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河北省衡水中学2021-2021学年度高三一轮复习周测卷〔一〕理数一、选择题：本大题共12个小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1. 以下说法正确的选项是〔〕A. 0与的意义一样B. 高一〔1〕班个子比拟高的同学可以形成一个集合C. 集合是有限集D. 方程的解集只有一个元素【答案】D【解析】因为0是元素，是含0的集合，所以其意义不一样；因为“比拟高〞是一个不确定的概念，所以不能构成集合；当时，，故集合是无限集；由于方程可化为方程，所以〔只有一个实数根〕，即方程的解集只有一个元素，应选答案D。
2. 集合，那么〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：,，所以.考点：集合交集，一元二次不等式.【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系.在求交集时注意区间端点的取舍.纯熟画数轴来解交集、并集和补集的题目.3. 设命题“〞，那么为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】因为全称命题的否认是存在性命题，所以为，应选答案B。
4. 集合，那么集合〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，应选答案C。
5. 设，那么“〞是“〞的〔〕A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，，所以，，但时，即，不能保证为正数，所以“〞是“〞的充分不必要条件，应选A.6. 设，假设是的充分不必要条件，那么实数的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以由题意可得：，应选答案B。
7. 命题有解，命题，那么以下选项中是假命题的为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：对于m命题p：方程x2-mx-1=0，那么△=m2+4＞0，因此：∀m∈R，x2-mx-1=0有解，可得：命题p是真命题．对于命题q：由x2-x-1≤0，解得，，因此存在x=0，1∈N，使得x2-x-1≤0成立，因此是真命题．∴以下选项中是假命题的为，应选：B．考点：复合命题的真假8. 集合，那么集合不可能是〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以当时，那么；由于是点集，所以；当时，那么；由于所以，应选答案D。
题组层级快练(七十六)1．若A 2n 3＝10A n 3，则n ＝( ) A ．1 B ．8 C ．9 D ．10答案 B解析 原式等价于2n(2n －1)(2n －2)＝10n(n －1)(n －2)，整理得n ＝8.2．平面内有n 条直线任意两条都相交，任意三条都不交于一点，则这n 条直线的交点的个数为( ) A ．n(n －1) B ．(n －1)(n －2) C.n （n －1）2D.（n －1）（n －2）2答案 C解析 这n 条直线交点的个数为C n 2＝n （n －1）2. 3．(2014·辽宁，理)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( ) A ．144 B ．120 C ．72 D ．24答案 D解析 利用排列和排列数的概念直接求解．剩余的3个座位共有4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A 43＝4×3×2＝24.4．(2019·江西八校联考)若一个四位数的各位数字之和为10，则称该数为“完美四位数”，如数字“2 017”．试问用数字0，1，2，3，4，5，6，7组成的无重复数字且大于2 017的“完美四位数”的个数为( ) A ．53 B ．59 C ．66 D ．71 答案 D解析 记千位为首位，百位为第二位，十位为第三位，由题设中提供的信息可知，和为10的无重复的四个数字有(0，1，2，7)，(0，1，3，6)，(0，1，4，5)，(0，2，3，5)，(1，2，3，4)，共五组．其中第一组(0，1，2，7)中，7排在首位有A 33＝6种情形，2排在首位，1或7排在第二位上时，有2A22＝4种情形，2排在首位，0排在第二位，7排在第三位有1种情形，共有6＋4＋1＝11种情形符合题设；第二组中3，6分别排在首位共有2A33＝12种情形；第三组中4，5分别排在首位共有2A33＝12种情形；第四组中2，3，5分别排在首位共有3A33＝18种情形；第五组中2，3，4分别排在首位共有3A33＝18种情形．依据分类加法计数原理可知符合题设条件的“完美四位数”共有11＋12＋12＋18＋18＝71(个)，选D. 5．(2019·山东临沂重点中学模拟)马路上有七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案共有()A．60种B．20种C．10种D．8种答案 C分析先安排四盏不亮的路灯，再利用“插入法”，插入三盏亮的路灯，即可得结果．解析根据题意，可分两步：第一步，先安排四盏不亮的路灯，有1种情况；第二步，四盏不亮的路灯排好后，有5个空位，在5个空位中任意选3个，插入三盏亮的路灯，有C53＝10种情况．故不同的开灯方案共有10×1＝10(种)，故选C.6．(2020·山东师大附中模拟)甲、乙、丙三人轮流值日，从周一到周六每人值班两天，若甲不值周一，乙不值周六，则可以排出不同的值日表有()A．50种B．72种C．48种D．42种答案 D解析先排甲．按甲是否排周六分类．第一类：甲排周六．则甲再从二、三、四、五4天中选一天有C41种选法；乙有C42种，丙有C22种．第二类：甲不排周六，则甲从二、三、四、五4天中选两天有C42种选法，乙有C32种，丙有C22种．C41·C42·C22＋C42·C32·C22＝42，故选D.7．有5列火车分别准备停在某车站并行的5条轨道上，若快车A不能停在第3道上，货车B不能停在第1道上，则5列火车不同的停靠方法数为()A．56 B．63C．72 D．78答案 D解析若没有限制，5列火车可以随便停，则有A55种不同的停靠方法；快车A停在第3道上，则5列火车不同的停靠方法为A44种；货车B停在第1道上，则5列火车不同的停靠方法为A44种；快车A停在第3道上，且货车B停在第1道上，则5列火车不同的停靠方法为A33种．故符合要求的5列火车不同的停靠方法数为A55－2A44＋A33＝120－48＋6＝78. 8．若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A．60种B．63种C．65种D．66种答案 D解析共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数2个偶数，故不同的取法有C54＋C44＋C52C42＝66(种)．9．(2020·沧州七校联考)身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法种数共有() A．24 B．28C．36 D．48答案 D解析分类计数原理，按红红之间有蓝无蓝两类来分．(1)当红红之间有蓝时，则有A22A42＝24(种)；(2)当红红之间无蓝时，则有C21A22C21C31＝24(种)．因此，这五个人排成一行，穿相同颜色衣服的人不能相邻，则有48种排法．故选D. 10．某电视台从录制的5个新闻报道和4个人物专访中选出5个，准备在7月1日至7月5日中每天播出一个，若新闻报道不少于3个，则不同的播出方法共有()A．81种B．810种C．9 600种D．9 720种答案 D解析(C53C42＋C54C41＋C55)·A55＝9 720种．11．(2017·天津，理)用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个(用数字作答)．答案 1 080解析一个数字是偶数、三个数字是奇数的四位数有C41C53A44＝960(个)，四个数字都是奇数的四位数有A54＝120(个)，则至多有一个数字是偶数的四位数一共有960＋120＝1 080(个)．12．(2020·开封定位考试)从2019届开始，我省实行高考改革，考生除参加语文、数学、英语统一考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科．学生甲要想报考某高校的法学专业，就必须要从物理、政治、历史三科中至少选考一科，则学生甲的选考方法种数为________．答案19解析从六科中选考三科的选法有C63种，其中包括了没选物理、政治、历史中任意一科，这种选法有1种，因此学生甲的选考方法共有C63－1＝19(种)．13．(2020·山东日照一模)从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为________．答案112解析根据分层抽样，从12个人中抽取男生1人，女生2人，所以抽取2个女生1个男生的方法有C82C41＝112(种)．14．一份试卷有10道考题，分为A，B两组，每组5题，要求考生选答6题，但每组最多选4题，则每位考生有________种选答方案．答案200解析分三类：A组4题B组2题，A组3题B组3题，A组2题B组4题．共有C54C52＋C53C53＋C52C54＝50＋100＋50＝200(种)．15．(2020·四川成都二诊)各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的7个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生不同的填报专业志愿的方法有________种．答案180解析从7个专业选3个，有C73＝35种选法，甲、乙同时兼报的有C22·C51＝5种选法，则专业共有35－5＝30种选法，则按照专业顺序进行报考的方法种数为A33×30＝180. 16．甲、乙两人从4门课程中各选2门，求(1)甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有多少种？(2)甲、乙所选的课程中至少有一门不同的选法有多少种？答案(1)24(2)30解析(1)甲、乙两人从4门课程中各选2门，且甲、乙所选课程中恰有1门相同的选法种数共有C42C21C21＝24(种)．(2)甲、乙两人从4门课程中各选两门的选法种数为C42C42，又甲乙两人所选的两门课程都相同的选法种数为C42种，因此满足条件的选法种数为C42C42－C42＝30(种)．。
2021年河北省衡水中学高考数学三轮复习试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知集合A ={x|3xx+1≤2}，B ={x|a −2<x <2a +1}，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是( )A. (12,1)B. (12,1]C. [12,1]D. [12,1)2. 下列命题中，真命题的个数是( )①若x ，y ∈C ，则x +yi =1+i 的充要条件是x =y =1； ②若a ，b ∈R 且a >b ，则a +i >b +i ； ⑧若x 2+y 2=0，则x =y =0．A. 0B. 1C. 2D. 33. 已知0<a <b <1，下列不等式成立的是( )A. (12)a <(13)bB. log a 13<log b 12 C. log 12a >log 13b D. (12)a <log 13b4. “搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指数.“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高.下图是2018年9月到2019年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图.根据该走势图，下列结论正确的是( )A. 这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B. 这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱C. 从网民对该关键词的搜索指数来看，去年11月份对该关键词相关的信息关注度最高D. 从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值5. 在图中，二次函数y =bx 2+ax 与指数函数y =(ab )x 的图象只可为( )A.B. C. D.6.“女排精神”是中国女子排球队顽强战斗、勇敢拼搏精神的总概括，她们在世界杯排球赛中凭着顽强战斗、勇敢拼搏的精神，五次获得世界冠军，为国争光.2019年女排世界杯于9月14日至9月29日在日本举行，中国队以上届冠军的身份出战，最终以11战全胜且只丢3局的成绩成功卫冕世界杯冠军，为中华人民共和国70华诞献上最及时的贺礼.朱婷连续两届当选女排世界杯MVP，她和颜妮、丁霞、王梦洁共同入选最佳阵容，赛后4人和主教练郎平站一排合影留念，已知郎平站在最中间，她们4人随机站于两侧，则朱婷和王梦洁站于郎平同一侧的概率为()A. 12B. 13C. 14D. 167.已知数列{a n}的前n项和为S n且(√2−1)S n+a n=√2(n∈N∗).记b n=a n a n+1，T n为数列{b n}的前n项和，则使T n>63√264成立的最小正整数为()A. 5B. 6C. 7D. 88.P为双曲线x24−y29=1右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左右焦点，且PF1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，直线PF2交y轴于点A，则△AF1P的内切圆半径为()A. 2B. 3C. 32D. √132二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是(A. f(x)=2sin(13x−π6)B. 若把函数f(x)的图象向左平移π2个单位，则所得图象对应的函数是奇函数C. 若把f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的23倍，纵坐标不变，得到图象对应的函数在[−π,π]上是增函数D. ∀x∈[−π3,π3]，若f(3x)+a≥f(3π2)恒成立，则a的最小值为√310.已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，其准线与x轴相交于点M，经过M点且斜率为k的直线l与抛物线相交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，则下列结论中正确的是()A. k 的取值范围是(−1,1)B. y 1y 2=8x 1x 2C. 存在k ，使得以AB 为直径的圆经过点FD. 若三角形ABF 的面积为16√2，则直线AB 的倾斜角为π6或5π611. 如图一张矩形白纸ABCD ，AB =10，AD =10√2，E ，F 分别为AD ，BC 的中点.现将△ABE ，△CDF 沿BE ，DF 折起，且A ，C 在平面BFDE 的同侧，下列命题正确的是( )A. 当平面ABE//平面CDF 时，AE//CDB. 当平面ABE//平面CDF 时，AC//平面BFDEC. 当A ，C 重合于点P 时，PG ⊥PDD. 当A ，C 重合于点P 时，三棱锥P −DEF 外接球的表面积为150π12. 已知函数f(x)=e x −e −x +x 3−ax ，则下列结论中正确的是( )A. 若f(x)在区间[−1,1]上的最大值与最小值分别为M ，m ，则M +m =0B. 曲线y =f(x)与直线y =−ax 相切C. 若f(x)为增函数，则a 的取值范围为(−∞,2]D. f(x)在R 上最多有3个零点三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知(1+x)10=a 0+a 1(1−x)+a 2(1−x)2+⋯+a 10(1−x)10，则a 8=______．14. 在平行四边形ABCD 中，AD =1，∠BAD =60°，E 为CD 的中点，若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =1，则|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |= ______ ． 15. 椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形.若该三角形内切圆的半径为b5，则该椭圆的离心率为______ ．16. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n =an 2+bn(a,b 为常数)，且a 9=π2，则a 1+a 17= ______ ；设函数f(x)=2+sin2x −2sin 2x2，y n =f(a n )，则数列{y n }的前17项和为______ ． 四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 如图，经过村庄A 有两条夹角为60°的公路AB ，AC ，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P ，分别在两条公路边上建两个仓库M 、N (异于村庄A)，要求PM =PN =MN =2(单位：千米).如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)．18. 已知各项均为正数的等差数列{a n }满足a 1a 5=33，a 22=25．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)设b n =4n−2+3a n ，若a n ∈N ，求{b n }的前n 项和T n ．19. 在多面体ABCDE 中，平面ACDE ⊥平面ABC ，四边形ACDE 为直角梯形，CD//AE ，AC ⊥AE ，AB ⊥BC ，CD =1，AE =AC =2，F 为DE 的中点，且点E 满足EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4EG ⃗⃗⃗⃗⃗ ．(1)证明：GF//平面ABC ；(2)当多面体ABCDE 的体积最大时，求二面角A −BE −D 的余弦值．20. 为提高玉米产量，某种植基地对单位面积播种数x 与每棵作物的产量y 之间的关系进行研究，收集了11块实验田的数据，得到下表： 实验田编号n123 4 5 6 78 9 10 11 x(棵/米 2) 3.5 4 5.1 5.7 6.1 6.9 7.5 8 9.1 1011.2 y (斤/棵) 0.330.320.30.280.270.250.250.240.22 0.250.15技术人员选择模型y =1a+bx 2作为y 与x 的回归方程类型，令u i =x i 2，v i =1y i，相关统计量的值如表：∑u i 11i=1∑v i 11i=1∑u i 11i=1v i∑u i 211i=1600 44 2721 45642由表中数据得到回归方程后进行残差分析，残差图如图所示：(1)根据残差图发现一个可疑数据，请写出可疑数据的编号(给出判断即可，不必说明理由)；(2)剔除可疑数据后，由最小二乘法得到v 关于u 的线性回归方程v ̂=β̂u +α̂中的β̂=0.03，求y 关于x 的回归方程；(3)利用(2)得到的结果，计算当单位面积播种数x 为何值时，单位面积的总产量w =xy 的预报值最大？(计算结果精确到0.01)附：对于一组数据(u 1,v 1)，(u 2,v 2)，…，(u n ,v n )，其回归直线v =α+βu 的斜率和截距的最小二乘法估计分别为β̂=∑u i n i=1v i −nu −⋅v−∑u i 2n i=1−nu−2，α̂=v −−β̂u −，√30≈5.4821.已知函数f(x)=2ln(ax+b)，其中a，b∈R．(Ⅰ)若直线y=x是曲线y=f(x)的切线，求ab的最大值．(Ⅱ)设b=1，若方程f(x)=a2x2+(a2+2a)x+a+1有两个不相等的实根，求a的最大整数值．(ln54≈0.223)．22.已知F1，F2分别是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，P是椭圆C上异于左、右顶点A，B的任一点，当△PF1F2的面积最大值为√3时，△PF1F2为正三角形．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设PB交直线x=4于M，AM交椭圆C于Q．(ⅰ)证明：k AP⋅k AQ为定值；(ⅰ)求△APQ面积的最大值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：已知集合A ={x|3xx+1≤2}，解得：A ={x|−1<x ≤2}， B ={x|a −2<x <2a +1}，若A ⊆B ，则有B 集合包含A 集合中所有元素． 有数形结合法则：a −2≤−1，且2a +1>2； 解得：12<a ≤1；则实数a 的取值范围是：12<a ≤1； 故选：B ．求解A 集合，根据集合的关系A ⊆B ，则有B 集合包含A 集合中所有元素．由数形结合法则可得答案． 本题考查了集合间的关系，考查数形结合的应用，属于基础题2.【答案】A【解析】解：对于①，若x ，y ∈R ，则x +yi =1+i 的充要条件是x =y =1，故①错误； 对于②，若a ，b ∈R 且a >b ，则a +i >b +i ，复数不能比较大小，故②错误； 对于③，若x ，y ∈R ，且x 2+y 2=0，则x =y =0，故③错误． 故选：A ．直接利用复数的运算的应用求出结果．本题考查的知识要点：复数的运算，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：∵y =(12)x 在R 上单调递减，y =x b 在(0,+∞)上单调递增，且0<a <b <1， ∴(12)a >(12)b >(13)b ，故A 错；取a =13，b =12，故log a 13=log b 12=1，故B 错； ∵0<a <b <1，∴lna <lnb <0， ∴−lna >−lnb >0，又∵ln3>ln2>0，∴−lnaln2>−lnbln3，即log12a>log13b，故C正确；取a=12，b=√33，则(12)a=√22，log13b=12，故D错．故选：C．根据对数函数，指数函数的单调性，结合特值依次判断即可．本题考查了函数的性质应用，同时考查了对数运算及指数运算，运算及取值比较难，属于中档题．4.【答案】D【解析】解：A项，走势图图象没有周期性变换，故选项A错误，B项，这半年中，关注度不是单调减小，而是时而增强时而减弱，故选项B错误，C项，根据走势图图象可知，去年10月份对该关键词相关的信息关注度最高，故选项C错误，D项，去年12月份的数据整体高于今年1月份的数据，故去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值，故选项D正确，故选：D．