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机械系统动力学 第三章 机械系统运动微分方程的求解1

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机械系统动力学第三章 机械系统运动微分方程的求解

机械系统动力学第三章 机械系统运动微分方程的求解


3-2-2 Newmark- 法
x (t ) 2 x (t ) 3 x (t t ) x(t ) x(t )t t t o( t 4 ) 2! 3!
线性加速度法的迭代公式 1 大致具有3阶精度，将上式的最后一项中 用 代替， 3! 即为Newmark- 法。其迭代公式为
0 1/ 2
3-2机械系统的运动方程求解方法-数值法
3-2-2 Newmark- 法
对于多自由度振动系统运动微分方程：
MX (t ) CX (t ) KX (t ) F (t )
t+t 时刻有关系式
MX (t +t ) CX (t +t ) KX (t +t ) F (t +t )
可以证明，欧拉法具有1阶精度，而改进的欧拉法具有2
3-2机械系统的运动方程求解方法-数值法
3-2-1 欧拉法
对于具有关于时间2阶导数的单自由度机械系统运动微分 方程，形如
x f ( x, x, t ) x(0) x0 , x(0) x0
可令
x y 将上式转化成1阶常微分方程组
上式中取前三项， 若认为加速度在区间[ 为线性变化，则有
t , t +t ]
x (t +t )-x (t ) x (t )= t
代入上式
t 2 t 3 x(t +t )-x(t ) x(t t ) x(t ) x(t )t x (t ) 2! 3! t
3-2机械系统的运动方程求解方法-数值法
欧拉法以节点的差商代替导数值，构成的递推公式为：
yn1 yn f ( xn , yn ) xn1 xn
即欧拉（Euler）公式：
第2章 两自由度机械系统动力学

第2章 两自由度机械系统动力学


代入虚功 方程
W Fk rk 0（3-3）
k
22
得：
n rk W Fk rk Fk q qi k k i 1 i n rk Fk q qi i 1 k i
125
欲实施有效控制，特征 根不能为正值，所以 b0 a g (1 )
126
3.6 二自由度机械手动力学问题
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
本章总结
了解牛顿力学的不足；
掌握广义坐标和广义力的计算方法； 掌握拉格郎日方程的建立方法； 简单的力学应用。
2 1 2 2 2 1
51
52
53
54
例：用拉格朗日方程建立单摆运动方程。
55
(1)确定广义坐标 q (2)计算动能与势能 1 2 1 2 2 mv ml 2 2 V m gl(1 cos ) E (3)计算广义力 V Q m glsin
5
6
7
8
本章采用的方法：拉格郎日方程（重点） 二自由度机械系统动力学不采用等效 力学模型法，一般采用拉格郎日方程来建 模。 在学习拉格郎日方程之前，必须掌握 一些重要的概念，如广义坐标、广义力、 虚位移等。首先了解一些科学史观，培养 科学精神。
9
3.2 自由度与广义坐标
广义坐标：
能够完全确定系统状态的一组坐标叫做广义 坐标。 自由度（DOF)： 能够完全确定系统状态的一组坐标的数量叫 自由度。 一般情况下广义坐标数量等于自由度数。
机械动力学第3章两自由度系统

