作业19【2021衡水中学高考一轮总复习 理科数学(新课标版)】

题组层级快练(十五)1．y ＝ln 1x 的导函数为( )A ．y ′＝－1xB ．y ′＝1xC ．y ′＝lnxD ．y ′＝－ln(－x)答案 A解析 y ＝ln 1x ＝－lnx ，∴y ′＝－1x.2．若曲线y ＝f(x)在点(x 0，f(x 0))处的切线方程为2x ＋y －1＝0，则( ) A ．f ′(x 0)>0 B ．f ′(x 0)<0 C ．f ′(x 0)＝0 D ．f ′(x 0)不存在 答案 B解析 切线方程为y ＝－2x ＋1，∴f ′(x 0)＝－2<0，故选B. 3．曲线y ＝x ＋1x －1在点(3，2)处的切线的斜率是( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－12答案 D解析 y ′＝（x ＋1）′（x －1）－（x ＋1）（x －1）′（x －1）2＝－2（x －1）2，故曲线在(3，2)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝3＝－2（3－1）2＝－12，故选D.4．(2019·课标全国Ⅱ)曲线y ＝2sinx ＋cosx 在点(π，－1)处的切线方程为( ) A ．x －y －π－1＝0 B ．2x －y －2π－1＝0 C ．2x ＋y －2π＋1＝0 D ．x ＋y －π＋1＝0答案 C解析 依题意得y ′＝2cosx －sinx ，y ′ |x ＝π＝2cos π－sin π＝－2，因此所求的切线方程为y ＋1＝－2(x －π)，即2x ＋y －2π＋1＝0.故选C.5．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－32t 2＋2t ，那么速度为零的时刻是( )A ．0秒B ．1秒末C ．2秒末D ．1秒末和2秒末答案 D解析 ∵s ＝13t 3－32t 2＋2t ，∴v ＝s ′(t)＝t 2－3t ＋2.令v ＝0，得t 2－3t ＋2＝0，t 1＝1或t 2＝2.6．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(e x )＝x ＋e x ，则f ′(2 019)＝( ) A ．1 B ．2 C.12 019 D.2 0202 019答案 D解析 令e x ＝t ，则x ＝lnt ，所以f(t)＝lnt ＋t ，故f(x)＝lnx ＋x. 求导得f ′(x)＝1x ＋1，故f ′(2 019)＝12 019＋1＝2 0202 019.故选D.7．(2020·沧州七校联考)过点(－1，1)的直线l 与曲线f(x)＝x 3－x 2－2x ＋1相切，且(－1，1)不是切点，则直线l 的斜率是( ) A ．2 B ．1 C ．－1 D ．－2 答案 C解析 设切点为(a ，b)，∵f(x)＝x 3－x 2－2x ＋1，∴b ＝a 3－a 2－2a ＋1.∵f ′(x)＝3x 2－2x －2，则直线l 的斜率k ＝f ′(a)＝3a 2－2a －2，则切线方程为y －(a 3－a 2－2a ＋1)＝(3a 2－2a －2)(x －a)， ∵点(－1，1)在切线上，∴1－(a 3－a 2－2a ＋1)＝(3a 2－2a －2)(－1－a)． 整理得(a ＋1)·(a 2－1)＝0⇒a ＝1或a ＝－1. 当a ＝1时，b ＝－1，此时切点为(1，－1)； 当a ＝－1时，b ＝1，此时切点为(－1，1)不合题意； ∴a ＝1，此时直线l 的斜率k ＝f ′(1)＝－1.故选C.8．已知曲线f(x)＝ax 2x ＋1在点(1，f(1))处切线的斜率为1，则实数a 的值为( )A.32 B ．－32C ．－34D.43 答案 D解析 由f ′(x)＝2ax （x ＋1）－ax 2（x ＋1）2＝ax 2＋2ax （x ＋1）2，得f ′(1)＝3a 4＝1，解得a ＝43.故选D.9．已知函数f(x)＝12x 2sinx ＋xcosx ，则其导函数f ′(x)的图象大致是( )答案 C解析 由f(x)＝12x 2sinx ＋xcosx ，得f ′(x)＝xsinx ＋12x 2cosx ＋cosx －xsinx ＝12x 2cosx ＋cosx.由此可知，f ′(x)是偶函数，其图象关于y 轴对称，排除选项A 、B.又f ′(0)＝1.故选C.10．(2019·河南息县高中月考)若点P 是曲线y ＝x 2－lnx 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2距离的最小值为( ) A ．1 B. 2 C.22D. 3答案 B解析 当过点P 的直线平行于直线y ＝x －2且与曲线y ＝x 2－lnx 相切时，切点P 到直线y ＝x －2的距离最小．对函数y ＝x 2－lnx 求导，得y ′＝2x －1x .由2x －1x ＝1，可得切点坐标为(1，1)，故点(1，1)到直线y ＝x －2的距离为2，即为所求的最小值．故选B.11．(2020·成都市二诊)已知直线l 既是曲线C 1：y ＝e x 的切线，又是曲线C 2：y ＝14e 2x 2的切线，则直线l 在x 轴上的截距为( ) A ．2 B ．1 C ．e 2 D ．－e 2答案 B解析 设直线l 与曲线C 1：y ＝e x 的切点为A(x 1，ex 1)，与曲线C 2：y ＝14e 2x 2的切点为B ⎝⎛⎭⎫x 2，14e 2x 22.由y ＝e x ，得y ′＝e x ，所以曲线C 1在点A 处的切线方程为y －ex 1＝ex 1(x －x 1)，即y ＝ex 1x －ex 1(x 1－1)①.由y ＝14e 2x 2，得y ′＝12e 2x ，所以曲线C 2在点B 处的切线方程为y －14e 2x 22＝12e 2x 2(x －x 2)，即y ＝12e 2x 2x －14e 2x 22②. 因为①②表示的切线为同一直线，所以⎩⎨⎧ex 1＝12e 2x 2，ex 1（x 1－1）＝14e 2x 22，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2，x 2＝2，所以直线l 的方程为y ＝e 2x －e 2，令y ＝0，可得直线l 在x 上的截距为1.故选B. 12．(1)y ＝x·tanx 的导数为y ′＝________． 答案 tanx ＋xcos 2x解析 y ′＝(x·tanx)′＝x ′tanx ＋x(tanx)′＝tanx ＋x·⎝⎛⎭⎫sinx cosx ′＝tanx ＋x·cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝tanx ＋x cos 2x . (2)已知函数f(x)＝x(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)，则f ′(0)＝________． 答案 －120解析 f ′(x)＝(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)＋x[(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)]′，所以f ′(0)＝(－1)×(－2)×(－3)×(－4)×(－5)＝－120.(3)已知y ＝13x 3－x －1＋1，则其导函数的值域为________．答案 [2，＋∞)13．(2020·河北邯郸二模)曲线y ＝log 2x 在点(1，0)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于________． 答案12ln2解析 ∵y ′＝1xln2，∴k ＝y ′|x ＝1＝1ln2. ∴切线方程为y ＝1ln2(x －1)． ∴三角形面积为S △＝12×1×1ln2＝12ln2.14．(2020·湖北宜昌一中月考)若抛物线y ＝x 2－x ＋c 上的一点P 的横坐标是－2，抛物线过点P 的切线恰好过坐标原点，则实数c 的值为________． 答案 4解析 ∵y ′＝2x －1，∴y ′|x ＝－2＝－5. 又P(－2，6＋c)，∴6＋c－2＝－5.∴c ＝4.15．(2019·重庆巴蜀期中)曲线f(x)＝lnx ＋12x 2＋ax 存在与直线3x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，1]解析 由题意，得f ′(x)＝1x ＋x ＋a ，故存在切点P(t ，f(t))，使得1t ＋t ＋a ＝3，所以3－a ＝1t ＋t 有解．因为t>0，所以3－a ≥2(当且仅当t ＝1时取等号)，即a ≤1. 16．设f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f(x)＝2x 2. (1)求x<0时，f(x)的表达式；(2)令g(x)＝lnx ，问是否存在x 0，使得f(x)，g(x)在x ＝x 0处的切线互相平行？若存在，求出x 0的值；若不存在，请说明理由． 答案 (1)f(x)＝－2x 2(x<0) (2)存在，x 0＝12解析 (1)当x<0时，－x>0， f(x)＝－f(－x)＝－2(－x)2＝－2x 2. ∴当x<0时，f(x)的表达式为f(x)＝－2x 2.(2)若f(x)，g(x)在x 0处的切线互相平行，则f ′(x 0)＝g ′(x 0)，因为x>0，所以f ′(x 0)＝4x 0＝g ′(x 0)＝1x 0，解得，x 0＝±12.故存在x 0＝12满足条件． 17．(2020·河北卓越联盟月考)已知函数f(x)＝x 3＋x －16. (1)求曲线y ＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；(2)直线l 为曲线y ＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标． 答案 (1)y ＝13x －32 (2)y ＝13x (－2，－26) 解析 (1)根据题意，得f ′(x)＝3x 2＋1.所以曲线y ＝f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率k ＝f ′(2)＝13，所以要求的切线的方程为y ＝13x －32.(2)设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 02＋1， 所以直线l 的方程为y ＝(3x 02＋1)(x －x 0)＋x 03＋x 0－16. 又直线l 过点(0，0)，则(3x 02＋1)(0－x 0)＋x 03＋x 0－16＝0， 整理得x 03＝－8，解得x 0＝－2，所以y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，l的斜率k＝13，所以直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．。

题组层级快练(九)1．给出下列结论：①当a<0时，(a 2)32＝a 3；②na n ＝|a|(n>1，n ∈N *，n 为偶数)；③函数f(x)＝(x －2)12－(3x －7)0的定义域是{x|x ≥2且x ≠73}；④若5a ＝0.3，0.7b ＝0.8，则ab>0. 其中正确的是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②④答案 B解析(a 2)32>0，a 3<0，故①错，∵0<5a <1，0<0.7b <1，∴a<0，b>0，∴ab<0.故④错．2．当x>0时，函数f(x)＝(a 2－1)x 的值总大于1，则实数a 的取值范围是( ) A ．1<|a|<2 B ．|a|<1 C ．|a|> 2 D ．|a|< 2答案 C3．若函数f(x)＝⎝⎛⎭⎫a ＋1e x －1cosx 是奇函数，则常数a 的值等于( )A ．－1B ．1C ．－12D.12答案 D4．(2020·衡水中学调研)下列函数中值域为正实数集的是( ) A ．y ＝－5xB ．y ＝⎝⎛⎭⎫131－xC ．y ＝⎝⎛⎭⎫12x－1D ．y ＝3|x|答案 B5．(2017·北京)已知函数f(x)＝3x －⎝⎛⎭⎫13x，则f(x)( ) A ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数答案 A 解析∵f(－x)＝3－x －⎝⎛⎭⎫13－x＝⎝⎛⎭⎫13x －3x ＝－[3x －⎝⎛⎭⎫13x]＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．又函数y 1＝3x在R 上为增函数，y 2＝⎝⎛⎭⎫13x在R 上为减函数，∴y ＝3x －⎝⎛⎭⎫13x在R 上为增函数．故选A. 6．函数y ＝a x －a(a ＞0，a ≠1)的图象可能是( )答案 C解析 由于当x ＝1时，y ＝0，即函数y ＝a x －a 的图象过点(1，0)，故排除A 、B 、D. 7．(2016·课标全国)若函数y ＝a x (x ∈[－1，1])的最大值与最小值之和为3，则a 2＋a －2＝( ) A ．9 B ．7 C ．6 D ．5答案 B解析 ∵函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)在[－1，1]上单调，∴当x ＝－1时，y ＝a －1；当x ＝1时，y ＝a.则a －1＋a ＝3，两边同时平方得a －2＋2＋a 2＝9，∴a －2＋a 2＝7. 8．已知a ＝20.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a>b>c B ．a>c>b C ．c>a>b D ．b>c>a 答案 A解析 由0.2<0.6，0＜0.4＜1，并结合指数函数的图象可知0.40.2>0.40.6，即b>c ；因为a ＝20.2>1，b ＝0.40.2＜1，所以a>b.综上，a>b>c.9．(2020·山东师大附中月考)函数f(x)＝1－e |x|的图象大致是( )答案 A解析 因为函数f(x)＝1－e |x|是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有A 满足上述两个性质．10．(2020·东北四校联考)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2－x ，x ≥0，2x －1，x<0，则函数f(x)是( )A ．偶函数，在[0，＋∞)上单调递增B ．偶函数，在[0，＋∞)上单调递减C ．奇函数，且单调递增D ．奇函数，且单调递减答案 C解析 易知f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝1－2－x ，－f(x)＝2－x －1，此时－x<0，则f(－x)＝2－x －1＝－f(x)；当x<0时，f(x)＝2x －1，－f(x)＝1－2x ，此时－x>0，则f(－x)＝1－2－(－x)＝1－2x ＝－f(x)．即函数f(x)是奇函数，且单调递增．故选C.11．若关于x 的方程|a x －1|＝2a(a>0且a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是( ) A ．(0，1)∪(1，＋∞) B ．(0，1) C ．(1，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫0，12 答案 D解析 方程|a x －1|＝2a(a>0且a ≠1)有两个不等实数根⇔函数y ＝|a x －1|与y ＝2a 的图象有两个交点．①当0<a<1时，如图①，所以0<2a<1，即0<a<12.②当a>1时，如图②，而y ＝2a>1不符合要求．综上，0<a<12.故选D.12．已知函数f(x)＝a x ＋b(a>0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a ＋b ＝________． 答案 －32解析 ①当0<a<1时，函数f(x)在[－1，0]上单调递减，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＝0，f （0）＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，此时a ＋b ＝－32. ②当a>1时，函数f(x)在[－1，0]上单调递增，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＝－1，f （0）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，显然无解．所以a ＋b ＝－32.13．(2019·福州质检)已知实数a ≠1，函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，x ≥0，2a －x ，x<0，若f(1－a)＝f(a －1)，则a 的值为________． 答案 12解析 当a<1时，41－a ＝21，a ＝12；当a>1时，代入不成立．14．(2019·衡水中学调研卷)已知函数f(x)＝|2x －1|，a<b<c ，且f(a)>f(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是________．①a<0，b<0，c<0；②a<0，b ≥0，c>0；③2－a <2c ；④2a ＋2c <2. 答案 ④解析 作出函数图象，由图象可知a<0时，b 的符号不确定，1>c>0，故①②错；因为f(a)＝|2a －1|，f(c)＝|2c －1|，所以|2a －1|>|2c －1|，即1－2a >2c －1，故2a ＋2c <2，④成立；又2a ＋2c >22a ＋c ，所以2a ＋c <1，所以a ＋c<0，所以－a>c ，所以2－a >2c ，③不成立．15．函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x－⎝⎛⎭⎫12x＋1在[－3，2]上的值域是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤34，57 解析 y ＝⎝⎛⎭⎫14x－⎝⎛⎭⎫12x＋1＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12x 2－⎝⎛⎭⎫12x＋1＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12x－122＋34， 因为x ∈[－3，2]，所以14≤⎝⎛⎭⎫12x≤8.当⎝⎛⎭⎫12x＝12时，y min ＝34，当⎝⎛⎭⎫12x＝8时，y max ＝57. 所以函数的值域为⎣⎡⎦⎤34，57. 16．是否存在实数a ，使函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a>0且a ≠1)在[－1，1]上的最大值是14? 答案 a ＝3或a ＝13解析 令t ＝a x ，则y ＝t 2＋2t －1.(1)当a>1时，∵x ∈[－1，1]，∴a x ∈⎣⎡⎦⎤1a ，a ，即t ∈⎣⎡⎦⎤1a ，a .∴y ＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2在⎣⎡⎦⎤1a ，a 上是增函数⎝⎛⎭⎫对称轴t ＝－1<1a . ∴当t ＝a 时，y max ＝(a ＋1)2－2＝14. ∴a ＝3或a ＝－5.∵a>1，∴a ＝3. (2)当0<a<1时，t ∈⎣⎡⎦⎤a ，1a . ∵y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎡⎦⎤a ，1a 上是增函数，∴y max ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋12－2＝14. ∴a ＝13或a ＝－15.∵0<a<1，∴a ＝13.综上，a ＝3或a ＝13.17．已知函数f(x)＝4x ＋m2x 是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)设g(x)＝2x ＋1－a ，若函数f(x)与g(x)的图象至少有一个公共点，求实数a 的取值范围． 答案 (1)m ＝－1 (2)[2，＋∞)解析 (1)由函数f(x)是奇函数可知f(0)＝1＋m ＝0，解得m ＝－1.此时f(x)＝2x －2－x ，显然是奇函数．(2)函数f(x)与g(x)的图象至少有一个公共点，即方程4x －12x ＝2x ＋1－a 至少有一个实根，即方程4x －a·2x ＋1＝0至少有一个实根．令t ＝2x >0，则方程t 2－at ＋1＝0至少有一个正根． 方法一：由于a ＝t ＋1t ≥2，∴a 的取值范围为[2，＋∞)．方法二：令h(t)＝t 2－at ＋1，由于h(0)＝1>0，∴只需⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，a 2>0，解得a ≥2.∴a 的取值范围为[2，＋∞)．。

