衡水中学高考数学一轮备考(精华版)

1．两个实数比较大小的方法 (1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b >0⇔a > b a －b ＝0⇔a ＝ ba －b <0⇔a < b(a ，b ∈R )；(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab>1⇔a > b ab ＝1⇔a ＝ ba b<1⇔a < b (a ∈R ，b >0)．2．不等式的基本性质性质 性质内容 特别提醒 对称性 a >b ⇔b <a ⇔ 传递性 a >b ，b >c ⇒a >c ⇒ 可加性 a >b ⇔a ＋c >b ＋c⇔ 可乘性⎭⎬⎫a >bc >0⇒ac >bc 注意c 的符号3.不等式的一些常用性质 (1)倒数的性质 ①a >b ，ab >0⇒1a <1b .②a <0<b ⇒1a <1b .③a >b >0,0<c <d ⇒a c >bd.④0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a .(2)有关分数的性质 若a >b >0，m >0，则①b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －m a －m (b －m >0)． ②a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －m b －m (b －m >0)． 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个实数a ，b 之间，有且只有a >b ，a ＝b ，a <b 三种关系中的一种．( √ ) (2)若ab>1，则a >b .( × )(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．( × ) (4)一个非零实数越大，则其倒数就越小．( × ) (5)a >b >0，c >d >0⇒a d >bc .( √ )(6)若ab >0，则a >b ⇔1a <1b.( √ )1．设a <b <0，则下列不等式中不成立的是( ) A.1a >1b B.1a －b >1a C ．|a |>－b D.－a >－b答案 B解析 由题设得a <a －b <0，所以有1a －b <1a 成立，即1a －b >1a不成立． 2．(教材改编)若a ，b 都是实数，则“a －b >0”是“a 2－b 2>0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A 解析a －b >0⇒a >b⇒a >b ⇒a 2>b 2，但由a 2－b 2>0⇏a －b >0.3．若a ，b ∈R ，且a ＋|b |<0，则下列不等式中正确的是( ) A ．a －b >0 B ．a 3＋b 3>0 C ．a 2－b 2<0 D ．a ＋b <0答案 D解析 由a ＋|b |<0知，a <0，且|a |>|b |， 当b ≥0时，a ＋b <0成立，当b <0时，a ＋b <0成立，∴a ＋b <0.故选D.4．如果a ∈R ，且a 2＋a <0，则a ，a 2，－a ，－a 2的大小关系是________________． 答案 a <－a 2<a 2<－a 解析 由a 2＋a <0得a <－a 2， ∴a <0且a >－1，∴－a 2<a 2<－a .5．(教材改编)若0<a <b ，且a ＋b ＝1，则将a ，b ，12，2ab ，a 2＋b 2从小到大排列为________________． 答案 a <2ab <12<a 2＋b 2<b解析 ∵0<a <b 且a ＋b ＝1， ∴a <12<b <1，∴2b >1且2a <1，∴a <2b ·a ＝2a (1－a )＝－2a 2＋2a ＝－2⎝⎛⎭⎫a －122＋12<12. 即a <2ab <12，又a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab >1－12＝12，即a 2＋b 2>12，a 2＋b 2－b ＝(1－b )2＋b 2－b ＝(2b －1)(b －1)， 又2b －1>0，b －1<0，∴a 2＋b 2－b <0， ∴a 2＋b 2<b ，综上，a <2ab <12<a 2＋b 2<b .题型一 比较两个数(式)的大小例1 (1)已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( )A ．M <NB ．M >NC ．M ＝ND ．不确定(2)若a ＝ln 33，b ＝ln 44，c ＝ln 55，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c答案 (1)B (2)B解析 (1)M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1) ＝a 1a 2－a 1－a 2＋1 ＝a 1(a 2－1)－(a 2－1) ＝(a 1－1)(a 2－1)， 又∵a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)， ∴a 1－1<0，a 2－1<0.∴(a 1－1)(a 2－1)>0，即M －N >0. ∴M >N .(2)方法一 易知a ，b ，c 都是正数，b a ＝3ln 44ln 3＝log 8164<1， 所以a >b ；b c ＝5ln 44ln 5＝log 6251 024>1， 所以b >c .即c <b <a .方法二 对于函数y ＝f (x )＝ln xx ，y ′＝1－ln x x 2，易知当x >e 时，函数f (x )单调递减． 因为e<3<4<5，所以f (3)>f (4)>f (5)， 即c <b <a .思维升华 比较大小的常用方法 (1)作差法：一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差． (2)作商法：一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论．(3)函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数单调性得出大小关系．(1)设a ，b ∈[0，＋∞)，A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b ，则A ，B 的大小关系是( ) A ．A ≤B B ．A ≥B C ．A <BD ．A >B(2)若a ＝1816，b ＝1618，则a 与b 的大小关系为________． 答案 (1)B (2)a <b 解析 (1)∵A ≥0，B ≥0， A 2－B 2＝a ＋2ab ＋b －(a ＋b ) ＝2ab ≥0， ∴A ≥B .(2)a b ＝18161618＝(1816)161162 ＝(98)16(12)16＝(982)16， ∵982∈(0,1)，∴(982)16<1，∵1816>0,1618>0， ∴1816<1618.即a <b . 题型二 不等式的性质例2 (1)已知a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中一定成立的是( ) A ．ab >ac B ．c (b －a )<0 C ．cb 2<ab 2D ．ac (a －c )>0(2)若1a <1b<0，则下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b ；④ab <b 2中，正确的不等式有( ) A ．①② B ．②③ C ．①④ D ．③④ 答案 (1)A (2)C解析 (1)由c <b <a 且ac <0知c <0且a >0. 由b >c 得ab >ac 一定成立．(2)因为1a <1b <0，所以b <a <0，a ＋b <0，ab >0，所以a ＋b <ab ，|a |<|b |，在b <a 两边同时乘以b ， 因为b <0，所以ab <b 2.因此正确的是①④.思维升华 解决此类问题常用两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误答案．利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．若a >0>b >－a ，c <d <0，则下列结论：①ad >bc ；②a d ＋bc <0；③a －c >b －d ；④a (d －c )>b (d －c )中成立的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C解析 方法一 ∵a >0>b ，c <d <0， ∴ad <0，bc >0， ∴ad <bc ，故①错误． ∵a >0>b >－a ，∴a >－b >0， ∵c <d <0，∴－c >－d >0， ∴a (－c )>(－b )(－d )，∴ac ＋bd <0，∴a d ＋b c ＝ac ＋bdcd <0，故②正确．∵c <d ，∴－c >－d ，∵a >b ，∴a ＋(－c )>b ＋(－d )， ∴a －c >b －d ，故③正确．∵a >b ，d －c >0，∴a (d －c )>b (d －c )， 故④正确，故选C. 方法二 取特殊值． 题型三 不等式性质的应用命题点1 应用性质判断不等式是否成立 例3 已知a >b >0，给出下列四个不等式：①a 2>b 2；②2a >2b －1；③a －b >a －b ；④a 3＋b 3>2a 2b . 其中一定成立的不等式为( ) A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④ D ．②③④答案 A解析 方法一 由a >b >0可得a 2>b 2，①成立；由a >b >0可得a >b －1，而函数f (x )＝2x 在R 上是增函数， ∴f (a )>f (b －1)，即2a >2b －1，②成立； ∵a >b >0，∴a >b ， ∴(a －b )2－(a －b )2＝2ab －2b ＝2b (a －b )>0， ∴a －b >a －b ，③成立；若a ＝3，b ＝2，则a 3＋b 3＝35,2a 2b ＝36， a 3＋b 3<2a 2b ，④不成立． 故选A.方法二 令a ＝3，b ＝2， 可以得到①a 2>b 2，②2a >2b －1，③a －b >a －b 均成立，而④a 3＋b 3>2a 2b 不成立，故选A.命题点2 求代数式的取值范围例4 已知－1<x <4,2<y <3，则x －y 的取值范围是________，3x ＋2y 的取值范围是________． 答案 (－4,2) (1,18)解析 ∵－1<x <4,2<y <3，∴－3<－y <－2， ∴－4<x －y <2.由－1<x <4,2<y <3，得－3<3x <12,4<2y <6， ∴1<3x ＋2y <18. 引申探究1．若将例4条件改为－1<x <y <3，求x －y 的取值范围． 解 ∵－1<x <3，－1<y <3， ∴－3<－y <1，∴－4<x －y <4. 又∵x <y ，∴x －y <0，∴－4<x －y <0， 故x －y 的取值范围为(－4,0)．2．若将例4条件改为－1<x ＋y <4,2<x －y <3，求3x ＋2y 的取值范围． 解 设3x ＋2y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，m －n ＝2，∴⎩⎨⎧m ＝52，n ＝12.即3x ＋2y ＝52(x ＋y )＋12(x －y )，又∵－1<x ＋y <4,2<x －y <3，∴－52<52(x ＋y )<10,1<12(x －y )<32，∴－32<52(x ＋y )＋12(x －y )<232，即－32<3x ＋2y <232，∴3x ＋2y 的取值范围为(－32，232)．思维升华 (1)判断不等式是否成立的方法①判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质．②在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等． (2)求代数式的取值范围利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围．解决此类问题，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径．(1)若a <b <0，则下列不等式一定成立的是( ) A.1a －b >1bB ．a 2<abC.|b ||a |<|b |＋1|a |＋1 D ．a n >b n(2)设a >b >1，c <0，给出下列三个结论：①c a >c b；②a c <b c ；③log b (a －c )>log a (b －c )． 其中所有正确结论的序号是( )A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③答案 (1)C (2)D解析 (1)(特值法)取a ＝－2，b ＝－1，逐个检验，可知A ，B ，D 项均不正确；C 项，|b ||a |<|b |＋1|a |＋1⇔|b |(|a |＋1)<|a |(|b |＋1) ⇔|a ||b |＋|b |<|a ||b |＋|a |⇔|b |<|a |，∵a <b <0，∴|b |<|a |成立，故选C.(2)由不等式性质及a >b >1知1a <1b， 又c <0，∴c a >c b，①正确； 构造函数y ＝x c ，∵c <0，∴y ＝x c 在(0，＋∞)上是减函数，又a >b >1，∴a c <b c ，②正确；∵a >b >1，c <0，∴a －c >b －c >1，∴log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )，③正确．7．利用不等式变形求范围典例 设f (x )＝ax 2＋bx ，若1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，则f (－2)的取值范围是________． 错解展示 解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2， ①2≤a ＋b ≤4， ② ①＋②得3≤2a ≤6，∴6≤4a ≤12，又由①可得－2≤－a ＋b ≤－1，③②＋③得0≤2b ≤3，∴－3≤－2b ≤0，又f (－2)＝4a －2b ，∴3≤4a －2b ≤12，∴f (－2)的取值范围是[3,12]．答案 [3,12]现场纠错解析 方法一 由⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ， 得⎩⎨⎧ a ＝12[f (－1)＋f (1)]，b ＝12[f (1)－f (－1)]，∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)．又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2，2≤a ＋b ≤4确定的平面区域如图阴影部分所示，当f (－2)＝4a －2b 过点A (32，12)时，取得最小值4×32－2×12＝5， 当f (－2)＝4a －2b 过点B (3,1)时，取得最大值4×3－2×1＝10，∴5≤f (－2)≤10.答案 [5,10]纠错心得 在求式子的范围时，如果多次使用不等式的可加性，式子中的等号不能同时取到，会导致范围扩大.1．已知a >b ，c >d ，且c ，d 不为0，那么下列不等式成立的是( )A ．ad >bcB ．ac >bdC ．a －c >b －dD ．a ＋c >b ＋d答案 D解析 由不等式的同向可加性得a ＋c >b ＋d .2．(2016·包头模拟)若6<a <10，a 2≤b ≤2a ，c ＝a ＋b ，那么c 的取值范围是( ) A ．9≤c ≤18B ．15<c <30C ．9≤c ≤30D ．9<c <30 答案 D解析 ∵c ＝a ＋b ≤3a 且c ＝a ＋b ≥3a 2， ∴9<3a 2≤a ＋b ≤3a <30. 3．已知x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式成立的是( )A ．xy >yzB ．xz >yzC ．xy >xzD ．x |y |>z |y | 答案 C解析 ∵x >y >z 且x ＋y ＋z ＝0，∴x >0，z <0，又y >z ，∴xy >xz .4．设a ，b ∈R ，则“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A 解析 由(a －b )·a 2<0⇒a ≠0且a <b ，∴充分性成立；由a <b ⇒a －b <0，当0＝a <b 时⇏ (a －b )·a 2<0，必要性不成立．5．设α∈(0，π2)，β∈[0，π2]，那么2α－β3的取值范围是( ) A ．(0，5π6) B ．(－π6，5π6) C ．(0，π)D ．(－π6，π) 答案 D解析 由题设得0<2α<π，0≤β3≤π6， ∴－π6≤－β3≤0，∴－π6<2α－β3<π. 6．已知a ，b ，c ∈R ，那么下列命题中正确的是( )A ．若a >b ，则ac 2>bc 2B ．若a c >b c，则a >b C ．若a 3>b 3且ab <0，则1a >1bD ．若a 2>b 2且ab >0，则1a <1b答案 C解析 当c ＝0时，可知A 不正确；当c <0时，可知B 不正确；对于C ，由a 3>b 3且ab <0，知a >0且b <0，所以1a >1b成立，C 正确； 当a <0且b <0时，可知D 不正确．7．若a >b >0，则下列不等式中一定成立的是( )A ．a ＋1b >b ＋1aB.b a >b ＋1a ＋1 C ．a －1b >b －1a D.2a ＋b a ＋2b >a b答案 A解析 取a ＝2，b ＝1，排除B 与D ；另外，函数f (x )＝x －1x是(0，＋∞)上的增函数，但函数g (x )＝x ＋1x在(0,1]上递减，在[1，＋∞)上递增，所以，当a >b >0时，f (a )>f (b )必定成立，即a －1a >b －1b ⇔a ＋1b >b ＋1a，但g (a )>g (b )未必成立，故选A. 8．若a >b >0，则下列不等式一定不成立的是( )A.1a <1bB ．log 2a >log 2bC ．a 2＋b 2≤2a ＋2b －2D ．b <ab <a ＋b 2<a 答案 C解析 ∵(a －1)2＋(b －1)2>0(由a >b >0，a ，b 不能同时为1)，∴a 2＋b 2－2a －2b ＋2>0，∴a 2＋b 2>2a ＋2b －2，∴C 项一定不成立．9．若不等式(－2)n a －3n －1－(－2)n <0对任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫1，43 B.⎝⎛⎭⎫12，43 C.⎝⎛⎭⎫1，74 D.⎝⎛⎭⎫12，74 答案 D解析 当n 为奇数时，2n (1－a )<3n －1,1－a <13×⎝⎛⎭⎫32n 恒成立，只需1－a <13×⎝⎛⎭⎫321，∴a >12.当n 为偶数时，2n (a －1)<3n －1，a －1<13×⎝⎛⎭⎫32n 恒成立，只需a －1<13×⎝⎛⎭⎫322，∴a <74. 综上，12<a <74，故选D. 10．已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题①若ab >0，bc －ad >0，则c a －d b>0； ②若ab >0，c a －d b>0，则bc －ad >0； ③若bc －ad >0，c a －d b>0，则ab >0. 其中正确的命题是________．答案 ①②③解析 ∵ab >0，bc －ad >0，∴c a －d b ＝bc －ad ab>0，∴①正确； ∵ab >0，又c a －d b >0，即bc －ad ab>0， ∴bc －ad >0，∴②正确；∵bc －ad >0，又c a －d b >0，即bc －ad ab>0， ∴ab >0，∴③正确．故①②③都正确．11．已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是________． 答案 a ＝b >c解析 ∵a ＝log 23＋log 23＝log 233，b ＝log 29－log 23＝log 233，∴a ＝b ，又a ＝log 233>1，c ＝log 32<1，∴a >c ，故a ＝b >c .12．设a >b >c >0，x ＝a 2＋(b ＋c )2，y ＝b 2＋(c ＋a )2，z ＝c 2＋(a ＋b )2，则x ，y ，z 的大小关系是________．(用“>”连接)答案 z >y >x解析 方法一 y 2－x 2＝2c (a －b )>0，∴y >x .同理，z >y ，∴z >y >x .方法二 令a ＝3，b ＝2，c ＝1，则x ＝18，y ＝20，z ＝26，故z >y >x .*13.某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠．解 设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元/人，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元，则y 1＝x ＋34x ·(n －1) ＝14x ＋34nx ，y 2＝45nx . 所以y 1－y 2＝14x ＋34nx －45nx ＝14x －120nx ＝14x (1－n 5)． 当n ＝5时，y 1＝y 2；当n >5时，y 1<y 2；当n <5时，y 1>y 2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费同等优惠； 当单位去的人数多于5人时，甲车队收费更优惠； 当单位去的人数少于5人时，乙车队收费更优惠．。

第一章集合与常用逻辑用语第一讲集合的概念与运算1．集合与元素一组对象的全体构成一个集合．(1)集合中元素的三大特征：确定性、互异性、无序性．(2)集合中元素与集合的关系：对于元素a与集合A，__a∈A__或__a∉A__，二者必居其一．(3)常见集合的符号表示.数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*Z Q R(4)(5)集合的分类：集合按元素个数的多少分为有限集、无限集，有限集常用列举法表示，无限集常用描述法表示．2．集合之间的基本关系关系定义表示相等集合A与集合B中的所有元素都__相同__A__＝__B子集A中的任意一个元素都是__B中的元素__A__⊆__B真子集A是B的子集，且B中至少有一个元素__不属于A__A____B__∅__(2)若集合A中含有n个元素，则其子集个数为__2n__，真子集个数为__2n－1__，非空真子集的个数为__2n－2__.(3)空集是任何集合的子集，是任何__非空集合__的真子集．(4)若A⊆B，B⊆C，则A__⊆__C．3．集合的基本运算符号语言交集A∩B并集A∪B补集∁U A 图形语言意义A∩B＝{x|x∈A且x∈B}A∪B＝{x|x∈A或x∈B}∁U A＝{x|x∈U且x∉A}1．A∩A＝A，A∩∅＝∅.2．A∪A＝A，A∪∅＝A．3．A∩(∁U A)＝∅，A∪(∁U A)＝U，∁U(∁U A)＝A．4．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁U A⊇∁U B⇔A∩(∁U B)＝∅.1．已知集合A＝{x∈N|0≤x≤4}，则下列表述正确的是(D)A．0∉A B．1⊆AC．2⊆A D．3∈A[解析]集合A＝{x∈N|0≤x≤4}，所以0∈A,1∈A，2∉A,3∈A．2．若A＝{x|x＝4k－1，k∈Z}，B＝{x＝2k－1，k∈Z}，则集合A与B的关系是(B)A．A＝B B．A BC．A B D．A⊆B[解析]因为集合B＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，A＝{x|x＝4k－1，k∈Z}＝{x|x＝2(2k)－1，k∈Z}，集合B表示2与整数的积减1的集合，集合A表示2与偶数的积减1的集合，所以A B，故选B．3．设集合M＝{2,4,6,8}，N＝{1,2,3,5,6,7}，则M∩N的子集的个数为(B)A．2B．4C．7D．128[解析]∵M＝{2,4,6,8}，N＝{1,2,3,5,6,7}，∴M∩N＝{2,6}，即M∩N中元素的个数为2，子集22＝4个，故选B．4．已知集合A＝{x|x>0}，B＝{x|－1≤x≤2}，则A∪B＝(A)A．{x|x≥－1}B．{x|x≤2}C．{x|0<x≤2}D．{x|－1≤x≤2}[解析]根据题意，作图可得，则A∪B＝{x|x≥－1}，故选A．5．(文)已知A＝{x|x＋1>0}，B＝{－2，－1,0,1}，则(∁R A)∩B(A)A．{－2，－1}B．{－2}C．{－2,0,1}D．{0,1}(理)已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(∁R Q)＝(B)A．[2,3]B．(－2,3]C．[1,2)D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)[解析](文)∵A＝{x|x＋1>0}＝{x|x>－1}，∴∁R A＝{x|x≤－1}，∴(∁R A)∩B＝{x|x≤－1}∩{－2，－1,0,1}＝{－2，－1}．(理)∵Q＝{x∈R|x2≥4}＝{x∈R|x≥2或x≤－2}，∴∁R Q＝{x∈R|－2<x<2}，则P∪(∁R Q)＝(－2,3]．故选B．[方法技巧](文)集合基本运算的方法技巧(1)当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算．(2)当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验．6．2∈{x2＋x,2x}则x＝__－2__；－2∉{x2＋x,2x}，则x≠__0且x≠1，且x≠－1__.[解析]x2＋x＝2得x＝－2或1(舍去)，2x＝2得x＝1(舍去)，综上x＝－2；不属于按属于处理，－2＝x2＋x无解．－2＝2x，得x＝－1，又x2＋x与2x不同，∴x≠0,1.7．(文)(2018·山西吕梁期中)已知集合M＝{x||x|≤1}，N＝{y|y＝x2，x∈R}，则M∩N＝(D) A．[－1,1]B．∅C．(0,1]D．[0,1](理)(2018·江西宜春月考)设全集I＝R，集合A＝{y|y＝log2x，x>2}，B＝{x|y＝x－1}，则(A) A．A⊆B B．A∪B＝AC．A∩B＝∅D．A∩(∁I B)≠∅[解析](文)∵集合M＝{x||x|≤1}＝{x|－1≤x≤1}，N＝{y|y＝x2，x∈R}＝{y|y≥0}，∴M∩N＝{0|0≤x≤1}＝[0,1]．故选D．(理)由题意，A＝{y|y＝log2x，x>2}＝(1，＋∞)，B＝{x|y＝x－1}＝[1，＋∞)，∴A⊆B．故选A．[方法技巧]判断集合间关系的三种方法(1)列举法：把元素一一列举观察．(2)集合元素特征法：首先确定集合中的元素是什么，弄清集合中元素的特征，再利用集合中元素的特征判断关系．(3)数形结合法：利用数轴或Venn图．8．(文)(2018·北京东城区月考)已知集合M＝{x|x≤a}，N＝{x|－2<x<0}，若M∩N＝∅，则实数a 的取值范围为(D)A ．(0，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－2](理)(2018·吉林长春检测)已知集合A ＝{x |ax －1＝0}，B ＝{x |1<log 2x ≤2，x ∈N *}，且A ∩B ＝A ，则实数a 的所有可能取值组成的集合是( D )A ．∅B ．{13}C ．{13，14}D ．{0，13，14}[解析] (文)因为M ＝{x |x ≤a }，N ＝{x |－2<x <0}，由M ∩N ＝∅，得a ≤－2.故选D ．(理)由A ∩B ＝A ，得A ⊆B ．∵B ＝{x |1<log 2x ≤2，x ∈N *}＝{x |2<x ≤4，x ∈N *}＝{3,4}．当A ＝∅时，则方程ax －1＝0，无实数解，∴a ＝0，此时显然有A ⊆B ，符合题意；当A ≠∅，则由方程ax －1＝0，得x ＝1a .要使A ⊆B ，则1a ＝3或1a ＝4，即a ＝13或14.综上所述，a 的所有可能取值组成的集合是{0，13，14}．故选D ．考点1 集合的基本概念——自主练透例1 (1)已知集合A ＝{x |x ＝3k ＋1，k ∈Z }，则下列表示不正确的是( C ) A ．－2∈A B ．2019∉A C ．3k 2＋1∉AD ．－35∈A(2)(2018·课标Ⅱ，2)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( A ) A ．9 B ．8 C ．5D ．4(3)若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝ 0或98 .(4)已知a ∈R ，b ∈R ，若{a ，ba，1}＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2019＋b 2019＝__－1__.[解析] (1)当－2＝3k ＋1时，k ＝－1∈Z ，故A 正确；当2019＝3k ＋1时，k ＝67223∉Z ，故B 正确；当－35＝3k ＋1时，k ＝－12∈Z ，故D 正确．故选C ．(2)本题主要考查集合的含义与表示．由题意可知A ＝{(－1,0)，(0,0)，(1,0)，(0，－1)，(0,1)，(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}，故集合A 中共有9个元素，故选A ．(3)若a ＝0，则A ＝{23}，符合题意；若a ≠0，则由题意得Δ＝9－8a ＝0，解得a ＝98.综上，a 的值为0或98.(4)由已知得ba ＝0，∴b ＝0，∴{a,0,1}＝{a 2，a,0}，∴a 2＝1，a ＝－1或1(舍)，∴a 2019＋b 2019＝－1，故填－1.名师点拨 ☞(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合；(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中元素是否满足互异性．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．考点2 集合间的关系——师生共研例2 (1)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则( C ) A ．B ⊆A B ．A ＝B C ．A BD ．B A(2)(2018·云南第一次检测)设集合A ＝{x |－x 2－x ＋2<0}，B ＝{x |2x －5>0}，则集合A 与B 的关系是( A )A ．B A B ．B AC ．B ∈AD ．A ∈B(3)(文)(2018·江西八校联考)集合M ＝{x |x ＝n 2＋1，n ∈Z }，N ＝{y |y ＝n ＋12，n ∈Z }，则两集合M ，N 的关系为( D )A ．M ∩N ＝∅B ．M ＝NC ．M ND ．N M(理)(2018·广西梧州临川期中)设集合M ＝{x |x ＝k 3＋16，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k 6＋23，k ∈Z }，则( B )A ．M ＝NB ．M NC ．NMD ．M ∩N ＝∅(4)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}≠∅，若A ∩B ＝B ，则实数m 的取值范围为__[2,3]__.[解析] (1)A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }＝{1,2}，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }＝{1,2,3,4}，∴A B ． (2)A ＝{x |－x 2－x ＋2<0}＝{x |x >1或x <－2}，B ＝{x |2x －5>0}＝{x |x >52}．∴B A ，故选A ． (3)(文)解法一：(列举法)由题意知：M ＝{…，0，12，1，32，2，…}，N ＝{…，－12，12，32，52，…}，显然N M ，故选D ．解法二：(描述法) M ＝{x |x ＝n ＋22，n ∈Z }，N ＝{y |y ＝2n ＋12，n ∈Z }．∵n ＋2表示所有整数，而2n ＋1表示所有奇数，∴N M ，故选D ． (理)解法一：(列举法)，由题意知 M ＝{…－12，－16，16，12，56，76，……}N ＝{…－16，0，16，13，12，23，56，…}显然M N ，故选B ． 解法二：(描述法)M ＝{x |x ＝2k ＋16，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k ＋46，k ∈Z }∵2k ＋1表示所有奇数，而k ＋4表示所有整数(k ∈Z ) ∴M N ，故选B ． (4)由A ∩B ＝B 知，B ⊆A ．又B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5.解得2≤m ≤3，则实数m 的取值范围为[2,3]．[引申1]本例(4)中若B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}情况又如何？ [解析] 应对B ＝∅和B ≠∅进行分类． ①若B ＝∅，则2m －1<m ＋1，此时m <2. ②若B ≠∅，由例得2≤m ≤3.由①②可得，符合题意的实数m 的取值范围为(－∞，3]．[引申2]本例(4)中是否存在实数m ，使A ⊆B ？若存在，求实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．[解析] 由A ⊆B 得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤－2，2m －1≥5，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－3，m >3，不等式组无解，故不存在实数m ，使A ⊆B ．[引申3]本例(4)中，若B ＝{x |m ＋1≤x ≤1－2m }，A B ，则m 的取值范围为__(－∞，－3]__.[解析] 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤－2，1－2m ≥5，解得m ≤－3.名师点拨 ☞判断集合间关系的3种方法 列举法根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系．(如第1、2题)结构法从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断．(如第3题)数轴法在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系．(如第4题)〔变式训练1〕(1)(2018·辽宁锦州质检(一))集合M ＝{x |x ＝3n ，n ∈N }，集合N ＝{x |x ＝3n ，n ∈N }，则集合M 与集合N 的关系是( D )A ．M ⊆NB ．N ⊆MC ．M ∩N ＝∅D ．MN 且NM(2)(文)(2018·辽宁葫芦岛一中月考)已知集合M ＝{x |y ＝lg(2－x )}，N ＝{y |y ＝1－x ＋x －1}，则( B )A ．M ⊆NB ．N ⊆MC ．M ＝ND ．N ∈M(理)(2018·湖北省部分重点中学联考)已知集合M ＝{x |y ＝1－x 2，x ∈R }，N ＝{x |x ＝m 2，m ∈M }，则集合M ，N 的关系是( B )A ．M NB ．NMC ．M ⊆∁R ND ．N ⊆∁R M(3)已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，B ＝{x |mx ＋10>0}，若A ⊆B ，则m 的取值范围是__(－2,5)__. [解析] (1)因为1∈M,1∉N,6∈N,6∉M ，所以MN 且NM ，故选D ． (2)(文)∵集合M ＝{x |y ＝lg(2－x )}＝(－∞，2)，N ＝{y |y ＝1－x ＋x －1}＝{0}，∴N ⊆M .故选B ．(理)依题意知，M ＝{x |y ＝1－x 2，x ∈R }＝{x |－1≤x ≤1}，N ＝{x |x ＝m 2，m ∈M }＝{x |0≤x ≤1}，所以NM .故选B ．(3)化简A ＝{x |x 2－3x －10≤0}＝{x |－2≤x ≤5}，当m >0时，x >－10m ，因为A ⊆B ，所以－10m <－2，解得m <5，所以0<m <5.当m <0时，x <－10m ，因为A ⊆B ，所以－10m >5，解得m >－2，所以－2<m <0.当m ＝0时，B ＝R ，符合A ⊆B ．综上所述，所求的m 的取值范围是(－2,5)．考点3 集合的基本运算——多维探究角度1 集合的运算例3 (1)(2018·课标全国Ⅰ，1)已知集合A ＝{0,2}，B ＝{－2，－1,0,1,2}，则A ∩B ＝( A )A ．{0,2}B ．{1,2}C ．{0}D ．{－2，－1,0,1,2}(2)(2018·天津，1)设集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}，C ＝{x ∈R |－1≤x <2}，则(A ∪B )∩C ＝( C )A ．{－1,1}B ．{0,1}C ．{－1,0,1}D ．{2,3,4}(3)(2018·天津，1)设全集为R ，集合A ＝{x |0<x <2}，B ＝{x |x ≥1}，则A ∩(∁R B )＝( B ) A ．{x |0<x ≤1} B ．{x |0<x <1} C ．{x |1≤x <2}D ．{x |0<x <2}[解析] (1)本题主要考查集合的基本运算．∵A ＝{0,2}，B ＝{－2，－1,0,1,2}，∴A ∩B ＝{0,2}，故选A ． (2)本题主要考查集合的运算．由题意得A ∪B ＝{1,2,3,4，－1,0}，∴(A ∪B )∩C ＝{1,2,3,4，－1,0}∩{x ∈R |－1≤x <2}＝{－1,0,1}．故选C ．(3)本题主要考查集合的基本运算．由B＝{x|x≥1}，得∁R B＝{x|x<1}，借助于数轴，可得A∩(∁R B)＝{x|0<x<1}，故选B．角度2利用集合的运算求参数例4(1)(2018·河北邢台联考)已知全集U＝{x∈Z|0<x≤8}，集合A＝{x∈Z|2<x<m}(2<m<8)，若∁U A中的元素个数为4，则m的取值范围为(A)A．(6,7]B．[6,7)C．[6,7]D．(6,7)(2)(2018·江西鹰潭一中模拟)已知集合A＝{x|1<2x≤16}，B＝{x|x<a}，若A∩B＝A，则实数a的取值范围是(A)A．(4，＋∞)B．[4，＋∞)C．[0，＋∞)D．(0，＋∞)[解析](1)若∁U A中的元素的个数为4，则∁U A＝{1,2,7,8}，∴6<m≤7，故选A．(2)由题意知A＝{x|0<x≤4}，由A∩B＝A，知A⊆B，所以实数a的取值范围是(4，＋∞)，故选A．名师点拨☞集合的基本运算的关注点1．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．2．有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．3．注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．4．根据集合运算结果求参数，先把符号语言译成文字语言，然后应用数形结合求解．〔变式训练2〕(1)(角度1)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}，则A∪B＝(C)A．{1}B．{1,2}C．{0,1,2,3}D．{－1,0,1,2,3}(2)(角度1)(2018·课标Ⅰ，2)已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则∁R A＝(B)A．{x|－1<x<2}B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x<－1}∪{x|x>2}D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}(3)(角度2)集合M＝{x|－1≤x<2}，N＝{y|y<a}，若M∩N≠∅，则实数a的取值范围是(D)A．a≤－1B．a<－1C．a≥－1D．a>－1(4)(角度1)(文)(2018·山西太原阶段性测评)设集合A＝{－1,0,1,2，}，B＝{x|y＝x2－1}，则图中阴影部分所表示的集合为(B)A．{1}B．{0}C．{－1,0}D．{－1,0,1}(角度1)(理)(2018·四川资阳模拟)设全集U＝R，集合A＝{x|x2－2x－3<0}，B＝{x|x－1≥0}，则图中阴影部分所表示的集合为(D)A．{x|x≤－1或x≥3}B．{x|x<1或x≥3}C．{x|x≤1}D．{x|x≤－1}[分析](1)求解一元二次不等式得集合B，然后根据并集的定义求得A∪B的结果．(2)本题主要考查集合的基本运算及一元二次不等式的解法．[解析](1)由(x＋1)(x－2)<0⇒－1<x<2，又x∈Z，∴B＝{0,1}，∴A∪B＝{0,1,2,3}．故选C．(2)化简A＝{x|x<－1或x>2}，∴∁R A＝{x|－1≤x≤2}．故选B．(3)∵M＝{x|－1≤x<2}，N＝{y|y<a}，且M∩N≠∅，如图只要a>－1即可．故选D．(4)(文)由题意得图中阴影部分表示的集合为A∩(∁R B)．∵B＝{x|y＝x2－1 }＝{x|x2－1≥0}＝{x|x≥1或x≤－1}，∴∁R B＝{x|－1<x<1}，∴A∩(∁R B)＝{0}，故选B．(理)由题意可知A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|x≥1}，则图中阴影部分表示的集合为∁U(A∪B)＝{x|x≤－1}，故选D．[易错警示](1)对于集合B，容易忽略x∈Z的条件而导致错误，注意养成严谨、细心的审题习惯．集合中的新定义问题例5设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A且k＋1∉A，那么k是A 的一个“孤立元”，给定A＝{1,2,3,4,5}，则A的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合共有(D)A ．10个B ．11个C ．12个D ．13个[解析] “孤立元”是1的集合：{1}，{1,3,4}，{1,4,5}，{1,3,4,5}；“孤立元”是2的集合：{2}，{2,4,5}；“孤立元”是3的集合：{3}；“孤立元”是4的集合：{4}，{1,2,4}；“孤立元”是5的集合：{5}，{1,2,5}，{2,3,5}，{1,2,3,5}，共有13个．故选D ．名师点拨 ☞集合新定义问题的“3定\”(1)定元素：确定已知集合中所含的元素，利用列举法写出所有元素．(2)定运算：根据要求及新定义运算，将所求解集合的运算问题转化为集合的交集、并集与补集的基本运算问题，或转化为数的有关运算问题．(3)定结果：根据定义的运算进行求解，利用列举法或描述法写出所求集合中的所有元素． 〔变式训练3〕(文)已知集合A ＝{x ∈N |x 2－2x －3≤0}，B ＝{1,3}，定义集合A ，B 之间的运算“*\”：A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，则A *B 中的所有元素之和为( D )A ．15B ．16C ．20D ．21(理)若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M ＝{－1，0，12，2,3}的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( B )A ．1B ．3C ．7D ．31[解析] (文)由x 2－2x －3≤0，得(x ＋1)(x －3)≤0，又x ∈N ，故集合A ＝{0,1,2,3}．∵A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，∴A *B 中的元素有0＋1＝1,0＋3＝3,1＋1＝2,1＋3＝4,2＋1＝3(舍去)，2＋3＝5,3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6，∴A *B ＝{1,2,3,4,5,6}，∴A *B 中的所有元素之和为21.(理)具有伙伴关系的元素组是－1，12，2，∴具有伙伴关系的集合为{－1}，{12，2}，{－1，12，2}，共3个，故选B ．第二讲 命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的__陈述句__叫做命题，其中__判断为真__的语句叫做真命题，__判断为假__的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①若两个命题互为逆否命题，则它们有__相同__的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性__没有关系__.3．充分条件、必要条件与充要条件若p⇒q，则p是q的__充分__条件，q是p的__必要__条件p是q的__充分不必要__条件p⇒q且q pp是q的__必要不充分__条件p q且q⇒pp是q的__充要__条件p⇔qp是q的__既不充分又不必要__条件p q且q p1．若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；(3)若A＝B，则p是q的充要条件；(4)若A B，则p是q的充分不必要条件；(5)若A B，则p是q的必要不充分条件；(6)若A B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．2．充分条件与必要条件的两个特征：(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”．(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p⇒q且q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q且q⇐r”⇒“p⇐r”)．注意：不能将“若p，则q”与“p⇒q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p⇒q”，即“p⇒q”⇔“若p，则q”为真命题．1．下列语句为命题的是(D)A．对角线相等的四边形B．a<5C．x2－x＋1＝0D．有一个内角是90°的三角形是直角三角形[解析]只有选项D是可以判断真假的陈述句，故选D．2．命题“平行四边形的对角线互相平分”的逆否命题是(A)A．对角线不互相平分的四边形不是平行四边形B．不是平行四边形的四边形对角线不互相平分C．对角线不互相平分的四边形是平行四边形D．不是平行四边形的四边形对角线互相平分[解析]原命题即“若四边形是平行四边形，则其对角线互相平分”，故其逆否命题“若四边形的对角线不互相平分，则其不是平行四边形”，即“对角线不互相平分的四边形不是平行四边形”．3．(教材改编题)“x＝2”是“x2－4＝0”的(A)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]x2－4＝0，则x＝±2，故是充分不必要条件．故选A．4．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s是p的(A)A．逆否命题B．逆命题C．否命题D．原命题[解析]假设命题p为“若A，则B”．根据四种命题的关系可知，命题r为“若¬A，则¬B”，命题s为“若¬B，则¬A”，因此s是p的逆否命题．5．下列命题中为真命题的是(A)A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题B．命题“若x>1，则x2>1”的否命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D ．命题“若x 2>0，则x >1”的逆否命题[解析] 对于A ，其逆命题是“若x >|y |，则x >y ”，是真命题，这是因为x >|y |≥y ，必有x >y ； 对于B ，其否命题是“若x ≤1，则x 2≤1”，是假命题，如x ＝－5，x 2＝25>1；对于C ，其否命题是“若x ≠1，则x 2＋x －2≠0”，由于x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，所以是假命题；对于D ，若x 2>0，则x ≠0，不一定有x >1，因此原命题的逆否命题是假命题．6．“tan α＝tan β”是“α＝β”的( )条件( D )A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要[解析] 当tan α＝tan β时，α＝β＋k π，k ∈Z ，不一定α＝β；当α＝β＝π2时，tan α，tan β无意义，因此也不能说tan α＝tan β，故选D ．7．写出下列命题的否定形式和否命题：(1)若xy ＝0，则x ，y 中至少有一个为零；(2)若a ＋b ＝0，则a ，b 中最多有一个大于零；(3)若四边形是平行四边形，则其相邻两个内角相等；(4)有理数都能写成分数．[解析] (1)否定形式：若xy ＝0，则x ，y 都不为零．否命题：若xy ≠0，则x ，y 都不为零．(2)否定形式：若a ＋b ＝0，则a ，b 都大于零．否命题：若a ＋b ≠0，则a ，b 都大于零．(3)否定形式：若四边形是平行四边形，则它的相邻两个内角不相等．否命题：若四边形不是平行四边形，则它的相邻两个内角不相等．(4)否定形式：有理数不能都写成分数．否命题：非有理数不能写成分数．[答案] 略考点1 四种命题及其关系——自主练透例1 (1)(2018·长春模拟)已知命题α：如果x <3，那么x <5，命题β：如果x ≥3，那么x ≥5，则命题α是命题β的( A )A ．否命题B ．逆命题C ．逆否命题D ．否定形式(2)给出以下四个命题： ①“若x ＋y ＝0，则x 、y 互为相反数”的逆命题；②“全等三角形面积相等”的否命题；③“若q ≤－1，则x 2＋x ＋q ＝0有实数根”的逆否命题；④若ab 是正整数，则a 、b 都是正整数．其中真命题是__①③__(写出所有真命题的序号)．(3)(2018·北京，13)能说明“若f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，则f (x )在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是__f (x )＝sin x ，x ∈[0,2](答案不唯一)__.[解析] (1)命题α：如果x <3，那么x <5，命题β：如果x ≥3，那么x ≥5，则命题α是命题β的否命题．(2)①“若x ＋y ＝0，则x 、y 互为相反数”的逆命题为“若x 、y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，显然是真命题；②“全等三角形面积相等”的否命题为“不全等三角形的面积不相等”，假命题；③“若q ≤－1，则x 2＋x ＋q ＝0有实根”的逆否命题为“若x 2＋x ＋q ＝0无实根，则q >－1”，x 2＋x＋q ＝0无实根则△＝1－4q <0，即q >14，从而q >－1，故③为真命题．(也可由原命题为真得出结论)；④显然是假命题，如ab ＝2时，可能a ＝－1，b ＝－2，故填①③.(3)本题主要考查函数的单调性及最值．根据函数单调性的概念，只要找到一个定义域为[0,2]的不单调函数，满足在定义域内有唯一的最小值点，且f (x )min ＝f (0)即可，除所给答案外，还可以举出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ＝0，1x ，0<x ≤2等． [导师点睛] 函数的单调性是对一个区间上的任意两个变量而言的．根据题意，本题只要找到一个定义域为[0,2]的不单调函数，满足在[0,2]上有唯一的最小值点，而且f (x )min ＝f (0)即可．名师点拨 ☞(1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，如果命题不是“若p ，则q ”的形式，应先改写成“若p ，则q ”的形式；如果命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提不变．(2)判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例．(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．考点2 充要条件的判断——师生共研考向1 定义法判断例2 (2018·北京，4)设a ，b ，c ，d 是非零实数，则“ad ＝bc ”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的( B )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 本题主要考查充分条件与必要条件，等比数列的性质．由a ，b ，c ，d 成等比数列，可得ad ＝bc ，即必要性成立；当a ＝1，b ＝－2，c ＝－4，d ＝8时，ad ＝bc ，但a ，b ，c ，d 不成等比数列，即充分性不成立，故选B ．考向2 集合法判断例3 (文)(2018·天津，3)设x ∈R ，则“x 3>8”是“|x |>2”的( A )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(理)(2018·天津，4)设x ∈R ，则“|x －12|<12”是“x 3<1”的( A ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (文)本题主要考查解不等式和充分、必要条件的判断．由x 3>8得x >2，由|x |>2得x >2或x <－2.因为(2，＋∞)(－∞，－2)∪(2，＋∞)，所以“x 3>8”是“|x |>2”的充分而不必要条件．故选A ．(理)本题主要考查解不等式和充分、必要条件的判断．由|x －12|<12得－12<x －12<12，解得0<x <1. 由x 3<1得x <1.因为(0,1)(－∞，1)，所以“|x －12|<12”是“x 3<1”的充分而不必要条件． [方法总结] (1)充分、必要条件的判断．解决此类问题应分三步：①确定条件是什么，结论是什么；②尝试从条件推结论，从结论推条件；③确定条件和结论是什么关系．(2)探究某结论成立的充要、充分、必要条件．解答此类题目，可先从结论出发，求出使结论成立的必要条件，然后验证得到的必要条件是否满足充分性．考向3 等价转化法判断例4 (1)给定两个条件p ，q ，若¬p 是q 的必要不充分条件，则p 是¬q 的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)“已知命题p ：cos α≠12，命题q ：α≠π3”，则命题p 是命题q 的( A ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)因为¬p 是q 的必要不充分条件，则q ⇒¬p ，但¬pq ，其逆否命题为p ⇒¬q ，但¬q p ，所以p 是¬q 的充分不必要条件．(2)¬p ：cos α＝12，¬q ：α＝π3，显然¬q ⇒¬p ，¬p ¬q ，∴¬q 是¬p 的充分不必要条件，从而p 是q的充分不必要条件，故选A ． 另解：若cos α≠12，则α≠2k π±π3(k ∈Z )，则α也必然不等于π3，故p ⇒q ；若α≠π3，但α＝－π3时，依然有cos α＝12，故q p .所以p 是q 的充分不必要条件．故选A ． 名师点拨 ☞有关充要条件的判断常用的方法(1)根据定义判断：①弄清条件p 和结论q 分别是什么；②尝试p ⇒q ，q ⇒p .若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件；若q ⇒p ，则p 是q 的必要条件；若p ⇒q ，q p ，则p 是q 的充分不必要条件；若p q ，q ⇒p ，则p 是q 的必要不充分条件；若p ⇒q ，q ⇒p ，则p 是q 的充要条件．(2)利用集合判断记法A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )} 关系 A BB A A ＝B A B 且B A 结论p 是q 的充分不必要条件 p 是q 的必要不充分条件 p 是q 的充要条件p 是q 的既不充分也不必要条件 (3)利用等价转化法：对于带有否定性词语的命题，常用此法，既要判断p 是q 的什么条件，只需判断¬q是¬p的什么条件．〔变式训练1〕(1)(2018·浙江，6)已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的(A)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(2)指出下列各组中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．①在△ABC中，p：A＝B，q：sin A＝sin B；②已知x，y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0；③非空集合A，B中，p：x∈(A∪B)，q：x∈B；④对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6.[解析](1)∵m⊄α，n⊂α，m∥n，∴m∥α，故充分性成立．而由m∥α，n⊂α，得m∥n或m与n异面，故必要性不成立．故选A．(2)①在△ABC中，A＝B⇒sin A＝sin B；反之，若sin A＝sin B，因为A与B不可能互补(三角形三个内角之和为180°)，所以只有A＝B，故p是q的充要条件．②条件p：x＝1且y＝2，条件q：x＝1或y＝2，所以p⇒q但q p，故p是q的充分不必要条件．③显然x∈(A∪B)不一定有x∈B，但x∈B一定有x∈(A∪B)，所以p是q的必要不充分条件．④易知¬p：x＋y＝8，¬q：x＝2且y＝6，显然¬q⇒¬p，但¬p¬q，但¬q是¬p的充分不必要条件，根据原命题和逆否命题的等价性知，p是q的充分不必要条件．考点3充要条件的应用——多维探究角度1充要条件的探究例5(2018·山东烟台诊断)若条件p：|x|≤2，条件q：x≤a，且p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是(A)A．[2，＋∞)B．(－∞，2]C．[－2，＋∞)D．(－∞，－2][解析]p：|x|≤2等价于－2≤x≤2.因为p是q的充分不必要条件，所以[－2,2]⊆(－∞，a]，即a≥2.角度2等价转化思想的应用例6(2018·福建三明月考)设命题p：|4x－3|≤1，q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若¬p 是¬q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是(A)A ．[0，12]B ．(0，12)C ．(－∞，0]∪[12，＋∞)D ．(－∞，0)∪(12，＋∞) [解析] 由|4x －3|≤1得12≤x ≤1，由x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)＝(x －a )[x －(a ＋1)]≤0得a ≤x ≤a ＋1，因为¬p 是¬q 的必要不充分条件，所以p 是q 的充分不必要条件，有⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1≥1得0≤a ≤12.故选A ． 名师点拨 ☞充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解；(2)一定要注意端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．(3)注意区别以下两种不同说法：①p 是q 的充分不必要条件，是指p ⇒q 但qp ；②p 的充分不必要条件是q ，是指q ⇒p 但p q . (4)注意下列条件的等价转化：①p 是q 的什么条件等价于¬q 是¬p 的什么条件，②p 是¬q 的什么条件等价于q 是¬p 的什么条件．〔变式训练2〕(1)(角度1)(2018·山西45校联考)下列选项中，a >b 的一个充分不必要条件是( D )A ．1a >1bB ．e a >e bC ．a 2>b 2D ．lg a >lg b (2)(角度2)已知命题p ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x －10≤0，命题q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)． ①若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为__m ≥9__.②若¬p 的必要不充分条件是¬q ，则实数m 的取值范围为__0<m ≤3__.[分析] (2)①与不等式解集相关的两个命题间充分条件、必要条件问题常转化为集合之间的包含关系，从而列出关于参数的不等式(组)求解；②注意“¬p 的必要不充分条件是¬q ”与“¬p 是¬q 的必要不充分条件”的区别，前者是“¬p ⇒¬q ，¬q ¬p ”，后者是“¬q ⇒¬p ，¬p ¬q ”．由于¬q 是¬p 的必要不充分条件，故可先求出¬p 、¬q ，再转化为集合之间的包含关系求解．也可利用互为逆否的两个命题的等价性，由¬q 是¬p 的必要不充分条件可知，p 是q 的必要不充分条件(或q 是p 的充分不必要条件)，再转化为集合之间的关系求解．[解析] (1)lg a >lg b ⇒a >b ，反之不成立，如a >b ＝0时．所以a >b 的一个充分不必要条件的是lg a >lg b ，故选D ．(2)p ：A ＝{x |－2≤x ≤10}，q ：B ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }，①∵p 是q 的充分不必要条件，∴A B ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m ≥10，解得m ≥9. ②∵¬p 的必要不充分条件是¬q ，即¬p ⇒¬q ，¬q ¬p ，∴q ⇒p ，p q ，即p 是q 的必要不充分条件，∴B A ，又m >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m ≤10，解得0<m ≤3. 名师点拨 ☞探求充要条件的选择题的破题关键：首先，判断是选项“推”题干，还是题干“推”选项，其次，利用以小推大的技巧，即可得结论．抽象命题间充要条件的判定例7 已知p 是r 的充分不必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，现有下列命题：①r 是q 的充要条件；②p 是q 的充分不必要条件；③r 是q 的必要不充分条件；④¬p 是¬s 的必要不充分条件；⑤r 是s 的充分不必要条件，则正确命题的序号是( B )A ．①④⑤B ．①②④C ．②③⑤D ．②④⑤[分析] 本题涉及命题较多，关系复杂，因此采用“图解法”．[解析] 由题意得p ，显然q ⇒r 且r ⇒s ⇒q ，即q ⇔r ，①正确；p ⇒r ⇒s ⇒q 且qp ，②正确；故选B ．r ⇔q ，③错误；由p ⇒s 知¬s ⇒¬p ，但sp ，∴¬p ¬s ，④正确；r ⇔s ，⑤错误．名师点拨 ☞ 命题较多、关系复杂时，画出各命题间关系图求解，简洁直观，一目了然．〔变式训练3〕若p 是r 的必要不充分条件，q 是r 的充分条件，则p 是q 的__必要不充分__条件．[解析] 由题意可知q ⇒r p ，∴p 是q 的必要不充分条件．第三讲 逻辑联结词、全称量词与存在量词1．简单的逻辑联结词(1)用联结词“且”联结命题p和命题q，记作__p∧q__，(2)用联结词“或”联结命题p和命题q，记作__p∨q__，(3)对一个命题p的否定记作__¬p__，(4)命题p∧q，p∨q，¬p的真假判断真值表p q¬p p∨q p∧q真真__假____真____真__真假__假____真____假__假真__真____真____假__假假__真____假____假__2．全称量词与存在量词(1)全称量词与全称命题①短语“__所有的__”“__任意一个__”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．②含有__全称量词__的命题，叫做全称命题．③全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：__∀x∈M，p(x)__.(2)存在量词与特称命题①短语“__存在一个__”、“__至少有一个__”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．②含有__存在量词__的命题，叫做特称命题．③特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为：__∃x0∈M，p(x0)__.3．含有一个量词的命题的否定(1)命题命题的否定∀x∈M，p(x)__∃x0∈M，¬p(x0)__∃x0∈M，p(x0)__∀x∈M，¬p(x)__(2)p∨q的否定是__(¬p)∧(¬q)__；p∧q的否定是__(¬p)∨(¬q)__.1．逻辑联结词与集合的关系．(1)“或”与集合的“并”密切相关，集合的并集是用“或”来定义的，命题“p ∨q ”为真有三个含义：只有p 成立，只有q 成立，p 、q 同时成立；(2)“且”与集合的“交”密切相关，集合的交集是用“且”来定义的，命题p ∧q 为真表示p 、q 同时成立；(3)“非”与集合中的补集相类似． 2．常用短语的否定词1．下列语句是“p且q”形式的命题的是( C ) A ．老师和学生 B ．9的平方根是3C ．矩形的对角线互相平分且相等D ．对角线互相平分的四边形是矩形[解析] 对于选项C ，p ：矩形的对角线互相平分；q ：矩形的对角线相等，故选C ．2．设命题p ：函数y ＝sin2x 的最小正周期为π2，命题q ：函数y ＝cos x 的图像关于直线x ＝π2对称．则下列说法正确的是( C )A ．p 为真B ．¬q 为假C ．p ∧q 为假D ．p ∨q 为真[解析] y ＝sin2x 周期为π，故p 不正确；y ＝cos x 不关于x ＝π2对称，故q 不正确；故p ∧q 为假，选C ．3．(2018·武汉模拟)已知命题p ：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是( C ) A ．命题¬p 是真命题 B ．命题p 是特称命题 C ．命题p 是全称命题D．命题p既不是全称命题也不是特称命题[解析]命题p：实数的平方是非负数，是真命题，故¬p是假命题，命题p是全称命题，故选C．4．(2019·黑龙江省哈尔滨市第三中学高三上学期第一次调研考试)设x∈Z，若集合A是奇数集，集合B是偶数集，若命题p：∀x∈A,2x∈B，则(C)A．¬p：∀x∈A,2x∉B B．¬p：∀x∉A,2x∉BC．¬p：∃x∈A,2x∉B D．¬p：∃x∈A,2x∈B[解析]由全称命题的否定知，¬p：∃x∈A,2∉B，故选C．5．(2015·全国新课标卷Ⅰ)设命题p：∃n∈N，n2>2n，则¬p为(C)A．∀n∈N，n2>2n B．∃n∈N，n2≤2nC．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n[解析]由于命题p为特称命题，故其否定为全称命题，将命题p的量词“∃”改为“∀”，“n2>2n”改为“n2≤2n”．故选C．6．(2019·黑龙江省大庆铁人中学高三第一次模拟考试)已知命题p：“∃x0∈R，使得x20＋2ax0＋1<0成立”为真命题，则实数a满足(B)A．[－1,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(1，＋∞)D．(－∞，－1)[解析]设f(x)＝x2＋2ax＋1，由已知得Δ>0,4a2－4>0，解得a>1或a<－1，故选B．考点1含逻辑联结词的命题及其真假判断——自主练透例1(1)若命题“p∨q”是真命题，“¬p”为真命题，则(B)A．p真，q真B．p假，q真C．p真，q假D．p假，q假(2)已知命题p1：当x，y∈R时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0；p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数．则命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(¬p1)∨p2，q4：p1∨(¬p2)中，真命题是(C) A．q1，q3B．q2，q3C．q1，q4D．q2，q4[解析](1)“¬p”为真命题，所以p为假命题；又因为命题“p∨q”是真命题，所以q为真命题．(2)对于p1(充分性)若xy≥0，则xy至少有一个为0或同号，所以|x＋y|＝|x|＋|y|一定成立；(必要性)若|x＋y|＝|x|＋|y|，两边平方，得：。

