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第二章 导热基本定律和导热微分方程

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传热学第二章 第二节 导热微分方程式

传热学第二章 第二节 导热微分方程式

∂t ∂z
)
+
qv
第二节 导热微分方程式
若物性参数 λ、c 和 ρ 均为常数：
∂t ∂τ
=
a(
∂2t ∂x2
+ ∂2t ∂y2
+
∂2t ∂z2
)
+
qv ; ρc
or
∂t = a∇2t + qv
∂τ
ρc
a = λ — 热扩散率（导温系数） [m2 s] ρc （Thermal diffusivity）
dxdydz ⋅ dτ
[J]
第二节 导热微分方程式
[导入与导出净热量]:
[1] = [dQ x − dQ x+ dx ] + [dQ y − dQ y + dy ] + [dQ z − dQ z + dz ]
[1] = − ( ∂ q x + ∂ q y + ∂ q z ) d x d y d z d τ
qw
=
−
λ
(
∂t ∂n
)n
−
(
∂t ∂n
)
n
=
qw λ
第二类边界条件相当于已知任何时刻物体边界面 法向的温度梯度值
稳态导热： qw = const (恒热流边界条件）
非稳态导热： q w = f (τ )
第二节 导热微分方程式 特例：绝热边界面： 绝热边界条件
qw
=
−λ
⎛ ⎜⎝
∂t ∂n
⎞ ⎟⎠w
=
对特定的导热过程：需要得到满足该过程的补充 说明条件的唯一解
单值性条件：确定唯一解的附加补充说明条件
完整数学描述：导热微分方程 + 单值性条件 单值性条件包括四项：几何、物理、时间、边界

传热学第二章导热问题数学描述

传热学第二章导热问题数学描述

由Fourier定律：
qn

t
n
w
t nw
h

twtf
当: h , twtf 转化为第一类边界条件
当: h0,nt w0qw0
（绝热）转化为第 二类边界条件
导热微分方程＋定解条件 求解温度场热流场
补充：其他坐标下的导热微分方程
对于圆柱坐标系
grt aL dim n i j k
n 0 n n x y z
梯度的性质：
1．方向导数等于梯度在该方向上的投影；
2．每点梯度都垂直于该点等温面，并指向温度增大的方向
（法线方向）。
4）傅里叶定律 一般形式：

A
t
n
n
傅里叶定律的文字表述为:在导热现象中,单位时间 内通过给定截面的热流量,正比于该截面法线方向 的温度变化率和截面面积,热量传递的方向与温度 升高的方向相反.
热扩散率a 只对非稳态过程才有意义, 因为稳态过程温度不
随时间变化，热容大小对导热过程没有影响。
常见材料热扩散率： 木材：a=1.510-7;钢：a=1.2510-5；银：a=210-4。木材比钢 材的导温系数小100倍，所以木材一端着火而另一端不烫手。
2）定解条件
导热微分方程是描写物体的温度随时间和空间变 化的一般关系，没有涉及具体、特定的导热过程， 是通用表达式。
b.第二类边界条件:已知物体边界上任何时刻的热流
密度或温度变化率，
q s
qw或 n t s
qw
最简单的形式：恒热流， qw const
恒热流的特例是绝热边界条件：
t 0 n s
c.第三类边界条件:已知物体边界与周围流体间的表

第2章-导热理论基础以及稳态导热

第2章-导热理论基础以及稳态导热

§ 2 -1 导热基本定律 一 、温度场 （Temperature field） 1 、概念 温度场是指在各个时刻物体内各点温度 分布的总称。 由傅立叶定律知，物体的温度分布是坐 标和时间的函数：
t f x, y, z,
其中 x, y , z 为空间坐标， 为时间坐标。

2 、温度场分类 1 ）稳态温度场（定常温度场）
料称各向异性材料。此类材料 必须注明方
向。相反，称各向同性材料。
§ 2-2 导热微分方程式及定解条件
由前可知：
（ 1 ）对于一维导热问题，根据傅立叶定 律积分，可获得用两侧温差表示的导热量。 （ 2 ）对于多维导热问题，首先获得温度 场的分布函数，然后根据傅立叶定律求得空 间各点的热流密度矢量。
一 、导热微分方程 1 、定义：根据能量守恒定律与傅立叶定律 ，建立导热物体中的温度场应满足的数学表 达式，称为导热微分方程。
d 时间内、沿 x 轴方向导入与导出微元体净热量
d x d x dx qx dxdydzd x
d 时间内、沿 y 轴方向导入与导出微元体净热量
d y d y dy qy y dxdydzd
d 时间内、沿 z 轴方向导入与导出微元体净热量
综上说明： （ 1 ）导热问题仍然服从能量守恒定律； （ 2 ）等号左边是单位时间内微元体热力学能的 增量（非稳态项）； （ 3 ）等号右边前三项之和是通过界面的导热使 微分元体在单位时间内 增加的能量 ( 扩散 项 ) ； （ 4 ）等号右边最后项是源项； （ 5 ）若某坐标方向上温度不变，该方向的净导 热量为零，则相应的扩散项即从导热微分方程中消 失。
t2
0 x δ
q 是该处的热流密度矢量。

