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第四章 流体流动微分方程

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第四章流体的有旋流动和无旋流动

第四章流体的有旋流动和无旋流动

第四章 流体的有旋流动和无旋流动在上一章中我们阐述了流体流动的一些基本概念，导出了流体流动的连续性方程、欧拉运动方程、伯努利方程和动量方程等，为解决工程实际问题奠定了一定的理论基础。

本章将进一步讨论流体的有旋流动和无旋流动。

第一节 流体微团运动的分析我们知道，刚体的运动一般可以分解为移动和转动两部分。

但流体与刚体不同，流体受力便会发生运动状态的变化，即流体具有流动性，极易变形。

因此，流体微团在运动过程中不但会发生移动和转动，而且还会发生变形运动。

所以，在一般情况下流体微团的运动可以分解为移动、转动和变形运动三部分。

变形运动又分为线变形运动和角变形运动两种情况。

下面我们分别讨论这几种运动情况。

一、移动在流场中取一微元平行六面体的流体微团，各边长分别为dx 、dy 、dz ，形心a 处的速度为u，沿三个坐标轴的速度分量分别为u x 、u y 、u z ，如图4－1所示。

如果微团内各点的速度在坐标轴上的分量也都是u x 、u y 和u z ，那么整个流体微团就只有移动，也就是说流体微团只能从一个位置移动到另一个新的位置，而其形状和大小及方位并不改变。

图4－1 微团移动分析4－2 微团旋转运动分析二、转动同上在流场中取一微元平行六面体的流体微团，转动前流体微团的各边分别与坐标轴平行，为讨论方便起见，我们先讨论流体微团绕垂直于xoy 平面的轴(z 轴)转动的情况，如图4－2所示。

设O 点在x 轴和y 轴方向的速度分量分别为u x 和u y 。

当A 点在y 轴方向的分速度不同于O 点在y 轴方向的分速度及B 点在x 轴方向的分速度不同于O 点在x 轴方向的分速度时，流体微团才会发生旋转。

A 点在y 轴方向的分速度和B 点在x 轴方向的分速度可按泰勒级数展开，并略去高阶无穷小量而得到，它们分别为x xu u d y y ∂∂+和y yu u d xx ∂∂+，它们相对于O 点的对应分速度(相对于O 点的线速度)分别为x xu d y ∂∂和y yu d x∂∂，所以它们相对于O 点的角速度(逆时针方向旋转为正)应为A 点上xu x x xu ∂∂=∂∂y y d /dB 点上 yuy y y u ∂∂-=∂∂-x x d /d 而对于微团中其它各点绕z 轴转动的角速度(如C 点等)则是由该点y 向的分速度在x 轴方向的变化量和x 向的分速度在y 轴方向的变化量共同产生的。

流体力学第四章

流体力学第四章

• 在每一个微元流束的有效截面上，各点的速度可认为是相同的 总流：无数微元流束的总和。
38
2016/12/26
流体运动学和动力学基础（Fluid Kinematics and Dynamics）
均匀流与非均匀流·渐变流和急变流
均匀流——同一条流线上各空间点上的流速相 同的流动，流线是平行直线，各有效截面上的 流速分布沿程不变 非均匀流——同一条流线上各空间点上的流速不 同的流动，流线不是平行直线，即沿流程方向速 度分布不均
迹线· 流线 1、迹线 1)定义：某一质点在某一时段内的运动轨迹 线。 2)迹线的微分方程
dx dy dz dt ux u y uz
烟火的轨迹为迹线
流体运动学和动力学基础（Fluid Kinematics and Dynamics）
流体运动学和动力学基础（Fluid Kinematics and Dynamics）
25
2016/12/26
流体运动学和动力学基础（Fluid Kinematics and Dynamics）
一维、二维和三维流动
三维流动：流动参数是x、y、z三个坐标的函数
的流动。
二维流动：流动参数是x、y两个坐标的函数的
流动。
一维流动：是一个坐标的函数的流动。
26
2016/12/26
流体运动学和动力学基础（Fluid Kinematics and Dynamics）
x= x (t)
dux ux ux dx ux dy ux dz ax dt t x dt y dt z dt
（1）当地加速度（时变加速度）：流动过程中流体 由于速度随时间变化而引起的加速度； （2）迁移加速度（位变加速度）：流动过程中流体 由于速度随位置变化而引起的加速度。