专题强化突破专题一集合、常用逻辑用语、向量、复数、算法、推理与证明、不等式及线性规划第一讲集合与常用逻辑用语本部分内容在备考时应注意以下几个方面：(1)紧紧抓住集合的代表元素的实际意义，掌握集合问题的常见解法，活用数学思想解决问题．(2)明确命题的条件和结论之间的关系，关注逻辑联结词和命题，明确命题的否定和否命题的区别．(3)掌握必要条件、充分条件与充要条件的概念及应用． 预测2019年命题热点为：(1)集合的基本性质以及集合之间的基本关系与运算，与不等式的解集、函数的定义域、值域、方程的解集等知识结合在一起考查．(2)与函数、数列、三角函数、不等式、立体几何、解析几何、概率统计等知识结合在一起考查．Z 知识整合hi shi zheng he1．集合的概念、关系及运算(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性. (2)集合与集合之间的关系：A ⊆B ，B ⊆C ⇒A ⊆C ． (3)空集是任何集合的子集.(4)含有n 个元素的集合的子集有2n 个，真子集有2n －1个，非空真子集有2n －2个． (5)重要结论：A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，A ∪B ＝A ⇔B ⊆A . 2．充要条件设集合A ＝{x |x 满足条件p }，B ＝{x |x 满中条件q }，则有A B B A (1)命题p ∨q ，只要p ，q 有一真，即为真；命题p ∧q ，只有p ，q 均为真，才为真；綈p 和p 为真假对立的命题．(2)命题p ∨q 的否定是(綈p )∧(綈q )；命题p ∧q 的否定是(綈p )∨(綈q )．4．全(特)称命题及其否定(1)全称命题p ：∀x ∈M ，p (x )．它的否定綈p ：∃x 0∈M ，綈p (x 0).(2)特称命题p ：∃x 0∈M ，p (x )．它的否定綈p ：∀x ∈M ，綈p (x ).,Y 易错警示i cuo jing shi1．忽略集合元素互异性：在求解与集合有关的参数问题时，一定要注意集合元素的互异性，否则容易产生增根． 2．忽略空集：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在分类讨论时要注意“空集优先”的原则．3．混淆命题的否定与否命题：在求解命题的否定与否命题时，一定要注意命题的否定是只对命题的结论进行否定，而否命题既对命题的条件进行否定，又对命题的结论进行否定.1．(文)(2018·全国卷Ⅰ，1)已知集合A ＝{0,2}，B ＝{－2，－1,0,1,2}，则A ∩B ＝( A ) A ．{0,2} B ．{1,2}C ．{0}D ．{－2，－1,0,1,2}[解析] A ∩B ＝{0,2}∩{－2，－1,0,1,2}＝{0,2}． 故选A ．(理)(2018·全国卷Ⅰ，2)已知集合A ＝{x |x 2－x －2>0}，则∁R A ＝( B ) A ．{x |－1<x <2} B ．{x |－1≤x ≤2} C ．{x |x <－1}∪{x |x >2} D ．{x |x ≤－1}∪{x |x ≥2}[解析] ∵ x 2－x －2>0，∴ (x －2)(x ＋1)>0，∴ x >2或x <－1，即A ＝{x |x >2或x <－1}．在数轴上表示出集合A ，如图所示．由图可得∁R A ＝{x |－1≤x ≤2}． 故选B ．2．(文)(2018·全国卷Ⅲ，1)已知集合A ＝{x |x －1≥0}，B ＝{0,1,2}，则A ∩B ＝( C ) A ．{0} B ．{1} C ．{1,2}D ．{0,1,2}[解析] ∵ A ＝{x |x －1≥0}＝{x |x ≥1}，∴ A ∩B ＝{1,2}． 故选C ．(理)(2018·全国卷Ⅱ，2)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( A )A ．9B ．8C ．5D ．4[解析] 将满足x 2＋y 2≤3的整数x ，y 全部列举出来，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9个．故选A ．3．(文)(2018·天津卷，3)设x ∈R ，则“x 3>8”是“|x |>2”的( A ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 由x 3>8⇒x >2⇒|x |>2，反之不成立， 故“x 3>8”是“|x |>2”的充分不必要条件． 故选A ．(理)(2018·天津卷，4)设x ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪x －12<12”是“x 3<1”的( A ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 由“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”得0＜x ＜1，则0<x 3＜1，即“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”⇒“x 3＜1”；由“x 3＜1”得x ＜1，当x ≤0时，⎪⎪⎪⎪x －12≥12，即“x 3＜1”/⇒“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”．所以“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的充分而不必要条件．故选A ．4．(2018·浙江卷，6)已知平面α，直线m ，n 满足m ⊄α，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] ∵ 若m ⊄α，n ⊂α，且m ∥n ，则一定有m ∥α， 但若m ⊄α，n ⊂α，且m ∥α，则m 与n 有可能异面， ∴ “m ∥n ”是“m ∥α”的充分不必要条件． 故选A ．5．(文)(2018·北京卷，4)设a ，b ，c ，d 是非零实数，则“ad ＝bc ”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的( B )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] a ，b ，c ，d 是非零实数，若a ＜0，d ＜0，b ＞0，c ＞0，且ad ＝bc ，则a ，b ，c ，d 不成等比数列(可以假设a ＝－2，d ＝－3，b ＝2，c ＝3)．若a ，b ，c ，d 成等比数列，则由等比数列的性质可知ad ＝bc .所以“ad ＝bc ”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的必要而不充分条件．故选B ．(理)(2018·北京卷，6)设a ，b 均为单位向量，则“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的( C ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 由|a －3b |＝|3a ＋b |，得(a －3b )2＝(3a ＋b )2， 即a 2＋9b 2－6a ·b ＝9a 2＋b 2＋6a ·b . 又a ，b 均为单位向量，所以a 2＝b 2＝1， 所以a ·b ＝0，能推出a ⊥b .由a ⊥b 得|a －3b |＝10，|3a ＋b |＝10， 能推出|a －3b |＝|3a ＋b |，所以“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的充分必要条件． 故选C ．6．(文)(2017·全国卷Ⅰ，1)已知集合A ＝{x |x <2}，B ＝{x |3－2x >0}，则( A ) A ．A ∩B ＝{x |x <32}B ．A ∩B ＝∅C ．A ∪B ＝{x |x <32}D ．A ∪B ＝R[解析] 由3－2x >0，得x <32，∴B ＝{x |x <32}，∴A ∩B ＝{x |x <2}∩{x |x <32}＝{x |x <32}，故选A ．(理)(2017·全国卷Ⅰ，1)已知集合A ＝{x |x <1}，B ＝{x |3x <1}，则( A ) A ．A ∩B ＝{x |x <0}B ．A ∪B ＝RC．A∪B＝{x|x>1} D．A∩B＝∅[解析]由3x<1，得x<0，∴B＝{x|3x<1}＝{x|x<0}．∴A∩B＝{x|x<1}∩{x|x<0}＝{x|x<0}，故选A．7．(2017·全国卷Ⅱ，2)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}，若A∩B＝{1}，则B ＝( C )A．{1，－3}B．{1,0}C．{1,3}D．{1,5}[解析]∵A∩B＝{1}，∴1∈B，∴1是方程x2－4x＋m＝0的根，∴1－4＋m＝0，∴m＝3.由x2－4x＋3＝0，得x1＝1，x2＝3，∴B＝{1,3}．8．(文)(2017·山东卷，5)已知命题p：∃x∈R，x2－x＋1≥0；命题q：若a2<b2，则a<b.下列命题为真命题的是( B )A．p∧q B．p∧(綈q)C．(綈p)∧q D．(綈p)∧(綈q)[解析]∵一元二次方程x2－x＋1＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×1×1<0，∴x2－x＋1>0恒成立，∴p为真命题，綈p为假命题．∵当a＝－1，b＝－2时，(－1)2<(－2)2，但－1>－2，∴q为假命题，綈q为真命题．根据真值表可知p∧(綈q)为真命题，p∧q，(綈p)∧q，(綈p)∧(綈q)为假命题．故选B．(理)(2017·山东卷，3)已知命题p：∀x>0，ln(x＋1)>0；命题q：若a>b，则a2>b2.下列命题为真命题的是( B )A．p∧q B．p∧(綈q)C．(綈p)∧q D．(綈p)∧(綈q)[解析]∵x>0，∴x＋1>1，∴ln(x＋1)>ln 1＝0.∴命题p为真命题，∴綈p为假命题．∵a>b，取a＝1，b＝－2，而12＝1，(－2)2＝4，此时a2<b2，∴命题q为假命题，∴綈q为真命题．∴p∧q为假命题，p∧(綈q)为真命题，(綈p)∧q为假命题，(綈p)∧(綈q)为假命题．故选B．命题方向1集合的概念及运算例1 (1)(文)设集合M＝{x|x2＋x－6<0}，N＝{x|1≤x≤3}，则M∩N＝( A ) A．[1,2)B．[1,2]C．(2,3] D．[2,3][解析]∵M＝{x|－3<x<2}，N＝{x|1≤x≤3}，∴M∩N＝{x|1≤x<2}，故选A．(理)已知集合A＝{x|x>2}，B＝{x|x<2m}，且A⊆∁R B，那么m的值可以是( A )A．1 B．2C．3 D．4[解析]∵B＝{x|x<2m}，∴∁R B＝{x|x≥2m}，又∵A⊆∁R B，∴有2m≤2，即m≤1.由选项可知选A．(2)(文)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{2,4,6,8}，则A∩B中元素的个数为( B )A．1 B．2C．3 D．4[解析]A∩B＝{1,2,3,4}∩{2,4,6,8}＝{2,4}，∴A∩B中共有2个元素，故选B．(理)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为( B ) A．3 B．2C．1 D．0[解析]集合A表示以原点O为圆心，半径为1的圆上的所有点的集合，集合B表示直线y＝x上的所有点的集合．结合图形可知，直线与圆有两个交点，所以A∩B中元素的个数为2.故选B．(3)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则A⊕B中元素的个数为( C ) A．77 B．49C ．45D ．30[解析] 由题得A ＝{(－1,0)，(0,0)，(1,0)，(0,1)，(0，－1)}，如下图所示：因为B ＝{(x ，y )||x |≤2，|y |≤2，x ，y ∈Z }，由A ⊕B 的定义可得，A ⊕B 相当于将A 集合中各点上下平移或左右平移0,1,2个单位，如下图所示：所以A ⊕B 中的元素个数为7×7－4＝45. 故选C ． 『规律总结』(1)对于集合问题，抓住元素的特征是求解的关键，要注意集合中元素的三个特征的应用，要注意检验结果．(2)对集合的新定义问题，要紧扣新定义集合的性质探究集合中元素的特征，将问题转化为熟悉的知识进行求解，也可利用特殊值法进行验证．G 跟踪训练en zong xun lian1．(文)设集合A ＝{x |－2≤x ≤2}，Z 为整数集，则集合A ∩Z 中元素的个数是( C ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6[解析] 由集合A ＝{x |－2≤x ≤2}，易知A ∩Z ＝{－2，－1,0,1,2}，故选C ． (理)设集合M ＝{x |－2<x <3}，N ＝{x |2x ＋1≤1}则M ∩(∁R N )＝( D )A ．(3，＋∞)B ．(－2，－1]C ．[－1,3)D ．(－1,3)[解析] 集合N ＝{x |2x ＋1≤1}＝{x |x ＋1≤0}＝{x |x ≤－1}．故∁R N ＝{x |x >－1}，故M ∩∁R N ＝{x |－1<x <3}．故选D ．2．(文)已知集合U ＝R ，A ＝{x |x ≤1}，B ＝{x |x ≥2}，则集合∁U (A ∪B )＝( A ) A ．{x |1<x <2} B ．{x |1≤x ≤2} C ．{x |x ≤2}D ．{x |x ≥1}[解析] A ∪B ＝{x |x ≤1}∪{x |x ≥2}＝{x |x ≤1或x ≥2}，所以∁U (A ∪B )＝{x |1<x <2}． (理)已知集合A ＝{－2，－1,0,1,2}，B ＝{x |(x －1)(x ＋2)<0}，则A ∩B ＝( A )A ．{－1,0}B ．{0,1}C ．{－1,0,1}D ．{0,1,2}[解析] 由题意知B ＝{x |－2<x <1}，所以A ∩B ＝{－1,0}，故选A ．3．(文)已知M ＝{a ||a |≥2}，A ＝{a |(a －2)(a 2－3)＝0，a ∈M }，则集合A 的子集共有( B ) A ．1个 B ．2个 C ．4个D ．8个[解析] |a |≥2⇒a ≥2或a ≤－2.又a ∈M ，(a －2)(a 2－3)＝0⇒a ＝2或a ＝±3(舍)，即A 中只有一个元素2，故A 的子集只有2个．(理)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2<0}，B ＝{x |log 4x >12}，则( D )A ．A ⊆B B ．B ⊆AC ．A ∩∁R B ＝RD ．A ∩B ＝∅[解析] 因为x 2－3x ＋2<0， 所以1<x <2，又因为log 4x >12＝log 42，所以x >2， 所以A ∩B ＝∅.命题方向2 命题及逻辑联结词例2 (1)原命题为“若z 1，z 2互为共轭复数，则|z 1|＝|z 2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( B )A ．真，假，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假 [解析] 若z 1＝a ＋b i ，则z 2＝a －b i. ∴|z 1|＝|z 2|，故原命题正确、逆否命题正确． 其逆命题为：若|z 1|＝|z 2|，则z 1，z 2互为共轭复数，若z 1＝a ＋b i ，z 2＝－a ＋b i ，则|z 1|＝|z 2|，而z 1，z 2不为共轭复数． ∴逆命题为假，否命题也为假． (2)已知命题p ：∃x ∈R ，使sin x ＝52；命题q ：∀x ∈R ，都有x 2＋x ＋1>0.给出下列结论： ①命题“p ∧q ”是真命题； ②命题“p ∧(綈q )”是假命题； ③命题“(綈p )∨q ”是真命题； ④命题“(綈p )∨(綈q )”是假命题． 其中正确的结论是( A )A ．②③B ．②④C ．③④D ．①②③[解析] ∵52>1，∴命题p 是假命题． ∵x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34≥34>0，∴命题q 是真命题，由真值表可以判断“p ∧q ”为假，“p ∧(綈q )”为假，“(綈p )∨q ”为真，“(綈p )∨(綈q )”为真，所以只有②③正确，故选A ．『规律总结』(1)一般命题p 的真假由涉及的相关知识辨别．(2)四种命题真假的判断依据：一个命题和它的逆否命题同真假，而与它的其他两个命题的真假无关．(3)形如p ∨q ，p ∧q ，綈p 命题的真假根据真值表判定． (4)全称命题与特称(存在性)命题真假的判定：①全称命题：要判定一个全称命题为真命题，必须对限定集合M 中的每一个元素x 验证p (x )成立，要判定其为假命题时，只需举出一个反例即可；②特称(存在性)命题：要判定一个特称(存在性)命题为真命题，只要在限定集合M 中至少能找到一个元素x 0，使得p (x 0)成立即可，否则，这一特称(存在性)命题就是假命题．G 跟踪训练en zong xun lian1．设a ，b ，c 是非零向量．已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中真命题是( A )A ．p ∨qB ．p ∧qC ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨(綈q )[解析] 由题意知命题p 为假命题，命题q 为真命题，所以p ∨q 为真命题．故选A ． 2．以下四个命题中，真命题的个数是( C )①“若a ＋b ≥2，则a ，b 中至少有一个不小于1”的逆命题； ②存在正实数a ，b ，使得lg(a ＋b )＝lg a ＋lg b ；③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”； ④在△ABC 中，A <B 是sin A <sin B 的充分不必要条件． A ．0 B ．1 C ．2D ．3[解析] 对于①，原命题的逆命题为：若a ，b 中至少有一个不小于1，则a ＋b ≥2，而a ＝2，b ＝－2满足a ，b 中至少有一个不小于1，但此时a ＋b ＝0，故①是假命题；对于②，根据对数的运算性质，知当a ＝b ＝2时，lg(a ＋b )＝lg a ＋lg b ，故②是真命题；对于③，易知“所有奇数都是素数”的否定就是“至少有一个奇数不是素数”，故③是真命题；对于④，根据题意，结合边角的转换，以及正弦定理，可知A <B ⇔a <b (a ，b 为角A ，B 所对的边)⇔2R sin A <2R sin B (R 为△ABC 外接圆的半径)⇔sin A <sinB ，故A <B 是sin A <sin B 的充要条件，故④是假命题，选C ．3．(2018·北京卷，1)已知集合A ＝{x ||x |＜2}，B ＝{－2,0,1,2}，则A ∩B ＝( A ) A ．{0,1} B ．{－1,0,1} C ．{－2,0,1,2}D ．{－1,0,1,2}[解析] ∵ A ＝{x ||x |<2}＝{x |－2<x <2}， ∴ A ∩B ＝{0,1}． 故选A ．命题方向3 充要条件的判断例3 (1)设θ∈R ，则“|θ－π12|<π12”是“sin θ<12”的( A ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 [解析] ∵|θ－π12|<π12， ∴－π12<θ－π12<π12，即0<θ<π6.显然0<θ<π6时，sin θ<12成立．但sin θ<12时，由周期函数的性质知0<θ<π6不一定成立．故0<θ<π6是sin θ<12的充分而不必要条件．故选A ．(2)若p 是q 的充分不必要条件，则下列判断正确的是( C ) A ．綈p 是q 的必要不充分条件 B ．綈q 是p 的必要不充分条件 C ．綈p 是綈q 的必要不充分条件 D ．綈q 是綈p 的必要不充分条件[解析] 由p 是q 的充分不必要条件可知p ⇒q ，q ⇒ / p ，由互为逆否命题的两命题等价可得綈q ⇒綈p ，綈p ⇒ / 綈q ，∴綈p 是綈q 的必要不充分条件，故选C ．(3)设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n <0”的( C )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 设数列的首项为a 1，则a 2n －1＋a 2n ＝a 1q 2n －2＋a 1q 2n －1＝a 1q 2n －2(1＋q )<0，即q <－1，故q <0是q <－1的必要而不充分条件．故选C ．(4)已知“x >k ”是“3x ＋1<1”的充分不必要条件，则k 的取值范围是( A ) A ．[2，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－1][解析] 由3x ＋1<1，可得3x ＋1－1＝－x ＋2x ＋1<0，所以x <－1或x >2，因为“x >k ”是“3x ＋1<1”的充分不必要条件，所以k ≥2.『规律总结』1．判定充分条件与必要条件的3种方法(1)定义法：正、反方向推，若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件(或q 是p 的必要条件)；若p ⇒q ，且q ⇒/ p ，则p 是q 的充分不必要条件(或q 是p 的必要不充分条件)．(2)集合法：利用集合间的包含关系．例如，若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件(B 是A 的必要条件)：若A ＝B ，则是B 的充要条件．(3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题．2．提醒：“A 的充分不必要条件是B ”是指B 能推出A ，且A 不能推出B ，而“A 是B 的充分不必要条件”则是指A 能推出B ，且B 不能推出A ．G 跟踪训练en zong xun lian1．(文)(2018·娄底二模)“a <－1”是“直线ax ＋y －3＝0的倾斜角大于π4”的( A )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 设直线ax ＋y －3＝0的倾斜角为θ，则tan θ＝－a ，若a <－1，得θ角大于π4，由倾斜角θ大于π4得－a >1，或－a <0即a <－1或a >0.(理)“a 2＝1”是“函数f (x )＝lg(21－x ＋a )为奇函数”的( B )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] a 2＝1⇒a ＝±1，f (x )＝lg(21－x ＋a )为奇函数等价于f (x )＋f (－x )＝0，即lg(21－x ＋a )＋lg(21＋x ＋a )＝0⇔(21－x ＋a )(21＋x＋a )＝1化简得a ＝－1，故选B ． 2．(文)若集合A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{x |－2<x <a }，则“A ∩B ≠∅”的充要条件是( C ) A ．a >－2 B ．a ≤－2 C ．a >－1D ．a ≥－1[解析] 由x 2－x －2<0知－1<x <2， 即A ＝{x |－1<x <2}．又B ＝{x |－2<x <a }及A ∩B ≠∅知a >－1.(理)设a ，b 都是不等于1的正数，则“3a >3b >3”是“log a 3<log b 3”的( B ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 [解析] 由3a >3b >3，知a >b >1，所以log 3a >log 3b >0，所以1log 3a <1log 3b ，即log a 3<log b 3，所以“3a >3b >3”是“log a 3<log b 3”的充分条件；但是取a ＝13，b ＝3也满足log a 3<log b 3，不符合a >b >1.所以“3a >3b >3”是“log a 3<log b 3”的充分不必要条件．A 组1．(文)(2018·天津卷，1)设集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{－1，0,2,3}，C ＝{x ∈R |－1≤x <2}，则(A ∪B )∩C ＝( C )A ．{－1,1}B ．{0,1}C ．{－1,0,1}D ．{2,3,4}[解析] ∵ A ＝{1,2,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}， ∴ A ∪B ＝{－1,0,1,2,3,4}． 又C ＝{x ∈R |－1≤x <2}， ∴ (A ∪B )∩C ＝{－1,0,1}． 故选C ．(理)(2018·天津卷，1)设全集为R ，集合A ＝{x |0<x <2}，B ＝{x |x ≥1}，则A ∩(∁R B )＝( B ) A ．{x |0<x ≤1} B ．{x |0<x <1} C ．{x |1≤x <2}D ．{x |0<x <2}[解析] 全集为R ，B ＝{x |x ≥1}，则∁R B ＝{x |x <1}． ∵集合A ＝{x |0<x <2}，∴ A ∩(∁R B )＝{x |0＜x ＜1}． 故选B ．2．(2018·蚌埠三模)设全集U ＝{x |e x >1}，函数f (x )＝1x －1的定义域为A ，则∁U A ＝( A ) A ．(0,1] B ．(0,1)C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)[解析] 全集U ＝{x |x >0}，f (x )的定义域为{x |x >1}，所以∁U A ＝{x |0<x ≤1}． 3．命题“∀x ∈[0，＋∞)，x 3＋x ≥0”的否定是( C ) A ．∀x ∈(－∞，0)，x 3＋x <0 B ．∀x ∈(－∞，0)，x 3＋x ≥0 C ．∃x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0<0 D ．∃x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0≥0[解析] 全称命题“∀x ∈[0，＋∞)，x 3＋x ≥0”的否定是特称命题“∃x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0<0”．4．设有下面四个命题p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ；p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z 2；p 4：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为( B ) A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4[解析] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 1＝a 1＋b 1i(a 1，b 1∈R )，z 2＝a 2＋b 2i(a 2，b 2∈R )． 对于p 1，若1z ∈R ，即1a ＋b i ＝a －b i a 2＋b 2∈R ，则b ＝0⇒z ＝a ＋b i ＝a ∈R ，所以p 1为真命题． 对于p 2，若z 2∈R ，即(a ＋b i)2＝a 2＋2ab i －b 2∈R ， 则ab ＝0.当a ＝0，b ≠0时，z ＝a ＋b i ＝b i ∉R ，所以p 2为假命题．对于p 3，若z 1z 2∈R ，即(a 1＋b 1i)(a 2＋b 2i)＝(a 1a 2－b 1b 2)＋(a 1b 2＋a 2b 1)i ∈R ，则a 1b 2＋a 2b 1＝0.而z 1＝z 2，即a 1＋b 1i ＝a 2－b 2i ⇔a 1＝a 2，b 1＝－b 2.因为a 1b 2＋a 2b 1＝0⇒/ a 1＝a 2，b 1＝－b 2，所以p 3为假命题．对于p 4，若z ∈R ，即a ＋b i ∈R ，则b ＝0⇒z ＝a －b i ＝a ∈R ，所以p 4为真命题． 5．已知命题p ：在等差数列{a n }中，若a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则有m ＋n ＝p ＋q ，命题q ：∃x 0>0,2－x 0＝e x 0，则下列命题是真命题的是( C )A ．p ∧qB ．p ∧綈qC ．p ∨qD ．p ∨綈q[解析] 命题p 是假命题，因为当等差数列{a n }是常数列时显然不成立，根据两个函数的图象可得命题q 是真命题，∴p ∨q 是真命题，故选C ．6．设集合M ＝{x |x 2＋3x ＋2<0}，集合N ＝{x |(12)x ≤4}，则M ∪N ＝( A )A ．{x |x ≥－2}B ．{x |x >－1}C ．{x |x ≤－1}D ．{x |x ≤－2}[解析] 因为M ＝{x |x 2＋3x ＋2<0}＝{x |－2<x <－1}，N ＝[－2，＋∞)，所以M ∪N ＝[－2，＋∞)，故选A ．7．设a ，b 是向量，则“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的( D ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 取a ＝－b ≠0，则|a |＝|b |≠0，|a ＋b |＝|0|＝0，|a －b |＝|2a |≠0，所以|a ＋b |≠|a －b |，故由|a |＝|b |推不出|a ＋b |＝|a －b |.由|a ＋b |＝|a －b |，得|a ＋b |2＝|a －b |2，整理得a·b ＝0，所以a ⊥b ，不一定能得出|a |＝|b |，故由|a ＋b |＝|a －b |推不出|a |＝|b |.故“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的既不充分也不必要条件．故选D ．8．下列四个命题中正确命题的个数是( A )①对于命题p ：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1>0； ②m ＝3是直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直的充要条件； ③已知回归直线的斜率的估计值为 1.23，样本点的中心为(4,5)，则线性回归方程为y ^＝1.23x ＋0.08；④若实数x ，y ∈[－1,1]，则满足x 2＋y 2≥1的概率为π4.A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] ①错，应当是綈p ：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0；②错，当m ＝0时，两直线也垂直，所以m ＝3是两直线垂直的充分不必要条件；③正确，将样本点的中心的坐标代入，满足方程；④错，实数x ，y ∈[－1,1]表示的平面区域为边长为2的正方形，其面积为4，而x 2＋y 2<1所表示的平面区域的面积为π，所以满足x 2＋y 2≥1的概率为4－π4.9．(文)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |0<x <9，x ∈R }和B ＝{x |－4<x <4，x ∈Z }关系的Venn 图如图所示，则阴影部分所求集合中的元素共有( B )A ．3个B ．4个C ．5个D ．无穷多个[解析] 由Venn 图可知，阴影部分可表示为(∁U A )∩B ．由于∁U A ＝{x |x ≤0或x ≥9}，于是(∁U A )∩B ＝{x |－4<x ≤0，x ∈Z }＝{－3，－2，－1,0}，共有4个元素．(理)设全集U ＝R ，A ＝{x |x (x －2)<0}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}，则图中阴影部分表示的集合为( B )A ．{x |x ≥1}B ．{x |1≤x <2}C ．{x |0<x ≤1}D ．{x |x ≤1}[解析] 分别化简两集合可得A ＝{x |0<x <2}， B ＝{x |x <1}，故∁U B ＝{x |x ≥1}， 故阴影部分所示集合为{x |1≤x <2}． 10．下列命题的否定为假命题的是( D ) A ．∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0 B ．任意一个四边形的四顶点共圆 C ．所有能被3整除的整数都是奇数 D ．∀x ∈R ，sin 2x ＋cos 2x ＝1[解析] 设命题p ：∀x ∈R ，sin 2x ＋cos 2x ＝1，则綈p ：∃x ∈R ，sin 2x ＋cos 2x ≠1，显然綈p 是假命题．11．已知全集U ＝R ，设集合A ＝{x |y ＝ln(2x －1)}，集合B ＝{y |y ＝sin(x －1)}，则(∁U A )∩B 为( C )A ．(12，＋∞)B ．(0，12]C ．[－1，12]D ．∅[解析] 集合A ＝{x |x >12}，则∁U A ＝{x |x ≤12}，集合B ＝{y |－1≤y ≤1}，所以(∁U A )∩B ＝{x |x ≤12}∩{y |－1≤y ≤1}＝[－1，12]．12．给定命题p ：函数y ＝ln[(1－x )(1＋x )]为偶函数；命题q ：函数y ＝e x －1e x ＋1为偶函数，下列说法正确的是( B )A ．p ∨q 是假命题B ．(綈p )∧q 是假命题C ．p ∧q 是真命题D ．(綈p )∨q 是真命题[解析] 对于命题p ：y ＝f (x )＝ln[(1－x )(1＋x )]， 令(1－x )(1＋x )>0，得－1<x <1.所以函数f (x )的定义域为(－1,1)，关于原点对称， 因为f (－x )＝ln[(1＋x )(1－x )]＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，所以命题p 为真命题；对于命题q ：y ＝f (x )＝e x －1e x ＋1，函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称，因为f (－x )＝e －x －1e －x＋1＝1e x －11e x ＋1＝1－e x 1＋e x ＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数，所以命题q 为假命题，所以(綈p )∧q 是假命题．13．已知命题p ：x ≥1，命题q ：1x <1，则綈p 是q 的既不充分也不必要条件．[解析] 由题意，得綈p 为x <1，由1x <1，得x >1或x <0，故q 为x >1或x <0，所以綈p是q 的既不充分也不必要条件．14．设命题p ：∀a >0，a ≠1，函数f (x )＝a x －x －a 有零点，则綈p ：∃a 0>0，a 0≠1，函数f (x )＝a x 0－x －a 0没有零点.[解析] 全称命题的否定为特称命题，綈p ：∃a 0>0，a 0≠1，函数f (x )＝a x 0－x －a 0没有零点．15．已知集合A ＝{x ∈R ||x －1|<2}，Z 为整数集，则集合A ∩Z 中所有元素的和等于3. [解析] A ＝{x ∈R ||x －1|<2}＝{x ∈R |－1<x <3}，集合A 中包含的整数有0,1,2，故A ∩Z ＝{0,1,2}．故A ∩Z 中所有元素之和为0＋1＋2＝3.16．已知命题p ：∀x ∈R ，x 2－a ≥0，命题q ：∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0.若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围为(－∞，－2].[解析] 由已知条件可知p 和q 均为真命题，由命题p 为真得a ≤0，由命题q 为真得a ≤－2或a ≥1， 所以a ≤－ 2.B 组1．设集合A ＝{x |x 2－x －2≤0}，B ＝{x |x <1，且x ∈Z }，则A ∩B ＝( C ) A ．{－1} B ．{0} C ．{－1,0}D ．{0,1}[解析] 本题主要考查一元二次不等式的解法与集合的表示方法、集合间的基本运算． 依题意得A ＝{x |(x ＋1)(x －2)≤0}＝{x |－1≤x ≤2}，因此A ∩B ＝{x |－1≤x <1，x ∈Z }＝{－1,0}，选C ．2．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |y ＝lg(x －1)}，集合B ＝{y |y ＝x 2＋2x ＋5}，则A ∩B ＝( C )A ．∅B ．(1,2]C ．[2，＋∞)D ．(1，＋∞)[解析] 由x －1>0，得x >1，故集合A ＝(1，＋∞)，又y ＝x 2＋2x ＋5＝(x ＋1)2＋4≥4＝2，故集合B ＝[2，＋∞)，所以A ∩B ＝[2，＋∞)，故选C ．3．给出下列命题：①∀x ∈R ，不等式x 2＋2x >4x －3均成立； ②若log 2x ＋log x 2≥2，则x >1；③“若a >b >0且c <0，则c a >cb ”的逆否命题；④若p 且q 为假命题，则p ，q 均为假命题． 其中真命题的是( A ) A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④D ．②③④[解析] ①中不等式可表示为(x －1)2＋2>0，恒成立；②中不等式可变为log 2x ＋1log 2x ≥2，得x >1；③中由a >b >0，得1a <1b ，而c <0，所以原命题是真命题，则它的逆否命题也为真；④由p 且q 为假只能得出p ，q 中至少有一个为假，④不正确．4．设x 、y ∈R ，则“|x |≤4且|y |≤3”是“x 216＋y 29≤1”的( B )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] “|x |≤4且|y |≤3”表示的平面区域M 为矩形区域，“x 216＋y 29≤1”表示的平面区域N 为椭圆x 216＋y 29＝1及其内部，显然NM ，故选B ．5．(文)若集合A ＝{x |2<x <3}，B ＝{x |(x ＋2)(x －a )<0}，则“a ＝1”是“A ∩B ＝∅”的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]当a＝1时，B＝{x|－2<x<1}，∴A∩B＝∅，则“a＝1”是“A∩B＝∅”的充分条件；当A∩B＝∅时，得a≤2，则“a＝1”不是“A∩B＝∅”的必要条件，故“a＝1”是“A∩B ＝∅”的充分不必要条件．(理)设x，y∈R，则“x≥1且y≥1”是“x2＋y2≥2”的( D )A．既不充分又不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．充分不必要条件[解析]当x≥1，y≥1时，x2≥1，y2≥1，所以x2＋y2≥2；而当x＝－2，y＝－4时，x2＋y2≥2仍成立，所以“x≥1且y≥1”是“x2＋y2≥2”的充分不必要条件，故选D．6．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{2,4,6,8}，定义集合A×B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，则集合A×B中属于集合{(x，y)|log x y∈N}的元素个数是( B )A．3B．4C．8D．9[解析]用列举法求解．由给出的定义得A×B＝{(1,2)，(1,4)，(1,6)，(1,8)，(2,2)，(2,4)，(2,6)，(2,8)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(3,8)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(4,8)}．其中log22＝1，log24＝2，log28＝3，log44＝1，因此，一共有4个元素，故选B．7．(2018·东北三省四市一模)已知命题p：函数y＝lg(1－x)在(－∞，1)内单调递减，命题q：函数y＝2cos x是偶函数，则下列命题中为真命题的是( A )A．p∧q B．(綈p)∨(綈q)C．(綈p)∧q D．p∧(綈q)[解析]命题p：函数y＝lg(1－x)在(－∞，1)上单调递减，是真命题；命题q：函数y＝2cos x是偶函数，是真命题．则p∧q是真命题．故选A．8．已知条件p：x2－2x－3<0，条件q：x>a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围为( D )A．a>3 B．a≥3C．a<－1 D．a≤－1[解析]由x2－2x－3<0得－1<x<3，设A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|x>a}，若p是q的充分不必要条件，则A B，即a≤－1.9．若集合P＝{x|3<x≤22}，非空集合Q＝{x|2a＋1≤x<3a－5}，则能使Q⊆(P∩Q)成立的a的取值范围为( D )A．(1,9) B．[1,9]C ．[6,9)D ．(6,9][解析] 依题意，P ∩Q ＝Q ，Q ⊆P ， 于是⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1<3a －5，2a ＋1>3，3a －5≤22，解得6<a ≤9，即实数a 的取值范围为(6,9]． 10．下列说法正确的是( D )A ．命题“存在x 0∈R ，x 20＋x 0＋2 018>0”的否定是“任意x ∈R ，x 2＋x ＋2 018<0”B ．两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件C ．函数f (x )＝1x在其定义域上是减函数D ．给定命题p ，q ，若“p 且q ”是真命题，则綈p 是假命题[解析] 对于A ，特称命题的否定为全称命题，所以命题“存在x 0∈R ，x 20＋x 0＋2 018>0”的否定是“任意x ∈R ，x 2＋x ＋2 018≤0”，故A 不正确．对于B ，两个三角形全等，则这两个三角形面积相等；反之，不然．即两个三角形全等是这两个三角形面积相等的充分不必要条件，故B 不正确．对于C ，函数f (x )＝1x 在(－∞，0)，(0，＋∞)上分别是减函数，但在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)内既不是增函数，也不是减函数，如取x 1＝－1，x 2＝1，有x 1<x 2，且f (x 1)＝－1，f (x 2)＝1，则f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )＝1x 在其定义域上不是减函数，故C 不正确．对于D ，因为“p 且q ”是真命题，则p ，q 都是真命题，所以綈p 是假命题，故D 正确．11．如果集合A 满足若x ∈A ，则－x ∈A ，那么就称集合A 为“对称集合”．已知集合A ＝{2x,0，x 2＋x }，且A 是对称集合，集合B 是自然数集，则A ∩B ＝{0,6}.[解析] 由题意可知，－2x ＝x 2＋x ， 所以x ＝0或x ＝－3，而当x ＝0时，不符合元素的互异性，舍去； 当x ＝－3时，A ＝{－6,0,6}，所以A ∩B ＝{0,6}．12．命题“∀x ∈[1,2]，使x 2－a ≥0”是真命题，则a 的取值范围是(－∞，1]. [解析] 命题p ：a ≤x 2在[1,2]上恒成立，y ＝x 2在[1,2]上的最小值为1， 所以a ≤1.13．设p ：(x －a )2>9，q ：(x ＋1)(2x －1)≥0，若綈p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是(－∞，－4]∪[72，＋∞).[解析] 綈p ：(x －a )2≤9，所以a －3≤x ≤a ＋3，q ：x ≤－1或x ≥12，因为綈p 是q 的充分不必要条件， 所以a ＋3≤－1或a －3≥12，即a ≤－4或a ≥72.14．给出下列结论：①若命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0；②“(x －3)(x －4)＝0”是“x －3＝0”的充分而不必要条件；③命题“若b ＝0，则函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数，且a ≠0)是偶函数”的否命题是“若b ≠0，则函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数，且a ≠0)是奇函数”；④若a >0，b >0，a ＋b ＝4，则1a ＋1b 的最小值为1.其中正确结论的序号为①④.[解析] 由特称命题的否定知①正确；(x －3)(x －4)＝0⇒x ＝3或x ＝4，x ＝3⇒(x －3)(x －4)＝0，所以“(x －3)·(x －4)＝0”是“x －3＝0”的必要而不充分条件，所以②错误；函数可能是偶函数，奇函数，也可能是非奇非偶的函数，结论③中“函数是偶函数”的否定应为“函数不是偶函数”，故③不正确；因为a >0，b >0，a ＋b ＝4，所以1a ＋1b ＝a ＋b 4·(1a ＋1b )＝12＋b 4a ＋a 4b ≥12＋2b 4a ·a4b＝1，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，所以④正确．第二讲向量运算与复数运算、算法、推理与证明本部分内容在备考时应注意以下几个方面：(1)加强对向量加法、减法的平行四边形法则与三角形法则的理解、掌握两向量共线与垂直的条件，熟记平面向量的相关公式，掌握求模、夹角的方法．(2)掌握复数的基本概念及运算法则，在备考时注意将复数化为代数形式再进行求解，同时注意“分母实数化”的运用．(3)关注程序框图和基本算法语句的应用与判别，尤其是含循环结构的程序框图要高度重视．(4)掌握各种推理的特点和推理过程，同时要区分不同的推理形式，对归纳推理要做到归纳到位、准确；对类比推理要找到事物的相同点，做到类比合，对演绎推理要做到过程严密．预测2019年命题热点为：(1)利用平面向理的基本运算解决数量积、夹角、模或垂直、共线等问题，与三角函数、解析几何交汇命题．(2)单独考查复数的四则运算，与复数的相关概念、复数的几何意义等相互交汇考查．(3)程序框图主要是以循环结构为主的计算、输出、程序框图的补全，与函数求值、方程求解、不等式求解数列求和、统计量的计算等交汇在一起命题．(4)推理问题考查归纳推理和类比推理，主要与数列、立体几何、解析几何等结合在一起命题．Z 知识整合hi shi zheng he1．重要公式(1)两个非零向量平行、垂直的充要条件 若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则①a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0，λ∈R )⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. ②a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. (2)复数的四则运算法则(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i(a ，b ，c ，d ∈R )． (a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(bc ＋ad )i(a ，b ，c ，d ∈R )． (a ＋b i)÷(c ＋d i)＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(a ，b ，c ，d ∈R ，c ＋d i ≠0)．2．重要性质及结论(1)若a 与b 不共线，且λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0.(2)已知OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为常数)，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.. (3)平面向量的三个性质①若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a②若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|③设θ为a 与b (a ≠0，b ≠0)的夹角，且a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则cos θ＝a ·b|a ||b |＝(4)复数运算中常用的结论： ①(1±i)2＝±2i ；②1＋i 1－i ＝i ；③1－i 1＋i＝－i ；④－b ＋a i ＝i(a ＋b i)；⑤i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，其中n ∈N *3．推理与证明 (1)归纳推理的思维过程实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论(2)类比推理的思维过程实验、观察→联想、类推→猜测新的结论 (3)(理)数学归纳法证题的步骤①(归纳奠基)证明当n 取第一个值n ＝n 0(n 0∈N *)时，命题成立；②(归纳递推)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时，命题也成立． 只要完成了这两个步骤，就可以断定命题对于任何n ≥n 0的正整数都成立．Y 易错警示i cuo jing shi1．忽略复数的定义：在解决与复数概念有关的问题时，在运用复数的概念时忽略某一条件而致误． 2．不能准确把握循环次数解答循环结构的程序框图(流程图)问题，要注意循环次数，防止多一次或少一次的错误． 3．忽略特殊情况：两个向量夹角为锐角与向量的数量积大于0不等价；两个向量夹角为钝角与向量的数量积小于0不等价．1．(2018·全国卷Ⅰ，1)设z ＝1－i1＋i＋2i ，则|z |＝( C ) A ．0 B ．12C ．1D ． 2[解析] ∵ z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝(1－i )2(1＋i )(1－i )＋2i ＝－2i2＋2i ＝i ，∴ |z |＝1. 故选C ．2．(2018·全国卷Ⅱ，1)1＋2i1－2i ＝( D )A ．－45－35iB ．－45＋35iC ．－35－45iD ．－35＋45i[解析] 1＋2i 1－2i ＝(1＋2i )2(1－2i )(1＋2i )＝1－4＋4i 1－(2i )2＝－3＋4i 5＝－35＋45i.故选D ．3．(2018·全国卷Ⅱ，4)已知向量a ，b 满足|a |＝1，a ·b ＝－1，则a ·(2a －b )＝( B ) A ．4 B ．3 C ．2D ．0[解析] a ·(2a －b )＝2a 2－a ·b ＝2|a |2－a ·b . ∵ |a |＝1，a ·b ＝－1，∴ 原式＝2×12＋1＝3. 故选B ．4．(2018·全国卷Ⅰ，6)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝( A ) A ．34AB →－14AC →B ．14AB →－34AC →C ．34AB →＋14AC →D ．14AB →＋34AC →[解析] 作出示意图如图所示．EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →) ＝34AB →－14AC →. 故选A ．5．(2018·北京卷，2)在复平面内，复数11－i 的共轭复数对应的点位于( D )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 [解析]11－i ＝12＋i 2，其共轭复数为12－i2，对应点位于第四象限．故选D ．6．(2018·全国卷Ⅱ，7)为计算S ＝1－12＋13－14＋…＋199－1100，设计了如图所示的程序框图，则在空白框中应填入( B )A ．i ＝i ＋1B ．i ＝i ＋2C ．i ＝i ＋3D ．i ＝i ＋4[解析] 把各循环变量在各次循环中的值用表格表示如下. 因为N ＝N ＋1i ，由上表知i 是1→3→5，…，所以i ＝i ＋2.故选B ．7．(2018·天津卷，3)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为( B )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 输入N 的值为20，第一次执行条件语句，N ＝20，i ＝2，Ni＝10是整数，∴ T ＝0＋1＝1，i ＝3<5；第二次执行条件语句，N ＝20，i ＝3，N i ＝203不是整数，∴ i ＝4<5；第三次执行条件语句，N ＝20，i ＝4，Ni ＝5是整数，∴ T ＝1＋1＝2，i ＝5，此时i ≥5成立，∴ 输出T ＝2. 故选B ．8．(2018·天津卷，9)i 是虚数单位，复数6＋7i1＋2i ＝4－i.[解析]6＋7i 1＋2i ＝(6＋7i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝20－5i5＝4－i.9．(2018·北京卷，9)设向量a ＝(1,0)，b ＝(－1，m )．若a ⊥(m a －b )，则m ＝－1. [解析] a ＝(1,0)，b ＝(－1，m )，则m a －b ＝(m ＋1，－m )． 由a ⊥(m a －b )得a ·(m a －b )＝0， 即m ＋1＝0，得m ＝－1.10．(2018·全国卷Ⅲ，13)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝12.[解析] 2a ＋b ＝(4,2)，因为c ∥(2a ＋b )，所以4λ＝2，得λ＝12.命题方向1 平面向量的运算例1 (1)如图，正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC →＝λAM →＋μBD →，则λ＋μ＝( B )A ．43B ．53C ．158D ．2[解析] 方法一：建立平面直角坐标系如图所示，设正方形的边长为2，则A (0,0)，B (2,0)，C (2,2)，M (2,1)，D (0,2)，所以AC →＝(2,2)，AM →＝(2,1)，BD →＝(－2,2)．由AC →＝λAM →＋μBD →，得(2,2)＝λ(2,1)＋μ(－2,2)，即(2,2)＝(2λ－2μ，λ＋2μ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2λ－2μ＝2，λ＋2μ＝2，解得⎩⎨⎧λ＝43，μ＝13，所以λ＋μ＝53.故选B ．方法二：因为AC →＝λAM →＋μBD →＝λ(AB →＋BM →)＋μ(BA →＋AD →)＝λ(AB →＋12AD →)＋μ(－AB →＋AD →)＝(λ－μ)AB →＋(12λ＋μ)AD →，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ＝1，12λ＋μ＝1，得⎩⎨⎧λ＝43，μ＝13，所以λ＋μ＝53.故选B ．(2)在平行四边形ABCD 中，M 为BC 的中点，若AB →＝λAM →＋μDB →，则λμ＝29.[解析] 由图形可得：AM →＝AB →＋12AD →①，DB →＝AB →－AD →②，①×2＋②得：2AM →＋DB →＝3AB →，即AB →＝23AM →＋13DB →，所以λ＝23，μ＝13，所以λμ＝29.『规律总结』1．平面向量的线性运算要抓住两条主线：一是基于“形”，通过作出向量，结合图形分析；二是基于“数”，借助坐标运算来实现．2．正确理解并掌握向量的概念及运算，强化“坐标化”的解题意识，注重数形结合思想、方程思想与转化思想的应用．提醒：运算两平面向量的数量积时，务必要注意两向量的方向．G 跟踪训练en zong xun lian1．过点P (1，3)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则P A ―→·PB ―→＝32.[解析] 圆心为O (0,0)，则3，∠OP A ＝∠OPB ＝π6，则∠APB＝π3，所以cos ∠APB ＝3·3·cos π3＝32.2．已知向量a ＝(3,1)，b ＝(x ，－2)，c ＝(0,2)，若a ⊥(b －c )，则实数x 的值为( A ) A ．43B ．34C ．－34D ．－43[解析] 因为b －c ＝(x ，－4)，又a ⊥(b －c )，所以a ·(b －c )＝3x －4＝0，所以x ＝43.命题方向2 复数的概念与运算例2 (1)已知复数z 1＝3＋i1－i的实部为a ，复数z 2＝i(2＋i)的虚部为b ，复数z ＝b＋a i 的共轭复数在复平面内的对应点在( D )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[分析] 先计算z 1、z 2求出a 、b ，再由共轭复数的定义求得z －，最后写出对应点的坐标． [解析] z 1＝3＋i 1－i ＝(3＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝1＋2i ，z 2＝i(2＋i)＝－1＋2i ，∴a ＝1，b ＝2，∴z ＝2＋i ， ∴z －＝2－i 在复平面内的对应点(2，－1)在第四象限． (2)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( B ) A ．1 B ． 2 C ． 3D ．2[解析] 因为(1＋i)x ＝x ＋x i ＝1＋y i ，所以x ＝y ＝1，|x ＋y i|＝|1＋i|＝12＋12＝2，故选B ．(3)(2018·郑州质检二)设i 是虚数单位，复数z ＝2i1＋i ，则|z |＝( B )A ．1B ． 2C ． 3D ．2[解析] |z |＝⎪⎪⎪⎪2i 1＋i ＝22＝ 2.『规律总结』1．解决复数的概念与运算问题，一般都是直接用运算法则求或用复数相等的条件求解．一般是先变形分离出实部和虚部，把复数的非代数形式化为代数形式．然后再根据条件，列方程或方程组．2．熟记复数表示实数、纯虚数的条件，复数相等的条件、共轭复数及复数的几何意义是。

