第3章--振动系统的运动微分方程题解

45 / 2045习 题3-1 复摆重P ，对质心的回转半径为C ρ，质心距转动轴的距离为a ，复摆由水平位置无初速地释放，列写复摆的运动微分方程。

解:系统具有一个自由度，选复摆转角ϕ为广义坐标，原点及正方向如如题4-1图所示。

复摆在任意位置下，根据刚体绕定轴转动微分方程O O M J =ϕ其中)(22a gP J C O +=ρ 得到复摆运动微分方程为ϕϕρcos )(22Pa a gP C =+ 或0cos )(22=-+ϕϕρga a C3-2均质半圆柱体，质心为C ，与圆心O 1的距离为e ，柱体半径为固定R ，质量为m ，对质心的回转半径为C ρ，在平面上作无滑动滚动，如题3-2图所示，列写该系统的运动微分方程。

解：系统具有一个自由度，选θ为广义坐标。

半圆柱体在任意位置的动能为：222121ωC C J mv T +=题3-1图题3-2图46 / 2046用瞬心法求C v ：2222*2)cos 2()(θθθ Re R e CC v C -+== θω = 2CC m J ρ= 故2222221)cos 2(21θρθθ Cm Re R e m T +-+=系统具有理想约束，重力的元功为 θθδd mge W sin -=应用动能定理的微分形式W dT δ=θθθρθθd mge m Re R e m d C sin 21)cos 2(2122222-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+ θθθθθθθθθθρd mge d mRe d mRe d R e m C sin sin cos 2)(2222-=+-++ 等式两边同除dt ，θθθθθθθθθθρ sin sin cos 2)(2222mge mRe mRe R e m C -=+-++ 0≠θ ，等式两边同除θ故微分方程为0sin sin )cos 2(2222=+++-+θθθθρθmge mRe Re R e m C ① 若为小摆动θθ≈sin ，1cos ≈θ，并略去二阶以上微量，上述非线性微分方程可线性化，系统微摆动的微分方程为0])[(22=++-θθρge r R C要点及讨论（1）本题也可以用平面运动微分方程求解。

3.1 如图所示扭转系统。

设12122;t t I I k k ==1．写出系统的刚度矩阵和质量矩阵；2．写出系统的频率方程并求出固有频率和振型，画出振型图。

解：1)以静平衡位置为原点，设12,I I 的转角12,θθ为广义坐标，画出12,I I 隔离体，根据牛顿第二定律得到运动微分方程：111121222221()0()0t t t I k k I k θθθθθθθ⎧++-=⎪⎨+-=⎪⎩&&&&，即：1112122222122()00t t t t t I k k k I k k θθθθθθ⎧++-=⎪⎨-+=⎪⎩&&&&所以：[][]12212220,0t t t t t k k k IM K k k I +-⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦系统运动微分方程可写为：[][]11220M K θθθθ⎧⎫⎧⎫⎪⎪+=⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭&&&& ………… (a)或者采用能量法：系统的动能和势能分别为θθ=+&&2211221122T E I Iθθθθθθθ=+-=++-222211212121221121111()()2222t t t t t t U k k k k k k 求偏导也可以得到[][],M K由于12122;t t I I k k ==，所以[][]212021,0111t M I K k -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦2)设系统固有振动的解为： 1122cos u t u θωθ⎧⎫⎧⎫=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，代入（a ）可得：[][]122()0u K M u ω⎧⎫-=⎨⎬⎩⎭………… (b)得到频率方程：22121211222()0t t t t k I k k k I ωωω--==--V即：224222121()240t t I k I k ωωω=-+=V解得：211,222(22t k I ω±==所以：1ω=<2ω= ………… (c)将（c ）代入（b ）可得：112121211122(22220(22t t t t t t k k I k I u u k k k I I ⎡⎤±--⎢⎥⎧⎫⎢⎥=⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎢⎥--⎢⎥⎣⎦g g g解得：11212u u =-；12222u u = 令21u =，得到系统的振型为：-0.70710.70713.2 求图所示系统的固有频率和振型。