流体力学

流体力学
第四章 流体流体运动学和流体动 力学基础
流体力学基本方程
连 续 性 方 程
动 量 方 程
动 量 矩 方 程
伯 努 利 方 程
能 量 方 程
第一节 描述流体运动的两种方法
流体的流动是由充满整个流动空间的无限多个流体 质点的运动构成的。充满运动流体的的空间称为流场。
研
欧拉法
究
方
着眼于整个流场的状态，即研究表征流场内流体流动 特性的各种物理量的矢量场与标量场
7.湿周 水力半径 当量直径
湿周——在总流的有效截面上，流体与固体壁面的接触长度。
水力半径——总流的有效截面积A和湿周之比。
圆形截面管道的几何直径
d 2 4A d 4R d x
D
R
A x
非圆形截面管道的当量直径
4A 4R x
关于湿周和水力半径的概念在非圆截面管道的水力计算中常常用到。
二、欧拉法
欧拉法（euler method）是以流体质点流经流场中 各空间点的运动来研究流动的方法。 ——流场法
研究对象：流场
它不直接追究质点的运动过程，而是以充满运动
流体质点的空间——流场为对象。研究各时刻质点在 流场中的变化规律。将个别流体质点运动过程置之不 理，而固守于流场各空间点。通过观察在流动空间中 的每一个空间点上运动要素随时间的变化，把足够多 的空间点综合起来而得出的整个流体的运动情况。
由欧拉法的特点可知，各物理量是空间点x，y，z和时 间t的函数。所以速度、密度、压强和温度可表示为：
v v x，y，z，t ＝ x，y，z，t p p x，y，z，t T T x，y，z，t
1.速度
u ux, y, z, t

流體力學第四章伯努利方程

流體力學第四章伯努利方程

第四章 伯努利方程4.1 伯努利方程4.1.1 理想流体沿流线的伯努利方程1. 伯努利方程的推导将欧拉运动微分方程式积分可以得到流体的压力分布规律，但只能在特殊的条件下，不可能在任何的情况下都可求得其解，故我们需对流场作出如下假设：（1）理想流体（2）定常流动（3）质量力有势（4）不可压缩流体（5）沿流线积分在定常流动的条件下，理想流体的运动微分方程（欧拉运动微分方程）可以写成 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂+∂∂+∂∂=∂∂-∂∂+∂∂+∂∂=∂∂-∂∂+∂∂+∂∂=∂∂-z v v y v v x v v z p f z v v y v v x v v y p f z v v y v v x v v x p f z z z y z x z y z y y y x y x z x y x x x ρρρ111 (4.1) 将这个方程沿流线积分，如图4.1所示，可得到伯努利方程。

为此，将式(4.1)的第一式乘以x d 得x zv v x y v v x x v v x x p x f x z x y x x x d d d d 1d ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂-ρ （1） 按照流线方程 zy x v z v y v x d d d == 将有，y v x v x y d d =，z v x v x z d d =故式（1）可写成x x x x x x x x x v v z zv v y y v v x x v v x x p x f d d d d d 1d =∂∂+∂∂+∂∂=∂∂-ρ （2） 式(4.1)的另外两式分别乘y d 、z d 后，作类似的代换，可得y y y v v y yp y f d d 1d =∂∂-ρ （3）z z z v v z zp z f d d 1d =∂∂-ρ （4） 将式（2）、（3）和式（4）相加，得 z z y y x x z y x v v v v v v z zp y y p x x p z f y f x f d d d )d d d (1d d d ++=∂∂+∂∂+∂∂-++ρ （5） p 的全微分可以表示为 dz zp dy y p dx x p dp ∂∂+∂∂+∂∂= 质量力有势，则必存在势函数U ，满足y f y f x f z zU y y U x x U U y y x d d d d d d d ++=∂∂+∂∂+∂∂=而 2/d d d d 2v v v v v v v z z y y x x =++式中等号右端的v 为平均速度。

