勾股定理的典型例题

一步行，千里亦能行！----小常 新人教版八年级下册勾股定理全章知识点和典型例习题

一、基础知识点：

１．勾股定理

内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；

表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么222abc

勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方

２.勾股定理的证明

勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法

用拼图的方法验证勾股定理的思路是

①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变

②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理

常见方法如下：

方法一：4EFGHSSS正方形正方形ABCD，2214()2abbac，化简可证．

方法二：

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422Sabcabc 大正方形面积为222()2Sabaabb 所以222abc方法三：1()()2Sabab梯形，2112S222ADEABESSabc梯形，化简得证

３.勾股定理的适用范围

勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形

４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC中，90C，则22cab，22bca，22acb②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题

D 人教版数学第十七章《勾股定理》必刷题

如图，一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端距地面24米．

（1）这个梯子底端离墙有多少米？

（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗？

如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13米，此人以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）

细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题．

OA22=21+1=2，1S=12； OA32=12+22=3，2S=22； OA42=12+23=4，3S=32…

（1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变规律：OAn2= ；Sn= ．

（2）求出OA10的长．

（3）若一个三角形的面积是5，计算说明他是第几个三角形？

（4）求出S12+S22+S32+…+S102的值．

如图所示，在一次夏令营活动中，小明坐车从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了1003km到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了100km到达目的地C点，求出A、C两点之间的距离．

如图，小丽想知道自家门前小河的宽度，于是她按以下办法测出了如下数据：小丽在河岸边选取点A，在点A的对岸选取一个参照点C，测得∠CAD=30°；小丽沿岸向前走30m选取点B，并测得∠CBD=60°．请根据以上数据，用你所学的数学知识，帮小丽计算小河的宽度．

60°30°DBAC

小明、小华在一栋电梯楼前感慨楼房真高．小明说：“这楼起码20层！”小华却不以为然：“20层？我看没有，数数就知道了！”小明说：“有本事，你不用数也能明白！”小华想了想说：“没问题！让我们来量一量吧！”小明、小华在楼体两侧各选A、B两点，测量数据如图，其中矩形CDEF表示楼体，AB=150米，CD=10米，∠A=30°，∠B=45°，（A、C、D、B四点在同一直线上）问：

第1页—总4页 1 《勾股定理》典型例题折叠问题

1、如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD等于（ ）

A. 425 B. 322 C. 47 D. 35

2、如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC•于M，交AB于N，若AC=4，MB=2MC，求AB的长．

3、折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在BC边上的点F处,已知AB=8CM,BC=10CM,求CF 和EC。

4、如图，在长方形ABCD中，DC=5，在DC边上存在一点E，沿直线AE把△ABC折叠，使点D恰好在BC边上，设此点为F，若△ABF的面积为30，求折叠的△AED的面积

DCBAFE A

B C E

F D

第2页—总4页 2

5、如图，矩形纸片ABCD的长AD=9㎝，宽AB=3㎝，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长是多少？

6、如图，在长方形ABCD中，将ABC沿AC对折至AEC位置，CE与AD交于点F。

（1）试说明：AF=FC；（2）如果AB=3，BC=4，求AF的长

7、如图2所示，将长方形ABCD沿直线AE折叠，顶点D正好落在BC边上F点处，已知CE=3cm，AB=8cm，则图中阴影部分面积为_______．

8、如图2-3，把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在C′的位置上，已知AB=•3，BC=7，重合部分△EBD的面积为________．

第3页—总4页 3

9、如图5，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G。如果M为CD边的中点，求证：DE：DM：EM=3：4：5。

《勾股定理》典型例题折叠问题

第1页—总6页 1 《勾股定理》典型例题折叠问题

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《勾股定理》典型例题折叠问题

第2页—总6页 2 《勾股定理》典型例题折叠问题

1、如图,有一张直角三角形纸片,两直角边AC=6，BC=8，将△ABC折叠,使点B与点A重合，折痕为DE,则CD等于（ ）

A。 B. C。 D.

2、如图所示，已知△ABC中，∠C=90°,AB的垂直平分线交BC•于M，交AB于N，若AC=4,MB=2MC，求AB的长．

3、折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在BC边上的点F处，已知AB=8CM,BC=10CM,求CF 和EC。

4、如图,在长方形ABCD中，DC=5,在DC边上存在一点E,沿直线AE把△ABC折叠,使点D恰好在BC边上，设此点为F，若△ABF的面积为30，求折叠的△AED的面积 4253224735 《勾股定理》典型例题折叠问题

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5、如图，矩形纸片ABCD的长AD=9㎝，宽AB=3㎝，将其折叠，使点D与点B重合,那么折叠后DE的长是多少?