习 题3-1 复摆重P ，对质心的回转半径为C ρ，质心距转动轴的距离为a ，复摆由水平位置无初速地释放，列写复摆的运动微分方程。

解:系统具有一个自由度，选复摆转角ϕ为广义坐标，原点及正方向如如题4-1图所示。

复摆在任意位置下，根据刚体绕定轴转动微分方程 O O M J =ϕ其中)(22a gP J C O +=ρ 得到复摆运动微分方程为 ϕϕρcos )(22Pa a gP C =+ 或0cos )(22=-+ϕϕρga a C3-2均质半圆柱体，质心为C ，与圆心O 1的距离为e ，柱体半径为R ，质量为m ，对质心的回转半径为C ρ，在固定平面上作无滑动滚动，如题3-2图所示，列写该系统的运动微分方程。

解：系统具有一个自由度，选θ为广义坐标。

半圆柱体在任意位置的动能为：222121ωC C J mv T +=用瞬心法求C v ： 2222*2)cos 2()(θθθ Re R e CC v C -+== θω =2C C m J ρ=故2222221)cos 2(21θρθθ Cm Re R e m T +-+=系统具有理想约束，重力的元功为题3-1图题3-2图θθδd mge W sin -= 应用动能定理的微分形式W dT δ=θθθρθθd mge m Re R e m d C sin 21)cos 2(2122222-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+ θθθθθθθθθθρd mge d mRe d mRe d R e m C sin sin cos 2)(2222-=+-++ 等式两边同除dt ，θθθθθθθθθθρ sin sin cos 2)(2222mge mRe mRe R e m C -=+-++ 0≠θ ，等式两边同除θ故微分方程为0sin sin )cos 2(2222=+++-+θθθθρθmge mRe Re R e m C ①若为小摆动θθ≈sin ，1cos ≈θ，并略去二阶以上微量，上述非线性微分方程可线性化，系统微摆动的微分方程为0])[(22=++-θθρge r R C要点及讨论（1）本题也可以用平面运动微分方程求解。

3.1 如图所示扭转系统。

设12122;t t I I k k ==1．写出系统的刚度矩阵和质量矩阵；2．写出系统的频率方程并求出固有频率和振型，画出振型图。

解：1)以静平衡位置为原点，设12,I I 的转角12,θθ为广义坐标，画出12,I I 隔离体，根据牛顿第二定律得到运动微分方程：111121222221()0()0t t t I k k I k θθθθθθθ⎧++-=⎪⎨+-=⎪⎩ ，即：1112122222122()00t t t t t I k k k I k k θθθθθθ⎧++-=⎪⎨-+=⎪⎩所以：[][]12212220,0t t t t t k k k I M K k k I +-⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦系统运动微分方程可写为：[][]11220M K θθθθ⎧⎫⎧⎫⎪⎪+=⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭………… (a)或者采用能量法：系统的动能和势能分别为θθ=+2211221122T E I I θθθθθθθ=+-=++-222211212121221121111()()2222t t t t t t U k k k k k k求偏导也可以得到[][],M K由于12122;t t I I k k ==，所以[][]212021,0111t M I K k -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦2)设系统固有振动的解为： 1122cos u t u θωθ⎧⎫⎧⎫=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，代入（a ）可得：[][]122()0u K M u ω⎧⎫-=⎨⎬⎩⎭………… (b)得到频率方程：22121211222()0t t t t k I k k k I ωωω--==--即：224222121()240t t I k I k ωωω=-+=解得：21,222ω==所以：1ω=2ω= ………… (c)将（c ）代入（b ）可得：112121211122(22220(22t t t t t t k k I k I u u k k k I I ⎡⎤±--⎢⎥⎧⎫⎢⎥=⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎢⎥--⎢⎥⎣⎦解得：11212u u =-；12222u u =令21u ，得到系统的振型为：-0.70710.70713.2 求图所示系统的固有频率和振型。

请打双面习题与综合训练 第一章2-1 一单层房屋结构可简化为题2-1图所示的模型，房顶质量为m ，视为一刚性杆；柱子高h ，视为无质量的弹性杆，其抗弯刚度为EJ 。