根据走势图图象，逐个分析选项即可判断出结果．本题主要考查了数字特征，是中档题．5.【答案】C【解析】解：根据指数函数y=(ab )x可知a，b同号且不相等，则二次函数y=ax2+bx的对称轴−b2a<0可排除B，D由图象可知y=(ab)x均为减函数，又因为二次函数y=ax2+bx过坐标原点，∴C正确，故选：C．根据二次函数的对称轴首先排除B、D选项，结合二次函数和指数函数的性质逐个检验即可得出答案本题考查了同一坐标系中指数函数图象与二次函数图象的关系，根据指数函数图象确定出a、b的正负情况是求解的关键．【解析】解：记朱婷和王梦洁站于郎平同一侧为事件A ，基本事件总数为C 42⋅A 22⋅A 22=24， 事件A 包含的基本事件数2A 22⋅A 22=8，∴p(A)=824=13．故选：B ．记朱婷和王梦洁站于郎平同一侧为事件A ，求出基本事件总数和事件A 包含的基本事件数，再代入古典概型公式计算即可．本题考查了古典概型及其概率计算公式，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：由(√2−1)S n +a n =√2(n ∈N ∗)，可得：(√2−1)S n+1+a n+1=√2(n ∈N ∗)． 相减可得：√2a n+1=a n ．n =1时，(√2−1)a 1+a 1=√2，解得a 1=1． ∴数列{a n }为等比数列，首项为1，公比为√22．∴a n =(√2)n−1，∴b n =a n a n+1=(√2)2n−1=(12)n ⋅√2．∴T n =√22[1−(12)n ]1−12=√2[1−(12)n ]，数列{T n }单调递增，T 6=63√264， ∴使得不等式T n >63√264成立的最小正整数为7，故选：C ．由(√2−1)S n +a n =√2(n ∈N ∗)，可得：(√2−1)S n+1+a n+1=√2(n ∈N ∗).相减可得：√2a n+1=a n .n =1时，(√2−1)a 1+a 1=√2，解得a 1.利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出结论．本题考查了等比数列的通项公式及求和公式、方程与不等式的解法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【解析】 【分析】本题考查了双曲线的性质、图形的对称性，属于中档题．本题先根据直角三角形内切圆半径得到边长的关系，结合双曲线定义和图形的对称性，得到本题结论． 【解答】解：由题意，作图如下：∵PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则PF 1⊥PF 2， 设△APF 1的内切圆半径为r ，则S △APF 1=12|PF 1|·|PA |=12r (|PF 1|+|PA|+|AF 1|)， 即r =|PF 1|·|PA ||PF 1|+|PA|+|AF 1|=(|PF 1|·|PA |)(|PF 1|+|PA|−|AF 1|)(|PF 1|+|PA|+|AF 1|)(|PF 1|+|PA|−|AF 1|)=(|PF 1|·|PA |)(|PF 1|+|PA|−|AF 1|)(|PF 1|+|PA|)2−|AF 1|2 ∵|PF 1|2+|PA|2=|AF 1|2， ∴|PF 1|+|PA|−|AF 1|=2r ， ∴|PF 2|+2a +|PA|−|AF 1|=2r ， 由双曲线方程可知a =2， ∴|AF 2|−|AF 1|=2r −4，∵由图形的对称性知：|AF 2|=|AF 1|， ∴2r −4=0，即r =2． 故选：A ．9.【答案】AB【解析】解：函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示，所以T4=7π2−2π=3π2，解得T=6π，故ω=13．由于f(2π)=2，所以2sin(2π3+φ)=2，整理得φ=2kπ−π6(k∈Z)，由于|φ|<π，所以φ=−π6．故f(x)=2sin(13x−π6)，故A正确；对于B：函数f(x)的图象向左平移π2个单位，整理得g(x)=2sin13x，故函数为奇函数，故B正确；对于C：把f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的23倍，纵坐标不变，得到图象对应的函数g(x)=2sin(12x−π6)，由于x∈[−π,π]，故−2π3≤12x−π6≤π3，故函数不单调，故C错误；对于D：∀x∈[−π3,π3]，若f(3x)+a≥f(3π2)恒成立，只需满足a≥f(3π2)−f(3x)，∀x∈[−π3,π3]恒成立．令g(x)=f(3π2)−f(3x)=√3−2sin(x−π6)，由于x∈[−π3,π3 ]，所以−π2≤x−π6≤π6，所以√3−1≤g(x)≤√3+2则a的最小值为√3+2，故D错误；故选：AB．直接利用三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，恒成立问题的应用判断A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，恒成立问题的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．10.【答案】CD【解析】解：对于A ：由题意可得F(2,0)，M(−2,0)， 设直线l 的方程为y =k(x +2)，由{y 2=8x y =k(x +2)，得k 2x 2+(4k 2−8)x +4k 2=0(∗)， 因为直线l 与抛物线的相交于两点， 所以{k ≠0(4k 2−8)2−16k 2>0，解得−1<k <1，且k ≠0，故A 不正确； 对于B ：由韦达定理可得x 1x 2=4k 2k 2=4，x 1+x 2=8−4k 2k 2，所以y 1y 2=8x 1⋅8x 2=64x 1x 2=256>0，所以y 1，y 2同号， 所以y 1y 2=16=4x 1x 2，故B 不正确；对于C ：假设存在k ，使得以AB 为直径的圆经过点F ， 则FA ⊥FB ，所以FA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 所以FA⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−2,y 1)⋅(x 2−2,y 2)=(x 1−2)(x 2−2)+y 1y 2 =x 1x 2−2(x 1+x 2)+4+y 1y 2=x 1x 2−2(x 1+x 2)+4+k 2(x 1+2)(x 2+2) =x 1x 2−2(x 1+x 2)+4+k 2x 1x 2+2k 2(x 1+x 2)+4k 2 =(1+k 2)x 1x 2+(2k 2−2)(x 1+x 2)+4+4k 2 =(1+k 2)×4+(2k 2−2)(8−4k 2k2)+4+4k 2 =32−16k 2=0，解得k =±√22，所以存在k ，满足题意，故C 正确；对于D ：|AB|=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+k 2⋅8√1−k 2k2， 所以直线l 的方程为kx −y +2k =0， 则点F 到直线AB 的距离为d =√1+k 2=√1+k 2所以S △ABF =12×√1+k 2×8√1−k 2k 2×√1+k 2，所以16√1−k 2|k|=16√2，所以k =±√33，设直线AB 的倾斜角为α，tanα=±√33，所以α=π6或α=5π6，故D 正确．故选：CD ．对于A ：设直线l 的方程为y =k(x +2)，联立抛物线的方程，由直线l 与抛物线的相交于两点，得{k ≠0(4k 2−8)2−16k 2>0，解得k 的取值范围，即可判断A 是否正确； 对于B ：由韦达定理可得x 1x 2，x 1+x 2，y 1y 2，得出y 1y 2=16=4x 1x 2，即可判断B 是否正确； 对于C ：假设存在k ，使得以AB 为直径的圆经过点F ，则FA ⊥FB ，由向量的数量积得FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，解得k ，即可判断C 是否正确；对于D ：由弦长公式可得|AB|，由点到直线的距离公式，可得点F 到直线AB 的距离为d ，再计算S △ABF =16√2，解得k ，进而可得直线AB 的倾斜角α，即可判断D 是否正确．本题考查直线与抛物线的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．11.【答案】AD【解析】解：在△ABE 中，tan∠ABE =√22，在△ACD 中，tan∠CAD =√22，所以∠ABE =∠DAC ．由题意得，将△ABE 、△CDF 沿BE 、DF 折起，且A 、C 在平面BEDF 同侧，此时A 、C 、G 、H 四点在同一平面内，平面ABE ∩平面AGHC =AG ，平面CDF ∩平面AGHC =CH ； 当平面ABE//平面CDF 时，得到AG//CH ；显然AG =CH ，所以四边形AGHC 是平行四边形，所以AC//GH ，进而得到AC//平面BFDE ，所以A 正确； 由于折叠后，直线AE 与直线CD 为异面直线，所以AE 与CD 不平行，所以B 错误； 当A 、C 重合于点P 时，可得PG =10√33，PD =10，又GD =10，所以PG 2+PD 2≠GD 2，所以PG 和PD不垂直，所以C 错误；当A 、C 重合于点P 时，在三棱锥P −DEF 中，△EFD 和△FCD 均为直角三角形，所以DF 为外接球的直径， 即R =DF 2=5√62，则三棱锥P −DEF 的外接球的表面积为4πR 2=4π×(5√62)2=150π，所以D 正确．故选：AD ．作出不同情况下的几何体，然后运用平型垂直的基本知识进行证明，最后计算外接球面积． 本题考查几何体折叠问题，通过对几何体不同情况的判断进行证明和外接球计算，属于中档题．12.【答案】ACD【解析】解：A.∵f(−x)=e−x−e x−x3+ax=−f(x)，∴函数f(x)为R上的奇函数，其图象关于原点对称，因此A正确；B.令f′(x)=e x+e−x+3x2−a=−a，可得：e x+e−x+3x2=0，此方程无实数根，因此f′(x)=e x+ e−x+3x2−a=−a不成立，即切线斜率不可能为−a，因此B不正确；C.令f′(x)=e x+e−x+3x2−a≥0，可得a≤e x+e−x+3x2，∵e x+e−x+3x2≥2，∴a≤2，即a的取值范围为(−∞,2]，因此C正确；D.令f(x)=e x−e−x+x3−ax=0，解得x=0，或e x−e−x+x3x =a，(x≠0)，令g(x)=e x−e−xx+x2，g′(x)=(x−1)e x+(x+1)e−xx2+2x，令u(x)=(x−1)e x+(x+1)e−x，则u′(x)=x(e x−e−x)，可得u′(x)≥0，只有x=0时取等号．u(0)=0，∴x>0时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增，又g(−x)=g(x)，∴g(x)为偶函数，其图象关于y轴对称．g(x)在(0,+∞)上单调递增，在(−∞,0)上单调递减，因此直线y=a与y=g(x)最多有2个交点，∴f(x)在R上最多有3个零点．故选：ACD．A.判断函数f(x)的奇偶性即可判断出正误．B.令f′(x)=e x+e−x+3x2−a=−a，可得：e x+e−x+3x2=0，判断此方程实根情况，即可判断出正误．C.令f′(x)=e x+e−x+3x2−a≥0，可得a≤e x+e−x+3x2，利用函数的单调性、基本不等式即可判断出正误．D.令f(x)=e x−e−x+x3−ax=0，解得x=0，或e x−e−x+x3x =a，(x≠0)，令g(x)=e x−e−xx+x2，利用导数研究其单调性、判断奇偶性即可判断出正误．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、函数的奇偶性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．13.【答案】180【解析】【分析】本题考查利用二次展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．关键是将底数改写成右边的底数形式．将1+x 写成2−(1−x)；利用二项展开式的通项公式求出通项，令1−x 的指数为8，求出a 8． 【解答】解：∵(1+x)10=[2−(1−x)]10∴其展开式的通项为T r+1=C 10r 210−r [−(1−x )]r =(−1)r ·210−r ·C 10r (1−x )r ， 令r =8得a 8=4C 108=180故答案为180．14.【答案】12【解析】解：∵AC⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2，∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |22+|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC⃗⃗⃗⃗⃗ 2=1，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos π3， ∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12⋅|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12．故答案为：12．由已知将所求利用平行四边形的对应的向量表示，得到关于|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的方程解之．本题考查了平面向量的平行四边形法则以及数量积的运算，注意向量的夹角与平行四边形内角的关系，属于基础题．15.【答案】14【解析】解：由椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)短轴的一个端点和两个焦点相连构成的三角形面积S =bc ， 该三角形的周长为2a +2c ，由题意得S =bc =12(2a +2c)⋅b5，即a +c =5c ， 所以e =ca =14． 故答案为：14．先求出短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形的面积，再结合三角形内切圆半径公式即可得到a ，c 的方程，进而求得椭圆的离心率．本题考查三角形内切圆半径的求法，考查椭圆离心率的求法，属于中档题．16.【答案】π17【解析】解：由S n=an2+bn(a,b为常数)，常数项为0．可得数列{a n}为等差数列，a1=a+b，a1+a2=4a+2b，可得：公差d=a2−a1=2a，∴a n=a+b+2a(n−1)=2na−a+b．∴a1+a17=2a9=π．函数f(x)=2+sin2x−2sin2x2=sin2x+cosx+1，又y n=f(a n)，∴y1+y17=f(a1)+f(a17)=sin2a1+cosa1+1+sin2a17+cosa17+1=sin2a1+cosa1+1+sin(2π−2a1)+cos(π−a1)+1=2，同理可得：y2+y16=⋯…=y8+y10=2，y9=f(a9)=sin2a9+cosa9+1=1．∴数列{y n}的前17项和=2×8+1=17．故答案为：π，17．由S n=an2+bn(a,b为常数)，常数项为0.可得数列{a n}为等差数列，可得a n=2na−a+b.a1+a17=2a9.函数f(x)=2+sin2x−2sin2x2=sin2x+cosx+1，又y n=f(a n)，可得y1+y17=f(a1)+f(a17)=2，同理可得：y2+y16=⋯…=y8+y10=2，y9=f(a9)=sin2a9+cosa9+1=1.即可得出结论．本题考查了等差数列的通项公式及求和公式、转化方法、三角函数的性质、倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】解：设∠AMN=θ，在△AMN中，MNsin60∘=AMsin(120∘−θ)．因为MN=2，所以AM=4√33sin(120°−θ).在△APM中，cos∠AMP=cos(60°+θ).AP2=AM2+MP2−2AM⋅MP⋅cos∠AMP=163sin2(120°−θ)+4−2×2×4√33sin(120°−θ)cos(60°+θ)=163sin2(θ+60°)−16√33sin(θ+60°)cos(θ+60°)+4=83[1−cos(2θ+120°)]−8√33sin(2θ+120°)+4=−83[√3sin(2θ+120°)+cos (2θ+120°)]+203=203−163sin(2θ+150°)，θ∈(0,120°).当且仅当2θ+150°=270°，即θ=60°时，AP 2取得最大值12，即AP 取得最大值2√3． 答：设计∠AMN 为60°时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．【解析】设∠AMN =θ，在△AMN 中，求出AM ，在△APM 中，利用余弦定理，建立函数，利用辅助角公式化简，即可得出结论．本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查三角函数的化简，正确构建函数是关键．18.【答案】解：(Ⅰ)设各项均为正数且公差为d 的等差数列{a n }满足a 1a 5=33，a 22=25，则a 2=5，所以{a 1(a 1+4d)=33a 1+d =5，整理得3d 2−10d +8=0，d =2或43，解得{a 1=3d =2或{a 1=113d =43， 故a n =3+2(n −1)=2n +1或a n =113+43(n −1)=4n+73；(Ⅱ)由于a n ∈N ，所以a n =2n +1， 所以b n =4n−2+3a n =4n−2+6n +3， 所以T n =14(1−4n )1−4+12(9+6n +3)n =112(4n −1)+3n 2+6n ．【解析】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，分组求和，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．(Ⅰ)直接利用已知条件和等差数列的通项公式建立方程组求出首项和公差，进一步求出数列的通项公式； (Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论，进一步利用分组法求出数列的和．19.【答案】(1)证明：分别取AB ，EB 的中点M ，N ，连接CM ，MN ，ND ，在梯形ACDE 中，DC//EA ，且DC =12EA ，M ，N 分别为BA ，BE 的中点， ∴MN//EA ，MN =12EA ，∴MN//CD ，且MN =CD ，则四边形CDNM 为平行四边形，得CM//DN ， 又EB⃗⃗⃗⃗⃗ =4EG ⃗⃗⃗⃗⃗ ，N 为EB 的中点，∴G 为EN 的中点， 又F 为ED 的中点，∴GF//DN ，可得GF//CM ， 又CM ⊂平面ABC ，GF ⊄平面ABC ， ∴GF//平面ABC ；(2)解：在平面ABC 内，过B 作BH ⊥AC ，交AC 于H ， ∵平面ACDE ⊥平面ABC ，且平面ACDE ∩平面ABC =AC ， BH ⊂平面ABC ，BH ⊥AC ，∴BH ⊥平面ACDE ，则BH 为四棱锥B −ACDE 的高，又底面ACDE 的面积确定，∴要使多面体ABCDE 的体积最大，即BH 最大，此时AB =BC =√2． 连接HF ，则HF//AE//CD ，易知HB 、HC 、HF 两两垂直，以H 为坐标原点，分别以HB ，HC ，HF 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 则A(0,−1,0)，B(1,0，0)，E(0,−1,2)，D(0,1，1)， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−1,2)，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2,1)， 设n 1⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)是平面ABE 的一个法向量，则{n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1+y 1=0n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x 1−y 1+2z 1=0，取y 1=−1，得n 1⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,0)； 设n 2⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2,z 2)为平面DBE 的一个法向量，则{n 2⃗⃗⃗⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2y 2+z 2=0n 2⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x 2−y 2+2z 2=0，取z 2=2，可得n 2⃗⃗⃗⃗ =(3,1,2)． ∴cos <n 1⃗⃗⃗⃗ ,n 2⃗⃗⃗⃗ >=n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |n 1⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2×√14=√77． 由图可知，二面角A −BE −D 为钝角，∴二面角A −BE −D 的余弦值为−√77．【解析】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．(1)分别取AB ，EB 的中点M ，N ，连接CM ，MN ，ND ，证明四边形CDNM 为平行四边形，得CM//DN ，再由已知向量等式证明GF//DN ，可得GF//CM ，再由直线与平面平行的判定可得GF//平面ABC ； (2)证明BH ⊥平面ACDE ，则BH 为四棱锥B −ACDE 的高，由底面ACDE 的面积确定，知要使多面体ABCDE 的体积最大，即BH 最大，此时AB =BC =√2.连接HF ，则HF//AE//CD ，易知HB 、HC 、HF 两两垂直，以H 为坐标原点，分别以HB ，HC ，HF 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面ABE 与平面DBE 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A −BE −D 的余弦值．20.