6、如图,在长方形ABCD中，将ABC沿AC对折至AEC位置，CE与AD交于点F。

（1）试说明：AF=FC；(2)如果AB=3，BC=4，求AF的长

7、如图2所示，将长方形ABCD沿直线AE折叠，顶点D正好落在BC边上F点处，已知CE=3cm,AB=8cm，则图中阴影部分面积为_______．

《勾股定理》典型例题

《勾股定理》典型例题分析

一、知识要点：

1、勾股定理

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。也就是说:如果直角三角形的两直角边为ａ、b,斜边为c ，那么 a2 + b２= ｃ2。公式的变形：a2 ＝

ｃ2－ ｂ2， b2= c２-a２ 。

2、勾股定理的逆定理

如果三角形AＢC的三边长分别是ａ，ｂ，ｃ，且满足a2 + b2= c2,那么三角形ＡBC 是直角三角形。这个定理叫做勾股定理的逆定理.

该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点:

① 已知的条件：某三角形的三条边的长度.

②满足的条件:最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方.

③得到的结论:这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角．

④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。

3、勾股数

满足a2 + b2= ｃ2的三个正整数,称为勾股数。注意:①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。②一组勾股数扩大相同的正整数倍后,仍是勾股数。常见勾股数有:

（3，4，5)(5,12,13） (6,8,1０） (7,２4,25) （８,1５，17 ）(９，40，4１ )

４、最短距离问题：主要运用的依据是两点之间线段最短。

二、考点剖析

考点一：利用勾股定理求面积

1、求阴影部分面积:（1）阴影部分是正方形;(2)阴影部分是长方形;（３)阴影部分是半圆.

２. 如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是Ｓ1、Ｓ2、S3,则它们之间的关系是( ）Ａ. S1－ S２= S3 B. S1+ Ｓ2= S3 C.

S2＋S3< S1 D. S2- S３=Ｓ1

3、如图,以Ｒｔ△ABＣ的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．

4、四边形ABCD中,∠B＝90°,AB=3,BＣ=4,ＣD=12，AＤ=１3,求四边形ABＣＤ的面积。

知识点一、直接应用勾股定理或勾股定理逆定理

例1：如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）

A. CD、EF、GH B. AB、EF、GH

C. AB、CD、GH D. AB、CD、EF

勾股定理说到底是一个等式，而含有未知数的等式就是方程。所以，在利用勾股定理求线段的长时常通过解方程来解决。勾股定理表达式中有三个量，如果条件中只有一个已知量，必须设法求出另一个量或求出另外两个量之间的关系，这一点是利用勾股定理求线段长时需要明确的思路。

方程的思想：通过列方程（组）解决问题，如：运用勾股定理及其逆定理求线段的长度或解决实际问题时，经常利用勾股定理中的等量关系列出方程来解决问题等。

例3：一场罕见的大风过后，学校那棵老杨树折断在地，此刻，张老师正和占明、清华、绣亚、冠华在楼上凭栏远眺。

清华开口说道：“老师，那棵树看起来挺高的。”

“是啊，有10米高呢，现在被风拦腰刮断，可惜呀！”

“但站立的一段似乎也不矮，有四五米高吧。”冠华兴致勃勃地说。

张老师心有所动，他说：“刚才我跑过时用脚步量了一下，发现树尖距离树根恰好3米，你们能求出杨树站立的那一段的高度吗？”

占明想了想说：“树根、树尖、折断处三点依次相连后构成一个直角三角形。”

“勾股定理一定是要用的，而且不动笔墨恐怕是不行的。”绣亚补充说。

几位男孩子走进教室，画图、计算，不一会就得出了答案。同学们，你算出来了吗？

思路分析：

1）题意分析： 本题考查勾股定理的应用

2）解题思路：本题关键是认真审题抓住问题的本质进行分析才能得出正确的解答

常通过作辅助线构造直角三角形将它们转化为直角三角形问题等。

解题后的思考：

分类讨论思想是解题时常用的一种思想方法，同学们如果掌握了这种方法，可以使思维的条理性、缜密性、灵活性得到培养，才能在解题中真正做到不重不漏。

1 9.已知Rt△ABC的周长为，其中斜边，求这个三角形的面积。

10. 如果把勾股定理的边的平方理解为正方形的面积，那么从面积的角度来说，勾股定理可以推广.