求该房屋作水平方向振动时的固有频率。

解：由于两根杆都是弹性的，可以看作是两根相同的弹簧的并联。

等效弹簧系数为k则 mg k δ=其中δ为两根杆的静形变量，由材料力学易知δ=324mgh EJ =则 k =324EJ h设静平衡位置水平向右为正方向，则有 "m x kx =-所以固有频率3n 24mh EJ p =2-2 一均质等直杆，长为 l ，重量为W ，用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如题2-2图所示。

试写出此杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。

解：给杆一个微转角θ2aθ＝h α2F ＝mg由动量矩定理： ah a mg a mg Fa M ml I M I 822cos sin 12122-=-≈⋅-====αθαθ其中12c o s s i n ≈≈θααh l ga p ha mg ml n 22222304121==⋅+θθ g h a l ga h l p T n 3π23π2π222=== 2-3 求题2-3图中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是1k 和3k ，悬臂梁的质量忽略不计。

解：悬臂梁可看成刚度分别为k 1和k 3的弹簧，因此，k 1与k 2串联，设总刚度为k 1ˊ。

k 1ˊ与k 3并联，设总刚度为k 2ˊ。

k 2ˊ与k 4串联，设总刚度为k 。

即为21211k k k k k +='，212132k k kkk k++='，4241213231421432421k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ++++++=)(42412132314214324212k k k k k k k k k k m k k k k k k k k k p ++++++=2-4 求题2-4图所示的阶梯轴一圆盘系统扭转振动的固有频率。

1.1 试举出振动设计、系统识别和环境预测的实例。

1.2 如果把双轴汽车的质量分别离散到前、后轴上去，在考虑悬架质量和非悬架质量两个离散质量的情况下，画出前轴或后轴垂直振动的振动模型简图，并指出在这种化简情况下，汽车振动有几个自由度?1.3 设有两个刚度分别为1k ，2k 的线性弹簧如图T —1.3所示，试证明：1)它们并联时的总刚度eq k 为：21k k k eq +=2)它们串联时的总刚度eq k 满足：21111k k k eq +=解：1)对系统施加力P ，则两个弹簧的变形相同为x ，但受力不同，分别为：1122P k xP k x=⎧⎨=⎩由力的平衡有：1212()P P P k k x =+=+故等效刚度为：12eq Pk k k x ==+2)对系统施加力P ，则两个弹簧的变形为： 1122Px k Px k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，弹簧的总变形为：121211()x x x P k k =+=+故等效刚度为：122112111eq k k P k x k k k k ===++1.4 求图所示扭转系统的总刚度。

两个串联的轴的扭转刚度分别为1t k ，2t k 。

解：对系统施加扭矩T ，则两轴的转角为： 1122t t Tk T k θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩系统的总转角为：121211()t t T k k θθθ=+=+，12111()eq t t k T k k θ==+故等效刚度为：12111eq t t k k k =+1.5 两只减振器的粘性阻尼系数分别为1c ，2c ，试计算总粘性阻尼系数eq c1)在两只减振器并联时，2)在两只减振器串联时。

解：1)对系统施加力P ，则两个减振器的速度同为x &，受力分别为：1122P c x P c x =⎧⎨=⎩&& 由力的平衡有：1212()P P P c c x =+=+&故等效刚度为：12eq P c c c x ==+& 2)对系统施加力P ，则两个减振器的速度为： 1122P x c P x c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩&&，系统的总速度为：121211()x x x P c c =+=+&&& 故等效刚度为：1211eq P c x c c ==+&1.6 一简谐运动，振幅为0.5cm，周期为0.15s，求最大速度和加速度。

第02章 单自由度系统的振动2.1 一根抗弯刚度72=3610Ncm EI ⨯的简支架，两支承间跨度l 1=2m ，一端伸臂l 2=1m ，略去梁的分布质量，试求悬臂端处重为Q =2548 N 的重物的自由振动频率。

【提示：22123()EJ k l l l =+，2212()3st Ql l l EIδ+=，11.77n ω= 1/s 】2.2 梁AB 其抗弯刚度72=910Ncm EI ⨯，A 端与B 端由弹簧支承，弹簧刚性系数均为k =52.92 kN/m ，如图所示。