【答案】解：(1)根据残差图发现一个可疑数据是第10组；(2)剔除可疑数据(10,0.25)，在剩余的10组数据中， 计算u −=∑u i 11i=1−u 1010=600−10010=50，v −=∑v i 11i=1−v 1010=44−410=4，∴α̂=v −−β̂u −=v −−0.03，u −=4−50×0.03=2.5，∴v 关于u 的回归方程是v ̂=0.03u +2.5； 则y 关于x 的回归方程是y ̂=12.5+0.03x 2；(3)利用(2)得到的结果，结合条件知单位面积的总产量w 的预报值为 w ̂=x 2.5+0.03x 2=12.5x+0.03x≤2√2.5×0.03=√303≈1.83，当且仅当2.5x =0.03x 时，此时x =√2.50.03=5√303≈9.13，即x =9.13时，单位面积的总产量w =xy 的预报值最大，最大值是1.83．【解析】(1)根据残差图去掉偏离平均值较远的一个可疑数据即可；(2)剔除可疑数据后，由最小二乘法得到v 关于u 的线性回归方程，再写出y 关于x 的回归方程； (3)利用(2)得到的结果，利用基本不等式计算单位面积播种数x 为何值时，单位面积的总产量w =xy 的预报值最大．本题考查了回归分析与函数最值的应用问题，也考查了数据处理能力与运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)设直线y=x和y=f(x)相切于点P(x0,2ln(ax0+b))，∵f′(x)=2aax+b ，则f′(x0)=2aax0+b=1，故ax0+b=2a(a>0)，又P在切线y=x上，故2ln(ax0+b)=x0，故x0=2ln(ax0+b)=2ln2a，b=2a−ax0=2a−2aln2a，故ab=2a2−2a2ln2a(a>0)，设g(a)=2a2−2a2ln2a(a>0)，则由g′(a)=2a(1−2ln2a)>0，解得：0<a<√e2，故g(a)在(0,√e2)递增，在(√e2,+∞)递减，故g(a)max=g(√e2)=e4，故ab的最大值是e4；(Ⅱ)原方程即为2ln(ax+1)=(ax+1)2+a(ax+1)，设ax+1=t，则上述方程等价于2lnt=t2+at(t>0)，设p(t)=2lnt−t2−at(t>0)，则函数p(t)要有2个不同的零点，∵p′(t)=2t−2t−a在(0,+∞)递减，且p′(t)=0在(0,+∞)上存在唯一实根t0，即p′(t0)=0，即at0=2−2t02，故当t∈(0,t0)时，p′(t)>0，当t∈(t0,+∞)时，p′(t)<0，故p(t)在(0,t0)递增，在(t0,+∞)递减，若a>0，则t0∈(0,1)，p(t)≤p(t0)=2lnt0−t02−(2−2t02)=2lnt0+t02−2<0，不合题意，舍，若a<0，则t0∈(1,+∞)，当t∈(0,1)时，则p(t)=2lnt−t2−at<2lnt+|a|，取t1=e−|a|2，则p(t1)<0，当t∈(1,+∞)时，则p(t)=2lnt−t2−at<2(t−1)−t2−at<−t2+(2−a)t，取t2=2+|a|，则p(t2)<0，由此t1<t0<t2，且p(t1)<0，p(t2)<0，要使函数p(t)=2lnt−t2−at(t>0)有2个不同的零点，则只需p(t 0)=2lnt 0−t 02−at 0>0，故只需p((t 0)=2lnt 0−t 02−(2−2t 02)=t 02+2lnt 0−2>0,∵p((t 0)=t 02+2lnt 0−2是关于t 0的增函数，且p(1)=−1<0，p(54)=2ln 54−716>0，故存在m ∈(1,54)使得p(m)=0，故当t 0>m 时，p(t 0)>0，∵a =2t 0−2t 0是关于t 0的减函数， 故a =2t 0−2t 0<2m −2m ， 又2m −2m ∈(−910,0)，故a 的最大整数值是−1．【解析】(Ⅰ)求出函数的导数，结合切线方程得到ab =2a 2−2a 2ln2a(a >0)，设g(a)=2a 2−2a 2ln2a(a >0)，根据函数的单调性求出函数的最大值即可；(Ⅱ)问题等价于2lnt =t 2+at(t >0)，设p(t)=2lnt −t 2−at(t >0)，根据函数的单调性求出a 的最大整数值即可．本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题． 22.【答案】解：(1)由题意可得：(S △PF 1F 2)max =bc =√3，由△PF 1F 2为正三角形可得：b =√3c ，a =2c ，解得a =2，b =√3，c =1，所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1．(2)(ⅰ)证明：由题意设P(x 1,y 1)，M(4,y 0)，Q(x 2,y 2)，又A(−2,0)，B(2,0)，所以k AP =y 1x 1+2，k AQ =k AM =y 04+2=y 06， 直线BP 的方程为y =y 1x 1−2(x −2)，当x =4时，y 0=2y 1x 1−2，此时，k AP ⋅k AQ =y 1x1+2×y 06=y 1x 1+2×y 13(x 1−2)=y 123(x 12−4)， 又x 124+y 123=1，则y 12=3(1−x 124)=34(4−x 12)，代入上式可得，k AP ⋅k AQ =−14． (ⅰ)设直线PQ 的方程为x =my +t ，联立{x =my +tx 24+y 23=1，得(3m 2+4)y 2+6mty +3t 2−12=0，所以{y 1+y 2=−6mt 3m 2+4y 1y 2=3t 2−123m 2+4， 又{x 1+x 2=8t 3m 2+4x 1x 2=4t 2−12m 23m 2+4， 由k AP ⋅k AQ =y 1x1+2⋅y 2x 2+2=y 1y 2(x 1+2)(x 2+2)=−14， 化简得3t 2−124t 2+16t+16=−14，化简得t 2+t −2=0，解得t =1或t =−2(舍)，所以S △APQ =12|AF 2||y 1−y 2|=32√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=18√m2+13m 2+4，令λ=√m 2+1≥1，则m 2=λ2−1，则S △APQ =18λ3λ2+1=183λ+1λ，3λ+1λ在[1,+∞)上单调递增， 故λ=1时，S △APQ 的最大值为92，此时m =0，直线PQ 的方程为x =1．【解析】(1)由题意可得：(S △PF 1F 2)max =bc =√3，由△PF 1F 2为正三角形可得b =√3c ，a =2c ，解得a ，b ，c ，进而可得答案．(2)(ⅰ)由题意设P(x 1,y 1)，M(4,y 0)，Q(x 2,y 2)，直线BP 的方程为y =y 1x 1−2(x −2)，当x =4时，y 0=2y 1x1−2，推出k AP =y 1x 1+2，k AQ =k AM =y 06，进而可得答案；(ⅰ)设直线PQ 的方程为x =my +t ，与椭圆方程联立，运用韦达定理和直线的斜率公式、三角形的面积公式和对勾函数的单调性，可得所求最大值．本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．。
题组层级快练(八)1．函数y ＝x 2＋8x ＋12在某区间上是减函数，这区间可以是( ) A ．[－4，0] B ．(－∞，0] C ．(－∞，－5] D ．(－∞，4]答案 C2．若二次函数f(x)满足f(x ＋1)－f(x)＝2x ，且f(0)＝1，则f(x)的表达式为( ) A ．f(x)＝－x 2－x －1 B ．f(x)＝－x 2＋x －1 C ．f(x)＝x 2－x －1 D ．f(x)＝x 2－x ＋1 答案 D解析 设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，a （x ＋1）2＋b （x ＋1）＋c －（ax 2＋bx ＋c ）＝2x.故⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0，c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，c ＝1，则f(x)＝x 2－x ＋1.故选D. 3．已知m>2，点(m －1，y 1)，(m ，y 2)，(m ＋1，y 3)都在二次函数y ＝x 2－2x 的图象上，则( ) A ．y 1<y 2<y 3 B ．y 3<y 2<y 1 C ．y 1<y 3<y 2 D ．y 2<y 1<y 3答案 A解析 ∵m ＞2，∴m －1＞1.∴三点均在对称轴的右边，而在[1，＋∞)上函数是增函数，∴y 1＜y 2＜y 3. 4．(2020·杭州学军中学月考)若函数f(x)＝x 2－2x ＋m ，若f(x 1)＝f(x 2)(x 1≠x 2)，则f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22的值为( ) A ．1 B ．2 C ．m －1 D ．m答案 C解析 由题意知，函数的对称轴为直线x ＝x 1＋x 22＝1，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝f(1)＝m －1.故选C. 5．已知函数f(x)＝－x 2＋4x ，x ∈[m ，5]的值域是[－5，4]，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)B ．(－1，2]C ．[－1，2]D ．[2，5)答案 C解析 二次函数f(x)＝－x 2＋4x 的图象是开口向下的抛物线，最大值为4，且在x ＝2时取得，而当x ＝5或－1时，f(x)＝－5，结合图象可知m 的取值范围是[－1，2]． 6．已知函数f(x)＝mx 2＋mx ＋1的定义域是实数集R ，则实数m 的取值范围是( ) A ．(0，4) B ．[0，4] C ．(0，4] D ．[0，4)答案 B解析 因为函数f(x)＝mx 2＋mx ＋1的定义域是实数集R ，所以m ≥0，当m ＝0时，函数f(x)＝1，其定义域是实数集R ；当m>0时，则Δ＝m 2－4m ≤0，解得0<m ≤4.综上所述，实数m 的取值范围是0≤m ≤4.7．一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图象大致是( )答案 C8．已知二次函数f(x)图象的对称轴是x ＝x 0，它在区间[a ，b]上的值域为[f(b)，f(a)]，则( ) A ．x 0≥b B ．x 0≤a C ．x 0∈(a ，b) D ．x 0∉(a ，b)答案 D解析 若x 0∈(a ，b)，f(x 0)一定为最大值或最小值．9．(2020·山东济宁模拟)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c （x ≤0），2 （x>0），若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x 的方程f(x)＝x 的解的个数为( ) A ．4 B ．2 C ．1 D ．3答案 D解析 由解析式可得f(－4)＝16－4b ＋c ＝f(0)＝c ，解得b ＝4.由f(－2)＝4－8＋c ＝－2，可求得c ＝2.∴f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2 （x ≤0），2 （x>0）.又f(x)＝x ，则当x ≤0时，x 2＋4x ＋2＝x ，解得x 1＝－1，x 2＝－2. 当x>0时，x ＝2，综上可知有三解．10．(2019·郑州质检)若二次函数y ＝x 2＋ax ＋1对于一切x ∈⎝⎛⎦⎤0，12恒有y ≥0成立，则a 的最小值是( ) A ．0 B ．2 C ．－52D ．－3答案 C解析 设g(x)＝ax ＋x 2＋1，x ∈⎝⎛⎦⎤0，12，则g(x)≥0在x ∈⎝⎛⎦⎤0，12上恒成立，即a ≥－⎝⎛⎭⎫x ＋1x 在x ∈⎝⎛⎦⎤0，12上恒成立．令h(x)＝－⎝⎛⎭⎫x ＋1x ，又h(x)＝－⎝⎛⎭⎫x ＋1x 在x ∈⎝⎛⎦⎤0，12上为单调递增函数，当x ＝12时，h(x)max ＝h ⎝⎛⎭⎫12，所以使a ≥h(x)max＝－⎝⎛⎭⎫12＋2即可，解得a ≥－52. 11．(1)已知函数f(x)＝4x 2＋kx －8在[－1，2]上具有单调性，则实数k 的取值范围是________． 答案 (－∞，－16]∪[8，＋∞)解析 函数f(x)＝4x 2＋kx －8的对称轴为x ＝－k 8，则－k 8≤－1或－k8≥2，解得k ≥8或k ≤－16.则k 的取值范围为(－∞，－16]∪[8，＋∞)(2)若函数y ＝x 2＋bx ＋2b －5(x<2)不是单调函数，则实数b 的取值范围为________． 答案 (－4，＋∞)解析 函数y ＝x 2＋bx ＋2b －5的图象是开口向上，以x ＝－b2为对称轴的抛物线，所以此函数在⎝⎛⎭⎫－∞，－b 2上单调递减．若此函数在(－∞，2)上不是单调函数，只需－b2<2，解得b>－4.所以实数b 的取值范围为(－4，＋∞)．12．已知y ＝(cosx －a)2－1，当cosx ＝－1时，y 取最大值，当cosx ＝a 时，y 取最小值，则a 的取值范围是________． 答案 0≤a ≤1解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－a ≤0，－1≤a ≤1，∴0≤a ≤1.13．函数f(x)＝x 2＋2x ，若f(x)>a 在区间[1，3]上满足：①恒有解，则a 的取值范围为________； ②恒成立，则a 的取值范围为________． 答案 ①a<15 ②a<3解析 ①f(x)>a 在区间[1，3]上恒有解，等价于a<f(x)max ，又f(x)＝x 2＋2x 且x ∈[1，3]，当x ＝3时，f(x)max ＝15，故a 的取值范围为a<15.②f(x)>a 在区间[1，3]上恒成立，等价于a<f(x)min ，又f(x)＝x 2＋2x 且x ∈[1，3]，当x ＝1时，f(x)min ＝3，故a 的取值范围为a<3. 14．如果函数f(x)＝x 2－ax －a 在区间[0，2]上的最大值为1，那么实数a ＝________． 答案 1解析 因为函数f(x)＝x 2－ax －a 的图象为开口向上的抛物线，所以函数的最大值在区间的端点处取得．因为f(0)＝－a ，f(2)＝4－3a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a>4－3a ，－a ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧－a ≤4－3a ，4－3a ＝1，解得a ＝1.15．(2017·北京)已知x ≥0，y ≥0，且x ＋y ＝1，则x 2＋y 2的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤12，1解析 x ≥0，y ≥0，且x ＋y ＝1，则x 2＋y 2＝x 2＋(1－x)2＝2x 2－2x ＋1，x ∈[0，1]， 则令f(x)＝2x 2－2x ＋1，x ∈[0，1]，函数的对称轴为x ＝12，开口向上，所以函数的最小值为f ⎝⎛⎭⎫12＝2×14－2×12＋1＝12. 最大值为f(1)＝2－2＋1＝1. 则x 2＋y 2的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，1.16．二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋1(a>0)，设f(x)＝x 的两个实根为x 1，x 2. (1)如果b ＝2且|x 2－x 1|＝2，求a 的值；(2)如果x 1<2<x 2<4，设函数f(x)的对称轴为x ＝x 0，求证：x 0>－1. 答案 (1)a ＝－1＋22(2)略解析 (1)当b ＝2时，f(x)＝ax 2＋2x ＋1(a>0)． 方程f(x)＝x 为ax 2＋x ＋1＝0.|x 2－x 1|＝2⇒(x 2－x 1)2＝4⇒(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4.由韦达定理，可知x 1＋x 2＝－1a ，x 1x 2＝1a .代入上式，可得4a 2＋4a －1＝0. 解得a ＝－1＋22，a ＝－1－22(舍去)．(2)证明：∵ax 2＋(b －1)x ＋1＝0(a>0)的两根满足x 1<2<x 2<4，设g(x)＝ax 2＋(b －1)x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧g （2）<0，g （4）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2（b －1）＋1<0，16a ＋4（b －1）＋1>0⇒⎩⎨⎧2a>14，b<14.∴2a －b>0.又∵函数f(x)的对称轴为x ＝x 0，∴x 0＝－b2a >－1.。
题组层级快练(八十一)1．(2020·衡水中学调研)在区间(0，100)上任取一数x ，则lgx>1的概率为( ) A ．0.1 B ．0.5 C ．0.8 D ．0.9答案 D解析 由lgx>1解得x>10.所以P ＝100－10100＝0.9.2．在区间[0，π]上随机取一个数x ，使cosx 的值介于－32与32之间的概率为( ) A.13 B.23 C.38 D.58答案 B解析 cosx 的值介于－32与32之间的区间长度为5π6－π6＝2π3.由几何概型概率计算公式，得P ＝2π3π－0＝23.故选B.3．若在区间[0，2]中随机地取两个数，则这两个数中较大的数大于12的概率是( )A.916B.34C.1516D.1532答案 C解析 两个数都小于12的概率为116，所以两个数中较大的数大于12的概率是1－116＝1516.4．(2020·湖南益阳期末)星期一，小张下班后坐公交车回家，公交车有1，10两路．每路车都是间隔10分钟一趟，1路车到站后，过4分钟10路车到站．不计停车时间，则小张坐1路车回家的概率是( ) A.12 B.13 C.25 D.35 答案 D解析 本题考查与长度有关的几何概型．由题意可知小张下班后坐1路公交车回家的时间段是在10路车到站与1路车到站之间，共6分钟．设“小张坐1路车回家”为事件A ，则P(A)＝610＝35，故选D. 5．(2016·课标全国Ⅱ)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( ) A.710 B.58 C.38 D.310答案 B解析 记“至少需要等待15秒才出现绿灯”为事件A ，则P(A)＝2540＝58.6．(2020·河南豫北名校联盟精英对抗赛)已知函数f(x)＝sinx ＋3cosx ，当x ∈[0，π]时，f(x)≥1的概率为( ) A.13 B.14 C.15 D.12 答案 D解析 由f(x)＝sinx ＋3cosx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3≥1及x ∈[0，π]，得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴所求概率为P＝π2π＝12. 7.(2020·安徽江淮十校第一次联考)七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，在此正方形中任取一点，则该点取自阴影部分的概率是( ) A.316 B.38 C.18 D.14答案 D解析 如图所示，设AB ＝4，则OG ＝GH ＝FD ＝HI ＝IE ＝2，DE ＝2，所以S OIHG ＝2×2＝2，S EDFI ＝2×1＝2，所以此点取自阴影部分的概率P＝2＋24×4＝14.8．(2020·山西太原五中月考)在区间(0，1)上任取两个数，则两个数之和小于65的概率是( )A.1225B.1625C.1725D.1825答案 C解析 设这两个数是x ，y ，则试验所有的基本事件构成的区域即⎩⎨⎧0<x<1，0<y<1确定的平面区域(不包含边界)，满足条件的事件包含的基本事件构成的区域即⎩⎪⎨⎪⎧0<x<1，0<y<1，x ＋y<65确定的平面区域(不包含边界)，如图所示，阴影部分的面积是1－12×⎝⎛⎭⎫452＝1725，所以这两个数之和小于65的概率是1725.9．(2020·安徽淮南一模)《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代数学的代表作．书中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的径为多少步？”现若向此三角形内投豆子，则豆子落在其内切圆内的概率是( ) A.3π20 B.π20 C.3π10 D.π10答案 A解析 方法一：如右图，直角三角形的斜边长为82＋152＝17，设其内切圆的半径为r ，则8－r ＋15－r ＝17，解得r ＝3，∴内切圆的面积为πr 2＝9π，∴豆子落在内切圆内的概率P ＝9π12×8×15＝3π20，选A.方法二：依题意，直角三角形的斜边长为17.设内切圆半径为r ，则由等面积法，可得12×8×15＝12×(8＋15＋17)r ，解得r ＝3，向此三角形内投豆子，豆子落在其内切圆内的概率是P＝π×3212×8×15＝3π20. 10．(2020·河北唐山模拟)割补法在我国古代数学著作中称为“出入相补”，刘徽称之为“以盈补虚”，即以多余补不足，是数量的平均思想在几何上的体现，如图揭示了刘徽推导三角形面积公式的方法．在△ABC 内任取一点，则该点落在标记“盈”的区域的概率为( )A.14B.13 C.15 D.12答案 A解析 根据题意可得标记“盈”的区域的面积为三角形面积的四分之一，故该点落在标记“盈”的区域的概率为14，故选A.11．(2020·山东四校联考)如图的圆形图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自中间阴影区域内(阴影部分由四条四分之一圆弧围成)的概率是( )A.12B.13 C ．2－4πD.4π－1 答案 D解析 设圆的半径为R.如图的弓形(阴影部分)的面积S ＝14πR 2－12R 2＝π－24R 2，所以所求概率P ＝阴影部分的面积圆的面积＝πR 2－8×π－24R 2πR 2＝4π－1，故选D.12.(2020·辽宁五校联考)古希腊数学家阿基米德用穷竭法建立了这样的结论：“任何由直线和抛物线所包围的弓形，其面积都是其同底同高的三角形面积的三分之四．”如图，已知直线x ＝2交抛物线y 2＝4x 于A ，B 两点，点A ，B 在y 轴上的射影分别为D ，C.从长方形ABCD 中任取一点，则根据阿基米德这一理论，该点位于阴影部分的概率为( ) A.12 B.13 C.23 D.25答案 B解析 本题考查与面积有关的几何模型．在抛物线y 2＝4x 中，取x ＝2，可得y ＝±22，∴S矩形ABCD ＝82，由阿基米德理论可得弓形面积为43×12×42×2＝1623，则阴影部分的面积为82－1623＝823.由概率比为面积比可得点位于阴影部分的概率为82382＝13，故选B.13．在区间[0，1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( ) A.4nm B.2nm C.4m n D.2m n答案 C解析 由题意得，(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n)在如图所示的正方形中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中，即以1为半径的14圆中．由几何概型概率计算公式知π41＝m n ，所以π＝4mn.故选C.14．(2020·云南师大附中月考)在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中任取一点M ，则满足∠AMB>90°的概率为( ) A.π24 B.π12 C.π8 D.π6答案 A解析 以AB 为直径作球，球在正方体内的区域体积为V ＝14×43π×13＝π3，正方体的体积为8，∴所求概率P ＝π38＝π24.15．(2020·九江模拟)定义：一个矩形，如果从中截取一个最大的正方形，剩下的矩形与原矩形相似，则称这样的矩形为黄金矩形，其宽与长的比为黄金比．如图，现在在黄金矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自剩下的矩形EBCF 内部的概率为( ) A.3－52B.5－12 C.5－22D.2－12 答案 A解析 设AB ＝a ，AD ＝b ，则EB ＝a －b ，b a ＝a －b b ，整理得⎝⎛⎭⎫b a 2＋b a －1＝0，解得b a ＝5－12(负值已舍去)．∴P ＝b （a －b ）ab ＝1－b a ＝3－52.故选A.16．(2016·课标全国Ⅰ)某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是________． 答案 12解析 方法一：7：30的班车小明显然是坐不到的．当小明在7：50之后8：00之前到达，或者8：20之后8：30之前到达时，他等车的时间将不超过10分钟，故所求概率为10＋1040＝12. 方法二：当小明到达车站的时刻超过8：00，但又不到8：20时，等车时间将超过10分钟，7：50～8：30的其他时刻到达车站时，等车时间将不超过10分钟，故等车时间不超过10分钟的概率为1－2040＝12.17．若在区间[0，10]内随机取出两个数，则这两个数的平方和也在区间[0，10]内的概率是________． 答案π40解析 将取出的两个数分别用x ，y 表示，则0≤x ≤10，0≤y ≤10.如图所示，当点(x ，y)落在图中的阴影区域内时，取出的两个数的平方和也在区间[0，10]内，故所求概率为14π×10102＝π40.。