机械动力学第3章两自由度系统


b.微分方程
m1&&1 + (k1 + kc ) x1 − kc x2 = F1 (t ) x （3.1-1） ） m2 &&2 + (k 2 + kc ) x2 − kc x1 = F2 (t ) x
5
写成矩阵形式： 写成矩阵形式：
m1 0
0 &&1 k1 + kc x && + −k m2 x2 c
（3.1-12） ）
讨论（ 讨论（3.1-11）的解，假定 ）的解，
f (t ) = Be
st
代入（ 代入（3.1-11）得 ）
10
3.1无阻尼自由振动 3.1无阻尼自由振动
3.1.1 固有模态振动
QQ1094860954
s +λ =0
2
（3.1-13） ）
− −λt
（3.1-11）的通解 ）
f (t ) = B1e
（3.1-22） ）
17
3.1无阻尼自由振动 3.1无阻尼自由振动
3.1.1 固有模态振动
叫做特征向量, 叫做特征向量 振型向量或模态向量 r 1 r 2 叫做振型比 固有频率和振型向量构成系统的固有模态的基 或简称模态参数),它们表明了系统自由振动 本参数(或简称模态参数 本参数 或简称模态参数 它们表明了系统自由振动 的特性。 的特性。 两自由度系数有两个固有模态,即 两自由度系数有两个固有模态 即系统的固有 模态等于系统的自由度数。 模态等于系统的自由度数。 对于给定的系统, 对于给定的系统 特征向量或振型向量的相对比值 是确定的唯一的,和固有频率一样取决于系统的物 是确定的唯一的 和固有频率一样取决于系统的物 理参数,是系统固有的 而振幅则不同。 是系统固有的,而振幅则不同 理参数 是系统固有的 而振幅则不同。
机械系统动力学

机械系统动力学


B
1
M1

Mi2
Fi2
A
G2
C
F
曲柄压力机的受力分析
HIGH EDUCATION PRESS
第十四章 机械系统动力学
二、等效构件
名词术语： 1. 等效转动惯量 2. 等效质量 3. 等效力矩 4. 等效力
HIGH EDUCATION PRESS
第十四章 机械系统动力学
二、等效构件
等效构件示意图
i 1 i 1 n n
方程两边统除以
，可求解等效力矩：
Me
i 1
n
n i vsi M i ( ) Fi ( ) cos i i 1
HIGH EDUCATION PRESS
第十四章 机械系统动力学
2.作直线移动的等效构件的等效参量的计算
等效构件的动能与机械系统的动能相等 和等效构件的瞬时功率与机械系统的瞬时功 率相等，可分别求解等效质量和等效力：
HIGH EDUCATION PRESS
H rH
第十四章 机械系统动力学
由轮系转动比可有：
2 Z 2 Z 3 Z1 . 1 Z1 Z 3 Z 2
整理：
2
H Z1 1 Z1 Z 3
Z1 ( Z 2 Z 3 ) Z1 2 J e J1 2 J 2 (2m2 rH J H )( )2 Z 2 ( Z1 Z 3 ) Z1 Z 3
HIGH EDUCATION PRESS
第十四章 机械系统动力学
二、等效构件
等效构件的特点：
1. 能代替整个机械系统的运动。 2. 等效构件的运动和机械系统中该构件的真实运动一致，等 效构件具有的动能应和整个机械系统的动能相等。 3. 等效构件上的外力在单位时间内所作的功也应等于整个机 械系统中各外力在单位时间内所作的功。
自由度机械系统动力学

自由度机械系统动力学


1. 解析法
d
t t0 Je 0 Me()
（3.4.6）
若
Me()ab
则
再求出其 反函数
t
t0
Je b
ln ab ab0
f (t)
（3.4.7）
若
d
tt0Je 0abc2
演讲完毕，感谢观 看
（3.4.8）
一、等效力和等效力矩 二、等效质量和等效转动惯量
等效力学模型
等效原则： 等效构件具有的动能＝各构件动能之和
M e
n j 1
m
j
vSj v
2
J
j
j
v
2
J e
n j 1
m
j
vSj
2
J
j
j
2
（3.3.3）
等效质量和等效转动惯量与传动比有关， 而与机械驱动构件的真实速度无关
2W()
Je()
（3.4.3）
若
是以表达式
给出，且为可积函数时，
（3.4.3）可得到解析解。
但是
常常是以线
图或表格形式给出，则只
能用数值积分法来求解。
常用的数值积分法有梯形
法和辛普生法。
运动方程式的求解方法
一、等效力矩是位置的函数时运动方程的求解
二、等效转动惯量是常数、等效力矩是角速度的函数时运动方程
单自由度机械系统可以采用等效力学模型来进行研究，即系统的动力学问题转化为一个等效构件的动力学问题来研究，可以 使问题得到简化。
当取作定轴转动的构件作为等效构件时，作用于系统上 的全部外力折算到该构件上得到等效力矩，系统的全部 质量和转动惯量折算到该构件上得到等效转动惯量。
当取作直线运动的构件作为等效构件时，作用于系统上 的全部外力折算到该构件上得到等效力，系统的全部质 量和转动惯量折算到该构件上得到等效质量。
第一节 系统微分方程