第四章 恒定总流基本方程

第四章 恒定总流基本方程

z1

pg1

1v12
2g

z2

pg2

2v22
2g
hw
P32
教师：朱红钧
2、恒定总流伯努利方程的适用条件
（1）恒定流； （2）不可压缩流体； （3）质量力只有重力； （4）所选取的两过流断面必须是渐变流（或均匀流）断面
但两过流断面间可以是急变流。 （5）总流的流量沿程不变。 （6）两过流断面间除了水头损失以外，总流没有能量的输 入或输出。
流前，先分析元流流动，然后将元流积分就可推
广到总流。
元流 总流
P8 教师：朱红钧
2、控制断面恒选在渐变流上
什么是渐变流呢?
在总流分析法中，其控制断面恒取在渐变流， 或其极限情况（均匀流）。
想一想 为什么控制断面恒选在渐变流上？
为什么不能选在急变流段呢？
P9
教师：朱红钧
非均匀流中如流动变化缓慢，流线的曲率半径很大，接近 平行为渐变流（Gradually Varied Flow），否则为急变流 （Rapidly Varied Flow）。
际
zA

pA
g

uA2 2g

zB

pB
g
0 hw
Δh
H
0
0
应
令
uA
u
及
hw
u2 2g
u AB
式中 称为水头损失因数，由实验确定，图毕4-6托毕管托管的测速原理
用
值大于0且接近于0。
P36
教师：朱红钧
则
u 1
1
2g[(zB

pB
g
)

A4流体的运动微分方程

A4流体的运动微分方程

（2）遵循的规律
牛顿第二定律
（3）对于理想流体，因没有黏性，故作用于流体的表面力 只有压应力，即动水压强。
p = p ( x，y，z，t )
（4）实际流体运动微分方程；伯努利方程；动量方程。
基本思路:(1)取微元体 (4)得出结论
(2)受力分析 (3)导出关系
1.取微元体
在某一瞬时在运动无黏性流体中 取出棱边为dx，dy，dz的一微小 平行六面体。
2.受力分析
作用在流体上力：(1) 表面力；(2) 质量力 (1)表面力（以X方向为例） 包括压应力和剪应力 左表面 右表面
(2)质量力 X、Y、Z表示流体单位质量力在坐标轴上的分量。这个微元体的
质量为ρdxdydz ，质量力在各个在坐标轴上的分量分别为：
Xρdxdydz 、Yρdxdydz 、Zρdxdydz
（1）、切应力的特性：
yx
xy
( u y
x
ux ) y
式4-3
yz
zy
( uz
y
u y z
)
zx
xz
( uz
x
u x z
)
实际流体切 应力普遍表达 式，也称广义 的牛顿内摩擦
定律。
（2）、压应力的特性和大小：
p ——平均压应力
px= p+ px’ p y= p+ py’ pz= p+ pz’
三、毕托管
测量点流速的仪器
原理：利用无粘性元流流体伯努利方程。
图：
uA
h
A
h
uA
A
BA Z
V Z
图 4-17 皮托管测速原理
公式：
z
pB
g
u2 2g

流体运动微分方程


du du d 牛顿内摩擦定律 ，且 dy dy dt
d dt
流体为团运动时的角变形速度是纯剪切变形速度的两倍,顾有：
u y u x d 2 xy dt x y
则 xy yx
u y u x d ( ) dt x y
法向应力与线变形速度的关系
u x p xx p 2 x u y p yy p 2 y u z p zz p 2 z
d ux u 1 u x u x p u y u x u X [ ( ) ( ) ( x z )] dt x x x x y x y z z x
, p zz -p pzz
对于不可压缩均值流体，附加法向应力等于流体动力粘度与两倍的线变形速度 的乘积，即
u x p 2 xx 2 x u y , p yy 2 yy 2 y u z , p zz 2 zz 2 z
, xx
pxx pyy pzz
可以用任意一点三个相互垂直方 向上的 法向应力的平均值p的负 值作为黏性流体在该店的压强 黏性流体哥哥方向的法向应力等于 这个平均值加以个附加法向应力
1 p ( p xx p yy p zz ) 3
, p xx -p pxx
p yy -p p,yy
因此，切应力方向分量与角变形速度的关系
xy zy xz
粘性流体运动时存在切应力，所以法向 应力的大小与其作用面的方向有关，三个 相互垂直的法向应力大小一般不相等，即
u x u y yx ( ) 2 xy y x u y u yz ( z ) 2 zy y z u u zx ( x z ) 2 xz z x