高考数学一轮复习 第五章 平面向量与复数5.5 复 数考试要求 1.通过方程的解，认识复数.2.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义.3.掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义．知识梳理1．复数的有关概念(1)复数的定义：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a 是实部，b 是虚部，i 为虚数单位． (2)复数的分类： 复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⎩⎪⎨⎪⎧实数b ＝0，虚数b ≠0其中，当a ＝0时为纯虚数.(3)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 互为共轭复数⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． (5)复数的模：向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模或绝对值，记作|a ＋b i|或|z |，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R )．2．复数的几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )一一对应复平面内的点Z (a ，b )． (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )一一对应平面向量OZ →.3．复数的四则运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则： 设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则 ①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； ④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝a ＋b ic －d i c ＋d ic －d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d2i(c ＋d i≠0)．(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→.常用结论1．(1±i)2＝±2i ；1＋i 1－i ＝i ；1－i1＋i ＝－i.2．－b ＋a i ＝i(a ＋b i)(a ，b ∈R )．3．i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i(n ∈N )． 4．i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0(n ∈N )． 5．复数z 的方程在复平面上表示的图形(1)a ≤|z |≤b 表示以原点O 为圆心，以a 和b 为半径的两圆所夹的圆环； (2)|z －(a ＋b i)|＝r (r >0)表示以(a ，b )为圆心，r 为半径的圆． 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)复数z ＝a －b i(a ，b ∈R )中，虚部为b .( × ) (2)复数可以比较大小．( × )(3)已知z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，当a ＝0时，复数z 为纯虚数．( × )(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．( √ ) 教材改编题1．已知复数z 满足(2＋i)z ＝1－i ，其中i 是虚数单位，则z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 D2．复数z ＝(3＋i)(1－4i)，则复数z 的实部与虚部之和是________． 答案 －4解析 z ＝(3＋i)(1－4i)＝3－12i ＋i ＋4＝7－11i ，故实部和虚部之和为7－11＝－4. 3．若z ＝(m 2＋m －6)＋(m －2)i 为纯虚数，则实数m 的值为________． 答案 －3题型一 复数的概念例1 (1)(2021·浙江)已知a ∈R ，(1＋a i)i ＝3＋i(i 为虚数单位)，则a 等于( ) A ．－1 B ．1 C ．－3 D ．3 答案 C解析 方法一 因为(1＋a i)i ＝－a ＋i ＝3＋i ，所以－a ＝3，解得a ＝－3. 方法二 因为(1＋a i)i ＝3＋i ，所以1＋a i ＝3＋i i ＝1－3i ，所以a ＝－3.(2)(2022·新余模拟)若复数z 满足z 1＋i i 32－i ＝1－i ，则复数z 的虚部为( )A ．iB ．－iC ．1D ．－1 答案 C解析 ∵z 1＋i i 32－i＝1－i ，∴z (1＋i)(－i)＝(2－i)(1－i)， ∴z (1－i)＝(2－i)(1－i)，∴z ＝2－i ， ∴z ＝2＋i ，∴z 的虚部为1. 教师备选1．(2020·全国Ⅲ)若z (1＋i)＝1－i ，则z 等于( ) A ．1－i B ．1＋i C ．－i D ．i 答案 D解析 因为z ＝1－i 1＋i ＝1－i 21＋i 1－i＝－i ，所以z ＝i.2．(2020·全国Ⅰ)若z ＝1＋i ，则|z 2－2z |等于( ) A ．0 B ．1 C. 2 D ．2 答案 D解析 方法一 z 2－2z ＝(1＋i)2－2(1＋i)＝－2， |z 2－2z |＝|－2|＝2.方法二 |z 2－2z |＝|(1＋i)2－2(1＋i)| ＝|(1＋i)(－1＋i)|＝|1＋i|·|－1＋i|＝2.思维升华 解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可． (2)解题时一定要先看复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部．跟踪训练1 (1)(2022·衡水中学模拟)已知x 1＋i ＝1－y i ，其中x ，y 是实数，i 是虚数单位，则x ＋y i 的共轭复数为( ) A ．2＋i B ．2－i C ．1＋2iD ．1－2i答案 B解析 由x1＋i ＝1－y i ，得x 1－i 1＋i 1－i ＝1－y i ，即x 2－x2i ＝1－y i ， ∴⎩⎨⎧x2＝1，x2＝y ，解得x ＝2，y ＝1，∴x ＋y i ＝2＋i ， ∴其共轭复数为2－i.(2)已知z ＝1－3i ，则|z －i|＝________. 答案5解析 ∵z ＝1－3i ，∴z ＝1＋3i ， ∴z －i ＝1＋3i －i ＝1＋2i ， ∴|z －i|＝12＋22＝ 5. 题型二 复数的四则运算例2 (1)(2021·新高考全国Ⅰ)已知z ＝2－i ，则z (z ＋i)等于( ) A ．6－2i B ．4－2i C ．6＋2i D ．4＋2i答案 C解析 因为z ＝2－i ，所以z (z ＋i)＝(2－i)(2＋2i)＝6＋2i.(2)设z 1，z 2，z 3为复数，z 1≠0.给出下列命题： ①若|z 2|＝|z 3|，则z 2＝±z 3； ②若z 1z 2＝z 1z 3，则z 2＝z 3；③若z 2＝z 3，则|z 1z 2|＝|z 1z 3|； ④若z 1z 2＝|z 1|2，则z 1＝z 2. 其中所有正确命题的序号是( ) A ．①③ B ．②③ C ．②④ D ．③④ 答案 B解析 由|i|＝|1|，知①错误；z 1z 2＝z 1z 3，则z 1(z 2－z 3)＝0，又z 1≠0，所以z 2＝z 3，故②正确； |z 1z 2|＝|z 1||z 2|，|z 1z 3|＝|z 1||z 3|，又z 2＝z 3，所以|z 2|＝|z 2|＝|z 3|，故③正确，令z 1＝i ，z 2＝－i ，满足z 1z 2＝|z 1|2，不满足z 1＝z 2，故④错误． 教师备选1．(2020·新高考全国Ⅰ)2－i1＋2i 等于( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i 答案 D 解析2－i 1＋2i ＝2－i1－2i 1＋2i1－2i＝－5i5＝－i.2．在数学中，记表达式ad －bc 为由⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd 所确定的二阶行列式．若在复数域内，z 1＝1＋i ，z 2＝2＋i 1－i ，z 3＝z 2，则当⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1 z 2z 3 z 4＝12－i 时，z 4的虚部为________． 答案 －2 解析 依题意知，⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1 z 2z 3 z 4＝z 1z 4－z 2z 3，因为z 3＝z 2， 且z 2＝2＋i 1－i＝2＋i1＋i2＝1＋3i 2，所以z 2z 3＝|z 2|2＝52，因此有(1＋i)z 4－52＝12－i ，即(1＋i)z 4＝3－i ， 故z 4＝3－i 1＋i＝3－i1－i2＝1－2i.所以z 4的虚部是－2.思维升华 (1)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算． (2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数． 跟踪训练2 (1)(2021·全国乙卷)设i z ＝4＋3i ，则z 等于( ) A ．－3－4i B ．－3＋4i C ．3－4i D ．3＋4i答案 C解析 方法一 (转化为复数除法运算) 因为i z ＝4＋3i ， 所以z ＝4＋3i i ＝4＋3i －i i －i ＝－4i －3i 2－i 2＝3－4i.方法二 (利用复数的代数形式) 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则由i z ＝4＋3i ，可得i(a ＋b i)＝4＋3i ，即－b ＋a i ＝4＋3i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－b ＝4，a ＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－4，所以z ＝3－4i. 方法三 (巧用同乘技巧)因为i z ＝4＋3i ，所以i z ·i ＝(4＋3i)·i ，所以－z ＝4i －3， 所以z ＝3－4i.(2)若z ＝i 2 0231－i ，则|z |＝________；z ＋z ＝________.答案221 解析 z ＝i2 0231－i ＝－i 1－i ＝1－i2，|z |＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫－122＝22，z ＋z ＝12－12i ＋12＋12i ＝1.题型三 复数的几何意义例3 (1)(2021·新高考全国Ⅱ)复数2－i1－3i 在复平面内对应的点所在的象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 A 解析2－i 1－3i＝2－i 1＋3i 10＝5＋5i 10＝1＋i 2，所以该复数在复平面内对应的点为⎝⎛⎭⎫12，12，该点在第一象限．(2)(2020·全国Ⅱ)设复数z 1，z 2满足|z 1|＝|z 2|＝2，z 1＋z 2＝3＋i ，则|z 1－z 2|＝________. 答案 2 3解析 方法一 设z 1－z 2＝a ＋b i ，a ，b ∈R ， 因为z 1＋z 2＝3＋i ， 所以2z 1＝(3＋a )＋(1＋b )i ， 2z 2＝(3－a )＋(1－b )i.因为|z 1|＝|z 2|＝2，所以|2z 1|＝|2z 2|＝4， 所以3＋a 2＋1＋b 2＝4， ①3－a2＋1－b 2＝4，②①2＋②2，得a 2＋b 2＝12.所以|z 1－z 2|＝a 2＋b 2＝2 3.方法二 设复数z 1，z 2在复平面内分别对应向量OA →，OB →， 则z 1＋z 2对应向量OA →＋OB →.由题意知|OA →|＝|OB →|＝|OA →＋OB →|＝2，如图所示，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ，则z 1－z 2对应向量BA →， 且|OA →|＝|AC →|＝|OC →|＝2， 可得|BA →|＝2|OA →|sin 60°＝2 3. 故|z 1－z 2|＝|BA →|＝2 3. 教师备选1．(2020·北京)在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i·z 等于( ) A ．1＋2i B ．－2＋i C ．1－2i D ．－2－i答案 B解析 由题意知，z ＝1＋2i ， ∴i·z ＝i(1＋2i)＝－2＋i.2．(2019·全国Ⅰ)设复数z 满足|z －i|＝1，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则( ) A ．(x ＋1)2＋y 2＝1 B ．(x －1)2＋y 2＝1 C ．x 2＋(y －1)2＝1 D ．x 2＋(y ＋1)2＝1 答案 C解析 ∵z 在复平面内对应的点为(x ，y )， ∴z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )．∵|z －i|＝1，∴|x ＋(y －1)i|＝1， ∴x 2＋(y －1)2＝1.思维升华 由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观． 跟踪训练3 (1)如图，若向量OZ →对应的复数为z ，则z ＋4z表示的复数为( )A ．1＋3iB ．－3－iC ．3－iD ．3＋i答案 D解析 由题图可得Z (1，－1)，即z ＝1－i ，所以z ＋4z ＝1－i ＋41－i ＝1－i ＋41＋i 1－i 1＋i ＝1－i ＋4＋4i2＝1－i ＋2＋2i ＝3＋i.(2)设复数z 满足条件|z |＝1，那么|z ＋22＋i|的最大值是( ) A ．3 B ．2 3 C ．1＋2 2 D ．4 答案 D解析 |z |＝1表示单位圆上的点，那么|z ＋22＋i|表示单位圆上的点到点(－22，－1)的距离，求最大值转化为点(－22，－1)到原点的距离加上圆的半径．因为点(－22，－1)到原点的距离为3，所以所求最大值为4.在如图的复平面中，r ＝a 2＋b 2，cos θ＝a r ，sin θ＝b r ，tan θ＝ba(a ≠0)．任何一个复数z ＝a ＋b i 都可以表示成z ＝r (cos θ＋isin θ)的形式．其中，r 是复数z 的模；θ是以x 轴的非负半轴为始边，向量OZ →所在射线(射线OZ )为终边的角，叫做复数z ＝a ＋b i 的辐角．我们把r (cos θ＋isin θ)叫做复数的三角形式．对应于复数的三角形式，把z ＝a ＋b i 叫做复数的代数形式．复数乘、除运算的三角表示：已知复数z 1＝r 1(cos θ1＋isin θ1)，z 2＝r 2(cos θ2＋isin θ2)，则z 1·z 2＝r 1r 2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．z 1z 2＝r 1r 2[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]． 例1 (1)⎝⎛⎭⎫cos π2＋isin π2×3⎝⎛⎭⎫cos π6＋isin π6 等于( )A.32＋332iB.32－332i C ．－32＋332i D ．－32－332i 答案 C解析 ⎝⎛⎭⎫cos π2＋isin π2×3⎝⎛⎭⎫cos π6＋isin π6 ＝3⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫π2＋π6＋isin ⎝⎛⎭⎫π2＋π6 ＝3⎝⎛⎭⎫cos 2π3＋isin 2π3＝－32＋332i. (2)复数cos π3＋isin π3经过n 次乘方后，所得的幂等于它的共轭复数，则n 的值等于( ) A ．3B ．12C ．6k －1(k ∈Z )D ．6k ＋1(k ∈Z )答案 C解析 由题意，得⎝⎛⎭⎫cos π3＋isin π3n ＝cos n π3＋isin n π3＝cos π3－isin π3， 由复数相等的定义，得 ⎩⎨⎧ cos n π3＝cos π3＝12，sin n π3＝－sin π3＝－32.解得n π3＝2k π－π3(k ∈Z )， ∴n ＝6k －1(k ∈Z )．(3)复数z ＝cosπ15＋isin π15是方程x 5－α＝0的一个根，那么α的值等于( ) A.32＋12i B.12＋32i C.32－12i D ．－12－32i 答案 B解析 由题意得，α＝⎝⎛⎭⎫cos π15＋isin π155 ＝cos π3＋isin π3＝12＋32i. 例2 已知i 为虚数单位，z 1＝2(cos 60°＋isin 60°)，z 2＝22(sin 30°－icos 30°)，则z 1·z 2的三角形式是( )A ．4(cos 90°＋isin 90°)B ．4(cos 30°＋isin 30°)C．4(cos 30°－isin 30°)D．4(cos 0°＋isin 0°)答案 D解析∵z2＝22(sin 30°－icos 30°)＝22(cos 300°＋isin 300°)，∴z1·z2＝2(cos 60°＋isin 60°)·22(cos 300°＋isin 300°)＝4(cos 360°＋isin 360°)＝4(cos 0°＋isin 0°)．课时精练1．(2022·福州模拟)已知i是虚数单位，则“a＝i”是“a2＝－1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析i是虚数单位，则i2＝－1，“a＝i”是“a2＝－1”的充分条件；由a2＝－1，得a＝±i，故“a＝i”是“a2＝－1”的不必要条件；故“a＝i”是“a2＝－1”的充分不必要条件．2．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝3－i，则z1z2等于() A．－10 B．10 C．－8 D．8答案 A解析∵z1＝3－i，z1，z2在复平面内所对应的点关于虚轴对称，∴z2＝－3－i，∴z 1z 2＝－9－1＝－10.3．(2022·长春实验中学模拟)若复数z 的共轭复数为z 且满足z ·(1＋2i)＝1－i ，则复数z 的虚部为( )A.35B ．－35i C.35i D ．－35 答案 A解析 z ·(1＋2i)＝1－i ，∴z ＝1－i 1＋2i ＝1－i 1－2i 1＋2i 1－2i ＝－1－3i 5＝－15－35i ， ∴z ＝－15＋35i ， ∴复数z 的虚部为35. 4．已知i 是虚数单位，则复数z ＝i 2 023＋i(i －1)在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 C解析 因为z ＝i 2 023＋i(i －1)＝－i －1－i ＝－1－2i ，所以复数z 在复平面内对应的点是(－1，－2)，位于第三象限．5．(2022·潍坊模拟)在复数范围内，已知p ，q 为实数，1－i 是关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0的一个根，则p ＋q 等于( )A ．2B ．1C ．0D ．－1答案 C解析 因为1－i 是关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0的一个根，则1＋i 是方程x 2＋px ＋q ＝0的另一根，由根与系数的关系可得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋i ＋1－i ＝－p ，1＋i 1－i ＝q ，解得p ＝－2，q ＝2，所以p ＋q ＝0.6．(2022·苏州模拟)若复数z 满足(1＋i)·z ＝5＋3i(其中i 是虚数单位)，则下列结论正确的是( )A ．z 的虚部为－iB ．z 的模为17C ．z 的共轭复数为4－iD ．z 在复平面内对应的点位于第二象限 答案 B解析 由(1＋i)·z ＝5＋3i 得z ＝5＋3i 1＋i ＝5＋3i 1－i 1＋i 1－i＝8－2i 2＝4－i ， 所以z 的虚部为－1，A 错误；z 的模为42＋－12＝17，B 正确；z 的共轭复数为4＋i ，C 错误；z 在复平面内对应的点为(4，－1)，位于第四象限，D 错误．7．若z ＝(a －2)＋a i 为纯虚数，其中a ∈R ，则a ＋i 71＋a i＝________. 答案 －i解析 ∵z 为纯虚数，∴⎩⎨⎧a －2＝0，a ≠0，∴a ＝2，∴a ＋i 71＋a i ＝2－i 1＋2i ＝2－i 1－2i 1＋2i1－2i ＝－3i 3＝－i.8．(2022·温州模拟)已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，且z 1－i ＝3＋2i ，则a ＝________，b ＝________.答案 5 1解析 由z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则z ＝a －b i ，所以z 1－i＝1＋i 2(a －b i) ＝a ＋b 2＋a －b 2i ＝3＋2i ， 故a ＋b 2＝3，a －b 2＝2，所以a ＝5，b ＝1. 9．当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m＋(m 2－2m )i 为①实数；②虚数；③纯虚数． 解 ①当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m ≠0， 即m ＝2时，复数z 是实数．②当m 2－2m ≠0，且m ≠0，即m ≠0且m ≠2时，复数z 是虚数．③当⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋m －6m ＝0，m ≠0，m 2－2m ≠0，即m ＝－3时，复数z 是纯虚数．10. 如图所示，在平行四边形OABC 中，顶点O ，A ，C 分别表示0,3＋2i ，－2＋4i ，试求：(1)AO →，BC →所表示的复数；(2)对角线CA →所表示的复数；(3)B 点对应的复数．解 (1)∵AO →＝－OA →，∴AO →所表示的复数为－3－2i ，∵BC →＝AO →，∴BC →所表示的复数为－3－2i.(2)∵CA →＝OA →－OC →，∴CA →所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)OB →＝OA →＋OC →，∴OB →所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ，∴B 所对应的复数为1＋6i.11．欧拉公式e x i ＝cos x ＋isin x 是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥，依据欧拉公式，下列选项不正确的是( )A ．复数e 2i 对应的点位于第二象限B ．i 2e π为纯虚数C ．复数e x i 3＋i的模长等于12 D ．i 6e π的共轭复数为12－32i 答案 D解析 对于A ，e 2i ＝cos 2＋isin 2， 因为π2<2<π， 即cos 2<0，sin 2>0，复数e 2i 对应的点位于第二象限，A 正确；对于B ，i 2e π＝cos π2＋isin π2＝i ，i 2e π为纯虚数， B 正确；对于C ，e x i3＋i ＝cos x ＋isin x 3＋i＝cos x ＋isin x 3－i 3＋i 3－i ＝3cos x ＋sin x 4＋3sin x －cos x 4i ， 于是得⎪⎪⎪⎪⎪⎪e x i 3＋i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3cos x ＋sin x 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x －cos x 42 ＝12， C 正确； 对于D ，i 6e π＝cos π6＋isin π6＝32＋12i ， 其共轭复数为32－12i ，D 不正确． 12．(2022·武汉模拟)下列说法中，正确的个数有( )①若|z |＝2，则z ·z ＝4；②若复数z 1，z 2满足|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则z 1z 2＝0；③若复数z 的平方是纯虚数，则复数z 的实部和虚部相等；④“a ≠1”是“复数z ＝(a －1)＋(a 2－1)i(a ∈R )是虚数”的必要不充分条件．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案 B解析 若|z |＝2，则z ·z ＝|z |2＝4，故①正确；设z 1＝a 1＋b 1i(a 1，b 1∈R )，z 2＝a 2＋b 2i(a 2，b 2∈R )，由|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，可得|z 1＋z 2|2＝(a 1＋a 2)2＋(b 1＋b 2)2＝|z 1－z 2|2＝(a 1－a 2)2＋(b 1－b 2)2则a 1a 2＋b 1b 2＝0，而z 1z 2＝(a 1＋b 1i)(a 2＋b 2i)＝a 1a 2－b 1b 2＋a 1b 2i ＋b 1a 2i＝2a 1a 2＋a 1b 2i ＋b 1a 2i 不一定为0，故②错误；当z ＝1－i 时，z 2＝－2i 为纯虚数，其实部和虚部不相等，故③错误；若复数z ＝(a －1)＋(a 2－1)i(a ∈R )是虚数，则a 2－1≠0，即a ≠±1，所以“a ≠1”是“复数z ＝(a －1)＋(a 2－1)i(a ∈R )是虚数”的必要不充分条件，故④正确．13．(2022·上外浦东附中模拟)若⎪⎪⎪⎪a －i 1 b －2i 1＋i ＝0(a ，b ∈R )，则a 2＋b 2＝________. 答案 1解析 ∵⎪⎪⎪⎪a －i 1 b －2i 1＋i ＝(a －i)(1＋i)－(b －2i) ＝a ＋a i －i ＋1－b ＋2i＝(a ＋1－b )＋(a ＋1)i ，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1－b ＝0，a ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0，a ＝－1， ∴a 2＋b 2＝1.14．(2022·上海市静安区模拟)投掷两颗六个面上分别刻有1到6的点数的均匀的骰子，得到其向上的点数分别为m 和n ，则复数m ＋n i n ＋m i为虚数的概率为________．答案 56 解析 ∵复数m ＋n i n ＋m i ＝m ＋n i n －m i n ＋m in －m i ＝2mn ＋n 2－m 2i m 2＋n 2， 故复数m ＋n i n ＋m i为虚数需满足n 2－m 2≠0， 即m ≠n ，故有6×6－6＝30(种)情况，∴复数m ＋n i n ＋m i 为虚数的概率为306×6＝56.15．(2022·青岛模拟)已知复数z 满足|z －1－i|≤1，则|z |的最小值为( )A ．1 B.2－1 C. 2 D.2＋1答案 B解析 令z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则由题意有(x －1)2＋(y －1)2≤1，∴|z |的最小值即为圆(x －1)2＋(y －1)2＝1上的动点到原点的最小距离，∴|z |的最小值为2－1.16．(2022·张家口调研)已知复数z 满足z 2＝3＋4i ，且z 在复平面内对应的点位于第三象限．(1)求复数z ；(2)设a ∈R ，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋z 1＋z 2 023＋a ＝2，求实数a 的值． 解 (1)设z ＝c ＋d i(c <0，d <0)，则z 2＝(c ＋d i)2＝c 2－d 2＋2cd i ＝3＋4i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ c 2－d 2＝3，2cd ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝－2，d ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2，d ＝1(舍去)． ∴z ＝－2－i.(2)∵z ＝－2＋i ， ∴1＋z 1＋z ＝－1－i －1＋i ＝1＋i 1－i ＝1＋i 22＝i ， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋z 1＋z 2 023＝i 2 023＝i 2 020＋3＝i 505×4＋3＝－i ， ∴|a －i|＝a 2＋1＝2， ∴a ＝±3.。