第一节 系统微分方程


机械工程控制基础
第三章 系统数学模型
1、什么是控制系统的数学模型 描述系统输入、输出物理量，以及内部物理 量之间关系的数学表达式。 2、线性系统与非线性系统： 系统的数学模型能用线性微分方程描述的系统 称为线性系统。否则为非线性系统
机械工程控制基础
第三章 系统数学模型
机械工程控制基础
第三章 系统数学模型
机械工程控制基础
第三章 系统数学模型
消去中间i变量,则得
d uC duC LC RC uC ur 2 dt 或写作 dt
d 2uc duc TLTC TC uc u r 2 dt dt
（3—1）
2
L 式中， TL , TC RC . R 式（3-1）就是图3-1所示电路的数学模型，它描 述了该电路在 ur 作用下电容两端电压 uc 的变化规律。
机械工程控制基础
第三章 系统数学模型
例3-2 已知一R-C网络如图所示，试写出该网 络输入与输出之间的微分方程。
图3-2 两级R-C电路
解 当后级的输入阻抗很大，即对前级网络的影响可以 忽略不计时，由基尔霍夫电流定律写出下列的方程组
机械工程控制基础
1 C1 1 C2 1 C2
第三章 系统数学模型
机械工程控制基础
第三章 系统数学模型
二、 列写系统微分方程式的一般方法 • 系统微分方程(differential equation)是描述控制系 统动态性能的一种数学模型。
• 为使所建立的数学模型即简单又具有足够的精度， 在推演系统的数学模型时，必须对系统作全面深 入考察，以求能把那些对系统性能影响较小的一 些次要因数略去。 • 用解析法推演系统的数学模型的前提是对系统的 作用原理和系统中个元件的物理属性有着深入的 了解。
机械系统动力学 第三章 机械系统运动微分方程的求解1

机械系统动力学 第三章 机械系统运动微分方程的求解1

，
3-1-1 单自由度系统的振动
（2） 欠阻尼 1
特征根：1,2 ( i 1 2 )n 令 d n 1 2
方程的通解 x1 ent ( A1eidt A2eidt )
ent (c1 cosdt c2 sin dt)
利用 x(0) x0 x(0) x0 可得
x
ent
( x0
cos d t
3-1-1 单自由度系统的振动 讨论
（1）过阻尼: 1
x1(t) ent ( A1e 2 1nt A2e ) 2 1nt
根据初始条件可以得到系数A1,A2的表达式
A1
x0
( 2n
2 1)n x0 2 1
A2
x0
( 2n
2 1)n x0 2 1
过阻尼系统的自由衰减振动
,
3-1机械系统运动方程求解方法-解析法
d
首先研究作用于坐标原点的元冲量f (0)d 引起
的系统 时刻的响应 dx( ,t)
碰撞前： 系统静止即初位移和初速度均为0
碰撞后：系统的位移为 x0 ，速度为 x0
碰撞过程:
mx0 0 f (0)d
元冲量 f (0)d 作用后质点的速度
3-1机械系统运动方程求解方法-解析法
3-1-1 单自由度系统的振动
12
sin d t )]
，则系统的响应
x(t)
F0
mn2
[1
cos nt ]
3-1机械系统运动方程求解方法-解析法
例：求初始静止的单自由度系统在阶跃力 作用下系统的响应。
f (t) F00
t0 t0
解：系统的运动微分方程及初始条件可写为
mx cx kx
x0
0,
机械动力学