传热学---导热微分方程式

传热学---导热微分方程式

dQx
−
dQx+dx
=
−
∂qx ∂x
dxdydz
⋅ dτ
[J]
1
第二节 导热微分方程式
dτ 时间内、沿y轴方向导入与导出微元体净热量：
dQy
−
dQ y + dy
=
−
∂q y ∂y
dxdydz ⋅ dτ
[J]
dτ 时间内、沿z轴方向导入与导出微元体净热量：
dQz
−
dQz+dz
=
−
∂qz ∂z
dxdydz ⋅ dτ
+
j1 r
∂t ∂θ
+k
r
1 sinθ
∂t ∂φ
⎞ ⎠⎟
ρc
∂t ∂τ
=
1 r2
∂ ∂r
(λr2
∂t ) + ∂r
r2
1 sinθ
∂ ∂θ
(λsinθ
∂t ∂θ
)
+
r2
1 sin2θ
∂ ∂φ
(λ ∂∂φt )+qv
第二节 导热微分方程式
2.导热微分方程式的不适应范围: 非傅里叶导热过程
极短时间(如10)产生极大的热流密度的热量传 递现象， 如激光加工过程。
完整数学描述：导热微分方程 + 单值性条件 单值性条件包括四项：几何、物理、时间、边界
第二节 导热微分方程式
1、几何条件 说明导热体的几何形状和大小。 如：平壁或圆筒壁；厚度、直径等。
2、物理条件
说明导热体的物理特征。
如：物性参数 λ、c 和 ρ 的数值，是否随温度变化； 有无内热源、大小和分布；是否各向同性。
传热学

传热学课件第二章导热基础理论

传热学课件第二章导热基础理论

也称导温系数,
单位为m2/s。
其大小反映物体被瞬态加热或冷却时温度变化的快慢。
导热微分方程式的简化
(1) 物体无内热源：V = 0 t a2t
(2) 稳态导热： t 0 a2t V 0 c
(3)稳态导热、无内热源：
2t 2t 2t 2t = 0，即 x2 y2 z2 0
（4）热流密度
q d
dA
nt dA
热流密度的大小和方向可 以用热流密度矢量q 表示
q
d
q d n
dA
热流密度矢量的方向指向温度降低的方向。
在直角坐标系中，热流密度矢量可表示为
q qxi qy j qzk
qx、qy、qz分别表示q在三个坐标方向的分量的大小。
2. 2 导热的基本定律—傅里叶定律
第二章 导热基础理论
例内重基 题容点本 赏精难要 析粹点求
基本要求
1． 理解温度场、等温面（线）、温度梯 度、热流密度等概念。
2． 掌握傅立叶定律及其应用。 3. 掌握热导率和热扩散率的定义、意
义、影响因素和确定方法。 4． 能写出典型简单几何形状物体导热问
题的数学描述表达式。
重点与难点
重点： 1. 傅里叶定律与热导率。 2. 导热微分方程及单值性条件。 难点： 1. 傅里叶定律的矢量表达式。 2. 导热微分方程及单值性条件。
标量形式的付里叶定律表达式为
q t
n
对于各向同性材料, 各方向上的导热系数相等,
q qxi qy j qzk
gradt t i t j t k x y z
q




t x

传热学-第2章-导热的理论基础

传热学-第2章-导热的理论基础
温度是标量，因而温度场是标量场
4
2.1 基本概念和导热基本定律
2.1.1 温度场
从不同的角度对温度场进行分类： 按温度场是否随时间变化，可分为:
稳定(Steady-state)温度场：物体内各点温度不随时间 变化——稳态导热
t f (x, y, z)
稳态温度场、定常温度场
5
2.1 基本概念和导热基本定律
提出的， 傅里叶是导热理论的奠基人，他通过实验， 分析和总结了物体内的导热规律，建立了傅立叶导热 定律。
19
2.1 基本概念和导热基本定律
2.1.3 导热的基本定律
Fourier定律的表述： 在任意时刻，各向同性连续介质内任意位置处的热
流密度在数值上与该点的温度梯度成正比，但方向相反
q gradt t n
❖ 实验表明，除了甘油和0～120℃范围内的水以外，其他 液体的导热系数值随温度升高而减小
❖ 压力变化对液体导热系数的影响很小，通常可以忽略
43
2.2 物质的导热特性
液体中液态金属和电解液是一类特殊的液体 ——依靠原子的运动和自由电子的迁移来传递热量，导热
系数要比一般非金属液体大10～1000倍
44
q gradt t n
n
❖ 热流密度是一个矢量 与温度梯度位于等温线同一的法线上 方向相反，永远指向温度降低的方向
❖ 在直角坐标系下，热流密度矢量可表示为
q qxi qyj qzk 22
2.1 基本概念和导热基本定律
2.1.3 导热的基本定律
温度梯度和热流密度矢量、等温线和热流线间的关系
湿量等 ❖ 有些材料，如木材、结构体、胶合板等还与方向有关
（各向异性材料）有关
30
2.2 物质的导热特性

