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柱坐标导热微分方程推导导热微分方程是描述物质内部热传导过程的数学模型，它在热力学、工程学、物理学等领域有着广泛的应用。
在柱坐标系中，导热微分方程可以通过考虑柱坐标系中的热传导过程来推导得出。
我们考虑一个柱坐标系中的圆柱体，假设其半径为r，长度为L。
我们希望推导出该圆柱体内部的导热微分方程。
在柱坐标系中，我们可以将温度表示为T(r,θ,z)，其中r表示径向距离，θ表示角度，z表示轴向距离。
为了推导导热微分方程，我们需要考虑热量的传导过程。
根据热传导定律，热量的传导速率与温度梯度成正比。
在柱坐标系中，热量的传导速率可以表示为：q = -k · ∇T其中，q表示单位时间内通过单位面积的热量，k表示热导率，∇T 表示温度梯度。
在柱坐标系中，温度梯度可以表示为：∇T = (∂T/∂r)er + (1/r)(∂T/∂θ)eθ + (∂T/∂z)ez其中，er、eθ、ez分别表示径向、角度和轴向上的单位矢量。
将温度梯度代入热传导定律的表达式中，我们可以得到：q = -k[(∂T/∂r)er + (1/r)(∂T/∂θ)eθ + (∂T/∂z)ez]根据高斯定理，单位时间内通过单位面积的热量与热源的总热量之差相等。
因此，我们可以通过对柱坐标系内部的一个闭合曲面进行积分，将热量的传导速率转化为热源的总热量。
在柱坐标系中，闭合曲面可以表示为一个圆柱体的侧面加上两个圆盖面。
由于圆柱体的侧面趋于无穷小，我们可以忽略其对热量的贡献，只考虑两个圆盖面的影响。
对于圆盖面上的热量传导，根据对称性，我们可以假设温度沿圆盖面的法向方向不变。
因此，在圆盖面上的热量传导速率可以表示为：qg = -k(∂T/∂n)其中，∂T/∂n表示温度在圆盖面上的法向导数。
根据高斯定理，单位时间内通过单位面积的热量与热源的总热量之差相等。
因此，我们可以得到：∫qg · dS = -∫(∂T/∂n) · k · dS其中，dS表示圆盖面上的面积元素。
导热微分方程柱坐标系的推导引言导热微分方程是描述物质内部热传导过程的重要方程。
在研究导热现象时，我们常常需要在不同的坐标系下推导导热微分方程。
本文将详细介绍如何在柱坐标系下推导导热微分方程，并给出相应的推导过程。
导热微分方程的一般形式在三维空间中，导热微分方程的一般形式可以表示为：∂u/∂t = α(∂^2u/∂x^2 + ∂^2u/∂y^2 + ∂^2u/∂z^2)其中，u表示温度场的变化，t表示时间，x、y和z分别表示空间的三个坐标轴方向。
α为热扩散系数，与物质的热导率有关。
柱坐标系下的导热微分方程柱坐标系是一种常用的坐标系，特点是以距离r、角度θ和高度z作为坐标轴。
在柱坐标系下，可以将导热微分方程表示为：∂u/∂t = α(1/r * ∂/∂r(r∂u/∂r) + 1/r^2 * ∂^2u/∂θ^2 + ∂^2u/∂z^2)其中，r表示距离，θ表示角度，z表示高度，u仍表示温度场的变化，t为时间，α为热扩散系数。
推导过程为了推导柱坐标系下的导热微分方程，我们需要使用二阶导数的链式法则和柱坐标系下的坐标变换关系。
首先，我们分别对r、θ和z求偏导：∂u/∂r = (∂u/∂x) * (∂x/∂r) + (∂u/∂y) * (∂y/∂r) + (∂u/∂z) * (∂z/∂r)∂u/∂θ = (∂u/∂x) * (∂x/∂θ) + (∂u/∂y) * (∂y/∂θ) + (∂u/∂z) * (∂z/∂θ)∂u/∂z = (∂u/∂x) * (∂x/∂z) + (∂u/∂y) * (∂y/∂z) + (∂u/∂z) * (∂z/∂z)根据柱坐标系的坐标变换关系：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)z = z可以得到：∂x/∂r = cos(θ)∂y/∂r = sin(θ)∂z/∂r = 0∂x/∂θ = -r * sin(θ)∂y/∂θ = r * cos(θ)∂z/∂θ = 0∂x/∂z = 0∂y/∂z = 0∂z/∂z = 1代入前面的式子，可以得到：∂u/∂r = (∂u/∂x) * cos(θ) + (∂u/∂y) * sin(θ)∂u/∂θ = -r * sin(θ) * (∂u/∂x) + r * cos(θ) * (∂u/∂y)∂u/∂z = (∂u/∂z)然后，我们可以对这些偏导数再次求偏导：∂^2u/∂r^2 = (∂/∂r(∂u/∂r)) = (∂/∂r((∂u/∂x) * cos(θ) + (∂u/∂y) * sin (θ)))∂^2u/∂θ^2 = (∂/∂θ(∂u/∂θ)) = (∂/∂θ(-r * sin(θ) * (∂u/∂x) + r * cos(θ) * (∂u/∂y)))∂^2u/∂z^2 = (∂/∂z(∂u/∂z))最后，将这些结果代入柱坐标系下的导热微分方程的一般形式中，即可得到柱坐标系下的导热微分方程：∂u/∂t = α(1/r * (∂/∂r(r * ((∂u/∂x) * cos(θ) + (∂u/∂y) * sin(θ)))) + 1/r^2 * (∂/∂θ(-r * sin(θ) * (∂u/∂x) + r * cos(θ) * (∂u/∂y))) + (∂^2u/∂z ^2))总结导热微分方程是描述物质内部热传导过程的重要方程。
方程推导1.导热微分方程x 方向导入微元体的热流量为dydz xT x ∂∂-=λφ x+dx 方向导出微元体的热流量为： dx dydz xT x dx x x x x dx x )(∂∂-∂∂+=∂∂+=+λφφφφ 同理可得y 、z 方向的导入、导出热流量。
根据能量守恒：导入微元体的总热流量+微元体内的生成热=导出微元体的总热流量+微元体内能的增加 微元体内能的增加：dxdydz T cdU ∂τ∂ρ= 微元体内的生成热：dxdydz q ⋅ 经整理有：⋅+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=q z T z y T y x T x T c ∂∂λ∂∂∂∂λ∂∂∂∂λ∂∂∂τ∂ρ 该式可在（1）导热系数为常数；（2）导热系数为常数，无内热源（3）导热系数为常数、稳态（4）导热系数为常数、无内热源、稳态等情况下简化 圆柱坐标系：⋅+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=q z T z T r r T r r r T c ∂∂λ∂∂∂φ∂λ∂φ∂∂∂λ∂∂∂τ∂ρ211 球坐标系：⋅+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=q T r T r r T r r r T c ∂φ∂λ∂φ∂θ∂θ∂θλ∂φ∂θ∂∂λ∂∂∂τ∂ρ22222sin 1sin sin 11 2.连续性方程 对于微平行六面体，从左边流入的质量为：τρρdydzd dx x u u dx x x x )2)(2(∂∂-∂∂-，从右边流出的质量为τρρdydzd dx x u u dx x x x )2)(2(∂∂+∂∂+，二者的净质量差为：τρdxdydzd x u x ∂∂-)( 同理可得y 、z 方向的质量变化，而经过d τ时间，微元体的质量变化为ττρdxdydzd ∂∂，因此可得平衡关系，经整理，有()()()0=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂z w y v x u ρρρτρ，此方程可以在有关条件下简化。
球坐标系导热微分方程式在物理学和工程学中，导热微分方程是一种描述热传导现象的方程。
其中一个常见的形式是球坐标系导热微分方程式，它用于描述球坐标系下的热传导过程。
本文将介绍球坐标系导热微分方程式的推导和应用，以及一些解决该方程式的常见方法。
方程式推导球坐标系是一种在三维空间中描述位置的坐标系。
它使用径向、极角和方位角来表示一个点的位置。
在球坐标系中，我们假设物质的导热性质均匀，没有内部热源，并采用稳态假设。
根据热传导的基本原理，我们得到球坐标系导热微分方程式的推导过程如下：首先，考虑一个球形区域内的热传导过程。
我们将球形区域划分为一系列薄层，并考虑其中一层的热传导。
假设这一层的厚度为Δr，内外半径分别为 r 和r+Δr。
由于稳态假设，我们可以忽略在时间上的变化。
根据热传导定律，热流量在球坐标系中的径向分量可以表示为：q_r = -k \frac{dT}{dr}其中，q_r 是热流量，k 是热导率，dT/dr 是温度关于径向坐标 r 的变化率。