机械动力学


vSjy aSjy ) J j j j ]
例题P72
§3.4 动力学方程式的求解 注意：关键是确定等效转动惯量和等效力矩的关系式（解析式、图表形式等）
一、等效转动惯量和等效力矩均为位置的函数
（Md=Md()，Mr=Mr()， Me=Me()，Je=Je()）
1. 等效构件的角速度
❖
1 2
式中第二项符号的确定方法为：当Mj与ωj同向时取正号，反向时取负号。
广义力就是作用在广义坐标处的一个力或力矩，它所作的功等于系统中 全部力和力矩在同一时间内所作的功。
广义坐标为一个角位移时，广义力F为一等效力矩Me，它可按下式计算：
F
Me
m ( Fkvk
k 1
cosk
q
)
m
(M j
j 1
j )
q
Me表示式中的广义传动比 j / q、vk / q是由机构的尺度和位置决定的， Me仅仅是机构广义坐标q的函数，与广义速度 q 的变化无关。
单自由度机械系统的动力学方程：
J e q
1 2
J e q
q2
Me
三、等效力学模型
机械系统是复杂多样的，在进行动力学研究时，通常要将复杂 的机械系统，按一定的原则简化为一个便于研究的等效动力学模型。
2、等效条件 (1) 等效构件所具有的动能等于原机械系统的总动能； (2) 等效构件的瞬时功率等于原机械系统的总瞬时功率。
3、等效参数 (1) 等效质量me，等效转动惯量Je； (2) 等效力Fe，等效力矩Me。
等效动力学模型的建立
对于单自由度的机械系统，只要知道其中一个构件的运 动规律其余所有构件的运动规律就可随之求得。因此可把复杂 的机械系统简化成一个构件（称为等效构件),建立最简单的等 效动力学模型，将使研究机械真实运动的问题大为简化。当等 效构件为一个绕机架转动的构件时，模型为图a。当等效构件 为一个移动滑块时，模型为图b 。
机械系统动力学2009大连理工大学机械原理

机械系统动力学2009大连理工大学机械原理


即 J X / J M所以3 应有
J M 1.02 10 2 kgm2
查手册取 J M 1.05 10的2 电kgm机2 ，该电机基本参数还包括电机的最 大瞬时扭矩Tmax=60Nm；最高转速nmax=4000r/min。
根据以上求得的Tmax、nmax可以求得X向的加速度及动态响 应时间，验证是否满足动态响应要求。
1 2
Jemin 2
最大盈亏功
W Emax Emin
max min m
m
max
min 2
设 Je 为常量
W Jem2
一定，Je ↑，↓
机械运转周期性速度波动的调节
周期性速度调节采用飞轮。（ Je较大盘状构件）
机械运转周期性速度波动的调节
4 飞轮转动惯量的确定
W Jem2
JF
W m 2
Peds
d
1 2
me
V
2
F s2 s1 e
dds
F s2s1 er Nhomakorabeads
1 2
m
e
2
v
2
2
1 2
m
e1
v1
2
机械系统运动方程式
运动方程式力矩形式
等效构件为转动构件
Med2
d( 1 2
Je22 )
其中：Je( ), Me(, ,t)
Me
1 2
d d
(
J
e
2
)
2 2
dJ e d
J
e
d d
当Je常数 或=0时（机械瞬时启动）
JL 机床负载转动惯量，变量
“惯量匹配”
若J的变化率小，应使JL所占的比例小； 但JM较大，总惯量J大，一定，要求电机输出转距大
第三章_单自由度机械系统动力学

