第3章-流体力学连续性方程微分形式

理解流体力学中的连续性方程流体力学是研究流体静力学和流体动力学的学科，涵盖了许多重要的基本方程。

其中，连续性方程是流体力学中的基础之一，用于描述流体在宏观尺度上的连续性。

理解连续性方程对于研究流体运动和分析流体现象具有重要意义。

本文将介绍连续性方程的定义、推导与应用，并探讨其中的物理意义。

一、连续性方程的定义与推导连续性方程描述了流体运动时，质量守恒的性质。

在宏观尺度上，流体的质量保持不变，由此可以得到连续性方程的数学表达式。

假设流体流动方向为坐标轴方向，流体通过某一截面的流量为Q，流动截面面积为A，则单位时间内通过截面的质量为Δm。

根据质量守恒原理，Δm应保持不变。

考虑时间间隔Δt内，流体运动导致流量Q发生变化。

根据定义，Δt时刻通过截面的质量为Δm1，Δt+Δt时刻通过截面的质量为Δm2。

根据质量守恒原理，Δm1+Δm2应等于Δm。

Δm1+Δm2 = ρ1QΔt + ρ2QΔt (1)其中，ρ1和ρ2分别为Δt时刻和Δt+Δt时刻的流体密度。

将流体密度表示为单位体积的质量，即ρ = m/V。

在Δt时间间隔内，流体的体积可以表示为：Δt时刻的体积为V1 = QΔt (2)Δt+Δt时刻的体积为V2 = QΔt + AΔx (3)其中，Δx为流体运动方向上的位移。

将公式（2）和（3）代入公式（1），得到：ρ1QΔt + ρ2QΔt = ρ1V1 + ρ2V2 (4)根据密度的定义，可以将公式（4）进一步推导为：ρ1Q + ρ2Q = ρ1Q + ρ2(Q + AΔx) (5)化简后可简化为：d(ρQ)/dt + A(ρv) = 0 (6)其中，v为流体的流速。

以上就是连续性方程的定义与推导过程。

连续性方程的表达形式可以用偏微分方程来表示，常被称为连续性方程的微分形式。

二、连续性方程的物理意义连续性方程描述了流体在运动过程中的连续性。

通过分析连续性方程，我们可以进一步理解其中的物理意义。

在连续性方程中，d(ρQ)/dt表示单位时间内流体质量的变化率，A(ρv)表示单位时间内流体通过截面边界的质量变化率。

流体的连续性方程和动量方程流体力学是研究流体运动和流体力学性质的学科。

在流体力学中，连续性方程和动量方程是两个重要的基本方程。

本文将详细介绍流体的连续性方程和动量方程的定义和应用。

一、流体的连续性方程连续性方程描述了流体的质量守恒原理，表达了流体在空间和时间上的连续性。

连续性方程的数学表达形式为：∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0其中，ρ是流体的密度，t是时间，v是流体的速度矢量，∇·(ρv)表示速度矢量的散度。

该方程表示，流体的密度在一个闭合曲面上的变化率等于通过该曲面的质量流量。

连续性方程是基于质量守恒原理推导得出的。

它表明，在稳定流动条件下，流体在通道中的截面积变化时，速度会发生相应的变化，以保持质量的守恒。

根据连续性方程，我们可以推导出管道中的速度分布。

在管道的收缩段，速度增加，截面积减小，密度保持不变，从而保证质量守恒。

这也是为什么水管收缩后出水流速增加的原因。

二、流体的动量方程动量方程描述了流体运动的力学性质，表达了流体在空间和时间上的动量守恒。

动量方程的数学表达形式为：ρ(dv/dt) = -∇p + μ∇^2v + F其中，ρ是流体的密度，t是时间，v是流体的速度矢量，p是压强，μ是流体的粘度，∇p表示压强的梯度，∇^2v表示速度的拉普拉斯算子，F是外力的合力。

