导热系数为常数，无内热源（3）导热系数为常数、稳态（4）导热系数为常数、无内热源、稳态等情况下简化T1T1TT圆柱坐标系：cr2qrrrrzzT12T1T1T球坐标系：crinqr2rrr2inr2in22.连续性方程ud某d某)(u某某)dydzd，从右边流出的质量为某2某2ud某(u某)d某d某dydzd()(u某某)dydzd，二者的净质量差为：某某2某2d某dydzd，因此可得平衡关同理可得y、z方向的质量变化，而经过dτ时间，微元体的质量变化为uvw0，此方程可以在有关条件下简化。

系，经整理，有某yz对于微平行六面体，从左边流入的质量为：(3.动量方程根据牛顿第二定律写出某方向上的力平衡方程式：f某d某dydzp某某dydzp某某y某p某某dud某dydzy某d某dz(y某dy)d某dzz某d某dy(z某z某dz)d某dy某某yzddu某1p某某1y某z某经整理，有：，同理，可得其它方向的动量方程。

f某()d某yzdui1ij写成张量形式，有：，牛顿流体的本构方程为：ijpij2ij，于是有：fid某ju，则有：duifi1(p)juid某i某j某i某jujujuj0，而对于不可压缩流体：0，则有：某j某i某i某j某j某jui某j22uudu1pi2i2ui，则有：ifi()2ui，即为N—S方程某某某jd某ijjuiuj1ij2某j某i本文详细推导了高等传热学的基本方程：连续性方程、动量方程和能量方程4.能量方程：12uv2w22ueued某dydz之差，即d某dydz，某方向上流体携入控制体的净能量为uedydz与uedydz某某uevewe同理可得y、z方向上的净能量，因而，dQconvd某dydz某yz采用热力学第一定律分析：dQconv+dQcond+dW=dE，总能：eU TTT、、d某dydzd某dydzd某dydz，则：某某zzyyTTTdQcondd某dydz某某yyzzedEd某dydz，于是有能量守恒方程：控制体总能量随时间的变化率为TTTueveweed某dydzd某dydzdWd某dydzyz某某某yyzzTTTDe引入连续性方程，则有：d某dydzd某dydzdWD某某yyzz某、y、z方向上的净导入能量分别为：界面上作用力（粘性力、静压力和体积力）对流体所做的功，某方向的净功为：(某某u)(y某u)(z某u)(pu)Fu某d某dydz，y、z方向类似，三项之和为Dwyz某某uvwd某dydzp某yzd某dydz令ηΦ为右侧方括号内各项(又称能量耗散函数)，则有dWuvw，整理，则有p某yzd某dydzuvwDUTTTp，ηΦ又可表示为D某某yyzz某yzDD1222uvwd某dydz2d 某dydzu2v2w2uv2uw2vw22uvw2222某yzy某z某zy3某yz温度形式的能量方程：h=U+p/ρ,hhDhDU1DppDh,h=h(T,p),dhdTdpcdTdppDDD2DTppTpTh1T1111vdp，则dhcdT而，,体积膨胀系数，则pvpTTppTDTTTTDpcpTvzD某某yyzD1对于理想气体v,对于不可压缩流体v0，以及忽略耗散的情况，则可分别对上式简化。

实验一 非稳态法测量材料的导热性能实验一、实验目的1. 快速测量绝热材料的导热系数和比热。

2. 掌握使用热电偶测量温差的方法。

二、实验原理X图1 第二类边界条件无限大平板导热的物理模型本实验是根据第二类边界条件，无限大平板的导热问题来设计的。

设平板厚度为2δ。

初始温度为t 0，平板两面受恒定的热流密度q c 均匀加热（见图1）。

求任何瞬间沿平板厚度方向的温度分布t(x,τ)。

导热微分方程式、初始条件和第二类边界条件如下：22),(),(x x t a x t ∂∂=∂∂τττ初始条件 0)0,(t x t =边界条件x=0,0),0(=∂∂xt τX=δ,0),(=+∂∂λτδcq x t 方程的解为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+--=-∑∞=+1221220)exp(cos(2)1(63),(n o n n n n c F x x a q t x t μδμμδδδδλττq c式中： t —温度； τ—时间； t 0 — 初始温度；ɑ — 平板的导温系数； μn — n π n=1,2,3,……2δτa Fo =— 傅立叶准则； q c— 沿方向从端面向平板加热的恒热流密度；随着时间t 的延长，Fo 数变大，上式中级数和项愈小。

当Fo>0.5时，级数和项变得很小，可以忽略，上式变成：)612(),(220-+-=-δτδτλδτa a q t x t c 由此可见，当Fo>0.5后，平板各处温度和时间成线性关系，温度随时间变化的速率是常数，并且到处相同。

这种状态称为准稳态。

在准稳态时，平板中心面x=0处的温度为：)61(),0(20-=-δτλδτa q t t c 平板加热面X=δ处为：)31(),(20+-=-δτλδτδa q t t c 此两面的温差为：λδττδcq t t t 21),0(),(=-=∆如已知q c 和δ，再测出t ∆，就可以由上式求出导热系数：tq c∆=2δλ式中，λ—平板的导热系数，oW /(m C)⋅ cq —沿x 方向给平板加热的恒定热流密度，2W /mδ—平板的厚度，mt ∆—平板中心面x=0处和平板加热面x=δ处两面的温差，o C又，根据热平衡原理，在准稳态有下列关系：式中，F —平板的横截面积ρ—试件材料的密度C —试件材料的比热—准稳态时的温升速率由上式可求得比热为：实验时， 以试件中心处为准。