第三章_单自由度机械系统动力学


2. 等效构件的角加速度
d d d d dt d dt d
二、等效转动惯量是常数，等效力矩是速度的函数时
以电动机驱动的鼓风机、搅拌机、离心泵以及车床等之类机械属于这种情况。这些 机器的驱动力是速度的函数，而生产阻力是常数或者是速度的函数，机器的速比是常 数。因此，其等效力矩仅仅是速度的函数，而等效转动惯量是常数，此时，用力矩形 式的运动方程式求解比较方便。
广义坐标为一个角位移时，广义力F为一等效力矩Me，它可按下式计算：
m j Fk vk cos k F Me ( ) ( M j ) q q k 1 j 1 m
、vk / q 是由机构的尺度和位置决定的， Me表示式中的广义传动比 j / q 的变化无关。 Me仅仅是机构广义坐标q的函数，与广义速度 q
单自由度机械系统的动力学方程2 q
三、等效力学模型
机械系统是复杂多样的，在进行动力学研究时，通常要将复杂 的机械系统，按一定的原则简化为一个便于研究的等效动力学模型。 为了研究单自由度机械系统的真实运动，可将机械系统等效转 化为只有一个独立运动的等效构件，等效构件的运动与机构中相应 构件的运动一致。
§3.1 概 述
机械的真实运动规律是由作用于机械上的外力、各 构件的质量、尺寸及转动惯量等因素决定的，而研究机 械在外力作用下的真实运动则是机械动力学的基本问题 （机械动力学的正问题）。本章主要研究两个问题: 第一，研究单自由度机械系统在外力作用下的真实 运动规律，即机械系统的运动随时间的变化规律。掌握 通过建立动力学模型建立力与运动参数之间的运动微分 方程来研究真实运动规律的方法。
例题P72
§3.4 动力学方程式的求解
注意：关键是确定等效转动惯量和等效力矩的关系式（解析式、图表形式等）
机械系统动力学第二章 机械系统运动微分方程的建立[精]

机械系统动力学第二章 机械系统运动微分方程的建立[精]


2-3 机械系统运动微分方程的建立 • 例2: 建立图2-21所示3个自由度系统的运动微分方程。
解： 1）计算刚度系数矩阵
k1k2 K k2
0
k2 k2k3k5k6
k3
0
k3

k3k4
2）系统的运动微分方程
m 0 0 1 m 0 0 2 m 0 0 3 u u u 1 2 3 k 1 0 k 2 k 2
单自由度多刚体系统
等效模型的物理意义参见图2-17
用等效模型表示的系 统运动微分方程
ddt(12Je12)Me1
即等效转动惯量 等效力矩：
n
Je[Jj(
j)2m i(vcj)2]
j1
1
1
m
Me Mj
j
p

Fj vj
j1
1 j1
1
2-3 机械系统运动微分方程的建立 2-3-2 单自由度系统
• 写成矩阵形式
m 0 1 m 0 2 y y1 2 + k k1 2 1 1 k k1 2 2 2 y y1 2 = ff1 2((tt))
简写成：
MY+KY=F(t)
2-3 机械系统运动微分方程的建立 • 系统的运动微分方程
• 3）由于刚度法在计算弹性恢复力时应用了叠加原理，故 刚度法只适合线性系统。
2-3 机械系统运动微分方程的建立
2.柔度法
• 柔度法以系统为研究对象，用静力法计算柔度系数 i j 和
载荷位移 i p ，利用达朗贝尔原理和位移叠加原理，列出
2-3 机械系统运动微分方程的建立 2-3-2 单自由度系统

复习小结-机械系统动力学

V k COS：k mF e 八F kk =1V k COS kV《机械系统动力学》复习小结第一章绪论★ 1•《机械系统动力学》课程的脉络（主要内容、研究对象、研究方法）主要分为两部分：刚体动力学和机械振动学"单自由度刚体动力学：等效力学模型；刚体动力学Y二自由度刚体动力学：拉格朗日方程、龙格库塔法；-单自由度系统振动：单自由度无阻尼（有阻尼）自由振动（强迫振动）、固有频率计算、Duhamel积分；,两自由度系统振动：固有频率及主振型求解、动力减振器；机械振动学]多自由度系统振动：影响系数法、模态分析法、矩阵迭代法；弹性体振动：杆的纵向振动、轴的扭转振动、梁的横向自由振动（受迫振动）、W种边界条件下的频率方程；2.机械系统的一些基本概念系统、机械系统、离散系统、连续系统以及激励的确定性、随机性、模糊性。