河北省衡水中学2021-2021学年度高三一轮复习周测卷〔一〕理数一、选择题：本大题共12个小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1. 以下说法正确的选项是〔〕A. 0与的意义一样B. 高一〔1〕班个子比拟高的同学可以形成一个集合C. 集合是有限集D. 方程的解集只有一个元素【答案】D【解析】因为0是元素，是含0的集合，所以其意义不一样；因为“比拟高〞是一个不确定的概念，所以不能构成集合；当时，，故集合是无限集；由于方程可化为方程，所以〔只有一个实数根〕，即方程的解集只有一个元素，应选答案D。

2. 集合，那么〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：,，所以.考点：集合交集，一元二次不等式.【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系.在求交集时注意区间端点的取舍.纯熟画数轴来解交集、并集和补集的题目.3. 设命题“〞，那么为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】因为全称命题的否认是存在性命题，所以为，应选答案B。

4. 集合，那么集合〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，应选答案C。

5. 设，那么“〞是“〞的〔〕A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，，所以，，但时，即，不能保证为正数，所以“〞是“〞的充分不必要条件，应选A.6. 设，假设是的充分不必要条件，那么实数的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以由题意可得：，应选答案B。

7. 命题有解，命题，那么以下选项中是假命题的为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：对于m命题p：方程x2-mx-1=0，那么△=m2+4＞0，因此：∀m∈R，x2-mx-1=0有解，可得：命题p是真命题．对于命题q：由x2-x-1≤0，解得，，因此存在x=0，1∈N，使得x2-x-1≤0成立，因此是真命题．∴以下选项中是假命题的为，应选：B．考点：复合命题的真假8. 集合，那么集合不可能是〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以当时，那么；由于是点集，所以；当时，那么；由于所以，应选答案D。

2021届河北衡水中学新高考模拟试卷（十九）数学（理科）试题★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数1z i =-+（i 是虚数单位），则z 的模为（ ）A. 0B. 1C.D. 2 【答案】C【解析】【分析】根据模长的定义求得结果.【详解】1z i =-+== 本题正确选项：C【点睛】本题考查复数模长的求解，属于基础题.2.已知全集U =R ，集合{1,0,1,2,3}A =-，{|2}B x x =，则()U A B =（ ）A. {1,0,1}-B. {1,0,1,2}-C. {|2}x x <D. {|12}x x -<【答案】A【解析】【分析】 根据补集定义求得U C B ，再利用交集定义求得结果. 【详解】{}2U C B x x =< (){}1,0,1U AC B ∴=- 本题正确选项：A【点睛】本题考查集合运算中的交集和补集运算问题，属于基础题.3.命题“α∃∈R ，sin 0α=”的否定是（ ） A. α∃∈R ，sin 0α≠B. α∀∈R ，sin 0α≠C. α∀∈R ，sin 0α<D. α∀∈R ，sin 0α> 【答案】B【解析】【分析】根据特称量词的否定得到结果.【详解】根据命题否定的定义可得结果为：R α∀∈，sin 0α≠本题正确选项：B【点睛】本题考查含量词的命题的否定问题，属于基础题.4.下列函数中，既是奇函数又在(),-∞+∞上单调递增的是（ ）A. sin y x =B. y x =C. 3y x =-D. )ln y x = 【答案】D【解析】【分析】结合初等函数的奇偶性和单调性可排除,,A B C 选项；再根据奇偶性定义和复合函数单调性的判断方法可证得D 正确.【详解】sin x 不是单调递增函数，可知A 错误； x x -=，则函数y x =为偶函数，可知B 错误；3y x =-在(),-∞+∞上单调递减，可知C 错误；)ln ln ln x x ⎫==-⎪⎭，则)ln y x =为奇函数；当0x ≥时，x 单调递增，由复合函数单调性可知)lny x =在[)0,+∞上单调递增，根据奇函数对称性，可知在(),-∞+∞上单调递增，则D 正确.本题正确选项：D 【点睛】本题考察函数奇偶性和单调性的判断，属于基础题.5.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，42S S =2，则数列{}n a 的公比q =（ ）A. -1B. 1C. ±1D. 2 【答案】C【解析】【分析】分别在1q =和1q ≠列出4S 和2S ，构造方程求得结果.【详解】当1q =时，41124222S a a S ==⨯=，满足题意当1q ≠时，由42S S =2得：()()421112111a q a q q q --=--，即212q +=，解得：1q =-综上所述：1q =±本题正确选项：C【点睛】本题考查等比数列基本量的求解问题，易错点是忽略1q =的情况造成求解错误. 6.过椭圆2212516x y +=的中心任作一直线交椭圆于P ,Q 两点,F 是椭圆的一个焦点,则PFQ △的周长的最小值为（ ）A. 12B. 14C. 16D. 18【答案】D【解析】【分析】 记椭圆的另一个焦点为1F ,则1QF PF =,由1+2PF PF a =,PQ 2b ≥,即可求出PQF ∆周长的最小值．【详解】如图所示,记椭圆的另一个焦点为1F,则根据椭圆的对称性知道:1QF PF = ,2PQ PO =,设(cos ,sin )P a b θθ ,则222222222=cos +sin =()cos +PO a b a b b θθθ-,又因220a b ->,2cos 0θ≥, 所以22PO b ≥,即PO b ≥,22PQ PO b =≥．所以PQF ∆的周长为122210818QF PF PQ PF PF PQ a PQ a b ++=++=+≥+=+= 故选：D【点睛】本题考查椭圆内焦点三角形的周长的最值问题,熟练掌握椭圆的第一定义是解本题的关键,属于基础题．7.把标号为1，2，3，4的四个小球分别放入标号为1，2，3，4的四个盒子中，每个盒子只放一个小球，则1号球不放入1号盒子的方法共有（ ）A. 18种B. 9种C. 6种D. 3种【答案】A【解析】【分析】 先确定1号盒子的选择情况，再确定2、3、4号盒子的选择情况，根据分步计数原理即可求解．【详解】由于1号球不放入1号盒子，则1号盒子有2、3、4号球三种选择，还剩余三个球可以任意放入2、3、4号盒子中，则2号盒子有三种选择，3号盒子还剩两种选择，4号盒子只有一种选择，根据分步计数原理可得1号球不放入1号盒子的方法有111332118C C C ⋅⋅⋅=种．故答案选A ． 【点睛】本题考查排列组合问题，对于特殊对象优先考虑原则即可求解，属于基础题． 8.为检测某药品服用后的多长时间开始有药物反应，现随机抽取服用了该药品的1000人，其服用后开始有药物反应的时间（分钟）与人数的数据绘成的频率分布直方图如图所示.若将直方图中分组区间的中点值设为解释变量x （分钟），这个区间上的人数为y （人），易见两变量x ，y 线性相关，那么一定在其线性回归直线上的点为（ ）A. ()1.5,0.10B. ()2.5,0.25C. ()2.5,250D. ()3,300【答案】C【解析】【分析】 写出四个区间中点的横纵坐标，从而可求出 2.5x =，250y =，进而可选出正确答案.【详解】解：由频率分布直方图可知， 第一个区间中点坐标，111.0,0.101000100x y ==⨯=， 第二个区间中点坐标，222.0,0.211000210x y ==⨯=，第三个区间中点坐标，333.0,0.301000300x y ==⨯=，第四个区间中点坐标，444.0,0.391000390x y ==⨯=， 则()12341 2.54x x x x x =+++=，()123412504y y y y y =+++=， 则一定在其线性回归直线上点为(),x y ()2.5,250=. 故选:C.【点睛】本题考查了频率分布直方图，考查了线性回归直线方程的性质.本题的关键是利用线性回归直线方程的性质，即点(),x y 一定在方程上.9.单位正方体111ABCD A B C O -在空间直角坐标系中的位置如图所示，动点(),,0M a a ，()0,,1N b ，其中01a <≤，01b ≤≤，设由M ，N ，O 三点确定的平面截该正方体的截面为E ，那么（ ）A. 对任意点M ，存在点N 使截面E 为三角形B. 对任意点M ，存在点N 使截面E 为正方形C. 对任意点M 和N ，截面E 都为梯形D. 对任意点N ，存在点M 使得截面E 为矩形【答案】A【解析】【分析】由题意可得：动点(),,0M a a 且01a <≤，即动点在线段1OB （除端点O ）上的动点，()0,,1N b 且01b ≤≤，即动点N 在线段DC 上的动点，M ，N ，O 三点确定的平面截该正方体的截面为E 都过直线1OB ，可以通过特殊点即端点来判断即可.【详解】由题意可得：动点(),,0M a a 且01a <≤，即动点M 在线段1OB （除端点O ）上的动点，()0,,1N b 且01b ≤≤，即动点N 在线段DC 上的动点，所以任意点M ，由M ，N ，O 三点确定的平面截该正方体的截面为E 都过直线1OB ，当点N 与C 重合时，截面E 为三角形，因此A 选项正确；当点N 与D 重合时，截面E 为矩形，当点N 不与端点C 、D 重合时，截面E 为等腰梯形，所以,B C 选项错误；只有当点N 与D 重合时，截面E 为矩形，所以D 选项错误；故选：A【点睛】本题考查了用不同的平面去截正方体所得到的截面，考查了学生的空间想象能力，属于一般题. 10.设4log 3a =，5log 2b =，8log 5c =，则（ ）A. a b c <<B. b c a <<C. b a c <<D. c a b << 【答案】B【解析】【分析】 由4lg 27log 3lg 64a ==，8lg 25log 5lg 64c ==比较a 、c 的大小，利用中间量12比较b 、c ，从而得解． 【详解】 27464lg 27log 3log lg 64a ===，25864lg 25log 5log lg 64c ===， ∴ 3548log log > ，即a c > ，2<，5>，∴581log 2c =>=251log 2b =<= ， ∴5285log log >，即c b > ，∴352485log log log >> ，即a c b >>．故答案选B ．【点睛】本题主要考查了对数函数单调比较大小，解题关键是找到合适的中间变量进行大小比较，有一定难度．11.已知F 是双曲线22:22-1x y E a b = (0,0)a b >>左焦点，过点F 且倾斜角为30°的直线与曲线E 的两条渐近线依次交于A ，B 两点，若A 是线段FB 的中点，且C 是线段AB 的中点，则直线OC 的斜率为（ ）A. C. - D. 【答案】D【解析】【分析】 联立直线和渐近线方程求得,A B 纵坐标，根据2B A y y =可得,a b 之间的关系，从而可用a 表示出,A B 坐标，利用中点坐标公式得到C ，从而求得斜率.【详解】由题意知，双曲线渐近线为：b y x a =±设直线方程为：)y x c =+由)3y x c b y x a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得：A c y a b =；同理可得：B c y a b = A 是FB 中点 2B A y y ∴=b ⇒=2c a ⇒==A y ∴=，B y = 12A x a ⇒=-，B x a = 24A B C x x a x +∴==，2A B C y y y +==C OC C y k x ∴== 本题正确选项：D【点睛】本题考查双曲线几何性质的应用，关键是能够通过中点的关系得到关于交点纵坐标之间的关系，从而求解出,,a b c 之间的关系.12.函数11()sin x x f x e e a x π--+=-+（x ∈R ，e 是自然对数的底数，0a >）存在唯一的零点，则实数a 的取值范围为( ) A. 20,π⎛⎤ ⎥⎝⎦ B. 20,π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. (0,2] D. (0,2)【答案】A【解析】【分析】函数11()sin (x x f x e e a x x R π--+=-+∈，e 是自然对数的底数，0)a >存在唯一的零点等价于函数()sin x a x ϕπ= 与函数11()x x g x e e --=-只有唯一一个交点，由()10ϕ=，()10g =，可得函数()sin x a x ϕπ= 与函数11()x x g x e e --=-唯一交点为(1,0)，()g x 的单调，根据单调性得到()x ϕ与()g x 的大致图象，从图形上可得要使函数()sin x a x ϕπ= 与函数11()x x g x e e --=-只有唯一一个交点，则()()11g ϕ''，即可解得实数a 的取值范围．【详解】解：函数11()sin (x x f x e e a x x R π--+=-+∈，e 是自然对数的底数，0)a >存在唯一的零点等价于：函数()sin x a x ϕπ= 与函数11()x x g x e e --=-只有唯一一个交点，()10ϕ=，()10g =，∴函数()sin x a x ϕπ= 与函数11()x x g x e e --=-唯一交点为(1,0)，又11()x x g x e e --'=--，且10x e ->，10x e ->，11()x x g x e e --∴'=--在R 上恒小于零，即11()x x g x e e --=-在R 上为单调递减函数，又()sin x a x ϕπ= (0)a >是最小正周期为2，最大值为a 的正弦函数，∴可得函数()sin x a x ϕπ= 与函数11()x x g x e e --=-的大致图象如图：∴要使函数()sin x a x ϕπ= 与函数11()x x g x e e --=-只有唯一一个交点，则()()11g ϕ''，()1cos a a ϕπππ'==-， ()111112g e e --'=--=-，2a π∴--，解得2a π， 又0a >，∴实数a 的范围为20,π⎛⎤ ⎥⎝⎦． 故选：A ．【点睛】本题主要考查了零点问题，以及函数单调性，解题的关键是把唯一零点转化为两个函数的交点问题，通过图象进行分析研究，属于难题． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.在ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C =+-，则角A 的大小为____．【答案】3π【解析】【分析】根据正弦定理化简角的关系式，从而凑出cos A 的形式，进而求得结果.【详解】由正弦定理得：222a b c bc =+-，即222b c a bc +-= 则2221cos 22b c a A bc +-== ()0,A π∈ 3A π∴=本题正确结果：3π 【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形问题，属于基础题.14.已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，且()f x 在[0,)+∞上单调递增，则不等式(21)(2)f x f x ->-的解集为____．【答案】()(),11,-∞-+∞ 【解析】【分析】利用偶函数关于y 轴对称，又由()f x 在[0,)+∞上单调递增，将不等式(21)(2)f x f x ->-转化为212x x ->- ，即可解得(21)(2)f x f x ->-的解集． 【详解】 函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，∴(21)(2)f x f x ->-可转化为(21)(2)f x f x ->-， 又()f x 在[0,)+∞上单调递增，∴ (21)(2)212f x f x x x ->-⇔->-，两边平方解得：(,1)(1,)x ∈-∞-⋃+∞ ，故(21)(2)f x f x ->-的解集为(,1)(1,)x ∈-∞-⋃+∞．【点睛】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合运用，根据函数奇偶性和单调之间的关系将不等式进行转化是解决本题的关键．15.已知各项都为正数的数列{}n a ，其前n 项和为n S ，若()241n n S a =+，则n a =____. 【答案】21n -【解析】【分析】利用11n n n a S S ++=-得到递推关系式，整理可知12n n a a +-=，符合等差数列定义，利用()21141S a =+求出1a 后，根据等差数列通项公式求得结果. 【详解】由题意得：()21141n n S a ++=+ 则()()2211144411n n n n n S S a a a +++-==+-+ 即()()()2211112n n n n n n n n a a a a a a a a ++++-=+-=+{}n a 各项均为正数，即10n n a a ++≠ 12n n a a +∴-=由()21141S a =+得：11a =∴数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列()11221n a n n ∴=+-⨯=-本题正确结果：21n -【点睛】本题考查数列通项公式的求解，关键是能够利用11n n n a S S ++=-证明出数列为等差数列，进而根据等差数列的通项公式求得结果.16.A ，B 为单位圆（圆心为O ）上的点，O 到弦AB 的距离为2，C 是劣弧AB （包含端点）上一动点，若OC OA OB λμ=+ (,)R λμ∈，则λμ+的取值范围为___.【答案】1,3⎡⎢⎣⎦.【解析】 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，其中AB 与y 轴垂直，故C 的坐标可以用,λμ表示为2μλ⎛- ⎝⎭，由C 在单位圆上可得λμ+的取值范围． 【详解】如图以圆心O 为坐标原点建立直角坐标系，设A ，B 两点在x 轴上方且线段AB 与y 轴垂直，A ，B 为单位圆（圆心为O ）上的点，O 到弦AB 3所以点132A ⎛- ⎝⎭ ，点132B ⎛ ⎝⎭， 故13,22OA ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，13,22OB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，即3,22OA λλλ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，3,22OB μμμ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，所以 3(),22OC OA OB μλλμλμ⎛⎫-+=+= ⎪ ⎪⎝⎭， 又 C 是劣弧AB （包含端点）上一动点, 设点C 坐标为(,)x y ，故112231x y ⎧-≤≤⎪⎪≤≤ ， 因为 3()(,)2OC OA OB x y μλλμλμ⎛-+=+==⎝⎭， 33()1λμ+≤≤ ，解得：231λμ≤+≤， 故λμ+的取值范围为23⎡⎢⎣⎦．【点睛】本题考查向量线性运算中的最值问题，可根据图形的的特点建立合适的平面直角坐标系，把向量的最值问题转化为函数的最值问题．三、解答题：本大题共6个大题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数21()3cos cos 2f x x x x ωωω=-+(0)>ω，1x ，2x 是函数()f x 的零点，且21x x -的最小值为2π. （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）设,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若13235f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，15521213f πβ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，求cos()αβ-的值. 【答案】(Ⅰ) 1ω= (Ⅱ) ()56cos 65αβ-= 【解析】 【分析】(Ⅰ)利用二倍角公式和辅助角公式整理出()sin 26f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭，根据周期求得ω；(Ⅱ)根据()f x 解析式可求解出cos α，sin β；再利用同角三角函数关系求出sin α，cos β；代入两角和差余弦公式求得结果.【详解】(Ⅰ)()211cos 21cos cos 22222x f x x x x x ωωωωω+=-+=-+12cos 2sin 226x x x πωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ 21x x -的最小值为2π 22T π∴=,即22T ππω== 1ω∴= (Ⅱ)由(Ⅰ)知：()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭123sin sin cos 233625f ππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+-=+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1555sin sin sin 2126613f πππβββπβ⎛⎫⎛⎫-=--=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 5sin 13β∴= 又,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭4sin 5α∴=，12cos 13β= ()3124556cos cos cos sin sin 51351365αβαβαβ∴-=+=⨯+⨯=【点睛】本题考查三角函数解析式的求解及应用问题，关键是考查学生对于二倍角公式、辅助角公式、同角三角函数关系以及两角和差公式的掌握情况，考查学生的运算能力，属于常规题型. 18.某厂包装白糖的生产线，正常情况下生产出来的白糖质量服从正态分布()2500,5N （单位：g ）.（Ⅰ）求正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于485g 的概率约为多少？（Ⅱ）该生产线上的检测员某天随机抽取了两包白糖，称得其质量均小于485g ，检测员根据抽检结果，判断出该生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理巾. 附：()2~,X Nμσ，则()0.6826P X μσμσ-+≈，(22)0.9544P X μσμσ-+≈，(33)0.9974P X μσμσ-+≈.【答案】（Ⅰ）0.0013 （Ⅱ）见解析 【解析】 【分析】（Ⅰ）由正常情况下生产出来的白糖质量服从正态分布()2500,5N （单位：g ），要求得正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于485g 的概率，化为(3,3)μσμσ-+的形式，然后求解即可;（Ⅱ）由（Ⅰ）可知正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于485g 的概率为0.0013，可求得随机抽取两包检查，质量都小于485g 的概率几乎为零，即可判定检测员的判断是合理的． 【详解】解：（Ⅰ）设正常情况下，该生产线上包装出来的白糖质量为Xg ，由题意可知(,)X N 25005．由于=-⨯48550035，所以根据正态分布的对称性与“3σ原则”可知()(()..P X P X <=--⨯≤≤+⨯≈⨯=1148515003550035000260001322.(Ⅱ)检测员的判断是合理的.因为如果生产线不出现异常的话，由（Ⅰ）可知，随机抽取两包检查，质量都小于485g 的概率约为....-⨯==⨯6000130001300000016916910，几乎为零，但这样的事件竟然发生了，所以有理由认为生产线出现异常，检测员的判断是合理的.【点睛】本题主要考查了正态分布中3σ 原则，考查基本分析应用的能力，属于基础题． 19.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC =，1AA AB =，D 为1BB 的中点.（I ）若E 为1AB 上的一点，且DE 与直线CD 垂直，求11EBAB 的值； （Ⅱ）在（I ）的条件下，设异面直线1AB 与CD 所成的角为45°，求直线DE 与平面11AB C 成角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）25【解析】 【分析】（Ⅰ）取AB 中点M ,连接CM MD ，，证明DE CMD ⊥ ，即可说明1DE AB ⊥，由底面为正方形，可求得EB AB =1114; （Ⅱ）以M 为坐标原点，分别以,,MA MO MC 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，求得各点的坐标，以及平面11AB C 的法向量为n ，根据线面所成角的正弦值的公式即可求解． 【详解】（Ⅰ）证明：取AB 中点M ,连接CM MD ，,有//MD AB 1,因为AC BC =，所以CM AB ⊥, 又因为三棱柱111ABC A B C =为直三棱柱， 所以ABC ABB A ⊥11平面平面, 又因为=ABCABB A AB 11平面平面,所以CM ABB A ⊥11平面， 又因为11DE ABB A ⊂平面 所以CM DE ⊥ 又因为,DE CD CDMD D ⊥=,CD ⊂平面CMD ,CM ⊂平面CMD ,所以DE CMD ⊥平面，又因为MD ⊂平面CMD , 所以DE MD ⊥, 因为//MD AB 1， 所以1DE AB ⊥,连接1A B ,设11A B AB O ⋂=，因为11ABB A 为正方形，所以11A B AB ⊥,又因为,,DE AA B B A B AA B B ⊂⊂平面平面11111 所以1//DE A B , 又因为D 为1BB 的中点， 所以E 为1OB 的中点, 所以EB AB =1114. （Ⅱ）如图以M 为坐标原点，分别以,,MA MO MC 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系， 设2AB a =,由（Ⅰ）可知CDM ∠=45， 所以AB a =122， 所以DM CM a ==2,所以(,,),(,,),(,),(,,),(,,)A a B a a C a a D a a E a a ---111300*********,所以(,,),(,,),(,,)AB a a B C a a DE a a =-==1111122002022， 设平面11AB C 的法向量为()x,y,z =n ，则1110,0AB n B Cn ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即220,0x y x -+=⎧⎪⎨=⎪⎩ 则n 的一组解为(2,2,1)n =-．所以cos ,DE DE DE →⋅===52n n n所以直线DE 与平面11AB C . 【点睛】本题主要考查线面垂直的证明、中位线定理以及利用空间向量求线面角的正弦值，考查了学生空间想象能力和计算能力，属于中档题．20.已知抛物线2:2C x py =(0)p >，其焦点到准线的距离为2，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线C 的切线1l ，2l ，1l 与2l 交于点M .（Ⅰ）求p 的值；（Ⅱ）若12l l ⊥，求MAB △面积的最小值. 【答案】(Ⅰ) 2p = (Ⅱ) 最小值4. 【解析】 【分析】(Ⅰ)根据抛物线的性质即可得到结果；(Ⅱ)由直线垂直可构造出斜率关系，得到124x x =-，通过直线与抛物线方程联立，根据根与系数关系求得m ；联立两切线方程，可用k 表示出M ，代入点到直线距离公式，从而得到关于面积的函数关系式，求得所求最值. 【详解】(Ⅰ)由题意知，抛物线焦点为：0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为：2p y =- 焦点到准线的距离为2，即2p =. (Ⅱ)抛物线的方程为24x y =，即214y x =，所以12y x '= 设()11,A x y ，()22,B x y ，()21111:42x x l y x x -=- ()22222:42x x l y x x -=-由于12l l ⊥，所以12122x x ⋅=-，即124x x =- 设直线l 方程为y kx m =+，与抛物线方程联立，得24y kx mx y=+⎧⎨=⎩所以2440x kx m --= 216160k m ∆=+>，12124,44x x k x x m +==-=-，所以1m =即:1l y kx =+联立方程2112222424x x y x x x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得：21x k y =⎧⎨=-⎩，即：()2,1M k - M 点到直线l的距离d ==()241AB k ==+所以()()32221414142S k k =⨯+=+≥当0k =时，MAB ∆面积取得最小值4【点睛】本题考查抛物线的性质的应用、抛物线中三角形面积最值的求解，关键是能够将所求面积表示为关于斜率的函数关系式，从而利用函数最值的求解方法求出最值. 21.已知1x =是函数2()ln 2xf x ax x x =+-的极值点. （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）求证：函数()f x 存在唯一的极小值点0x ，且()07160f x <<. （参考数据：ln 20.69≈，4516e 7<，其中e 为自然对数的底数） 【答案】(Ⅰ) 14a = (Ⅱ)见证明 【解析】 【分析】(Ⅰ)根据'(1)0f =，求得实数a 的值，通过导数验证函数单调，可知时14a =极值点为1x =，满足题意；(Ⅱ)由(Ⅰ) 函数()f x 的极小点值位于(2,)+∞ ，此时()g x 的零点位于,x ∈（）0742，且此0x 为()f x 的极小点值点，代入()g x ，()f x 中，化简即可得到()f x 关于0x 的二次函数，求解二次函数在区间,（）742上的值域即可证明结论．【详解】解：(Ⅰ)因为'()ln f x ax x =--122，且1x = 是极值点， 所以'()f a =-=11202，所以14a = . 此时'()ln x f x x =--122 ，设()'()g x f x = ，则'()x g x x x-=-=11222 .则当02x << 时，'()()g x g x <，0 为减函数. 又(1)()ln g g ==-<，102202， 所以在01x <<时，()0>g x ，()f x 为增函数；12x << 时，()0<g x ，()f x 为减函数.所以1x =为()f x 的极大值点，符合题意.（Ⅱ）当2x > 时，'()0g x >，()g x 为增函数，且()ln g =->342202，(2)0g < 所以存在(),x x ∈=（）,00240g 当02x x << 时，()0<g x ，()f x 为减函数；0x x > 时，()0>g x ，()f x 为增函数，所以函数()f x 存在唯一的极小值点0x .又()ln g =-757242 ，已知e <54167 ，可得()ln e <⇒<54775422 ， 所以()g <702，所以x <<0742 ，且满足ln x x --=001022.所以()ln ()x x x f x x x x =+-=-+∈，2200000007042416.其中0()0f x >也可以用如下方式证明：()ln (ln )x x f x x x x x x =+-=+-2114242 ，设()ln x h x x =+-142 ， 则'()x h x x x -=-=11444.则当04x << 时，'()0h x < ，()h x 为减函数；当4x > 时，'()0h x >，()h x 为增函数. 所以()()ln h x h ≥=->342202所以在()0f x > ，所以0()0f x >【点睛】本题考查利用函数极值与导数关系的综合应用问题，解决本题的关键是能够利用零点存在定理确定零点处理问题，从而可将证明问题转化为某一个区间内二次函数值域问题的求解，考查了学生基本计算能力以及转化与划归思想，属于难题．四、选做题请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 【选修4-4：坐标系与参数方程】22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 过原点且倾斜角为02παα⎛⎫<⎪⎝⎭.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=.在平面直角坐标系xOy 中，曲线2C 与曲线1C 关于直线y x =对称.（Ⅰ）求曲线2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线2l 过原点且倾斜角为3πα+，设直线1l 与曲线1C 相交于O ，A 两点，直线2l 与曲线2C 相交于O ，B 两点，当α变化时，求AOB 面积的最大值.【答案】(Ⅰ) 2sin ρθ= (Ⅱ) +324【解析】 【分析】(Ⅰ)法一：将1C 化为直角坐标方程，根据对称关系用2C 上的点表示出1C 上点的坐标，代入1C 方程得到2C 的直角坐标方程，再化为极坐标方程；法二：将y x =化为极坐标方程，根据对称关系将1C 上的点用2C 上的点坐标表示出来，代入1C 极坐标方程即可得到结果；(Ⅱ)利用1l 和2l 的极坐标方程与12,C C 的极坐标方程经,A B 坐标用α表示，将所求面积表示为与α有关的三角函数解析式，通过三角函数值域求解方法求出所求最值.【详解】(Ⅰ)法一：由题可知，1C 的直角坐标方程为：2220x y x +-=， 设曲线2C 上任意一点(),x y 关于直线y x =对称点为()00,x y ，所以00x y y x =⎧⎨=⎩ 又因为2200020x y x +-=，即2220x y y +-=，所以曲线2C 的极坐标方程为：2sin ρθ=法二：由题可知，y x =的极坐标方程为：4πθ=()R ρ∈， 设曲线2C 上一点(),ρθ关于4πθ= ()R ρ∈的对称点为()00,ρθ， 所以0024ρρθθπ=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 又因为002cos ρθ=，即2cos 2sin 2πρθθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 所以曲线2C 的极坐标方程为：2sin ρθ=(Ⅱ)直线1l 的极坐标方程为：θα=，直线2l 的极坐标方程为：3πθα=+设()11,A ρθ，(),B ρθ22 所以2cos θαρθ=⎧⎨=⎩解得12cos ρα=，32sin πθαρθ⎧=+⎪⎨⎪=⎩解得22sin 3πρα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1211sin sin sin cos 23322AOB S ππρρααααα∆⎛⎫⎛⎫∴=⋅=⋅+=⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23πααα⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭因为：02πα≤<，所以42333πππα≤+< 当232ππα+=即12πα=时，sin 213πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，AOB S ∆+34【点睛】本题考查轨迹方程的求解、三角形面积最值问题的求解，涉及到三角函数的化简、求值问题.求解面积的关键是能够明确极坐标中ρ的几何意义，从而将问题转化为三角函数最值的求解.【选修4-5：不等式选讲】23.选修4-5：不等式选讲已知函数()1f x x x a =+++.（Ⅰ）当1a =-时，求不等式()2f x x >的解集；（Ⅱ）当不等式()1f x >的解集为R 时，求实数a 的取值范围.【答案】(Ⅰ) (,1)-∞ (Ⅱ) 0a <或2a >【解析】【分析】(Ⅰ)根据x 的范围得到分段函数()f x 的解析式，从而分别在三段区间上求解不等式，取并集得到所求解集；(Ⅱ)由绝对值三角不等式得到()f x 的最小值，则最小值大于1，得到不等式，解不等式求得结果.【详解】(Ⅰ)1a =-时，()2,12,112,1x x f x x x x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩当1x <-时，22x x ->，即0x < 1x ∴<-当11x -≤≤时，22x >，即1x < 11x ∴-≤<当1x >时，22x x >，无解综上，()2f x x >的解集为(),1-∞(Ⅱ)()11f x x x a a =+++≥-当1a -≤-，即1a ≥时, 1a x -≤≤-时等号成立；当1a ->-，即1a <时, 1x a -≤≤-时等号成立 所以()f x 的最小值为1a - 即11a ->0a ∴<或2a >【点睛】本题考查含绝对值不等式的求解、绝对值三角不等式的应用问题，属于常规题型.。

