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机械系统动力学第三章机械系统运动微分方程的求解1

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机械系统动力学

机械系统动力学

机械系统动力学内容简介课程编号：B0200013C 课程名称：机械系统动力学英文译名：Dynamic Analysis of Mechanical System适用学科：机械设计及理论机械制造及其自动化机械电子工程先修课程：机械振动开课院（系）：机电工程学院机械设计系任课教师：陆念力（教授）、陈照波（教授）、焦映厚（教授）、兰朋（副教授）内容简介：机械动力学是一门研究机械在力作用下的运动和机械在运动中产生的力的科学。

在机械动力学发展过程中先后产生了并存在着四种不同水平的分析方法，即静力分析、动态静力分析、动力分析和弹性动力分析方法。

前三种分析方法中，构件均被假定为刚性，第四种分析方法计入了构件的弹性，以提高设计分析的精度。

本教程中，机械动力学划分为机械刚体动力学和机构弹性动力学两大部分。

在机械刚体动力学部分将介绍机构的动态静力分析、连杆机构的平衡、机械系统动力学分析。

在机械弹性动力学部分将介绍回转机械的振动问题，连杆机构弹性动力学和机械系统弹性动力学。

本课程还将介绍一些有关的多柔体系统动力学分析理论与方法。

主要教材：1.《机械动力学》张策编著高等教育出版社2000年4月2.《柔性多体系统动力学》陆佑方高等教育出版社1996年7月3.《高等动力学》毕学涛高等教育出版社1994年12月参考文献：1.《弹性连杆机构的分析与设计》张策机械工业出版社1997年8月2.《计算多体系统动力学》洪嘉振高等教育出版社1999年7月机械系统动力学教学大纲课程编号：B0200013C课程名称：机械系统动力学开课院系：机电工程学院机械设计系任课教师：陆念力、陈照波、焦映厚、兰朋先修课程：机械振动适用学科范围：机械设计及理论、机械制造及其自动化、机械电子工程学时：36 学分：2开课学期：春开课形式：讲授＋辅导课程目的和基本要求：随着机械系统的复杂化、高速化、精密化、柔性化，对机械系统动力学分析精度提出了更高的要求，本课程着重培养学生对复杂机械系统动力学建模及分析的能力。

复习小结-机械系统动力学讲解

复习小结-机械系统动力学讲解

《机械系统动力学》复习小结第一章 绪论★1.《机械系统动力学》课程的脉络（主要内容、研究对象、研究方法） 主要分为两部分：刚体动力学和机械振动学单自由度刚体动力学：等效力学模型； 刚体动力学二自由度刚体动力学：拉格朗日方程、龙格库塔法；单自由度系统振动：单自由度无阻尼（有阻尼）自由振动（强迫振动）、固有频率计算、Duhamel 积分；两自由度系统振动：固有频率及主振型求解、动力减振器； 机械振动学 多自由度系统振动：影响系数法、模态分析法、矩阵迭代法； 弹性体振动：杆的纵向振动、轴的扭转振动、梁的横向自由振动（受迫振动）、几种边界条件下的频率方程； 2. 机械系统的一些基本概念系统、机械系统、离散系统、连续系统以及激励的确定性、随机性、模糊性。

3. 机械振动的概念及其分类简谐振动：()ϕω+=t A x sin 复数形式 ti Ae x ω=★4. 谐波分析法：把一个周期函数展开成一个傅立叶级数形式。

Fourier 级数：()()∑∞=++=10sin cos 2n n n n n t b t a a t F ωω★5.机械系统动力学的研究意义、研究任务、发展趋势第二章 单自由度刚体系统动力学1． 驱动力＆工作阻力的分类 机械特性的概念三相异步电动机的机械特性分析；输出力矩与角速度之间的关系：2ωωc b a M ++=。

★2．等效力学模型原则：转化前后，等效构件与原系统的动能相等，等效力与外力所作的功相等。

通常取做定轴转动或直线平动的构件为等效构件。

∑∑==+=nj j j mk kk ke M v FM 11cos ωωωα ∑∑==+=n j j j m k kk k e v M v v F F 11cos ωα∑=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nj jj sjj e J v m J 122ωωω∑=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n j jj sjj e vJ v v m m 122ω 与传动速比有关，与机构的运动速度无关。