3.机械振动的概念及其分类简谐振动：x = Asin「t亠"] 复数形式* x = Ae‘上★ 4.谐波分析法：把一个周期函数展开成一个傅立叶级数形式。

a 远F t ° 亠〔a* cosb n sin n t2 n 二★ 5.机械系统动力学的研究意义、研究任务、发展趋势第二章单自由度刚体系统动力学1.驱动力&工作阻力的分类机械特性的概念三相异步电动机的机械特性分析；输出力矩与角速度之间的关系：M = a b^ c 2。

★ 2 •等效力学模型原则：转化前后，等效构件与原系统的动能相等，等效力与外力所作的功相等。

通常取做定轴转动或直线平动的构件为等效构件。

Fourier 级数:- 22与传动速比有关，与机构的运动速度无关。

运动方程用动能定理确定。

1 21 2◎也E =W ―2J e2^—2Je32= ip Me d^2=P —J。

等+7器件〕皿等效构件运动方程的基本形式如p22例题1、p23例题2及课后思考题假设等效构件做匀速转动，即令• ’ =1, ; = 0 ；★ 4 .运动方程的求解方法1）等效力矩是等效构件转角的函数时运动方程的求解，即4W = ,M e2）等效转动惯量是常数，等效力矩是等效构件角速度函数时运动方程的求解J e= con st, M e= M e■：分离变量法一＞dt = M e g严3）等效力矩是等效构件转角&角速度的函数时运动方程的求解，即Je = J e ：欧拉法、龙格库塔法4）等效力矩是等效构件转角、角速度和时间的函数时运动方程的求解，即M e 二M e'，t :3四阶龙格库塔法——►丿dtJ e m jj4 I -m j3. 等效转动惯量&等效转动惯量导数的计算2) 3)对机构进行运动分析，求出各构件对应的角速度和角加速度以及各构件质心的速度和加速度——出相应的传动速比及其导数；利用公式计算等效转动惯量&等效转动惯量导数：-Je =》m jj壬IA J jW丿j dJ en F=2L mi j V sj一兰i+J./ j sj d® j j d申丿1)数值积分方法（梯形法），即J j J j5.飞轮转动惯量的计算机械运转不均匀数：、：二 F 一min = 2 上匹'm ' max ' min通常用具有较大转动惯量的飞轮以减小机械运转时的周期性速度波动; 为什么飞轮具有储能作用？（飞轮调节作用的原理分析）第三章两自由度刚体系统动力学1.自由度、广义坐标、虚位移的定义2.虚位移原理在理想约束条件下，质点系平衡的充分必要条件是所有主动力在虚位移上所作的元功之和池二...F k、r k=0k3.广义力的计算★1）利用公式直接计算：Q j F k' kk 的2）利用求虚功的方法计算：令-q =0，其他（n- 1）个广义虚位移均等于零，则系统中所有主动力在相应虚位移上所作的虚功之和：W F^Q i q i对两自由度系统，W^ -Q-i q! Q2q2或P • Q2q2如p41例题13）利用虚功率的方法计算4.拉格朗日方程由达朗贝尔原理——►无（F k—m k r k=0 ——Q i =2 再—空dt l^i 丿cqi5.用拉格朗日方程建立运动微分方程的步骤1）选取广义坐标，判断系统的自由度数；2）计算系统的动能E3）计算广义力Q i ；得到运动微分方程组。

若为输入位移为输出位移试列写出下图所示机械系统的微分方程式

2-1若i x 为输入位移,o x 为输出位移, 试列写出下图所示机械系统的微分方程式,并求出传递函数。

2-2下图所示系统中电压1U 和位移1x 为系统输入量,电压2U 和位移2x 为输出量,k 为弹簧弹性系数,f 为阻尼器的阻尼系数,试分别列写图示系统的传递函数)()(12s U s U 和)()(12s X s X ,并将其写成典型环节相串联的形式。