题组层级快练(六十一)1．两圆C 1：x 2＋y 2＋2x －6y －26＝0，C 2：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋4＝0的位置关系是( ) A ．内切 B ．外切 C ．相交 D ．外离答案 A解析 由于圆C 1的标准方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝36，故圆心为C 1(－1，3)，半径为6；圆C 2的标准方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝1，故圆心为C 2(2，－1)，半径为1.因此，两圆的圆心距|C 1C 2|＝（－1－2）2＋（3＋1）2＝5＝6－1，显然两圆内切．2．(2019·广州一模)直线x －3y ＝0截圆(x －2)2＋y 2＝4所得劣弧所对的圆心角是( ) A.π6 B.π3 C.π2 D.2π3答案 D解析 画出图形，如图，圆心(2，0)到直线的距离为d ＝|2|12＋（3）2＝1，∴sin ∠AOC ＝d|OC|＝12，∴∠AOC ＝π6，∴∠CAO ＝π6，∴∠ACO ＝π－π6－π6＝2π3.3．(2016·山东)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a>0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离答案 B解析 圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0的圆心M(0，a)，半径为a ， 所以圆心M 到直线x ＋y ＝0的距离为|a|2.由直线x ＋y ＝0被圆M 截得的弦长为22，知a 2－a 22＝2，故a ＝2，即M(0，2)且圆M 的半径为2. 又圆N 的圆心N(1，1)，且半径为1， 根据1<|MN|＝2<3，知两圆相交．故选B. 4．(2020·保定模拟)直线y ＝－33x ＋m 与圆x 2＋y 2＝1在第一象限内有两个不同的交点，则m 的取值范围是( ) A ．(3，2) B ．(3，3) C.⎝⎛⎭⎫33，233D.⎝⎛⎭⎫1，233答案 D解析 当直线经过点(0，1)时，直线与圆有两个不同的交点，此时m ＝1；当直线与圆相切时有圆心到直线的距离d ＝|m|1＋⎝⎛⎭⎫332＝1，解得m ＝233(切点在第一象限)，所以要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点，需使1<m<233.5．圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋c ＝0与y 轴交于A ，B 两点，其圆心为P ，若∠APB ＝90°，则实数c 的值是( ) A ．－3 B ．3 C ．2 2 D ．8答案 A解析 由题知圆心为(2，－1)，半径为r ＝5－c.令x ＝0得y 1＋y 2＝－2，y 1y 2＝c ，∴|AB|＝|y 1－y 2|＝21－c.又|AB|＝2r ，∴4(1－c)＝2(5－c)．∴c ＝－3.6．已知点P 在圆x 2＋y 2＝5上，点Q(0，－1)，则线段PQ 的中点的轨迹方程是( ) A ．x 2＋y 2－x ＝0 B ．x 2＋y 2＋y －1＝0 C ．x 2＋y 2－y －2＝0 D ．x 2＋y 2－x ＋y ＝0答案 B解析 设P(x 0，y 0)，PQ 中点的坐标为(x ，y)，则x 0＝2x ，y 0＝2y ＋1，代入圆的方程即得所求的方程是4x 2＋(2y ＋1)2＝5，化简，得x 2＋y 2＋y －1＝0.7．在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E(0，1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．5 2B ．10 2C ．15 2D ．20 2答案 B解析 圆的标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10，则圆心(1，3)，半径r ＝10，由题意知AC ⊥BD ，且|AC|＝210，|BD|＝210－5＝25，所以四边形ABCD 的面积为S ＝12|AC|·|BD|＝12×210×25＝10 2.8．已知两点A(0，－3)，B(4，0)，若点P 是圆x 2＋y 2－2y ＝0上的动点，则△ABP 面积的最小值为( ) A ．6 B.112 C ．8 D.212答案 B解析 如图，过圆心C 向直线AB 作垂线交圆于点P ，连接BP ，AP ，这时△ABP 的面积最小．直线AB 的方程为x 4＋y－3＝1，即3x －4y －12＝0，圆心C 到直线AB 的距离为d ＝|3×0－4×1－12|32＋（－4）2＝165，∴△ABP 的面积的最小值为12×5×⎝⎛⎭⎫165－1＝112. 9．(2020·四川南充期末)若直线l ：y ＝kx ＋1被圆C ：x 2＋y 2－2x －3＝0截得的弦最短，则直线l 的方程是( ) A ．x ＝0 B ．y ＝1 C ．x ＋y －1＝0 D ．x －y ＋1＝0 答案 D解析 依题意，直线l ：y ＝kx ＋1过定点P(0，1)．圆C ：x 2＋y 2－2x －3＝0化为标准方程为(x －1)2＋y 2＝4.故圆心为C(1，0)，半径为r ＝2.则易知定点P(0，1)在圆内．由圆的性质可知当PC ⊥l 时，此时直线l ：y ＝kx ＋1被圆C ：x 2＋y 2－2x －3＝0截得的弦最短．因为k PC ＝1－00－1＝－1，所以直线l 的斜率k ＝1，即直线l 的方程是x －y ＋1＝0. 10．(2020·河北名校联盟一诊)已知点P 为圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4上一点，A(0，－6)，B(4，0)，则|PA→＋PB→|的最大值为()A.26＋2B.26＋4C．226＋4 D．226＋2答案 C解析本题考查直线和圆的位置关系．取AB中点为D(2，－3)，则PA→＋PB→＝2PD→，|PA→＋PB→|＝2|PD→|，|PD→|的最大值为圆心C(1，2)到D(2，－3)的距离d再加半径r.又d＝1＋25＝26，∴d＋r＝26＋2，∴2|PD→|的最大值为226＋4.故选C.11．已知直线3x－y＋2＝0及直线3x－y－10＝0截圆C所得的弦长均为8，则圆C的面积是________．答案25π解析因为已知的两条直线平行且截圆C所得的弦长均为8，所以圆心到直线的距离d为两直线距离的一半，即d＝12×|2＋10|3＋1＝3.又因为直线截圆C所得的弦长为8，所以圆的半径r＝32＋42＝5，所以圆C的面积是25π.12．(2015·湖南)若直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点，且∠AOB＝120°(O为坐标原点)，则r＝________．答案 2解析圆x2＋y2＝r2的圆心为原点，则圆心到直线3x－4y＋5＝0的距离为|0－0＋5|32＋（－4）2＝1，在△OAB中，点O到边AB的距离d＝rsin30°＝r2＝1，所以r＝2.13．(2017·天津)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC＝120°，则圆的方程为________．答案(x＋1)2＋(y－3)2＝1解析由题意知该圆的半径为1，设圆心坐标为C(－1，a)(a>0)，则A(0，a)，又F(1，0)，所以AC→＝(－1，0)，AF→＝(1，－a)，由题意得AC→与AF→的夹角为120°，得cos120°＝－11×1＋a2＝－12，解得a＝3，所以圆的方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝1.14．在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为22，在y轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程； (2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程． 答案 (1)y 2－x 2＝1 (2)x 2＋(y －1)2＝3或x 2＋(y ＋1)2＝3 解析 (1)设P(x ，y)，圆P 的半径为r. 由题设y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2. 从而y 2＋2＝x 2＋3.故P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1. (2)设P(x 0，y 0)．由已知得|x 0－y 0|2＝22.又P 点在双曲线y 2－x 2＝1上，从而得⎩⎪⎨⎪⎧|x 0－y 0|＝1，y 02－x 02＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝1，y 02－x 02＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1.此时，圆P 的半径r ＝ 3.由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝－1，y 02－x 02＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1.此时，圆P 的半径r ＝ 3.故圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3或x 2＋(y ＋1)2＝3.15．(2020·贵阳市质量监测)已知圆M ：x 2＋(y －2)2＝1，直线l ：y ＝－1，动圆P 与圆M 相外切，且与直线l 相切，设动圆圆心P 的轨迹为E. (1)求E 的方程；(2)若点A ，B 是E 上的两个动点，O 为坐标原点，且OA →·OB →＝－16，求证：直线AB 恒过定点．答案 (1)x 2＝8y (2)直线AB 恒过定点(0，4)解析 (1)由题意，动圆P 与直线l ：y ＝－1相切，且与定圆M ：x 2＋(y －2)2＝1外切，所以动点P 到圆M 的圆心M(0，2)的距离与到直线y ＝－2的距离相等．由抛物线的定义知，点P 的轨迹是以M(0，2)为焦点，直线y ＝－2为准线的抛物线． 故所求P 的轨迹E 的方程为x 2＝8y.(2)证明：设直线AB：y＝kx＋b，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线AB的方程代入到x2＝8y中得x2－8kx－8b＝0，所以x1＋x2＝8k，x1x2＝－8b，又OA→·OB→＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋x12x22＝－8b＋b2＝－16，64所以b＝4，则直线AB恒过定点(0，4)．16．(2019·课标全国Ⅰ)已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝4，⊙M过点A，B且与直线x＋2＝0相切．(1)若A在直线x＋y＝0上，求⊙M的半径．(2)是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|－|MP|为定值？并说明理由．答案(1)r＝2或r＝6(2)因为|MA|－|MP|＝r－|MP|＝x＋2－(x＋1)＝1，所以存在满足条件的定点P解析(1)因为⊙M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上．由已知A在直线x＋y ＝0上，且A，B关于坐标原点O对称，所以M在直线y＝x上，故可设M(a，a)．因为⊙M与直线x＋2＝0相切，所以⊙M的半径为r＝|a＋2|.由已知得|AO|＝2，又MO→⊥AO→，故可得2a2＋4＝(a＋2)2，解得a＝0或a＝4.故⊙M的半径r＝2或r＝6.(2)存在定点P(1，0)，使得|MA|－|MP|为定值．理由如下：设M(x，y)，由已知得⊙M的半径为r＝|x＋2|，|AO|＝2.由于MO→⊥AO→，故可得x2＋y2＋4＝(x＋2)2，化简得M的轨迹方程为y2＝4x.因为曲线C：y2＝4x是以点P(1，0)为焦点，以直线x＝－1为准线的抛物线，所以|MP|＝x ＋1.因为|MA|－|MP|＝r－|MP|＝x＋2－(x＋1)＝1，所以存在满足条件的定点P.。

题组层级快练(八十六)1．在极坐标系中，极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π6的点到极点和极轴的距离分别为( )A ．1，1B ．1，2C ．2，1D ．2，2答案 C解析 点(ρ，θ)到极点和极轴的距离分别为ρ，ρ|sin θ|，所以点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到极点和极轴的距离分别为2，2sin π6＝1.2．极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是( ) A ．两个圆B ．两条直线C ．一个圆和一条射线D ．一条直线和一条射线答案 C解析 因为(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)，所以ρ＝1或θ＝π(ρ≥0)．ρ＝1⇒x 2＋y 2＝1，得x 2＋y 2＝1，表示圆心在原点的单位圆；θ＝π(ρ≥0)表示x 轴的负半轴，是一条射线． 3．在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎫2，－π3到圆ρ＝－2cos θ的圆心的距离为( )A ．2 B. 4＋π29C.9＋π29D.7答案 D解析 在直角坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3的直角坐标为(1，－3)，圆ρ＝－2cos θ的直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2x ，即(x ＋1)2＋y 2＝1，圆心为(－1，0)，所以所求距离为（1＋1）2＋（－3－0）2＝7.故选D.4．(2019·皖北协作区联考)在极坐标系中，直线ρ(3cos θ－sin θ)＝2与圆ρ＝4sin θ的交点的极坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫2，π6B.⎝⎛⎭⎫2，π3C.⎝⎛⎭⎫4，π6D.⎝⎛⎭⎫4，π3答案 A解析 ρ(3cos θ－sin θ)＝2可化为直角坐标方程3x －y ＝2，即y ＝3x －2.ρ＝4sin θ可化为x 2＋y 2＝4y ，把y ＝3x －2代入x 2＋y 2＝4y ，得4x 2－83x ＋12＝0，即x 2－23x ＋3＝0，所以x ＝3，y ＝1.所以直线与圆的交点坐标为(3，1)，化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，故选A.5．在极坐标系中，与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线的方程是( ) A ．ρsin θ＝2 B ．ρcos θ＝2 C ．ρcos θ＝4 D ．ρcos θ＝－4答案 B解析 方法一：圆的极坐标方程ρ＝4sin θ，即ρ2＝4ρsin θ，所以直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0.选项A ，直线ρsin θ＝2的直角坐标方程为y ＝2，代入圆的方程，得x 2＝4，∴x ＝±2，不符合题意；选项B ，直线ρcos θ＝2的直角坐标方程为x ＝2，代入圆的方程，得(y －2)2＝0，∴y ＝2，符合题意．同理，C 、D 选项都不符合题意． 方法二：如图，⊙C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ，CO ⊥Ox ，OA 为直径，|OA|＝4，直线l 和圆相切， l 交极轴于点B(2，0)，点P(ρ，θ)为l 上任意一点， 则有cos θ＝|OB||OP|＝2ρ，得ρcos θ＝2.6．在极坐标系中，曲线ρ2－6ρcos θ－2ρsin θ＋6＝0与极轴交于A ，B 两点，则A ，B 两点间的距离等于( ) A. 3 B ．2 3 C ．215 D ．4答案 B解析 方法一：化极坐标方程为直角坐标方程得x 2＋y 2－6x －2y ＋6＝0，易知此曲线是圆心为(3，1)，半径为2的圆，如图所示．可计算|AB|＝2 3.方法二：令θ＝0代入方程，得ρ2－6ρ＋6＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ρA ＋ρB ＝6，ρA ·ρB ＝6.∴|AB|＝|ρA －ρB |＝2 3. 7．(2016·北京)在极坐标系中，直线ρcos θ－3ρsin θ－1＝0与圆ρ＝2cos θ交于A ，B 两点，则|AB|＝________． 答案 2解析 将直线ρcos θ－3ρsin θ－1＝0化为直角坐标方程为x －3y －1＝0，将圆ρ＝2cos θ化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ，则圆心坐标(1，0)，半径为1，由于圆心(1，0)在直线x －3y －1＝0上，因此|AB|＝2.8．(2018·北京，理)在极坐标系中，直线ρcos θ＋ρsin θ＝a(a>0)与圆ρ＝2cos θ相切，则a ＝________． 答案 1＋ 2解析 利用x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，可得直线的方程为x ＋y －a ＝0，圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，所以圆心(1，0)，半径r ＝1，由于直线与圆相切，故圆心到直线的距离等于半径，即|1－a|2＝1，∴a ＝1＋2或1－2，又a>0，∴a ＝1＋ 2.9．在极坐标系中，曲线C 1：ρ＝2与曲线C 2：ρ＝4sin θ(π2<θ<π)交点的极坐标是________．答案 ⎝⎛⎭⎫2，5π6解析 由题意分析可得，曲线C 1是圆心为(0，0)，半径为2的圆，曲线C 1的方程为x 2＋y 2＝4.对ρ＝4sin θ变形得ρ2＝4ρsin θ，所以曲线C 2的方程为x 2＋y 2＝4y.联立两个方程，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝1.又∵π2<θ<π，∴交点为(－3，1)，转化为极坐标ρ＝2，tan θ＝1－3，由题意θ＝5π6，所以交点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，5π6.10．在极坐标系中，设曲线C 1：ρ＝2sin θ与C 2：ρ＝2cos θ的交点分别为A ，B ，则线段AB 的垂直平分线的极坐标方程为________． 答案 ρsin θ＋ρcos θ＝1⎝⎛⎭⎫或ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22解析 曲线C 1：ρ＝2sin θ的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 2：ρ＝2cos θ的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，所以AB 的方程为－x ＋y ＝0.又易知AB 的垂直平分线斜率为－1，经过圆C 1的圆心(0，1)，所以AB 的垂直平分线的方程为x ＋y －1＝0，化为极坐标方程为ρsinθ＋ρcos θ＝1，或化成ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22.11．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的圆心的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，半径r ＝2，点P 的极坐标为(2，π)，过P 作直线l 交圆C 于A ，B 两点． (1)求圆C 的直角坐标方程； (2)求|PA|·|PB|的值．答案 (1)(x －1)2＋(y －1)2＝2 (2)8解析 (1)圆C 的圆心的极坐标为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，∴x ＝2cos π4＝1，y ＝2sin π4＝1，∴圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.(2)点P 的极坐标为(2，π)，化为直角坐标为P(－2，0)．当直线l 与圆C 相切于点D 时，则|PD|2＝|PC|2－r 2＝(－2－1)2＋(0－1)2－(2)2＝8. ∴|PA|·|PB|＝|PD|2＝8.12．(2015·课标全国Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线C 1: x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．答案 (1)C 1：ρcos θ＝－2 C 2：ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0 (2)S ＝12解析 (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. (2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝2，|MN|＝ρ1－ρ2＝2，因为C 2的半径为1，则△C 2MN 的面积S ＝12×2×1×sin π4＝12.13．(2020·福州质量检测)在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝2.已知点Q 为曲线C 1上的动点，点P在线段OQ 上，且满足|OQ|·|OP|＝4，动点P 的轨迹为C 2. (1)求C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△AOB 面积的最大值．答案 (1)⎝⎛⎭⎫x －322＋⎝⎛⎭⎫y －122＝1(不包含点(0，0)) (2)32 解析 (1)设点P 的极坐标为(ρ，θ )(ρ>0)，Q 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)， 由题设，知|OP|＝ρ，|OQ|＝ρ1＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6，由|OQ|·|OP|＝4，得C 2的极坐标方程为ρ＝2cos(θ－π6)(ρ>0)，因此C 2的直角坐标方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋⎝⎛⎭⎫y －122＝1，但不包括点(0，0)． (2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0)，由题设知|OA|＝2，ρB ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6，于是△AOB 面积S ＝12|OA|·ρB ·sin ∠AOB ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6·|sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3|＝2|sin 2α－34|≤32，当α＝0时，S 可取得最大值32，所以△AOB 面积的最大值为32.14．(2019·课标全国Ⅲ)如图，在极坐标系Ox 中，A(2，0)，B ⎝⎛⎭⎫2，π4，C ⎝⎛⎭⎫2，3π4，D(2，π)，弧AB ，BC ，CD 所在圆的圆心分别是(1，0)，⎝⎛⎭⎫1，π2，(1，π)，曲线M 1是弧AB ，曲线M 2是弧BC ，曲线M 3是弧CD.(1)分别写出M 1，M 2，M 3的极坐标方程；(2)曲线M 由M 1，M 2，M 3构成，若点P 在M 上，且|OP|＝3，求P 的极坐标． 答案 (1)ρ＝2cos θ(0≤θ≤π4) ρ＝2sin θ⎝⎛⎭⎫π4≤θ≤3π4 ρ＝－2cos θ⎝⎛⎭⎫3π4≤θ≤π (2)⎝⎛⎭⎫3，π6或⎝⎛⎭⎫3，π3或(3，2π3)或(3，5π6)解析 (1)由题意可知M 1，M 2，M 3的直角坐标方程分别为：(x －1)2＋y 2＝1(2≥x ≥1，1≥y ≥0)，x 2＋(y －1)2＝1(－1≤x ≤1，1≤y ≤2)，(x ＋1)2＋y 2＝1(－2≤x ≤－1，0≤y ≤1)，所以M 1，M 2，M 3的极坐标方程分别为ρ＝2cos θ(0≤θ≤π4)，ρ＝2sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4≤θ≤3π4，ρ＝－2cosθ⎝⎛⎭⎪⎫3π4≤θ≤π. (2)设P(ρ，θ)由题设及(1)知，若0≤θ≤π4，则2cos θ＝3，cos θ＝32，θ＝π6；若π4≤θ≤3π4，则2sin θ＝3，sin θ＝32，θ＝π3或θ＝2π3；若3π4≤θ≤π，则－2cos θ＝3，cos θ＝－32，θ＝5π6，所以P 点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3，π6或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3或(3，2π3)或(3，5π6)．。