第2章 两自由度机械系统动力学

第2章 两自由度机械系统动力学

代入虚功 方程
W Fk rk 0（3-3）
k
22
得：
n rk W Fk rk Fk q qi k k i 1 i n rk Fk q qi i 1 k i
125
欲实施有效控制，特征 根不能为正值，所以 b0 a g (1 )
126
3.6 二自由度机械手动力学问题
127
128
129
130
131
132
133
134
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140
141
142
本章总结
了解牛顿力学的不足；
掌握广义坐标和广义力的计算方法； 掌握拉格郎日方程的建立方法； 简单的力学应用。
2 1 2 2 2 1
51
52
53
54
例：用拉格朗日方程建立单摆运动方程。
55
(1)确定广义坐标 q (2)计算动能与势能 1 2 1 2 2 mv ml 2 2 V m gl(1 cos ) E (3)计算广义力 V Q m glsin
5
6
7
8
本章采用的方法：拉格郎日方程（重点） 二自由度机械系统动力学不采用等效 力学模型法，一般采用拉格郎日方程来建 模。 在学习拉格郎日方程之前，必须掌握 一些重要的概念，如广义坐标、广义力、 虚位移等。首先了解一些科学史观，培养 科学精神。
9
3.2 自由度与广义坐标
广义坐标：
能够完全确定系统状态的一组坐标叫做广义 坐标。 自由度（DOF)： 能够完全确定系统状态的一组坐标的数量叫 自由度。 一般情况下广义坐标数量等于自由度数。

机械系统动力学 第三章 机械系统运动微分方程的求解1

机械系统动力学 第三章 机械系统运动微分方程的求解1
第3章 机械系统运动微分方程的求解
• 3-1机械系统运动方程求解方法-解析法 • 3-2机械系统的运动方程求解方法-数值法 • 3-3机械系统的运动方程求解方法-半解析数
值法
3-1机械系统运动方程求解方法-解析法
3-1-1 单自由度系统的振动
1.问题的提法 工程中大量的动力学问题都可以 归结于图3-1-1 单自由度振动系 统的力学模型,其动力学问题的数 学模型表示为常微分方程的初值 问题 控制方程:
n
3-1机械系统运动方程求解方法-解析法
3-1-1 单自由度系统的振动
在初始条件为 x(0) x0, x(0) x0 欠阻尼条件下，方程的定解
x(t)
ent ( x0
cos d t
x0
x0 d
sin dt)
[1
(
X st
)2 ]2 [2 (
)]2
sin(d t
)
n
n
上中的第一项为单自由度系统自由振动响应，当t
图3-1-1 单自由度振动系 统的力学模型
mx cx kx F(t)
满足初始条件:
x(0) x0, x(0) x0
3-1机械系统运动方程求解方法-解析法
3-1-1 单自由度系统的振动
2. 单自由度振动系统简谐激励作 用下的响应
运动微分方程:
mx cx kx F0 sin t
图3-1-1 单自由度振动系 统的力学模型
3-1机械系统运动方程求解方法-解析法
3-1-1 单自由度系统的振动 2）特解
特解的求法很多，有比较系数法、旋转矢量法、拉 氏变换法等，较简单快捷的方法是旋转矢量法
设特解： x2(t) X sin(t )
代入方程 mx cx kx F0 sin t