2021 2021学年河北省衡水中学高三(上)一调数学试卷(理科)(解析版2021-2021学年河北省衡水中学高三(上)一调数学试卷(理科)(解析版2021-2021学年河北省衡水中学高三（上）一调数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分后，共60分后.在每小题得出的四个选项中，只有一项就是合乎题目建议的.21．（5分后）子集a={x|lnx≥0}，b={x|x＜16}，则a∩b=（）a．（1，4）b．[1，4）c．[1，+∞）d．[e，4）0.92．（5分后）设a=log0.80.9，b=log1.10.9，c=1.1，则a，b，c的大小关系就是c （）a．a＜b＜cb．a＜c＜bc．b＜a＜cd．c＜a＜b3．（5分后）未知a＞1，a．0＜x＜1b．1＜x＜0，则f（x）＜1成立的一个充分不必要条件是（）c．2＜x＜0d．2＜x＜14．（5分）已知函数22，则f（f（f（1）））的值等同于（）a．π1b．π+1c．πd．0与x轴所围站图形的面积为（）5．（5分）曲线a．4b．2c．1d．36．（5分）函数y=sin（2x）的图象与函数y=cos（x）的图象（）a．存有相同的对称轴但并无相同的对称中心b．存有相同的对称中心但并无相同的对称轴c．既有相同的对称轴也存有相同的对称中心d．既并无相同的对称中心也并无相同的对称轴7．（5分后）未知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能将就是（）a．f（x）=x3b．f（x）=+xc．f（x）=3xd．f（x）=3+x38．（5分后）设f（x）就是奇函数，对任一的实数x、y，存有f（x+y）=f（x）+f （y），当x＞0时，f（x）＜0，则f（x）在区间[a，b]上（）a．有最大值f（a）b．有最小值f（a）c．有最大值d．存有最小值9．（5分）已知函教f（x）=asin（ωx+φ）（a＞0，ω＞0）的图象与直线y=b（0＜b＜a）的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则f（x）的单调递增区间是（）a．[6kπ，6kπ+3]，k∈zb．[6k3，6k]，k∈zc．[6k，6k+3]，k∈zd．[6kπ3，6kπ]，k∈z1页10．（5分）若不等式lg≥（x1）lg3对任意x∈（∞，1）恒成立，则a的取值范围就是（）a．（∞，0]b．[1，+∞）c．[0，+∞）d．（∞，1]11．（5分后）设f（x）就是定义在r上的函数，其Auron函数为f′（x），若f（x）+f′（x）＞1，f（0）=2021，则xx不等式ef（x）＞e+2021（其中e为自然对数的底数）的边值问题为（）a．（2021，+∞）b．（∞，0）∪（2021，+∞）c．（∞，0）∪（0，+∞）d．（0，+∞）12．（5分后）设立函数f（x）=sin，若存有f（x）的极值点x0满足用户x0+[f（x0）]＜m，则m的值域222范围就是（）a．（∞，6）∪（6，+∞）b．（∞，4）∪（4，+∞）c．（∞，2）∪（2，+∞）d．（∞，1）∪（1，+∞）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分后）若非零向量，满足用户|+|=||=2||，则向量与+的夹角为．14．（5分后）设立函数y=f（x）在r上加定义，对于任一取值的正数p，定义函数2，则称函数fp（x）为f（x）的“p界函数”，若给定函数f（x）=x2x1，p=2，则下列结论不成立的是：．①fp[f（0）]=f[fp（0）]；②fp[f（1）]=f[fp（1）]；③fp[fp （2）]=f[f（2）]；④fp[fp（3）]=f[f（3）]．15．（5分后）未知f（x）就是定义在r上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f （x）=|x2x+|，若函数y=f（x）a在区间[3，4]上加10个零点（互不相同），则实数a的值域范围就是．16．（5分后）未知a，b，c分别为△abc的三个内角a，b，c的对边，a=2且（2+b）（sinasinb）=（cb）sinc，则△abc面积的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）2217．（10分）已知a∈r，命题p：“?x∈[1，2]，xa≥0”，命题q：“?x∈r，x+2ax+2a=0”．（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（2）若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，谋实数a的值域范围．18．（12分后）在△abc中，内角a，b，c面元的边分别为a，b，c，未知sinc+sin （ba）=sin2a，a≠．2（ⅰ）求角a的取值范围；（ⅱ）若a=1，△abc的面积s=x，c为钝角，求角a的大小．19．（12分后）未知函数f（x）=e+ax1（e为自然对数的底数）．（ⅰ）当a=1时，谋过点（1，f（1））处的切线与坐标轴围起的三角形的面积；2（ⅱ）若f（x）≥x在（0，1）上恒设立，谋实数a的值域范围．20．（12分）已知函数f（x）满足2f（x+2）f（x）=0，当x∈（0，2）时，f（x）=lnx+ax当x∈（4，2）时，f（x）的最大值为4．（ⅰ）求实数a的值；2页，（ⅱ）设b≠0，函数，x∈（1，2）．若对任意的x1∈（1，2），总存在x2∈（1，2），并使f（x1）g（x2）=0，谋实数b的值域范围．21．（12分后）未知函数f（x）=x+3+ax+b，g（x）=x+3+lnx+b，（a，b为常数）．（ⅰ）若g（x）在x=1处的切线过点（0，5），求b的值；（ⅱ）设立函数f（x）的导函数为f′（x），若关于x的方程f（x）x=xf′（x）存有唯一求解，谋实数b的值域范围；（ⅲ）令f（x）=f（x）g（x），若函数f（x）存在极值，且所有极值之和大于5+ln2，求实数a的取值范围．22．（12分后）未知函数，（ⅰ）求函数f（x）的单调区间，并推论与否存有极值；（ⅱ）若对任意的x＞1，恒有ln（x1）+k+1≤kx成立，求k的取值范围；（ⅲ）证明：（n∈n+，n≥2）．3页2021-2021学年河北省衡水中学高三（上）一调数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分后，共60分后.在每小题得出的四个选项中，只有一项就是合乎题目建议的.21．（5分后）（2021?重庆三模）子集a={x|lnx≥0}，b={x|x＜16}，则a∩b=（）a．（1，4）b．[1，4）c．[1，+∞）d．[e，4）【分析】求出a与b中不等式的解集确定出a与b，找出两集合的交集即可．【解答】解：由a中lnx≥0=ln1，得到x≥1，即a=[1，+∞）；由b中的不等式解得：4＜x＜4，即b=（4，4），则a∩b=[1，4）．故选：b．【评测】此题考查了关连及其运算，熟练掌握关连的定义就是求解本题的关键．2．（5分）（2021?东城区二模）设a=log0.80.9，b=log1.10.9，c=1.1，则a，b，c 的大小关系是c（）a．a＜b＜cb．a＜c＜bc．b＜a＜cd．c＜a＜b【分析】利用指数与对数函数的单调性即可得出．0.9【解答】解：∵0＜a=log0.80.9＜1，b=log1.10.9＜0，c=1.1＞1，∴b＜a＜c．故选：c．【评测】本题考查了指数与对数函数的单调性，属基础题．3．（5分）（2021?南昌校级二模）已知a＞1，，则f（x）＜1设立的一个充份不必要条件就是0.9（）a．0＜x＜1b．1＜x＜0c．2＜x＜0d．2＜x＜1【分析】谋出来不等式的边值问题即为不等式设立的充要条件；据当子集a?子集b且b?a时，a就是b的充份不必要条件．【解答】解：f（x）＜1成立的充要条件是∵a＞12∴x+2x＜0∴2＜x＜0∴f（x）＜1成立的一个充分不必要条件是1＜x＜0故选项为b【评测】本题考查不等式的边值问题就是不等式的充要条件；据子集之间的关系推论条件关系．4．（5分）（2021春?玉溪校级期末）已知函数22，则f（f（f（1）））的值等同于（）a．π1b．π+1c．πd．0【分析】根据分段函数的定义域，算出f（1）的值，再根据分段函数的定义域展开代入解；4页【答疑】求解：函数2，f（1）=π+1＞0，∴f（f（1））=0，可得f（0）=π，∴f（f（f（1）））=π，故选c；【评测】此题主要考查函数值的解，就是一道基础题；5．（5分）（2021春?进贤县校级月考）曲线a．4b．2c．1d．3上的积分可求出答案．上的积分，与x轴所围站图形的面积为（）【分析】根据面积等于cosx的绝对值在0≤x≤【解答】解：面积等于cosx的绝对值在0≤x≤即s==3=3=3，故选：d．【评测】本题主要考查余弦函数的图象和用定分数谋面积的问题．属于基础题6．（5分）（2021?开封模拟）函数y=sin（2x）的图象与函数y=cos（x）的图象（）a．存有相同的对称轴但并无相同的对称中心b．存有相同的对称中心但并无相同的对称轴c．既有相同的对称轴也存有相同的对称中心d．既并无相同的对称中心也并无相同的对称轴【分析】分别求出2函数的对称轴和对称中心即可得解．【解答】解：由2xz．由x=kπ，k∈z，解得函数y=cos（x）的对称轴为：x=kπ，k∈z．=k，k∈z，解得函数y=sin（2x）的对称轴为：x=+，k∈k=0时，二者存有相同的对称轴．由2x由x=kπ，k∈z，可解得函数y=sin（2x=k）的对称中心为：（）的对称中心为：（kπ+，0），k∈z．，0），k∈z．，k∈z，可解得函数y=cos（x故2函数没相同的对称中心．故选：a．【评测】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属基本知识的考查．7．（5分后）（2021?厦门演示）未知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能将就是（）5页。
题组层级快练(七十二)1．2020年2月，为确保食品安全，北京市质检部门检查一箱装有1 000袋方便面的质量，抽查总量的2%.在这个问题中下列说法正确的是( ) A ．总体是指这箱1 000袋方便面 B ．个体是一袋方便面 C ．样本是按2%抽取的20袋方便面 D ．样本容量为20答案 D2.去年年底，甲、乙、丙、丁四个县人口总数为m 万，各县人口占比如图，其中丙县人口总数为70万，则去年年底甲县的人口总数为( )A ．162万B ．176万C ．182万D ．186万答案 C解析 由题意，得＝20%，所以m ＝350.所以去年年底甲县的人口总数为m·52%＝70m350×52%＝182(万)．故选C.3．(2020·西藏拉萨模拟)“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标．“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高．如图是2018年9月到2019年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图．根据该走势图，下列结论正确的是( )A ．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B ．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱C ．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的方差小于11月份的方差D ．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于1月份的平均值 答案 D解析 A 错误，并无周期变化；B 错误，并不是不断减弱，中间有增强；C 错误，10月的波动大于11月份，所以10月份的方差要大；D 正确，由图可知，12月起到1月份有下降的趋势，所以12月份的平均值比1月份的平均值大．故选D.4．(2020·贵州遵义联考)某校高三年级有1 000名学生，随机编号为0001，0002，…，1000.现按系统抽样方法，从中抽取200人，若0122号被抽到了，则下列编号也被抽到的是( ) A ．0927 B ．0834 C ．0726 D ．0116答案 A解析 系统抽样就是等距抽样，被抽到的编号满足0122＋5k ，k ∈Z .因为0927＝0122＋5×161，故选A.5．(2020·四川资阳)某班有男生36人，女生18人，用分层抽样的方法从该班全体学生中抽取一个容量为9的样本，则抽取的女生人数为( ) A ．6 B ．4 C ．3 D ．2 答案 C 解析 ×18＝3.故选C. 936＋186．从2 019名学生中选取50名学生参与一项调查，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2 019人中剔除19人，剩下的2 000人再按系统抽样的方法抽取，则每人入选的概率( )A ．不全相等B ．均不相等C ．都相等，且为D ．都相等，且为502 019140答案 C7．(2020·山东济宁一模)某学校从编号依次为01，02，…，90的90名学生中用系统抽样(等间距抽样)的方法抽取一个样本，已知样本中相邻的两个组的编号分别为14，23，则该样本中来自第四组的学生的编号为( ) A ．32 B ．33 C ．41 D ．42 答案 A解析 本题考查系统抽样．由题意可知相邻的两个组的编号分别为14，23，所以样本间隔为23－14＝9，所以第一组的编号为14－9＝5，所以第四组的编号为5＋3×9＝32.故选A. 8．(2020·贵州凯里一中期末)利用系统抽样法从编号分别为1，2，3，…，80的80件不同产品中抽出一个容量为16的样本，如果抽出的产品中有一件产品的编号为13，则抽到产品的最大编号为( )A ．73B ．78C ．77D ．76答案 B解析 样本的分段间隔为＝5，所以13号在第三组，则最大的编号为13＋(16－3)×5＝801678.故选B.9．(2020·河北武邑中学周考)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )A ．200，20B ．100，20C ．200，10D ．100，10答案 A解析 在扇形统计图中，根据抽取的比例计算样本容量，根据条形统计图计算抽取的高中生近视人数．该地区中小学生总人数为3 500＋2 000＋4 500＝10 000，则样本容量为10 000×2%＝200，其中抽取的高中生近视人数为2 000×2%×50%＝20，故选A.10．(2020·宜昌一中模拟)某学校为了解本校学生掌握社会主义核心价值观的情况，用系统抽样的方法从全校2 400名学生中抽取30人进行调查．现将2 400名学生随机从1～2 400编号，按编号顺序平均分成30组(1～80号，81～160号，…，2 321～2 400号)，若第3组与第4组抽出的号码之和为432，则第6组抽到的号码是( ) A ．416 B ．432 C ．448 D ．464 答案 A解析 样本间隔为2 400÷30＝80.设首个号码为x ，则第3、4个号码分别为x ＋160，x ＋240，则x ＋160＋x ＋240＝2x ＋400＝432，得2x ＝32，x ＝16，则第6组抽到的号码为16＋80×5＝16＋400＝416.故选A.11．(2019·课标全国Ⅰ)某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是( ) A ．8号学生B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生答案 C解析 由系统抽样可知第一组学生的编号为1～10，第二组学生的编号为11～20，…，最后一组学生的编号为991～1 000.设第一组取到的学生编号为x ，则第二组取到的学生编号为x ＋10，以此类推，所取的学生编号为10的倍数加x.因为46号学生被抽到，所以x ＝6.所以616号学生被抽到．故选C.12．某工厂的一、二、三车间在今年11月份共生产了3 600双皮靴，在出厂前检查这批产品的质量．决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等差数列，则二车间生产的产品数为( ) A ．800 B ．1 000 C ．1 200 D ．1 500答案 C解析 因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c ，所以从二车间抽取的产品数占抽取产品总数的，根据分层抽样的性质可知，二车间生产的产品数占产品总数的，即3 600×＝1131313200.13．(2015·湖南)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6答案 B解析 由茎叶图可知，在区间[139，151]的人数为20，再由系统抽样的性质可知人数为20×＝4. 73514．(2020·广东中山模拟)某班运动队由足球队员18人、篮球队员12人、乒乓球队员6人组成(每人只参加一项)，现从这些运动员中抽取一个容量为n 的样本，若分别采用系统抽样和分层抽样法，则都不用剔除个体；当样本容量为n ＋1时，若采用系统抽样法，则需要剔除1个个体，那么样本容量n 为________． 答案 6解析 n 为18＋12＋6＝36的正约数，因为18∶12∶6＝3∶2∶1，所以n 为6的倍数，因此n ＝6，12，18，24，30，36.因为当样本容量为n ＋1时，若采用系统抽样法，则需要剔除1个个体，所以n ＋1为35的正约数，因此n ＝6.15．(2020·衡水中学调研卷)衡水中学高三(2)班现有64名学生，随机编号为0，1，2，…，63，依编号顺序平均分成8组，组号依次为1，2，3，…，8.现用系统抽样方法抽取一个容量为8的样本，若在第一组中随机抽取的号码为5，则在第6组中抽取的号码为________． 答案 45 解析 分组间隔为＝8，∵在第一组中随机抽取的号码为5，∴在第6组中抽取的号码为5648＋5×8＝45.16．(2020·衡水中学调研卷)我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百零八人，问北乡人数几何？”依分层抽样的方法，则北乡共有________人． 答案 8 100解析 设北乡有x 人，则＝，解得x ＝8 100.108x 300－1087 488＋6 91217．某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示： 文艺节目 新闻节目 总计 20至40岁 40 18 58 大于40岁 15 27 42 总计5545100(1)由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关？(2)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应该抽取几名？ (3)在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率． 答案 (1)有关 (2)3名 (3)35解析 (1)因为在20至40岁的58名观众中有18名观众收看新闻节目，而大于40岁的42名观众中有27名观众收看新闻节目．所以，经直观分析，收看新闻节目的观众与年龄是有关的．(2)应抽取大于40岁的观众×5＝×5＝3(名)． 274535(3)用分层抽样方法抽取的5名观众中，20至40岁有2名(记为Y 1，Y 2)，大于40岁有3名(记为A 1，A 2，A 3).5名观众中任取2名，共有10种不同取法：Y 1Y 2，Y 1A 1，Y 1A 2，Y 1A 3，Y 2A 1，Y 2A 2，Y 2A 3，A 1A 2，A 1A 3，A 2A 3.设A 表示随机事件“5名观众中任取2名，恰有1名观众的年龄为20至40岁”，则A 中的6 103 5基本事件有6种：Y1A1，Y1A2，Y1A3，Y2A1，Y2A2，Y2A3，故所求概率为P(A)＝＝.。