考虑球坐标系下的体积元 dV，我们可以得到热传导率扩散方程：\frac{dq_r}{dV} = \rho C\frac{dT}{dt}其中，\rho 是密度，C 是比热容，dt 是时间变化量。
将热流量 q_r 替换为其在球坐标系中的导数形式，我们得到：\frac{d}{dr} \left( -k \frac{dT}{dr} \right) = \rho C\frac{dT}{dt}通过对上述方程进行整理和简化，我们可以得到球坐标系导热微分方程式：\frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \frac{\partial T}{\partial r}\right) + \frac{1}{\sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin \theta\frac{\partial T}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{\sin^2 \theta} \frac{\partial^2 T}{\partial \phi^2} = \frac{1}{\alpha} \frac{\partial T}{\partial t}其中，T 是温度，\alpha 是热扩散系数，r 是径向坐标，\theta 是极角，\phi是方位角。
圆柱体导热微分方程式的推导引言在热传导过程中，了解物体内部的温度分布对于热工系统的分析和设计非常重要。
导热微分方程式是描述热传导的数学模型,在材料传导、热交换和热工系统模拟等领域具有广泛的应用。
本文将推导圆柱体导热微分方程式。
首先，我们将介绍圆柱体的基本几何特征以及热传导的基本假设。
然后，我们将基于热传导的一维形式和连续介质假设来推导导热微分方程式。
最后，我们将讨论方程式的物理含义和应用场景。
圆柱体的基本几何特征圆柱体是一个具有圆形截面的立体形状。
我们假设圆柱体的高度为H，半径为R。
在导热微分方程式的推导中，我们将围绕圆柱体的径向(r)和轴向(z)方向进行分析。
热传导的基本假设在导热微分方程式的推导中，我们做出以下基本假设：1.圆柱体是均匀的连续介质，其物理特性（如导热系数）在整个物体中保持不变。
2.圆柱体内部没有内部热源，热传导仅取决于不同位置之间的温度差异。
3.热传导是各向同性的，即在任何方向上传导的热量与该方向上的温度梯度成正比。
4.我们只考虑圆柱体的稳态热传导，即在不同位置和时间上热量传递均保持不变。
推导导热微分方程式为了推导导热微分方程式，我们将采用一维热传导方程式并假设圆柱体的热传导仅在径向发生。
首先，在圆柱体内建立一个以半径r和高度z为自变量的坐标系。
然后，我们考虑在坐标系中的一个微小体积元素。
这个微小体积元素的体积为dV，其内部的温度为T(r,z)。
对于微小体积元素，径向的热传导可以通过Fourier’s Law描述，即：q_r = -k * (dT/dr)其中，q_r是径向的热流密度，k是圆柱体的导热系数，dT/dr是温度在径向上的梯度。
然后，我们考虑圆柱体在径向上的热传导。
我们假设圆柱体在ρ方向上热传导流量的变化仅取决于圆柱体在ρ方向上相邻点的温度差异。
因此，可以得到一个微分形式的方程：∂q_r/∂r * dA = -ρ * c * dT/dt * dV其中，ρ是圆柱体的密度，c是圆柱体的比热容，dT/dt是温度在时间上的变化率，dA是圆柱体在ρ方向上的截面积。
传热学导热微分方程推导摘要：一、传热学的基本概念二、导热微分方程的推导过程1.傅立叶定律2.边界条件3.圆柱坐标系下的导热微分方程推导三、导热微分方程的应用1.稳态传热过程和非稳态传热过程2.内热源生成热及内能的增量正文：传热学是研究热量传递规律的学科，热量传递过程根据物体温度与时间的关系，可分为稳态传热过程和非稳态传热过程。
在传热学中，导热微分方程是一个关键的概念，它描述了物体内部热量传递的过程。
本文将从传热学的基本概念入手，详细介绍导热微分方程的推导过程及其应用。
首先，我们来了解传热学的基本概念。
传热学研究的是热量在物体间的传递规律，热量从物体的高温部分传向低温部分，物体之间存在温差，热量就会自发地从高温物体传向低温物体。