(1)如图，以Rt△ABC的三边长为边作三个等边三角形，则这三个等边三角形的面积1S、2S、3S之间有何关系？并说明理由。

（2）如图，以Rt△ABC的三边长为直径作三个半圆，则这三个半圆的面积1S、2S、3S之间有何关系？

（3）如果将上图中的斜边上的半圆沿斜边翻折180°，请探讨两个阴影部分的面积之和与直角三角形的面积之间的关系，并说明理由。（此阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”）

题型二：利用勾股定理测量长度

例1. 如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？

跟踪练习：

1.如图（8），水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度AC.

2.一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大升长为13米，则云梯可以达该建筑物的最大高度是（ ）

A、12米 B、13米 C、14米 D、15米

3.如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（ ） 2 A、8米 B、10米 C、12米 D、14米

题型三：勾股定理和逆定理并用——

例3. 如图3，正方形ABCD中，E是BC边上的中点，F是AB上一点，且ABFB41那么△DEF是直角三角形吗？为什么？

注：本题利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必练习题。

跟踪练习：

1. 如图，正方形ABCD中，E为BC边的中点，F点CD边上一点，且DF=3CF，求证：∠AEF=90°

题型四：利用勾股定理求线段长度——

勾股定理

一、勾股定理：

1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么

a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方

ABCabc弦股勾

勾：直角三角形较短的直角边

股：直角三角形较长的直角边

弦：斜边

勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

2. 勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。）

*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13

3. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）

其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。

（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。

用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：

（1）确定最大边（不妨设为c）；

（2）若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形；

若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；

若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）

4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。

5. 勾股定理的作用：

（1）已知直角三角形的两边求第三边。

（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。

（3）用于证明线段平方关系的问题。

（4）利用勾股定理，作出长为n的线段 勾股定理：

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勾股定理复习

一、知识要点：

1、勾股定理

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。也就是说：如果直角三角形

的两直角边为a、b，斜边为c ，那么 a2 + b2= c2。公式的变形：a2 = c2- b2， b2= c2-a2 。2、勾股定理的逆定理

如果三角形ABC的三边长分别是a，b，c，且满足a2 + b2= c2，那么三角形ABC 是直角三

角形。这个定理叫做勾股定理的逆定理. 该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点：

①已知的条件：某三角形的三条边的长度.②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+

中间边的平方.③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角.

④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。

3、勾股数

满足a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数

或小数。②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。4、最短距离问题：

主要运用的依据是两点之间线段最短。

二、考点剖析考点一：利用勾股定理求面积

求：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆．

2. 如图，以Rt△ABC的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．

考点二：在直角三角形中，已知两边求第三边

例如图2，已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高，AD＝8，则边BC的长为（）

A．21 B．15 C．6 D．以上答案都不对

【强化训练】：1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm ，则斜边长为．

2．（易错题、注意分类的思想）已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长的平方是

3、已知直角三角形两直角边长分别为5和12，求斜边上的高．（结论：直角三角形的两条直

角边的积等于斜边与其高的积，ab=ch）

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考点三：应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高

例、如图1所示，等腰中，，

《勾股定理》典型例题分析

一、知识要点：

1、勾股定理

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c ，那么 a2 + b2= c2。公式的变形：a2 = c2-

b2， b2= c2-a2 。

2、勾股定理的逆定理

如果三角形ABC的三边长分别是a，b，c，且满足a2 + b2= c2，那么三角形ABC 是直角三角形。这个定理叫做勾股定理的逆定理.

该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点：

① 已知的条件：某三角形的三条边的长度.

②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方.

③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角.

④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。 3、勾股数

满足a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。常见勾股数有：

（3，4，5）(5，12，13) (6，8，10) (7，24，25) (8，15，17 )(9，40，41 )

4、最短距离问题：主要运用的依据是两点之间线段最短。

二、考点剖析

考点一：利用勾股定理求面积

1、求阴影部分面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆．

2. 如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S1、S2、S3，则它们之间的关系是（ ）A. S1- S2= S3 B. S1+ S2= S3 C. S2+S3<

S1 D. S2- S3=S1

3、如图，以Rt△ABC的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．

4、四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。

1

勾股定理知识点

一、勾股定理的证明

例1

试通过等积法得出啊a，b，c三者的关系。

首先勾股定理只在直角三角形中才存在；其次就是三边存在关系a2＋b2＝c2。即勾股定理可以表述为：

二、勾股定理的定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么

a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。简单的说，勾股定理就是直角三角形三边的一种数量关系。其中较短的直角边我们叫它：勾；较长长边我们叫它：股；斜边叫它：弦。

ABCabc弦股勾

既然直角三角形三边是这样关系，那么对于锐角三角形和钝角三角形又是怎样的关系呢？这里大家可以通过特殊三角形来记忆：锐角三角形就通过边长为1的等边三角形来特殊化，显然a2＋b2＞c2