略去梁的分布质量，试求位于B 端点左边1米处，重为Q =4900 N 的物块自由振动的周期。

【解法1：通过计算静变形求解。

A ，B 弹簧受力为3Q 和23Q ，压缩量为3Q k 和23Q k ，则由弹簧引起的静变形为159Qkδ=；利用材料力学挠度公式求出梁变形引起的静变形222212(321)4619Q QEI EIδ⋅⋅--==⋅。

周期为：22 1.08nT πω===s 。

解法2：通过弹簧刚度的串并联计算总等效刚度求解。

A ，B 弹簧相对Q 处的等效刚度为（产生单位变形需要的力，利用解法1中计算的静变形结果）195k k =；利用材料力学挠度公式求出梁相对Q 处的等效刚度294EI k =；总等效刚度为：12111eq k k k =+。

周期为22 1.08nT πω===s 。

】 2.4 一均质刚杆重为P ，长度为L 。

A 处为光滑铰接，在C 处由刚性系数为k 的弹簧使杆在水平位置时平衡。

弹簧质量不计，求杆在竖直面内旋转振动时的周期。

【解：利用定轴转动微分方程：21()32st P l l P k a a g ϕϕδ=--，2st lk a P δ=， 得：22103P lk a gϕϕ+=， 22n T πω===题 2-1 图BAQ题 2-2 图QkkAB 题 2-4 图2.8 一个重为98 N 的物体，由刚性系数为k =9.8 kN/m 的弹簧支承着（简化为标准m-k-c 振动系统），在速度为1 cm/s 时其阻力为0.98 N 。

§2-3 运动(yùndòng)微分方程的求解1.求解步骤1)确定分析对象（隔离体）2)作受力分析（施力物、超距力、接触力），画隔离体图3)建立合适坐标系，写出方程解析式并给出初始位置、速度4)给出二阶常微分方程组的数字解5)阐明结果的物理含意与实质作用力为时间、位置、速度的函数；若力只是其中某一项的函数，则问题可加以简化。

2.常力作用下质点的运动〖例2-1〗求质点m在常力作用下的运动。

已知t=0时初位置和初速度分别为。

解：3.力只是时间的函数〖例2-2〗求自由电子-e在沿x轴的电场中的运动。

已知t=0时。

解：4.力只是速度的函数〖例2-3〗求在阻力正比于速度即的介质中抛物体的运动。

已知t=0时。

解：消去t得轨道方程为若阻力很小或距离很短（开始运动），即时，有轨道开始时接近抛物线，x趋于时y趋于无穷大，即为竖直直线。

5.力只是坐标的函数〖例2-4〗求做一维振动的弹性系数为k的弹簧振子的运动。

解：二维振动与利萨如图形。

6.复杂情况力为时间、坐标、速度的函数一维：（受迫振动）如LRC电路：为二阶常系数线性常微分方程，可用数值计算。

7.例题〖例2-5〗P39例1〖例2-6〗P41例3§2-4 加速(jiā sù)平动非惯性系动力学1.问题的提出在惯性系S中成立，在动系S’中是否成立？作加速平动的参照系为非惯性系。

2.改进的牛顿定律引入惯性力后牛顿定律仍成立。

3.讨论？为什么选择非惯性系：方便？惯性力与普通力的差别惯性力只是一种记号，它无施力物体，也无反作用力4.例题〖例2-7〗P44例质点运动(yùndòng)微分方程小结1.运动微分方程2.运动微分方程的解析式或3.理想光滑线约束力的求解4.平动加速非惯性系的加上惯性力后牛顿定律仍然成立处理5.例题〖例2-8〗P98补例1.4〖例2-9〗P99补例1.56.习题三〖P105习题1.21，1.27，1.32，1.33〗§2-5 质点的能量(néngliàng)积分1.第一积分直接求解运动微分方程是研究动力学问题的基本方法，但对具体问题解出微分方程有时比较困难。