根据热量传递的方式，传热过程可以分为传导、对流和辐射三种方式。
接下来，我们将介绍导热微分方程的推导过程。
为了更好地理解导热微分方程，我们先从傅立叶定律入手。
傅立叶定律给出了热量在物体内部的分布规律，即热量在各个方向上的分布与距离的平方成反比。
在推导导热微分方程时，我们需要考虑物体内部的热流密度，即单位时间内通过单位面积的热量。
根据傅立叶定律，我们可以列出热量在各个方向上的导入与导出的微分方程。
在推导过程中，我们还需要考虑边界条件。
边界条件是指物体表面的热传递规律，根据物体表面的热流密度与表面温度的关系，我们可以将边界条件分为三类。
在实际应用中，我们可以根据问题的具体情况选择不同的边界条件。
此外，我们还需要了解圆柱坐标系下的导热微分方程推导。
与直角坐标系相比，圆柱坐标系更适用于描述圆柱形物体的热量传递。
在圆柱坐标系下，我们可以根据傅立叶定律列出r、j、z 方向上的导入与导出的热量的六个微分方程；然后根据能量守恒定律列出热平衡式，经整理即可得。
这样，不论稳态与否、有无内热源，我们都可以根据内热源生成热及内能的增量列出方程，很易理解。
最后，我们来看一下导热微分方程的应用。
在实际问题中，我们可以根据导热微分方程计算物体内部的温度分布，从而为工程设计提供理论依据。
传热学导热微分方程推导
摘要：
一、传热学简介
1.传热学基本概念
2.热量传递过程的分类
二、导热微分方程的推导
1.稳态传热过程的微分方程
2.非稳态传热过程的微分方程
三、圆柱坐标系下的导热微分方程推导
1.圆柱坐标系的建立
2.傅立叶定律在圆柱坐标系中的应用
3.能量守恒定律的应用
正文：
传热学是一门研究热量传递规律的学科，它涉及到物体内和物体之间的热量传递过程。
根据物体温度与时间的关系，热量传递过程可分为稳态传热过程和非稳态传热过程。
导热微分方程是传热学中的一个重要概念，用于描述热量在物体中的传递过程。
我们可以通过推导来了解其背后的原理。
首先，我们来看稳态传热过程的微分方程。
在稳态传热过程中，物体内部的温度分布不随时间变化，因此可以得到一个关于温度分布的微分方程。
接下来，我们来看非稳态传热过程的微分方程。
在非稳态传热过程中，物
体内部的温度分布随时间变化，因此需要引入时间的变量。
通过一定的推导，我们可以得到一个关于温度分布和时间的微分方程。
此外，我们还可以通过圆柱坐标系来推导导热微分方程。
首先，我们需要建立圆柱坐标系，然后根据傅立叶定律在圆柱坐标系中的应用，我们可以得到关于温度分布的微分方程。
最后，根据能量守恒定律，我们可以得到一个关于热量传递过程的微分方程。
总之，传热学导热微分方程的推导是一个复杂的过程，需要我们掌握稳态传热过程和非稳态传热过程的微分方程，以及圆柱坐标系下的导热微分方程推导方法。
圆柱体导热微分方程的推导在热传导领域，导热微分方程是一个重要的方程，它描述了热量在固体中的传递过程。
本文将推导圆柱体导热微分方程，以理解圆柱体的热传导特性。
我们考虑一个理想的圆柱体，假设圆柱体材料均匀且导热性能不随温度变化。
设圆柱体的半径为 R，高度为 H。
我们希望推导出圆柱体内部的温度分布满足的微分方程。
首先，我们假设圆柱体内部的温度分布是关于时间 t 和半径 r 的函数，即 T(t, r)。
根据热传导的基本定律，热量沿着温度梯度的方向传播，传播速度与温度梯度成正比。
在平衡状态下，热量传导的速度与热量的损失相等。
因此，我们可以得到以下方程：\[ \frac{{\partial T}}{{\partial t}} = -\alpha \cdot \frac{{\partial^2 T}}{{\partial r^2}} \]其中，\(\alpha\) 是材料的热导率。
继续推导，我们可以应用圆柱坐标系下的拉普拉斯算子 \(abla^2\)，它可以表示为：\[abla^2 = \frac{1}{{r}} \cdot \frac{{\partial}}{{\partial r}} \left( r \cdot\frac{{\partial}}{{\partial r}} \right) + \frac{{\partial^2}}{{\partial z^2}} \] 将这个算子应用于 T(t,r)，我们有：\[ \frac{{\partial T}}{{\partial t}} = -\alpha \cdot \left[ \frac{1}{{r}} \cdot\frac{{\partial}}{{\partial r}} \left( r \cdot \frac{{\partial T}}{{\partial r}} \right) + \frac{{\partial^2 T}}{{\partial z^2}} \right] \]为了推导圆柱体的导热微分方程，我们需要将上式进行简化。