题组层级快练(八)1．函数y ＝x 2＋8x ＋12在某区间上是减函数，这区间可以是( ) A ．[－4，0] B ．(－∞，0] C ．(－∞，－5] D ．(－∞，4]答案 C2．若二次函数f(x)满足f(x ＋1)－f(x)＝2x ，且f(0)＝1，则f(x)的表达式为( ) A ．f(x)＝－x 2－x －1 B ．f(x)＝－x 2＋x －1 C ．f(x)＝x 2－x －1 D ．f(x)＝x 2－x ＋1 答案 D解析 设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，a （x ＋1）2＋b （x ＋1）＋c －（ax 2＋bx ＋c ）＝2x.故⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0，c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，c ＝1，则f(x)＝x 2－x ＋1.故选D. 3．已知m>2，点(m －1，y 1)，(m ，y 2)，(m ＋1，y 3)都在二次函数y ＝x 2－2x 的图象上，则( ) A ．y 1<y 2<y 3 B ．y 3<y 2<y 1 C ．y 1<y 3<y 2 D ．y 2<y 1<y 3答案 A解析 ∵m ＞2，∴m －1＞1.∴三点均在对称轴的右边，而在[1，＋∞)上函数是增函数，∴y 1＜y 2＜y 3. 4．(2020·杭州学军中学月考)若函数f(x)＝x 2－2x ＋m ，若f(x 1)＝f(x 2)(x 1≠x 2)，则f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22的值为( ) A ．1 B ．2 C ．m －1 D ．m答案 C解析 由题意知，函数的对称轴为直线x ＝x 1＋x 22＝1，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝f(1)＝m －1.故选C. 5．已知函数f(x)＝－x 2＋4x ，x ∈[m ，5]的值域是[－5，4]，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)B ．(－1，2]C ．[－1，2]D ．[2，5)答案 C解析 二次函数f(x)＝－x 2＋4x 的图象是开口向下的抛物线，最大值为4，且在x ＝2时取得，而当x ＝5或－1时，f(x)＝－5，结合图象可知m 的取值范围是[－1，2]． 6．已知函数f(x)＝mx 2＋mx ＋1的定义域是实数集R ，则实数m 的取值范围是( ) A ．(0，4) B ．[0，4] C ．(0，4] D ．[0，4)答案 B解析 因为函数f(x)＝mx 2＋mx ＋1的定义域是实数集R ，所以m ≥0，当m ＝0时，函数f(x)＝1，其定义域是实数集R ；当m>0时，则Δ＝m 2－4m ≤0，解得0<m ≤4.综上所述，实数m 的取值范围是0≤m ≤4.7．一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图象大致是( )答案 C8．已知二次函数f(x)图象的对称轴是x ＝x 0，它在区间[a ，b]上的值域为[f(b)，f(a)]，则( ) A ．x 0≥b B ．x 0≤a C ．x 0∈(a ，b) D ．x 0∉(a ，b)答案 D解析 若x 0∈(a ，b)，f(x 0)一定为最大值或最小值．9．(2020·山东济宁模拟)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c （x ≤0），2 （x>0），若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x 的方程f(x)＝x 的解的个数为( ) A ．4 B ．2 C ．1 D ．3答案 D解析 由解析式可得f(－4)＝16－4b ＋c ＝f(0)＝c ，解得b ＝4.由f(－2)＝4－8＋c ＝－2，可求得c ＝2.∴f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2 （x ≤0），2 （x>0）.又f(x)＝x ，则当x ≤0时，x 2＋4x ＋2＝x ，解得x 1＝－1，x 2＝－2. 当x>0时，x ＝2，综上可知有三解．10．(2019·郑州质检)若二次函数y ＝x 2＋ax ＋1对于一切x ∈⎝⎛⎦⎤0，12恒有y ≥0成立，则a 的最小值是( ) A ．0 B ．2 C ．－52D ．－3答案 C解析 设g(x)＝ax ＋x 2＋1，x ∈⎝⎛⎦⎤0，12，则g(x)≥0在x ∈⎝⎛⎦⎤0，12上恒成立，即a ≥－⎝⎛⎭⎫x ＋1x 在x ∈⎝⎛⎦⎤0，12上恒成立．令h(x)＝－⎝⎛⎭⎫x ＋1x ，又h(x)＝－⎝⎛⎭⎫x ＋1x 在x ∈⎝⎛⎦⎤0，12上为单调递增函数，当x ＝12时，h(x)max ＝h ⎝⎛⎭⎫12，所以使a ≥h(x)max＝－⎝⎛⎭⎫12＋2即可，解得a ≥－52. 11．(1)已知函数f(x)＝4x 2＋kx －8在[－1，2]上具有单调性，则实数k 的取值范围是________． 答案 (－∞，－16]∪[8，＋∞)解析 函数f(x)＝4x 2＋kx －8的对称轴为x ＝－k 8，则－k 8≤－1或－k8≥2，解得k ≥8或k ≤－16.则k 的取值范围为(－∞，－16]∪[8，＋∞)(2)若函数y ＝x 2＋bx ＋2b －5(x<2)不是单调函数，则实数b 的取值范围为________． 答案 (－4，＋∞)解析 函数y ＝x 2＋bx ＋2b －5的图象是开口向上，以x ＝－b2为对称轴的抛物线，所以此函数在⎝⎛⎭⎫－∞，－b 2上单调递减．若此函数在(－∞，2)上不是单调函数，只需－b2<2，解得b>－4.所以实数b 的取值范围为(－4，＋∞)．12．已知y ＝(cosx －a)2－1，当cosx ＝－1时，y 取最大值，当cosx ＝a 时，y 取最小值，则a 的取值范围是________． 答案 0≤a ≤1解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－a ≤0，－1≤a ≤1，∴0≤a ≤1.13．函数f(x)＝x 2＋2x ，若f(x)>a 在区间[1，3]上满足：①恒有解，则a 的取值范围为________； ②恒成立，则a 的取值范围为________． 答案 ①a<15 ②a<3解析 ①f(x)>a 在区间[1，3]上恒有解，等价于a<f(x)max ，又f(x)＝x 2＋2x 且x ∈[1，3]，当x ＝3时，f(x)max ＝15，故a 的取值范围为a<15.②f(x)>a 在区间[1，3]上恒成立，等价于a<f(x)min ，又f(x)＝x 2＋2x 且x ∈[1，3]，当x ＝1时，f(x)min ＝3，故a 的取值范围为a<3. 14．如果函数f(x)＝x 2－ax －a 在区间[0，2]上的最大值为1，那么实数a ＝________． 答案 1解析 因为函数f(x)＝x 2－ax －a 的图象为开口向上的抛物线，所以函数的最大值在区间的端点处取得．因为f(0)＝－a ，f(2)＝4－3a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a>4－3a ，－a ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧－a ≤4－3a ，4－3a ＝1，解得a ＝1.15．(2017·北京)已知x ≥0，y ≥0，且x ＋y ＝1，则x 2＋y 2的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤12，1解析 x ≥0，y ≥0，且x ＋y ＝1，则x 2＋y 2＝x 2＋(1－x)2＝2x 2－2x ＋1，x ∈[0，1]， 则令f(x)＝2x 2－2x ＋1，x ∈[0，1]，函数的对称轴为x ＝12，开口向上，所以函数的最小值为f ⎝⎛⎭⎫12＝2×14－2×12＋1＝12. 最大值为f(1)＝2－2＋1＝1. 则x 2＋y 2的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，1.16．二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋1(a>0)，设f(x)＝x 的两个实根为x 1，x 2. (1)如果b ＝2且|x 2－x 1|＝2，求a 的值；(2)如果x 1<2<x 2<4，设函数f(x)的对称轴为x ＝x 0，求证：x 0>－1. 答案 (1)a ＝－1＋22(2)略解析 (1)当b ＝2时，f(x)＝ax 2＋2x ＋1(a>0)． 方程f(x)＝x 为ax 2＋x ＋1＝0.|x 2－x 1|＝2⇒(x 2－x 1)2＝4⇒(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4.由韦达定理，可知x 1＋x 2＝－1a ，x 1x 2＝1a .代入上式，可得4a 2＋4a －1＝0. 解得a ＝－1＋22，a ＝－1－22(舍去)．(2)证明：∵ax 2＋(b －1)x ＋1＝0(a>0)的两根满足x 1<2<x 2<4，设g(x)＝ax 2＋(b －1)x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧g （2）<0，g （4）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2（b －1）＋1<0，16a ＋4（b －1）＋1>0⇒⎩⎨⎧2a>14，b<14.∴2a －b>0.又∵函数f(x)的对称轴为x ＝x 0，∴x 0＝－b2a >－1.。