1．向量的有关概念名称 定义备注向量 既有大小，又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量零向量 长度为0的向量；其方向是任意的记作0单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a 的单位向量为±a|a |平行向量 方向相同或相反的非零向量 0与任一向量平行或共线共线向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量 长度相等且方向相反的向量0的相反向量为0 2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律3.共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b ＝λa .【知识拓展】1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ——→＝A 1A n →，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．2．若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP →＝12(OA →＋OB →)．3.OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若点A ，B ，C 共线，则λ＋μ＝1.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( × ) (2)|a |与|b |是否相等与a ，b 的方向无关．( √ ) (3)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( × )(4)若向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( × )(5)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．( √ )1．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a ，b 都是单位向量，则a ＝b ；③向量AB →与BA →相等．则所有正确命题的序号是( ) A ．① B ．③ C ．①③ D ．①②答案 A解析 根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB →与BA →互为相反向量，故③错误．2．(教材改编)D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →等于( ) A ．－BC →＋12BA →B ．－BC →－12BA →C.BC →－12BA →D.BC →＋12BA →答案 A 解析 如图，CD →＝CB →＋BD →＝CB →＋12BA →＝－BC →＋12BA →.3．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 当a ＋b ＝0时，a ＝－b ，∴a ∥b ；当a ∥b 时，不一定有a ＝－b ，∴“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的充分不必要条件．4．已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ，μ∈R )，那么A ，B ，C 三点共线的充要条件是( ) A ．λ＋μ＝2 B ．λ－μ＝1 C ．λμ＝－1 D ．λμ＝1答案 D解析 由AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ，μ∈R )及A ，B ，C 三点共线得AB →＝tAC →， 所以λa ＋b ＝t (a ＋μb )＝t a ＋tμb ，即可得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝tμ，所以λμ＝1，故选D.5．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________. 答案 2解析 由向量加法的平行四边形法则， 得AB →＋AD →＝AC →.又O 是AC 的中点，∴AC ＝2AO ，∴AC →＝2AO →， ∴AB →＋AD →＝2AO →.又AB →＋AD →＝λAO →，∴λ＝2.题型一 平面向量的概念 例1 给出下列四个命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中正确命题的序号是( ) A ．②③ B ．①② C ．③④ D ．②④答案 A解析 ①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同． ②正确．∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →， 又A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴四边形ABCD 为平行四边形； 反之，若四边形ABCD 为平行四边形， 则AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|，∴AB →＝DC →. ③正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同， 又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.④不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a ＝b的充要条件，而是必要不充分条件．综上所述，正确命题的序号是②③.故选A.思维升华向量有关概念的关键点(1)向量定义的关键是方向和长度．(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．(4)单位向量的关键是方向没有限制，但长度都是一个单位长度．(5)零向量的关键是方向没有限制，长度是0，规定零向量与任何向量共线．设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3答案 D解析向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.题型二平面向量的线性运算命题点1 向量的线性运算例2 (1)在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →等于( ) A.23b ＋13c B.53c －23b C.23b －13c D.13b ＋23c (2)(2015·课标全国Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，若BC →＝3CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →答案 (1)A (2)A解析 (1)∵BD →＝2DC →，∴AD →－AB →＝BD →＝2DC →＝2(AC →－AD →)， ∴3AD →＝2AC →＋A B →， ∴AD →＝23AC →＋13AB →＝23b ＋13c .(2)∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3(AD →－AC →)， 即4AC →－AB →＝3AD →，∴AD →＝－13AB →＋43AC →.命题点2 根据向量线性运算求参数例3 (1)设D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC→(λ1、λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．(2)在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12 B.⎝⎛⎭⎫0，13 C.⎝⎛⎭⎫－12，0 D.⎝⎛⎭⎫－13，0 答案 (1)12(2)D解析 (1)DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(BA →＋AC →)＝－16AB →＋23AC →，∴λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.(2)设CO →＝yBC →， ∵AO →＝AC →＋CO →＝AC →＋yBC →＝AC →＋y (AC →－AB →) ＝－yAB →＋(1＋y )AC →.∵BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)， ∴y ∈⎝⎛⎭⎫0，13， ∵AO →＝xAB →＋(1－x )AC →， ∴x ＝－y ，∴x ∈⎝⎛⎭⎫－13，0. 思维升华 平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．(2)求已知向量的和．一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较求参数的值．如图，一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 分别交于E ，F 两点，且交对角线AC 于点K ，其中，AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，AK →＝λAC →，则λ的值为( )A.29B.27C.25D.23答案 A解析 ∵AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，∴AB →＝52AE →，AD →＝2AF →.由向量加法的平行四边形法则可知， AC →＝AB →＋AD →， ∴AK →＝λAC →＝λ(AB →＋AD →) ＝λ⎝⎛⎭⎫52AE →＋2AF → ＝52λAE →＋2λAF →， 由E ，F ，K 三点共线，可得λ＝29，故选A.题型三 共线定理的应用例4 设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， 求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．(1)证明 ∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b ) ＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →， ∴AB →，BD →共线．又∵它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线． (2)解 假设k a ＋b 与a ＋k b 共线， 则存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即(k －λ)a ＝(λk －1)b .又a ，b 是两个不共线的非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0.消去λ，得k 2－1＝0，∴k ＝±1.思维升华 (1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系．当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a 、b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立，若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a 、b 不共线．(1)已知向量AB →＝a ＋3b ，BC →＝5a ＋3b ，CD→＝－3a ＋3b ，则( )A ．A ，B ，C 三点共线B ．A ，B ，D 三点共线C ．A ，C ，D 三点共线 D ．B ，C ，D 三点共线(2)如图所示，设O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →，则△ABC 与△AOC 的面积之比为________．答案 (1)B (2)2解析 (1)∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋6b ＝2(a ＋3b )＝2AB →，∴BD →、AB →共线，又有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．故选B.(2)取AC 的中点D ，连接OD ，则OA→＋OC→＝2OD→，→＝－OD→，∴OB∴O是AC边上的中线BD的中点，∴S△ABC＝2S△OAC，∴△ABC与△AOC面积之比为2.5．容易忽视的零向量典例 下列叙述错误的是________．①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .②若非零向量a 与b 方向相同或相反，则a ＋b 与a ，b 之一的方向相同．③|a |＋|b |＝|a ＋b |⇔a 与b 方向相同．④向量b 与向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa .⑤AB →＋BA →＝0.⑥若λa ＝λb ，则a ＝b .错解展示解析 ⑤中两个向量的和仍是一个向量，∴AB →＋BA →＝0.答案 ⑤现场纠错解析 对于①，当b ＝0时，a 不一定与c 平行．对于②，当a ＋b ＝0时，其方向任意，它与a ，b 的方向都 不相同．对于③，当a ，b 之一为零向量时结论不成立．对于④，当a ＝0且b ＝0时，λ有无数个值；当a ＝0但b ≠0或a ≠0但b ＝0时，λ不存在． 对于⑤，由于两个向量之和仍是一个向量，所以AB →＋BA →＝0.对于⑥，当λ＝0时，不管a 与b 的大小与方向如何，都有λa ＝λb ，此时不一定有a ＝b . 故①②③④⑤⑥均错．答案 ①②③④⑤⑥纠错心得 在考虑向量共线问题时，要注意考虑零向量．1．已知a ，b 是两个非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则下列说法正确的是( )A ．a ＋b ＝0B ．a ＝bC ．a 与b 共线反向D ．存在正实数λ，使a ＝λb答案 D解析 因为a ，b 是两个非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则a 与b 共线同向，故D 正确．2．已知向量a ，b ，c 中任意两个都不共线，但a ＋b 与c 共线，且b ＋c 与a 共线，则向量a ＋b ＋c 等于( )A ．aB ．bC ．cD ．0答案 D解析 依题意，设a ＋b ＝m c ，b ＋c ＝n a ，则有(a ＋b )－(b ＋c )＝m c －n a ，即a －c ＝m c －n a .又a 与c 不共线，于是有m ＝－1，n ＝－1，a ＋b ＝－c ，a ＋b ＋c ＝0，选D.3．已知AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则下列一定共线的三点是( )A ．A ，B ，CB ．A ，B ，DC ．B ，C ，DD ．A ，C ，D 答案 B解析 因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝3a ＋6b ＝3(a ＋2b )＝3AB →，又AB →，AD →有公共点A ，所以A ，B ，D 三点共线．4．已知平面内一点P 及△ABC ，若P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则点P 与△ABC 的位置关系是( )A ．点P 在线段AB 上B ．点P 在线段BC 上 C ．点P 在线段AC 上D ．点P 在△ABC 外部 答案 C解析 由P A →＋PB →＋PC →＝AB →得P A →＋PC →＝AB →－PB →＝AP →，即PC →＝AP →－P A →＝2AP →，所以点P 在线段AC 上．5.如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 ∵O 为BC 的中点，∴AO →＝12(AB →＋AC →) ＝12(mAM →＋nAN →)＝m 2AM →＋n 2AN →， ∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n 2＝1， ∴m ＋n ＝2.6．设P 为锐角△ABC 的外心(三角形外接圆的圆心)，AP →＝k (AB →＋AC →)(k ∈R )，若cos ∠BAC＝25，则k 等于( ) A.514 B.214 C.57 D.37答案 A解析 取BC 的中点D ，连接PD ，AD ，则PD ⊥BC ，AB →＋AC →＝2AD →，∵AP →＝k (AB →＋AC →)(k ∈R )，∴AP →＝2kAD →，∴A ，P ，D 三点共线，∴AB ＝AC ，∴cos ∠BAC ＝cos ∠DPC ＝DP PC ＝DP P A ＝25， ∴AP ＝57AD ，∴2k ＝57，解得k ＝514，故选A. 7．(2015·课标全国Ⅱ)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝____________.答案 12解析 ∵向量a ，b 不平行，∴a ＋2b ≠0，又向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则存在唯一的实数μ，使λa ＋b ＝μ(a ＋2b )成立，即λa ＋b ＝μa ＋2μb ，则得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝μ，1＝2μ，解得λ＝μ＝12. 8.(2016·滨州一模)如图，网格纸上小正方形的边长为1，若起点和终点均在格点的向量a ，b ，c 满足c ＝x a ＋y b (x ，y ∈R )，则x ＋y ＝________.答案 135解析 如图，取单位向量i ，j ，则a ＝i ＋2j ，b ＝2i －j ，c ＝3i ＋4j .∴c ＝x a ＋y b ＝x (i ＋2j )＋y (2i －j )＝(x ＋2y )i ＋(2x －y )j ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝3，2x －y ＝4，∴⎩⎨⎧ x ＝115，y ＝25，∴x ＋y ＝135. 9．设a ，b 不共线，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值是________．答案 －1解析 ∵BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，∴BD →＝BC →＋CD →＝2a －b .又∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →，BD →共线．设AB →＝λBD →，∴2a ＋p b ＝λ(2a －b )，∵a ，b 不共线，∴2＝2λ，p ＝－λ，∴λ＝1，p ＝－1.*10.设G 为△ABC 的重心，且sin A ·GA →＋sin B ·GB →＋sin C ·GC →＝0，则角B 的大小为________．答案 60°解析 ∵G 是△ABC 的重心，∴GA →＋GB →＋GC →＝0，GA →＝－(GB →＋GC →)，将其代入sin A ·GA →＋sin B ·GB →＋sin C ·GC →＝0，得(sin B －sin A )GB →＋(sin C －sin A )GC →＝0.又GB →，GC →不共线， ∴sin B －sin A ＝0，sin C －sin A ＝0，则sin B ＝sin A ＝sin C ．根据正弦定理知b ＝a ＝c ，∴△ABC 是等边三角形，则角B ＝60°.11.如图，在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AC 边上的中点，G 为BE 上一点，且GB ＝2GE ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AD →，AG →.解 AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b . AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BE →＝AB →＋13(BA →＋BC →) ＝23AB →＋13(AC →－AB →) ＝13AB →＋13AC → ＝13a ＋13b . 12．设a ，b 是不共线的两个非零向量．(1)若OA →＝2a －b ，OB →＝3a ＋b ，OC →＝a －3b ，求证：A ，B ，C 三点共线；(2)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a －3b ，CD →＝2a －k b ，且A ，C ，D 三点共线，求k 的值．(1)证明 由已知得，AB →＝OB →－OA →＝3a ＋b －2a ＋b ＝a ＋2b ，BC →＝OC →－OB →＝a －3b －3a －b ＝－2a －4b ，故BC →＝－2AB →，又BC →与AB →有公共点B ，所以A ，B ，C 三点共线．(2)解 AC →＝AB →＋BC →＝3a －2b ，CD →＝2a －k b .因为A 、C 、D 三点共线，所以AC →＝λCD →，即3a －2b ＝2λa －kλb ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3＝2λ，2＝kλ，所以⎩⎨⎧ λ＝32，k ＝43.综上，k 的值为43. *13.已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )．(1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线；(2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1.证明 (1)若m ＋n ＝1，则OP →＝mOA →＋(1－m )OB →＝OB →＋m (OA →－OB →)，∴OP →－OB →＝m (OA →－OB →)，即BP →＝mBA →，∴BP →与BA →共线．又∵BP →与BA →有公共点B ，则A ，P ，B 三点共线．(2)若A ，P ，B 三点共线，则存在实数λ，使BP →＝λBA →，∴OP →－OB →＝λ(OA →－OB →)．又OP →＝mOA →＋nOB →.故有mOA →＋(n －1)OB →＝λOA →－λOB →，即(m －λ)OA →＋(n ＋λ－1)OB →＝0.∵O ，A ，B 不共线，∴OA →，OB →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －λ＝0，n ＋λ－1＝0，∴m ＋n ＝1.。

第1讲集合◆高考导航·顺风启程◆最新考纲常见题型1.集合的含义与表示(1)了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系．(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．2.集合间的基本关系(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义．3.集合的基本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用Venn 图表示集合的关系及运算.多以选择题出现于第1或第2题位置，是高考必考内容，占5分左右．[知识梳理]1．集合的相关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性.(2)元素与集合的两种元素：属于，记为∈；不属于，记为∉.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.(4)五个特定的集合：集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN *或N ＋ZQR2．集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言记法基本关系子集集合A 的元素都是集合B 的元素x ∈A ⇒x ∈B A ⊆B 或B ⊇A 真子集合A 是集合B 的子集，且集合B 中A ⊆B ，且∃x 0∈B ，x 0AB 或集至少有一个元素不属于A∉A B A相等集合A ，B 的元素完全相同A ⊆B ，B ⊆A A ＝B 空集不含任何元素的集合，空集是任何集合A 的子集∀x ，x ∉∅，∅⊆A∅3．集合的基本运算表示运算文字语言符号语言图形语言记法交集属于集合A且属于集合B 的元素组成的集合{x |x ∈A ，且x ∈B }A ∩B并集属于集合A或属于集合B 的元素组成的集合{x |x ∈A ，或x ∈B }A ∪B补集全集U 中不属于集合A 的元素组成的集合{x |x ∈U ，且x ∉A }∁U A[知识感悟]1．集合的运算性质并集的性质：A ∪∅＝A ；A ∪A ＝A ；A ∪B ＝B ∪A ；A ∪B ＝A ⇔B ⊆A .交集的性质：A ∩∅＝∅；A ∩A ＝A ；A ∩B ＝B ∩A ；A ∩B ＝A ⇔A ⊆B .补集的性质：A ∪(∁U A )＝U ；A ∩(∁U A )＝∅；∁U (∁U A )＝A .2．判断集合关系的三种方法(1)一一列举观察；(2)集合元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断集合关系；(3)数形结合法：利用数轴或Venn 图．3．数形结合思想数轴和Venn 图是进行交、并、补集运算的有力工具，数形结合是解集合问题的常用方法，解题时要先把集合中各种形式的元素化简，使之明确化，尽可能地借助数轴、直角坐标系或Venn 图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解题．[知识自测]1．(2016·全国Ⅰ卷)设集合A ＝{1,3,5,7}，B ＝{x |2≤x ≤5}，则A ∩B ＝()A ．{1,3}B ．{3,5}C ．{5,7}D ．{1,7}[解析]集合A 与集合B 的公共元素有3,5，故A ∩B ＝{3,5}，选B.[答案]B2．(2018·江西重点中学联考)已知集合A ＝{x |x 2－6x ＋5≤0}，B ＝{x |y ＝x －3}，则A ∩B 等于()A ．[1,3]B ．[1,5]C ．[3,5]D ．[1，＋∞)[解析]根据题意，得A ＝{x |x 2－6x ＋5≤0}＝{x |1≤x ≤5}，B ＝{x |y ＝x －3}＝{x |x ≥3}，所以A ∩B ＝{x |3≤x ≤5}＝[3,5]．[答案]C3．已知集合M ＝{1，m }，N ＝{n ，log 2n }，若M ＝N ，则(m －n )2017＝______.[解析]由M ＝N ＝1，2n ＝m＝m ，2n ＝1，＝0，＝1＝2，＝2.[答案]－1或0题型一集合的基本概念(基础拿分题——自主练透)(1)(2018·山东省枣庄十六中4月模拟试卷)设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x |x＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，集合M 真子集的个数为()A ．32B ．31C ．16D ．15[解析]由题意集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，a ∈A ，b ∈B ，那么：a 、b 的组合有：(1、4)，(1、5)，(2、4)，(2、5)，(3、4)，(3、5)，∵M ＝{x |x ＝a ＋b }，∴M ＝{5,6,7,8}，集合M 中有4个元素，有24－1＝15个真子集．故选：D.[答案]D(2)已知a ，b ∈R ，ba ，{a 2，a ＋b,0}，则a 2018＋b 2018为()A ．1B ．0C ．－1D ．±1[解析]由已知得a ≠0，则ba ＝0，所以b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a 2018＋b 2018＝(－1)2018＋02018＝1.[答案]A方法感悟1．研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性，对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．2．对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等，分几种情况列出方程(组)进行求解，要注意检验是否满足互异性．【针对补偿】1．(2018·山西省大同市豪洋中学四模试卷)已知集合A ∈Z |127＜3x ≤B ＝{x ∈N |－2＜x ＜3}，则集合{z |z ＝xy ，x ∈A ，y ∈B }的元素个数为()A ．6B ．7C ．8D ．9[解析]由127＜3x ≤9，即3－3＜3x ≤32，解得－3＜x ≤2，∴A ＝{－2，－1,0,1,2}．B ＝{0,1,2}．∴集合{z |z ＝xy ，x ∈A ，y ∈B }＝{－2，－1，0,1,2，－4,4}的元素个数为7.故选：B.[答案]B2．已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________.[解析]由题意得m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3，则m ＝1或m ＝－32，当m ＝1时，m ＋2＝3且2m 2＋m ＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m ＝－32时，m ＋2＝12，而2m 2＋m ＝3，故m ＝－32.[答案]－323．已知P ＝{x |2<x <k ，x ∈N }，若集合P 中恰有3个元素，则k 的取值范围为______．[解析]因为P 中恰有3个元素，所以P ＝{3,4,5}，故k 的取值范围为5<k ≤6.[答案]5<k ≤6题型二集合的基本关系(重点保命题，共同探讨)(1)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A⊆C ⊆B 的集合C 的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．4[解析](1)由x 2－3x ＋2＝0，得x ＝1或x ＝2，所以A ＝{1,2}．由题意知B ＝{1,2,3,4}．所以满足条件的C 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．[答案]D(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为______．[解析]因为B ⊆A ，所以①若B ＝∅，则2m －1<m ＋1，此时m <2.②若B ≠∅m －1≥m ＋1，＋1≥－2，m －1≤5.解得2≤m ≤3.由①、②可得，符合题意的实数m 的取值范围为m ≤3.[答案]m ≤3方法感悟1．空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．2．已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题．[注意]题目中若有条件B ⊆A ，则应分B ＝∅和B ≠∅两种情况进行讨论．【针对补偿】4．已知集合A ＝{x ∈R |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x ∈R |ax －1＝0}，若B ⊆A ，则实数a 的值为()A.13或－12B ．－13或12C.13或－12或0D ．－13或12或0[解析]由题意知A ＝{2，－3}，当a ＝0时，B ＝∅，满足B ⊆A ；当a ≠0时，ax －1＝0的解为x ＝1a ，由B ⊆A ，可得1a ＝－3或1a ＝2，∴a ＝－13或a ＝12.综上，a 的值为－13或12或0.[答案]D5．已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a )，若A ⊆B ，实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，则c ＝______.[解析]由log 2x ≤2，得0<x ≤4.即A ＝{x |0<x ≤4}，而B ＝(－∞，a )，由于A ⊆B ，如图所示，则a >4，即c ＝4.[答案]4题型三集合的基本运算(高频考点题，多角突破)集合的基本运算是历年各地高考的热点，每年必考，常和不等式的解集、函数的定义域、值域相结合命题，主要以选择题的形式出现．试题难度不大，多为低档题．高考对集合运算的考查主要有以下三个命题角度：(1)求集合间的交、并、补运算；(2)已知集合的运算结果求集合；(3)已知集合的运算结果求参数的值(或参数的取值范围)．考向一求交集1．(2017·课标Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为()A．3B．2C．1D．0[解析]集合中的元素为点集，由题意，结合A表示以(0,0)为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B表示直线y＝x上所有的点组成的集合，圆x2＋y2＝1与直线y＝x 相交于两点(1,1)，(－1，－1)，则A∩B中有两个元素．故选B.[答案]B考向二求并集2．(2016·山东卷)设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，则A∪B＝()A．(－1,1)B．(0,1)C．(－1，＋∞)D．(0，＋∞)[解析]A＝{y|y>0}，B＝{x|－1<x<1}，则A∪B＝{x|x>－1}，选C.[答案]C考向三集合的交、并、补的综合运算3．(2018·山东省德州市四月二模)设全集U＝R，集合M＝{x|x2＋x－2＞0}，N＝－1≥(∁U M)∩N＝()A．[－2,0]B．[－2,1]C．[0,1]D．[0,2][解析]M＝{x|x＞1或x＜－2}，∁U M＝{x|－2≤x≤1}，N＝{x|x－1≤－1}＝{x|x≤0}，所以(∁U M)∩N＝{x|－2≤x≤0}，故选A.[答案]A考向四利用集合运算求参数4．已知集合A＝{x|x2－x－12≤0}，B＝{x|2m－1＜x＜m＋1}，且A∩B＝B，则实数m 的取值范围为()A．[－1,2)B．[－1,3] C．[2，＋∞)D．[－1，＋∞) [解析]由x2－x－12≤0，得(x＋3)(x－4)≤0，即－3≤x≤4，所以A＝{x|－3≤x≤4}，又A∩B＝B，所以B⊆A.①当B＝∅时，有m＋1≤2m－1，解得m≥2.②当B≠∅3≤2m－1，＋1≤4，m－1＜m＋1，解得－1≤m＜2.综上，m的取值范围为[－1，＋∞)．[答案]D考向五集合的斜定义问题5．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则A⊕B中元素的个数为() A．77B．49C．45D．30[解析]如图，集合A表示如图所示的所有圆点“○”，集合B表示如图所示的所有圆点“○”＋所有圆点“·”，集合A⊕B显然是集合{(x，y)||x|≤3，|y|≤3，x，y∈Z}中除去四个点{(－3，－3)，(－3,3)，(3，－3)，(3,3)}之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点)，即集合A⊕B表示如图所示的所有圆点“○”＋所有圆点“·”＋所有圆点“⊙”，共45个，故A⊕B中元素的个数为45.故选C.[答案]C方法感悟集合基本运算的常见题型与破解策略：重点题型破解策略求并集、交集或补集一般是先解方程或不等式化简集合，再由并集、交集或补集的定义求解交、并、补的混合运算先算括号里面的，再按运算的顺序求解利用集合的基本运算求参数的取值(范围)数形结合思想的运用，利用好数轴、Venn图等．集合的定义问题解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义，首先分析定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质.【针对补偿】6．(2017·山东)设函数y＝4－x2的定义域A，函数y＝ln(1－x)的定义域为B，则A∩B ＝()A．(1,2)B．(1,2]C．(－2,1)D．[－2,1)[解析]由4－x2≥0得－2≤x≤2，由1－x＞0得x＜1，故A∩B＝{x|－2≤x≤2}∩{x|x ＜1}＝{x|－2≤x＜1}，选D.[答案]D7．(2018·山东省青岛市数学一模试卷)已知集合A＝{x||x＋1|≥1}，B＝{x|x≥－1}，则(∁R A)∩B＝()A．[－1,0]B．[－1,0)C．(－2，－1)D．(－2，－1][解析]∵A＝{x||x＋1|≥1}＝{x|x≤－2或x≥0}，∴∁R A＝{x|－2＜x＜0}，又B＝{x|x≥－1}，∴(∁R A)∩B＝[－1,0)．故选：B.[答案]B8．定义一种新的集合运算△：A△B＝{x|x∈A，且x∉B}，若集合A＝{x|x2－4x＋3＜0}，B＝{x|2≤x≤4}，则按运算△，B△A等于()A．{x|3＜x≤4}B．{x|3≤x≤4}C．{x|3＜x＜4}D．{x|2≤x≤4}[解析]A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2≤x≤4}，由题意知B△A＝{x|x∈B，且x∉A}＝{x|3≤x≤4}．[答案]B◆牛刀小试·成功靠岸◆课堂达标(一)[A基础巩固练]1．(2017·课标Ⅰ)已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x＜1}，则()A．A∩B＝{x|x＜0}B．A∪B＝RC．A∪B＝{x|x＞1}D．A∩B＝∅[解析]由3x＜1可得3x＜30，则x＜0，即B＝{x|x＜0}，所以A∩B＝{x|x＜1}∩{x|x＜0}＝{x|x＜0}，A∪B＝{x|x＜1}∪{x|x＜0}＝{x|x＜1}．故选A.[答案]A2．(2017·天津)设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝()A．{2}B．{1,2,4}C．{1,2,4,6}D．{x∈R|－1≤x≤5}[解析](A∪B)∩C＝{1,2,4,6}∩[－1,5]＝{1,2,4}，选B.[答案]B3．(2018·哈尔滨九中二模)设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则()A．∀x∈Q，有x∈P B．∀x∉Q，有x∉PC．∃x0∉Q，使得x0∈P D．∃x0∈P，使得x0∉P[解析]∵P∩Q＝P，∴P⊆Q∴A错误；B正确；C错误；D错误．故选B.[答案]B4．(2018·刑台摸底考试)已知集合A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{y|y＝x，0≤x≤4}，则下列关系正确的是()A．A⊆∁R B B．B⊆∁R AC．∁R A⊆∁R B D．A∪B＝R[解析]依题意得B＝{y|0≤y≤2}，因此B⊆A，∁R A⊆∁R B.[答案]C5．(2018·湖北七市(州)协作体联考)已知集合P＝{n|n＝2k－1，k∈N*，k≤50}，Q＝{2,3,5}，则集合T＝{xy|x∈P，y∈Q}中元素的个数为()A．147B．140C．130D．117[解析]由题意得，y的取值一共有3种情况，当y＝2时，xy是偶数，不与y＝3，y＝5时有相同的元素，当y＝3，x＝5,15,25，…，95时，与y＝5，x＝3,9,15，…，57时有相同的元素，共10个，故所求元素个数为3×50－10＝140，故选B.[答案]B6．(2018·山东临沂期中)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－3x ＋2>0}，B ＝{x |x －a ≤0}，若∁U B ⊆A ，则实数a 的取值范围是()A ．(－∞，1)B ．(－∞，2]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)[解析]∵x 2－3x ＋2>0，∴x >2或x <1.∴A ＝{x |x >2或x <1}，∵B ＝{x |x ≤a }，∴∁U B ＝{x |x >a }．∁U B ⊆A ，借助数轴可知a ≥2，故选D.[答案]D7．已知集合A ＝{x |y ＝x }，B |12<2x <4(∁R A )∩B 等于______．[解析]因为A ＝{x |y ＝x }＝{x |x ≥0}，所以∁RA ＝{x |x <0}．又B |12<2x<4{x |－1<x <2}，所以(∁R A )∩B ＝{x |－1<x <0}．[答案]{x |－1<x <0}8．已知集合A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |－m ＜x ＜m }，若B ⊆A ，则m 的取值范围为________.[解析]当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A .当m ＞0时，∵A ＝{x |－1＜x ＜3}．当B ⊆A 时，在数轴上标出两集合，如图，m ≥－1，≤3，m ＜m .∴0＜m ≤1.综上所述m 的取值范围为(－∞，1]．[答案](－∞，1]9．(2018·南阳月考)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |y ＝x 2－2x －3}，B ＝{y |y ＝e x ＋1}，则A ∪B ＝________.[解析]因为A ＝{x |x ≥3或x ≤－1}，B ＝{y |y ＞1}，所以A ∪B ＝{x |x ＞1或x ≤－1}．[答案](－∞，－1]∪(1，＋∞)10．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R }．(1)若A ∩B ＝[0,3]，求实数m 的值；(2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．[解]由已知得A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．(1)∵A ∩B ＝[0,3]－2＝0，＋2≥3，∴m ＝2.(2)∁R B ＝{x |x <m －2或x >m ＋2}，∵A ⊆∁R B ，∴m －2>3或m ＋2<－1，即m >5或m <－3.因此实数m 的取值范围是{m |m ＞5或m <－3}．[B 能力提升练]1．(2018·湖南衡阳第三次联考)集合M ＝{(x ，y )|x ＋y ≤1，y ≤x ，y ≥－1}，N ＝{(x ，y )|(x －2)2＋y 2＝r 2，r ＞0}，若M ∩N ≠∅，则r 的取值范围为()A.22，3B.[1，10]C.22，10D.1，102[解析]由条件可得M 的可行域：如图阴影部分，N 则是以P (2,0)为圆心，半径为r 的圆，由M ∩N ＝∅，则当圆与x ＋y ＝1相切时半径最小，如图D 处，则d ＝r ＝22，当过y ＝x ，y ＝－1的交点时最大，此时r ＝10，故选C.[答案]C2．(2018·开封模拟)设集合U ＝R ，A ＝{x |2x (x－2)<1}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}，则图中阴影部分表示的集合为()A ．{x |x ≥1}B ．{x |1≤x <2}C ．{x |0<x ≤1}D ．{x |x ≤1}[解析]易知A ＝{x |2x (x－2)<1}＝{x |x (x －2)<0}＝{x |0<x <2}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}＝{x |1－x >0}＝{x |x <1}，则∁U B ＝{x |x ≥1}，阴影部分表示的集合为A ∩(∁U B }＝{x |1≤x <2}．[答案]B3．已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|＜3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)＜0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝________，n ＝________.[解析]A ＝{x ∈R ||x ＋2|＜3}＝{x ∈R |－5＜x ＜1}，由A ∩B ＝(－1，n )，可知m ＜1，则B ＝{x |m ＜x ＜2}，画出数轴，可得m ＝－1，n ＝1.[答案]－1；14．已知集合M ＝{1,2,3,4}，集合A 、B 为集合M 的非空子集，若∀x ∈A 、y ∈B ，x <y 恒成立，则称(A ，B )为集合M 的一个“子集对”，则集合M 的“子集对”共有__________________个．[解析]当A ＝{1}时，B 有23－1＝7种情况，当A ＝{2}时，B 有22－1＝3种情况，当A＝{3}时，B 有1种情况，当A ＝{1,2}时，B 有22－1＝3种情况，当A ＝{1,3}，{2,3}，{1,2,3}时，B 均有1种情况，所以满足题意的“子集对”共有7＋3＋1＋3＋1＋1＋1＝17个．[答案]175．(2018·徐州模拟)已知集合A ＝{x |1<x <3}，集合B ＝{x |2m <x <1－m }．(1)当m ＝－1时，求A ∪B ；(2)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围；(3)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．[解](1)当m ＝－1时，B ＝{x |－2<x <2}，则A ∪B ＝{x |－2<x <3}．(2)由A ⊆B －m >2m ，m ≤1，－m ≥3，得m ≤－2，即实数m 的取值范围为(－∞，－2]．(3)由A ∩B ＝∅，得①若2m ≥1－m ，即m ≥13时，B ＝∅，符合题意；②若2m <1－m ，即m <13时，需<13，－m ≤1<13，m ≥3，得0≤m ＜13或∅，即0≤m <13.综上知m ≥0，即实数m 的取值范围为[0，＋∞)．[C 尖子生专练](2018·贵阳市监测考试)已知全集U ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，集合A 是集合U 的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：①若a 1∈A ，则a 2∈A ；②若a 3∉A ，则a 2∉A ；③若a 3∈A ，则a 4∉A .则集合A ＝______.(用列举法表示)[解析]若a 1∈A ，则a 2∈A ，则由若a 3∉A ，则a 2∉A 可知，a 3∈A ，假设不成立；若a 4∈A ，则a 3∉A ，则a 2∉A ，a 1∉A ，假设不成立，故集合A ＝{a 2，a 3}．[答案]{a 2，a 3}第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件◆高考导航·顺风启程◆最新考纲常见题型1.理解命题的概念．2.了解“若p ，则q ”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义.多以选择题出现于第1、2题位置、占5分左右.[知识梳理]1．命题概念使用语言、符号或者式子表达的，可以判断真假的陈述句特点(1)能判断真假；(2)陈述句分类真命题、假命题2．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系：(2)四种命题中真假性的等价关系：原命题等价于逆否命题，原命题的否命题等价于逆命题.在四种形式的命题中真命题的个数只能是0,2,4.3．充要条件若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件p 成立的对象的集合为A ，q 成立的对象的集合为B p 是q 的充分不必要条件p ⇒q 且q /⇒p A 是B 的真子集集合与充要条件p 是q 的必要不充分条件p /⇒q 且q ⇒p B 是A 的真子集p 是q 的充要条件p ⇔qA ＝B p 是q 的既不充分也不必要条件p /⇒q 且q /⇒pA ，B 互不包含[知识感悟]1．四种命题间关系的两条规律(1)逆命题与否命题互为逆否命题；互为逆否命题的两个命题同真假．(2)当判断一个命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假．同时要关注“特例法”的应用．2．命题的充要关系的判断方法(1)定义法：直接判断若p 则q 、若q 则p 的真假．(2)等价法：利用A ⇒B 与綈B ⇒綈A ，B ⇒A 与綈A ⇒綈B ，A ⇔B 与綈B ⇔綈A 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．(3)集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．[知识自测]1．下列命题中为真命题的是()A ．命题“若x ＞y ，则x ＞|y |”的逆命题B ．命题“若x ＞1，则x 2＞1”的否命题C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题D ．命题“若x 2＞0，则x ＞1”的逆否命题[解析]对于A ，其逆命题是若x ＞|y |，则x ＞y ，则真命题，这是因为x ＞|y |≥y ，必有x ＞y .[答案]A2．(2017·天津)设θ∈R ，则“|θ－π12|＜π12”是“sin θ＜12”的()A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析]|θ－π12|＜π12⇔0＜θ＜π6⇒sin θ＜12，但θ＝0，sin θ＜12，不满足|θ－π12|＜π12，所以是充分不必要条件，选A.[答案]A3．在下列三个结论中，正确的是________.(写出所有正确结论的序号)①若A 是B 的必要不充分条件，则綈B 也是綈A 的必要不充分条件；＞0，b 2－4ac ≤0”是“一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为R ”的充要条件；③“x ≠1”是“x 2≠1”的充分不必要条件．[解析]易知①②正确．对于③，若x＝－1，则x2＝1，充分性不成立，故③错误．[答案]①②题型一四种命题及相互关系(基础拿分题——自主练透)(1)(2018·广东肇庆一模)原命题：“设a、b、c∈R，若a＞b，则ac2＞bc2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有()A．0个B．1个C．2个D．4个[解析]原命题：若c＝0则不成立，由等价命题同真同假知其逆否命题也为假；逆命题：∵ac2＞bc2知c2＞0，由不等式的基本性质得a＞b，∴逆命题为真，由等价命题同真同假知否命题也为真，∴有2个真命题．[答案]C(2)(2018·宿州模拟)下列命题：①“若a2＜b2，则a＜b”的否命题；②“全等三角形面积相等”的逆命题；③“若a＞1，则ax2－2ax＋a＋3＞0的解集为R”的逆否命题；④“若3x(x≠0)为有理数，则x为无理数”的逆否命题．其中正确的命题是()A．③④B．①③C．①②D．②④[解析]对于①，否命题为“若a2≥b2，则a≥b”，为假命题；对于②，逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题；对于③，当a＞1时，Δ＝－12a＜0，原命题正确，从而其逆否命题正确，故③正确；对于④，原命题正确，从而其逆否命题正确，故④正确，故选A.[答案]A思维升华1．写一个命题的其他三种命题时，需注意：(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．2．判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例．3．根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假方法感悟1．写一个命题的其他三种命题时，需注意：(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．2．判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例．3．根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．【针对补偿】1．命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是()A．“若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数”B．“若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数”C．“若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数”D．“若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数”[解析]由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定表达是“x＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数”．[答案]C2．已知：命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是()A．否命题是“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m>1”，是真命题B．逆命题是“若m≤1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题C．逆否命题是“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题D．逆否命题是“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数，是真命题”[解析]由f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则f′(x)＝e x－m≥0恒成立，∴m≤1.∴命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”是真命题，所以其逆否命题“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题．[答案]D题型二充分条件，必要条件的判断(高频考点题、共同探讨)充分条件、必要条件的判断是高考命题的热点，常以选择题的形式出现，作为一个重要载体，考查的知识面很广，几乎涉及数学知识的各个方面．高考对充要条件的考查主要有以下三个命题角度：(1)判断指定条件与结论之间的关系；(2)探求某结论成立的充要条件、充分不必要条件或必要不充分条件；(3)与命题的真假性相交汇命题．考向一与不等式有关的题型1．(2018·山西省大同市豪洋中学四模试卷)“m ≤－12”是“∀x ＞0，使得x 2＋12x －32＞m是真命题”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析]若∀x ＞0，使得x 2＋12x －32＞m 是真命题，则m ＋12x －，令f (x )＝x 2＋12x －32，则f (x )≥2x 2·12x －32＝1－32＝－12，故m ＜－12，故m ≤－12”是“m ＜－12”的必要不充分条件，故选B.[答案]B考向二与三角有关的题型2．(2018·石家庄一模)若命题p ：φ＝π2＋k π，k ∈Z ，命题q ：f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω≠0)是偶函数，则p 是q 的()A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件[解析]当φ＝π2＋k π，k ∈Z 时，f (x )＝±cos ωx 是偶函数，所以p 是q 的充分条件；若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω≠0)是偶函数，则sin φ＝±1，即φ＝π2＋k π，k ∈Z ，所以p 是q 的必要条件，故p 是q 的充要条件，故选A.[答案]A考向三与向量有关的题型3．(2018·甘肃省兰州市二模)设向量a ＝(x －1，x )，b ＝(x ＋2，x －4)，则“a ⊥b ”是“x ＝2”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析]∵a ⊥b ，∴(x －1)(x ＋2)＋x (x －4)＝0，化为：2x 2－3x －2＝0，解得x ＝－12或2.∴“a ⊥b ”是“x ＝2”的必要不充分条件．故选：B.[答案]B考向四与数列有关的题型4．(2018·北京市西城区一模)数列{a n }的通项公式为a n ＝|n －c |(n ∈N *)．则“c ≤1”是“{a n }为递增数列”的()A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析]数列{a n }的通项公式为a n ＝|n －c |(n ∈N *)，若“{a n }为递增数列”，则a n ＋1－a n ＝|n ＋1－c |－|n －c |＞0，即(n ＋1－c )2＞(n －c )2，解得c ＜n ＋12，∵n ＋12≥32，∴c ≤1是{a n }为递增数列充分不必要条件，故选A.[答案]A考向五与几何问题有关的题型5．(2016·山东卷)已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析]若a ，b 相交则α，β一定相交．若α，β相交则不能得出a ，b 相交．故选A.[答案]A考向六与函数有关的题型6．(2018·合肥一模)函数f (x )2x ，x ＞0，x －a ，x ≤0有且只有一个零点的充分不必要条件是()A ．a ≤0或a ＞1B ．0＜a ＜12C.12＜a ＜1D ．a ＜0[解析]因为f (x )2x ，x ＞0x －a ，x ≤0有且只有一个零点的充要条件为a ≤0或a ＞1.由选项可知，使“a ≤0或a ＞1”成立的充分条件为选项D.[答案]D方法感悟充分、必要条件判定的常见题型与求解策略：常见题型求解策略与不等式相关的充分必要条件的判断可把不等式之间的关系转化为集合与集合之间的关系，根据集合与充要条件之间的关系进行判断与平面向量相关的充分必要条件的判断该类题型常涉及向量的概念、运算及向量共线、共面的条件，可把问题转化为有关向量之间的推理与三角相关的充分必要条件的判断熟练掌握三角的相关概念、运算公式、三角函数的图象和性质以及正、余弦定理是解决该类问题的关键与数列相关的充分必要条件的判断熟练掌握等差数列与等比数列的定义、性质及数列的单调性、周期性、a n 与S n 的关系与立体几何相关的充分必要条件的判断可把问题转化为线线、线面、面面之间位置关系的判断及性质问题，由此进行恰当判断与解析几何相关的充分必要条件的判断首先理解点与曲线的位置关系，两直线的位置关系，直线与曲线的位置关系，然后弄清题意进行判断提醒：解答充分条件、必要条件的判断题，必须从正、逆两个方面进行判断．【针对补偿】3．(2018·东北三省四市联考)“x ＜2”是“x 2－3x ＋2＜0”成立的()A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析]由x 2－3x ＋2＜0，解得1<x <2，因为{x |1<x <2}{x |x <2}，所以“x <2”是“x 2－3x＋2<0”成立的必要不充分条件，故选A.[答案]A4．(2018·广西名校联考)在△ABC 中，命题p ：“B ≠60°”，命题q ：“△ABC 的三个内角A ，B ，C 不成等差数列”，那么p 是q 的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析]命题p ：“B ≠60°”则(A ＋C )－2B ＝π－B －2B ≠0，⇔命题q ：“△ABC 的三个内角A ，B ，C 不成等差数列”，故选C.[答案]C5．(2016·浙江卷)已知函数f (x )＝x 2＋bx ，则“b <0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析]由题意知f (x )＝x 2＋bx －b 24，最小值为－b 24.令t ＝x 2＋bx ，则f (f (x ))＝f (t )＝t 2＋bt －b 24，t ≥－b 24，当b <0时，f (f (x ))的最小值为－b 24，所以“b <0”能推出“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”；当b ＝0时，f (f (x ))＝x 4的最小值为0，f (x )的最小值也为0，所以“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”不能推出“b <0”．故选A.[答案]A题型三充分必要条件的应用(重点保分题，共同探讨)(1)(2018·皖北第一次联考)已知p ：x ≥k ，q ：3x ＋1＜1，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是()A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，－1)[解析]∵3x ＋1＜1，∴3x ＋1－1＝2－x x ＋1＜0，即(x －2)(x ＋1)＞0，∴x ＞2或x ＜－1，∵p 是q 的充分不必要条件，∴k ＞2.[答案]B(2)已知条件p ：2x 2－3x ＋1≤0，条件q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0.若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________.[解析]命题p |12≤x ≤命题q 为{x |a ≤x ≤a ＋1}．綈p 对应的集合A |x ＞1或x 綈q 对应的集合B ＝{x |x ＞a ＋1或x ＜a }．∵綈p 是綈q 的必要不充分条件．＋1＞1，≤12＋1≥1，＜12，∴0≤a ≤12.故答案为0，12.[答案]0，12方法感悟根据充要条件求解参数范围的注意点1．解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间关系列出关于参数的不等式(组)求解．2．求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．【针对补偿】6．已知条件p ：x 2－3x －4≤0；条件q ：x 2－6x ＋9－m 2≤0，若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是()A．[－1,1]B．[－4,4]C．(－∞，－4]∪[4，＋∞)D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)[解析]p：－1≤x≤4，q：3－m≤x≤3＋m(m＞0)或3＋m≤x≤3－m(m<0)，＞0，－m≤－1，＋m＞4>0，－m<－1，＋m≥4<0，＋m≤－1，－m＞4＜0，＋m＜－1，－m＞4，解得m≤－4或m≥4，选C.[答案]C7．已知不等式|x－m|<1成立的充分不必要条件是13<x<12，则m的取值范围是______．[解析]由|x－m|<1得m－1<x<m＋1，若13<x<12是|x－m|<1成立的充分不必要条件，－1≤13＋1>12－1<13＋1≥12得－12≤m≤43.[答案]－12，43◆牛刀小试·成功靠岸◆课堂达标(二)[A基础巩固练]1．(2018·山东重点中学模拟)已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a 不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的()A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．否定[解析]命题p：“正数a的平方不等于0”写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题．[答案]B2．(2016·天津卷)设x＞0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的()A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件[解析]若x>|y|，则x>y或x>－y，若x>y，当y>0时，x>|y|，当y<0时，不能确定x>|y|.故选C.[答案]C3．(2018·河北保定二模)“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是()A ．m >14B ．0<m <1C ．m >0D ．m >1[解析]由题意知，对应方程的Δ＝(－1)2－4m <0，即m >14.结合选项可知，不等式恒成立的一个必要不充分条件是m >0，故选C.[答案]C4．(2018·北京市朝阳区二模)“x ＞0，y ＞0”是“y x ＋xy ≥2”的()A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析]“x ＞0，y ＞0”⇔“y x ＋xy≥2”，反之不成立，例如取x ＝y ＝－1.∴x ＞0，y ＞0”是“y x ＋xy≥2”的充分而不必要条件．故选：A.[答案]A5．命题“若a ，b ，c 成等比数列，则b 2＝ac ”的逆否命题是()A ．“若a ，b ，c 成等比数列，则b 2≠ac ”B ．“若a ，b ，c 不成等比数列，则b 2≠ac ”C ．“若b 2＝ac ，则a ，b ，c 成等比数列”D ．“若b 2≠ac ”，则a ，b ，c 不成等比数列[解析]根据原命题与其逆否命题的关系，易得命题“若a ，b ，c 成等比数列，则b 2＝ac ”的逆否命题是“若b 2≠ac ，则a ，b ，c 不成等比数列”．[答案]D6．(2018·安徽合肥一模)祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等．设A 、B 为两个同高的几何体，p ：A 、B 的体积不相等，q ：A 、B 在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p 是q 的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件[解析]如果A ，B 在等高处的截面积恒相等，则A ，B 的体积相等，因此有p ⇒q ，但q⇒p 不一定成立，把两个相同的锥体放在一个平面上，再把其中一个锥体翻转底向上，顶点在原底面所在平面，虽然在等高处的截面积不恒相等，但体积相等，故p 是q 的充分不必要条件．故选A.。