导热微分方程是描述温度场满足的重要微分方程之一。
它在热传导、传热、能量传递等方面都有着重要的应用。
本文将从导热微分方程的定义、导出过程、物理意义和应用领域等方面进行介绍。
希望通过本文的阐述，读者能够对导热微分方程有一个更加全面深入的了解。
一、导热微分方程的定义导热微分方程是描述物体内部温度分布随时间变化的微分方程。
通常情况下，导热微分方程可以写成下面的形式：\[ \frac{\partial u}{\partial t} = k\Delta u \]其中，u代表温度场，t代表时间，k代表热传导系数，∆代表拉普拉斯算子。
这个方程描述的是温度场随时间t变化的规律，即温度场的时间变化率等于热传导系数和温度场的拉普拉斯算子的乘积。
二、导热微分方程的导出导热微分方程的导出过程涉及到热传导定律和能量守恒定律。
在导出过程中，我们首先根据热传导定律得到热传导方程，然后再利用能量守恒定律得到导热微分方程。
1. 热传导定律热传导定律是描述物体内部热量传递规律的定律，通常可以表示为：\[ q = -kA\frac{dT}{dx} \]其中，q代表热量传递速率，k代表热传导系数，A代表传热截面积，dT/dx表示温度梯度。
这个定律说明了热量会从高温区传递到低温区，热传导的速率与温度梯度成正比。
2. 能量守恒定律能量守恒定律说明了热能在空间中的传递与积累规律，它可以表示为：\[ \frac{\partial u}{\partial t} + \nabla \cdot q = 0 \]其中，u代表单位质量的内能，t代表时间，q代表单位面积上的热量通量。
这个定律说明了热能在空间中的传递与积累总是满足能量守恒的原则。
通过热传导定律和能量守恒定律的联立，可以得到导热微分方程的导出过程。
三、导热微分方程的物理意义导热微分方程描述了温度场随时间的变化规律，具有重要的物理意义。
它可以帮助我们理解物体内部温度分布随时间的演化情况，从而预测物体的温度变化趋势。
导热微分方程的推导
Jacob
〇．傅立叶定律
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=⋅-=k j i z T y T x T gradT q λλ 其中，i ，j ，k 分别为x ，y ，z 坐标轴上的单位矢量。
λ为导热率（单位K m W ⋅）。
其含义表示，单位时间内，通过某单位截面上的热流q （单位
2m
W ），与该处的温度梯度gradT 成正比，但方向相反。
一．导热微分方程的推导依据
1．依据
根据能量守恒定律与傅立叶定律，建立导热物体中的温度场应满足的数学表达式，即导热微分方程；
A E Q +∆=
Q ，物体在单位时间内获得的热量；
E ∆，物体在单位时间内内能的增加；
A ，物体对外界所做的功。
对于固体来说，温度改变导致体积变化对环境所做的功A 可忽略不计，上式变为：
E Q ∆=
2．一般性假设
(1) 所研究的物体是各向同性的连续介质；
(2) 热导率、比热容和密度均为已知；
(3) 物体内具有内热源，强度V q （单位
3m
W ），表示单位体积、单位时间内放出的热量
二．直角坐标系下导热微分方程的推导
考察dt 时间内微元体中： [导入与导出净热量] + [内热源发热量] = [热力学能的增加]
1. 导入与导出微元体的净热量
（1）dt 时间内、沿x 轴方向、经垂直于x 轴 的热量导入表面导入的热量： dydzdt q dQ x x ⋅= (单位J )
同理，dt 时间内、沿x 轴方向、经垂直于x 轴 的热量导出表面导出的热量： dydzdt q dQ dx x dx x ++= (单位J )
x q ，dx x q +分别为热量导入面和导出面上的热流密度，单位2
m W 。
请注意，事实上这里有： dx x q q q x dx x x ∂∂-