导热微分方程式

导热微分方程式

是与1/(c)两 个因子的结合
越大，表明在相同温度梯度下可以传到更多的热量
• 分母c是单位体积的物体温度升高1℃所需的热量。
c越小，温度上升1℃所吸收的热量越少，可以剩下更多的
热量继续向物体内部传递，使物体各点温度更快的升高。 • a反映了导热过程中材料的导热能力与沿途物质储热能力c 之间的关系. • a越大，表明热量能在整个物体中很快扩散，温度扯平的能力 越大，故称为热扩散率 • a越大，材料中温度变化越迅速， a也是材料传播温度变化能 力大小的指标，故有导温系数之称。
dQx dQx dx
2t 2 dxdydz x
单位 时间内、沿 y 轴方向导入与导出微元体净热量
dQy dQy dy
2t 2 dxdydz y
单位 时间内、沿 z 轴方向导入与导出微元体净热量
dQz dQz dz
2t 2 dxdydz z
• 温度梯度是矢量；正方向朝着温度增加最大的方向
四、热流密度矢量(Heat flux)
热流密度：单位时间单位面积上所传递的热量 不同方向上的热流密度的大小不同
热流密度矢量：等温面上某点，以通过该点处最大热流密度
的方向为方向、数值上正好等于沿该方向的热流密度
直角坐标系中：
• 温度梯度和热流密度的方向都是在等温 面的法线方向。由于热流是从高温处流 向低温处，因而温度梯度和热流密度的 方向正好相反。
2 2 2
z
2 2 2 t t t Qv t 2 2 2 c x y z c
dQz+dz dQy
dQx
dQy+d
y
dQx+d
x

第二章--稳态热传导(导热理论基础)

第二章--稳态热传导(导热理论基础)
具有稳态温度场的导热过程我们常称之为稳态导热；具有非稳态温 度场的导热过程我们常称之为非稳态导热。
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2
导热理论基础
二、傅里叶（J.Fourier）定律：
1.基本概念：
2>.等温面与等温线：（温度场习惯上用等温面图或等温线图来表 示，如图2-1）
等温线
a.等温面：同一时刻温度场中所有 温度相同的点构成的面。
第二章 稳态热传导（导热理论 基础）
一、概述 二、傅里叶（J.Fourier）定律 三、导热系数 四、导热微分方程 五、导热微分方程的单值性条件 六、解决一具体导热问题的一般步骤
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1
导热理论基础
一、概述：
一般我们认为：导热是发生在物体中的宏观现象，故将物质看作是 连续介质。
导热基础理论的主要任务：
3
导热理论基础
二、傅里叶（J.Fourier）定律：
1.基本概念：
3>.温度梯度gradt:两等温面间的温差△t与其法线方向
的距离△n比值的极限。在单位距离内温度沿法线方
向上的变化值最大、最显著，此时的温度变化率称
之为温度梯度。即： gr a lid m n ttn n n t
n 0
t+△t t t-△t
2.傅里叶（J.Fourier）定律：
在导热现象中，单位时间内通过给定面积的传热量，正比例于该处 垂直导热方向的截面面积及此处的温度梯度，其数学表达式为：
q g A g rrW a a / W m 2 d dtt
几点问题：
1>.负号表示热量传递指向温度降低的方向，与温度梯度方向相反。
2>.温度梯度是引起物体内热量传递的根本原因。

导热基本定律和导热微分方程

导热基本定律和导热微分方程

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35
材料成型传输原理－－热量传输
稳态导热： tw = const
非稳态导热： tw = f ()
例： x 0, t tw1
x , t tw2
tw1 tw2
o
x
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材料成型传输原理－－热量传输
b.第二类边界条件――给定边界上的热流密度。
q s
qw
f (r, )
4.保温材料：
国家标准规定，温度低于350度时热导率小于 0.12W/(m·K) 的材料（绝热材料）。
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材料成型传输原理－－热量传输
三、导热的物理本质
1.气体导热――气体分子不规则热运动导致相互碰撞的结果
气体的热导率： 气体 0.006~0.6 W (m C)
0 C : 空气 0.0244W (m C) ; 20 C : 空气 0.026 W (m C)
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材料成型传输原理－－热量传输
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材料成型传输原理－－热量传输
2.导电固体导热――自由电子运动、碰撞的结果（与气体类似）
金属 12~418 W (m C)
（1）纯金属的导热：依靠自由电子的迁移和晶格的振动(主 要依靠前者） 金属导热与导电机理一致；良导电体为良导热体：
t i
x
t j
y
t k
z
一维导热：qx
t x
;
qy
t y
;
qz
t z
注：傅里叶定律只适用于各向同性材料 各向同性材料：热导率在各个方向是相同的
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材料成型传输原理－－热量传输

传热学(第二章)

传热学(第二章)