高考数学复习策略高考数学第一轮复习已经接近尾声，考生对数学试卷的结构、考试的内容及要求等方面也基本有了大体的认识，在后期复习中要关注以下几个方面：1、高考的指导思想和目标注重考查中学数学的基础知识、基本技能、基本思想方法。

重视考生的“终身学习和发展”，即考查学生在中学所受到的数学教育，考查学生在大学需要的数学基础能力。

2、考查能力体系重点考查的能力体系包括：考查空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及分析问题和解决问题的能力（实践能力和创新意识）。

重视知识发生发展的过程考察，强化运算结果的重要性。

3、对于今年毕业班的学生复习，在知识和内容的建议数学一般遭遇的困难是对基础知识的理解不扎实，不能形成应用。

其根本是欠缺数学思想和做题思维。

在基础知识方面，同学们大多都停留在对公式、定理及推理的表面了解和熟悉上；特别对于靠题海战术复习的考生，在解题的时候，大部分同学多是以简单的套用为手段。

因此遇到新题型、陌生题或对一些公式变换较为复杂的题型（如解析几何题，利用导数求复合函数的单调性、极最值、分类讨论等式子稍微多一些的题），很多学生不会做。

在复习方向上，应以理解课本重要知识点为主，即首先弄清每一个公式、定理及推论是研究什么数学问题、用以描述数学什么现象，着重注意其切入点、推导过程和形成的结论是什么。

在解题上训练自己的思维。

用以加强抽象概括、空间想象、数形结合等能力。

并加强归纳总结意识。

高中数学大部分解答题都能形成较为固定的解题思维和相对基本相同的解题步骤，数学讲究严谨和规律，因此要逐渐形成一定的数学思想，才能在数学高考上获取好的成绩。

在平时训练题型的解答上，选择题要打破常规，充分利用题目和选项，本着多思考、少计算、特殊化的原则进行解答。

在填空题要多角度的思考，要利用数学中的一些特殊现象进行先行试探，得出的结论一般具有普遍性，起到事半功倍的效果。

在解答题上，一定要进行归纳、总结，归纳总结的重点放在整个解题的思维上。

衡水中学高三数学一轮复习资料——不等式与排列组合二项定理一、不等式考试内容：不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式．考试要求：（1）理解不等式的性质及其证明．（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．（3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式．（4）掌握简单不等式的解法．（5）理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│知识要点1.不等式的基本概念（1）不等（等）号的定义：（2）不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式. （3）同向不等式与异向不等式.（4）同解不等式与不等式的同解变形.2.不等式的基本性质（1）（对称性）（2）（传递性）（3）（加法单调性）（4）（同向不等式相加）（5）（异向不等式相减）（6）（7）（乘法单调性）（8）（同向不等式相乘）（异向不等式相除）（倒数关系）（11）（平方法则）（12）（开方法则）3.几个重要不等式（1）.;;0babababababa<⇔<-=⇔=->⇔>-abba<⇔>cacbba>⇒>>,cbcaba+>+⇒>dbcadcba+>+⇒>>,dbcadcba->-⇒<>,bcaccba>⇒>>0,.bcaccba<⇒<>0,bdacdcba>⇒>>>>0,0(9)0,0a ba b c dc d>><<⇒>11(10),0a b aba b>>⇒<)1,(0>∈>⇒>>nZnbaba nn且)1,(0>∈>⇒>>nZnbaba nn且,0||,2≥≥∈aaRa则若（2）（当仅当a=b 时取等号） （3）如果a ,b 都是正数，那么（当仅当a=b 时取等号）极值定理：若则： ○1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小； ○2如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等.（当仅当a=b=c 时取等号）（当仅当a=b 时取等号）（7） 4.几个著名不等式（1）平均不等式： 如果a ,b 都是正数，那么 （当仅当a=b时取等号）即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、b 为正数）： 特别地，（当a = b 时，）幂平均不等式： 注：例如：.常用不等式的放缩法：①（2）柯西不等式：（3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点有)2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若.2a b ab +,,,,x y R x y S xy P +∈+==3,3a b c a b c R abc +++∈(4)若、、则0,2b aab a b>+≥(5)若则2222(6)0||;||a x a x a x a x a x a x a a x a >>⇔>⇔<-><⇔<⇔-<<时，或||||||||||||,b a b a b a R b a +≤±≤-∈则、若222.1122a ba b ab a b+++222()22a b a b ab ++≤≤222()22a b a b ab ++==),,,(332222时取等c b a R c b a c b a c b a ==∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+++≥++⇒22122221)...(1...n n a a a na a a +++≥+++22222()()()ac bd a b c d +≤++21111111(2)1(1)(1)1n n n n n n n n n n -==-≥++--p p 11(1)121n n n n n n n nn n +==-≥+++-pp时取等号当且仅当（则若nn n n n n n n b a b a b a b a b b b b a a a a b a b a b a b a R b b b b R a a a a ====+++++++≤++++∈∈ΛΛΛΛΛΛ332211223222122322212332211321321))(();,,,,,,,,1212,(),x x x x ≠则称f(x)为凸（或凹）函数.5.不等式证明的几种常用方法比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.6.不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）.步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解. 特例① 一元一次不等式ax >b 解的讨论；②一元二次不等式ax 2+bx +c >0(a ≠0)解的讨论.（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则（3）无理不等式：转化为有理不等式求解 1○2○3 （4）.指数不等式：转化为代数不等式（5）对数不等式：转化为代数不等式（6）含绝对值不等式○1应用分类讨论思想去绝对值； ○2应用数形思想； ○3应用化归思想等价转化注：常用不等式的解法举例（x 为正数）： ① 12121212()()()()()().2222x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或()()0()()0()()0;0()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩()0()()()0()()f x f x g x g x f x g x ⎧≥⎫⇒⎪⎬≥⎨⎭⎪>⎩定义域⎩⎨⎧<≥⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥⇔>0)(0)()]([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或⎪⎩⎪⎨⎧<≥≥⇔<2)]([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f ()()()()()(1)()();(01)()()(0,0)()lg lg f x g x f x g x f x a a a f x g x a a a f x g x a b a b f x a b>>⇔>><<⇔<>>>⇔⋅>()0()0log ()log ()(1)()0;log ()log ()(01)()0()()()()a a a a f x f x f x g x a g x f x g x a g x f x g x f x g x >>⎧⎧⎪⎪>>⇔>><<⇔>⎨⎨⎪⎪><⎩⎩⎩⎨⎧>-<>≤⇔>⎩⎨⎧<<->⇔<)()()()(0)()0)(),((0)()(|)(|)()()(0)()(|)(|x g x f x g x f x g x g x f x g x g x f x g x f x g x g x g x f 或或不同时为231124(1)2(1)(1)()22327x x x x x -=⋅--≤=②类似于，③2222232(1)(1)12423(1)()22327x x xy x x y y--=-⇒=≤=⇒≤22sin cos sin(1sin)y x x x x==-111||||||()2x x xx x x+=+≥与同号，故取等二、排列组合二项定理考试内容：分类计数原理与分步计数原理． 排列．排列数公式．组合．组合数公式．组合数的两个性质． 二项式定理．二项展开式的性质． 考试要求：（1）掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题． （2）理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题．（3）理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题．（4）掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题．知识要点一、两个原理.1. 乘法原理、加法原理.2. 可以有重复元素．．．．．．．的排列. 从m 个不同元素中，每次取出n 个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n 位上选取元素的方法都是m 个，所以从m 个不同元素中，每次取出n个元素可重复排列数m ·m ·… m = m n.. 例如：n 件物品放入m 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ （解：种）二、排列.1. ⑴对排列定义的理解.定义：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ⑵相同排列.如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同.⑶排列数.从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号表示. ⑷排列数公式：注意： 规定0! = 1规定 2. 含有可重元素．．．．．．的排列问题. nm mn A ),,()!(!)1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-=+--=Λ!)!1(!n n n n -+=⋅111--++=⋅+=m nm n m n m m m n m n mA A C A A A 11--=m n m n nA A 10==nn n C C对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同元素a 1，a 2,…...a n 其中限重复数为n 1、n 2……n k ，且n = n 1+n 2+……n k , 则S 的排列个数等于.例如：已知数字3、2、2，求其排列个数又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数.三、组合.1. ⑴组合：从n 个不同的元素中任取m (m ≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.⑵组合数公式： ⑶两个公式：① ②①从n 个不同元素中取出m 个元素后就剩下n-m 个元素，因此从n 个不同元素中取出 n-m 个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从n 个不同元素中取出n-m 个元素的唯一的一个组合.（或者从n+1个编号不同的小球中，n 个白球一个红球，任取m 个不同小球其不同选法，分二类，一类是含红球选法有一类是不含红球的选法有）②根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m 个元素方法时，对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n 个元素中再取m-1个元素，所以有C，如果不取这一元素，则需从剩余n 个元素中取出m 个元素，所以共有C 种，依分类原理有.⑷排列与组合的联系与区别.联系：都是从n 个不同元素中取出m 个元素. 区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系. ⑸①几个常用组合数公式②常用的证明组合等式方法例.!!...!!21k n n n n n =3!2!1)!21(=+=n 1!3!3==n )!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C mn mmm n mn-=+--==Λ;m n n mn CC -=m n m n m n C C C11+-=+1m n 111m nC C C--=⋅m n C 1-m nmn mn m n m n C C C11+-=+n n nn n n C C C 2210=+++Λλ11111121153142011112++--++++++-+=+==++=+++=+++k n k n k n k n m n m m n m m m m m m n n n n n n n n C n C k nC kC C C C C C C C C C C C ΛΛΛi. 裂项求和法. 如：（利用） ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法.v. 递推法（即用递推）如：.vi. 构造二项式. 如：证明：这里构造二项式其中的系数，左边为，而右边四、排列、组合综合.1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型： ①直接法. ②排除法.③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”，例如，一般地，n 个不同元素排成一列，要求其中某个元素必相邻的排列有个.其中是一个“整体排列”，而则是“局部排列”.又例如①有n 个不同座位，A 、B 两个不能相邻，则有排列法种数为. ②有n 件不同商品，若其中A 、B 排在一起有. ③有n 件不同商品，若其中有二件要排在一起有. 注：①③区别在于①是确定的座位，有种；而③的商品地位相同，是从n 件不同商品任取的2个，有不确定性.④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”.例如：n 个元素全排列，其中m 个元素互不相邻，不同的排法种数为多少？（插空法），当n – m+1≥m, 即m ≤时有意义.⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.⑥调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n 个元素进行全排列有种，个元素的全排列有种，由于要求m 个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n 个元素排成一列，其中m 个元素次序一)!1(11)!1(!43!32!21+-=++++n n n Λ!1)!1(1!1n n n n --=-mn m n m n C C C 11+-=+413353433+=+++n n C C C C C Λnn n n n n C C C C 222120)()()(=+++Λnn n x x x 2)1()1()1(+=++n x 22120022110)()()(n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C +++=⋅++⋅+⋅+⋅--ΛΛnn C 2=)(n m m ≤m m m n m n A A ⋅+-+-1111+-+-m n m n A mm A -2n A 2211A A n ⋅-2211A A n n ⋅--112--⋅n n n A A 22A mm n m n m n A A 1+---⋅21+n nn A )(n m m πmm A定，共有种排列方法.例如：n 个元素全排列，其中m 个元素顺序不变，共有多少种不同的排法？解法一：（逐步插空法）（m+1）（m+2）…n = n ！/ m ！；解法二：（比例分配法）. ⑦平均法：若把kn 个不同元素平均分成k 组，每组n 个，共有.例如：从1，2，3，4中任取2个元素将其平均分成2组有几种分法？有（平均分组就用不着管组与组之间的顺序问题了）又例如将200名运动员平均分成两组，其中两名种子选手必在一组的概率是多少？ （）注意：分组与插空综合. 例如：n 个元素全排列，其中某m 个元素互不相邻且顺序不变，共有多少种排法？有，当n – m+1 ≥m, 即m ≤时有意义.⑧隔板法：常用于解正整数解组数的问题.例如：的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板，把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为显然，故（）是方程的一组解.反之，方程的任何一组解，对应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式（如图 所示）故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数等于插隔板的方法数.注意：若为非负数解的x 个数，即用中等于，有，进而转化为求a 的正整数解的个数为.⑨定位问题：从n 个不同元素中每次取出k 个不同元素作排列规定某r 个元素都包含在内，并且都排在某r 个指定位置则有.例如：从n 个不同元素中，每次取出m 个元素的排列，其中某个元素必须固定在（或不固定在）某一位置上，共有多少种排法？固定在某一位置上：；不在某一位置上：或（一类是不取出特殊元素a ，有，一类是取特殊元素a ，有从m-1个位置取一个位置，然后再从n-1m mn n A A mm n n A A /k knnn n k n kn A C C C Λ)1(-⋅3!224=C !2/102022818C C C P =mm mm n mn m n A A A /1+---⋅21+n 124321=+++x x x x 4321,,,x x x x 124321=+++x x x x 4321,,,x x x x ),,,(4321y y y y 311C n a a a ,...,21i a 1+i x A a a a A x x x x n n =-+-+-⇒=+++1...11...213211-+n n A C rk rn r r A A --11--m n A 11---m n m n A A 11111----⋅+m n m m n A A A mn A 1-x x 24个元素中取m-1，这与用插空法解决是一样的） ⑩指定元素排列组合问题.i. 从n 个不同元素中每次取出k 个不同的元素作排列（或组合），规定某r 个元素都包含在内 。

题组层级快练(四十八)1．以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是()A．正方体的三视图是三个全等的正方形B．球的三视图是三个全等的圆C．水平放置的正四面体的三视图都是正三角形D．水平放置的圆台的俯视图是一个圆答案 B解析画几何体的三视图要考虑视角，但对于球无论选择怎样的视角，其三视图总是三个全等的圆．2．如图为一个几何体的三视图，则该几何体是()A．四棱柱B．三棱柱C．长方体D．三棱锥答案 B解析由几何体的三视图可知，该几何体的直观图如图所示，即为一个平放的三棱柱．3．如图所示，空心圆柱体的正视图是()答案 C4.水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图，若图中“努”在正方体的后面，那么这个正方体的前面是()A．定B．有C．收D．获答案 B解析这是一个正方体的平面展开图，其直观图如右：共有六个面，其中面“努”与面“有”相对，所以图中“努”在正方体的后面，则这个正方体的前面是“有”．5．(2020·长春质量监测二)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线条画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥中最长棱的长度为()A．2 B. 5C．2 2 D．3答案 D解析由三视图可知，该几何体为如图所示的三棱锥A－BCD，其中BD＝2，BC＝1，则AB＝CD＝22＋12＝5，AC＝22＋22＝22，AD＝（5）2＋22＝3.所以该三棱锥的最长棱长为3.故选D.6．(2020·吉林公主岭期末)如图所示的直观图中，O′A′＝O′B′＝2，则其平面图形()A．4 B．4 2C．2 2 D．8答案 A解析本题考查斜二测画法．由斜二测画法可知原图为两条直角边长分别为2和4的直角三角形，如图所示，所以其面积S＝12×2×4＝4，故选A.7.(2018·课标全国Ⅰ·7)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为()A．217 B．2 5C．3 D．2答案 B解析由三视图可知，该几何体为如图①所示的圆柱，该圆柱的高为2，底面周长为16.画出该圆柱的侧面展开图，如图②所示，连接MN，则MS＝2，SN＝4，则从M到N的路径中，最短路径的长度为MS2＋SN2＝22＋42＝2 5.故选B.8．(2020·衡水中学调研卷)已知一个四棱锥的高为3，其底面用斜二测画法所画的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，则此四棱锥的体积为()A．2 2 B．6 2C．1 D. 2答案 A解析因为底面用斜二测画法所画的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，所以在直角坐标系中，底面是边长为1和3的平行四边形，且平行四边形的一条对角线垂直于平行四边形的短边，此对角线的长为22，所以该四棱锥的体积为V＝13×22×1×3＝2 2. 9．(2020·湖南郴州模拟)一只蚂蚁从正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到顶点C1的位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图的是()A．①②B．③④C ．①③D ．②④答案 D解析 由点A 经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C 1的位置，共有6种路线(对应6种不同的展开方式)，若把平面ABB 1A 1和平面BCC 1B 1展到同一个平面内，连接AC 1，则AC 1是最短路线，且AC 1会经过BB 1的中点，此时对应的正视图为②；若把平面ABCD 和平面CDD 1C 1展到同一个平面内，连接AC 1，则AC 1是最短路线，且AC 1会经过CD 的中点，此时对应的正视图为④.而其他几种展开方式对应的正视图在题中没有出现．故选D. 10.(2020·衡水调研卷)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 是线段A 1C 1上的动点，则三棱锥P －BCD 的俯视图与正视图面积之比的最大值为( ) A ．1 B. 2 C. 3 D ．2答案 D解析 正视图，底面B ，C ，D 三点，其中D 与C 重合，随着点P 的变化，其正视图均是三角形且点P 在正视图中的位置在边A 1D 1上移动，由此可知，设正方体的棱长为a ，则S 正视图＝12×a 2；设A 1C 1的中点为O ，随着点P 的移动，在俯视图中，易知当点P 在OC 1上移动时，S 俯视图就是底面三角形BCD 的面积，当点P 在OA 1上移动时，点P 越靠近A 1，俯视图的面积越大，当到达A 1的位置时，俯视图为正方形，此时俯视图的面积最大，S 俯视图＝a 2，所以S 俯视图S 正视图的最大值为a 212a 2＝2，故选D.11．(2018·北京，理)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为( )A．1 B.2C．3 D．4答案 C解析将三视图还原为直观图，几何体是底面为直角梯形，且一条侧棱和底面垂直的四棱锥，如图所示．易知，BC∥AD，BC＝1，AD＝AB＝PA＝2，AB⊥AD，PA⊥平面ABCD，故△PAD，△PAB为直角三角形，∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，且PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，∴BC⊥PB，∴△PBC为直角三角形，容易求得PC＝3，CD＝5，PD＝22，故△PCD不是直角三角形，故选C. 12.如图，圆柱的底面半径为1，平面ABCD为圆柱的轴截面，从A点开始，沿着圆柱的侧面拉一条绳子到C点，若绳子的最短长度为3π，则该圆柱的侧面积为()A．42π2B．22π2C．52π2D．4π2答案 A解析沿AD将圆柱的侧面展开，绳子的最短长度即侧面展开图中A，C两点间的距离，连接AC，所以AC＝3π，展开后AB的长度为π.设圆柱的高为h，则AC2＝AB2＋h2，即9π2＝π2＋h2，得h＝22π，所以圆柱的侧面积为2×π×1×22π＝42π2. 13．(2020·江苏张家港一模)若将一个圆锥侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为2 cm的半圆，则该圆锥的高为________cm.答案 3解析设圆锥的底面圆半径为r cm，则2πr＝2π，解得r＝1 cm，∴h＝22－1＝ 3 cm.14.(2020·成都二诊)已知正四面体的俯视图如图所示，其中四边形ABCD是边长为2的正方形，则这个四面体的正视图的面积为________．答案2 2解析由俯视图可得，原正四面体AMNC可视作是如图所示的正方体的一内接几何体，则该正方体的棱长为2，正四面体的正视图为三角形，其面积为12×2×22＝2 2.15．(2019·课标全国Ⅱ)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．答案262－1解析依题意知，题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后6个面都在正方体的表面上，且该半正多面体的表面由18个正方形，8个正三角形组成，因此题中的半正多面体共有26个面．注意到该半正多面体的俯视图的轮廓是一个正八边形，设题中的半正多面体的棱长为x，则22x＋x＋22x＝1，解得x＝2－1，故题中的半正多面体的棱长为2－1.16．如图所示的多面体NMABCD的底面ABCD为矩形，其正视图和侧视图如图所示，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则AM的长为________．答案 6解析如图所示，设E，F分别为AD，BC的中点，连接ME，EF，FN，过点M作MO⊥EF于点O，则MNFE为等腰梯形，根据正视图，得MN＝2，AB＝4，由侧视图可得AD＝2，MO＝2，且EO＝1，则ME＝EO2＋MO2＝ 5.在△AME中，AE＝1，故AM＝AE2＋ME2＝ 6.17．某几何体的正(主)视图和侧(左)视图如图1，它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1如图2，其中O1A1＝6，O1C1＝2，则该几何体的侧面积为________．答案96解析由俯视图的直观图可设y′轴与C1B1交于D1点，O1D1＝22，故OD＝42，俯视图是边长为6的菱形，则该几何体是直四棱柱，侧棱长为4，则侧面积为6×4×4＝96.。