第四章 流体流动微分方程


就简为力平衡方程， 就简为力平衡方程，即
§ 4.3 狭缝流动分析
∂τ yx 微元体上x方 ∂p = −τ yxdx + τ yx + dy dx + pdy − p + dx dy 向的诸力之和 ∂y ∂x
+ ρ g cos β dxdy
∂τ yx ∂p = − + ρ g cos β dxdy = 0 ∂y ∂x
该条件为不可压缩流体一维稳态流动的连续性条件
§4.2 圆管中流体的层流流动
的圆截面直管道的不可压缩粘性流体 以倾斜角为β 的圆截面直管道的不可压缩粘性流体 的定常层流流动为例 的定常层流流动为例。
采用柱坐标， 采用柱坐标，参数 如图，一维流动， 如图，一维流动，
u r = uθ = 0
§4.2 圆管中流体的层流流动
∆p∗ π R 4 2 qV = π R u m = 3. 圆管体积流量 L 8µ π R 4 ∆p qV = 水平管: 水平管: 8µ L 哈根哈根-泊谡叶方程
§4.2 圆管中流体的层流流动
4. 阻力系数与 流动损失 定义式 ∆p = λ L
∗
( D ) ( ρu 2)
2 m
∆p ∗ R 2 ∆p∗ D 2 um = = L 8µ L 32 µ
x
§4.1
不可压缩流体的一维层流流动概述
二、常见边界条件 流体的个性是由边界条件和初始条件确定的。对于工程问题， 流体的个性是由边界条件和初始条件确定的。对于工程问题， 边界条件和初始条件确定的 常见的流场边界条件有三类 1 固壁-流体边界 固壁由于流体有粘滞性，故与流体接触的固 由于流体有粘滞性， 体壁面上，流体的速度将等于固体壁面的速度。特别的在静 体壁面上，流体的速度将等于固体壁面的速度。 止的固体壁上，流体的速度为零。 止的固体壁上，流体的速度为零。 液体2 液体-气体边界 为零。 为零。 对于非高速流动， 对于非高速流动，气液界面上的切应力 相对于液相内的很小， 相对于液相内的很小，故通常认为液相切应力在气液界面上

粘性流体流动的微分方程-PPT

得作用情况, x为x 法向应力 分量, 和 xz 为切xy 向应力分
量,即剪应力分量
下标得含义为: 第一个下标x为应力分量得作用面与x轴相 垂直, 第二个下标表示应力分量得作用力方向分 别为x轴,y轴和z轴方向。 显然,两个下标均相同时,即表示法线应力。
法线应力: 拉伸方向为正,即向外为正; 压缩方向为负,即向内为负。
柱坐标系上得连续性方程:
'
1 r
r
(rur )
1 r
(u
)
z
(uz )
0
R－径向坐标
(3－16)
Z－轴线坐标
－方位角
'－时间
ur、u、uz 为三个方向上得流体速度分量
球坐标系上得连续性方程:
'
1 r2
r
(r2ur )
1
r sin
(u
sin )
1
r sin
(u )
0
－全纬度
独立得,而就是相互关联得。 下面将导出其相互关系。
将图中得流体微元得x－y平面上一个相
应平面分离出来加以观察,则环绕该平面
四周上所作用得4个剪应力表示如下图:
xy
xy
x
dx 2
yx
yx
y
(x,y,z)
dy 2
y
yx
yx
y
dy 2
dy dx 2 dx
xy
xy
x
dx 2
2 dy0 2
3－2 对连续性方程得分析和简化
将连续性方程展开可得其另一种形式为:
( ux
x
u y y
uz z
)
ux
x
uy
y