动量方程由牛顿第二定律推导而来。

它表示，在流体中，流体质点的动量变化等于合外力对质点的作用力。

动量方程用于描述流体在受力作用下的运动状态，通过求解动量方程，可以得到流体的速度分布。

根据动量方程，我们可以推导出流体中的压力分布。

在水管中，如果水流速度增大，则根据动量方程中的负梯度项，压力会降低。

这是因为速度增大会导致动能的增加，压力会减少以保持动量守恒。

综上所述，流体的连续性方程和动量方程是流体力学中的两个基本方程。

连续性方程描述了质量守恒原理，动量方程描述了动量守恒原理。

通过求解这两个方程，我们可以获得流体在空间和时间上的运动状态和力学性质。

流体力学中的连续性方程在流体力学中，连续性方程是描述流体运动过程中质量守恒的基本方程之一。

它阐述了流体在运动中质量的守恒原理，即在密度不变的条件下，流体在某一给定截面上的流量必须与该截面的流体入口和出口的流量相等。

本文将详细介绍连续性方程的含义、数学表达形式以及其在流体力学中的应用。

1. 连续性方程的含义连续性方程是基于质量守恒原理推导出来的，在没有外界质量输入或输出的情况下，流体质量在运动中必须保持不变。

该方程依赖于流体的不可压缩性，即密度在流场中不发生变化。

连续性方程描述了在任意给定截面上的流体运动情况，它表明流动的流体在同一截面上的进出量必须相等。

2. 连续性方程的数学表达形式连续性方程可以用数学形式来表示，通常使用流体的质量流率来描述流体在给定截面上的流动情况。

流体的质量流率定义为单位时间内通过给定截面的质量。

设流体通过某一截面的面积为A，流速为v，流体的密度为ρ，则流体的质量流率为ρAv。

根据质量守恒原理，流体在进入和离开给定截面时，质量流率必须相等，即:ρ₁A₁v₁ = ρ₂A₂v₂其中，ρ₁和ρ₂分别为流体在截面一和截面二处的密度，A₁和A₂为截面一和截面二的面积，v₁和v₂为截面一和截面二处的流速。

3. 连续性方程的应用连续性方程在流体力学中有着广泛的应用。

首先，它用于解决流体力学问题中的流量分布和速度分布计算。

通过应用连续性方程，我们可以根据流量和密度的已知值，求解出流体的流速。

这对于通常需要研究流体的流动速度分布的问题非常有用。

其次，连续性方程也可用于设计流体力学实验。

通过选定不同的截面，我们可以实验测量流速和相应的流量，验证连续性方程是否成立。

实验结果与连续性方程的理论计算相符则证明了实验的准确性。

此外，连续性方程在物理建模和工程计算中也发挥着重要的作用。

根据流体的运动规律和边界条件，我们可以通过连续性方程建立数学模型，并通过求解连续性方程来预测和分析流体运动的行为。

综上所述，连续性方程在流体力学中具有重要的地位和作用。

第三章流体动力学基础本章是流体动力学的基础。

主要阐述了流体运动的两种描述方法,运动流体的基本类别与基本概念，用欧拉法解决运动流体的连续性微分方程、欧拉运动微分方程及N-S方程。

此外，还阐述了无旋流与有旋流的判别，引出了流函数与势函数的概念，并且说明利用流网与势流叠加原理可解决流体的诸多复杂问题。

第一节流体流动的基本概念1.流线（1）流线的定义流线（stream line）是表示某一瞬时流体各点流动趋势的曲线，曲线上任一点的切线方向与该点的流速方向重合。

图3-1为流线谱中显示的流线形状。

（2）流线的作法：在流场中任取一点（如图3-2），绘出某时刻通过该点的流体质点的流速矢量u1，再画出距1点很近的2点在同一时刻通过该处的流体质点的流速矢量u2…，如此继续下去，得一折线1234 …，若各点无限接近，其极限就是某时刻的流线。

流线是欧拉法分析流动的重要概念。

图3-1 图3-2（3）流线的性质（图3-3）a.同一时刻的不同流线，不能相交。

图3-3因为根据流线定义，在交点的液体质点的流速向量应同时与这两条流线相切，即一个质点不可能同时有两个速度向量。

b.流线不能是折线，而是一条光滑的曲线。

因为流体是连续介质，各运动要素是空间的连续函数。

c.流线簇的疏密反映了速度的大小（流线密集的地方流速大，稀疏的地方流速小）。

因为对不可压缩流体，元流的流速与其过水断面面积成反比。

（4）流线的方程（图3-4）根据流线的定义，可以求得流线的微分方程：图3-4设d s为流线上A处的一微元弧长:u为流体质点在A点的流速:因为流速向量与流线相切，即没有垂直于流线的流速分量，u和d s重合。