题组层级快练(八十一)1．(2020·衡水中学调研)在区间(0，100)上任取一数x ，则lgx>1的概率为( ) A ．0.1 B ．0.5 C ．0.8 D ．0.9答案 D解析 由lgx>1解得x>10.所以P ＝100－10100＝0.9.2．在区间[0，π]上随机取一个数x ，使cosx 的值介于－32与32之间的概率为( ) A.13 B.23 C.38 D.58答案 B解析 cosx 的值介于－32与32之间的区间长度为5π6－π6＝2π3.由几何概型概率计算公式，得P ＝2π3π－0＝23.故选B.3．若在区间[0，2]中随机地取两个数，则这两个数中较大的数大于12的概率是( )A.916B.34C.1516D.1532答案 C解析 两个数都小于12的概率为116，所以两个数中较大的数大于12的概率是1－116＝1516.4．(2020·湖南益阳期末)星期一，小张下班后坐公交车回家，公交车有1，10两路．每路车都是间隔10分钟一趟，1路车到站后，过4分钟10路车到站．不计停车时间，则小张坐1路车回家的概率是( ) A.12 B.13 C.25 D.35 答案 D解析 本题考查与长度有关的几何概型．由题意可知小张下班后坐1路公交车回家的时间段是在10路车到站与1路车到站之间，共6分钟．设“小张坐1路车回家”为事件A ，则P(A)＝610＝35，故选D. 5．(2016·课标全国Ⅱ)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( ) A.710 B.58 C.38 D.310答案 B解析 记“至少需要等待15秒才出现绿灯”为事件A ，则P(A)＝2540＝58.6．(2020·河南豫北名校联盟精英对抗赛)已知函数f(x)＝sinx ＋3cosx ，当x ∈[0，π]时，f(x)≥1的概率为( ) A.13 B.14 C.15 D.12 答案 D解析 由f(x)＝sinx ＋3cosx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3≥1及x ∈[0，π]，得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴所求概率为P＝π2π＝12. 7.(2020·安徽江淮十校第一次联考)七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，在此正方形中任取一点，则该点取自阴影部分的概率是( ) A.316 B.38 C.18 D.14答案 D解析 如图所示，设AB ＝4，则OG ＝GH ＝FD ＝HI ＝IE ＝2，DE ＝2，所以S OIHG ＝2×2＝2，S EDFI ＝2×1＝2，所以此点取自阴影部分的概率P＝2＋24×4＝14.8．(2020·山西太原五中月考)在区间(0，1)上任取两个数，则两个数之和小于65的概率是( )A.1225B.1625C.1725D.1825答案 C解析 设这两个数是x ，y ，则试验所有的基本事件构成的区域即⎩⎨⎧0<x<1，0<y<1确定的平面区域(不包含边界)，满足条件的事件包含的基本事件构成的区域即⎩⎪⎨⎪⎧0<x<1，0<y<1，x ＋y<65确定的平面区域(不包含边界)，如图所示，阴影部分的面积是1－12×⎝⎛⎭⎫452＝1725，所以这两个数之和小于65的概率是1725.9．(2020·安徽淮南一模)《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代数学的代表作．书中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的径为多少步？”现若向此三角形内投豆子，则豆子落在其内切圆内的概率是( ) A.3π20 B.π20 C.3π10 D.π10答案 A解析 方法一：如右图，直角三角形的斜边长为82＋152＝17，设其内切圆的半径为r ，则8－r ＋15－r ＝17，解得r ＝3，∴内切圆的面积为πr 2＝9π，∴豆子落在内切圆内的概率P ＝9π12×8×15＝3π20，选A.方法二：依题意，直角三角形的斜边长为17.设内切圆半径为r ，则由等面积法，可得12×8×15＝12×(8＋15＋17)r ，解得r ＝3，向此三角形内投豆子，豆子落在其内切圆内的概率是P＝π×3212×8×15＝3π20. 10．(2020·河北唐山模拟)割补法在我国古代数学著作中称为“出入相补”，刘徽称之为“以盈补虚”，即以多余补不足，是数量的平均思想在几何上的体现，如图揭示了刘徽推导三角形面积公式的方法．在△ABC 内任取一点，则该点落在标记“盈”的区域的概率为( )A.14B.13 C.15 D.12答案 A解析 根据题意可得标记“盈”的区域的面积为三角形面积的四分之一，故该点落在标记“盈”的区域的概率为14，故选A.11．(2020·山东四校联考)如图的圆形图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自中间阴影区域内(阴影部分由四条四分之一圆弧围成)的概率是( )A.12B.13 C ．2－4πD.4π－1 答案 D解析 设圆的半径为R.如图的弓形(阴影部分)的面积S ＝14πR 2－12R 2＝π－24R 2，所以所求概率P ＝阴影部分的面积圆的面积＝πR 2－8×π－24R 2πR 2＝4π－1，故选D.12.(2020·辽宁五校联考)古希腊数学家阿基米德用穷竭法建立了这样的结论：“任何由直线和抛物线所包围的弓形，其面积都是其同底同高的三角形面积的三分之四．”如图，已知直线x ＝2交抛物线y 2＝4x 于A ，B 两点，点A ，B 在y 轴上的射影分别为D ，C.从长方形ABCD 中任取一点，则根据阿基米德这一理论，该点位于阴影部分的概率为( ) A.12 B.13 C.23 D.25答案 B解析 本题考查与面积有关的几何模型．在抛物线y 2＝4x 中，取x ＝2，可得y ＝±22，∴S矩形ABCD ＝82，由阿基米德理论可得弓形面积为43×12×42×2＝1623，则阴影部分的面积为82－1623＝823.由概率比为面积比可得点位于阴影部分的概率为82382＝13，故选B.13．在区间[0，1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( ) A.4nm B.2nm C.4m n D.2m n答案 C解析 由题意得，(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n)在如图所示的正方形中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中，即以1为半径的14圆中．由几何概型概率计算公式知π41＝m n ，所以π＝4mn.故选C.14．(2020·云南师大附中月考)在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中任取一点M ，则满足∠AMB>90°的概率为( ) A.π24 B.π12 C.π8 D.π6答案 A解析 以AB 为直径作球，球在正方体内的区域体积为V ＝14×43π×13＝π3，正方体的体积为8，∴所求概率P ＝π38＝π24.15．(2020·九江模拟)定义：一个矩形，如果从中截取一个最大的正方形，剩下的矩形与原矩形相似，则称这样的矩形为黄金矩形，其宽与长的比为黄金比．如图，现在在黄金矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自剩下的矩形EBCF 内部的概率为( ) A.3－52B.5－12 C.5－22D.2－12 答案 A解析 设AB ＝a ，AD ＝b ，则EB ＝a －b ，b a ＝a －b b ，整理得⎝⎛⎭⎫b a 2＋b a －1＝0，解得b a ＝5－12(负值已舍去)．∴P ＝b （a －b ）ab ＝1－b a ＝3－52.故选A.16．(2016·课标全国Ⅰ)某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是________． 答案 12解析 方法一：7：30的班车小明显然是坐不到的．当小明在7：50之后8：00之前到达，或者8：20之后8：30之前到达时，他等车的时间将不超过10分钟，故所求概率为10＋1040＝12. 方法二：当小明到达车站的时刻超过8：00，但又不到8：20时，等车时间将超过10分钟，7：50～8：30的其他时刻到达车站时，等车时间将不超过10分钟，故等车时间不超过10分钟的概率为1－2040＝12.17．若在区间[0，10]内随机取出两个数，则这两个数的平方和也在区间[0，10]内的概率是________． 答案π40解析 将取出的两个数分别用x ，y 表示，则0≤x ≤10，0≤y ≤10.如图所示，当点(x ，y)落在图中的阴影区域内时，取出的两个数的平方和也在区间[0，10]内，故所求概率为14π×10102＝π40.。

题组层级快练(二十二)1．给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 C解析 ①中，－3π4是第三象限角，故①错．②中，4π3＝π＋π3，从而②正确．③中，－400°＝－360°－40°，从而③正确．④中，－315°＝－360°＋45°，从而④正确． 2．已知tan α＝33，且α∈[0，3π]，则α的所有不同取值的个数为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 答案 B解析 ∵tan α＝33，且α∈[0，3π]，∴α的可能取值分别是π6，7π6，13π6，∴α的所有不同取值的个数为3.3．集合{α|k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z }中的角所表示的范围(阴影部分)是( )答案 C解析 当k ＝2n 时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2(n ∈Z )，此时α的终边和π4≤α≤π2的终边一样．当k ＝2n ＋1时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2(n ∈Z )，此时α的终边和π＋π4≤α≤π＋π2的终边一样．4．(2020·济南市三中月考)设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角答案 B解析 ∵θ为第三象限角，∴θ2为第二或第四象限角．又∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，∴cos θ2<0，∴θ2是第二象限角．5．若tan α>0，则( ) A ．sin2α>0 B ．cos α>0 C ．sin α>0 D ．cos2α>0 答案 A解析 ∵tan α>0，∴角α终边落在第一或第三象限，故B 、C 错；sin2α＝2sin αcos α>0，A 正确；cos2α＝cos 2α－sin 2α，正负不定，D 错，故选A.6．(2020·青岛模拟)已知角α的终边与单位圆的交点P ⎝⎛⎭⎫－12，y ，则sin α·tan α＝( ) A ．－33B ．±33 C ．－32D ．±32答案 C解析 由三角函数的定义得cos α＝－12，∴sin 2α＝1－cos 2α＝34，sin α·tan α＝sin 2αcos α＝－32.7．sin2·cos3·tan4的值( ) A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0 D ．不存在答案 A解析 ∵π2<2<3<π<4<3π2，∴sin2>0，cos3<0，tan4>0.∴sin2·cos3·tan4<0，∴选A.8．若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是( )A ．sin α＋cos α<0B ．tan α－sin α<0C ．cos α－tan α<0D ．tan αsin α<0答案 B解析 在第三象限，sin α<0，cos α<0，tan α>0，则可排除A ，C ，D 三项． 9．(2020·沧州七校联考)已知角x 的终边上一点坐标为(sin 5π6，cos 5π6)，则角x 的最小正值为( ) A.5π6 B.5π3 C.11π6D.2π3答案 B解析 因为sinx ＝cos 5π6＝－32，cosx ＝sin 5π6＝12，所以x ＝－π3＋2k π(k ∈Z )，当k ＝1时，x ＝5π3，即角x 的最小正值为5π3，故选B.10．若一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( ) A.π3 B.2π3 C. 3 D. 2 答案 C解析 设圆的半径为R ，由题意可知，圆内接正三角形的边长为3R ，∴圆弧长为3R.∴该圆弧所对圆心角的弧度数为3RR＝ 3. 11．sin1，cos1，tan1的大小关系是( ) A ．sin1<cos1<tan1 B ．tan1<sin1<cos1 C ．cos1<tan1<sin1 D ．cos1<sin1<tan1答案 D解析 如图，单位圆中∠MOP ＝1 rad>π4 rad.因为OM<22<MP<AT ，所以cos1<sin1<tan1.故选D.12．(2018·北京)在平面直角坐标系中，AB ︵，CD ︵，EF ︵，GH ︵是圆x 2＋y 2＝1上的四段弧(如图)，点P 在其中一段上，角α以Ox 为始边，OP 为终边．若tan α<cos α<sin α，则P 所在的圆弧是( )A.AB ︵B.CD ︵C.EF ︵D.GH ︵答案 C解析 设点P 的坐标为(x ，y)，利用三角函数的定义可得yx <x<y ，所以x<0，y>0，所以P 所在的圆弧是EF ︵，故选C.13．－2 020°角是第________象限角，与－2 020°角终边相同的最小正角是________，最大负角是________． 答案 二 140° －220°解析 ∵－2 020°＝－6×360°＋140°，∴－2 020°角的终边与140°角的终边相同． ∴－2 020°角是第二象限角，与－2 020°角终边相同的最小正角是140°.又是140°－360°＝－220°，故与－2 020°终边相同的最大负角是－220°.14．若扇形的周长为6，半径为2.则其中心角的大小为________弧度． 答案 1解析 由⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋α·r ＝6，r ＝2，得α＝1.15．若0≤θ≤2π，则使tan θ≤1成立的角θ的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎦⎤π2，54π∪⎝⎛⎦⎤32π，2π 16．函数y ＝lg(sinx －cosx)的定义域为________． 答案 {x|π4＋2k π<x<5π4＋2k π，k ∈Z }解析 利用三角函数线．如图，MN 为正弦线，OM 为余弦线，要使sinx>cosx ，只需π4<x<5π4(在[0，2π]上)．所以定义域为{x|π4＋2k π<x<5π4＋2k π，k ∈Z }．17．(2020·安徽合肥市二中月考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的始边与x 轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A 点，它的终边与单位圆相交于x 轴上方一点B ，始边不动，终边在运动．(1)若点B 的横坐标为－45，求tan α的值；(2)若△AOB 为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合； (3)若α∈⎝⎛⎦⎤0，2π3，请写出劣弓形AB 的面积S 与α的函数关系式．答案 (1)－34 (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫β|β＝π3＋2k π，k ∈Z (3)S ＝12α－12sin α，α∈⎝⎛⎦⎤0，2π3解析 (1)由题意可得B ⎝⎛⎭⎫－45，35，根据三角函数的定义得tan α＝y x ＝－34. (2)若△AOB 为等边三角形，则∠AOB ＝π3，故与角α终边相同的角β的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫β|β＝π3＋2k π，k ∈Z .(3)若α∈⎝⎛⎦⎥⎤0，2π3，则S 扇形＝12αr 2＝12α，而S △AOB ＝12×1×1×sin α＝12sin α，故劣弓形AB 的面积S ＝S 扇形－S △AOB ＝12α－12sin α，α∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，2π3.。