流体力学第四章


1.渐变流及其特性
渐变流过水断面近似为平面，即渐变流是流线接近于
平行直线的流动。均匀流是渐变流的极限。
动压强特性：在渐变流同一过水断面上，各点动压强
按静压强的规律式分布，即
注：上述结论只适用于渐变流或均匀流的同一过水断面上 的 各点，对不同过水断面，其单位势能往往不同。
选取：控制断面一般取在渐变流过水断面或其极限情况均匀 流断面上。
即J=JP。 5.总水头线和测压管水头线之间的距离为相应段
的流速水头。
6.如果测压管水头线在总流中心线以上，压强就 是正职；如相反，则压强为负值，则有真空。
4.总流能量方程在推导过程中的限制条件
（1）不可压缩流体；
（2）恒定流；
（3）质量力只有重力，所研究的流体边界是静止 的（或处于平衡状态）；
取管轴0-0为基准面，测压管所在断面
1,2为计算断面（符合渐变流），断面的形
心点为计算点，对断面1,2写能量方程（4-
15），由于断面1，2间的水头损失很小，
可视
，取α1=α2=1，得
由此得：
故可解得：
式中,K对给定管径是常量，称为文丘里流 量计常数。
实际流量 ： μ——文丘里流量计系数，随流动情况和管
流体力学
第四章 流体动力学基础
本章是工程流体力学课程中最重要的一 章。本章建立了控制流体运动的微分方程， 即理想流体运动微分方程和实际流体的运 动微分方程；并介绍了求解理想流体运动 微分方程的伯努利积分形式；构建了工程 流体力学中应用最广的恒定总流运动的三 大基本方程：连续性方程、伯努利方程 （即能量方程）和动量方程。通过本章的 学习要培养综合运用三大基本方程分析、 计算实际总流运动问题的能力。
道收缩的几何形状而不同。
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um
p L
R2
8
p L
D2
32
阻力系数
64
Re
水平管:
hf
p
g
L um2 D 2g
Re Dum
雷诺数
结论：层流流动的沿程损失与平均流速的一次方成正比。
上节课回顾:
1.学习了一维不可压缩流体稳态层流流动时建立流
体流动微分方程的方法:
输入微元体 -输出微元体+作用于微元体 = 0 的动量流量 的动量流量 的诸力之和
应用：工业上如 活塞与气缸之间的缝隙等
假设:
▪ 平行平板很长，不可压缩粘性流体作定常层流
流动。
▪ 采用直角坐标系
vz
vy
0，vx x
0
§4.3 狭缝流动分析
一方面，可忽略端部效应及进出口的影响，视为充 分发展的流动；
另一方面，狭缝的水力直径很小，且化工介质的黏 度较大，故雷诺数较小故处于层流流动。
§4.1不可压缩流体的一维层流流动概述
3 液体-液体边界 由于穿越液-液界面的速度分布或切应力 分布具有连续性，故液-液界面两侧的速度或切应力相等。 三 、流体流动条件说明
以下两小节研究不可压缩流体的一维层流流动几种工程 常见情况。稳态意味着流动过程与时间无关；不可压缩意味 着流体密度为常数；一维流动意味着流体指在一个坐标方向 上流动，且速度的变化也只与一个空间坐标有关；层流指的 是平行流动的流体层之间只有分子作用，只有在层流条件下 牛顿剪切定律才成立。（层流概念详细见教材第九章）
1. 最大流速 管轴处:
umax
p L
R2
4
2. 平均流速
um
1
R2
R
u 2 rdr
p
R2
umax
0
L 8 2
3. 圆管体积流量
qV
R2um
p L
R4 8
水平管:
qV
R4p 8 L
哈根-泊谡叶方程
§4.2 圆管中流体的层流流动
4. 阻力系数与 流动损失
定义式
p
L D
um2 2
下标x表示切应力作用方向。
x
3、 将上面两式处理后可消去切应力，获得关于流 体速度的微分方程-流体微分方程。
§4.1 不可压缩流体的一维层流流动概述
二、常见边界条件 流体的个性是由边界条件和初始条件确定的。对于工程问题， 常见的流场边界条件有三类 1 固壁-流体边界 由于流体有粘滞性，故与流体接触的固 体壁面上，流体的速度将等于固体壁面的速度。特别的在静 止的固体壁上，流体的速度为零。 2 液体-气体边界 对于非高速流动，气液界面上的切应力 相对于液相内的很小，故通常认为液相切应力在气液界面上 为零。