专题层级快练(六十九)1．已知a ，b 满足2a ＋3b ＝1，则直线4x ＋ay －2b ＝0必过的定点为( ) A.⎝⎛⎭⎫43，16 B.⎝⎛⎭⎫43，－16 C.⎝⎛⎭⎫16，43 D.⎝⎛⎭⎫16，－43 答案 D解析 ∵2a ＋3b ＝1，又由4x ＋ay －2b ＝0， 得－y 4x a ＋12x b ＝1，∴⎩⎨⎧－y 4x ＝2，12x ＝3，∴⎩⎨⎧x ＝16，y ＝－43.选D.2．垂直于x 轴的直线交双曲线x 2－2y 2＝2于不同的两点M ，N ，A 1，A 2分别为双曲线的左、右顶点，设直线A 1M 与A 2N 交于点P(x 0，y 0)，则x 02＋2y 02的值为( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2答案 D解析 设M(x 1，y 1)，则N(x 1，－y 1)，y 1≠0，∵A 1(－2，0)，A 2(2，0)，∴直线A 1M 的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)①，直线A 2N 的方程为y ＝－y 1x 1－2(x －2)②，由①×②，得y 2＝－y 12x 12－2(x 2－2)．∵x 12－2y 12＝2，∴y 2＝－12(x 2－2)，即x 2＋2y 2＝2.∵P(x 0，y 0)是直线A 1M 与A 2N的交点，∴x 02＋2y 02＝2.3．一动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则此动圆必过定点( ) A ．(4，0) B ．(2，0) C ．(0，2) D ．(0，0) 答案 B解析 由抛物线y 2＝8x ，得准线方程为x ＝－p2＝－2，焦点坐标为(2，0)．因为动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，由抛物线的定义可知动圆必经过定点(2，0)．故选B.4．(2020·湖北八校第二次模拟)已知抛物线y 2＝2px(p ＞0)的焦点为F ，过F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点(点A 在第一象限)，若直线l 的倾斜角为2π3，则|AF||BF|等于( )A.13 B.25 C.12 D.23答案 A解析 由题意得F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，直线l 的斜率k ＝tan 2π3＝－3，∴直线l 的方程为y ＝－3⎝⎛⎭⎫x －p 2，即x ＝－33y ＋p 2，代入抛物线方程得y 2＋233py －p 2＝0，解得y ＝33p 或y ＝－3p ，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由点A 在第一象限可知y 1＝33p ，则y 2＝－3p ，∴|AF||BF|＝|y 1||y 2|＝13.故选A. 5．(2020·河北石家庄二模)倾斜角为π4的直线经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F ，与椭圆交于A ，B 两点，且AF →＝2FB →，则该椭圆的离心率为( ) A.32 B.23 C.22D.33答案 B解析 由题可知，直线的方程为y ＝x －c ，与椭圆方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝x －c ，∴(b 2＋a 2)y 2＋2b 2cy－b 4＝0，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2b 2c a 2＋b 2，y 1y 2＝－b 4a 2＋b 2，又AF →＝2FB →，∴(c －x 1，－y 1)＝2(x 2－c ，y 2)，∴－y 1＝2y 2，可得⎩⎪⎨⎪⎧－y 2＝－2b 2c a 2＋b2，－2y 22＝－b4a 2＋b 2. ∴12＝4c 2a 2＋b 2，又b 2＝a 2－c 2，∴e ＝23.故选B. 6．(2020·江西新余二模)斜率为k 的直线l 过抛物线y 2＝2px(p ＞0)的焦点F ，交抛物线于A ，B 两点，点P(x 0，y 0)为AB 中点，作OQ ⊥AB ，垂足为Q ，则下列结论中不正确的是( )A ．ky 0为定值B.OA →·OB →为定值C ．点P 的轨迹为圆的一部分D ．点Q 的轨迹为圆的一部分答案 C解析 由题意知抛物线的焦点为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设直线l 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p2(k ≠0)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去y ，整理得k 2x 2－(k 2p ＋2p)x ＋k 2p 24＝0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝k 2p ＋2p k 2，x 1x 2＝p 24.则x 0＝x 1＋x 22＝k 2p ＋2p2k 2，所以y 1＋y 2＝2pk ，y 1y 2＝－p 2，y 0＝y 1＋y 22＝p k. A 中，ky 0＝k·pk＝p ，为定值，故A 正确．B 中，OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝p 24－p 2＝－3p 24，为定值，故B 正确．C 中，由⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝k 2p ＋2p 2k 2，y 0＝p k ，消去k ，得x 0＝p 2＋y 02p，故点P 的轨迹不是圆的一部分，所以C 错误．D 中，由于OQ ⊥AB ，直线AB 过定点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，所以点Q 在以OF 为直径的圆上．故D 正确．7．过抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，则1|AF|＋1|BF|＝________． 答案 2p8．已知曲线C ：y 2＝2px(p>0)．O 为原点，A ，B 是C 上两个不同点，且OA ⊥OB ，则直线AB 过定点________． 答案 (2p ，0)9．已知A ，B 是抛物线C ：y 2＝2px(p>0)过焦点的弦两个端点，分别过A ，B 作C 的切线l 1，l 2，则l 1与l 2的交点在定直线l 上，那么l 的方程为________． 答案 x ＝－p210．(2017·课标全国Ⅰ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，四点P 1(1，1)，P 2(0，1)，P 3⎝⎛⎭⎫－1，32，P 4⎝⎛⎭⎫1，32中恰好有三点在椭圆C 上． (1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点． 答案 (1)x 24＋y 2＝1 (2)略解析 (1)由于P 3，P 4两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过P 3，P 4两点．又由1a 2＋1b 2>1a2＋34b 2知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上，因此⎩⎨⎧1b 2＝1，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1. 故C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2.如果l 与x 轴垂直，设l ：x ＝t ，由题设知t ≠0，且|t|<2，可得A ，B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，4－t 22，⎝⎛⎭⎪⎫t ，－4－t 22.则k 1＋k 2＝4－t 2－22t－4－t 2＋22t＝－1，得t ＝2，不符合题设． 从而可设l ：y ＝kx ＋m(m ≠1)．将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.而k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝2kx 1x 2＋（m －1）（x 1＋x 2）x 1x 2.由题设知k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0， 即(2k ＋1)·4m 2－44k 2＋1＋(m －1)·－8km 4k 2＋1＝0，解得k ＝－m ＋12.当且仅当m>－1时，Δ>0，于是l ：y ＝－m ＋12x ＋m ，即y ＋1＝－m ＋12(x －2)，所以l 过定点(2，－1)．11．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为e ＝32，其左、右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|＝23，设点M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)是椭圆上不同两点，且这两点与坐标原点的连线的斜率之积为－14.(1)求椭圆C 的方程；(2)求证：x 12＋x 22为定值，并求该定值． 答案 (1)x 24＋y 2＝1 (2)4解析 (1)依题意，c ＝3，而e ＝32，∴a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1，则椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：由于y 1x 1·y 2x 2＝－14，则x 1x 2＝－4y 1y 2，x 12x 22＝16y 12y 22.而x 124＋y 12＝1，x 224＋y 22＝1，则1－x 124＝y 12，1－x 224＝y 22， ∴⎝⎛⎭⎫1－x 124⎝⎛⎭⎫1－x 224＝y 12y 22，则(4－x 12)(4－x 22)＝16y 12y 22， (4－x 12)(4－x 22)＝x 12x 22，展开，得x 12＋x 22＝4为定值．12．过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 且斜率为k 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点． (1)若|AB|＝8，求直线l 的方程；(2)若点A 关于x 轴的对称点为D ，求证：直线BD 过定点，并求出该定点的坐标． 答案 (1)y ＝x －1或y ＝－x ＋1 (2)证明略，定点为(－1，0)解析 (1)由题知，抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1，0)，直线l 的斜率为k ，故可设直线l 的方程为y ＝k(x －1)，直线l 与抛物线C 的交点分别为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k （x －1），得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. 由题意知k ≠0，且Δ＝[－(2k 2＋4)]2－4k 2·k 2＝16(k 2＋1)>0. 所以x 1＋x 2＝2k 2＋4k2，x 1x 2＝1.由抛物线的定义，知|AB|＝x 1＋x 2＋2＝8，所以x 1＋x 2＝6，所以2k 2＋4k 2＝6，即k 2＝1，解得k ＝±1，所以直线l 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1.(2)证明：因为点A 关于x 轴的对称点为D ，所以D(x 1，－y 1)， 则直线BD 的斜率为k BD ＝y 2＋y 1x 2－x 1＝y 2＋y 1y 224－y 124＝4y 2－y 1， 所以直线BD 的方程为y ＋y 1＝4y 2－y 1(x －x 1)，即(y 2－y 1)y ＋y 2y 1－y 12＝4x －4x 1. 因为y 2＝4x ，x 1x 2＝1，所以(y 1y 2)2＝16x 1x 2＝16，即y 1y 2＝－4(因为y 1，y 2异号)， 所以(y 2－y 1)y －4－y 12＝4x －4×y 124，所以直线BD 的方程为4(x ＋1)＋(y 1－y 2)y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝0，y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0，所以直线BD 过定点(－1，0)．。
题组层级快练(七)1．(2020·重庆一中月考)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上是减函数的是( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝lnx 2 C ．y ＝D ．y ＝－x 2cosxx 答案 D解析 由函数的奇偶性排除A 、C ，由函数的单调性排除B ，由y ＝－x 2的图象可知当x>0时，此函数为减函数，又该函数为偶函数．故选D.2．(2020·唐山市高三测试)设函数f(x)＝x(e x ＋e －x )，则f(x)( ) A ．是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增 B ．是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增 C ．是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减 D ．是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减 答案 A解析 方法一：由条件可知，f(－x)＝(－x)(e －x ＋e x )＝－x(e x ＋e －x )＝－f(x)，故f(x)为奇函数．f ′(x)＝e x ＋e －x ＋x(e x －e －x )，当x>0时，e x >e －x ，所以x(e x －e －x )>0，又e x ＋e －x >0，所以f ′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．故选A.方法二：根据题意知f(－1)＝－f(1)，所以排除B 、D.易知f(1)<f(2)，所以排除C.故选A. 3．(2020·浙江宁波十校联考)函数f(x)＝x 3＋sinx ＋1(x ∈R )．若f(m)＝2，则f(－m)的值为( ) A ．3 B ．0 C ．－1 D ．－2 答案 B解析 把f(x)＝x 3＋sinx ＋1变形为f(x)－1＝x 3＋sinx.令g(x)＝f(x)－1＝x 3＋sinx ，则g(x)为奇函数，有g(－m)＝－g(m)，所以f(－m)－1＝－[f(m)－1]，得到f(－m)＝－(2－1)＋1＝0. 4．(2020·南昌市联考)函数f(x)＝的图象( )9x ＋13x A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于坐标原点对称 D ．关于直线y ＝x 对称 答案 B解析 因为f(x)＝＝3x ＋3－x ，易知f(x)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于y 轴对称．9x ＋13x 5．(2020·皖南八校联考)设f(x)是定义在R 上周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f(x)＝x 2－x ，则f ＝( )(－52)A ．－B ．－1412C. D. 1412答案 C解析 因为f(x)是定义在R 上周期为2的奇函数，所以f ＝－f ＝－f .又当0≤x ≤1(－52)(52)(12)时，f(x)＝x 2－x ，所以f＝－＝－，则f ＝. (12)(12)2 1214(－52)146．已知f(x)为奇函数，当x>0，f(x)＝x(1＋x)，那么x<0，f(x)等于( ) A ．－x(1－x) B ．x(1－x) C ．－x(1＋x) D ．x(1＋x)答案 B解析 当x<0时，则－x>0，∴f(－x)＝(－x)(1－x)．又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝x(1－x)． 7．函数f(x)是定义域为R 的偶函数，又是以2为周期的周期函数，若f(x)在[－1，0]上是减函数，则f(x)在[2，3]上是( ) A ．增函数 B ．减函数C ．先增后减的函数D ．先减后增的函数 答案 A8．(2019·山东临沭一中月考)已知定义在R 上的函数f(x)的满足f(－x)＝－f(x)，f(3－x)＝f(x)，则f(2 019)＝( ) A ．－3 B ．0 C ．1 D ．3 答案 B解析 由题意得f(x)为奇函数，f(0)＝0，用－x 换x ，可将f(x ＋3)＝f(－x)＝－f(x)，∴f(x ＋6)＝f(x ＋3)＝f(x)，∴T ＝6，∴f(2 019)＝f(336×6＋3)＝f(3)． ∵f(3－x)＝f(x)，∴f(3)＝f(0)＝0.9．若定义在R 上的奇函数f(x)满足对任意的x ∈R ，都有f(x ＋2)＝－f(x)成立，且f(1)＝8，则f(2 019)，f(2 020)，f(2 021)的大小关系是( ) A ．f(2 019)<f(2 020)<f(2 021) B ．f(2 019)>f(2 020)>f(2 021) C ．f(2 020)>f(2 019)>f(2 021) D ．f(2 020)<f(2 021)<f(2 019) 答案 A解析 因为定义在R 上的奇函数f(x)满足对任意的x ∈R ，都有f(x ＋2)＝－f(x)成立，所以f(x ＋4)＝f(x)，即函数f(x)的周期为4，且f(0)＝0，f(2)＝－f(0)＝0，f(3)＝－f(1)＝－8，所以f(2 019)＝f(4×504＋3)＝f(3)＝－8，f(2 020)＝f(4×505)＝f(0)＝0，f(2 021)＝f(4×505＋1)＝f(1)＝8，即f(2 019)<f(2 020)<f(2 021)．10．(2020·安徽蚌埠质检)函数y ＝f(x)是R 上的奇函数，满足f(3＋x)＝f(3－x)，当x ∈(0，3)时，f(x)＝2x ，当x ∈(－6，－3)时，f(x)等于( ) A ．2x ＋6 B ．－2x －6 C ．2x －6 D ．－2x ＋6答案 D解析 由函数f(x)是奇函数，得f(－x)＝－f(x)，当x ∈(－6，－3)时，x ＋6∈(0，3)，由f(3＋x)＝f(3－x)，得f(x)＝－f(－x)＝－f[3－(3＋x)]＝－f[3＋(3＋x)]＝－f(6＋x)＝－26＋x . 11．(2020·长春市质量监测)已知f(x)是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x 3－x ，则函数y ＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x 轴的交点的个数为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 答案 B解析 因为f(x)是最小正周期为2的周期函数，且0≤x<2时，f(x)＝x 3－x ＝x(x －1)(x ＋1)， 所以当0≤x<2时，f(x)＝0有两个根，即x 1＝0，x 2＝1.由周期函数的性质知，当2≤x<4时，f(x)＝0有两个根，即x 3＝2，x 4＝3；当4≤x ≤6时，f(x)＝0有三个根，即x 5＝4，x 6＝5，x 7＝6，故f(x)的图象在区间[0，6]上与x 轴的交点个数为7.12．(2020·福州市模拟)定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x ＋2)＝－f(x)，且在[0，2)上单调递减，则下列结论正确的是( ) A ．0<f(1)<f(3) B ．f(3)<0<f(1) C ．f(1)<0<f(3) D ．f(3)<f(1)<0 答案 C解析 由函数f(x)是定义在R 上的奇函数，得f(0)＝0.由f(x ＋2)＝－f(x)，得f(x ＋4)＝－f(x ＋2)＝f(x)，故函数f(x)是以4为周期的周期函数， 所以f(3)＝f(－1)．又f(x)在[0，2)上单调递减，所以函数f(x)在(－2，2)上单调递减，所以f(－1)>f(0)>f(1)， 即f(1)<0<f(3)． 13．如果函数g(x)＝是奇函数，那么f(x)＝________．{2x －3，x >0，f （x ），x <0)答案 2x ＋3解析 令x<0，所以－x>0，g(－x)＝－2x －3.因为g(x)是奇函数，所以g(x)＝－g(－x)＝2x ＋3，所以f(x)＝2x ＋3.14．已知y ＝f(x)＋x 2是奇函数，且f(1)＝1.若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝________．答案 －1解析 令H(x)＝f(x)＋x 2，则H(－1)＋H(1)＝f(－1)＋1＋f(1)＋1＝0，∴f(－1)＝－3，∴g(－1)＝f(－1)＋2＝－1.15．(1)若f(x)＝＋a 是奇函数，则a ＝________．12x －1(2)(2019·成都一诊)已知函数f(x)＝是奇函数，则实数a 的值为________． x ＋2－ax 4＋3(3)(2015·课标全国Ⅰ)若函数f(x)＝xln(x ＋)为偶函数，则a ＝________． a ＋x 2(4)若函数f(x)＝x 2－|x ＋a|为偶函数，则实数a ＝________． 答案 (1) (2)2 (3)1 (4)012解析 (1)依题意得f(1)＋f(－1)＝0，由此得＋a ＋＋a ＝0，解得a ＝. 121－112－1－112(2)方法一：因为函数f(x)为奇函数，所以f(0)＝0，即2－a ＝0，解得a ＝2.方法二：因为函数f(x)为奇函数，所以f(x)＋f(－x)＝0，即＋＝0，即x ＋x ＋2－a x 4＋3－x ＋2－ax 4＋32－a －x ＋2－a ＝0，解得a ＝2.(3)由已知得f(－x)＝f(x)，即－xln(－x)＝xln(x ＋)，则ln(x ＋)＋ln(a ＋x 2a ＋x 2a ＋x 2a ＋x 2－x)＝0，∴ln[()2－x 2]＝0，得lna ＝0，∴a ＝1.a ＋x 2(4)∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，即|x －a|＝|x ＋a|，两边平方得4ax ＝0.∴a ＝0.故填0. 16．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(1)＝0，则不等式x[f(x)－f(－x)]<0的解集为________．答案 {x|－1<x<0或0<x<1}解析 ∵f(－x)＝－f(x)，∴不等式x[f(x)－f(－x)]<0可化简为xf(x)<0，又f(1)＝0，∴f(－1)＝0，∵奇函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，从而函数f(x)的大致图象如图所示，则不等式x[f(x)－f(－x)]<0的解集为{x|－1<x<0或0<x<1}．17．若f(x)是定义在(－1，1)上的奇函数，且x ∈[0，1)时f(x)为增函数，求不等式f(x)＋f (x －12)＜0的解集． 答案 {x|－12＜x ＜14}解析 ∵f(x)为奇函数，且在[0，1)上为增函数，∴f(x)在(－1，0)上也是增函数． ∴f(x)在(－1，1)上为增函数．(x－12)(x－12)(12－x){－1＜x＜1，－1＜12－x＜1，x＜12－x)1214 f(x)＋f＜0⇔f(x)＜－f＝f⇔⇔－＜x＜.(x－12)1214∴不等式f(x)＋f＜0的解集为{x|－＜x＜}．18．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝－f(x)，且当x∈[0，2)时，f(x)＝log2(x＋1)，求：(1)f(0)与f(2)的值；(2)f(3)的值；(3)f(2 020)＋f(－2 021)的值．答案 (1)f(0)＝0，f(2)＝0 (2)f(3)＝－1 (3)1解析 (2)f(3)＝f(1＋2)＝－f(1)＝－log2(1＋1)＝－1.(3)依题意得，x≥0时，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即x≥0时，f(x)是以4为周期的函数．因此，f(2 020)＋f(－2 021)＝f(2 020)＋f(2 021)＝f(0)＋f(1)．而f(0)＝log2(0＋1)＝0，f(1)＝log2(1＋1)＝1，故f(2 020)＋f(－2 021)＝1.。