题组层级快练(四)1．如图所示，对应关系f 是从A 到B 的函数的是( )答案 D解析 A 到B 的函数为对于A 中的每一个元素在B 中都有唯一的元素与之对应，所以不能出现一对多的情况，因此D 项表示A 到B 的函数． 2．下列图象中不能作为函数图象的是( )答案 B解析 B 中的图象与垂直于x 轴的直线可能有两个交点，显然不满足函数的定义．故选B. 3．函数y ＝|x|（x －1） 的定义域为( ) A ．{x|x ≥1} B ．{x|x ≥1或x ＝0} C ．{x|x ≥0} D ．{x|x ＝0}答案 B解析 由题意得|x|(x －1)≥0，∴x －1≥0或|x|＝0. ∴x ≥1或x ＝0.4．下列四组函数中，表示同一函数的是( ) A ．f(x)＝x －1与g(x)＝x 2－1x ＋1B ．f(x)＝x ＋2，x ∈R 与g(x)＝x ＋2，x ∈ZC ．f(u)＝1＋u1－u与f(v)＝1＋v1－vD ．y ＝f(x)与y ＝f(x ＋1) 答案 C5．已知f(x 5)＝lgx ，则f(2)等于( ) A ．lg2 B ．lg32 C ．lg 132D.15lg2 答案 D 解析 令x 5＝t ，则x ＝t 15(t>0)，∴f(t)＝lgt 15＝15lgt.∴f(2)＝15lg2，故选D.6．(2014·山东，理)函数f(x)＝1（log 2x ）2－1的定义域为( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12 B ．(2，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤0，12∪[2，＋∞) 答案 C解析 由题意可知x 满足(log 2x)2－1>0，即log 2x>1或log 2x<－1，解得x>2或0<x<12，故所求的定义域是⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞)． 7．(2019·杭州学军中学模拟)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≤1，－x ，x>1，若f(x)＝2，则x 等于( )A ．log 32B ．－2C ．log 32或－2D ．2答案 A解析 当x ≤1时，3x ＝2，∴x ＝log 32；当x>1时，－x ＝2，∴x ＝－2(舍去)． ∴x ＝log 32.8．已知函数f(x)对任意实数x 满足f(2x －1)＝2x 2，若f(m)＝2，则m ＝( ) A ．1 B ．0 C ．1或－3 D ．3或－1答案 C解析 本题考查函数的概念与解析式的求解．令2x －1＝t 可得x ＝12(t ＋1)，故f(t)＝2×14×(t ＋1)2＝12(t ＋1)2，故f(m)＝12(m ＋1)2＝2，故m ＝1或m ＝－3.9．函数y ＝⎝⎛⎭⎫14－x－3·2x －4的定义域为( )A ．[2，＋∞)B ．(－∞，2]C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]答案 A解析 由题意得⎝⎛⎭⎫14－x－3·2x －4≥0，即22x －3·2x －4≥0. ∴(2x －4)(2x ＋1)≥0，解得x ≥2.故选A.10．(2020·湖北宜昌一中模拟)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ，x<1，2x ，x ≥1.若f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫56＝4，则b ＝( ) A ．1 B.78 C.34 D.12答案 D解析 f ⎝⎛⎭⎫56＝3×56－b ＝52－b ， 当52－b ≥1，即b ≤32时，f ⎝⎛⎭⎫52－b ＝252－b ， 即252－b ＝4＝22，得到52－b ＝2，即b ＝12；当52－b<1，即b>32时，f ⎝⎛⎭⎫52－b ＝152－3b －b ＝152－4b ，即152－4b ＝4，得到b ＝78<32，舍去． 综上，b ＝12，故选D.11．函数f(x)＝－x 2－3x ＋4lg （x ＋1）的定义域为( )A ．(－1，0)∪(0，1]B ．(－1，1]C ．(－4，－1]D ．(－4，0)∪(0，1]答案 A解析 要使函数f(x)有意义，应有⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－3x ＋4≥0，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x<0或0<x ≤1，故选A.12．已知f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x 2＋1x2，则f(3)＝______． 答案 11解析 ∵f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝⎝⎛⎭⎫x －1x 2＋2， ∴f(x)＝x 2＋2(x ∈R )，∴f(3)＝32＋2＝11.13．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出x 1 2 3 f(x)2 3 1x 1 2 3 g(x)321则f[g(1)]的值为________；满足f[g(x)]>g[f(x)]的x 的值是________． 答案 1 214．定义函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x>0，0，x ＝0，－1，x<0，则不等式(x ＋1)f(x)>2的解集是________．答案 {x|x<－3或x>1}解析 ①当x>0时，f(x)＝1，不等式的解集为{x|x>1}；②当x ＝0时，f(x)＝0，不等式无解；③当x<0时，f(x)＝－1，不等式的解集为{x|x<－3}．所以不等式(x ＋1)f(x)>2的解集为{x|x<－3或x>1}．15．(2018·浙江改编)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥2，x 2－4x ＋3，x<2.则不等式f(x)<0的解集是________．答案 (1，4)解析 方法一：当x ≥2时，x －4＜0，得2≤x ＜4， 当x ＜2时，x 2－4x ＋3＜0，得1＜x ＜2， ∴f(x)＜0的解集是[2，4)∪(1，2)＝(1，4)．方法二：分段函数的图象如图得出不等式f(x)<0的解集是(1，4).16．(名师原创)将正整数12分解成两个正整数的乘积有1×12，2×6，3×4三种，其中3×4是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称3×4为12的最佳分解．当p ×q(p ≤q 且p ，q ∈N *)是正整数n 的最佳分解时，我们规定函数f(n)＝p q ，例如：f(12)＝34.关于函数f(n)有下列叙述：①f(7)＝17；②f(24)＝38；③f(28)＝47；④f(144)＝916，其中所有正确的序号为________．答案 ①③解析 利用题干中提供的新定义信息可得，对于①，∵7＝1×7，∴f(7)＝17，①正确；对于②，∵24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，∴f(24)＝46＝23，②不正确；对于③，∵28＝1×28＝2×14＝4×7，∴f(28)＝47，③正确；对于④，∵144＝1×144＝2×72＝3×48＝4×36＝6×24＝8×18＝9×16＝12×12，∴f(144)＝1212＝1，④不正确．17．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝⎩⎨⎧cx，x<A ，cA ，x ≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，求c 和A 的值． 答案 60，16解析 因为组装第A 件产品用时15分钟，所以c A ＝15①，所以必有4<A ，且c 4＝c2＝30②，联立①②解得c ＝60，A ＝16.。

专题层级快练(六十九)1．已知a ，b 满足2a ＋3b ＝1，则直线4x ＋ay －2b ＝0必过的定点为( ) A.⎝⎛⎭⎫43，16 B.⎝⎛⎭⎫43，－16 C.⎝⎛⎭⎫16，43 D.⎝⎛⎭⎫16，－43 答案 D解析 ∵2a ＋3b ＝1，又由4x ＋ay －2b ＝0， 得－y 4x a ＋12x b ＝1，∴⎩⎨⎧－y 4x ＝2，12x ＝3，∴⎩⎨⎧x ＝16，y ＝－43.选D.2．垂直于x 轴的直线交双曲线x 2－2y 2＝2于不同的两点M ，N ，A 1，A 2分别为双曲线的左、右顶点，设直线A 1M 与A 2N 交于点P(x 0，y 0)，则x 02＋2y 02的值为( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2答案 D解析 设M(x 1，y 1)，则N(x 1，－y 1)，y 1≠0，∵A 1(－2，0)，A 2(2，0)，∴直线A 1M 的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)①，直线A 2N 的方程为y ＝－y 1x 1－2(x －2)②，由①×②，得y 2＝－y 12x 12－2(x 2－2)．∵x 12－2y 12＝2，∴y 2＝－12(x 2－2)，即x 2＋2y 2＝2.∵P(x 0，y 0)是直线A 1M 与A 2N的交点，∴x 02＋2y 02＝2.3．一动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则此动圆必过定点( ) A ．(4，0) B ．(2，0) C ．(0，2) D ．(0，0) 答案 B解析 由抛物线y 2＝8x ，得准线方程为x ＝－p2＝－2，焦点坐标为(2，0)．因为动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，由抛物线的定义可知动圆必经过定点(2，0)．故选B.4．(2020·湖北八校第二次模拟)已知抛物线y 2＝2px(p ＞0)的焦点为F ，过F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点(点A 在第一象限)，若直线l 的倾斜角为2π3，则|AF||BF|等于( )A.13 B.25 C.12 D.23答案 A解析 由题意得F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，直线l 的斜率k ＝tan 2π3＝－3，∴直线l 的方程为y ＝－3⎝⎛⎭⎫x －p 2，即x ＝－33y ＋p 2，代入抛物线方程得y 2＋233py －p 2＝0，解得y ＝33p 或y ＝－3p ，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由点A 在第一象限可知y 1＝33p ，则y 2＝－3p ，∴|AF||BF|＝|y 1||y 2|＝13.故选A. 5．(2020·河北石家庄二模)倾斜角为π4的直线经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F ，与椭圆交于A ，B 两点，且AF →＝2FB →，则该椭圆的离心率为( ) A.32 B.23 C.22D.33答案 B解析 由题可知，直线的方程为y ＝x －c ，与椭圆方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝x －c ，∴(b 2＋a 2)y 2＋2b 2cy－b 4＝0，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2b 2c a 2＋b 2，y 1y 2＝－b 4a 2＋b 2，又AF →＝2FB →，∴(c －x 1，－y 1)＝2(x 2－c ，y 2)，∴－y 1＝2y 2，可得⎩⎪⎨⎪⎧－y 2＝－2b 2c a 2＋b2，－2y 22＝－b4a 2＋b 2. ∴12＝4c 2a 2＋b 2，又b 2＝a 2－c 2，∴e ＝23.故选B. 6．(2020·江西新余二模)斜率为k 的直线l 过抛物线y 2＝2px(p ＞0)的焦点F ，交抛物线于A ，B 两点，点P(x 0，y 0)为AB 中点，作OQ ⊥AB ，垂足为Q ，则下列结论中不正确的是( )A ．ky 0为定值B.OA →·OB →为定值C ．点P 的轨迹为圆的一部分D ．点Q 的轨迹为圆的一部分答案 C解析 由题意知抛物线的焦点为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设直线l 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p2(k ≠0)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去y ，整理得k 2x 2－(k 2p ＋2p)x ＋k 2p 24＝0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝k 2p ＋2p k 2，x 1x 2＝p 24.则x 0＝x 1＋x 22＝k 2p ＋2p2k 2，所以y 1＋y 2＝2pk ，y 1y 2＝－p 2，y 0＝y 1＋y 22＝p k. A 中，ky 0＝k·pk＝p ，为定值，故A 正确．B 中，OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝p 24－p 2＝－3p 24，为定值，故B 正确．C 中，由⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝k 2p ＋2p 2k 2，y 0＝p k ，消去k ，得x 0＝p 2＋y 02p，故点P 的轨迹不是圆的一部分，所以C 错误．D 中，由于OQ ⊥AB ，直线AB 过定点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，所以点Q 在以OF 为直径的圆上．故D 正确．7．过抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，则1|AF|＋1|BF|＝________． 答案 2p8．已知曲线C ：y 2＝2px(p>0)．O 为原点，A ，B 是C 上两个不同点，且OA ⊥OB ，则直线AB 过定点________． 答案 (2p ，0)9．已知A ，B 是抛物线C ：y 2＝2px(p>0)过焦点的弦两个端点，分别过A ，B 作C 的切线l 1，l 2，则l 1与l 2的交点在定直线l 上，那么l 的方程为________． 答案 x ＝－p210．(2017·课标全国Ⅰ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，四点P 1(1，1)，P 2(0，1)，P 3⎝⎛⎭⎫－1，32，P 4⎝⎛⎭⎫1，32中恰好有三点在椭圆C 上． (1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点． 答案 (1)x 24＋y 2＝1 (2)略解析 (1)由于P 3，P 4两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过P 3，P 4两点．又由1a 2＋1b 2>1a2＋34b 2知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上，因此⎩⎨⎧1b 2＝1，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1. 故C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2.如果l 与x 轴垂直，设l ：x ＝t ，由题设知t ≠0，且|t|<2，可得A ，B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，4－t 22，⎝⎛⎭⎪⎫t ，－4－t 22.则k 1＋k 2＝4－t 2－22t－4－t 2＋22t＝－1，得t ＝2，不符合题设． 从而可设l ：y ＝kx ＋m(m ≠1)．将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.而k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝2kx 1x 2＋（m －1）（x 1＋x 2）x 1x 2.由题设知k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0， 即(2k ＋1)·4m 2－44k 2＋1＋(m －1)·－8km 4k 2＋1＝0，解得k ＝－m ＋12.当且仅当m>－1时，Δ>0，于是l ：y ＝－m ＋12x ＋m ，即y ＋1＝－m ＋12(x －2)，所以l 过定点(2，－1)．11．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为e ＝32，其左、右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|＝23，设点M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)是椭圆上不同两点，且这两点与坐标原点的连线的斜率之积为－14.(1)求椭圆C 的方程；(2)求证：x 12＋x 22为定值，并求该定值． 答案 (1)x 24＋y 2＝1 (2)4解析 (1)依题意，c ＝3，而e ＝32，∴a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1，则椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：由于y 1x 1·y 2x 2＝－14，则x 1x 2＝－4y 1y 2，x 12x 22＝16y 12y 22.而x 124＋y 12＝1，x 224＋y 22＝1，则1－x 124＝y 12，1－x 224＝y 22， ∴⎝⎛⎭⎫1－x 124⎝⎛⎭⎫1－x 224＝y 12y 22，则(4－x 12)(4－x 22)＝16y 12y 22， (4－x 12)(4－x 22)＝x 12x 22，展开，得x 12＋x 22＝4为定值．12．过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 且斜率为k 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点． (1)若|AB|＝8，求直线l 的方程；(2)若点A 关于x 轴的对称点为D ，求证：直线BD 过定点，并求出该定点的坐标． 答案 (1)y ＝x －1或y ＝－x ＋1 (2)证明略，定点为(－1，0)解析 (1)由题知，抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1，0)，直线l 的斜率为k ，故可设直线l 的方程为y ＝k(x －1)，直线l 与抛物线C 的交点分别为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k （x －1），得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. 由题意知k ≠0，且Δ＝[－(2k 2＋4)]2－4k 2·k 2＝16(k 2＋1)>0. 所以x 1＋x 2＝2k 2＋4k2，x 1x 2＝1.由抛物线的定义，知|AB|＝x 1＋x 2＋2＝8，所以x 1＋x 2＝6，所以2k 2＋4k 2＝6，即k 2＝1，解得k ＝±1，所以直线l 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1.(2)证明：因为点A 关于x 轴的对称点为D ，所以D(x 1，－y 1)， 则直线BD 的斜率为k BD ＝y 2＋y 1x 2－x 1＝y 2＋y 1y 224－y 124＝4y 2－y 1， 所以直线BD 的方程为y ＋y 1＝4y 2－y 1(x －x 1)，即(y 2－y 1)y ＋y 2y 1－y 12＝4x －4x 1. 因为y 2＝4x ，x 1x 2＝1，所以(y 1y 2)2＝16x 1x 2＝16，即y 1y 2＝－4(因为y 1，y 2异号)， 所以(y 2－y 1)y －4－y 12＝4x －4×y 124，所以直线BD 的方程为4(x ＋1)＋(y 1－y 2)y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝0，y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0，所以直线BD 过定点(－1，0)．。