故在z 方向有
输入微元体动量流量：
（u u2 rdr)
输出微元体动量流量：
（u u2 rdr)
动量守恒方程
相等
力平衡方程
§4.2 圆管中流体的层流流动
微元体上z向 的诸力之和
rz
2 rdz
rz
rz
r
dr
2
r
dr dz
p2
rdr
p
p z
dz
2
rdr
g
cos
2
rdrdz
切应力方程
r
r
就流动因素而言，一种是由进出口两端的压力差产 生的流动，称为压差流；另一种是由于两壁面的 相对运动产生的流动称为剪切流。还有非水平的 狭缝流动，将有重力的影响。
§4.3 狭缝流动分析
§4.3.1 狭缝流动的微分方程 下图（a)所示，两平壁（间距为b)之间的流动。下 壁固定，上壁面以速度U平行下壁面运动。在平壁间， 密度ρ的不可压缩 流体沿x轴方向做一维 层流流动，速度为u，主 流方向（x轴正向）与重 力加速度g之间的夹角为 β.
§4.1 不可压缩流体的一维层流流动概述
又由上述条件（参见第六章连续性方程部分）可知流体
沿流动方向上的速度变化必然为零（满足该条件的流动
又称充分发展的流动）即有
u = 0 x
该条件为不可压缩流体一维稳态流动的连续性条件
§4.2 圆管中流体的层流流动
以倾斜角为 的 圆截面直管道的不可压缩粘性流体的
输入微元体 - 输出微元体 +作用于微元体 = 0 （4-1） 的动量流量 的动量流量 的诸力之和
。
§4.1 不可压缩流体的一维层流流动概述
2、 牛顿剪切定律作为补充方程将速度和切应力联系起来。 对于左图一维流动，牛顿剪切定律为
yx
du dy
（4-2）
y
yx
yx 下标y表示切应力所在平面的法线方向，
a .写出微元体的动量守恒方程
b .给出速度与应力的关联式
yx
du dy
c .联立两方程求出速度分布式、切应力分布式
2. 用1.的方法推导出圆管内的速度、切应力分布式
速度分布式
u
p L
R2
4
1 Biblioteka r R2 切应力分布式
rz
p L
r 2
阻力系数
64
Re
§4.3 狭缝流动分析
狭缝流动通常指两块足够大的平行平板（或板间 距大大小于板宽的平行平板)间的流动。
《工程流体力学》 电子教案
第四章 流体流动微分方程
§4.1 不可压缩流体的一维层流流动概述 §4.2 圆管中流体的层流流动 §4.3 狭缝流动分析 §4.4 连续性方程 §4.5 以应力表示的运动方程 §4.6 粘性流体运动微分方程（N-S方程）
及应用
§4.1不可压缩流体的一维层流流动概述
着眼于流场中的点（微元体）建立流体流动的微分方 程。微分方程所给出的流场分布信息，不仅揭示了宏 观流动现象的内在信息，且是确定最大速度、流动阻 力、壁面切应力等工程实用参数必需的。 一、建立流动微分方程的基本方法(应用动量守恒定 律与牛顿剪切定律) 基本步骤分三步： 1、 建立微元体的动量守恒方程。对于稳态流动有
rz
r
p z
g
cos
r
p z
令 p p gz cos
p p0gz0 cos pL gzL cos
const
p L
§4.2 圆管中流体的层流流动
积分上式，切应力分布方程
du dr
rz
p L
r 2
C1 r
(5-13b)
速度分布方程 （适用牛顿流体）
u
p L
r2
4
C1
ln r
C2
(5-14b)
边界条件
ddurr0 0, urR 0
§4.2 圆管中流体的层流流动
切应力与速度分布（用于一维稳态不可压缩充分发展层流流动）
rz
p L
r 2
(5-16)
u
p L
R2
4
1
r R
2
(5-17)
§4.2 圆管中流体的层流流动
最大流速、平均流速、圆管流量、阻力系数与 流动损失
定常层流流动为例。
采用柱坐标，参数 如图，一维流动，
ur u 0
§4.2 圆管中流体的层流流动
流体微元如左图， 受力分析:(z方向）
表面切应力： rz
流动截面上的压力：p 单位质量的重力g的分量：
g cos
§4.2 圆管中流体的层流流动
一维不可压缩稳态流 动（充分发展的流动），
即 u 0 z