⒉ 通过圆筒壁的导热 由导热微分方程式(2—12)
边界条件：r=r1时，t=t1；r=r2时，t=t2 对（2-25）式积分两次，得其通解： t = c1 ln r + c2 将边界条件代入通解，确定积分常数
t2 − t1 t −t c2 = t1 − ln r 2 1 ln( r2 / r ) ln( r2 / r ) 1 1 t −t t = t1 + 2 1 ln( r / r ) （2-26） 1 ln( r2 / r ) 1 dt λ t1 − t2 q = −λ = （2-27） dr r ln( r2 / r ) 1 c1 =
2 1
λ1
第二章
导热基本定律及稳态导热
2-3 通过平壁、圆筒壁、球壳和其他变截面物体的导热 通过平壁、圆筒壁、
• 1∂ ∂T 1 ∂ ∂T ∂ ∂T ∂T (λr + 2 (λ ) + (λ ) + Φ = ρcp ∂τ r ∂r ∂r) r ∂ϕ ∂ϕ ∂z ∂z d dt 简化变为 dr (r dr ) = 0 （2-25）
⒉ 通过圆筒壁的导热 根据热阻的定义，通过整个圆筒壁的导热热阻为 （2-29） 29） 与分析多层平壁—样，运用串联热阻叠加的原则，可得通过图2-9所示的多层圆筒壁的 导热热流量 2πl(t1 − t4 ) Φ= （2-30） ln( d2 / d1) / λ1 + ln( d3 / d2 ) / λ2 + ln( d4 / d3) / λ3 ⒊ 通过球壳的导热 导热系数为常数，无内热源的空心球壁。内、外半径为r1、r2，其内外表面均匀 恒定温度为t1、t2，球壁内的温度仅沿半径变化，等温面是同心球面。 由傅立叶定律得： dt 各同心球面上的热流率q不相等，而热流量Φ相等。 Φ = −4πr2λ dr dr ⇒Φ 2 = −4πλdt r

传热学第二章

传热学第二章

△n
Δn0 Δn n
温度梯度和热流密度
•温度梯度是向量，垂直于等温面， 正向朝着温度增加的方向；
•温度梯度的方向是温度变化率最大的方向。
t t n m
温度梯度的解析定义：
温度场 t f (x, y, z) 中点(x, y, z) 处的温度梯度：
gradt t i t j t k x y z
温度梯度垂直于等温面吗？
设等温面方程： t f (x, y, z) c 在点 (x, y, z)处,等温面的法线向量n n ( t , t , t ) x y z gradt 平行于 n
梯度方向垂直于等温面。
两个定义一致，解析定义便于计算
（4） 热流密度
热流密度是指单位时间经过单位面积所传递的热量，用 q 表示，单位为 W / m2。
根据上面的条件可得：
x
(
t ) x
y
(
t ) y
z
(
t z
)
qv
(cp t)
d 2t dx2
0
第一类边界条件：
x 0,t t1
x ,t t2
直接积分：
dt dx
c1
带入边界条件：
t c1x c2
c1
t2
t1
c2 t1
t
t2
t1
x
t1
dt t2 t1
dx
带入傅里叶定律得
t y
qz
t z
对于一维导热问题：
q dt
dx
3 导热系数
导热系数的定义式可由傅立叶定律的表达式得出
q t n
n
(1)物理意义：
表示了物质导热能力的大小，是在单位温度梯度作用下 的热流密度。工程计算采用的各种物质的导热系数值都是由 专门实验测定出来的。

东南大学传热学 第二章 导热基本定律及稳态导热

东南大学传热学 第二章 导热基本定律及稳态导热
第二章 导热基本定律 及稳态导热
本章重点讨论稳态导热问题。为此首先介绍 一些相关的基本知识，如温度场、温度剃度、 导热基本定律等；然后应用这些基本知识推 导出求解导热问题的微分方程；最后应用这 些微分方程求解常见的导热问题。
第一节 导热基本定律
温度场
• 定义：某一瞬间物体内的温度分布，称为温度场。 • 分类 1.按温度是否随时间而变化可分为 稳态温度场：物体内温度不随时间的变化而变化的温度场 非稳态温度场：物体内的温度随时间变化而变化的温度场 2.按温度随空间的变化可分为 一维温度场：温度只在一个方向有变化的温度场 二维温度场：温度在两个方向有变化的温度场 三维温度场：温度在三个方向有变化的温度场 • 表示：三种表示方法
n x y z
导热基本定律
• 傅立叶定律：单位时间内通过单位截面积所传 递的热量，正比例于当地垂直于截面方向上的 温度变化率，即温度剃度，其比例系数为导热 系数。
• 表示型式： A t n
n
导热系数
•
定义：
q
t n
n
• 物理意义：单位时间单位面积当温度变化率为1时，由导
热所传递的热量
• 影响因素：主要是物质的种类和物质所处的状态
第三节 通过平壁、圆筒壁、球壳和 其他变截面物体的导热
通过 平壁导热
通过 圆筒壁导热
通过 球壳导热
通过变导热 系数物体 的导热
单层平壁 多层平壁 单层圆筒壁 多层圆筒壁 单层球壳 多层球壳
通过单层平壁的导热
通过单层 平壁的导热
物理模型
数学描写
温度分布
热流量计算
数学描写
d 2t dx2 x
数学描写
温度分布
热流量计算
物理模型