题组层级快练(十)1．log 29·log 34的值为( ) A ．14 B ．12 C ．2 D ．4答案 D解析 原式＝log 232·log 322＝4log 23·log 32＝4·lg3lg2·lg2lg3＝4.2．若log a 23<1(a>0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，23 B ．(1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫0，23∪(1，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫23，1 答案 C解析 当0<a<1时，log a 23<log a a ＝1，∴0<a<23；当a>1时，log a 23<log a a ＝1，∴a>1.∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，23∪(1，＋∞)． 3．(2020·河北保定模拟)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＝b ＜c B ．a ＝b ＞c C ．a ＜b ＜c D ．a ＞b ＞c 答案 B解析 a ＝log 23＋log 23＝log 233，b ＝log 29－log 23＝log 233，因此a ＝b ，而log 233＞log 22＝1，log 32＜log 33＝1，所以a ＝b ＞c ，故选B. 4．函数y ＝ln1|2x －3|的图象为( )答案 A解析 易知2x －3≠0，即x ≠32，排除C 、D 项．当x>32时，函数为减函数，当x<32时，函数为增函数，所以选A.5．(2019·衡水中学调研卷)若0＜a ＜1，则不等式1log a x ＞1的解是( )A ．x ＞aB ．a ＜x ＜1C ．x ＞1D ．0＜x ＜a答案 B解析 易得0＜log a x ＜1，∴a ＜x ＜1.6．(2014·新课标全国Ⅱ，理)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( ) A ．c>b>a B ．b>c>a C ．a>c>b D ．a>b>c答案 D解析 a ＝log 36＝1＋log 32，b ＝log 510＝1＋log 52，c ＝log 714＝1＋log 72，则只要比较log 32，log 52，log 72的大小即可，在同一坐标系中作出函数y ＝log 3x ，y ＝log 5x ，y ＝log 7x 的图象，由三个图象的相对位置关系，可知a>b>c ，故选D.7．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2（2－x ），x<1，2x －1，x ≥1，则f(－2)＋f(log 212)等于( )A ．3B ．6C ．9D ．12答案 C解析 因为－2<1，所以f(－2)＝1＋log 2[2－(－2)]＝3. 因为log 212>1，所以f(log 212)＝2log 212－1＝2log 26＝6. 所以f(－2)＋f(log 212)＝9.故选C.8．若实数a ，b ，c 满足log a 2<log b 2<log c 2<0，则下列关系中正确的是( ) A ．a<b<c B ．b<a<c C ．c<b<a D ．a<c<b答案 C解析 根据不等式的性质和对数的换底公式可得1log 2a <1log 2b <1log 2c <0，即log 2c<log 2b<log 2a<0，可得c<b<a<1.故选C. 9．(2017·课标全国Ⅱ)设0＜a ＜1，则( ) A ．log 2a>log 2 a B ．log2a>log 2a C ．log 2a<log2aD ．log 2a<log2a答案 B解析 ∵0＜a ＜1，∴0＜a 2＜a ＜a ＜1，∴在A 中，log 2a ＝log 2a ，故A 错误；在B 中，log2a>log 2a ，故B 正确；在C 中，log 2a>log2a ，故C 错误； 在D 中，log 2a>log2a ，故D 错误．10．函数f(x)＝2|log 2x|的图象大致是( )答案 C解析 ∵f(x)＝2|log 2x|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥1，1x ，0<x<1，∴选C.11．若函数y ＝log a (x 2－ax ＋2)在区间(－∞，1]上为减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(0，1) B ．[2，＋∞) C ．[2，3) D ．(1，3)答案 C解析 当0<a<1时，由复合函数与对数函数的性质知，不合题意；当a>1时，要满足⎩⎪⎨⎪⎧12－a ＋2>0，a 2≥1，解得2≤a<3.故a 的取值范围是[2，3)． 12．(2020·湖北宜昌一中模拟)已知函数f(x)＝xln(e 2x ＋1)－x 2＋1，f(a)＝2，则f(－a)的值为( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．－2 答案 B解析 方法一：f(x)＋f(－x)＝xln(e 2x ＋1)－x 2＋1＋[－xln(e －2x ＋1)－(－x)2＋1] ＝x[ln(e 2x ＋1)－ln(e －2x ＋1)]－2x 2＋2＝xlne 2x ＋1e －2x ＋1－2x 2＋2＝xlne 2x －2x 2＋2＝2x 2－2x 2＋2＝2，所以f(a)＋f(－a)＝2， 因为f(a)＝2，所以f(－a)＝2－f(a)＝0.故选B.方法二：∵f(a)＝aln(e 2a ＋1)－a 2＋1＝2，∴f(－a)＝－aln(e －2a ＋1)－a 2＋1＝－aln 1＋e 2ae2a －a 2＋1＝－aln(1＋e 2a )＋2a 2－a 2＋1＝－aln(e 2a ＋1)＋a 2＋1＝－[aln(e 2a ＋1)－a 2＋1]＋2 ＝－f(a)＋2＝0.故选B.13．(1)若log a (x ＋1)>log a (x －1)，则a ∈________，x ∈________． (2)若log a 3<log a π，则实数a 的取值范围是________． (3)若log 3a<log πa ，则实数a 的取值范围是________． 答案 (1)(1，＋∞) (1，＋∞) (2)a>1 (3)0<a<1 14．(2020·沧州七校联考)函数f(x)＝log 2x ·log 2(2x)的最小值为________．答案 －14解析 f(x)＝12log 2x ·[2(log 2x ＋1)]＝(log 2x)2＋log 2x ＝⎝⎛⎭⎫log 2x ＋122－14，∴当log 2x ＝－12，即x ＝22时，f(x)最小值为－14. 15．(2019·皖南八校联考)已知函数f(x)＝lgx ，若f(ab)＝1，则f(a 2)＋f(b 2)＝________． 答案 2解析 由f(ab)＝1，得ab ＝10.于是f(a 2)＋f(b 2)＝lga 2＋lgb 2＝2(lg|a|＋lg|b|)＝2lg|ab|＝2lg10＝2.16．设函数f(x)＝|lgx|，(1)若0<a<b 且f(a)＝f(b)．证明：ab ＝1； (2)若0＜a ＜b 且f(a)＞f(b)．证明：ab ＜1. 答案 略证明 (1)由|lga|＝|lgb|，得－lga ＝lgb.∴ab ＝1. (2)由题设f(a)＞f(b)，即|lga|＞|lgb|.上式等价于(lga)2＞(lgb)2，即(lga ＋lgb)(lga －lgb)＞0，lg(ab)lg ab ＞0，由已知b ＞a ＞0，得0＜ab＜1. ∴lg ab ＜0，故lg(ab)＜0.∴ab ＜1.。

专题层级快练(十八)1．(2019·山东陵县一中月考)已知函数f(x)＝x 2e x ，当x ∈[－1，1]时，不等式f(x)<m 恒成立，则实数m 的取值范围为( ) A ．[1e ，＋∞)B ．(1e ，＋∞)C ．[e ，＋∞)D ．(e ，＋∞)答案 D解析 由f ′(x)＝e x (2x ＋x 2)＝x(x ＋2)e x ，得当－1<x<0时，f ′(x)<0，函数f(x)单调递减，当0<x<1时，f ′(x)>0，函数f(x)单调递增，且f(1)>f(－1)，故f(x)max ＝f(1)＝e ，则m>e.故选D. 2．已知函数f(x)＝x ＋4x ，g(x)＝2x ＋a ，若∀x 1∈⎣⎡⎦⎤12，1，∃x 2∈[2，3]，使得f(x 1)≥g(x 2)，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≤1 B ．a ≥1 C ．a ≤2 D ．a ≥2 答案 A解析 由题意知f(x)min ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤12，1≥g(x)min (x ∈[2，3])，因为f(x)min ＝5，g(x)min ＝4＋a ，所以5≥4＋a ，即a ≤1，故选A.3．(2020·衡水中学调研)设函数f(x)＝ax 2－xlnx －(2a －1)x ＋a －1(a ∈R )．若对任意的x ∈[1，＋∞)，f(x)≥0恒成立，求实数a 的取值范围． 答案 ⎣⎡⎭⎫12，＋∞解析 f ′(x)＝2ax －1－lnx －(2a －1)＝2a(x －1)－lnx(x>0)， 易知当x ∈(0，＋∞)时，lnx ≤x －1， 则f ′(x)≥2a(x －1)－(x －1)＝(2a －1)(x －1)．当2a －1≥0，即a ≥12时，由x ∈[1，＋∞)得f ′(x)≥0恒成立，f(x)在[1，＋∞)上单调递增，f(x)≥f(1)＝0，符合题意．当a ≤0时，由x ∈[1，＋∞)得f ′(x)≤0恒成立，f(x)在[1，＋∞)上单调递减， f(x)≤f(1)＝0，显然不合题意，a ≤0舍去．当0<a<12时，由lnx ≤x －1，得ln 1x ≤1x －1，即lnx ≥1－1x ，则f ′(x)≤2a(x －1)－⎝⎛⎭⎫1－1x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x (2ax －1)． ∵0<a<12，∴12a>1.当x ∈⎣⎡⎦⎤1，12a 时，f ′(x)≤0恒成立，∴f(x)在⎣⎡⎦⎤1，12a 上单调递减， ∴当x ∈⎣⎡⎦⎤1，12a 时，f(x)≤f(1)＝0，显然不合题意，0<a<12舍去． 综上可得，a ∈⎣⎡⎭⎫12，＋∞.4．(2020·贵州适应性考试)已知函数f(x)＝ax －e x (a ∈R )，g(x)＝lnxx .(1)求函数f(x)的单调区间；(2)∃x 0∈(0，＋∞)，使不等式f(x)≤g(x)－e x 成立，求a 的取值范围．答案 (1)当a ≤0时，f(x)在R 上单调递减；当a>0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，lna)，单调递减区间为(lna ，＋∞) (2)(－∞，12e ]解析 (1)因为f ′(x)＝a －e x ，x ∈R .当a ≤0时，f ′(x)＜0，f(x)在R 上单调递减； 当a ＞0时，令f ′(x)＝0得x ＝lna.由f ′(x)＞0得f(x)的单调递增区间为(－∞，lna)； 由f ′(x)＜0得f(x)的单调递减区间为(lna ，＋∞)．(2)因为∃x 0∈(0，＋∞)，使不等式f(x)≤g(x)－e x ，则ax ≤lnx x ，即a ≤lnxx 2.设h(x)＝lnx x 2，则问题转化为a ≤⎝⎛⎭⎫lnx x 2max ，由h ′(x)＝1－2lnx x 3，令h ′(x)＝0，则x ＝ e.当x 在区间(0，＋∞)内变化时，h ′(x)，h(x)的变化情况如下表：由上表可知，当x＝e时，函数h(x)有极大值，即最大值为12e.所以a≤12e.5．(2017·课标全国Ⅱ)设函数f(x)＝(1－x2)e x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当x≥0时，f(x)≤ax＋1，求a的取值范围．答案(1)f(x)在(－∞，－1－2)，(－1＋2，＋∞)上单调递减，在(－1－2，－1＋2)上单调递增(2)[1，＋∞)解析(1)f′(x)＝(1－2x－x2)e x.令f′(x)＝0得x＝－1－2或x＝－1＋ 2.当x∈(－∞，－1－2)时，f′(x)<0；当x∈(－1－2，－1＋2)时，f′(x)>0；当x∈(－1＋2，＋∞)时，f′(x)<0.所以f(x)在(－∞，－1－2)，(－1＋2，＋∞)上单调递减，在(－1－2，－1＋2)上单调递增．(2)f(x)＝(1＋x)(1－x)e x.方法一：当a≥1时，设函数h(x)＝(1－x)e x，h′(x)＝－xe x<0(x>0)，因此h(x)在[0，＋∞)上单调递减，而h(0)＝1，故h(x)≤1，所以f(x)＝(x＋1)h(x)≤x＋1≤ax＋1.当0<a<1时，设函数g(x)＝e x－x－1，则g′(x)＝e x－1>0(x>0)，所以g(x)在[0，＋∞)上单调递增，而g(0)＝0，故e x≥x＋1.当0<x<1时，f(x)>(1－x)(1＋x)2，(1－x)(1＋x)2－ax－1＝x(1－a－x－x2)，取x0＝5－4a－12，则x0∈(0，1)，(1－x0)(1＋x0)2－ax0－1＝0，故f(x0)>ax0＋1.当a≤0时，取x0＝5－12，则x0∈(0，1)，f(x0)>(1－x0)(1＋x0)2＝1≥ax0＋1.综上，a的取值范围是[1，＋∞)．方法二：令g(x)＝f(x)－ax－1＝(1－x2)e x－(ax＋1)．g(0)＝0.即当x≥0时，g(x)≤0＝g(0)．g′(x)＝(1－x2－2x)e x－a.g″(x)＝－(x2＋4x＋1)e x.当x ≥0时，g ″(x)<0. ∴g ′(x)在[0，＋∞)单调递减．∴g ′(x)≤g ′(0)＝1－a ，要使g(x)≤g(0)在[0，＋∞)恒成立． ∴1－a ≤0，∴a ≥1.6．已知函数f(x)＝x －(a ＋1)lnx －a x (a ∈R )，g(x)＝12x 2＋e x －xe x .(1)当x ∈[1，e]时，求f(x)的最小值；(2)当a<1时，若存在x 1∈[e ，e 2]，使得对任意的x 2∈[－2，0]，f(x 1)<g(x 2)成立，求a 的取值范围．答案 (1)当a ≤1时，f(x)min ＝1－a ；当1<a<e 时，f(x)min ＝a －(a ＋1)lna －1；当a ≥e 时，f(x)min ＝e －(a ＋1)－a e (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2－2e e ＋1，1 解析 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝（x －1）（x －a ）x 2.①当a ≤1时，x ∈[1，e]，f ′(x)≥0，f(x)为增函数，f(x)min ＝f(1)＝1－a.②当1<a<e 时，x ∈[1，a]时，f ′(x)≤0，f(x)为减函数；x ∈[a ，e]时，f ′(x)≥0，f(x)为增函数；所以f(x)min ＝f(a)＝a －(a ＋1)lna －1.③当a ≥e 时，x ∈[1，e]时，f ′(x)≤0，f(x)在[1，e]上为减函数． f(x)min ＝f(e)＝e －(a ＋1)－ae .综上，当a ≤1时，f(x)min ＝1－a ； 当1<a<e 时，f(x)min ＝a －(a ＋1)lna －1； 当a ≥e 时，f(x)min ＝e －(a ＋1)－ae.(2)由题意知f(x)(x ∈[e ，e 2])的最小值小于g(x)(x ∈[－2，0])的最小值． 由(1)知当a<1时f(x)在[e ，e 2]上单调递增，f(x)min ＝f(e)＝e －(a ＋1)－ae .g ′(x)＝(1－e x )x.当x ∈[－2，0]时，g ′(x)≤0，g(x)为减函数，g(x)min ＝g(0)＝1，所以e －(a ＋1)－ae<1，即a>e 2－2ee ＋1，所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2－2e e ＋1，1.7．(2020·石家庄市高三一检)已知函数f(x)＝axe x －(a ＋1)(2x －1)． (1)若a ＝1，求函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程； (2)当x>0时，函数f(x)≥0恒成立，求实数a 的取值范围． 答案 (1)y ＝－3x ＋2 (2)⎣⎡⎭⎫1e －1，＋∞解析 (1)若a ＝1，则f(x)＝xe x －2(2x －1)， f ′(x)＝xe x ＋e x －4，则f ′(0)＝－3，f(0)＝2， 所以所求切线方程为y ＝－3x ＋2. (2)由已知可得，f(1)≥0，得a ≥1e －1>0， f(x)≥0对任意的x>0恒成立可转化为aa ＋1≥2x －1xe x 对任意的x>0恒成立． 设函数F(x)＝2x －1xe x (x>0)，则F ′(x)＝－（2x ＋1）（x －1）x 2e x.则函数F(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以F(x)max ＝F(1)＝1e .于是a a ＋1≥1e ，解得a ≥1e －1.故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e －1，＋∞.。