机械系统动力学知识点总结

机械系统动力学知识点总结

机械系统动力学知识点总结机械系统动力学是研究对象在外力作用下的运动规律和相互作用关系，是机械领域的基础知识之一。

了解机械系统动力学不仅可以帮助我们理解机械系统的工作原理，还能指导我们设计和优化机械系统，提高机械系统的性能。

本文将就机械系统动力学的相关知识进行总结，包括运动描述、牛顿定律、动量与冲量、角动量、能量和动力学方程等内容。

一、运动描述机械系统动力学研究的对象是物体在外力作用下的运动规律，因此对于机械系统中的物体运动进行描述是非常重要的。

在机械系统动力学中，常用的运动描述方法包括位移、速度和加速度。

位移描述了物体的位置变化，速度描述了物体的位置变化速率，而加速度描述了物体的速度变化速率。

1. 位移在机械系统动力学中，位移是描述物体位置变化的重要参数。

位移通常用矢量来表示，其方向表示位移的方向，大小表示位移的大小。

位移可以分为线性位移和角位移两种，线性位移是描述物体沿直线方向的位置变化，而角位移是描述物体绕固定轴旋转的位置变化。

2. 速度速度是描述物体位置变化速率的参数，通常用矢量来表示。

线性速度描述物体在直线方向上的位置变化速率，角速度描述物体绕固定轴旋转的位置变化速率。

线性速度的大小表示速度的大小，方向表示速度的方向，而角速度的大小表示角速度的大小，方向表示角速度的方向。

3. 加速度加速度是描述速度变化速率的参数，通常用矢量来表示。

线性加速度描述物体在直线方向上的速度变化速率，角加速度描述物体绕固定轴旋转的速度变化速率。

线性加速度的大小表示加速度的大小，方向表示加速度的方向，而角加速度的大小表示角加速度的大小，方向表示角加速度的方向。

以上就是机械系统动力学中常用的运动描述方法，通过对位移、速度和加速度进行描述，可以帮助我们理解物体在外力作用下的运动规律。

二、牛顿定律牛顿定律是机械系统动力学的基础法则，它描述了物体在外力作用下的运动规律。

牛顿定律一共包括三条，分别是惯性定律、动量定律和作用-反作用定律。

机械系统动力学-PPT课件

机械系统动力学-PPT课件
n
2
，可求解等效转动惯量：
n v i 2 si2 J J （ ) m ( ) e si i i i 1 1
HIGH EDUCATION PRESS
第十四章 机械系统动力学
1.作定轴转动的等效构件的等效参量的计算
等效力矩的计算：
等效构件的瞬时功率：P M e
系统中各类构件的瞬时功率： P P F v cos i 'M i i i'' i si i
0 Md tan 0 n tan Mn
M M n 0 n M d 0 n 0 n ab
HIGH EDUCATION PRESS
第十四章 机械系统动力学
二、机械的运转过程
1.启动阶段 2. 机械的稳定运转阶段
3. 机械的停车阶段
第十四章 机械系统动力学
P P ' P ' ' M F v cos i i i i i i si i
第十四章 机械系统动力学
HIGH EDUCATION PRESS
1.作定轴转动的等效构件的等效参量的计算
整个机械系统的瞬时功率为：
P M F v cos i i i si i
i 1 i 1 n n
HIGH EDUCATION PRESS
3.机械的停车阶段
停车阶段是指机械由稳定运转的工作转数下降到零转
数的过程。
第十四章 机械系统动力学
HIGH EDUCATION PRESS
第二节 机械系统的等效动力学模型
一、等效动力学模型的建立 二、等效构件 三、等效参量的计算 四、实例与分析
第十四章 机械系统动力学
作往复移动的等 效构件的微分方 程

机械动力学第3章两自由度系统


b.微分方程
m1&&1 + (k1 + kc ) x1 − kc x2 = F1 (t ) x （3.1-1） ） m2 &&2 + (k 2 + kc ) x2 − kc x1 = F2 (t ) x
5
写成矩阵形式： 写成矩阵形式：
m1 0
0 &&1 k1 + kc x && + −k m2 x2 c
（3.1-12） ）
讨论（ 讨论（3.1-11）的解，假定 ）的解，
f (t ) = Be
st
代入（ 代入（3.1-11）得 ）
10
3.1无阻尼自由振动 3.1无阻尼自由振动
3.1.1 固有模态振动
QQ1094860954
s +λ =0
2
（3.1-13） ）
− −λt
（3.1-11）的通解 ）
f (t ) = B1e
（3.1-22） ）
17
3.1无阻尼自由振动 3.1无阻尼自由振动
3.1.1 固有模态振动
叫做特征向量, 叫做特征向量 振型向量或模态向量 r 1 r 2 叫做振型比 固有频率和振型向量构成系统的固有模态的基 或简称模态参数),它们表明了系统自由振动 本参数(或简称模态参数 本参数 或简称模态参数 它们表明了系统自由振动 的特性。 的特性。 两自由度系数有两个固有模态,即 两自由度系数有两个固有模态 即系统的固有 模态等于系统的自由度数。 模态等于系统的自由度数。 对于给定的系统, 对于给定的系统 特征向量或振型向量的相对比值 是确定的唯一的,和固有频率一样取决于系统的物 是确定的唯一的 和固有频率一样取决于系统的物 理参数,是系统固有的 而振幅则不同。 是系统固有的,而振幅则不同 理参数 是系统固有的 而振幅则不同。