1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．(1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有①Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交；②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切；③Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离．(2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点，①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝1＋k2|x2－x1|＝1＋1k2|y2－y1|.【知识拓展】过一点的直线与圆锥曲线的位置关系(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；过椭圆内一点的直线与椭圆相交．(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线.(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线． 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l 与抛物线y 2＝2px 只有一个公共点，则l 与抛物线相切．( × ) (2)直线y ＝kx (k ≠0)与双曲线x 2－y 2＝1一定相交．( × )(3)与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点．( √ ) (4)直线与椭圆只有一个交点⇔直线与椭圆相切．( √ ) (5)过点(2,4)的直线与椭圆x 24＋y 2＝1只有一条切线．( × )(6)满足“直线y ＝ax ＋2与双曲线x 2－y 2＝4只有一个公共点”的a 的值有4个．( √ )1．(2016·黑龙江鹤岗一中月考)在同一平面直角坐标系中，方程a 2x 2＋b 2y 2＝1与ax ＋by 2＝0(a >b >0)表示的曲线大致是( )答案 D 解析 将方程a 2x 2＋b 2y 2＝1变形为x 21a 2＋y 21b 2＝1，∵a >b >0，∴1a 2<1b 2，∴椭圆焦点在y 轴上．将方程ax ＋by 2＝0变形为y 2＝－ab x ，∵a >b >0，∴－ab<0，∴抛物线焦点在x 轴负半轴上，开口向左．2．(2017·青岛月考)直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定答案 A解析 直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．3．若直线y ＝kx 与双曲线x 29－y 24＝1相交，则k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，23B.⎝⎛⎭⎫－23，0 C.⎝⎛⎭⎫－23，23 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－23∪⎝⎛⎭⎫23，＋∞ 答案 C解析 双曲线x 29－y 24＝1的渐近线方程为y ＝±23x ，若直线与双曲线相交，数形结合，得k ∈⎝⎛⎭⎫－23，23. 4．已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，则弦|AB |＝________. 答案 16解析 直线l 的方程为y ＝3x ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ＋1，x 2＝4y ，得y 2－14y ＋1＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝14，∴|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝14＋2＝16.5．(教材改编)已知与向量v ＝(1,0)平行的直线l 与双曲线x 24－y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为________． 答案 4解析 由题意可设直线l 的方程为y ＝m ， 代入x 24－y 2＝1得x 2＝4(1＋m 2)，所以x 1＝4(1＋m 2)＝21＋m 2，x 2＝－21＋m 2，所以|AB |＝|x 1－x 2|＝41＋m 2， 所以|AB |＝41＋m 2≥4，即当m ＝0时，|AB |有最小值4.第1课时 直线与圆锥曲线题型一 直线与圆锥曲线的位置关系例1 (2016·烟台模拟)已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．解 将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ， ①x 24＋y 22＝1， ②将①代入②，整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144.(1)当Δ>0，即－32<m <32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点． (3)当Δ<0，即m <－32或m >32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l 与椭圆C 没有公共点．思维升华 (1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.(2)依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元，得到一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，则方程为一次方程；若不为0，则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解．(2016·全国乙卷)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H . (1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由． 解 (1)由已知得M (0，t )，P ⎝⎛⎭⎫t 22p ，t ，又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝⎛⎭⎫t 2p ，t ，ON 的方程为y ＝pt x ，代入y 2＝2px 整理得px 2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t 2p，因此H ⎝⎛⎭⎫2t 2p ，2t . 所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点，理由如下： 直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2tp(y －t )．代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与C 没有其他公共点． 题型二 弦长问题例2 (2016·全国甲卷)已知A 是椭圆E ：x 24＋y 23＝1的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA . (1)当|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积． (2)当2|AM |＝|AN |时，证明：3<k <2.(1)解 设M (x 1，y 1)，则由题意知y 1>0，由|AM |＝|AN |及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4. 又A (－2,0)，因此直线AM 的方程为y ＝x ＋2.将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1得7y 2－12y ＝0，解得y ＝0或y ＝127，所以y 1＝127.因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449.(2)证明 将直线AM 的方程y ＝k (x ＋2)(k >0)代入x 24＋y 23＝1得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝0，由x 1·(－2)＝16k 2－123＋4k 2得x 1＝2(3－4k 2)3＋4k 2，故|AM |＝|x 1＋2|1＋k 2＝121＋k 23＋4k 2.由题设，直线AN 的方程为y ＝－1k (x ＋2)，故同理可得|AN |＝12k1＋k 23k 2＋4. 由2|AM |＝|AN |，得23＋4k 2＝k3k 2＋4，即4k 3－6k 2＋3k －8＝0， 设f (t )＝4t 3－6t 2＋3t －8，则k 是f (t )的零点，f ′(t )＝12t 2－12t ＋3＝3(2t －1)2≥0，所以f (t )在(0，＋∞)单调递增，又f (3)＝153－26<0，f (2)＝6>0，因此f (t )在(0，＋∞)有唯一的零点，且零点k 在(3，2)内，所以3<k <2.思维升华 有关圆锥曲线弦长问题的求解方法涉及弦长的问题中， 应熟练的利用根与系数的关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点，过F 1且斜率为1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列． (1)求E 的离心率；(2)设点P (0，－1)满足|P A |＝|PB |，求E 的方程． 解 (1)由椭圆定义知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ， 又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝43a ，l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝a 2－b 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去y ，化简得(a 2＋b 2)x 2＋2a 2cx ＋a 2(c 2－b 2)＝0，则x 1＋x 2＝－2a 2c a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2(c 2－b 2)a 2＋b 2.因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]，即43a ＝4ab 2a 2＋b 2，故a 2＝2b 2，所以E 的离心率e ＝ca＝a 2－b 2a ＝22. (2)设AB 的中点为N (x 0，y 0)，由(1)知 x 0＝x 1＋x 22＝－a 2c a 2＋b 2＝－2c 3，y 0＝x 0＋c ＝c 3.由|P A |＝|PB |，得k PN ＝－1，即y 0＋1x 0＝－1，得c ＝3，从而a ＝32，b ＝3. 故椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.题型三 中点弦问题命题点1 利用中点弦确定直线或曲线方程例3 (1)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 (2)已知(4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，则l 的方程是________________．答案 (1)D (2)x ＋2y －8＝0解析 (1)因为直线AB 过点F (3,0)和点(1，－1)，所以直线AB 的方程为y ＝12(x －3)，代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1消去y ，得⎝⎛⎭⎫a 24＋b 2x 2－32a 2x ＋94a 2－a 2b 2＝0，所以AB 的中点的横坐标为32a 22⎝⎛⎭⎫a24＋b 2＝1，即a 2＝2b 2，又a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝c ＝3，a ＝32，选D. (2)设直线l 与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 2136＋y 219＝1，且x 2236＋y 229＝1， 两式相减得y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24(y 1＋y 2).又x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4， 所以y 1－y 2x 1－x 2＝－12，故直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.命题点2 由中点弦解决对称问题例4 (2015·浙江)如图已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称．(1)求实数m 的取值范围；(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)． 解 (1)由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为y ＝－1mx ＋b .由⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－1m x ＋b ，消去y ，得⎝⎛⎭⎫12＋1m 2x 2－2b m x ＋b 2－1＝0.因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b 2＋2＋4m 2＞0，①将AB 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2mb m 2＋2，m 2b m 2＋2代入直线方程y ＝mx ＋12，解得b ＝－m 2＋22m 2，② 由①②得m ＜－63或m ＞63. (2)令t ＝1m ∈⎝⎛⎭⎫－62，0∪⎝⎛⎭⎫0，62，则|AB |＝t 2＋1·－2t 4＋2t 2＋32t 2＋12.且O 到直线AB 的距离为d ＝t 2＋12t 2＋1.设△AOB 的面积为S (t )， 所以S (t )＝12|AB |·d ＝12－2⎝⎛⎭⎫t 2－122＋2≤22. 当且仅当t 2＝12时，等号成立．故△AOB 面积的最大值为22. 思维升华 处理中点弦问题常用的求解方法(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x 1＋x 2，y 1＋y 2，y 1－y 2x 1－x 2三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．(2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后，由根与系数的关系求解．(3)解决对称问题除掌握解决中点弦问题的方法外，还要注意：如果点A ，B 关于直线l 对称，则l 垂直直线AB 且A ，B 的中点在直线l 上的应用．设抛物线过定点A (－1,0)，且以直线x ＝1为准线．(1)求抛物线顶点的轨迹C 的方程；(2)若直线l 与轨迹C 交于不同的两点M ，N ，且线段MN 恰被直线x ＝－12平分，设弦MN 的垂直平分线的方程为y ＝kx ＋m ，试求m 的取值范围． 解 (1)设抛物线顶点为P (x ，y )，则焦点F (2x －1，y )． 再根据抛物线的定义得|AF |＝2，即(2x )2＋y 2＝4， 所以轨迹C 的方程为x 2＋y 24＝1. (2)设弦MN 的中点为P ⎝⎛⎭⎫－12，y 0，M (x M ，y M )，N (x N ，y N )，则由点M ，N 为椭圆C 上的点， 可知⎩⎪⎨⎪⎧4x 2M ＋y 2M ＝4，4x 2N ＋y 2N ＝4.两式相减，得4(x M －x N )(x M ＋x N )＋(y M －y N )(y M ＋y N )＝0， 将x M ＋x N ＝2×⎝⎛⎭⎫－12＝－1，y M ＋y N ＝2y 0， y M －y Nx M －x N＝－1k 代入上式得k ＝－y 02.又点P ⎝⎛⎭⎫－12，y 0在弦MN 的垂直平分线上， 所以y 0＝－12k ＋m .所以m ＝y 0＋12k ＝34y 0.由点P (－12，y 0)在线段BB ′上(B ′，B 为直线x ＝－12与椭圆的交点，如图所示)，所以y B ′<y 0<y B ，也即－3<y 0< 3.所以－334<m <334，且m ≠0.1．(2016·泰安模拟)斜率为3的直线与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(1，3)D ．(3，＋∞)答案 B解析 要使直线与双曲线恒有两个公共点， 则渐近线的斜率的绝对值应大于3，所以|b a |>3，∴e ＝ 1＋b 2a 2>2， 即e ∈(2，＋∞)，故选B.2．直线4kx －4y －k ＝0与抛物线y 2＝x 交于A ，B 两点，若|AB |＝4，则弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离等于( ) A.74 B ．2 C.94D ．4 答案 C解析 易知直线4kx －4y －k ＝0过抛物线y 2＝x 的焦点(14，0)，∴|AB |为焦点弦． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB 中点N (x 1＋x 22，y 1＋y 22)，∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4.∴x 1＋x 22＝74. ∴AB 中点到直线x ＋12＝0的距离为74＋12＝94. 3．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( ) A ．2 B.455 C.4105 D.8105答案 C解析 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t 消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0， 则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4(t 2－1)5. ∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2·(－85t )2－4×4(t 2－1)5 ＝425·5－t 2， 当t ＝0时，|AB |max ＝4105. 4．(2017·天津质检)直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的交点个数是( ) A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．0答案 A解析 因为直线y ＝b a x ＋3与双曲线的渐近线y ＝b ax 平行， 所以它与双曲线只有1个交点，故选A.5．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为( ) A.54 B ．5 C.52D. 5 答案 D解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线为y ＝b ax ， 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，y ＝x 2＋1消去y ， 得x 2－b ax ＋1＝0有唯一解， 所以Δ＝(b a )2－4＝0，b a＝2， e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝ 1＋(b a )2＝ 5. 6．已知F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，过点F 且斜率为1的直线l 交抛物线于A ，B 两点，则||F A |－|FB ||的值为( )A ．4 2B ．8C ．8 2D ．16答案 C解析 依题意知F (2,0)，所以直线l 的方程为y ＝x －2，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x －2，y 2＝8x ，消去y 得x 2－12x ＋4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝4，x 1＋x 2＝12，则||F A |－|FB ||＝|(x 1＋2)－(x 2＋2)|＝|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝144－16＝8 2.7．(2016·安顺月考)在抛物线y ＝x 2上关于直线y ＝x ＋3对称的两点M ，N 的坐标分别为________．答案 (－2,4)，(1,1)解析 设直线MN 的方程为y ＝－x ＋b ，代入y ＝x 2中，整理得x 2＋x －b ＝0，令Δ＝1＋4b >0，∴b >－14.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－1，y 1＋y 22＝－x 1＋x 22＋b ＝12＋b ， 由(－12，12＋b )在直线y ＝x ＋3上， 即12＋b ＝－12＋3，解得b ＝2， 联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－x ＋2，y ＝x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝－2，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1，y 2＝1. 8．已知抛物线y 2＝4x 的弦AB 的中点的横坐标为2，则|AB |的最大值为________． 答案 6解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4，那么|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋2，又|AF |＋|BF |≥|AB |⇒|AB |≤6，当AB 过焦点F 时取得最大值6.9．过椭圆x 216＋y 24＝1内一点P (3,1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是____________． 答案 3x ＋4y －13＝0解析 设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，由于A ，B 两点均在椭圆上，故x 2116＋y 214＝1，x 2216＋y 224＝1， 两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)16＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)4＝0. 又∵P 是A ，B 的中点，∴x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝2，∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－34. ∴直线AB 的方程为y －1＝－34(x －3)． 即3x ＋4y －13＝0.10．已知双曲线C ：x 2－y 23＝1，直线y ＝－2x ＋m 与双曲线C 的右支交于A ，B 两点(A 在B的上方)，且与y 轴交于点M ，则|MB ||MA |的取值范围为________． 答案 (1,7＋43)解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－2x ＋m ，3x 2－y 2－3＝0可得x 2－4mx ＋m 2＋3＝0， 由题意得方程在[1，＋∞)上有两个不相等的实根，设f (x )＝x 2－4mx ＋m 2＋3，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2m >1，f (1)≥0，Δ>0，得m >1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)，得x 1＝2m －3(m 2－1)，x 2＝2m ＋3(m 2－1)， 所以|MB ||MA |＝x 2x 1＝2m ＋3(m 2－1)2m －3(m 2－1) ＝－1＋42－ 3(1－1m2)， 由m >1得，|MB ||MA |的取值范围为(1,7＋43)． 11．(2016·郑州模拟)已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为22，且椭圆经过圆C ：x 2＋y 2－4x ＋22y ＝0的圆心．(1)求椭圆的方程； (2)设直线l 过椭圆的焦点且与圆C 相切，求直线l 的方程．解 (1)圆C 方程化为(x －2)2＋(y ＋2)2＝6，圆心C (2，－2)，半径r ＝ 6.设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， 则⎩⎨⎧ 4a 2＋2b 2＝1，1－⎝⎛⎭⎫b a 2＝⎝⎛⎭⎫222⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝4. ∴所求的椭圆方程是x 28＋y 24＝1.(2)由(1)得到椭圆的左，右焦点分别是F 1(－2,0)，F 2(2,0)，|F 2C |＝(2－2)2＋(0＋2)2＝2< 6.∴F 2在C 内，故过F 2没有圆C 的切线，设l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0.点C (2，－2)到直线l 的距离d ＝|2k ＋2＋2k |1＋k2， 由d ＝6，得|2k ＋2＋2k |1＋k 2＝ 6. 解得k ＝25或k ＝－2， 故l 的方程为2x －5y ＋22＝0或2x ＋y ＋22＝0.12．平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12. (1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值． 解 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b2＝1， y 2－y 1x 2－x 1＝－1.由此可得b 2(x 2＋x 1)a 2(y 2＋y 1)＝－y 2－y 1x 2－x 1＝1. 因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 0x 0＝12，所以a 2＝2b 2. 又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故a 2－b 2＝3.因此a 2＝6，b 2＝3.所以M 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x 26＋y 23＝1， 解得⎩⎨⎧ x ＝433，y ＝－33或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝ 3. 因此|AB |＝463. 由题意可设直线CD 的方程为y ＝x ＋n (－533<n <3)， 设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋n ，x 26＋y 23＝1，得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0.于是x 3,4＝－2n ±2(9－n 2)3. 因为直线CD 的斜率为1,所以|CD |＝2|x 4－x 3|＝439－n 2. 由已知，四边形ACBD 的面积S ＝12|CD |·|AB |＝869(9－n 2).当n ＝0时，S 取得最大值，最大值为863. *13.(2016·广州联考)已知点P 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，过点P 作PQ ⊥y 轴于点Q ，延长QP 到点M ，使QP →＝PM →.(1)求点M 的轨迹E 的方程；(2)过点C (m,0)作圆O 的切线l ，交(1)中曲线E 于A ，B 两点，求△AOB 面积的最大值．解 (1)设点M (x ，y )，∵QP →＝PM →，∴P 为QM 的中点，又PQ ⊥y 轴，∴P (x 2，y )．∵点P 是圆O ：x 2＋y 2＝1上的点， ∴(x 2)2＋y 2＝1， 即点M 的轨迹E 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)由题意可知直线l 不与y 轴垂直， 故可设l ：x ＝ty ＋m ，t ∈R ， A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∵l 与圆O ：x 2＋y 2＝1相切， ∴|m |t 2＋1＝1，即m 2＝t 2＋1.① 联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 2＝1，x ＝ty ＋m ，消去x ， 得(t 2＋4)y 2＋2mty ＋m 2－4＝0. 其中Δ＝(2mt )2－4(t 2＋4)(m 2－4) ＝16(t 2－m 2)＋64＝48>0.∴y 1＋y 2＝－2mt t 2＋4，y 1y 2＝m 2－4t 2＋4.② ∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝[t (y 1－y 2)]2＋(y 1－y 2)2 ＝t 2＋1(y 1＋y 2)2－4y 1y 2. 将①②代入上式得|AB |＝t 2＋1 4m 2t 2(t 2＋4)2－4(m 2－4)t 2＋4 ＝43|m |m 2＋3，|m |≥1， ∴S △AOB ＝12|AB |·1＝12×43|m |m 2＋3＝23|m |＋3|m |≤2323＝1， 当且仅当|m |＝3|m |，即m ＝±3时，等号成立． ∴(S △AOB )max ＝1.。

题组层级快练(四十六)1．要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明( ) A ．2ab －1－a 2b 2≤0 B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0C.（a ＋b ）22－1－a 2b 2≤0D ．(a 2－1)(b 2－1)≥0答案 D2．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac <3a ”，“索”的“因”应是( ) A ．a －b>0 B ．a －c>0 C ．(a －b)(a －c)>0 D ．(a －b)(a －c)<0答案 C 解析b 2－ac<3a ⇔b 2－ac<3a 2⇔(a ＋c)2－ac<3a 2⇔a 2＋2ac ＋c 2－ac －3a 2<0⇔－2a 2＋ac ＋c 2<0⇔2a 2－ac －c 2>0⇔(a －c)(2a ＋c)>0⇔(a －c)(a －b)>0. 3．下列不等式不成立的是( ) A.12<ln2 B.3＋1>2 2 C ．233<322 D ．sin1>cos1答案 B4．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P ，Q 的大小关系是( ) A ．P>Q B ．P ＝QC ．P<QD ．由a 的取值确定 答案 C解析 要比较P ，Q 的大小关系，只需比较P 2，Q 2的大小关系，即比较2a ＋7＋2a （a ＋7）与2a ＋7＋2（a ＋3）（a ＋4）的大小，只需比较a （a ＋7）与（a ＋3）（a ＋4）的大小，即比较a 2＋7a 与a 2＋7a ＋12的大小，∵0<12，∴P<Q. 5．若a>0，b>0，a ＋b ＝1，则下列不等式不成立的是( ) A ．a 2＋b 2≥12B ．ab ≤14C.1a ＋1b ≥4 D.a ＋b ≤1答案 D解析 a 2＋b 2＝(a ＋b)2－2ab ＝1－2ab ≥1－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝12，∴A 成立；ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14，∴B 成立；1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥1⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝4，∴C 成立； (a ＋b)2＝a ＋b ＋2ab ＝1＋2ab>1，∴a ＋b>1，故D 不成立． 6．(2020·陕西安康期末)对任意正实数x ，y ，下列不等式恒成立的是( ) A ．4ln(x ＋y)≥4·2lnx ·2lny B ．4ln(x＋y)≤4·2lnx ·2lny C ．4ln(x＋y)≥2ln4·2lnx ·2lny D ．4ln(x＋y)≤2ln4·2lnx ·2lny答案 C解析 本题考查基本不等式的应用．∵x>0，y>0，x ＋y ≥2xy ，∴ln(x ＋y)≥ln2＋12lnx ＋12lny ，∴4ln(x ＋y)≥4ln2·412lnx ·412lny ＝2ln4·2lnx ·2lny .故选C.7．(2019·东北四校联考)设x ，y ，z ∈R ＋，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x ，则a ，b ，c 三个数( )A ．至少有一个不大于2B ．都小于2C ．至少有一个不小于2D ．都大于2答案 C解析 假设a ，b ，c 三个数都小于2. 则6>a ＋b ＋c ＝x ＋1y ＋y ＋1z ＋z ＋1x≥2x·1x＋2y·1y＋2z·1z ＝6，即6>6，矛盾． 所以a ，b ，c 三个数中至少有一个不小于2.8．(2019·天津)设x>0，y>0，x ＋2y ＝5，则（x ＋1）（2y ＋1）xy 的最小值为________．答案 4 3解析 本题主要考查利用基本不等式求最值． ∵x ＋2y ＝5，x>0，y>0，∴（x ＋1）（2y ＋1）xy ＝x ＋2y ＋2xy ＋1xy ＝2xy ＋6xy ＝2xy ＋6xy≥22xy·6xy＝43，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝5，2xy ＝6xy ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝32时，原式取得最小值4 3. 9．设a>0，b>0，求证：lg(1＋ab)≤12[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．答案 略证明 要证lg(1＋ab)≤12[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]，只需证1＋ab ≤（1＋a ）（1＋b ），即证(1＋ab)2≤(1＋a)(1＋b)，即证2ab ≤a ＋b ，而2ab ≤a ＋b 成立，∴lg(1＋ab)≤12[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]成立．10．(1)设x 是正实数，求证：(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥8x 3.(2)若x ∈R ，不等式(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥8x 3是否仍然成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的x 的值． 答案 (1)略 (2)成立，证明见解析解析 (1)证明：x 是正实数，由均值不等式，得x ＋1≥2x ，x 2＋1≥2x ，x 3＋1≥2x 3. 故(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥2x ·2x ·2x 3＝8x 3(当且仅当x ＝1时等号成立)． (2)若x ∈R ，不等式(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥8x 3仍然成立． 证明：由(1)知，当x>0时，不等式成立；当x ≤0时，8x 3≤0，而(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)＝(x ＋1)2(x 2＋1)(x 2－x ＋1)＝(x ＋1)2(x 2＋1)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －122＋34≥0，此时不等式仍然成立． 11．(2019·湖北武汉调研)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝5，S 8＝64. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：1S n －1＋1S n ＋1>2S n (n ≥2，n ∈N *)．答案 (1)a n ＝2n －1 (2)略解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝a 1＋2d ＝5，S 8＝8a 1＋28d ＝64，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2.故所求的通项公式为a n ＝2n －1. (2)证明：由(1)可知S n ＝n 2， 要证原不等式成立，只需证1（n －1）2＋1（n ＋1）2>2n2，只需证[(n ＋1)2＋(n －1)2]n 2>2(n 2－1)2. 只需证(n 2＋1)n 2>(n 2－1)2. 即证3n 2>1.而3n 2>1在n ≥1时恒成立，从而不等式1S n －1＋1S n ＋1>2S n (n ≥2，n ∈N *)恒成立．12．设数列{a n }满足a 1＝0且11－a n ＋1－11－a n＝1.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1－a n ＋1n，记S n ＝∑n k ＝1b k ，证明：S n <1. 答案 (1)a n ＝1－1n(2)略解析 (1)由题设11－a n ＋1－11－a n ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫11－a n 是公差为1的等差数列． 又11－a 1＝1，故11－a n＝n.所以a n ＝1－1n .(2)由(1)得b n ＝1－a n ＋1n＝n ＋1－n n ＋1·n＝1n－1n ＋1，∴S n ＝∑nk ＝1b k ＝∑nk ＝1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1k ＋1＝1－1n ＋1<1. 13．(2015·湖南，理)设a>0，b>0，且a ＋b ＝1a ＋1b .证明：(1)a ＋b ≥2；(2)a 2＋a<2与b 2＋b<2不可能同时成立． 答案 (1)略 (2)略证明 由a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋bab ，a>0，b>0，得ab ＝1.(1)由基本不等式及ab ＝1，有a ＋b ≥2ab ＝2，即a ＋b ≥2.(2)假设a 2＋a<2与b 2＋b<2同时成立，则由a 2＋a<2及a>0得0<a<1；同理，0<b<1，从而ab<1，这与ab ＝1矛盾．故a 2＋a<2与b 2＋b<2不可能同时成立．。

1．“三个二次”的关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根有两相异实根x1，x2(x1<x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根一元二次不等式ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集{x|x<x1或x>x2} {x|x≠－b2a}{x|x∈R}一元二次不等式ax2＋bx＋c<0{x|x1< x<x2} ∅∅(a>0)的解集2.常用结论(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解法不等式解集a<b a＝b a>b(x－a)·(x－b)>0{x|x<a或x>b}{x|x≠a}{x|x<b或x>a}(x－a)·(x－b)<0{x|a<x<b}∅{x|b<x<a} 【知识拓展】(1)f(x)g(x)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0)．(2)f(x)g(x)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.以上两式的核心要义是将分式不等式转化为整式不等式．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.(√)(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.(√)(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(×)(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.(×)(5)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集．(√)1．(教材改编)不等式x2－3x－10>0的解集是()A．(－2,5) B．(5，＋∞)C．(－∞，－2) D．(－∞，－2)∪(5，＋∞)答案 D解析解方程x2－3x－10＝0得x1＝－2，x2＝5，由于y＝x2－3x－10的图象开口向上，所以x2－3x－10>0的解集为(－∞，－2)∪(5，＋∞)．2．设集合M ＝{x |x 2－3x －4<0}，N ＝{x |0≤x ≤5}，则M ∩N 等于( ) A ．(0,4] B ．[0,4) C ．[－1,0) D ．(－1,0]答案 B解析 ∵M ＝{x |x 2－3x －4<0}＝{x |－1<x <4}， ∴M ∩N ＝[0,4)．3．(教材改编)y ＝log 2(3x 2－2x －2)的定义域是________________． 答案 (－∞，1－73)∪(1＋73，＋∞)解析 由题意，得3x 2－2x －2>0，令3x 2－2x －2＝0得x 1＝1－73，x 2＝1＋73，∴3x 2－2x －2>0的解集为(－∞，1－73)∪(1＋73，＋∞)．4．(教材改编)若关于x 的不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是(－12，13)，则a ＋b ＝________.答案 －14解析 ∵x 1＝－12，x 2＝13是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两个根，∴⎩⎨⎧a 4－b2＋2＝0，a 9＋b3＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2，∴a ＋b ＝－14.5．不等式x 2＋ax ＋4≤0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________________． 答案 (－∞，－4]∪[4，＋∞)解析 ∵x 2＋ax ＋4≤0的解集不是空集，则x 2＋ax ＋4＝0一定有解． ∴Δ＝a 2－4×1×4≥0，即a 2≥16，∴a ≥4或a ≤－4.题型一 一元二次不等式的求解 命题点1 不含参的不等式例1 求不等式－2x 2＋x ＋3<0的解集． 解 化－2x 2＋x ＋3<0为2x 2－x －3>0， 解方程2x 2－x －3＝0得x 1＝－1，x 2＝32，∴不等式2x 2－x －3>0的解集为(－∞，－1)∪(32，＋∞)，即原不等式的解集为(－∞，－1)∪(32，＋∞)．命题点2 含参不等式例2 解关于x 的不等式：x 2－(a ＋1)x ＋a <0. 解 由x 2－(a ＋1)x ＋a ＝0，得(x －a )(x －1)＝0， ∴x 1＝a ，x 2＝1，①当a >1时，x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集为{x |1<x <a }， ②当a ＝1时，x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集为∅， ③当a <1时，x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集为{x |a <x <1}． 引申探究将原不等式改为ax 2－(a ＋1)x ＋1<0，求不等式的解集． 解 若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1. 若a <0，原不等式等价于(x －1a)(x －1)>0，解得x <1a或x >1.若a >0，原不等式等价于(x －1a )(x －1)<0.①当a ＝1时，1a ＝1，(x －1a )(x －1)<0无解；②当a >1时，1a <1，解(x －1a )(x －1)<0，得1a <x <1；③当0<a <1时，1a >1，解(x －1a )(x －1)<0，得1<x <1a .综上所述，当a <0时，解集为{x |x <1a 或x >1}；当a ＝0时，解集为{x |x >1}； 当0<a <1时，解集为{x |1<x <1a }；当a ＝1时，解集为∅； 当a >1时，解集为{x |1a<x <1}．思维升华 含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论．(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式； (3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．解下列不等式：(1)0<x 2－x －2≤4；(2)求不等式12x 2－ax ＞a 2(a ∈R )的解集． 解 (1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2>0，x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，x 2－x －6≤0⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧ (x －2)(x ＋1)>0，(x －3)(x ＋2)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x >2或x <－1，－2≤x ≤3.借助于数轴，如图所示，所以原不等式的解集为{x |－2≤x <－1或2<x ≤3}． (2)∵12x 2－ax ＞a 2，∴12x 2－ax －a 2＞0， 即(4x ＋a )(3x －a )＞0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0，得x 1＝－a 4，x 2＝a3.当a ＞0时，－a 4＜a 3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－a 4或x ＞a 3；当a ＝0时，x 2＞0，解集为{x |x ∈R 且x ≠0}； 当a ＜0时，－a 4＞a 3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜a 3或x ＞－a 4.综上所述，当a ＞0时，不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－a 4或x ＞a 3；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}； 当a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜a 3或x ＞－a 4.题型二 一元二次不等式恒成立问题 命题点1 在R 上的恒成立问题例3 (1)若一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( )A ．(－3,0]B ．[－3,0)C ．[－3,0]D ．(－3,0)(2)设a 为常数，对于∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1>0，则a 的取值范围是( ) A ．(0,4) B ．[0,4) C ．(0，＋∞) D ．(－∞，4)答案 (1)D (2)B解析 (1)∵2kx 2＋kx －38<0为一元二次不等式，∴k ≠0，又2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则必有⎩⎪⎨⎪⎧2k <0，Δ＝k 2－4×2k ×(－38)<0，解得－3<k <0. (2)对于∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1>0，则必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a <0或a ＝0，∴0≤a <4.命题点2 在给定区间上的恒成立问题例4 设函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围． 解 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立． 有以下两种方法：方法一 令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]． 当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)⇒7m －6<0， 所以m <67，所以0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立； 当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)⇒m －6<0，所以m <6，所以m <0. 综上所述，m 的取值范围是{m |m <67}．方法二 因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0， 又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可．所以，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |m <67.命题点3 给定参数范围的恒成立问题例5 对任意m ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零，求x 的取值范围． 解 由f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4， 令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4.由题意知在[－1,1]上，g (m )的值恒大于零，∴⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)＝(x －2)×(－1)＋x 2－4x ＋4>0，g (1)＝(x －2)＋x 2－4x ＋4>0.解得x <1或x >3.故当x的取值范围为(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m∈[－1,1]，函数f(x)的值恒大于零．思维升华(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．(1)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是________．答案(－22，0)解析作出二次函数f(x)的草图，对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0，则有⎩⎪⎨⎪⎧f (m )<0，f (m ＋1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m 2－1<0，(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0，解得－22<m <0.(2)已知不等式mx 2－2x －m ＋1<0，是否存在实数m 对所有的实数x ，使不等式恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由． 解 不等式mx 2－2x －m ＋1<0恒成立，即函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1的图象全部在x 轴下方． 当m ＝0时，1－2x <0，则x >12，不满足题意；当m ≠0时，函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1为二次函数， 需满足开口向下且方程mx 2－2x －m ＋1＝0无解，即⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝4－4m (1－m )<0，不等式组的解集为空集，即m 无解． 综上可知，不存在这样的m . 题型三 一元二次不等式的应用例6 某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价．(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围． 解 (1)由题意得，y ＝100⎝⎛⎭⎫1－x 10·100⎝⎛⎭⎫1＋850x . 因为售价不能低于成本价，所以100⎝⎛⎭⎫1－x10－80≥0. 所以y ＝f (x )＝40(10－x )(25＋4x )，定义域为x ∈[0,2]． (2)由题意得40(10－x )(25＋4x )≥10 260， 化简得8x 2－30x ＋13≤0，解得12≤x ≤134.所以x 的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，2.思维升华 求解不等式应用题的四个步骤(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系．(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型．(3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义．(4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果．甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每小时可获得的利润是100·(5x ＋1－3x)元． (1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．解 (1)根据题意，得200(5x ＋1－3x)≥3 000， 整理得5x －14－3x≥0， 即5x 2－14x －3≥0，又1≤x ≤10，可解得3≤x ≤10.即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，x 的取值范围是[3,10]．(2)设利润为y 元，则y ＝900x ·100(5x ＋1－3x)＝9×104(5＋1x －3x 2) ＝9×104[－3(1x －16)2＋6112]， 故当x ＝6时，y max ＝457 500元．即甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克该产品时获得的利润最大，最大利润为457 500元．14．转化与化归思想在不等式中的应用典例 (1)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．(2)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a x，若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，则实数a 的取值范围是________．思想方法指导 函数的值域和不等式的解集转化为a ，b 满足的条件；不等式恒成立可以分离常数，转化为函数值域问题．解析 (1)由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋b －a 24. ∵f (x )的值域为[0，＋∞)，∴b －a 24＝0，即b ＝a 24. ∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22. 又∵f (x )<c ，∴⎝⎛⎭⎫x ＋a 22<c ， 即－a 2－c <x <－a 2＋c . ∴⎩⎨⎧ －a 2－c ＝m ， ①－a 2＋c ＝m ＋6. ②②－①，得2c＝6，∴c＝9.(2)∵x∈[1，＋∞)时，f(x)＝x2＋2x＋ax>0恒成立，即x2＋2x＋a>0恒成立．即当x≥1时，a>－(x2＋2x)＝g(x)恒成立．而g(x)＝－(x2＋2x)＝－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减，∴g(x)max＝g(1)＝－3，故a>－3.∴实数a的取值范围是{a|a>－3}．答案(1)9(2){a|a>－3}1．不等式(x－1)(2－x)≥0的解集为()A．{x|1≤x≤2} B．{x|x≤1或x≥2} C．{x|1<x<2} D．{x|x<1或x>2}答案 A解析由(x－1)(2－x)≥0可知(x－2)(x－1)≤0，所以不等式的解集为{x|1≤x≤2}．2．(2016·潍坊模拟)函数f(x)＝1ln(－x2＋4x－3)的定义域是() A．(－∞，1)∪(3，＋∞) B．(1,3)C．(－∞，2)∪(2，＋∞) D．(1,2)∪(2,3)答案 D解析由题意得－x2＋4x－3>0，即x2－4x＋3<0，∴1<x<3，又ln(－x2＋4x－3)≠0，即－x2＋4x－3≠1，∴x2－4x＋4≠0，∴x≠2.故函数定义域为(1,2)∪(2,3)．3．若集合A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝∅，则实数a的取值范围是() A．{a|0<a<4} B．{a|0≤a<4}C ．{a |0<a ≤4}D ．{a |0≤a ≤4}答案 D 解析 由题意知a ＝0时，满足条件．当a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ＝(－a )2－4a ≤0，得0<a ≤4.所以0≤a ≤4.4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( ) A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)答案 A解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，x 2－4x ＋6>3或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，x ＋6>3，解得－3<x <1或x >3.5．已知不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为A ∩B ，那么a ＋b 等于( )A ．－3B ．1C ．－1D ．3 答案 A解析 由题意，A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－3<x <2}，A ∩B ＝{x |－1<x <2}，则不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为{x |－1<x <2}．由根与系数的关系可知，a ＝－1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－3，故选A.6．若关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a 等于( ) A.52B.72C.154D.152 答案 A解析 由x 2－2ax －8a 2<0，得(x ＋2a )(x －4a )<0，因为a >0，所以不等式的解集为(－2a,4a )，即x 2＝4a ，x 1＝－2a ，由x 2－x 1＝15，得4a －(－2a )＝15，解得a ＝52. 7．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎡⎦⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a <0的解集是( ) A ．(2,3)B ．(－∞，2)∪(3，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫13，12D.⎝⎛⎭⎫－∞，13∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 答案 A解析 由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的根，所以由根与系数的关系得－12＋⎝⎛⎭⎫－13＝b a ，－12×⎝⎛⎭⎫－13＝－1a.解得a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a <0即为x 2－5x ＋6<0，解集为(2,3)． *8.已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，当x ∈[－1,1]时，f (x )>0恒成立，则b 的取值范围是( )A ．－1<b <0B ．b >2C ．b <－1或b >2D ．不能确定 答案 C解析 由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )图象的对称轴为直线x ＝1，则有a 2＝1，故a ＝2. 由f (x )的图象可知f (x )在[－1,1]上为增函数．∴x ∈[－1,1]时，f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2，令b 2－b －2>0，解得b <－1或b >2.9．若不等式－2≤x 2－2ax ＋a ≤－1有唯一解，则a 的值为________.答案 1±52 解析 若不等式－2≤x 2－2ax ＋a ≤－1有唯一解，则x 2－2ax ＋a ＝－1有两个相等的实根，所以Δ＝4a 2－4(a ＋1)＝0，解得a ＝1±52.10．设f (x )是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若f (1)>1，f (2)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围是________．答案 (－1，23) 解析 ∵f (x ＋3)＝f (x )，∴f (2)＝f (－1＋3)＝f (－1)＝－f (1)<－1.∴2a －3a ＋1<－1⇔3a －2a ＋1<0⇔(3a －2)(a ＋1)<0， ∴－1<a <23. *11.已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是______________________．答案 {x |－7<x <3}解析 令x <0，则－x >0，∵x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，∴f (－x )＝(－x )2－4(－x )＝x 2＋4x ，又f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴x <0时，f (x )＝x 2＋4x ，故有f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x ≥0，x 2＋4x ，x ＜0.再求f (x )<5的解， 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，x 2－4x <5，得0≤x ＜5；由⎩⎪⎨⎪⎧x <0，x 2＋4x <5，得－5<x <0，即f (x )<5的解集为(－5,5)．由于f (x )向左平移两个单位即得f (x ＋2)，故f (x ＋2)<5的解集为{x |－7<x <3}．12．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n )．(1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集；(2)若a >0，且0<x <m <n <1a，比较f (x )与m 的大小． 解 (1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )(x －n )．当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0，即a (x ＋1)(x －2)>0.当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <－1或x >2}；当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |－1<x <2}．(2)f (x )－m ＝F (x )＋x －m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)，∵a >0，且0<x <m <n <1a， ∴x －m <0,1－an ＋ax >0.∴f (x )－m <0，即f (x )<m .*13.(2016·烟台模拟)已知不等式(a ＋b )x ＋(2a －3b )<0的解为x >－34，解不等式(a －2b )x 2＋2(a －b －1)x ＋(a －2)>0.解 因为(a ＋b )x ＋(2a －3b )<0，所以(a ＋b )x <3b －2a ，因为不等式的解为x >－34， 所以a ＋b <0，且3b －2a a ＋b＝－34， 解得a ＝3b <0，则不等式(a －2b )x 2＋2(a －b －1)x ＋(a －2)>0.等价为bx 2＋(4b －2)x ＋(3b －2)>0，即x 2＋(4－2b )x ＋(3－2b)<0， 即(x ＋1)(x ＋3－2b)<0. 因为－3＋2b<－1， 所以不等式的解为－3＋2b<x <－1. 即所求不等式的解集为{x |－3＋2b<x <－1}．。