2-3试求下图所示有源网络的传递函数。

2-4试用信号流图求出下图所示四端网络的传递函数)()()(12s U s U s G .2-5试绘制下图所示RC 回路的方块图,并根据方块图,并根据方块图写出传递函数)()(s U s U r c 。

2-6 试绘制下图所示电路的结构图,并求传递函数)()(12s U s U 。

2-7 给定一速度调节器的电路如图所示,试求U(s)与)(,)(0s U s U t 之间的关系式。

2-8 下图为由运算放大器组成的控制系统的模拟图,试求其闭环传递函数。

2-9 某RC 网络为下图所示,其中21U U 、分别为网络的输入量和输出量,试求:(1)画出网络相应的结构图(即函数方框图);(2)求传递函数)()(12S U S U (化成标准形式);(3)讨论元件2121,,,C C R R 参数选择是否响应网络的绝对稳定性。

2-10 本题包括以下内容:1.已知由试验得出的环节输出时间特性如下(题图(1)):(1)试确定各环节的传递函数.(2)试确定各环节在s 平面上的零点.极点分部.(3)试画出各环节的伯德(Bode)图.2.设有如下环节(题图(2)):已知: 54321,,,,R R R R R 各为电阻值, 210,,C C C 各为电容值。

(1)试确定各环节的输入与输出的关系。

(2)试画出该环节的结构图。

3.在题图(3)所示系统中,i x :输入位移,0x :输出位移,f:阻尼器的阻尼系数,21k k 、各为弹簧系数.且假定系统是集中参数系统,输出端的负载效应可乎略.试求出图中所示机械系统传递函数。