题组层级快练(二十三)1．(2019·北京会考卷改编)cos 2 020π3＝( )A ．－12B.12 C ．－32D.32答案 A解析 cos 2 020π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫673π＋π3＝－cos π3＝－12.2．已知tan(α－π)＝34，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2等于( )A.45 B ．－45C.35 D ．－35答案 B解析 ∵tan(α－π)＝－tan(π－α)＝tan α，∴tan α＝34.又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，∴cos α＝－45，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cos α＝－45.3．(2020·佛山质检)已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且cos α＝－513，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π2cos （α＋π）等于( )A.1213 B ．－1213C.1312 D ．－1312答案 C解析 由已知sin α＝1－cos 2α＝1213，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2cos （α＋π）＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2·cos （α＋π）＝cos α（－sin α）·（－cos α）＝1sin α＝1312.4．(2019·湖北四校第二次联考)已知角α是第二象限角，且满足sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α＋3cos(α－π)＝1，则tan(π＋α)＝( ) A. 3 B ．－ 3 C ．－33D ．－1答案 B解析 方法一：由sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2＋α＋3cos(α－π)＝1，得cos α－3cos α＝1，∴cos α＝－12，∵角α是第二象限角，∴sin α＝32，∴tan(π＋α)＝tan α＝sin αcos α＝－3，故选B. 方法二：由sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2＋α＋3cos(α－π)＝1，得cos α－3cos α＝1，∴cos α＝－12，∵角α是第二象限角，∴可取α＝2π3，∴tan(π＋α)＝tan 2π3＝－3，故选B.5．(2020·杭州学军中学模拟)已知cos31°＝a ，则sin239°·tan149°的值为( ) A.1－a 2aB.1－a 2C.a 2－1aD ．－1－a 2答案 B解析 sin239°·tan149°＝sin(270°－31°)·tan(180°－31°)＝－cos31°·(－tan31°)＝sin31°＝1－a 2.6．(2020·合肥市一检)已知cos α－sin α＝15，则cos(2α－π2)＝( )A ．－2425B ．－45C.2425D.45 答案 C解析 由cos α－sin α＝15，得1－sin2α＝125，所以sin2α＝2425，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π2＝sin2α＝2425，故选C.7.1＋2sin （π－3）cos （π＋3）化简的结果是( ) A ．sin3－cos3 B ．cos3－sin3 C ．±(sin3－cos3) D ．以上都不对 答案 A解析 sin(π－3)＝sin3，cos(π＋3)＝－cos3， ∴原式＝1－2sin3·cos3＝（sin3－cos3）2＝|sin3－cos3|.∵π2<3<π，∴sin3>0，cos3<0. ∴原式＝sin3－cos3，选A.8．(2020·福州市质检)已知sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝12，且θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝( )A ．0 B.12 C ．1 D.32答案 C解析 由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝12，且θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2得，θ＝π3，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝cos0＝1，故选C.9．(2019·天津西青区)已知sin α＋cos α＝－2，则tan α＋1tan α＝( )A ．2 B.12 C ．－2 D ．－12答案 A 解析由已知，可得(sin α＋cos α)2＝2，∴sin αcos α＝12，tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝112＝2.故选A. 10．(2020·新疆兵团一中摸底)已知2sin θ＝1＋cos θ，则tan θ＝( ) A ．－43或0B.43或0 C ．－43D.43答案 B解析 方法一：将2sin θ＝1＋cos θ两边平方并整理可得5cos 2θ＋2cos θ－3＝0，解得cos θ＝－1或35.当cos θ＝－1时，θ＝2k π＋π，k ∈Z ，得tan θ＝0；当cos θ＝35时，sin θ＝12(1＋cosθ)＝45，得tan θ＝43.故选B.方法二：由已知4sin θ2cos θ2＝2cos 2θ2，∴cos θ2＝0或tan θ2＝12.由cos θ2＝0可得sin θ＝0，从而tanθ＝0.由tan θ2＝12可得tan θ＝2tanθ21－tan 2θ2＝43，故选B. 11．(2020·福建泉州模拟)已知1＋sin αcos α＝－12，则cos αsin α－1的值是( )A.12 B ．－12C ．2D ．－2答案 A解析 因为1－sin 2α＝cos 2α，cos α≠0，1－sin α≠0，所以(1＋sin α)(1－sin α)＝cos αcos α，所以1＋sin αcos α＝cos α1－sin α，所以cos α1－sin α＝－12，即cos αsin α－1＝12.故选A.12．化简1＋sin α＋cos α＋2sin αcos α1＋sin α＋cos α的结果是( )A ．2sin αB ．2cos αC ．sin α＋cos αD ．sin α－cos α 答案 C解析 原式＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＋sin α＋cos α1＋sin α＋cos α＝（sin α＋cos α）2＋sin α＋cos α1＋sin α＋cos α＝（sin α＋cos α）（sin α＋cos α＋1）1＋sin α＋cos α＝sin α＋cos α.故选C.13．若sin θ，cos θ是关于x 的方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两个根，则m 的值为( ) A ．1＋ 5 B ．1－ 5 C ．1± 5 D ．－1－ 5 答案 B解析 由题意知sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θcos θ＝m 4.又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，所以m 24＝1＋m2，解得m ＝1±5.又Δ＝4m 2－16m ≥0，所以m ≤0或m ≥4，所以m ＝1－ 5.故选B.14．(2020·河北九校第二次联考)已知点P(sin35°，cos35°)为角α终边上一点，若0°≤α<360°，则α＝________． 答案 55°解析 由题意知cos α＝sin35°＝cos55°，sin α＝cos35°＝sin55°，P 在第一象限，∴α＝55°. 15．(2020·河北武邑中学调研)已知sin α＝13，0<α<π，则sin α2＋cos α2＝________．答案233解析 ∵α∈(0，π)，∴α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α2＋cos α2>0，⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22＝1＋sin α＝43，∴sin α2＋cos α2＝233.16．(2019·浙江嘉兴联考)已知α为钝角，sin(π4＋α)＝34，则sin(π4－α)＝________，cos(α－π4)＝________． 答案 －74 34解析 sin(π4－α)＝cos[π2－(π4－α)]＝cos(π4＋α)，∵α为钝角，∴34π<π4＋α<54π.∴cos(π4＋α)<0.∴cos(π4＋α)＝－1－（34）2＝－74.∴sin(π4－α)＝－74.cos(α－π4)＝sin[π2＋(α－π4)]＝sin(π4＋α)＝34.17．(2020·沧州七校联考)已知sin(3π＋α)＝2sin(3π2＋α)，则①sin α－4cos α5sin α＋2cos α＝________；②sin 2α－cos2α＝________． 答案 －16 75解析 ∵sin(3π＋α)＝2sin(3π2＋α)，∴－sin α＝－2cos α，即sin α＝2cos α. ①原式＝2cos α－4cos α10cos α＋2cos α＝－212＝－16.②∵sin α＝2cos α，∴tan α＝2，∴原式＝2sin 2α－cos 2α＝2sin 2α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－1tan 2α＋1＝75.18．化简sin 6α＋cos 6α＋3sin 2αcos 2α的结果是________． 答案 1解析 sin 6α＋cos 6α＋3sin 2αcos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)(sin 4α－sin 2αcos 2α＋cos 4α)＋3sin 2αcos 2α＝sin 4α＋2sin 2αcos 2α＋cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)2＝1.。

题组层级快练(二)1．(2020·湖北宜昌一中月考)已知命题p ：“正数a 的平方不等于0”，命题q ：“若a 不是正数，则它的平方等于0”，则q 是p 的( ) A ．逆命题 B ．否命题 C ．逆否命题 D ．否定答案 B解析 命题p ：“正数a 的平方不等于0”可写成“若a 是正数，则它的平方不等于0”，从而q 是p 的否命题．2．(2020·河南杞县中学月考)命题“若x 2＋3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题及其真假性为( )A ．“若x ＝4，则x 2＋3x －4＝0”为真命题B ．“若x ≠4，则x 2＋3x －4≠0”为真命题C ．“若x ≠4，则x 2＋3x －4≠0”为假命题D ．“若x ＝4，则x 2＋3x －4＝0”为假命题 答案 C解析 根据逆否命题的定义可以排除A 、D 两项，因为x 2＋3x －4＝0，所以x ＝－4或1，故原命题为假命题，即逆否命题为假命题．3．命题“若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0”的否命题是( ) A ．若x 2＋y 2＝0，则x ，y 中至少有一个不为0 B ．若x 2＋y 2≠0，则x ，y 中至少有一个不为0 C ．若x 2＋y 2≠0，则x ，y 都不为0 D ．若x 2＋y 2＝0，则x ，y 都不为0 答案 B解析 否命题既否定条件又否定结论． 4．下列命题中为真命题的是( ) A ．命题“若x>y ，则x>|y|”的逆命题 B ．命题“若x 2≤1，则x ≤1”的否命题 C ．命题“若x ＝1，则x 2－x ＝0”的否命题 D ．命题“若a>b ，则1a <1b”的逆否命题答案 A解析 A 中原命题的逆命题是“若x>|y|，则x>y ”，由x>|y|≥y 可知其是真命题；B 中原命题的否命题是“若x 2>1，则x>1”，是假命题，因为x 2>1⇔x>1或x<－1；C 中原命题的否命题是“若x ≠1，则x 2－x ≠0”，是假命题；D 中原命题的逆否命题是“若1a ≥1b ，则a ≤b ”是假命题，举例：a ＝1，b ＝－1，故选A.5．(2020·山西师大附中月考)已知向量a ＝(1，x)，b ＝(x ，4)，则“x ＝－2”是“a 与b 反向”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 若a 与b 反向，则存在唯一的实数λ，使得a ＝λb (λ<0)，即⎩⎪⎨⎪⎧1＝λx ，x ＝4λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－12，x ＝－2，所以“x ＝－2”是“a 与b 反向”的充要条件．故选C. 6．(2019·云南师大附中期中)“10a >10b ”是“lga>lgb ”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 当lga>lgb 时，a>b>0，则10a >10b ；当10a >10b 时，a>b ，不能得出lga>lgb.故选A. 7．(2020·西安一模)设命题p ：“x 2 ＋x －6＜0”，命题q ：“|x|＜1”，那么p 是q 成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 p ：－3＜x ＜2；q ：－1＜x ＜1，易知选B.8．(2020·河北唐山一中模拟)“x>1”是“log 12(x ＋2)<0”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 当x>1时，x ＋2>3>1，又y ＝log 12x 是减函数，∴log 12(x ＋2)<log 121＝0，则x>1⇒log 12(x ＋2)<0；当log 12(x ＋2)<0时，x ＋2>1，x>－1，则log 12(x＋2)<0x>1.故“x>1”是“log 12(x ＋2)<0”的充分而不必要条件．故选B.9．(2019·北京)设函数f(x)＝cosx ＋bsinx(b 为常数)，则“b ＝0”是“f(x)为偶函数”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 (定义法)当b ＝0时，f(x)＝cosx ，显然f(x)是偶函数，故“b ＝0”是“f(x)是偶函数”的充分条件；f(x)是偶函数，则有f(－x)＝f(x)，即cos(－x)＋bsin(－x)＝cosx ＋bsinx ，又cos(－x)＝cosx ，sin(－x)＝－sinx ，所以cosx －bsinx ＝cosx ＋bsinx ，则2bsinx ＝0对任意x ∈R 恒成立，得b ＝0，因此“b ＝0”是“f(x)是偶函数”的必要条件．因此“b ＝0”是“f(x)是偶函数”的充分必要条件．故选C.10．(2020·衡水中学调研卷)如果x ，y 是实数，那么“x ≠y ”是“cosx ≠cosy ”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 设集合A ＝{(x ，y)|x ≠y}，B ＝{(x ，y)|cosx ≠cosy}，则A 的补集C ＝{(x ，y)|x ＝y}，B 的补集D ＝{(x ，y)|cosx ＝cosy}，显然C D ，所以BA.于是“x ≠y ”是“cosx ≠cosy ”的必要不充分条件．11．“(m －1)(a －1)>0”是“log a m>0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 (m －1)(a －1)>0等价于⎩⎨⎧m>1，a>1或⎩⎪⎨⎪⎧m<1，a<1，而log a m>0等价于⎩⎨⎧m>1，a>1或⎩⎪⎨⎪⎧0<m<1，0<a<1，所以条件具有必要性，但不具有充分性，比如m ＝0，a ＝0时，不能得出log a m>0，故选B. 12．(2020·湘东五校联考)“不等式x 2－x ＋m>0在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( ) A ．m>14B ．0<m<1C ．m>0D ．m>1答案 C解析 若不等式x 2－x ＋m>0在R 上恒成立，则Δ＝(－1)2－4m<0，解得m>14，因此当不等式x 2－x ＋m>0在R 上恒成立时，必有m>0，但当m>0时，不一定推出不等式在R 上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m>0.13．若不等式13<x<12的必要不充分条件是|x －m|<1，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－43，12 B.⎣⎡⎦⎤－12，43 C.⎝⎛⎭⎫－∞，12 D.⎝⎛⎭⎫43，＋∞答案 B解析 由|x －m|<1，解得m －1<x<m ＋1.因为不等式13<x<12的必要不充分条件是|x －m|<1，所以⎩⎨⎧m －1≤13，12≤m ＋1，且等号不能同时取得，解得－12≤m ≤43，故选B.14．(2020·浙江宁波一模)若“x>1”是“不等式2x >a －x 成立”的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是( ) A ．a>3 B ．a<3 C ．a>4 D ．a<4答案 A解析 若2x >a －x ，即2x ＋x>a.设f(x)＝2x ＋x ，则函数f(x)为增函数．由题意知“2x ＋x>a 成立，即f(x)>a 成立”能得到“x>1”，反之不成立．因为当x>1时，f(x)>3，∴a>3.15．(1)(2020·沈阳质检)在命题“若m>－n ，则m 2>n 2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．(2)已知p(x)：“x 2＋2x －m>0”，若p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m 的取值范围为________．答案 (1)3 (2)[3，8)解析 (1)若m ＝2，n ＝3，则2>－3，但22<32，所以原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，若m ＝－3，n ＝－2，则(－3)2>(－2)2，但－3<2，所以逆命题是假命题，则否命题也是假命题．故假命题的个数为3.(2)因为p(1)是假命题，所以1＋2－m ≤0，解得m ≥3. 又p(2)是真命题，所以4＋4－m>0，解得m<8. 故实数m 的取值范围为[3，8)．16．(1)“x>y>0”是“1x <1y ”的________条件．(2)“tan θ≠1”是“θ≠π4”的________条件．(3)在△ABC 中，“A ＝B ”是“tanA ＝tanB ”的________条件． 答案 (1)充分不必要 (2)充分不必要 (3)充要 解析 (1)1x <1y ⇒xy ·(y －x)<0，即x>y>0或y<x<0或x<0<y.则“x ＞y ＞0”是“1x ＜1y”的充分不必要条件．(2)题目即判断θ＝π4是tan θ＝1的什么条件，显然是充分不必要条件．(3)若A ＝B ，则A ，B 只能为锐角，∴tanA ＝tanB ，则充分性成立；若tanA ＝tanB 则只能tanA ＝tanB ＞0，∴A ，B 为锐角，∴A ＝B ，必要性成立． 17．(2019·贵阳模拟)下列不等式： ①x<1；②0<x<1；③－1<x<0；④－1<x<1.其中可以作为“x 2<1”的一个充分条件的所有序号为________． 答案 ②③④18．设命题p ：2x －1x －1<0，命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a(a ＋1)≤0，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 答案 ⎣⎡⎦⎤0，12 解析2x －1x －1<0⇒(2x －1)(x －1)<0⇒12<x<1，x 2－(2a ＋1)x ＋a(a ＋1)≤0⇒a ≤x ≤a ＋1，由题意得⎝⎛⎭⎫12，1[a ，a ＋1]，故⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1≥1，解得0≤a ≤12.。