题组层级快练(二十三)1．(2019·北京会考卷改编)cos 2 020π3＝( )A ．－12B.12 C ．－32D.32答案 A解析 cos 2 020π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫673π＋π3＝－cos π3＝－12.2．已知tan(α－π)＝34，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2等于( )A.45 B ．－45C.35 D ．－35答案 B解析 ∵tan(α－π)＝－tan(π－α)＝tan α，∴tan α＝34.又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，∴cos α＝－45，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cos α＝－45.3．(2020·佛山质检)已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且cos α＝－513，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π2cos （α＋π）等于( )A.1213 B ．－1213C.1312 D ．－1312答案 C解析 由已知sin α＝1－cos 2α＝1213，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2cos （α＋π）＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2·cos （α＋π）＝cos α（－sin α）·（－cos α）＝1sin α＝1312.4．(2019·湖北四校第二次联考)已知角α是第二象限角，且满足sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α＋3cos(α－π)＝1，则tan(π＋α)＝( ) A. 3 B ．－ 3 C ．－33D ．－1答案 B解析 方法一：由sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2＋α＋3cos(α－π)＝1，得cos α－3cos α＝1，∴cos α＝－12，∵角α是第二象限角，∴sin α＝32，∴tan(π＋α)＝tan α＝sin αcos α＝－3，故选B. 方法二：由sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2＋α＋3cos(α－π)＝1，得cos α－3cos α＝1，∴cos α＝－12，∵角α是第二象限角，∴可取α＝2π3，∴tan(π＋α)＝tan 2π3＝－3，故选B.5．(2020·杭州学军中学模拟)已知cos31°＝a ，则sin239°·tan149°的值为( ) A.1－a 2aB.1－a 2C.a 2－1aD ．－1－a 2答案 B解析 sin239°·tan149°＝sin(270°－31°)·tan(180°－31°)＝－cos31°·(－tan31°)＝sin31°＝1－a 2.6．(2020·合肥市一检)已知cos α－sin α＝15，则cos(2α－π2)＝( )A ．－2425B ．－45C.2425D.45 答案 C解析 由cos α－sin α＝15，得1－sin2α＝125，所以sin2α＝2425，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π2＝sin2α＝2425，故选C.7.1＋2sin （π－3）cos （π＋3）化简的结果是( ) A ．sin3－cos3 B ．cos3－sin3 C ．±(sin3－cos3) D ．以上都不对 答案 A解析 sin(π－3)＝sin3，cos(π＋3)＝－cos3， ∴原式＝1－2sin3·cos3＝（sin3－cos3）2＝|sin3－cos3|.∵π2<3<π，∴sin3>0，cos3<0. ∴原式＝sin3－cos3，选A.8．(2020·福州市质检)已知sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝12，且θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝( )A ．0 B.12 C ．1 D.32答案 C解析 由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝12，且θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2得，θ＝π3，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝cos0＝1，故选C.9．(2019·天津西青区)已知sin α＋cos α＝－2，则tan α＋1tan α＝( )A ．2 B.12 C ．－2 D ．－12答案 A 解析由已知，可得(sin α＋cos α)2＝2，∴sin αcos α＝12，tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝112＝2.故选A. 10．(2020·新疆兵团一中摸底)已知2sin θ＝1＋cos θ，则tan θ＝( ) A ．－43或0B.43或0 C ．－43D.43答案 B解析 方法一：将2sin θ＝1＋cos θ两边平方并整理可得5cos 2θ＋2cos θ－3＝0，解得cos θ＝－1或35.当cos θ＝－1时，θ＝2k π＋π，k ∈Z ，得tan θ＝0；当cos θ＝35时，sin θ＝12(1＋cosθ)＝45，得tan θ＝43.故选B.方法二：由已知4sin θ2cos θ2＝2cos 2θ2，∴cos θ2＝0或tan θ2＝12.由cos θ2＝0可得sin θ＝0，从而tanθ＝0.由tan θ2＝12可得tan θ＝2tanθ21－tan 2θ2＝43，故选B. 11．(2020·福建泉州模拟)已知1＋sin αcos α＝－12，则cos αsin α－1的值是( )A.12 B ．－12C ．2D ．－2答案 A解析 因为1－sin 2α＝cos 2α，cos α≠0，1－sin α≠0，所以(1＋sin α)(1－sin α)＝cos αcos α，所以1＋sin αcos α＝cos α1－sin α，所以cos α1－sin α＝－12，即cos αsin α－1＝12.故选A.12．化简1＋sin α＋cos α＋2sin αcos α1＋sin α＋cos α的结果是( )A ．2sin αB ．2cos αC ．sin α＋cos αD ．sin α－cos α 答案 C解析 原式＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＋sin α＋cos α1＋sin α＋cos α＝（sin α＋cos α）2＋sin α＋cos α1＋sin α＋cos α＝（sin α＋cos α）（sin α＋cos α＋1）1＋sin α＋cos α＝sin α＋cos α.故选C.13．若sin θ，cos θ是关于x 的方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两个根，则m 的值为( ) A ．1＋ 5 B ．1－ 5 C ．1± 5 D ．－1－ 5 答案 B解析 由题意知sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θcos θ＝m 4.又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，所以m 24＝1＋m2，解得m ＝1±5.又Δ＝4m 2－16m ≥0，所以m ≤0或m ≥4，所以m ＝1－ 5.故选B.14．(2020·河北九校第二次联考)已知点P(sin35°，cos35°)为角α终边上一点，若0°≤α<360°，则α＝________． 答案 55°解析 由题意知cos α＝sin35°＝cos55°，sin α＝cos35°＝sin55°，P 在第一象限，∴α＝55°. 15．(2020·河北武邑中学调研)已知sin α＝13，0<α<π，则sin α2＋cos α2＝________．答案233解析 ∵α∈(0，π)，∴α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α2＋cos α2>0，⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22＝1＋sin α＝43，∴sin α2＋cos α2＝233.16．(2019·浙江嘉兴联考)已知α为钝角，sin(π4＋α)＝34，则sin(π4－α)＝________，cos(α－π4)＝________． 答案 －74 34解析 sin(π4－α)＝cos[π2－(π4－α)]＝cos(π4＋α)，∵α为钝角，∴34π<π4＋α<54π.∴cos(π4＋α)<0.∴cos(π4＋α)＝－1－（34）2＝－74.∴sin(π4－α)＝－74.cos(α－π4)＝sin[π2＋(α－π4)]＝sin(π4＋α)＝34.17．(2020·沧州七校联考)已知sin(3π＋α)＝2sin(3π2＋α)，则①sin α－4cos α5sin α＋2cos α＝________；②sin 2α－cos2α＝________． 答案 －16 75解析 ∵sin(3π＋α)＝2sin(3π2＋α)，∴－sin α＝－2cos α，即sin α＝2cos α. ①原式＝2cos α－4cos α10cos α＋2cos α＝－212＝－16.②∵sin α＝2cos α，∴tan α＝2，∴原式＝2sin 2α－cos 2α＝2sin 2α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－1tan 2α＋1＝75.18．化简sin 6α＋cos 6α＋3sin 2αcos 2α的结果是________． 答案 1解析 sin 6α＋cos 6α＋3sin 2αcos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)(sin 4α－sin 2αcos 2α＋cos 4α)＋3sin 2αcos 2α＝sin 4α＋2sin 2αcos 2α＋cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)2＝1.。
专题层级快练(六十七)1．已知点A(－1，0)，B(2，4)，△ABC 的面积为10，则动点C 的轨迹方程是( ) A ．4x －3y －16＝0或4x －3y ＋16＝0 B ．4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0 C ．4x －3y ＋16＝0或4x －3y ＋24＝0 D ．4x －3y ＋16＝0或4x －3y －24＝0答案 B解析 可知AB 的方程为4x －3y ＋4＝0，又|AB|＝5，设动点C(x ，y)．由题意可知12×5×|4x －3y ＋4|5＝10，所以4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0.故选B. 2．动圆M 经过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点且与直线x ＝2相切，则圆心M 的轨迹方程是( ) A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8x C ．y 2＝4x D ．y 2＝－4x答案 B 解析 双曲线x 2－y 23＝1的左焦点为F(－2，0)，动圆M 经过F 且与直线x ＝2相切，则圆心M 经过F 且与直线x ＝2相切，则圆心M 到点F 的距离和到直线x ＝2的距离相等，由抛物线的定义知轨迹是抛物线，其方程为y 2＝－8x.3．(2019·皖南八校联考)设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线，且|PA|＝1，则P 点的轨迹方程为( ) A ．y 2＝2x B ．(x －1)2＋y 2＝4 C ．y 2＝－2x D ．(x －1)2＋y 2＝2答案 D解析 (直译法)如图，设P(x ，y)，圆心为M(1，0)．连接MA ，PM. 则MA ⊥PA ，且|MA|＝1， 又因为|PA|＝1，所以|PM|＝|MA|2＋|PA|2＝2，即|PM|2＝2，所以(x －1)2＋y 2＝2.4．已知A(0，7)，B(0，－7)，C(12，2)，以C 为一个焦点作过A ，B 的椭圆，椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程是( ) A ．y 2－x 248＝1(y ≤－1) B ．y 2－x 248＝1C ．y 2－x 248＝－1D ．x 2－y 248＝1答案 A解析 由题意，得|AC|＝13，|BC|＝15，|AB|＝14，又|AF|＋|AC|＝|BF|＋|BC|，∴|AF|－|BF|＝|BC|－|AC|＝2.故点F 的轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为2的双曲线下支．∵双曲线中c ＝7，a ＝1，∴b 2＝48，∴轨迹方程为y 2－x 248＝1(y ≤－1)． 5．(2020·福建三明一中期中)已知两点M(－3，0)，N(3，0)，给出下列曲线：①x －y ＋5＝0；②2x ＋y －24＝0；③y ＝x 2；④(x －6)2＋(y －4)2＝1；⑤y 29－x 216＝1，在所给的曲线上存在点P 满足|MP|＋|NP|＝10的曲线方程有( ) A ．②③④ B ．①③④ C ．①③⑤ D ．①④⑤答案 C解析 ∵|PM|＋|PN|＝10>|MN|＝6，∴P 点轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，长轴长2a ＝10，a ＝5，2c ＝6，c ＝3. ∴b 2＝a 2－c 2＝25－9＝16. ∴P 点轨迹方程为x 225＋y 216＝1.问题转化为哪条曲线与椭圆有公共点，数形结合知①③⑤三条曲线与椭圆有公共点，选C. 6．(2020联考·广东珠海一中等六校)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 是侧面BCC 1B 1内的一动点，若点P 到直线BC 的距离与到直线C 1D 1的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是( ) A ．直线 B ．圆 C ．双曲线 D ．抛物线 答案 D解析 本题考查抛物线的定义．如图所示，因为C 1D 1⊥平面BCC 1B 1，PC 1⊂平面BCC 1B 1，所以C 1D 1⊥PC 1，则点P 到直线C 1D 1的距离，即为线段PC 1的长度．则将问题转化为点P 到直线BC 的距离和其到点C 1的距离相等，满足抛物线的定义，故选D. 7．已知抛物线y 2＝nx(n<0)与双曲线x 28－y 2m＝1有一个相同的焦点，则动点(m ，n)的轨迹方程是________． 答案 n 2＝16(m ＋8)(n<0)解析 抛物线的焦点为⎝⎛⎭⎫n 4，0，在双曲线中，8＋m ＝c 2＝⎝⎛⎭⎫n42，n<0，即n 2＝16(m ＋8)(n<0)． 8．若过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线与其交于M ，N 两点，作平行四边形MONP ，则点P 的轨迹方程为________． 答案 y 2＝4(x －2)解析 当直线的斜率存在时，设直线方程为y ＝k(x －1)，点M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，P(x ，y)，由OM →＝NP →，得(x 1，y 1)＝(x －x 2，y －y 2)． 得x 1＋x 2＝x ，y 1＋y 2＝y.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x ，联立得x ＝x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2.y ＝y 1＋y 2＝4kk2，消去参数k ，得y 2＝4(x －2)． 当直线的斜率不存在时，可得MN 的方程为x ＝1，因为四边形MONP 为平行四边形，则P(2，0)在曲线y 2＝4(x －2)上．9．已知动点P(x ，y)与两定点M(－1，0)，N(1，0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)． (1)求动点P 的轨迹C 的方程； (2)讨论轨迹C 的形状． 答案(1)x 2－y 2λ＝1(λ≠0，x ≠±1) (2)略 解析 (1)由题设知直线PM 与PN 的斜率存在且均不为零，所以k PM ·k PN ＝y x ＋1·yx －1＝λ.整理得x 2－y 2λ＝1(λ≠0，x ≠±1)． (2)①当λ>0时，轨迹C 为中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线(除去顶点)； ②当－1<λ<0时，轨迹C 为中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆(除去长轴两个端点)； ③当λ＝－1时，轨迹C 为以原点为圆心，1为半径的圆除去点(－1，0)，(1，0)； ④当λ<－1时，轨迹C 为中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆(除去短轴的两个端点)． 10.如图所示，直角三角形ABC 的顶点坐标A(－2，0)，直角顶点B(0，－22)，顶点C 在x 轴上，点P 为线段OA 的中点．(1)求BC 边所在直线方程；(2)M 为直角三角形ABC 外接圆的圆心，求圆M 的方程；(3)若动圆N 过点P 且与圆M 内切，求动圆N 的圆心N 的轨迹方程． 答案 (1)y ＝22x －22 (2)(x －1)2＋y 2＝9 (3)49x 2＋45y 2＝1 解析 (1)∵k AB ＝－2，AB ⊥BC ，∴k CB ＝22.∴BC ：y ＝22x －2 2. (2)在BC 的方程中，令y ＝0，得C(4，0)．∴圆心M(1，0)． 又∵|AM|＝3，∴外接圆的方程为(x －1)2＋y 2＝9. (3)∵P(－1，0)，M(1，0)，∵圆N 过点P(－1，0)， ∴PN 是该圆的半径．又∵动圆N 与圆M 内切， ∴|MN|＝3－|PN|，即|MN|＋|PN|＝3.∴点N 的轨迹是以M ，P 为焦点，长轴长为3的椭圆． ∴a ＝32，c ＝1，b ＝a 2－c 2＝54. ∴轨迹方程为49x 2＋45y 2＝1.11．(2014·广东)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点为(5，0)，离心率为53.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动点P(x 0，y 0)为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．答案 (1)x 29＋y 24＝1 (2)x 2＋y 2＝13解析 (1)由题意知c ＝5，e ＝c a ＝53，所以a ＝3，b 2＝a 2－c 2＝4.故椭圆C 的标准方程为x 29＋y 24＝1.(2)设两切线分别为l 1，l 2，①当l 1⊥x 轴或l 1∥x 轴时，对应l 2∥x 轴或l 2⊥x 轴，可知P(±3，±2)． ②当l 1与x 轴不垂直且不平行时，x 0≠±3. 设l 1的斜率为k ，则k ≠0，l 2的斜率为－1k，故l 1的方程为y －y 0＝k(x －x 0)，联立x 29＋y 24＝1，得(9k 2＋4)x 2＋18(y 0－kx 0)kx ＋9(y 0－kx 0)2－36＝0. 因为直线l 1与椭圆C 相切，所以Δ＝0. 即9(y 0－kx 0)2k 2－(9k 2＋4)[(y 0－kx 0)2－4]＝0. 所以－36k 2＋4[(y 0－kx 0)2－4]＝0. 所以(x 02－9)k 2－2x 0y 0k ＋y 02－4＝0.所以k 是方程(x 02－9)x 2－2x 0y 0x ＋y 02－4＝0(x 0≠±3)的一个根，同理－1k 是方程(x 02－9)x 2－2x 0y 0x ＋y 02－4＝0(x 0≠±3)的另一个根．所以k·⎝⎛⎭⎫－1k ＝y 02－4x 02－9，得x 02＋y 02＝13，其中x 0≠±3. 所以此时点P 的轨迹方程为x 02＋y 02＝13(x 0≠±3)． 因为P(±3，±2)满足x 02＋y 02＝13，所以综上可知，点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝13.12．已知点A(－4，4)，B(4，4)，直线AM 与BM 相交于点M ，且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率之差为－2，点M 的轨迹为曲线C. (1)求曲线C 的轨迹方程；(2)Q 为直线y ＝－1上的动点，过Q 作曲线C 的切线，切点分别为D ，E ，求△QDE 的面积S 的最小值．答案 (1)x 2＝4y(x ≠±4) (2)4 解析 (1)设M(x ，y)，则k AM ＝y －4x ＋4，k BM ＝y －4x －4. ∵直线AM 的斜率与直线BM 的斜率的差为－2， ∴y －4x ＋4－y －4x －4＝－2，∴x 2＝4y(x ≠±4)． (2)设Q(m ，－1)．∵切线斜率存在且不为0，故可设切线的斜率为k ，则切线方程为y ＋1＝k(x －m)．联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＋1＝k （x －m ），x 2＝4y ，得x 2－4kx ＋4(km ＋1)＝0.由相切得Δ＝0，将k 2－km －1＝0代入，得x 2－4kx ＋4k 2＝0， 即x ＝2k ，从而得到切点的坐标为(2k ，k 2)． 在关于k 的方程k 2－km －1＝0中，Δ>0，∴方程k 2－km －1＝0有两个不相等的实数根，分别为k 1，k 2，则⎩⎪⎨⎪⎧k 1＋k 2＝m ，k 1·k 2＝－1，故QD ⊥QE ，S ＝12|QD||QE|.记切点(2k ，k 2)到Q(m ，－1)的距离为d ，则d 2＝(2k －m)2＋(k 2＋1)2＝4(k 2－km)＋m 2＋k 2m 2＋4km ＋4＝(4＋m 2)(k 2＋1)， 故|QD|＝（4＋m 2）（k 12＋1），|QE|＝（4＋m 2）（k 22＋1），S ＝12(4＋m 2)1＋1－2k 1k 2＋（k 1＋k 2）2 ＝12(4＋m 2)4＋m 2≥4，即当m ＝0，也就是Q 的坐标为(0，－1)时，△QDE 的面积S 取得最小值4.。