传热学---通过平壁,圆筒壁,球壳和其它变截面物体的导热

传热学---通过平壁,圆筒壁,球壳和其它变截面物体的导热

r1 ) r1 )
圆筒壁内温度分布曲线的形状？
dt = − tw1 − tw2 1; dr ln(r2 r1) r
d 2t = tw1 − tw2 1 dr 2 ln(r2 r1) r 2
若 tw1 > tw2 :
d 2t > 0 dr 2
向上凹
若 tw1 < tw2 :
d 2t dr 2
<
0
向上凸
本节将针对一维、稳态、常物性、无内热源情况，考 察平板和圆柱内的导热。
直角坐标系：
ρc ∂t ∂τ
=
∂ ∂x
(λ
∂t ) + ∂x
∂ (λ ∂y
∂t ) + ∂y
∂ ∂z
(λ
∂t ) + Φ& ∂z
1 单层平壁的导热
a 几何条件：单层平板；δ
b 物理条件：ρ、c、λ 已知；无内热源
c 时间条件： 稳态导热 : ∂t ∂τ = 0
22:57
第三节 通过平壁，圆筒壁，球壳和其它变截面物体的导热
对上述方程(a)积分两次:
第一次积分
第二次积分
r
dt dr
=
c1
⇒
t = c1 ln r + c2
应用边界条件
tw1 = c1 ln r1 + c2 ; tw2 = c1 ln r2 + c2
获得两个系数
c1
=
tw2 − ln(r2
tw1 r1)
⎡W⎤ ⎢⎣m2 ⎥⎦
虽然时稳态情况， 但热流密度 q 与半
径 r 成反比！
Φ
=
2π
rlq
=
tw1 − ln( r2

第二章导热基本定律及稳态导热

第二章导热基本定律及稳态导热
– 固体
金属（以自由电子的迁移为主） 金属T↑， λ↓； 合金T↑， λ↑
非金属（以弹性波） T↑， λ↑
– 气体 分子间的相互碰撞 T↑， λ↑ – 液体 分子运动、弹性波 T↑， λ↓
由以上分析可看出，在一般情况下：
– ①λ固>λ液>λ气； – ②λ导>λ非导； – ③λ湿>λ干； – ④λ多孔<λ实体 – 习惯上把λ<0.15 的材料称为隔热材料
物体内各点温度更快地随界面温度的升高而升 高。
表示物体内部温度趋向一致能力的大小。
二、圆柱体坐标中的导热微分方程
三、单值性条件
1 几何条件 物体的形状、大小及相对 位置。
2 物理条件 热物性λ、ρ、Cp等 3 时间条件 （初始条件）tτ=0=f(x,y,z) 4 边界条件 表征导热体的边界与导热
第三节 一维稳态导热
一、平壁的一维稳态导热
1 单层平壁
（1）壁面等温
t
已知有一平壁，导热系数为λ ， 且为常数，二壁温为t1和t2 （ t1>t2 ），壁面截面积为A， 厚为δ，无内热源。
求（1）温度分布；（2）热流 量Q（q）
t1
δ
t2 x
方法一：利用导热微分方程式
方法二：直接利用付里叶定律
隔热材料一般利用气体导热系数小的特 点，把材料做成蜂窝状多孔性。
第二节 导热微分方程
一、直角坐标系中的导热微分方程
假设：
– （1）物性参数为常数 （λ，ρ，c）
– （2）材料各相同性 – （3）物体内具有内热
源 发q出v，的单热位量时。间体积 Qx
思路：取一微元体— 平行六面体
dv=dx·dy·dz

复习第二章导热过程的传热学原理与导热微分方程

复习第二章导热过程的传热学原理与导热微分方程
① 铸型瞬时充满，在充型过程中无热交换作用，液体金属的初 始温度即为浇注温度。 ② 液体金属内部无对流作用，亦即无能量与质量的传输。
15
第四节 简化假设与实际问题的模型化
③液固态金属的热物性均为常数，即不随温度而变。 ④铸型材料的热物性值亦取为常数。 ⑤常不考虑金属铸型界面气隙的存在，或以简化的综合换热系数
第五节 凝固潜热的处理
（2）非平衡凝固条件下二元合金的固相率与温度的关系 考虑固相无扩散，液相溶质均匀分布。 则由夏尔（Sheil）方程：
C LC 0[1fs(T)k]01
又C0 Tm TL CL Tm T
fs(T)1(TTm mTTL)k011
21
第五节 凝固潜热的处理
由上述两种 fs (T ) 的表达式可知，f s (T ) 是温
上述分类目的是从数学上便于求解方程组，实际 上物体边界的传热现象是多种多样的。
10
第三节 导热过程的定解条件/边界条件
4、辐射换热边界条件
针对铸件的凝固过程，要考虑辐射换热边界条件和 铸件/铸型界面边界条件的处理。
q( T n)w (Tw 4Tf4)
(热辐射量定 E义 T4)
Tw物体表面T温 f 已 度知 ，环境温度
波尔兹曼常数， 辐射系数，是物 光体 洁表 度面 函数
11
第三节 导热过程的定解条件/边界条件
针对上式进行线性化处理，得：
q( T n)whr(TwTf)
式中h， r (Tw2Tf2)(TwTf ),称为辐射换热系数
实际导热问题，可能同时存在对流和辐射换热，其 边界条件为：
q( T n)w(h ch r)T (w T f)
2、第二类边界条件
给定边界上的热流密度，即：