对于钝角三角形，可以通过底角为30度，腰为2的等腰三角形来记忆，计算可知a2＋b2＜c2

大家不仅要掌握勾股定理，对于勾股定理的逆定理也是必须掌握的，它是我们判断直角三角形时一个很好的方法，那我们看看它的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：

A、若已知边长：

（1）确定最大边（不妨设为c）；

（2）若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形；

若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；

若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）

B、若未知边长，则直接进行第二步。 bccaabDCAEB 2 例2：在ABC中，若2a=（b+c）（b-c），则ABC是

三角形，且

90

三、对于勾股定理，还有个很重要的概念：勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。）

勾股定理典型例题归类总结

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ﻩ9.已知Rt△AＢC的周长为，其中斜边，求这个三角形的面积。

10． 如果把勾股定理的边的平方理解为正方形的面积，那么从面积的角度来说,勾股定理可以推广.

（1)如图,以Ｒｔ△ABC的三边长为边作三个等边三角形，则这三个等边三角形的面积1S、2S、3S之间有何关系？并说明理由。

(2）如图,以Ｒｔ△AＢＣ的三边长为直径作三个半圆，则这三个半圆的面积1S、2S、3S之间有何关系？

(3)如果将上图中的斜边上的半圆沿斜边翻折１80°，请探讨两个阴影部分的面积之和与直角三角形的面积之间的关系,并说明理由。（此阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”)

题型二:利用勾股定理测量长度

例１. 如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米?

跟踪练习:

1.如图(8)，水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分ＢC的长是0．5米,把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到Ｄ点,并求水池的深度AＣ．

2．一座建筑物发生了火灾,消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大升长为１3米,则云梯可以达该建筑物的最大高度是( ）

A、1２米 Ｂ、1３米 C、14米 D、１5米

３．如图，有两颗树,一颗高１0米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行( ） A、8米 B、10米 C、12米 D、14米

题型三：勾股定理和逆定理并用——

例3. 如图３,正方形ABCD中，E是BC边上的中点,F是ＡB上一点,且ABFB41那么△DEＦ是直角三角形吗？为什么?

注：本题利用了四次勾股定理,是掌握勾股定理的必练习题。

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专业资料 9.已知Rt△ABC的周长为，其中斜边，求这个三角形的面积。

10. 如果把勾股定理的边的平方理解为形的面积，那么从面积的角度来说，勾股定理可以推广.

(1)如图，以Rt△ABC的三边长为边作三个等边三角形，则这三个等边三角形的面积1S、2S、3S之间有何关系？并说明理由。

（2）如图，以Rt△ABC的三边长为直径作三个半圆，则这三个半圆的面积1S、2S、3S之间有何关系？

（3）如果将上图中的斜边上的半圆沿斜边翻折180°，请探讨两个阴影部分的面积之和与直角三角形的面积之间的关系，并说明理由。（此阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”）

题型二：利用勾股定理测量长度

例1. 如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？

跟踪练习：

1.如图（8），水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度AC.

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专业资料

2.一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大升长为13米，则云梯可以达该建筑物的最大高度是（ ）

A、12米 B、13米 C、14米 D、15米

3.如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）

A、8米 B、10米 C、12米 D、14米

题型三：勾股定理和逆定理并用——

例3. 如图3，形ABCD中，E是BC边上的中点，F是AB上一点，且ABFB41那么△DEF是直角三角形吗？为什么？

注：本题利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必练习题。

跟踪练习： .

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经典例题透析

一、勾股定理的直接用法

在Rt△ABC中，∠C=90°

(1)已知a=6， c=10，求b， (2)已知a=40，b=9，求c； (3)已知c=25，b=15，求a.

b= c= a=

【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少?

二、勾股定理的构造应用

如图，已知：在中，，，. 求：BC的长.

【变式1】如图，已知：，，于P. 求证：.

【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。

三、勾股定理的实际应用

（一）用勾股定理求两点之间的距离问题

如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。

（1）求A、C两点之间的距离。

（2）确定目的地C在营地A的什么方向。

2

GA'BDCAEF

（二）用勾股定理求最短问题

如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．

如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为2m、0.3m、0.2m，A和B是台阶上两个相对的顶点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，问蚂蚁沿着台阶爬行到B点的最短路程是多少？

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（三）梯子问题

一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？

（四）旋转问题

如图，P是等边三角形ABC内一点，PA=2,PB=23,PC=4,求△ABC的边长.