=-+，所以导入与导出的热量差为： dydzdt dx x
q dQ dQ x dx x x ⋅∂∂-=-+ (单位J ) 同理：
（2）dt 时间内、沿y 轴方向、经垂直于y 轴 的两表面导入导出的热量差： dxdzdt dy y q dQ dQ y
dy y y ⋅∂∂-=-+ (单位J )
（3）dt 时间内、沿z 轴方向、经垂直于z 轴 的两表面导入导出的热量差： dxdydt dz z
q dQ dQ z dz z z ⋅∂∂-=-+ (单位J ) 2． 微元体自身的发热量
dt 时间内，微元体自身的发热量dv Q ：
dxdydzdt q Q v dv =
3．微元体热力学能的增量（即微元体温度升高耗费的能量）
dt 时间内，微元体温度升高耗费的能量T Q ∆：
dxdydz dt t
T c Q T ⋅∂∂=∆ρ 根据前面所述的能量守恒，有：
[]
T dv dz z z dy y y dx x x Q Q dQ dQ dQ dQ dQ dQ
∆+++=+-+-+-)()()( 即 dxdydz dt t T c dxdydzdt q dxdydt dz z q dxdzdt dy y q dydzdt dx x q v z y x ⋅∂∂=+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⋅∂∂-⋅∂∂-⋅∂∂-ρ整理得：
t T c q z q y q x q v z y x ∂∂=+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂-∂∂-ρ 又因为傅立叶定律，即⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛∂∂+∂∂+∂∂-=⋅-=k j i z T y T x T gradT q λλ ，所以： 22x T x q x ∂∂-=∂∂λ， 22y
T y q y ∂∂-=∂∂λ， 22z T z q z ∂∂-=∂∂λ，带入上式，得直角坐标系下的导热微分方程：
t T c q z T y T x
T v ∂∂=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂ρλ222222
三．柱坐标系下导热微分方程的推导
注意，直接写出柱坐标系下的傅立叶定律：
)1(k j i z
T T r r T T gradT q ∂∂+∂∂+∂∂-=∇-=-=φλλλ 解释如下：
沿着r 方向的温度梯度：
r T ∂∂，容易理解； 沿着φ方向的温度梯度：φ∂∂T r 1，我们把它写成φ
d r T ⋅∂，注意分母是沿着φ方向的微小增量，或许就容易理解了；
沿着z 方向的温度梯度：z
T ∂∂，这个很好理解，不多解释。
依据能量守恒，最后可得出柱坐标系中的导热微分方程：
t T c q z T T r r T r r
T v ∂∂=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂+∂∂ρθλ222222211
四．球坐标系下导热微分方程的推导
注意，直接写出球坐标系下的傅立叶定律：
)sin 11(k j i φ
θθλλλ∂∂+∂∂+∂∂-=∇-=-=T r T r r T T gradt q 解释如下：
沿着r 方向的温度梯度：
r
T ∂∂，容易理解； 沿着θ方向的温度梯度：θ∂∂T r 1，写成θ
d r T ⋅∂的形式，可能就容易理解了，注意分母正是沿着θ方向的微小增量。
（千万不要以为，沿着θ方向的温度梯度是θ∂∂T ）； 沿着φ方向的温度梯度：φθ∂∂T r sin 1，写成φθd r T ⋅∂sin 的形式，就容易理解了。
注意分母是什么？对着上面的图看一看，就理解了。
再根据能量守恒，就可以得出球坐标系下的导热微分方程：
t T c q T tg r T r T r r T r r T v ∂∂=+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂ρθθθφθλ222222222211sin 12
参考文献
[1] 传热学，韩风双，百度文库资料；
[2] 热应力，严宗达，王洪礼，高等教育出版社。