题组层级快练(八十三)1．某道路的A ，B ，C 三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒，35秒，45秒．某辆车在这条路上行驶时，三处都不停车的概率是( ) A.35192 B.25192 C.55192 D.65192答案 A解析 三处都不停车的概率是P(ABC)＝2560×3560×4560＝35192.2．(2020·石家庄一模)袋子中装有大小、形状完全相同的2个白球和2个红球，现从中不放回地摸取2个球，已知第二次摸到的是红球，则第一次摸到红球的概率为( ) A.16 B.13 C.12 D.15 答案 B解析 设“第二次摸到红球”为事件A ，“第一次摸到红球”为事件B ，∵P(A)＝A 21·A 314×3＝12，P(AB)＝24×3＝16，∴P(B|A)＝P （AB ）P （A ）＝13，∴在第二次摸到红球的条件下，第一次摸到红球的概率为13，故选B.3．如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )A.49B.29C.23D.13答案 A解析 设A 表示“第一个圆盘的指针落在奇数所在的区域”，则P(A)＝23，B 表示“第二个圆盘的指针落在奇数所在的区域”，则P(B)＝23.则P(AB)＝P(A)P(B)＝23×23＝49.4．已知随机变量ξ～B ⎝⎛⎭⎫6，13，则P(ξ＝2)等于( ) A.316 B.1243 C.13243 D.80243答案 D解析 已知ξ～B ⎝⎛⎭⎫6，13，P(ξ＝k)＝C n k p k q n －k . 当ξ＝2，n ＝6，p ＝13时，P(ξ＝2)＝C 62⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫1－136－2＝C 62⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫234＝80243.5．(2018·课标全国Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立．设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)＝2.4，P(X ＝4)<P(X ＝6)，则p ＝( ) A ．0.7 B ．0.6 C ．0.4 D ．0.3 答案 B解析 由题意知，该群体的10位成员中使用移动支付的人数X 符合二项分布，所以D(X)＝10p(1－p)＝2.4，所以p ＝0.6或p ＝0.4.由P(X ＝4)<P(X ＝6)，得C 104p 4(1－p)6<C 106p 6(1－p)4，即(1－p)2<p 2，所以p>0.5，所以p ＝0.6.6．(2020·浙江温州九校第一次联考)抽奖箱中有15个形状一样，颜色不一样的乒乓球(2个红色，3个黄色，其余为白色)，抽到红球为一等奖，黄球为二等奖，白球不中奖．有90人依次进行有放回抽奖，则这90人中中奖人数的期望值和方差分别是( ) A ．6，0.4 B ．18，14.4 C ．30，10 D ．30，20 答案 D解析 由题意中奖的概率为2＋315＝13，因此每个人是否中奖服从二项分布B ⎝⎛⎭⎫90，13，因此90人中中奖人数的期望值为90×13＝30，方差为90×13×⎝⎛⎭⎫1－13＝20. 7．(2020·浙江名校协作体第一次联考)在一个箱子中装有大小和形状完全相同的3个白球和2个黑球，现从中有放回地摸取5次，每次随机摸取一球，设摸得的白球个数为X ，黑球个数为Y ，则( )A ．E(X)>E(Y)，D(X)>D(Y)B ．E(X)＝E(Y)，D(X)>D(Y)C ．E(X)>E(Y)，D(X)＝D(Y)D ．E(X)＝E(Y)，D(X)＝D(Y)答案 C解析 依题意可知，X ～B ⎝⎛⎭⎫5，35，Y ～B ⎝⎛⎭⎫5，25，因此E(X)＝5×35＝3，D(X)＝5×35×25＝65，E(Y)＝5×25＝2，D(Y)＝5×25×35＝65，故选C.8．甲、乙、丙3位学生用计算机联网学习数学，每天上课后独立完成6道自我检测题，甲及格的概率为810，乙及格的概率为610，丙及格的概率为710，3人各答1次，则3人中只有1人及格的概率为( ) A.320 B.42125C.47250 D ．以上全不对答案 C解析 设“甲答题及格”为事件A ，“乙答题及格”为事件B ，“丙答题及格”为事件C.显然事件A ，B ，C 相互独立，设“3人各答1次，只有1人及格”为事件D ，则D 的可能情况为A B － C －，A －B C －，A － B －C(其中A －，B －，C －分别表示甲、乙、丙答题不及格)，A B － C －，A －B C －，A － B －C 不能同时发生，故两两互斥．所以P(D)＝P(A B － C －)＋P(A －B C －)＋P(A － B －C)＝P(A)P(B －)P(C －)＋P(A －)P(B)P(C －)＋P(A －)P(B －)P(C)＝810×410×310＋210×610×310＋210×410×710＝47250. 9．(2019·东北三省四市教研联合体高考模拟)将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n 次，事件“至少有一次正面向上”的概率为P ⎝⎛⎭⎫P ≥1516，则n 的最小值为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7答案 A解析 P ＝1－⎝⎛⎭⎫12n≥1516，解得n ≥4.10．(2019·河北承德二中模拟)用电脑每次可以自动生成一个(0，1)内的实数，且每次生成每个实数都是等可能的，若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都大于13的概率为( )A.127B.23C.827D.49答案 C解析 由题意可得，用该电脑生成1个实数，且这个实数大于13的概率为P ＝1－13＝23，则用该电脑连续生成3个实数，这3个实数大于13的概率为⎝⎛⎭⎫233＝827.故选C.11．箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为( ) A.C 53C 41C 54B.⎝⎛⎭⎫593×49 C.35×14 D ．C 41×⎝⎛⎭⎫593×49答案 B解析 由题意知，第四次取球后停止是当且仅当前三次取的球是黑球，第四次取的球是白球的情况，此事件发生的概率为⎝⎛⎭⎫593×49.12．某居民小区有两个相互独立的安全防范系统A 和B ，系统A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为18和p ，若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为940，则p ＝( )A.110 B.215 C.16 D.15答案 B解析 由题意得18(1－p)＋⎝⎛⎭⎫1－18p ＝940，∴p ＝215，故选B. 13．(2020·广东湛江一模)某人连续投篮5次，其中3次命中，2次未命中，则他第2次，第3次两次均命中的概率是( ) A.310 B.25 C.12 D.35 答案 A解析 本题考查独立重复试验．某人连续投篮5次，其中3次命中，2次未命中，∴基本事件总数n ＝C 53C 22＝10，他第2次，第3次两次均命中包含的基本事件个数m ＝C 31C 22＝3，∴他第2次，第3次两次均命中的概率P ＝m n ＝310，故选A.14．(2019·洛阳模拟)在某次人才招聘会上，假定某毕业生赢得甲公司面试机会的概率为23，赢得乙、丙两公司面试机会的概率均为14，且三个公司是否让其面试是相互独立的．则该毕业生只赢得甲、乙两个公司面试机会的概率为( ) A.116 B.18 C.14 D.12答案 B解析 记事件A 为“该毕业生赢得甲公司的面试机会”，事件B 为“该毕业生赢得乙公司的面试机会”，事件C 为“该毕业生赢得丙公司的面试机会”． 由题可得P(A)＝23，P(B)＝P(C)＝14.则事件“该毕业生只赢得甲、乙两个公司面试机会”为AB C －，由相互独立事件同时成立的概率公式，可得P(AB C －)＝P(A)P(B)P(C －)＝23×14×⎝⎛⎭⎫1－14＝18，故选B.15．一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．X 表示在未来3天内日销售量不低于100个的天数，则E(X)＝________，方差D(X)＝________． 答案 1.8 0.72解析 由题意知，日销售量不低于100个的频率为(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，且X ～B(3，0.6)，所以期望E(X)＝3×0.6＝1.8，方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.16．(2020·益阳湘潭联合调研)某乒乓球俱乐部派甲、乙、丙三名运动员参加某运动会的单打资格选拔赛，本次选拔赛只有出线和未出线两种情况．规定一名运动员出线记1分，未出线记0分．假设甲、乙、丙出线的概率分别为23，34，35，他们出线与未出线是相互独立的．(1)求在这次选拔赛中，这三名运动员至少有一名出线的概率；(2)记在这次选拔赛中，甲、乙、丙三名运动员的得分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E(ξ)． 答案 (1)2930(2)分布列为E(ξ)＝12160解析 (1)记“甲出线”为事件A ，“乙出线”为事件B ，“丙出线”为事件C ，“甲、乙、丙至少有一名出线”为事件D ，则P(D)＝1－P(A － B － C －)＝1－13×14×25＝2930.(2)由题意可得，ξ的所有可能取值为0，1，2，3， 则P(ξ＝0)＝P(A － B － C －)＝13×14×25＝130；P(ξ＝1)＝P(A B － C －)＋P(A －B C －)＋P(A － B －C)＝23×14×25＋13×34×25＋13×14×35＝1360；P(ξ＝2)＝P(AB C －)＋P(A B －C)＋P(A －BC)＝23×34×25＋23×14×35＋13×34×35＝920；P(ξ＝3)＝P(ABC)＝23×34×35＝310.所以ξ的分布列为E(ξ)＝0×130＋1×1360＋2×920＋3×310＝12160.17．(2019·课标全国Ⅱ，理)11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10∶10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．(1)求P(X＝2)；(2)求事件“X＝4且甲获胜”的概率．答案(1)0.5(2)0.1解析(1)X＝2就是10∶10平后，两人又打了2个球后该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P(X＝2)＝0.5×0.4＋(1－0.5)×(1－0.4)＝0.5.(2)X＝4且甲获胜，就是10∶10平后，两人又打了4个球后该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．因此，所求概率为[0.5×(1－0.4)＋(1－0.5)×0.4]×0.5×0.4＝0.1.。
专题层级快练(七十七)1．(2020·湖北宜昌一中月考)从1到10十个数中，任意选取4个数，其中，第二大的数是7的情况共有( )A ．18种B ．30种C ．45种D ．84种答案 C解析 分两步：先从8，9，10这三个数中选取一个数做最大的数有C 31种方法；再从1，2，3，4，5，6这六个数中选取两个比7小的数有C 62种方法，故共有C 31C 62＝45种情况，应选择C.2．将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的安排方法的种数为( ) A ．10 B ．20 C ．30 D ．40 答案 B解析 将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么必然是一个宿舍2名，而另一个宿舍3名，共有C 53C 22×2＝20(种)，故选B.3．将标号为1，2，3，4，5，6的6个小球放入3个不同的盒子中，若每个盒子放2个，其中标号为1，2的小球放入同一个盒子中，则不同的放法共有( ) A ．12种 B ．16种 C ．18种 D ．36种 答案 C解析 可先分组再排列，所以有C 42A 33＝18种放法．124．(2020·广东省实验中学月考)甲、乙、丙三个部门分别需要招聘工作人员2名，1名，1名，现从10名应聘人员中招聘4人到甲、乙、丙三个部门，那么不同的招聘方法共有( ) A ．1 260种 B ．2 025种 C ．2 520种 D ．5 040种 答案 C解析 先从10人中选2人去甲部门，再从剩下的8人中选2人去乙、丙两个部门，有C 102A 82＝2 520种不同的招聘方法．5．(2020·长春普通高中检测)要将甲、乙、丙、丁4名同学分到A ，B ，C 三个班级中，要求每个班级至少分到1人，则甲被分到A 班的分法种数为( ) A ．6B ．12C ．24D ．36答案 B解析 甲和另一个人一起分到A 班的方法有C 31A 22＝6(种)，甲一个人分到A 班的方法有C 32A 22＝6(种)，所以共有12种分法．故选B.6．(2017·课标全国Ⅱ，理)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( ) A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．36种答案 D解析 因为安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，所以必有1人完成2项工作．先把4项工作分成3组，即2，1，1，有＝6(种)，再分配C 42C 21C 11A 22给3个人，有A 33＝6种，所以不同的安排方式共有6×6＝36(种)．7．(2020·安徽毛坦厂中学月考)今年，我校迎来了安徽师范大学数学系5名实习教师，若将这5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有( ) A ．180种 B ．120种 C ．90种 D ．60种 答案 C解析 将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少一名，最多2名，则将5名教师分成三组，一组1个，另两组都是2人，有＝15种方法．再将3组分到3个班，C 51·C 42A 22共有15·A 33＝90种不同的分配方案．故选C.8．(2019·山西大同一模)从10种不同的作物种子中选出6种放入6个不同的瓶子中展出，如果甲、乙两种种子不能放入第1号瓶内，那么不同的放法种数为( ) A ．C 102A 84 B ．C 91A 95 C ．C 81A 95 D ．C 81A 85 答案 C解析 先排第1号瓶，从除甲、乙以外的8种不同作物种子中选出1种有C 81种方法，再排剩余的瓶子，有A 95种方法，故不同的放法共有C 81A 95种，故选C.9．把甲、乙等6人分成两组(各组人数不一定相同)，则甲、乙不在同一组的分法共有( ) A ．12种 B ．16种 C ．24种 D ．32种 答案 B解析 当甲所在的组只有1人时，共有C 40＝1种分法；当甲所在的组有2人时，共有C 41＝4种分法；当甲所在的组有3人时，共有C 42＝6种方法；当甲所在的组有4人时，共有C 43＝4种分法；当甲所在的组有5人时，共有C 44＝1种分法．所以共有1＋4＋6＋4＋1＝16种分法．故选B.10．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为( ) A ．18 B ．24 C ．30 D ．36答案 C解析 排除法．先不考虑甲、乙同班的情况，将4人分成三组有C 42＝6种方法，再将三组同学分配到三个班级有A 33＝6种分配方法，再考虑甲、乙同班的分配方法有A 33＝6种，所以共有C 42A 33－A 33＝30种分法．故选C.11．某科室派出4名调研员到3个学校，调研该校高三复习备考近况，要求每个学校至少一名，则不同的分配方案种数为( ) A ．144 B ．72 C ．36 D ．48答案 C解析 分两步完成：第一步将4名调研员按2，1，1分成三组，其分法有种；第二C 42C 21C 11A 22步将分好的三组分配到3个学校，其分法有A 33种．所以满足条件的分配方案有×A 33C 42C 21C 11A22＝36(种)．12．某学校4位同学参加数学知识竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得30分，答错得－30分；选乙题答对得10分，答错得－10分．若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是( ) A ．24 B ．36 C ．40 D ．44答案 D解析 分以下四种情况讨论：(1)两位同学选甲题作答，一个答对一个答错，另外两个同学选乙题作答，一个答对一个答错，此时共有C 42×2×2＝24种情况；(2)四位同学都选择甲题或乙题作答，两人答对，另外两人答错，共有C 42C 21＝12种情况；(3)一人选甲题作答并且答对，另外三人选乙题作答并且全部答错，此时有C 41＝4种情况；(4)一人选甲题作答并且答错，另外三人选乙题作答并且全部答对，此时有C 41＝4种情况．综上所述，共有24＋12＋4＋4＝44种不同的情况．故选D.13．某学校有5位教师参加某师范大学组织的暑期骨干教师培训，现有5个培训项目，每位教师可任意选择其中一个项目进行培训，则恰有两个培训项目没有被这5位教师中的任何一位教师选择的情况数为( ) A ．5 400 B ．3 000 C ．150 D ．1 500答案 D解析 分两步：第一步：从5个培训项目中选取3个，共C 53种情况；第二步：5位教师分成两类：①选择选出的3个培训项目的教师人数分别为1人，1人，3人，共C 53种情况；②选择选出的3个培训项目的教师人数分别为1人，2人，2人，共C 52C 32A22种情况．故选择情况数为C 53··A 33＝1 500(种)． (C 53＋C 52C 32A22)14．(2020·人大附中期末)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答)． 答案 60解析 分情况：一种情况将有奖的奖券按2张，1张分给4个人中的2个人，种数为C 32C 11A 42＝36；另一种将3张有奖的奖券分给4个人中的3个人，种数为A 43＝24，则获奖情况总共有36＋24＝60(种)．15．某学校新来了五名学生，学校准备把他们分配到甲、乙、丙三个班级，每个班级至少分配一人，则其中学生A 不分配到甲班的分配方案种数是________． 答案 100解析 A 的分配方案有2种，若A 分配到的班级不再分配其他学生，则把其余四人分组后分配到另外两个班级，分配方法种数是(C 43＋)A 22＝14；若A 分配到的班级再分配一名C 42C 22A 22学生，则把剩余的三名学生分组后分配到另外两个班级，分配方法种数是C 41C 31A 22＝24；若A 分配到的班级再分配两名学生，则剩余的两名学生就分配到另外的两个班级，分配方法种数是C 42A 22＝12.故总数为2×(14＋24＋12)＝100.16．(2020·北京海淀区二模)某运输公司有7个车队，每个车队的车辆均多于4辆．现从这个公司中抽调10辆车，并且每个车队至少抽调1辆，那么共有________种不同的抽调方法． 答案 84解析 方法一：(分类法)，在每个车队抽调1辆车的基础上，还需抽调3辆车．可分成三类：一类是从某1个车队抽调3辆，有C 71种；一类是从2个车队中抽调，其中1个车队抽调1辆，另1个车队抽调2辆，有A 72种；一类是从3个车队中各抽调1辆，有C 73种．故共有C 71＋A 72＋C 73＝84种抽调方法．方法二：(隔板法)，由于每个车队的车辆均多于4辆，只需将10个份额分成7份．可将10个小球排成一排，在相互之间的9个空当中插入6个隔板，即可将小球分成7份，故共有C 96＝84种抽调方法．。