单自由度振动系统的运动方程及其解析解单自由度振动系统是指只有一个自由度的振动系统，其运动方程可以用一个二阶常微分方程表示。

在这篇文章中，我们将讨论单自由度振动系统的运动方程及其解析解。

1. 引言振动是自然界中一种常见的现象，也是物体在受到扰动后产生的周期性运动。

单自由度振动系统是研究振动现象的基本模型，它可以用来描述弹簧振子、摆锤等物理系统的振动。

2. 运动方程的建立对于单自由度振动系统，其运动方程可以通过牛顿第二定律推导而来。

假设系统的质量为m，位移为x，系统受到的外力为F，弹性系数为k，则可以得到如下的运动方程：m*x'' + k*x = F3. 简谐振动的解析解当外力为零时，即F=0，单自由度振动系统的运动方程简化为：m*x'' + k*x = 0这是一个常系数线性齐次二阶常微分方程，可以通过特征方程的方法求解。

假设解为x(t) = A*cos(ωt + φ)，代入方程中可以得到：-m*ω^2*A*cos(ωt + φ) + k*A*cos(ωt + φ) = 0整理得到：(ω^2*m - k)*A*cos(ωt + φ) = 0由于A*cos(ωt + φ)不为零，所以可以得到特征方程：ω^2*m - k = 0解特征方程可以得到系统的固有频率：ω = sqrt(k/m)因此，单自由度振动系统的解析解为：x(t) = A*cos(ωt + φ)其中A和φ为待定常数，分别表示振幅和相位。

4. 非简谐振动的解析解当外力不为零时，即F≠0，单自由度振动系统的运动方程为：m*x'' + k*x = F这是一个非齐次线性二阶常微分方程，可以通过特解和通解的方法求解。

首先求解齐次方程，得到通解：x_h(t) = A*cos(ωt + φ)然后求解非齐次方程的特解，可以通过待定系数法或者复数法得到特解。

最后将通解和特解相加，得到系统的解析解：x(t) = x_h(t) + x_p(t)其中x_h(t)为齐次方程的通解，x_p(t)为非齐次方程的特解。

《振动力学》——习题第二章 单自由度系统的自由振动2-1 如图2-1 所示，重物1W 悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静止平衡位置，另一重物2W 从高度为h 处自由下落到1W 上且无弹跳。

试求2W 下降的最大距离和两物体碰撞后的运动规律。

解：222221v gW h W =，gh v 22=动量守恒：122122v gW W v g W +=，gh W W W v 221212+=平衡位置：11kx W =，kW x 11=1221kx W W =+，kW W x 2112+=故：kW x x x 21120=-= ()2121W W kgg W W k n +=+=ω故：tv t x txt x x n nn n nn ωωωωωωsin cos sin cos 12000+-=+-=xx 0x 1x 12平衡位置2-2 一均质等直杆，长为l ，重量为w ，用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如图2-2所示。

试写出此杆绕通过重心的铅垂轴做微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。

解：给杆一个微转角θ2aθ＝h α2F ＝mg由动量矩定理：ah a mg a mg Fa M ml I M I 822cos sin 12122-=-≈⋅-====αθαθ其中12cossin ≈≈θααh l ga p ha mg ml n 22222304121==⋅+θθ g h a l ga h l p T n 3π23π2π222===2-3 一半圆薄壁筒，平均半径为R , 置于粗糙平面上做微幅摆动，如图2-3所示。

试求其摆动的固有频率。

图2-3 图2-42-4 如图2-4 所示，一质量m连接在一刚性杆上，杆的质量忽略不计，试求下列情况系统作垂直振动的固有频率：（1）振动过程中杆被约束保持水平位置；（2）杆可以在铅垂平面内微幅转动；（3）比较上述两种情况中哪种的固有频率较高，并说明理由。

图T 2-9 答案图T 2-9解：（1）保持水平位置：m kk n 21+=ω（2）微幅转动：mglllF2112+=mgl1l2xx2xx'mglll2121+=k2k1ml1l2()()()()()()()()()mgk k l l k l k l mgk k l l k l l k l l l k l mg k k l l k l k l l l l k l l mg l mgk l l l k l l l l l l k l l mg l l l l x x k F x x x 2122122212121221221121212221212211211121212122211211121221112111 ++=+-++=+-⋅+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++++=+-+='+=故：()22212121221k l k l k k l l k e++=mk en =ω 2-5 试求图2-5所示系统中均质刚性杆AB 在A 点的等效质量。