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第3章 机械系统运动微分方程的求解
• 3-1机械系统运动方程求解方法-解析法 • 3-2机械系统的运动方程求解方法-数值法 • 3-3机械系统的运动方程求解方法-半解析数
值法
3-1机械系统运动方程求解方法-解析法
3-1-1 单自由度系统的振动
1.问题的提法 工程中大量的动力学问题都可以 归结于图3-1-1 单自由度振动系 统的力学模型,其动力学问题的数 学模型表示为常微分方程的初值 问题 控制方程:
n
3-1机械系统运动方程求解方法-解析法
3-1-1 单自由度系统的振动
在初始条件为 x(0) x0, x(0) x0 欠阻尼条件下，方程的定解
x(t)
ent ( x0
cos d t
x0
x0 d
sin dt)
[1
(
X st
)2 ]2 [2 (
)]2
sin(d t
)
n
n
上中的第一项为单自由度系统自由振动响应，当t
图3-1-1 单自由度振动系 统的力学模型
mx cx kx F(t)
满足初始条件:
x(0) x0, x(0) x0
3-1机械系统运动方程求解方法-解析法
3-1-1 单自由度系统的振动
2. 单自由度振动系统简谐激励作 用下的响应
运动微分方程:
mx cx kx F0 sin t
图3-1-1 单自由度振动系 统的力学模型
3-1机械系统运动方程求解方法-解析法
3-1-1 单自由度系统的振动 2）特解
特解的求法很多，有比较系数法、旋转矢量法、拉 氏变换法等，较简单快捷的方法是旋转矢量法
设特解： x2(t) X sin(t )
代入方程 mx cx kx F0 sin t
m2 X sin(t ) cX cos(t ) kX sin(t ) F0 sint
作旋转矢量图
(kX
m2 X
)2
(c X
)2
F02
tan
kX
c X m2 X
3-1机械系统运动方程求解方法-解析法
3-1-1 单自由度系统的振动 2）特解
作旋转矢量图
(kX
m2 X
)2
(c X
)2
F02
tan
kX
c X m2 X
可得
X
F0
(k m2 )2 (c)2
arctan
c
k m2
满足初始条件:
x(0) x0, x(0) x0
根据微分方程理论,该方程解的形式为奇次通解与某个特解之和, 即
x(t) x1(t) x2(t)
x1(t) 为齐次通解 , x2(t) 为特解.
3-1机械系统运动方程求解方法-解析法
3-1-1 单自由度系统的振动 1）齐次通解 x1(t) 将奇次运动微分方程变成标准型:
x 2n x n2 x 0
其中固有频率： n
k m
设方程的解为 x Aet
阻尼比
C C CC 2m n 临界阻尼 CC 2mn
( 2 2n n2 ) Aet 0
特征方程：
2 2n n2 0
特征根：
1 2n 2
4
2 2 n
4n2
(
2
2 1)n
3-1机械系统运动方程求解方法-解析法
)
固有频率
n =
k m
b) 阻尼对振幅的影响
阻尼比越大，振幅衰减越大
,
3-1机械系统运动方程求解方法-解析法
，
3-1-1 单自由度系统的振动 工程应用：
b) 阻尼对振幅的影响 阻尼比越大，振幅衰减越大
n (tk Td )
A e k
nTd
e ntk
A e k1
两边取自然对数，注意到 nTd dTd 2
x0
n x0 d
sin dt)
c x 1
0
c2
x0
n x0 d
=ent
x02
(
x0
n x0 d
)2
sin(d t
)
欠阻尼系统的自由衰减振动
,
3-1机械系统运动方程求解方法-解析法
，
3-1-1 单自由度系统的振动
（3）临界阻尼 1
特征方程有两个重根即 1 2 = n
方程的通解
x1 ( A1 A2t)ent
F0 / k
(1 m2 )2 ( c )2
k
k
将
n
k m
c 2mn
X st
F0 k
代入上式得
3-1机械系统运动方程求解方法-解析法
3-1-1 单自由度系统的振动
2）特解
位移动力放大系数
X
X st
1
[1 ( )2 ]2 [2 ( )]2
n
n
相位角
2 ( )
tan
1
(
n )2
3-1-1 单自由度系统的振动 讨论
（1）过阻尼: 1
x1(t) ent ( A1e 2 1nt A2e ) 2 1nt
根据初始条件可以得到系数A1,A2的表达式
A1
x0
( 2n
2 1)n x0 2 1
A2
x0
( 2n
2 1)n x0 2 1
过阻尼系统的自由衰减振动
,
3-1机械系统运动方程求解方法-解析法
0.75 ~ 0.85
，
3-1-1 单自由度系统的振动
（2） 欠阻尼 1
特征根：1,2 ( i 1 2 )n 令 d n 1 2
方程的通解 x1 ent ( A1eidt A2eidt )
ent (c1 cosdt c2 sin dt)
利用 x(0) x0 x(0) x0 可得
x
ent
( x0
cos d t

利用 x(0) x0 x(0) x0 可得
x1 [x0 ( x0 n x0 )t]ent
临界阻尼系统的自由衰减振动
,
3-1机械系统运动方程求解方法-解析法
，
3-1-1 单自由度系统的振动 工程应用：
a)无阻尼自由振动 0
方程的解
x
x0
cosnt
x0
n
sin nt
x02
( x0
n
)2
sin(nt
时，该项趋近于0。第二项为稳态解，表现为周期性运
动
其工程意义在于：
a)当频率比 1 时，振幅最大，当阻尼比 0 ，
位移动力放大n 系数 ，即发生共振现象。
3-1机械系统运动方程求解方法-解析法
3-1-1 单自由度系统的振动
振动稳定性设计准则
所有对于降低振动的工程应用场合，应使频率比在
1 ln Ak 2 Ak1
为了提高测量精度，常取n次振幅波动后对数衰减率作 为阻尼比的计算公式
1 ln Ak 2 n Akn
自由振动法测量单自由度振动系统的阻尼比
,
3-1机械系统运动方程求解方法-解析法
，
3-1-1 单自由度系统的振动 工程应用：
c）从图3-1-5可知， 1 时系统的位移响应回到平衡状态的时间最短。因此 对于指针式仪表读数系统，常将系统的阻尼比调整 为临界阻尼，以达到稳定读数的目的