传热学-第二章导热基本定律及稳态传热

传热学-第二章导热基本定律及稳态传热
1、导入微元体的净热量
d 时间X方向流入与流出微元体的热流量
dQx
- dQxdx
- qx x
dxdydz d
( t ) dxdydz d
x x
d 时间Y方向流入与流出微元体的热流量
dQy
- dQydy
- q y y
dy dxdz d
y
( t ) dxdydz d
y
2.4 导热微分方程及定解条件
影响热导率的因素：物质的种类、材料成分、温度、压力及 密度等。
2.3 导热系数
2.3.1 气体导热系数
气体导热——由于分子的无规则热运动以及分子间 的相互碰撞
1 3
vlcv
v 3RT M
V 气体分子运动的均方根 m/s L 气体分子两次碰撞之间的平均自由程 m
Cv气体的定容比热 J/kg·℃
2.3 导热系数
2.4 导热微分方程及定解条件
建立数学模型的目的：
求解温度场 t f x, y, z,
步骤： 1）根据物体的形状选择坐标系, 选取物体中的 微元体作为研究对象； 2）根据能量守恒, 建立微元体的热平衡方程式； 3）根据傅里叶定律及已知条件, 对热平衡方程式 进行归纳、整理，最后得出导热微分方程式。
通过某一微元面积dA的热流：
dA q
d
q dA
t
n
dA
t
dydz
t
dxdz
t
பைடு நூலகம்
dxdy
n
x
y
z
2.2导热的基本定律
例：判断各边界面的热流方向
2.3 导热系数
由傅里叶定律可得，导热系数数学定义的具体形式为：
q t n

传热学第二章

传热学第二章

刘彦丰华北电力大学工程应用的两个基本目的：•能准确地预测所研究系统中的温度分布；•能准确地计算所研究问题中传递的热流。

要解决的问题：温度分布如何描述和表示？温度分布和导热的热流存在什么关系？如何得到导热体内部的温度分布？第二章导热基本定律及稳态导热刘彦丰华北电力大学本章内容简介2-1 导热基本定律2-2 导热微分方程式及定解条件2-3 通过平壁、圆筒壁、球壳和其它变截面物体的导热（一维稳态导热）2-4 通过肋片的导热分析2-5 具有内热源的导热及多维导热回答问题1和2回答问题3具体的稳态导热问题刘彦丰传热学Heat Transfer 华北电力大学一、温度分布的描述和表示像重力场、速度场等一样，物体中的温度分布称为温度场。

1、温度分布的文字描述和数学表示，如：在直角坐标系中非稳态温度场),,,(τz y x f t =稳态温度场),,(z y x f t =一维温度场二维温度场三维温度场)(x f t =),(τx f t =),(y x f t =),,(τy x f t =),,(z y x f t =),,,(τz y x f t =2-1 导热基本定律刘彦丰传热学Heat Transfer华北电力大学2、温度分布的图示法传热学Heat Transfer 2、温度分布的图示法等温线传热学Heat Transfer二、导热基本定律(傅立叶定律)1822年，法国数学家傅里叶（Fourier ）在实验研究基础上，发现导热基本规律——傅里叶定律.法国数学家Fourier: 法国拿破仑时代的高级官员。

曾于1798-1801追随拿破仑去埃及。

后期致力于传热理论，1807年提交了234页的论文，但直到1822年才出版。

刘彦丰华北电力大学在导热现象中，单位时间内通过给定截面的热量，正比于垂直于该截面方向上的温度梯度和截面面积，方向与温度梯度相反。

1、导热基本定律的文字表达：nntgradt q ∂∂−=−=λλ2、导热基本定律的数学表达：t+Δt tt-Δt刘彦丰华北电力大学3、意义已知物体内部的温度分布后，则由该定律求得各点的热流密度或热流量。

传热学---通过平壁,圆筒壁,球壳和其它变截面物体的导热

传热学---通过平壁,圆筒壁,球壳和其它变截面物体的导热
对于稳态、无内热源、第一类边界条件下的一维导热 问题，可以不通过温度场而直接获得热流量。
此时：
一维Fourier定律：
Φ = −λA dt
dx
当λ＝λ(t), A=A(x)时， Φ = − λ (t ) A ( x ) d t
dx
22:57
第三节 通过平壁，圆筒壁，球壳和其它变截面物体的导热
分离变量后积分，并注意到热流量Φ与x 无关(稳态)，得：
57第三节通过平壁圆筒壁球壳和其它变截面物体的导热第二章导热基本定律及稳态导热第一节导热基本定律第四节通过肋片的导热第二节导热微分方程式第三节通过平壁圆筒壁球壳和其它变截面物体的导热22
传热学
（Heat Transfer）
材料成型教研室
22:57
第三节 通过平壁，圆筒壁，球壳和其它变截面物体的导热 第二章 导热基本定律及稳态导热
λ
= λ0
+ a t1
+ t2 2
实际上，不论λ如何变化，只要能计算出平均导热系
数，就可以利用前面讲过的所有定导热系数公式，只是
需要将λ换成平均导热系数。
22:57
3
h2
ql =
1
t f1 − t f2 + 1 ln r2 +
1
h1 2 π r1 2 πλ
r1 h 2 2 π r2
= t f1 − t f 2 Rl
[W m ]
通过单位长度圆筒壁传热 过程的热阻 [mK/W]
22:57
第三节 通过平壁，圆筒壁，球壳和其它变截面物体的导热 (1) 单层圆筒壁 思考：温度分布应如何求出？
（2）一维常物性平壁的导热热流密度与壁温两侧的温度差呈 正比，与壁面的厚度成反比。