（五）折叠问题

矩形ABCD中，AB=6，BC=8，先把它对折，折痕为EF，展开后再沿BG折叠，使A落在EF上的A1，求第二次折痕BG的长。

典型例题

知识点一、直接应用勾股定理或勾股定理逆定理

例1：如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）

A. CD、EF、GH B. AB、EF、GH

C. AB、CD、GH D. AB、CD、EF

勾股定理说到底是一个等式，而含有未知数的等式就是方程。所以，在利用勾股定理求线段的长时常通过解方程来解决。勾股定理表达式中有三个量，如果条件中只有一个已知量，必须设法求出另一个量或求出另外两个量之间的关系，这一点是利用勾股定理求线段长时需要明确的思路。

方程的思想：通过列方程（组）解决问题，如：运用勾股定理及其逆定理求线段的长度或解决实际问题时，经常利用勾股定理中的等量关系列出方程来解决问题等。

例3：一场罕见的大风过后，学校那棵老杨树折断在地，此刻，张老师正和占明、清华、绣亚、冠华在楼上凭栏远眺。

清华开口说道：“老师，那棵树看起来挺高的。”

“是啊，有10米高呢，现在被风拦腰刮断，可惜呀！”

“但站立的一段似乎也不矮，有四五米高吧。”冠华兴致勃勃地说。

张老师心有所动，他说：“刚才我跑过时用脚步量了一下，发现树尖距离树根恰好3米，你们能求出杨树站立的那一段的高度吗？”

占明想了想说：“树根、树尖、折断处三点依次相连后构成一个直角三角形。”

“勾股定理一定是要用的，而且不动笔墨恐怕是不行的。”绣亚补充说。

几位男孩子走进教室，画图、计算，不一会就得出了答案。同学们，你算出来了吗？

思路分析：

1）题意分析： 本题考查勾股定理的应用

2）解题思路：本题关键是认真审题抓住问题的本质进行分析才能得出正确的解答

常通过作辅助线构造直角三角形将它们转化为直角三角形问题等。

解题后的思考：

分类讨论思想是解题时常用的一种思想方法，同学们如果掌握了这种方法，可以使思维的条理性、缜密性、灵活性得到培养，才能在解题中真正做到不重不漏。

《勾股定理》典型例题折叠问题

《勾股定理》典型例题折叠问题

1、如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AＣ＝６,ＢＣ＝8，将△ABＣ折叠，使点B与点A重合,折痕为DE,则CD等于( ）

A. 425

B. 322 C. 47 D． 35

2、如图所示,已知△AＢＣ中,∠C=9０°,ＡB的垂直平分线交ＢC•于Ｍ,交AB于N,若AC＝4，MB=2MＣ,求ＡB的长．

3、折叠矩形ABＣD的一边ＡＤ,点D落在BC边上的点F处,已知AＢ=8ＣＭ,BC=1０CＭ,求CＦ 和EC。

4、如图，在长方形ＡBCD中，DC=5,在DC边上存在一点E,沿直线AＥ把△ＡBC折叠，使点D恰好在BC边上，设此点为F，若△ABF的面积为30,求折叠的△AEＤ的面积 A

B C E

F D 《勾股定理》典型例题折叠问题

DCBAFE

5、如图,矩形纸片ABCD的长AD＝9㎝，宽ＡＢ＝3㎝,将其折叠，使点Ｄ与点Ｂ重合，那么折叠后DE的长是多少?

6、如图,在长方形ＡBＣＤ中,将ABC沿AC对折至ＡEC位置，CＥ与AD交于点F。

（1）试说明：AF=FC；（2)如果ＡＢ=3,BＣ=４,求AＦ的长

7、如图2所示,将长方形ABCD沿直线AＥ折叠,顶点Ｄ正好落在BＣ边上Ｆ点处,已知CE=3cm，AB＝8ｃｍ,则图中阴影部分面积为_______．

《勾股定理》典型例题折叠问题

8、如图２-3，把矩形ABＣD沿直线BD向上折叠,使点Ｃ落在C′的位置上,已知ＡB=•3,BC=7,重合部分△EＢＤ的面积为___＿＿_＿_.

9、如图５,将正方形AＢCD折叠,使顶点A与ＣD边上的点M重合，折痕交ＡD于Ｅ,交BC于Ｆ，边AＢ折叠后与BC边交于点Ｇ。如果Ｍ为CD边的中点,求证:DE：DM：EM=3:４:５。

１0、如图2-5,长方形ＡBＣＤ中，ＡB=3,BC＝4,若将该矩形折叠，使C点与A点重合，•则折叠后痕迹ＥＦ的长为（ )