2021—2021学年高三一轮复习周测卷〔一〕理数第一卷一、选择题〔本大题共12个小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕1、以下说法正确的选项是A ．0与{}0的意义一样B ．高一〔1〕班个子比拟高的同学可以形成一个集合C ．集合{}(,)|32,x y x y x N +=∈是有限集D ．方程2210x x ++=的解集只有一个元素2、集合2{|60,},{|4,}A x x x x R B x x Z =+-≤∈=≤∈，那么A B =A ．(0,2)B ．[0,2]C ．{}0,2D ．{}0,1,23、设命题2:"1,1"p x x ∀<<，那么p ⌝为A ．21,1x x ∀≥<B ．201,1x x ∃<≥C ．21,1x x ∀<≥ D ．201,1x x ∃≥≥ 4、集合2{|0},{|lg(21)}A x x x B x y x =-≥==-，那么集合AB = A ．1[0,)2 B ．[0,1]C ．1(,1]2D ．1(,)2+∞5、设,a b R ∈，那么“22log log a b >〞是“21a b ->〞的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6、设221:0,:(21)(1)01x p q x a x a a x -≤-+++<-，假设p 是q 的充分不必要条件，那么实数a 的取值范围是A ．1(0,)2B ．1[0,)2C ．1(0,]2D ．1[,1)27、命题2:,10p m R x mx ∀∈--=有解，命题2000:,210q x N x x ∃∈--≤，那么以下选项中是假命题的为A ．p q ∧B ．()p q ∧⌝C ．p q ∨D ．()p q ∨⌝8、集合{|A x y A B φ===，那么集合B 不可能是A ．1{|42}x x x +<B ．{(,)|1}x y y x =-C ．φD ．22{|log (21)}y y x x =-++9、设1,:()[(1)]0p q x a x a ---≤，假设p 是q 的充分不必要条件，那么实数a 的取值范围是A ．3[1,]2 B ．3(1,)2 C ．3(,1)[,)2-∞+∞ D ．3(,1)(,)2-∞+∞ 10、命题2:[1,2],0p x x a ∀∈-≥，命题2:,220q x R x ax a ∃∈++-=，假设命题p 且q 是真命题，那么实数a 的取值范围是A ．{}(,2]1-∞B ．(,2][1,2]-∞C ．[1,)+∞D ．[2,1]-11、对于任意两个正整数,m n ，定义某种运算“*〞，法那么如下：当,m n 都是正奇数时，m n m n *=+；当,m n 不全为正奇数时，m n mn *=，那么在此定义下，集合{(,)|16,,}M a b a b a N b N ++=*=∈∈ 的真子集的个数是A ．721-B ．1121-C ．1321-D ．1421- 12、用()C A 表示非空集合A 中的元素个数，定义()(),()()()(),()()C A C B C A C B A B C B C A C A C B -≥⎧*=⎨-<⎩假设22{1,2},{|()(2)0}A B X x ax x ax ==+++=，且1A B *=，设实数a 的所有可能的取值集合是，那么A ．4B ．3C ．2D ．1第二卷二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..13、含有三个实数的集合既可表示成{,,1}b a a，又可表示成2{,,0}a a b +，那么20172017a b +等于 14、集合2{|230},{|1}A x R x x B x R x m =∈--<=∈-<<，假设x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，那么实数m 的取值范围是15、集合{1,1},{|20}A B x ax =-=+=，假设B A ⊆，那么实数a 的所有可能取值的集合为16、以下说法错误的选项是 (填序号)①命题“1212,,x x M x x ∃∈≠，有1221[()()]()0f x f x x x -->〞的否认是“1212,,x x M x x ∃∉≠，有1221[()()]()0f x f x x x --≤〞；②假设一个命题的逆命题，那么它的否命题也一定为真命题；③21:230,:13p x x q x +->>-，假设()q p ⌝∧为真命题，那么实数x 的取值范围是(,3)-∞- (1,2)[3,)+∞④“3x ≠〞是“3x ≠〞成立的充分条件三、解答题：本大题共6小题，总分值70分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤17、〔本小题总分值10分〕集合2{|3327},{|log 1}x A x B x x =≤≤=> .〔1〕分别求,()R A B C B A ；〔2〕集合{|1}C x x a =<<，假设C A ⊆，务实数a 的取值范围.18、〔本小题总分值12分〕〔1〕:p ，关于x 的方程240x ax -+=有实数，:q 关于x 的函数224y x ax =++在区间[3,)+∞上是增函数，假设“p 或q 〞是真命题，“p 且q 〞是假命题，务实数a 的取值范围；〔2〕22:(43)1,:(21)(1)0p x q x a x a a -≤-+++≤，假设p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，务实数a 的取值范围.19、〔本小题总分值12分〕集合219{|()(3)0},{|ln()0}24A x x x B x x ax a =--==+++=〔1〕假设集合B 只有一个元素，务实数a 的值；〔2〕假设B 是A 的真子集，务实数a 的取值范围.20、〔本小题总分值12分〕函数()41log ,[,4]16f x x x =∈的值域是集合A ，关于x 的不等式31()2()2x a x a R +>∈的解集为B ，集合5{|0}1x C x x -=≥+，集合{|121}(0)D x m x m m =+≤≤->. 〔1〕假设AB B =，务实数a 的取值范围； 〔2〕假设DC ⊆，务实数m 的取值范围.21、〔本小题总分值12分〕函数()f x =A ，集合22{|290}B x x mx m =-+-≤. 〔1〕假设[2,3]A B =，务实数m 的值；〔2〕假设12,()R x a x C B ∀∈∃∈，使21x x =，务实数m 的取值范围.22、〔本小题总分值12分〕()f x 是定义域为R 的奇函数，且当12x x <时，1212()[()()]0x x f x f x -->，设:p “2(3)(128)0f m f m ++-<〞.〔1〕假设p 为真，务实数m 的取值范围；〔2〕设:q 集合{|(1)(4)0}A x x x =+-≤与集合{|}B x x m =<的交集为{}|1x x ≤-，假设p q ∧为假，p q ∨为真，务实数m 的取值范围.。
题组层级快练(七十四)1．(2019·湖南衡阳联考)甲、乙、丙、丁四位同学各自对A ，B 两个变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r 与残差平方和m ，如下表：) A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁答案 D解析 r 越大，m 越小，线性相关性越强．故选D. 2．(2019·赣州一模)以下五个命题：①匀速传递的产品生产流水线上，质检员每20分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1； ③回归直线y ^＝b ^x ＋a ^必过点(x －，y －)；④在回归直线方程y ^＝0.2x ＋12中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量平均增加0.2个单位；⑤分类变量X 与Y ，对它们的随机变量K 2的观测值k 来说，k 越小，“X 与Y 有关系”的把握程度越大． 其中假命题为( ) A ．①④ B ．①⑤ C ．②③ D ．③④ 答案 B解析 ①为系统抽样；⑤分类变量X 与Y ，对它们的随机变量K 2的观测值k 来说，k 越大，“X 与Y 有关系”的把握程度越大．3．(2020·郑州质检)某研究机构对儿童记忆能力x 和识图能力y 进行统计分析，得到如下数据：由表中数据，求得线性回归方程为y ＝45x ＋a .若某儿童的记忆能力为12，则他的识图能力约为( ) A ．9.2 B ．9.5 C ．9.8 D ．10答案 B解析 由表中数据得x －＝7，y －＝5.5，由点(x －，y －)在直线y ^＝45x ＋a ^上，得a ^＝－110，即线性回归方程为y ^＝45x －110.所以当x ＝12时，y ^＝45×12－110＝9.5，即他的识图能力约为9.5.故选B.4．为考察某种药物预防疾病的效果，对100只某种动物进行试验，得到如下的列联表：经计算，统计量K 2( ) 独立性检验中统计量K 2的临界值参考表：C ．0.010D ．0.025答案 B解析 由题意，得k ≈4.762>3.841，参照附表，可得在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为药物有效．故选B.5．(2020·德州一中期末)已知某产品连续4个月的广告费x i (千元)与销售额y i (万元)(i ＝1，2，3，4)满足∑4,i ＝1x i ＝15，∑4,i ＝1y i ＝12.若广告费用x 和销售额y 之间具有线性相关关系，且回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^，b ^＝0.6，当广告费用为5千元时，可预测销售额为( ) A ．3万元 B ．3.15万元 C ．3.5万元 D ．3.75万元答案 D解析 本题考查回归直线方程．由已知∑4,i ＝1x i ＝15，∑4,i ＝1y i ＝12，得x －＝154＝3.75，y －＝124＝3.∴3＝3.75×0.6＋a ^，解得a ＝0.75.∴回归直线方程为y ^＝0.6x ＋0.75. 则当x ＝5时，y ^＝3.75万元．故选D.6．(2020·西安八校联考)相关变量x ，y 的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归直线方程y ＝b ^1x ＋a ^1，相关系数为r 1；方案二：剔除点(10，21)，根据剩下数据得到线性回归直线方程：y ＝b ^2x ＋a ^2，相关系数为r 2.则( )A ．0<r 1<r 2<1B ．0<r 2<r 1<1C ．－1<r 1<r 2<0D ．－1<r 2<r 1<0答案 D解析 本题考查散点图和相关系数．由散点图得这两个变量呈负相关，所以r 1，r 2<0.因为剔除点(10，21)后，剩下的数据更具有线性相关性，所以|r 2|更接近1，所以－1<r 2<r 1<0.故选D.7．(2020·长春质检)某学校为了采取治理学校门口上学、放学期间家长接送孩子乱停车现象的措施，对全校学生家长进行了问卷调查．根据从中随机抽取的50份调查问卷，得到了如下的列联表：同意限定区域停车不同意限定区域停车合计 男 20 5 25 女 10 15 25 合计302050A ．0.1%B ．0.5%C ．99.5%D ．99.9%附：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），其中n ＝a ＋b ＋c ＋d.P(K 2≥k 0)0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解析 因为K 2的观测值k ＝50×（20×15－5×10）225×25×30×20≈8.333>7.879，所以约有99.5%的把握认为“是否同意限定区域停车与家长的性别有关”．8．(2020·兰州一中高二下期末)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：吨)的影响，对近8年的年宣传费x i和年销售量y i(i ＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．有下列5个曲线类型：①y＝bx＋a；②y＝c x＋d；③y＝p＋qlnx；④y＝k1＋ek2x；⑤y＝c1x2＋c2，则较适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程的是()A．①②B．②③C．②④D．③⑤答案 B解析从散点图知，样本点分布在开口向右的抛物线(上支)附近或对数曲线(在x轴上方部分)的附近，所以y＝c x＋d或y＝p＋qlnx较适宜．故选B.9．(2020·福州四校联考)某汽车的使用年数x与所支出的维修总费用y的统计数据如表：使用年数x/年 1 2 3 4 5维修总费用y/万元0.5 1.2 2.2 3.3 4.5根据上表可得y关于x的线性回归方程y＝b x－0.69，若该汽车维修总费用超过10万元就不再维修，直接报废，据此模型预测该汽车最多可使用(不足1年按1年计算)________年．答案11^＝b^x－0.69过样本点的中心(3，2.34)，得b^＝1.01，即线解析由y关于x的线性回归直线y性回归方程为y^＝1.01x－0.69，由y^＝1.01x－0.69＝10得x≈10.6，所以预测该汽车最多可使用11年．10．某工厂为了对一种新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单位x(元) 4 5 6 7 8 9销量y(件) 90 84 83 80 75 68由表中数据，求得线性回归方程为y ^＝－4x ＋a ^.若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线左下方的概率为________． 答案 13解析 由表中数据得x －＝6.5，y －＝80，由y －＝－4x －＋a ^，得a ^＝106，故线性回归方程为y ^＝－4x ＋106.将(4，90)，(5，84)，(6，83)，(7，80)，(8，75)，(9，68)分别代入回归方程，可知有6个基本事件，因84<－4×5＋106＝86，68<－4×9＋106＝70，故(5，84)和(9，68)在直线的左下方，满足条件的只有2个，故所求概率为26＝13.11．用指数模型y ＝c·e kx 去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z ＝lny ，变换后得到线性回归直线方程z ＝0.3x ＋4，则常数c 的值为________． 答案 e 4解析 因为y ＝c·e kx ，所以两边取对数，可得lny ＝ln(c·e kx )＝lnc ＋kx ，由z ＝lny ，可得z ＝lnc ＋kx ，又z ＝0.3x ＋4，∴lnc ＝4，c ＝e 4.12．(2019·河南豫南九校联考)下表为2015年至2018年某百货零售企业的线下销售额(单位：万元)，其中年份代码x ＝年份－2014.(1)已知y 与x 2019年该百货零售企业的线下销售额；(2)随着网络购物的飞速发展，有不少顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长表示怀疑，某调查平台为了解顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长的看法，随机调查了55位男顾客，50位女顾客(每位顾客从“持乐观态度”和“持不乐观态度”中任选一种)，其中对该百货零售企业的线下销售额持续增长持乐观态度的男顾客有10人，女顾客有20人，能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为对该百货零售企业的线下销售额持续增长所持的态度与性别有关？参考公式及数据：b ^＝∑ni ＝1x i y i －n x －y －∑n i ＝1x i 2－n x －2，a ^＝y －－b ^x －，K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），n ＝a ＋b ＋c ＋d.答案 (1)y ^＝71x ＋22.5 377.5万元 (2)可以解析 (1)由题意得x －＝2.5，y －＝200，∑4i ＝1x i2＝30，∑4i ＝1x i y i ＝2 355， 所以b ^＝∑4i ＝1x i y i －4x －y －∑4i ＝1x i 2－4x －2＝2 355－4×2.5×20030－4×2.52＝71， 所以a ^＝y －－b ^x －＝200－71×2.5＝22.5， 所以y 关于x 的线性回归方程为y ^＝71x ＋22.5.由于2 019－2 014＝5，所以当x ＝5时，y ^＝71×5＋22.5＝377.5， 所以预测2019年该百货零售企业的线下销售额为377.5万元． (2)由题可得2×2列联表如下：故K 2的观测值k ＝105×（10×30－45×20）255×50×30×75≈6.109.由于6.109>5.024，所以可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为对该百货零售企业的线下销售额持续增长所持的态度与性别有关．13．(2019·山西八校联考一)某电视厂家准备在元旦举行促销活动，现根据近七年的广告费与销售量的数据确定此次广告费支出．广告费支出x(万元)和销售量y(万元)的数据如下：(1)(2)若用y ＝c ＋d x 模型拟合y 与x 的关系，可得回归方程y ^＝1.63＋0.99x ，经计算线性回归模型和该模型的R 2分别为0.75和0.88，请用R 2说明选择哪个回归模型更好； (3)已知利润z 与x ，y 的关系为z ＝200y －x.根据(2)的结果回答下列问题： ①广告费x ＝20时，销售量及利润的预报值是多少？②广告费x 为何值时，利润的预报值最大？(精确到0.01)参考公式：回归直线y ^＝a ^＋b ^x 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 b ^＝∑ni ＝1x i y i －n x － y －∑n i ＝1x i 2－n x －2＝∑n i ＝1 （x i －x －）（y i－y －）∑ni ＝1 （x i －x －）2，a ^＝y －－b ^x －. 参考数据：5≈2.24.答案 (1)y ^＝0.17x ＋2.84 (2)y ^＝1.63＋0.99x (3)①1 193.04万元 ②9 801万元解析 (1)∵x －＝8，y －＝4.2，∑7i ＝1x i y i ＝279.4，∑7i ＝1x i 2＝708， ∴b ^＝∑7i ＝1x i y i －7x － y －∑7i ＝1x i 2－7x －2＝279.4－7×8×4.2708－7×82＝0.17，a ^＝y －－b ^x －＝4.2－0.17×8＝2.84， ∴y 关于x 的线性回归方程为y ^＝0.17x ＋2.84.(2)∵0.75<0.88且R 2越大，反映残差平方和越小，模型的拟合效果越好， ∴选用y ^＝1.63＋0.99x 更好． (3)由(2)知，①当x ＝20时，销售量的预报值y ^＝1.63＋0.9920≈6.07(万台)， 利润的预报值z ＝200×(1.63＋0.9920)－20≈1 193.04(万元)．②z ＝200(1.63＋0.99x)－x ＝－x ＋198x ＋326＝－(x)2＋198x ＋326＝－(x －99)2＋10 127，∴当x ＝99，即x ＝9 801时，利润的预报值最大， 故广告费为9 801万元时，利润的预报值最大．14．(2020·中原名校模拟)“支付宝捐步”已经成为当下很热门的健身方式，为了了解使用支付宝捐步是否与年龄有关，研究人员随机抽取了5 000名使用支付宝的人员进行调查，所得情况如表所示：(1)(2)55岁的老王在了解了捐步功能以后开启了自己的捐步计划，可知其在捐步的前5天，捐步的步数与天数呈线性相关．第x 天 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 步数y4 0004 2004 3005 0005 500①根据上表数据，建立y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；②记由①中回归方程得到的预测步数为y ′，若从5天中任取3天，记y ′<y 的天数为X ，求X 的分布列以及数学期望．附参考公式与数据：，a ^＝y －－b ^x －；K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），其中n ＝a ＋b ＋c ＋d.P(K 2≥k 0)0.100 0.050 0.010 0.001 k 02.7063.8416.63510.828答案 (1)有把握 (2)①y ＝380x ＋3 460 ②见解析，110解析 (1)依题意，得50岁以上 50岁以下 总计 使用支付宝捐步 1 000 1 000 2 000 不使用支付宝捐步2 500 5003 000 总计3 5001 5005 000由表中数据得K 2的观测值k ＝5 000×（1 000×500－1 000×2 500）22 000×3 000×3 500×1 500≈634.921.因为634.921>10.828，所以有99.9%的把握认为使用支付宝捐步与年龄有关． (2)①由题意得x －＝1＋2＋3＋4＋55＝3，y －＝4 000＋4 200＋4 300＋5 000＋5 5005＝4 600，∑5i ＝1(x i －x －)(y i －y －)＝(－2)×(－600)－1×(－400)＋0＋1×400＋2×900＝3 800， ∑5i ＝1(x i －x －)2＝4＋1＋0＋1＋4＝10，b ^＝∑5i ＝1 （x i －x －）（y i －y －）∑5i ＝1 （x i －x －）2＝380，故a ^＝4 600－380×3＝3 460. 所以y 关于x 的线性回归方程为y ^＝380x ＋3 460. ②由①可知，故X P(X ＝1)＝C 22C 31C 53＝310，P(X ＝2)＝C 21C 32C 53＝610＝35，P(X ＝3)＝C 33C 53＝110.故X 的分布列为故E(X)＝1×310＋2×35＋3×110＝95.。
河北省衡水中学2021-2021年度下学期一调考试高三年级数学试卷（理科）本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分满分150分考试时间12021第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在四个选项中，只有一项是符合要求的） 1、集合},|),{(*Q b P a b a Q P ∈∈=Q P *20<<a z a ||z )5,1()3,1(,,cos 3sin )(R x x x x f ∈+=ωω0)(,2)(=-=βαf f βα-43πω313234230 11112462014+++⋅⋅⋅2014i ≤2014i ＞1007i ≤1007i ＞53433536060,,21,1=---=⋅==c b c a b a b a c32x 0(,0)M x 22:(2)1C x y +=,A B||3AB ≥0x 222221(0,0)x y a b a b-=>>1F 30︒P 1PF y3353(,)P x y 1:(0)C yx xC P x y,A B O PA PB OAB ∆422C ,M N OMN ∆12,F F 22221(0)x y a b a b +=>>P 12PF F ∆323(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛122，4π⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-=*ba ab b b a ab a b a ,,22（m ∈R ）恰有三个互不相等的实数根1，2，3，则123的取值范围是_________________。
三、解答题（共6个题， 共70分，把每题的答案填在答卷纸的相应位置） 17、（本题12分）设数列满足:n a n N*∈（）是整数,且n 1n a a +－是关于的方程2n 1n 1x ( a 2)x 2a 0++＋－－＝的根 （1）若1a 4＝，且n≥2时,n 4a 8≤≤，求数列{a n }的前100项和S 100;（2）若16a 8a 1＝－，＝，且*∈n n 1a a n N ＋＜（），求数列的通项公式18、（本题12分）在如图所示的几何体中，四边形ABDE 为梯形，AE ⊥⊥ （I ）求证：CM ⊥DE ；（II ）求锐二面角D EC M --的余弦值19、（本题12分）衡水市为“市中学生知识竞赛”进行选拔性测试，且规定：成绩大于或等于90分的有参赛资格，90分以下（不包括90分）的则被淘汰。