传热学---通过肋片的导热

传热学---通过肋片的导热
边界：肋根：第一类；肋端：绝热；四周：对流换热
22:58
第四节 通过肋片的导热
求解：这个问题可以从两个方面： a 导热微分方程。 b 能量守恒＋Fourier law。 能量守恒：
（1）
Fourier 定律：
Φx
=
− λ Ac
dt dx
（2）
Φx+dx
= Φx
+
dΦx dx
dx
= Φx
− λAc
d2t dx2
δ愈大，η f肋片的导热
3 通过环肋及三角形截面直肋的导热 为了减轻肋片重量、节省材料，并保持散热量基
本不变，需要采用变截面肋片，环肋及三角形截面直 肋是其中的两种。
对于变截面肋片来讲，由于从导热微分方程求得的 肋片散热量计算公式相当复杂。
因此，人们仿照等截面直肋, 利用肋片效率曲线 来计算方便多了，教材中图2－22和2－22分别给出 了三角形直肋和矩形剖面环肋的效率曲线。
22:58
4
第四节 通过肋片的导热
7 肋效率的定义。 8 肋片内温度分布及肋片表面散热量的计算。 9 放置在环境空气中的有内热源物体一维导热问 题的计算方法 10 导热问题三类边界条件的数学描述。 11 两维物体内等温线的物理意义. 从等温线分布上可 以看出哪些热物理特征。 12 导热系数为什么和物体温度有关? 而在实际工程 中为什么经常将导热系数作为常数。
= m2θ
混合边界条件：
x = 0 时， θ ＝ θ 0＝ t 0 − t ∞ x = H 时， d θ = 0
dx
方程的通解为： θ = c1 e mx + c 2 e − mx
应用边界条件可得：
c1
= θ0
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t t t 2 dxdydzd 2 dxdydzd 2 dxdydzd x y z
材料成型传输原理－－热量传输
内热源发热量＝ qv dxdydzd 式中， v 内热源发热率（w/㎡），表示每单位体积微元体单位 q q 时间发出的热量，如为吸热, 则 qv＜0， v 可以是坐标、时间的 函数。
除非压力很低或很高，在2.67*10-3 MPa～2.0*103 MPa 范围内，气体的热导率基本不随压力变化。 气体的温度升高时：气体分子运动速度和定容比热随 T 升高而增大。气体的热导率随温度升高而增大。 分子质量小的气体（H2、He）热导率较大 — 分子运 动速度高。（如下图）


材料成型传输原理－－热量传输
沿x 轴方向、x+dx的热流密度：
qx dx
qx qx dx x
同理，沿y、z 轴方向的热流密度：
q y dy q y
q y y
dy
q z dz
q z qz dz z
材料成型传输原理－－热量传输
导出总热量 Qx dx Q y dy Qz dz
材料成型传输原理－－热量传输
3.温度的影响：
o ( 1 t )
式中：
( W m1 K 1 )
为温度为t℃的导热系数；
o为温度为0℃的导热系数；
为材料导热系数的温度系数，为实验值。
4.保温材料： 国家标准规定，温度低于350度时热导率小于 0.12W/(m·K) 的材料（绝热材料）。
（2）液体的热导率随压力p的升高而增大
p
材料成型传输原理－－热量传输
材料成型传输原理－－热量传输
第二节 导热微分方程及单值条件
一、 导热微分方程的推导
理论基础：傅里叶定律 + 热力学第一定律 导入总热量 + 内热源发热量 = 导出总热量 + 热蓄积 假设：(1) 所研究的物体是各向同性的连续介质。
材料成型传输原理－－热量传输
2.导电固体导热――自由电子运动、碰撞的结果（与气体类似）
金属 12~418W (m C)
（1）纯金属的导热：依靠自由电子的迁移和晶格的振动(主 要依靠前者）

金属导热与导电机理一致；良导电体为良导热体：
银 铜 金 铝
T

— 晶格振动的加强干扰自由电子运动
q x dx dydzd q y dy dxdzd q z dz dydxd q q x q q y y dy dxdzd q z z dz dydxd qx dx dydzd x y z t t t dydzd dxdzd dydxd x y z