2021—2021学年高三一轮复习周测卷〔一〕理数第一卷一、选择题〔本大题共12个小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕1、以下说法正确的选项是A ．0与{}0的意义一样B ．高一〔1〕班个子比拟高的同学可以形成一个集合C ．集合{}(,)|32,x y x y x N +=∈是有限集D ．方程2210x x ++=的解集只有一个元素2、集合2{|60,},{|4,}A x x x x R B x x Z =+-≤∈=≤∈，那么A B =A ．(0,2)B ．[0,2]C ．{}0,2D ．{}0,1,23、设命题2:"1,1"p x x ∀<<，那么p ⌝为A ．21,1x x ∀≥<B ．201,1x x ∃<≥C ．21,1x x ∀<≥ D ．201,1x x ∃≥≥ 4、集合2{|0},{|lg(21)}A x x x B x y x =-≥==-，那么集合AB = A ．1[0,)2 B ．[0,1]C ．1(,1]2D ．1(,)2+∞5、设,a b R ∈，那么“22log log a b >〞是“21a b ->〞的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6、设221:0,:(21)(1)01x p q x a x a a x -≤-+++<-，假设p 是q 的充分不必要条件，那么实数a 的取值范围是A ．1(0,)2B ．1[0,)2C ．1(0,]2D ．1[,1)27、命题2:,10p m R x mx ∀∈--=有解，命题2000:,210q x N x x ∃∈--≤，那么以下选项中是假命题的为A ．p q ∧B ．()p q ∧⌝C ．p q ∨D ．()p q ∨⌝8、集合{|A x y A B φ===，那么集合B 不可能是A ．1{|42}x x x +<B ．{(,)|1}x y y x =-C ．φD ．22{|log (21)}y y x x =-++9、设1,:()[(1)]0p q x a x a ---≤，假设p 是q 的充分不必要条件，那么实数a 的取值范围是A ．3[1,]2 B ．3(1,)2 C ．3(,1)[,)2-∞+∞ D ．3(,1)(,)2-∞+∞ 10、命题2:[1,2],0p x x a ∀∈-≥，命题2:,220q x R x ax a ∃∈++-=，假设命题p 且q 是真命题，那么实数a 的取值范围是A ．{}(,2]1-∞B ．(,2][1,2]-∞C ．[1,)+∞D ．[2,1]-11、对于任意两个正整数,m n ，定义某种运算“*〞，法那么如下：当,m n 都是正奇数时，m n m n *=+；当,m n 不全为正奇数时，m n mn *=，那么在此定义下，集合{(,)|16,,}M a b a b a N b N ++=*=∈∈ 的真子集的个数是A ．721-B ．1121-C ．1321-D ．1421- 12、用()C A 表示非空集合A 中的元素个数，定义()(),()()()(),()()C A C B C A C B A B C B C A C A C B -≥⎧*=⎨-<⎩假设22{1,2},{|()(2)0}A B X x ax x ax ==+++=，且1A B *=，设实数a 的所有可能的取值集合是，那么A ．4B ．3C ．2D ．1第二卷二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..13、含有三个实数的集合既可表示成{,,1}b a a，又可表示成2{,,0}a a b +，那么20172017a b +等于 14、集合2{|230},{|1}A x R x x B x R x m =∈--<=∈-<<，假设x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，那么实数m 的取值范围是15、集合{1,1},{|20}A B x ax =-=+=，假设B A ⊆，那么实数a 的所有可能取值的集合为16、以下说法错误的选项是 (填序号)①命题“1212,,x x M x x ∃∈≠，有1221[()()]()0f x f x x x -->〞的否认是“1212,,x x M x x ∃∉≠，有1221[()()]()0f x f x x x --≤〞；②假设一个命题的逆命题，那么它的否命题也一定为真命题；③21:230,:13p x x q x +->>-，假设()q p ⌝∧为真命题，那么实数x 的取值范围是(,3)-∞- (1,2)[3,)+∞④“3x ≠〞是“3x ≠〞成立的充分条件三、解答题：本大题共6小题，总分值70分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤17、〔本小题总分值10分〕集合2{|3327},{|log 1}x A x B x x =≤≤=> .〔1〕分别求,()R A B C B A ；〔2〕集合{|1}C x x a =<<，假设C A ⊆，务实数a 的取值范围.18、〔本小题总分值12分〕〔1〕:p ，关于x 的方程240x ax -+=有实数，:q 关于x 的函数224y x ax =++在区间[3,)+∞上是增函数，假设“p 或q 〞是真命题，“p 且q 〞是假命题，务实数a 的取值范围；〔2〕22:(43)1,:(21)(1)0p x q x a x a a -≤-+++≤，假设p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，务实数a 的取值范围.19、〔本小题总分值12分〕集合219{|()(3)0},{|ln()0}24A x x x B x x ax a =--==+++=〔1〕假设集合B 只有一个元素，务实数a 的值；〔2〕假设B 是A 的真子集，务实数a 的取值范围.20、〔本小题总分值12分〕函数()41log ,[,4]16f x x x =∈的值域是集合A ，关于x 的不等式31()2()2x a x a R +>∈的解集为B ，集合5{|0}1x C x x -=≥+，集合{|121}(0)D x m x m m =+≤≤->. 〔1〕假设AB B =，务实数a 的取值范围； 〔2〕假设DC ⊆，务实数m 的取值范围.21、〔本小题总分值12分〕函数()f x =A ，集合22{|290}B x x mx m =-+-≤. 〔1〕假设[2,3]A B =，务实数m 的值；〔2〕假设12,()R x a x C B ∀∈∃∈，使21x x =，务实数m 的取值范围.22、〔本小题总分值12分〕()f x 是定义域为R 的奇函数，且当12x x <时，1212()[()()]0x x f x f x -->，设:p “2(3)(128)0f m f m ++-<〞.〔1〕假设p 为真，务实数m 的取值范围；〔2〕设:q 集合{|(1)(4)0}A x x x =+-≤与集合{|}B x x m =<的交集为{}|1x x ≤-，假设p q ∧为假，p q ∨为真，务实数m 的取值范围.。

题组层级快练(八十七)1．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋tsin70°，y ＝2＋tcos70°(t 为参数)的倾斜角为( )A ．70°B ．20°C ．160°D ．110°答案 B解析 方法一：将直线参数方程化为标准形式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋tcos20°，y ＝2＋tsin20°(t 为参数)，则倾斜角为20°，故选B.方法二：tan α＝cos70°sin70°＝sin20°cos20°＝tan20°，∴α＝20°.另外，本题中直线方程若改为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－tsin70°，y ＝2＋tcos70°，则倾斜角为160°.2．若直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2－3t (t 为参数)，则直线的斜率为( )A.23 B ．－23C.32 D ．－32答案 D3．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋2cos θ，y ＝4＋2sin θ(θ为参数)表示的曲线上的点到坐标轴的最近距离为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 A解析 参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋2cos θ，y ＝4＋2sin θ(θ为参数)表示的曲线的普通方程为(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，这是圆心为(－3，4)，半径为2的圆，故圆上的点到坐标轴的最近距离为1.4．(2020·皖南八校联考)若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝1－4t (t 为参数)与曲线C ：⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝m ＋5sin θ(θ为参数)相切，则实数m 为( )A ．－4或6B ．－6或4C ．－1或9D ．－9或1答案 A解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝1－4t (t 为参数)，得直线l ：2x ＋y －1＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝m ＋5sin θ(θ为参数)，得曲线C ：x 2＋(y －m)2＝5，因为直线与曲线相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即|m －1|22＋1＝5，解得m ＝－4或m ＝6.5．(2019·北京朝阳二模)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝4＋t (t 为参数)．以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝42sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，则直线l 和曲线C 的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个答案 B解析 直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝4＋t(t 为参数)化为普通方程得x －y ＋4＝0；曲线C ：ρ＝42sin(θ＋π4)化成普通方程得(x －2)2＋(y －2)2＝8，∴圆心C(2，2)到直线l 的距离为d ＝|2－2＋4|2＝22＝r.∴直线l 与圆C 只有一个公共点，故选B.6．(2019·人大附中模拟)已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2－t ，y ＝1＋3t(t 为参数)，圆C 的极坐标方程为ρ＋2sin θ＝0，若在圆C 上存在一点P ，使得点P 到直线l 的距离最小，则点P 的直角坐标为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫32，－12解析 由已知，得直线l 的普通方程为y ＝－3x ＋1＋23，圆C 的直角坐标方程为x 2＋(y ＋1)2＝1，在圆C 上任取一点P(cos α，－1＋sin α)(α∈[0，2π))，则点P 到直线l 的距离为d＝|3cos α＋sin α－2－23|1＋3＝|2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－2－23|2＝2＋23－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π32.∵α∈[0，2π]，∴当α＝π6时，d min ＝3，此时P ⎝⎛⎭⎫32，－12.7．(2018·天津，理)已知圆x 2＋y 2－2x ＝0的圆心为C ，直线⎩⎨⎧x ＝－1＋22t ，y ＝3－22t (t 为参数)与该圆相交于A ，B 两点，则△ABC 的面积为________． 答案 12解析 直线的普通方程为x ＋y －2＝0，圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝1，圆心为C(1，0)，半径为1，点C 到直线x ＋y －2＝0的距离d ＝|1＋0－2|2＝22，所以|AB|＝21－⎝⎛⎭⎫222＝2，所以S △ABC ＝12×2×22＝12.8．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－t ，y ＝1＋t (t 为参数)．在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C ：ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4.则曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为________． 答案 2 2解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－t ，y ＝1＋t (t 为参数)消去t ，得直线l 的普通方程为x ＋y －4＝0.由ρ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2cos θ＋2sin θ，得ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin θ.将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y 代入上式，得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ＋2y ，即(x －1)2＋(y －1)2＝2. 方法一：设曲线C 上的点为P(1＋2cos α，1＋2sin α)， 则点P 到直线l 的距离为d ＝|1＋2cos α＋1＋2sin α－4|2＝|2（sin α＋cos α）－2|2＝|2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－2|2.当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1时，d max ＝22，所以曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为2 2.方法二：设与直线l 平行的直线为l ′：x ＋y ＋b ＝0，当直线l ′与圆C 相切时，得|1＋1＋b|2＝2，解得b ＝0或b ＝－4(舍去)，所以直线l ′的方程为x ＋y ＝0.所以直线l 与直线l ′的距离为d ＝|0＋4|2＝2 2.所以曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为2 2.方法三：圆心到直线l 的距离为|1＋1－4|2＝2，所以直线l 与圆相切，因此圆C 上的点到直线l 的距离的最大值为直径长，即2 2.9．(2016·课标全国Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tcos α，y ＝tsin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB|＝10，求l 的斜率．答案 (1)ρ2＋12ρcos θ＋11＝0 (2)153或－153解析 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. (2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB|＝|ρ1－ρ2|＝（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44.由|AB|＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以l 的斜率为153或－153.10．(2018·课标全国Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋tcos α，y ＝2＋tsin α(t 为参数)．(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1，2)，求l 的斜率． 答案 (1)x 24＋y 216＝1 x ＝1或y ＝xtan α＋2－tan α (2)－2解析 (1)曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y 216＝1.当cos α≠0时，l 的直角坐标方程为y ＝xtan α＋2－tan α， 当cos α＝0时，l 的直角坐标方程为x ＝1.(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1＋3cos 2α)t 2＋4(2cos α＋sin α)t －8＝0.①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1，2)在C 内，所以①有两个解，设为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝0.又由①得t 1＋t 2＝－4（2cos α＋sin α）1＋3cos 2α，故2cos α＋sin α＝0，于是直线l 的斜率k ＝tan α＝－2.11．(2019·天星大联考)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝－1＋22t(t 为参数)．以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝22cos(θ＋π4)，若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点． (1)若P(0，－1)，求|PA|＋|PB|；(2)若点M 是曲线C 上不同于A ，B 的动点，求△MAB 的面积的最大值． 答案 (1)2103 (2)1059解析 (1)ρ＝22cos(θ＋π4)可化为ρ＝2cos θ－2sin θ，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入，得曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.将直线l 的参数方程化为⎩⎨⎧x ＝13t ′，y ＝－1＋223t ′(t ′为参数)，代入(x－1)2＋(y ＋1)2＝2，得t ′2－23t ′－1＝0，设方程的解为t ′1，t ′2，则t ′1＋t ′2＝23，t ′1t ′2＝－1，因而|PA|＋|PB|＝|t ′1|＋|t ′2|＝|t ′1－t ′2| ＝（t ′1＋t ′2）2－4t ′1t ′2＝2103.(2)将直线l 的参数方程化为普通方程为22x －y －1＝0，设M(1＋2cos θ，－1＋2sin θ)， 由点到直线的距离公式，得M 到直线AB 的距离为d ＝|22（1＋2cos θ）＋1－2sin θ－1|3＝|22＋4cos θ－2sin θ|3＝|22＋32sin （φ－θ）|3，故d 的最大值为523，由(1)知|AB|＝|PA|＋|PB|＝2103，因而△MAB 面积的最大值为12×523×2103＝1059.12．(2020·唐山摸底考试)在极坐标系中，曲线C 的方程ρ2－22ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－4＝0，以极点O 为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系xOy ，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tcos α，y ＝tsin α(t 为参数，0≤α<π)．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求||OA|－|OB||的取值范围． 答案 (1)(x －1)2＋(y －1)2＝6 (2)[0，22]解析 (1)由ρ2－22ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－4＝0得，ρ2－2ρcos θ－2ρsin θ－4＝0， 所以x 2＋y 2－2x －2y －4＝0，即曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝6.(2)将直线l 的参数方程代入x 2＋y 2－2x －2y －4＝0并整理得t 2－2(sin α＋cos α)t －4＝0，设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝2(sin α＋cos α)，t 1t 2＝－4<0.||OA|－|OB||＝||t 1|－|t 2||＝|t 1＋t 2|＝|2(sin α＋cos α)|＝|22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4|，因为0≤α<π，所以π4≤α＋π4<5π4，从而得－2<22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4≤2 2.所以||OA|－|OB||的取值范围是[0，22]．13．(2020·福建省高三质检)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋35t ，y ＝1＋45t (t为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2＝21＋sin 2θ，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4. (1)求C 的直角坐标方程和P 的直角坐标；(2)设l 与C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，求|PM|. 答案 (1)x 22＋y 2＝1 (1，1) (2)5541解析 (1)由ρ2＝21＋sin 2θ得ρ2＋ρ2sin 2θ＝2，① 将ρ2＝x 2＋y 2，ρsin θ＝y代入①并整理得，曲线C 的直角坐标方程为x 22＋y 2＝1.设点P 的直角坐标为(x ，y)，因为点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，所以x ＝ρcos θ＝2cos π4＝1，y ＝ρsin θ＝2sin π4＝1.所以点P 的直角坐标为(1，1)．(2)方法一：将⎩⎨⎧x ＝1＋35t ，y ＝1＋45t ，代入x22＋y 2＝1，并整理得41t 2＋110t ＋25＝0，Δ＝1102－4×41×25＝8 000>0，故可设方程的两根分别为t 1，t 2， 则t 1，t 2为A ，B 对应的参数，且t 1＋t 2＝－11041.依题意，点M 对应的参数为t 1＋t 22，所以|PM|＝|t 1＋t 22|＝5541.方法二：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，M(x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22.由⎩⎨⎧x ＝1＋35t ，y ＝1＋45t消去t ，得y ＝43x －13.将y ＝43x －13代入x 22＋y 2＝1，并整理得41x 2－16x －16＝0，因为Δ＝(－16)2－4×41×(－16)＝2 880>0， 所以x 1＋x 2＝1641，x 1x 2＝－1641.所以x 0＝841，y 0＝43x 0－13＝43×841－13＝－341，即M ⎝⎛⎭⎫841，－341. 所以|PM|＝⎝⎛⎭⎫841－12＋⎝⎛⎭⎫－341－12＝⎝⎛⎭⎫－33412＋⎝⎛⎭⎫－44412＝5541.。

河北省衡水中学2021-2021年度下学期一调考试高三年级数学试卷（理科）本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分满分150分考试时间12021第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在四个选项中，只有一项是符合要求的） 1、集合},|),{(*Q b P a b a Q P ∈∈=Q P *20<<a z a ||z )5,1()3,1(,,cos 3sin )(R x x x x f ∈+=ωω0)(,2)(=-=βαf f βα-43πω313234230 11112462014+++⋅⋅⋅2014i ≤2014i ＞1007i ≤1007i ＞53433536060,,21,1=---=⋅==c b c a b a b a c32x 0(,0)M x 22:(2)1C x y +=,A B||3AB ≥0x 222221(0,0)x y a b a b-=>>1F 30︒P 1PF y3353(,)P x y 1:(0)C yx xC P x y,A B O PA PB OAB ∆422C ,M N OMN ∆12,F F 22221(0)x y a b a b +=>>P 12PF F ∆323(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛122，4π⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-=*ba ab b b a ab a b a ,,22（m ∈R ）恰有三个互不相等的实数根1，2，3，则123的取值范围是_________________。

三、解答题（共6个题， 共70分，把每题的答案填在答卷纸的相应位置） 17、（本题12分）设数列满足:n a n N*∈（）是整数,且n 1n a a +－是关于的方程2n 1n 1x ( a 2)x 2a 0++＋－－＝的根 （1）若1a 4＝，且n≥2时,n 4a 8≤≤，求数列{a n }的前100项和S 100;（2）若16a 8a 1＝－，＝，且*∈n n 1a a n N ＋＜（），求数列的通项公式18、（本题12分）在如图所示的几何体中，四边形ABDE 为梯形，AE ⊥⊥ （I ）求证：CM ⊥DE ；（II ）求锐二面角D EC M --的余弦值19、（本题12分）衡水市为“市中学生知识竞赛”进行选拔性测试，且规定：成绩大于或等于90分的有参赛资格，90分以下（不包括90分）的则被淘汰。