自由度机械系统动力学


1. 解析法
d
t t0 Je 0 Me()
（3.4.6）
若
Me()ab
则
再求出其 反函数
t
t0
Je b
ln ab ab0
f (t)
（3.4.7）
若
d
tt0Je 0abc2
演讲完毕，感谢观 看
（3.4.8）
一、等效力和等效力矩 二、等效质量和等效转动惯量
等效力学模型
等效原则： 等效构件具有的动能＝各构件动能之和
M e
n j 1
m
j
vSj v
2
J
j
j
v
2
J e
n j 1
m
j
vSj
2
J
j
j
2
（3.3.3）
等效质量和等效转动惯量与传动比有关， 而与机械驱动构件的真实速度无关
2W()
Je()
（3.4.3）
若
是以表达式
给出，且为可积函数时，
（3.4.3）可得到解析解。
但是
常常是以线
图或表格形式给出，则只
能用数值积分法来求解。
常用的数值积分法有梯形
法和辛普生法。
运动方程式的求解方法
一、等效力矩是位置的函数时运动方程的求解
二、等效转动惯量是常数、等效力矩是角速度的函数时运动方程
单自由度机械系统可以采用等效力学模型来进行研究，即系统的动力学问题转化为一个等效构件的动力学问题来研究，可以 使问题得到简化。
当取作定轴转动的构件作为等效构件时，作用于系统上 的全部外力折算到该构件上得到等效力矩，系统的全部 质量和转动惯量折算到该构件上得到等效转动惯量。
当取作直线运动的构件作为等效构件时，作用于系统上 的全部外力折算到该构件上得到等效力，系统的全部质 量和转动惯量折算到该构件上得到等效质量。

第一节 系统微分方程


机械工程控制基础
第三章 系统数学模型
1、什么是控制系统的数学模型 描述系统输入、输出物理量，以及内部物理 量之间关系的数学表达式。 2、线性系统与非线性系统： 系统的数学模型能用线性微分方程描述的系统 称为线性系统。否则为非线性系统
机械工程控制基础
第三章 系统数学模型
机械工程控制基础
第三章 系统数学模型
机械工程控制基础
第三章 系统数学模型
消去中间i变量,则得
d uC duC LC RC uC ur 2 dt 或写作 dt
d 2uc duc TLTC TC uc u r 2 dt dt
（3—1）
2
L 式中， TL , TC RC . R 式（3-1）就是图3-1所示电路的数学模型，它描 述了该电路在 ur 作用下电容两端电压 uc 的变化规律。
机械工程控制基础
第三章 系统数学模型
例3-2 已知一R-C网络如图所示，试写出该网 络输入与输出之间的微分方程。
图3-2 两级R-C电路
解 当后级的输入阻抗很大，即对前级网络的影响可以 忽略不计时，由基尔霍夫电流定律写出下列的方程组
机械工程控制基础
1 C1 1 C2 1 C2
第三章 系统数学模型
机械工程控制基础
第三章 系统数学模型
二、 列写系统微分方程式的一般方法 • 系统微分方程(differential equation)是描述控制系 统动态性能的一种数学模型。
• 为使所建立的数学模型即简单又具有足够的精度， 在推演系统的数学模型时，必须对系统作全面深 入考察，以求能把那些对系统性能影响较小的一 些次要因数略去。 • 用解析法推演系统的数学模型的前提是对系统的 作用原理和系统中个元件的物理属性有着深入的 了解。

09-03机械系统运动方程及其求解


J dω M dt
上式可改写为:
（9.3-7）
9.3 机械系统运动方程及其求解
dddωωt MMJ
α
α
ωdt ω0J αt
ω
ω000ωαωt0t0t1212αtα2t
2
（9.3-8）
式中，0、ω0为等效构件起始位置的角位移和角速度; 为等效构
件角加速度。
这类问题常见于恒定载荷的齿轮传动或机械制动过程中。
9.3 机械系统运动方程及其求解
4. 等效力矩是位置和速度的函数，等效转动惯量是位置的 函数
这类问题采用式(9.3-1)列出其运动方程式
d
1 2
J
ω2
M
,
ωd
这是一个非线性微分方程，通常难以求出其解析解。一般
情况下只能用数值方法求解。
首先，构造一个适宜于数值解的迭代计算公式。为此，将
上式展开
1 ω2dJ J dω M ,ωd
图9-4 简单机械系统
9.3 机械系统运动方程及其求解
内使该传动系统停止运转，问所需的制 动力矩Mr为多大？ 解：选取制动器B所在轴系为等效构件， 其角速度ω３为
ω3
1
i12i23
2π 1420 60
1 2.5 4.5
13.218 rad s 由式（9.2-6），求得其等效转动惯量J
图9-4 简单机械系统
9.3 机械系统运动方程及其求解
9.3.1 机械系统方程式
求解机械的真实运动规律,首先列出机械系统运动方程式。
由于平面单自由度机械系统的动力特性等价于其等效动力学模型,
为此,研究机械系统的运动规律问题就简化为研究等效构件的运
动规律问题。
若以曲柄为等效构件,根据动能定理,其微分形式的动能方程
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