微元体热焓的变化（质量为mkg）： t (mcdt dxdydzc d )
t dxdydzd 热蓄集＝ C

d 时间内微元体中热力学能的增量。
材料成型传输原理－－热量传输
导入总热量 + 内热源发热量 = 导出总热量 + 热蓄积
t t 2 t 2t 2 t 2t 2 2t qv t q ; or a a( 2 2 2 ) 2 2 x 2 x y y zz C c
•反映了导热过程中材料的导热能力（）与沿途物质储热能力（c）
之间的关系。 •其值大，即值大或c值小，说明物体的某一部分一旦获得热量，该 热量能在整个物体中很快扩散。 •热扩散率表征物体被加热或冷却时，物体内各部分温度趋向于均匀一 致的能力。 •在同样加热条件下，物体的热扩散率越大，物体内部各处的温度差别 越小。
4.液体导热――气体导热机制＋非导电固体导电机制。
液体 0.07~0.7 W (m C)
20 C : 水 0.6W (m C)
液体的导热：主要依靠晶格的振动
（1）大多数液体（分子量M不变）： T
水和甘油等强缔合液体，分子量变化，并随温度而变化。在不同温度 下，热导率随温度的变化规律不一样。
气体分子运动理论：常温常压下气体热导率可表示为：
1 u lcv l ：气体分子在两次碰撞间平均自由行程 3 ：气体的密度； cv ：气体的定容比热

u ：气体分子运动的均方根速度
气体的压力升高时：气体的密度增大、平均自由行程减 小、而两者的乘积保持不变。
材料成型传输原理－－热量传输

导热微分方程
a
qv t 2 a t c
— 热扩散率（导温系数） [ m2 s ] c
2 — 拉普拉斯算子
材料成型传输原理－－热量传输
二、导温系数（热扩散率）
(1)物理意义――综合反映导热能力和蓄热能力。a大则导热能 力强而蓄热能力弱，温度变化传播快，整个材料的温度趋于均 匀化；反之则反。
t t t 一维导热： qx ; q y ; qz x y z
注：傅里叶定律只适用于各向同性材料 各向同性材料：热导率在各个方向是相同的
材料成型传输原理－－热量传输
有些天然和人造材料，如：石英、木材、叠层 塑料板、叠层金属板，其导热系数随方向而变化 —— 各向异性材料 各向异性材料中：
黄铜 109w/m.0c
黄铜：70%Cu, 30%Zn
材料成型传输原理－－热量传输

金属的加工过程也会造成晶格的缺陷



合金的导热：依靠自由电子的迁移和晶格的振动； 主要依靠后者
T

与纯金属相反
温度升高→晶格振动加强→导热增强
材料成型传输原理－－热量传输
3.非金属固体导热――晶格振动、碰撞的结果
x r cos ; y r sin ; z z
1 t 1 2t 2t qv a r r (r r ) r 2 2 z 2 C
材料成型传输原理－－热量传输
（2）球坐标系 （r, ，）
t r 1 t q r 1 t q r sin qr
材料成型传输原理－－热量传输
导热微分方程式的不适应范围: 非傅里叶导热过程

极短时间产生极大的热流密度的热量传递现象，如激光 加工过程。
极低温度(接近于0 K)时的导热问题。

材料成型传输原理－－热量传输
五、导热微分方程的定解条件
导热微分方程具有通用性，其解为通解，不便于解决 实际工程问题。应当求解出特定条件下的特定解。 微分方程积分后一般都有常数“C”，求解“C”获得 特定解。

非金属的导热：依靠晶格的振动传Байду номын сангаас热量；比较小 建筑隔热保温材料： 0.025~3W (m C)
T

与合金相似
大多数建筑材料和绝热材料具有多孔或纤维结构

多孔材料的热导率与密度和湿度有关
、湿度
材料成型传输原理－－热量传输
材料成型传输原理－－热量传输
Qx
Qx+dx
Qy+dy Qz
Q qAd
导入总热量 Q x Q y Q z q x dydzd q y dxdzd q z dydxd
t t t dydzd dxdzd dydxd x y z
材料成型传输原理－－热量传输
W (m C) — 物质的重要热物性参数
1.热导率的数值：就是物体中单位温度梯度、单位时间、 通过单位面积的导热量，表征物质导热能力大小。（实验 测定） 2.影响热导率的因素：物质的种类、材料成分、温度、 湿度、压力、密度等。
金属 非金属; 固相 液相 气相
导热基本定律：垂直导过等温面的热流密度，正比于该处 的温度梯度，方向与温度梯度相反。
q -grad t
:
（Thermal conductivity）
[ W m2 ]
热导率（导热系数） W (m C)
材料成型传输原理－－热量传输
t t t 直角坐标系中：q qx i q y j qz k i j k x y z
t t t qx xx xy xz x y z t t t q y yx yy yz x y z t t t qz zx zy zz x y z
材料成型传输原理－－热量传输
二、导热系数
q -grad t
x r sin cos ; y r sin sin ; z r cos
1 2 t t 1 t 1 2t a 2 r r (r r ) r 2 sin (sin ) r 2 sin 2 qv C
2t 2t 稳态导热&无内无热源&二维： 2 2 0 x y
d 2t 稳态导热&无内无热源&一维： 2 0 x
材料成型传输原理－－热量传输
四、非直角坐标系的导热微分方程
（1）圆柱坐标系 （r, , z）
t qr r 1 t q r t q z z
(2) 热导率、比热容和密度均为已知。
(3) 物体内具有内热源：内热源均匀分布；qv表 示单位体积的导热体在单位时间内放出的热量[W/m3]。
材料成型传输原理－－热量传输
Qz+dz Qy
据付立叶定律：
t t t q x ; q y ; q z x y z
材料成型传输原理－－热量传输
第二章
导热基本定律和导热微分方程
第一章 热量传输概述 第二章 导热基本定律和导热微分方程
第三章 稳态导热分析