所以即展开后得到：——流线方程（3-1）（或用它们余弦相等推得)2.迹线(1)迹线的定义迹线(path line)某一质点在某一时段内的运动轨迹线。

图3-5中烟火的轨迹为迹线。

(2)迹线的微分方程（3-2）式中，u x,u y,u z均为时空t,x,y,z的函数，且t是自变量。

流体力学中的流体动力学方程流体力学是研究流体运动规律和性质的学科，它在能源、环境、航空航天等领域有着广泛的应用。

流体动力学方程是流体力学的基础，它描述了流体在运动过程中的物理现象和力学特性。

本文将介绍流体动力学方程的基本原理和常见的流体动力学方程。

一、连续性方程连续性方程是描述流体质点质量守恒的基本方程。

它表明流体在运动过程中，质量的流入等于流出。

连续性方程可以用数学形式表示为：∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0其中，ρ是流体的密度，t是时间，v是流体的速度矢量，∇·表示散度运算符。

二、动量守恒方程动量守恒方程描述了流体质点在运动过程中动量的变化。

根据牛顿第二定律，动量守恒方程可以表示为：∂(ρv)/∂t + ∇·(ρvv) = -∇p + ∇·τ + ρg其中，p是流体的压力，τ是动态粘性应力张量，g是重力加速度。

三、能量守恒方程能量守恒方程是描述流体内能和外界能量转化的方程。

根据热力学第一定律，能量守恒方程可以表示为：∂(ρE)/∂t + ∇·(ρEv) = -∇·(pv) + ∇·(k∇T) + q其中，E是单位质量的总能量，v是流体的速度矢量，k是热传导率，T是温度，q是单位质量的内部热源。

四、状态方程流体力学中的状态方程描述了流体在热力学过程中的状态特性。

流体的状态方程通常表示为：p = ρRT其中，p是流体的压力，ρ是流体的密度，R是特定流体的气体常数，T是温度。

综上所述，流体动力学方程包括连续性方程、动量守恒方程、能量守恒方程和状态方程。

这些方程是建立在质点假设和牛顿力学基础上的，可以描述流体在运动过程中的物理现象和运动规律。

通过求解这些方程，可以得到流体的运动速度、压力分布等信息，为解决实际问题提供了重要的理论基础。

在实际应用中，为了解决流体动力学方程的复杂性，常常采用数值模拟等方法进行求解。

数值模拟可以通过离散化方程、引入数值格式和数值算法，得到流体在离散网格上的解。

第三章流体流动的基本概念与方程质量守恒定律、牛顿第二定律、能量守恒定律等是物质运动的普遍原理，流体作为一类物质也应该遵循这些原理。

这些原理刚体运动的方程式在物理学和理论力学中大家已经学习过，适用于流体运动的方程式将在本章讨论。

本章首先介绍描述流体流动的一些基本概念，然后推导出流体流动的基本方程，即连续方程、动量方程、能量方程等。

这些基本概念与方程在流体运动学中的研究中是十分重要的。

3.1 描述流体流动的方法在流体力学的研究中，描述流体的运动一般有两种方法，即拉格朗日法与欧拉法。

3.1.1 拉格朗日法拉格朗日法着眼于单个流体质点是怎样运动的，以及流体质点的特性是如何随时间变化的。

为了区别流体质点，使用某特定质点在某瞬时的坐标(a, b, c)是比较方便的，坐标(a, b, c)描述的只是某一特定的质点。

在任何瞬时质点的位置可表示为(3.1)对于一给点的坐标(a, b, c)，上述方程组代表的是一特定流体质点的轨迹。

此时，质点是速度可以通过将质点是位置矢量对时间求导数得到。

在笛卡尔坐标系中，质点的速度可表示为(3.2)加速度为(3.3)3.1.2欧拉法流体是由无数流体质点组成的连续介质，充满流动流体的空间称为流场。

表示流体速度的一种方法就是着眼于空间的某一点，观察流经该点的流体质点随时间的运动。

这种研究流体质点运动的方法称为欧拉法。

在更一般的意义上，欧拉法可以通过以下方面描述整个流场：(1)在空间某一点流动参数，如速度、压强等，随时间的变化；(2)这些参数相对于空间邻近点的变化。

此时，流动参数是空间点的坐标与时间的函数：(3.4)或(3.4a)(3.5)流体质点随时间将从一点运动到另一点，这意味着流体质点的位置也是时间的函数。

利用多元函数的微分连锁律，可将流体质点在x方向的加速度表示为：(3.6a)同样(3.6b)(3.6c)或写成矢量的形式(3.7)式中称为梯度，或∇运算符。

方程(3.6)右端包含两种不同类型的两项：速度关于位置的变化与速度关于时间的变化。