第二讲 数列求和及综合应用本部分内容在备考时应注意以下几个方面：(1)加强对递推数列概念及解析式的理解，掌握递推数列给出数列的方法． (2)掌握等差(比)数列求和公式及方法．(3)掌握数列分组求和、裂项相消求和、错位相减求和的方法． (4)掌握与数列求和有关的综合问题的求解方法及解题策略． 预测2019年命题热点为：(1)已知等差(比)数列的某些项的值或其前几项的和，求该数列的通项公式． (2)已知某数列的递推式或某项的值，求该数列的和．(3)已知某个不等式成立，求某参数的值．证明某个不等式成立．Z 知识整合hi shi zheng he1．分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成c n ＝a n ＋b n 形式的数列求和问题的方法，其中{a n }与{b n }是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列．2．裂项相消法：将数列的通项分成两个代数式子的差，即a n ＝f (n ＋1)－f (n )的形式，然后通过累加抵消中间若干项的求和方法．形如{ca n a n ＋1}(其中{a n }是公差d ≠0且各项均不为0的等差数列，c 为常数)的数列等．3．错位相减法：形如{a n ·b n }(其中{a n }为等差数列，{b n }为等比数列)的数列求和，一般分三步：①巧拆分；②构差式；③求和．4．倒序求和法：距首尾两端等距离的两项和相等，可以用此法，一般步骤：①求通项公式；②定和值；③倒序相加；④求和；⑤回顾反思．附：(1)常见的拆项公式(其中n ∈N *) ①1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.②1n (n ＋k )＝1k (1n －1n ＋k)．③1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1).④若等差数列{a n }的公差为d ，则1a n a n ＋1＝1d (1a n －1a n ＋1)；1a n a n ＋2＝12d (1a n －1a n ＋2)． ⑤1n (n ＋1)(n ＋2)＝12[1n (n ＋1)－1(n ＋1)(n ＋2)]．⑥1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .⑦1n ＋n ＋k ＝1k(n ＋k －n )．(2)公式法求和：要熟练掌握一些常见数列的前n 项和公式，如 ①1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2；②1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2；③12＋22＋32＋…＋n 2＝16n (n ＋1)(2n ＋1)．Y 易错警示i cuo jing shi1．公比为字母的等比数列求和时，注意公比是否为1的分类讨论． 2．错位相减法求和时易漏掉减数式的最后一项． 3．裂项相消法求和时易认为只剩下首尾两项． 4．裂项相消法求和时注意所裂式与原式的等价性．1．(2017·全国卷Ⅱ，3)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( B )A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏[解析] 设塔的顶层的灯数为a 1，七层塔的总灯数为S 7，公比为q ，则由题意知S 7＝381，q ＝2，∴S 7＝a 1(1－q 7)1－q ＝a 1(1－27)1－2＝381，解得a 1＝3.故选B ．2．(2017·全国卷Ⅰ，12)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20,21，再接下来的三项是20,21,22，依次类推．求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是( A )A ．440B ．330C ．220D ．110[解析] 设首项为第1组，接下来的两项为第2组，再接下来的三项为第3组，依此类推，则第n 组的项数为n ，前n 组的项数和为n (1＋n )2.由题意知，N >100，令n (1＋n )2>100⇒n ≥14且n ∈N *，即N 出现在第13组之后．第n 组的各项和为1－2n 1－2＝2n －1，前n 组所有项的和为2(1－2n )1－2－n ＝2n ＋1－2－n .设N 是第n ＋1组的第k 项，若要使前N 项和为2的整数幂，则N －n (1＋n )2项的和即第n ＋1组的前k 项的和2k －1应与－2－n 互为相反数，即2k －1＝2＋n (k ∈N *，n ≥14)，k ＝log 2(n ＋3)⇒n 最小为29，此时k ＝5，则N ＝29×(1＋29)2＋5＝440.故选A ．3．(2018·江苏卷，14)已知集合A ＝{x |x ＝2n －1，n ∈N *}，B ＝{x |x ＝2n ，n ∈N *}．将A ∪B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n }．记S n 为数列{a n }的前n 项和，则使得S n >12a n ＋1成立的n 的最小值为27.[解析] B ＝{2,4,8,16,32,64,128…}，与A 相比，元素间隔大，所以从S n 中加了几个B 中元素考虑，1个：n ＝1＋1＝2 S 2＝3,12a 3＝36 2个：n ＝2＋2＝4 S 4＝10,12a 5＝60 3个：n ＝4＋3＝7 S 7＝30,12a 8＝108 4个：n ＝8＋4＝12 S 12＝94,12a 13＝204 5个：n ＝16＋5＝21 S 21＝318,12a 22＝3966个：n ＝32＋6＝38 S 38＝1 150,12a 39＝780发现21≤n ≤38时S n －12a n ＋1与0的大小关系发生变化，以下采用二分法查找： S 30＝687,12a 31＝612，所以所求n 应在22～29之间， S 25＝462,12a 26＝492，所以所求n 应在25～29之间， S 27＝546,12a 28＝540，所以所求n 应在25～27之间， S 26＝503,12a 27＝516，因为S 27>12a 28，而S 26<12a 27，所以使得S n >12a n ＋1成立的n 的最小值为27. 4．(2017·全国卷Ⅱ，15)等差数列{a n }的前n 项和S n ，a 3＝3，S 4＝10，则∑k ＝1n1S k ＝2nn ＋1. [解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，则 由⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝a 1＋2d ＝3，S 4＝4a 1＋4×32d ＝10， 得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1. ∴S n ＝n ×1＋n (n －1)2×1＝n (n ＋1)2，1S n ＝2n (n ＋1)＝2(1n －1n ＋1)． ∴∑k ＝1n1S k ＝1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n＝2(1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1)＝2(1－1n ＋1)＝2nn ＋1. 5．(2018·全国卷Ⅲ，17)等比数列{}a n 中，a 1＝1，a 5＝4a 3. (1)求{a n }的通项公式．(2)记S n 为{a n }的前n 项和．若S m ＝63，求m . [解析] (1)设{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝q n －1.由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)，q ＝－2或q ＝2. 故a n ＝(－2)n－1或a n ＝2n －1.(2)若a n ＝(－2)n －1，则S n ＝1－(－2)n3.由S m ＝63得(－2)m ＝－188，此方程没有正整数解． 若a n ＝2n －1，则S n ＝2n －1.由S m ＝63得2m ＝64，解得m ＝6.综上，m ＝6.6．(2018·北京卷，15)设{a n }是等差数列，且a 1＝ln 2，a 2＋a 3＝5ln 2. (1)求{a n }的通项公式． (2)求e a 1＋e a 2＋…＋e a n .[解析] (1)由已知，设{a n }的公差为d ，则a 2＋a 3＝a 1＋d ＋a 1＋2d ＝2a 1＋3d ＝5ln 2，又a 1＝ln 2， 所以d ＝ln 2，所以{a n }的通项公式为a n ＝ln 2＋(n －1)ln 2＝n ln 2(n ∈N *)． (2)由(1)及已知，e a n ＝e n ln 2＝(e ln 2)n ＝2n ，所以e a 1＋e a 2＋…＋e a n ＝21＋22＋ (2)＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2(n ∈N *)．命题方向1 求数列的通项公式例1 (1)已知正项数列{a n }满足a 1＝1，(n ＋2)a 2n ＋1－(n ＋1)a 2n ＋a n a n ＋1＝0，则它的通项公式为( B )A ．a n ＝1n ＋1B ．a n ＝2n ＋1C ．a n ＝n ＋12D ．a n ＝n[解析] 由(n ＋2)a 2n ＋1－(n ＋1)a 2n ＋a n a n ＋1＝0，得[(n ＋2)a n ＋1－(n ＋1)a n ]·(a n ＋1＋a n )＝0，又a n >0，所以(n ＋2)a n ＋1＝(n ＋1)a n ，即a n ＋1a n ＝n ＋1n ＋2，a n ＋1＝n ＋1n ＋2·a n ，所以a n ＝n n ＋1·n －1n ·…·23a 1＝2n ＋1a 1(n ≥2)，所以a n ＝2n ＋1(n ＝1适合)，于是所求通项公式为a n ＝2n ＋1.(2)(2017·厦门二模)若数列{a n }的前n 项和为S n ＝23a n ＋13，则数列{a n }的通项公式为( B )A ．a n ＝－2n －1B ．a n ＝(－2)n －1C ．a n ＝(－2)nD ．a n ＝－2n[解析] 由a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，得a n ＝23a n －23a n －1.所以a n ＝－2a n －1.又可以得到a 1＝1，所以a n ＝(－2)n －1(n ≥2)．又a 1＝(－2)1－1＝1，所以a n ＝(－2)n －1.『规律总结』求数列通项公式的常见类型及方法(1)归纳猜想法：已知数列的前几项，求数列的通项公式，可采用归纳猜想法．(2)已知S n 与a n 的关系，利用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，求a n .(3)累加法：数列递推关系形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，其中数列{f (n )}前n 项和可求，这种类型的数列求通项公式时，常用累加法(叠加法)．(4)累乘法：数列递推关系形如a n ＋1＝g (n )a n ，其中数列{g (n )}前n 项可求积，此数列求通项公式一般采用累乘法(叠乘法)．(5)构造法：①递推关系形如a n ＋1＝pa n ＋q (p ，q 为常数)可化为a n ＋1＋qp －1＝p (a n ＋q p －1)(p ≠1)的形式，利用{a n ＋qp －1}是以p 为公比的等比数列求解； ②递推关系形如a n ＋1＝pa n a n ＋p (p 为非零常数)可化为1a n ＋1－1a n ＝1p的形式．G 跟踪训练en zong xun lian1．若数列{a n }满足a 1＝0,2a n ＝1＋a n a n －1(n ≥2，n ∈N *)，则a 2019＝20182019.[解析] 当n ≥2时，因为2a n ＝1＋a n a n －1， 所以(1－a n －1)－(1－a n )＝1－a n －a n －1＋a n a n －1， 所以(1－a n －1)－(1－a n )＝(1－a n )(1－a n －1)， 所以11－a n －11－a n －1＝1，因为a 1＝0，所以11－a 1＝1， 所以{11－a n }是首项为1，公差为1的等差数列，所以11－a n＝1＋(n －1)＝n ，所以11－a 2019＝2019，解得a 2019＝20182019.2．设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列{1a n }前10项的和为2011.[解析] 由a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)得，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n－a n －1)＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，则1a n ＝2n (n ＋1)＝2(1n －1n ＋1)，故数列{1a n}前10项的和S 10＝2(1－12＋12－13＋…＋110－111)＝2(1－111)＝2011.命题方向2数列求和问题(一)分组转化法求和例2 设数列{a n}满足a1＝2，a2＋a4＝8，且对任意n∈N*，函数f(x)＝(a n－a n＋1＋a n＋2)x＋a n＋1cos x－a n＋2sin x满足f′(π2)＝0.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n＝2(a n＋12a n)，求数列{b n}的前n项和S n.[解析](1)由题设可得f′(x)＝a n－a n＋1＋a n＋2－a n＋1sin x－a n＋2cos x.对任意n∈N*，f′(π2)＝a n－a n＋1＋a n＋2－a n＋1＝0，即a n＋1－a n＝a n＋2－a n＋1，故{a n}为等差数列．由a1＝2，a2＋a4＝8，解得{a n}的公差d＝1，所以a n＝2＋1·(n－1)＝n＋1.(2)因为b n＝2(a n＋12a n)＝2(n＋1＋12n＋1)＝2n＋12n＋2，所以S n＝b1＋b2＋…＋b n＝(2＋2＋…＋2)＋2(1＋2＋…＋n)＋(12＋122＋…＋12n)＝2n＋2·n(n＋1)2＋12[1－(12)n]1－12＝n2＋3n＋1－12n.(二)裂项相消法求和例3 (2017·全国卷Ⅲ，17)设数列{a n}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)a n＝2n.(1)求{a n}的通项公式；(2)求数列{a n2n＋1}的前n项和．[解析](1)因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)a n＝2n，故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)a n－1＝2(n－1)，两式相减得(2n－1)a n＝2，所以a n ＝22n －1(n ≥2)．又由题设可得a 1＝2，满足上式， 所以{a n }的通项公式为a n ＝22n －1. (2)记{a n2n ＋1}的前n 项和为S n . 由(1)知a n 2n ＋1＝2(2n ＋1)(2n －1)＝12n －1－12n ＋1，则S n ＝11－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝2n 2n ＋1. (三)错位相减法求和例4 (2018·郴州二模)已知等差数列{a n }，满足：a n ＋1>a n (n ∈N *)，a 1＝1，该数列的前三项分别加上1,1,3后成等比数列，a n ＋2log 2b n ＝－1.(1)分别求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .[解析] (1)设d 为等差数列{a n }的公差，且d >0，由a 1＝1，a 2＝1＋d ，a 3＝1＋2d ，分别加上1,1,3后成等比数列， 得(2＋d )2＝2(4＋2d )， 因为d >0，所以d ＝2， 所以a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. 又因为a n ＝－1－2log 2b n ， 所以log 2b n ＝－n ，即b n ＝12n .(2)T n ＝121＋322＋523＋…＋2n －12n ①，12T n ＝122＋323＋524＋…＋2n －12n ＋1②， ①－②，得12T n ＝12＋2×(122＋123＋124＋…＋12n )－2n －12n ＋1.所以T n ＝1＋1－12n －11－12－2n －12n＝3－12n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n .(四)奇(偶)数项和问题例5 (2018·潍坊二模)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝8，S 4＝40；数列{}b n 的前n 项和为T n ，且T n －2b n ＋3＝0，n ∈N *.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式．(2)设c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数， 求数列{c n }的前n 项和P n .[解析] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意，⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝8，4a 1＋6d ＝40，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，d ＝4，所以a n ＝4n ，因为T n －2b n ＋3＝0，所以当n ＝1时，b 1＝3， 当n ≥2时，T n －1－2b n －1＋3＝0， 两式相减，得b n ＝2b n －1(n ≥2)， 数列{}b n 为等比数列，所以b n ＝3·2n －1.(2)c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4n ，n 为奇数，3·2n －1，n 为偶数.当n 为偶数时，P n ＝(a 1＋a 3＋…＋a n －1)＋(b 2＋b 4＋…＋b n ) ＝(4＋4n －4)·n 22＋6(1－4n 2)1－4＝2n ＋1＋n 2－2.当n 为奇数时， 方法一：n －1为偶数， P n ＝P n －1＋c n ＝2(n －1)＋1＋(n －1)2－2＋4n ＝2n ＋n 2＋2n －1.方法二：P n ＝(a 1＋a 3＋…＋a n －2＋a n )＋(b 2＋b 4＋…＋b n －1) ＝(4＋4n )·n ＋122＋6⎝⎛⎭⎫1－4n －121－4＝2n ＋n 2＋2n －1.所以P n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋1＋n 2－2，n 为偶数，2n ＋n 2＋2n －1，n 为奇数. 『规律总结』1．分组求和的常见方法 (1)根据等差、等比数列分组．(2)根据正号、负号分组，此时数列的通项式中常会有(－1)n 等特征． 2．裂项相消的规律(1)裂项系数取决于前后两项分母的差．(2)裂项相消后前、后保留的项数一样多． 3．错位相减法的关注点(1)适用题型：等差数列{a n }与等比数列{b n }对应项相乘{a n ·b n }型数列求和． (2)步骤：①求和时先乘以数列{b n }的公比． ②把两个和的形式错位相减． ③整理结果形式． 4．分奇偶的求和问题如果数列的奇数项与偶数项有不同的规律，当n 为奇数或偶数时S n 的表达式不一样，因此需要分奇偶分别求S n .(1)分组直接求和：相邻的奇偶项合并为一项，组成一个新的数列b n ，用S ′n 表示其前n 项和，则S n＝⎩⎨⎧S ′n2，n 为偶数，S ′n －12＋a n，n 为奇数.(2)分奇偶转化求和：先令n 为偶数，求出其前n 项和S n ；当n 为奇数时，S n ＝S n －1＋a n .G 跟踪训练en zong xun lian(文)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1. (1)求数列{b n }的通项公式；(2)令c n ＝(a n ＋1)n ＋1(b n ＋2)n.求数列{c n }的前n 项和T n .[解析] (1)由题意知当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n ＋5， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝11，所以a n ＝6n ＋5.设数列{b n }的公差为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝b 1＋b 2，a 2＝b 2＋b 3，得⎩⎪⎨⎪⎧11＝2b 1＋d ，17＝2b 1＋3d ， 可解得b 1＝4，d ＝3. 所以b n ＝3n ＋1.(2)由(1)知c n ＝(6n ＋6)n ＋1(3n ＋3)n ＝3(n ＋1)·2n ＋1. 又T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，所以T n ＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n ＋1)×2n ＋1]，2T n ＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n ＋1)×2n ＋2]，两式作差，得－T n ＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n ＋1－(n ＋1)×2n ＋2]＝3×[4＋4(1－2n )1－2－(n＋1)×2n ＋2]＝－3n ·2n ＋2，所以T n ＝3n ·2n ＋2.(理)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知2S n ＝3n ＋3. (1)求{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n b n ＝log 3a n ，求{b n }的前n 项和T n . [解析] (1)因为2S n ＝3n ＋3， 所以2a 1＝3＋3，故a 1＝3. 当n ＞1时，2S n －1＝3n －1＋3，此时2a n ＝2S n －2S n －1＝3n －3n －1＝2×3n －1，即a n ＝3n －1，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3， n ＝1，3n －1，n ＞1.(2)因为a n b n ＝log 3a n ，所以b 1＝13.当n ＞1时，b n ＝31－n log 33n －1＝(n －1)·31－n .所以T 1＝b 1＝13；当n ＞1时，T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝13＋[]1×3－1＋2×3－2＋…＋(n －1)×31－n， 所以3T n ＝1＋[1×30＋2×3－1＋…＋(n －1)×32－n ]．两式相减，得2T n ＝23＋(30＋3－1＋3－2＋…＋32－n )－(n －1)×31－n＝23＋1－31－n1－3－1－(n －1)×31－n ＝136－6n ＋32×3n， 所以T n ＝1312－6n ＋34×3n .经检验，n ＝1时也适合． 综上可得T n ＝1312－6n ＋34×3n.命题方向3 数列与函数、不等式的综合问题(一)数列与函数的综合例6 设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图象上(n ∈N *)．(1)若a 1＝－2，点(a 8,4b 7)在函数f (x )的图象上，求数列{a n }的前n 项和S n ； (2)若a 1＝1，函数f (x )的图象在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，求数列{a nb n}的前n 项和T n .[解析] (1)由已知得，b 7＝2a 7，b 8＝2a 8＝4b 7， 有2a 8＝4×2a 7＝2a 7＋2. 解得d ＝a 8－a 7＝2.所以S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－2n ＋n (n －1)＝n 2－3n .(2)f ′(x )＝2x ln 2，f ′(a 2)＝2a 2ln 2，故函数f (x )＝2x 在(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝2a 2ln 2(x －a 2)，它在x 轴上的截距为a 2－1ln 2.由题意得，a 2－1ln 2＝2－1ln 2，解得a 2＝2. 所以d ＝a 2－a 1＝1. 从而a n ＝n ，b n ＝2n .所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n 2n ，2T n ＝11＋22＋322＋…＋n2n －1.因此，2T n －T n ＝12＋122＋…＋12n －1－n 2n＝2－12n －1－n2n＝2n ＋1－n －22n.所以T n ＝2n ＋1－n －22n.(二)数列与不等式的综合例7 (文)设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝2，对任意n ∈N *，都有2S n ＝(n ＋1)a n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{4a n (a n ＋2)}的前n 项和为T n ，求证：12≤T n <1.[解析] (1)因为2S n ＝(n ＋1)a n ， 当n ≥2时，2S n －1＝na n －1， 两式相减得2a n ＝(n ＋1)a n －na n －1，即(n －1)a n ＝na n －1， 所以当n ≥2时，a n n ＝a n －1n －1，所以a n n ＝a 11.因为a 1＝2，所以a n ＝2n . (2)证明：因为a n ＝2n ，令b n ＝42n (2n ＋2)＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.所以T 1＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)＝1－1n ＋1＝nn ＋1.因为1n ＋1>0，所以1－1n ＋1<1.因为f (n )＝1n ＋1在N *上是递减函数，所以1－1n ＋1在N *上是递增的，所以当n ＝1时，T n 取最小值12.所以12≤T n <1.(理)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1 (1)证明{a n ＋12}是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.[解析] (1)证明：由a n ＋1＝3a 1＋1， 得a n ＋1＋12＝3(a n ＋12)．又a 1＋12＝32，所以{a n ＋12}是首项为32，公比为3的等比数列．a n ＋12＝3n2，因此{a n }的通项公式为a n ＝3n －12.(2)由(1)知1a n ＝23n －1.因为当n ≥1时，3n －1≥2×3n －1，所以13n －1≤12×3n －1.于是1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤1＋13＋…＋13n －1＝32(1－13n )<32. 所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.『规律总结』1．数列与函数、不等式的综合问题的常见题型 (1)数列与函数的综合问题主要有以下两类：①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题； ②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．(2)数列常与不等式结合，如比较大小、不等式恒成立、求参数范围等问题，需要熟练应用不等式知识解决数列中的相关问题．2．解决数列与函数综合问题的注意点(1)数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集，而不是某个区间上的连续实数，所以它的图象是一群孤立的点．(2)转化以函数为背景的条件时，应注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是非常容易忽视的问题．(3)利用函数的方法研究数列中相关问题时，应准确构造函数，注意数列中相关限制条件的转化．A 组1．设{a n }的首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1＝( D )A ．2B ．－2C ．12D ．－12[解析] 由题意知S 1＝a 1，S 2＝2a 1－1，S 4＝4a 1－6， 因为S 1，S 2，S 4成等比数列，所以S 22＝S 1·S 4，即(2a 1－1)2＝a 1(4a 1－6)， 解得a 1＝－12.故选D ．2．若数列{a n }为等比数列，且a 1＝1，q ＝2，则T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1等于( B )A ．1－14nB ．23(1－14n )C ．1－12nD ．23(1－12n )[解析] 因为a n ＝1×2n －1＝2n －1，所以a n ·a n ＋1＝2n －1·2n ＝2×4n －1，所以1a n a n ＋1＝12×(14)n －1，所以{1a n a n ＋1}也是等比数列，所以T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝12×1×(1－14n )1－14＝23(1－14n )，故选B ．3．(2018·烟台模拟)已知等差数列{a n }中，a 2＝6，a 5＝15，若b n ＝a 2n ，则数列{b n }的前5项和等于( C )A ．30B ．45C ．90D ．186[解析] 设{a n }的公差为d ，首项为a 1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝6，a 1＋4d ＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝3，所以a n ＝3n ，所以b n ＝a 2n ＝6n ，且b 1＝6，公差为6， 所以S 5＝5×6＋5×42×6＝90.4．等差数列{a n }中，a 1>0，公差d <0，S n 为其前n 项和，对任意自然数n ，若点(n ，S n )在以下4条曲线中的某一条上，则这条曲线应是( C )[解析] ∵S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，∴S n ＝d 2n 2＋(a 1－d2)n ，又a 1>0，公差d <0，所以点(n ，S n )所在抛物线开口向下，对称轴在y 轴右侧．[点评] 可取特殊数列验证排除，如a n ＝3－n .5．定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f (x )，如果对于任意给定的等比数列{a n }，{f (a n )}仍是等比数列，则称f (x )为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：①f (x )＝x 2; ②f (x )＝2x ； ③f (x )＝|x |； ④f (x )＝ln|x |.则其中是“保等比数列函数”的f (x )的序号为( C )A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④[分析] 保等比数列函数指：①定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数；②若{a n }是等比数列，则{f (a n )}仍是等比数列．[解析] 解法一：设{a n }的公比为q . ①f (a n )＝a 2n ，∵a 2n ＋1a 2n ＝(a n ＋1a n )2＝q 2，∴{f (a n )}是等比数列，排除B 、D ． ③f (a n )＝|a n |， ∵|a n ＋1||a n |＝|a n ＋1a n|＝|q |， ∴{f (a n )}是等比数列，排除A ． 解法二：不妨令a n ＝2n .①因为f (x )＝x 2，所以f (a n )＝a 2n ＝4n .显然{f (a n )}是首项为4，公比为4的等比数列．②因为f (x )＝2x ，所以f (a 1)＝f (2)＝22，f (a 2)＝f (4)＝24， f (a 3)＝f (8)＝28，所以f (a 2)f (a 1)＝2422＝4≠f (a 3)f (a 2)＝2824＝16，所以{f (a n )}不是等比数列．③因为f (x )＝|x |，所以f (a n )＝2n ＝(2)n . 显然{f (a n )}是首项为2，公比为2的等比数列． ④因为f (x )＝ln|x |，所以f (a n )＝ln2n ＝n ln2.显然{f (a n )}是首项为ln2，公差为ln2的等差数列，故选C ．6．(2018·邵阳一模)已知数列{b n }为等比数列，且b 1 009＝e(e 为自然对数的底数)，数列{a n }的首项为1，且a n ＋1＝a n ·b n ，则ln a 2 018的值为2_017.[解析] 因为数列{b n }为等比数列，且b 1 009＝e(e 为自然对数的底数)，数列{a n }的首项为1，且a n ＋1＝a n ·b n ，所以a 2 018＝b 1·b 2·b 3·b 4·…·b 2 017＝b 2 0171 009＝e2 017，ln a 2 018＝lne 2 017＝2 017.7．已知数列{a n }是等比数列，其公比为2，设b n ＝log 2a n ，且数列{b n }的前10项的和为25，那么1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 10的值为1 023128.[解析] 数列{a n }是等比数列，其公比为2， 设b n ＝log 2a n ，且数列{b n }的前10项的和为25，所以b 1＋b 2＋…＋b 10 ＝log 2(a 1·a 2·…·a 10)＝log 2(a 10121＋2＋…＋9)＝25，所以a 101×245＝225，可得：a 1＝14. 那么1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 10＝4(1＋12＋122＋ (129)＝4×1－12101－12＝1 023128.8．已知等比数列{a n }的公比q >1,42是a 1和a 4的一个等比中项，a 2和a 3的等差中项为6，若数列{b n }满足b n ＝log 2a n (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n b n }的前n 项和S n .[解析] (1)因为42是a 1和a 4的一个等比中项， 所以a 1·a 4＝(42)2＝32.由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2·a 3＝32，a 2＋a 3＝12. 因为q >1，所以a 3>a 2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，a 3＝8.所以q ＝a 3a 2＝2.故数列{a n }的通项公式a n ＝2n .(2)由于b n ＝log 2a n (n ∈N *)，所以a n b n ＝n ·2n ， S n ＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n ，①2S n ＝1·22＋2·23＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1.②①－②得，－S n ＝1·2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝2(1－2n )1－2－n ·2n ＋1.所以S n ＝2－2n ＋1＋n ·2n ＋1＝2＋(n －1)·2n ＋1.9．(文)(2018·天津卷，18)设{a n }是等差数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)；{b n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为T n (n ∈N *)．已知b 1＝1，b 3＝b 2＋2，b 4＝a 3＋a 5，b 5＝a 4＋2a 6.(1)求S n 和T n ；(2)若S n ＋(T 1＋T 2＋…＋T n )＝a n ＋4b n ，求正整数n 的值．[解析] (1)设等比数列{b n }的公比为q ，由b 1＝1，b 3＝b 2＋2，可得q 2－q －2＝0.因为q >0，可得q ＝2，故b n ＝2n －1.所以T n ＝1－2n 1－2＝2n－1.设等差数列{a n }的公差为d .由b 4＝a 3＋a 5，可得a 1＋3d ＝4. 由b 5＝a 4＋2a 6，可得3a 1＋13d ＝16，从而a 1＝1，d ＝1，故a n ＝n ，所以S n ＝n (n ＋1)2.(2)由(1)，知T 1＋T 2＋…＋T n ＝(21＋22＋…＋2n )－n ＝2n ＋1－n －2.由S n ＋(T 1＋T 2＋…＋T n )＝a n ＋4b n 可得n (n ＋1)2＋2n ＋1－n －2＝n ＋2n ＋1，整理得n 2－3n －4＝0，解得n ＝－1(舍)，或n ＝4.所以n 的值为4.(理)(2018·天津卷，18)设{a n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为S n (n ∈N *)，{b n }是等差数列. 已知a 1＝1，a 3＝a 2＋2，a 4＝b 3＋b 5，a 5＝b 4＋2b 6.(1)求{a n }和{b n }的通项公式．(2)设数列{S n }的前n 项和为T n (n ∈N *)， ①求T n ； ②证明[解析] (1)设等比数列{a n }的公比为q .由a 1＝1，a 3＝a 2＋2，可得q 2－q －2＝0. 因为q >0，可得q ＝2，故a n ＝2n －1.设等差数列{b n }的公差为d ，由a 4＝b 3＋b 5，可得b 1＋3d ＝4.由a 5＝b 4＋2b 6，可得3b 1＋13d ＝16，从而b 1＝1，d ＝1，故b n ＝n .所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，数列{b n }的通项公式为b n ＝n .(2)①由(1)，有S n ＝1－2n 1－2＝2n －1，故T n ＝∑k ＝1n (2k －1)＝∑k ＝1n2k－n ＝2×(1－2n )1－2－n ＝2n ＋1－n －2. ②因为(T k ＋b k ＋2)b k (k ＋1)(k ＋2)＝(2k ＋1－k －2＋k ＋2)k(k ＋1)(k ＋2)＝k ·2k ＋1(k ＋1)(k ＋2)＝2k ＋2k ＋2－2k ＋1k ＋1，B 组1．设S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，S 1，S 2，S 4成等比数列，且a 3＝－52，则数列{1(2n ＋1)a n}的前n 项和T n ＝( C )A ．－n2n ＋1B ．n 2n ＋1C ．－2n2n ＋1D ．2n2n ＋1[解析] 本题主要考查等差、等比数列的性质以及裂项法求和．设{a n }的公差为d ，因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋d ＝2a 1＋a 3－a 12＝32a 1－54，S 4＝3a 3＋a 1＝a 1－152， 因为S 1，S 2，S 4成等比数列，所以(32a 1－54)2＝(a 1－152)a 1，整理得4a 21＋12a 1＋5＝0，所以a 1＝－52或a 1＝－12. 当a 1＝－52时，公差d ＝0不符合题意，舍去；当a 1＝－12时，公差d ＝a 3－a 12＝－1，所以a n ＝－12＋(n －1)×(－1)＝－n ＋12＝－12(2n －1)，所以1(2n ＋1)a n ＝－2(2n －1)(2n ＋1)＝－(12n －1－12n ＋1)，所以其前n 项和T n ＝－(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝－(1－12n ＋1)＝－2n2n ＋1，故选C ．2．(文)以S n 表示等差数列{a n }的前n 项和，若S 5>S 6，则下列不等关系不一定成立的是( D )A ．2a 3>3a 4B ．5a 5>a 1＋6a 6C ．a 5＋a 4－a 3<0D ．a 3＋a 6＋a 12<2a 7[解析] 依题意得a 6＝S 6－S 5<0,2a 3－3a 4＝2(a 1＋2d )－3(a 1＋3d )＝－(a 1＋5d )＝－a 6>0,2a 3>3a 4；5a 5－(a 1＋6a 6)＝5(a 1＋4d )－a 1－6(a 1＋5d )＝－2(a 1＋5d )＝－2a 6>0,5a 5>a 1＋6a 6；a 5＋a 4－a 3＝(a 3＋a 6)－a 3＝a 6<0.综上所述，故选D ．(理)已知a n ＝32n －11，数列{a n }的前n 项和为S n ，关于a n 及S n 的叙述正确的是( C )A ．a n 与S n 都有最大值B ．a n 与S n 都没有最大值C ．a n 与S n 都有最小值D ．a n 与S n 都没有最小值[解析] 画出a n ＝32n －11的图象，点(n ，a n )为函数y ＝32x －11图象上的一群孤立点，(112，0)为对称中心，S 5最小，a 5最小，a 6最大．3．已知正数组成的等差数列{a n }，前20项和为100，则a 7·a 14的最大值是( A ) A ．25 B ．50 C ．100D ．不存在[解析] ∵S 20＝a 1＋a 202×20＝100，∴a 1＋a 20＝10.∵a 1＋a 20＝a 7＋a 14，∴a 7＋a 14＝10.∵a n >0，∴a 7·a 14≤(a 7＋a 142)2＝25.当且仅当a 7＝a 14时取等号．4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( B ) A ．2n －1B ．(32)n －1C ．(23)n －1D ．12n －1[解析] 由S n ＝2a n ＋1得S n ＝2(S n ＋1－S n )，即2S n ＋1＝3S n ， ∴S n ＋1S n ＝32， ∵a 1＝1，S 1＝2a 2，∴a 2＝12a 1＝12，∴S 2＝32，∴S 2S 1＝32，∴S n ＝(32)n －1. 5．(2018·山东省实验中学调研)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1n )，则a n ＝( A )A ．2＋ln nB ．2＋(n －1)ln nC ．2＋n ln nD ．1＋n ＋ln n[解析] a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝ln n －ln(n －1)＋ln(n －1)－ln(n －2)＋…＋ln2－ln1＋2＝2＋ln n .6．(2018·西安一模)已知数列{a n }的通项公式a n ＝log 2nn ＋1(n ∈N *)，设其前n 项和为S n ，则使S n <－4成立的最小自然数n 的值为16.[解析] 因为a n ＝log 2n n ＋1， 所以S n ＝log 212＋log 223＋log 234＋…＋log 2n n ＋1＝log 2(12·23·34·…·n n ＋1)＝log 21n ＋1， 若S n <－4，则1n ＋1<116，即n >15， 则使S n <－4成立的最小自然数n 的值为16.7．如图所示，将正整数排成三角形数阵，每排的数称为一个群，从上到下顺次为第一群，第二群，…，第n 群，…，第n 群恰好n 个数，则第n 群中n 个数的和是3·2n －2n －3.[解析] 由图规律知，第n 行第1个数为2n －1，第2个数为3·2n －2，第3个数为5·2n －3……设这n 个数的和为S则S ＝2n －1＋3·2n －2＋5×2n －3＋…＋(2n －3)·2＋(2n －1)·20 ① 2S n ＝2n ＋3·2n －1＋5·2n －2＋…＋(2n －3)·22＋(2n －1)·21 ② ②－①得S n ＝2n ＋2·2n －1＋2·2n －2＋…＋2·22＋2·2－(2n －1) ＝2n ＋2n ＋2n －1＋…＋23＋22－(2n －1) ＝2n＋4(1－2n －1)1－2－(2n －1) ＝2n ＋2n ＋1－4－2n ＋1 ＝3·2n －2n －3.8．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数．(1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．[分析] (1)利用a n ＋1＝S n ＋1－S n 用配凑法可获证；(2)假设存在λ，则a 1，a 2，a 3应成等差数列求出λ的值，然后依据a n ＋2－a n ＝λ推证{a n }为等差数列．[解析] (1)由题设：a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1，两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1.由于a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ.(2)由题设，a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得a 2＝λ－1.由(1)知，a 3＝λ＋1，令2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4.故a n ＋2－a n ＝4，由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n －1＝4n －3； {a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1. 所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2.因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列．9．已知数列{a n }满足a n ＋1＝－1a n ＋2，a 1＝－12. (1)求证{1a n ＋1}是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式；(3)设T n ＝a n ＋a n ＋1＋…＋a 2n －1.若T n ≥p －n 对任意的n ∈N *恒成立，求p 的最大值．[解析] (1)证明：∵a n ＋1＝－1a n ＋2， ∴a n ＋1＋1＝－1a n ＋2＋1＝a n ＋2－1a n ＋2＝a n ＋1a n ＋2， 由于a n ＋1≠0，∴1a n ＋1＋1＝a n ＋2a n ＋1＝1＋1a n ＋1， ∴{1a n ＋1}是以2为首项，1为公差的等差数列． (2)由(1)题结论知：1a n ＋1＝2＋(n －1)＝n ＋1， ∴a n ＝1n ＋1－1＝－n n ＋1(n ∈N *)． (3)∵T n ＝a n ＋a n ＋1＋…＋a 2n －1≥P －n ，∴n ＋a n ＋a n ＋1＋…＋a 2n －1≥P ，即(1＋a n )＋(1＋a n ＋1)＋(1＋a n ＋2)＋…＋(1＋a 2n －1)≥p ，对任意n ∈N *恒成立，而1＋a n ＝1n ＋1， 设H (n )＝(1＋a n )＋(1＋a n ＋1)＋…＋(1＋a 2n －1)，∴H (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ， H (n ＋1)＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋12n ＋2， ∴H (n ＋1)－H (n )＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2>0， ∴数列{H (n )}单调递增，∴n ∈N *时，H (n )≥H (1)＝12，故P ≤12.1∴P的最大值为2.。